CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DEI SEGNALI · pulsazione di campionamento e maggiore del doppio...

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOLaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONECAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONEDEI SEGNALIDEI SEGNALI

Campionamento e Ricostruzione

• I sistemi in retroazione con controllo digitale sono caratterizzati da unaparte continua (il processo da controllare) e una parte discreta (ilcontrollore digitale)

• sono quindi presenti sia variabili a tempo discreto sia variabili a tempocontinuo

• i dispositivi di interfaccia sono:• campionatore (convertitore A/D) - converte un segnale a tempo

continuo in una sequenza di campioni prelevati negli istantit = 0, T, 2 T, . . ., dove T è il periodo di campionamento

• ricostruttore (convertitore D/A) - es. campionatore di ordine zero

�� Controllore Ricostruttoree(t) e(kT ) x(kT ) xr(t)

T

Cristian Secchi 2005-2006 ITSC03 – p. 2/48

Ricostruttore di ordine zero

Il ricostruttore di uso più frequente è il ricostruttore di ordine zero, detto anchecircuito di tenuta (Hold), il quale mantiene in uscita per k T ≤ t < (k + 1)T ilvalore numerico ricevuto in ingresso all’istante t = k T .

Ponendo la sequenza x(kT ) in ingresso al ricostruttore di ordine zero si ottienein uscita il segnale ricostruito xr(t):

xr(t) =∞∑

k=0

x(kT )[h(t − kT ) − h(t − (k + 1)T )]

dove

h(t − t0) =

{0 t < t0

1 t ≥ t0



Applicando la trasformata di Laplace al segnale continuo xr(t) e ricordando cheL[h(t − kT )] = e−kTs/s:

L[xr(t)] = Xr(s) =∞∑

k=0

x(kT )[e−kTs − e−(k+1)Ts

s

]

=1 − e−Ts

s

∞∑k=0

x(kT )e−kTs



Xr(s) =1 − e−Ts

s

∞∑k=0

x(kT )e−kTs

• Xr(s) può essere espressa come prodotto delle due seguenti funzioni:

H0(s) =1 − e−Ts

s, X∗(s) =

∞∑k=0

x(kT )e−kTs

• La funzione X∗(s) è la trasformata di Laplace di un segnale x∗(t) che èfunzione della sequenza di campioni x(kT ). Antitrasformando si ottiene

x∗(t) = L−1[X∗(s)] =∞∑

k=0

x(kT )δ(t − kT )

dove δ(t − kT ) é l’impulso di Dirac di area unitaria applicato all’istantet = kT .


Campionamento impulsivo

Indicando con δT (t) la sequenza di impulsi di Dirac

δT (t) =∞∑

k=0

δ(t − kT )�

� � � � � �

T 2 T 3 T 4 T 5 T t0

1 · · ·

δT (t)

É possibile scrivere il segnale x∗(t) come:

x∗(t) = x(t) δT (t)

• Il segnale x∗(t) rappresenta quindi una sequenza di impulsi di Diracmodulati in ampiezza dai campioni x(kT ).

• L’operazione di moltiplicazione di un segnale x(t) per una sequenza diimpulsi δT (t) prende il nome di campionamento impulsivo del segnale x(t).


Campionamento Impulsivo

Indicheremo il campionamento impulsivo mediante i seguenti simboli.

� ��

��x(t)

X(s)

x∗(t)

X∗(s)

δT (t)

←→ ��x(t)

X(s)

x∗(t)

X∗(s)δT (t)

Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale(convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e progetto deicontrolli digitali.

Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale(convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e progetto deicontrolli digitali.


Descrizione matematica del campionatore/ricostruttore

��

� 1 − e−Ts

s�x(t) x∗(t) xr(t)

δT

��

� Hold �x(t) x(kT ) xr(t)T

Xr(s) = H0(s) X∗(s) =1 − e−Ts

sX∗(s)

• H0(s) é una descrizione matematica del ricostruttore di ordine zero quandoil campionatore reale viene sostituito da un campionatore ideale di tipoimpulsivo.


Legame tra trasformata di Laplace e trasformata Zeta

Si consideri ancora la trasformata di Laplace del segnale impulsivox∗(t) = x(t)δT (t):

X∗(s) =∞∑

k=0

x(kT )e−kTs

• Definiamo z come

z = esT ⇐⇒ s =1T

ln z

• Allora si ha che:

X∗(s)∣∣∣∣s =

1T

ln z=

∞∑k=0

x(kT ) z−k

• Il termine a destra é uguale alla Z-trasformata della sequenza di campionix(0), x(T ), x(2T ), . . . , ovvero la Z-trasformata del segnale x(t)campionato negli istanti t = kT .


