Cap1a - Elettr 1°parte

8/2/2019 Cap1a - Elettr 1parte

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Universit di PisaFacolt di Ingegneria

Dipartimento diSistemi Elettrici e Automazione

CORSO DI LAUREA I N I NGEGNERI A ENERGETI CA

Elet t r ot ec n ic a e

Mac c h ine Elet t r ic he

Appunti del Prof. Lucio TaponeccoTel. 050 2217317 - 340 9173120

e-mail: [email protected]

Anno Accademico 2009-2010
mailto:[email protected]:[email protected]


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Appunti di Elettrotecnica e Macchine Elettriche - L. Taponecco

1

PREMESSA.

Qualunque sviluppo tecnologico e industriale , come noto, strettamente connesso alla

disponibilit di energia. L'energia, che presente in natura sotto varie forme (fossile, nucleare,

idraulica, geotermica, eolica, solare, ecc.), perch sia utilizzabile deve per essere trasportata

nei luoghi dove occorre e trasformata nella forma che interessa. Questo problema attualmenterisolto, nella maggior parte dei casi, trasformando le energie primarie disponibili in energia

elettrica, in quanto tale tipo di energia pu essere trasportato a lunghe distanze con basse

perdite e costi accettabili e presenta una tale flessibilit da consentirgli di essere facilmente

trasformato nella forma desiderata (meccanica, luminosa, termica o chimica). L'energia

elettrica pertanto alla base della moderna civilizzazione industriale e dell'attuale stile di vita

dei paesi avanzati; basti pensare che il consumo pro capite di energia elettrica utilizzato come

un indicatore dello sviluppo industriale e del livello di benessere di una nazione.

Circa il 60-65% di tutta l'energia elettrica prodotta viene poi trasformata in meccanica

mediante motori elettrici, che possono essere collegati alla linea di alimentazione direttamente

o tramite dispositivi di conversione statica dell'energia. In questo secondo caso si parla di

azionamenti elettrici, il cui principale pregio quello di ottenere una energia meccanica

pregiata con coppia e velocit regolabili. Essi consentono inoltre un pi efficiente utilizzo

dell'elettricit e conseguente riduzione dell'inquinamento, delle pioggie acide e dell'effetto

serra prodotti dalle emissioni delle centrali elettriche a combustibile.Per fornire una idea della diffusione dell'utilizzo dell'energia elettrica riportiamo alcune delle

molteplici applicazioni in ambiente civile e industriale e nei sistemi di trasporto.

Applicazioni di tipo civile: -illuminazione (lampade a incandescenza, alogene, fluorescenti, a

vapori di sodio, a led...); -climatizzazione (ventilatori, stufe, condizionatori, pompe di

calore); -movimentazione (scale mobili, ascensori, elevatori...); -elettrodomestici

(scaldabagno, asciugacapelli, lavatrici, ferri da stiro, frigoriferi, robot da cucina, lavastoviglie,

trapani); -alimentatori per PC, gruppi di continuit, caricabatterie...; -tetti fotovoltaici.

Applicazioni di tipo industriale: -spostamento materiali (nastri trasportatori, paranchi, argani,

carriponte, gru...); -trattamento liquidi e gas (pompe, compressori, aspiratori...); smerigliatrici,

seghe a nastro, trapani, fresatrici, torni, rettificatrici, presse, robot...; -processi tecnologicielettrici (forni adarco e a induzione, saldatura, elettroerosione, trattamenti elettrochimici); -

generazione dell'energia elettrica da fonti non convenzionali (parchi eolici, campi fotovoltaici,

impianti solari termoelettrici, centrali geotermoelettriche.

Applicazione nei sistemi di trasporto terrestri, maritmi e aerospaziali.

Anche in un sistema strettamente meccanico come ad esempio l'automobile con motore a

combustione interna sono presenti molti azionamenti elettrici e linee elettriche (lunghezza

cavi 4-5 km), per consentire varie azioni sia elementari (tergicristalli, alzavetri, ecc.) che pi

complesse per il controllo della dinamica del veicolo (frenatura assistita, ABS, tenuta,

stabilit, ecc.).


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PARTE PRIMA ELETTROTECNICA

Capitolo E1 - RICHIAMI sui CIRCUITI ELETTRICI in

CORRENTE CONTINUA.

E1-1. Introduzione.

La teoria dei circuiti elettrici si sviluppa come naturale e logica conseguenza

della teoria dei campi elettromagnetici basata sulle equazioni di Maxwell, ciodi un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, la cui soluzione

presenta notevoli difficolt.

Lo scopo semplificare notevolmente la struttura matematica del problema

utilizzando un modello idealizzato, denominato circuito elettrico, costituito da

uno o pi elementi concentrati (resistori, condensatori, induttori) ognuno dei

quali rappresenta un aspetto della realt fisica (presenza di fenomeni dissipativi,

di campi elettrici e di campi magnetici).

Trattandosi di un modello (tra l'altro estremamente semplificato) il circuito

elettrico non pu ovviamente rappresentare tutti i fenomeni elettrici nella lorocompletezza, ne consente per una buona approssimazione nella stragrande

maggioranza dei casi pratici.


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E1-2. Campo elettrico.

Tutti i fenomeni elettrici derivano dalla presenza negli atomi della materia di

alcune particelle elementari (elettroni e protoni - fig. E1-1), che possiedono una

propriet fisica, denominata carica elettrica, rappresentabile attraverso unvalore scalare pari a 1,610-19C e che pu essere negativo (elettrone) o positivo(protone), e dalle conseguenti forze che interagiscono fra di esse.

Fig. E1-1

Fra due cariche elettriche puntiformi q1 e q2, isolate ed immobili una rispetto

all'altra, si manifesta infatti una forza attrattiva o repulsiva, a seconda che le

cariche siano di segno opposto o dello stesso segno (fig. E1-2).

Fig. E1-2

L'intensit di tale forza elettrostatica diretta lungo la retta che congiunge le

due cariche ed (legge di Coulomb) proporzionale al prodotto delle due cariche

ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r:

1 2

2

04 r

q qF

r = [N]

con 0 = 8,859 10-12

[F/m] costante dielettrica del vuoto e r (110) costantedielettrica relativa del mezzo isolante nel quale si trovano le due cariche.

Ogni carica elettrica produce quindi in ogni punto dello spazio circostante un

campo elettrico K=F/q [N/C o V/m], che un vettore definito come rapporto

tra la forza che si esercita su di una carica positiva q (che si suppone non

perturbi il campo preesistente) posizionata nel punto considerato e la caricamedesima.


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Se tale carica libera di muoversi le traiettorie da essa descritte rappresentano

le linee di forza del campo (fig. E1-3) (cio linee la cui tangente in ogni punto

diretta come il campo in quel punto).

Fig. E1-3

Alla carica unitaria si d il nome di Coulomb [C]; talecarica unitaria se posta

di fronte ad una uguale alla distanza di 1 metro, sottoposta alla enorme forzadi (circa) 9 109 newton.Nel movimento della carica q da un punto A ad un punto B in generale viene

compiuto lavoro dalle forze del campo; il rapporto tra la conseguente energia

spesa WAB e la carica q si definisce tensione o differenza di potenziale VAB :

BAB

ABA

WV d

q= = K l

Si definisce infatti potenziale elettrico in un punto dello spazio il valore

dell'energia potenziale posseduta da una carica elettrica unitaria positiva

disloccata in quel punto; esso si misura in Joule/Coulomb = Volt [V].

Negli atomi gli elettroni sono vincolati a muoversi su date orbite per la forza di

attrazione esercitata dei protoni del nucleo. A seguito dell'applicazione di una

forza esterna alcuni degli elettroni pi esterni possono uscire dalla loro orbita

(elettroni liberi) lasciando dei vuoti che vengono riempiti da altri elettroni liberi

uscenti dall'orbita di un altro atomo. Una corrente elettrica si produce quando

degli elettroni liberi si muovono da un atomo all'altro (fig. E1-4).

Fig. E1-4


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Ai fini delle applicazioni pratiche di grande importanza sia poter realizzare

facilmente il trasferimento delle cariche elettriche da un punto ad un altro punto,

sia poterlo impedire.

Entrambe queste possibilit vengono sfruttate nella tecnica utilizzando nel

primo caso i cosiddetti materiali conduttori (argento, rame, alluminio, grafite,

ecc.), nel secondo caso i materiali isolanti (quarzo, vetro, porcellana, mica,

gomme, resine, carta, legno, ecc.).

