Capitolo 4

Modelli matematici per lavalutazione dei derivati: dallaformula CRR alla formula diBlack-Scholes

Quanto e ragionevole pagare per entrare in un contratto d’opzione? Per af-frontare questo problema occorre specificare un modello matematico per ladinamica del sottostante. Considereremo opzioni europee su azioni, comin-ciando da un semplice modello per l’andamento dell’azione, il modello bino-miale uniperiodale, la cui generalizzazione, il modello binomiale multiperio-dale, da luogo alla formula di valutazione di Cox - Ross - Rubinstein. Questimodelli sono caratterizzati da una dinamica discreta del sottostante, in cuicioe la variazione del valore dell’azione avviene solo in un insieme di istantidi tempo numerabile. Il passaggio dal tempo discreto al tempo continuo cipermettera di introdurre la famosa formula di Black-Scholes.

4.1 Il modello binomiale uniperiodale

Il mercato che consideriamo e costituito da un’investimento senza rischiocaratterizzato da un tasso di interesse r (per fissare le idee, un conto correntebancario) e da un’azione. L’intervallo di tempo fissato e [0, T ], dove T e lamaturita dell’opzione:

• il prezzo del titolo privo di rischio e caratterizzato dal seguente processodeterministico

B0 = 1, BT = 1 + rT,

1

2

S0

S+ = S0 u

S− = S0 d

Figura 4.1: Albero binomiale uniperiodale.

dove r e il tasso di rendimento costante per il periodo.

• il prezzo dell’azione e dato dal seguente processo

S0 = s, ST =

S+ con probabilita pS− con probabilita 1− p

Il valore finale dell’azione puo essere scritto come ST = sZ,dove Z e lavariabile aleatoria di Bernoulli

Z =

u con probabilita pd con probabilita 1− p

con s > 0 dato, u, d, p costanti positive, d < u e 0 < p < 1.

Chiameremo questo mercato (B, S).

Introduciamo infine la definizione di opportunita di arbitraggio in talecontesto. Una opportunita di arbitraggio e un portafoglio di titoli dimercato h = (x, y) (con x=quantitativo di titoli B e y=quantitativo di titoliS) il cui costo a t = 0 e nullo e tale che a t = 1:

a) certamente non dara luogo ad una posizione debitoria ;

b) con probabilita non nulla puo valere qualcosa.

In simboli, il valore del portafoglio e

V ht = xBt + ySt, t = 0, 1,

A. Ramponi - MF1 3

e in particolareV h

0 = x + ys, V h1 = (1 + r)x + ysZ.

Allora si ha un’arbitraggio se V h0 = 0 e, Prob(V h

1 ≥ 0) = 1 ed inoltreProb(V h

1 > 0) > 0.

Esempio 4.1. Supponiamo che il presso spot dell’azione sia S0 = 1 e, chela scadenza dell’opzione sia 1 settimana e che il tasso d’interesse da applicaresia per questo trascurabile, r = 0. Possiamo immaginare che alla scadenzasi prospettino i due scenari:

ST = S+ = 3, e, oppure ST = S− = 1/2e.

I due broker che agiscono in questo mercato hanno opinioni differenti sui pos-sibili scenari: il broker A assegna una probabilita pA = Prob(ST = S+) = 0.6,mentre il broker B pB = Prob(ST = S+) = 0.1. Supponiamo che l’opzionedisponibile sul mercato abbia un prezzo strike K = S0 = 1 e: se ST = S+ =3, il payoff dell’opzione sara cT = c+ = 2 e, mentre se ST = S− = 1/2,l’opzione non sara esercitata e quindi cT = c− = 0 e. Un valore ragionevoleper il premio e il guadagno atteso alla scadenza,

c0 = pc+ + (1− p)c−,

ma questa quantita sara differente per i brokers A e B, che utilizzerannorispettivamente p = pA e pB, ottenendo cA

0 = 6/5 e cB0 = 1/5. Faremo pero

vedere che in entrambi i casi e possibile ottenere un guadagno, per il venditoreo l’acquirente, senza rischio, ovvero un arbitraggio.

Proposizione 4.1. Il modello binomiale a un periodo e libero da opportunitadi arbitraggio se e soltanto se

d < (1 + r) < u. (4.1)

Dimostrazione. Dimostriamo che l’assenza d’arbitraggio ⇒ la (4.1). Sup-poniamo quindi per assurdo che (1 + r) ≥ u. Allora s(1 + r) ≥ su e diconseguenza s(1 + r) > sd poiche u > d. Costruiamo quindi un portafoglioh = (s,−1), cioe vendendo allo scoperto il titolo rischioso e investendo tutti isoldi ricavati in quello privo di rischio: al tempo t = 0 il valore del portafoglioe V h

0 = 0, mentre al tempo finale T = 1 V h1 = s(1 + r)− sZ > 0 con proba-

bilita 1, poiche s(1 + r) ≥ su = S+ > S−. Allo stesso modo, si puo’ ottenereun arbitraggio supponendo per assurdo che (1 + r) ≤ d.

Dimostriamo ora che la (4.1) implica l’assenza d’arbitraggio. Consideri-amo una possibilita d’arbitraggio h = (x, y), tale che 0 = V h

0 = x + ys e cioex = −ys. Usando questa relazione, abbiamo che

V h1 = x(1 + r) + yZ =

ys[u− (1 + r)], se Z = uys[d− (1 + r)], se Z = d.

