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Capitolo 5

Fisica statistica

1 Entropia di un gas (perfetto e di Van der Waals)

Un gas perfetto monoatomico obbedisce all’equazione di stato p(V, T ) = Nk TV ed ha l’energia interna

della forma U(V, T ) = U(T ) = 32NkT . Si consideri la forma di!erenziale lineare:

!1(V, T ) = NkT

VdV +

3

2NkdT,

definita per V >0, T >0.

(a). La forma data e esatta? Perche? Qual e il significato fisico di !1?

(b). La forma!1(V, T )

T=

Nk

VdV +

3Nk

2TdT

e esatta? In caso a!ermativo trovarne la primitiva, e spiegarne il significato fisico.

Consideriamo ora invece un gas che obbedisce all’equazione di stato

p(V, T ) =NkT

V ! b! Na

V 2

e la cui energia interna e della forma

U(V, T ) =3

2NkT + f(V ),

con f funzione opportuna.

(c). La forma di!erenziale lineare (definita per V >b, T >0)

!2(V, T ) = ("U

"V+ p)dV +

"U

"TdT

e esatta? Qual e il suo significato fisico?

(d). Determinare f(V ) in modo che la forma di!erenziale lineare !2(V, T )/T sia esatta e determinarnela primitiva. Spiegare il significato fisico.

2 * Entropia di miscelamento

(a). Stato iniziale. Consideriamo un volume V0 che contiene una mole di gas perfetto di tipo (aliasspecie chimica) A ed una mole di gas perfetto di tipo B, miscelati, e che non reagiscono chimicamente.

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Il contenitore e in debole interazione con un termostato alla temperatura T . Sia P0 la pressione totale inquesto stato iniziale.

(b). Prima trasformazione. Supponiamo di disporre di un pistone con una membrana permeabile allemolecole A, ed impermeabile alle molecole B. Muovendo tale pistone, comprimiamo il gas B (in manieraisoterma e reversibile) in una parte del contenitore di volume VB = V0/2. Che lavoro e necessario fornire?Di quanto cambia l’energia interna del sistema? Quanto calore viene ceduto al termostato? Che valoriassume la pressione totale del gas al di qua e al di la della membrana?

(c). Seconda trasformazione. Supponiamo ora di disporre di un altro pistone, con una membranaquesta volta permeabile alle molecole B, ed impermeabile alle molecole A. Muovendo tale pistonecomprimiamo il gas A nell’altra meta del contenitore, in maniera da separare completamente i due gasciascuno in un volume V0/2. In questa seconda trasformazione, che lavoro abbiamo fornito? Di quanto ecambiata l’energia interna del sistema? Quanto calore e stato ceduto al termostato?

(d). Stato finale. Dopo avere e!ettuato entrambi le trasformazioni, che valori assumono le pressioni deidue gas, ciascuno confinato in un volume V0/2? Confrontare tali valori con P0. Supponiamo di agganciaree rendere solidali tra di loro le due membrane, in maniera da ottenere una sola membrana impermeabilead entrambi i gas: quanto vale la forza sul pistone?

(e). Variazione dell’entropia. Siamo passati dallo stato iniziale allo stato finale mediantetrasformazioni reversibili alla temperatura T : qual e il valore della variazione "S dell’entropia delsistema? "S e positivo o negativo? In che relazione sta "S con l’entropia di miscelamento dei duegas?

(f). Ritorno allo stato iniziale Supponiamo ora di praticare un piccolo foro in ciascuna delle dellemembrane, in maniera che i due gas si miscelino nuovamente, tornando allo stato iniziale. Che lavoroabbiamo fornito? Di quanto e cambiata l’energia interna del sistema? Quanto calore e stato ceduto altermostato? Di quanto e variata l’entropia? Spiegare.

3 Sistema a due livelli

Sia dato un sistema di N particelle quantistiche non interagenti (identiche oppure no), aventi tutte lastessa Hamiltoniana di singola particella. Consideriamo il caso semplice in cui tale Hamiltoniana ha solodue livelli, con autovalori !0 = 0 ed !1 = !, ciascuno di degenerazione g. Il sistema a molti corpi hadunque un numero finito di stati quantici: non tenendo conto della eventuale identita delle particellequesto numero e (2g)N . Le energie En permesse sono evidentemente 0, !, 2!, . . .N!: la funzione dipartizione canonica Z e una somma finita e si scrive in generale come:

Z(") =N

!

n=0

ane!n!". (3.1)

Nel caso fermionico, alcuni degli an possono essere nulli. In generale, an e la degenerazione dell’n-esimostato a molti corpi. Chiamiamo P (x) il polinomio:

P (x) =N

!

n=0

anxn. (3.2)

(a). Scrivere l’energia interna U , l’energia libera F , e l’entropia S in funzione di x = e!!", usando lafunzione P (x) e la sua derivata prima. Vogliamo studiare il limite per T ! 0, ovvero x ! 0. Considerareprima il caso (particelle distinguibili, oppure bosoni) in cui a0 "= 0, e dire quanto valgono U(0), F (0), eS(0). Considerare poi il caso (fermioni) in cui il primo coe#ciente non nullo e an (an = 0 per n < n).Dire in questo caso quanto valgono U(0), F (0), e S(0).

(b). Scrivere la funzione di partizione canonica nel caso di particelle distinguibili. Calcolare l’entropiaS per un valore arbitrario della temperatura. Calcolare esplicitamente tutti i coe#cienti an. Mostrare

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che l’entropia a temperatura zero S(0) e in generale non nulla e proporzionale ad N . Il terzo principiodella termodinamica e violato.

Suggerimento: Per particelle distinguibili Z = ZNsingle.

(c). Si considerino ora N bosoni identici. Il caso di g arbitrario e complicato: cominciamo dunque dalcaso semplice g = 1. Mostrare che tutti gli stati del sistema a molti corpi sono non degeneri, e dunqueP (x) e una progressione geometrica. Sommare la progressione e calcolare l’entropia S per un valorearbitrario della temperatura. Mostrare che S(0) = 0.

(d). Consideriamo ora il caso di N bosoni identici con g = 2. Dire qual e la degenerazione dello statofondamentale del sistema a molti corpi e calcolare S(0). Mostrare che S(0) cresce con N , ma in guisache S(0)/N ! 0 per grandi N (in accordo con il terzo principio della termodinamica).

(e). Passiamo ora a N fermioni identici. Per il principio di Pauli bisogna che sia N " 2g; inoltre alcunian sono nulli se N > g. Dire qual e la degenerazione dello stato fondamentale del sistema a molti corpinei tre casi: N =g (cosiddetto “half-filling”), N =g#1, N =g+1. Dire per tutti e tre i casi quanto valgonoU(0), F (0), e S(0). Verificare che il terzo principio della termodinamica e soddisfatto.

4 Hamiltoniana non quadratica nei momenti 1d

Consideriamo un sistema di N particelle unidimensionali non interagenti ed identiche, confinate in unasegmento di lunghezza L; siano esse classiche e distinguibili. Supponiamo pero che l’Hamiltoniana disingola particella dipenda da p nella forma del tutto generale H(p, q) = f(p), invece che nella formausuale ben nota H(p, q) = p2/2m. Facciamo l’ipotesi che f(p) sia una funzione pari, monotona crescenteper valori positivi dell’argomento, e con limp!+" f(p) = +$.

(a). Scrivere la funzione di partizione canonica per questo ipotetico sistema. Mostrare che vale unaforma generalizzata del teorema di equipartizione dell’energia, del tipo

%p df

dp& = kT (4.1)

Dove %. . .& indica il valor medio di una variabile microscopica, valutato con la distribuzione canonica.

Suggerimento: Integrare per parti.

(b). Calcolare esplicitamente la funzione di partizione canonica, l’energia libera di Helmholtz F (L, T ),e l’energia interna U(L, T ) nel caso usuale, in cui f e una funzione quadratica del suo argomento:f(p) = p2/2m. In che relazione sta l’energia media per particella %f& con %p df

dp & = kT ?

