BOZZA

DISPENSE DEL CORSO: SISTEMI ELETTRICI INDUSTRIALI

ANNO ACCADEMICO 2003-2004

CAPITOLO VI

CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO ANORMALI: CORTO CIRCUITO

Estratto da: G. Carpinelli, VI. Mangoni: ”Sistemi Elettrici per l’Energia”.

- VI/2 -

CAPITOLO VI

CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO ANORMALI: CORTO CIRCUITO E SOVRATENSIONI

1. Generalità

Vengono prese in esame le condizioni di funzionamento anormali derivanti dalla presenza in un punto del sistema elettrico di un corto circuito. 2. Il corto circuito Per il corto circuito si esamina il solo sistema con trasmissione su rete, potendosi considerare il corto circuito in un punto del sistema con trasmissione su linea un caso particolare.

Il sistema con trasmissione su rete è sempre un sistema comunque complesso, che si suppone simmetrico nelle impedenze o reso tale attraverso la trasposizione; si suppone, inoltre, di partire da condizioni di funzionamento a vuoto. Oltre il corto circuito trifase vengono considerati i corto circuiti dissimmetrici: monofase a terra, tra due fasi, tra due fasi e terra; la rappresentazione dei componenti viene fatta attraverso i circuiti equivalenti di sequenza diretta (positiva), inversa (negativa) e omopolare (zero). Nell’Appendice VI.I sono riportati alcuni richiami sui componenti simmetrici. 2.1 Rappresentazione dei componenti Vengono considerati i circuiti monofase equivalenti di sequenza diretta, di sequenza inversa e di sequenza omopolare dei componenti (linea, trasformatore e generatore sincrono) del sistema. 2.1.1 Linea

a) Circuiti equivalenti di sequenza diretta e di sequenza inversa Il circuito equivalente di sequenza diretta e il circuito equivalente di sequenza inversa di una linea coincidono con quello della fig.VI.1, che deriva da quello di sequenza diretta di una linea in regime permanente, trascurando la capacità di servizio.

- VI/3 -

l1 aωj r l

1 al

Fig.VI.1 - Circuito monofase equivalente di sequenza diretta e circuito equivalente di sequenza inversa di una linea.

b) Circuito equivalente di sequenza omopolare Il circuito equivalente di sequenza omopolare di una linea è quello della fig.VI.2, in cui i parametri serie sono la resistenza e l'induttanza omopolari ed in cui il parametro derivato è la capacità omopolare, che viene trascurata.

l0 aωj r l

0 al

Fig. VI.2 - Circuito monofase equivalente di sequenza omopolare di una linea

Valori orientativi per i parametri unitari delle figg.VI.1 ed VI.2 sono riportati

nella Tab. VI.1 nel caso di linee aeree con conduttori singoli o binati. Si noti che, come evidenziato nel cap. VI, l’induttanza di servizio decresce al crescere del numero di conduttori per fase.

Tipo di conduttore )km/mH(l1l

)km/(r l1 Ω )km/mH(ll

0 )km/(r l0 Ω

Conduttore singolo 1.3 0.029 4.5 0.100

Conduttore binato 1 0.028 3.5 0.098

Tab. VI.I – Valori numerici dei parametri unitari delle linee aeree

2.1.2 Trasformatore a due avvolgimenti

a) Circuiti equivalenti di sequenza diretta e di sequenza inversa Si rimanda a tutto quanto detto per la rappresentazione del suddetto componente in regime permanente.

- VI/4 -

b) Circuito equivalente di sequenza omopolare Il circuito equivalente di sequenza omopolare varia con il tipo di collegamento degli avvolgimenti e con il tipo di circuito magnetico (a flussi liberi o a flussi vincolati). − Collegamento a stella dei due avvolgimenti Nel caso di un solo centro stella a terra (fig.VI.3a), le correnti omopolari che eventualmente circolano nel primario non provocano al secondario alcuna amperspira d'opposizione; è per questo che il valore della reattanza omopolare è elevatissimo e dipende essenzialmente dal tipo di circuito magnetico. Se il trasformatore è a flussi liberi (nucleo trifase a cinque colonne o banco di tre trasformatori monofasi) il flusso omopolare si chiude nel ferro e la reattanza ha un valore coincidente con quello della reattanza a vuoto, cioè . Per il calcolo

della basta considerare il valore della corrente a vuoto riportato sulla targa del

trasformatore, in quanto con buona approssimazione si può scrivere .

tV

t0 XX =

tVX %i0

tVo X%)i/100( =

Nel caso più frequente di circuito magnetico a flussi vincolati (trasformatore trifase con nucleo a tre colonne) il flusso omopolare si chiude principalmente nell'aria e parzialmente attraverso le parti metalliche vicine, per cui non è possibile stabilire delle regole per un calcolo preciso della reattanza omopolare, che dipende troppo dal modo di costruzione. La corrente omopolare non riesce ad andare oltre il secondario del trasformatore, per cui il circuito equivalente di sequenza omopolare del trasformatore in esame è quello della fig.VI.3a.

Nel caso di entrambi i centro stella a terra (fig.VI.3b), le correnti omopolari che eventualmente circolano in un avvolgimento provocano nell’altro avvolgimento la circolazione di correnti omopolari, per cui la reattanza è uguale a quella di dispersione, cioè:

t1

t0 XX = .

Le correnti omopolari possono passare oltre il trasformatore, per cui il circuito equivalente di sequenza omopolare è quello della fig.VI.3b. − Collegamento triangolo-stella con centro stella a terra (fig.VI.3c) Le correnti omopolari che eventualmente circolano nell'avvolgimento a stella con il centro stella a terra provocano nel triangolo la circolazione di correnti omopolari, chiudendosi le correnti stesse nell'interno dell'avvolgimento. Anche in questo caso la reattanza omopolare è quindi uguale a quella di dispersione, cioè:

t1

t0 XX = .

