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Interazione cinetica-turbolenza


Alberto Cuoci

Chimica e fluidodinamica della combustioneAnacapri, Villa Orlandi, 5-9 Ottobre 2009

Dipartimento di Chimica, Materiali e Ingegneria Chimica “G. Natta”Politecnico di Milano


Il problema

Modellazione numerica della combustione turbolenta

Schemi cinetici di grandi dimensioni:

- centinaia di specie chimiche

- migliaia di reazioni

Tecniche numeriche sofisticate

Codici di calcolo complessi

Risorse computazionali significative

Elevati gradienti di concentrazione e temperatura

Ampio spettro di scale temporali e spaziali

2


Interazione combustione - turbolenza

Chimica

Slow chemistry

Finite-rate chemistry

Fast chemistry

Fluido-dinamica

Scala di Kolmogorov

Tempo medio di residenza

ττττ (s)

103

100

102

101

10-1

10-4

10-2

10-3

10-5

10-8

10-6

10-7

10-9

le reazioni di combustione, a causa dell’elevato rilascio di

calore, modificano fortemente la densità e la viscosità dei

gas, provocando forti accelerazioni

la turbolenza può portare ad un più efficace mescolamento dei reagenti e quindi migliorare la

combustione; se troppo intensa può tuttavia portare all’estinzione

della fiamma

NOx

Soot

CO

Mixed - Burned

Miscelazione perfetta

3

norm

aliz

ed m

ass

fra

ctio

n

Inlet mixture: C3H8 + AirTemperature: 1800 K

Inlet mixture: C3H8 + AirTemperature: 1800 K

fuel

Adapted from Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge, 2003


Tempi chimici caratteristici 4

α

=

= ∏ji

NS

j j ii 1

r k C velocita’ di reazione

velocita’ di formazione=

= ν∑NR

ji i j

j 1

R r

∂=∂

iik

k

RJ

C

Matrice Jacobiana delle velocita’ di formazione

τ =µi

i

1 Tempi chimici caratteristici

Autovalori della matrice Jacobiana

Come e’ possibile stimare i tempi chimici caratteristici di un sistema reattivo complesso, costituito da NS specie chimiche coinvolte in NR reazioni?

=j 1,...,NR

=i 1,...,NS

==

i 1,...,NS

k 1,...,NS

=i 1,...,NS

Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge University Press, 2003


Parametri caratteristici: Damköhler

Parametro adimensionale in grado di caratterizzare la combustione: Numero di Damköhler

flow

chem

tempo caratteristico moto del fluidoDa

tempo caratteristico di reazione

τ≡ =

τ

Il tempo caratteristico del moto del fluido dipende dal sistema preso in considerazione. Ad esempio nel caso di fiamme premiscelate generalmente si ha

Tempo di vita dei grandi vortici

Tflow

rms'

L

vτ =

Da >> 1

Chimica estremamente veloce, sistema controllato dalla

fluidodinamica

Da << 1

Chimica estremamente lenta, sistema controllato dalla

cinetica

5

Controllo Fluidodinamico Controllo Cinetico

Il tempo chimico caratteristico e’ diverso per ciascuna specie.

Si possono dunque avere due comportamenti asintotici:

Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000


Modellazione della turbolenza

RANSReynolds-Averaged Navier-Stokes

Descrivono solo il flusso medio. La turbolenza deve essere modellata.

LESLarge Eddy Simulation

Descrive il moto dei grandi vortici. Le griglie di calcolo sono troppo grandi per descrivere i vortici piccoli, che vengono modellati (modelli di sottogriglia).

Le equazioni vengono risolte tal quali dopo una discretizzazione sufficientemente fine.