Un cavo elettrico (fig. E1-5) un esempio di utilizzo di materiali conduttori e

isolanti.

Fig. E1-5

L'impedimento con cui qualsiasi materiale si oppone, in misura pi o meno

elevata (in relazione a caratteristiche chimiche e temperatura) allo spostamento

delle cariche elettriche al suo interno si chiama resistivit e viene designata con

il simbolo . l suo inverso si chiama conduttivit.La resistivit assume quindi valori molto bassi per i materiali conduttori (ad

esempio: rame 0,017 [m = mm2

/m]), molto elevati per i materiali isolanti(ad esempio: porcellana 21019[m]).

Oltre ai materiali conduttori e isolanti, in campo elettrico sono molto diffusi

anche i materiali semiconduttori, quali il silicio, che si comportano sia da

conduttori che da isolanti (a seconda che una forza esterna sia applicata in una

direzione o in quella opposta); questi materiali sono utilizzati per realizzare i

vari dispositivi allo stato solido dell'elettronica industriale (diodi, tiristori,

transistori).

Vi sono poi dei materiali isolanti o cattivi conduttori, che a temperaturebassissime diventano superconduttori.


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E1-3. Generatori elettrici.

Un generatore elettrico un dispositivo che trasforma un qualsiasi tipo di

energia primaria (termica, meccanica, chimica, solare, eolica, ecc.) direttamente

(pile, generatori fotovoltaici) o indirettamente (dinamo, alternatori) in energiaelettrica, creando una separazione di cariche. La sua funzione infatti quella di

spostare (utilizzando un processo elettrochimico o di induzione magnetica)

degli elettroni da uno dei suoi due estremi (morsetto positivo) all'altro (morsetto

negativo). Tale azione cessa quando la forza di attrazione tra le cariche positive

e negative dislocate sui due morsetti uguaglia la forza sviluppata dal generatore,

determinando tra essi una differenza di potenziale (d.d.p.) o tensione

equivalente al lavoro sviluppato per effettuare tale spostamento.

Fig. E1-6a Fig. E1-6b Fig. E1-6c

Tutti i generatori di tensione sono caratterizzati quindi (fig. E1-6a) da un

eccesso di elettroni ad uno dei suoi morsetti () e da una mancanza all'altro (+).Se i morsetti del generatore sono isolati, la d.d.p. tra essi equivale alla forza

elettromotrice (f.e.m.), indicata in genere con la lettera E, cio al valore

dell'energia che le azioni intrinseche del generatore forniscono alla carica

unitaria positiva.

Se invece i morsetti vengono connessi ad un circuito esterno la d.d.p. tra di essi

determina uno scorrimento continuo di cariche. Infatti non appena degli

elettronilasciano il morsetto negativo del generatore per rientrare, attraverso il

circuito esterno, nel morsetto positivo si determina, in conseguenza del minore

numero di cariche disloccate sui morsetti, una riduzione della forza

coulombiana di attrazione e pertanto la forza intrinseca del generatore torna a

prevalere e produce lo spostamento di altrettanti elettroni nel circuito interno.

La quantit di carica che attraversa la sezione di un conduttore nell'unit di

tempo (i=dq/dt) si definisce corrente elettrica. Per convenzione si assume che la

corrente scorra nel circuito esterno dal morsetto positivo a quello negativo del

generatore, come se si muovessero i protoni anzich gli elettroni.

In relazione al verso convenzionale della corrente si fissa il verso convenzionale

della f.e.m. dei generatori, assumendo che essi agiscano nel senso di spostare,

nel circuito interno, le cariche positive dal morsetto negativo a quello positivo,


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che pertanto viene mantenuto ad un potenziale elettrico maggiore di quello del

morsetto negativo, e quindi nel circuito esterno da quello positivo a quello

negativo.

La tensione e la corrente si dicono continue quando il loro valore costante nel

tempo, mentre si dicono variabili se cambiano in modulo e/o segno.

L'unit di misura della tensione il volt [V] e lo strumento idoneo alla sua

misura (voltmetro) deve essere inserito connettendo i suoi morsetti ai due punti

tra i quali si vuole misurare la d.d.p. (fig. E1-7).

L'unit di misura della corrente l'ampre [A], che corrisponde ad 1 Coulomb

al secondo (cio a circa 6,24 x 1018

elettroni che in un secondo attraversano una

sezione del conduttore), e lo strumento idoneo alla sua misura (amperometro)

deve essere inserito in modo da essere attraversato dalla corrente da misurare

(fig. E1-7).

Fig. E1-7

Poich l'inserimento degli strumenti di misura non deve perturbare per quantopossibile il funzionamento del circuito in esame, il voltmetro deve essere tale

che sia trascurabile la corrente che lo attraversa (deve cio avere una resistenza

interna molto grande), mentre l'amperometro deve essere tale che sia

trascurabile la d.d.p. tra i suoi morsetti (deve cio avere una resistenza interna

molto piccola).

In figura E1-8 sono riportate le rappresentazioni grafiche e le caratteristiche

tensione-corrente di un generatore ideale di tensione continua e di un

generatore idealedi corrente continua.

a)

b)

Fig. E1-8


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Il primo (fig. E1-8a) mantiene tra i suoi morsetti una d.d.p. assegnata costante

qualunque sia il valore dell'intensit della corrente erogata. Le prese di tensione

per uso domestico ed industriale forniscono una tensione che indipendente,

entro larghi limiti, dalla corrente erogata e quindi sono equivalenti ad un

generatore ideale di tensione.

Il secondo (fig. E1-8b) eroga una corrente assegnatacostantequalunque sia il

valore della tensione tra i suoi morsetti e deve essere sempre usato a circuito

chiuso.

Il pallino rappresenta convenzionalmente la polarit positiva della f.e.m. o il

verso della corrente.

Nelle figure E1-9a e E1-9b sono riportate le rappresentazioni grafiche e le

caratteristiche tensione-corrente rispettivamente di un generatore reale di

tensionecontinua e di un generatore reale di corrente continua.

I generatori reali differiscono da quelli ideali per la presenza di una resistenza

interna Ri , che connessa in serie al generatore ideale di tensione e in parallelo

al generatore ideale di corrente.

La tensione ai morsetti di un generatore reale di tensione decresce quindi

proporzionalmente alla intensit di corrente da cui attraversato e la corrente

erogata da un generatore reale di corrente decresce proporzionalmente alla

intensit di tensione presente ai suoi morsetti.

Pertanto la tensione ai morsetti dei generatori di tensione (che rappresentano la

maggior parte dei generatori elettrici) rispettivamente ideali e reali :

VAB = E0 VAB = E0 RiIe la corrente erogata dai generatori di corrente ideali e reali :

I = Icc I = Icc VAB/Ri

a) b)

Fig. E1-9


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E1-4. Resistori.

In un generico materiale di resistivit (o conducibilit =1/) percorso dacorrente il vettore campo elettrico K proporzionale al vettore densit di

corrente J = dI/dS: K = J (legge di Ohm per grandezze specifiche).Ricordando che la d.d.p. tra due sezioni A e B di un generico materiale pu

valutarsi integrando il campo elettrico lungo un qualsiasi percorso che ha inizio

in A e termine in B, nell'ipotesi di distribuzione uniforme della corrente si

ottiene:

( )( )

B B B

AB

A A A

dV d J l d I IR

S l

= = = = u lK l l legge di Ohm

con u versore del vettore J(l).Il parametro R (resistenza) rappresentato con il simbolo riportato in figura

E1-10 e nel caso, molto comune in elettrotecnica, di sezione costante risulta pari

a l/S. Esso caratterizza l'attitudine di un resistore ad opporsi al passaggio dellacorrente quando sottoposto all'azione di una tensione e si misura in ohm [].Un ohm la resistenza di un resistore che viene percorso dalla corrente di un

ampere quando ai suoi morsetti applicata la tensione di un volt.

Fig. E1-10

L'inverso della resistenza G=1/R si chiama conduttanza e si misura in siemens

[S].

Sperimentalmente la resistenza si ottiene dal rapporto tra il valore di una

generica tensione continua applicata ai capi di un materiale ed il valore

dell'intensit della corrente che lo percorre:

R = V/I .

