Capítulo 8 - uncor€¦ · Una barra prismática consiste en una barra recta de sección...

CAPITULO 8 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Capítulo 8

Método de Rigidez - Pórticos Planos

8.1- Pórticos con nudos rígidos

En este capítulo se presenta el análisis de pórticos planos que, a diferencia de los

reticulados vistos anteriormente, presentan continuidad de giros en los nudos. Por tal motivo,

resulta necesario considerar al giro de cada nudo como un grado de libertad adicional en el

vector de los desplazamientos nodales. En la Figura 8.1 (a) se ilustra un nudo articulado que

corresponde a un reticulado ideal. El caso (b) es un nudo rígido en el sentido que el giro de los

extremos de todas las barras que concurren al nudo resulta el mismo. El caso (c) es un nudo

combinado, y finalmente el (d) representa esquemáticamente un nudo semirígido en el que la

articulación incorporada que vincula a las dos partes que conecta posee cierta restricción elástica.

Figura 8.1

La atención se centrará en el estudio del caso (b) para el cual las rotaciones de todos los

extremos de barra que concurren al nudo son iguales entre sí, e iguales a la rotación del nudo.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

También se supondrá por ahora que las cargas (fuerzas y momentos) actúan sólo en los

nudos. El caso de cargas actuando en el interior de los tramos constituye una situación más

habitual, y será estudiada en detalle en el próximo capítulo.

Este capítulo se dedica a pórticos planos constituidos por barras prismáticas de

eje recto y nudos rígidos sometidos a cargas en los nudos contenidas en el plano.

Una barra prismática consiste en una barra recta de sección transversal constante. Se

desarrolla a continuación un procedimiento análogo al del Capítulo 7 referido al reticulado ideal.

En este caso, el número de G.L. por nudo es 3: dos desplazamientos o corrimientos, y un giro. Se

utiliza la convención de signos indicada en la Figura 8.2, en la que son positivos los momentos y

giros antihorarios.

La rigidez de los elementos no sólo resultan funciones de E y A , sino también del

momento de inercia I (además de la longitud L y la orientación de la barra).

Figura 8.2

8.2- Matriz de rigidez de una barra prismática

El sistema de equilibrio para el caso de una barra prismática de un pórtico plano (tres

incógnitas por nudo) puede escribirse en notación matricial de la siguiente forma:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

.

x xi iy y

i i

i ix x

j jy y

j j

j j

K K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K MK K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K M

(Ec. 8.1)

La ecuación (Ec. 8.1) se conoce como ecuación fuerza-desplazamiento de la barra. Para

deducir los elementos por un razonamiento físico similar al empleado en la sección 7.2, se

procede a aplicar un desplazamiento unitario dejando los restantes nulos:

1 ; 0x y x yi i i j j jU U U U

jx

jU

yjU


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

En el problema hiperestático de la Figura 8.3, el nudo "j" constituye un empotramiento,

mientras que el nudo "i" sufre tres desplazamientos prefijados: uno unitario y los otros dos nulos.

Figura 8.3

La distribución de esfuerzos y reacciones de este caso genérico puede calcularse en base a

la ecuación diferencial de la elástica. A los efectos de simplificar el cálculo de la matriz de

rigidez resulta conveniente formular el problema en un sistema de coordenadas locales. Luego, el

caso general indicado en la Figura 8.3 surge de aplicar un proceso de rotación de coordenadas al

sistema global de coordenadas partiendo de la matriz expresada en el sistema local, uno de cuyos

ejes coincide con el eje longitudinal de la barra.

Matriz de rigidez en coordenadas locales

El sistema local de coordenadas que se adopta es tal que el eje lx coincide con el eje de la

barra y el sentido positivo es del nudo "i" hacia el nudo "j".

La deducción de la matriz K del sistema de la (Ec. 8.1), en forma genérica para el caso

de la Figura 8.4 (b), resulta relativamente simple y se desarrolla a continuación.

