CARATTERIZZAZIONE DEL FLUSSO NEUTRONICO NEL … universita degli studi di pavia facolta di scienze...
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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA
FACOLTA DI SCIENZE MM. FF. NN.
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE FISICHE
CARATTERIZZAZIONE DEL FLUSSONEUTRONICO NEL COMPLESSO
MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICO SM1DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Relatore:
Dott. Ing. Andrea Borio di Tigliole
Correlatori:
Dott. Daniele Alloni
Dott. Michele Prata
Tesi di laurea di
Andrea Cazzola
anno accademico 2009/10
Indice
Introduzione i
1 Elementi di Fisica dei reattori nucleari 1
1.1 La fissione nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Energia rilasciata nella fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Equazione di bilancio dei neutroni . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Calcolo del coefficiente di moltiplicazione . . . . . . . 9
1.4 Sezioni d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Scattering elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Scattering anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Accelerator Driven Systems e la Struttura Moltiplicante
sottocritica “SM1”dell’Universita di Pavia 19
2.1 Struttura degli ADS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Trattamento delle scorie nucleari con gli ADS . . . . . 27
2.2 Geometria della Struttura Moltiplicante SM1 . . . . . . . . . 31
2.2.1 Il contenitore e il coperchio . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Le griglie distanziatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Elementi di combustibile . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Acqua di moderazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 La sorgente di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Simulazione mediante codice Monte Carlo MCNP 39
3.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Configurazione del reticolo di elementi di combustibile 39
3.1.2 Sorgenti utilizzate nelle simulazioni . . . . . . . . . . . 40
i
INDICE
3.1.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Misure di flusso nella struttura moltiplicante sottocritica
“SM1” 79
4.1 Svolgimento delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1 Irraggiamento e Conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2 Calcolo dell’attivita specifica a saturazione . . . . . . 87
4.1.3 Ricostruzione del flusso neutronico mediante
SAND II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Conclusioni 95
A Teoria del trasporto 105
A.0.4 Densita e flusso neutronico . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.0.5 L’equazione del trasporto dei neutroni in forma inte-
gro - differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.0.6 Sistemi moltiplicanti e condizione di criticita . . . . . 111
A.0.7 Rappresentazione integrale dell’equazione del trasporto 112
B Teoria della diffusione 115
B.0.8 Legge di Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C Il codice MCNP 119
C.0.9 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C.0.10 Introduzione alla caratteristiche di MCNP . . . . . . . 122
C.0.11 Utilizzo del codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.0.12 Tipo di simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.0.13 Caratteristiche della sorgente . . . . . . . . . . . . . . 130
D Il codice SAND II 131
D.0.14 Descrizione dell’algoritmo di SAND II . . . . . . . . . 132
Bibliografia 137
ii
Introduzione
Il combustibile esausto, prelevato dalle centrali nucleari, costituisce il
componente principale delle scorie nucleari. La parte piu pericolosa di queste
scorie e limitata a pochi elementi (Plutonio, Nettunio, Americio, Curio) e
alcuni prodotti di fissione a lunga vita media come lo Iodio-129 e il Tecnezio-
99, in concentrazioni di alcuni grammi per tonnellata.
Ad oggi nell’Unione Europea vengono prodotte approssimativamente 2500
tonnellate di combustibile esaurito all’anno, contenenti circa 25 tonnellate
di Plutonio, 3.5 tonnellate di attinidi minori (Nettunio, Americio e Curio) e
3 tonnellate di prodotti di fissione.
Queste elementi radioattivi, anche se presenti in piccole quantita, possono
costituire un grande pericolo per l’ambiente, se non adeguatamente gestiti.
Percio il loro stoccaggio richiede che siano convenientemente isolate e poste
per lunghi periodi di tempo in siti profondi e geologicamente stabili.
Una misura del rischio di questi elementi e fornita dalla tossicita e in par-
ticolare dalla radiotossicita. Come livello di riferimento normalmente viene
considerata la radiotossicita associata alla quantita di materiale grezzo (os-
sia il minerale di Uranio in miniera) necessaria a produrre 1 tonnellata di
Uranio arricchito, considerando non solo gli isotopi dell’Uranio, ma anche le
loro famiglie radioattive.
La radiotossicita dei prodotti di fissione domina durante i primi 100 anni di
stoccaggio del combustibile esaurito, poi diminuisce e raggiunge il livello di
riferimento dopo circa 300 anni. La radiotossicita a lungo termine e domi-
nata solamente dagli attinidi, principalmente isotopi di Plutonio e Americio.
Per il combustibile esausto non riprocessato il livello di riferimento e rag-
giunto dopo periodi superiori a 105 anni.
Queste sono le basi delle motivazioni che hanno portato alla nascita, in tut-
to il mondo, di programmi chiamati di Partizione e Trasmutazione (P&T)
e allo sviluppo di impianti dedicati allo smaltimento delle scorie, come gli
i
CAPITOLO 0. INTRODUZIONE
Accelerator Driven Systems.
Le tecniche di P&T potrebbero ridurre drasticamente (di un fattore 100 o
superiore) sia la massa, sia la radiotossicita delle scorie nucleari che dovranno
poi essere immagazzinate nei depositi definitivi, riducendo quindi il tempo
di confinamento necessario affinche la loro radiotossicita raggiunga il livello
di riferimento.
Questo sara possibile perche tali tecnologie potranno permettere la separa-
zione (partizione) degli elementi piu pericolosi, ossia il Plutonio (Pu), gli at-
tinidi minori (MA: Nettunio, Americio, Curio) e alcuni prodotti di fissione a
lunga vita media (LLFP)- dalle scorie nucleari e trasmutarli (trasmutazione)
in elementi stabili o a vita media piu breve. La trasmutazione degli elementi
a lunga emivita risulta essere particolarmente efficiente se vengono impiegati
impianti nucleari a spettro veloce.
In questo lavoro di tesi, dopo aver introdotto e spiegato in generale la re-
alizzazione e il funzionamento di un Accelerator Driven Systems, vengono
descritti gli studi e i risultati preliminari effettuati sulla struttura moltipli-
cante sottocritica SM1 dell’Universita degli Studi di Pavia, al fine di utiliz-
zarla come impianto di ricerca sulla trasmutazione degli elementi a lunga
emivita contenuti nelle scorie nucleari.
In modo particolare verranno descritte le misure realizzate presso l’impianto
SM1 ai fini della caratterizzazione del suo flusso neutronico e le simu-
lazioni dell’impianto svolte mediante codice Monte Carlo MCNP. I risultati
delle misure sono stati susseguentemente utilizzati per la validazione delle
simulazioni.
ii
Capitolo 1
Elementi di Fisica dei
reattori nucleari
In questo capitolo vengono trattati alcuni argomenti basilari della fisica
di un reattore nucleare, come la fissione nucleare, l’equazione di bilancio
dei neutroni, le sezioni d’urto e l’energia rilasciata nel processo di fissione.
Altri argomenti, come la teoria del trasporto e la teoria della diffusione dei
neutroni, di cui e stata redatta una trattazione sintetica, sono riportate in
Appendice A.
1.1 La fissione nucleare
Il processo di fissione
La fissione nucleare e una particolare reazione, nella quale un nucleo si
frammenta in due nuclei piu leggeri, detti prodotti di fissione, liberando un
numero variabile di neutroni. Il processo di fissione puo essere spontaneo
oppure indotto: nel primo caso il nucleo genitore si scinde autonomamente;
nel secondo caso, invece, la fissione del nucleo e indotta, in generale, dal
bombardamente con neutroni. I prodotti di fissione solitamente non sono
mai nuclei dello stesso elemento, ma di due elementi distinti, la cui som-
ma delle masse non puo comunque essere maggiore di quella del nucleo di
partenza. In Figura 1.1 sono mostrate le distribuzioni di massa dei prodotti
di fissione di 235U , 233U e 239Pu. Si puo anche notare che nel caso di fissione
indotta i prodotti variano a seconda dell’energia del neutrone incidente.
1
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Figura 1.1
Curve di probabilita di creazione di un elemento nel processo di fissione in
funzione nel numero di massa atomica. Sono considerate fissioni di 233U , 235U e239Pu. Si puo notare anche la diversita delle curve a seconda che il neutrone
incidente sia termico o con un’energia di 14 MeV.
I neutroni emessi dalla reazione di fissione possono essere distinti in due
gruppi:
Piu del 99% dei neutroni vengono emessi istantaneamente e sono
chiamati neutroni pronti;
Meno del’ 1% dei neutroni vengono emessi con certo ritardo tempo-
rale (dovuto all’emissione di neutroni per decadimento dei prodotti di
fissione) e sono chiamati neutroni ritardati.
Tali neutroni vengono emessi con uno spettro energetico continuo, il cui
andamento e mostrato in Figura 1.3, e possono essere suddivisi in tre gruppi
a seconda della loro energia:
Neutroni termici o lenti : con energia inferiore a circa 0.5 eV;
2
1.1. LA FISSIONE NUCLEARE
Neutroni epitermici : con energia compresa nel range 0.5 ÷ 105 eV;
Neutroni veloci : con energia superiore a 105 eV.
Bilancio energetico
Il bilancio energetico della reazione di fissione e definito sostanzialmente
dal confronto fra l’energia di legame media per nucleone del nucleo di parten-
za e quella dei prodotti finali. L’andamento di questa energia con il numero
di massa del nucleo e mostrato in Figura 1.2.
Figura 1.2
Energia di legame per nucleone, in funzione del numero di massa.
Si puo osservare come l’energia di legame aumenti all’aumentare del nu-
mero di massa fino al valore massimo, pari a circa 9 MeV, in corrispondenza
del nucleo di Ferro (A = 56), per poi decrescere fino a circa 8 MeV per
elementi come l’Uranio o il Plutonio. Questo andamento spiega il fatto che
la fissione avvenga per elementi con numero di massa elevato, in modo che
il processo sia energeticamente favorevole.
3
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Perche la reazione sia esotermica, infatti, si deve passare da un nucleo meno
stabile a un nucleo piu stabile, ovvero da un’energia di legame minore a una
maggiore. L’energia liberata nel processo di fissione e percio quella derivante
da questa differenza nelle energie di legame del nucleo fissile rispetto a quelle
dei prodotti.
Se ad esempio consideriamo un atomo di 235U che subisce una fissione in-
dotta da un neutrone incidente e produce un atomo di 137Ba e uno di 97Kr
piu 2 ÷ 3 neutroni:
235U + n→137 Ba+97 Kr + (2÷ 3)n, (1.1)
dalla reazione si liberano circa 210 MeV di energia. Questa energia viene
rilasciata come indicato in Tabella 1.1.
Energia pronta
Energia cinetica dei prodotti di fissione 167 MeV
Energia cinetica dei neutroni di fissione 5 MeV
Energia radiazioni γ prodotti dalla fissione 5 MeV
Energia radiazioni γ prodotti dalla cattura 10 MeV
Totale Energia pronta 187 MeV
Energia ritardata
Energia dal decadimento γ dei prodotti di fissione 6 MeV
Energia dal decadimento β dei prodotti di fissione 7 MeV
Energia dei neutrini 10 MeV
Totale Energia ritardata 23 MeV
Totale 210 MeV
Tabella 1.1
Ripartizione dell’energia liberata in una reazione di fissione di 235U .
4
1.1. LA FISSIONE NUCLEARE
Energia e massa critica
L’energia critica rappresenta l’energia che e necessario fornire al nucleo
per poter avviare il processo di fissione, se questa non puo avvenire in modo
spontaneo. Questa energia e necessaria al nucleo per rompere i legami che
mantengono uniti i nucleoni, le cui sole oscillazioni e vibrazioni non sono in
grado di permettere l’avvio della reazione.
La soglia di criticita della reazione decresce all’aumentare del rapporto Z2/A,
cioe del rapporto tra la forza repulsiva elettrostatica, proporzionale al qua-
drato della carica, e l’interazione forte tra i nucleoni, proporzionale al nu-
mero di massa. Questa soglia determina l’energia cinetica minima che deve
assumere il neutrone incidente perche si abbia fissione. Deve infatti essere
almeno pari alla differenza tra l’energia critica e l’energia di legame di un
nucleone nel livello piu esterno. Nel 235U questa differenza e negativa. In
questo caso anche un neutrone con energia nulla puo far avvenire fissione,
la sola energia di rottura del legame, infatti, e sufficiente all’innesco della
reazione. E comunque bene sottolineare che non tutti i neutroni generano
fissione perche alcuni di essi possono essere catturati per generare un nucleo
di massa maggiore, anch’esso instabile.
I valori di energia critica e dell’energia di legame dell’ultimo nucleone per
alcuni nuclei sono riportati in Tabella 1.2.
Isotopo Ec (eV) En (eV) Ec - En (eV)
232Th 7.5 5.4 + 2.1233U 6.0 7.0 - 1.0235U 6.5 6.8 - 0.3238U 7.0 5.5 + 1.5
239Pu 5.0 6.6 - 1.6
Tabella 1.2
Energie critiche (Ec) ed energie di legame dei neutroni piu esterni (En) per alcuni
isotopi dei piu comuni elementi fissili.
Per massa critica si intende la quantita minima di un certo materiale
fissile affinche possano instaurarsi fissioni nucleari a catena in grado di auto-
5
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
sostenersi. In questa condizione, detta di criticita, il naturale decadimento
radioattivo del materiale e sufficiente a determinare l’avvio della reazione.
La massa critica di un materiale fissile dipende naturalmente dalle proprie-
ta nucleari (per esempio la sezione d’urto per la fissione), e dalle proprieta
fisiche (in particolare la densita), la forma, e la purezza (materiali impuri
possono contenere assorbitori neutronici). Circondare del materiale fissile
con un riflettore di neutroni riduce la massa critica necessaria, mentre mi-
scelare al fissile un assorbitore neutronico la fa aumentare: infatti il riflettore
diminuisce le fughe di neutroni verso l’esterno, mentre l’assorbitore riduce il
numero di neutroni disponibili per la reazione a catena.
Un reattore nucleare in cui la reazione a catena puo manifestarsi in con-
dizioni stazionarie e chiamato critico, ovvero che ha ottenuto la criticita. In
un tale complesso, senza un apporto esterno di neutroni, la reazione e in gra-
do di sostenersi da sola, e nel caso nel sistema vengano introdotti neutroni
da una sorgente esterna, il tasso di reazione (fissioni per unita di tempo)
aumenta linearmente.
Neutroni di fissione
I neutroni emessi da una fissione hanno un’energia media di 2 MeV,
con un massimo che puo arrivare a 15 MeV. Il numero medio ν di neu-
troni liberati per ogni fissione varia con il tipo di nucleo fissile ed aumenta
linearmente con l’energia dei neutroni incidenti En secondo la relazione:
ν(En) = ν0 + αEn (1.2)
dove ν0 e il numero medio di neutroni emessi in fissioni indotte da
neutroni termici (circa 2.45) e α e una costante che dipende dall’isotopo
fissile.
1.2 Energia rilasciata nella fissione
Indichiamo con ν(E) il numero medio di neutroni emessi (dato da
Eq. (1.1)), per singola fissione indotta da un neutrone di energia E. E utile
esprimere il termine η(E), che indica il numero medio di neutroni emessi
per neutrone assorbito dal combustibile:
6
1.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DEI NEUTRONI
η(E) = ν(E)σfσa
= ν(E)σf
σFγ + σf(1.3)
con σf la sezione d’urto microscopica di fissione. σa indica invece la
sezione d’urto microscopica di assorbimento, data dalla somma di quella di
cattura radiativa (σFγ ), dove l’apice F indica fuel, e di quella di fissione (che
fornisce il contributo dei neutroni assorbiti dal materiale non per cattura, ma
per generare fissioni). Dato che spesso si ha a che fare con insiemi composti
da diversi nuclidi, e utile osservare che in questo caso:
η(E) =∑i
νi(E)Σfi
ΣFai
(1.4)
dove ΣFai e la sezione d’urto macroscopica di assorbimento, Σfi e la
sezione d’urto macroscopica di fissione e νi(E) e il numero medio di neu-
troni prodotti in una fissione, tutto per l’i-esimo nuclide.
Sperimentalmente si osserva che i neutroni pronti vengono emessi con uno
spettro continuo χ(E), dato dall’espressione:
χ(E) = 0.770E0.5 exp (−0.776E) (1.5)
dove E rappresenta l’energia espressa in MeV. In Figura 1.3 e mostrato
lo spettro energetico descritto dalla funzione χ(E).
Possiamo ora calcolare l’energia media dei neutroni di fissione:∫ ∞0
E χ(E) dE ≈ 1.98 MeV (1.6)
mentre l’energia piu probabile e circa 0.73 MeV.
1.3 Equazione di bilancio dei neutroni
Consideriamo ora l’equazione di bilancio dei neutroni, che assume una
rilevante importanza pratica nei reattori nucleari.
Essendo n il numero di neutroni e Ce il ciclo neutronico all’equilibrio ( l’in-
tervallo di tempo che intercorre tra la nascita di una generazione di neutroni
e quella successiva quando il sistema e in equilibrio), la variazione della
popolazione neutronica tra due generazioni immediatamente successive puo
essere descritta dalla seguente relazione:
7
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Figura 1.3
Spettro energetico dei neutroni pronti emessi nel processo di fissione.
n(t+ Ce) = kn(t) (1.7)
dove k e il coefficiente di moltiplicazione effettiva e rappresenta il rap-
porto tra i neutroni prodotti ad una data generazione e quelli prodotti nella
generazione immediatamente precedente.
A seconda del valore di k si distinguono tre casi:
Se k = 1 e costante nel tempo, allora la reazione si autosostiene ed il
sistema si dice critico;
Se k < 1 la reazione a catena tende a spegnersi e il reattore e
sottocritico;
Se k > 1 la reazione a catena tende progressivamente a divergere e il
reattore e sovracritico.
8
1.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DEI NEUTRONI
1.3.1 Calcolo del coefficiente di moltiplicazione
Nel caso particolare di struttura moltiplicante di dimensioni infinite il
coefficiente di moltiplicazione viene indicato come k∞ ed e rappresentato
come il prodotto di quattro fattori (“Formula del quattro fattori di Fermi”)
:
k∞ = η f ε p (1.8)
dove:
η rappresenta la resa di fissione termica;
f rappresenta il fattore di utilizzazione del combustibile;
ε rappresenta la resa di fissione veloce;
p rappresenta la probabilita di fuga dei neutroni dalle catture di
risonanza del 238U durante il rallentamento.
Il coefficiente di moltiplicazione e utilizzato per caratterizzare la strut-
tura e la disposizione degli elementi (barre di combustibile, barre di controllo,
riflettore..) contenuti nel nocciolo:
k =k∞
1 + L2B2m
, (1.9)
(1 + L2B2m) > 1 (1.10)
dove:
k rappresenta il coefficiente di moltiplicazione per sistemi moltiplicanti
di dimensioni finite;
L rappresenta la lunghezza (in centimetri) di diffusione dei neutroni
all’interno di un dato materiale;
Bm e definito come Buckling materiale e rappresenta il legame
funzionale tra proprieta dei materiali e geometria della struttura.
9
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
La lunghezza di diffusione L viene definita dalla relazione:
L2 ≡ D
Σa(1.11)
Il termine D indica il coefficiente di diffusione, mentre Σa e la sezione
d’urto macroscopica di assorbimento del materiale (in cm−1).
Mediante il coefficiente di moltiplicazione puo essere definita la reattivita ρ
di un rettore:
ρ ≡ k − 1
k(1.12)
Si possono avere tre casi a seconda del valore assunto da ρ:
ρ > 0→ si ha un incremento di potenza;
ρ < 0→ si ha un decremento della potenza;
ρ = 0→ la potenza rimane costante.
A regime si ha quindi che perche la potenza sia stazionaria, la reattivita ρ
deve essere nulla. Infine si puo ancora osservare che durante il funzionamento
del reattore, possono presentarsi delle variazioni di ρ per effetto di alcuni
fattori, tra cui:
accumulo di prodotti di fissione che fanno aumentare le catture
parassite dei neutroni e quindi k decresce;
progressiva sparizione dei nuclei fissili presenti all’interno del combu-
stibile, che comporta una riduzione di k;
progressiva produzione di nuclei fissili per trasmutazione dei nuclei
fertili, che comporta un incremento di k.
1.4 Sezioni d’urto
La descrizione dell’interazione dei neutroni con i nuclei atomici e data
attraverso le sezioni d’urto, grandezze fisiche legate alle proprieta nucleari
dei materiali.
Se consideriamo un materiale esposto ad un flusso neutronico, il numero di
interazioni al secondo dipende da:
10
1.4. SEZIONI D’URTO
flusso ed energia dei neutroni del fascio incidente;
densita e natura del materiale costituente il bersaglio;
tipo di reazione considerata.
La sezione d’urto di un nucleo bersaglio vista dal neutrone incidente, per
un dato tipo di reazione nucleare, e una misura della probabilita di accadi-
mento delle reazioni di interazione neutrone - nucleo.
Si consideri un fascio parallelo di neutroni monoenergetici di intensita I0
(neutroni/cm2) che incide perpendicolarmente, nell’unita di tempo, su una
superficie S (cm2) di materiale noto, con spessore δx (cm) e densita di
nuclei N (nuclei/cm3). La riduzione I, dell’intensita del fascio a seguito
dell’interazione con il bersaglio si lega alla sezione d’urto tramite la relazione:
σ =I
I0Nδx(1.13)
Le sezioni d’urto dunque rappresentano un’area. L’ordine di grandezza
dei valori e di 1024 cm2 e per maggior praticita si introduce il barn (b) che
equivale appunto a 1024 cm2.
Introduciamo ora il concetto di sezione d’urto macroscopica Σ, definita
semplicemente dal prodotto tra la sezione d’urto microscopica e la densita
nucleare N del materiale.
Σ = σN (1.14)
Si possono definire sezioni d’urto per singoli processi come assorbimento,
scattering, fissione o cattura. La sezione d’urto microscopica totale sara poi
la somma delle sezioni d’urto microscopiche per i singoli processi.
L’andamento globale della σ totale per neutroni e caratterizzato in generale
da tre regioni energetiche distinte (come mostrato in Figura 1.4, Figura 1.7,
Figura 1.8 e Figura 1.9), in funzione dell’energia del neutrone incidente.
1.4.1 Assorbimento
Per isotopi aventi numero di massa A superiore a 100, l’andamento delle
sezione d’urto di assorbimento σa riproduce sostanzialmente quello della
sezione d’urto totale, infatti anche in questo caso e possibile suddividere lo
spettro in tre regioni energetiche, analogamente a quanto mostrato in Figu-
ra 1.7, Figura 1.8 e Figura 1.9. A seconda del comportamento della sezione
11
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Figura 1.4
Andamento della sezione d’urto totale microscopica per 197Au. Il range energetico
si estende da 10−5 a 107 eV.
d’urto, le tre zone energetiche sono anche indicate come zona di tipo 1/v per
la parte termica, zona delle risonanze per quella epitermica e zona veloce
per l’ultima.
Le sezioni d’urto di elementi a basso numero atomico (Z < 40) non pre-
sentano la regione intermedia delle risonanze e la loro sezione d’urto totale
e generalmente piccola (nell’ordine di alcuni barn) sull’intero spettro ener-
getico. Fanno eccezione a questo comportamento due isotopi impiegati nei
sistemi di rivelazione dei neutroni, 6Li e 10B. Essi interagiscono con neu-
troni di bassa e media energia secondo la reazione (n, α), seguendo una
dipendenza del tipo 1/v fino a circa 10 keV, senza presentare la regione
delle risonanze, ma con valori di sezione d’urto confrontabili con quelli di
elementi molto piu pesanti.
In Figura 1.5 e Figura 1.6 sono mostrate le sezioni d’urto microscopiche dei
due elementi.
