Capitolo 1

Richiami di ottica lineare

Per trattare le applicazioni di materiali organici in optoelettronica e fotonica è necessario richiamare delle conoscenze di base nel campo dell’elettromagne-tismo classico ed in quello di più recente sviluppo dell’ottica nonlineare. Nel corso del presente capitolo richiameremo i concetti fondamentali dell’ottica classica per definire il formalismo all’interno del quale tratteremo gli argomenti. Il formalismo quello poi utilizzato nel capitolo 3 riguardante l’ottica nonlineare del secondo e del terzo ordine 1.1 Equazioni di Maxwell e propagazione per onde

Nel ricavare le leggi di propagazione della radiazione luminosa nei mezzi

materiali possiamo partire dalle equazioni di Maxwell:

tDJHrot∂∂

+= (1.1.1)

tBErot∂∂

−= (1.1.2)

ρ=Ddiv (1.1.3)

0 =Bdiv (1.1.4) in cui )t,r(J è la densità corrente, ),( trρ è la densità di carica libera, ),( trE

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ed ),( trH sono i vettori rispettivamente del campo elettrico e del campo

magnetico, ),( trD e ),( trB sono i vettori dei campi induzione elettrica e magnetica. Ad esse si aggiungono le relazioni costitutive, che descrivono la risposta del mezzo alle perturbazioni elettromagnetiche:

PED +⋅= 0ε (1.1.5)

)(0 MHB +⋅= µ , (1.1.6) dove ),( trP e )t,r(M descrivono rispettivamente la polarizzazione elettrica e la magnetizzazione del mezzo (momento di dipolo elettrico o magnetico indotto per unità di volume), 0ε e 0µ sono le permeabilità elettrica e magnetica del vuoto. Nel seguito si considereranno mezzi amagnetici, per i quali il vettore di

polarizzazione magnetica →M è nullo e HB 0µ= .

E’ ben noto che dalle equazioni (1.1.1)-(1.1.4) è possibile ricavare l’equazione di D’Alembert, che regola la propagazione delle onde elettromagnetiche nei mezzi materiali. Nel caso di un mezzo omogeneo ed isotropo ed in assenza di cariche libere ( 0),( =trρ ) e correnti ( 0)t,r(J = ) possiamo applicare l’operatore rotore alla (1.1.2) ed ottenere:

tBrotErotrot∂∂ −= (1.1.7)

ovvero:

Hrott

EdivgradE 02

∂∂

−=+∇− µ (1.1.8)

dove 2∇ è l’operatore di Laplace. Sostituendo nella (1.1.8), a destra la (1.1.1) ed a sinistra l’espressione:

PdivEdiv 1)( 0ε

−= (1.1.9)

ottenuta dalla (1.1.3) imponendo 0),( =trρ , si ha:

)( 102

2

00

2 PEt

PdivgradE +∂

∂−=−∇− εµ

ε . (1.1.10)

Applicando la condizione di omogeneità del mezzo, per cui 0 =Pdiv , e

riordinando i termini si giunge alla equazione d’onda non omogenea in forma

Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare 9

classica:

2

2

02

2

002

tP

tEE

∂

∂=

∂

∂−∇ µεµ . (1.1.11)

Nel caso in cui il mezzo sia il vuoto la polarizzazione è ovviamente nulla e l’equazione diventa omogenea:

02

2

002 =

∂

∂−∇

tEE εµ , (1.1.12)

e prevede che le onde si propaghino con velocità pari a 001c µε= .

Nel caso di un mezzo dielettrico omogeneo qualsiasi, l’equazione non omogenea (1.1.11) mostra come la polarizzazione indotta nel mezzo agisca come termine di sorgente. Essa dà luogo ad irraggiamento di campo elettromagnetico, che si sovrappone a quello di eccitazione, modificandolo, e la cui ampiezza e sfasamento dipendono dalle proprietà del mezzo. Sfruttando la condizione di isotropia generalmente in elettromagnetismo classico si approssima la dipendenza della polarizzazione dal campo elettrico con una relazione lineare:

EP ⋅⋅= χε0 (1.1.13)

dove per il momento che la suscettività dielettrica lineare χ sia reale. Si ha quindi:

2

2

002

2

002

tE

tEE

∂

∂=

∂

∂−∇ χεµεµ (1.1.14)

ovvero:

0)1(2

2

002 =

∂

∂+−∇

tEE χεµ , (1.1.15)

che mostra che la propagazione avviene analogamente al caso del vuoto qualora si consideri che la costante dielettrica del mezzo vale:

rεεχεε 00 )1( =+= . (1.1.16) Si definiscono allora le costanti secondarie v ed n che, nel caso di mezzi omogenei isotropi e non dispersivi. sono date da:

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nc

kv

rr=⋅===

εµεµµεω 111

00

(1.1.17)

orrrn

εεεµε =≅⋅= , (1.1.18)

dove k è la costante di propagazione, v è la velocità di fase dell’onda, indipendente dalla direzione di k , ω è la pulsazione dell’onda, rε e rµ sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica relative ed n è l’indice di rifrazione del mezzo.

Nel caso in cui un materiale dielettrico sia assorbente, da un punto di vista formale risulta conveniente descrivere l'assorbimento aggiungendo all'indice di rifrazione una componente immaginaria, detta coefficiente di estinzione, che sarà in generale funzione di punto. L’indice di rifrazione sarà quindi rappresentato dalla grandezza complessa:

)r(jn)r(n)r(n~ ir += (1.1.19) dove i pedici r e i denotano la parte reale e immaginaria dell'indice di rifrazione. Spesso il coefficiente di estinzione viene indicato con la lettera greca )r(κ .

Si fa spesso uso del coefficiente di attenuazione di potenza [1.1], definito come la frazione della potenza assorbita per unità di lunghezza:

( ) ( )rnkr i02=α (1.1.20) Il coefficiente di attenuazione di potenza viene introdotto considerando un sottile fascio di raggi che si propagano lungo la direzione z e di potenza P(z); introduciamo il coefficiente α(z) di un raggio tramite la relazione:

( ) ( )( )zPz

dzzdP α

−= (1.1.21)

Tale relazione stabilisce che la potenza dP persa in un tratto di lunghezza dz é proporzionale alla potenza stessa tramite il coefficiente α; poiché P decresce con la propagazione, dP/dz é negativo, perciò α sarà positivo. Quindi α(z) é il tasso di perdita di energia per unità di lunghezza. Integrando, la potenza in ogni posizione é data in funzione della potenza iniziale P0:

( )( )∫−

=

z

0'dz'z

0ePzPα

(1.1.22) Nel caso particolare in cui il coefficiente di attenuazione di potenza sia costante

Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare 11

lungo la struttura guidante, la formula si semplifica nella

( ) zePzP α−= 0 (1.1.23) 1.2 Anisotropia ottica

In alcuni mezzi non è più possibile fare l’ipotesi ordinaria che essi, attraversati dalla radiazione luminosa, si comportino in modo isotropo. In molti casi è la struttura stessa del materiale a determinare un comportamento otticamente anisotropo, altre volte, la presenza di campi elettrici o magnetici, oppure la presenza di sforzi meccanici, può indurre anisotropia in un materiale isotropo o alterare le caratteristiche di un materiale già intrinsecamente anisotropo. Ciò influisce radicalmente sulla propagazione della radiazione luminosa, dando luogo a fenomeni di carattere tensoriale. In generale con anisotropia si intende, la dipendenza della risposta dalla direzione della sollecitazione.

Per dare una prima schematica descrizione dell’anisotropia, possiamo utilizzare il modello elementare di sistema anisotropo dell’oscillatore armonico bidimensionale di figura 1.1. Una massa m è vincolata da due coppie di molle disposte su assi ortogonali, le cui costanti elastiche siano diverse. Ne segue che se applichiamo una forza di fissata intensità lungo la direzione orizzontale e poi la stessa forza, in intensità, lungo quella verticale, osserveremo degli spostamenti diversi della massa perché le molle sull’orizzontale hanno una costante elastica diversa di quelle sulla verticale.

Supponiamo, ora, di applicare una forza F come in figura 1.1; essa causa uno spostamento S che non avviene lungo la stessa direzione, poiché il rapporto tra le componenti orizzontale e verticale di S non è uguale all’analogo rapporto per la F . La risposta del sistema può quindi non avere la stessa direzione della sollecitazione.