DNSDirect Numerical Simulation

RANS

LES

DNS

tempo

Q(t)

Modellazione dei termini di generazione

Bilancio di materia Equazioni RANS ( ) ²( ) ±'' ''

,k

i k k i k i k kj j

u V ut x x

r wr w w r w

¶ ¶ ¶+ = - + + W

¶ ¶ ¶

% %%

6


Effetto delle fluttuazioni (I)

= −

n aEk(T) AT exp

RT

La velocità di formazione di una generica specie è un termine non lineare rispetto alla composizione e fortemente non lineare rispetto alla temperatura:

i

ii

R k(T) cα= ∏

( ) ( ) ( )R , T R ', T T ' R , T= + + ≠c c c c

La complessità può essere risolta attraverso uno sviluppo in serie di Taylor intorno ai valori medi di temperatura e concentrazione

( ) ( ) ( )= = =

=

∂ ∂ ∂= + + = + + + +∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+∂ ∂ ∂

∑ ∑∑

∑

2NS NS NS' ' 'i i j

i 1 i 1 j 1c,Ti i jc,T c,T

2 2NS2 '

i2i 1 ic,T c,T

R R 1 RR , T R ', T T ' R , T c T ' c c

c T 2 c c

1 R 1 RT ' c T '

2 T 2 c T

c c c c

+ termini di ordine superiore

7

Legge di Arrhenius

Di conseguenza la velocita’ di reazione media NON coincide con la velocita’ di reazione calcolata in corrispondenza dei valori medi di temperatura e concentrazione:


Effetto delle fluttuazioni (II) 8

Applicando l’operatore di media:

( ) ( )2 2 2NS NS NS

' ' 2 'i j i2

i 1 j 1 i 1i j ic,T c,Tc,T

1 R 1 R 1 RR , T R , T c c T ' c T '

2 c c 2 T 2 c T= = =

∂ ∂ ∂≈ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑∑ ∑c c

(I) (II) (III) (IV)

I termini (II), (III) e (IV) sono direttamente associati alla non linearita’ della velocita’ di formazione rispetto alla temperatura e alla concentrazione.

Essi sono funzione delle fluttuazioni di concentrazione e di temperatura e in generale non possono essere trascurati

Questi termini devono essere modellati, ovvero espressi in funzione delle sole variabili medie

( ) ( ) CR , T R , T C= +c c


Fluttuazioni di temperatura e concentrazione

0

10

20

30

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.6

1

1.4

1.8

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

R(c

+c’

, T

+T’)

R(c

, T)

δ δ

Ea = 10000 cal/mol Eatt = 50000 cal/mol

concentrazione

temperatura concentrazione

temperatura

Le fluttuazioni di temperatura hanno un effetto estremamente importante, soprattutto sulle reazioni con elevata energia di attivazione

= −

n 2aER AT exp c

RT

Esempio: reazione del secondo ordine

T '

Tδ =

T '

Tδ =

c '

cδ =

c '

cδ =

9


Effetto delle fluttuazioni turbolente (I) 10

T

t

T

t'T T T= +

T

t

T

t'T T T= + '= +T T T

Fast chemistry: CO

Turbulent fluctuations

mean

temperature [K]equivalence ratio

CO

mo

le f

racti

on


Effetto delle fluttuazioni turbolente (II) 11

temperature [K]

equivalence ratio

soo

t vo

lum

e f

racti

on

[p

pm

]

temperature [K]equivalence ratio

NO

mo

le f

racti

on

Slow chemistry: NOx

cycle number

mole

fra

ctio

n

Finite-rate chemistry: Soot

cycle number

volu

me f

ract

ion

Steady value

Steady value

mean

mean


Effetto delle fluttuazioni turbolente (III) 12

Finite-rate chemistry: Soot

mean temperature [K]

volu

me f

ract

ion

Fast chemistry: CO


mole

fr

act

ion

Slow chemistry:NO


mole

fr

act

ion

L’effetto delle fluttuazioni di temperatura e’ piu’ difficile da descrivere nel caso del soot, principalmente a causa della

dipendenza non monotona con la temperatura stessa


Interazione tra cinetica e turbolenza 13

RANS

LES

DNS

time

Y(t)

Modello di interazione cinetica-turbolenza

(Modello di combustione turbolenta)

Finite rate chemistry: PAH e soot

Fast chemistry: CO Slow chemistry: NOx

Eddy-Dissipation (ED)Steady Laminar Flamelet

Model (SLFM)

