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1 Amaldi, Fisica.verde, Zanichelli editore 2017

Capitolo 11

L’energia e la quantità di moto

Amaldi, Fisica.verde, Zanichelli editore 2017


Il lavoro

La definizione che la fisica dà del lavoro stabilisce che:

Quindi compie lavoro il

sollevatore quando alza il

bilanciere sopra la testa e

mentre si alza in piedi;

perchè si compia del lavoro è necessario che una forza sia

applicata a un corpo che si sposta.

invece non compie lavoro quando

resta fermo con il bilanciere sollevato.



Il lavoro

Quando la forza e lo spostamento hanno la

stessa direzione e lo stesso verso, il lavoro è il

prodotto dei moduli dei due vettori:

In questo caso, la forza mette o mantiene in movimento il corpo a

cui è applicata: il lavoro è positivo ed è detto lavoro motore.

Forza costante e parallela allo spostamento



Il lavoro

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del lavoro è il

newton per metro , chiamato anche joule (J):

Si compie il lavoro di 1 J sollevando di

1 m un corpo che pesa 1 N, ovvero

che ha una massa di circa 1 hg.

Unità di misura

N m

1 J = 1 N 1 m = 1 N m



Il lavoro

Quando la forza e lo spostamento hanno

la stessa direzione ma versi opposti, il

lavoro è il prodotto dei moduli dei due

vettori preceduto dal segno «meno»:

Il segno «–» descrive il fatto che la forza, essendo opposta allo

spostamento, si oppone al moto: il lavoro compiuto dalla forza è

negativo ed è detto lavoro resistente.

Forza costante e antiparallela allo spostamento



Il lavoro

Una forza perpendicolare allo spostamento non

asseconda né ostacola il moto del corpo: compie

lavoro nullo.

Sulla roulotte agiscono :

la forza-peso, perpendicolare allo

spostamento, che non compie lavoro;

la forza dell’auto, parallela, che

compie lavoro positivo;

le forze di attrito, antiparallele, che

compiono lavoro negativo.

Forza costante e perpendicolare allo spostamento



Il lavoro

Quando la forza è inclinata rispetto allo

spostamento, la si scompone nei due vettori

componenti, uno parallelo e l’altro

perpendicolare allo spostamento:

Poiché il lavoro di è nullo,

Forza costante, inclinata rispetto allo spostamento

F

il lavoro compiuto da è uguale al lavoro di , vettore

componente di nella direzione di .

F F

F s

caso 1:

parallelo a F s

caso 2:

antiparallelo a F s



Il lavoro

Applicando le formule della trigonometria

al triangolo rettangolo ABC, si ottiene:

La formula trigonometrica

cos cosF AB AC F

da cui:

cosW F s F s

cioè:



Il lavoro

Sintesi dei vari casi



La potenza

La grandezza che misura la rapidità con

cui un sistema compie lavoro è chiamata

potenza.

La potenza di un sistema è il rapporto tra il

lavoro compiuto dal sistema e l’intervallo di

tempo impiegato:

Il valore della potenza indica il lavoro compiuto in un secondo.



La potenza

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della potenza è il

joule al secondo (J/s), detto watt (W):

Un watt è la potenza di un sistema che

fa il lavoro di un joule in ogni secondo.

Unità di misura

1 J1 W = = 1 J/s

1 s

Un ciclista in gara può sviluppare una

potenza di oltre 1 kW.



Il kilowattora

Spesso il lavoro viene espresso in kilowattora anziché in joule.

WP

t

Perciò un kilowattora equivale a 3,6 milioni di joule.

Un kilowattora (kWh) è il lavoro compiuto in un’ora da un sistema

che produce la potenza di un kilowatt (103 W).

Dalla formula:

si ricava: W P t

e quindi:

3 3 6 61 kWh = 10 W 3,6 10 s 3,6 10 W s = 3,6 10 J.



L’energia

Per fare qualsiasi lavoro si

spende energia.

L’energia è una grandezza che misura la capacità di un sistema

di compiere lavoro.

Come il lavoro, nel Sistema Internazionale l’energia è misurata in

joule. Spesso, al di fuori del SI, si usano i kilowattora.



Varie forme di energia

Esistono molte forme di energia:



L’energia cinetica

Ogni corpo in movimento può compiere lavoro su un altro corpo.

L’energia cinetica di un corpo di massa m che si muove con

velocità di modulo v è data dalla formula:

Per esempio, una palla da bowling

compie lavoro sui birilli perché li sposta.

Questo lavoro è fatto a spese dell’energia

cinetica della palla.



Energia cinetica e lavoro

L’energia cinetica può anche essere definita in termini di lavoro:

l’energia cinetica di un corpo è uguale al lavoro compiuto per dare

al corpo, inizialmente fermo, la velocità con cui si sta muovendo.