(c). Considerare ora invece il caso in cui f e una funzione lineare del modulo di p: f(p) = c|p|. Calcolareesplicitamente la funzione di partizione canonica, l’energia libera di Helmholtz F (L, T ), e l’energia internaU(L, T ). In che relazione sta l’energia media per particella %f& con %p df

dp & = kT ?

5 Hamiltoniana non quadratica nei momenti 3d

Consideriamo un sistema di N particelle tridimensionali noninteragenti confinate in una scatola di volumeV . L’energia cinetica di ogni particella sia della forma generalizzata

Hsingle = !p! = !(p2x + p2

y + p2z)

!2

(a). Si calcoli la densita degli stati di singola particella D(").

(b). Nel caso speciale # = 3/2 si calcoli la funzione di partizione di singola particella Zsingle. Nel caso

di # generico ci si contenti di mostrare che Zsingle ' V T3! .

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(c). Per un ! generico si trovino l’energia interna U e l’equazione di stato nel limite non degenere " ! 1.

(d). Mostrare che per particelle identiche (bosoni o fermioni) e per qualsiasi degenerazione la fugacita "e tutte le funzioni termodinamiche si esprimono in termini di V T

3! .

(e). Mostrare che per degenerazione arbitraria si ha sempre pV = const " U ; trovare la costante infunzione di !.

6 Buca di potenziale 1d (i)

0

V(q)

L #$

2m#$

2m#

L + #/w

q

p

Si considerino N particelle classiche unidimensionali (di massa m, non interagenti) in una buca dipotenziale della forma mostrata in figura di sinistra:

V(q) = % per q < 0; V(q) = 0 per 0 & q & L; V(q) = w(q # L) per q > L. (6.1)

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica Z e l’energia interna.

(b). Verificare che per w ' % (o piu esattamente per kTwL ' 0) si trova la funzione di partizione di un

sistema di N particelle libere confinate in un segmento di lunghezza L. Calcolare la correzione al calorespecifico all’ordine piu basso in kT

wL .

(c). Mostrare che gli stati di singola particella con energia minore di # occupano la regione di spaziodelle fasi mostrata in figura di destra, la cui area e A(#) = c1 #

12 + c2 #

32 . Trovare c1 e c2.

(d). Trovare esplicitamente la densita degli stati di singola particella D(#) e verificare che la Z trovatasopra e identica a

Z =

!" !

0d# D(#)e"

"kT

#N

. (6.2)

Suggerimento: Il numero di stati di singola particella con energia compresa tra # e #+d# e D(#)d#.

7 Buca di potenziale 1d (ii)

Si considerino N particelle classiche unidimensionali (di massa m, non interagenti) in una buca dipotenziale della forma

V(q) =1

2!q2 per q < 0; V(q) = 0 per 0 & q & L; V(q) =

1

2!(q # L)2 per q > L. (7.1)

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(a). Calcolare la funzione di partizione canonica Z.

(b). Calcolare l’energia libera F e l’energia interna U .

(c). Studiare la funzione U(T ) e dire come essa dipende da T nel limite di alte e basse temperature.Usare questo risultato per dire quanto vale C(T) per piccole e grandi T .

(d). Dicendo “grandi” o “piccole” temperature si intende rispetto ad un valore tipico T . Quanto vale Tin funzione dei dati del problema (m, !, L)?

8 Buca di potenziale logaritmica 1d

Consideriamo una buca di potenziale unidimensionale di forma logaritmica:

V(q) = V0 log(1 + 2|q|L

), (8.1)

dove V0 ed L sono due costanti positive (aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente). Tale potenziale confina il moto di una particella classica di energia assegnata in unsegmento di lunghezza finita.

(a). Si trovi la lunghezza di tale segmento in funzione dell’energia " ! 0 della particella.

(b). Consideriamo un sistema di N particelle unidimensionali di massa m non interagenti ed identiche,confinate dal potenziale dato; siano esse classiche e distinguibili. Si calcoli la funzione di partizionecanonica di tale sistema, dove Z = ZN

single. Per quali valori di T e dei parametri (m, V0 ed L) essa enon divergente? Dove Z non diverge, si calcolino l’energia libera di Helmholtz F (a meno di costantiadditive), e l’energia interna U in funzione di T e dei parametri. Qual e la dipendenza da T dell’energiamedia per particella?

(c). Dove Z diverge, il sistema evidentemente non puo avere una termodinamica di equilibrio. Come sicomporta l’energia media per particella al crescere di T vicino alla divergenza di Z? Usare il risultato di(a) per tentare di spiegare qual e il significato fisico della divergenza.

(d). La funzione di partizione canonica si puo scrivere anche come

Z =

!" !

0d" D(")e"

!kT

#N

, (8.2)

dove D(") e la densita degli stati di singola particella: D(")d" indica il numero di stati con energiacompresa tra " ed " + d". Sapendo che Z diverge per alcuni valori di T , cosa si puo dire circa ilcomportamento della densita degli stati?

Suggerimento: Si risponda alla domanda senza tentare di calcolare esplicitamente D(").

9 Gas di particelle relativistiche (i)

Si considerino N particelle non interagenti in una scatola di volume V , nel limite non degenere: la funzionedi partizione canonica e pertanto Z = ZN

single/N !. Supponiamo inoltre che l’energia cinetica delle particellesia relativistica. La relazione tra impulso ed energia cinetica e dunque

"(p) =$

m2c4 + c2p2 = mc2

%

1 +p2

m2c2, (9.1)

dove m e la massa a riposo, e c e la velocita della luce.

(a). Si scriva l’espressione di Zsingle, senza tentare di calcolare l’integrale.

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(b). Si mostri che per kT ! mc2 si ritrova la termodinamica del gas perfetto non relativistico (con unascelta opportuna dello zero dell’energia). Quanto vale U per T = 0?

Suggerimento: Si consideri la funzione e!s"

1+x2: per s " 1 la funzione e significativamente diversa da

zero solo se x ! 1, e si puo quindi sviluppare#

1 + x2 al’ordine piu basso.

(c). Si mostri che in generale, se l’Hamiltoniana di singola particella H(0) viene perturbata con unapiccola correzione !H , il logaritmo della funzione di partizione all’ordine piu basso si puo scrivere come:

log Zsingle $ log Z(0)single % !&!H', (9.2)

dove &!H' e la media canonica di !H sull’ensemble definito da H(0).

(d). Si applichi il risultato precedente al caso in cui !H e il termine in p4 nell’espansione di "(p). Sitrovi l’e"etto di questa correzione relativistica su U , su F , e sull’equazione di stato.

(e). Si mostri che nel limite estremo relativistico kT " mc2 la funzione di partizione sopra calcolataimplica U $ 3NkT , come per un sistema di N oscillatori armonici.

Osservazione: Questo limite non e del tutto corretto, perche se kT " mc2 si possono creare coppie diparticelle–antiparticelle, ed il numero N non e piu conservato.

10 Gas di particelle relativistiche (ii)

Consideriamo un sistema di N particelle tridimensionali classiche, distinguibili e non interagenti in una

scatola di volume V . Si supponga che l’energia cinetica abbia una forma generalizzata "(p) (= p2

2m : sia "una funzione monotona crescente del modulo di p, e tale che limp#$ "(p) = ).

(a). Scrivere la funzione di partizione canonica per questo sistema.

(b). Calcolare &p ·*p"(p)', dove &. . .' indica il valor medio di una variabile microscopica, valutato conla distribuzione canonica. Mostrare che &p ·*p"(p)' e proporzionale a T , e trovare il coe#ciente.

Suggerimento: Usare il teorema di Gauss su di una sfera nello spazio delle p e fare poi tendere il raggioall’infinito. Sfruttare inoltre le identita:

e!!"(p)*p"(p) = % 1

!*pe!!"(p) ; p ·*pf(p) = *p · [pf(p)] % 3f(p).

(c). Considerare il caso speciale in cui "(p) e l’energia di una particella relativistica:

"(p) =!

m2c4 + c2p2 = mc2

"

1 +p2

m2c2,

dove m e la massa a riposo, e c e la velocita della luce. Mostrare che il risultato precedente implica

& p2

2m ' > 32kT , mentre nel limite c + ) si ottiene il teorema di equipartizione nella forma usuale.

