Come estrarre informazioni dalla CMB

Quali informazioni cerchiamo:

●parametri cosmologici

●gaussianità

●sorgenti galattiche ed extra-galattiche

●presenza di altri fondi diffusi

ma lo scopo principale sono senza dubbio i parametri cosmologici

Fissati i parametri all'interno di un modello e note le caratteristiche strumentali possiamo fare previsioni sulle osservazioni e confrontarle con i dati, ad esempio con il test del

2

dati:

V(t)=s(t)+n(t)

previsioni teoriche:

stht =f t , ,

2=∑t

V t −f th t , ,

2

t2

confronto:

Come estrarre informazioni dalla CMB

Bisogna notare che in questo modo è difficile confrontare dati provenienti da esperimenti diversi. Inoltre il numero di campionamenti temporali è elevatissimo (per BOOMERanG è ~5x107 per ogni rivelatore) e molti di essi sono fortemente correlati, quindi dobbiamo usare la formula completa del :

2

2= V t −f th

t ,, TMt t '−1 V t '−f th

t ' , ,

dove la matrice M è la matrice di covarianza dei dati e ha dimensione nd x nd, che nel caso di BOOMERanG diventano 2.5x1015 elementi!

Infine, tutto questo va ripetuto per ogni valore del set di parametri , per trovare i valori che meglio riproducono i dati.

Bisogna comprimere i dati evitando la perdita di informazioni

Natura stocastica della CMB

In realtà la CMB è una realizzazione stocastica di un modello teorico, allora possiamo solo farne una descrizione in termini statistici, ossia tramite le medie d'ensemble, perchè nessun modello potrà mai dirci quale tra tutte le possibili realizzazioni si è verificata, ma solo quali sono le configurazioni più o meno probabili.

A partire dai dati, dovremo quindi calcolare una serie di grandezze, che andranno confrontate con la media e la varianza d'insieme delle stesse grandezze calcolate a partire dal modello teorico. Non possiamo confrontare direttamente i dati V(t) con il modello.

Emerge quindi un limite intrinseco alla precisione della stima dei parametri, dovuta alla natura stocastica del problema. Anche un esperimento ideale sarà soggetto a questo limite.

Map-making: converte da un segnale V(t) ordinato temporalmente ad una mappa ordinata spazialmente.T

T,

E' una prima fase di compressione dei dati: ad esempio, per BOOMERanG si passa da 5x107 campionamenti temporali a 4x105 pixel spaziali.

Come estrarre informazioni dalla CMB

2=T

T, −f th

,, ,T

Mpp'−1 T

T ' , '−f th

' , ' , ,dove questa volta la matrice M è la matrice di covarianza dei dati ordinati in pixel, e ha dimensione np x np che nel caso di BOOMERanG diventano 1.6x1011 elementi! Ma di nuovo non stiamo considerando la natura stocastica del problema. Anche questo metodo per stimare i parametri non va bene.

Come estrarre informazioni dalla CMB: gaussianità

Con il map-making riduciamo notevolmente le dimensioni del database, ma ancora non è sufficiente.

Ipotesi: la CMB è un campo gaussiano Ps∝e−

12sp−s

TMpp '−1 sp'−s

Proprietà: un campo gaussiano è descritto completamente dai primi due momenti della distribuzione.

Mnx0=∫dxPx x−x0n con ∫dxPx =1

M2 x =∫dxP x x−x 2

=∫dxP x x2−2 x∫dxPx xx2∫dxP x

=⟨x2⟩−x2

=2

M10=∫dxPxx−0=⟨x⟩=x Valore aspettato

VarianzaPer una distribuzione simmetrica, tutti i momenti dispari rispetto al valor medio sono nulli, mentre quelli pari sono esprimibili usando la varianza.

Come estrarre informazioni dalla CMB: gaussianità

Ps∝e−

12 T

T, −⟨T

T⟩

T

Mpp '−1 T

T ' , '−⟨T

T⟩Ipotesi: la CMB è un

campo gaussiano

In particolare, la CMB è descritta da una distribuzione gaussiana multivariata con:

⟨TT

, ⟩=0 ⟨TT

n TT

n'⟩=C

dove è l'angolo compreso tra le direzioni e .n n'

C() è la funzione di correlazione a due punti del segnale, e sotto l'ipotesi di gaussianità contiene tutte le informazioni statistiche sulla CMB.

E' una ulteriore fase di compressione, perchè si passa da np valori con una matrice np x np, a una funzione che assume un numero finito di valori:

Ovviamente, bisognerà verificare dai dati la validità dell'ipotesi di gaussianità, che è anche una previsione dell'inflation.