La corrente omopolare non riesce ad andare oltre il trasformatore, per cui il circuito equivalente di sequenza omopolare è quello della fig.VI.3c. Il comportamento, cioè, di questo tipo di trasformatore rispetto alle correnti omopolari non è identico a

- VI/5 -

quello del tipo esaminato più sopra, in quanto costituisce per le correnti stesse uno sbarramento che non ne consente la circolazione sulla linea collegata all'avvolgimento a triangolo. Si fa osservare che gli accoppiamenti stella-stella senza centro stella a terra, triangolo-triangolo, triangolo-stella senza centro stella a terra non si prendono in considerazione, perchè a priori si può dire che la reattanza è infinita, non essendoci possibilità di circolazione delle correnti omopolari.

jX0t

a)

jX0t

b)

jX0

t

•

c)

Fig.VI.3 – Circuito monofase equivalente di sequenza omopolare di un trasformatore a due avvolgimenti con collegamento: a) stella-stella con un solo centro stella a terra, b) stella-stella con entrambi i centro stella a terra, c) triangolo-stella con centro stella a terra.

2.1.3 Generatore sincrono Per definire il comportamento delle macchine sincrone nelle varie condizioni di funzionamento transitorio è necessario introdurre vari tipi di reattanze che possono essere definite soltanto attraverso un attento studio della macchina sincrona che esula dagli obiettivi del corso. Pertanto lo studio del corto circuito nei sistemi di alta tensione oppure nei sistemi industriali in cui sono presenti generatori non può essere affrontato senza far ricorso ad ulteriori nozioni oggetto di testi specialistici di macchine elettriche o di sistemi elettrici per l’energia.

Ci si limita qui a fornire alcuni elementi qualitativi e quantitativi soltanto con la rappresentazione grafica riportata in figura VI.4.

- VI/6 -

t

iu

A

tia

kI2

t

a) Componente unidirezionale

b) Componente alternativa

''kI2 '

kI2

Fig. VI.4 - Corrente di corto circuito erogata da un generatore sincrono: a) componente unidirezionale; b) componente alternativa. 2.2 Modello matematico del sistema con trasmissione su rete Vengono esaminati il corto circuito tripolare e i corto circuiti dissimmetrici in un punto del sistema con trasmissione su rete. Come già evidenziato, il sistema elettrico prima del guasto si considera simmetrico nelle impedenze o reso tale tramite la trasposizione.

Allo studio dei suddetti corto circuiti si premette lo studio del corto circuito tripolare, al fine di dimostrare, attraverso un caso semplice, per quale motivo:

- VI/7 -

• nel calcolo delle correnti di corto circuito in un punto di un sistema con trasmissione su rete è sempre possibile considerare la componente alternativa della corrente di corto circuito a valore efficace costante;

• il modello matematico del sistema con trasmissione su rete è finalizzato al solo calcolo della componente alternativa della corrente di corto circuito.

2.2.1 Corto circuito trifase Quando avviene un cortocircuito in un punto di un sistema elettrico comincia a circolare una corrente che, nella maggioranza dei casi, è di valore notevolmente superiore a quello della corrente nominale e che può dar luogo, pertanto, ad effetti particolarmente nocivi sui vari componenti del sistema stesso. Il calcolo delle correnti di cortocircuito che possono essere presenti nei sistemi elettrici è, pertanto, di fondamentale importanza. Nel seguito, si farà riferimento ad una rappresentazione semplificata del cortocircuito. Si faccia riferimento al circuito della fig.VI.5a), in cui è ipotizzata la presenza di un cortocircuito a valle di un interruttore, che si suppone inizialmente chiuso. La corrente di cortocircuito che si stabilisce nel circuito (fig.VI.5b), come noto dall’Elettrotecnica, è composta dalla somma di una componente simmetrica e di una componente unidirezionale; nell'ipotesi di condizione di pre-guasto a vuoto e posto e= 2 E sen(ω t +β), tale corrente vale:

Ta

tKK e)sen(I2)tsen(I2i

−ϕ−β−ϕ−β+ω= . (VI.1)

dove Ta=L/R=X/(Rω)=tgϕ/ω è la costante di tempo della componente unidirezionale e, detto il modulo dell'impedenza del circuito, è: 1Z

1K Z

EI =

ϕ = atan(ωL/R). L’intervento dell’interruttore modifica, come si vedrà in seguito, l'andamento nel tempo della corrente di cortocircuito sia a causa dell'arco elettrico che si manifesta tra i suoi poli e che introduce nel circuito una resistenza di valore variabile e ignoto sia perché, se l'intervento va a buon fine, la corrente di cortocircuito si estingue invece di raggiungere il suo valore di regime. Al fine, allora, di riferire le caratteristiche dei vari interruttori ad un'unica corrente di cortocircuito, che sia svincolata dai suddetti problemi, si suole introdurre la corrente presunta di cortocircuito, che è la corrente di cortocircuito che circolerebbe nel circuito, qualora l’interruttore fosse sostituito da un collegamento di impedenza trascurabile (fig.VI.5c). L'attitudine che un interruttore ha ad interrompere una corrente di cortocircuito è, quindi, espressa dai costruttori con riferimento alla corrente di cortocircuito presunta

- VI/8 -

che è la stessa per tutti gli interruttori in quanto non dipende dalla loro presenza nel circuito. È evidente che un discorso analogo vale se si fa riferimento al caso in cui l'interruttore, invece di interrompere una corrente di cortocircuito, è chiamato a stabilirla. I parametri che influenzano la scelta dei dispositivi di protezione contro il corto circuito sono il valore efficace della componente simmetrica della corrente presunta di corto circuito ed il valore di picco che essa assume nella fase transitoria susseguente al guasto.