Si vedrà, ora, quali siano le conseguenze dell’anisotropia sulle proprietà

F S

m

Figura 1.1

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ottiche di un materiale. La risposta di un materiale sottoposto all’azione di campi elettro-magnetici può essere descritta, con un semplice modello introdotto da Lorentz, schematizzando il materiale come un insieme di elettroni legati elasticamente a certe posizioni di riposo. Se si studia il comportamento di tali elettroni sotto l’effetto del campo elettro-magnetico si trova che l’effetto fondamentale è quello legato al campo elettrico; ne segue che si trascureranno le azioni magnetiche (forza di Lorentz) e ci si riferirà al solo aspetto elettrico.

Nel caso in cui la struttura del materiale presenti anisotropia, ogni elettrone viene schematizzato come un oscillatore armonico anisotropo simile a quello in figura 1.1 ma in tre dimensioni. Esistono anisotropie intrinseche del materiale, dovute ad esempio alla struttura microscopica del materiale (es. polimeri organici polati o stirati), e anisotropie indotte che si possono ottenere ad esempio sottoponendo il materiale ad un forte campo elettrostatico o ad una forte compressione. Qualunque sia l’origine della anisotropia, la sua presenza ci costringe a trattare il legame tra il campo elettrico e il vettore intensità di polarizzazione P con relazioni tensoriali. Come abbiamo ricordato nel paragrafo 1.1, nel caso isotropo la polarizzazione indotta è parallela al campo elettrico ed è legata ad esso per mezzo di un fattore scalare che è indipendente dalla direzione di applicazione del campo. Essendo poi PED 0 +⋅= ε si può scrivere ED ⋅= ε . Nel caso anisotropo bisogna riscrivere la relazione (1.1.13) in forma tensoriale:

jiji EP ⋅⋅= χε0 con zyxji ,,, = . (1.2.1)

Le grandezze ijχ sono le componenti del tensore simmetrico della suscettività dielettrica, rispetto ad una terna di assi cartesiani zyx ,, ; il pedice i indica la componente relativa al campo indotto, j la componente di quello dell’onda che si propaga. Per l’induzione elettrica, in modo più compatto si può scrivere:

ED ⋅= ε (1.2.2)

dove ε è il tensore dielettrico, avendo supposto trascurabili gli effetti nonlineari che verranno trattati in seguito.

Per materiali privi di assorbimento e di attività ottica, si trova che esistono tre direzioni privilegiate tali che scegliendo gli assi coordinati x,y,z parallelamente ad esse il tensore dielettrico si diagonalizza ottenendo:

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

EEE

00

0000

DDD

εε

ε . (1.2.3)

Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare 13

dove x,y,z definiscono il sistema degli assi principali ed xε , yε e zε sono dette costanti dielettriche principali. L’anisotropia si manifesta quando le grandezze

xε , yε e zε non sono tutte uguali fra loro. D’ora in poi si farà l’ipotesi che gli assi coordinati coincidano con gli assi dielettrici principali. Va notato che, come per i materiali isotropi, anche per quelli anisotropi esistono dei fenomeni di dispersione per cui l’equazione (1.2.3) si riferisce al regime monocromatico. Le costanti dielettriche dipendono dalla frequenza del campo ed in generale dipende da essa anche la direzione degli assi dielettrici principali. Quest’ultimo fenomeno è detto dispersione degli assi [1.1].

Esistono anche materiali anisotropi dal punto di vista magnetico, che però non sono di nostro interesse. Si considereranno quindi mezzi per i quali l’intensità del campo magnetico H e l’induzione B sono collineari.

Accanto alle costanti dielettriche principali introduciamo le velocità principali di fase xv , yv e zv e gli indici di rifrazione principali nx, ny ed nz, definiti in analogia al caso isotropo dalle relazioni:

0

1µεα

α =v (1.2.4)

αα ε rn = , (1.2.5)

dove z,y,x=α , avendo indicato con αε r le costanti dielettriche. Tutte le grandezze che abbiamo definito sono caratteristiche del mezzo e responsabili dell’anisotropia. Avere, quindi, delle costanti dielettriche diverse a seconda delle componenti del campo elettrico significa osservare velocità di fase distinte a seconda della polarizzazione del campo elettrico.

