Capitolo_13_grashof 13.3.3.2

8/18/2019 Capitolo_13_grashof 13.3.3.2

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Capitolo 13

CRITERI DI SICUREZZA (prof.Elio Sacco)

13.1 Premesse

Nei capitoli precedenti sono stati forniti gli strumenti matematici necessari per ladefinizione dello stato di tensione e deformazione in un solido soggetto a determinateforze esterne e variamente vincolato. Tali deduzioni eff ettuate facendo l’ipotesi che lamateria costituente il corpo segua le leggi dell’elasticità lineare, sono pertanto validenella misura in cui il comportamento reale del materiale è sufficientemente prossimo aquello teorico ipotizzato.

Per verifi

care tale circostanza si presenta quindi indispensabile la defi

nizione pervia sperimentale delle proprietà tecnologiche dei materiali al fine di saggiare i limitientro i quali le leggi teoriche proposte sono in grado di rappresentare attendibilmenteil fenomeno reale.

Il più semplice e più comune test sperimentale sui materiali da costruzione è lacosiddetta prova di trazione . Tale prova viene eff ettuata inserendo un provino di sezionecircolare o rettangolare del materiale in esame in una macchina atta ad esercitare su diesso una forza di trazione P , come illustrato in figura 13.1, crescente con gradualità eregistrando le variazioni 4 della lunghezza di prova o al variare della forza applicataP .

Detta A l’area iniziale della sezione trasversale del provino; introdotte le due quan-

tità:

σn = P

A, εc =

4

o(13.1)

dette rispettivamente tensione nominale e deformazione convenzionale , è possibilededurre dalla prova un diagramma σn = σn (εc) che qualifica abbastanza bene ilcomportamento meccanico del materiale sotto sforzo.

Facendo riferimento ai materiali metallici più comunemente impiegati nell’ambito

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158 CAPITOLO 13. CRITERI DI SICUREZZA (PROF. ELIO SACCO)

P P

lo

A

Figura 13.1: Prova di trazione

delle costruzioni quali l’acciaio o l’alluminio, i diagrammi σn − εc eff ettuati in provea temperatura ambiente si presentano in genere come qualitativamente illustrato infigura 13.2.

Inizialmente la relazione fra tensione e deformazione risulta essere essenzialmentelineare. Questa parte lineare della curva si estende fino al punto A la cui tensionecorrispondente σo viene detto limite di proporzionalità . E’ evidente pertanto che soloin questo campo risultano attendibili i risultati teorici dedotti nell’ipotesi di elasticitàlinerare. Incrementando ulteriormente il carico, la deformazione cresce non più pro-porzionalmente alla tensione ma il materiale permane ancora in campo elastico nelsenso che scaricando il provino questo ritorna alla sua lunghezza iniziale. Questa con-dizione è soddisfatta fino al punto B la cui tensione corrispondente σs viene dettatensione di snervamento. Per la gran parte dei materiali il limite di proporzionalità σoe la tensione di snervamento σs risultano essere sensibilmente prossime. Incremetandoil carico esterno ulteriormente, le deformazioni cominciano ad accrescersi molto rapi-damente e non sono più reversibili nel senso che procedendo allo scarico del provino apartire da un punto C situato al di sopra del punto di snervamento B, la legge di scariconon ripercorre a ritroso la curva di carico iniziale OABC ma avviene secondo la rettaCC 0 sensibilmente parallela alla retta elastica iniziale OA. La deformazione totale εche compete al punto C può quindi pensarsi scomposta nella parte elastica εe che vienerestituita allo scarico e nella parte plastica o permanente ε p. Ricaricando il provino a

partire dalla situazione deformata C 0, la legge di carico ripercorre piuttosto fedelmentela retta C 0C per poi riprendere, a partire da C , la curva iniziale relativa al materialevergine. Il campo BD della curva, in cui il materiale non più elastico, richiede ancoraincrementi di tensione per produrre incrementi di deformazione, definisce il cosiddetto fenomeno dell’incrudimento.