Post-processamento cinetico basato sul disaccoppiamento tra

chimica e fluidodinamicaInterazioni tra cinetica e

turbolenza particolarmente forti

Ret

loca

l a

mo

un

t

RANS

DNS

LES

Pollutant formationPollutant formation


Modelli di combustione turbolenta

Reaction rates approach (RRA)

viene modellato solo il termine di reazione

il termine di reazione può essere calcolato off-line (all’esterno del codice fluidodinamico) e memorizzato in opportune librerie (flamelet approach) oppure deve essere calcolato on-line(EDC, PASR)

costo computazionale molto alto

buona accuratezza

Primitive variables approach (PVA)

devono essere determinati solo i campi di opportuni scalari, le variabili primitive

non vengono risolti i bilanci di temperatura e di materia sulle singole specie nel dominio di calcolo

la struttura della fiamma viene determinata off-line in funzione delle variabili primitive e memorizzata in opportune librerie

costo computazionale inferiore rispetto all’approccio Reaction Rates

1. Eddy Break-Up2. Eddy Dissipation

2. Eddy Dissipation – Finite Rate

Infinitely Fast Chemistry

1. Fast Chemistry – PDF mixture fraction

1. Eddy Dissipation Concept2. Transported PDF Flamelet Model

3. PASR

Finite Rate Chemistry

1. Flamelet Approach

Reaction Rates Approach (RRA)

Primitive VariablesApproach (PVA)

14


Metodi RRA 15

Reaction Rate Approach

1.Eddy Break-Up Model

2.Eddy Dissipation Model

3.Eddy-Dissipation / Finite-Rate Model

4.Eddy Dissipation Concept Model


Eddy Dissipation Break-Up (EBU) 16

Equazione di trasporto

Termine di reazione

ε= ρ ωκ

'' 2F EBU FR C

ε ≈κ τmix

1tempo di mescolamento

( ) ( ) '' 2F

'' 2 '' 2 '' 2TF F F

T

Rt Sc Sc

ω ∂ µ µρω + ∇ ρ ω = ∇ + ∇ω + ∂

v

''2 ''2 ''2 ''2F F F FR P D Kω ω ω ω= + +

= FO

RR

r=

+F

PR

R1 r

F rO (1 r)P+ → +Reazione irreversibile one-step

Velocita’ di reazione

Varianza della frazione massiva del fuel

velocita’ di formazione

termine di produzione

termine di dissipazione

termine di interazione con la cinetica

Spalding D.B., “Development of the Eddy Break-Up Model of turbulent combustion”, 16th Symposium

(International) on Combustion, 1976


Eddy Dissipation Break-Up (EBU) 17

( ) ( ) '' ''F O

'' '' '' '' '' ''TF O F O F O

T

Rt Sc Sc

ω ω ∂ µ µρω ω + ∇ ρ ω ω = ∇ + ∇ω ω + ∂

v

Termine di reazione '' '' '' '' '' '' '' ''F O F O F O F OR P D Kω ω ω ω ω ω ω ω= + +

Equazione di trasporto

termine di produzione

termine di dissipazione

termine di interazione con la

cinetica

Controllo Cinetico

Controllo Fluidodinamico

Tempo di mixing

Numero di Da

Il contributo di interazione con la cinetica nel termine di reazione

ha un peso notevole

Il termine di interazione con la cinetica puo’

essere trascurato

Libby A.L., Williams F. A., “Turbulent Reacting Flows”, Academic Press, 1994


Eddy Dissipation (ED)

±=%

%F ED FR Ce

r wk

Fenomeni diffusivi limitantivelocità di reazione determinata dalla velocità di

miscelazione dei vortici di combustibile e ossidante, supposti distinti

velocità di reazione del Fuel

velocità di reazione dell’ossidante

velocità di propagazione della fiamma

( )min F O PR R Rvelocità di reazione

18

±=

%

%O

O EDR Cr

wer

k

±'

1=

+

%

%P

P EDR Cr

e wr

k

( )min F O PR R R y

controllo fluidodinamico

controllo cinetico

F rO (1 r)P+ → +Reazione irreversibile one-step

Collision Mixing Model

Dae

1.0

0

Da

Si cerca di tener conto del fatto che la dissipazione non e’

distribuita uniformemente, ma concentrata in alcune regioni

Dae ~ 10-3

Magnussen B.F., Hjertager B.,H. “On mathematical modeling of turbulent combustion”, 16th Symposium (International) on