∈[0,]; dipende dalle caratteristiche dello strumento

C 0=2

Descrizione alternativa della CMB: lo spazio armonico

Un campo limitato definito su una sfera può essere decomposto utilizzando lo sviluppo in armoniche sferiche (ad es., lo studio dell'atomo di idrogeno in meccanica quantistica):

TT n=∑l=0

∞

∑m=−l

lalm Y lm n

dove i coefficienti dello sviluppo in armoniche sferiche a

lm sono

definiti come:

alm=∫4dT

T n Y lm

x=r sencosy=r sensenz=r cos

coordinate sferiche:

E' l'analogo dello sviluppo di Fourier per una sequenza temporale.

Proprietà delle armoniche sferiche

Y ,2=Y ,

Y lm,=−1 l

2 ll! 2 l14

l−∣m∣!l∣m∣!

1 /2

Pl∣m∣coseim , ∣m∣≤l

Condizioni al contorno perdiodiche

Y ,= Separabile rispetto alle variabili angolari

Yl m=−1m Y lm Complesso coniugato

P Y l m=−1l Y lm La parità è data da l

P xyY l m=−1m Yl m La parità scambiando solo x e y è data da m

P z Y lm=−1 lm Y lm La parità scambiando solo z è data da l+m

∑mY l m n Y lm n'=2 l1

4Plcos

Teorema di addizione delle armoniche sferiche:

dove Pl è il polinomio di Legendre e è l'angolo compreso tra le direzioni en n'

molteplicità: per ogni l ci sono 2l+1 valori di m

Linearità della trasformata in a. s.se a=b+c, allora alm

=blm

+clm

Prime armoniche sferiche

l=0, m=0 Y00=1

4E' una costante (termine di monopolo)

l=1, m=0,±1

termine di dipolo

l=2, m=0,±1,±2

termine di quadrupolo

Descrizione alternativa della CMB: lo spazio armonico

alm=∫4dT

T n Y lm

Le mappe di brillanza delle anisotropie della CMB possono essere decomposte usando come base le armoniche sferiche:

L'ipotesi di gaussianità è valida sia nello spazio reale sia nello spazio armonico, quindi:

⟨TT

, ⟩=0

⟨TT

n TT

n'⟩=C

⟨alm⟩=0

⟨almal 'm '⟩=l l 'mm 'C l m=C l

Questa ugualianza è valida se assumiamo anche l'isotropia della CMB

L'insieme dei coefficienti C

l è

detto spettro di potenza angolare

(analogia con lo spettro di potenza ottenuto con la trasformata di Fourier)

Analogia tra spazio armonico e spazio reale

Se sotto l'ipotesi di gaussianità la funzione di correlazione a due punti contiene tutte le informazioni statistiche sulla CMB, lo stesso deve valere per il suo analogo in spazio armonico, lo spettro di potenza angolare.

C =⟨ TT

n TT

n' ⟩

=⟨∑l=0

∞

∑m=−l

lalm Y lm n∑l '=0

∞

∑m'=−l '

l 'al 'm' Y l 'm ' n'⟩

=∑l=0

∞

C l∑m=−l

lY lm n Y lm n'

=∑l=0

∞

∑m=−l

l

∑l '=0

∞

∑m'=−l '

l '⟨al mal 'm '⟩Y lm n Y l 'm ' n'

=∑l=0

∞ 2 l14

ClPlcos

TT n=∑l=0

∞

∑m=−l

lalm Y lm n

sostituendo lo sviluppo in a.s.

=l l'mm 'C l m=C l

è la def. dei Cl

usando il th. di addizione delle a.s.

(Analogo del teorema di Wiener-Khintchine per la trasformata di Fourier)

Interpretazione dello spettro di potenza angolare

C =∑l=0

∞ 2 l14

C lPlcos

C 0=2=∑l=0

∞ 2 l14

C lPl1

=∑l=0

∞ 2 l14

C l

Lo spettro di potenza angolare ci dice quanto ogni modo nello spazio armonico contribuisce al segnale osservato. In particolare, per uno spazio piatto si ha:

=

l

quindi possiamo conoscere quali sono le scale angolari caratteristiche del segnale misurato.

La presenza nello spettro di potenza di un picco a l=200 ci dice che la scala angolare tipica delle anisotropie della CMB è di ~1°.

Stima dello spettro di potenza angolare

alm=∫4dT

T n Y lm

Partendo da una mappa a tutto cielo di anisotropie della CMB possiamo calcolare i coefficienti dello sviluppo in armoniche sferiche usando la loro definizione:

In presenza di uno strumento ideale, privo di rumore e con risoluzione infinita, possiamo calcolare lo spettro di potenza come:

C l=1

2 l1∑m=−l

lal malm

E' un estimatore unbiased, perchè il valore aspettato coincide con il valore vero della grandezza:

⟨ C l ⟩=1

2 l1∑m=−l

l⟨alm alm ⟩

=1

2 l1∑m=−l

lC l

=C l

usando la def. dello spettro di potenza

usando l'isotropia della CMB

estimatore

valore vero

Natura stocastica della CMB: la varianza cosmicaCalcoliamo ora la varianza dell'estimatore appena definito:

