Cap.2 - Metodo della Rigidezzaย ยท le rigidezze delle singole aste, cioรจ per ogni elemento ๐ รจ...
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Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2019/โ20)
A cura di Filippo Bertolino: ottobre 2019 Pag 1
CAP. 2 โ METODO DELLA RIGIDEZZA E STRUTTURE RETICOLARI PIANE
2.1 Introduzione Nel primo capitolo abbiamo introdotto il concetto di matrice di rigidezza. Adesso dobbiamo spiegare
come assemblare gli elementi per formare una struttura, come considerare le condizioni al contorno e come
risolvere le equazioni algebriche del sistema. Per spiegare tutti questi aspetti verrร usata una struttura
reticolare piana: si tratta di una struttura molto semplice, ma che ha anche un notevole interesse pratico. I
concetti e le procedure che verranno illustrate sono applicabili altrettanto bene anche a strutture di diverso
tipo.
Unโasta capace di resistere a carici di trazione/compressione, una biella, รจ cosรฌ semplice che non sarร
difficile calcolarne la matrice di rigidezza a partire da semplici considerazioni di carattere fisico. Ciรฒ non รจ
vero per la maggior parte degli elementi, e nellโottavo capitolo saranno illustrati i metodi generali per la
generazione delle loro matrici di rigidezza.
In ciรฒ che segue, ogni elemento sarร considerato uniforme, connesso al resto della struttura attraverso
delle cerniere collocate alle sue estremitร , linearmente elastico e caricato in direzione del proprio asse. Gli
spostamenti che verranno rappresentati negli schizzi illustrativi, sono molto esagerati: nella realtร gli
spostamenti devono essere piccoli. Entro i limiti di queste ipotesi, le seguenti analisi sono esatte, non
approssimate.
Consideriamo solo il cosรฌ detto metodo della rigidezza, in base al quale si calcolano i coefficienti di
rigidezza e le incognite principali che ci proponiamo di calcolare sono gli spostamenti. La seguente
discussione circa la rigidezza di elementi e struttura assomiglia a quella comparsa nellโarticolo di Turner,
Clough, Martin e Topp del 1956.
2.2 Equazioni della rigidezza della struttura Come esempio utilizzeremo la struttura rappresentata in fig.2.2.1. I nodi e le aste sono stati numerati in
modo arbitrario. Indichiamo con i simboli ๐1, ๐2 e ๐3 le rigidezze delle singole aste, cioรจ per ogni elemento ๐ รจ valida la seguente equazione:
๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ =๐ด๐โ๐ธ๐
๐ฟ๐โ ๐๐ [2.2.1]
dove: ๐๐ indica la forza che agisce in direzione assiale sullโi-esimo elemento
๐๐ indica lโallungamento che subisce lโi-esimo elemento
๐ด๐ , ๐ธ๐ , ๐ฟ๐ indicano lโarea della sezione trasversale, il modulo elastico del materiale e la
lunghezza dellโelemento i-esimo.
Lโeq. [2.2.1] si puรฒ ricavare ricordando che:
a) per uno stato di trazione semplice, abbiamo: ๐๐ =๐๐
๐ด๐
b) per definizione, la deformazione vale: ๐๐ =โ๐ฟ๐
๐ฟ๐=
๐๐
๐ฟ๐
c) รจ valida la Legge di Hooke: ๐๐ = ๐ธ๐ โ ๐๐
da cui: ๐๐ =๐๐
๐ด๐= ๐ธ๐ โ ๐๐ = ๐ธ๐ โ
โ๐ฟ๐
๐ฟ๐= ๐ธ๐ โ
๐๐
๐ฟ๐
Fig.2.2.1 โ Struttura reticolare piana.
2 1
F
y,v
x, u
3
3
1 2
45ยฐ
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Eliminiamo i vincoli a terra e la forza applicata ๐น ed immaginiamo che ognuno dei tre nodi subisca un
piccolo spostamento, prima in direzione orizzontale ๐ฅ, poi in direzione verticale ๐ฆ, mentre tutti gli altri nodi
restano fermi. In ognuno dei sei casi possibili (due spostamenti per i tre nodi), possiamo calcolare le forze
esterne che devono essere applicate alla struttura per garantirne lโequilibrio statico nella configurazione
deformata.