4

Assumiamo che y > 0. Allora h e una possibilita d’arbitraggio soltanto seu ≥ 1 + r oppure d ≥ 1 + r: ma questo, per la (4.1), e assurdo. Lo stessorisultato si ottiene se y < 0.

Osserviamo che la condizione d < 1+r < u implica l’esistenza di un uniconumero 0 < p∗ < 1 tale che 1 + r = p∗u + (1 − p∗)d: in altri termini, 1 + rpuo essere espresso come combinazione convessa di u e d. Ma cio implica che

E∗(ST ) = p∗S+ + (1− p∗)S− = s(p∗u + (1− p∗)d)) = s(1 + r)

ovvero che

s =1

1 + rE∗(ST ).

La formula precedente riveste una particolare importanza: ci dice che nelnostro modello (B, S) esiste un’unica probabilita (p∗, 1 − p∗) per la quale ilvalore dell’azione al tempo t = 0 uguaglia la media (attualizzata) dei valoriche l’azione avra al tempo finale T . Abbiamo quindi trasformato il modelloin modo tale che la dinamica del bene rischioso sia in realta come quella delbene non rischioso: si parla infatti di una formula di valutazione neutrale alrischio, o piu generalmente di un mondo neutrale al rischio.

Definizione 4.1.1. Nel mercato (B, S) una misura di probabilita (p∗, 1−p∗)su u, d e detta misura neutrale al rischio, o misura di martingala, se

s =1

1 + rE∗(ST ).

E’ a questo punto immediato ottenere

p∗ = (1+r)−uu−d

1− p∗ = u−(1+r)u−d

(4.2)

Possiamo piu formalmente dimostrare la seguente

Proposizione 4.2. Il modello binomiale a un periodo e libero da opportunitadi arbitraggio se e soltanto se esiste una misura di probabilita (p∗, 1 − p∗)neutrale al rischio.

Dimostrazione. Occorre solamente dimostrare la condizione sufficiente. Seesiste una misura neutrale al rischio (p∗, 1− p∗), avremo

s =1

1 + r(S+p∗ + (1− p∗)S−) ⇐⇒ s(1 + r) = sup∗ + sd(1− p∗)

A. Ramponi - MF1 5

da cui(1 + r) = up∗ + d(1− p∗).

Poiche 0 < p∗ < 1, abbiamo immediatamente che

d < 1 + r < u

che implica l’assenza di opportunita di arbitraggio.

Torniamo ora al problema principale della valutazione di un derivato chesupponiamo caratterizzato da un payoff finale cT = φ(ST ). Consideriamo unarbitrario portafoglio h = (x, y) nel nostro mercato: il suo valore al tempoiniziale e

V(h)0 = x + yS0

dove quindi x rappresenta la quantita di denaro investita al tempo inizialesul titolo senza rischio e y e invece il numero di azioni del titolo rischioso.Cerchiamo, se esiste, quel portafoglio il cui valore al tempo finale T , V

(h)T =

x(1 + r) + yST uguagli quello del derivato : deve essere

x(1 + r) + yS+ = φ(S+)x(1 + r) + yS− = φ(S−).

Poiche det

(1 + r su1 + r sd

)= s(1 + r)(d − u) 6= 0, il sistema ammette

un’unica soluzione

x∗ = Φ(S+)S−−Φ(S−)S+

(1+r)(S−−S+)

y∗ = Φ(S+)−Φ(S−)(S+−S−)

.

Il portafoglio h∗ = (x∗, y∗) replica quindi il valore del contratto derivato:affinche non ci siano arbitraggi il valore iniziale di h∗ deve quindi essere lostesso, ovvero c0 = V

(h∗)0 = x∗ + y∗s. Inserendo i valori x∗ e y∗ e riordinando

i termini, si ottiene infine

c0 =Φ(S+)S− − Φ(S−)S+

(1 + r)(S− − S+)+

Φ(S+)− Φ(S−)

(S+ − S−)s

=1

1 + r(Φ(S+)p∗ + Φ(S−)(1− p∗)).

Osserviamo che in questo modo abbiamo non solo ottenuto il valore in-iziale del derivato, il premio, ma anche una strategia che permette di replicareil valore finale del derivato: il venditore del contratto che incassa c0 e costru-isce il portafoglio h∗ e sicuro di poter onorare sempre il contratto, qualsiasicosa accada al tempo finale.

Riassumiamo il risultato nella seguente

6

Proposizione 4.3. Nel mercato (B, S) esiste un unico valore del premio c0

di un derivato per il quale non si creano opportunita di arbitraggio e tale dapermettere la replica del payoff finale del derivato Φ(ST ), qualunque sia loscenario che si presenti (S+, S−):

c0 =1

1 + rE∗(Φ(ST )) =

1

1 + r(Φ(S+)p∗ + Φ(S−)(1− p∗)),

dove (p∗, 1−p∗) e dato dalla (4.2). Inoltre, il portafoglio di replica h = (x∗, y∗)e

x∗ = Φ(S+)S−−Φ(S−)S+

(1+r)(S−−S+)= 1

1+ruΦ(ds)−dΦ(us)

u−d

y∗ = Φ(S+)−Φ(S−)(S+−S−)

= 1s

uΦ(us)−dΦ(ds)u−d

Nel caso di un’opzione call, il premio e

c0 =1

1 + rE∗(maxST−K, 0)=

1

1 + r(maxS+−K, 0p∗+maxS−−K, 0(1−p∗))

mentre per un’opzione put

p0 =1

1 + rE∗(maxK−ST , 0)=

1

1 + r(maxK−S+, 0p∗+maxK−S−, 0(1−p∗)).

