Cap. 12 Area dei Cap. 12 Area dei quadrilateri e del triangolo quadrilateri e del triangolo

AreaArea

• Un qualsiasi Un qualsiasi poligono, per poligono, per definizione, definizione, racchiude al suo racchiude al suo interno una porzione interno una porzione di pianodi piano

• Si definisce area la Si definisce area la misura di questa misura di questa porzione di pianoporzione di piano

L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea spezzata chiusa non intrecciata

Misure diretta di un’areaMisure diretta di un’area• Innanzitutto ricordiamoci cosa Innanzitutto ricordiamoci cosa

significa misurare?significa misurare?Nel caso di un’area questa grandezza corrisponde ad una superficie unitaria come mostrato in figura

area

Superficie unitaria

Se vado a contare quante volte la superficie unitaria entra nell’area trovo il valore si 32

Ho eseguito una misura diretta di superficie perché ho preso una

superficie unitaria e ho visto quante volteera contenuta nella superficie

da misurare

Misura indiretta di un’areaMisura indiretta di un’area• Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le

lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitariounitario

• Ripetiamo la stessa suddivisione precedente dell’areaRipetiamo la stessa suddivisione precedente dell’area

• Abbiamo 4 file da 8 quadratini di area uAbbiamo 4 file da 8 quadratini di area u2 2 , otteniamo lo , otteniamo lo stesso risultato facendo 4u x 8ustesso risultato facendo 4u x 8u

• Questo equivale a fare: A = a x d Questo equivale a fare: A = a x d

In questo modo non abbiamo fatto una misura diretta dell’area

ma l’abbiamo calcolata.Il calcolo di un’area equivale ad una

misura indiretta perché nonho fatto alcun confronto fra

la grandezza in esame e la sua unità di misura

Area del rettangoloArea del rettangolo

• Consideriamo il Consideriamo il

seguente rettangoloseguente rettangolo • Indichiamo conIndichiamo con bb la la

base e con base e con hh l’altezza l’altezza

• Per quanto detto prima Per quanto detto prima l’area sarà:l’area sarà:

base

altezza

A = b x h

Altezza di un triangoloAltezza di un triangolo• Consideriamo un triangoloConsideriamo un triangolo

• Tracciamo la perpendicolare Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per Aal lato BC passante per A

• Sia H la proiezione di A su ACSia H la proiezione di A su AC

• Si definisce Si definisce altezza di un altezza di un triangolo relativa ad un lato il triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimoarriva sul lato medesimo

• Cioè la distanza di Cioè la distanza di AA dal lato dal lato BCBC

Area del triangoloArea del triangolo

• Consideriamo il seguente Consideriamo il seguente triangolotriangolo

• Tracciamo l’altezza relativa Tracciamo l’altezza relativa al lato cal lato c

• Risulta chiaro che in questo Risulta chiaro che in questo caso noi mon possiamo caso noi mon possiamo semplicemente moltiplicare c semplicemente moltiplicare c x h per trovare l’areax h per trovare l’area

• Se lo facessimo troveremmo Se lo facessimo troveremmo l’area di questo rettangolol’area di questo rettangolo

Area rettangolo = c x hMa che relazione esiste fra l’area del triangolo e quella del rettangolo? …. Cerchiamo di scoprirla

Secondo criterio di Secondo criterio di congruenzacongruenza

• Consideriamo due Consideriamo due triangoli che hanno un triangoli che hanno un lato uguale e uguale i lato uguale e uguale i due angoli ad esso due angoli ad esso adiacentiadiacenti

• Siccome noi sappiamo Siccome noi sappiamo che la somme degli che la somme degli angoli interni di un angoli interni di un triangolo è 180° l’altro triangolo è 180° l’altro angolo sarà angolo sarà necessariamente necessariamente ugualeuguale

• Perciò i due triangoli Perciò i due triangoli sono ugualisono uguali

2 triangoli sono uguali se hanno uguale un lato e

gli angoli ad esso adiacenti

Cosa centra?