Figura 8.4

lxly ly

lxi j

11K

21K31K

41K

51K

61K


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-

La primera columna de la matriz en el sistema local se obtiene imponiendo los siguientes

desplazamientos y giros:

1

0

xiy x y

i i j j j

UU U U

Figura 8.5

La solución se logra considerando la ley de Hooke, y aprovechando el desacoplamiento

entre el comportamiento axial (desplazamientos longitudinales) y el comportamiento flexional

(desplazamientos transversales y giros). Esto significa que los desplazamientos en la dirección x

sólo producen esfuerzos axiales, no apareciendo fuerzas transversales (dirección y) ni momentos.

Por otra parte, los desplazamientos en la dirección y y los giros sólo producen esfuerzos de corte

y momentos flectores, no apareciendo fuerzas longitudinales (dirección x). De esta forma:

11 21 31 41 51 61; 0; 0; ; 0; 0EA EAK K K K K KL L

(Ec. 8.2)

La segunda columna se obtiene imponiendo los siguientes desplazamientos y giros:

1

0

yix x y

i i j j j

UU U U

Figura 8.6

Este caso requiere resolver la ecuación diferencial de la elástica de la viga en flexión que

se reescribe a continuación (teoría de vigas de Euler-Bernoulli): 4

4

d uq EIdx

(Ec. 8.3)

12K

22K32K

42K

52K

62K

11K

21K31K

41K

51K

61K

ij


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-

La convención de signos utilizada es la misma que fuera presentada en el Capítulo 1.

La solución homogénea que resulta de interés en este caso se expresa como: 2 3

0 1 2 3( )u x C C x C x C x (Ec. 8.4)

El giro, el momento flector y el esfuerzo de corte se obtienen de la siguiente forma:

21 2 3( ) ( ) ( ) 2 3dx u x u x C C x C x

dx (Ec. 8.5)

2

2 32( ) ( ) ( ) 2 6dM x EI u x EI u x EI C C xdx

(Ec. 8.6)

3

33( ) ( ) ( ) 6dQ x EI u x EI u x EI Cdx

(Ec. 8.7)

Las constantes de integración se calculan con las siguientes 4 condiciones de borde:

En 0 : En :(0) 1 ( ) 0(0) (0) 0 ( ) ( ) 0

x x Lu u L

u L u L

(Ec. 8.8)

o en forma matricial

0

12 3

22

3

1 0 0 0 10 1 0 0 01 00 1 2 3 0

CCCL L LCL L

(Ec. 8.9)

De las condiciones de borde para x = 0 surge que C0 = 1 y C1 = 0, por lo que las restantes

constantes pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema reducido: 22 3

2 232

3 3

1 30 22 3

C C LL LC C LL L

(Ec. 8.10)

De acuerdo a (Ec. 8.6) y (Ec. 8.7), el momento flector y el esfuerzo de corte resultan:

2

6( ) 2 1EIM x x LL

(Ec. 8.11)

3

12( ) EIQ xL

(Ec. 8.12)

u

u


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

Téngase en cuenta que, según la convención de signos adoptada, un momento flector

positivo es producido por un momento exterior negativo aplicado a la izquierda y un momento

exterior positivo a la derecha de la sección considerada. Por otra parte, un esfuerzo de corte

positivo es producido por una fuerza exterior positiva a la izquierda y una fuerza exterior

negativa a la derecha de la sección considerada.

De esta forma, las reacciones de los extremos de la viga de la Figura 8.6 resultan:

22 323 2

52 623 2

12 6(0) ; (0) ;

12 6( ) ; ( )

EI EIK Q K ML L

EI EIK Q L K M LL L

(Ec. 8.13)

Debido a que el comportamiento axial está desacoplado del comportamiento flexional, la

fuerza axial resulta nula. En definitiva, los coeficientes de la segunda columna resultan:

12 22 32 42 52 623 2 3 2

12 6 12 60; ; ; 0; ;EI EI EI EIK K K K K KL L L L

(Ec. 8.14)

De manera similar, la tercera columna de la matriz de rigidez se obtiene imponiendo los

siguientes desplazamientos y giros:

1

0i

x y x yi i j j jU U U U

Figura 8.7

En este caso, las constantes de integración de la solución general en (Ec. 8.4) se obtienen

planteando las 4 condiciones de borde indicadas a continuación:

En 0 : En :(0) 0 ( ) 0(0) (0) 1 ( ) ( ) 0

x x Lu u L

u L u L

(Ec. 8.15)

o en forma matricial

0

12 3

22

3

1 0 0 0 00 1 0 0 11 00 1 2 3 0

CCCL L LCL L

(Ec. 8.16)