Per procedere applichiamo il Principio dei Lavori Virtuali, che in questo caso รจ molto semplice perchรฉ sono
assenti le azioni interne di flessione ๐ e taglio ๐ e le azioni normali ๐ che agiscono sulle aste sono costanti.
Per iniziare applichiamo una forza nel nodo n.1 e indichiamo con ๐ป1 e ๐1 le sue componenti in direzione
orizzontale e verticale; inoltre imponiamo che gli spostamenti degli altri nodi siano nulli. Dalla struttura
eliminiamo lโasta verticale n.1 che risulta scarica, in quanto unisce due cerniere a terra e su di essa non
agiscono carichi esterni.
Fig.2.2.2 โ Schema necessario per il calcolo degli spostamenti orizzontali e verticali del nodo n.1.
Le azioni interne che agiscono sulle aste valgono:
1) asta 2: ๐2 = โโ2 โ ๐1
2) asta 3: ๐3 = ๐ป1 + ๐1
Per calcolare lo spostamento orizzontale del nodo n.1 dobbiamo applicare, nello stesso nodo di una struttura
fittizia, una forza unitaria orizzontale. In questo caso le azioni interne saranno le seguenti:
1) asta 2: ๐2 = 0
2) asta 3: ๐3 = 1
Lโapplicazione del PLV conduce alla seguente equazione:
1 โ ๐ข1 = โซ๐ป1 โ 1
๐ธ3 โ ๐ด3โ ๐๐ฅ + โซ
๐1 โ 1
๐ธ3 โ ๐ด3โ ๐๐ฅ =
๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐ 1
๐ป1 โ ๐ฟ3๐ธ3 โ ๐ด3
+๐1 โ ๐ฟ3๐ธ3 โ ๐ด3
๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐ 1
Per calcolare lo spostamento verticale del nodo n.1 dobbiamo applicare, nello stesso nodo di una struttura
fittizia, una forza unitaria verticale. In questo caso le azioni interne saranno le seguenti:
1) asta 2: ๐2 = โโ2
2) asta 3: ๐3 = 1
In questo caso, lโapplicazione del PLV conduce alla seguente equazione:
1 โ ๐ฃ1 = โซ๐ป1 โ 1
๐ธ3 โ ๐ด3โ ๐๐ฅ + โซ
๐1 โ 1
๐ธ3 โ ๐ด3โ ๐๐ฅ + โซ
(โโ2 โ ๐1) โ (โโ2)
๐ธ2 โ ๐ด2
๐๐๐๐ 3
๐๐๐๐ 1
=๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐ 1
๐ป1 โ ๐ฟ3๐ธ3 โ ๐ด3
๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐ 1
+๐1 โ ๐ฟ3๐ธ3 โ ๐ด3
+2 โ ๐1 โ ๐ฟ2๐ธ2 โ ๐ด2
Ricordando la definizione (2.2.1) della rigidezza, possiamo riscrivere le stesse equazione nel modo seguente:
๐ข1 =๐ป1๐3+๐1๐3
๐ฃ1 =๐ป1๐3+๐1๐3+2 โ ๐1๐2
Se le forze applicate devono essere tali da provocare solo lo spostamento orizzontale ๐ข1 senza quello
verticale, bisogna che tra di esse vi sia un preciso rapporto che si puรฒ calcolare imponendo il seguente
vincolo:
๐ฃ1 = 0
2 1 H1
3
3
2
V1
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da cui risulta: ๐ฃ1 =๐ป1
๐3+
๐1
๐3+2โ๐1
๐2= ๐ข1 +
2โ๐1
๐2= 0
e quindi:
๐1 = โ๐2
2โ ๐ข1 ๐ป1 = ๐3 โ ๐ข1 โ ๐1 = ๐3 โ ๐ข1 +
๐2
2โ ๐ข1 = (๐3 +
๐2
2) โ ๐ข1
Perchรฉ la struttura risulti in equilibrio, le reazioni a terra devono valere:
๐2 = 0 ๐ป2 = โ๐3 โ ๐ข1
๐3 =๐2
2โ ๐ข1 ๐ป3 = โ
๐2
2โ ๐ข1
In conclusione, perchรฉ il nodo n.1 subisca solo uno spostamento orizzontale, รจ necessario che sulla struttura
agiscano le forze indicate nella fig.2.2.3a:
Fig. 2.2.3a Fig. 2.2.3b
Se le forze applicate devono essere tali da provocare solo lo spostamento verticale ๐ฃ1, bisogna imporre il
seguente vincolo:
๐ข1 =๐ป1๐3+๐1๐3= 0
da cui risulta che le forze devono avere il valore seguente:
๐ป1 = โ๐2
2โ ๐ฃ1 ๐1 =
๐2
2โ ๐ฃ1
Perchรฉ la struttura risulti in equilibrio, le reazioni a terra devono valere:
๐ป2 = 0 ๐2 = 0
๐ป3 =๐2
2โ ๐ฃ1 ๐3 = โ
๐2
2โ ๐ฃ1
In conclusione, perchรฉ il nodo n.1 subisca solo uno spostamento verticale, รจ necessario che sulla struttura
agiscano le forze indicate nella fig.2.2.3b.