12
1.4. SEZIONI D’URTO
Figura 1.5
Andamento della sezione d’urto di assorbimento microscopica per 6Li.
Figura 1.6
Andamento della sezione d’urto di assorbimento microscopica per 10B.
13
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Regione 1/v
Figura 1.7
Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione
termica, da 10−5 a 1 eV.
In questa regione, caratterizzata da neutroni che hanno energia termica,
la sezione d’urto σa varia approssimativamente con l’inverso della radice qua-
drata dell’energia cinetica E, risultando quindi inversamente proporzionale
alla velocita v secondo la legge:
σa ∝1√E
=1√
12mnv2
∝ 1
v(1.15)
dove mn e la massa del neutrone. In questa regione energetica, due
sezioni d’urto σa1 e σa2, a due diverse energie cinetiche dei neutroni E1 ed
E2 , sono legate dalla seguente equazione:
σa1
σa2≈ v2
v1=
(E2
E1
)2
(1.16)
14
1.4. SEZIONI D’URTO
Regione delle risonanze
Figura 1.8
Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione
epitermica, da 1 a 104 eV.
Questa regione e caratterizzata da elevati valori di σa, detti picchi di
risonanza. In corrispondenza di essi, il cui numero varia a seconda del-
l’isotopo considerato, le sezioni d’urto di assorbimento crescono fortemente
per un ristretto intervallo di energia e decrescono immediatamente superato
quest’ultimo. Nei punti di massimo si possono ottenere valori anche 100 o
1000 volte maggiori rispetto a quelli nell’intorno del picco, come si vede in
Figura 1.8.
Regione dei neutroni veloci
In questa regione i valori delle sezioni d’urto per i neutroni sono gene-
ralmente inferiori ai 10 barn per valori di energia di qualche decina di keV,
e diventano ancora piu bassi per energie cinetiche dei neutroni superiori ad
1 MeV. Quando le energie nei neutroni raggiungono valori di 10 ÷ 100 MeV
la sezione d’urto totale tende al valore della sezione trasversale del nucleo
σtr, che rappresenta la sezione geometrica del nucleo bersaglio e tipicamente
15
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Figura 1.9
Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione veloce,
da 104 a 107 eV. Da notare il cambiamento di scala rispetto ai grafici precedenti.
assume valori compresi tra 2 e 5 barn. Quest’ultima e una funzione di A2/3.
Infatti esprimendo il raggio del nucleo R tramite la relazione:
R = r0A13 (1.17)
dove r0 e una funzione costante del nucleo, il cui valore medio vale 1.4 ·1013 cm. Nell’ipotesi di un nucleo di forma sferica, la sua area equivale circa
al valore di σtr:
σtr = 2πR2 = 2π(r0a13 )2 = 2πr2
0A23 ≈ 0.125A
23 (1.18)
1.4.2 Scattering elastico
Le sezioni d’urto di scattering elastico vengono convenientemente trat-
tate suddividendo la dipendenza dall’energia cinetica del neutrone in due
intervalli, la soglia di separazione e il valore di energia di 1 eV.
16
1.4. SEZIONI D’URTO
Intervallo energetico inferiore ad 1 eV
Nella regione energetica inferiore ad 1 eV, lo scattering e praticamente di
tipo da potenziale. Per energie minori di 0.01 eV i neutroni manifestano an-
che un comportamento di natura ondulatoria; in tali condizioni si osservano
fenomeni di interferenza nel caso di irraggiamento di lamine mediante fas-
ci neutronici. La diffrazione a direzione preferenziale dovuta alla struttura
cristallina e detta scattering di Bragg.
Intervallo energetico superiore a 1 eV
Per energie superiori a 1 eV la sezione d’urto di scattering elastico σ(e)s
e approssimativamente indipendente dall’energia dei neutroni (a meno di
fenomeni di risonanza) fino ad qualche keV e successivamente decresce con
E. Fa eccezione il nucleo dell’idrogeno, la cui σ(e)s e pressoche costante e
possiede valori generalmente compresi fra 2 e 10 barn.
1.4.3 Scattering anelastico
In questo tipo di interazione, che avviene ad energie maggiori di 1 MeV,
si ha inizialmente la formazione di un nucleo composto e successivamente
l’emissione di un neutrone di energia cinetica inferiore a quelle del neutrone
incidente, lasciando il nucleo bersaglio in uno stato eccitato. Lo scattering
anelastico e un fenomeno cosiddetto a soglia: l’energia cinetica dei neutroni
incidenti deve essere almeno uguale alla differenza di energia tra il primo
stato eccitato e quello fondamentale del nucleo bersaglio.
1.4.4 Libero cammino medio
Il libero cammino medio λ rappresenta la media delle distanze percorse
dai neutroni tra due interazioni di scattering o assorbimento (ovviamente
non si possono avere due assorbimenti per un neutrone, per cui nel caso
di assorbimento si indica la distanza percorsa dopo uno scattering fino a
quando avviene la cattura) ed e definito come l’inverso della sezione d’urto
totale macroscopica del materiale considerato:
λ ≡ 1
Σt(1.19)
Il libero cammino medio e legato anche all’attenuazione dell’intensita del
flusso neutronico all’interno della materia.
17
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI
Sia I(x) l’intensita del fascio alla profondita x di un generico spessore di
materiale. Nell’attraversare lo spessore successivo dx (quindi alla profon-
dita x + dx ) l’intensita del flusso neutronico diminuisce a causa delle col-
lisioni e assorbimenti con i nuclei del materiale attraversato. La variazione
dell’intensita del flusso neutronico e data da:
dI(x) = −NσtI(x)dx (1.20)
dove σt indica la sezione d’urto totale microscopica, N la densita atomica
del materiale e Σt e la sezione d’urto totale macroscopica. Da Eq. (1.20),
integrando sullo spessore dx del materiale e grazie a Eq. (1.14) e Eq. (1.19),
otteniamo:
I(x) = I0 exp (−Σtx) = I0 exp (− 1
λx) (1.21)
dove I0 e l’intensita per x = 0.
18
Capitolo 2
Accelerator Driven Systems
e la Struttura Moltiplicante
sottocritica
“SM1”dell’Universita di
Pavia
Gli Accelerator Driven Systems (ADS) sono una delle soluzioni possibili
al problema della trasmutazione degli elementi piu pericolosi che vengono
separati dalle scorie nucleari. L’idea dell’utilizzo degli ADS nasce dal fatto
che tutti questi materiali mostrano risonanze nelle sezioni d’urto per cattura
neutronica, mediante cui si trasformerebbero in elementi a vita media molto
piu breve o stabili.
Il primo progetto dettagliato di una struttura per la trasmutazione utiliz-
zando neutroni termici venne pubblicata nel 1991 dal gruppo di Bowman a
Los Alamos. Negli anni successivi in tutto il mondo sorsero programmi e
collaborazioni internazionali di ricerca in questo campo.
Ad oggi si e ancora nella fase di ricerca e sviluppo e numerosi progetti sono in
corso d’opera in laboratori di tutto il mondo. Nel 2009 al Kyoto University
Research Reactor Institute (KURRI) e iniziato quello che viene considerato
come il primo vero esperimento di un ADS, mentre in India e in Belgio due
esperimenti sono in fase di sviluppo e progettazione.
Il primo riguarda la realizzazione di una struttura di potenza, per la produ-
19
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
zione di energia, alimentata a Uranio naturale e Torio. Al Belgian Nuclear
Research Centre (SCK.CEN) di Mol in Belgio, invece e prevista la realizza-
zione, a partire dal 2015 per arrivare a piena operativita nel 2023, del Mul-
tipurpose Hybrid Research Reactor for High-tech Applications (MYRRHA),
come primo ADS sperimentale in Europa.
Figura 2.1
Rappresentazione schematica della struttura dell’ADS dell’esperimento MYRRHA.
Per quanto riguarda l’Italia sono in corso esperimenti per lo studio di al-
cune parti o soluzioni da utilizzare nella realizzazione degli ADS. Al Centro
Ricerche Brasimone (ENEA) e in corso l’esperimento di Circolazione Eu-
tettico (CIRCE) per lo studio di una lega eutettica di Piombo e Bismuto,
20
2.1. STRUTTURA DEGLI ADS
liquida, utilizzata sia per la produzione di neutroni di spallazione, sia come
scambiatore di calore per il raffreddamento del nocciolo dell’ADS.
La Struttura Moltiplicante “SM1” dell’Universita degli studi di Pavia, puo
essere ritenuta una sorta di ADS su scala ridotta, in quanto si tratta di un
complesso sottocritico, senza i problemi legati all’utilizzo di un acceleratore
di protoni, del bersaglio di spallazione e non necessita di un sistema di raf-
freddamento differente dall’acqua di moderazione. Gia questo fatto rende
SM1 molto interessante e potenzialmente utile per svolgere ricerche sulla
trasmutazione di elementi, ad esempio studi sull’efficienza del processo e sul
tipo di spettro di neutroni da utilizzare. Il lavoro svolto su SM1, che sara
descritto nei capitoli successivi di questa relazione, e sostanzialmente uno
studio preliminare del complesso e del suo funzionamento con una caratter-
izzazione del flusso neutronico prodotto. I risultati di tale lavoro preliminare
potranno poi essere utilizzati per la progettazione di esperimenti e ricerche
che prevedono l’impiego della Struttura Moltiplicante.
2.1 Struttura degli ADS
Gli ADS sono sostanzialmente dei reattori nucleari sottocritici in cui
gli elementi provenienti dalle scorie nucleari vengono trasmutati mediante
cattura neutronica, con la possibilita di un utilizzo dell’energia termica
sviluppata per produrre energia elettrica, anche se come fine secondario.
Lo schema di costruzione di una ADS secondo i progetti attuali
comprende quattro parti principali:
il nocciolo;
il sistema di alimentazione;
il bersaglio per la spallazione;
il sistema di raffreddamento.
Il Nocciolo
Il nocciolo e la parte dove alloggiano le barre di combustibile contenenti
le miscele di elementi che devono essere trasmutati.
Come detto precedentemente, questa parte viene realizzata con regime sot-
tocritico, ovvero il disegno e la quantita di materiale fissile e tale da non
21
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Figura 2.2
Rappresentazione schematica della struttura di un ADS.
permettere che si sostenga la reazione a catena delle fissioni. Per questo il
sistema necessita di una “alimentazione” per fare in modo che le reazioni
possano avvenire.
La scelta di non raggiungere il livello di criticita e dettata principalmente
da questioni di sicurezza. Infatti, in reattori di questo tipo, il controllo delle
reazioni e la loro eventuale interruzione in casi di emergenza avviene in mo-
do piu semplice rispetto ai reattori critici. Infatti non sono necessarie barre
di controllo, ma e sufficiente agire sulla sorgente neutronica che alimenta il
sistema, in quanto, in assenza di essa, le reazioni si arrestano automatica-
mente.
La condizione di sottocriticita risulta anche essere un margine di sicurezza
nel caso di oscillazioni di reattivita del reattore. Se ad esempio nella mis-
cela di combustibile sono presenti gli attinidi minori, si possono verificare
22
2.1. STRUTTURA DEGLI ADS
Figura 2.3
Rappresentazione schematica delle parti che compongono un ADS.
instabilita nelle reazioni del nocciolo, con effetto di far variare il valore di
k. Percio se il valore di design del k e sufficientemente distante da uno, tali
variazioni non risultano essere troppo pericolose.
Il Sistema di alimentazione
In precedenza e stato accennato come a causa delle scelte fatte sul livello
di criticita del nocciolo, si renda necessaria la presenza di un sistema di ali-
mentazione, che fornisca i neutroni necessari al sostenimento delle reazioni
di fissione al suo interno.
Per la realizzazione di complessi di tipo industriale, che quindi possano fun-
zionare in regimi di produzione elevati, si necessita di flussi di neutroni in-
tensi (1017-1018 neutroni/cm2 s), che possono essere ottenuti con l’utilizzo
di acceleratori di protoni, accoppiati a bersagli che producono neutroni per
23
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
spallazione. Per ora ci limitiamo a discutere della parte che riguarda l’ac-
celerazione dei protoni, mentre nella sezione successiva verranno discusse le
caratteristiche del bersaglio.
L’energia e l’intensita del fascio devono essere scelte tenendo conto di alcu-
ni fattori. La prima deve essere un buon compromesso tra la produzione di
neutroni per protone incidente, che raggiunge valori dai 20 ai 35 neutroni per
collisione ad energie dell’ordine o maggiori di 1 GeV, e la frazione di energia
depositata dal fascio all’ingresso della finestra del bersaglio, la quale, alle
energie di interesse, e una funzione rapidamente decrescente all’aumentare
dell’energia. Per bilanciare questi due comportamenti l’energia prevista di
utilizzo dovrebbe essere dell’ordine di 1 GeV.
Riguardo invece all’intensita i valori dipendono dalla potenza desiderata del-
l’impianto, dal valore del coefficiente di criticita del nocciolo e dall’energia
del fascio. Ad esempio per impianti di potenza compresa tra i 500 e 1500
MW termici, con un keff = 0.95 e protoni da 1 GeV sono previsti valori di
10 ÷ 15 mA di intensita del fascio di protoni nella fase di sperimentazione,
per poi arrivare a 25 ÷ 40 mA nella fase di produzione industriale.
Per le intensita necessarie, soprattutto nel periodo di produzione, vengono
privilegiati gli acceleratori lineari, in quanto sono gli unici al momento che
presentano possibilita di sviluppo fino al raggiungimento delle caratteristi-
che richieste.
Il Bersaglio per la spallazione
Come ogni altro elemento del progetto di un ADS, anche la scelta del
materiale da utilizzare per la produzione di neutroni di spallazione e l’assetto
da realizzare dipendono da numerosi fattori. La decisione deve bilanciare le
richieste di una elevata efficienza di produzione di neutroni, una buona re-
sistenza chimico-fisica del materiale e di buone prestazioni termo-idrauliche
imposte da condizioni di sicurezza e realizzabilita.
L’importanza di queste proprieta viene dal fatto che il materiale dovra sop-
portare i danni provocati dal fascio di particelle di alta energia e intensita
molto elevata, rimanendo confinato in un volume piuttosto ridotto.
Si e percio diretti verso l’utilizzo di leghe di metalli pesanti allo stato liquido
(HLM), come Piombo-Bismuto (LBE), che forniscono una buona resa riguar-
do alla produzione di neutroni (i valori espressi nella sezione precedente si
24
2.1. STRUTTURA DEGLI ADS
riferiscono appunto a questo caso) ed inoltre permettono lo smaltimento del
calore in modo efficiente grazie ai moti convettivi. L’LBE possiede vantaggi
anche nella quasi totale compatibilita con gli altri materiali strutturali di
tipo ingegneristico, anche se devono essere verificati alcuni aspetti di cor-
rosione ed ossidazione importanti per capire le prestazioni e la durata delle
componenti meccaniche del bersaglio.
Proprio di questi studi si occupa l’esperimento CIRCE dell’ENEA, e la sua
fase preliminare ICE, il cui obiettivo e sviluppare la tecnologia di utilizzo
degli HLM negli impianti nucleari a fissione.
Una ulteriore ed importante questione da considerare, riguardo al bersaglio,
e il deterioramento dei materiali a causa dell’incisione del fascio di alta ener-
gia. Per questo, infatti, esistono due tipologie di realizzazione del bersaglio:
con finestra o senza finestra (windowless).
La prima e di tipo classico, in cui il condotto del fascio e il liquido bersaglio
sono separati mediante una finestra, appunto, di materiale opportuno che
dovra soddisfare requisiti come elevata trasparenza al fascio, per ridurre al
minimo la riduzione di intensita del fascio, e elevata resistenza, in modo da
non costringere a frequenti e dispendiosi interventi di manutenzione.
La seconda tipologia prevede l’assenza di materiale di separazione, il liquido
viene iniettato direttamente nel condotto in cui arriva il fascio. In questo
caso pero il problema da superare e il vuoto, che deve essere mantenuto a
livelli sufficientemente alti da essere compatibile con quello della linea del
fascio. Inoltre un’adeguata capacita di pompaggio del LBE e necessaria per
evitare il degassamento e l’evaporazione del liquido. La presenza di vapore
del composto provocherebbe infatti la formazione di prodotti di spallazione
volatili con annessi problemi di contenimento di tali prodotti.
Il Sistema di raffreddamento
Per il sistema di raffreddamento primario la scelta ricade ancora sul-
l’utilizzo della lega eutettica di Piombo-Bismuto liquida (LBE). Questo in
quanto ad oggi e la soluzione piu realizzabile per soddisfare le richieste degli
ADS e che meglio bilancia pregi e difetti.
Se si vuole avere uno spettro di neutroni veloci nel nocciolo, necessario
affinche si possano sfruttare le risonanze di cattura neutronica degli attinidi
minori, si hanno due sole possibilita: i metalli pesanti liquidi (HLM) e le
soluzioni di sali fusi. Il secondo tipo di materiale e tuttavia ancora ad uno
25
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Figura 2.4
Rappresentazione schematica del bersaglio di spallazione per l’esperimento
Myrrha. In questo caso si ha una struttura di tipo windowless.
stato iniziale di sviluppo e quindi, per il periodo previsto di inizio sperimen-
tazione degli ADS (circa dal 2020), il suo utilizzo non sara ancora possibile.
Si lasciano percio eventuali possibilita di impiego dei sali fusi nelle fasi suc-
cessive a quelle della prima sperimentazione.
Tra gli HLM, la lega LBE viene preferita perche puo essere utilizzata anche
come bersaglio per la spallazione, come visto in precedenza, evitando cosı
problemi di separazione del refrigerante dal bersaglio. Inoltre l’LBE rende
possibile operare a pressioni vicine a quella atmosferica e possiede propieta
termiche vantaggiose, come il punto di ebollizione molto alto (superiore a
1700 °C), che permette una buon raffreddamento anche in eventi accidentali
quali la completa assenza di rimozione del calore nel circuito primario.
26
2.1. STRUTTURA DEGLI ADS
Un’ulteriore caratteristica dell’LBE e il punto di fusione, che pur essendo
inferiore rispetto ad esempio a quello del solo Piombo (330 °C circa), obbli-
ga a mantenere il sistema ad una temperatura nel range 200-400 °C anche
nelle fasi di spegnimento e rifornimento per evitare la solidificazione del
refrigerante. Esistono alcuni svantaggi di questa soluzione, come l’opacita
del mezzo, che rende molto complicate ispezioni e riparazioni del nocciolo
durante il funzionamento; la facilita di corrosione e anche la difficolta di
reperimento del Bismuto. Proprio i problemi legati alla corrosione hanno
portato gruppi di ricerca russi ad abbandonare questo tipo di refrigerante a
favore delle soluzioni di Sodio fuso. In Italia comunque la sperimentazione
sul LBE prosegue provando anche l’utilizzo di Allumina, un ossido di Allu-
minio, come protettore.
Praticamente la totalita degli studi inerenti agli ADS sono ancora in corso
d’opera, percio non si possono avere ancora risposte certe e vi e una grande
possibilita che molti degli aspetti descritti nelle sezioni precedenti vengano
modificati in parte o totalmente nelle prossime fasi di sperimentazione e
successiva realizzazione di questi impianti.
2.1.1 Trattamento delle scorie nucleari con gli ADS
Bruciamento delle scorie nucleari: TRU (Transuranic elements)
Il concetto generale consiste nell’usare come combustibile 232Th arricchi-
to con 233U , 235U o 239Pu e miscelato con TRU. I TRU possono essere elim-
inati solo grazie alla fissione, ma la loro sezione d’urto per questa reazione e
rilevante solo per neutroni ad alta energia.
In Figura 2.5 e mostrata la probabilita di fissione per neutrone assorbito
sia nel caso di flusso termico, sia nel caso di flusso veloce.
In uno studio proposto dal governo spagnolo, basato su dati sperimentali, e
stato mostrato che un complesso ADS da 1500 MWth potrebbe distruggere
una quantita di TRU pari a 298 kg per GW · anno di energia prodotta.
Come paragone un reattore PWR (Pressurized Water Reactor, utilizzato in
molte centrali nucleari attuali) produce 123 kg di TRU per GW · anno.
27
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Figura 2.5
Rapporto tra la probabilita di fissione e quella di cattura di un neutrone per
differenti nuclei. In nero e mostrato l’incremento della probabilita di fissione nel
caso di neutroni veloci, come per gli ADS (qui indicati come Energy Amplifier,
EA.
Distruzione delle scorie nucleari : LLFF (Long Life Fission
Fragments)
In un sistema ADS, una volta trattati i TRU, la maggior parte della
radiotossicita a lungo termine e data da prodotti di fissione a vita lunga.
Questo residuo di radioattivita potrebbe in ogni caso essere tollerato in
quanto paragonabile alla radiotossicita contenuta nelle ceneri prodotte da
una centrale a carbone per ottenere lo stesso ammontare di energia, come
mostrato in Figura 2.6.
Vista comunque la proprieta dei principali frammenti di fissione di essere
solubili in acqua, la preoccupazione principale e quella che, se non stoccati
in modo appropriato, essi potrebbero contaminare falde acquifere per milioni
di anni. Per eliminare anche questo problema e stato proposto di utilizzare
28
2.1. STRUTTURA DEGLI ADS
Figura 2.6
Evoluzione negli anni della radiotossicita delle scorie nucleari per un PWR e per
un EA (Energy amplifier) o ADS. La linea tratteggiata superiore indica il livello di
radiotossicita delle ceneri prodotte da una centrale a carbone, a parita di energia
prodotta.
un metodo chiamato Adiabatic Resonance Crossing (ACR), che faciliterebbe
la cattura di neutroni da parte dei frammenti di fissione, portando, ad es-
empio, l’emivita del 99Tc da 2.1 · 1015 anni a 15.8 s. Questo trasformando
il 99Tc in 100Tc, che decade in 100Ru, stabile, con tempo di dimezzamento.
appunto, di 15.8 s.
In Figura 2.7 si puo notare come prima cosa che l’energia piu probabile a
29
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Figura 2.7
Andamento, in funzione dell’energia, della sezione d’urto di cattura del 99Tc
(99Tc Capture Cross section), dello stopping power dei neutroni nel Piombo
(Typical Neutron Fluence), e di un tipico spettro energetico di neutroni di
spallazione (Source Neutrons).
cui possono essere prodotti dei neutroni di spallazione (dell’ordine del MeV)
e piuttosto distante dal range energetico in cui si trovano i picchi di risonanza
della sezione d’urto di cattura neutronica del 99Tc. Questo inconveniente
puo essere superato utilizzando il Piombo come moderatore. Infatti la terza
curva presente in Figura 2.7 mostra che l’andamento della perdita di energia
dei neutroni nel Piombo e circa lineare in corrispondenza dell’intervallo delle
risonanze. Cio rende questo materiale ottimo per rallentare i neutroni emessi
dalla sorgente di spallazione e portarli con buona precisione all’energia di
qualche picco della sezione d’urto, in modo da massimizzare l’efficienza del
processo di cattura.
30
2.2. GEOMETRIA DELLA STRUTTURA MOLTIPLICANTESM1
Il procedimento e stato utilizzato, per 99Tc e per 129I, in esperimenti condotti
al CERN di Ginevra dal 1996 al 1999.
2.2 Geometria della Struttura Moltiplicante SM1
La Struttura Moltiplicante sottocritica SM-1 dell’Universita degli Studi
di Pavia e un reattore nucleare progettato ed utilizzato per produrre reazioni
a catena, incapace di sostenere la reazione a catena delle fissioni, in assenza
di una sorgente di neutroni, sia in condizioni normali, sia accidentali.
La struttura, originariamente proprieta della ditta SITEN di Milano, e stata
installata presso l’Universita di Cagliari nel 1958, trasferita presso l’Univer-
sita di Pavia nel 1960 e riassemblata nella collocazione attuale nel 1961. Suc-
cessivamente e stata oggetto di donazione all’Universita di Pavia da parte
della SITEN. La Struttura e situata nell’edificio del dipartimento di Chimica
Organica.