2X

1X

1


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-

De las condiciones de borde para x = 0 surge que C0 = 0 y C1 = 1, por lo que las restantes

constantes pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema reducido: 2 3

2 222

3 3

2112 3

C C LLL LC C LL L

(Ec. 8.17)

De acuerdo a (Ec. 8.6) y (Ec. 8.7), el momento flector y el esfuerzo de corte resultan:

2( ) 3 2EIM x x LL

(Ec. 8.18)

2

6( ) EIQ xL

(Ec. 8.19)

mientras que las reacciones de los extremos de la viga de la Figura 8.7 resultan:

23 332

53 632

6 4(0) ; (0) ;

6 2( ) ; ( )

EI EIK Q K ML L

EI EIK Q L K M LL L

(Ec. 8.20)

Dado que el comportamiento axial está desacoplado del comportamiento flexional, la

fuerza axial resulta nula. En definitiva, los coeficientes de la tercera columna resultan:

13 23 33 43 53 632 2

6 4 6 20; ; ; 0; ;EI EI EI EIK K K K K KL L L L

(Ec. 8.21)

Considerando el Teorema de Reciprocidad se puede anticipar que la fuerza vertical en "i"

23K cuando 1i resulta igual al momento en "i" 32K cuando 1yiU . Está propiedad es

general y permite afirmar que la matriz de rigidez es siempre simétrica.

Repitiendo el procedimiento se pueden deducir las restantes columnas y obtener la forma

explícita (genérica) del sistema de la (Ec. 8.1) introduciendo la siguiente notación:

1 2 1 2

32 3 2

1 2 1 2

32 2 3

0 0 0 00 0

0 02

0 0 0 00 0

0 02

x xi iy y

i i

i ix x

j jy y

j j

j jl l

l

K KU PK K K KU PKK K K MU PK KU PK K K K

MKK K K

(Ec. 8.22)

1 2 33 2; 12 ; 6 ; 4EA EI EI EIK K K KL L L L

De esta forma, la (Ec. 8.22) define la matriz de una barra cuyo eje baricéntrico

coincide con el eje “x”.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-

Puede observarse que la cuarta fila es la primera cambiada de signo, la quinta es la

segunda cambiada de signo, y la sexta es igual a la segunda multiplicada por la longitud "L" y

restándole la tercera. Esto significa que la matriz de rigidez es singular y que el sistema de la

(Ec. 8.22) sólo podrá resolverse imponiendo al menos tres condiciones de vínculo para evitar

desplazamientos de cuerpo rígido.

Nótese que la matriz de rigidez de la (Ec. 8.22) ha sido obtenida despreciando las

deformaciones por corte (se utiliza la teoría de vigas de Euler-Bernoulli).

Matriz de rigidez de una barra para una dirección genérica

En primer lugar, se analiza cómo se transforman desplazamientos y fuerzas del sistema

global de coordenadas (x, y) al sistema local (x1, y1). En el desarrollo a continuación, el índice

" l " se refiere a las componentes de vectores en un sistema local. Los mismos elementos en el

sistema global no llevan subíndice.

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

x yx l l

x yy l l

P P PP P P

(Ec. 8.23)

Por lo tanto, las componentes locales de fuerza expresadas en función de las componentes

globales resultan:

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

xl x y

yl x y

P P P

P P P

(Ec. 8.24)

Matricialmente (donde 1 cos( ) y 2 sen( ) ):

1 2

2 1

xxl

yyl

PPPP

(Ec. 8.25)

o más abreviadamente:

lP R P (Ec. 8.26)

yP

xP

xlP

lxly

ylP

2

1


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-

Similarmente, para los desplazamientos se obtiene:

lU RU (Ec. 8.27)

Los desplazamientos generalizados se transforman según (Ec. 8.27) usando una versión

expandida de R de (3 x 3), considerando que los valores de los giros son independientes de la

orientación de los ejes “x” e “y”. De esta forma, la expresión equivalente a (Ec. 8.25) resulta:

1 2

2 1

00

0 0 1

x xly y

l

l

U UU U

(Ec. 8.28)

La matriz de rotación R es “ortonormal” dado que su inversa es igual a su transpuesta: 1 TR R . El sistema de ecuaciones de equilibrio en coordenadas locales de la (Ec. 8.22) puede

particionarse de la siguiente forma: l l l l l

ii i ij j i

l l l l lji i jj j j

K U K U P

K U K U P

(Ec. 8.29)

Las submatrices de igual índice ,ii jjK K se designan submatrices de rigidez directa,

mientras que las de índice diferente ,ij jiK K son las submatrices de rigidez cruzada.

