Come sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione.

In questo caso la riproduci isometricamente, cioè attraverso una isometria, che può essere una traslazione o una simmetria, e quindi otterrai figure congruenti.

Puoi riprodurre una figura anche più grande o più piccola, senza deformarla, cioè rispettandone la forma. In questo caso la riproduci simile , attraverso una trasformazione non isometrica che prende il nome di similitudine .

Scopriamo le proprietà della similitudine attraverso una trasformazione geometrica; consideriamo due triangoli simili e misuriamone la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli.

A

°==

°==

90ˆ 5

55ˆ 8,3

BcmCB

AcmBA

B C

A’

B’ C’ °==

°==

°==

°==

°==

35'ˆ 1,3''

90'ˆ 5,2''

55ˆ 9,1''

35ˆ 2,6

90ˆ 5

CcmCA

BcmCB

AcmBA

CcmCA

BcmCB

Dalle misure possiamo dire che:

• Gli angoli corrispondenti sono congruenti;

• I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante:

ACCABCCBABBAeproporzioninsono

AC

CA

BC

CB

AB

BA

:'':'':'':

2

1

2,6

1,3''

2

1

5

5,2''

2

1

8,3

9,1''

==

======

ACCABCCBABBAeproporzioninsono :'':'':'': ==Possiamo affermare che:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti ordinatamente congruenti e i lati omologhi in proporzione.

La trasformazione che si ottiene si chiama similitudine ; essa lascia invariata l’ampiezza degli angoli ma varia la lunghezza dei seguenti segmenti corrispondenti in rapporto costante.

Tale rapporto costante si chiama rapporto di similitudine .

Due triangoli sono simili se hanno i tre angoli ordinatamente congruenti.

A B

C

B’A’

C’

'ˆˆ

'ˆˆ

'ˆˆ

CC

BB

AA

≅

≅

≅

I due triangoli ABC e A’B’C’ hanno i tre angoli ordinatamente congruenti:

Se misuriamo i lati corrispondenti ci accorgiamo che il rapporto fra lati omologhi è costante:

quindi i due triangoli sono simili .

'':'':'': ACCACBBCBAAB ==

Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, dal I criterio di similitudine segue che:

• Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti;

• Due triangoli equilateri sono sempre simili;• Due triangoli equilateri sono sempre simili;

• Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice o gli angoli alla base congruenti;

• Due triangoli rettangoli sono simili sa hanno un angolo acuto congruente.

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in rapporto costante e l’angolo fra essi compreso congruente.

A

B C

A’

B’ C’B C B’ C’

Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C’ che hanno due coppie di lati omologhi in proporzione e l’angolo compreso congruente:

'ˆˆ '':'': AACAACBAAB ≅=Se misuriamo le ampiezze degli angoli e la lunghezza degli altri due lati ci accorgiamo che:

quindi i due triangoli sono simili .

'ˆˆ 'ˆˆ '':'':'': CCBBeACCACBBCBAAB ≅≅==

Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi in rapporto costante.

Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C’ che hanno le tre coppie di lati omologhi in proporzione:

'':'':'': ACCACBBCBAAB ==Se misuriamo le ampiezze dei tre angoli ci accorgiamo che:

quindi i due triangoli , per il I criterio, sono simili .

'ˆˆ 'ˆˆ 'ˆˆ CCBBAA ≅≅≅

Un’importante applicazione della similitudine fra triangoli si ha nei due teoremi di Euclide, validi solo ed esclusivamente per i triangoli rettangoli.

A

Osserviamo che:

• I triangoli ABC e ABH hanno due angoli congruenti: perché entrambi retti; perché in comune. Per il I criterio di similitudine i due triangoli ABC e ABH sonoquindi simili , per cui:

,ˆˆ CABAHB ≅CBAHBA ˆˆ ≅

BHABABBC :: =

HB CConsideriamo il triangolo rettangolo ABC; rettangol o in A, e i triangoli ABH e AHC che si ottengono tracciando l’altezza AH relativa all’ipoten usa.