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11 Gas perfetto in campo gravitazionale

z1

z2

Consideriamo un gas perfetto monoatomico in un cilindro di sezione A. Le N particelle (classiche, dimassa m) sono confinate nel cilindro da due pistoni posti a quota z1 e z2, sono non interagenti, e sonosoggette al potenziale gravitazionale mgz.

(a). Calcolare la funzione di partizione classica di singola particella Zsingle in funzione di z1, z2, e deglialtri parametri del problema (supponiamo che tutto il gas sia all’equilibrio termico alla temperatura T ).

(b). Scrivere l’espressione dell’energia libera F . Se variamo il potenziale gravitazionale di una costante(mgz ! mgz + const), di quanto varia l’energia libera?

(c). Mostrare che nel limite g ! 0 si ottiene l’energia libera usuale del gas perfetto.

(d). Siano P1 e P2 le pressioni sui due pistoni. Calcolare P2/P1 e mostrare che questo rapporto e funzionedi z2 " z1.

12 Cella elettrolitica

Si consideri una cella elettrolitica con N particelle di carica Q ed N particelle di carica "Q, la cui formasia un parallelepipedo retto: elettrodi di area A separati da una distanza L. Se la tensione agli elettrodie V , il potenziale elettrostatico e !(x) = V x/L, dove x e la coordinata normale agli elettrodi. Nellosvolgere l’esercizio, facciamo l’approssimazione che le particelle non interagiscano tra di loro.

(a). Scrivere la funzione di partizione canonica Z.

(b). Mostrare che per V ! 0 il sistema obbedisce alla stessa equazione di stato di un gas perfetto di 2Nparticelle in un volume LA.

Suggerimento: La pressione isoterma si puo esprimere come p = "(!F/!L)/A.

(c). Calcolare la pressione isoterma per V #= 0 costante.

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Osservazione: Questo significa misurare la pressione mentre gli elettrodi sono collegati ad una batteria.

(d). Trovare come varia l’energia interna al primo ordine non nullo in V . Tale variazione e lineare oquadratica? Perche?

Suggerimento: Il parametro adimensionale e ! = "QV . Conviene sviluppare logZ prima di derivare.

13 * Bosoni in 2d

(a). Calcolare la densita degli stati nell’energia D(!) per: (i) Una particella libera (nonrelativistica, dimassa m) in una dimensione, confinata in un segmento di lunghezza L. (ii) Una particella libera in duedimensioni, confinata in una superficie di area A. (iii) Una particella libera in tre dimensioni, confinatain un volume V .

(b). Calcolare la funzione di partizione di singola particella Zsingle nel limite classico per ciascuno deitre casi precedenti ed esprimere i risultati in funzione di # = h(2$mkT )!1/2.

Nel seguito di questo esercizio passiamo al caso quantistico con particelle identiche. Consideriamo soloil caso bidimensionale, e supponiamo di avere N bosoni di massa finita m, confinati in una superficie diarea A.

(c). Integrare esattamente l’equazione del vincolo sul numero delle particelle. Esplicitare quindi lafugacita % in funzione di N/A, della temperatura, e delle costanti del problema. Verificare esplicitamenteche % tende al corretto limite classico per alte temperature.

Suggerimento: Usare il risultato:

!

dx%e!x

1 ! %e!x= log(1 ! %e!x). (13.1)

(d). Studiare % nel limite di basse temperature, e spiegare perche nel caso bidimensionale non puoesistere condensazione di Bose-Einstein (a temperatura finita).

(e). Mostrare che il rapporto UNkT e funzione solamente di %, senza tentare di calcolare gli integrali.

(f). Calcolare U nel limite di alte temperature.

(g). Mostrare che UNkT tende a zero per T " 0.

Suggerimento: Utilizzare il fatto che"

dx!!1ex!1 diverge per % " 1, mentre

"

xdx!!1ex!1 invece converge.

14 * Fermioni in 2d

Si consideri un gas di elettroni in due dimensioni: N fermioni di spin 12 , non interagenti, e confinati in

una superficie di area A.

(a). Calcolare l’energia di Fermi !F a T = 0.

(b). Determinare la densita degli stati di singola particella D(!). Verificare esplicitamente che il risultatoe consistente con (a).

Considerare ora una temperatura finita. La distribuzione di Fermi e:

f(!) =1

%!1e"# + 1, (14.1)

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dove ! = (kT )!1, e " e la fugacita. Si ricorda che " = e!µ, dove µ e il potenziale chimico.

(c). Integrare esattamente l’equazione che mette in relazione " con N/A, e quindi scrivere il potenzialechimico µ in forma esplicita come funzione di T e N/A.

Suggerimento: Usare il risultato:

!

dx"e!x

1 + "e!x= ! log(1 + "e!x). (14.2)

(d). Verificare che il potenziale chimico tende all’energia di Fermi per T che tende a zero.

(e). Determinare µ nel limite classico kT " #F .

(f). Calcolare l’energia interna U nei due limiti kT # #F e kT " #F .

(g). Determinare approssimativamente la capacita termica CV = $U/$T (all’ordine piu basso non nullo)nei due limiti kT # #F e kT " #F .

Suggerimento: Si proceda per analogia con la trattazione tridimensionale in [Kittel-ISSP], Cap. 6.

15 Buca di potenziale 2d (i)

Si considerino N particelle classiche bidimensionali (di massa m, non interagenti) in una buca di potenzialedella forma:

V(x, y) = t|x| + sy2, (15.1)

dove t ed s sono due costanti positive di dimensioni opportune.


(b). Calcolare l’energia libera di Helmholtz F , l’energia interna U e la capacita termica.

(c). Mostrare che per questo sistema la densita degli stati di singola particella dipende da # con unalegge di potenza: D(#) $ #", e trovare l’esponente %.

Suggerimento: Confrontare" "0 d# #"e!!# con i risultati precedenti.

16 Buca di potenziale 2d (ii)


V(x, y) = w#

|x|1/n + |y|1/n$

, (16.1)

dove n e un intero assegnato, e w e una costante di dimensioni opportune.


Suggerimento: Possono essere utili gli integrali:" "0 d& &ne!$% = n!

$n+1 .

(b). Calcolare l’energia libera, l’energia interna, e la capacita termica.

(c). Trovare la densita degli stati di singola particella D(#) invertendo la relazione:

Zsingle(!) =

! "

0d# D(#)e!!#. (16.2)

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17 Buca di potenziale 2d (iii)


V(x, y) = 0, se x2 + y2 ! R2 ;

V(x, y) =!

2(x2 + y2 " R2), se x2 + y2 > R2;

dove ! e una costante positiva di dimensioni opportune.


Suggerimento: Possono essere utili gli integrali:! !0 d" "ne"!" = n!

!n+1 .

(b). Trovare la densita degli stati di singola particella D(#) invertendo la relazione:

Zsingle($) =

" !

0d# D(#)e"#$. (17.1)

Suggerimento: Cercare soluzioni della forma D(#) = c1#b1 + c2#b2

(c). Calcolare l’energia interna U , e studiarne il limite di alte e basse temperature (per ! ed R fissi).

(d). Verificare che nel limite ! # $ si ritrova la termodinamica del gas perfetto bidimensionale.

(e). Verificare che nel limite R # 0 si ritrova la termodinamica dell’oscillatore armonico bidimensionale.

18 Buca di potenziale 2d (iv)


V(x, y) =!

2(x2 + y2), se x2 + y2 ! R2 ;

V(x, y) = $, se x2 + y2 > R2;

dove ! e una costante positiva di dimensioni opportune.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica.

(b). Mostrare che per alte temperature la funzione di partizione tende a quella di un gas di particellelibere in due dimensioni.

(c). Mostrare che per basse temperature la funzione di partizione tende a quella di un sistema di Noscillatori armonici bidimensionali.

(d). Per una data scelta dei parametri del problema (! ed R), per quali valori di T la temperatura sipuo considerare “alta” oppure “bassa”?

(e). Calcolare l’energia interna U . Mostrare che essa e sempre minore di quella di un sistema di Noscillatori armonici bidimensionali.

19 Buca di potenziale 2d (v)

Si considerino N particelle classiche bidimensionali (di massa m, non interagenti) nel potenziale:

V(r) =1

2!#(r2 " R2) se r < R ;

V(r) =1

2!(r2 " R2) se r > R .