La transformación a coordenadas globales se efectúa de la siguiente forma: l l

ii i ij j i

l lji i jj j j

K RU K RU R P

K RU K RU R P

(Ec. 8.30)

Premultiplicando ambos miembros por TR y considerando que TR R I se obtiene:

T l T lii i ij j i

T l T lji i jj j j

R K R U R K R U P

R K R U R K R U P

(Ec. 8.31)

T l T li iii ij

T l T lj jji jj

U PR K R R K RU PR K R R K R

(Ec. 8.32)

Las (Ec. 8.31) y (Ec. 8.32) proveen las expresiones para obtener la matriz de rigidez en el

sistema global: debe premultiplicarse cada submatriz por RT y al resultado postmultiplicarlo por

R. A manera de ejemplo, la matriz iiK posee explícitamente la siguiente forma:


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

1 2

1 2 2 1

2 32 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2

2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

2 3 2 2 1 2 3

0 0 00 00 0 0 1

00

0 0 1 0

KK KK K

K K K K K K K KK K K K K K K K

K K K K K

Operando sobre lijK , l

jiK y ljjK de manera similar se llega finalmente a la matriz de

rigidez para el caso general:

(Ec. 8.33)

2 21 2 1A K K ; 1 2 1B K K ; 2 2C K

2 22 1 1D K K ; 1 2E K

La barra orientada según el eje "y" puede considerarse un caso particular de (Ec. 8.33)

para la cual 1 0 . Como esta orientación de la barra se encuentra comúnmente (por ejemplo, en

columnas de pórticos) conviene contar con la forma explícita de esta matriz:

1 2 1 2

32 3 2

1 2 1 2

32 2 3

0 00 0 0 0

0 02 .

0 00 0 0 0

0 02

x xi iy y

i i

i ix x

j jy y

j j

j j

K K K KU PK KU PKK K K MU PK K K KU PK K

MKK K K

(Ec. 8.34)

1 2 33 2; 12 ; 6 ; 4EA EI EI EIK K K KL L L L

2

1

33

3

2

x xi iy y

i i

i ix x

j jy y

j j

j j

A B C A B C U PD E B D E U P

K MK C EU PA B CU PD E

MK

simétrica


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

Es importante remarcar que las matrices de rigidez de (Ec. 8.22), (Ec. 8.33) y (Ec. 8.34)

corresponden a la convención de signos de la Figura 8.2 referida al sentido positivo para los

desplazamientos y los giros. Dicha convención también rige para las fuerzas y los momentos.

8.3- Matriz de rigidez de la estructura El ensamble de la matriz del conjunto se realiza con un procedimiento similar al visto

para el reticulado:

Para la estructura de la Figura 8.8, después de introducir las condiciones de vínculo queda

una matriz (3 x 3), pues existe un único nudo libre de desplazarse y girar:

Figura 8.8

iiK

jjK

ijK

jiK

ii ij

ji jj

K KK K


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

1 2 2

1 2 2

2 2 3 3 2

0 00 .

b a a x

b a b y

a b b a

K K K UK K K U P

K K K K M

(Ec. 8.35)

En casos como el de la Figura 8.8 es posible hacer una hipótesis simplificativa que facilita

notablemente los cálculos: despreciar la deformación axial de las barras. Esta hipótesis produce:

2 20 ; 0x yU U (Ec. 8.36)

Se dice entonces que la estructura es a "nudos fijos", y la (Ec. 8.35) se reduce a:

3 3 2.a bK K M

23 3

a b

MK K

(Ec. 8.37)

Para calcular las fuerzas en los extremos de barras se utilizan las ecuaciones fuerza-

desplazamiento de cada barra (Ec. 8.34) para la barra vertical y (Ec. 8.32) para la horizontal.