4.2 Il modello binomiale multiperiodale di Cox,

Ross e Rubinstein - CRR

Il modello binomiale multiperiodale CRR e un modello a tempo discreto doveil tempo e indicizzato con t = 0, ..., T dove T e fissato. Anche in questo caso,consideriamo un mercato costituito da due titoli:

• un titolo privo di rischio il cui prezzo segue la dinamica data da

B0 = 1, Bt+1 = (1 + r)Bt,

dove r e il tasso di rendimento costante, per il periodo [t, t + 1];

• un titolo rischioso il cui prezzo segue la dinamica data da

S0 = s, St+1 = StZt,

dove s e dato e Zt, ∀t = 0, ..., T − 1 sono variabili stocastiche, indipen-denti e identicamente distribuite, definite nel seguente modo

Zt =

u con probabilita pd con probabilita 1− p

u, d, p costanti positive e d < u.

A. Ramponi - MF1 7

S0

S+ = S0 u

S− = S0 d

S++ =S0 u2

S+− =S0 u d

S−− =S0 d2

Figura 4.2: Albero binomiale ricombinante.

La dinamica del prezzo del titolo rischioso puo dunque essere rappresen-tata per mezzo di un albero ricombinante. Il valore del prezzo del titolo altempo t puo essere scritto come

St = sukdt−k, k = 0, ..., t

dove k e la realizzazione di una variabile binomiale Y e indica quante voltele variazioni del prezzo del titolo hanno assunto il valore u. Quindi, ad ogninodo dell’albero binomiale viene associata la coppia (t, k) con k = 0, ..., t.

Una strategia di portafoglio e una sequenza

ht = (xt, yt), t = 1, . . . , T

di variabili aleatorie che dipendono da S0, . . . , ST−1 (si assume che h0 = h1).Il corrispondente valore del portafoglio h e

V ht = xt(1 + r) + ytSt, t = 1, . . . , T.

I valori xt e yt sono dunque rispetivamente le quantita del titolo senza rischio edel titolo rischioso detenute nel periodo [t−1, t). Una strategia di portafoglioe detta autofinanziante se la condizione

xt(1 + r) + ytSt = xt+1 + yt+1St

vale per ogni t = 0, . . . , T − 1. Cio significa che ad ogni tempo t non c’eingresso o uscita di denaro dal portafoglio.

8

Una opportunita di arbitraggio e un portafoglio autofinanziante taleche V h

0 = 0 e, Prob(V hT ≥ 0) = 1 e Prob(V h

T > 0) > 0.

In generale e possibile dimostrare la seguente proposizione

Proposizione 4.4. Un mercato e libero da opportunita di arbitraggio se esolo se esite una misura di probabilita P ∗ equivalente a P tale che

St =1

1 + rE∗(St+1|St).

Una tale misura e detta misura di martingala equivalente o neutraleal rischio.

Consideriamo ora un derivato caratterizzato da un payoff finale XT =Φ(ST ), dove Φ -funzione contratto- e una data funzione reale. Per esempioΦ(s) = maxs − K, 0, Φ(s) = maxK − s, 0 sono le funzioni contrattoper le call e le put europee. Un derivato X e detto replicabile se esiste unportafolio autofinanziante h tale che

V hT = XT .

In tal caso, h e detto portafoglio di replica o di copertura (hedging portfolio).Se tutti i derivati possono essere replicati, il mercato si dice completo.

La nozione di completezza di un mercato finanziario e estremamente im-portante per la valutazione dei derivati: infatti, se il mercato e completo eassolutamente naturale che in assenza di oppurtunita di arbitraggio, il valoredi un qualsiasi derivato uguagli il valore del corrispondente portafoglio direplica:

Xt = V ht , t = 0, . . . , T.

Per il modello binomiale multiperiodale e possibile dimostrare la seguentiaffermazioni:

1. la condizione d < 1 + r < u e necessaria e sufficiente per l’assenza diopportunita d’arbitraggio;

2. le probabilita neutrali al rischio (o di martingala equivalente) sono dateda:

qu = (1+r)−uu−d

qd = u−(1+r)u−d

;

(4.3)

A. Ramponi - MF1 9

3. il modello CRR e completo.

Vediamo quindi come e possibile valutare un derivato in tale modello:

Proposizione 4.5 (Formula di Cox, Ross e Rubinstein). In assenzad’arbitraggio, il prezzo al tempo t = 0 di un derivato semplice X = Φ(ST ) edato da

X0 =1

(1 + r)TE∗[Φ(ST )], (4.4)

dove il valore atteso e calcolato rispetto alla misura P ∗ neutrale al rischio.Piu esplicitamente

X0 =1

(1 + r)T

T∑

k=0

(Tk

)qkuq

T−kd Φ

(sukdT−k

). (4.5)

dove qu e qd sono definite come in (4.3).