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Nella formula si e posto r =!

x2 + y2. Inoltre R > 0, ! > 0, mentre !! puo essere di segno qualsiasi.

(a). Si faccia un grafico approssimativo di V(r) nei due casi !! > 0 ed !! < 0.

(b). Si calcolino la funzione di partizione canonica e l’energia interna U .

(c). Quanto vale U nel caso speciale !! = !? Spiegare il risultato alla luce di (a).

(d). Per i due casi speciali !! = ! ed !! = !! calcolare la capacita termica. Quale delle due e maggiore?

(e). Quanto vale U nel limite kT " 12 |!

!|R2 ?

20 Buca di potenziale 2d (vi)

Si considerino N particelle classiche bidimensionali (di massa m, non interagenti) in una buca di potenzialeconica:

V(x, y) = w!

x2 + y2, (20.1)

dove w e una costante positiva di dimensioni opportune.


Suggerimento: Possono essere utili gli integrali:" "0 d" "ne#!" = n!

!n+1 .

(b). Calcolare l’energia libera, l’energia interna, e la capacita termica.

(c). Trovare la densita degli stati di singola particella D(#) invertendo la relazione:

Zsingle($) =

# "

0d# D(#)e##$. (20.2)

(d). Se consideriamo due diversi valori w1 e w2, con w2 > w1, Quale dei due ha densita degli statimaggiore (per # uguale), e perche?.

21 Buca di potenziale 2d (vii)


V(r) =1

2m%2r2, se r # R ;

V(r) = $, se r > R,

dove r =!

x2 + y2. Si noti che per R % $ il potenziale diventa semplicemente armonico isotropo.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica e l’energia interna U .

(b). Si mostri che per % % 0 (ed R fisso) la funzione di partizione tende a quella del gas perfettobidimensionale.

(c). Si mostri che per R % $ la funzione di partizione tende a quella di un sistema di oscillatori armonici(nota dalla teoria).

(d). Si trovi la densita degli stati di singola particella D(#) nel limite % % 0 (ed R fisso). Confrontarecon quanto noto per il gas perfetto bidimensionale.

Suggerimento: In generale la funzione di partizione di singola particella si puo scrivere come Zsingle($) =" "0 d# D(#)e##$. Inoltre si noti che

" "0 d# e##$ = 1/$.

(e). Si trovi la densita degli stati di singola particella D(#) nel limite R % $ (potenziale armonico).

Suggerimento: Si noti che" "0 d# #e##$ = 1/$2.

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22 Buca di potenziale sferica (i)

Sia dato il potenziale sferico definito da

V = 0, r ! R ; V = V0(r

R" 1), r # R, (22.1)

dove V0 e R sono due costanti positive (aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente). Tale potenziale confina il moto di una particella classica in una regione spaziale finita.

(a). Si calcoli il volume V (!) accessibile ad una particella di energia ! # 0. Si mostri che per ! $ V0 siottiene all’ordine piu basso

V (!) % V (0)(1 +3!

V0) (22.2)

(b). Si considerino N particelle non interagenti di massa m confinate nel potenziale dato. Si supponganole particelle classiche e distinguibili, in guisa che la funzione di partizione canonica sia fattorizzata comeZ = ZN

single. Si calcoli Zsingle, mostrando che essa ha la forma

Zsingle =1

h3(2"mkT )

32

4"

3R3f(

kT

V0), (22.3)

e si dia l’espressione esplicita della funzione f

Suggerimento: Si integri con il cambiamento di variabile x = V0

kT ( rR " 1), e si sfruttino le identita

! !0 dx xme"x = m! (per m intero).

(c). Si scriva il log Z in funzione di R, V0, e T (a meno di costanti additive), e si mostri che nel limiteV0 & ' tutta la termodinamica del sistema coincide con quella di un gas perfetto classico confinato inun volume V = 4!

3 R3.

(d). Si assuma V0 finito ma con V0 ( kT , e si approssimi la funzione f con il suo sviluppo al primoordine in kT/V0. Si mostri che in questo caso la termodinamica del sistema e identica a quella che siotterrebbe ponendo

Zsingle %1

h3(2"mkT )

32 V (kT ), (22.4)

con V (kT ) dato da Eq. (22.2).

(e). Nella stessa approssimazione che in (d), si calcolino l’energia interna del sistema e la sua capacitatermica a R e V0 costanti. Di che segno e la correzione al primo ordine per V0 finito (rispetto al casoV0 & ')? Perche?.

23 Buca di potenziale sferica (ii)

Siano # e $ due costanti reali, con $ > 0. Consideriamo un potenziale sferico che confini il moto di unaparticella nel volume V = 4"R3/3, con R ( $. Esplicitamente, scegliamo tale potenziale della forma

V(r) = 0, r ! R " $ ; V(r) = #(r " R + $), R " $ ! R ; V(r) = ', r # R. (23.1)

Si considerino N particelle classiche non interagenti di massa m confinate nel potenziale dato.

(a). Per # = 0, questo sistema e ovviamente un gas perfetto classico di densita N/V . Scriverne lafunzione di partizione canonica e l’equazione di stato.

(b). Consideriamo il caso di # )= 0. Mostrare che la pressione e maggiore di quella del gas perfetto se #e positivo, e che essa e invece minore di quella del gas perfetto se # e negativo.

(c). Si calcoli esplicitamente la funzione di partizione canonica e l’equazione di stato. Si verifichi che lapressione soddisfa alla diseguaglianza trovata in (b).

72

24 Buca di potenziale sferica (iii)

Sia data una particella di massa m nel potenziale sferico V(r) = w r! dove w e una costante di dimensioniopportune.

(a). Si scriva la funzione di partizione canonica Zsingle; senza calcolare esplicitamente l’integrale, simostri che Zsingle dipende dalla temperatura con una legge di potenza:

Zsingle = f(w, !)T q, (24.1)

e si dica quanto vale l’esponente q.

(b). Siano Rl gli N siti di un reticolo geometrico assegnato. Si considerino N particelle non interagentitra loro, e ciascuna attratta verso il sito l-esimo da un potenziale della forma data. In altre parole, se rl

e la coordinata della l-esima particella, l’energia potenziale totale del sistema e:

Utot({rl}) =N

!

l=1

V(|rl ! Rl|). (24.2)

Dimostrare che per un sistema si!atto la funzione di partizione canonica e della forma Z = ZNsingle.

Calcolare la capacita termica (per w ed ! costanti).

(c). Per ! = 2 si trova la stessa capacita termica di Dulong e Petit: spiegare perche. Cosa accade per! " #?

(d). Supponendo ora invece che ! sia una assegnata funzione del volume, scrivere l’equazione di statodel sistema.

25 Buca di potenziale sferica (iv)


V(r) = 0, r $ R ; V(r) = w (r

R! 1)2, r % R, (25.1)

dove w e R sono due costanti positive aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente. Tale potenziale confina il moto di una particella classica in una regione spaziale finita.

(a). Si calcoli il volume V (") accessibile ad una particella di energia " % 0.

(b). Consideriamo un sistema di N particelle di massa m non interagenti ed identiche, confinate dalpotenziale dato; siano esse classiche e distinguibili. La funzione di partizione canonica di tale sistema eZ = ZN

single. Si calcoli Zsingle e si mostri che essa si puo scrivere nella forma

Zsingle =4#R3

3$3f(

kT

w) , (25.2)

dove $ = h(2#mkT )!1/2. Si dia la forma esplicita della funzione f .

(c). Si mostri che nel limite w " # tutta la termodinamica del sistema coincide con quella di un gasperfetto classico confinato in un volume V = 4"

3 R3.

(d). Si assuma w finito ma con w & kT , e si approssimi la funzione f con il suo sviluppo all’ordine piubasso in

"

kT/w. Si calcolino l’energia interna del sistema e la sua capacita termica a R e w costanti.Di che segno e la correzione per w finito (rispetto al caso w " #)? Perche?