In questa fase comincia a diventare sensibile la contrazione trasversale plastica(strizione ) della sezione del provino per cui la tensione nominale σn comincia a dis-


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13.1. PREMESSE 159

εe

ε p

E

O C'

AB

C D

σo

σs

σr

σn

εc

Figura 13.2: Diagramma sforzo-deformazione per materiali metallici comuni

costarsi piuttosto notevolemente dalla tensione reale.Si ha allora che, pur continuando ad aumentare la tensione reale, la diminuzione

dell’area è tale che la tensione nominale, e quindi il carico, raggiunto un massimo incorrispondenza del punto D prende a diminuire sino a che in E si verifica la rottura delprovino. La tensione nominale massima σr viene detta tensione di rottura. Da quanto

detto è evidente pertanto che il comportamento elastico lineare per i materiali dotatidi campo plastico si verifica solo entro un campo piuttosto limitato di tensioni che inregime monoassiale può ritenersi individuato dall’intervallo:

−σo ≤ σ ≤ σo (13.2)

essendo provato che per tali materiali si ha all’incirca uguale comportamento a trazionee compressione.

La definizione del limite di proporzionalità σo, che come già si è detto si assumecoincidente con la tensione di snervamento σs, risulta quindi indispensabile per lavalutazione del campo di validità della teoria elastica lineare.

In alcuni materiali, quali ad esempi gli acciai a basso tenore di carbonio largamenteusati nelle costruzioni metalliche, tale definizione risulta essere piuttosto semplice inquanto, come illustrato in figura 13.3, il raggiungimento dello snervamento è denunciatoda un brusco accrescimento della deformazione a tensione pressocchè costante (trattoAB della curva di figura 13.3). Nei materiali in cui allo snervamento sussegue immedi-atamente l’incrudimento (vedi figura 13.2), la valutazione della tensione di snervamentoσs risulta invece essere estremamente più aleatoria.


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O

σo

σr

A B

C

σn

εc

Figura 13.3: Diagramma sforzo-deformazione per acciai a basso tenore di carbonio

Si usa spesso definire infatti tale tensione come quella in corrispondenza della qualesi ha una deformazione residua allo scarico dello 0,2%.

In ogni caso, fissata che sia per il materiale la tensione di snervamento, la tensione dilavoro o tensione ammissibile k per strutture calcolate secondo le ipotesi dell’elasticitàlineare, deve essere tenuta sufficientemente più bassa di σo. Si usa infatti fissare qualevalore della tensione ammissibile la quantità:

k = σo

s (13.3)

essendo s un coe ffi ciente di sicurezza sufficientemente maggiore di uno.La necessità di fissare tale coefficiente è dovuta a molteplici cause: incertezza nella

previsione dei carichi esterni; incertezza nelle schematizzazioni strutturali; non preved-ibilità di eventuali difetti interni del materiale; etc. In questo senso pertanto s è daintendersi come coe ffi ciente di ignoranza .

Vi è tuttavia da rilevare che limitare il campo di lavoro della struttura a quelloelastico lineare, riferendo la sicurezza al raggiungimento di una aliquota della tensionedi snervamento di uno o più punti di essa, conduce spesso ad un sovradimensionamentoche risulta certamente antieconomico.

Per materiali che abbiano un campo plastico piuttosto esteso è possibile infatti,sfruttando le risorse plastiche, pervenire a dimensionamenti più razionali ed economici.Ciò implica necessariamente l’abbandono delle limitazioni connesse all’ipotesi dell’e-lasticità lineare e l’introduzione dei legami costitutivi elasto-plastici certamente piùcomplessi dei precedenti.

Diversa è invece la situazione per i materiali fragili e cioè per quei materiali che


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13.2. I CRITERI DI SICUREZZA: GENERALITÀ 161

σr

σn

εc

Figura 13.4: Diagramma sforzo-defoemazione per materiali fragili

hanno limitata capacità di deformarsi plasticamente e pervengono quindi a rottura perdeformazioni molto piccole.

Per questi materiali, fra i quali si ricordano la ghisa, il vetro, il calcestruzzo, si hain genere, già da tensioni all’incirca nulle, uno spiccato comportamento non lineare,come riportato in figura 13.4, ed inoltre una sensibile diff erenza di resistenza a trazionee compressione.

Le tensioni ammissibili, e cioè il campo entro il quale è lecito schematizzare il corpocome elastico lineare, devono in questo caso essere tenute molto basse sia perchè ilmateriale come si è detto si allontana sin dall’origine da tale comportamento, sia perchè,

non sussistendo capacità di adattamento plastico, la rottura avviene bruscamente senzaalcun fenomeno premonitore.

