COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI · Costruzione di Macchine 3 15 Sistemi reali e sistemi di...

Costruzione di Macchine 3 1

COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI

VIBRAZIONI TORSIONALI


Generalità• Il problema del progetto di un asse o di un

albero non è solo statico• Gli assi e gli alberi, come sistemi elastici,

sotto l’azione di forze variabili nel tempo devono essere analizzati dinamicamente

• Il rischio da evitare è che con eccitazioni prossime alle risonanze le amplificazioni diano origine a sforzi e deformazioni non accettabili


Assi e alberi

• Gli assi e gli alberi, descritti come elementi monodimensionali, mostrano differenti comportamenti dinamici: assiale, flessionale e torsionale.

• In realtà essendo sistemi elastici continui dotati di massa, inerzia e smorzamento esibiscono un unico comportamento dinamico, rappresentabile da un sistema di equazioni differenziali.

• Tali equazioni integrate nel dominio del tempo permettono di rappresentare il comportamento dinamico.


Assi e alberi

• E’ possibile dimostrare che sotto certe ipotesi i comportamenti dinamici relativi alla deformazione assiale, flessionale e torsionale sono completamente disaccoppiati.

• Inoltre, in generale, le prime frequenze proprie di vibrazione di ciascun tipo di comportamento si presentano in campi di frequenze ben distinti (torsionali→basse frequenze, flessionali→frequenze intermedie, assiali→alte frequenze).

• Ciò consente di semplificare grandemente il problema considerando un numero inferiore di variabili indipendenti.



• I sistemi costituiti da alberi con volani hanno, oltre alle vibrazioni flessionali, anche la possibilità di vibrare torsionalmente.

• Supponiamo pertanto di avere un sistema del tipo di quello in figura in cui l’albero ha inerzia trascurabile rispetto ai volani e questi possono essere considerati, a loro volta, rigidi.

I1 I2 I3 In-2 In-1 InIi



• Il sistema descritto ha la particolarità, rispetto a quelli fin qui esaminati, di essere strutturalmente labile in quanto libero di ruotare attorno al proprio asse. Vedremo più avanti come questa proprietà consente di mettere a punto un metodo particolarmente efficace per determinare le velocità critiche torsionali.

• Dal punto di vista dei modi propri questa caratteristica determina il fatto che il primo modo è sempre nullo, corrispondendo ad un moto rigido di rotazione (Deformata senza nodi).


Sistema a 2 volani

• Il sistema più semplice da esaminare è quello riportato in figura. Definite φ1 e φ2 le rotazioni in corrispondenza dei due volani, è possibile scrivere le equazioni di equilibrio tra i momenti delle forze inerzia e i momenti delle reazioni elastiche:

lI2I1

G,J0)(

0)(

1222

2111

=−−−

=−−−

φφφ

φφφ

kI

kI

&&

&&

Dove k Dove k èè la costante elastica la costante elastica torsionale del tratto di albero torsionale del tratto di albero compreso tra i due volani ed compreso tra i due volani ed èèpertanto pari a:pertanto pari a: l

GJk =


Sistema a 2 volani

• Se, in analogia con quanto già visto per i sistemi elastici in generale, si ricavano soluzioni del tipo φ1= Φ1 sin (ω t + δ) si ricava, manipolando il sistema scritto:

• che ammette soluzioni non banali se il determinante dei coefficienti è nullo.

0)(

0)(

2

2

21

21

2

1

=Φ−+Φ−

=Φ−Φ−

ω

ω

Ikk

kIk


Sistema a 2 volani

• Esplicitando tale condizione si ottiene l’equazione:

• che fornisce, per la velocità critica torsionale, la soluzione espressa dalla relazione

02

21

214 =+

− ωωII

IIk

+=

+=

2121

21 11

IIl

GJ

II

IIkω


Sistema a 2 volani

• In realtà l’equazione scritta ammette anche la soluzione ω = 0 che corrisponde ad un moto rigido di rotazione. Questa condizione è tipica di tutti i sistemi labili.