Le pareti nelle vicinanze della struttura sono rinforzate da uno strato di
calcestruzzo baritico, di spessore 20 cm, altezza 1.80 m e lunghezza 2 m. La
protezione prosegue all’interno del locale, delimitando l’area del complesso,
sempre con uno spessore di 20 cm e un’altezza di 75 cm. L’accesso alla strut-
tura e consentito da una soglia di altezza di 22 cm sul piano di calpestio.
La sede e una fossa cilindrica di diametro 120 cm e profondita 42 cm rispetto
al piano circostante.
Il complesso sottocritico e costituito da:
contenitore con il coperchio,
griglie distanziatrici che determinano il reticolo esagonale,
elementi di combustibile,
acqua di moderazione,
sorgente di neutroni.
2.2.1 Il contenitore e il coperchio
Il contenitore e costituito da un cilindro di alluminio, 114 cm di diametro,
135 cm di altezza e 1 cm di spessore, composto da una lastra piegata e sal-
data verticalmente. Il fondo e realizzato con una lastra, ancora in alluminio
31
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
Pavimento
RivestimentoinParaffina
Supportosuperiore
Griglie distanziatrici
0.83
0.180.06
0.25
1.02
1.44
1.36
Figura 2.8
Schema della Struttura Moltiplicante in sezione verticale. Le parti in nero
rappresentano quelle in Alluminio, mentre in giallo sono evidenziate le parti
contenenti la Paraffina. Le misure delle quotature sono in metri.
e medesimo spessore, saldata alla precedente.
La parte del contenitore che fuoriesce dalla fossa (di altezza 92 cm) e rivesti-
ta da uno strato di paraffina borata dello spessore di 10 cm.
Il coperchio e formato da un cilindro cavo di alluminio, di altezza 10 cm,
riempito di paraffina. Nella parte centrale e ricavata un’apertura a forma
tronco-conica invertita, che consente l’accesso alla parte centrale del reti-
colo senza dover rimuovere l’intero coperchio. Questa apertura e dotata di
apposito tappo, con identica composizione del coperchio appena descritto.
2.2.2 Le griglie distanziatrici
All’interno del contenitore sono inserite due lastre di alluminio, di forma
circolare (113 cm di diametro e 1 cm di spessore). Le griglie sono posizion-
ate e rese solidali mediante aste verticali di alluminio, che consentono di
posizionarle ad una distanza di 6 e 24 cm dal fondo del contenitore.
32
2.2. GEOMETRIA DELLA STRUTTURA MOLTIPLICANTESM1
Al centro di ciascuna griglia sono stati praticati dei fori, diametro 3 cm e
passo 4.4 cm, fino a determinare un reticolo esagonale costituito da nove
anelli concentrici, piu il foro centrale.
Nella parte alta del contenitore (109 cm dal fondo) e inoltre inserita una
fascia triangolare, ancora in alluminio e 1 cm di spessore, che impedisce la
perdita di verticalita agli elementi di combustibile inseriti nel reticolo. La
fascia possiede fori identici a quelli delle griglie in corrispondenza dell’anello
esagonale piu esterno.
Supporto Superiore
1.12
1.36
Figura 2.9
Schema della Struttura Moltiplicante vista dall’alto. In azzurro viene
rappresentato il supporto superiore, in giallo invece e raffigurato lo strato esterno
di Paraffina, mentre in verde il reticolo degli elementi di combustibile e in grigio la
sorgente. Le dimensioni riportate sono in metri.
2.2.3 Elementi di combustibile
Gli elementi di combustibile sono contenuti in guaine cilindriche di allu-
minio (diametro interno 2.8 cm, spessore 0.1 cm, altezza 132 cm), chiuse sul
fondo.
Ciascuna guaina contiene 5 lingotti cilindrici di uranio naturale metallico,
rivestito di alluminio. Ogni lingotto ha un diametro di 2.74 cm ed una
lunghezza di 21.5 cm. La lunghezza attiva di ciascun elemento di combusti-
bile risulta essere 107.5 cm. La parte superiore della guaina e occupata da
33
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
un tappo cavo di alluminio riempito con politene e paraffina.
La struttura moltiplicante sottocritica e dotata di 206 elementi di combusti-
bile, per un totale di 1030 lingotti, contenenti complessivamente circa 2000
kg di uranio naturale metallico.
Dalla differenza tra il peso totale degli elementi (uranio + alluminio) ed il
peso dell’Uranio dichiarato, si puo ricavare che lo spessore dell’alluminio di
rivestimento dei lingotti e di circa 0.10 ÷ 0.15 cm.
Ciascun elemento di combustibile e collocato, mediante inserimento dall’al-
to, nel reticolo esagonale, con esclusione della posizione centrale riservata
alla sorgente di neutroni. Nel corso dello svolgimento di questo lavoro di
tesi sono state utilizzate tre differenti configurazioni di elementi all’interno
del reticolo, indicate come iniziale, finale e di misura. Nella Sezione 3.1
del Capitolo 3 verranno descritti in dettaglio i tre tipi di configurazione. In
Figura 2.10 viene invece mostrato lo schema generale del reticolo esagonale
con i nove anelli evidenziati da differenti colori.
1.12
0.03
0.044
Figura 2.10
Schema del reticolo esagonale composto dagli elementi di combustibile, visto
dall’alto. I diversi colori indicano i diversi anelli del reticolo. Le dimensioni
riportate sono in metri.
34
2.2. GEOMETRIA DELLA STRUTTURA MOLTIPLICANTESM1
2.2.4 Acqua di moderazione
Il contenitore, con posizionati all’interno gli elementi di combustibile, e
riempito di acqua demineralizzata, sino a 5 cm dal bordo superiore. La tem-
peratura dell’acqua non subisce rilevanti escursioni termiche durante l’anno,
variando tra 17 e 20 °C. Anche il pH si mantiene pressoche costante con
valori leggermente alcalini intorno a 7.5 ÷ 7.6.
Un sensore galleggiante avverte quando il livello dell’acqua si abbassa di
qualche cm sotto il livello di pieno e si procede quindi a reintegrare l’acqua
persa con altra di analoghe caratteristiche.
L’acqua svolge la funzione di moderatore e riflettore sia nei confronti dei
neutroni emessi dalla sorgente, sia di quelli prodotti nelle fissioni dell’U-
ranio presente negli elementi di combustibile. Inoltre l’acqua funge anche
da schermo nei confronti dell’area circostante la struttura.
2.2.5 La sorgente di neutroni
I neutroni necessari al funzionamento della struttura moltiplicante sot-
tocritica sono forniti da una sorgente di Pu-Be da 5 Ci (80 g di 239Pu pari a
1.85 x 1011 Bq), ottenuti mediante reazione nucleare (α,n) secondo lo schema
seguente:
α+9 Be→12 C + n (2.1)
All’energia delle particelle α emesse dal 239Pu l’efficienza di produzione
di neutroni nel Berillio e di circa 62 neutroni per 106 particelle α. Per cui
la produzione sarebbe di 1.15 · 107 neutroni al secondo. Questo valore non
rappresenta pero l’effettiva intensita della sorgente, poiche a causa dell’au-
toassorbimento di neutroni da parte del 239Pu e al tipo di geometria della
sorgente si ha una intensita, valore fornito dalla ditta produttrice, di 7 · 106
neutroni al secondo.
Come mostrato in [2], le sorgenti di Plutonio sono soggette ad un aumento
di intensita dovuto alla presenza in piccole percentuali (minori di 1%) di241Pu, che decade in 241Am, il quale possiede una efficienza di produzione
di neutroni piu elevata.
Tale aumento prosegue fino a circa 70 anni dopo la realizzazione della sor-
gente e puo raggiungere anche circa il 30% del valore iniziale. Quella presente
in SM1 e una sorgente realizzata nel 1961, quindi ancora nel pieno di questo
35
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
processo. Purtroppo la composizione esatta non e nota e quindi non si puo
calcolare l’aumento effettivo di intensita. Per questo si e deciso di utilizzare
nel proseguo del lavoro il valore di intensita di 7 · 106 neutroni/s, tenendo
presente il fatto che potrebbe essere una sottostima dell’intensita vera.
1.994 5.245
4.964
Figura 2.11
Schema della sorgente di Plutonio-Berillio. Le misure sono in centimetri.
La sorgente ha forma cilindrica anulare, avente un diametro esterno di
52.45 mm ed una altezza di 49.64 mm. Il diametro della cavita interna
misura 19.94 mm.
Per l’inserimento della sorgente nella struttura ci si avvale di un’apposita
guaina che viene inserita nel foro centrale delle griglie che determinano la
configurazione esagonale. Tale guaina, in alluminio, per i primi 72 cm a
partire dal basso, e del tutto identica a quelle che contengono i lingotti di
Uranio. Sopra questa quota, pur mantenendo forma cilindrica, essa aumenta
di diametro (esterno 54.45 mm) per poter ospitare la sorgente di neutroni.
Questa sezione ha una lunghezza di 61 cm ed e chiusa da un tappo costituito
da un cilindro cavo di alluminio, profondo 55.4 cm. A sorgente inserita nel
complesso, la parte cava viene riempita con acqua demineralizzata e infine
chiusa anch’essa con un tappo.
Uno schema del supporto per la sorgente e fornito in Figura 2.12.
36
2.2. GEOMETRIA DELLA STRUTTURA MOLTIPLICANTESM1
Guaina porta sorgente0.
5540
0
0.61
000
0.72
000
0.05445
0.03000
Sorgente
Acqua
Figura 2.12
Schema della guaina per l’inserimento della sorgente. Le misure sono in metri.
37
CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA
“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA
38
Capitolo 3
Simulazione mediante codice
Monte Carlo MCNP
Per il lavoro di simulazione e stato utilizzato il codice MCNP (Monte
Carlo Neutral Particle transport code system) sviluppato dal Los Alamos
National Laboratory in Los Alamos, New Mexico. In Appendice C e fornita
una breve descrizione del programma e del suo utilizzo, mentre di seguito
sara esposta in dettaglio tutta la parte di simulazione svolta sul complesso
sottocritico “SM1”.
3.1 Procedimento
Dopo aver descritto il funzionamento del programma MCNP, verra ora
descritta la parte di simulazione vera e propria. Per prima cosa saranno
illustrate alcune caratteristiche comuni a piu simulazioni, le configurazioni
del reticolo e della sorgente utilizzate, in modo da rendere piu chiara la
descrizione.
3.1.1 Configurazione del reticolo di elementi di combustibile
Come gia accennato nella Sezione 2.2.3, durante il lavoro di simulazione
sono state utilizzate tre configurazioni differenti per gli elementi di combu-
stibile all’interno del complesso sottocritico, indicate come iniziale, finale e
di misura.
Per configurazione iniziale viene intesa la disposizione degli elemen-
ti come sono stati trovati all’inizio di questo lavoro di studio. In
39
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
questo caso il primo anello era lasciato vuoto, per permettere una
migliore manovrabilita della guaina sorgente nel caso di estrazione
della sorgente, come mostrato in Figura 3.1.
Figura 3.1
Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione iniziale. I diversi
colori indicano i diversi anelli del reticolo.
Per ottenere un flusso leggermente maggiore, e quindi una migliore
statistica, ed eliminare l’asimmetria nella distribuzione di flusso, al-
cuni elementi sono stati cambiati di posizione, ottenendo cosı la
configurazione finale, mostrata in Figura 3.2.
Infine per poter effettuare gli irraggiamenti tre elementi di combu-
stibile, posti nel secondo, quarto e sesto anello, sono stati spostati
nell’ottavo anello, ottenendo la configurazione di misura. Tre guaine
vuote sono state inserite nelle posizioni lasciate libere. Ancora una vol-
ta in Figura 3.3 viene mostrata la configurazione. In Figura 3.3 sono
inoltre indicate in nero le posizioni delle guaine vuote utilizzate per gli
irraggiamenti. Mentre in Tabella 3.1 e indicato il numero di elementi
di combustibile per ciascun anello, nelle differenti configurazioni.
3.1.2 Sorgenti utilizzate nelle simulazioni
Nelle simulazioni effettuate e stata utilizzata una sorgente di Pu-Be, con
spettro mostrato in Figura 3.4, che riproduce quella fisicamente presente
all’interno del complesso sottocritico.
40
3.1. PROCEDIMENTO
Figura 3.2
Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione finale. I diversi
colori indicano i diversi anelli del reticolo.
Figura 3.3
Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione di misura. I
diversi colori indicano i diversi anelli del reticolo, mentre in nero sono indicate le
posizioni in cui sono stati effettuati gli irraggiamenti.
In Tabella 3.2 sono mostrati gli estremi superiori e i valori di probabilita
di ciascun bin che compone lo spettro mostrato in Figura 3.4.
Come gia accennato in Sezione C.0.13, l’esatta intensita della sorgente
di Pu-Be della struttura non e nota. Si e percio deciso di utilizzare il valore
nominale al momento della produzione, 7 · 106 neutroni/s. Si ricorda inoltre
41
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Anello Conf. Iniziale Conf. Finale Conf. misura
Elementi Elementi Elementi
1 0 6 6
2 12 12 11
3 18 18 18
4 24 24 23
5 30 30 30
6 36 36 35
7 42 42 42
8 38 38 41
9 6 0 0
Tabella 3.1
Numero di elementi presenti in ciascun anello del reticolo esagonale, per le
differenti configurazioni.
Pu-BeEntries 38Integral 1
Energy (MeV)0 2 4 6 8 10
Pro
bab
ility
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Pu-BeEntries 38Integral 1
Spettro sorgente
Figura 3.4
Spettro energetico normalizzato, utilizzato per la generazione della sorgente
che tale valore va moltiplicato per i valori della fluenza ottenuti mediante le
simulazioni con MCNP, per ottenere il flusso neutronico (Fattore di norma-
lizzazione). Va quindi tenuto conto del fatto che il valore di intensita della
sorgente e presente in tutti i calcoli che coinvolgono il flusso neutronico.
In alcune simulazioni la geometria della sorgente e stata modificata.
42
3.1. PROCEDIMENTO
Energia (MeV) Probabilita Energia (MeV) Probabilita
0.94 0 4.51 0.042221
1.06 0.031898 4.79 0.043988
1.17 0.030503 5.09 0.042965
1.26 0.026132 5.38 0.037943
1.36 0.025109 5.68 0.031805
1.43 0.025295 5.94 0.027248
1.55 0.024644 6.26 0.024365
1.66 0.024365 6.55 0.022970
1.87 0.023993 6.87 0.022598
1.96 0.024923 7.21 0.022691
2.15 0.027806 7.77 0.023063
2.53 0.031061 8.25 0.020459
2.74 0.033479 8.77 0.015159
2.96 0.040361 9.26 0.01023
3.17 0.045755 9.75 0.007440
3.57 0.048917 10.30 0.005394
3.77 0.046592 10.79 0.003255
3.98 0.042593 11.21 0.001302
4.23 0.041198 11.81 0.000279
Tabella 3.2
Estremi superiori degli intervalli energetici e valori della probabilita corrispondenti
per lo spettro normalizzato utilizzato nella generazione della sorgente di PU-Be,
Figura 3.4.
In Figura 3.5 sono mostrati i differenti tipi di sorgente utilizzate nelle
simulazioni.
Il motivo di queste modifiche sta nel fatto che gli spettri energetici utiliz-
zati sono spettri di emissione. Per evitare che i neutroni generati interagis-
sero col materiale della sorgente stessa e quindi, in pratica, che si modificasse
lo spettro effettivo con cui essi venivano emessi, si e deciso di tenere il volume
sorgente vuoto. Per simulazioni a sorgente fissa il fatto di genererare neu-
troni all’interno di un volume vuoto non costituisce alcun problema, mentre
con l’utilizzo di kcode o ksrc e invece necessario che la sorgente sia posta in
una cella di materiale fissile. Percio nelle simulazioni non a sorgente fissa si
43
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
cm10 2 3 4 5 cm10 2 3 4 5 cm10 2 3 4 5
Sorgente reale Sorgente nps Sorgente kcode
Pu-Be No Pu-Be Pu-Be
Figura 3.5
Schema della sorgente reale e di quelle utilizzate nelle simulazioni con nps e
kcode. In grigio e indicata la parte composta da Pu-Be, che nel caso di nps e
assente, mentre per kcode e solo la superficie esterna.
e utilizzato il terzo tipo mostrato in Figura 3.5, in cui il materiale fissile e
presente solo in un guscio cilindrico esterno, di spessore 5 µm, guscio in cui
sono generati i neutroni. Va detto che questa decisione di avere il volume
sorgente vuoto, modifica leggermente il valore di keff del sistema, in quanto
viene eliminato del materiale fissile, la variazione e comunque di poca rile-
vanza e in ogni caso ne verra tenuto conto in fase di discussione.
3.1.3 Simulazioni
Ora passiamo a descrivere il lavoro vero e proprio di simulazione realiz-
zato sul complesso sottocritico. Le simulazioni saranno spiegate in dettaglio,
corredate di risultati e di considerazioni.
44
3.1. PROCEDIMENTO
Prove preliminari
La fase iniziale del lavoro e composta da simulazioni quasi di prova, atte
ad una verifica generale dell’implementazione della geometria del sistema
e ad una serie di riscontri per avere indicazioni su come svolgere il lavoro
seguente.
1. Per iniziare sono state effettuate tre simulazioni con:
struttura completa;
sorgente piena, con spettro di Pu-Be;
opzione kcode con 250 cicli, di cui i primi 50 saltati;
5 · 103, 104 e 105 neutroni al ciclo per, rispettivamente, prima,
seconda e terza simulazione;
nessun calcolo di flusso neutronico.
Queste tre simulazioni hanno fornito come risultato numerico solo il
valore del keff del sistema, riportato in Tabella 3.3.
Simulazione Neutroni per ciclo keff
1 5 · 103 0.82274± 0.00051
2 104 0.82380± 0.00033
3 105 0.82343± 0.00010
Tabella 3.3
keff calcolato per le prime tre simulazioni effettuate. L’errore e fornito come
incertezza standard. I valori sono forniti con cinque cifre decimali in quanto per
convenzione il keff e usualmente riportato in “parti su centomila”.
Le tre simulazioni hanno dato un esito positivo in quanto i tre valori
di keff sono minori di uno, come ci si attendeva. Da queste prove non
era stato preteso nulla di altro, pero si puo notare che, giustamente, al-
l’aumentare del numero di neutroni per ciclo, e quindi della statistica,
l’errore si riduce. Inoltre se si considerano gli intervalli di confiden-
za delle tre misure si vede che i valori sono compatibili e nessuno si
discosta in modo notevole, il che fornisce una prova della bonta delle
45
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
simulazioni.
Un altro controllo effettuato su queste simulazioni e stato quello di
controllare nel file di output che tutte le celle fossero corrette, che
venissero lette nel modo corretto, che ciascuna cella con materiale fis-
sile fosse considerata nei calcoli e che il reticolo fosse stato inserito
correttamente. Anche in questo caso vi e stato esito positivo e quindi
e stato possibile continuare con il lavoro.
2. A seguire e stata svolta una simulazione per la verifica dello spettro
sorgente. Le caratteristiche della prova sono:
geometria totalmente vuota. Tutte le celle presenti erano vuote,
non e stato inserito alcun materiale;
sorgente vuota, con spettro di Pu-Be;
opzione nps con produzione di 108 neutroni;
conteggio della fluenza attraverso cinque sferette, raggio 0.5 cm,
poste a distanza 5, 10, 15, 20 cm dal centro della sorgente.
cm0 10 20 30 40 50 60
Figura 3.6
Schema della disposizione delle sferette, in azzurro, per le misure di fluenza. In
grigio e indicata la sorgente, mentre in giallo lo strato esterno di paraffina. I
cerchi bianchi sono le posizioni del reticolo di elementi di combustibile.
In Figura 3.6 e mostrata la disposizione delle sferette all’interno
della struttura, sono indicate anche le posizioni degli elementi del
reticolo e lo strato esterno di paraffina per una migliore compren-
sione delle distanze. Lo spettro del fluenza e stato suddiviso negli
46
3.1. PROCEDIMENTO
stessi bin utilizzati per lo spettro inserito nell’input file, in modo
che il confronto tra i due risultasse piu chiaro.
Come si puo vedere da Figura 3.7-Figura 3.10, all’interno degli errori
statistici, i due spettri mostrano un ottimo accordo.
Energy (MeV)
0 2 4 6 8 10
Pro
bab
ilit
y
0
10
20
30
40
50
-310×
Source check, 5 cmIntegral 3.405e-03Integral 1.000e+00
measuredreference
Figura 3.7
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.10.
Energy (MeV)
0 2 4 6 8 10
Pro
bab
ilit
y
0
10
20
30
40
50
-310×
Source check, 10 cmIntegral 8.107e-04Integral 1.000e+00
measuredreference
Figura 3.8
Distanza 10 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.10.
Inoltre se si guarda la Tabella 3.4 si puo vedere che il prodotto tra il
quadrato della distanza e la fluenza totale all’interno delle sferette si
mantiene pressoche costante. Cio indica l’esistenza di una proporzio-
nalita inversa tra le due grandezze, come ci si attendeva, in quanto nel
47
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
0 2 4 6 8 10
Pro
bab
ilit
y
0
10
20
30
40
50
-310×
Source check, 15 cmIntegral 3.577e-04Integral 1.000e+00
measuredreference
Figura 3.9
Distanza 15 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.10.
Energy (MeV)
0 2 4 6 8 10
Pro
bab
ilit
y
0
10
20
30
40
50
-310×
Source check, 20 cmIntegral 2.023e-04Integral 1.000e+00
measuredreference
Figura 3.10
Distanza 20 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro utilizzato per la creazione
della sorgente e quello risultato dal tally di fluenza della simulazione Monte Carlo,
a 5 (Figura 3.7), 10 (Figura 3.8), 15 (Figura 3.9) e 20 cm (Figura 3.10) dal
centro della sorgente. Gli spettri sono normalizzati per permettere la
sovrapposizione. La linea rossa indica lo spettro utilizzato nell’implementazione,
mentre i punti neri con le barre blu indicano il risultato del tally. Gli errori sul
conteggio possono essere nascosti dagli indicatori.
vuoto l’unica attenuazione della fluenza e data dalla dispersione delle
particelle, che varia come il quadrato della distanza.
Tale andamento puo essere meglio apprezzato da Figura 3.11, che
mostra il fit sui valori di Tabella 3.4.
48
3.1. PROCEDIMENTO
Distanza (cm) Fluenza totale (1/cm2) Distanza2 per Fluenza
5 (3.405± 0.007) · 10−3 0.0851± 0.0002
10 (8.11± 0.03) · 10−4 0.0811± 0.0003
15 (3.58± 0.02) · 10−4 0.0805± 0.0005
20 (2.02± 0.02) · 10−4 0.0809± 0.0008
Tabella 3.4
Fluenza totale nel vuoto a differenti distanze dalla sorgente. Il prodotto del
quadrato della distanza per il valore della fluenza rimane pressoche costante,
confermando la proporzionalita inversa tra le due grandezze.
Figura 3.11
Fit con andamento 1/R2 per i valori di fluenza riportati in Tabella 3.4. Come si
nota anche dal coefficiente R di correlazione, i punti si accordano molto bene con
un tale andamento. Gli errori sono nascosti dagli indicatori.
3. Successivamente e stata svolta una simulazione con:
49
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
struttura svuotata al suo interno, mentre all’esterno sono simulati
il pavimento in cemento, il contenitore in alluminio, il rivestimen-
to di paraffina e il coperchio. All’interno del contenitore vi era il
vuoto, non aria;
sorgente vuota, con spettro di Pu-Be;
opzione nps con produzione di 108 neutroni;
conteggio della fluenza attraverso tre sferette, raggio 0.5 cm, poste
a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente. Lo spettro del
fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati solitamente negli
studi di flusso sui reattori.