13.2 I criteri di sicurezza: generalità

Se si prende in considerazione un’asta sottoposta ad uno stato di sollecitazione semplice,per esempio trazione, si può per essa agevolmente valutare la tensione relativa allacondizione critica e verificare che quella esistente nell’elemento le sia sempre inferiore.In generale quindi, per strutture che lavorano in regime monoassiale la sicurezza nelpunto generico è garantita se la tensione normale σ soddisfa la condizione:

−k ≤ σ ≤ k (13.4)posta l’ipotesi che il materiale abbia uguali tensioni ammissibili a trazione e compres-sione.

Nel caso più generale di diff erente comportamento a trazione e compressione la(13.4) va sostituita dalla condizione:

−k00 ≤ σ ≤ k0 (13.5)


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essendo k0 e k00 rispettivamente i limiti ammissibili a trazione ed a compressione.

Nel caso di sollecitazione biassiale o triassiale, specie in strutture di forma non sem-

plice, il problema diviene molto più complesso, in quanto per una verifica, si dovrebberoteoricamente prendere in esame, nel caso di materiale isotropo, gli eff etti di tutte lepossibili combinazioni delle tensioni principali σ1, σ2 e σ3. Questa indagine in realtàsi può eff ettuare con prove sperimentali o su modelli con un procedimento, tuttavia,lungo e costoso.

Usualmente inoltre, per i vari materiali da costruzione, si hanno a disposizione solodati relativi a sollecitazioni di tipo monoassiale statiche.

Qualora quindi si riuscisse per ipotesi a definire la combinazione in qualche senso più

gravosa delle tensioni principali, non si sarebbe ancora in grado di valutare quantita-tivamente la pericolosità dello stato tensionale, dovendo confrontare una sollecitazionedi tipo triassiale con una di tipo monoassiale.

Tale difficoltà viene superata facendo delle ipotesi e sviluppando delle teorie riguardan-ti la resistenza dei materiali. Dette ipotesi permettono in sostanza di definire una ten-sione ideale , cioè una tensione monoassiale equivalente , esprimibile formalmente con larelazione:

σid = f (σ1, σ2, σ3)

che provoca nel materiale, secondo la teoria adottata, lo stesso eff etto della realesollecitazione triassiale.

La tensione equivalente o ideale, in quanto monoassiale, può essere facilmenteconfrontata con i risultati delle prove sui materiali per la verifica delle strutture.

Numerosi sono i criteri di sicurezza proposti per i materiali duttili e fragili e moltidi essi si possono considerare largamente superati. Ci si limita pertanto alla trattazionedei più noti, con particolare interesse per quelli relativi ai materiali duttili che sono gliunici ad aver avuto serie conferme sperimentali.


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13.3. MATERIALI FRAGILI 163

13.3 Materiali fragili

13.3.1 Criterio della massima tensione normale

Questo criterio (Rankine 1, Lamè, Navier ) assume che la crisi del materiale abbia luogoquando una delle tre tensioni principali raggiunge la tensione limite a trazione σ0oo a compressione σ00o. La condizione di crisi del materiale viene dunque individuataanaliticamente dal verificarsi di una delle due uguaglianze:

max{σ1, σ2, σ3} = σ0

o (13.6)

min{σ1, σ2, σ3} = −σ00o

che, nel caso di uguale resistenza a trazione e compressione, si semplificano nell’unica:

max{|σ1| , |σ2| , |σ3|} = σo (13.7)

Una semplice rappresentazione grafica del criterio nel caso di uno stato tensionalepiano, caratterizzato dall’essere σ3 = 0, è riportata in figura 13.5.

Assunte infatti come coordinate le due rimanenti tensioni principali non nulle σ1 eσ2 la condizione di crisi (13.6) si traduce per σ3 = 0 nel verificarsi, in alternativa, diuna delle quattro uguaglianze:

σ1 = σ0

o, σ2 = σo, σ1 = −σ00o , σ2 = −σ00o (13.8)

che nel piano σ1

, σ2

sono rappresentate rispettivamente dalle quattro rette passantirispettivamente per DA, AB, BC, CD. La crisi si ha dunque in questo caso quan-do il punto rappresentativo dello stato tensionale giace sul contorno del quadratoABCD (quadrato di Rankine ) e cioè quando una delle due tensioni principali nonnulle raggiunge il valore limite a trazione o compressione.