Combustion, 1976


Eddy Dissipation – Finite Rate (ED-FR)

° °,

,

1

[ ]j rNR

A j rrj

R k Ch

=

= Õ

° °exp( )n

r r ak A T E RT= -° °F FR AC

k

e=

%

%

Cinetica limitantevelocità di reazione secondo

un’espressione di tipo Arrhenius

Fenomeni diffusivi limitantivelocità di reazione determinata dalla velocità di

miscelazione dei vortici di combustibile e ossidante, supposti distinti

°±

OO

CR A

r k

e=

%

%

°±

1P

PC

R ABr k

e=

+

%

%

velocità di reazione del Fuel

velocità di reazione dell’ossidante

velocità di propagazione della fiamma

° ° ° ±( )min F O P AR R R Rvelocità di reazione

r)P(1rOF ++++→→→→++++Reazione one-step irreversibile

19


ED-FR consistente

Finite-Rate/Eddy-Dissipation

Finite-Rate/Eddy-Dissipation consistente

Cinetica

Miscelazione

Velocità netta

Diretta Inversa

Velocità nettasecondo Arrhenius

Cinetica

Miscelazione

Velocità limitante

Velocità netta

Diretta Inversa

Reazione chimica interessata da equilibrio

A + B C + D

20


Eddy Dissipation Concept (EDC)

cella di calcolo

0iw% iw%

Turbolenza prossima all’isotropia1/ 4

22.13

kl

neg

æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

frazione volumetrica delle fine structures

* 0.4082n

te

=tempo di residenza medio nelle fine structures

Fine Structures

Reattore stazionario perfettamente miscelato

* 0* * i i

i * ( , ) ir Tw w

wt-

=

*m&

prodotti

* * * i Tw r

τ *

reagenti

*m&

0iw

Reattori omogenei ed isobari

CFDVariabili calcolate dal codice

RANS

%ρ ω ε% %% % % % i u v w T k

* * * i Tω ρ

fine structure

±( )

( )3

*

* 31i i iR l

l

r gw w

t g= -

-%

21

Gran I.R., Magnussen B.F. “A numerical study of a bluff-body stabilized diffusion flame”, Combustion Science and Technology, 119 (1-6), 1996


Metodi PVA 22

Primitive Variable Approach

1.Fiamme laminari diffusive

2.Mixture fraction

3.Stutture di fiamma e Mixing

4.Probability Distribution Functions (PDF)


Flamelets laminari 23

air

fuel

o basso stretchingo basso strain rate

o alto stretchingo alto strain rate

Fiamma turbolenta non premiscelata

Insieme di flamelets

oxygen

fuel

temperature

air diffusion layer

fuel diffusion layer

fuel

air

airair

fuel

Flamelet laminare

Le fiamme turbolente non premiscelate possono essere viste

localmente come un insieme di flamelets laminari, con

caratteristiche fluidodinamiche che dipendono dallo stretching della

fiamma turbolenta


Fiamme laminari diffusive 24

Il picco di temperatura, la posizione della fiamma e dei picchi dei prodotti principali sono in corrispondenza della

composizione stechiometrica

( )∂ωρ = + ρΓ ∇ ∇ ∇ ω∂

2kk kR z z

t

Fronte di fiamma Piano di ristagno

In generale, nel caso di combustione in aria e per fiamme non troppo sbilanciate, il fronte di fiamma e’ localizzato sul

lato aria


Strain rate 25

All’aumentare dello strain rate si osserva la deformazione dei profili di temperatura e

velocità assiale fino ad arrivare allo spegnimento della fiamma.

Soluzione spenta

-80

-40

0

40

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Strain rate

Distanza dall’ugello aria [cm]

Velo

cità

ass

iale

[cm

/s]

0.5

O C C

O O

2v vK 1

L v

ρ = + ρ

Lo Strain rate è una stima del tempo di residenza in fiamma.