E' noto che ogniqualvolta una forza di qualsiasi tipo causa del moto, viene compiuto lavoro; ad esempio viene

fatto del lavoro quando una forza meccanica usata per sollevare un peso, oppure quando in un circuito elettrico

la tensione (forza) applicata ad un conduttore provoca un flusso di elettroni (moto).

L'unit di misura dell'energia nel sistema internazionale il Joule: [J] = [Ws] = [Nm] = [kg massa m2

s-2

]. Esistono

per altre unit pratiche per particolari forme di energia: il chilowattora [kWh] usato nelle applicazioni elettriche;

la chilocaloria [kcal] usata in termodinamica; il chilogrammetro [kgm] usato talvolta in campo meccanico; il

BTU usato nel mondo anglosassone; la tonnellata equivalente di petrolio [tep] in uso nei bilanci energeticiglobali, che equivale al calore prodotto dalla combustione di una tonnellata di petrolio, assunto

convenzionalmente pari a 10 milioni di kcal.


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Se mediante un generatore di tensione si applica una differenza di potenziale

v(t) ai morsetti di un generico bipolo (elemento circuitale con due morsetti)

resistivo, l'energia elementare che il generatore deve erogare nel tempo dt per

muovere una carica elementare dq vale:

dw = v(t) dq = v(t) i(t) dt [J]

e quindi la potenza istantanea (lavoro nell'unit di tempo) erogata dal

generatore e assorbita dal resistore :

p(t) = dw/dt = v(t) i(t) = R i2(t) = v

2(t)/R [W = J/sec],

e l'energia WR assorbita dal resistore R nell'intervallo di tempo (t1t2):

2 2

1 1

2W p(t) dt i (t) dtt t

Rt t

R= =

Tale energia si trasforma in calore per effetto Joule [1 kWh produce 860 kCal].

Questo effetto viene utilizzato negli apparecchi di riscaldamento a resistenza

(ferri da stiro, scaldabagni, stufe), nelle lampade ad incandescenza e in alcuni

forni industriali.

La potenza una caratteristica di un dato apparecchio utilizzatore (lampada 100 W, stufetta 2kW), mentre

lenergia il lavoro che tale apparecchio sviluppa nel tempo.


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E1-5. Condensatori.

Se i morsetti di un generatore di tensione costante vengono collegati a due corpi

conduttori (armature) separati da un materiale isolante (dielettrico), il morsetto

positivo del generatore attira elettroni dall'armatura a cui collegato (e questa sicarica quindi positivamente), mentre l'altra armatura attira un uguale numero di

elettroni dal morsetto negativo del generatore (e si carica negativamente) e nel

dielettrico si forma un campo elettrico (fig. E1-11a). Le cariche, di uguale entit

ma di segno opposto, che si accumulano sulle due armature e quindi la d.d.p. tra

di esse e l'energia immagazzinata nel campo elettrico all'interno del dielettrico

aumentano man mano che si verifica questo movimento di elettroni, il cui

numero decresce gradualmente fino ad annullarsi quando la d.d.p. tra le

armature assume un valore uguale a quello della f.e.m. del generatore.

Il dispositivo costituito dalle due armature separate dal dielettrico si definiscecondensatore e nei circuiti elettrici viene rappresentato con il simbolo riportato

in figura E1-11b.

a)

b)

c)

Fig. E1-11

I condensatori una volta caricati se scollegati dalla rete tendono a mantenere neltempo la carica e quindi l'energia accumulata e il valore di tensione che avevano

al momento del distacco. Si pu cos creare per le persone una situazione di

pericolo, che deve essere eliminata mediante un circuito di scarica che provveda

a ridurre la tensione ad un valore residuo non superiore a 50 V in un tempo

prefissato. Tale dispositivo non elimina l'obbligo di cortocircuitare i morsetti

del condensatore tra loro e a terra prima di maneggiarli [si realizza un

cortocircuito tra due punti collegandoli con un conduttore avente idealmente

resistenza nulla, in tale caso la differenza di potenziale tra i due punti nulla

qualunque sia l'intensit di corrente del collegamento].
http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettricohttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettrico


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Il tempo di carica di un condensatore pari a 45 volte la costante di tempo = RC, prodotto della resistenza deiconduttori che collegano il generatore al condensatore per la sua capacit.Infatti dopo ogni periodo di tempo pari

a la d.d.p. tra le armature si incrementa sempre di un valore pari al 63% della tensione residua successivamenteapplicata. Analogamente la scarica del condensatore su di una resistenza, con conseguente annullamento dellad.d.p. e dissipazione per effetto Joule dell'energia elettrica immagazzinata, si pu considerare praticamente

conclusa in un tempo pari a 45 .Sperimentalmente si verifica che la quantit di carica q(t) distribuita su ciascuna

armatura di un condensatore proporzionale alla d.d.p. v(t) tra le sue due

armature secondo un coefficiente costante:

C=q(t)/v(t) .

Tale coefficiente, che funzione dell'estensione, della forma e della posizione

reciproca delle armature e della costante dielettrica =0r del materiale isolanteinterposto tra di esse e rappresenta una misura della abilit del condensatore ad

immagazzinare cariche elettriche, costituisce una grandezza fisica caratteristicadel condensatore denominata capacit, che si misura in farad [F].

Il farad la capacit di quel condensatore che assume tra i suoi morsetti una

d.d.p. di un volt se caricato con 1 coulomb. Dato che la capacit di un farad

una capacit enorme, si utilizzano quasi sempre i suoi sottomultipli (F=10-6 F,nF=10

-9F, pF=10

-12F).

Nel caso pi comune di condensatori con armature piane parallele, di area S

sufficientemente estesa e poste ad una distanza , molto piccola rispetto alledimensioni lineari delle armature (fig. E1-11c), la capacit :

C = S/ .

Quando si applica una d.d.p. ad un condensatore si ha circolazione di corrente

tra generatore e armature, ma non nel condensatore,in quantogli elettroni non

riescono a passare da una armatura all'altra per la qualit di isolante del

materiale dielettrico interposto. Le cariche elementari presenti negli atomi dei

materiali dielettrici sono infatti reciprocamente vincolate in maniera tale che la

forza derivante da un campo elettrico esterno pu solo determinarne un leggero

scorrimento conseguente alla deformazione delle orbite elettroniche (fenomeno

della polarizzazione). Solo nel caso in cui il campo elettrico assuma unaintensit tale da superare la resistenza offerta da detti vincoli (cio la rigidit

dielettrica del materiale isolante) si verifica una scarica disruptiva di corrente

nel dielettrico, che determina la distruzione del condensatore.

Dato che la corrente di spostamento attraverso il dielettrico, corrisponde alla

variazione di accumulo di cariche sulle armature del condensatore, la relazione

costitutiva tensione-corrente dei condensatori :

dt

tdvC

dt

tdqti

)()()( ==

da cui si deduce:
http://it.wikipedia.org/wiki/Materia_%28fisica%29http://it.wikipedia.org/wiki/Polarizzazionehttp://it.wikipedia.org/wiki/Polarizzazionehttp://it.wikipedia.org/wiki/Materia_%28fisica%29


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( ) ( )0

0

1 1( ) ( )

t

tv t i t dt i t dt V t

C C= = +

cio la tensione ai capi di un condensatore nel generico istante t uguale alla

somma della tensione V(t0) nell'istante considerato iniziale e della variazioneprodotta dalla corrente da tale istante fino all'istante generico t.

Il condensatore quindi un elemento circuitale con memoria, che, se

alimentato con tensione continua costante, si comporta a regime come un

circuito aperto.

L'energia elettrostatica, immagazzinata in un condensatore e localizzata nel

materiale dielettrico interposto fra le armature, pari al lavoro fatto per

caricarlo. Per muovere un elemento di carica dq(t)=i(t)dt da una piastra all'altra

sotto l'azione della differenza di potenziale v(t), il lavoro necessario

dw=v(t)i(t)dt.Se in un dato intervallo di tempo (t1t2) si aumenta la tensione applicata aimorsetti di un condensatore ideale, nel suo campo elettrico viene immagazzinata

l'energia:

2 2

1 1

2 2

2 1

( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

t t

Ct t

dv tW v t i t dt v t C dt C v t v t

dt = = = [J] .

che rimane disponibile allo stato di energia potenziale del campo e viene

restituita quando la tensione diminuisce. Tale energia dipende quindi dalla

capacit del condensatore e dai valori assunti dalla d.d.p. tra i suoi morsetti

negli istanti estremi dell'intervallo; pertanto se all'istante iniziale il condensatore

scarico l'energia immagazzinata vale:

21( ) ( )2

CW t Cv t = [J] .