I materiali anisotropi si dividono in due categorie. La prima è quella dei mezzi uniassici. In essi due delle costanti dielettriche principali, ad esempio xε e yε , sono uguali; l’asse z in questo caso coincide con l’asse ottico, essendo essa la direzione di propagazione lungo la quale un onda elettromagnetica vede sempre gli stessi indici di rifrazione qualunque sia la sua polarizzazione. La seconda è quello dei cristalli biassici. In essi le tre costanti dielettriche principali sono tutte diverse fra di loro, in questo caso si può verificare che si hanno due assi ottici. Naturalmente nel caso in cui zyx εεε == si torna al caso di un materiale isotropo.

Esempio – Doppia rifrazione

Descriviamo ora uno degli effetti che l’anisotropia può produrre nella propagazione di un’onda. Ci si riferisce alla rifrazione di un onda piana

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monocromatica attraverso una superficie di separazione piana fra un mezzo isotropo ed uno anisotropo.

Si consideri il caso in cui un’onda provenga da un mezzo isotropo e incida ortogonalmente sulla superficie di un mezzo anisotropo. Si suppone che il piano di figura 1.2 (ortogonale alla superficie di separazione) coincida con quello degli assi dielettrici principali x e z e che il vettore spostamento associato all’onda incidente Di oscilli in tale piano.

Si vede facilmente che il vettore D all’interno del mezzo anisotropo è parallelo a Di. Le componenti di E lungo gli assi coordinati si ottengono da quelle di D tramite la (1.2.3):

x

xx

DEε

= ; 0=yE ; z

zz

DEε

= ; (1.2.6)

essendo zx εε ≠ il vettore E non è collineare a D . Si può calcolare facilmente

l’angolo β fra D ed E [1.1], ottenendo:

( ) ( ))()(

2 γεεγεε

βtg

tgtgxz

xz

⋅+⋅−

= . (1.2.7)

Sappiamo che in un mezzo anisotropo l’energia elettromagnetica si propaga

nella direzione del vettore di Poynting HES ×= . Data l’isotropia magnetica del materiale, il campo H nel secondo mezzo è diretto ortogonalmente al piano della figura (così come nel primo mezzo). Perciò il vettore di Poynting forma un angolo con la normale. Non vale, dunque, la legge di Snell-Cartesio. Il raggio rifratto viene detto straordinario. Supponiamo invece che Di sia diretto

Figura 1.2

Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare 15

ortogonalmente al piano di figura 1.2 il vettore D entro il materiale anisotropo è diretto lungo uno degli a.d.p.(l’asse y) e quindi E è parallelo a D . Il vettore di Poynting è diretto lungo la normale alla superficie di separazione. Il raggio rifratto procede come previsto nella legge di Snell-Cartesio è viene detto raggio ordinario. In generale se il vettore Di non è diretto né parallelamente né ortogonalmente al piano di figura, lo si può scomporre in due componenti (parallela e ortogonale al piano di figura) che come già visto nei due casi precedenti produrranno due onde piane con vettori di Poynting differenti. Quello che si osserva, dunque, è che pur incidendo un solo raggio luminoso, nel mezzo se ne propagano due, uno ordinario ed uno straordinario, come mostrato in figura 1.3.

Per il raggio ordinario si ottiene semplicemente:

yv

εµ ⋅=

1 (1.2.8)

yxk εµω ⋅⋅= . (1.2.9)

Per il raggio straordinario la velocità di fase dipende da una combinazione

di xε e zε dipendendo dall’angolo formato tra il vettore di propagazione e l’asse z. Per tale raggio si ha un indice di rifrazione [1.1]:

( )( ) ( )γγ

γ2222 cos sinnn

nnnzx

xz

⋅+⋅

⋅= (1.2.10)

dalla quale si possono ricavare le altre costanti.

Il caso appena visto è quello della doppia rifrazione di un’onda piana da un mezzo isotropo verso un mezzo anisotropo, la quale procedendo con una certa polarizzazione può scindersi in due onde piane con stato di polarizzazione differente. Questo è un fenomeno importante che si verifica nei mezzi anisotropi

Figura 1.3

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e mostra che in essi non possono propagarsi onde piane arbitrariamente scelte ma solo alcune di esse. 1.3 Ellissoide degli indici

Nello studio della propagazione di un’onda elettromagnetica in un materiale anisotropo conveniente utilizzare la rappresentazione del mezzo mediante l’ellissoide degli indici. Questo approccio di tipo geometrico nasce dalla definizione di una funzione che contiene tutte le informazioni necessarie allo studio dei materiali anisotropi. Sfruttando l’ellissoide degli indici [1.1] è possibile trovare per ogni direzione di k , direzione di propagazione dell’onda, le direzioni consentite per D ed i corrispondenti indici di rifrazione.