Formula approssimata per il calcolo dello strain rate:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Distanza dall’ugello aria [cm]

Tem

pera

tura

[K]

500

1000

1500

2000

2500

Strain rate

Soluzione spenta


Z1 Z2 Z3

Mixture fraction 26

( ) ( ) [ ]∂ ρω + ∇ ρ ω = ∇ ρΓ∇ω +∂ k k k kRt

v

= ω − ω1 F OZ r = + ωP2 F

C TZ

Q= + ωP

3 O

C TZ r

Q

( ) ( ) ( )∂ ρ + ∇ ρ = ∇ ρΓ∇∂ j j jZ Z Zt

v

−=

−

oj j

i F Oj j

Z Zz

Z Z( ) ( ) ( )∂ ρ + ∇ ρ = ∇ ρΓ∇

∂ i i iz z zt

v

=iz 0

=iz 1

( ) ( ) ∂ λρ + ∇ ρ = ∇ ∇ω − ∂ k F

P P

QT T R

t C Cv

Scalare passivo

Lato fuel Lato ossidante

ω0Fr −ω0

O

+ ω0

0P FF

C TQ

0P OC TQ

0P FC T

rQ

+ ω0

0P OO

C Tr

Q

1Z

2Z

3Z

Equazione di conservazione delle specie

Equazione di conservazione dell’energia

( )+ → +F rO 1 r PReazione irreversibile

Lato fuel

Lato ossidanteMixture fraction Equazione di trasporto

I numeri di Lewis per le diverse specie sono assunti unitari e il calore specifico

indipendente dalla temperatura

Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001


Equazioni Flamelets non stazionerie

Struttura di fiamma nello spazio z 27

∂ρ = + ρχ∇∂

2T

T 1R T

t 2

∂ωρ = + ρχ∇ ω∂

2kk k

1R

t 2

( )=T T t,z( )ω = ωk k t,z ( )=T T z

1x

3x

2x

3y

2y

∇z

piano tangente alla superficie iso-z

superficie iso-z

( )ω = ωk k z

Equazioni Flamelets stazionarie

= − ρχ∇2T

1R T

2

= − ρχ∇ ω2k k

1R

2

Struttura di fiamma

la struttura di fiamma dipende solo dalla mixture fraction z (e dal tempo t)

Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001

( )χ = Γ ∇ ∇2 z z

Scalar Dissipation Rate


Struttura di fiamma-Mixing 28

1. Struttura di fiamma

Determinazione dei campi ωk(z) e T(z)

scalar dissipation rate

Soluzione del problema

T(xi) - ωk(xi)

2. Mixing

Determinazione del campo z (xi)

Condizioni al contornoCondizioni iniziali

GeometriaCampo di moto

Cinetica chimicaTermodinamica

La descrizione della struttura di fiamma puo’ avvenire secondo

diversi approcci, a seconda del grado di accuratezza desiderato:

-approccio mixed-burned- equilibrio- flamelets

La determinazione del campo della mixture fraction richiede la risoluzione di una corrispondente

equazione di trasporto


E’ attraverso lo scalar dissipation rate che si tiene conto degli

effetti di mixing sulla struttura di fiamma


Modelli di struttura di fiamma (I) 29

Problema. Determinare la struttura di fiamma, ovvero i seguenti legami funzionali:

( )=T T z ( )ω = ωk k z

Soluzione: Approccio CFDF (Counter-Flow Diffusion Flames)

1. Risolvere una fiamma a controdiffusione laminare ad un assegnato strain rate

2. Calcolare la mixture fraction in ogni punto della fiamma a partire dalla sua definizione

3. Riparametrizzare la soluzione non piu’ in funzione della coordinata spaziale, ma della mixture fraction

1 3Fiamma parametrizzata in funzione della mixture fraction e dello strain rate

Fiamma a controdiffusione ad un assegnato strain rate


Modelli di struttura di fiamma (II) 30

Soluzione: Approccio Flamelets

Si risolvono direttamente le equazioni delle flamelets stazionarie nello spazio della mixture fraction

Lo scalar dissipation e’ funzione della mixture fraction secondo la seguente espressione

Fiamma parametrizzata in funzione della mixture fraction e del massimo valore

dello scalar dissipation rate

= − ρχ∇2T

1R T

2= − ρχ∇ ω2

k k

1R

2

( )− − − χ = χ

212 erf 1 2z

0e

A rigore questa espressione e’ valida solo se avviene un’unica reazione irreversibile e infinitamente veloce