~e

L R

i

a)

i

t

corrente di cortocircuito

componente unidirezionale

componente simmetrica

b)

~e

L R

i

c)

Fig. VI.5 - Cortocircuito in prossimità dell'interruttore: a) circuito equivalente; b) andamento nel tempo della corrente di cortocircuito, c) circuito equivalente per la definizione della corrente presunta di cortocircuito

- VI/9 -

Si può dimostrare che i valori di picco si avrebbero per ωt = kπ (essendo k un

numero dispari) e varrebbero:

ip= KTk I)e1(2 aωπ−+ . (VI.2)

Per k=1 la (VI.2) diventa: KK

tgK

Tp pIIeIei a =+=+= −− )1(2)1(2 ϕπωπ . (VI.2bis)

Dall’analisi della (VI.2bis) discende che dal valore efficace della componente alternativa si può immediatamente passare a quello massimo della corrente totale, semplicemente moltiplicando per il coefficiente p ricavato dalla curva della fig.VI.6 in funzione del rapporto X/R, dove X e R sono la reattanza e la resistenza del sistema viste dal punto di guasto. È questo il motivo per cui il modello matematico del sistema con trasmissione su rete per il calcolo delle correnti di corto circuito è finalizzato al solo calcolo della componente alternativa delle correnti di corto circuito. Si noti infine, che per cosϕ=0, e cioè tgϕ=∞, il valore di picco potrebbe raggiungere teoricamente il valore:

Kp Ii 22= ,

ma in pratica si ritiene che non venga superato il valore ip/Ik=0.9·2·√2=2.55 p.u. (corrispondente a X/R=15), che pertanto è normalmente accettato per il dimensionamento degli impianti.

tgϕ = X/R

ϕπ

gtlC−

=

Fig.VI.6 - Coefficiente di moltiplicazione p in funzione del rapporto X / R.

- VI/10 -

2.3 Corto circuiti trifase e dissimmetrici in un punto del sistema con trasmissione su rete Si consideri una sistema elettrico comunque complesso funzionante con il neutro a terra.

Quando in un suo generico punto P si verifica un corto circuito dissimmetrico (fig.VI.7), esso introduce in questo punto un sistema di impedenze che non costituiscono una terna simmetrica, con la ovvia conseguenza che dal punto di guasto fuoriescono tre correnti squilibrate cba I,I,I mentre le tre fasi assumono rispetto a terra tre tensioni dissimmetriche cba V,V,V . Se nel punto di guasto, in luogo del sistema dissimmetrico di impedenze, si collocano tre generatori ideali di tensione fittizi

cba V,V,V (fig.VI.8 a) lo stato elettrico non si modifica, con il vantaggio che la rete ridiventa simmetrica nelle impedenze, così come lo era prima del guasto. Se, poi, si sostituiscono a ciascuno dei tre generatori di tensione della fig.VI.19 a) una terna di generatori di tensione di valore pari ai componenti simmetrici degli stessi (fig.VI.19 b), il sistema elettrico, che è simmetrico nelle impedenze per quanto fatto in precedenza, può essere rappresentato dai tre circuiti monofase equivalenti di sequenza della fig.VI.8, ciascuno indipendente dagli altre due1.

Fig. VI.7 – Corto circuiti dissimmetrici in un punto del sistema: a) corto circuito monofase; b) corto circuito bifase; c) corto circuito bifase a terra.

1 Lo stato elettrico del sistema resterebbe inalterato anche se, al posto dei tre generatori di tensione della fig. VI.8 a), si collocassero tre generatori ideali di corrente di valore pari a cba I,I,I ; in questo caso, nella fig.VI.8 b) andrebbero inserite tre terne di generatori ideali di corrente corrispondenti ai componenti simmetrici delle correnti che fuoriescono dal punto di guasto.

c) a) b)

P

nZ&

cI bI

bZ& cZ&

aVbV

cVP

cZ&bZ&

cIbI

aIaI

aZ&

cIbIaI

a

b

c P

- VI/11 -

Ia Ib Ic

Va Vb Vc

Ia Ib Ic

Va1

Va2

Va0

α2Va1

α2Va2 α Va2

Va0

α Va1

Va0

%% % %%

%

%

%

%

%

%

%

PP

a) b)

Fig. VI.8 – Corto circuiti dissimmetrici in un punto del sistema reso simmetrico nelle

impedenze: a) rappresentazione con tre generatori ideali di tensione; b) rappresentazione con tre terne di generatori ideali di tensione.

È evidente che i tre circuiti monofase equivalenti di sequenza diretta, inversa e omopolare dell’intero sistema elettrico a monte del punto P, rappresentati in modo schematico nella fig.VI.9, si ottengono sostituendo a ciascun componente del sistema elettrico a monte del punto di guasto il proprio circuito monofase equivalente riportato nel par.2.

Circuito monofase equivalente alla sequenza omopolare del sistema a monte del punto P

Circuito monofase equivalente alla sequenza inversa del sistema a monte del punto P

P a

1aV 2aV

2aI 0aI 1aI a a P P

0aV

Circuito monofase equivalente alla sequenza diretta del sistema a monte del punto P

Fig.VI.9 – Corto circuiti dissimmetrici in un punto del sistema reso simmetrico nelle

impedenze: reti di sequenza

- VI/12 -

Applicando il teorema di Thevenin ai circuiti equivalenti del sistema elettrico a monte del punto P della fig. VI.9 si perviene alla rappresentazione della fig.VI.10.