Replichiamo lo stesso ragionamento per il nodo n.2. In questo caso dalla struttura eliminiamo lโasta n.2
perchรฉ risulta scarica, in quanto unisce due cerniere a terra e su di essa non agiscono carichi esterni.
Fig.2.2.4 โ Schema necessario per il calcolo degli spostamenti orizzontali e verticali del nodo n.2.
2 1
3
3
1
2
v1
๐22โ ๐ฃ1 ๐2
2โ ๐ฃ1
๐22โ ๐ฃ1
๐22โ ๐ฃ1
2 1
V2
3
3
1
H2
2 1
3
3
1
2
u1
(๐22+ ๐3) โ ๐ข1
๐22โ ๐ข1 ๐2
2โ ๐ข1
๐3 โ ๐ข1
๐22โ ๐ข1
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Le azioni interne che agiscono sulle aste valgono:
1) asta 2: ๐1 = โ๐2
2) asta 3: ๐3 = โ๐ป2
Per calcolare lo spostamento orizzontale del nodo n.2 dobbiamo applicare, nello stesso nodo di una struttura
fittizia, una forza unitaria orizzontale. In questo caso le azioni interne saranno le seguenti:
1) asta 2: ๐1 = 0
2) asta 3: ๐3 = โ1
Lโapplicazione del PLV conduce alla seguente equazione:
1 โ ๐ข2 = โซ(โ๐ป2) โ (โ1)
๐ธ3 โ ๐ด3โ ๐๐ฅ =
๐ป2 โ ๐ฟ3๐ธ3 โ ๐ด3
๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐ 1
Per calcolare lo spostamento verticale del nodo n.2 dobbiamo applicare, nello stesso nodo di una struttura
fittizia, una forza unitaria verticale. In questo caso le azioni interne saranno le seguenti:
1) asta 2: ๐1 = โ1
2) asta 3: ๐3 = 0
Lโapplicazione del PLV conduce alla seguente equazione:
1 โ ๐ฃ2 = โซ(โ๐2) โ (โ1)
๐ธ1 โ ๐ด1โ ๐๐ฅ =
๐2 โ ๐ฟ1๐ธ1 โ ๐ด1
๐๐๐๐ 3
๐๐๐๐ 2
Ricordando la definizione (2.2.1) della rigidezza, possiamo riscrivere le stesse equazione nel modo seguente:
๐ข2 =๐ป2โ๐ฟ3
๐ธ3โ๐ด3=
๐ป2
๐3 ๐ฃ2 =
๐2โ๐ฟ1
๐ธ1โ๐ด1=
๐2
๐1
Se le forze applicate devono essere tali da provocare solo lo spostamento orizzontale ๐ข2 senza quello
verticale, รจ necessario che la forza verticale ๐2 sia nulla. Abbiamo quindi:
๐ป2 = ๐3 โ ๐ข2 e ๐2 = 0
Perchรฉ la struttura risulti in equilibrio, le reazioni a terra devono valere:
๐ป1 = โ๐3 โ ๐ข2 e ๐1 = 0
๐ป3 = 0 e ๐3 = 0
In conclusione, perchรฉ il nodo n.2 subisca solo uno spostamento orizzontale, รจ necessario che sulla struttura
agiscano le forze indicate nella fig.2.2.5a.