1 Rankine William John Macquorn (Edimburgo 1820-Glasgow 1872) ingegnere e fisico scozzese.Contribuì a dare orientamento moderno alla scienza delle costruzioni e all’ingegneria meccanica, sis-temando su basi razionali le molte nozioni e norme di progetto evolutesi con la pratica. Particolareimportanza riveste la sua teoria del ”masso illimitato”, fondamentale per la costruzione di muri disostegno, e così pure le sue indagini sulle cause di rottura dei materiali da costruzione. Dopo il 1840si dedicò allo studio delle leggi della termodinamica: nel Manual of the Steam Engine (1859; Man-

uale della macchina a vapore) sviluppò analiticamente il complesso di trasformazioni del vapore nellemacchine termiche, stabilendone il ciclo termodinamico caratteristico (ciclo* R.). Convinto sosteni-tore dell”’energetica”, svolse un ruolo assai importante nei dibattiti teorici della fisica della secondametà dell’Ottocento. In uno scritto del 1855, Outlines of the Science of Energetics (Lineamenti diuna scienza dell’energetica), propose di assumere i principi della termodinamica come schema teoricogenerale per comprendere i fenomeni fisici. Metodo o formula di Rankine: determinazione del caricodi sicurezza relativo a un solido snello di sezione A, sollecitato a pressoflessione. Scala Rankine: Scaladi temperatura assoluta in cui lo zero è lo zero assoluto e in cui l’intervallo di temperatura di un gradoè uguale all’intervallo di temperatura di un grado Fahrenheit.


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σο''

σο'σ

ο''

σο'

σ1

σ2

P

DC

B A

O

Figura 13.5: Quadrato di Rankine

E’ appena il caso di osservare che nel caso di uno stato tensionale piano alla SaintVenant, in cui il piano delle tensioni è individuato dalla direzione dell’asse x3 e dalladirezione di τ , l’analisi dei cerchi di Mohr conduce a concludere che le tensioni principalisono di segno opposto (vedi figura 13.6).

Pertanto le condizioni di crisi che interessa considerare nell’ambito della teoria dellatrave alla Saint Venant sono relative al secondo e quarto quadrante del riferimento σ1,

σ2. La tensione tangenziale massima τ o sopportabile dal materiale in assenza di tensioninormali può peraltro valutarsi osservando che, dovendo valere per uno stato tensionalepiano la relazione

σi = σ11 + σ22

2 ±

s µσ11 − σ22

2

¶2

+ σ212

i = 1, 2 (13.9)

se l’unica componente di tensione diversa da zero risulta essere σ12 = τ si ha, in terminidi componenti principali di tensione:

σ1 = τ , σ2 = −τ (13.10)Le (13.10) nel piano σ1, σ2 descrivono la retta per OP , che, supposto come in figura13.5 che risulti σ0o < σ

00

o (caso caratteristico della ghisa e del calcestruzzo), interseca ilquadrato limite nel punto P di coordinate (σ0o, -σ

0

o). Il valore limite τ o della tensionetangenziale risulta quindi essere, in conformità con quanto appena detto:

τ o = σ0

o (13.11)


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Figura 13.6: Cerchio di Mohr per uno stato tensionale piano alla Saint Venant.

Nel caso si supponesse invece che σ0o > σ00

o un identico ragionamento condurrebbe adasserire che:

τ o = σ00

o (13.12)

In generale può dunque scriversi:

τ o = min {σ0

o, σ00

o} (13.13)

Questo criterio di crisi, che risulta essere uno dei più antichi storicamente, era statosostanzialmente abbandonato in quanto per i materiali duttili risulta essere largamentelontano dalla realtà come è stato provato sperimentalmente. Recentemente tale criterioè stato rivalutato invece per ciò che concerne il calcestruzzo fornendo risultati piuttostoattendibili.