73

26 Buca di potenziale sferica (v)

Si considerino N particelle classiche (di massa m, non interagenti) in una buca di potenziale sferica dellaforma:

V(r) = wr3, se r ! R ;

V(r) = ", se r > R;

dove w e una costante positiva di dimensioni opportune.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica. Si mostri che per w # 0 (ed R fisso) essa tende aquella del gas perfetto.

(b). Si calcolino l’energia libera di Helmholtz F e l’energia interna U .

(c). Si scriva l’equazione di stato; si mostri che per w # 0 (ed R fisso) essa tende a quella del gasperfetto.

(d). Si consideri la funzione di partizione di singola particella, che puo anche essere scritta comeZsingle(!) =

! !0 d" D(")e"!". Si trovi la densita degli stati di singola particella D(") nel limite R # ",

per w fisso.

Suggerimento: si tengano presenti gli integrali:! !0 d# ##e"$ = !($ + 1), dove per m intero si ha

!(m + 12 ) = (2m"1)(2m"3)...3·1

2m %1/2.

27 Buca di potenziale logaritmica sferica


V(r) = 0, r ! R ; V(r) = V0 logr

R, r $ R, (27.1)

dove V0 e R sono due costanti positive (aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente). Tale potenziale confina il moto di una particella classica in una regione spaziale finita.

(a). Si calcoli il volume V (") accessibile ad una particella di energia " $ 0.

(b). Consideriamo un sistema di N particelle unidimensionali di massa m non interagenti ed identiche,confinate dal potenziale dato; siano esse classiche e distinguibili. La funzione di partizione canonica ditale sistema e Z = ZN

single. Si calcoli Zsingle. Per quali valori di T e dei parametri essa e non divergente?

(c). Si scriva Zsingle nella forma

Zsingle =4%R3

3&3f, (27.2)

dove & = h(2%mkT )"1/2, e si dia la forma esplicita del fattore f .

(d). Dove Z non diverge, si calcolino l’energia libera di Helmholtz F (a meno di costanti additive), el’energia interna U in funzione di T e dei parametri. Qual e la dipendenza da T dell’energia media perparticella?

(e). Nelle formule ottenute, si studı il limite V0 = ", e la correzione del primo ordine in kT/V0

(f). Dove Z diverge, il sistema evidentemente non puo avere una termodinamica di equilibrio. Come sicomporta l’energia media per particella al crescere di T vicino alla divergenza di Z? Usare il risultato di(a) per tentare di spiegare qual e il significato fisico della divergenza.

74

28 Buca di potenziale logaritmica di simmetria cilindrica

Sia dato il potenziale definito da

V(x, y, z) = !, se |z| > R ;

V(x, y, z) = 0, se |z| < R ed x2 + y2 < R2 ;

V(x, y, z) = V0 logx2 + y2

R2altrimenti.

Nella formula V0 e R sono due costanti positive (aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente). Tale potenziale confina il moto di una particella classica in una regione spaziale finita.

(a). Si calcoli il volume V (!) accessibile ad una particella di energia ! " 0.

(b). Consideriamo un sistema di N particelle di massa m non interagenti, confinate dal potenziale dato;siano esse classiche e distinguibili: si calcoli Zsingle. Per quali valori di T e dei parametri essa e nondivergente?

(c). Si scriva Zsingle nella forma

Zsingle =2"R3

#3f, (28.1)

dove # = h(2"mkT )!1/2, e si dia la forma esplicita del fattore f .

(d). Dove Z non diverge, si calcoli l’energia interna U in funzione di T e dei parametri. Qual e ladipendenza da T dell’energia media per particella?

(e). Nelle formule ottenute, si studı il limite V0 = ! (in terpretando il risultato), e la correzione delprimo ordine in kT/V0

(f). Dove Z diverge, il sistema evidentemente non puo avere una termodinamica di equilibrio. Come sicomporta l’energia media per particella al crescere di T vicino alla divergenza di Z? Usare il risultato di(a) per spiegare qual e il significato fisico della divergenza.

29 Buca di potenziale ottaedrica

Sia dato il potenziale

V =V0

L(|x| + |y| + |z|), (29.1)

dove V0 e L sono due costanti positive (aventi le dimensioni di un’energia e di una lunghezza,rispettivamente). Tale potenziale confina il moto di una particella classica in una regione spaziale finita,di forma ottaedrica.

(a). Si calcoli il volume V (!) classicamente accessibile ad una particella di energia ! " 0.


single. Si calcoli Zsingle in funzione di L, V0 e T .

(c). Si calcolino l’energia interna del sistema e la sua capacita termica a L e V0 costanti.

(d). Il numero di stati di singola particella compresi tra ! ed !+d! sia D(!)d!, dove D(!) viene chiamatadensita degli stati nell’energia. Mostrare che per questa Hamiltoniana D(!) e proporzionale ad !

72 .

Suggerimento: Basta far vedere che con una densita degli stati di questo tipo si riproduce la correttafunzione di partizione canonica. Si usi il risultato

! "0 x

72 e!!x dx # $! 9

2 .

75

30 Buca di potenziale cilindrica

Consideriamo un sistema di N particelle non interagenti ed identiche, di massa m; siano esse classiche edistinguibili. Le particelle sono confinate in un recipiente cilindrico di raggio R ed altezza L, e dentro ilrecipiente sono inoltre sottoposte al potenziale 1

2m!2(x2 + y2). Possiamo dunque scrivere il potenzialecome:

V(x, y, z) = !, se x2 + y2 > R2 , oppure |z| > L/2 ;

V(x, y, z) =1

2m!2(x2 + y2) altrimenti.

(a). Si calcolino la funzione di partizione canonica, l’energia interna, e la capacita termica.

(b). Si verifichi che nel limite ! " 0 si ritrova la termodinamica del gas perfetto.

(c). Si verifichi che nel limite R " ! la Zsingle del nostro problema fattorizza nel prodotto di duefunzioni: uno dei fattori e la Zsingle di una particella libera unidimensionale confinata in un segmento dilunghezza L, mentre l’altro fattore e la Zsingle dell’oscillatore armonico bidimensionale di frequenza !.

(d). Consideriamo ora di nuovo il caso di ! ed R entrambi finiti. Supponendo che una delle due paretipiane del recipiente cilindrico sia un pistone, si calcoli la forza su di esso a temperatura costante. Siconfronti questa forza, divisa per la superficie, con la pressione del gas perfetto nelle stesse condizioni(volume e temperatura).

Suggerimento: Si studı l’energia libera F al variare di L per R ed ! costanti.

31 Buca di potenziale (i)

Sia dato il potenzialeV(r) = w(|x|! + |y|! + |z|!), (31.1)

dove w e una costante di dimensioni opportune.

(a). Si scriva la funzione di partizione canonica Zsingle. Senza calcolare esplicitamente l’integrale, si trovila dipendenza di Zsingle dalla temperatura.


single. Calcolare la capacita termica (per w ed " costanti). Cosa accade per " " !?

(c). Il numero di stati di singola particella compresi tra # ed #+d# sia D(#)d#, dove D(#) e la densita deglistati nell’energia. Mostrare che per questa Hamiltoniana D(#) dipende da # con una legge di potenza:D(#) # #", e trovare l’esponente $.

Suggerimento: Confrontare! !0 d# D(#)e"#/(kT ) con i risultati precedenti.

32 Buca di potenziale (ii)

Si considerino N particelle classiche (di massa m, non interagenti) in una buca di potenziale della forma

V(x, y, z) =1

2"(x2 + y2) + kBT0 log(1 + 2

|z|L

), (32.1)

dove ", T0, ed L sono costanti positive assegnate, le cui dimensioni sono: costante di forza ("),temperatura (T0), lunghezza (L).

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica Z. Dire se essa e definita per tutti i valori di T .

76

(b). Calcolare l’energia interna U e la capacita termica.

(c). Come si comporta l’energia media per particella al crescere di T ? Cosa succede quando T ! T0?

33 Buca di potenziale (iii)

Si considerino N particelle classiche non interagenti di massa m confinate nel potenziale:

V(r) = a |x| + b |y|1/2 + c |z|1/3, (33.1)

dove a, b e c sono tre costanti di dimensioni opportune.

(a). Calcolare Zsingle.

Suggerimento: Possono essere utili gli integrali! !0 dx e"x1/n

= n!.