Inoltre, se un corpo possiede un’energia cinetica iniziale Ki , il

teorema dell’energia cinetica afferma che:

dove Wtot è il lavoro della forza risultante sul corpo, uguale alla

somma dei lavori delle singole forze, presi ognuno con il proprio

segno.



Il lavoro della forza-peso

Anche un corpo fermo può compiere lavoro, pur non avendo

energia cinetica: se si trova in alto può compiere lavoro quando

cade e prende velocità.

Ogni volta che un corpo di massa m

scende per un dislivello h la forza-peso

compie un lavoro dato da:

Il lavoro è fatto dalla forza-peso, che è

l’unica forza in azione durante la caduta.



L’energia potenziale gravitazionale

Per un corpo vicino alla superficie della Terra, si definisce

l’energia potenziale gravitazionale Up come il lavoro che

compie la forza-peso quando il corpo, dalla sua posizione, è

portato in una posizione di riferimento scelta ad arbitrio.

Se il corpo ha massa m e si trova ad altezza h dal livello di

riferimento, si ha:



Il livello di riferimento

L’energia potenziale gravitazionale Up

dipende dalla scelta del livello di riferimento.

Qual è l’energia potenziale gravitazionale

del gatto in figura, che ha massa 4 kg?

Se il livello di riferimento è il suolo, h = 3,0 m:

2 24,0 kg 9,8 m/s 3,0 m 1,2 10 JpU

Se il livello di riferimento è il davanzale della finestra, h = 0 m:

24,0 kg 9,8 m/s 0 m 0 JpU

Se il livello di riferimento è il tetto, h = - 5,0 m:

2 24,0 kg 9,8 m/s 5,0 m 2,0 10 JpU



L’energia potenziale elastica Una molla allungata o compressa può

compiere lavoro quando viene lasciata

andare.

Quindi una molla non a riposo possiede

un’energia, detta energia potenziale elastica.

L’energia potenziale elastica Ue di una molla è il lavoro che compie

la forza elastica quando la molla ritorna alla sua posizione di riposo.

In base a questa definizione:

Ue = 0 se la molla è a riposo;

Ue > 0 perché la forza elastica punta sempre

verso la posizione di riposo ed è quindi

sempre parallela allo spostamento verso O.



Il lavoro della forza elastica

Il modulo della forza elastica non è

costante: mentre la molla torna a riposo

(la distanza x da O diminuisce) la forza

diminuisce in base alla legge di Hooke

Per calcolare il lavoro compiuto da Fe bisogna ricordare che:

eF kx

il lavoro di una forza parallela allo spostamento è

uguale all’area della superficie sotto il grafico F-x.

Quindi: 21

2 2e

s ksW ks



Lavoro e energia potenziale elastica

Per definizione, il lavoro compiuto dalla forza elastica mentre la

molla torna alla posizione di riposo è uguale all’energia potenziale

elastica della molla quando è allungata o compressa della

quantità s.

Perciò la formula che indica il valore dell’energia potenziale

elastica di una molla è:



La conservazione dell’energia meccanica (1)

L’energia meccanica di un corpo è la somma della sua energia

cinetica e della sua energia potenziale.

Il carrello fermo in

alto ha solo energia

potenziale.

Mentre scende,

l’energia potenziale

diminuisce e quella

cinetica aumenta

dello stesso valore.

Quando arriva in

basso ha solo

energia cinetica e

ha la massima

velocità.



La conservazione dell’energia meccanica (2)

in assenza di attriti, l’energia meccanica totale di un sistema (energia

cinetica più energia potenziale) si conserva, cioè rimane costante.

Si dimostra la legge di conservazione dell’energia meccanica:

In formule:

N.B.: l’energia meccanica è costante in ogni momento, non solo

negli istanti iniziali e finali del moto.



L’energia interna

L’energia meccanica di un sistema si conserva solo in condizioni

ideali di assenza di attrito.

Nella realtà agiscono altre forze (es.: attriti, urti, ecc.) che

impediscono all’energia meccanica di conservarsi:

quando un meteorite tocca il suolo non

ha più né energia potenziale, né cinetica;

un’automobile che si ferma perde la sua

energia cinetica.

In questi casi l’energia meccanica che manca non è andata

distrutta: si è trasformata in energia interna dei corpi e dell’ambiente.

L’energia interna di un corpo è la somma delle energie delle

particelle che lo compongono; un suo aumento di solito si

manifesta come un aumento di temperatura.