Legame tra trasformata di Laplace e trasformata Zeta

Allora si può scrivere:

X∗(s)∣∣∣∣s =

1T

ln z= X∗

(1T

ln z

)= X(z) =

∞∑k=0

x(kT ) z−k

da cui risulta chiara la corrispondenza esistente tra la trasformata di LaplaceX∗(s) del segnale campionato ad impulsi di Dirac e la Z-trasformata X(z) dellasequenza di valori x(k T ). L’uso della trasformata zeta della sequenza x(kT )anziché quello della trasformata di Laplace del segnale x∗(t) è motivato dal fattodi voler operare con funzioni razionali fratte anziché con funzioni trascendenti divariabile complessa.


Spettro del segnale campionato

Vediamo ora in maggior dettaglio qual’è il legame tra la trasformata di LaplaceX∗(s) del segnale campionato e la trasformata di Laplace X(s) del segnaleoriginario.

Supponendo che il segnale x(t) sia nullo per t < 0, il segnale campionato x∗(t)può essere espresso come il prodotto di x(t) per la sequenza δT (t) di impulsi diDirac di area unitaria estesa a tutto l’asse del tempo, ossia considerando comeestremo inferiore della sommatoria n = −∞

x∗(t) = x(t) δT (t) = x(t)∞∑

n=−∞δ(t − nT )



Essendo periodico di periodo T , δT (t) può essere sviluppato in serie di Fourier:

δT (t) =∞∑

n=−∞cn ej nωst, cn =

1T

∫ T

0

δT (t) e−j nωstdt =1T

dove ωs = 2π/T e dove si è utilizzata la seguente proprietà dell’impulso di Dirac:

∫ β

α

δ(t − τ)f(t)dt =

⎧⎪⎨⎪⎩

f(τ) se τ ∈]α, β[

0 altrimenti

Si può quindi scrivere:

x∗(t) = x(t)1T

∞∑n=−∞

ej nωst =1T

∞∑n=−∞

x(t) ej nωst



• Applicando la trasformata di Laplace e utilizzando le proprietà di linearità edi traslazione complessa si ottiene:

X∗(s) = L[x∗(t)] =1T

∞∑n=−∞

L[x(t) ej nωst

]=

1T

∞∑n=−∞

X(s − j nωs)

• A meno della costante moltiplicativa 1/T , la trasformata di Laplace X∗(s)del segnale campionato si ottiene dalla somma degli infiniti terminiX(s − j nωs), ciascuno dei quali è ottenuto da X(s) mediante traslazione dijnωs nel campo complesso.



Per comprendere bene il processo di campionamento da un punto di vistafrequenziale, prendiamo ora in considerazione un segnale x(t) avente unospettro limitato in frequenza, o come spesso si dice “a banda limitata”.

X∗(jω) = 1T

∑∞n=−∞ X(jω − j nωs)

−ωc 0 ωc ω

|X(jω)|

1

Il segnale x(t) non contiene nessuna componente frequenziale al di sopra dellapulsazione ωc.



L’andamento spettrale del segnale campionato si ottiene sostituendo jω al postodella variabile complessa s nell’espressione di X∗(s).

X∗(jω) =1T

∞∑n=−∞

X(jω − j nωs)

Nel caso in cui ωs > 2ωc.

|X∗(jω)|

0 ωc−2ωs−ωs ωs 2ωs− 3ωs

2−ωs

2ωs

23ωs

2

· · · · · ·

ω

1T

Nello spettro frequenziale |X∗(jω)| la componente |X(jω)|/T è chiamatacomponente primaria, mentre tutte le altre componenti |X(jω ± jnωs)|/T (n = 0)sono chiamate componenti complementari. La condizione ωs > 2ωc mantienedistinta la componente primaria da quelle complementari per cui, mediantefiltraggio, è possibile ricostruire completamente il segnale x(t) a partire da quellocampionato x∗(t).Cristian Secchi 2005-2006 ITSC03 – p. 15/48


Nel caso in cui ωs < 2ωc

|X∗(jω)|

0−2ωs −ωs ωs 2ωsω

1T

· · · · · ·

La componente primaria è parzialmente sovrapposta alle componenticomplementari contigue per cui mediante filtraggio NON è più possibile ricavareil segnale originario a partire dal segnale campionato.