Dimostrazione. Per dimostrare questa proposizione utilizziamo il modello bi-nomiale a un periodo. Quindi l’assenza d’arbitraggio implica che d < 1+r <u. Cerchiamo, anche in questo caso, un portafoglio di replica h del derivatoX in modo tale che il prezzo del derivato uguagli il valore del portafoglio ecioe

Xt = V ht ,∀t = 0, ..., T.

Se chiamiamo Vt(k) il valore del portafoglio al nodo (t, k) dell’albero del-la dinamica del sottostante, allora, usando la proposizione (4.3), possiamocalcolare Vt(k) ricorsivamente nel seguente modo

Vt(k) = 11+r

(quVt+1(k + 1) + qdVt+1(k))

VT (k) = Φ(sukdT−k

) t = 0, . . . T, k = 0, . . . t, (4.6)

dove le probabilita neutrali al rischio qu e qd sono date da (4.3) e quindi ilportafoglio di replica al tempo t− 1 e

hB(k) = 11+r

uVt(k)−dVt(k+1)u−d

,

hS(k) = 1St−1

Vt(k+1)−Vt(k)u−d

.

In particolare, il prezzo del derivato e dato da V0(0). Dalla (4.6), abbiamoche

X0 = V0(0) =1

(1 + r)T

T∑

k=0

(Tk

)qkuq

T−kd Φ

(sukdT−k

).

10

Osserviamo cheX = Φ(ST ) = Φ(suY dT−Y ),

dove Y ha una distribuzione binomiale. Quindi, abbiamo

X0 =1

(1 + r)TE∗[Φ(ST )].

4.3 La formula di Black-Scholes

La formula di Cox, Ross e Rubinstein permette di determinare il premio diun opzione europea con prezzo strike K e maturita T (ma anche, come ve-dremo, di una americana), suddividendo l’intervallo temporale della vita delcontratto in N sottointervalli di medesima ampiezza e assumendo un mod-ello dinamico di evoluzione del sottostante di tipo binomiale. In particolare,per essere usata, e necessario stabilire i valori di u e d. In questo paragrafovedremo come, facendo crescere il numero di periodi all’infinito e aggius-tando opportunanmente i valori di r, u e d, si puo giungere alla formula diBlack-Scholes. Storicamente infatti, la teoria di valutazione dei derivati in-trodotta da Black e Scholes e precedente al modello CRR, che ne costituisceuna semplificazione.

Supponiamo di dividere l’intervallo temporale [0, T ] in N sottoperiodi diampiezza ∆t = T

N, nei quali il comportamento del bene sottostante segue un

modello binomiale multiperiodale di Cox, Ross e Rubinstein. Supponiamoche:

• r = rN con rN = RTN

. La costante R > 0 prende il nome di tassoistantaneo d’interesse.

• u = uN e d = dN , dove

uN =(1 + RT

N

)eσ√

TN ,

dN =(1 + RT

N

)e−σ

√TN ,

(4.7)

e σ > 0 e la volatilita del sottostante.

Osservazioni.

1. Il modello e privo d’arbitraggio; infatti, poiche σ > 0 si ha

dN < 1 + rN < uN .

A. Ramponi - MF1 11

2. La probabilita neutrale al rischio che indicheremo con p∗ = qN e 1− qN

rispettivamente e data da

qN =(1+RT

N )−dN

uN−dN= 1−e

−σ

√TN

eσ

√TN −e

−σ

√TN

,

1− qN = eσ

√TN −1

eσ

√TN −e

−σ

√TN

(4.8)

Proposizione 4.6. Sia N un intero fissato: il valore scontato del sottostanteal tempo T , sotto la probabilita neutrale al rischio, e dato da

1(1 + RT

N

)NST = S0e

∑Nj=1 X

(N)j ,

dove X(N)j , ∀j = 1, ..., N sono variabili indipendenti e identicamente dis-

tribuite, definite da

X(N)j =

σ√

TN

con probabilita qN

−σ√

TN

con probabilita 1− qN

(4.9)

Dimostrazione. Riscriviamo 1

(1+RTN )

N ST nel seguente modo

1(1 + RT

N

)NST =

1(1 + RT

N

)NST

S0

S0

· ... ·Sj T

N

Sj TN

· ...S(n−1) T

N

S(n−1) TN

=1(

1 + RTN

)NS0

S TN

S0

S2 TN

S TN

· ... · ST

S(n−1) TN

= S0

N∏j=1

1(1 + RT

N

)Z(N)j ,

dove, ∀j = 1, ..., N e N fissato, le variabili Z(N)j sono indipendenti, identica-

mente distribuite e definite come

Z(N)j =

Sj TN

S(j−1) TN

=

uN con probabilita qN

dN con probabilita 1− qN

Quindi, abbiamo1(

1 + RTN

)NST = S0e

∑Nj=i X

(N)j ,

12

dove X(N)j = ln

(Z

(N)j

(1+RTN )

), ∀j = 1, ..., N . Infine, per la (4.7)

X(N)j =

σ√

TN

con probabilita qN

−σ√

TN

con probabilita 1− qN

Osservazioni. Al variare di N ∈ N, le variabili

X(N)j

N

j=1sono indipen-

denti ma non sono identicamente distribuite. In particolare costituiscono unarray triangolare:

X(1)1

X(2)1 X

(2)2

...

