Vediamo ora le implicazioni che si hanno nel processo di campionamento che un ADC deve certamente operare.

Due sono i principali effetti che si hanno col processo di campionamento: la “conoscenza” del segnale analogico avviene solo in certi istanti di tempo (mentre in origine il segnale è tempo-continuo); l’ampiezza del segnale è tradotta in un numero avente (ovviamente) un numero finito di “cifre” → l’ampiezza da continua diviene discreta.Il primo fenomeno porta a un limite in termini di legame tra periodo di campionamento e periodo del segnale → limite di Nyquist.Il secondo porta all’introduzione di un errore che verrà visto come una sorta di rumore che si sovrappone al segnale quando l’ADC presenta la sua uscita → rumore di quantizzazione.Oltre a questi esistono altre problematiche. Una delle più importanti è quella di dover mantenere entro 1 LSB qualunque variazione del segnale di ingresso (altrimenti non ha senso parlare di risoluzione con 1 LSB). In pratica, la variazione del segnale di ingresso deve essere mantenuta in 1 LSB nel tempo in cui l’ADC è impegnato nella sua conversione.

L’effetto di un campionamento con un periodo al di sotto di un certo limite (limite di Nyquist) si comprende facilmente con la rappresentazione riportata.Campionando la sinusoide di ingresso con un periodo troppo lungo si rischia di pensare di riprodurre una sinusoide di frequenza più bassa di quella del segnale di ingresso e pari alla differenza tra quella del segnale e quella di campionamento. Come vedremo tra breve, campionando a frequenza fs si moltiplica lo spettro del segnale di ingresso per impulsi posti a distanza fs uno dall’altro. Dalla moltiplicazione abbiamo allora segnali a frequenza pari a |fa±fs|.

L’operazione di campionamento si comprende ancor meglio vedendo cosa accade nel dominio della frequenza.Il campionatore è, in frequenza, rappresentato da una serie di impulsi di frequenza nfs (dove fs è la frequenza di campionamento e n un intero).L’effetto del campionamento è quindi quello di produrre repliche del segnale su multipli della frequenza di campionamento.E’ ovvio che per evitare che le repliche si sovrappongano la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della massima frequenza del segnale di interesse. Si parla in questo caso di frequenza di Nyquist come pari a fs/2, dove fs è la frequenza di campionamento. Bisogna allora sottolineare che il segnale di ingresso deve essere filtrato nella banda di interesse per evitare il fenomeno di aliasing: segnale di ingresso fuori banda verrebbe altresì riportato dal campionatore entro BW.

Il caso generale di sistema di acquisizione è riportato in figura.Il segnale di ingresso sarà un segnale variabile nel tempo. Fanno eccezione i multimetri digitali studiati appositamente per la conversione di segnali di ampiezza costante.Il limite di Nyquist ci dice che se l’ADC impiega 1 μs per una conversione potremmo inviare al suo ingresso segnali aventi una frequenza, al limite, fino a 500 kHz che saranno correttamente convertiti.In realtà, immaginando che sia applicata una sinusoide in ingresso, ci sono periodi in cui la variazione del segnale potrebbe non essere trascurabile nel microsecondo che il convertitore impiega per il suo lavoro di elaborazione.Il valore di variazione del segnale nel periodo di conversione deve essere inferiore a 1 LSB. È facile calcolare che nel caso di un convertitore a 12 bit il limite di frequenza è sotto gli 80 Hz: oltre questo valore il segnale cambia oltre 1 LSB. Le cose migliorano (di un fattore 4) se l’ADC è a 10 bit ma siamo sempre ben lontani dalle possibilità di 500 kHz teorici.Appare allora chiaro che per risolvere questo problema dobbiamo usare un amplificatore Sample-and-Hold (SHA).Questa è una regola basilare: un ADC deve avere in ingresso sempre un circuito di campionamento e mantenimento SHA.

L’ulteriore analisi riguarda il rumore di quantizzazione introdotto intrinsecamente da un ADC.L’elemento fondamentale, quale modello, di un ADC è il QUANTIZZATORE: la dinamica d’ingresso viene suddivisa in un numero finito (2N) di intervalli. L’uscita assume il medesimo valore, pari alla metà di ciascun intervallo, per tutti i valori di ingresso appartenenti allo stesso intervallo.Rispetto al segnale u(n) originario, quello d’uscita, y(n), conterrà allora un segnale d’errore che deriva proprio dall’operazione di quantizzazione svolta. Al campione originario u(n) è come se venisse aggiunto l’errore e(n) di quantizzazione.Mentre il modello di sommatore rappresenta fedelmente l’opera di quantizzazione, per uno studio più agevole e intuitivo vengono assunte delle approssimazioni per e(n). Un’ottima posizione consiste nel considerare e(n) come rumore bianco i cui valori si distribuiscono uniformemente tra -q/2 e +q/2, essendo q la differenza tra due livelli contigui del quantizzatore.Vediamo quanto l’ipotesi di rumore possa essere veritiera nei casi pratici.