• Con le opportune modifiche ai sistemi torsionali a 2 volani si applicano tutte le conclusioni già viste in generale per i sistemi a 1 gdl

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0

2

4

6

8

10

0.5

0.2

0.1

δ=0

δ=0.05

δ=0

I H

(ω)

I

ω/ω0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0.5

0.20.1

δ=0.05

π/2

Angolo

di fa

se

ω/ω0


Sistema a 2 volani

• In particolare se si inserisce nelle equazioni il valore calcolato di ω, si può calcolare il valore di Φ1/Φ2 che possiamo chiamare autovettoredel sistema

0)(

0)(

2

2

21

21

2

1

=Φ−+Φ−

=Φ−Φ−

ω

ω

Ikk

kIk

lI2I1

G,J


Sistema a 3 volani

• Se si esamina poi il sistema di figura, che ha tre volani, e si applica lo stesso procedimento èpossibile definire l’equazione di secondo grado

I1 I2 I3

1 2

k

1

k

2

02

2

21

3

2

2

2

2

1

1

1

3

2

2

2

2

1

1

124 =−

++

++

+++−

I

kk

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

kωω

( )( )( )

=Φ−+Φ−

=Φ−Φ−++Φ−

=Φ−Φ−

0

0

0

3

2

3222

322

2

22111

211

2

11

ω

ω

ω

Ikk

kIkkk

kIk


Sistema a 3 volani

• Le soluzioni dell’equazione si ottengono ponendo

• Le frequenze proprie risultano allora pari a

• Analogamente al sistema a 2 volani si possono calcolare gli autovettori

+++=

o

oo

o

o

o

o

I

KK

I

K

I

KB

2

21

3

2

1

1

2

1 ( )ooo

ooo

oo

IIIIII

KKC 321

321

21 ++⋅

=

CBBf −= 2

2,12

1m

π


Sistema a 3 volani

• È da notare che i due autovettori presenta no due diverse distribuzioni degli angoli massimi di torsione φ, caratterizzati rispettivamente, da uno e due punti in cui gli angoli sono identicamente nulli. Tali punti vengono detti a “nodi“ mentre i punti cui la deformata raggiunge un massimo sono chiamati “ ventri “. Il risultato raggiunto è generalizzabile nel senso che la prima velocità critica ammette una deformata caratterizzata da un nodo, la seconda da due e così via.

I1 I2 I3

1 2

k1

k

2


Sistemi reali e sistemi di calcolo

• . I sistemi, per i quali è necessario calcolare la velocità critiche torsionali, non sempre sono immediatamente riconducibili ad elementi ad asse rettilineo su un unico allineamento. D’altra parte disporre di un sistema equivalente di tali caratteristiche è indispensabile per eseguire calcoli. Ciò comporta la necessità di stabilire i criteri per ricavare da un certo sistema reale comunque complesso un sistema equivalente semplificato.


Sistemi reali e sistemi di calcoloRiduzione delle lunghezze.

• Si tratta di ricavare un sistema a sezione costante di lunghezza incognita con rigidezza uguale a quello reale. La condizione è ovviamente la seguente

• Dove KR è la rigidezza torsionale del sistema reale, da cui si ricava immediatamente:

• Pertanto per calcolare la lunghezza lx si stabilisce arbitrariamente il materiale (G) e la sezione (J) del tronco equivalente. Applicando infine la relazione di equivalenza ora scritta si ottiene lx.

• Questo procedimento si applica quando si vuole trasformare un sistema comunque complesso, per esempio un albero a sezione variabile o un albero a gomiti, in un tratto rettilineo a sezione costante equivalente.

x

eqRl

GJkk ==

R

xk

GJl =


Sistemi reali e sistemi di calcoloRiduzione delle inerzie.

• Quando si hanno volani che ruotano a velocitàdiverse, la conversione si ottiene imponendo che l’energia cinetica dei due sistemi, quello reale e quello equivalente, sia la stessa. Si ottiene pertanto:

• Da cui si ricava immediatamente, detto

• Che il momento di inerzia equivalente è

22

2

1

2

1eqeqRR II ωω =

eq

Rrω

ω=

2rII Req =



• Nel caso di due alberi connessi da ruote dentate, quindi, le inerzie sull’albero condotto possono essere riportate all’albero motore, moltiplicandole per il quadrato del rapporto di trasmissione. Cioè si assume ωeq = ωm

• Nel caso di riduttori essendo r<1 le inerzie equivalenti, ridotte all’albero motore sono inferiori a quelle reali.



• È da notare infine che nel caso di sistemi con ingranaggi anche la rigidezza dell’albero condotto deve essere corretta per riportarlo all’albero motore mediante la relazione:

• Anche in questo caso, nei riduttori, le rigidezze equivalenti sono inferiori a quelle reali

2rkk Req =


Sistemi a n volani

• Per un sistema a n volani, si può scrivere il sistema di equazioni differenziali che descrivono il moto. Ad esse, in modo del tutto analogo a quanto visto per i sistemi semplificati, si possono associare le equazione algebriche di seguito riportate

( )( )

( )

( )

=Φ−++Φ−

=Φ−Φ−++Φ−

=Φ−Φ−++Φ−

=Φ−Φ−

−−−

+−−−

0

........................