X(N)1 · · · · · · X

(N)N

Proposizione 4.7. Sia N fissato. Il valore atteso µN = E(X(N)j ) e la var-

ianza σ2N = var(X

(N)j ) ∀j = 1, ..., N , sotto la probabilita neutrale al rischio,

sono tali chelimN→∞ NµN = −σ2T

2

limN→∞ Nσ2N = σ2T.

(4.10)

Dimostrazione. Calcoliamo direttamente la media e la varianza

µN = E[X

(N)j

]= σ

√T

nqN − σ

√T

N(1− qN) = σ

√T

N(2qN − 1),

σ2N = V ar

[X

(N)j

]= E

[(X

(N)j

)2]− E2

[X

(N)j

]

= σ2 T

NqN + σ2 T

N(1− qN)− σ2 T

N(2qN − 1)2

= 4σ2 T

NqN(1− qN).

Osserviamo che, tramite uno sviluppo in serie, abbiamo

1− e±x

ex − e−x=

x± 12x2 + o(x2)

2x + o(x2)=

1

2± 1

4x + o(x), (4.11)

che implica, sostituendo x = σ√

TN

,

2qN − 1 = −1

2σ

√T

N+ o(

1√N

), limN→∞

qN = limN→∞

(1− qN) =1

2,

A. Ramponi - MF1 13

da cui seguono le (4.10):

limN→∞

Nσ

√T

N(2qN − 1) = σ2T lim

N→∞

√N

σT(2qN − 1) = −σ2T

2,

limN→∞

N4σ2 T

NqN(1− qN) = σ2T.

Abbiamo bisogno ora del seguente risultato:

Teorema 4.3.1 (Teorema del limite centrale per array triangolari).

Sia

Y(N)j

N

j=1, N ≥ 1 una successione di variabili indipendenti tali che

∀j = 1, ..., N

µN = E[Y

(N)j

]< ∞ e NµN

N→∞→ µ ∈ Rσ2

N = V ar[Y

(N)j

]< ∞ e Nσ2

NN→∞→ σ2 ∈ R+.

Allora per ogni funzione f : R −→ R continua e limitata

limN→∞

E

[f

(N∑

j=1

Y(N)j

)]= E [f(Y )] ,

dove Y ∼ N (µ, σ2).

Dimostrazione. Sia φY (N)(t) la funzione caratteristica della variabile Y (N) =∑Nj=1 Y

(N)j . Dunque poiche le Y

(N)j sono indipendenti ed identicamente dis-

tribuite

φY (N)(t) = E(exp(itN∑

j=1

Y(N)j )) =

N∏j=1

E(exp(itY(N)j )) = E(exp(itY

(N)1 ))N .

Dallo sviluppo di Taylor otteniamo in t = 0

exp(itY(N)1 ) = 1 + i

t

N(NY

(N)1 )− t2

2N2(N2(Y

(N)1 )2) + o(

t2

N2) =

da cui facendo il valore atteso e considerando che E[Y

(N)1

]= µN e E

[(Y

(N)1 )2

]=

σ2N + µ2

N otteniamo

E(exp(itY(N)1 )) = 1 +

itNµN − t2Nσ2N/2

N− t2

2N2(N2σ2

N) + o(t2

N2).

14

Dunque, per ogni t

limN→+∞

φY (N)(t) = limN→+∞

(1 +

itNµN − t2Nσ2N/2

N− t2

2N2(NµN)2 + o(

t2

N2)

)N

= exp(itµ− t2σ2

2) = φY (t)

dove Y ∼ N (µ, σ2). Dal Teorema (4.4.1) segue la tesi. ¤

In particolare, per le variabili del nostro modello, cio implica il seguente

Corollario 4.1. Per ogni funzione f : R −→ R continua e limitata

limN→∞

E

[f

(N∑

j=1

X(N)j

)]= E [f(X)] ,

dove X ∼ N (−σ2T/2, σ2T ).

Consideriamo ora, un’opzione put europea con prezzo strike K e maturitaT . Il prezzo pt = Π(t) al tempo t = 0, per la (4.4), e dato da

p(N)0 =

1(1 + RT

N

)NEQ [max (K − ST , 0)] . (4.12)

Teorema 4.3.2.lim

N→∞p

(N)0 = p0,

dovep0 = e−RT KN [−d2]− S0N [−d1],

con N [x] funzione di distribuzione di una N(0, 1) e

d1 =1

σ√

T

(ln

(S0

K

)+

(R +

σ2

2

)T

)

d2 =1

σ√

T

(ln

(S0

K

)+

(R− σ2

2

)T

).

Dimostrazione. Per la (4.12) e per la Proposizione (4.6), il prezzo al tempot = 0 della put europea e dato da

p(N)0 = EQ

[max

(K(

1 + RTN

)N− S0e

∑Nj=1 X

(N)j , 0

)]= EQ

[f

(X

(N)j

)],

A. Ramponi - MF1 15

con

X(N)j

variabili indipendenti e tali che vale la proposizione (4.7). Inoltre,∀x ∈

R f(x) = max

(K

(1+RTN )

N − S0ex, 0

)e una funzione continua e limitata.