1aVfV

1Z&

P P

0aV

2Z& 3Z&

2aV

1aI2aI 0aI

P

Fig. VI.10 – Corto circuiti dissimmetrici in un punto del sistema reso simmetrico nelle

impedenze: circuiti equivalenti secondo Thevenin.

, dette equazioni generali del uasto, espresse in forma matriciale:

Dalla fig. VI.10 si ricavano le seguenti equazionig

aV 0

0Z& 00aI

1aV = fV - 0 0

1Z& 1aI (VI.3)

2aV 0 0 0 2Z& 2aI

0 0

Nelle (VI.3) le tensioni a primo membro sono le componenti delle varie

sequenze delle tensioni rispetto a terra che si presentano nel punto di guasto a corto ircuito avvenuto,c f

assenza del guasto, cioè è la tensione di fase nel punto di guasto preesistente al corto circuito (nel seguito tale tensione sarà denominata tensione di preguasto), 1Z& è l'impedenza equivalente del sistema elettrico a monte del punto di guasto alla sequenza diretta, 2Z& è l'impedenza equivalente del sistema elettrico a monte del punto di guasto alla sequenza inversa, 0Z& è l'impedenza equivalente del sistema elettrico a monte del punto di guasto alla sequenza omopolare

V è la tensione tra il punto in cui avviene il guasto ed il neutro in

a

a di tre equazioni

4. D ll’analisi delle relazioni (VI.3) è evidente che, se si assumono noti i valori

delle impedenze equivalenti del sistema elettrico alle sequenze diretta, inversa e omopolare, e della tensione di preguasto, esse costituiscono un sistem

&

4 Un’eventuale impedenza presente in una connessione tra centro stella e terra è contenuta nella

tramite 3 , in quanto la corrente che circola nell’impedenza Z è 3nZ& 0Z&

nZ& n a0I e quella nel circuito equivalente di sequenza zero, che è un circuito monofase, è a0I .

- VI/13 -

vettoria

quanto interessa le tre fasi nello stesso m

li in sei incognite, anch’esse vettoriali: le componenti di sequenza delle correnti e delle tensioni nel punto di guasto. Se, allora, per ciascun tipo di corto circuito, si vogliono conoscere i valori di tali grandezze è necessario associare alle (VI.3) altre tre equazioni vettoriali indipendenti nelle stesse incognite.

È utile a questo punto osservare che un tale problema non si pone nel caso del corto circuito trifase; infatti, se nel punto P di guasto si ipotizza un corto circuito trifase, e cioè un corto circuito di natura simmetrica in

odo, basta considerare la sola rete di sequenza diretta della fig.VI.10 in cui: • la componente di sequenza diretta a1I della corrente coincide con la corrente di

corto circuito trifase Icc,t; • il generatore ideale di tensione a1V corrispondente alla sequenza diretta della terna

di tensioni rispetto a terra, è posto pari, per ovvi motivi, a zero nel caso di corto circuito netto e a Z& I nf a1 el caso di corto circuito tramite impedenza di valore pari

a fZ& . Il calcolo della corrente di corto circuito trifase è, pertanto immediato; risulta,

tti, nel caso più generale:

f1

fVI = (VI.4) t,cc ZZ && + Nel seguito, viene dapprima mostrato quali son le tre quazi i vett

possibile associare, per ciascun tipo di corto circuito dissimmetrico, alle (VI.3) e come, a partire dal sistema di sei equazioni cui si perviene, è possibile calcolare le correnti e le tension

È il corto circuito dissimmetrico che più frequentemente si verifica negli impian è rappresentato il corto circuito netto

ella fase a con la terra.

o e on oriali che è

i nel punto di guasto. Viene, poi, illustrato come è possibile calcolare in modo rapido i valori delle impedenze equivalenti del sistema elettrico a monte del punto di guasto alle sequenze diretta, inversa e omopolare, e della tensione di preguasto.

a) Corto circuito netto di una fase a terra

ti elettrici. Nella fig.VI.7 a), posto Za=0,d

infa

Valgono le seguenti relazioni:

0V ,0I ,0I acb === . (VI.5)

Essendo

0II cb == si ha:

0a2a1a III == . (VI.6)

Essendo aV = 0 si ha:

- VI/14 -

0VVV 0a2a1a =++

ono ricavare dalle (VI.6) e la (VI.7)

. (VI.7)

Le due relazioni indipendenti che si possppresentano le tre equazioni vettoriali indipendenti, dette equazioni caratteristiche del

racorto circuito netto della fase a con la terra, che insieme alle (VI.3) permettono di ricavare le tensioni e le correnti nel punto di guasto nel caso di corto circuito monofase a terra. Le (VI.3) diventano infatti:

0 0aV 0Z& 1aI

1aV = fV - 0 0 1Z& 1aI

2aV 0 0 0

2Z& 1aI

0 0

(VI.8) Operando sulle (VI.8) si ottiene:

0aV

1a0 IZ&−

1aV = 1a1f IZV &−

2aV

1a2 IZ&−

(VI.9) e premoltiplicando entrambe le matrici colonna per la matrice riga [111] si ottiene:

1a21a1f1a02a1a0a IZIZVIZVVV && −−+−=++ . (VI.10)

Tenendo presente la (VI.7) si ha:

21a11af01a IVZI0 & −+−= ZIZ && − , (VI.11)

da cui:

021

f1a ZZZ

VI

&&& ++= . (VI.12)