Il condensatore quindi un elemento reattivo, perch pu restituire al circuito

in cui inserito l'energia che in precedenza aveva ricevuto, ed passivo perch

l'energia restituita non pu eccedere quella precedentemente fornitagli.

I condensatori hanno molte applicazioni nei campi dell'elettrotecnica e

dell'elettronica. Sono usati, oltre che per immagazzinare energia, per rifasare icarichi induttivi, per consentire l'avviamento dei motori asincroni monofasi, per

bloccare correnti continue, per filtrare, ecc.

Sono disponibili in commercio molti tipi di condensatori, con capacit che

spaziano da pochi picofarad a diversi farad e tensioni di funzionamento da

pochi volt fino a molte migliaia di volt. In generale, maggiore la tensione e la

capacit, maggiori sono le dimensioni, il peso ed il costo del condensatore.

In funzione della tecnologia costruttiva e degli impieghi specifici, i

condensatori si presentano nelle forme pi diverse, dai grossi contenitori

cilindrici dei condensatori elettrolitici alle minuscole pastiglie dei condensatoriceramici o alla forma a goccia di quelli al tantalio.
http://it.wikipedia.org/wiki/Lavoro_%28fisica%29http://it.wikipedia.org/wiki/Elettrotecnicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettronicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Volthttp://it.wikipedia.org/wiki/Volthttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettronicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettrotecnicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Lavoro_%28fisica%29


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I condensatori, in base al tipo di dielettrico (che pu essere liquido, solido o gassoso), sono classificati in:

- Condensatori ceramici (fig. E1-12): hanno in generale piccole dimensioni e vengono utilizzati di preferenza

nella tecnica delle alte frequenze. Presentano diverse caratteristiche a seconda del tipo di materiale ceramico

[vetro: altamente stabili ed affidabili; carta impregnata di olio: per l'avviamento di motori elettrici e il

rifasamento; mylar: per gestione di segnale, circuiti integratori ecc.; mica argentata: per applicazioni di

precisione, nei circuiti risonanti, nei filtri di frequenze e negli oscillatori ad alta stabilit, ideali per applicazioni

radio].

- Condensatori elettrolitici (con armature di alluminio o di tantalio - fig. E1-13).In tali condensatori, che sono i

pi comuni ed hanno un elevatissimo valore di capacit per unit di volume rispetto a tutti gli altri tipi,

l'isolamento dovuto alla formazione di uno sottilissimo strato di ossido metallico, dello stesso materiale

dell'armatura (dell'ordine di 0,001m) e con elevata costante dielettrica, sulla superficie dell'armatura checostituisce l'anodo. Il catodo costituito da un secondo elettrodo metallico che, nella maggior parte dei casi,

coincide con ilcaratteristico involucro metallico di forma cilindrica che fa da contenitore. Tra armatura positiva(anodo) e armatura negativa (catodo) viene interposto un elettrolita (fluido elettricamente conduttore di solito

costituito da una soluzione salina) con il compito di assicurare la permanenza dello strato di ossido sull'armatura

positiva. La sottigliezza dello strato di ossido consente di ottenere molta pi capacit in poco spazio, per contro il

condensatore non pu sopportare tensioni molto alte e per conservare l'ossido stesso necessario rispettare unaprecisa polarit nella tensione applicata, altrimenti se il condensatore viene collegato al circuito con le polarit

invertite l'isolamento cede e si ha distruzione del condensatore. Tra i diversi tipi di condensatori elettrolitici, che

trovano impiego principalmente negli alimentatori, per il livellamento della tensione e la riduzione del ripple,

quelli ad ossido di alluminio sono compatti ma con elevate perdite; quelli supercondensatori e

ultracondensatori presentano capacit estremamente elevate fino rispettivamente a decine e centinaia di farad.

Fig. E1-12 condensatori ceramici Fig. E1-13 condensatori elettrolitici

- Condensatori variabili. Una applicazione tipica di tali condensatori si ha nei circuiti di sintonia delle radio,

dove la capacit variata mediante cambiamento meccanico della distanza tra le armature o della superficie

sovrapposta delle armature. Un'altra applicazione si ha nei microfoni a condensatore, dove una membrana, checostituisce un'armatura, posta in vibrazione dai suoni e la conseguente variazione di distanza dall'armatura fissa

provoca una variazione di capacit e quindi di tensione ai capi del condensatore. In campo industriale i

condensatori variabili sono usati in alcuni sensori di pressione, nei sensori di prossimit capacitivi e in alcuni

sensori di livello di liquidi in cisterne.

- Condensatori ad aria: altamente resistenti agli archi ma non consentono capacit elevate. I condensatori

variabili pi grandi sono di questo tipo, ideale nei circuiti risonanti delle antenne.

Il posizionamento del condensatore deve prevedere lo spazio necessario per la dissipazione termica del

componente e se necessario si deve provvedere con circolazione di aria forzata mediante ventilazione.
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15

Come si ricordato al paragrafo E1-2 le cariche elettriche producono un campo

di forze, rappresentato dal vettorecampoelettrico K [V/m], che agisce su altre

cariche elettriche presenti nello spazio circostante. Anche le correnti elettrichecreano un campo di forze, rappresentato dal vettore campo magnetico H

[A/m], che agisce su altri conduttori percorsi da corrente e su magneti

permanenti presenti nello spazio circostante.

E1-6. Induttori.

In figura E1-14a rappresentato il campo magnetico creato da un conduttore rettilineo percorso da corrente; tale

campo costituito da circonferenze concentriche disposte su piani normali a quest'ultimo; su tutti i punti della

generica circonferenza il campo H uguale in valore, la sua direzione quella della tangente alla circonferenza

ed il verso quello con cui si deve girare una vite destrorsa affinch avanzi nel verso della corrente. In figura E1-

14b rappresentato il campo magnetico creato da una bobina percorsa da corrente.

Fig. E1-14a Fig. E1-14b

Ci premesso definiamo:- vettore induzione magnetica B= H [Wb/m2]; corrispettivo di J=K [A/m

2];

- permeabilit magnetica=0r[H/m], con rpermeabilit magnetica relativadel materiale e 0=410

-7permeabilit magnetica del vuoto;

- flusso magnetico = SB(S) n dS [Wb] ; corrispettivo di I= SJ(S) n dS [A];

- flusso magnetico concatenato [Wb] con un avvolgimento percorso dacorrente la somma dei flussi concatenati con le varie spire dell'avvolgimento

Ad esempio, nel caso della bobina di N spire di figura

E1-15, percorsa dalla corrente i(t), il flusso concatenato :

= NN + n1 n1 +n2n2.Se ' il flusso magnetico equivalente concatenatototalmente con tutte le N spire, si ha:

= N' .Fig. E1-15

- induttanza L il rapporto tra il flusso concatenato con un conduttore percorso

da corrente e l'intensit della corrente che lo produce: L = / I .

L'induttanza il parametro che caratterizza un induttore; essa, oltre che delnumero di spire del conduttore, funzione, come anche i parametri R e C, delle


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16

dimensioni geometriche e dalle caratteristiche (r) del mezzo con cui statorealizzato il circuito magnetico. L'unit di misura l'henry [H] = [Wb/A] =

[Vs/A] = [s]; come per la capacit dei condensatori, anche in questo caso siusano spesso i sottomultipli dell'henry [mH].

Poich un induttore un componente circuitale che produce un campo

magnetico nello spazio circostante, qualsiasi conduttore percorso da una

corrente un induttore. Chiameremo per induttore preferibilmente un

componente appositamente realizzato per produrre un dato campo magnetico,

disponendo un avvolgimento attorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico.

Mentre la resistenza si oppone al flusso di corrente, l'induttanza, che nei circuiti

elettrici viene rappresentata con il simbolo riportato in figura E1-16, si oppone

alle variazioni della corrente.