In base all’analisi di Bennett (1948), l’ipotesi di spettro uniforme (rumore bianco) per il rumore di quantizzazione introdotto da un ADC risulta idonea nella maggior parte dei casi pratici. Tipicamente, infatti, q risulta ben inferiore alla dinamica del segnale di ingresso tanto che campioni successivi differiscono tra loro per diversi livelli di quantizzazione.A rafforzare l’ipotesi c’è anche il fatto che frequenza del segnale d’ingresso e frequenza di campionamento non risultano correlate tra loro. In pratica, allora, i valori di e(n) che si ottengono si distribuiranno casualmente all’interno dell’intervallo [-q/2, +q/2].Vediamo meglio cosa accade.

Nel dominio del tempo, qual è l’effetto della digitalizzazione di una sinusoide di ampiezza picco-picco pari alla massima dinamica d’ingresso dell’ADC?L’uscita dell’ADC sarà costituita da parole digitali presentate con cadenza pari alla frequenza fs di campionamento. Se tali uscite vengono inviate a un DAC (di precisione più elevata dell’ADC sotto esame) l’effetto del campionamento e quantizzazione sarà ben visibile rispetto al segnale d’ingresso. CAMPIONAMENTO significa catturare il segnale in certi istanti di tempo. Tra questi istanti l’uscita sarà mantenuta al valore convertito. La frequenza con cui il segnale viene catturato è denominata frequenza di campionamento. Per Nyquist, fs deve essere almeno il doppio della massima frequenza del segnale da campionare (altrimenti si incorre nello aliasing). Campionare a frequenza superiore al limite di Nyquist è noto come sovracampionamento (oversamplig), alla base dei convertitori .QUANTIZZAZIONE è l’effetto che si ha suddividendo l’ampiezza continua del segnale di ingresso in un numero discreto di possibili intervalli (16 nell’esempio di figura). Questo significa che la maggior parte dei campioni non sarà convertito nel valore vero ma in quello più prossimo. La differenza tra valore esatto e quello reso dall’ADC è proprio l’errore di quantizzazione. L’errore massimo che si dovrebbe avere è ±½LSB cioè il limite di risoluzione del quantizzatore.

Si noti che per l’esempio riportato nella figura a sinistra l’uscita del DAC presenta errori anche superiori a ±½LSB. Potremmo diminuire tale errore aumentando la frequenza fs di campionamento come mostrato nella figura a destra. [Aumentando fs, qual è il valore limite di campioni che possiamo avere in un periodo della sinusoide?Al limite possiamo fare in modo che l’ADC presenti in uscita tutti i codici. In particolare, in ¼ di periodo della sinusoide avremo al massimo 2N-1 codici (segnale bipolare) e quindi 2N+1 campioni in un periodo. Il data-rate massimo di campioni successivi diversi (e cioè significativi) in uscita dall’ADC sarà allora 2N+1fs.]Intuiamo che se la frequenza del segnale di ingresso e quella di campionamento non sono correlate l’errore di quantizzazione prodotto sarà praticamente casuale.Ci domandiamo allora quale possa essere lo spettro di un tale rumore di quantizzazione.

Vediamo di nuovo cosa abbiamo nel dominio della frequenza.Come detto, il segnale di ingresso viene filtrato nella banda di interesse per evitare il fenomeno di aliasing.Alle repliche del segnale su multipli della frequenza di campionamento si sovrappone il rumore di quantizzazione.Lo studio del suo spettro consentirà di ricavare il rapporto segnale-rumore massimo ideale che possiamo avere per un ADC.

Uno studio accurato dello spettro del rumore di quantizzazione è stato svolto da Bennett nel 1948 e riportato nell’articolo: “Spectra of Quantized Signals” il cui riferimento è mostrato in figura.Bennett (con non pochi passaggi matematici) dimostra che lo spettro è evanescente e tanto più “largo” quanti più bit si usano.Il risultato fondamentale è che l’area sottesa dallo spettro di rumore è praticamente costante è può essere stimata con dei semplici ragionamenti.Si noti che lo spettro di rumore si estende ben oltre la banda del segnale di ingresso.L’andamento pressoché Gaussiano è praticamente costante entro la banda di interesse. Una buona approssimazione è di considerarlo costante fino al limite della banda di Nyquist: fs/2.Questo permetterà di calcolare il valore massimo del rapporto segnale-rumore.