A

• I triangoli ABC e AHC hanno due angoli congruenti: , perché entrambi retti; perché in comune. Per il I criterio di similitudine i due triangoli ABC e AHC sono quindi simili , per cui:

BC : AC = AC : HC

CABCHA ˆˆ ≅ACHACB ˆˆ ≅

A

CB C H

Le due proporzioni: BC : AB = AB : BH e BC : AC = AC : HC

esprimono il I teorema di Euclide che possiamo enunciare:

In un triangolo rettangolo qualsiasi, ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Le osservazioni che abbiamo fatto per arrivare a enunciare il I teorema di Euclide ci hanno portato a osservare che:

• il triangolo ABC e simile al triangolo ABH,

• il triangolo ABC è simile al triangolo AHC.

A AA

HB H CHB C

Per la proprietà transitiva di cui gode la relazione di similitudine,possiamo allora dire che: il triangolo ABH è simile al triangolo AHC . Possiamo quindi scrivere la proporzione: che esprime il II teorema di Euclide.

HCAHAHBH :: =

In un triangolo rettangolo qualsiasi l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

A

Primo teorema di Euclide

2AB

Consideriamo una delle due proporzioni che ci da il I teorema di Euclide:

BC : AB = AB : BH

proprietà fondamentale

2 BHBCAB ×=

B CH

A = BC x BH

BHBCAB ×=

Possiamo considerare AB² come la superficie del quadrato di lato AB e BC x BH come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono BC e BH.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base l’ipotenusa e per altezza la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

A

Secondo teorema di Euclide

2AH

Consideriamo una delle due proporzioni che ci da il II teorema di Euclide:

BH : AH = AH : HC

proprietà fondamentale

2 HCBHAH ×=

B CH

A =

BH

x H

C

HCBHAH ×=

Possiamo considerare AH² come la superficie di un quadrato di lato AH, e BH x HC come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono BH e HC.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Proviamo ad ingrandire il triangolo ABC, proiettiamo da un punto fisso O i vertici del triangolo e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che :

.2 2 ,2 ''' OCOCeOBOBOAOA ===

Unendo i punti A’, B’ e C’ otteniamo il triangolo corrispondente di ABC.

O

A

B

C

C’

A’

B’

Se si vuole rimpicciolire il quadrilatero ABCD della metà,proiettiamo da un punto fisso O i vertici del quadrilatero e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che:

.2

1'

2

1

2

1 ,

2

1 ''' ODODeOCOCOBOBOAOA ====

Unendo i punti A’, B’, C’ e D’, otteniamo il Unendo i punti A’, B’, C’ e D’, otteniamo il quadrilatero corrispondente di ABCD.

OA

B

C

C’

A’

B’

D

D’

La trasformazione che ci permette di ingrandire il triangolo ABC o di rimpicciolire il quadrilatero ABCD è una particolare similitudine detta omotetia e le coppie di poligoni ABC e A’B’C’, ABCD e A’B’C’D’, tra loro simili,si dicono più esattamente omotetici.

Due figure sono omotetiche se i loro punti corrispondenti sono allineati su rette che si incontrano tutte in un punto, detto centro dell’omotetia , e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di

Diciamo che:

OA

B

C

C’

A’

B’

D

D’

e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di proporzionalità, k, si chiama rapporto di omotetia o caratteristica dell’omotetia.

Un’omotetia può essere diretta o inversa .

• Parliamo di omotetia diretta se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell’omotetia, dalla stessa parte dei vertici della figura data.

oB C

F B’C’

A’

B’

O

H’

A D

F

A’

B’

D’

F’ A

B’

H

CB

C’

3

1

=kticacaratteris

didirettaOmotetia2

=kticacaratteris

didirettaOmotetia

• Parliamo di omotetia inversa se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell’omotetia, dalla parte opposta dei vertici della figura data.

oB

A’

C’

D’

F’

AA’

B’

O

C’

H’

A

C

D

F

B’

H

CB

3

1

=kticacaratteris

diinversaOmotetia2

=kticacaratteris

diinversaOmotetia

La caratteristica k dell’omotetia determina il rimpicciolimento o l’ingrandimento della figura.

In particolare:

• Se k > 1 si ha un ingrandimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa;quella inversa;

• Se k < 1 si ha un rimpicciolimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa;

• Per k = 1 la figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame è coincidente se l’omotetia è diretta, si dice quindi che è un’identità . Nell’omotetia inversa si ha una simmetria centrale .