In ogni caso se

k0 = σ0o

s0k00 =

σ00os00

(13.14)

rappresentano le tensioni ammissibili a trazione e compressione, essendo s0 ed s00 irispettivi coefficienti di sicurezza, le condizioni di sicurezza nel punto, conformemente

al criterio ora esposto, si scrivono:max{σ1, σ2, σ3} ≤ k0 (13.15)min{σ1, σ2, σ3} ≥ −k00

se il materiale ha diverse tensioni ammissibili a trazione e compressione. Nel casoinvece di uguaglianza fra le suddette tensioni, le precedenti si semplificano nell’unica

max{|σ1| , |σ2| , |σ3|} ≤ k (13.16)


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13.3.2 Criterio della massima dilatazione

Questa teoria (Saint Venant, Grashof ) assume che la crisi del materiale abbia luogoquando una delle tre dilatazioni principali raggiunge la dilatazione limite a trazioneε0o = σ

0

o/E o a compressione ε00

o = σ00

o/E . La condizione di crisi del materiale vienequindi analiticamente individuata dal verificarsi di una delle due uguaglianze:

max{ε1, ε2, ε3} = σ0o

E (13.17)

min{ε1, ε2, ε3} = −σ00oE

che nel caso di uguale resistenza a trazione e compressione diventano:

max{|ε1| , |ε2| , |ε3|} = σoE

(13.18)

Ricordando che

ε = 1

E [(1 + ν )σ − ν (σ • I) I] (13.19)

è opportuno, per riportare le (13.17) o (13.18) in termini di tensioni, introdurre letensioni ideali:

σ1id = σ1 − ν (σ2 + σ3) (13.20)σ2id = σ2 − ν (σ1 + σ3)σ3id = σ3 − ν (σ1 + σ2)

che, conformemente alle (13.19), sono quelle tensioni che agendo separatamente inregime monoassiale provocano le stesse dilatazioni principali che si verificano nel casoreale per eff etto combinato delle tre tensioni principali.

Le (13.17) assumono così l’aspetto

max{σ1id, σ2id, σ3id} = σ0

o (13.21)

min{σ1id, σ2id, σ3id} = −σ00oe nel caso (13.18)

max{|σ1id| , |σ2id| , |σ3id|} = σo (13.22)

Una semplice rappresentazione nel caso degli stati tensionali piani con σ3 = 0, puòal solito attenersi osservando che in tali ipotesi la prima delle (13.21) si traduce nelletre condizioni:

σ1 − νσ2 = σ 0o, σ2 − νσ1 = σ 0o, − ν (σ1 + σ2) = σ 0o (13.23)mentre la seconda si traduce nelle ulteriori tre:

σ1 − νσ2 = −σ00o, σ2 − νσ1 = −σ00o , − ν (σ1 + σ2) = −σ00o (13.24)


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C'

B'

A'C

B

A

σο''

σο'' σ

ο'

σο'

σ2

σ1

Figura 13.7: Poligono di Grashof

Le (13.23) nel piano σ1, σ2 descrivono le tre rette di frontiera del triangolo isosceleABC avente vertici di coordinate (figura 13.7):

A =

µ σ0o1 − ν ,

σ0o1 − ν

¶, B =

µ−σ

0

o

ν , 0

¶, C =

µ0, −σ

0

o

ν

¶

Le (13.24) descrivono invece le tre rette di frontiera del triangolo isoscele A0B0C 0 aventevertici di coordinate:

A0 =

µ− σ

00

o

1 − ν , −σ00o

1 − ν

¶, B0 =

µσ00oν

, 0

¶, C 0 =

µ0,

σ 00oν

¶

Il poligono formato dall’intersezione dei due triangoli ottenuti, rappresenta quin-di la frontiera della condizione di crisi in esame. Tale poligono a seconda di valoriassunti dal rapporto σ00o/σ

0

o e dal coefficiente di contrazione trasversale ν , può esseregeometricamente rappresentato da un quadrilatero, da un pentagono o da un esagono.

Facendo riferimento al caso di uno stato tensionale caratterizzato da una sola ten-sione tangenziale τ , si ha, conformemente alla (13.10), il valore di crisi per tale tipo disollecitazione:

τ o = 1

1 + ν min{σ0o, σ

00

o} (13.25)

Il criterio sopra esposto costituisce sotto certi aspetti un miglioramento del criteriodella massima tensione normale discusso precedentemente. E’ infatti logico attendersiche la resistenza nella direzione di una delle tre tensioni principali sia influenzata dalle


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tensioni agenti in direzione ortogonale. Questo criterio, contrariamente al precedente,mette in gioco tale circostanza. La sua validità è tuttavia molto dubbia ed è certamenteinesistente per i materiali duttili. Per il calcestruzzo e per i materiali fragili può forse

dare risultati accettabili.Adottando tale criterio le verifiche si conducono assicurandosi che in ogni punto

risulti:

max{σ1id, σ2id, σ3id} ≤ k0 (13.26)min{σ1id, σ2id, σ3id} ≥ −k00

se le tensioni ammissibili sono diverse a trazione e compressione, ovvero assicurandosiche

max{|σ1id| , |σ2id| , |σ3id|} ≤ k (13.27)

nel caso di uguali tensioni ammissibili a trazione e compressione.