χ =π0

K

Le strutture di fiamma risultano essere parametrizzate in funzione della mixture fraction e

dello scalar dissipation rate massimo χ0

Legame tra scalar dissipation rate e strain rate

- Basse richieste computazionali- Buona descrizione della struttura di fiamma per

specie relativamente veloci

-Presuppone numeri di Lewis unitari per tutte le specie chimiche e quindi non tiene conto degli effetti di

diffusione differenziale- Non e’ adeguato per la descrizione di specie dalla

chimica lenta

Vantaggi

Svantaggi


Modelli di struttura di fiamma (III) 31

temperatura

O2

CH4

temperatura

O2

CH4

Soluzione: Approccio Mixed Is Burned

Soluzione: Equilibrio

Se si assume che avvenga un’unica reazione irreversibile infinitamente veloce esiste una soluzione analitica delle equazioni flamelets

La soluzione non dipende dallo scalar dissipation rate

Non e’ possibile la coesistenza di combustibile e ossigeno

La soluzione non dipende dallo scalar dissipation rate

Puo’ essere pensata come la soluzione flamelet nel caso limite in cui lo scalar dissipation rate

tenda a zero


Mixing 32

( ) ( ) ∂ µ µρ + ∇ ρ = ∇ + ∇ ∂ % % %T

T

z z zt Sc Sc

v

( ) ( ) ∂ µ µ ερ + ∇ ρ = ∇ ∇ + ∇ ∇ − ρ ∂ κ % % % %'' 2 '' 2 '' 2T T

T T

z z z 2 z z C zt Sc Sc

v

Il campo della mixture fraction viene determinato attraverso la corrispondente equazione di trasporto, ricavata a partire dalla definizione stessa di mixture fraction

Equazione di trasporto della mixture fraction

In generale, oltre al valor medio della mixture fraction, e’ necessario avere anche a disposizione delle informazioni sulle sue fluttuazioni turbolente

Equazione di trasporto della varianza della

mixture fraction

Mixture fraction (valore medio)

Varianza della Mixture fraction

Scalar Dissipation Rate

'' 2z

%z

( )χ = Γ ∇ ∇% %2 z z


Codice CFD - Flamelets 33

-Temperatura media- Composizione media

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1z

P(z

)

Mixture Fraction PDF

Flamelet (laminare)

Codice CFD

Effetto della turbolenza


Probability Distribution Function (PDF) 34

( )+∞

−∞

=∫ P z dz 1 ( )+∞

−∞

= ∫%z zP z dz ( ) ( )+∞

−∞

= = −∫ %2''2g z z z P z dz

La funzione densità di probabilità di una variabile casuale continua x è la curva che delimita la probabilità che un certo evento cada in un intervallo assegnato

z

t

z

P(z)

media varianza


Double Delta Function (I) 35

P(z)

z10

Region 4a0

P(z)

z1z-

Region 3

a0P(z)

zz+z-

Region 1P(z)

zz+0

a0 Region 2

Region 1

Region 4

Region 3

Region 2

g

z1

a0

Si assume che la fluttuazione possa essere descritta come uno stato di intermittenza tra z- e z+%z

%z%z

%z %z

z

t

z+

z-

Il principale vantaggio associato all’uso della Double Delta

Function e’ associato al suo costo computazionale

estremamente basso, che non richiede in generale la costruzione di una libreria flamelet ad hoc in

una fase di pre-processing

Yeoh G.H., Yuen K.K., “Computational Fluid Dynamics in Fire Engineering Theory, Modelling and Practice”,

Butterworth-Heinemann Ltd, 2009


Region 1 Region 2

Region 3 Region 4

Double Delta Function (II) 36

−

+

= −

= +

%

%

z z g

z z g

( ) ( ) ( )+

= δ + δ

+ +

%

%%

%

2

g zP(z) 0 z

gz g zz

−

+

=

= +%z 0

z z g

( )( )

