CAMPO MAGNETICO ROTANTE

Un solo avvolgimento percorso da corrente comunque variabile nel tempo sostiene una distribuzione di f.m.m. (e quindi di induzione) fissa nello spazio e con asse di simmetria diretto secondo l’asse dell’avvolgimento stesso.

La distribuzione spaziale, nel caso di macchine elettriche, si suppone sempre sinusoidale al traferro e la legge di variazione nel tempo del valore massimo della distribuzione spaziale dipende dalla variazione nel tempo della corrente di alimentazione dell’avvolgimento.

Per avere una distribuzione spaziale sinusoidale, l’avvolgimento non può essere concentrato ma distribuito, ossia costituito da tante spire percorse dalla stessa corrente distribuite lungo la periferia della macchina.

Tuttavia, negli schemi di macchine elementari di seguito riportati, gli avvolgimenti saranno sempre disegnati come “concentrati”.

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Campo magnetico rotante

SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Fino ad ora abbiamo visto macchine non autoavvianti: per permetterne il funzionamento, occorreva mettere in rotazione il rotore.

L’idea è che potremmo mettere in rotazione il campo magnetico prodotto dallo statore, piuttosto che mettere in rotazione il rotore: l’effetto di rotazione relativa tra campo magnetico di statore e rotore sarebbe identico.

Consideriamo una macchina con 2 avvolgimenti sullo statore:

• avvolgimenti e , con assi disposti a π/2 radianti elettrici lungo la periferia;

• N1 = N2 = N;

• α = angolo lungo la periferia.

α

asse avvolgimento 2

asse avvolgimento 1

N 1

N 2

2

Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

I1MAX = I2MAX = IM e gli andamenti nel tempo di i1(t) e i2(t) sono sfasati di π/2:

tπ

i (t)1

tπ

π

ω

2π

2πω

ω t1 Mi (t) I cos t= ω

tπ

i (t)2

tπ

π

ω

2π

2πω

ω t

2 M

M

i (t) I cos t2

I sin t

π = ω −

= ω

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Le distribuzioni spaziali di f.m.m. (e di induzione) sono simmetriche rispetto all’asse di ciascun avvolgimento.

L’angolo α indica la posizione lungo la periferia di statore e pertanto individua la distribuzione spaziale di f.m.m. (e di induzione).

Il valore massimo della distribuzione spaziale di f.m.m. varia nel tempo in funzione degli andamenti delle correnti i1(t) e i2(t).

Consideriamo un osservatore posizionato sul rotore.

Supponiamo che il rotore sia fermo e analizziamo le distribuzioni spaziali di f.m.m. che l’osservatore “vede” nei diversi istanti.

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Per ωt = 0 ⇒ i1(0) = IM i2(0) = 0

f.m.m. Asse 1

2π

α0

• distribuzione spaziale simmetrica rispetto all’asse ;• il valore massimo della f.m.m. si ha per α = 0 ed è pari a: N IM = M.

• distribuzione spaziale nulla

Asse 2

2πα

0

f.m.m.

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Per ωt = π/2 ⇒ i1(π/2) = 0 i2(π/2) = IM

Asse 1

2π

α0

f.m.m.

• distribuzione spaziale nulla

• distribuzione spaziale simmetrica rispetto all’asse ;• il valore massimo della f.m.m. si ha per α = π/2 ed è pari a: N IM = M.

f.m.m. Asse 2

2πα

0

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Per ωt = π/4 ⇒ i1(π/4) = √2/2 IM i2(π/4) = √2/2 IM

f.m.m. Asse 1

2π

α0

• distribuzione spaziale simmetrica rispetto all’asse ;• il valore massimo della f.m.m. si ha per = 0 ed è pari a N √2/2IM = √2/2M.

• distribuzione spaziale simmetrica rispetto all’asse ;• il valore massimo della f.m.m. si ha per = 0 ed è pari a N √2/2IM = √2/2M.

Asse 2

2πα

0

f.m.m.

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Riassumendo:

• Per ωt = 0, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. coincide con la f.m.m. (perché la f.m.m. è nulla), è diretta secondo l’asse e ha valore massimo pari a N IM = M.

• Per ωt = π/2, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. coincide con la f.m.m. (perché la f.m.m. è nulla), è diretta secondo l’asse e ha valore massimo pari a N IM = M.

• Per ωt = π/4, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. è in posizione intermedia tra gli assi e , ma ha sempre valore massimo pari a N IM = M:

2 22 2M M M

2 2

+ =

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

In pratica, l’osservatore fermo sul rotore vede una distribuzione spaziale sinusoidale di f.m.m., avente sempre lo stesso valore massimo, che gira nel tempo.