Quindi, possiamo applicare il Teorema (4.3.1) ottenendo che

p0 = limN→∞

EQ

[f

(N∑

j=1

X(N)j

)]= EQ

[max

(e−RT K − S0e

X , 0)]

, (4.13)

dove X ∼ N(−σ2T

2, σ2T

). Notiamo che abbiamo usato il fatto che

K

(1 + RT

N

)−N

Ne una successione di numeri reali tale che

limN→∞

K

(1 +

RT

N

)−N

= Ke−RT .

A questo punto, calcoliamo la media a destra della relazione (4.13). Os-serviamo che possiamo scrivere X = −1

2σ2T + σ

√TY dove Y ∼ N(0, 1), e

quindi

P0 = E[max

(e−RT K − S0e

− 12σ2T+σ

√TY , 0

)]

=1√2π

∫ +∞

−∞max

(e−RT K − S0e

− 12σ2T+σ

√Ty, 0

)e−

y2

2 dy.

Ora la disuguaglianza

e−RT K − S0e− 1

2σ2T+σ

√Ty ≥ 0

e soddisfatta se e soltanto se

−RT + ln K ≥ ln S0 − 1

2σ2T + σ

√Ty

ovvero

y ≤ 1

σ√

T

(− ln

(S0

K

)−RT +

1

2σ2T

)= −d2.

Quindi p0 e uguale a

P0 =1√2π

∫ −d2

−∞

(e−RT K − S0e

− 12σ2T+σ

√Ty

)e−

y2

2 dy

=e−RT K√

2π

∫ −d2

−∞e−

y2

2 dy − S0√2π

∫ −d2

−∞e−

12σ2T+σ

√Tye−

y2

2 dy

= e−RT KN [−d2]− S0√2π

∫ −d2

−∞e−

12(y−σ

√T)

2

dy.

16

Con un cambio di variabile si ha

1√2π

∫ −d2

−∞e−

12(y−σ

√T)

2

dy =1√2π

∫ −d2+σ√

T

−∞e−

t2

2 dt = N [−d1],

con −d1 = −d2 + σ√

T , da cui la tesi.

Utilizzando la relazione di parita put-call,

c0 − p0 = S0 −Ke−RT

e sfruttando le proprieta della funzione di distribuzione normale, N [−x] =1−N [x], abbiamo il seguente

Corollario 4.2.lim

N→∞c(N)0 = c0

dovec0 = S0N [d1]− e−RT KN [d2],

con N [x] funzione di distribuzione di una N(0, 1) e

d1 =1

σ√

T

(ln

(S0

K

)+

(R +

σ2

2

)T

)

d2 =1

σ√

T

(ln

(S0

K

)+

(R− σ2

2

)T

).

La formula ora ottenuta e nota come la formula di Black - Scholes:fornisce il valore del premio per un contratto di opzione call (put) di tipoeuropeo in funzione dei dati contrattuali T e K, dei dati di mercato S0 e Re di un parametro che caratterizza la variabilita del rendimento sottostante,la volatilita σ,

c0 ≡ c(0, S0, K, T,R, σ).

Osserviamo che, essendo gli altri parametri S0 e R noti o accessibili di-rettamente da osservazioni di mercato, l’applicazione della formula di Black-Scholes richiede solo la stima della volatilita σ, che e effettuata con tecnichestatistiche su serie storiche o mediante l’inversione (numerica) della funzioneprezzo c(0, S0, K, T, R, σ) a partire dai prezzi osservati. In tal caso si definiscevolatilita implicita quel valore σ∗ tale che

c0 = c(0, S0, K, T,R, σ∗)

dove c0 e il prezzo di mercato dell’opzione con maturita T , strike K, prezzospot S0 e tasso risk-free istantaneo R.

A. Ramponi - MF1 17

Esempio 4.2. Consideriamo una put europea con i seguenti dati: S0 = 50e,K = 50e, r = 10% (composto continuamente) e T = 3 mesi. Data unavolatilita σ = 30%, il premio dell’opzione secondo la formula Black-Scholese

p0 = Ke−rT N [−d2]− S0N [−d1]

con

d2 =1

σ√

T(ln(

S0

K)+(R− σ2

2)T ) =

1

0.3√

0.25(ln(

50

50)+(0.1− 0.32

2).25) = 0.09,

d1 = d2 + σ√

T = 0.24

da cui segue

N [−d2] = N [−0.09] = 0.46, N [−d1] = N [−0.24] = 0.40

che implicano

p0 = 50e−0.1·0.25 · 0.46− 50 · 0.40 = 2.43e.