Teorema di Shannon

Le consideraioni fatte finora sono riassunte nel noto Teorema di Shannon:

Sia ωs = 2πT la pulsazione di campionamento (detta pulsazione di Nyquist) ove T e il periodo di

campionamento, e sia ωc la piu alta componente spettrale del segnale tempo-continuo x(t). Il

segnale x(t) e completamente ricostruibile a partire dal segnale campionato x∗(t) se lapulsazione di campionamento e maggiore del doppio della pulsazione ωc:

ωs > 2ωc


Filtraggio Ideale

La ricostruzione di x(t) avviene filtrando il segnale campionato x∗(t) medianteun filtro ideale GI(jω) avente il seguente spettro:

GI(jω) =

⎧⎨⎩

T −ωs

2≤ ω ≤ ωs

20 altrove �

�

0−ωs

2ωs

2

|GI(jω)|

�

�T

Il filtro ideale GI(jω) non è fisicamente realizzabile, ossia GI(jω) nonrappresenta un sistema causale. Questo si può vedere calcolando la rispostaall’impulso gI(t) del filtro. Avendo a disposizione l’andamento spettrale GI(jω),per calcolare gI(t) utilizziamo la trasformata inversa di Fourier:

gI(t) =12π

∫ ∞

−∞GI(jω)ejωtdω =

12π

∫ ωs2

−ωs2

T ejωtdω

=T

2πjt

[ejωst/2 − e−jωst/2

]=

T

πtsin

ωst

2=

sin(ωst/2)ωst/2


Filtraggio Ideale

0-T T-2T 2T-3T 3T-4T 4T

1

La risposta all’impulso gI(t) è diversa da zero anche per t < 0. Ad un impulso diDirac applicato all’istante t = 0, il filtro GI(jω) risponde con un segnale che ènon nullo anche per t < 0. Il sistema GI(jω) risulta dunque anticipativo e quindinon fisicamente realizzabile.


Filtraggio Ideale

Utilizzando GI(jω) si ottiene la formula di ricostruzione (di Shannon):

x(t) =∫ ∞

−∞x∗(τ) gI(t − τ) dτ

=∞∑

k=−∞x(kT )

∫ ∞

−∞δ(τ − kT )

sin(ωs(t − τ)/2)ωs(t − τ)/2

dτ

ossia, per la proprietà dell’impulso di Dirac

x(t) =∞∑

k=−∞x(kT )

sin(ωs(t − kT )/2)ωs(t − kT )/2

Per ricostruire il segnale originario al tempo t occorrono tutti i campioni x(kT )passati e futuri. Nei problemi riguardanti controlli in retroazione tale soluzionenon può essere assolutamente adottata.


Filtraggio Ideale

• Siccome non è possibile realizzare fisicamente il filtro ideale, e siccome isegnali di controllo reali hanno sempre contenuti armonici ad elevatafrequenza dovuti a rumori di varia natura, ne consegue che,indipendentemente dal periodo di campionamento scelto, non è maipossibile ricostruire “esattamente” un segnale a tempo continuo a partiredal corrispondente segnale campionato. In pratica, si ottengono risultatisoddisfacenti introducendo prima del campionamento un filtro chegarantisca sufficiente attenuazione (es −40 db ed oltre) per ω ≥ ωs/2.

• Nel campo dei controlli, i ricostruttori che vengono utilizzati in pratica sono iricostruttori di ordine zero, di ordine uno, ecc. Essi hanno una rispostafrequenziale che è solo una grossolana “approssimazione” di quella delfiltro ideale. Essi hanno tuttavia il pregio di essere causali e facilmenterealizzabili.


Aliasing

• aliasing: fenomeno per il quale, mediante campionamento, si generanonuove componenti spettrali (armoniche) alla stessa frequenza dellacomponente spettrale di partenza. Tali armoniche impediscono la correttaricostruzione del segnale di partenza.

• Si può avere aliasing solo nel caso in cui la condizione ωs > 2ωc delteorema di Shannon non sia verificata.


Aliasing - esempio

• Dati 2 segnali sinusoidali:

x(t) = sin(ω2t + θ)

y(t) = sin((ω2 + nωs)t + θ)

aventi stessa fase θ e pulsazione che differisce di un multiplo intero n di ωs.

• Campionando i 2 segnali con un periodo di campionamento T = 2πωs

:

x(t) = sin(ω2kT + θ)

y(t) = sin((ω2 + nωs)kT + θ)= sin(ω2kT + 2kπn + θ) = sin(ω2kT + θ)

• Si noti che ωs < 2(ω2 + ω2) e, quindi,il teorema di Shannon non èsoddisfatto per y(t).

• i valori campionati coincidono: x(kT ) = y(kT )


Aliasing - esempio

• caso ω2 + ω1 = nωs


Sistemi del secondo ordine

• Campionamento della risposta all’impulso del un sistema del secondoordine:

G(s) =25

s2 + 6 s + 25

• Il sistema G(s) ha un guadagno statico unitario, ha due poli complessiconiugati p1,2 = −3 ± j4, pulsazione naturale ωn = 5 rad/s e coefficiente dismorzamento δ = 3/5.