La conservazione dell’energia totale

L’energia meccanica del meteorite si trasforma in energia

interna del terreno e dell’ambiente nella zona dell’impatto: il

suolo si affossa e liquefà per il calore sviluppato durante l’urto;

Nel bilancio energetico occorre tenere conto di tutte le forme di

energia:

l’energia totale di un sistema (meccanica, interna, elettrica,

elettromagnetica, …) si conserva.

l’ energia cinetica dell’auto si

traforma in energia interna dei

freni, della ruota, dell’asfalto e

dell’aria vicina che si riscaldano.



Le trasformazioni di energia

L’energia totale di un processo non cambia, ma durante il processo

e. potenziale e. cinetica e. rotazionale e. elettrica e. meccanica

l’energia si trasforma.

(nel lago) (durante la ( nella turbina) (prodotta da (nella lavatrice)

. caduta) alternatore)



La quantità di moto (1)

Se due corpi hanno la stessa velocità, l’esperienza insegna che è

più difficile fermare il corpo di massa maggiore.

Infatti, la forza per fermare in Δt = 0,20 s

una palla di m = 0,46 kg che ha velocità

v = 10 m/s è:

Invece per fermare un rugbista di 80 kg,

alla stessa velocità, nello stesso tempo:

10 m/s0,64 kg 23 N

0, 20 s

vF ma m

t

310 m/s80 kg 4,0 10 N

0, 20 s

vF ma m

t



La quantità di moto (2)

Per descrivere e misurare queste proprietà del moto,

si definisce la quantità di moto di un corpo come il prodotto della

sua massa per la sua velocità:

La quantità di moto è una grandezza vettoriale che ha la stessa

direzione e lo stesso verso del vettore velocità.

Il suo modulo si misura in kg ∙ m/s.



L’impulso di una forza

Se una forza è applicata a un corpo per un intervallo di tempo

c , si definisce impulso della forza il prodotto del vettore per :

Accompagnare la palla del servizio significa

prolungare il tempo di applicazione della forza,

e quindi imprimerle un impulso maggiore.

L’unità di misura dell’impulso è la stessa della

quantità di moto: N ∙ s = kg ∙ m/s.

Ft F t



Il teorema dell’impulso

Moltiplicando entrambi i membri per Δt e esplicitando , si ottiene:

E’ possibile riscrivere il secondo principio della dinamica in

termini di variazione della quantità di moto e impulso della forza:

vF ma m

t

f i f i f iF t m v m v v mv mv p p p

v

Ovvero:

La variazione della quantità di moto di un corpo è uguale all’impulso

della forza che agisce su di esso (teorema dell’impulso).



La quantità di moto di un sistema (1)

Consideriamo un sistema costituito da due carrelli collegati da

una molla.

Inizialmente sono fermi perché trattenuti

da un filo.

La quantità di moto totale del sistema, a ogni istante, è la somma

vettoriale delle quantità di moto di ciascun carrello. Perciò:

Quindi ogni carrello ha quantità di moto

uguale a zero.

Tagliando il filo, i due carrelli si

allontanano con velocità uguali, ma di

verso opposto .

0 0 0;itotp 1 2 1 2 1 1 0

ftot f f f f f fp p p mv mv mv mv

2 1f fv v

i ftot totp p la quantità di moto totale si conserva.



La quantità di moto di un sistema (2)

Stesso esperimento, ma con un carrello di massa doppia dell’altro.

Anche in questo caso la quantità di moto totale del si conserva:

Tagliando il filo, il carrello di massa doppia si allontana con metà

della velocità dell’altro .

121 2 1 1 2 2 2 2 2 22 0

f itot f f f f f f totp p p m v m v m v m v p

121 2f fv v

La quantità di moto di ciascun corpo cambia; invece la quantità di

moto totale del sistema non cambia, cioè si conserva.



La conservazione della quantità di moto

Nei due esperimenti il sistema dei due carrelli è soggetto a:

forze interne: quelle che ogni carrello esercita sull’altro. Per il

terzo principio della dinamica sono uguali e opposte;

forze esterne: forza-peso e reazione vincolare del suolo che si

bilanciano (i carrelli sono in equilibrio lungo la verticale).

La legge di conservazione della quantità di moto afferma che:

Quindi la forza totale è zero e, per il teorema dell’impulso, la

quantità di moto totale non cambia.

se la forza esterna risultante che agisce su un sistema è zero (perché

è nulla o perché le forze esterne si bilanciano) la quantità di moto

totale del sistema si conserva.



Si ha un urto quando due corpi si

avvicinano fino a scontrarsi (es.: due

palle da biliardo).

durata dell’impatto breve rispetto alla durata del moto;

forze interne molto grandi rispetto alle forze esterne.

Le caratteristiche dell’urto sono:

Due corpi che si urtano si comportano come un sistema non

soggetto a forze esterne; quindi la loro quantità di moto totale si

conserva.

Gli urti



Un urto si dice elastico se i corpi dopo la deformazione subita

durante l’impatto, riprendono la loro forma senza perdere energia.