(b). Calcolare l’energia interna U e la capacita termica.

(c). Mostrare che per l’Hamiltoniana data la densita degli stati di singola particella D(!) dipende da !con una legge di potenza: D(!) " !!, e trovare l’esponente ".

Suggerimento: Zsingle(#) =! !0 d! D(!)e""#

34 Sviluppo del Viriale; gas di Van der Waals

$(r)

% r0

#!

Si considerino N particelle identiche confinate in una scatola di volume V , interagenti tra di loro con ilpotenziale centrale a due corpi:

$(r) = $ per 0 < r < % ; $(r) = #! per % < r < r0 ; $(r) = 0 per r0 < r ; (34.1)

dove %, r0 e ! sono tre costanti positive (di opportune dimensioni). La funzione di partizione canonicanel limite nondegenere e:

Z =1

N !&3N

"

dr1dr2 . . . drN e""P

i<j $(|ri"rj |) =1

N !&3N

"

dr1dr2 . . . drN

#

i<j

e""$(|ri"rj |) =I

N !&3N,

(34.2)dove ogni integrale in dri e sulla scatola di volume V . Per valutare l’integrale I dobbiamo fare qualchedrastica approssimazione. Se definiamo f(r) = e""$(r) # 1, si ha:

#

i<j

e""$(|ri"rj |) =#

i<j

[ 1 + f(|ri # rj |) ] = 1 +$

i<j

f(|ri # rj |) + . . . (34.3)

Considerando solo l’ordine piu basso abbiamo:

I %"

dr1dr2 . . . drN [ 1 +$

i<j

f(|ri # rj |) ] = V N +N(N # 1)

2

"

dr1dr2 . . . drN f(|r1 # r2|)

% V N +N2

2V N"2

"

dr1dr2 f(|r1 # r2|) = V N +N2

2V N"1

"

dr f(r) = V N + 2'N2V N"1

" !

0dr r2f(r).

77

(a). Si calcoli!

dr r2f(r) usando il potenziale !(r) dato.

Suggerimento: Si ha! !0 =

! !0 +

! r0

! +! !r0

: si valuti il secondo termine sviluppando l’integrandoall’ordine piu basso in "#; si calcolino gli altri due termini esattamente.

(b). Si calcoli l’energia libera di Helmholtz F nelle approssimazioni date. Si mostri che all’ordine piubasso in N/V si ha F ! F0 +!, dove F0 e l’energia libera del gas perfetto (! " 0). Verificare che ! eestensivo.

(c). Si trovi l’equazione di stato. Si mostri che all’ordine piu basso in N/V essa coincide con l’equazionedi stato del gas di Van der Waals.

Suggerimento: Di solito l’equazione di Van der Waals si scrive per una mole come (V #b)(p+ aV 2 ) = RT ;

conviene scriverla per N arbitrario nella forma (V #Nb")(p+ N2a!

V 2 ) = NkT . All’ordine piu basso in N/V

questa e equivalente a pVNkT ! 1 + N

V (b" # a!

kT ).

35 Modello di Debye in 1d (i)

Si consideri una catena lineare di N atomi, con passo reticolare a: la lunghezza della catena e pertantoL = Na. Si assuma inoltre che le vibrazioni siano puramente longitudinali. Approssimiamo lo spettrofononico con una legge di dispersione puramente lineare: $(k) = vg|k|, dove vg e il modulo della velocitadi gruppo a centro zona.

(a). Si determini la densita dei modi (unidimensionali) D($) nelle frequenze.

(b). Si costruisca l’analogo unidimensionale del modello di Debye, e si trovi la corrispondente frequenzadi Debye $D.

(c). Si scriva l’espressione per l’energia U(T ) del modello, e la si determini nei limiti T $" e T %"

(d). Si trovi la capacita termica CV (T ) nei due limiti, e se ne dia un’interpretazione.

Suggerimento: Puo essere utile l’integrale:! !0 dx x

ex#1 = "2

6 .

36 Modello di Debye in 1d (ii)

Si consideri una catena lineare di N atomi, con passo reticolare a: la lunghezza della catena e pertantoL = Na. Si assuma inoltre che le vibrazioni siano puramente longitudinali. Con un modello di forze aprimi vicini, la densita dei modi vibrazionali nelle frequenze e (Kittel, Es. 5.1):

D($) =2N

%

1"

$2max # $2

, $ < $max; D($) = 0, $ & $max.

(a). Mostrare che l’integrale! !0 d$D($) converge, malgrado la divergenza dell’integrando. Quanto vale

questo integrale?

(b). Si proceda come nella teoria di Debye, e si calcoli l’energia interna U(T ). Ovviamente non si riescead integrare analiticamente. Lasciare dunque indicata l’integrazione in d$.

(c). Studiare U(T ) nel limite di grandi T . Quanto vale la capacita termica? Spiegare.

(d). Si studı U(T ) per basse temperature. Mostrare che la capacita termica va a zero. Con chedipendenza da T ?

Suggerimento: Se f(x) e g(x) sono due funzioni non negative, per ogni & > 0 vale l’identita:

1

&2

# !

0f(y) g(

y

a) y dy =

# !

0f(&x) g(x)xdx,

78

da cui passando al limite:

lim!!0

1

!2

! "

0f(y) g(

y

a) y dy =

! "

0[ lim!!0

f(!x)] g(x)xdx.

37 Modello di Debye in dimensione d

Vogliamo studiare il modello di Debye in dimensione d, con d arbitrario. Come al solito, si approssimi lospettro fononico con una legge di dispersione puramente lineare: "(k) = vg|k|, dove vg e il modulo dellavelocita di gruppo a centro zona, e k e il vettore d’onda d-dimensionale. Supponendo il solido di forma(iper)cubica di lato L, il volume e Ld.

(a). Si determini la densita dei modi (d-dimensionali) D(") nelle frequenze, per una assegnatapolarizzazione (a meno di una costante moltiplicativa).

Suggerimento: Passando in coordinate sferiche in d dimensioni, per integrare una funzione di simmetriasferica si ha:

"

dk1dk2 . . . dkd ! const ""

kd#1dk, dove k indica ovviamente il modulo di k.

(b). Quante polarizzazioni indipendenti sono possibili in dimensione d?

(c). Si costruisca l’analogo d-dimensionale del modello di Debye e si trovi la frequenza di Debyegeneralizzata "D. Si verifichi che per d = 3 si ritrovano le formule note (Kittel ISSP).

(d). Si scriva l’espressione per l’energia U(T ) del modello, e la si determini nei limiti T #! e T $!

(e). Si trovi la capacita termica CV (T ) nei due limiti per d arbitrario.

38 Modello di Debye generalizzato

Supponiamo che in un solido non cristallino la densita dei modi nelle frequenze si possa approssimarecome:

D(") = #"!, per 0 < " < "max ; D(") = 0 altrimenti, (38.1)

dove # ed ! sono assegnati.

(a). Si calcoli il valore di "max per un solido di N atomi (con 3N gradi di liberta vibrazionali).

(b). Si scriva l’espressione per l’energia U(T ) del modello, e si trovi come essa dipende da T nei duelimiti kT $ !"max e kT # !"max.

(c). Il caso speciale ! = 2 corrisponde ad un solido cristallino. Mostrare che le formule precedentementeottenute coincidono con quelle del modello di Debye. Che significato ha # in questo caso?

(d). Nel caso ! %= 2 esiste una velocita del suono?

39 Termodinamica di una catena lineare

Si consideri una catena lineare di N atomi, con passo reticolare a: la lunghezza della catena e pertantoL=Na. Si assuma inoltre che le vibrazioni siano puramente longitudinali in approssimazione armonica,con condizioni al contorno periodiche. Ci si limiti al caso semplice in cui solamente la costante di forzaC1 a primi vicini e diversa da zero.

Il sistema ha N modi normali, di frequenza "(ki). La funzione di partizione canonica si scrive pertanto

Z =N#

i=1

$ "%

n=0

e#n"!#(ki)

&

=N#

i=1

1

1 & e#"!#(ki), (39.1)

79

dove si e posto ! = (kBT )!1, e si e trascurata l’energia di punto zero di ciascun modo [uguale a 12!"(ki)].