Fig. E1-16

Le principali relazioni relative ai campi magnetici sono:

- teorema di Ampre; l'integrale del vettore campo magnetico esteso ad una

linea chiusa l (circuitazione) sullaquale fissato un verso positivo uguale alla

somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie S che ha l come

contorno:

Hdl = kNkikdove Nk il numero dei concatenamenti della corrente ik (la corrente concatenata

si considera positiva se attraversa S in verso concorde a quello di avanzamento

di una vite destrorsa che gira secondo il verso scelto come positivo lungo l);

- forza magnetomotrice (f.m.m.); in analogia alla d.d.p. la caduta di tensione

magnetica fra due punti A e B in un campo magnetico :

ABB

A d= H l ,quindi per il teorema di Ampre la somma delle cadute di tensione magnetica

lungo un percorso chiuso uguale alla f.m.m. totale concatenata al percorso

stesso:

. . . k kkf m m N i=

l'unit di misura della f. m. m. e della tensione magnetica l'ampre-spira.

- legge di Hopkinson; nel caso di un avvolgimento di N spire percorso dalla

corrente I disposto su un circuito magnetico di sezione S(l) e permeabilit

magnetica (l), in generale variabili lungo l, essendo nel generico punto di unalinea di forza del campo magnetico nel nucleo:


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17

H( )( ) ( )

ull l

=

S Bnell'ipotesi di induzione costante nella sezione, applicando il teorema di Ampre

si ottiene:B

uH d d

( )S( )l lNI

l l= = = l l

dove il versore uB tangente alla linea di forza e normale ad S(l) e il parametro

Bu

= d( )S( )l l l

l prende il nome di riluttanza e si misura in [H

-1] e nel caso di permeabilit e

sezione costante lungo tutto il circuito chiuso vale l /.S .

La relazione NI = nota come legge di Hopkinson formalmente ugualealla legge di Ohm per i circuiti elettrici (E=RI); dove la f.m.m. NI ha un ruoloanalogo a quello della f.e.m. E, la riluttanza a quello della resistenza R e ilflusso a quello della corrente I.Pertanto nel caso di un flusso totalmente concatenato con N spire si ha:

( )( )

( )( )

2t N t NL

i t i t

= = =

Dove in molti casi pratici (circuito magnetico formato da pi tronchi inciascuno dei quali permeabilit magnetica e sezione sono costanti) si calcolacome:

k

kk kS

l

=

dove lk, Ske kindicano rispettivamente la lunghezza, la sezione e la riluttanzadel tronco k-esimo del circuito magnetico.

Nella figura E1-17 rappresentato un

circuito magnetico costituto da tretronchi: uno di ghisa di sezione S1 ,

lunghezza l1 e permeabilit 0g, unodi lamiere normali di sezione S2 ,

lunghezza l2 e permeabilit 0ln euno di aria di sezione Sr di lunghezza

lr e permeabilit 0 ; su tale circuitosono disposte due bobine: una di N1

spire percorse dalla corrente I1 e una

di N2 spire percorse dalla corrente I2 . Fig. E1-17


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18

Nella pratica i circuiti magnetici sono realizzati utilizzando materiali con

elevata permeabilit magnetica relativa, che hanno la propriet di concentrare

nel loro interno le linee di forza del campo d'induzione magnetica.

- legge di Lenz; se un induttore di induttanza costante L percorso da una

corrente variabile i(t) si induce in esso, a causa della variazione del flusso

concatenato, una tensione (f.c.e.m.) di polarit tale da produrre effetti che si

oppongono a tale variazione e di valore proporzionale alla rapidit della

variazione e pertanto la relazione costitutiva di un induttore :

[ ( )] ( )( )

d d Li t di t v t L

dt dt dt

= = = ;

questa opposizione comporta un ritardo nel raggiungimento di un nuovo valore

di regime da parte della corrente; l'induttanza cio l'equivalente in campo

elettrico dell'inerzia in campo meccanico.

Dalla relazione della f.c.e.m. si deduce:

00

1 1( ) ( ) ( ) ( )

t

ti t v t dt v t dt i t

L L= = +

cio la corrente in un induttore nel generico istante t uguale alla somma della

corrente i(t0) nell'istante considerato iniziale e della variazione prodotta dalla

tensione applicata da tale istante fino all'istante generico t.

L'induttore quindi un elemento circuitale con memoria che si comporta

come un cortocircuito quando la corrente che lo attraversa costante.

Per costituire il campo magnetico concatenato con un circuito si deve spendere

una certa energia. L'energiamagnetica che nell'intervallo di tempo (t1t2) vieneimmagazzinata nel campo magnetico di un induttore lineare ideale :

2 2

1 1

2 22 1

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

2

t t

Lt t

di tW p t dt L i t dt L i t i t

dt = = = [J] ,

essa dipende cio dai valori assunti dalla corrente agli estremi dell'intervallo di

tempo (t1t2); pertanto in qualunque istante t successivo all'inizio del passaggio

di corrente in un induttore l'energia immagazzinata vale:21( ) ( )

2LW t L i t = [J]

e la densit di energia w = LI2/2l

3= I/2l3 = Bl2Hl/2l3 = B2/2 [J/m3].

L'induttore ideale restituisce poi al circuito parzialmente o integralmente

l'energia immagazzinata, quando la corrente si riduce o si annulla.

Anche l'induttore, come il condensatore, quindi un elemento circuitale

reattivo passivo.

Gli induttori sono usati per immagazzinare energia e filtrare.


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19

E1-7. Circuiti mutuamente accoppiati.

Due circuiti sono mutuamente accoppiati se, quando uno dei due percorso da

corrente, una parte pi o meno rilevante delle linee di induzione da esso

generate si concatena anche con l'altro. In tale caso ogni variazione di correntenel primo circuito induce nel secondo una f.e.m. di mutua induzione, la cui

entit dipende, oltre che dalla entit di variazione della corrente, dalla

conformazione e dalla posizione reciproca dei due circuiti. Ogni coppia di

circuiti viene perci caratterizzata da un coefficiente di mutua induzione M

(misurato in henry) che d la misura del flusso che si concatena con ciascuno di

essi, quando l'altro percorso dall'unit di corrente.

Si considerino (fig. E1-18a) due avvolgimenti di N1 e N2 spire disposti su di un

circuito magnetico di permeabilit costante; la corrente i1 (i2) che percorre

l'avvolgimento di induttanza L1 (L2) genera un flusso una parte del quale 21(12) va a concatenarsi con le spire N2 (N1) dell'induttore di induttanza L2 (L1).Il flusso 21 (12) totalmente concatenato con l' avvolgimento di induttanza L2(L1) causato dalla corrente i1 (i2) definito flusso di mutua induzione ed

proporzionale ad i1 (i2) secondo il coefficiente di mutua induzione:

21 2 21 12 1 1221 12

1 1 2 2

N NM M

i i i i

= = = =

1

2

2

1

N

N

21

*

*

L L11

2i

2v+

_1

1

v

i

+

_ d 2d

1L1v

1i

+

_ 2L

2i

2v+

_

M

2

a) b)

Fig. E1-18

La mutua induzione tra due avvolgimenti viene normalmente rappresentata

negli schemi elettrici come in figura E1-18b. I pallini corrispondono ai principi

dei due avvolgimenti supposti avvolti nello stesso senso. Se la corrente che

entra dal pallino di un avvolgimento crescente, la tensione indotta nell'altroavvolgimento positiva dalla parte del pallino.

Si dimostra che: M12=M21=M=k(L1L2) e che il coefficiente di accoppiamento k in modulo sempre minore di 1, perch non tutto il flusso magnetico prodotto

dalla corrente che circola in un avvolgimento si concatena con l'altro.

Mentre l'induttanza un parametro positivo, la mutua induttanza pu assumere

valori positivi o negativi a seconda dei versi scelti per le correnti; se il verso

delle linee di flusso d'induzione magnetica generate dalla corrente in un

avvolgimento che vanno a concatenarsi con l'altro concorde con il verso delle

linee di flusso che in quest'ultimo avvolgimento sono generate dalla correnteche lo percorre quando assume valore positivo, la mutua induttanza positiva.