2 1

1

3 1

2 2

2

23 2

00002

. 000

a ax

ay

a a

a ax

ay

a a

K PP

K MK P

PK M

2

2 2

3 2 2

3

2 3

3 3

0 00

.0 00

2 0

bx

b by

b b

bx

b by

b b

PK PK M

PK P

K M

Nótese que debido a la hipótesis de la (Ec. 8.36), no aparecen las fuerzas axiales. Sin

embargo, la fuerza de corte HR en la barra vertical es provista como fuerza axial (tracción) en la

barra horizontal. Similarmente la fuerza de corte VR en la barra horizontal es provista como

fuerza axial (compresión) en la barra vertical.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

Figura 8.9

Utilizando la (Ec. 8.37) puede expresarse:

32

3 3

aa

a b

KM MK K

; 32

3 3

bb

a b

KM MK K

(Ec. 8.38)

Las fuerzas de corte pueden entonces calcularse, por consideraciones estáticas, en función

de los momentos en los extremos según:

2 1 22

3 3

a a aa H

x a ba

K M MP M RK K L

(Ec. 8.39)

2 322

3 3

b bbb V

y a bb

M MKP M RK K L

(Ec. 8.40)

Para estructuras de configuración más general no es posible (ni conveniente) eliminar los

desplazamientos nodales como incógnitas. En el caso que se ilustra en la Figura 8.10, es posible

aproximar la solución del problema suponiendo que el nudo 2 no se desplaza verticalmente al no

considerar la deformación axial de la barra a. Esta aproximación no es estrictamente necesaria, y

el problema puede resolverse en forma rigurosa incluyendo el desplazamiento vertical del nudo

“2” como grado de libertad.

Figura 8.10

VR P

1a

xP1

aM

2a H

xP R2

aM

VR P

HR HR2

bM 3bM

2b V

yP R3

byP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

1

1 13 2 3

22 1 2

2 1 2 2

3 2 2 3 3 3

3

2 3 3

0 2 0 00 0

0 0 0.

2 0 20 0 0 00 0 2 0

a a a

xa b a a b

b a b

a a b b a

b b

b b b

K K KUK K K K K

K K K KK K K K K K

K KK K K

2 3

2

2

3

3

0

0000

y

x

PU

U

(Ec. 8.41)

Se dice que el sistema es de "nudos desplazables", y para su resolución debe emplearse el

sistema completo de ecuaciones correspondiente a los seis grados de libertad.

8.4- Determinación de los esfuerzos El planteo de la matriz de rigidez del conjunto y la solución del sistema de ecuaciones de

equilibrio constituyen la parte laboriosa de este método desde el punto de vista computacional.

El cálculo de los esfuerzos se reduce a efectuar unas multiplicaciones y sumas utilizando

las ecuaciones fuerza-desplazamiento de cada barra.

Una vez calculados los desplazamientos nodales en el sistema global se pueden calcular

las fuerzas en los extremos de una barra horizontal (coincide con el eje “x”) efectuando el

producto indicado en (Ec. 8.22).

Figura 8.11

Si la barra es vertical (orientada en la dirección “y”) debe aplicarse la (Ec. 8.34):

xiP

yiP

iM jM

yjP

xjP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

Figura 8.12

En ambos casos, el trazado de los diagramas resulta particularmente simple dado que las

fuerzas en los extremos coinciden con los esfuerzos de corte y normal.

En el caso de una barra que no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de referencia

global se puede emplear la (Ec. 8.33), pero en este caso las fuerzas en los extremos no coinciden

con los esfuerzos de corte y normal, por lo que deben transformarse a coordenadas locales

empleando la (Ec. 8.26).

Figura 8.13

Una alternativa consiste en utilizar la matriz de rigidez en coordenadas locales efectuando

el producto indicado en (Ec. 8.22) expresando previamente los desplazamientos en coordenadas

locales de la barra a través de la (Ec. 8.27).

xiP

yiP

iM

jM

yjP

xjP

jM

iMN

lxly

Q

Q

N

lP R P

l

l

xiy

i

P N

P Q

xiP

yiP

iM

jM

yjP

xjP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

Figura 8.14

En la Figura 8.14 se puede apreciar que el trazado de los diagramas de esfuerzos, barra

por barra, es trivial cuando se conocen las fuerzas de extremo de cada barra en su sistema local

de coordenadas.