¤

Il valore di un contratto europeo, call o put, in un istante di tempointermedio, 0 ≤ t ≤ T e dato rispettivamente da

ct = StN [d1(t)]−Ke−r(T−t)N [d2(t)], (4.14)

pt = Ke−r(T−t)N [−d2(t)]− StN [−d1(t)] (4.15)

doved2(t) = 1

σ√

T−t(ln(St

K) + (r − σ2

2)(T − t))

d1(t) = d2(t) + σ√

T − t(4.16)

4.3.1 Le lettere greche e l’equazione di Black-Scholes

Sia c(t, x, K, T − t, r, σ) la funzione prezzo di un’opzione call di tipo europeo.Le derivate di c rispetto a queste variabili sono estremamente importanti perlo studio delle proprieta del valore della call. Si definiscono in particolare

• δ(t) = ∂∂x

c(t, x, K, T − t, r, σ), Delta;

• Γ(t) = ∂2

∂x2 c(t, x, K, T − t, r, σ), Gamma;

• Θ(t) = ∂∂t

c(t, x,K, T − t, r, σ), Theta;

18

• V (t) = ∂∂σ

c(t, x, K, T − t, r, σ), Vega;

• ρ(t) = ∂∂ρ

c(t, x, K, T − t, r, σ), Rho;

Per convenienza notazionale indicheremo d’ora in poi con c(t, St il valoredella call europea c(t, x, K, T − t, r, σ) poiche focalizzeremo il nostro interessealle derivate parziali rispetto alle due variabiil x e St. Poniamo inoltre x = St

ed esplicitiamo la dipendenza dei valori d1 e d2 dalle variabili (t, x), d1(t, x),d2(t, x). E’ possibile allora dimostrare la seguente

Proposizione 4.8. Sia c(t, x) il valore di un’opzione call europea nel modellodi Black-Scholes, con maturita T e prezzo strike K. Allora

δ(t, x) = N [d1(t, x)]

Γ(t, x) = N ′[d1(t, x)] 1xσ√

T−t=

exp−(d21(t,x)/2)√2π

1xσ√

T−t

Θ(t, x) = −(

xσ2√

T−t(

exp−(d21(t,x)/2)√2π

) + rKe−r(T−t)N [d2(t, x)])

Esplicitiamo ora la relazione che intercorre tra le greche ora calcolate: siha

Θ(t, x) + rxδ(t, x) +1

2x2σ2Γ(t, x) = rc(t, x).

Infatti

− xσ

2√

T − t(exp−(d2

1(t, x)/2)√2π

)− rKe−r(T−t)N [d2(t, x)] + rxN [d1(t, x)]+

1

2x2σ2 exp−(d2

1(t, x)/2)√2π

1

xσ√

T − t= r(xN [d1(t, x)]− rKe−r(T−t)N [d2(t, x)]).

Abbiamo quindi dimostrato che il valore c(t, x) di una call europea nelmodello di Black-Scholes soddisfa la seguente equazione alle derivate parziali(PDE) di tipo parabolico, a coefficienti non lineari

∂∂t

c(t, x) + rx ∂∂x

c(t, x) + 12x2σ2 ∂2

∂x2 c(t, x) = rc(t, x), (t, x) ∈ (0, t)× (0, +∞)

c(T, x) = maxx−K, 0, ∀x ≥ 0(4.17)

L’equazione (4.17) e chiamata equazione di Black-Scholes. Si puo in realtadimostrare che l’unica soluzione u(t, x) di (4.17) dove T , K, r e σ sonocostanti assegnate e

u(t, x) = xN [d1(t, x)]− rKe−r(T−t)N [d2(t, x)]

ovvero il valore di opzione europea al tempo t in cui il valore del sottostantee St = x.

A. Ramponi - MF1 19

4.3.2 Il modello dinamico a tempo continuo e la valu-tazione neutrale al rischio

Abbiamo ottenuto la formula di Black-Scholes come limite del valore diun’opzione call (put) nel modello binomiale multiperiodale CRR. Una con-seguenza delle proprieta del modello considerato e la caratterizzazione delladinamica del sottostante: abbiamo in particolare (Corollario (4.1)) che

ST

e−rT= S0e

X

dove X ∼ N(−σ2T2

, σ2T ) che possiamo riscrivere come

ST = S0e(r−σ2/2)T+σBT

dove BT ∼ N(0, T ). Puo’ essere in realta dimostrato piu precisamente chenel limite N → +∞, la dinamica del sottostante tende in legge per ognit ∈ [0, T ] ad una variabile aleatoria

St = S0e(r−σ2/2)t+σBt

dove Bt e un processo stocastico noto come moto Browniano o processo diWiener.

Definizione 4.3.1. Un processo stocastico Btt≥0 si dice un moto Browni-amo o processo di Wiener, se

1. B0 = 0 con probabilita 1;

2. per ogni t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn, gli incrementi del processo

Bt1 −Bt0 , Bt2 −Bt1 , · · · , Btn −Btn−1

sono variabili aleatorie indipendenti;

3. per ogni 0 ≤ s < t, la variabile aleatoria

Bt −Bs

e una gaussiana di valore atteso E(Bt − Bs) = 0 e varianza var(Bt −Bs) = t− s: la sua densita di probabilita e dunque

f(x) =1√

2π(t− s)exp

(x2

2(t− s)

), x ∈ R.

20

Osserviamo che il valore della call europea e dato da

c(t, x) = xN [d1(t, x)]−Ke−r(T−t)N [d2(t, x)] = e−r(T−t)E(maxST −K, 0)

dove x = St e ST = St exp((r − σ2/2)(T − t) + σ(BT − Bt)). La probabilitasotto cui ST ha la legge ottenuta (come limite nel modello CRR) si chiamaprobabilita (o misura) neutrale al rischio. Abbiamo in questo modo ottenutouna rappresentazione della soluzione dell’equazione differenziale alle derivateparziali (4.17) come valore atteso di una funzione (il maxST − K, 0) diun processo stocastico (il moto browniano geometrico ST ). Tale processo ecaratterizzato dalla seguente proprieta:

E(St) = S0e(r−σ2/2)tE(eσBt) = S0e

(r−σ2/2)tE(eσ√

tZ)

dove Z ∼ N (0, 1). Poiche E(exZ) = ex2/2, si ha

E(St) = S0e(r−σ2/2)t+σ2t/2 = S0e

rt.