L’equazione dell’ellissoide degli indici può essere scritta nel seguente modo [1.1]:

12

2

2

2

2

2=++

zyx nz

ny

nx . (1.3.1)

L’ellissoide ha gli assi coincidenti con gli assi dielettrici principali ed nx, ny, e nz sono gli indici di rifrazione relativi essi. Riportiamo in figura 1.4 la sua rappresentazione grafica.

n2

nx ny

nz

z

x

y

n1

k

Figura 1.4

Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare 17

Per ricavare il valore degli indici di rifrazione che un’onda piana esperimenta nel propagarsi nel mezzo, dato l’ellissoide degli indici, è sufficiente che si applichi nell’origine degli assi il vettore di propagazione k e si calcoli la direzione e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse ottenuta come intersezione tra l’ellissoide ed il piano passante per l’origine ed ortogonale a k . Le direzioni dei due semiassi forniscono le due possibili direzioni di oscillazione del vettore D , mentre le lunghezze di tali semiassi rappresentano i corrispondenti indici di rifrazione n1 ed n2.

Nel caso dei mezzi uniassici, in cui nx = ny ≠ nz, l’ellissoide e’ una superficie di rivoluzione, con asse di simmetria lungo z, a sezione circolare. Se in tale mezzo si fa propagare un’onda con il vettore k diretto lungo z, i due semiassi del cerchio divengono uguali, quindi e’ consentito qualunque stato di polarizzazione ortogonale a k . La direzione z e’ dunque una direzione particolare a cui si da’ il nome di asse ottico. Nei mezzi uniassici esiste cosi’ un solo asse ottico (da cui il nome uniassici) ed il valore comune nx = ny = no e’ detto indice ordinario, mentre nz = ne si dice indice straordinario.

Estendendo tale trattazione al caso dei materiali biassici, nei quali nx≠ny≠nz, mediante considerazioni geometriche si trova che per essi esistono due assi ottici. Questi sono caratterizzati dal fatto che quando un’onda piana ha il vettore d’onda k diretto lungo uno di tali assi, l’ellisse di intersezione degenera in un cerchio. Come conseguenza, il vettore D per tale onda può essere orientato arbitrariamente nel piano ortogonale a k .

Esempio - Lamine di ritardo

Una conseguenza della anisotropia dielettrica è il fenomeno della birifrangenza ottica, nel quale la velocità di fase di un onda che si propaga in un materiale anisotropo dipende dalla direzione di polarizzazione del suo campo elettrico. Un esempio di applicazione della birifrangenza si ha con le lamine di ritardo. Con riferimento alla figura 1.5, si consideri una lamina parallelepipeda di un materiale birifrangente avente gli assi dielettrici principali orientati parallelamente agli spigoli. In generale basta supporre che gli indici nx ny siano diversi tra loro; nel caso in cui sia yx nn > l’asse x viene detto “lento” mentre l’asse y “veloce”. Supponiamo che un’onda piana monocromatica polarizzata linearmente ed individuata dal vettore D incida ortogonalmente alla lamina. Scomponendo tale vettore nelle componenti lungo gli assi x e y si ha che ogni componente vede un indice di rifrazione diverso; ciò provoca uno sfasamento tra le due componenti pari a:

( )yx nnd−

⋅=∆

λπϕ 2 . (1.3.2)

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dove d è lo spessore della lamina e λ è la lunghezza d’onda. A seconda dello sfasamento introdotto abbiamo diversi tipi di lamine. Ad esempio una lamina che introduca uno sfasamento tra le due componenti di 2/π viene detta a 4/λ e trasforma la polarizzazione lineare di un fascio ottico in circolare. Una lamina a

2/λ ruota la polarizzazione dell’onda di 90°. Riferimenti bibliografici 1.1. E.Hecht, Optics, Addison Wesley Publishing Company, 3rd edition, 1997

M.Born, E.Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, 1975 J.D.Jackson, Elettrodinamica classica, Zanichelli, 1984

Figura 1.5