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 3.469e-03Integral 3.405e-03
nps,paraffinnps,empty
Figura 3.12
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.14
Come si puo vedere da Figura 3.12-Figura 3.14, in presenza del solo
rivestimento esterno di paraffina, nei pressi della sorgente lo spettro
rimane sostanzialmente quello emesso, mentre avvicinandosi alla parte
esterna si ha un aumento dei neutroni nella regione termica dovuto alla
riflessione e conseguente rallentamento prodotto dallo strato di paraf-
fina. Questo rivestimento ha infatti il ruolo di riflettore di neutroni,
evitando cosı che essi fuoriescano dalla struttura.
Il fatto che l’integrale della fluenza nella simulazione con paraffina sia
piu alto di quello senza paraffina, deriva quindi dalla minore frazione
di neutroni che sfuggono dal volume della struttura.
50
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 2.678e-04Integral 2.023e-04
nps,paraffinnps,empty
Figura 3.13
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.14
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 1.151e-04Integral 4.851e-05
nps,paraffinnps,empty
Figura 3.14
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra gli spettri della fluenza misurati con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il vuoto
all’interno, ma geometria completa all’esterno (indicato con paraffin). Entrambe
le simulazioni sono state effettuate con nps e i due spettri sono normalizzati per
permettere un miglior confronto.
4. In seguito per controllare l’effetto dell’acqua e stata effettuata una
simulazione con:
51
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
la struttura all’esterno del contenitore e stata considerata comple-
tamente, quindi rivestimento di paraffina, coperchio e pavimento
erano presenti. All’interno, invece, era presente solo acqua;
anche il volume della sorgente era riempito di acqua. Spettro di
Pu-Be;
opzione nps con produzione di 108 neutroni;
conteggio della fluenza attraverso tre sferette, raggio 0.5 cm, poste
a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente. Lo spettro del
fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati solitamente negli
studi di flusso sui reattori.
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 1.051e-02Integral 3.405e-03
nps,waternps,empty
Figura 3.15
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.17
In Figura 3.15-Figura 3.17 sono mostrati i risultati della simulazione
confrontati ancora con lo spettro emesso dalla sorgente. Gia a soli 5
cm dalla sorgente si nota fortemente l’effetto dell’acqua che riduce la
velocita dei neutroni, riducendo di conseguenza la componente veloce
dello spettro e aumentando quella termica. Infatti l’effetto dell’acqua
e proprio quello di moderatore di neutroni, in modo da farli termaliz-
zare e quindi aumentare la probabilita che inducano fissione nell’235U .
Con l’aumentare della distanza questo effetto rimane e si nota che il
valore totale della fluenza diminuisce piu rapidamente rispetto al caso
nel vuoto, a causa degli assorbimenti dovuti all’acqua stessa.
52
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 3.901e-04Integral 2.023e-04
nps,waternps,empty
Figura 3.16
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.17
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 1.000e-05Integral 4.851e-05
nps,waternps,empty
Figura 3.17
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con solo acqua
all’interno e geometria completa all’esterno (indicato con water). Entrambe le
simulazioni sono state effettuate con nps e i due spettri sono normalizzati per
permettere un miglior confronto.
Si nota anche che nei primi due grafici la fluenza ottenuta con la pre-
senza dell’acqua e maggiore rispetto a quella con la struttura vuota.
Questo potrebbe sembrare strano visto che non sono presenti materiali
53
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
fissili, che quindi potrebbero generare ulteriori neutroni. Il fatto e da
imputare, similmente a quanto accade per la paraffina, ad un effetto
di diffusione dei neutroni da parte dell’acqua e in particolare da parte
degli atomi di Idrogeno. Infatti un neutrone, che ha attraversato la
sferetta, potrebbe essere riflesso e pertanto contribuire due volte alla
fluenza calcolata all’interno della sferetta. Infine alla distanza di 40 cm
il valore della fluenza calcolata nel vuoto e circa cinque volte quello
in acqua perche la maggior parte dei neutroni sono stati assorbiti da
quest’ultima e anche il contributo di riflessione della paraffina e pres-
soche trascurabile in quanto una frazione minima di neutroni riesce a
raggiungere il volume del riflettore.
5. Il passo successivo e stato quello di controllare l’effetto del combusti-
bile, realizzato mediante due simulazioni con:
Per entrambe la struttura all’esterno del contenitore era comple-
ta, quindi rivestimento di paraffina, coperchio e pavimento er-
ano presenti. L’interno riempito solamente dalla guaina porta-
sorgente e dagli elementi di combustibile, posizionati in configu-
razione iniziale. Lo spazio interno rimanente era riempito di aria
(assenza di moderatore);
Entrambe le simulazioni con spettro sorgente di Pu-Be;
Una simulazione con opzione nps, sorgente vuota e produzione di
107 neutroni;
L’altra effettuata con kcode, con generazione di 5 · 104 neutroni
al ciclo, per 250 cicli, di cui i primi 50 non considerati nel calcolo
del keff . La sorgente e stata presa con il solo guscio esterno di
Pu-Be, come mostrato dall’immagine in Figura 3.5, indicata come
sorgente kcode.
In entrambe si e misurata la fluenza attraverso tre sferette, raggio
0.5 cm, poste a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente.
Lo spettro del fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati
solitamente negli studi di flusso sui reattori.
Figura 3.18-Figura 3.20 mostrano i risultati della simulazione svolta
con opzione nps, ancora a confronto con la sola sorgente. Si evidenzia
un aumento della percentuale di neutroni nella regione attorno ad 0.7
54
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 4.712e-03Integral 3.405e-03
nps,fuelnps,empty
Figura 3.18
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.20
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 7.938e-04Integral 2.023e-04
nps,fuelnps,empty
Figura 3.19
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.20
MeV. Infatti come si puo notare dallo spettro in Figura 1.3, questo
valore di energia e quello piu probabile per neutroni emessi nella fis-
sione. Si puo vedere anche che a 5 cm l’effetto della sorgente domina
ancora rispetto alle fissioni, mentre gia a 20 cm lo spettro coincide
praticamente con quello di fissione. A 40 cm si nota bene l’effetto
del rivestimento di paraffina che aumenta notevolmente la frazione di
55
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 2.280e-04Integral 4.851e-05
nps,fuelnps,empty
Figura 3.20
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il solo
combustibile all’interno (in configurazione iniziale) e geometria completa
all’esterno (indicato con fuel). Entrambe le simulazioni sono state effettuate con
nps e i due spettri sono normalizzati per permettere un miglior confronto.
neutroni termici.
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 1.917e-04Integral 3.405e-03
kcode,fuelnps,empty
Figura 3.21
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.23
Nella simulazione effettuata con opzione kcode, mostrata in Figu-
56
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 1.700e-04Integral 2.023e-04
kcode,fuelnps,empty
Figura 3.22
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.23
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 9.802e-05Integral 4.851e-05
kcode,fuelnps,empty
Figura 3.23
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il solo
combustibile all’interno (in configurazione iniziale) e geometria completa
all’esterno (indicato con kfuel). Quest’ultima simulazione e stata effettuata con
opzione kcode. I due spettri sono normalizzati per permettere un miglior
confronto.
ra 3.21-Figura 3.23, e riconoscibile lo stesso effetto presente in quella a
sorgente fissa, ovvero l’aumento della frazione di neutroni con energia
57
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
attorno ad 0.7 MeV. Il fatto importante e che gia a 5 cm dal centro
l’effetto della sorgente e assente. Come gia spiegato in Sezione C.0.12,
la totale assenza dell’effetto della sorgente e dovuta al modo in cui il
programma MCNP conduce le simulazioni con calcoli di criticita. In
questi casi infatti solo al primo ciclo si considera la sorgente indicata
nel file di input, mentre nei restanti sono solo le fissioni nel combustibi-
le ad avere importanza. Questo fatto puo essere anche notato andando
a confrontare i valori totali della fluenza, mostrati in Tabella 3.5
Distanza Fluenza totale (1/cm2) Fluenza totale (1/cm2) Fluenza totale (1/cm2)
(cm) nps, sorgente nps, fuel kcode, fuel
5 (3.4050± 0.0007) · 10−3 (4.7120± 0.0003) · 10−3 (1.1± 0.3) · 10−3
20 (2.023± 0.002) · 10−4 (7.9± 0.1) · 10−4 (9.7± 0.2) · 10−4
40 (4.851± 0.008) · 10−5 (2.28± 0.05) · 10−4 (5.6± 0.3) · 10−4
Tabella 3.5
Fluenza totale nel vuoto e nel caso di solo combustibile, sia con opzione nps sia
con kcode, a differenti distanze dalla sorgente. Il valore ottenuto con kcode e
stato moltiplicato per il numero di neutroni prodotti da fissione per neutrone
sorgente e diviso per il numero medio di neutroni prodotti per fissione, per rendere
confrontabili i due risultati.
Si nota infatti che utilizzando l’opzione kcode il valore della fluen-
za diminuisce lentamente in funzione della distanza, dirigendosi dal
centro alla periferia della struttura, segno che e totalmente dominata
dall’effetto di moltiplicazione del combustibile. Con l’utilizzo di nps si
ha invece una decrescita rapida con l’aumentare della distanza (effet-
to sorgente), anche se l’effetto moltiplicante del combustibile smorza
l’attenuazione.
Nel caso nps i neutroni sorgente sono emessi sempre dal centro del
reticolo, contribuendo ad elevare il valore della fluenza in prossimita
della sorgente, che quindi risulta superiore al caso kcode. Al contrario,
allontanandosi dal centro del reticolo, l’effetto moltiplicante del com-
bustibile determina un valore di fluenza superiore per il caso kcode,
rispetto ad nps.
In Figura 3.24-Figura 3.24 si trovano anche i confronti tra gli spettri
58
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 1.917e-04Integral 4.712e-03
kcode,fuelnps,fuel
Figura 3.24
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.26
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 1.700e-04Integral 7.938e-04
kcode,fuelnps,fuel
Figura 3.25
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.26
con combustibile dei due tipi differenti di simulazione. E evidente dai
grafici che i due spettri tendono a coincidere con l’aumentare della
distanza dal centro, per il fatto che allontanandosi dalla zona centrale
l’effetto moltiplicante delle fissioni cresce fino a dominare quello di dif-
fusione della sorgente.
Ulteriori considerazioni su queste due simulazioni possono essere fat-
59
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 9.802e-05Integral 2.280e-04
kcode,fuelnps,fuel
Figura 3.26
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la struttura con il solo combustibile (in configurazione iniziale per simulazioni
realizzate con comando nps e kcode. I due spettri sono normalizzati per
permettere un miglior confronto.
te ponendo l’attenzione sui valori del keff risultanti, riportati in
Tabella 3.6.
Tipo di simulazione keff Valore di Gox
kcode 0.42131± 0.00013 0.0026
nps 0.55179± 0.00017
Tabella 3.6
Valori del keff per le simulazioni con kcode e nps, nel caso di solo combustibile,
in configurazione iniziale. Nel secondo caso il valore e stato ricavato mediante
Eq. C.6 e viene anche riportato il valore di Gox che serve da stima per la
verosimiglianza del valore ottenuto con opzione nps. Analogamente a quanto fatto
in Tabella 3.3, anche in questo caso i valori sono espressi con cinque cifre
decimali.
Se come riferimento si prendono i valori di Tabella 3.3, si vede che
l’assenza dell’acqua riduce circa della meta il valore del keff . Questo
60
3.1. PROCEDIMENTO
perche senza la moderazione dell’acqua la frazione di neutroni termici
e molto inferiore e quindi la probabilita che avvengano fissioni si riduce
sensibilmente.
Si puo notare che il valore ottenuto dalla simulazione a sorgente fis-
sa e di circa il 30% maggiore rispetto a quello calcolato utilizzando
kcode. Una differenza cosı grande si puo spiegare considerando quanto
gia detto in Sezione C.0.12, ovvero che nel caso del opzione kcode il
programma svolge i calcoli come se il sistema fosse critico. Questo
ovviamente consiste in una approssimazione, che e legittima tanto
piu il valor vero di keff si avvicina ad 1. In questo caso il valore e
notevolmente inferiore, percio e da ritenersi piu affidabile il risultato
ottenuto con opzione nps, anche a fronte del valore ottenuto di Gox
(l’approssimazione in Eq. C.6 e valida se Gox 1).
6. Infine sono state svolte due simulazioni, le cui caratteristiche sono:
Per entrambe la struttura era completa di tutte le sue parti,
sia all’interno sia all’esterno. Il combustibile nel reticolo era
posizionato in configurazione iniziale;
Entrambe con spettro sorgente di Pu-Be;
Una simulazione con opzione nps, sorgente vuota e produzione di
107 neutroni;
L’altra effettuata con kcode, con generazione di 5 · 104 neutroni
al ciclo, per 250 cicli, di cui i primi 50 non considerati nel calcolo
del keff . La sorgente e stata presa con il solo guscio esterno di
Pu-Be, come mostrato dall’immagine in Figura 3.5, indicata come
sorgente kcode.
In entrambe si e misurata la fluenza attraverso tre sferette, raggio
0.5 cm, poste a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente.
Lo spettro del fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati
solitamente negli studi di flusso sui reattori.
In Figura 3.27-Figura 3.29 sono mostrati gli spettri della simulazione
a sorgente fissa, con geometria completa. In questo caso si possono
notare tutti gli effetti discussi fino ad ora per i vari elementi che cos-
tituiscono la struttura. Sono visibili infatti i neutroni prodotti da fis-
sione con energia piu probabile a 0.7 MeV e tutta la componente dello
61
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 1.133e-02Integral 3.405e-03
nps,fullnps,empty
Figura 3.27
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.29
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 1.678e-03Integral 2.023e-04
nps,fullnps,empty
Figura 3.28
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.29
spettro di termalizzazione termici dovuta alla presenza dell’acqua. Val-
gono considerazioni analoghe al caso del solo combustibile per quanto
riguarda effetti della sorgente o delle fissioni, se non che in questo caso
la fluenza totale e ancora maggiore, grazie alla moderazione dell’acqua
che permette un maggior numero di fissioni.
Se si osservano gli spettri ottenuti della simulazione con opzione kcode,
62
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 1.882e-04Integral 4.851e-05
nps,fullnps,empty
Figura 3.29
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con la struttura al
completo (in configurazione iniziale e indicata con full). Entrambe le simulazioni
sono state realizzate con opzione nps. I due spettri sono normalizzati per
permettere un miglior confronto.
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 2.096e-04Integral 3.405e-03
kcode,fullnps,empty
Figura 3.30
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.32
mostrati in Figura 3.30-Figura 3.32, rispetto a Figura 3.27-Figura 3.27,
si possono fare le medesime considerazioni, gia fatte in precedenza, nel
caso delle due simulazioni con il solo combustibile. L’unica differenza
63
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 1.642e-04Integral 2.023e-04
kcode,fullnps,empty
Figura 3.31
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.32
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 3.407e-05Integral 4.851e-05
kcode,fullnps,empty
Figura 3.32
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con la struttura al
completo (in configurazione iniziale e indicata con full). Quest’ultima simulazione
e stata realizzata con opzione kcode. I due spettri sono normalizzati per
permettere un miglior confronto.
tra i due tipi di simulazione sta sempre nell’effetto della sorgente, che
per la seconda e assente e lo si nota nella regione finale dello spettro,
attorno a qualche MeV di energia.
64
3.1. PROCEDIMENTO
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Spettro fluenza a 5 cmIntegral 2.096e-04Integral 1.133e-02
kcode,fullnps,full
Figura 3.33
Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.35
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Spettro fluenza a 20 cmIntegral 1.642e-04Integral 1.678e-03
kcode,fullnps,full
Figura 3.34
Distanza 20 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.35
Dal confronto diretto tra i risultati ottenuti dai due tipi di simulazio-
ne, vedi Figura 3.33-Figura 3.35, la presenza o meno dell’effetto della
sorgente e ancora piu visibile.
Qualche considerazione ulteriore puo essere fatta se si prendono i due
valori di keff ottenuti dalle prove, riportati in Tabella 3.7.
65
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Energy (MeV)
-810
-710
-610
-510
-410
-310
-210
-110 1 10
21
/cm
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Spettro fluenza a 40 cmIntegral 3.407e-05Integral 1.882e-04
kcode,fullnps,full
Figura 3.35
Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con
la struttura al completo (in configurazione iniziale per le simulazioni realizzate con
comando nps e kcode. I due spettri sono normalizzati per permettere un miglior
confronto.
Tipo di simulazione keff Valore di Gox
kcode 0.81774± 0.00016 0.002
nps 0.84644± 0.00042
Tabella 3.7
Valori del keff per le simulazioni con kcode e nps, nel caso di geometria
completa, combustibile in configurazione iniziale. Nel secondo caso il valore e stato
ricavato mediante Eq. C.6 e viene anche riportato il valore di Gox che serve da
stima per la verosimiglianza del valore ottenuto con opzione nps. Si e sempre
utilizzata la convenzione di cinque decimali per il keff . L’errore e indicato come
incertezza standard.
Osservando i due risultati si nota subito che questa volta il valore for-
nito dalla simulazione con opzione kcode e inferiore di circa il 3.5%
rispetto a quello ottenuto con nps (considerato piu attendibile anche
a fronte del valore di Gox), a riprova del discorso fatto in precedenza,
66
3.1. PROCEDIMENTO
ovvero che piu il valore reale di keff si avvicina ad uno piu la simula-
zione con kcode restituisce un valore vicino al vero.
Va fatta un’altra considerazione in merito al keff . In questo caso le
simulazioni sono state effettuate con la sorgente svuotata del suo mate-
riale costitutivo, per le ragioni gia discusse in Sezione 3.1.2, e come gia
accennato questo ovviamente comporta una riduzione del coefficiente
di moltiplicazione. Discuteremo ora di tale variazione, in Tabella 3.8
sono riportati i valori del coefficiente per i due tipi di simulazione nei
casi di sorgente vuota e piena.
Tipo di keff con keff con Rapporto
simulazione sorgente piena sorgente vuota
kcode 0.82330± 0.00036 0.81774± 0.00016 0.68%
nps 0.87729± 0.00044 0.84644± 0.00042 3.52%
Tabella 3.8
Variazioni del keff a seconda dell’utilizzo di sorgente vuota o piena. Il primo
valore nel caso di kcode e stato preso da Tabella 3.3, mentre per nps e stata
svolta una simulazione apposta per lo scopo di ricavare tale valore. La variazione
e riferita al valore con sorgente piena. Valgono considerazioni analoghe a tabella
precedente, per numero di decimali nei valori.
Come si puo vedere da Tabella 3.8 la differenza tra i valori del coef-
ficiente k a sorgente vuota e piena e al massimo di qualche percento
nel caso di nps (inferiore all’1% nel caso di kcode). In letteratura e
noto lo spettro di emissione delle sorgenti di Pu-Be e tale spettro risul-
terebbe distorto dalle reazioni nucleari che avverrebbero all’interno del
volume della sorgente piena. Si e percio deciso di utilizzare nelle simu-
lazioni la sorgente vuota con spettro di emissione come da letteratura,
e intensita di emissione dichiarata nella documentazione tecnica della
sorgente stessa. Questa scelta potrebbe comportare una sottostima
del coefficiente di moltiplicazione del complesso di difficile valutazione
(comunque non superiore al 3.5%), ma e l’unico modo per poter avere
un fattore di normalizzazione delle simulazioni noto con ragionevole
certezza.
67
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
7. Come ultima prova sono state svolte due simulazioni con:
struttura completa sia all’esterno, sia all’interno del contenitore,
combustibile in configurazione iniziale;
una con opzione nps e generazione di 107 neutroni;
una con opzione kcode, generazione di 105 neutroni al ciclo, per
250 cicli, con i primi 50 non utilizzati per i conteggi;
misura della fluenza di neutroni all’interno dei lingotti di Uranio.
Lo spettro della fluenza e stato suddiviso nei consueti trenta bin,
come nelle precedenti simulazioni.
X
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Y
-6-4
-20
24
680
0.51
1.52
2.53
3.54
-310×
Terzo livelloMean x -0.2645Mean y -0.1954
Integral 0.9758
Terzo livelloMean x -0.2645Mean y -0.1954
Integral 0.9758
Flusso (neutroni/cm^2 s), nps
Figura 3.36
Distribuzione di fluenza a livello sorgente (con combustibile in configurazione
iniziale) risultante da una simulazione con opzione nps.
Come si puo vedere in Figura 3.36, relativa alla simulazione con nps,
la distribuzione della fluenza, diminuisce rapidamente all’aumentare
68
3.1. PROCEDIMENTO
X
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Y
-6-4
-20
24
680
0.020.040.060.08
0.10.120.140.160.18
0.2-310×
Terzo livelloMean x -0.8087Mean y -0.1624
Integral 0.1015
Terzo livelloMean x -0.8087Mean y -0.1624
Integral 0.1015
Flusso (neutroni/cm^2 s), kcode
Figura 3.37
Distribuzione di fluenza a livello sorgente (con combustibile in configurazione
iniziale) risultante da una simulazione con opzione kcode.
della distanza dalla sorgente. Mentre in Figura 3.37, relativa alla si-
mulazione con opzione kcode, la fluenza diminuisce piu gradualmente.
Questo conferma quanto illustrato nella Sezione C.0.12.
Si fa notare che la zona al centro del reticolo risulta avere una fluenza
nulla, in quanto in tale regione non sono presenti lingotti di combustibi-
le. Si puo anche osservare una certa asimmetria della distribuzione del-
la fluenza (molto piu evidente nei risultati ottenuti con kcode), dovu-
ta alla disposizione non perfettamente simmetrica degli elementi di
combustibile nel reticolo.
Sulla base dei risultati delle simulazioni fin qui svolte, si e deciso di
utilizzare in quelle successive solamente l’opzione nps, con la sorgente vuota,
in quanto descrive in modo piu realistico il complesso moltiplicante. Inoltre,
anche in previsione della realizzazione delle misure, e stata modificata la
69
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
disposizione degli elementi di combustibile, disponendoli in configurazione
finale, in modo da ottenere un flusso maggiore nella zona centrale e ridurre
l’asimmetria della loro disposizione.
Simulazione del complesso moltiplicante in configurazione finale
A questo punto e stato possibile iniziare a svolgere le simulazioni per la
caratterizzazione del flusso neutronico del complesso sottocritico SM1.
Come prova e stata svolta una simulazione con:
struttura completa sia all’esterno, sia all’interno del contenitore, e
combustibile in configurazione finale;
opzione nps con generazione di 107 neutroni;
misura della fluenza di neutroni e della densita di fissioni all’interno
dei lingotti di Uranio.
In Figura 3.38 e rappresentata la fluenza in ciascun lingotto all’interno
della struttura al livello della sorgente (equatore del reticolo). Si puo notare
che nella zona centrale si ha il picco dovuto alla sorgente, mentre allon-
tanandosi da essa il valore della fluenza decresce rapidamente e si evidenzia
il contributo della moltiplicazione.
Spostandosi verticalmente dalla quota equatoriale verso gli estremi del
reticolo, il picco al centro tende a diminuire e la distribuzione risulta sempre
piu piatta. Questo comportamento e giustificato dal fatto che, allontanan-
dosi verticalmente dalla sorgente il contributo diretto diminuisce rispetto
all’effetto moltiplicante del reticolo. In Tabella 3.9 viene riportato il valore
di flusso (fluenza moltiplicata per l’intensita della sorgente) medio in ciascun
anello, all’equatore del reticolo.
Utilizzando invece i valori ottenuti per la densita di fissioni, si e potuto
ricavare la potenza termica prodotta in ciascun lingotto e quindi quella totale
generata dalla struttura moltiplicante. Per il calcolo sono stati utilizzati i
seguenti valori:
volume di un singolo lingotto di Uranio: 103.5 cm3;
energia media liberata in una fissione: 202.5MeV = 3.24 · 10−11 J ;
intensita della sorgente: 7 · 106 neutroni/s.