( )−

− = δ + δ − + − +

−

%

%%%

2

1 z gP(z) z 1

g 1 z g1 z1 z

−

+

= −

=

%z z g

z 1

( ) ( ) ( )= − δ + δ% %P(z) 1 z 0 z 1

( )= −% %g z 1 z

( ) ( )− += δ + δP(z) 0.5 z 0.5 z


Clipped Gaussian 37

P(z)

z0 1

µ = −σ =

0.02

0.03 µ =σ =

0.2

0.05 µ =σ =

0.5

0.07

µ =σ =

0.9

0.1

( ) ( ) ( ) ( ) − µ

= δ + − − − + δ σσ π

2

0 1

1 1 zP(z) A 0 exp H z H z 1 A 1

22

−∞

− µ = − σσ π ∫

20

0

1 1 zA exp dz

22

+∞ − µ = − σσ π ∫

2

11

1 1 zA exp dz

22

− µ = − σσ π ∫%

21

0

1 1 zz exp dz

22

( ) − − µ = − σσ π ∫

%2 21

0

z z 1 zg exp dz

22

Per la mixture fraction non e’ possibile utilizzare direttamente una funzione di

distribuzione di probabilita’ Gaussiana, dal momento che questa ha un supporto infinito, mentre al contrario la mixture fraction deve

essere limitata tra 0 e 1

Si ricorre quindi ad una Clipped Gaussian, cioe’una Gaussiana definita sull’intervallo (0;1) e

completata con due delta di Dirac nelle posizioni 0 (ossidante puro) e 1 (combustibile puro)


ββββ−−−−PDF

La PDF più diffusa nell’ambito della combustione è la cosiddetta ββββ-PDF

( ) ( )b 1a 1a bP(z) z 1 z

(a) (b)

−−Γ += −

Γ Γ

Dove la funzione Γ è definita:

( ) t x 1

0

x e t dt∞

− −Γ = ∫

I due parametri a e b della funzione sono ottenuti dalla media e varianza della mixture

fraction

( )z 1 za z 1

g

−= −

% %%

ab a

z= −

%

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z = 0.5 z”2 = 0.002

z”2 = 0.01

z = 0.5

z”2 = 0.2

z = 0.7

z

P(z

)

38

z = 0.2

z”2 = 0.02

La β-PDF e’ in grado di descrivere abbastanza correttamente la vera PDF della mixture fraction in un

ampio range di casi. In particolare tende ad una doppia delta di Dirac quando la varianza e’ molto elevata. Al contrario il suo comportamento diventa molto simile a quello di una Gaussiana quando la

varianza di z e’ molto piccola.


Infinitely Fast Chemistry

Variabili trasportate dal codice RANS

r

u v w% % %

² 2''

z

z

%

Modello di turbolenza

k

e

%

%

Soluzione

i

T

w%

%

1

0

( ) ( )F F z pdf z dzr r= × ×ò%

Struttura locale della fiamma

mixture fraction

Temperatura

FuelOssigeno

PDF della mixture fraction

mixture fraction

39


Finite Rate Chemistry

Struttura locale della fiammaVariabili risolte dal codice RANS

r

u v w% % %

² 2''

z

z

%


Soluzione

T%

Modellazione della scalar dissipation

rate

1

0 0

( ) ( )F F pdf pdf z d dzr r c c¥

= × × ×ò ò%


mixture fraction±'' 2( , , )st st k zc c e= %%%

k

e

PDF scalar dissipation rate


iw%

40


Reaction Rate - Flamelets

Struttura locale della fiammaVariabili risolte dal codice RANS

ρ u v w% % %

² 2''

z

z

%


k

e

Termini di generazione


Modellazione della scalar dissipation

rate ±'' 2( , , )st st k zc c e= %%%

1

0 0

( ) ( )R R pdf pdf z d dpr r c c¥

= × × ×ò ò%mixture fraction

Ωi(z,χ)RiR% TR%T%

iw%

PDF scalar dissipation rate

scalar dissipation ratemixture fraction

41


Testi consigliati 42

Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001

Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge, 2003

Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000

Libby A.L., Williams F. A., “Turbulent Reacting Flows”, Academic Press, 1994

Yeoh G.H., Yuen K.K., “Computational Fluid Dynamics in Fire Engineering Theory, Modelling and Practice”, Butterworth-Heinemann Ltd, 2009

Acknowledgements 43/20

Chemical Reaction Engineering and Chemical Kinetics

Tiziano FaravelliAlessio Frassoldati

Eliseo Ranzi

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