Noti quindi i componenti simmetrici delle

i guasto, si possono finalmente calcolare la corrente di corto circuito monofase della se a:

tre correnti che fuoriescono dal punto dfa

021

f1a0a2a1aam,cc ZZZ

V3I3IIIII

&&& ++==++== , (VI.13)

- VI/15 -

le tensioni che si presentano, a guasto avvenuto, tra il punto di guasto e la terra (essendo dalle (VI.9) noti i componenti simmetrici):

( )

( )021

02

2f0a2a

21ac

021

02f0a2a1a

2b

0a2a1aa 0VVVV =++=

ZZZZZ3j

VVVVV

ZZZZZ3j

VVVVV

&&&

&&

&&&

&&

++α−

=+α+α=

++α−−

=+α+α=

. (VI.14) e quindi le tensioni concatenate. È utile osservare in conclusione che se le tre reti di sequenza sono connesse in serie, come mostrato nella fig.VI.11, le correnti e le tensioni soddisfano

i (VI.3), (VI.6) e (VI.7) che, per quanto detto in contemporaneamente le relazionprecedenza, sono le relazioni indipendenti che caratterizzano il corto circuito monofase. Ne consegue che tale connessione delle tre reti di sequenza è un modo conveniente per ricordare le equazioni necessarie per la soluzione del corto circuito netto tra una fase e la terra.

Fig.VI.11 – Connessione delle reti di sequenza: corto circuito monofase netto

- VI/16 -

b) Corto circuito netto tra due fasi I corto circuiti tra due conduttori di fase senza contatto a terra non sono molto frequenti. Nella fig. VI.7 b), posto Zb = Zc = 0, è rappresentato il corto circuito netto tra le fasi b e c. Valgono senz'altro le seguenti relazioni:

cbacb II ;0I ;VV −===

2

(VI.15)

Essendo 0Ia = e cb II −=

, si ha:

2a1a0a II 0I −==

ltiplicando l'equazione matriciale

. (VI.16)

Essendo cb VV =

0 =

si ha:

2a1a VV = (VI.17) Le due relazioni indipendenti (VI.16) e la (VI.17) rappresentano le tre equazioni

vettoriali indipendenti, dette equazioni caratteristiche del corto circuito netto tra le fasi b e c, che insieme alle (VI.3) permettono di ricavare le tensioni e le correnti nel punto di guasto nel caso di corto circuito bifase. Le (VI.3) diventano infatti:

1aV fV 1Z& 1aI

1aV 1aI−

0aV 0

= - 0 0 Z& 0 0 0

0 0 0 0 Z&

(VI.18)

Effettuando le operazioni su indicate e premorisultante per la matrice riga [ 1 1 -1 ] si ha:

21a11af ZIZIV && −− , (VI.19) da cui:

21 ZZ +

f1a

VI

&&= . (VI.20)

Note le componenti simmetriche delle tre correnti che fuoriescono dal punto di guasto, si ha:

- VI/17 -

.II

,ZZ

V3jI3I)III

,0III

bc

21

f1a

21a

2b,ccb

2a1aa

−=

+=−=α−+α==

=+=

&& (VI.21) j(αI 1a2a −=α

Noti, inoltre, dalle (VI.18) 0a2a1a V,V,V si ha:

VVVVV =++=

bc

21

2f1a

2b ,

ZZVVV

+−=α=

&& 0a2a

21

2f0a2a1aa

ZVV

,ZZ

Z2

+α+

+

&

&&

&

VV = (VI.22)

e quindi le tensioni concatenate. È utile osservare in conclusione che se le reti di sequenza diretta e inversa sono connesse in parallelo, come mostrato nella fig.VI.12, le correnti e le tensioni soddisfano le relazioni (VI.3), (VI.16) e (VI.17) che, per quanto detto in precedenza, sono le relazioni indipendenti che caratterizzano il corto circuito bifase, perciò tale connessione delle due reti di sequenza è un modo conveniente per ricordare le equazioni necessarie per la solu one d cortozi el circuito bifase.

Fig.VI.12 – Connessione delle r di sequenza: corto ceti ircuito bifase netto

- VI/18 -

c) Corto circuito netto tra due fasi e terra Corto circuiti tra due conduttori di fase e la terra sono abbastanza frequenti e hanno origine generalmente dalla messa a terra di un conduttore con sovratensioni nelle altre due fasi tali da causare la messa a terra di un'altra fase. Nella fig.VI.7 c), posto Zb = Zc = Zn = 0, è rappresentato il corto circuito tra le fasi b e c netto a terra. Valgono senz'altro le seguenti relazioni:

.0I ;0V ;0V acb === (VI.23) Essendo 0VV cb == si ha:

0a2a1a VVV == . (VI.24)

Essendo 0Ia = si ha:

)II(I 0a2a1a +−= . (VI.25)

Le due relazioni indipendenti che si possono derivare dalle (VI.24) e la (VI.25) rappresentano le tre equazioni vettoriali indipendenti, dette equazioni caratteristiche del corto circuito netto tra due fasi e terra, che insieme alle (VI.3) permettono di ricavare le tensioni e le correnti nel punto di guasto nel caso di corto circuito bifase netto a terra. Con passaggi del tutto simili a quelli effettuati in precedenza, che si omettono per brevità, si ha:

( )

( )

0VVVV

0VVVV

)ZZ(ZZZZZ3

VVVVV

)ZZ(ZZZZZ3j

VI

)ZZ(ZZZZZ3j

VI

0I

0a2a2

1ac

0a2a1a2

b

21021

022f0a2a1aa

21021

22

0fc

21021

20fb

a

=+α+α=

=+α+α=

++=++=

++α−

=

++α−−

=

=

&&&&&

&&

&&&&&

&&

&&&&&

&&

(VI.26)

- VI/19 -

È utile osservare in conclusione che se le tre reti di sequenza sono connesse in parallelo, come mostrato nella fig.VI.13, le correnti e le tensioni soddisfano le relazioni (VI.3), (VI.24) e (VI.25) che, per quanto detto in precedenza, sono le relazioni indipendenti che caratterizzano il corto circuito bifase netto a terra, perciò tale connessione delle tre reti di sequenza è un modo conveniente per ricordare le equazioni necessarie per la soluzione del corto circuito netto bifase a terra.