70
3.1. PROCEDIMENTO
X
-15 -10 -5 0 5 10 15
Y
-15-10
-50
510
150
1
2
3
4
5
6
7
-310×
Terzo livelloMean x -0.04747
Mean y -0.02194
Integral 1.446
Terzo livelloMean x -0.04747
Mean y -0.02194
Integral 1.446
Flusso (neutroni/cm^2 s), nps
Figura 3.38
Valori del flusso in ciascun lingotto a livello della sorgente. Il grafico e simile a
quello in Figura 3.36 se non per la disposizione degli elementi di combustibile.
Infatti Figura 3.36 si trovano in configurazione iniziale, mentre in questo caso
sono in configurazione finale.
Moltiplicando i fattori sopraelencati per la densita di fissioni ottenuta
dalla simulazione si e ottenuto il valore della potenza sviluppata in ciascun
lingotto. In Tabella 3.10 sono mostrate la potenza media sviluppata da una
singola barra nei diversi anelli e quella prodotta da ciascun anello.
La potenza totale invece risulta essere:
Potenza = (7.3237± 0.0007) · 10−4 W (3.1)
dove l’errore e indicato come incertezza standard.
71
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
X
-15 -10 -5 0 5 10 15
Y
-15-10
-50
510
150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8-310×
Quinto livelloMean x -0.06235
Mean y -0.05431
Integral 0.3072
Quinto livelloMean x -0.06235
Mean y -0.05431
Integral 0.3072
Flusso (neutroni/cm^2 s), nps
Figura 3.39
Valori del flusso in ciascun lingotto alla sommita del reticolo (circa 35 cm al di
sopra dell’equatore del reticolo). Si nota, confrontando con Figura 3.38, che i
valori della fluenza decrescono piu lentamente spostandosi dal centro del reticolo,
segno che prevale l’effetto della moltiplicazione (si noti come varia la scala
sull’asse z).
Dalla simulazione in configurazione finale e stato anche ricavato il valore
del keff del complesso moltiplicante sottocritico SM1, in tale configurazione:
keff = 0.88699± 0.00044 (3.2)
dove e stata utilizzata di nuovo la notazione a cinque cifre decimali per
il valore del k.
Dal valore di keff trovato, si puo ricavare il fattore di moltiplicazione del
complesso moltiplicante sottocritico:
72
3.1. PROCEDIMENTO
X
-15 -10 -5 0 5 10 15
Y
-15-10
-50
510
150
0.020.040.060.08
0.10.120.140.160.18
0.20.220.24
-310×
Primo livelloMean x -0.07114
Mean y -0.06557
Integral 0.1002
Primo livelloMean x -0.07114
Mean y -0.06557
Integral 0.1002
Flusso (neutroni/cm^2 s), nps
Figura 3.40
Valori del flusso in ciascun lingotto al livello piu vicino al fondo del contenitore
(circa 50 cm al di sotto dell’equatore del reticolo. Si nota, confrontando con
Figura 3.38, che i valori della fluenza decrescono molto piu lentamente
spostandosi dal centro del reticolo, segno che prevale l’effetto della moltiplicazione
(si noti come varia la scala sull’asse z).
M =1
1− keff= 8.849± 0.004 (3.3)
Se si considera il fatto che il valore di keff appena calcolato risulta da
una simulazione a sorgente vuota e percio si tiene conto di un aumento pari
a circa il 3.5% nel caso di sorgente piena, si ricavano i valori:
keff = 0.91803± 0.00046 ; M = 12.200± 0.006 (3.4)
73
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
Anello Flusso (neutroni/cm2 s)
1 (4.913± 0.002) · 104
2 (3.2801± 0.0009) · 104
3 (2.3204± 0.0006) · 104
4 (1.6575± 0.0004) · 104
5 (1.1793± 0.0003) · 104
6 (8.244± 0.002) · 103
7 (5.579± 0.002) · 103
8 (3.758± 0.001) · 103
Tabella 3.9
Valori medi del flusso nei lingotti per ciascun anello, al livello della sorgente. I
valori della fluenza sono stati moltiplicati per l’intensita della sorgente,
7 · 106 neutroni/s. L’errore e fornito come incertezza standard.
Anello Elementi Potenza barra (W) Potenza anello (W)
1 6 (1.0876± 0.0003) · 10−5 (6.526± 0.002) · 10−5
2 12 (8.125± 0.002) · 10−6 (9.750± 0.003) · 10−5
3 18 (6.318± 0.002) · 10−6 (1.1373± 0.0003) · 10−4
4 24 (4.824± 0.001) · 10−6 (1.1577± 0.0003) · 10−4
5 30 (3.6029± 0.0009) · 10−6 (1.0809± 0.0003) · 10−4
6 36 (2.6154± 0.0007) · 10−6 (9.415± 0.002) · 10−5
7 42 (1.8993± 0.0005) · 10−6 (7.977± 0.002) · 10−5
8 38 (1.5292± 0.0005) · 10−6 (5.811± 0.002) · 10−5
Tabella 3.10
Potenza media sviluppata da una singola barra di combustibile nei differenti anelli
e quella prodotta da ciascun anello. L’errore e fornito come incertezza standard.
Simulazione del complesso moltiplicante in configurazione di misura
A seguire e stata svolta la simulazione del complesso con la quale ottenere
i risultati da confrontare con le misure di flusso:
74
3.1. PROCEDIMENTO
geometria completa, combustibile in configurazione di misura;
opzione nps, generazione di 107;
misura della fluenza attraverso tre point detector, posizionati all’inter-
no dei canali lasciati vuoti, alle stesse altezze a cui sono state inserite
le targhette per l’irraggiamento.
lo spettro di output delle misure e stato suddiviso in un maggior nu-
mero di bin, rispetto alle precedenti simulazioni, nella zona superiore
a circa 1 MeV, in modo da ottenere una migliore visualizzazione del-
la distribuzione della sorgente, come si puo notare in Figura 3.41,
Figura 3.42 e Figura 3.43.
La scelta dei point detector rispetto alle sferette e dovuta al fatto che
i primi possiedono una statistica migliore e consentono quindi di ridurre
l’errore sulle misure.
Dalla simulazione si sono ottenuti i valori del flusso integrale, nei tre canali
considerati, mostrati in Tabella 3.11
Anello Canale Intensita flusso neutroni/cm2 s
2 A (4.494± 0.005) · 104
4 B (2.024± 0.003) · 104
6 C (8.39± 0.02) · 103
Tabella 3.11
Flusso integrale nei tre canali di misura, ottenuto dalla simulazione con il codice
MCNP. L’errore e fornito ad una deviazione standard.
75
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s / c
m^2
s)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04
Flusso integrale, anello 2
Figura 3.41
Spettro ottenuto con la simulazione con point detector e bin energetici modificati
nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento A (anello 2). Si
distinguono bene la regione termica, la regione di rallentamento, la distribuzione
dei neutroni di fissione con energia piu probabile attorno a 0.7 MeV e la
distribuzione della sorgente di Pu-Be ad energie di qualche MeV.
76
3.1. PROCEDIMENTO
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s / c
m^2
s)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04
Flusso integrale, anello 4
Figura 3.42
Spettro ottenuto con la simulazione con point detector e bin energetici modificati
nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento B (anello 4). Si
distinguono bene la regione termica, la regione di rallentamento, la distribuzione
dei neutroni di fissione con energia piu probabile attorno a 0.7 MeV e la
distribuzione della sorgente di Pu-Be ad energie di qualche MeV.
77
CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/ c
m^2
s)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389
Flusso integrale, anello 6
Figura 3.43
Spettro ottenuto con la simulazione con point detector e bin energetici modificati
nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento C (anello 6). Si
distinguono bene la regione termica, la regione di rallentamento, la distribuzione
dei neutroni di fissione con energia piu probabile attorno a 0.7 MeV e la
distribuzione della sorgente di Pu-Be ad energie di qualche MeV.
78
Capitolo 4
Misure di flusso nella
struttura moltiplicante
sottocritica “SM1”
Nonostante il risultato di ciascuna simulazione venisse analizzato e si
cercasse di riscontrare ogni possibile discrepanza di cio che si otteneva dalla
realta, il metodo migliore per validare tutto il lavoro svolto tramite il pro-
gramma MCNP resta quello di confrontare i risultati delle simulazioni con
quelli delle misure.
Per ottenere tali dati sono state irraggiate targhette di materiali differenti,
in tre posizioni del reticolo (canali A,B,C). Successivamente e stata misurata
l’attivita indotta mediante un rivelatore gamma a basso fondo. Conoscendo
i tempi di irraggiamento, di attesa prima del conteggio e di conteggio si e po-
tuto risalire all’attivita a fine irraggiamento e calcolare l’attivita specifica a
saturazione. Utilizzando il programma di deconvoluzione SAND II, fornen-
do i valori di attivita specifica a saturazione, si e calcolata la distribuzione
in energia e l’intensita dei flussi neutronici nelle varie posizioni di irraggia-
mento, i quali sono poi stati confrontati con i risultati delle simulazioni.
In Appendice D sono descritte brevemente le caratteristiche principali e il
metodo di svolgimento dell’algoritmo di SAND II.
79
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
4.1 Svolgimento delle misure
4.1.1 Irraggiamento e Conteggio
Per la misura sono state irraggiate targhette sottili di Oro, Rame e
Indio in ciascun canale di irraggiamento (A,B,C; si veda Figura 3.3). La
Tabella 4.1 riassume le loro caratteristiche.
Elemento Contrassegno Massa (mg)
Au 2 8.25± 0.02
Au 4 9.71± 0.02
Au J 11.92± 0.02
Cu 1 158.13± 0.02
Cu 2 159.67± 0.02
Cu 3 158.63± 0.02
In 1 248.63± 0.02
In 2 264.56± 0.02
In 3 86.93± 0.02
Tabella 4.1
Elemento, massa e contrassegno di ciascuna targhetta. L’errore e fornito come
incertezza massima.
Per l’inserimento dei campioni all’interno della struttura e stata utiliz-
zata un’asta di Plexiglass dotata ad una estremita di un bossolo portacam-
pioni, mentre all’altra di un anello metallico la cui posizione lungo la stessa
puo essere regolata e fissata mediante una vite (Figura 3.3). L’anello di
metallo funge da stopper, appoggiandosi alla sommita della guaina vuota,
in modo che sia possibile decidere la profondita alla quale calare l’asta e il
portacampioni.
In Tabella 4.2 vengono riassunti posizione, altezza dal fondo del conteni-
tore e tempo di irraggiamento per ciascuna targhetta.
In Tabella 4.2 si nota che la targhetta In-3 e stata irraggiata sia nella
posizione dell’anello 4, sia in quella dell’anello 2. Questo perche, come si puo
vedere da Eq. (4.1), per l’Indio vengono considerate due reazioni. La prima
80
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
Anello metallico Portacampioni
Figura 4.1
Rappresentazione dell’asta di Plexiglass utilizzata per le misure. Una volta inserite
il portacampioni si trova all’estremita inferiore, mentre la parte alla sinistra
dell’anello metallico fuoriesce al di sopra della guaina di Alluminio.
Targhetta Anello Altezza dal Tempo
fondo (cm) Irragg. (s)
Au 4 2 68.5 1040520± 35
Au J 4 71.5 1040520± 35
Au 2 6 68.5 1293720± 35
Cu 2 2 68.5 1040520± 35
Cu 1 4 71.5 1040520± 35
Cu 3 6 68.5 1293720± 35
In 1 2 71.5 863220± 35
In 3 4 71.5 430080± 35
In 2 6 68.5 598980± 35
In 3 2 68.5 605040± 35
Tabella 4.2
Riassunto dei dati relativi all’irraggiamento delle targhette. L’errore e fornito
come deviazione standard.
delle due, avendo un tempo di dimezzamento molto breve, rende difficile
l’individuazione del picco della seconda. Per questo si e reso necessario
ripetere la misura per l’Indio. Piu avanti sara spiegato meglio lo svolgimento
e il conteggio di questa seconda misura.
Le reazioni di attivazione considerate per i tre materiali sono:
81
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
(1) 197Au+ n→ 198Auβ− 2.7d−−−−−−→ 198Hg + e− + γ
(2) 63Cu+ n→ 64Cuβ+ 12.7h−−−−−−−→ 64Ni+ 2γ
(3) 115In+ n→ 116mInγ 54.3m−−−−−−→ 116In+ γ
(4) 115In+ n→ 115mIn+ n′γ 4.5h−−−−−→ 115In+ γ
(4.1)
dove sopra le frecce nel secondo passaggio sono indicati modo di decadi-
mento e tempo di dimezzamento.
In Tabella 4.3 vengono invece riassunti i tempi di dimezzamento e le energie
dei fotoni gamma emessi con maggiore probabilita nelle differenti reazioni
considerate.
Reazione Tempo di Energia fotone
dimezzamento (s) (keV)
197Au(n, γ)198Au 2.33 · 105 411.80 (95.53%)
675.88 (1.06 %)63Cu(n, γ)64Cu 4.57 · 104 511.00 (35.20 %)
1345.50 (0.47 %)115In(n, γ)116mIn 3.26 · 103 1293.50 (84.50 %)
1097.20 (55.35 %)
417.00 (27.80 %)115In(n, n′)115mIn 1.61 · 104 336.25 (46.10 %)
Tabella 4.3
Tempo di dimezzamento ed energia in keV dei fotoni gamma emessi per le
reazioni considerate.
Mediante un rivelatore gamma a basso fondo, sono stati misurati gli
spettri di emissione gamma di ciascuna targhetta. Sono state realizzate piu
misure per ciascuna targhetta, compatibilmente con il tempo di dimezza-
mento e l’intensita dell’emissione, per ridurre l’errore della misura relativo
al posizionamento della targhetta sul cristallo. Dagli spettri misurati si e
potuto ricavare il valore dell’attivita delle targhette. In Tabella 4.4 vengono
riassunti i dati relativi alle operazioni di conteggio.
82
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
Targhetta Tempo di Tempo di Attivita
attesa (s) conteggio (s) Misurata (Bq)
Au-4 (1.7277± 0.0003) · 105 3606.0± 0.1 63.3± 0.5
Au-4 (1.8606± 0.0003) · 105 3603.7± 0.1 60.4± 0.5
Au-4 (3.3804± 0.0003) · 105 3603.0± 0.1 35.6± 0.4
Au-J (1.6716± 0.0003) · 105 3603.1± 0.1 38.3± 0.4
Au-J (1.7940± 0.0003) · 105 3603.0± 0.1 37.7± 0.4
Au-J (1.9842± 0.0003) · 105 3602.8± 0.1 35.2± 0.4
Au-2 (9.030± 0.003) · 104 15010.8± 0.1 14.9± 0.1
Cu-2 (8.19± 0.03) · 103 3602.9± 0.1 95± 1
Cu-2 (1.872± 0.003) · 104 3602.5± 0.1 80± 1
Cu-1 (2.43± 0.03) · 103 3602.4± 0.1 53.2± 0.9
Cu-1 (1.417± 0.003) · 104 3602.3± 0.1 43.7± 0.8
Cu-3 (4.26± 0.03) · 103 15011.8± 0.1 17.6± 0.3
In-1 (8.7± 0.3) · 102 1042.7± 0.1 2940± 20
In-1 (1.98± 0.03) · 103 1033.8± 0.1 2360± 20
In-1 (3.11± 0.03) · 103 1026.6± 0.1 1860± 20
In-3 (8.1± 0.3) · 102 1009.4± 0.1 642± 5
In-3 (1.94± 0.03) · 103 302.3± 0.1 539± 4
In-3 (2.61± 0.03) · 103 302.1± 0.1 459± 4
In-2 (2.20± 0.03) · 103 1006.0± 0.1 411± 3
In-2 (3.25± 0.03) · 103 1004.9± 0.1 324± 3
In-2 (4.34± 0.03) · 103 1004.0± 0.1 259± 2
In-3 (1.541± 0.003) · 104 3604.2± 0.1 0.7± 0.3
Tabella 4.4
Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette. Viene riportata
anche la durata del conteggio e il tempo trascorso tra la fine dell’irraggiamento e
l’inizio del conteggio (Tempo di Attesa). L’errore e riportato come deviazione
standard e si riferisce al solo errore statistico.
Prendiamo ora in considerazione il secondo irraggiamento effettuato sulla
targhetta In-3. Per prima cosa va detto che e stato svolto a distanza di circa
otto giorni dalla fine della prima esposizione e quindi, come si puo vedere
dai tempi di dimezzamento indicati nelle reazioni in Eq. (4.1), al momento
83
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
del secondo irraggiamento l’attivita indotta dal primo era trascurabile. In
secondo luogo tale misura e stata realizzata per ottenere una migliore statis-
tica per la quarta reazione di Eq. (4.1), in quanto nei primi spettri ottenuti
i gamma emessi dal 115mIn erano sommersi dal fondo dovuto a quelli emessi
dal 116mIn, di intensita molto maggiore. Si e deciso percio di irraggiare per
la seconda volta la targhetta di Indio e attendere qualche ora tra la fine
dell’irraggiamento e l’inizio del conteggio, in modo da ridurre notevolmente
la componente di gamma emessi dal 116mIn.
Una misura dell’attivita del 115mIn e importante poiche, mentre l’Oro, il
Rame e l’Indio per la reazione di cattura, possiedono sezioni d’urto senza
soglia che risultano essere elevate nell’intervallo energetico termico ed epiter-
mico, la formazione dello stato metastabile 115mIn e una reazione a soglia
(En > 1.65 MeV), che avviene solamente con neutroni veloci. Questo fatto
significa che l’informazione sull’attivita del 115mIn, permette all’algoritmo
di SAND di operare sullo spettro energetico anche nella regione veloce, re-
gione nella quale e presente il contributo dovuto alla sorgente di Pu-Be.
Il calcolo dell’attivita per la reazione 115In(n, n′)115mIn e stato fatto solo
per l’anello 2, poiche negli altri la frazione di neutroni veloci sarebbe troppo
bassa per ottenere una misura accettabile.
Stima dell’errore sul posizionamento e calcolo dei valori medi di
attivita
Per eseguire una stima dell’errore derivante dal posizionamento della
targhetta sul cristallo di Germanio del rivelatore a basso fondo sono stati
eseguiti dieci conteggi di attivita da 300 s sulla targhetta di Indio che era
stata irraggiata per la seconda volta. Di queste dieci misure si e calcolata,
in modo analogo a quanto fatto per le precedenti targhette, l’attivita a fine
irraggiamento al fine di rendere confrontabili i risultati. La reazione consi-
derata per il calcolo dell’attivita e 115In(n, γ)116mIn.
In Tabella 4.5 sono riportati i valori ottenuti dalle dieci misure.
Sono state quindi calcolate media e varianza della distribuzione dei valori
ottenuti. Tale varianza, σ2 e la somma della media, µ e della varianza dovuta
al posizionamento, σ2p:
σ2 = µ+ σ2p (4.2)
84
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
Misura Tempo di Tempo di Attivita
attesa (s) conteggio (s) Misurata (Bq)
1 (1.10± 0.03) · 103 305.5± 0.1 (1.3176± 0.0007) · 103
2 (1.58± 0.03) · 103 305.0± 0.1 (1.3480± 0.0007) · 103
3 (1.93± 0.03) · 103 304.7± 0.1 (1.0872± 0.0007) · 103
4 (2.27± 0.03) · 103 304.3± 0.1 (1.0058± 0.0007) · 103
5 (2.63± 0.03) · 103 304.1± 0.1 (9.384± 0.007) · 102
6 (2.98± 0.03) · 103 303.7± 0.1 (8.762± 0.007) · 102
7 (3.33± 0.03) · 103 303.5± 0.1 (8.236± 0.007) · 102
8 (3.87± 0.03) · 103 303.1± 0.1 (7.300± 0.007) · 102
9 (4.20± 0.03) · 103 302.9± 0.1 (6.790± 0.007) · 102
10 (4.53± 0.03) · 103 302.8± 0.1 (6.278± 0.007) · 102
Tabella 4.5
Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette per la stima
dell’errore sul posizionamento. Gli errori sono forniti come deviazione standard.
Si puo quindi ricavare l’incertezza standard dovuta al posizionamento
come:
σp =√µ− σ2 (4.3)
Va ricordato che tale formula sarebbe corretta nel caso di misure effet-
tuate con una sorgente di attivita costante, mentre in questo caso la reazione
considerata ha un tempo di dimezzamento confrontabile con il tempo di
misura. Pertanto, per poterla utilizzare, e stato necessario correggere la
misura per il decadimento della sorgente durante il conteggio. questa cor-
rezione introduce un errore nell’applicazione della formula, che, percio risulta
essere solamente una stima.
Dalle misure effettuate, il valore per l’incertezza standard sul posizionamento
e risultato essere:
σp ≈ 4 % (4.4)
85
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
Tale errore e stato sommato a quello statistico, riportato in Tabella 4.4,
delle singole misure, in quanto si tratta di un effetto sistematico di possibile
scostamento della misura dal valore vero. Come gia accennato in preceden-
za dove e stato possibile sono state svolte piu misure della stessa targhetta,
ogni volta riposizionandola sul rivelatore, in modo da ridurre tale effetto nel
successivo calcolo del valore medio.
Targhetta Attivita (Bq) Targhetta Attivita (Bq)
Au 4 63± 3 Cu 3 18± 1
Au 4 60± 3 In 1 2900± 100
Au 4 36± 2 In 1 2360± 90
Au J 38± 2 In 1 1860± 70
Au J 38± 2 In 3 640± 30
Au J 35± 2 In 3 540± 20
Au 2 14.9± 0.7 In 3 460± 20
Cu 2 95± 5 In 2 410± 20
Cu 2 80± 4 In 2 320± 10
Cu 1 53± 3 In 2 260± 10
Cu 1 44± 2 In 3 0.7± 0.4
Tabella 4.6
Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette per la stima
dell’errore sul posizionamento. Gli errori sono forniti come deviazione standard.
Tabella 4.6 mostra i valori di attivita misurate nelle prove di conteggio
insieme al relativo errore stimato come somma di quello statistico e quello
di posizionamento appena calcolato.
Una volta ottenuto l’errore complessivo di ciascuna misura, e stato calcolato
il valor medio dell’attivita a fine irraggiamento per ciascuna targhetta, uti-
lizzando il “metodo dei minimi quadrati ” ([5]). La relazione per il calcolo
del valor medio e:
86
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
xm =
∑ixiσ2i∑
i1σ2i
(4.5)
dove xm rappresenta la miglior stima del valore vero di attivita, xi sono
i risultati dei singoli conteggi e σ2i sono le varianze dei conteggi.
E stata quindi calcolata la varianza del campione di misure, relative a
ciascuna targhetta, mediante la relazione:
σ2C =
∑i(xi − xm)2
N − 1(4.6)
dove N rappresenta il numero di misure considerate per il calcolo del
valor medio. Dalla varianza del campione si ricava la deviazione standard
di xm:
σm =
√σ2C√N
(4.7)
Con i valori cosı ottenuti si e proceduto con il calcolo dell’attivita
specifica.
4.1.2 Calcolo dell’attivita specifica a saturazione
Poiche il programma di deconvoluzione SAND II richiede come input i
valori di attivita specifica a saturazione delle targhette irraggiate, di seguito
viene spiegato come e stato calcolato tale valore. Per prima cosa il valo-
re di attivita misurato deve essere corretto per un fattore che tiene conto
del decadimento durante il conteggio. In questo tempo, infatti, l’elemento
radioattivo decade e quindi cambia la sua attivita. Il risultato e che il valo-
re misurato e inferiore a quello reale all’inizio del conteggio. Il fattore che
permette questa correzione e dato da:
Fcont =λTcont
1− exp(−λTcont)(4.8)
dove Tcont indica il tempo di durata del conteggio espresso in secondi e
λ = ln(2)/T1/2 e la costante di decadimento della reazione considerata.