Sotto la misura neutrale al rischio, il valore atteso del sottostante si comportacome un bene senza rischio, il cui rendimento (relativo) Rt = (St − S0)/S0

atteso e

E(Rt) = E

(St − S0

S0

)= ert − 1.

Concludiamo questa sezione osservando che la tecnica di valutazione delleopzioni europee puo essere estesa (nell’ambito di questo modello) ad un qual-siasi altro derivato il cui payoff finale sia φ(ST ), il cui valore al tempo t equindi

Π(t, Φ) = e−r(T−t)E(φ(ST ))

dove ST = St exp((r − σ2/2)(T − t) + σ(BT −Bt)).

Esempio 4.3. Consideriamo un contratto forward su un bene sottostanteil cui valore, sotto la misura neutrale al rischio, segua un moto brownianogeometrico, ST = St exp((r − σ2/2)(T − t) + σ(BT − Bt)). Poiche il payofffinale e Φ(ST ) = ST −K, abbiamo, come prima

ft = e−r(T−t)E(ST−K) = e−r(T−t)(Ste(r−σ2/2)tE(eσ

√tZ)−K) = St−e−r(T−t)K,

dove K e il prezzo di consegna. Inoltre f0 = 0, che implica S0 − e−rT K = 0,da cui otteniamo K = S0e

rT .

A. Ramponi - MF1 21

4.4 Richiami

Variabili aleatorie, processi stocastici e martingale. Dato una spaziodi probabilita (Ω,F , P ), una variabile aleatoria (reale) e una funzione X :Ω → R misurabile, tale cioe che X−1(B) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ F , perogni boreliano B ⊂ R.

La funzione FX(x) = P (X ≤ x) si definisce funzione di distribuzione dellavariabile aleatoria X. Una variabile aleatoria si dice assolutamente continuase esiste una funzione f , densita, tale che,

FX(x) =

∫ x

−∞f(t)dt.

Il valore atteso di X e definito come

E(X) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx

se E(|X|) < +∞, mentre la varianza e

var(X) = E((X − E(X))2) = E(X2)− (E(X))2,

se E(X2) < +∞. Piu in generale, per una variabile aleatoria assolutamentecontinua si ha che

E(h(X)) =

∫ +∞

−∞h(x)f(x)dx

se E(|h(X)|) < +∞.

Dato (Ω,F , P ) spazio di probabilita, un processo stocastico Xtt∈R+ , euna famiglia di variabili aleatorie Xt : Ω → R parametrizzata da un indicet che interpretiamo come un tempo, t ∈ R+. Un processo puo quindi esserevisto come una funzione di due variabili, (t, ω): per ogni fissato t, X(·)t

e dunque una variabile aleatoria, mentre per ogni fissato ω, X(ω)· e unafunzione di t che chiamiamo traiettoria del processo.

Una filtrazione Ft e una famiglia di sotto σ-algebre di F non decrescente,i.e. Fs ⊆ Ft per ogni s < t. Ad un processo possiamo generalmente associareuna filtrazione naturale, ovvero Ft = σXs, s ≤ t la piu piccola σ-algebrarispetto alla quale Xs e misurabile, per s ∈ [0, t]. Uno spazio di probabilitafiltrato e uno spazio di probabilita con una filtrazione, (Ω,F , Ftt≥0, P ):un processo stocastico si dice adattato alla filtrazione Ftt≥0 se Xt e Ft-misurabile per ogni t ≥ 0.

Se t ∈ N, il processo Xt = Xn, n ∈ N, si dice processo discreto.

22

Sia (Ω,F , Ftt≥0, P ) uno spazio di probabilita filtrato: un processo sto-castico Xt si dice una martingala se per ogni t ≥ 0 E(|Xt|) < +∞ e

E(Xt|Fs) = Xs

o, nel caso di processi discreti

E(Xn+1|Fn) = Xn

dove E(X|F) e il valore atteso condizionato rispetto alla σ-algebra F di X.

Le funzioni caratteristiche Sia X una variabile aleatoria reale definita suuno spazio di probabilita (Ω,F , P ) dotata di densita f . Si definisce funzionecaratteristica di X la funzione a valori complessi

φX(t) = E(eitX) =

∫ +∞

−∞eitxfX(x)dx.

Osserviamo che

|φX(t)| ≤∫ +∞

−∞|eitx|fX(x)dx ≤ 1.

Vale il seguente

Teorema 4.4.1. Sia X1, X2, . . . , Xn, . . . una successione di variabili aletoriee sia φn(t) = φXn(t) la corrispondente successione delle funzioni caratteris-tiche. Se esiste φ(t) = limn→+∞ φn(t) e se φ(t) e la funzione caratteristica diuna variabile aleatoria reale X, allora per ogni funzione F continua e limitata

limn→+∞

E(F (Xn)) = E(F (X)).