Fig. VI.13 – Connessione delle reti di sequenza: corto circuito bifase netto a terra

d) Corto circuiti dissimmetrici tramite impedenza Con la fig.VI.7 si possono rappresentare il corto circuito a terra attraverso l'impedenza fZ& =Za della fase a, quello tra le fasi b e c attraverso l'impedenza

fZ& =Zb+Zc e quello netto tra le fasi b e c (Zb=Zc=0) e la terra tramite l’impedenza

fZ& =Zn. Un guasto monofase o tra due fasi e la terra attraverso non differisce, per fZ&

guasto, dallo stesso tipo di guasto senza fZ&

fZ&

quanto riguarda l’espressione della corrente diimpedenza con la posta sulla connessione tra il neutro e la terra, di cui si tiene conto aggiungendo 3 nella rete di sequenza omopolare.

Pertanto, nel caso di guasto monofase a terra attraverso si ottiene:

fZ&

f021

f1a Z3ZZZ

VI

&&&& +++= , (VI.27)

e nel caso di guasto bifase a terra attraverso si ottiene:

fZ&

)ZZ3Z/(Z)Z3Z(ZV

I2f02f01

f1a &&&&&&& ++++

= (VI.28)

Nel caso di guasto bifase attraverso valgono, invece, le seguenti relazioni: fZ&

- VI/20 -

2a1a

0a

I I

0I

−=

=

(VI.29)

f1a2a1a ZIVV &=− . (VI.30) Le due relazioni indipendenti che si possono derivare dalle (VI.29) e la (VI.30)

rappresentano di fatto le tre equazioni vettoriali indipendenti che insieme alle (VI.3) permettono di ricavare le tensioni e le correnti nel punto di guasto nel caso di corto circuito bifase tramite impedenza. A partire da tali relazioni si possono con facili passaggi ricavare i valori delle tensioni e delle correnti nel punto di guasto; esse valgono:

Z&

(VI.31)

,Z

0Ia =

ZVV

ZVI

b

f2fc

bfb

&

&

&

α+−=

=3j−

II bc −=

ZVV

b

f2fb &

=ZZ

ZZZ2

VV

2

b

f2fa

&&

&

&&

α+−

+=

con: f21b ZZZZ &&&& ++= .

- VI/21 -

e) Calcolo delle impedenze equivalenti e della tensione di preguasto Il calcolo delle impedenze equivalenti dinanzi definite si esegue in modo diretto, nel caso di sistemi elettrici molto semp o sulla costruzione delle matrici delle impedenze nodali di corto circuito alle sequenze diretta, inversa e omopolare2, negli altri casi. Il calcolo in modo diretto consiste nell’effettuare sui tre circuiti equivalenti de

a elettrico a m nte del punto P tutte le pedenze equivalenti secondo Thevenin.

ne dei circuiti equivalenti del sistema elettrico a monte del punto P. Per dimostrare quanto su enunciato, si faccia riferimento alla fig. VI.14, che si

ottiene dalla fig. VI.8 b) sostituendo alle tre terne di generatori ideali di tensione le tre terne di generatori ideali di corrente corrispondenti alle sequenze diretta, inversa e zero della terna di correnti che fuoriescono dal guasto (vedi nota 3).

im

lici, o attraverso un metodo matriciale basat

l sistem o le operazioni di serie e parallelo delimpedenze presenti così da ricavare le im

Il metodo matriciale si basa sul fatto che, come si dimostrerà tra breve, l’autoimpedenza di un nodo della matrice delle impedenze nodali di corto circuito coincide con l'impedenza equivalente del sistema tra il nodo stesso e il riferimento; ciò vale tanto per la sequenza diretta che per le sequenze inversa e omopolare. Le matrici delle impedenze nodali di corto circuito sono quelle che si ottengono, ad esempio, per inversione delle matrici delle ammettenze nodali di corto circuito, ricavate, a loro volta,

er ispeziop

Fig.VI.14 – Cortopedenze: reti di sequenza

Con riferimento

Circuito monofase equivalente alla sequenza diretta del sistema a monte del punto P

2aI0aI1aI

a P P

Circuito monofase equivalente alla

a Circuito monofase equivalente

a P

∼

il principio di sovrappgeneratori di tensione pgeneratore di corrente

tori di tensione c

genera

5 ammettecostruiscono applicando le nodali introdotta negli studsequenza diretta, pur essendricavate da due circuiti eququello valido per gli studi sempre, in modo differente.