13.4 Materiali duttili

Si è osservato nelle considerazioni precedenti che per i materiali duttili il comporta-mento elastico lineare è limitato superiormente dal raggiungimento della tensione disnervamento σo. Con riferimento ad uno stato di tensione in generale di tipo triassialesi pone quindi il problema di definire quale combinazione di esse produca snervamentodel materiale.

Un’osservazione fondamentale a tal fi

ne è la seguente: lo snervamento del materiale non è in fl uenzato da un regime di pressioni di tipo idrostatico. Tale osservazione haricevuto infatti un’ampia conferma sperimentale ad opera del Bridgman in una seriedi prove di trazione eff ettuate tenendo immerso il provino in una camera a pressioneidraulica che consentiva di raggiungere pressioni dell’ordine di 2500 atm. Da tali proveè emerso infatti che la pressione idrostatica lascia pressocchè inalterato il valore dellatensione di snervamento e da luogo solo ad una maggiore deformabilità plastica delprovino, i.e. incrementa la duttilità del materiale. Assunta quindi l’ininfluenza dellapressione idrostatica è logico attribuire agli sforzi interni che non variano per eff ettodella pressione medesima, la causa dello snervamento del materiale.

Rilevato che un regime di pressione idrostatica d’intensità p provoca su ogni giac-itura passante per il punto esclusivamente una tensione normale σn = p, è immedia-to riconoscere che sovrapponendo allo stato di sforzo reale una pressione idrostatica,restano invariate su ciascuna giacitura le sole componenti tangenziali di tensione. E’quindi logico pensare che lo snervamento del materiale sia un fenomeno da attribuirsialle tensioni tangenziali.

Si espongono nel seguito i criteri che, operando in tale spirito, hanno riscosso lemaggiori conferme per via sperimentale.


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13.4. MATERIALI DUTTILI 169

13.4.1 Criterio della massima tensione tangenziale

Questa teoria (Tresca, Guest, Saint Venant) assume che lo snervamento avvenga quan-do la massima tensione tangenziale associata allo stato di tensione reale eguaglia lamassima tensione tangenziale che si ha in regime monoassiale all’atto dello snervamen-to.

Ricordando che l’espressione analitica della massima tensione tangenziale risultaessere (4.42):

τ max = 1

2 max {|σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3|} (13.28)

detta σo la tensione di snervamento del materiale in regime monoassiale, è imme-diato dedurre dalla (13.28) che il valore limite della tensione tangenziale in regimemonoassiale risulta essere:

τ s = σo

2

(13.29)

Lo snervamento del materiale secondo tale criterio si ha quindi quando si verificala condizione:

max{|σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3|} = σo (13.30a)Si precisa fin d’ora, come già osservato in precedenza, che si ammette uguale per imateriali duttili la tensione di snervamento a trazione e compressione, i.e. si assumeche tali materiali siano isoresistenti.

Per stati tensionali piani (σ3 = 0), è immediato dedurre che la (13.30a) equivale adire che sia verificata una delle sei eguaglianze:

σ1 = ±σo, σ2 = ±σo, σ1−

σ2 = ±σo (13.31)

Nel piano σ1, σ2 tali uguaglianze corrispondono alle sei rette di frontiera dell’e-sagono ABCDEF in figura 13.8, che rappresenta appunto la richiesta condizione disnervamento nel caso di stati tensionali piani (esagono di Tresca ).