0

........................

0

0

2

111

1

2

111

322

2

22111

211

2

11

nnnnnn

iiiiiiii

Ikkk

kIkkk

kIkkk

kIk

ω

ω

ω

ω


Sistemi a n volani

• Il sistema scritto ammette soluzioni non banali se il determinante dei coefficienti ènullo e, in tal modo, si ricava la condizione necessaria per il calcolo degli (n - 1) valori delle velocità critiche essendo la prima, come già detto più volte, nulla.

• Il sistema scritto, inoltre, è adatto per una procedura di soluzione iterativa.


Sistemi a n volani

• Se si dividono tutte le equazioni per f1, èpossibile, in generale scrivere:

.......

.......

1

1

,1

2

1,11,2

1

2

,1

1,2

1

1

2

23

2

22312

23

12

1

3

12

2

112

1

2

Φ

Φ−++

Φ

Φ−=

Φ

Φ

Φ

Φ−++−=

Φ

Φ

−=

Φ

Φ

−

−

−−−−−

−

−− i

ii

iiiiii

ii

iii

K

IKK

K

K

K

IKK

K

K

K

IK

ω

ω

ω


Sistemi a n volaniAlle relazioni scritte èpossibile poi aggiungere l’equazione che si ottiene sommando tutte le equazioni del sistema algebrico fondamentale; si ricava quindi:

La funzione M può essere rappresentata in funzione di ω ed ha l’andamento riportato in figura, in cui si hanno gli zeri in corrispondenza alle velocità critiche.

( ) 0......11

2 =Φ++Φ++Φ= nnii IIIM ω

ω0

M

ω1

ω2

ω3


Sistemi a n volani• Risulta quindi possibile definire una procedura risolutiva di tipo

iterativo da eseguire: • a) Si assume Φ1 = 1• b) Si assume un valore di primo tentativo per ω• c) Si calcolano i valori Φi

• d) Si impone la condizione che consente il calcolo di M; esso, in generale sarà diverso da zero, si corregge allora il valore di ω finchénon si ottiene un cambiamento di segno per M: in tal caso il valore della velocità critica cercata è compreso tra ωk e ωk-1 (essendo k l’indice del tentativo) e può essere ottenuto con una opportuna formula d’interpolazione.

• Assumendo successivamente diversi valori iniziali per ω si possono determinare tutte le velocità critiche del sistema. La loro identificazione completa va fatta valutando le deformate attraverso il calcolo dei rapporti Φi/Φ1individuando così il numero e la posizione dei nodi.


Sistemi a 4 volani

• Per comprendere meglio il procedimento esplicitiamo le relazioni per un sistema a 4 volani

• Le equazioni sono quindi

I1 I2 I3 I4

K12

K23

K34

( )( )( )( ) 0

0

0

0

4

2

434334

4343

2

33423223

3232

2

22312112

2121

2

112

=Φ−+Φ−

=Φ−Φ−++Φ−

=Φ−Φ−++Φ−

=Φ−Φ−

ω

ω

ω

ω

IKK

KIKKK

KIKKK

KIK


Sistemi a 4 volani

• Il determinante dei coefficienti risulta allora

• Il sistema si può risolvere attraverso l ‘uso di una procedura iterativa che inizia con il dividere tutte le equazioni per Φ1 e con il sommare tutte le equazioni del sistema.

( )( )

( )( )

0

00

0

0

00

2

43434

34

2

3342323

23

2

2231212

12

2

112

=

−−

−−+−

−−+−

−−

ω

ω

ω

ω

IKK

KIKKK

KIKKK

KIK


Sistemi a 4 volani

• Si ottengono le relazioni

• In cui si è assunto Φ1 = 1• L’ultima equazione si ottiene

sommando tutte le equazioni del sistema.

( )[ ]

( )[ ]

0

1

1

1

44332211

3

2

33423223

34

4

2

2

22312112

23

3

12

2

112

2

1

=Φ+Φ+Φ+Φ

Φ−++Φ−=Φ

Φ−++Φ−=Φ

−=Φ

=Φ

IIII

IKKKK

IKKKK

K

IK

ω

ω

ω


Sistemi a 4 volani

• Ponendo allora Φ1 = 1 si calcolano i valori di Φ2, Φ3, Φ4 e si possono allora trovare i valori di ω che annullano l’ultima equazione.

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

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