Fig. 2.2.5a Fig. 2.2.5b
Se le forze applicate devono essere tali da provocare solo lo spostamento verticale ๐ฃ2 senza quello
orizzontale, รจ necessario che la forza orizzontale ๐ป2 sia nulla. Abbiamo quindi:
๐ป2 = 0 e ๐2 = ๐1 โ ๐ฃ2
Perchรฉ la struttura risulti in equilibrio, le reazioni a terra devono valere:
๐ป1 = 0 e ๐1 = 0
2
1
3
3
1 2
v2 ๐1 โ ๐ฃ2
๐1 โ ๐ฃ2
2 1
3
3
1 2
u2
๐3 โ ๐ข2 ๐3 โ ๐ข2
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๐ป3 = 0 e ๐3 = โ๐1 โ ๐ฃ2
In conclusione, perchรฉ il nodo n.2 subisca solo uno spostamento verticale, รจ necessario che sulla struttura
agiscano le forze indicate nella fig.2.2.5b.
Per il terzo nodo, non รจ necessario replicare i passaggi precedenti, perchรฉ per esso valgono gli stessi
risultati visti per nodo n.1, purchรฉ si scambino le direzioni orizzontali e verticali. Perchรฉ il nodo n.3 subisca
solo uno spostamento orizzontale e la struttura stia in equilibrio รจ necessario che su di essa agiscano le
seguenti forze, indicate nella Fig.2.2.6a.
๐ป1 =๐2
2โ ๐ฃ3 ; ๐1 = โ
๐2
2โ ๐ฃ3
๐ป2 = 0 ; ๐2 = โ๐1 โ ๐ฃ3
๐ป3 = โ๐2
2โ ๐ฃ3 ; ๐3 = (๐1 +
๐2
2) โ ๐ฃ3
Perchรฉ il nodo n.3 subisca solo uno spostamento verticale e la struttura stia in equilibrio รจ necessario che su
di essa agiscano le seguenti forze, indicate nella Fig.2.2.6b.
๐ป1 = โ๐2
2โ ๐ข3 ; ๐1 =
๐2
2โ ๐ข3
๐ป2 = 0 ; ๐2 = 0
๐ป3 =๐2
2โ ๐ข3 ; ๐3 = โ
๐2
2โ ๐ข3
Fig. 2.2.6a Fig. 2.2.6b
A questo punto siamo in grado di stabilire le forze necessarie in ogni nodo per mantenere in equilibrio la
struttura deformata in modo qualsiasi. Sia {๐ท}๐ = {๐ข1 ๐ฃ1 ๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3 ๐ฃ3} il vettore degli spostamenti
nodali orientati secondo la direzione positiva degli assi coordinati e {๐น}๐ = {๐ป1 ๐1 ๐ป2 ๐2 ๐ป3 ๐3} il vettore delle corrispondenti forze nodali. Le forze allora si ottengono sommando i valori fin qui calcolati:
๐ป1 = (๐2
2+ ๐3) โ ๐ข1 โ
๐2
2โ ๐ฃ1โ๐3 โ ๐ข2 โ
๐2
2โ ๐ข3 +
๐2
2โ ๐ฃ3
๐1 = โ๐2
2โ ๐ข1 +
๐2
2โ ๐ฃ1 +
๐2
2โ ๐ข3 โ
๐2
2โ ๐ฃ3
๐ป2 = โ๐3 โ ๐ข1 + ๐3 โ ๐ข2
๐2 = ๐1 โ ๐ฃ2 โ ๐1 โ ๐ฃ3
๐ป3 = โ๐2
2โ ๐ข1 +
๐2
2โ ๐ฃ1+
๐2
2โ ๐ข3 โ
๐2
2โ ๐ฃ3
๐3 =๐2
2โ ๐ข1 โ
๐2
2โ ๐ฃ1โ๐1 โ ๐ฃ2 โ
๐2
2โ ๐ข3 + (๐1 +
๐2
2) โ ๐ฃ3
In forma matriciale possiamo scrivere il sistema delle equazioni di equilibrio:
2 1
3
3
1
2
v3
(๐22+ ๐1) โ ๐ฃ3
๐1 โ ๐ฃ3 ๐22โ ๐ฃ3
๐22โ ๐ฃ3
๐22โ ๐ฃ3 2 1
3
3
1 2
u3 ๐22โ ๐ข3
๐22โ ๐ข3
๐22โ ๐ข3
๐22โ ๐ข3
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[ ๐2
2+ ๐3 โ
๐2
2โ๐3 0 โ
๐2
2
๐2
2
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2
โ๐3 0 ๐3 0 0 00 0 0 ๐1 0 โ๐1
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2๐2
2โ๐2
20 โ๐1 โ
๐2
2๐1 +
๐2
2 ]
โ
{
๐ข1๐ฃ1๐ข2๐ฃ2๐ข3๐ฃ3}
=
{
๐1๐1๐2๐2๐3๐3}
[2.2.5]
o in forma compatta:
[๐พ] โ {๐ท} = {๐น} [2.2.6]