(a). Nel limite N ! 1 si scriva il logaritmo della funzione di partizione come l’integrale sulla zona diBrillouin di una opportuna funzione, senza tentare di svolgere analiticamente l’integrale.

(b). Si scrivano, sempre lasciando indicati gli integrali, l’energia libera di Helmholtz F e l’energia internaU della catena.

(c). Si verifichi che nel limite di alte temperature la U porge l’analogo unidimensionale della legge diDulong e Petit. Si mostri anche che per temperature finite la U e sempre minore di quella prevista dallalegge di Dulong e Petit.

Vogliamo dimostrare che in questo sistema U va a zero come T 2 per basse temperature. Per un valorearbitrario di !, l’integrale in dk che compare in U(!) e molto complicato. Cerchiamo allora due funzioniU1(!) ed U2(!) tali che U1(!) " U(!) " U2(!), e tali che in esse compaiano integrali in dk molto piusemplici.

(d). Usando l’espressione esplicita di "(k) trovata nel corso ([Kittel-ISSP], Cap. 4) per forze a primivicini, trovare due costanti positive A e B tali che A|k| " "(k) " B|k| su tutta la zona di Brillouin.Usare questo risultato per costruire le due funzioni U1(!) ed U2(!) di cui sopra.

Suggerimento: La funzione xex!1 e monotona decrescente per valori positivi del suo argomento.

(e). Mostrare che U1(!) ed U2(!) tendono entrambi a zero come !!2 per ! # $, e trovare i duecoe!cienti.

Suggerimento: Puo essere utile l’integrale:! "0 dx x

ex!1 = !2

6 .

40 Dilatazione termica di una catena lineare

Si considerino N particelle classiche vincolate a muoversi su di una retta. Le particelle interagiscono traloro con forze a primi vicini non armoniche; inoltre la prima particella e attaccata ad una parete rigidacon una forza dello stesso tipo. L’Hamiltoniana del sistema e pertanto:

H =N

"

i=1

p2i

2m+

N"

i=1

V(xi % xi!1). (40.1)

In questa espressione V(#) e una funzione assegnata, avente minimo in #=d; si noti che x0 e fisso (x0&0),e dunque non e un grado di liberta del sistema.

(a). Quanto e lunga la catena a temperatura nulla?

(b). Supponendo di conoscere l’integrale I0(!) =! "!" d# e!"V(#), scrivere la funzione di partizione

canonica del sistema.

Suggerimento: Si valuti l’integrale in dxN con un cambiamento di variabili; lo Jacobiano eparticolarmente semplice.

(c). Supponendo anche di conoscere l’integrale I1(!) =! "!" d# #e!"V(#), dire quanto vale la lunghezza

media della catena a temperatura finita.

80

(d). Mostrare che se V e pari rispetto a d, ovvero V(d+ !) = V(d! !), allora la lunghezza e indipendentedalla temperatura. Come deve essere fatta la funzione V(!) perche la catena abbia un coe!ciente didilatazione termica positivo?

Suggerimento: Vogliamo che la lunghezza a T finito sia maggiore di quella a T =0.

Considerare ora solo la forma speciale:

V(!) = w

!

!

!

!

!

d! 1

!

!

!

!

!

, (40.2)

dove w ed " sono due costanti positive.

(e). Senza valutare esplicitamente I0(#), mostrare che la funzione di partizione canonica dipende dallatemperatura con una legge di potenza:

Z = [f(w, ")T q]N , (40.3)

e si dica quanto vale l’esponente q.

(f). Calcolare la capacita termica della catena per w ed " costanti. Verificare che per "=2 si ritrova lalegge di Dulong e Petit (in una dimensione).

41 Costante di Gruneisen

Si consideri un solido elementare (un atomo per cella), composto di N atomi: sia " il volume della cella,e V = N" il volume del solido. Si assuma inoltre che le vibrazioni siano puramente armoniche, concondizioni al contorno periodiche. Il sistema ha 3N modi normali, di frequenza $!(ki), dove " indica lapolarizzazione del modo. La funzione di partizione canonica si scrive pertanto

Z =N"

i=1

3"

!=1

#

!$

n=0

e"n"!#!(ki)

%

=N"

i=1

3"

!=1

1

1 ! e""!#!(ki), (41.1)

dove si e posto # = (kBT )"1, e si e trascurata l’energia di punto zero di ciascun modo [uguale a 12!$!(ki)].

(a). Nel limite N " 1 si scriva il logaritmo della funzione di partizione come l’integrale sulla zona diBrillouin di una opportuna funzione, senza tentare di svolgere analiticamente l’integrale.

(b). Si scrivano, sempre lasciando indicati gli integrali, l’energia libera di Helmholtz F e l’energia internaU del solido.

(c). Si verifichi che nel limite di alte temperature la U porge la legge di Dulong e Petit. Si mostri ancheche per temperature finite la U e sempre minore di quella prevista dalla legge di Dulong e Petit.

(d). Si assuma una dipendenza degli $!(ki) dal volume del solido: $!(ki) # $!(V,ki). Si scrival’equazione di stato.

Suggerimento: Nel fare la derivata di F rispetto al volume si usi la forma discreta (somma su i). Solodopo la derivazione si trasformi in un integrale sulla zona di Brillouin.

(e). Si supponga ora una dipendenza semplice tale che

% log $!(V,ki)

% log V= !& ;

%$!(V,ki)

%V= !&

$!(V,ki)

V,

dove & e una costante positiva, indipendente da " e da ki. Si scriva esplicitamente l’equazione di statoper questo caso.

81

42 Gas di molecole biatomiche 1d

Si consideri un modello unidimensionale di un gas di N molecole biatomiche noninteragenti, confinate inun segmento di lunghezza L. Siano le particelle classiche e distinguibili. L’Hamiltoniana consta di 2Ntermini cinetici e di N termini potenziali. La scriviamo numerando i 2N “atomi” per comodita comesegue:

H =N

!

i=1

"

p2i

2m+

p2N+i

2m+

1

2m!2(xN+i ! xi)

2

#

.

Dunque una “molecola” e composta dalla particella i-esima e dalla (N+i)-esima, legate da un potenzialearmonico; la “distanza di legame” si e presa per semplicita uguale a zero.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica, l’energia interna, e la capacita termica.

Suggerimento: Si passi alle coordinate normali: del baricentro e relative, per ogni molecola. Negliintegrali concernenti il potenziale si integri da !" a ", senza preoccuparsi del fatto che il sistema econfinato nel segmento di lunghezza L.

(b). Si consideri ora un potenziale “interatomico” non armonico, proporzionale a |xN+i ! xi|!, con" #= 2. Quanto vale in questo caso la capacita termica?

Suggerimento: Si risponda senza calcolare in dettaglio la funzione di partizione: guardare solo comeessa varia con la temperatura.

43 Oscillatori 1d accoppiati

Si consideri un sistema di due particelle unidimensionali descritto dall’Hamiltoniana

H =p21

2m+

p22

2m+

1

2K(q1 + q2)

2 +1

2K !(q1 ! q2)

2 (43.1)

.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica nel caso classico, come integrale nello spazio delle fasi.

Suggerimento: Nell’integrale doppio in dq1dq2 usare un semplice cambiamento di variabili (rotazione)nel piano.

(b). Disaccoppiare gli oscillatori, e trovare le frequenze dei modi normali !1 e !2. Mostrare che lafunzione di partizione trovata in (a) e funzione solo di !1, !2, e T . Cosa succede se K ! = 0?

(c). I livelli energetici quantistici permessi al sistema sono della forma (n1 + 12 )!!1 + (n2 + 1

2 )!!2, doven1, n2 possono assumere tutti i valori interi non negativi. Calcolare la funzione di partizione canonica(come somma discreta) nel caso di particelle distinguibli. Confrontare con il risultato di (a) nel limite dialte temperature.

44 Oscillatori 1d modificati (i)

Si consideri l’Hamiltoniana unidimensionale di singola particella:

H = ! !2

2m

d2

dx2+ V(x); (44.1)

V(x) = " , x $ 0 ; V(x) =1

2m!2x2 , x > 0 . (44.2)

Non si usino unita atomiche in questo esercizio.