Possiamo schematizzare il moto del vettore che rappresenta la distribuzione di f.m.m., così come vista dall’osservatore fermo sul rotore, in questo modo :

Mω πt = /2

t = 0

ω πt = /4

ω πt = - /2

M

M

ω πt =

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

In forma analitica:1 Mi (t) I cos t= ω

2 M Mi (t) I cos t I sin t2π = ω − = ω

( )1 MM (t, ) NI cos t cos M cos t cosα = ω α = ω α

2 MM (t, ) NI cos t cos M cos t cos2 2 2 2

π π π π α = ω − α − = ω − α −

( ) ( )( )1cos cos cos cos2

β γ = β + γ + β − γRicordando che:

21M (t, ) M cos t cos t2 2 2 2 2

π π π π α = ω − + α − + ω − − α +

( ) ( )21M (t, ) M cos t cos t2

α = ω + α − π + ω − α 10

Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

Allo stesso modo possiamo esprimere M1 come:

( ) ( )11M (t, ) M cos t cos M cos t cos t2

α = ω α = ω + α + ω − α

Con un ulteriore passaggio si può esprimere M2 come:

( ) ( ) ( ) ( )21 1M (t, ) M cos t cos t M cos t cos t2 2

α = ω +α−π + ω −α = − ω +α + ω −α

Sommando le espressioni ottenute di M1 e M2 si ottiene:

( )1 2M (t, ) M (t, ) M cos tα + α = ω − α F.M.M. RISULTANTE

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

( )1 2M (t, ) M (t, ) M cos tα + α = ω − α F.M.M. RISULTANTE

La distribuzione spaziale di f.m.m. risultante (e di induzione) è SINUSOIDALE NELLO SPAZIO, RUOTANTE con velocità angolare elettrica uguale alla pulsazione di alimentazione e di AMPIEZZA COSTANTE.

Il verso di rotazione è quello che va dall’asse all’asse (orario).

N.B.: Per invertire il verso di rotazione del campo magnetico rotante, è possibile scambiare le alimentazioni dei due avvolgimenti:

M

ω πt = /2

t = 0

ω πt = /4

ω πt = - /2

M

M

ω πt = 2 Mi (t) I cos t= ω

1 Mi (t) I sin t= ω

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Campo magnetico rotanteSISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA

OSSERVAZIONI:

Nella realtà, per produrre due correnti sfasate tra loro di π/2 a partire da un’alimentazione monofase, bisognerebbe mettere un condensatore in serie a uno dei due avvolgimenti.

Si potrebbe ottenere lo stesso risultato per mezzo di un inverter bifase a partire da un’alimentazione in corrente continua.

Tuttavia, poiché nella realtà disponiamo di linee di alimentazione monofasi o trifasi, risulta più opportuno cercare di ottenere un risultato simile a quello ottenuto con due avvolgimenti in quadratura attraverso tre avvolgimenti sfasati tra di loro di π/3.

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Campo magnetico rotante

AVVOLGIMENTO TRIFASE

Consideriamo una macchina con 3 avvolgimenti sullo statore:

• avvolgimenti a, b e c con assi disposti a 2π/3 radianti elettrici lungo la periferia;

• Na = Nb = Nc = N;

• α = angolo lungo la periferia: per t = 0 ⇒ α = 0.asse avvolgimento b

asse avvolgimento a

b

a

c

asse avvolgimento c

α

Le correnti di alimentazione costituiscono un sistema trifase equilibrato.

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Campo magnetico rotanteAVVOLGIMENTO TRIFASE

IaMAX = IbMAX = IcMAX = IM e gli andamenti nel tempo di ia(t), ib(t) e ic(t) sono sfasati di 2π/3:

a Mi (t) I cos t= ω

b M2i (t) I cos t3π = ω −

c M4i (t) I cos t3π = ω −

π

ia

π

π

2

2π ω t

ib

ic0

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Campo magnetico rotanteAVVOLGIMENTO TRIFASE

aM (t, ) M cos t cosα = ω α

b2 2M (t, ) M cos t cos3 3π π α = ω − α −

c4 4M (t, ) M cos t cos3 3π π α = ω − α −

Sviluppando:

( )bM 4 MM (t, ) cos t cos t2 3 2

π α = ω + α − + ω − α

( )cM 8 MM (t, ) cos t cos t2 3 2

π α = ω + α − + ω − α

( ) ( )aM MM (t, ) cos t cos t2 2

α = ω + α + ω − α

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Campo magnetico rotanteAVVOLGIMENTO TRIFASE

Sommando le espressioni ottenute di Ma, Mb e Mc si ottiene:

( )a b c3M (t, ) M (t, ) M (t, ) M cos t2

α + α + α = ω − α F.M.M. RISULTANTE

Il campo magnetico risultante è quindi a distribuzione spaziale sinusoidale (con asse coincidente con quello della fase a per t = 0), con valore massimo costante nel tempo e ruota con velocità angolare elettrica coincidente con la pulsazione di alimentazione nel verso: a b c (antiorario).

t = 0

ωb

M32

a

c17

Campo magnetico rotanteAVVOLGIMENTO TRIFASE

N.B.: E’ possibile invertire il verso di rotazione del campo magnetico rotante scambiando il senso ciclico del sistema di alimentazione:

a Mi (t) I cos t= ω

t = 0

ω

b

M32

a

c

b M4i (t) I cos t3π = ω −

c M2i (t) I cos t3π = ω −

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