La matrice [๐พ] si chiama matrice di rigidezza della struttura: si tratta di una matrice simmetrica, come ci
saremmo dovuti aspettare in base al Teorema di Maxwell che afferma che il lavoro fatto dal sistema delle
forze ๐น1 per gli spostamenti ๐2 provocati dal sistema delle forze ๐น2 รจ uguale al lavoro fatto dal sistema delle
forze ๐น2 per gli spostamenti ๐1 provocati dal sistema delle forze ๐น1:
๐ฟ12 = ๐น1๐๐2 = ๐น2
๐๐1 = ๐ฟ21
Poichรฉ: ๐น1 = [๐พ] โ ๐1 e ๐น2 = [๐พ] โ ๐2 sostituendo abbiamo:
๐น1๐๐2 = ๐1
๐[๐พ]๐๐2 = ๐น2๐๐1 = ๐2
๐[๐พ]๐๐1
Poichรฉ il lavoro รจ una quantitร scalare, possiamo scrivere:
๐ฟ12 = ๐1๐[๐พ]๐๐2 = ๐ฟ12
๐ = [๐1๐[๐พ]๐๐2]
๐ = ๐2๐[๐พ]๐1
da cui risulta che ๐2๐[๐พ]๐1 = ๐2
๐[๐พ]๐๐1 e quindi la matrice di rigidezza รจ simmetrica, cioรจ [๐พ] = [๐พ]๐.
La procedura appena descritta genera la matrice di rigidezza riga dopo riga, ma potrebbe essere generata
anche colonna dopo colonna. Per esempio la prima colonna della matrice [๐พ] quando รจ moltiplicata per lo
spostamento orizzontale del nodo n.1, ๐ข1 , rappresenta il vettore delle forze nodali {๐น} mostrato nella Fig,
2.2.3a. Di conseguenza, ogni colonna di [๐พ] puรฒ essere pensata come lโinsieme delle forze necessarie per
garantire lโequilibrio della struttura che ha subito lo spostamento unitario di un singolo nodo.
Lโanalisi precedente puรฒ essere applicata a una qualsiasi struttura, indipendentemente dal numero di
elementi che la compongono e indipendentemente dal numero di iperstatiche presenti: si arriva comunque a
scrivere tante equazioni indipendenti quanti sono gli spostamenti nodali indipendenti. Se il solido non รจ una
struttura reticolare, le rigidezze dei singoli elementi devono comunque essere in un qualche modo
approssimati, come verrร in seguito spiegato.
La somma degli elementi che compongono ogni colonna della matrice di rigidezza [๐พ] รจ nulla, poichรฉ
ogni colonna rappresenta lโinsieme delle forze nodali equilibrate prodotte da uno spostamento unitario di un
grado di liberta nodale. Ogni termine diagonale ๐พ๐๐ della matrice di rigidezza รจ positivo: se cosรฌ non fosse,
una forza ed il corrispondente spostamento dovrebbero essere diretti in verso opposto, che da un punto di
vista fisico, รจ irragionevole.
La matrice di rigidezza dellโeq.2.2.5 รจ singolare: il suo ordine รจ pari 6, ma il suo rango รจ solo 3. Il motivo
รจ che finora non sono state imposte le condizioni al contorno, e la struttura รจ libera di subire spostamenti
rigidi. Per ogni struttura piana sono possibili tre spostamenti rigidi indipendenti, due traslazioni ed una
rotazione. Ognuno di essi รจ associato ad un vettore delle forze {๐น} nullo. Per esempio, se nella struttura
precedente, imponiamo uno spostamento rigido il prodotto [๐พ] โ {๐ท} รจ nullo.