82

(a). Alcune delle ben note autofunzioni dell’oscillatore armonico usuale sono anche autofunzionidell’Hamiltoniana data: quali?

(b). Mostrare che le autofunzioni trovate in (a) sono in realta tutte le autofunzioni dell’Hamiltonianadata. Dire quindi qual e lo spettro.

Suggerimento: Si ragioni sul numero dei nodi.

(c). Si calcolino le funzioni di partizione di singola particella Zsingle nel caso classico e quantistico; simostri che la Zsingle quantistica tende a quella classica per alte temperature.

(d). Si calcolino l’energia interna U e la capacita termica per un sistema di N particelle quantistichenon interagenti e distinguibili. Quanto vale U a temperatura nulla? Perche?

45 Oscillatori 1d modificati (ii)

Si considerino N particelle unidimensionali non interagenti, distinguibili, con Hamiltoniana di singolaparticella

H(q, p) =1

2mp2 + U(q) ; U(q) = ! per q < 0, U(q) =

1

2m!2q2 per q " 0.

(a). Si trovi lo spettro di H . Quanto vale l’energia dello stato fondamentale (energia di punto zero)?

Suggerimento: I livelli di un oscillatore armonico “normale” sono alternativamente pari e dispari perinversione q # $q.

(b). Si calcoli la funzione di partizione quantistica Zsingle, misurando le energie a partire dall’energia dipunto zero. Al solito si usi " = (kBT )!1.

(c). Si calcoli la funzione di partizione classica

Zsingle =1

h

!

dqdp e!!H(q,p) =1

2#!

!

dqdp e!!H(q,p)

(d). Si calcoli l’energia media per particella nel caso quantistico ed in quello classico. Si mostri che ledue coincidono per T % !!/kB, ovvero "!! & 1.

46 Oscillatori 1d anarmonici (i)

Si consideri un sistema di N oscillatori classici unidimensionali disaccoppiati, ciascuno di Hamiltoniana:

H(p, q) =1

2mp2 +

m!2

2q2 + $f(q), (46.1)

dove f e una funzione assegnata ed il parametro $ misura la forza della perturbazione anarmonica. SiaZ = Z($, ") la funzione di partizione canonica per un valore arbitrario di $, e sia " = 1

kT come al solito.Per $ = 0 le funzioni termodinamiche del sistema sono note esattamente; vogliamo vedere di quantocambiano, accontentandoci del primo ordine in $. Svilupperemo dunque

log Z($, ") ' log Z(0, ") + $%

%$log Z($, ")

"

"

"

"

"=0

. (46.2)

(a). Per il caso $ = 0 calcolare Z, le funzioni termodinamiche U ed F , e la capacita termica.

(b). Scrivere l’espressione di ##" log Z($, ")

"

"

"

"=0in termini di f(q).

83

(c). Mostrare che se f(q) = f0 = costante, anche U ed F cambiano di una costante; dire quanto vale.

(d). Mostrare che se f(q) e dispari, le funzioni termodinamiche non cambiano (al primo ordine in !).

(e). Si consideri il caso f(q) = |q|s, con s numero reale positivo assegnato. Si mostri che in questo casola correzione all’energia interna dipende da " con una legge di potenza:

U(!, ") ! U(0, ") + !A(m, #, s)"t, (46.3)

e si dica quanto vale t.

Suggerimento: Senza tentare di calcolare l’integrale in q, si valuti come esso dipende da " mediante uncambiamento di variabili.

(f). Nel caso s = 2 la funzione di partizione canonica Z(!, ") si calcola esattamente per valori arbitraridi !. Confrontare la U(!, ") esatta con quella trovata al punto precedente.

47 Oscillatori 1d anarmonici (ii)

Si considerino N particelle classiche unidimensionali non interagenti nel potenziale:

V(q) = aq +1

2bq2 + c

!

q +a

b

"4

dove a, b, e c sono costanti positive di dimensioni opportune.

(a). Nel caso c = 0 calcolare esattamente la funzione di partizione canonica Z, l’energia interna U , e lacapacita termica C.

(b). Quanto vale U a temperatura nulla? Perche?

(c). Il valore di C dipende dai parametri a e b? Perche?

(d). Nel caso c "= 0 il problema non si risolve esattamente. Si scriva la derivata del logaritmo dellafunzione di partizione rispetto a c, e la si calcoli per c = 0. Si usi questa derivata per valutare di quantovaria U al primo ordine in c.

Suggerimento:# !"! dx x2ne"px2

= 1·3...(2n"1)2n

$

!p2n+1 .

48 Oscillatori 1d anarmonici (iii)

Si consideri un sistema di N oscillatori unidimensionali distinguibili. Nel caso armonico lo spettroe $n = n!#, misurando le energie a partire dall’energia di punto zero. Consideriamo qui un casoanarmonico, con spettro modificato

$n(x) = $n # xn2!# = $n # x

!#$2

n ;

si ha ovviamente $n(0) = $n.

Siano Z(", x) e U(", x) la funzione di partizione canonica e l’energia interna. Al solito si e posto" = (kBT )"1; inoltre in tutto l’esercizio e spesso conveniente sostituire u = "!#.

(a). Scrivere le espressioni esatte di Z(", 0) e U(", 0).

(b). Dimostrare che, per qualsiasi valore di x, si ha

1

Zsingle(", x)

!%

n=0

$2n(x)e""#n(x) =

U2(", x)

N2# 1

N

%U(", x)

%".

84

Suggerimento: Sfruttare le relazioni fondamentali

U(!, x)

N= ! "

"!log Zsingle(!, x) =

1

Zsingle(!, x)

!!

n=0

#n(x)e"!"n(x).

(c). Usando i risultati di (a), calcolare esplicitamente il primo membro di (b) per x = 0.

(d). Calcolare"

"xlog Z(!, x) = N

"

"xlog Zsingle(!, x)

per x = 0 come funzione esplicita di u (ovvero sommando la serie).

(e). Sviluppare il logaritmo di Z(!, x) al primo ordine in x. Mostrare che la correzione anarmonicadiverge nel limite classico (ovvero u " 0).

49 * Oscillatori armonici in d=1,2,3

Sia dato un oscillatore armonico di pulsazione $ in dimensione 1, 2 e 3.

(a). Si dica qual e lo spettro nei tre casi.

(b). Si calcoli, nei tre casi, il numero N (#) di stati con energia minore di # nel limite !$/# # 1.

Suggerimento: Si trascuri l’energia di punto zero.

(c). Per i tre casi si calcoli la densita degli stati nell’energia D(#)d#.

(d). La funzione di partizione Zsingle(!) e nota dalla teoria. Verificare che i risultati precedenti sonoconsistenti con la relazione

Zsingle(!) =

" !

0d# D(#)e"!". (49.1)

Suggerimento: Possono essere utili gli integrali:# !0 d% %ne"#$ = n!

#n+1 .

50 Oscillatori 3d anisotropi

Si consideri un sistema di N oscillatori tridimensionali identici, ma distinguibli. L’Hamiltoniana classicadi ciascun oscillatore sia:

H(q,p) =3

!

#=1

$

p2#

2m+

1

2m$2

#q2#

%

, (50.1)

con 0 < $1 $ $2 $ $3.

(a). Calcolare la funzione di partizione canonica Z = ZNsingle, ed esprimere il risultato in funzione di

$ = ($1$2$3)1/3

(b). Si assuma che $ sia un parametro controllabile macroscopicamente agendo in qualche mododall’esterno sul sistema. Partendo da Z, si calcolino le funzioni termodinamiche macroscopiche U($, T ),F ($, T ), ed S($, T ).

(c). Quanto vale "U/"$ ? Il risultato e sorprendente? Si otterrebbe un risultato simile anche se l’energiapotenziale contenesse termini che non dipendono quadraticamente dalle q# ?

(d). Si considerino i livelli quantistici permessi a ciacuno degli N oscillatori:

&n1n2n3= !

3!

#=1

$#

$

n# +1

2

%

. (50.2)

85

Calcolare la funzione di partizione canonica quantistica e verificare che essa si riduce a quella classica nellimite kT ! !3.

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