Moltiplicando quindi l’attivita misurata per il fattore Fcont, si ottiene
l’attivita all’inizio del conteggio, Ain:
Ain = Amis Fcont (4.9)
87
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
Il secondo passo e quello di risalire all’attivita della targhetta a fine
irraggiamento, in modo, anche, da poter confrontare le varie misure fatte
su una singola targhetta. Per ottenere questo si moltiplica l’attivita a inizio
conteggio per il fattore:
Fatt =1
exp(−λTatt)(4.10)
dove Tatt e il tempo di attesa, trascorso tra la fine dell’irraggiamento e
l’inizio del conteggio, in secondi.
Ottenuta l’attivita a fine irraggiamento si puo risalire a quella specifica,
dividendo per il numero di atomi presenti nella targhetta:
Aspec =Afine−irrmatom
mNA(4.11)
dove Afine−irr e l’attivita a fine irraggiamento, matom e la massa atomica
dell’elemento considerato, m e la massa della targhetta e NA e il numero di
Avogadro.
Infine moltiplicando per il fattore di saturazione si ottiene l’attivita specifica
a saturazione:
As−sat = Aspec · Fsat =Aspec
1− exp(−λTirr)(4.12)
dove Tirr e il tempo di irraggiamento della targhetta in secondi.
Coefficiente di attenuazione
Per gli elementi con una sezione d’urto di cattura neutronica molto el-
evata, come l’Oro, l’intensita del flusso all’interno della targhetta non e
costante, ma diminuisce all’aumentare dello spessore attraversato, a causa
dell’elevato numero di catture da parte del materiale. In questi casi l’at-
tivita che risulta e inferiore a quella che si avrebbe se il flusso che investe
la targhetta rimanesse costante per tutto lo spessore. Al fine di evitare di
sottostimare il flusso incidente, si rende percio necessaria una correzione per
questo effetto.
Per ottenere un valore del coefficiente di attenuazione sono state svolte due
simulazione con MCNP con:
una cella coincidente con il volume della targhetta e riempita di
Oro, contenuta in una sfera di raggio molto maggiore rispetto alle
dimensioni della targhetta, e col vuoto all’interno;
88
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
una simulazione con densita dell’Oro all’interno della targhetta uguale
a quella dell’Oro metallico e l’altra simulazione con densita diminuita
di un fattore 104;
comando nps con generazione di 108 neutroni;
generazione di un flusso di neutroni uniforme all’interno della sfera,
con spettro uguale a quello previsto dalle simulazioni nella posizione
di irraggiamento;
misura della densita di catture in entrambe le simulazioni.
Dal rapporto fra la densita di catture per l’Oro metallico e quella per
l’Oro diluito si ottiene il coefficiente di attenuazione. Il risultato fornito dalle
simulazioni e:
Catten = 0.88 (4.13)
Il valore di attivita specifica a saturazione per l’Oro, va quindi ulteri-
ormente diviso per il coefficiente Catten per ottenere il valore corretto di
attivita da inserire nel file di input per SAND II. In Tabella 4.7 vengono
riassunti i valori di attivita specifiche a saturazione ottenuti per le differenti
targhette.
4.1.3 Ricostruzione del flusso neutronico mediante
SAND II
Una volta calcolate le attivita specifiche a saturazione per ciascuna
targhetta, tali valori sono stati utilizzati come input, insieme al flusso dif-
ferenziale (valore del flusso integrale di gruppo diviso per la larghezza del
gruppo), calcolato con MCNP in ciascun canale di irraggiamento, per la
ricostruzione dello spettro del flusso mediante l’utilizzo del programma di
deconvoluzione SAND II.
Per il primo canale di irraggiamento (A) sono state considerate le attiv-
ita calcolate per le targhette Au-4, Cu-2 e In-3. Per quest’ultima e sta-
ta presa l’attivita risultante dal secondo irraggiamento (quello appunto nel
canale 2) corrispondente alla reazione 115In(n, n′)115mIn. Il valore ottenu-
to per la targhetta In-1 non e stato utilizzato per il flusso dell’anello 2
perche, a causa delle risonanze presenti nella sezione d’urto della reazione
89
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
Targhetta Attivita specifica a saturazione (Bq)
Au 4 (4.12± 0.08) · 10−18
Au J (2.08± 0.01) · 10−18
Au 2 (9.2± 0.4) · 10−19
Cu 2 (7.25± 0.04) · 10−20
Cu 1 (3.75± 0.04) · 10−20
Cu 3 (1.42± 0.08) · 10−20
In 1 (3.06± 0.01) · 10−18
115In(n, γ)116mIn
In 3 (1.84± 0.01) · 10−18
115In(n, γ)116mIn
In 2 (5.22± 0.02) · 10−19
115In(n, γ)116mIn
In 3 (3± 1) · 10−21
115In(n, n′)115mIn
Tabella 4.7
Attivita specifiche a saturazione per le differenti targhette. Gli errori sono forniti
come deviazione standard.
115In(n, γ)116mIn, si producevano delle distorsioni nello spettro. Inoltre l’at-
tivita di tale reazione fornisce informazioni ridondanti sulla parte di spettro
gia caratterizzato dall’Oro e dal Rame. Percio si e deciso di non utilizzare i
valori della targhetta In-1 come input.
In modo analogo si e fatto per le misure del secondo e terzo canale (B, C).
Anche se in questi due casi, non essendo a disposizione di misure di attivita
relative alla reazione 115In(n, n′)115mIn, il flusso e stato ricostruito a partire
dai soli valori delle targhette di Oro e Rame. Anche in questo caso, infatti,
la sezione d’urto per la reazione 115In(n, γ)116mIn, presente nel database di
SAND II, produceva forti distorsioni dello spettro di output.
In Tabella 4.8 vengono riassunti i valori totali del flusso nei tre canali di
irraggiamento ottenuti dall’algoritmo di SAND II, mentre in Figura 4.2 e
mostrato lo spettro nel secondo anello, anch’esso ottenuto da SAND II.
90
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
Canale Flusso totale (neutroni/cm2 s)
A (5.9± 0.2) · 104
B (2.59± 0.08) · 104
C (9.9± 0.7) · 103
Tabella 4.8
Valori dei flussi totali ottenuti dal programma SAND II. Gli errori sono forniti
come deviazione standard e sono calcolati come deviazione tra i valori di attivita
misurati e calcolati da SAND II con lo spettro mostrato.
91
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s / c
m^2
s)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
Flusso integrale, anello 2
Figura 4.2
Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento A
(anello 2). Gli errori di ciascun bin sono stati considerati in percentuale uguali a
quello indicato in Tabella 4.8 per il primo valore.
92
4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s / c
m^2
s)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
Flusso integrale, anello 4
Figura 4.3
Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento B
(anello 4). Gli errori di ciascun bin sono stati considerati in percentuale uguali a
quello indicato in Tabella 4.8 per il primo valore.
93
CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s / c
m^2
s)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
Flusso integrale, anello 6
Figura 4.4
Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento C
(anello 6). Gli errori di ciascun bin sono stati considerati in percentuale uguali a
quello indicato in Tabella 4.8 per il primo valore.
94
Capitolo 5
Conclusioni
Confrontando gli spettri ottenuti dalle simulazioni con MCNP con quelli
risultanti dalla ricostruzione effettuata con SAND II, sulla base delle misure
svolte, Figura 5.1, Figura 5.2 e Figura 5.3, si puo vedere che questi ultimi
sono sistematicamente piu alti rispetto ai risultati del Monte Carlo.
Canale Flusso totale MCNP Flusso totale SAND Rapporto
(neutroni/cm2 s) (neutroni/cm2 s)
A (4.496± 0.003) · 104 (5.9± 0.2) · 104 0.77± 0.03
B (2.024± 0.002) · 104 (2.59± 0.08) · 104 0.78± 0.03
C (8.39± 0.03) · 103 (9.9± 0.7) · 103 0.85± 0.06
Tabella 5.1
Confronto dei risultati di flusso totale ottenuti con MCNP e SAND II.
Riferendoci ai valori di flusso totali, vedi Tabella 5.1, e facendone il rap-
porto, si nota che per il primo e secondo canale il rapporto tra i due risultati
e circa il medesimo, mentre per il terzo, il valore e di poco superiore. Ricor-
dando quanto detto in Sezione C.0.13 a proposito dell’aumento di intensita
nel tempo a cui sono soggette le sorgenti di Plutonio-Berillio, possiamo ipo-
tizzare che questo scostamento sia dovuto ad una sottostima dell’intensita
della sorgente, con conseguente sottostima del fattore di normalizzazione
del Monte Carlo. Un aumento pari a circa il 20% dell’intensita dei neutroni
95
CAPITOLO 5. CONCLUSIONI
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
Flusso integrale, anello 2 MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
SANDMCNP
Figura 5.1
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP per il primo canale (A, anello 2.
prodotti e congruente con quanto riportato il letteratura, [2], e con il fatto
che l’eta della sorgente e di circa cinquanta anni.
Riassumendo, a fronte dei risultati sperimentali, si assume il fatto che la
sorgente sia contaminata, in percentuali inferiori all’1%, con 241Pu, il che
ha provocato, nei cinquanta anni di eta della sorgente, un aumento dell’in-
tensita di produzione di neutroni.
Utilizzando il “metodo dei minimi quadrati ” e stato calcolato il valor medio
del rapporto dei flussi integrali per i tre canali di irraggiamento, che e
risultato essere:
R = 0.78± 0.03 (5.1)
96
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
0
1000
2000
3000
4000
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
Flusso integrale, anello 4 MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
SANDMCNP
Figura 5.2
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP per il secondo canale (B, anello 4) .
Rinormalizzata a questo valore, l’intensita reale della sorgente risul-
terebbe essere:
I =7 · 106
0.78= (8.9± 0.2) · 106 neutroni/cm2 s (5.2)
Se ora si utilizza il nuovo valore di intensita della sorgente cosı calcolato
come fattore di normalizzazione delle simulazioni di MCNP, si ottengono i
valori dei flussi totali nei tre canali di irraggiamento, riportati in Tabella 5.2,
in Tabella 5.3 e Tabella 5.4.
Dopo aver riscalato il flusso per la nuova intensita della sorgente si puo
ripetere il confronto tra gli spettri ottenuti utilizzando i programmi MCNP
e SAND II.
97
CAPITOLO 5. CONCLUSIONI
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
Flusso integrale, anello 6 MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
SANDMCNP
Figura 5.3
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP per il terzo canale (C, anello 6).
Anello Canale Intensita flusso neutroni/cm2 s
2 A (5.716± 0.004) · 104
4 B (2.573± 0.003) · 104
6 C (1.067± 0.003) · 104
Tabella 5.2
Flusso integrale nei tre canali di misura, ottenuto dalla simulazione con il codice
MCNP e riscalato per la nuova intensita della sorgente. L’errore e fornito ad una
deviazione standard.
Come si puo vedere in Figura 5.4, Figura 5.5 e Figura 5.6, lo spettro fornito
dall’algoritmo di SAND II risulta avere una componente termica piu bassa
rispetto al corrispondente calcolato dal Monte Carlo.
98
Anello Flusso (neutroni/cm2 s)
1 (6.247± 0.002) · 104
2 (4.170± 0.001) · 104
3 (2.9502± 0.0008) · 104
4 (2.1074± 0.0006) · 104
5 (1.4995± 0.0004) · 104
6 (1.0482± 0.0003) · 104
7 (7.093± 0.002) · 103
8 (4.778± 0.002) · 103
Tabella 5.3
Valori medi del flusso nei lingotti per ciascun anello, al livello della sorgente. I
valori della fluenza sono stati moltiplicati per l’intensita della sorgente,
8.9 · 106 neutroni/s. L’errore e fornito come incertezza standard.
Un tale effetto puo essere spiegato se si considera che in MCNP i ma-
teriali inseriti sono puri, essendo ideali, mentre nella struttura sono pre-
senti materiali con impurezze che potrebbero contenere assorbitori di neu-
troni termici. Inoltre va aggiunto che il combustibile presente nella strut-
tura possiede al suo attivo un certo numero di anni di funzionamento, il
che provoca inevitabilmente un avvelenamento dello stesso. Ovvero molti
prodotti di fissione dell’235U , che si generano durante il funzionamento del
reattore, hanno sezioni d’urto di cattura elevate per neutroni termici e sicu-
ramente contribuiscono a diminuirne la percentuale rispetto al flusso totale.
Nelle simulazioni con MCNP non si e tenuto conto di tale avvelenamento
in quanto non si conosce il reale burn-out del combustibile e cio, insieme
alle impurezze presenti nei materiali, potrebbero spiegare la discrepanza tra
i risultati delle misure e delle simulazioni nella regione termica.
Per quanto riguarda lo scostamento inverso rispetto al precedente, ovvero
dove i risultati di SAND II sono sistematicamente maggiori rispetto a quelli
di MCNP, nella zona attorno a qualche eV, la spiegazione richiede analisi
ulteriori in quanto non si e riusciti a capire l’effetto che lo provoca.
99
CAPITOLO 5. CONCLUSIONI
Anello Potenza barra (W) Potenza anello (W)
1 (1.3828± 0.0004) · 10−5 (8.297± 0.003) · 10−5
2 (1.0330± 0.0003) · 10−5 (1.2396± 0.0003) · 10−4
3 (8.033± 0.002) · 10−6 (1.4460± 0.0004) · 10−4
4 (6.133± 0.001) · 10−6 (1.4719± 0.0004) · 10−4
5 (4.581± 0.001) · 10−6 (1.3742± 0.0003) · 10−4
6 (3.3253± 0.0009) · 10−6 (1.1971± 0.0003) · 10−4
7 (2.4148± 0.0007) · 10−6 (1.0142± 0.0003) · 10−4
8 (1.9442± 0.0007) · 10−6 (7.388± 0.002) · 10−5
Potenza totale (W) (9.3115± 0.0009) · 10−4
Tabella 5.4
Potenza media sviluppata da una singola barra di combustibile nei differenti anelli
e quella prodotta da ciascun anello, calcolati con la nuova intensita della sorgente.
In ultima riga viene indicata anche il nuovo totale della potenza prodotta dal
complesso. L’errore e fornito come incertezza standard.
100
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
0
2000
4000
6000
8000
10000
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 5.714e+04
MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 5.714e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
Flusso riscalato, anello 2 MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 5.714e+04
SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04
SANDMCNP
Figura 5.4
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il primo canale.
101
CAPITOLO 5. CONCLUSIONI
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
0
1000
2000
3000
4000
5000
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.574e+04
MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.574e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
Flusso riscalato, anello 4 MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.574e+04
SANDEntries 69Mean 0.464RMS 1.149Integral 2.587e+04
SANDMCNP
Figura 5.5
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il secondo canale.
102
Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10
Flu
x (n
eutr
on
s/cm
^2 s
)
0
500
1000
1500
2000
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 1.067e+04
MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 1.067e+04
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
Flusso riscalato, anello 6 MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 1.067e+04
SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851
SANDMCNP
Figura 5.6
Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con
MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il terzo canale.
103
Appendice A
Teoria del trasporto
A.0.4 Densita e flusso neutronico
La popolazione dei neutroni viene descritta attraverso la densita neutro-
nica angolare N(r, ΩΩΩ, E, t). Essa rappresenta un certo numero di neutroni
che si trovano, all’istante t, entro un volume elementare dr attorno ad r, che
hanno una direzione di volo orientata entro l’angolo solido infinitesimo dΩΩΩ
attorno ad ΩΩΩ, con energia compresa tra E ed E + dE, si veda Figura A.1.
N(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrrdΩΩΩdE (A.1)
Dalla definizione di N(r, ΩΩΩ, E, t) si arriva alla densita per unita di energia
n(r, E, t), integrando sull’angolo solido dΩΩΩ.
dn(rrr, E, t)
drrrdE=
∫ 4π
0N(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.2)
n(r, E, t) rappresenta quindi una densita per unita di energia a pre-
scindere dalla direzione.
Si introduce ora il flusso direzionale φ(r, ΩΩΩ, E, t) come prodotto del numero
dei neutroni che si trovano nella posizione spaziale r, con una direzione di
volo ΩΩΩ, con energia E, al tempo t, per il modulo della loro velocita:
dφ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = v N(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrrdΩΩΩdE (A.3)
Si esprime il flusso scalare dei neutroni o flusso neutronico come
l’integrale sull’angolo solido dΩΩΩ del flusso angolare:
dφ(rrr, E, t)
drrrdE=
∫ 4π
0φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ = v
∫ 4π
0N(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.4)
105
APPENDICE A. TEORIA DEL TRASPORTO
Figura A.1
Riferimento spaziale di definizione della densita neutronica angolare.
Un’altra grandezza molto importante nella teoria del trasporto e la cor-
rente neutronica J. Essa esprime il numero di neutroni, con energia E, che
attraversano un elemento di superficie dA perpendicolare a ΩΩΩ, centrato in r,
nell’unita di tempo t.
dJJJ(rrr, E, t)
drrrdE= v
∫ 4π
0ΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.5)
E possibile anche esprimere la corrente neutronica come corrente neu-
tronica angolare o flusso vettoriale v N :
JJJ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = vΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) (A.6)
106
A.0.5 L’equazione del trasporto dei neutroni in forma inte-
gro - differenziale
Affinche si possa descrivere in modo corretto il moto dei neutroni all’in-
terno di un volume arbitrario V, cominciamo a prendere in considerazione
un volume infinitesimo dr ⊂ V, come indicato in Figura A.1. Si assume
inoltre che:
1. Il neutrone risenta solo dell’azione di forze nucleari; nella fisica dei
reattori a fissione si prendono solo in considerazione le reazioni di tipo
nucleare tra neutroni e nuclei (reazioni di cattura, fissione e scattering)
e non neutrone - neutrone, in quanto la densita dei “gas neutronici” e
circa 1011 ÷ 1014 n/cm3, molto piu bassa rispetto alle densita atomiche
dei solidi o dei fluidi (circa 1023 atomi/cm3);
2. Le reazioni nucleari neutrone - nucleo sono perfettamente localizzate
nello spazio - tempo, a causa del cortissimo range di azione delle forze
nucleari (dell’ordine di 10−15m) e del brevissimo intervallo di tempo
in cui avvengono (circa 10−20 s);
3. Tra un urto e quello successivo il neutrone obbedisce alle leggi di inerzia
muovendosi con moto rettilineo e uniforme;
4. Per un neutrone con moto uniforme attraverso un materiale omogeneo
la probabilita di collisione per unita di percorso con i nuclei del mezzo
e una costante definita da Σt;
5. Le sezioni d’urto microscopiche per ogni evento verranno considerate
sempre dipendenti dalla coordinata spaziale r e dall’energia E, ma non
dalla direzione di volo del neutrone uscente (isotropia).
Con riferimento a Figura A.1 si consideri dunque il volume infinitesimo
dr ⊂ V all’interno del quale sono presenti n neutroni di energia dE che si
muovono con direzione ΩΩΩ all’interno dell’angolo solido dΩΩΩ. Consideriamo
ora il bilancio (equazione di continuita) dei neutroni nel volume dr tra due
istanti di tempo definiti da t e t+dt.
N(t+dt) = Nt +N int −Nout
t −N tott +N sc
t +N extt (A.7)
dove:
107
APPENDICE A. TEORIA DEL TRASPORTO
N(t+dt) e il numero di neutroni al tempo (t+dt);
Nt e il numero di neutroni al tempo (t);
N int e il numero di neutroni che entrano in dr al tempo (t);
Noutt e il numero di neutroni che escono da dr al tempo (t);
N tott e il numero di totale di neutroni rimossi al tempo (t);
N sct e il numero di neutroni scatterati in dr (t);
N extt e la sorgente esterna al tempo (t).
Chiariamo ora il significato dei termini relativi alla Eq. (A.7):
La variazione di neutroni all’interno del volume infinitesimo dr con
energia compresa in dE attorno ad E, con direzione di volo nell’angolo
dΩΩΩ attorno ad ΩΩΩ, nel tempo compreso tra t e t+dt, e espressa attraverso
la seguente relazione:
[N(rrr,ΩΩΩ, E, t+ dt)−N(rrr,ΩΩΩ, E, t)]drrr
dt
dΩΩΩdE (A.8)
La variazione della popolazione neutronica all’interno del volume dr
e esprimibile sotto forma di derivata, ovvero valutando il limite per
dt→ 0 della differenza descritta da Eq. (A.8):
limdt→0
[N(rrr,ΩΩΩ, E, t+ dt)−N(rrr,ΩΩΩ, E, t)]drrr
dt
dΩΩΩdE =[
∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)
∂tdrrr
]dΩΩΩdE
(A.9)
Il termine sorgente rappresenta la produzione di neutroni attraverso
la fissione di nuclei all’interno del volume dr, con direzione di volo in
dΩΩΩ ed energia in dE. Integrando su tutto il volume V, si ha:
∫VS(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrr dΩΩΩdE (A.10)
108
Il flusso neutronico che attraversa la superficie dA del volume dr rap-
presenta la differenza tra i neutroni che entrano ed escono dal volume
di riferimento dr, attraverso la superficie dA:
vΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) · dAAAdΩΩΩdE (A.11)
dove dAAA = nnndA, con n vettore normale alla superficie dA. Integrando
ora sulla superficie ∂V del volume V, e possibile, attraverso il teorema
di Gauss, passare all’integrale su V:
∫∂VvΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) dAAAdΩΩΩdE =
∫VvΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE
(A.12)
Il fenomeno di scattering nell’equazione del trasporto e definito dalla
funzione di trasferimento per collisione f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) che
descrive la probabilita che un neutrone in un punto r, avente velocita
v, direzione Ω′Ω′Ω′ ed energia E′ subisca una collisione e cambi la sua
energia in E e la sua direzione di volo in ΩΩΩ. Possiamo quindi scrivere
su tutto V la relazione:
∫dΩ′Ω′Ω′
∫dE′
∫V
Σs(r, E′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t)×
× f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) drrr dΩΩΩdE
(A.13)
Lo scattering all’interno del volume V che porta alla perdita di neu-
troni attraverso le reazioni di assorbimento radiativo e di cattura di
risonanza e dato dal termine:
−∫V
Σt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE (A.14)
Riscrivendo tutti i termini di Eq. (A.7) utilizzando le relazioni di
Eq. (A.9), Eq. (A.10), Eq. (A.12), Eq. (A.13) ed Eq. (A.14), si ottiene
l’equazione integro - differenziale del trasporto sul volume V:
109
APPENDICE A. TEORIA DEL TRASPORTO
∫V
[∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)
∂t+ vΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t)] drrr dΩΩΩdE+∫
VΣt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE −
∫4πdΩ′Ω′Ω′
∫ ∞0
dE′×
×∫V
Σs(r, E′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×
× drrr dΩΩΩdE −∫VS(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE = 0
(A.15)
Eq. (A.15) afferma che l’integrale della funzione di trasporto, su un volu-
me arbitrario V, e pari a zero. Se l’integrale di una funzione su un dominio
arbitrario e uguale a zero, allora anche la funzione integranda deve essere
pari a zero a prescindere dal range di integrazione. Si puo quindi riscrivere
Eq. (A.15) nel modo seguente:
∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)
∂t+ vΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t)−
− [
∫ ∞0
dE′∫
4πΣs(r, E
′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×
× dΩ′Ω′Ω′]− S(rrr,ΩΩΩ, E, t) = 0
(A.16)
e per il flusso neutronico φ(r,ΩΩΩ, E, t), dato da Eq. (A.3):
1
v
∂φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)
∂t+ ΩΩΩ∇φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E)φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)−∫ ∞
0dE′
∫4π
Σs(r, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×
× dΩ′Ω′Ω′ dΩΩΩdE − S(rrr,ΩΩΩ, E, t) = 0
(A.17)
Eq. (A.16) e una equazione lineare integro - differenziale nell’incognita
N(r, ΩΩΩ, E, t) a sette variabili. La soluzione richiede di fissare condizioni
iniziali e al contorno:
t = 0; condizione iniziale per il tempo:
φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = φ0(rrr,ΩΩΩ, E, t) (A.18)
r = rs; condizione al contorno per lo spazio. Le condizioni al contorno
dipendono dal problema specifico. Poniamoci quindi nella situazione in
110
cui il sistema sia dotato di superficie esterna senza concavita (ΩΩΩ·nnn < 0),
al di la della quale c’e il vuoto. La condizione al contorno sul flusso
angolare impone che nessun neutrone rientri nel sistema una volta
fuoriuscito:
φ(rsrsrs,ΩΩΩ, E, t) = 0 (A.19)
A.0.6 Sistemi moltiplicanti e condizione di criticita
Fino ad ora sono stati considerati sistemi non moltiplicanti, nei quali
i neutroni interagiscono con i nuclei dei materiali attraversati con le sole
reazioni di scattering e di cattura radiativa. Se ora consideriamo un sistema
moltiplicante, definito come sistema in grado di produrre neutroni attraverso
l’interazione di un fascio neutronico con un materiale, e necessario aggiun-
gere all’equazione di trasporto il termine di produzione di neutroni attraver-
so la reazione di fissione. La nascita di nuovi neutroni di energia compresa
nell’intervallo E + dE, con direzione di volo dΩΩΩ attorno ad ΩΩΩ, all’inter-
no del volume dr, al tempo t, e descritta attraverso la seguente relazione
(considerando che l’emissione sia isotropa):
χ(E)
4π
∫4πdΩ′Ω′Ω′
∫ ∞0
v(E′)Σf (rrr, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) dE′ (A.20)
E bene sottolineare che in Eq. (A.20) si considera solo il contributo dei
neutroni pronti.