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Spostamento rigido orizzontale: {๐ท} = {1 0 1 0 1 0}๐
[ ๐2
2+ ๐3 โ
๐2
2โ๐3 0 โ
๐2
2
๐2
2
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2
โ๐3 0 ๐3 0 0 00 0 0 ๐1 0 โ๐1
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2๐2
2โ๐2
20 โ๐1 โ
๐2
2๐1 +
๐2
2 ]
โ
{
101010}
=
{
๐11 + ๐13+๐15๐21 + ๐23+๐25๐31 + ๐33+๐35๐41 + ๐43+๐45๐51 + ๐53+๐55๐61 + ๐63+๐65}
=
{
000000}
[2.2.5a]
Spostamento rigido verticale: {๐ท} = {0 1 0 1 0 1}๐
[ ๐2
2+ ๐3 โ
๐2
2โ๐3 0 โ
๐2
2
๐2
2
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2
โ๐3 0 ๐3 0 0 00 0 0 ๐1 0 โ๐1
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2๐2
2โ๐2
20 โ๐1 โ
๐2
2๐1 +
๐2
2 ]
โ
{
010101}
=
{
๐12 + ๐14+๐16๐22 + ๐24+๐26๐32 + ๐34+๐36๐42 + ๐44+๐46๐52 + ๐54+๐56๐62 + ๐64+๐66}
=
{
000000}
[2.2.5b]
Rotazione intorno al nodo n.1: {๐ท} = {0 0 0 1 1 1}๐
[ ๐2
2+ ๐3 โ
๐2
2โ๐3 0 โ
๐2
2
๐2
2
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2
โ๐3 0 ๐3 0 0 00 0 0 ๐1 0 โ๐1
โ๐2
2
๐2
20 0
๐2
2โ๐2
2๐2
2โ๐2
20 โ๐1 โ
๐2
2๐1 +
๐2
2 ]
โ
{
000111}
=
{
๐14 + ๐15+๐16๐24 + ๐25+๐26๐34 + ๐35+๐36๐44 + ๐45+๐46๐54 + ๐55+๐56๐64 + ๐65+๐66}
=
{
000000}
[2.2.5c]
Come suggerito da questi esempi, sono possibili una infinitร di spostamenti rigidi, ma per una struttura
piana solo tre sono indipendenti. Per impedire gli spostamenti rigidi di una struttura piana รจ necessario
imporre almeno tre spostamenti nodali. Nella Fig. 2.2.1 le condizioni imposte alle forze ed agli spostamenti
sono i seguenti:
a) cerniera a terra nel nodo n.2 ๐ข2 = ๐ฃ2 = 0
b) carrello a terra nel nodo n.3 ๐ข3 = 0
c) Forza verticale nel nodo n.1 ๐1 = โ๐น [2.2.7]
d) Forza orizzontale nulla nel nodo n.1 ๐ป1 = 0
e) Forza verticale nulla nel nodo n.3 ๐3 = 0
Le restanti tre forze e i restanti tre spostamenti sono ancora incogniti.
Per calcolarli si puรฒ procedere nel modo seguente. Lโindice ๐ indicherร le quantitร note presenti
nellโeq.2.2.7, e lโindice ๐ indicherร le restanti quantitร incognite. Lโeq. 2.2.5 puรฒ essere modificata nel modo
seguente, disponendo in modo adeguato coefficienti ed incognite:
[๐พ11โ ๐พ12
โ
๐พ21โ ๐พ22
โ ] โ {๐ท๐๐ท๐} = {
๐น๐๐น๐} [2.2.8]
Di conseguenza:
[๐พ11โ ] โ {๐ท๐} + [๐พ12
โ ] โ {๐ท๐} = {๐น๐} [2.2.9]
[๐พ21โ ] โ {๐ท๐} + [๐พ22
โ ] โ {๐ท๐} = {๐น๐}
La prima delle due equazioni consente di calcolare gli spostamenti incogniti:
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F
y,v
x, u
3
3
1 2
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๐ท๐ = [๐พ11โ ]โ1 โ ({๐น๐} โ [๐พ12
โ ] โ {๐ท๐}) [2.2.10]
Noti gli spostamenti, con la seconda delle eq.2.2.9 รจ possibile calcolare le reazioni incognite. Nellโesempio
che abbiamo esaminato, gli spostamenti imposti, e quindi noti, sono nulli:
{๐ท๐} = {๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3}๐ = {0 0 0}๐.