8.5- Cálculo de las reacciones de apoyo

Cuando una única barra concurre a un apoyo, resulta evidente que las fuerzas del extremo

de esa barra están provistas por el apoyo. Por lo tanto, en esos casos las reacciones de apoyo son

simplemente las fuerzas que actúan sobre el extremo de la barra que concurren al nudo. Por

ejemplo, en el caso de la Figura 8.8, las reacciones en el nudo 1 coinciden con las fuerzas en el

extremo 1 de la barra (a), mientras que las reacciones en el nudo 3 coinciden con las fuerzas en

el extremo 3 de la barra (b).

En apoyos donde concurren dos o más barras, las reacciones se obtienen considerando el

equilibrio del nudo. Para ello, debe “cargarse” el nudo del apoyo con las fuerzas de los extremos

de las barras que concurren a él, pero cambiadas de signo. Esto equivale a considerar que las

reacciones de apoyo se obtienen sumando las fuerzas de los extremos de las barras que concurren

a dicho apoyo. Esta forma de operar se ilustra en las Figura 8.15 y Figura 8.16.

iM

jM

lxiP

lxjP

lyiP

lyjP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

Figura 8.15

Figura 8.16

A continuación, se aborda un tratamiento "formal" de las condiciones de vínculo para el

cálculo de las reacciones de apoyo. El sistema global de ecuaciones de equilibrio de toda la

estructura, al cual todavía no se le introdujeron las condiciones de vínculo, puede escribirse

reacomodado (“particionado”) de la siguiente manera:

yjR

xjR

(1)jM (2)

iM

(1)y

jP (2)y

iP

2 (1) (2)y y y

j iR P P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

11 12

21 22

.0

K K U P

RK K

(Ec. 8.42)

:U Contiene todos los desplazamientos incógnitas.

:R Representa las reacciones de apoyo. En este momento se supondrá que todos los

apoyos tienen desplazamiento nulo. El reacomodo (o partición) se logra simplemente cambiando

de lugar las filas y columnas de esta manera que la (Ec. 8.42) da origen a:

11 12 110K U K P K U P (Ec. 8.43)

21 22 210K U K R K U R (Ec. 8.44)

Primero se resuelve la (Ec. 8.43) y una vez conocidos los desplazamientos, se pueden

calcular las reacciones de apoyo efectuando el producto indicado en la (Ec. 8.44).

En definitiva, las reacciones se obtienen a partir de los desplazamientos, empleando las

ecuaciones que no se utilizaron para el cálculo de los desplazamientos.

Ejercicio Nº 1:

Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico de la figura.

1 2

2 2 61 2 2

4 41 2

200 400 5000

45,5 67,5 2,1 10

1534 3856

l cm l cm P KgKgA cm A cm Ecm

I cm I cm

; ;

; ;

;

Barra 1:

Matriz de rigidez:

2 2

1 33

. .477750 ; 6. 483210

. .12. 4832,1 ; 4. 64428000

A E E IK Kl l

E I E IK Kl l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

1

1

2

4832,1 0 483210 4832,1 0 4832100 477750 0 0 477750 0

483210 0 64428000 483210 0 322140004832,1 0 483210 4832,1 0 483210

0 477750 0 0 477750 0

2

483210 0 32214000 483210 0 64428000

Barra 2:

Matriz de rigidez:

2 2

1 33

. .354375 ; 6. 303660

. .12. 1518,3 ; 4. 80976000

A E E IK Kl l

E I E IK Kl l

2 3

2

3

354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000

354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600

303660 40488000 0 303660 80976000

Matriz de rigidez general: 1 2 3

1

2

3

/ / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / 359207,1 0 483210 354375 / / 0/ / / / / / 0 479268,3 3036

1

1

1

2

2

2

3

3

3

00

0

60 0 / / 303660 ./ / / / / / 483210 303660 145404000 0 / / 40488000/ / / / / / 354375 0 0 354375 / / 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / 0/ / / / / / 0 303660 40488000 0 / / 80976000

x

y

x

y

x

y

UU

UU

UU

1

1

1

3

5000000

0

x

y

y

RRM

R


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

1

1

1

2

2

2

3

3

3

000

1,6858665780,0020676302

0,0065119781,685866578

00,0032478453

x

y

x

y

x

y

UU

UU

UU

Cálculo de las fuerzas en los extremos de barra:

Barra 1: 1 2

1

2

/ / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 32214000/ / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 64428000

0 50000 987,810 604875

. 1,6851 50000,0020651 987,81

0,006503 395124

Barra 2: 2 3

2

3

354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000

354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600

1,68510 00,002065 987,810,006503 395124

. 1,685106 00 987,81

303660 40488000 0 303660 80976000 0,0032488 0


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

Ejercicio Nº 2:

Resolver el pórtico de la figura por el Método de Rigidez.

2 4 6222,8 935 2,1 10 800KgA cm I cm E P Kg

cm ; ; ;

El número de incógnitas puede disminuirse resolviendo el siguiente sistema:

El desplazamiento del nudo 4 se obtiene superponiendo el desplazamiento y giro del

extremo de una viga en voladizo al desplazamiento como cuerpo rígido del empotramiento.

150 120000M P

300 150

200


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

Matrices de rigidez:

Barra 1:

2 2

1 33

. .159600 ; 6. 130900

. .12. 872,66 ; 4. 26180000

A E E IK Kl l

E I E IK Kl l

1 2

1

2

159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000 130900 26180000 0 130900 13090000

159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000

130900 13090000 0 130900 26180000

Barra 2: 1 20,6 0,8 ;

2 2

1 33

. .191520 ; 6. 188496

. .12. 1507,96 ; 4. 31416000

A E E IK Kl l

E I E IK Kl l

2 3

2

3

69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,

6150796,8 113097,6 31416000 150796,8 113097,6 15708000

69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,6150796,8 113097,6 15708000 150796,8 113097,6 3141

6000

2 21 2 1

1 2 1

2 22 2

2 1 1

1 2

. . 69912,3. . 91205,78. 150796,8. . 123115,67

. 113097,6

A K KB K KC KD K KE K

2

1


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

Sistema de ecuaciones de equilibrio: 1

22

2

2

3

229512,3 91205,775 150796,8 150796,8 091205,775 123988,33 17802,4 113097,6 800

.150796,8 17802,4 57596000 15708000 120000150796,8 113097,6 15708000 31416000 0

UU

122

2

2

3

0,0033910,01044

0,00242290,00126536

UU

Cálculo de las fuerzas en los extremos de barras:

Barra 1:

159600 0 0 159600 0 0 00 872,66 130900 0 872,66 130900 00 130900 26180000 0 130900 13090000 0

.159600 0 0 159600 0 0 0,00330 872,66 130900 0 872,66 130900 0,01040 130900 13090000 0 130900 26180000 0,0024

541,35308,0430348,3541,35

308,0462064, 4

Barra 2: Se utilizan los desplazamientos y la matriz de rigidez en coordenadas locales.

31 2

32 1

0 0,6 0,8 0 0,0033 6,324 100 . 0,8 0,6 0 . 0,0104 8,9832 10

0 0 1 0 0 1 0,0024 0,0024229

x xl

y yl

l

U UU U

3

3

191520 0 0 191520 0 0 6,324 100 1507,96 188496 0 1507,96 188496 8,983 100 188496 31416000 0 188496 15708000 0

.191520 0 0 191520 0 00 1507,96 188496 0 1507,96 1884960 188496 15708000 0 188496 31416000

1211,24231,74

57935,6,0024231211,240231,740

00,00126536


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-

Diagramas de barras:

Desplazamiento del nudo 4:

3.' 0, 45836

3. .yP lUE I

; 2'' . 0,363438yU l ; 2 0,0104494yU

4 2 '' 'y y y yU U U U '' 0,8322yU cm

2

2.' 0,0045836

2. .P lE I

; 2 0,0024229

4 2 2 ' 4 0,0070rad

2yU

'yU

2 '

2 ''yU

2yU

'yU''yU

Capítulo 8 - uncor€¦ · Una barra prismática consiste en una barra recta de sección...

Documents

Transcript of Capítulo 8 - uncor€¦ · Una barra prismática consiste en una barra recta de sección...