I neutroni emessi quasi istantaneamente al processo di fissione, possiedono
uno spettro di fissione χ(E), dato dalla relazione Eq. (1.5). A causa dei
decadimenti beta di alcuni prodotti di fissione, sono generati altri neutroni
in intervalli di tempo assai piu lunghi (fino a decine di secondi), che sebbene
costituiscano una piccola frazione del numero totale dei neutroni di fissione,
danno un contributo fondamentale per il controllo dei sistemi moltiplica-
tori di neutroni. Si puo riscrivere ora l’equazione del trasporto integro -
differenziale considerando anche il contributo delle fissioni:
111
APPENDICE A. TEORIA DEL TRASPORTO
1
v
∂φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)
∂t+ ΩΩΩ∇φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E)φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)−∫ ∞
0dE′
∫4π
Σs(r, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×
× dΩ′Ω′Ω′ dΩΩΩdE − χ(E)
4π
∫4πdΩ′Ω′Ω′
∫ ∞0
v(E′)Σf (rrr, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) dE′ = 0
(A.21)
In Eq. (A.21), nell’ipotesi che il sistema sia critico (k = 1), si e sostituito
il termine sorgente con quello di fissione.
A.0.7 Rappresentazione integrale dell’equazione del trasporto
Nel paragrafo precedente e stata ricavata l’equazione di trasporto per i
neutroni in forma integro - differenziale, attraverso un bilancio di neutroni,
con energia compresa nell’intervallo [E, E + dE] e direzione di volo com-
presa tra ΩΩΩ e ΩΩΩ + dΩΩΩ, all’interno del volumetto dr, nel tempo dt. Viene
data ora una formulazione integrale dell’equazione di trasporto nella forma
data da Eq. (A.17), basata sul bilancio globale di neutroni aventi energia E
e direzione di volo ΩΩΩ.
Definiamo in un generico punto r, la funzione scalare Q di campo, detta “in-
tensita direzionale di emissione ”: Q(r, ΩΩΩ, E, t). Essa rappresenta il numero
di neutroni che nell’istante dt vengono emessi entro dr, con caratteristiche
cinetiche date da dΩΩΩ e dE, da sorgenti esterne o come esito di collisioni.
Q(rrr,ΩΩΩ, E, t) =
∫ ∞0
dE′∫
4πΣs(rrr, E
′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t)×
×f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) dΩ′Ω′Ω′ + S(rrr,ΩΩΩ, E, t)
(A.22)
La derivazione dell’equazione del trasporto in forma integrale implica
l’accettazione di ipotesi semplificative del modello matematico:
Tutte le sorgenti esterne sono isotrope:
S(rrr,ΩΩΩ, E, t) =1
4πS(rrr, E, t) (A.23)
Tutte le collisioni hanno effetto di rendere isotrope le direzioni di tutti
i neutroni. Si assume percio che l’angolo di scattering sia costante:
112
f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) =1
4πf(rrr, E′ → E) (A.24)
Tutti i neutroni hanno la stessa velocita e energia:
∫ ∞0
f(rrr, E′ → E) dE′ = 1 (A.25)
Σs(rrr, E′) = Σs(rrr) (A.26)
1
4πS(rrr, E, t) =
1
4πS(rrr, t) (A.27)
φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) = φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) (A.28)
L’integrale dello scattering viene risolto attraverso l’integrazione sul-
l’angolo solido:
Σs(rrr)
4π
∫4πφ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) dΩ′Ω′Ω′ (A.29)
Tutti i corpi hanno una forma convessa.
Attraverso le semplificazioni apportate da Eq. (A.23) - Eq. (A.29), la
funzione scalare Q (Eq. (A.22)) e riscritta in forma:
Q(rrr, t) =Σs(rrr)
4π
∫4πφ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) dΩ′Ω′Ω′ +
1
4πS(rrr, t) (A.30)
Non vi e piu dipendenza angolare da ΩΩΩ, data l’ipotesi che tutte le
collisioni e sorgenti siano isotrope.
113
Appendice B
Teoria della diffusione
Riprendiamo ora l’equazione di continuita per i neutroni, Eq. (A.7), che
puo essere riscritta nel seguente modo:
∂
∂t
∫Vn(rrr, t) drrr = Nprod
t −Nasst −Nout
t (B.1)
dove:
Nprodt e il numero di neutroni prodotti in V al tempo t;
Nasst e il numero di neutroni assorbiti in V al tempo t;
Noutt e il numero di neutroni che sfuggono attraverso la superficie del
volume V.
La produzione di neutroni e rappresentata dalla funzione di distribuzione
di sorgente S(r, t), che definisce il numero di neutroni emessi al secondo, in
un cm3 di materiale. La produzione totale di neutroni nel volume V e:
Rprod =
∫VS(rrr, t) drrr (B.2)
dove Rprod indica il numero di neutroni prodotti nell’unita di tempo
(rate).
Il tasso di assorbimento nel volume dr e definito dal prodotto della sezione
d’urto di assorbimento per il flusso neutronico integrato sul volume V:
Rass =
∫V
Σa(rrr)φ(rrr, t) drrr (B.3)
115
APPENDICE B. TEORIA DELLA DIFFUSIONE
La perdita di neutroni, che escono dal volume V, e espressa attraverso
la corrente neutronica JJJ(rrr, t) · nnndA e rappresenta il flusso netto di neutroni
che attraversa la superficie dA nel verso specificato dal versore normale n:
Rout =
∫∂VJJJ(rrr, t)nnndA (B.4)
dove ∂V e la superficie del volume V.
L’integrale di superficie in Eq. (B.4) viene ricondotto ad un integrale di
volume per mezzo del teorema della divergenza:∫∂VJJJ(rrr, t)nnndA =
∫V∇ · JJJ(rrr, t) drrr (B.5)
Si puo riscrivere ora l’equazione di bilancio dei neutroni Eq. (B.1), espli-
citando tutti i termini definiti dalle relazioni in Eq. (B.2), Eq. (B.3) ed
Eq. (B.5):
∂
∂t
∫Vn(rrr, t) drrr =
∫VS(rrr, t) drrr−
∫V
Σa(rrr)φ(rrr, t) drrr−∫V∇·JJJ(rrr, t) drrr (B.6)
che puo essere riscritta:
∫V
[∂n(rrr, t)
∂t− S(rrr, t) + Σa(rrr)φ(rrr, t) +∇ · JJJ(rrr, t)
]drrr = 0 (B.7)
Analogamente a quanto fatto per Eq. (A.15), possiamo eliminare l’inte-
grale e ridurci alla sola funzione integranda uguagliata a zero. Riorganiz-
zando i termini si ottiene infine:
∂n(rrr, t)
∂t= S(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t)−∇ · JJJ(rrr, t) (B.8)
Allo scopo di definire completamente l’equazione della diffusione e ora
necessario introdurre il significato della legge di Fick.
B.0.8 Legge di Fick
L’Eq. (B.8), che abbiamo visto essere stata ricavata dalla teoria del
trasporto, puo essere riscritta nel seguente modo:
1
v
∂φ(rrr, t)
∂t= S(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t)−∇ · JJJ(rrr, t) (B.9)
116
dove si e tenuto conto della relazione φ(rrr, t) = v n(rrr, t). Tuttavia
Eq. (B.9) presenta ancora delle difficolta di risoluzione per la presenza delle
due grandezze incognite φ e JJJ . La teoria della diffusione e una semplifi-
cazione e un’approssimazione di Eq. (B.9), basata sulla legge di Fick, che
esprime il legame esistente tra flusso neutronico e corrente neutronica. Per
ricavare tale legame e necessario ipotizzare che:
il fascio neutronico sia monoenergetico;
dopo la reazione di scattering il neutrone possa assumere qualsiasi
direzione con uguale probabilita;
le sezioni d’urto siano dipendenti solo dalle coordinate spaziali.
In tali ipotesi si puo esprimere la corrente neutronica J(r,t) in termini
di flusso, mediante la Legge di Fick ([10]):
JJJ(rrr, t) = − Σs(rrr)
3Σ2t (rrr)∇φ(rrr, t) = −D(rrr)∇φ(rrr, t) (B.10)
ove D(rrr) e il coefficiente di diffusione.
Mediante Eq. (B.10), Eq. (B.8) puo essere ora riscritta utilizzando :
1
v
∂φ(rrr, t)
∂t= s(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t) +∇ ·D∇φ(rrr, t) (B.11)
Se si ipotizza ora che il valore del coefficiente di diffusione sia indipen-
dente dalle coordinate spaziali (D(rrr) ≡ D) e che il sistema sia stazionario,
cioe eliminando la dipendenza temporale, Eq. (B.11) viene riscritta:
S(rrr)− Σa(rrr)φ(rrr) +D∇2φ(rrr) = 0 (B.12)
L’Eq. (B.12), detta equazione di diffusione, consente, nelle ipotesi so-
prascritte, di studiare qualitativamente l’andamento spaziale del flusso ne-
utronico, in generale, per geometrie semplici. [?] Solitamente l’equazione
di diffusione per i neutroni e un’equazione differenziale che coinvolge sia
derivate spaziali sia temporali. E necessario quindi imporre opportune con-
dizioni iniziali e al contorno sul flusso neutronico φ(rrr, t) [10].
Il discorso fatto finora, nato a partire dalla teoria del trasporto, se ci si limita
a considerare modelli semplificati, porta ad una descrizione qualitativa del
comportamento di un reattore nucleare, in cui e possibile studiare i princi-
pali parametri fisici che stanno alla base del suo funzionamento. Tuttavia
117
APPENDICE B. TEORIA DELLA DIFFUSIONE
per comprendere piu in dettaglio la struttura complessa di un reattore nu-
cleare e necessario approfondire ulteriormente la teoria, utilizzando modelli
piu vicini alla realta e sempre piu complessi e di difficile soluzione, il che
esula dallo scopo di questa tesi 1.
1Per ulteriori approfondimenti si fa riferimento a [3] e [10]
118
Appendice C
Il codice MCNP
Il codice Monte Carlo MCNP e in grado di simulare il trasporto di neu-
troni, fotoni, elettroni, considerati singolarmente oppure accoppiati in qual-
siasi combinazione possibile; e inoltre in grado di calcolare autovalori per
sistemi critici. Il codice tratta una configurazione arbitraria tridimensionale
di materiali contenuti all’interno di celle geometriche delimitate da superfici.
Durante un calcolo, le reazioni neutroniche considerate dipendono dalla par-
ticolare sezione d’urto utilizzata per quel processo, ma in ogni caso ognuna
delle reazioni contenute nella sezione d’urto viene tenuta in considerazione.
Per i neutroni termici sono possibili due tipi di descrizioni: quella mediante
modelli di gas libero e quella con funzioni S(α, β). Per i fotoni, il codice com-
prende reazioni come scattering incoerente e coerente, la possibilita di emis-
sione di fluorescenza dopo l’assorbimento fotoelettrico e l’assorbimento per
produzione di coppie elettrone-positrone. Il trasporto di elettroni/positroni
tiene conto di processi di deformazione angolare attraverso scattering mul-
tipli di Coulomb, perdita di energia collisionale con possibilita di straggling,
e la produzione di particelle secondarie, tra cui raggi-x da shell K, elettroni
di knock-on e Auger, bremsstrahlung, e raggi gamma da annichilazione di
positrone a riposo. Il trasporto degli elettroni non include gli effetti dei
campi elettromagnetici esterni o auto-indotti.
Il regime di energia all’interno del quale e possibile effettuare calcoli medi-
ante le sezioni d’urto dei neutroni si estende da 10−11 MeV a 20 MeV per
tutti gli isotopi, anche se per alcuni si arriva fino a 150 MeV. Per il fotone
il regime e da 1 keV a 100 GeV, mentre per gli elettroni da 1 keV a 1 GeV.
119
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
C.0.9 Il metodo Monte Carlo
I metodi Monte Carlo sono molto diversi dai metodi di trasporto deter-
ministici. Questi ultimi, il piu comune dei quali e il metodo delle ordinate
discrete, risolvono l’equazione di trasporto, per il comportamento delle par-
ticelle, in media. Al contrario, il Monte Carlo ottiene risposte simulando
singole particelle e la registrazione di alcuni aspetti (tally) del loro compor-
tamento medio. La media del comportamento delle particelle nella fisica
del sistema e quindi dedotto (utilizzando il teorema del limite centrale) dal
comportamento medio delle particelle simulate.
Non solo il Monte Carlo e il deterministico sono metodi molto diversi di
risoluzione di un problema, ma anche cio che costituisce una soluzione puo
essere differente. I metodi deterministici in genere forniscono informazioni
piuttosto complete (per esempio di flusso) per tutto lo spazio delle fasi del
problema, mentre i Monte Carlo forniscono informazioni solo su specifici tal-
ly richiesti dall’utente.
Il metodo Monte Carlo e particolarmente adatto a risolvere complicati prob-
lemi tridimensionali e dipendenti dal tempo, inoltre puo essere usato per du-
plicare teoricamente un processo statistico (come ad esempio l’interazione di
particelle nucleari con materiali) ed e molto utile per i problemi complessi
che non possono essere modellati da codici di calcolo che utilizzano metodi
deterministici.
I singoli eventi probabilistici che compongono un processo nel Monte Car-
lo sono simulati in modo sequenziale. Le distribuzioni di probabilita che
disciplinano tali eventi sono statisticamente campionate per descrivere il
fenomeno in maniera completa. In generale, la simulazione e eseguita su
un computer digitale, perche il numero di prove necessarie a descrivere
adeguatamente il fenomeno e di solito abbastanza grande.
Il processo statistico di campionamento si basa sulla selezione di numeri ca-
suali, analoghi a dadi gettati in un gioco d’azzardo, da cui il nome “Monte
Carlo”. Nel trasporto delle particelle, la tecnica Monte Carlo e prevalente-
mente realistica (simile ad un esperimento numerico). Si tratta di seguire
realmente ciascuna delle molte particelle, prodotte da una sorgente, per tut-
ta la sua vita, fino alla sua morte per opera di qualche processo terminale
(assorbimento, fuga, ecc.). Distribuzioni di probabilita sono campionate ca-
sualmente utilizzando dati di trasporto per determinare il risultato ad ogni
passo della sua vita.
120
Lista eventi
1. Scattering di neutrone,
produzione di un fotone
2. Fissione,
produzione di un fotone
3. Cattura neutronica
4. Perdita di un neutrone
5. Scattering di fotone
6. Perdita di un fotone
7. Cattura di un fotone
Materiale fissileVuoto
NeutroneIncidente
1
2
3 4
5 6
7
Figura C.1
Esempio di interazioni possibili, considerate da MCNP durante la storia di un
neutrone.
In Figura C.1 e rappresentata la storia casuale di un neutrone incidente
su una lastra di materiale che puo subire la fissione. Numeri compresi tra 0
e 1 sono scelti a caso per determinare quale (se esiste), e dove, l’interazione
avra luogo, in base alle regole (fisiche) e le probabilita (dati di trasporto)
che disciplinano i processi ed i materiali interessati.
Nell’esempio mostrato in Figura C.1, un evento di collisione per il neutrone
si verifica in 1. Il neutrone e deviato nella direzione indicata, che e stata
selezionata in modo casuale dalla distribuzione fisica di scattering. Il fotone
che e stato prodotto nella collisione viene immagazzinato temporaneamente
per un’analisi successiva. Al punto 2 si verifica una fissione, con conseguente
cessazione del neutrone in arrivo e la nascita di due neutroni in uscita e un
fotone. Un neutrone e il fotone sono depositati in memoria per una successiva
analisi. Il primo neutrone di fissione e catturato nell’evento 3 e termina la
sua vita. Il neutrone che era stato memorizzato viene recuperato e, dopo un
campionamento casuale, fuoriesce dalla lastra all’evento 4. il fotone prodotto
121
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
nella fissione subisce una collisione all’evento 5 e fuoriesce nel punto 6. Il
fotone residuo generato nel caso 1 e ora seguito e produce un evento di
cattura al 7 (le particelle che MCNP memorizza, sono immagazzinate in
modo che l’ultima particella depositata e la prima ad essere recuperata).
La storia di questo neutrone e ora completa. Piu aumenta il numero di tali
storie seguite, piu migliora la conoscenza delle distribuzioni di neutroni e
fotoni. Le quantita di interesse (cio che l’utente richiede) sono conteggiate,
insieme a stime della precisione statistica (incertezza) dei risultati.
C.0.10 Introduzione alla caratteristiche di MCNP
Reazioni e dati nucleari
MCNP fa uso di librerie di dati atomici e nucleari ad energia continua.
Esistono tabelle di dati per le interazioni nucleari dei neutroni, dei fotoni
indotti da neutroni, per interazioni di fotoni, per dosimetria o attivazione
neutronica e scattering di particelle termiche (S(α, β)). La maggior parte
dei dati di fotoni e elettroni sono di natura atomica, piuttosto che nucleare;
nelle librerie sono inclusi inoltre i dati fotonucleari. Ogni tabella di dati a
disposizione di MCNP e elencata su un file, XSDIR. L’utente puo selezionare
i dati specifici di una tabella attraverso identificatori univoci per ciascuna
tabella, denominati ZAID. Questi identificatori contengono generalmente il
numero atomico Z, numero di massa A, dell’isotopo che si vuole considerare
e l’identificatore di libreria ID.
Piu di 836 tavole di interazione dei neutroni sono disponibili per circa 100
differenti isotopi ed elementi. Vengono fornite piu di una tabella per un
unico isotopo perche i dati sono stati derivati da valutazioni diverse, e anche
per differenti regimi di temperatura e tolleranze di lavoro.
Le sezioni d’urto per quasi 2000 reazioni dosimetriche o che coinvolgono
l’attivazione di oltre 400 nuclei bersaglio in stato fondamentale e stati ecci-
tati sono parte del pacchetto dati MCNP. Tali sezioni d’urto possono essere
utilizzate come funzioni di risposta dipendenti dall’energia in MCNP per de-
terminare i tassi di reazione, ma non possono essere utilizzate come sezioni
d’urto di trasporto.
Le tabelle di dati termici sono appropriate per l’utilizzo con il trattamen-
to dello scattering delle funzioni S(α, β) in MCNP. I dati includono effetti
di legami chimici (molecolari) e cristallini che diventano importanti quando
l’energia dei neutroni diventa sufficientemente bassa. I dati a varie temper-
122
ature sono disponibili per acqua leggera e pesante, Berillio metallico, ossido
di Berillio, benzene, grafite, polietilene, Zirconio e idrogeno contenuto in
idruri di Zirconio.
Specifiche della sorgente
La funzionalita di MCNP di accettare dall’input generiche sorgenti cre-
ate dall’utente, consente di specificare una vasta gamma di condizioni alle
sorgenti senza dover effettuare modifiche al codice. Distribuzioni di proba-
bilita indipendenti possono essere specificate per le variabili quali energia,
tempo, posizione e direzione, e per altri parametri come la cella (celle) o
superficie (superfici) di partenza. Possono essere fornite anche informazioni
circa l’estensione geometrica della sorgente. Inoltre, variabili della sorgente
possono dipendere da altre variabili, anch’esse della sorgente (per esempio,
l’energia in funzione dell’angolo).
Oltre alle distribuzioni di probabilita per le variabili di input, sono disponi-
bili alcune funzioni built-in. Queste includono varie funzioni analitiche per
spettri di energia di fissione e fusione, quali quelli di Watt, Maxwell, gaus-
siano, gaussiano nel tempo, isotropo, coseno e monodirezionale.
La creazione di sorgenti di superficie permette alle particelle che attraversano
una data superficie in un problema, di essere utilizzate come sorgenti per un
problema successivo. Il disaccoppiamento di un problema in piu parti per-
mette una dettagliata progettazione o analisi di alcune regioni geometriche,
senza dover eseguire nuovamente l’intero problema dall’inizio ogni volta.
Conteggi e risultati
L’utente puo incaricare MCNP di compiere vari conteggi (tally) relativi
alla corrente di particelle, flusso di particelle, e deposizione di energia. I
tally di MCNP sono normalizzati in modo da essere per particella sorgente,
ad eccezione di qualche caso speciale con le sorgenti di criticita. Le correnti
possono essere misurate in funzione della direzione attraverso qualsiasi in-
sieme di superfici, segmenti di superficie, o somma di superfici del problema.
E inoltre possibile misurare flussi di particelle attraverso un qualsiasi insieme
di superfici, segmenti di superficie, somma di superfici e celle, parti di celle, o
somma di celle. Allo stesso modo, sono consentite misure di flussi attraver-
so rivelatori designati (puntiformi o anelli). I flussi possono anche essere
123
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
conteggiati su una griglia sovrapposta alla geometria del problema (Mesh
Tally). Tally di calore e fissione forniscono la deposizione di energia in celle
specificate. Un conteggio di altezze di impulso restituisce la distribuzione di
energia degli impulsi creati in un rivelatore dalle radiazioni. Conteggi come
il numero di fissioni, il numero degli assorbimenti, la produzione totale di
elio, o qualsiasi prodotto del flusso per le circa 100 reazioni standard ENDF,
piu altre non standard, possono essere calcolati con uno qualsiasi dei con-
teggi MCNP.
Tutti i conteggi sono funzioni del tempo e dell’energia nel modo specificato
dall’utente.
In aggiunta alle informazioni del tally, il file di output contiene tabelle di in-
formazioni standard sintetiche per dare all’utente una migliore idea di come
si svolge il problema. Queste informazioni possono fornire un’analisi della
fisica del problema e l’adeguatezza della simulazione Monte Carlo. Se si ve-
rificano errori durante l’esecuzione di un problema, vengono forniti risultati
dettagliati di diagnostica per il debug. Insieme a ciascun conteggio e stam-
pato anche il suo errore statistico relativo, corrispondente a una deviazione
standard.