Le matrici delle

circuiti dissimmetrici in un

alla fig.VI.14, si calcoli la

sequenza inversa del sistema a monte del punto P

I a1 aperto e, poi, il solo

osizione degli effetti, e cresenti nel sistema elettrico

o circuitati; si ottiene:

rto

nze nodal rcuito allestesse regole impiegate per la c

i di regime permanente. Si nota eo relative alla stessa sequenza, soivalenti del sistema elettrico (qu

di regime permanente) in cui i si

i di corto ci

∼

punto del sistema reso simmetri

tensione

alla sequenza omopolare del sistema a monte del punto P

V

generatore di corrente I

a1ioè facendo agire dapprima

nel punto P app

a monte del punto di guastoa1

sequenze di nversa e omoostruzi delle amsplicitamente, però, che le due mano completamente diverse tra loro iello valido per gli studi di corto cngoli componenti sono rappresenta

retta, ione della matrice

∼

co nelle

tutti i licando

con il con i

polare si mettenze trici alla n quanto ircuito e ti, quasi

- VI/22 -

a1rr1

.

fa1

infatti, con il generatore di corrente aperto, nel punto P si presenta la tensione di preguasto V f , mentre con i generatori di tensione cortocircuitati la tensione nel punto P si può calcolare impiegando le equazioni dei p

IZVV &−= ; (VI.32)

otenziali ai nodi e tenendo conto che nel circuito equivalente del sistema elettrico è presente il solo generatore di corrente I a1. Per tale ultimo circuito equivalente che comprende n nodi, oltre il neutro, alimentato solo nel nodo in cui si vuol calcolare la corrente di corto circuito ( ad esempio nel nodo r ) con un generatore di corrente di valore pari ad I a1, il sistema delle equazioni dei potenziali ai nodi è:

1a1r1

.

1 IZV −= ......

1a1rr.

r IZV −= (VI.33) ......

1a1nr.

n IZV −= , .

essendo i termini Z gli elementi della matrice delle impedenze nodali di corto circuito di sequenza diretta che si ricava, si sottol ea an ora una olta, per in ersione ella ma e ammettenze nodali di corto circuito alla stessa sequenza.

ta che il se ne sente nelle (VI.37), e quindi nella (VI.38), è dovuto al fatto che la corrente I dal nodo

riferimento alle fig.VI.25 b) e c), procedendo analogo a q to fatto per la sequenza diretta e tenendo conto del fatto che alle sequenze inversa e zero la tensione di preguasto nel punto P è pari a zero, si ricava che:

1ij

in c v

in modo

v dtrice dell

Si no

Con

gno gativo prea1 è uscente

a IV Z&−=

r. uan

2a2rr2

0a0rr0a IZV −= (VI.34) &

si confrontano le (VI.32) e (VI.34) con le (VI.3) si deduce

immed

ZZ && = (VI.35)

Se adessoiatamente quanto si voleva dimostrare e cioè che le autoimpedenze del nodo

corrispondente al punto di guasto alle sequenze diretta, inversa e zero (nel caso in esame il nodo r) coincidono con le impedenze equivalenti secondo Thevenin viste dal punto di guasto stesso:

11rr ZZ && =

22rr

00rr ZZ && =

Per quanto riguarda la tensione di preguasto essa può essere calcolata attraverso un load-flow o, più cautelativamente, assumendo che essa sia pari al valore nominale della tensione di fase maggiorato del 10%.

- VI/23 -

APPENDICE – VI.I

RICHIAMI SUI COMPONENTI SIMMETRICI

Scomposizione di una terna dissimmetrica di vettori Una terna spuria di vettori è univocamente scomponibile in una terna simmetrica diretta, una terna simmetrica inversa e una terna omopolare, cioè data una terna di vettori cba A,A,A o più

compendiosamente )A(S a , sono univocamente determinate le seguenti terne:

)A(S)A,A,A()A,A,A( 1a1a1a2

1a1c1b1a =αα= (terna simmetrica diretta)

( , , ) ( , , ) ( )A (terna simmetrica inversa) A A A A A A Sa b c a a a a2 2 2 2 22

2 2= =α α ( , , ) ( , , ) (A A A A A A S Aa )b c a a a a0 0 0 0 0 0 0= = (terna omopolare) che soddisfano alla relazione:

)A(S)A(S)A(S)A(S 0a2a1aa ++= . (A.1)

31con 2i

=π

α22

3 je +−= .

In base alla definizione di somma di terne di vettori, dalla (A.1) si ha:

0a2a1aa AAAA ++=

0a2a1a2

b AAAA +α+α=

0a2a2

1ac AAAA +α+α=

o in forma matriciale: A

a1 1 1 Aa0

Aa1

Ac 1 α α2 Aa2

Ab = 1 α2 α

(A.2)

Dalle (A.2) si ottiene:

A

Ac

a0 1 1 1 -1 Aa Aa1 = 1 α2 α Ab = Aa2 1 α α2

- VI/24 -

1 1 1

13

1 α α2 A

Ac

Aa

= b (A.3)

1 α2

α

o in forma ordinaria:

)AAA(3/1A cba0a ++=

)AAA(3/1A c2

ba1a α+α+=

)AAA(3/1A cb2

a2a α+α+= . Risultano quindi determinati univocamente, in base alla terna assegnata, i vettori

0a2a1a A,A,A 0a2a1a Aa cba A,A,A

e con essi le terne componenti; inversamente, dati i tre vettori ,A,A , è

nivocamente determinata dalle (A.2) la ternu .

Le terne )A(S ,)A(S ,)A(S 210 sono dette anche di sequenza zero, di sequenza positiva e di quenza negativa del sistema dato.

nze positive, negative e zero che si indicano con che sono definite da:

1(S

),,1(S

),,1(S

0

22

21

=

αα=

αα=

può sc

se021 S,S,S Introducendo le seque

e

)1,1,si rivere:

1a1

1a2

1a1a2

1a1a ASA),,1()A,A,A()A(S =αα=αα=

2a2

2a2

2a2

2a2a2a ASA),,1()A,A,A()A(S =αα=αα=

0a0

1a0a0a0a0a ASA)1,1,1()A,A,A()A(S ===

per cui la (A.1) diventa:

0a0

2a2

1a1 ASASAS)A(S ++= . (A.4)

d zio olt lla composi one di na te a dis mmetri ve ori si e ono a

na te na d s m ica im c essen o gli operatori comp ssi (i pedenze o tab n ttori nel piano co plesso.

ali terne di impedenze sono costituite da tre operatori uguali, sono cioè terne omopolari.