In generale, non รจ detto che gli spostamenti imposti siano nulli.
Vediamo come procedere per partizionare il sistema. Iniziamo indicando i vettori delle forze e degli
spostamenti, noti ed incogniti.
{๐น๐} = {๐1 ๐1 ๐3}๐ = {0 โ๐น 0}๐
{๐น๐} = {๐2 ๐2 ๐3}๐
{๐ท๐} = {๐ข1 ๐ฃ1 ๐ฃ3}๐
Per partizionare la matrice, prima scambiamo lโordine delle righe, cioรจ lโordine delle equazioni, che non
comporta la modifica del vettore degli spostamenti, ma quello delle forze.
[ ๐พ11 ๐พ12๐พ21 ๐พ22
๐พ13 ๐พ14๐พ23 ๐พ24
๐พ15 ๐พ16๐พ25 ๐พ26
๐พ61 ๐พ62๐พ31 ๐พ32
๐พ63 ๐พ64๐พ33 ๐พ34
๐พ65 ๐พ66๐พ35 ๐พ36
๐พ41 ๐พ42๐พ51 ๐พ52
๐พ43 ๐พ44๐พ53 ๐พ54
๐พ45 ๐พ46๐พ55 ๐พ56]
โ
{
๐ข1๐ฃ1๐ข2๐ฃ2๐ข3๐ฃ3}
=
{
๐1๐1๐3๐2๐2๐3}
= {๐น๐๐น๐}
A questo punto modifichiamo lโordine delle colonne, che non comporta la modifica del vettore delle forze,
ma quello degli spostamenti.
[ ๐พ11 ๐พ12๐พ21 ๐พ22
๐พ16 ๐พ13๐พ26 ๐พ23
๐พ14 ๐พ15๐พ24 ๐พ25
๐พ61 ๐พ62๐พ31 ๐พ32
๐พ66 ๐พ63๐พ36 ๐พ33
๐พ64 ๐พ65๐พ34 ๐พ35
๐พ41 ๐พ42๐พ51 ๐พ52
๐พ46 ๐พ43๐พ56 ๐พ53
๐พ44 ๐พ45๐พ54 ๐พ55]
โ
{
๐ข1๐ฃ1๐ฃ3๐ข2๐ฃ2๐ข3}
= {๐น๐๐น๐}
da cui otteniamo la partizione della matrice globale:
[๐พ11โ ] = [
๐พ11 ๐พ12 ๐พ16๐พ21 ๐พ22 ๐พ26๐พ61 ๐พ62 ๐พ66
] [๐พ12โ ] = [
๐พ13 ๐พ14 ๐พ15๐พ23 ๐พ24 ๐พ25๐พ63 ๐พ64 ๐พ65
]
[๐พ21โ ] = [
๐พ31 ๐พ32 ๐พ36๐พ41 ๐พ42 ๐พ46๐พ51 ๐พ52 ๐พ56
] [๐พ22โ ] = [
๐พ33 ๐พ34 ๐พ35๐พ43 ๐พ44 ๐พ45๐พ53 ๐พ54 ๐พ55
]
Per eseguire lโeq.(2.2.9), prima calcoliamo il vettore {๐} = {๐น๐} โ [๐พ12โ ] โ {๐ท๐}, quindi risolviamo il sistema:
{๐ท๐} = [๐พ11โ ] โ {๐}
Noti gli spostamenti {๐ท๐}, con la seconda delle eq.2.2.9 รจ possibile calcolare le reazioni incognite:
{๐น๐} = [๐พ21โ ] โ {๐ท๐} + [๐พ22
โ ] โ {๐ท๐}
2.3 Equazioni della rigidezza dellโelemento Nel paragrafo 2.2 la matrice della struttura [๐พ] รจ stata calcolata esaminando lโintera struttura. Questa
procedura ci aiuta a spiegare la natura di [๐พ], ma รจ troppo complicata nei casi pratici. Se in alternativa
iniziamo con un solo elemento di riferimento, siamo condotti ad un metodo sistematico ed automatico per la
costruzione di [๐พ] grazie allโassemblaggio dei singoli elementi. La Fig. 2.3.1 mostra un singolo elemento,
disposto arbitrariamente nel piano ๐ฅ๐ฆ.