E’ opportuno rilevare che nei due quadranti in cui le due tensioni principali nonnulle hanno segno opposto (caso alla Saint Venant), lo snervamento avviene secondotale criterio se e solo se:

|σ1 − σ2| = σo (13.32)D’altro canto la tensione tangenziale che in assenza di tensioni normali provoca

snervamento, essendo valida la (13.10), si ottiene direttamente dalla (13.29):

τ o = σo

2 (13.33)

In conformità con il criterio appena descritto, detta k la tensione ammissibile, leverifiche di resistenza si conducono quindi assicurandosi che risulti, nel caso più generaledi stato tensionale triassiale:

max{|σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3|} ≤ k (13.34)


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σο

σο

σο

σο

σ2

σ1

F

ED

C

B A

Figura 13.8: Esagono di Tresca

Per gli stati tensionali del tipo alla Saint Venant (piani con tensioni principali disegno opposto), la (13.34) si riduce a verificare che:

|σ1 − σ2| ≤ k (13.35)

13.4.2 Criterio della massima energia di distorsioneQuesta teoria (Von Mises 2, Hencky, Huber ) assume che lo snervamento del materialein un punto abbia luogo qualora il valore dell’energia potenziale complementare didistorsione per unità di volume ψdist raggiunga in esso un valore limite ψdisto .

Al fine di definire ψdist si ricorda che il generico stato tensionale rappresentato daltensore σ può sempre scomporsi in maniera univoca in uno stato detto sferico σS eduno deviatorico σD tali che risulti:

σ = σS + σD / J D1

= 0 (13.36)

σS = σmI =

1

3(trσ)I

2 Von Mises Richard (Lemberg 1883-Boston 1953) matematico e filosofo austriaco. Insegnò invarie università tedesche e a Berlino dove aderì al Circolo di Berlino (strettamente legato a quellodi Vienna), e accolse le tesi di fondo del neopositivismo logico, pur sostenendo con Reichenbach unaconcezione non logica della probabilità (1939; Kleines Lehrbuch des Positivismus, Piccolo manualedel positivismo). All’avvento del nazismo emigrò prima in Turchia e poi negli Stati Uniti dove, dal1939, fu professore di matematica applicata e aerodinamica all’Università di Harvard. Si occupò dianalisi numerica, di ingegneria aeronautica oltre che di filosofia della scienza. Fu uno dei principalisostenitori della concezione della probabilità detta frequentista.


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In particolare in un riferimento principale di tensione si trova:

σD1

= 2σ1 − σ2 − σ3

3 (13.37)

σD2

= 2σ2 − σ1 − σ3

3

σD3

= 2σ3 − σ1 − σ2

3

L’opera del Bridgman conferma che σD è causa di una variazione di forma del materialesollecitato, pertanto tale aliquota del campo di tensione può definirsi di distorsione,mentre σS è causa di una sola variazione di volume e tale si definirà l’aliquota delcampo di tensione relativa.

Detta pertanto ψ l’energia potenziale complementare per unità di volume associataallo stato di tensione σ, è possibile scrivere:

ψ (σ) = ψ¡σ

D + σS ¢

= ψdist + ψvol + ψDS (13.38)

essendo ψDS l’energia potenziale elastica mutua per unità di volume relativa al lavoromutuo delle due diverse aliquote del campo di tensione. In particolare è facile con-vincersi che gli stati tensionali σD e σS sono ortogonali in energia e quindi ψDS = 0.Infatti:

ψDS = σD • εS = σD • I εm = J D1

εm = 0 (13.39)

essendo εm la deformazione media. Poichè, come si è già detto, il limite di snervamentodei materiali duttili non sembra subire variazione in presenza di elevati stati idrosta-tici di tensione, appare logico limitarsi a considerare piuttosto che l’intera energia dideformazione, la sola parte associata alla variazione di forma del materiale in esame.

Il valore dell’energia potenziale complementare di distorsione per unità di volumeψdist si scrive allora come:

ψdist = 1

2σ

D • εD = 1 + ν

2E σ

D • σD (13.40)

= 1

4G

©(σD

1 )2 + (σD

2 )2 + (σD

3 )2ª

Sostituendo nella (13.40) le (13.37), la condizione di snervamento secondo tale criteriosussiste quando è verificata l’uguaglianza:

ψdist = 1

4G

"µ2σ1 − σ2 − σ3

3

¶2

+

µ2σ2 − σ1 − σ3

3

¶2

+ (13.41)

µ2σ3 − σ1 − σ2

3

¶2#

= 1

6G

¡σ21 + σ2

2 + σ3

2 − σ1σ2 − σ1σ3 − σ2σ3¢

= ψdisto


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E’ immediato rilevare quindi che in corrispondenza dello stato monoassiale di snerva-mento si ottiene il valore limite:

ψdisto = σ2o

6G

(13.42)

La (13.41) può pertanto riscriversi nella forma:

σ21 + σ2

2 + σ2

3− σ1σ2 − σ1σ3 − σ2σ3 = σ2o (13.43)

Si osserva che dalla (13.43) è possibile passare all’espressione equivalente in terminidi componenti generiche del tensore degli sforzi. Infatti, ricordando la seconda delledefinizioni (4.29), e tenuto conto della (13.40), si ottiene:

J D2

= 1

2 h¡trσD

¢2 − tr

¡σ

D

¢2

i = −1

2σ

D • σD = −2Gψdist

D’altra parte, si ha:

−2Gψdist = J D2

= J 2 −1

3J 21

=¡

σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33 − σ212 − σ213 − σ223¢

−1

3 (σ11 + σ22 + σ33)

2

= 1

3 {σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33

− £σ2

11 + σ2

22 + σ2

33 + 3 ¡σ

2

12 + σ2

13 + σ2

23¢¤ªNe consegue allora che:

ϕdist = 1

6G

©σ211

+ σ222

+ σ233

+ 3¡

σ212

+ σ213

+ σ223

¢− (σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33)}

e la condizione di snervamento si ha quando:

σ211

+ σ222

+ σ233

+ 3

¡σ212

+ σ213

+ σ223¢

− (σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33) = σ2o (13.44)

Dalla (13.44) si trae inoltre che la tensione tangenziale che, in assenza di tensioninormali, provoca snervamento del materiale risulta essere:

τ o = σo√

3(13.45)

Dal confronto fra la (13.45) e la (13.29) si deduce che il criterio in esame predice unatensione tangenziale di snervamento del materiale che risulta essere all’incirca il 15%


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O

σο

σο

σο

σο

σ2

σ1

Figura 13.9: Ellisse di Von Mises

più elevata di quella dedotta con il criterio della massima tensione tangenziale espostoin precedenza. Tale diff erenza è la massima che peraltro si riscontra fra i due criteriche sono quindi assai prossimi fra di loro dal punto di vista applicativo.

Di ciò ci si può rendere conto immediatamente osservando che, nel caso degli statitensionali piani con σ3 = 0 la condizione di snervamento (13.43) si riduce a:

σ2

1 + σ2

2 − σ1σ2 = σ2

o (13.46)

La (13.46) nel piano σ1, σ2 risulta essere rappresentata da una ellisse avente comesemiasse maggiore la bisettrice dei quadranti in cui le tensioni hanno uguale segno ecome semiasse minore, ovviamente, la bisettrice dei due quadranti rimanenti. Taleellisse tracciata a tratto pieno nella figura 13.9 risulta essere perfettamente circoscrittaall’esagono di Tresca, che nella stessa figura è riportato con linea tratteggiata.

Tale criterio è certamente uno dei più attendibili per descrivere il fenomeno dellosnervamento dei materiali duttili e le verifiche di resistenza, assunta un’opportunatensione ammissibile k, si conducono con esso assicurandosi che in ogni punto si abbia:

q σ211

+ σ222

+ σ233

− σ11σ22 − σ11σ33 − σ22σ33 + 3 (σ212 + σ223 + σ213) ≤ k (13.47)

13.4.3 Criterio della massima tensione tangenziale ottaedrale

Questo criterio si fonda sull’assunzione che lo snervamento avvenga quando la tensionetangenziale reale relativa alla giacitura ottaedrale raggiunge un certo valore limite τ otto .Ricordando l’espressione analitica (4.45) che caratterizza la tensione tangenziale su una


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giacitura ottaedrale, la condizione di snervamento in un punto secondo tale criterio siformalizza come:

1

3q

(σ1 − σ2)2

+ (σ1 − σ3)2

+ (σ2 − σ3)2

= τ otto (13.48)

E’ immediato rilevare quindi che in corrispondenza dello stato monoassiale di snerva-mento si ottiene il valore limite:

τ otto =

√ 2σo3

(13.49)

La (13.48) si riscrive pertanto nella forma:q (σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2 =

√ 2σo (13.50)

ovviamente equivalente alla (13.43).Quanto appena osservato consente di concludere che pur partendo da linee con-

cettuali sostanzialmente diff erenti, il presente criterio e quello della massima energiadi distorsione sono di fatto equivalenti. Le considerazioni ed i concetti associati allaprecedente ipotesi di snervamento possono allora ritenersi validi nel caso in esame.

Capitolo_13_grashof 13.3.3.2

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