Le consi era ni sv e su s zi u rn si ca di tt est nd

u rtte

is im etr di ili co

pedenze dei v

m

d le me

Z Z Za b. . .

, ,amme nze) rappresen

Da notare che le norm.Z

- VI/25 -

Esempio Āa = 1 - 3i, Āb = 1 + 2i, Āc = -2 + 5i

-5 -4 -3 -2 -1 0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re

Terna di vettori squ

10

Im

-10 -8 -6 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Im

Terna di sequenza diretta

)AAA(3/1A c2

ba1a α+α+=

)AAA(3/1A cb2

a2a α+α+= .

312i π

)AAA(31A c++=

/ ba0a

Āa

Āc

1

ili

Āb

2 3 4 5

brati

-4 -2 0 2 4 6 8 10 Re

Āa1Āa2

Āa0

Terna di sequenza inversa Terna di sequenza omopolare

22con 3 je +−==α

- VI/26 -

-2 -1 0 1 2 3 4 5Re

Im

-5 -4 -3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Terne di sequenza

-5 -4 -3 -2 -1 0 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re

Im

Composizione delle terne d

0a2a1aa AAAA ++=

0a2a1a2

b AAAA +α+α=

0a2a2

1ac AAAA +α+α=

Āa

Āc

2 3

i sequenza

Āb

4 5

- VI/27 -

Impedenze alle sequenze

Si considerino tre impedenze dissimmetriche c connesse a stella ed un neutro, come mostrato dalla fig. A.1.

Z Z Za b. . .

, ,

Ea

Eb

Ec

I a

I a

I a

Za

Zb

Zc

.

.

.

Fig. A.1

Tra la terna di cadute di tensioni )E(S a e la terna di correnti )I(S a , per la legge di Ohm generalizzata, sussiste la relazione:

S E S Z S Ia a a( ) ( ) (.

= × . )

Esprimendo le terne S Z S I e S Ea a a( ) , ( ) (.

) mediante la (A.4), sviluppando il prodotto a secondo membro e confrontando infine tra loro i due bri si ottiene: mem

S E S Z S I S Z S I S Z S I S Z I Z I Z Ia a a a a a a a a a a a a0

00

00

02

21

11

12

20

0 0 2 1 1 2= + + = + +. . . . . .

( )

S E S Z S I S Z S I S Z S I S Z I Z I Z Ia a a a a a a a a a a a a1

11

10

00

01

12

22

21

1 0 0 1 2 2= + + = + +. . . . . .

( )

S E S Z S I S Z S I S Z S I S Z I Z I Z Ia a a a a a a a a a a a a2

22

20

01

11

10

02

22

2 0 1 1 0 2= + + = + +. . . . . .

( ) (A.5) Queste relazioni mostrano che, in generale, in una rete non si etrica ogni sequenza di corrente dà luogo a cadute di tensioni di tutte e tre le sequenze. Nel caso invece che:

.

si ha per le (A.3):

2 =

per cui le (A.5) si riducono a:

mm

Z Z Z Za b c= = = . . .

Z Z Z Za a a. . . .

0 1 0 0= = ,

- VI/28 -

S E S Z S I S Z Ia a a a a0

00

00

00

0 0= =. .

S E S Z S I S Z Ia a a a a1 0 1= =

. .

1 0 11

0 1 (A.6)

S E S Z S I S Z Ia a a a a2

20

02

22

0 2= =. .

.

Queste relazioni mostrano che, in generale, in una rete simmetrica ogni sequenza di corrente dà luogo solo a cadute di tensione della stessa sequenza. I rispettivi rapporti si definiscono impedenze alle correnti di sequenza zero, impedenze alle correnti di sequenza positiva e impedenze alle correnti di sequenza negativa o più compendiosamente impedenze alla sequenza zero, impedenze alla sequenza positiva e impedenze alla sequenza negativa e si

indicano con .

rispettivamente:

S Z S Z e S Z00

01

02

. .,

S E

S IS Za0 S Za

a

00

00

0 00= =

. .

S E1 . .

S IS Z S Za

a

a11

1

00

01= =

S E

S IS Z S Za

a

a

22

22

00

02= =

. .

Reti di sequenza Si consideri una rete simmetrica. Poichè le cadute di tensione di ogni sequenza, come visto inprecedenza, possono essere considerate separatamente, la somma delle cadute di tensione di una certa sequenza deve essere uguale alla somma delle f.e.m. di quella stessa sequenza. In virtù del princ sovrapposizione, una rete trifase simmetrica può perciò essere considerata come la somma di tre reti indipendenti:

uale agi

za inversa, formata dalla connessione delle 2 dei vari elementi della rete data e nella sorgenti di sequenza inversa;

- la rete omopolare, formata dalla connessione delle dei v enti della rete data e nella quale rgenti omopolari.

Ogni rete di sequenza può essere risolta come un circuito monofase costituito da una delle tre fasi e da un conduttore di ritorno.

ipio di

la rete di sequenza diretta, formata dalla connessione delle Z 1 dei vari elementi della rete data e nella .

-q scono solo le sorgenti di sequenza dirette;

. Z- la rete di sequen

quale agiscono solo le

Z.

0 ari elemagiscono solo le so