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20

Se entrambi i due avvolgimenti sono percorsi da corrente, il flusso magnetico

totalmente concatenato con ognuno dei due dato, in condizioni di linearit,

dalla somma algebrica dei flussi di auto e di mutua induzione:

1 1 1 2 2 2 2 1L i Mi L i Mi = + = +

Se le correnti i1 e i2 nei due induttori variano nel tempo, variano anche i flussi di

autoinduzione e di mutua induzione; di conseguenza le cadute di tensione ai

loro morsetti (nel caso di coefficienti di auto e mutua induttanza costanti)

risultano:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 21 1 2

1 1

2 2 12 1 2

2 2

d L i t Mi t d t di t di t v t L M

dt dt dt dt

d L i t Mi t d t di t di t v t M L

dt dt dt dt

+ = = = +

+ = = = +

L'energia fornita ad un circuito costituito da due induttori mutuamente

accoppiati pari alla somma delle energie fornite agli stessi induttori.

Supponendo il sistema energeticamente scarico per t=0, per induttori lineari

ideali l'energia fornita fino al generico istante di tempo t risulta:

2 11 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2

0 0 0 0 0

t t t t t

M

di diW v i dt v i dt L i di L i di M i i dt

dt dt

= + = + + + =

2 2

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2L i L i Mi i= + + [J]

Anche nel caso di due induttori ideali mutuamente accoppiati l'energiaimmagazzinata nel campo magnetico viene restituita integralmente al circuito,

durante la fase di estinzione delle correnti.

Nella tabella E1-1 sono riassunte le relazioni fondamentali relative a resistori,

condensatori e induttori.

RESISTORE CONDENSATORE INDUTTORE

l vR

S i

= = [] 0 r

S qC

v

= = [F]

2N

Li

= =

[H]

0 r

l

S = [H-1]

v Ri= [V] 0 01

( )t

tv i dt v t

C= +

div L

dt= se i=cost v=0 cortocircuito

vi

R= [A]

dq dvi C

dt dt = = se v=cost i=0 circuito aperto ( )

0

0

1 t

ti v dt i t

L= +

2p vi Ri= = [W]

dvp vi vC

dt= =

dip vi L i

dt= =

2

1

t

Rt

W pdt = [Wh]energia che esce dal circuito

sotto forma meccanica,

termica, luminosa, chimica.

( ) ( )2 2 22 11 1

2 2CW Cv C v t v t = =

energia immagazzinata nel campo elettrico.

( ) ( )2 2 22 11 1

2 2LW Li L i t i t = =

energia immagazzinata nel campo magnetico.

Tabella E1-1


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21

E1-8. Caratteristica esterna.

Prendiamo in esame il caso un generatore di tensione con resistenza interna RS

che alimenta attraverso una linea di resistenza trascurabile un carico, costituito

da un resistore lineare di resistenza R*.

v(t)

0 i(t)i (t)cc

e(t)

i*(t)

v*(t)

tg =R*

tg = -Rs

R=

R=0

Fig. E1-19

Si definisce caratteristica esterna di tale generatore il grafico (fig. E1-19) che

riproduce l'andamento della tensione ai suoi morsetti in funzione della corrente

erogata:

v(t) = e(t) Rs i(t) .

Le intersezioni di tale caratteristica esterna con gli assi v e i forniscono

rispettivamente la f.e.m. del generatore o tensione a vuoto e la corrente di

cortocircuito.

La caratteristica del carico (R*) alimentato una retta passante per l'origine

degli assi inclinata di un angolo la cui tangente pari a R*:

v(t) = R* i(t) .

L'intersezione tra la caratteristica esterna del generatore e la caratteristica del

carico alimentato rappresenta il punto di funzionamento del sistema [v*(t) -

i*(t)].


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22

Capitolo E2 - CIRCUITI EQUIVALENTI.

L'analisi dei circuiti elettrici spesso resa pi semplice se una parte di circuito

viene sostituita con un'altra equivalente; tale cio che a seguito di talesostituzione le correnti e le tensioni nella rimanente parte del circuito non

subiscano variazioni.

E2-1. Equivalenza di reti attive e passive.

Due reti (fig. E2-1a) una attiva, costituita da resistenze e da generatori ideali di

tensione e/o di corrente comunque connessi, e l'altra passiva costituita solo da

resistenze comunque connesse, possono essere sostituite con due circuiti

equivalenti rispettivamente uno attivo e l'altro passivo (fig. E2-1b), tali che i

valori di tensione e di corrente nel collegamento esterno non cambino.


Il circuito equivalente della rete attiva

(fig. E2-2) costituito da un generatore

di tensione (generatore di Thevenin) o

da un generatore di corrente (generatore

di Norton) .

Il circuito equivalente della rete passiva

costituito da un bipolo resistivo. Fig. E2-2

La determinazione del valore della resistenza di tale bipolo si ottiene in genereindividuando eventuali bipoli connessi in serie e/o in parallelo e sostituendoli

con idonei bipoli equivalenti; tale operazione viene ripetuta pi volte fino ad

ottenere un solo bipolo di tutta la parte di rete passiva di interesse.

Pi bipoli si dicono connessi in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente,

in parallelo quando sono sottoposti alla medesima tensione.

Nei seguenti due paragrafi E2-2 e E2-3 sono riportate le relazioni per

determinare il circuito equivalente di pi bipoli passivi (di tipo resistivo,

induttivo e capacitivo) connessi in serie e in parallelo; nel paragrafo E3-6b

quelle per determinare i generatori equivalenti di Thevenin e di Norton.


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23

E2-2. Circuiti equivalenti serie.

- resistori in serie

R R R R1 2 3 eq

i i

v v+ +__

v = R1i + R2i + R3i = (R1+ R2+ R3) i = Reqi Req= R1+ R2+ R3

- induttori in serie

L L L L1 2 3 eq

i i

v v+ +_ _

v = (L1+ L2 + L3) di/dt = Leqdi/dt Leq= L1+ L2 + L3

- induttori mutuamente accoppiati in serie

L L L1 2 eq

i i

v v+ +__

M

v = (L1di/dt + L2di/dt + 2Mdi/dt) = (L1+ L2 + 2M) di/dt =Leqdi/dt

Leq= L1+ L2 + 2M

- condensatori in serie

C C C C1 2 3 eq

i i

v+v+ __

=

++=++= idt

C

idt

CCC

idt

C

idt

C

idt

C

v

eq

1111111

321321

( ) ( ) ( )

321

/1/1/1

1

CCCCeq ++

=

Tutti i condensatori assumono la stessa carica elettrica, mentre la tensione ai capi di ogni condensatore

inversamente proporzionale al valore della sua capacit.


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24

E2-3. Circuiti equivalenti parallelo.

- resistori in parallelo

R R R R1

2 3eq

i iv

+

v+

_ _i

i i1 2 3

1 2 3 eq

v v v vi

R R R R= + + =

( ) ( ) ( )321 /1/1/1

1

RRRR

eq ++=

- induttori in parallelo

eqi iv

+

v

+

_ _1i

2i 3i1 2 3

L L L L

=

++=++= vdt

Lvdt

LLLvdt

Lvdt

Lvdt

Li

eq

1111111

321321

( ) ( ) ( )321 /1/1/1

1

LLLLeq

++=

- condensatori in parallelo

eqi i

v

+

v

+

_ _1i

2i 3i1 2 3

C C C C

i = dq1/dt + dq2/dt + dq3/dt = C1dv/dt + C2dv/dt + C3dv/dt =

(C1+C2+C3) dv/dt = Ceq dv/dt Ceq = C1+C2+C3

Tutti i condensatori hanno applicata, ai loro capi, la stessa tensione v, mentre la carica elettrica q direttamente

proporzionale al valore della capacit.


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25

E2-4. Collegamenti a stella e a triangolo.

Nel procedimento per la determinazione del circuito equivalente di una parte di

rete passiva, nel caso in cui vi siano pi bipoli non connessi n in serie n in

parallelo, si ricorre alle trasformazioni triangolo-stella (-Y) o stella-triangolo(Y-) e quindi si procede con serie e parallelo.Una stella un tripolo costituito da tre bipoli aventi un morsetto comune mentre

i tre morsetti liberi sono collegati a punti di diverso potenziale. Un triangolo

un tripolo costituito da tre bipoli collegati uno di seguito all'altro in modo da

formare una figura chiusa e i tre punti di connessione sono collegati a punti di

diverso potenziale. Nelle figure E2-3a e E2-3b sono rappresentati i collegamenti

rispettivamente a stella e a triangolo di tre bipoli resistivi.