Var { C l }=⟨ C l2⟩−⟨ C l ⟩

2

=⟨1

2 l1∑m=−l

lalm alm

12 l1∑m '=−l

lalm ' alm'⟩−C l

2

=1

2 l12{∑m=−l

l⟨alm almalm alm ⟩∑m∑m'≠m

⟨alm almalm 'alm'⟩}−C l2

=1

2 l12{2l13C l

22l1 2lC l

2}−C l

2

=1

2 l1{2l3C l

2}−C l

2

=2

2 l1C l

2

usando la def. dell'estimatore e il suo valore atteso

separando i casi m=m' e m≠m'

∫dxx4 f x =322per una gaussiana si ha

molteplicità 2l+1 molteplicità 2l(2l+1)

E' la varianza cosmica

Significato della varianza cosmica

E' un limite intrinseco alla precisione nella stima dello spettro di potenza, e di conseguenza dei parametri cosmologici, dovuto alla natura stocastica del problema. Osservando una sola realizzazione di Universo siamo limitati dalla funzione di distribuzione delle grandezze che andiamo a stimare. Anche un esperimento ideale è soggetto a questo limite.

Dal punto di vista statistico, la varianza cosmica ci dice che ogni la variabile è descritta da una distribuzione con (2l+1) gradi di libertà. Saremmo potuti giungere alla stessa conclusione con le seguenti considerazioni:●se x è una variabile gaussiana, allora x2/2 è descritta da una distribuzione con 1 grado di libertà,

●indentifichiamo x=alm

, 2=Cl

●dalla definizione dello spettro si ha che per ogni valore di l sommiamo (2l+1) variabili, ognuna descritta da con 1 grado di libertà.

2 l1 C l/C l

2

2

2

Significato della varianza cosmica

Lo spettro di potenza è definito come media d'ensemble del modulo al quadrato dei coefficienti a

lm. Avendo a disposizione una

sola realizzazione di cielo non possiamo fare la media sull'ensemble, ma possiamo simularla assumendo l'isotropia e mediando per ogni l su tutti i valori possibili di m.

Tanto più l è grande, tanti più valori di m potremo mediare e tanto più la media si avvicinerà a quella d'ensemble. Per questo motivo, la varianza cosmica decresce all'aumentare di l.

Effetto del rumore strumentaleLo spettro di potenza viene calcolato partendo dalla mappe delle anisotropie, ma per un esperimento reale nella mappa sarà presente anche il rumore strumentale. Sfruttando la linearità della trasformata in armoniche sferiche si ottiene:

dlm=∫4dd n Y lm=∫4

dTT n Y lm∫4

dn n Yl m=al mn lm

ossia i coefficienti dello sviluppo in a.s. stimati in questo modo sono la somma di quelli del segnale e di quelli del rumore. Di conseguenza:

⟨ C l ⟩=1

2 l1∑m=−l

l⟨dlm

d lm⟩=1

2 l1∑m=−l

l⟨ al mn lm almnl m⟩

=1

2 l1∑m=−l

l⟨ alm almnlm nlmalm n lmnlm alm⟩

=1

2 l1∑m=−l

lC lCl

N=C lC l

N

L'estimatore non è più unbiased e bisogna rimuovere il contributo del rumore. Una possibilità è ricavare dalle proprietà dello strumento e sottrarlo nella stima. Un'altra è combinare dati da diversi rivelatori assumendo che il rumore sia scorrelato.

C lN

Effetto del rumore strumentale

C l

C lN

C l

Effetto della risoluzione strumentale

TT,=∫4

d'B '−, '−TT ' , '

Come per il rumore, un esperimento reale ha una risoluzione angolare finita, descritta da una funzione di risposta B o, nel caso di una risposta gaussiana, dalla FWHM. Quindi, osservando una direzione , lo strumento riceve da tutto il resto del cielo dei contributi che vengono pesati con la risposta angolare. In termini matematici si tratta di una convoluzione:

n

Passando nello spazio armonico, in analogia con quanto avviene nello spazio di Fourier, l'integrale di convoluzione si riduce ad un prodotto:

dlm=∫4d∫4

d'B '−, '−TT ' , ' Y l m,=bl mal m

dove blm

sono i coefficienti dello sviluppo in armoniche sferiche

della risposta angolare. Di conseguenza:

⟨ C l ⟩=1

2 l1∑m=−l

l⟨dlm

d lm⟩=BlCl

Effetto della risoluzione strumentale

ConclusioniLa CMB va studiata in modo statistico e il modo migliore per farlo è usando lo spazio armonico e in particolare lo spettro di potenza angolare. Infatti, sotto l'ipotesi di gaussianità, lo spettro contiene tutte le informazioni statistiche, permettendo inoltre una notevole compressione del dataset da confrontare con i modelli. Infine, lavorando nello spazio armonico, molti effetti strumentali come la presenza del rumore e la risoluzione angolare del telescopio possono essere trattati facilmente.