Tutti i risultati dei tally, fatta eccezione per i mesh tally, possono essere visu-
alizzati graficamente, sia mentre il codice viene eseguito, sia in una modalita
di post-elaborazione separata.
Stima dell’errore della simulazione Monte Carlo
I conteggi di MCNP sono normalizzati in maniera da essere per particella
di partenza e sono stampati in uscita accompagnati da un secondo numero
R, che e l’errore relativo stimato, definito per essere una deviazione standard
stimata della media Sx divisa per la media stimata x. In MCNP, i valori
richiesti per questa stima dell’errore sono calcolati al termine di ogni storia
Monte Carlo completa, in modo da tenere conto del fatto che i vari contributi
di un conteggio forniti in una stessa storia sono correlati.
Le linee guida per l’interpretazione della qualita dell’intervallo di confidenza
sono riportate in Tabella C.1.
Per tutti i conteggi, tranne stimatori di evento successivo, o point de-
tectors, il valore di R dovrebbe essere inferiore a 0.10 per la produzione di
intervalli di confidenza generalmente affidabili. Per quanto riguarda i point
detectors tale valore dovrebbe essere minore di 0.05.
124
Range di R Qualita del conteggio
da 0.5 a 1.0 Non significativo
da 0.2 a 0.5 Poca statistica
da 0.1 a 0.2 Discutibile
< 0.10 Generalmente affidabile
< 0.05 Generalmente affidabile per point detector
Tabella C.1
Linee guida per l’interpretazione dell’Errore Relativo R. R = Sx/x e rappresenta
la stima dell’errore relativo a livello di 1σ. Queste interpretazioni assumono che
ogni porzione dello spazio delle fasi del problema siano state campionate in modo
corretto nel calcolo Monte Carlo.
C.0.11 Utilizzo del codice
Il programma necessita di un file di input, in cui vengono inserite tutte
le informazioni necessarie, per poter avviare la simulazione. Si tratta di un
semplice file di testo diviso in tre parti separate da una riga vuota:
la prima contiene l’elenco delle celle che compongono la geometria del
sistema. Nella rappresentazione di un sistema tutto lo spazio deve
essere racchiuso all’interno di celle, le quali hanno forme di solidi geo-
metrici o combinazioni di essi e possono essere composte da un solo
materiale per cella. Nel caso della Struttura Moltiplicante ad esempio
il contenitore in alluminio avra una sua cella, il rivestimento di paraf-
fina un’altra, e cosı via fino a comporre tutto il sistema. Per realizzare
una cella nel file di input devono essere inseriti il numero della cella,
il materiale di cui essa e composta e la sua densita, la combinazione
di superfici che la delimitano e l’importanza (tra 0 e 1) che avra nella
simulazione al passaggio di neutroni o fotoni.
nella seconda parte si trovano le superfici che compongono le varie
celle. Esse possono essere semplici piani o superfici di solidi geome-
trici e tramite operazioni di intersezione, unione, complementare si
delimitano le regioni di spazio che costituiscono le varie celle.
125
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
infine nella terza vengono inserite le caratteristiche della sorgente, il
tipo si simulazione, le composizioni dei diversi materiali presenti nelle
celle e anche eventuali tally, ovvero conteggi o misure, che si vogliono
fare.
Le prime due parti del file di input non richiedono particolari approfondi-
menti in quanto contengono solamente una riproduzione geometrica, il piu
possibile fedele, della struttura che si vuole riprodurre e dei materiali pre-
senti. Mentre la parte che piu ha necessitato di attenzione e stata la scelta
del tipo di simulazione e delle caratteristiche della sorgente di neutroni, che
quindi meritano un adeguato approfondimento.
C.0.12 Tipo di simulazione
In MCNP e possibile ricondurre sostanzialmente tutte le simulazioni a
due soli tipi, il primo comprende quelle che utilizzano il comando kcode
e vengono dette simulazioni per calcoli di criticita, mentre l’altro fa uso
del comando nps e viene definito a sorgente fissa. Le differenze tra le due
tipologie verranno ora spiegate in dettaglio in quanto sono state oggetto di
discussione durante questo lavoro, poiche la scelta tra l’uno o l’altro tipo e
un punto fondamentale della parte di simulazione.
Calcoli di criticita (KCODE)
La caratteristica principale del comando kcode e quella di fornire nel file
di output un calcolo preciso e dettagliato del fattore di criticita keff del sis-
tema in esame e per questo normalmente viene utilizzato per la simulazione
di sistemi come i reattori nucleari o comunque complessi all’interno dei quali
si hanno reazioni di fissione. Da cio il fatto che questo tipo di simulazioni
venga detto calcolo di criticita.
Il comando kcode necessita di quattro parametri che devono essere forniti
nel file di input:
il primo parametro e il numero di neutroni di cui il programma deve
seguire la storia per ogni ciclo della simulazione;
il secondo e un valore indicativo del fattore keff , che serve ad MCNP
per calcolare il numero di fissioni solo per il secondo ciclo;
un numero di cicli iniziali nei quali non effettuare il calcolo di keff ;
126
il numero totale dei cicli di cui deve essere composta la simulazione.
Come si puo intuire da questi parametri la simulazione realizzata con
kcode procede per cicli, e ora si vedra meglio come.
Nel primo ciclo MCNP genera i neutroni utilizzando le caratteristiche della
sorgente inserite nel file di input, ne produce un numero pari a quello inse-
rito come primo parametro del comando. Segue ciascun neutrone, uno alla
volta, registrando le fissioni che puo provocare e la traiettoria seguita. Al
secondo ciclo viene utilizzato il valore indicativo di keff , fornito come secon-
do parametro, per creare una nuova distribuzione di neutroni, a partire dalle
fissioni prodotte nel primo ciclo, di cui ne vengono presi, ancora una volta,
il numero deciso dall’utente e le cui storie sono seguite una alla volta. Per i
cicli successivi viene utilizzato il valore di keff calcolato dal programma ad
ogni ciclo, e le nuove distribuzioni di neutroni vengono calcolate a partire
dalle sole fissioni del ciclo precedente.
Questo avviene fino a completare un numero di cicli uguale a quello indicato
come terzo parametro. A questo punto la distribuzione di neutroni dovrebbe
aver raggiunto una certa stabilita nei diversi cicli (piu le caratteristiche della
sorgente e il valore indicativo di keff sono realistici, minore sara il numero
di cicli necessari alla distribuzione per stabilizzarsi). In ogni caso, superati
i cicli indicati, MCNP procede nella simulazione esattamente come prima,
pero da questo punto in avanti il valore di keff calcolato contribuira al cal-
colo finale del coefficiente. La simulazione finisce quando viene raggiunto il
numero totale dei cicli indicato nel quarto parametro.
Sembrerebbe ovvio l’utilizzo di questo tipo di simulazione anche nel caso che
stiamo trattando, essendo infatti un complesso sottocritico, all’interno del
quale si innescano reazioni di fissione e il cui valore di keff e un parametro
essenziale ai fini della trattazione, sia come verifica della bonta della simu-
lazione, sia per ricavare il coefficiente di moltiplicazione del sistema.
In realta il comando kcode procede in una maniera che poco si adatta al reale
funzionamento di un sistema sottocritico. Nella struttura moltiplicante si
ha infatti una sorgente di neutroni sempre presente all’interno della strut-
tura, il cui effetto si somma a quello delle fissioni che si innescano all’interno
degli elementi di combustibile. Mentre nella simulazione con comando kcode,
come si e visto, la sorgente viene considerata solo al primo ciclo e nei suc-
cessivi si tiene conto solamente dei neutroni provenienti da fissione.
Un altro aspetto che ne deriva e una certa uniformita della distribuzione del
127
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
flusso di neutroni con questo tipo di simulazione su tutta la superficie del
reticolo, se si considera un piano orizzontale, parallelo al fondo del conteni-
tore in alluminio. Invece nel caso reale il flusso dovrebbe presentare un picco
nella zona centrale per effetto della sorgente.
Infine bisogna anche dire che il metodo con cui si svolgono le simulazioni con
comando kcode, consiste praticamente nel trattare il sistema in qualunque
caso come se fosse critico, in una sorta di approssimazione. Percio tutta la
simulazione e quindi anche il calcolo del keff risentono di questa approssi-
mazione e saranno piu realistici piu il fattore di criticita reale del sistema
sara vicino ad 1.
Sorgente fissa (NPS)
Utilizzando il comando nps si realizzano simulazioni che normalmente
non prevedono la presenza di fissioni o calcoli di criticita, poiche non for-
niscono un valore esplicito del keff .
Questo comando infatti genera un certo numero di neutroni, le cui caratteri-
stiche (energia, direzione) vengono specificate insieme al tipo di sorgente nel
file di input, numero che viene fornito dall’utente come unico parametro del
comando nps. Ciascun neutrone prodotto viene seguito lungo la sua traietto-
ria e vengono registrate eventuali interazioni che producono nuovi neutroni
come fissioni o reazioni moltiplicative non di fissione del tipo (n,2n). Una
volta terminate le storie dei neutroni sorgente la simulazione e completa.
Questo tipo di simulazione si svolge in modo che prodotto un neutrone dalla
sorgente ed esaurita la sua storia e quella degli altri eventualmente prodot-
ti dalle reazioni sopracitate, ne viene generato un secondo dalla sorgente,
sempre con le caratteristiche inserite nel file di input. E cosı a ripetere fi-
no ad avere generato il numero indicato di neutroni dalla sorgente. Questa
esecuzione rispecchia molto bene il funzionamento del sistema sottocritico,
in cui la sorgente di neutroni e sempre presente e alimenta le fissioni nel
combustibile. Fissioni che comunque vengono considerate e registrate dalla
simulazione.
Proprio da questi conteggi e infatti possibile risalire ad un valore di keff
anche nel caso di simulazioni con comando nps. Nel file di output e pre-
sente una tabella in cui viene riportato il numero di neutroni prodotti dalla
sorgente, di quelli prodotti dalle fissioni e da reazioni di tipo (n,2n), il to-
tale complessivo dei neutroni generati e anche quelli che sono stati assorbiti
128
nel processo di fissione. Da questi valori e da un coefficiente di Net Multi-
plication calcolato dal programma MCNP, sotto alcune ipotesi, e possibile
calcolare il keff del sistema.
Il fattore di Net Multiplication, N, in una simulazione a sorgente fissa (con
comando nps) viene definito come l’unita sommata al guadagno Gf in neu-
troni provenienti da fissione e al guadagno Gx in neutroni provenienti da
reazioni moltiplicative non di fissione. Utilizzando il bilancio pesato dei
neutroni:
N = 1 +Gf +Gx = We +Wc, (C.1)
dove We e il “peso” dei neutroni sfuggiti per neutrone sorgente e Wc e il
“peso” dei neutroni catturati per neutrone sorgente. Nei calcoli di criticita
(simulazioni che utilizzano kcode) la fissione e trattata come un processo di
assorbimento e la corrispondente relazione per il fattore N e quindi:
No = 1 +Gox = W oe +W o
c +W of , (C.2)
dove l’apice o denota risultati ottenuti dai calcoli di criticita e Wof e il
“peso”dei neutroni che provocano fissione per neutrone sorgente. Poiche keff
e il numero di neutroni di fissione prodotti in una generazione per neutrone
sorgente, si puo anche scrivere:
keff = ν ·W of , (C.3)
dove ν e il numero medio di neutroni emessi per fissione in tutta la
simulazione. Con le stesse assunzioni anche per simulazioni a sorgente fissa
e utilizzando Eq. (C.1), Eq. (C.2) e Eq. (C.3), si ottiene:
N = We +Wc =W oe ·W o
c
1− keff=No ·W o
f
1− keff, (C.4)
oppure, utilizzando Eq. (C.2) e Eq. (C.3):
N =No − keff
ν
1− keff=
1− keffν +Gox
1− keff. (C.5)
Spesso si ha che per il guadagno da reazioni (n,2n) valga: Gox 1.
Cio implica che il keff puo essere approssimato da kFSeff (derivato da una
adeguata simulazione a sorgente fissa):
129
APPENDICE C. IL CODICE MCNP
keff ≈ kFSeff =N − 1
N − 1ν
. (C.6)
quando le due distribuzioni sorgente di neutroni di fissione siano circa le
medesime. Il valore medio ν in un problema puo essere calcolato dividendo
il numero di neutroni prodotti da fissione per il numero di neutroni persi
nelle fissioni, entrambi i quali vengono forniti nel file di output insieme ai
pesi che compaiono nelle relazioni precedenti.
C.0.13 Caratteristiche della sorgente
Per generare una sorgente in MCNP il modo principale e quello di uti-
lizzare il comando sdef, che grazie alla sua flessibilita permette all’utente di
riprodurre sorgenti di geometrie complicate, con spettri energetici qualsiasi
e che emettono particelle in direzioni privilegiate rispetto ad altre.
Esso di default produce una sorgente puntiforme, posta alle coordinate
(0,0,0), che emette particelle con distribuzione isotropa ed energia di 14
MeV, al tempo 0. In riga al comando si possono inserire parametri per
modificare quelli di default e ottenere cosı la sorgente desiderata. I valori
possono essere forniti in modo esplicito oppure essere definiti mediante una
distribuzione o ancora utilizzando una funzione di un altro parametro. Con
il comando sdef e possibile anche creare sorgenti estese, con caratteristiche
desiderate.
Nel caso di simulazioni con calcoli di criticita, in cui la sorgente viene con-
siderata solo al primo ciclo e l’obbiettivo e quello di raggiungere una dis-
tribuzione stabile di fissioni nel minor tempo possibile, normalmente viene
utilizzato il comando ksrc. Esso considera i punti forniti in input, le cui coor-
dinate vengono immesse di seguito al comando, come luoghi dove e avvenuta
una fissione e ivi fa partire un neutrone con energia data dallo spettro di
fissione del materiale in cui si trova il punto. Per questo motivo e necessario
che almeno uno dei punti sorgente si trovi in una cella con materiale fissile,
altrimenti la simulazione non puo iniziare. Per avere una distribuzione sta-
bile di fissioni e nel minor numero di cicli possibili, e comunque preferibile
posizionare almeno un punto sorgente in ciascuna cella di materiale fissile.
130
Appendice D
Il codice SAND II
Il programma di deconvoluzione SAND II e stato sviluppato per deter-
minare il flusso e lo spettro neutronico di un generico sistema moltiplicante.
Il codice di calcolo adotta un processo iterativo che utilizza i valori delle
sezioni d’urto di specifiche reazioni nucleari dei target presenti nel database
del programma, dai valori di attivazione delle targhette irraggiate e da uno
spettro neutronico di guess, che puo essere scelto all’interno del database
di SAND II, oppure definito manualmente dall’utente. Ad ogni iterazione
il codice calcola una soluzione e la confronta con il valore di quella all’it-
erazione precedente, generando per ogni intervallo energetico un parametro
di correzione sull’energia. I valori di correzione sono poi inseriti all’interno
di un vettore chiamato funzione peso, il quale sara applicato allo spettro
neutronico di guess per produrre un nuovo spettro iniziale, che verra poi
utilizzato per il calcolo dell’iterazione successiva. Quando la differenza dei
valori della soluzione tra la k-esima iterazione e quella precedente risulta
essere inferiore al parametro di controllo, inserito come dato nel file di input
di SAND II, si arresta il processo iterativo. A questo punto il codice SAND
II fornisce la soluzione come distribuzione del flusso neutronico e del suo
spettro energetico compreso fra le energie 1010 MeV e 18 MeV tabulato in
621 punti.
Il codice SAND II compie un operazione di discretizzazione di tutte le
grandezze che dipendono dall’energia, suddividendole in 621 punti energetici
all’interno dell’intervallo di energia compreso tra 1010 MeV e 18 MeV.
Per ogni intervallo energetico il programma SAND II compie un’operazione
di media dei valori delle grandezze che appartengono ad esso, producendo
poi una rappresentazione tabulata dei punti di campionamento.
131
APPENDICE D. IL CODICE SAND II
D.0.14 Descrizione dell’algoritmo di SAND II
I dati iniziali e le specifiche delle operazioni da svolgere sono inseriti al-
l’interno di un file di testo chiamato INPUT.DAT. Questo file e composto da
15 linee di comando che definiscono i valori iniziali e i parametri di controllo.
In input devono essere forniti al programma:
1. Tipo di calcolo da effettuare
Il codice di calcolo ha la possibilita di calcolare lo spettro neutronico
del generico sistema moltiplicante partendo dai valori di attivazione
specifici a saturazione delle targhette irraggiate, scrivendo nel file di
input il comando ITERATION, oppure di calcolare l’attivita a sat-
urazione delle targhette utilizzando come dato iniziale uno spettro
neutronico, scrivendo il comando ACTIVITY.
2. Numero di targhette utilizzate
In questa riga di comando bisogna specificare il numero di targhette
utilizzate nell’irraggiamento scrivendo il comando n FOILS (numero
di targhette utilizzate).
Bisogna poi elencare le targhette utilizzate e le reazioni nucleari di atti-
vazione neutronica di interesse attraverso delle sigle che le identificano.
I prodotti delle reazioni nucleari di attivazione sono rappresentati da
una singola lettera posta alla fine della sigla che identifica l’elemento:
(n, γ) = G; (n, α) = A; (n, p) = P ; (n, n′) = N ; (n, 2n) = 2.
(D.1)
I caratteri che precedono la sigla della reazione di attivazione identifi-
cano l’elemento, ad esempio:
23Na(n, γ)24Na = NA23G (D.2)
Nel caso in cui uno o piu target siano ricoperti da uno strato di ma-
teriale assorbente quali il Cadmio, l’Oro o il Boro, il codice e in gra-
do di calcolare l’attenuazione dovuta agli elementi assorbitori, se si
specifica il loro spessore. Le sezioni d’urto utilizzate per il calcolo
dell’attenuazione sono:
132
per il Cadmio, la sezione d’urto totale per 109Cd;
per il Boro, la sezione d’urto per la reazione 10B(n, α)7Li;
per l’Oro, la sezione d’urto per la reazione 197Au(n, γ)198Au.
Per ogni reazione considerata il programma attribuisce un foglio, quin-
di l’attivita del foglio sara solo il contributo della singola reazione.
Qualora si vogliano considerare piu reazioni appartenenti ad un dato
target irraggiato bisogna inserire all’interno di SAND II un numero di
fogli pari al numero di reazioni e l’attivita del singolo foglio e data dal
contributo della singola reazione.
3. Attivita dei campioni
Attraverso il comando ACTS si definisce la stringa dei valori di at-
tivazione specifica a saturazione dei target irraggiati. I valori delle
attivita devono essere espressi in Bq/numero di nuclei.
4. Spettro di guess Lo spettro di guess puo essere inserito in tre diversi
modi:
Richiamando uno spettro presente all’interno del database di
SAND II;
Richiamando una funzione di spettro presente all’interno del
database di SAND II;
inserito manualmente in forma tabulata definendo il numero di in-
tervalli di campionamento e i rispettivi valori di energia e di flusso
per ogni intervallo. I valori del flusso non devono essere riportati
come spettro integrale, ma come spettro differenziale, ovvero i
valori di ciascun intervallo deve essere diviso per la larghezza in
energia dell’intervallo stesso.
5. Parametri di controllo
Sono parametri introdotti al fine di gestire l’accuratezza della soluzione
e il tempo di elaborazione richiesto dal programma per arrivare a
convergenza. I parametri di controllo sono 3: LIMIT, DISCARD e
DEVIATION.
LIMIT specifica il numero massimo di iterazioni che puo svolgere
il programma;
133
APPENDICE D. IL CODICE SAND II
DEVIATION definisce l’intervallo percentuale a cui le differen-
ze calcolate sui 621 punti energetici del flusso neutronico (tra
l’iterazione successiva e quella precedente) devono appartenere;
DISCARD rappresenta la deviazione standard del rapporto tra
l’attivita misurata e calcolata.
Quando vengono soddisfatte le condizioni di DISCARD e di DEVI-
ATION il programma termina le iterazioni. Il programma termina
comunque le iterazioni anche nel caso in cui si raggiunga il numero
massimo di iterazioni, anche se non sono soddisfatti i parametri di
DISCARD e di DEVIATION.
6. Approssimazione e normalizzazione dell’energia
E descritta dai comandi LOW END THERMAL, che rappresenta la
distribuzione Maxwelliana a 20 °C, e HIGH END FUSION, rappresen-
tata dallo spettro di fissione. La normalizzazione dell’energia e data
in MeV.
7. Rappresentazione gratifica della soluzione a diverse iterazioni.
8. Funzione SMOOTH
Inserendo numeri differenti da 1 dopo il comando di SMOOTH si va-
riano i parametri delle funzioni peso utilizzate per il calcolo dei dati
in ingresso di ogni iterazione.
Introduciamo ora brevemente la procedura iterativa di calcolo del
programma SAND II:
Per ogni reazione (foglio) considerata, e calcolata l’attivita basata sul-
lo spettro neutronico all’iterazione corrente e sulla valutazione della
sezione d’urto tabulata in 621 gruppi energetici presente nel database
del codice;
Le attivita calcolate vengono confrontate con quelle misurate per
ottenere un fattore di correzione per ogni reazione considerata;
Per ogni reazione riferita al k-esimo processo iterativo, si genera una
funzione peso dipendente dall’energia basata sulla funzione di sensibi-
lita (definita dal prodotto della sezione d’urto differenziale e del flusso
differenziale) calcolata per quella reazione e alla iterazione corrente;
134
Sulle funzioni peso viene eseguito un calcolo di media, per ottenere un
fattore medio di correzione per ogni energia, basato sul confronto tra
l’attivita calcolata e quella misurata per ogni reazione e sul contributo
relativo del flusso, ad una data energia, all’attivita di quella reazione;
I fattori medi di correzione sono poi applicati al valore del flusso ite-
rativo corrente a qualsiasi energia per ottenere il flusso dell’iterazione
successiva.
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Bibliografia
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Plutonium - Beryllium Source, Nuclear Physics; vol. 43, 1963;
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[4] A. Rotondi, P. Pedroni, A. Pievatolo, Probabilita, Statistica e
Simulazione; Springer;
[5] John R. Taylor; Introduzione all’analisi degli errori, Lo studio
delle incertezze nelle misure fisiche, seconda edizione; Zanichelli;
[6] G. Bendiscioli, Fenomeni radioattivi, Dai nuclei alle stelle, seconda
edizione; Springer;
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Van Nostrand Reinhold Company, New York.
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UniversitA degli Studi di Pavia.
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Tesi di Laurea, Politecnico di Torino.
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du IV generazione, Tesi di Laurea, Universita degli Studi di Pavia.
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[18] T. Goorley, Criticality Calculations with MCNP5: A Primer,
Los Alamos National Laboratory, X-5.
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Ringraziamenti
Vorrei ringraziare innanzitutto il mio relatore Andrea Borio di Tigliole
per la sapiente guida di tutto questo immenso, in termini di energia e tempo
speso, lavoro di tesi.
Sicuramente non posso non ringraziare Daniele, che mi ha seguito sempre e
dispensato di consigli e aiuti, impiegando buona parte anche del suo tempo
libero potermi seguire nell’avanzare del lavoro.
Michele, con cui si accendevano sempre proficui dibattiti per trovare spie-
gazioni a ogni questione che si poneva.
Devo poi porgere i miei ringraziamenti al Prof. Massimo Oddone, Andrea
Salvini e Sergio Manera per il tempo dedicato alle operazioni necessarie a
svolgere le misure ad SM1, nonche per i consigli e gli aiuti forniti.
Infine non posso dimenticare di ricordare l’aiuto del Prof. Alberto Rotondi
e del Prof. Andrea Fontana nel risolvere alcune questioni presentatesi nel
corso del lavoro svolto.
Per ultimo, ma non per importanza, devo ringraziare nel modo piu senti-
to, Sara per aver sopportato tutto il periodo che mi ha visto duramente
impegnato nella preparazione di questa tesi.
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