Fig. E2-3

Le equazioni che consentono di effettuare le trasformazioni (-Y e Y-) siricavano estendendo ad un tripolo il concetto di equivalenza espresso per un

bipolo. Un tripolo equivalente ad un altro se, considerati due qualsiasi

morsetti dell'uno, la relazione tra tensione applicata ai morsetti e corrente

entrante la stessa di quella che si ottiene considerando i morsetti

corrispondenti dell'altro tripolo. Ci equivale, imponendo l'equivalenza fra i due

tipi di collegamento per ognuna delle tre coppie di nodi, ad impostare il

seguente sistema di equazioni:

( )21

312312

312312 RRRRR

RRR+=

++

+

( )32

312312

311223 RRRRR

RRR+=

++

+

( )13

312312

231231 RRRRR

RRR+=

++

+


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26

che risolto assumendo come incognite R1, R2, R3

fornisce la terna di equazioni

che definiscono la trasformazione triangolo-stella (-Y):

RR R

R R R1

12 31

12 23 31

=+ +

RR R

R R R2

23 12

12 23 31

=+ +

RR R

R R R3

31 23

12 23 31

=+ +

mentre risolto assumendo come incognite R12, R23, R31

si ottiene la terna di

equazioni che definiscono la trasformazione stella-triangolo (Y-):

RR R R R R R

R12

1 2 3 1 2 3

3

=+ +

RR R R R R R

R23

1 2 3 1 2 3

1

=+ +

RR R R R R R

R31

1 2 3 1 2 3

2

=+ +

Nel caso di tre resistenze uguali, posto R12=R23=R31=R e R1=R2=R3=RY , le

sei precedenti relazioni si riducono alla seguente:

R = 3RY.

N.B. In generale la resistenza equivalente di una qualsiasi parte di rete elettrica

si pu determinare come rapporto fra la tensione applicata tra i suoi due

morsetti e la corrente entrante da uno dei due. La rete deve per essere passiva o

resa tale disattivando tutti gli eventuali generatori presenti.


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Capitolo E3 - METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI

E3-1. Definizioni.

In figura E3-1 rappresentata una generica rete elettrica composta da vari rami,

nodi e maglie. Definiamo:

- ramo un circuito caratterizzato da un dato valore dell'intensit di corrente;

- nodo una qualsiasi superficie chiusa in cui confluiscono tre o pi rami;

- maglia un insieme di rami che formano una figura chiusa;

- rete un insieme di maglie aventi rami in comune.

Fig. E3-1

Le direzioni convenzionali di riferimento della tensione (il morsetto a

potenziale maggiore contrassegnato col segno +, l'altro col segno -) e della

corrente (una freccia indica il verso in cui si muovono le cariche positive

quando la corrente positiva) associate ad ogni circuito vengono prefissate in

maniera arbitraria e indipendentemente l'una dall'altra. Tuttavia ai fini pratici

risulta conveniente scegliere il verso della corrente entrante dal morsettocontrassegnato col + quando il circuito utilizzatore, il verso opposto quando

il circuito generatore. La distinzione fondamentale ai fini della potenza

elettrica; il prodotto vi se ha segno positivo nella convenzione dell'utilizzatorefornisce la potenza assorbita dal circuito, in quella del generatore fornisce la

potenza erogata dal circuito.


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28

E3-2. Principi di Kirchhoff.

Primo principio di Kirchhoff: la somma delle correnti entranti in un nodo

uguale alla somma delle correnti uscenti; ci in quanto in un nodo in

condizione di regime stazionario non pu aversi n accumulo n sottrazione dicariche elettriche. Pi in generale la somma algebrica di tutte le correnti

entranti in un nodo zero.

( ) 0kk

i t = Per il nodo N di figura E3-2a si ha: i1+i2+i5 = i3+i4 ; per la superficie chiusa di

figura E3-2b si ha: iCiAiF = 0.


Secondo principio di Kirchhoff: la somma algebrica delle f.e.m. che agiscono

nei rami di una maglia di una rete elettrica uguale alla somma algebrica

delle cadute di tensione lungo i rami della stessa maglia:

( ) ( )k k kk ke t R i t = Le cadute di tensione Ri sono assunte positive se la corrente, nel ramo

considerato, circola nel verso di percorrenza della maglia, negative in caso

contrario; le f.e.m. sono assunte positive se, seguendo il verso di percorrenza

della maglia, si entra dal morsetto negativo del generatore, negative in caso

contrario. Le tensioni di lato incognite si calcolano poi successivamente con le

equazioni costitutive.


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29

E3-3. Albero e coalbero.

Se i rami di una rete (fig. E3-3a) vengono vengono sostituiti con linee si ottiene

il cosiddetto grafo della rete (fig. E3-3b). Due reti diverse ma con lo stesso grafo

sono caratterizzate dalle stesse equazioni di Kirchhoff.Un percoso che collega tutti i nodi del grafo, senza formare maglie, viene

chiamato albero; i lati del grafo, che non fanno parte dell'albero, costituiscono il

coalbero.

In figura E3-3c sono rappresentati un albero (lati a tratto continuo) ed il

coalbero (lati tratteggiati) del grafo di figura E3-3b.


Man mano che ad un albero si aggiunge un lato del coalbero si forma una

maglia; le maglie cos individuate hanno la propriet di avere un lato in

esclusiva cio non appartenente ad altre maglie.

Come esempio si consideri la rete di figura E3-4a. Le 3 maglie indipendentivengono individuate aggiungendo, ad uno degli alberi della rete, i lati del

coalbero (figg. E3-4b e E3-4c).


Se nella rete sono presenti generatori ideali di corrente, il criterio di scelta delle

maglie indipendenti non cambia ma opportuno che i generatori di corrente si

trovino inseriti in lati del coalbero. Le equazioni alle maglie comprendenti

generatori di corrente servono solo al calcolo della tensione ai morsetti di tali

generatori.


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E3-4. Analisi dei circuiti.

L'analisi di una rete con sollecitazioni e parametri noti consiste nel determinare

le correnti che circolano nei vari rami e le differenze di potenziale tra punti

generici. Per risolvere tale problema si possono utilizzare varie metodologie, tracui:

- il metodo delle correnti di ramo,

- il metodo delle correnti di maglia,

- il principio di sovrapposizione degli effetti,

- il generatore equivalente di Thevenin.

E3-4a. Metodo delle correnti di ramo.

Un modo per effettuare l'analisi di una rete comunque complessa, costituita da nnodi e r rami, consiste nell'impostare un sistema di r equazioni linearmente

indipendenti, applicando i due principi di Kirchhoff, dopo aver attribuito

arbitrariamente i versi convenzionali di riferimento per le correnti incognite.

Il primo principio di Kirchhoff si applica a n1 nodi della rete. Il nodo n-esimoa cui non applicarlo (in quanto la relativa equazione non sarebbe significativa)

completamente arbitrario.

Il secondo principio di Kirchhoff si applica, dopo aver stabilito un verso di

percorrenza positivo, a r(n1) maglie, scelte in modo che le equazioni risultino

tra loro linearmente indipendenti; a tal fine sufficiente che ogni magliacontenga almeno un lato non appartenente ad altre maglie. Per la scelta delle

maglie conviene individuare un albero e quindi aggiungere i lati del coalbero. Si

pu anche usare il seguente procedimento: applicato il secondo principio di

Kirchhoff ad una generica maglia, si interrompe un suo ramo prima di scegliere

la successiva maglia a cui applicarlo e cos di seguito finch nella rete sono

presenti percorsi chiusi.

I rami che contengono generatori di corrente vanno interrotti prima di applicare

il metodo poich in essi la corrente nota e pari a quella imposta dal generatore.

Risolvendo il sistema cos impostato, si ricavano tutte le r correnti incognitedella rete; le correnti che risultano negative scorrono in senso opposto a quello

inizialmente attribuito in modo arbitrario.


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Esempio. Per risolvere il circuito di figura E3-6 costituito da 6 rami e 4 nodi

utilizzando i due principi di Kirchhoff dovremmo scrivere n 1= 3 equazioni ainodi e r(n1) = 3 equazioni alle maglie. Nel caso di funzionamento a regimestazionario per, dato che sono nulle le d.d.p. tra i morsetti degli induttori

percorsi da corrente costante (cortocircuiti) e le correnti nei condensatori

alimentati a tensione costante (circuiti aperti), i6 = 0 e quindi i3 = i5 = i4 ed perci sufficiente scrivere 1 equazione ai nodi e 2 equazioni alle maglie:

i1 + i3 = i2

e1 = R1 i1 + R2 i2e5 = (R3+R4+R5) i3 +R2 i2

Fig. E3-6

Risolvendo tale sistema si ricavano le correnti nei rami della rete e quindi si

possono determinare le d.d.p. tra i vari nodi.