Universitร degli Studi di Cagliari - Facoltร di Ingegneria e Architettura
Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2019/โ20)
A cura di Filippo Bertolino: ottobre 2019 Pag 9
Siano ๐ด, ๐ธ ed ๐ฟ lโarea trasversale costante, il modulo elastico e la lunghezza dellโelemento. Il seno ed il
coseno dellโangolo ๐ verranno indicati con i simboli ๐ e ๐ e possono essere calcolati a partire dalle
coordinate nodali:
๐ = ๐ ๐๐(๐) =๐ฆ๐โ๐ฆ๐
๐ฟ
๐ = ๐๐๐ (๐) =๐ฅ๐โ๐ฅ๐
๐ฟ [2.3.1]
๐ฟ = โ(๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐)2+ (๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐)
2
Fig.2.3.1
Ora, come fatto nel paragrafo 2.2, spostiamo ogni nodo di una piccola quantitร in ogni direzione,
impedendo gli altri spostamenti. Il primo di questi casi รจ mostrato nella Fig.2.3.2. Lโaccorciamento ๐ โ ๐ข๐ produce una forza di compressione assiale pari a ๐ โ ๐ข๐ โ ๐ด โ ๐ธ ๐ฟโ . Le componenti orizzontale e verticale di
questa forza devono essere equilibrate dalle forze esterne ๐๐, ๐๐, ๐๐ e ๐๐. Cosรฌ ponendo ๐ = ๐ด โ ๐ธ ๐ฟโ , le forze
che agiscono sullโasta valgono:
๐ โ {
๐2๐ โ ๐ โ๐2
โ๐ โ ๐
} โ ๐ข๐ =
{
๐๐๐๐๐๐๐๐}
[2.3.2]
Fig.2.3.2
Dopo unโanalisi analoga relativa agli spostamenti ๐ฃ๐, ๐ข๐ e ๐ฃ๐ i risultati possono essere raccolti in una matrice:
๐ โ [
๐2 ๐ โ ๐ โ๐2 โ๐ โ ๐ ๐ โ ๐ ๐ 2 โ๐ โ ๐ โ๐ 2
โ๐2 โ๐ โ ๐ ๐2 ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ โ๐ 2 ๐ โ ๐ ๐ 2
] โ {
๐ข๐๐ฃ๐๐ข๐๐ฃ๐
} =
{
๐๐๐๐๐๐๐๐}
[2.3.3]
La matrice quadrata, compreso il coefficiente ๐ , รจ la matrice di rigidezza dellโelemento: possiamo
sintetizzare la precedente equazione nel modo seguente:
[๐พ๐] โ {๐} = {๐๐} [2.3.4]
Nel paragrafo 2.5 sarร necessario distinguere tra le forze applicate ai nodi e quelle applicate dai nodi: nellโeq.
2.3.4 {๐๐} indica le forze applicate dai nodi sullโelemento.
function ke = K_Rod2D (E, A, L, c, s)
%K_Rod2D Calcola la matrice di rigidezza elementare 4 x 4
% di unโasta 2D tipo tirante/puntone
% E: Modulo di Elasticitร
% A: Sezione trasversale
% L: Lunghezza
% c, s: Coseni direttori
K = E*A/L;
c2 = c*c;
cs = c*s;
s2 = s*s;
ke = K*[c2 cs โc2 โcs;
cs s2 โcs โs2;
-c2 โcs c2 cs;
-cs โs2 cs s2];
end
Fig. 2.3.3 โ Codice MATLAB per il calcolo della matrice di rigidezza elementare di un elemento tirante/puntone nel piano.
i
j y,v
x, u
ยฐ
L
i
j y,v
x, u ui
(๐๐2) โ ๐ข1
(๐๐๐ ) โ ๐ข1 (๐๐๐ ) โ ๐ข1
(๐๐2) โ ๐ข1