Vediamolo subito

Relazione fra area del triangolo e del Relazione fra area del triangolo e del rettangolo aventi la stessa base ed altezzarettangolo aventi la stessa base ed altezza

• Consideriamo la eseguente figuraConsideriamo la eseguente figura

• DEDE e e ABAB sono paralleli perché sono paralleli perché perpendicolari ad ADperpendicolari ad AD

• bb è la trasversale è la trasversale e e 11 sono uguali perché alterni sono uguali perché alterni

interniinterni e e 11 sono uguali perché alterni sono uguali perché alterni

interniinterni

• I triangoli I triangoli DCADCA e e ACNACN sono uguali per il sono uguali per il secondo principio di secondo principio di congruenza hanno il lato congruenza hanno il lato b in comune e i due b in comune e i due angoli ad esso adiacenti angoli ad esso adiacenti congruenticongruenti

• a è anch’essa una trasversale a è anch’essa una trasversale dei stessi lati paralleli perciò dei stessi lati paralleli perciò sono uguali per lo stesso sono uguali per lo stesso motivo gli angolimotivo gli angoli

e e 11

e e 11

• I triangoli I triangoli BCEBCE e e CNBCNB sono uguali per il sono uguali per il secondo principio di secondo principio di congruenza hanno il congruenza hanno il lato a in comune e i due lato a in comune e i due angoli ad esso angoli ad esso adiacenti congruentiadiacenti congruenti

ConclusioniConclusioni• Il rettangolo ADEB risulta suddiviso Il rettangolo ADEB risulta suddiviso

dall’altezza h in due rettangoli dall’altezza h in due rettangoli ADCN e CNBEADCN e CNBE

• Il triangolo è suddiviso dall’altezza Il triangolo è suddiviso dall’altezza in due triangoli ACN e NCBin due triangoli ACN e NCB

• BDCN è il doppio di ACN perché è BDCN è il doppio di ACN perché è formato da 2 triangoli uguali a ACNformato da 2 triangoli uguali a ACN

• NCEB è il doppio di NCB perché è NCEB è il doppio di NCB perché è formato da 2 triangoli uguali a NCBformato da 2 triangoli uguali a NCB

L’area del rettangolo è il doppio dell’area di un triangolo

avente la stessa base e la stessa altezza

Formula dell’area del Formula dell’area del triangolotriangoloA rettangolo = 2 A triangolo

At12

Ar

At12

Ar b h

b h

L’area del rettangolo è data

dal semiprodotto dellabase per l’altezza ad essa relativa

Area del trapezioArea del trapezioConsideriamo il seguente trapezioSia M il punto medio del lato l2Tacciamo la retta che passa per B1 ed MEssa intercetta il prolungamento di B nel punto EConsideriamo i triangoli B1CM e DME Essi sono uguali per il secondo criterio di congruenza

CM = DM per costruzione = perché opposti al vertice = perché alterni interniL’area del trapezio è equivalente a quella del triangolo AB1E perché è come se noi tagliassimo dal trapezio il triangolo B1CE e lo andassimo ad incollare al lato MD

Perciò se noi calcoliamo l’area di questo triangolo è come se avessimo calcolato l’area del trapezio

Se B1CM e DME sarà anche c = b (base minore)

La base del mio triangolo sarà esattamente uguale alla somma della base maggiore e della base minore del trapezio AE = B+b

L’altezza h è rimasta la stessa perciò l’area del triangolo AB1E sarà:

AE = base maggiore + base minore

L’area del trapezio è data dallasomma delle basi per l’altezza

diviso 2

Area del parallelogrammoArea del parallelogrammoConsideriamo il seguente parallelogrammo

Lo possiamo suddividere in un triangolo e in un trapezio rettangolo

Immaginiamo di spostare il triangolo ADE facendo coincidere il lato e col lato l

Otteniamo un rettangolo la cui base e altezza coincidono con quelle del rettangolo

In pratica il rettangolo DEFC è equivalente al parallelogrammo ABCD

Perciò l’area del parallelogrammo sarà …..

Area del romboArea del romboPrendiamo il seguente romboTracciamo le diagonaliDa A e C tracciamo le parallele alla diagonale d1

Da B e D quelle parallele alla diagonale d2

Si intersecano nei punti HKLM che saranno anche gli estremi di un rettangoloQuesto rettangolo ha la base uguale a d1 e l’altezza pari a d2

La sua area sarà A = d1 x d2

Per motivi analoghi al triangolo la sua area è il doppio di quella del romboPertanto l’area del rombo sarà….

d1

d2

Area del deltoideArea del deltoide

Come si vede dalla seguente figura la situazione è analoga a quella del rombo pertanto la formula della sua area sarà la stessa

Area del quadratoArea del quadrato

• Il quadrato è un rettangolo perciò la Il quadrato è un rettangolo perciò la sua area saràsua area sarà

• A = b x lA = b x l

• Ma nel quadrato questi due valori Ma nel quadrato questi due valori saranno uguali e vengono indicati con saranno uguali e vengono indicati con l pertanto l’area del quadrato è …..l pertanto l’area del quadrato è …..

l

l