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E3-4b. Metodo delle correnti di maglia.

Il metodo delle correnti di ramo permette di risolvere qualsiasi rete comunque

complessa. Se per il numero delle incognite elevato per abbreviare il

procedimento di calcolo conviene utilizzare il metodo delle correnti di maglia.Tale metodo consente infatti di impostare, utilizzando il secondo principio di

Kirchhoff, un sistema ridotto costituito da r-(n-1) equazioni, aventi come

incognite delle correnti fittizie che fluiscono nelle singole maglie indipendenti

della rete; in funzione di tali correnti fittizie si ricavano poi in maniera semplice

e rapida tutte le r correnti incognite reali.

Operativamente si procede nel seguente modo:

- si individuano tutte le maglie indipendenti e si attribuiscono loro correnti

fittizie aventi (non obbligatoriamente) tutte lo stesso verso (orario o antiorario)

convenzionalmente scelto come positivo;- si scrivono le equazioni alle maglie in funzione di tali correnti fittizie (nelle

maglie in cui presente un generatore di corrente la corrente quella imposta

dal generatore stesso) e si risolve il sistema ottenuto;

- si determinano infine le correnti reali in ogni ramo, effettuando la somma

algebrica delle correnti fittizie relative a quel ramo.

L'equazione relativa ad ogni singola maglia strutturata nel seguente modo:

- il primo membro costituito dalla somma algebrica delle tensioni dei

generatori di tensione presenti nella maglia, il cui segno positivo o negativo a

seconda che la loro polarit sia tale da fare circolare la corrente di maglia nelsenso convenzionalmente assunto come positivo o no;

- il secondo membro costituito da un termine positivo, ottenuto dal prodotto

della corrente fittizia circolante nella maglia per la somma di tutte le resistenze

presenti nella maglia, e da tanti termini negativi, ottenuti come prodotti delle

correnti fittizie circolanti nelle maglie contigue per le resistenze dei rami a

comune.

Ad esempio, nel caso del circuito di figura E3-7 per determinare le sei correnti

di ramo, sufficiente risolvere il seguente sistema di tre equazioni che ha come

incognite le correnti di maglia ia ib ic .

e1 = (R1+R2) ia R2 ibe5 = (R2+R3+R4+R5)ibR2 iaR5 ice5 e6 = (R5+R6)ic R5 ib

Fig. E3-7

Ci fatto le correnti di ramo valgono:

i1 = ia i2 = ia - ib i3 = -ib i4 = ib i5 = ic - ib i6 = ic .


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E3-4c. Principio di sovrapposizione degli effetti.

In una rete composta da elementi lineari dove agiscono pi generatori di

tensione e/o corrente la corrente in un ramo (o la d.d.p. tra due punti) pari alla

somma delle correnti (o delle d.d.p.) che i singoli generatori vi produrrebbero

agendo separatamente.

E' possibile quindi determinare l'intensit della corrente in un ramo (o della

d.d.p. tra due punti generici) di una rete procedendo nel seguente modo:

1) si scompone la rete in esame in tanti reti parziali (quanti sono i generatori)

aventi ciascuna tutti i generatori disattivati tranne uno;

2) si calcola per ognuna di queste reti la corrente nel ramo desiderato (o la d.d.p.

tra i due punti di interesse);

3) si sommano algebricamente i valori parziali delle correnti in quel ramo (o

delle d.d.p. tra quei due punti).

Un generatore ideale di tensione disattivato quando tensione ai suoi morsetti

nulla, ossia quando in corto circuito; pertanto per annullare l'azione di un

generatore di tensione reale si deve cortocircuitare la sua forza elettromotrice

lasciando inserita la sua resistenza interna in serie.

Un generatore ideale di corrente disattivato quando eroga corrente nulla, ossia

quando un circuito aperto; pertanto per annullare l'azione di un generatore di

corrente reale si deve aprire il ramo che lo contiene lasciando inserita la sua

resistenza interna in parallelo.

E3-4d. Generatore equivalente di Thevenin.

In base al teorema di Thevenin, una parte di rete lineare comunque complessa,

comprendente resistori e generatori di tensione e/o di corrente, e con due

morsetti accessibili (A e B) pu essere sostituita con un generatore reale di

tensione, detto generatore di Thevenin, la cui f.e.m. ETh uguale alla d.d.p. tra i

morsetti A e B a vuoto (cio in assenza della restante parte della rete o circuito

esterno) e la cui resistenza interna RTh uguale a quella vista dagli stessi

morsetti A e B sempre in assenza del circuito esterno e con la rete resa passivadisattivando tutti i generatori presenti.

Spesso non necessario effettuare una analisi di tutta la rete ma interessa

determinare una sola grandezza, ad esempio la corrente assorbita da un certo

utilizzatore.I teoremi citati costituiscono un mezzo potente per l'analisi dei circuiti; possono determinarsi molto rapidamente

applicando il teorema di Thevenin.


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Nella tabella E3-1 sono poste in corrispondenza grandezze e leggi relative a

circuiti elettrici e magnetici, da cui si possono notare le notevoli analogieesistenti tra tali circuiti.

E3-5. Analogia tra circuiti magnetici e circuiti elettrici.

GRANDEZZE LEGGIElettriche Magnetiche Elettriche Magnetiche

Simbolo e nome U.M. Simbolo e nome U.M. J = .

K =

K

.

B=

J

.

K

H

Campo elettrico[V/m] H

Campo magnetico[Aspire/m]

jDensit di corrente

[A/m2

] BInduzione magnetica

[T]=[Wb/m2

]

Conducibilit elettrica[.m]

-1 Permeabilit

magnetica

[H.m]

[Wb/Am]

-1

VTensione elettrica

AB [V] Tensione magnetica

AB [A]=[C/s] V = K.

l = H.

I

l

Corrente elettrica[A]

Flusso magnetico[Wb]=[V. I= Js] . = BdS

.

dS

a

per un nodoI = 0 a

per un nodo = 0

R=l/S=l/SResistenza elettrica

[]=[S] =l/S-1Riluttanza

[H]-1=[. s][A spire/Wb]

-1 V = R.

Legge di OhmI = .

Legge di Hopkinson.

EForza elettromotrice[V]

N

.

Forza

magnetomotriceI

[A] (amperspire) P = R.I2

Energia dissipata (J)

t

E = RIPer una maglia

W = (1/2)..Energia immagazzinata (J)

2

NI = Per una maglia

Tabella E3-1

Cos ad esempio:

- note le dimensioni geometriche e le caratteristiche magnetiche di un generico

circuito magnetico, possibile scomporlo in pi tronchi (regioni a permeabilit

e sezione costante) ognuno caratterizzato da una propria riluttanza che

nell'analogia magneto-elettrica corrisponde ad una resistenza;


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- note poi il numero di spire delle varie bobine disposte sul circuito magnetico e

l'ampiezza e il verso delle correnti che le percorrono possibile determinare

entit e polarit delle varie f.m.m. che nell'analogia magneto-elettrica

corrispondono a generatori di tensione.

Determinato perci il circuito elettrico equivalente (fig. E3-8), l'analisi di un

circuito magnetico pu essere effettuata utilizzando leggi e relazioni analoghe a

quelle dei circuiti elettrici (legge di Ohm, principi di Kirchhoff, circuiti

equivalenti serie parallelo, ecc.).

Fig. E3-8

Una differenza fondamentale tra circuiti magnetici ed elettrici deriva dalle

differenti caratteristiche funzionali determinate rispettivamente dalla

permeabilit magnetica dei materiali ferromagnetici e dalla conducibilit dei materiali conduttori:

- la permeabilit infatti molto variabile al variare della f.m.m., mentre laconducibilit praticamente costante al variare della d.d.p.;- non esistono materiali magnetici la cui permeabilit possa ritenersi

praticamente nulla rispetto a quella dei materiali ferromagnetici, mentre la

conducibilit degli isolanti pu ritenersi praticamente nulla rispetto a quella dei

materiali conduttori; per cui la presenza di un tratto in aria in un circuito

magnetico comporta una riduzione del flusso, mentre in un circuito elettrico

l'annullamento della corrente.

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