Questo è ciò che effettivamente vedremmo con una FFT dell’uscita del DAC.Stiamo considerando un ADC ideale in cui cioè l’unico errore è quello di quantizzazione. (Errori dovuti a offset, guadagno, INL, DNL,…, di cui si parlerà più avanti, sono tutti nulli.)Nello spettro è ben riconoscibile il segnale sinusoidale (riga a f0).Lo spettro mostra la presenza di altre righe di potenza inferiore distribuite uniformemente dalla DC. Questo è lo spettro del rumore di quantizzazione che ha senso fino a fs/2. Dobbiamo ricordare che ciascun campione presenta, rispetto al valore della sinusoide di ingresso, un errore sull’ampiezza entro ±½LSB. E’ questo errore casuale, presente per ogni campione, che genera il piedistallo che vediamo nella FFT. (A questo piedistallo, come detto, non contribuiscono, altre sorgenti di rumore inevitabilmente presenti nella realtà.)Facendo la somma delle ampiezze RMS alle diverse frequenze, in rapporto all’ampiezza riscontrata alla frequenza del segnale di ingresso (al limite pari alla massima dinamica dell’ingresso) otteniamo la nota formula SNRmax=6.02N+1.76dB (che dimostreremo più avanti).Possiamo anticipare che la formula indica che per incrementare il rapporto S/N dobbiamo aumentare il numero di bit dell’ADC: 6dB per ogni bit (1 bit in più significa raddoppiare il numero di livelli e quindi ridurre della metà l’entità dell’errore. In effetti 2 equivale a 6dB). Ovviamente, aumentare la risoluzione dell’ADC produrrà una riproduzione più fedele del segnale d’ingresso.(Vedremo che nei si usa un altro approccio. L’ADC è a 1 bit, per i vantaggi che offre. L’accuratezza è incrementata con oversampling e noise-shaping.)

Come suggerito da Bennett, l’andamento nel tempo del segnale di rumore è del tipo a dente di sega.È ovvio che ciò rappresenta un’approssimazione di quello casuale che avremmo nella realtà ma se “fotografiamo” l’errore in certi periodi di tempo, confrontabili col periodo del segnale di ingresso, l’andamento a dente di sega è quello che effettivamente vedremmo.In questo caso il calcolo della potenza del rumore è notevolmente semplificato.In pratica trovando la potenza di un segnale di questo tipo riusciamo a ottenere la stima cercata dell’area sottesa dallo spettro di rumore analizzato da Bennett.

L’andamento a dente di sega del rumore di quantizzazione consente facilmente di calcolare il valore quadratico medio utile per ricavare il rapporto segnale/rumore.Si ottiene q2/12 e il valore non dipende dalla frequenza di campionamento fs.Lo spettro è allora effettivamente piatto (come nel caso di rumore bianco) e va compreso nella banda di Nyquist ±fs/2.Il risultato non è esattamente corretto ma costituisce un’ottima approssimazione per la maggior parte dei casi pratici. (Nell’analisi completa di Bennett il valore di q2/12 è effettivamente un’ottima stima dell’area sottesa dagli spettri mostrati precedentemente con i grafici tratti dal suo articolo.)

Volendo calcolare il valore massimo che possiamo avere per il rapporto segnale-rumore, immaginiamo che l’ingresso sia una sinusoide con ampiezza di picco pari all’intera dinamica dell’ADC, cioè q2N/2 (segnale bipolare).Il rapporto dei valori efficaci di segnale e di rumore ci consente di calcolare SNRMAX.Come dimostrato da Bennett, questo rapporto rappresenta un’ottima approssimazione per molti casi pratici.Va sottolineato che il rumore si estende nella banda di Nyquist mentre, spesso, il segnale ha frequenza ben inferiore al limite di fs/2. Da qui viene l’idea del beneficio di un sovracampionamento: utilizzare una fs elevata rispetto a quella massima del segnale in modo che nella banda di interesse ci sia meno rumore. È questo il principio cardine su cui si basano i convertitori .

Riassumendo:il risultato fondamentale nel calcolo del rapporto segnale/rumore massimo che possiamo avere per un ADC è di circa 6 dB per ogni bit di risoluzione.Se il campionamento è fatto a una frequenza superiore a quella limite di Nyquist (il doppio della frequenza massima del segnale di ingresso), quando andiamo a filtrare nella banda di interesse otteniamo una diminuzione del rumore e quindi l’incremento scritto per l’SNR: 3 dB per ogni ottava di aumento di fS (*).In base alle conoscenze ora acquisite apparirà più chiara l’interpretazione di uno spettro FFT svolta sui campioni di uscita di un ADC e che spesso troviamo sul datasheet del componente.

(*) Questa rappresenta la base per la realizzazione dei convertitori sigma-delta.