Quindi:

in un urto elastico, oltre alla quantità di moto, si conserva l’energia

cinetica totale dei corpi che interagiscono.

L’urto elastico (1)

Una pallina con velocità urta

un’altra pallina identica ferma.

Prima dell’urto si ha:

, 1 2 0tot primap p p mv mv

2 2

, 1 2

1 10

2 2tot primaK K K mv mv

v



Dopo l’urto, la prima pallina si

ferma e la seconda si muove con

la stessa velocità che aveva la

prima. Quindi:

L’urto elastico (2)

Quindi, dopo l’urto si ha:

, 1 2 0tot dopop p p mv mv

2 2

, 1 2

1 10

2 2tot dopoK K K mv mv

v

Confrontando i risultati prima e dopo l’urto si verifica che:

, ,tot prima tot dopop p

, ,tot prima tot dopoK K



Un urto si dice anelastico se i corpi dopo l’urto si muovono assieme.

In un urto anelastico l’energia cinetica non si conserva (si

conserva solo la quantità di moto).

L’urto anelastico (1)

Se la velocità iniziale del

pattinatore è , prima dell’urto

si ha:

, 1 2 1 1 1 10tot primap p p m v m v

1v

Come esempio di urto anelastico consideriamo un pattinatore che

si avvicina a una pattinatrice ferma per poi proseguire assieme.



Dopo l’urto i due pattinatori si muovono

assieme con velocità .

L’urto anelastico (2)

Per la conservazione della quantità di moto deve essere:

, 1 2tot dopop m m v

Quindi, dopo l’urto si ha:

v

, , 1 1 1 2 tot prima tot dopop p m v m m v

Da cui è possibile ricavare la velocità finale :

11

1 2

mv v

m m

v



Nei moti di rotazione la quantità di moto non si conserva perchè

cambia continuamente la direzione del vettore velocità.

Il momento angolare (1)

Si definisce allora la grandezza momento

angolare L.

Come il momento di una forza, anche il

momento angolare si calcola rispetto a un

punto O del piano.

Per un punto materiale che si muove in un piano, L è dato da:



Alcune osservazioni sulla formula del momento angolare:

Il momento angolare (2)

è la distanza tra il punto O e la retta a

cui appartiene il vettore ;

i due segni distinguono il verso del moto:

si prende il «+» quando è antiorario

rispetto a O, e il «-» quando è orario.

Se il punto materiale percorre una

traiettoria circolare si sceglie il punto O nel

centro della traiettoria. In caso di moto

antiorario, il momento angolare è:

rp

L r m v



Per un corpo rigido, si può dimostrare che la formula del

momento angolare diventa:

Il momento angolare del corpo rigido

I è una nuova grandezza, detta momento d’inerzia del corpo

rigido, che si misura in kg∙m2.



Il momento d’inerzia dipende dalla massa del corpo e da come

essa è distribuita attorno all’asse di rotazione.

Il momento d’inerzia del corpo rigido

In generale, a parità di massa, è maggiore il momento d’inerzia

di un corpo che ha poca massa vicino all’asse di rotazione e

molta massa lontano dall’asse.

Per questo motivo il momento d’inerzia cambia a seconda della

forma del solido e dell’asse di rotazione scelto.

Per calcolare il momento d’inerzia, il solido

viene immaginato come somma di moltissime

piccole parti, ognuna delle quali descritta dal

modello del punto materiale.



Formule del momento d’inerzia



Mettere in rotazione un oggetto significa aumentare di il suo

momento angolare rispetto al centro O.

Variazione del momento angolare

Per fare ciò occorre applicare per un certo tempo una forza che

produca un momento rispetto a O.

L

Quindi:

Il momento risultante delle forze fa variare il momento angolare.



Il momento angolare totale di un sistema si conserva se il momento

risultante delle forze esterne che agiscono su di esso è nullo.

Conservazione del momento angolare (1)

Infatti, se M = 0 segue che e quindi L è costante.

Esempio: sulla ruota di bicicletta sospesa, sia la

forza-peso che la forza vincolare sono

applicate nel centro di rotazione e

quindi hanno momento nullo perché è

nulla la loro distanza da O.

In assenza di attriti, la ruota conserva

il proprio momento angolare: continua

a girare con la stessa velocità

angolare.

0L M t



Anche nel caso del ragazzo che ruota sullo

sgabello il momento risultante delle forze

esterne è nullo e il momento angolare

si conserva.

Conservazione del momento angolare (2)

Però se stringe le braccia il suo momento

d’inerzia diminuisce (maggior massa si trova

vicino all’asse di rotazione).

Per la conservazione del momento angolare,

poiché I diminuisce, la sua velocità angolare

ω aumenta.

L I

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