• Diagramma di Bode della ampiezze di G(jω):

-60

-40

-20

0

10-1 100 101 102 103

|G(j

w)|

(db)

scala logaritmica

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

|G(j

w)|

scala lineare



• Applicando la Z-trasformata si ha:

G(z) = Z[g(t)] =254

e−3T sin(4T ) z

z2 − 2e−3T cos(4T ) z + e−6T

• Ricordando il legame tra la trasformata Z e la trasformata di Laplace, lospettro del segnale campionato g∗(t) é dato da:

G∗(jω) = G(z)|z = ejωT 0 ≤ ω ≤ π

T

• Al variare del periodo di campionamento T varia l’andamento spettraledella G∗(jω)



• Perωs

2= 10 ωn = ω ←→ T =

π

ω=

π

50

e T = πω = π

25

si hanno gli andamenti spettrali:

0

5

10

15

20

0 50 100 150 200 250

0

5

10

15

20

0 50 100 150 200 250

• Avvicinando la pulsazione di campionamento ωs a ωn le componentispettrali complementari tendono ad avvicinarsi e a sovrapporsi sempre più.In questo caso, mediante filtraggio, non è più possibile ricostruire il segnalex(t) a partire da x∗(t).


Ricostruttori di segnale

� �Ricostruttorex(kT ) xr(t)

• I ricostruttori di segnale sono dispositivi che ricevono in ingresso unasequenza x(kT ) di valori campionati e forniscono in uscita un segnalecontinuo xr(t) che in qualche modo approssima il segnale x(t) da cui èstata ricavata la sequenza x(kT ).

• Quelli di uso più comune si ottengono dall’espansione in serie di Taylor delsegnale x(t) nell’intorno del punto t = kT :

x(t) = x(k T ) +d x(t)

dt

∣∣∣∣t=kT

(t − k T ) +d2 x(t)

dt2

∣∣∣∣t=kT

(t − k T )2

2!+ · · ·

• essendo dispositivi di interfaccia tra sistemi tempo-discreti etempo-continui, possono essere rappresentati da una funzione ditrasferimento continua Hr(s) solo se la sequenza x(kT ) viene interpretatacome una sequenza di impulsi di Dirac aventi “area” pari ai valori x(kT )


Ricostruttori di Segnale

Avendo a disposizione solamente i valori campionati x(kT ), le derivate delsegnale x(t) nel punto t = kT vengono calcolate secondo le seguentiespressioni:

d x(t)dt

∣∣∣∣t=kT

� x(k T ) − x((k − 1)T )T

d2 x(t)dt2

∣∣∣∣kT

�d x(t)

dt

∣∣∣t=kT

− d x(t)dt

∣∣∣t=(k−1)T

T

� x(k T ) − 2 x((k − 1)T ) + x((k − 2)T )T 2

Il numero di termini derivativi che vengono presi in considerazionenell’espansione di Taylor è detto ordine del ricostruttore . Al crescere dell’ordinemigliora la capacità di ricostruzione del dispositivo, ma aumentano anche lacomplessità realizzativa del dispositivo stesso e gli effetti negativi dovutiall’introduzione di ritardi più elevati nell’anello di controllo.



• Il legame ingresso-uscita è:

x0(t) = x(k T ), k T ≤ t < (k + 1)T

• La risposta all’impulso del sistema g0(t)

0 T t

1g0(t)

• Indicando con h(t − t∗) la funzione gradino unitario applicata all’istantet = t∗, la funzione di trasferimento H0(s) del ricostruttore di ordine zero siottiene trasformando secondo Laplace la risposta all’impulso g0(t):

H0(s) = L[g0(t)] = L[h(t) − h(t − T )] =1s− e−sT

s=

1 − e−sT

s


Ricostruttore di ordine uno

•• Fornisce in uscita un segnale x(t) che è funzione non solo del campionex(kT ) all’istante t = kT , ma anche del campione x((k − 1)T ) all’istanteprecedente. L’uscita é data da:

x1(t) = x(kT ) +x(kT ) − x((k − 1)T )

T(t − kT )

per kT ≤ t < (k + 1)T .

• La risposta all’impulso g1(t) è:

0 T t

2 T

1

g1(t)


Ricostruttore di ordine uno

• Indicando con h(t − kT ) e r(t − kT ) rispettivamente il gradino e la rampaunitaria applicati all’istante t = kT , la risposta all’impulso g1(t) è laseguente:

g1(t) = h(t) +r(t)T

− 2 h(t − T ) − 2 r(t − T )T

+ h(t − 2T ) +r(t − 2T )

T

• La funzione di trasferimento H1(s) é:

H1(s) =1s

+1

T s2−2

e−sT

s−2

e−sT

T s2+

e−2sT

s+

e−2sT

T s2=

1 + T s

T

(1 − e−sT

s

)2

Ricostruttori di ordine più elevato (due, tre, ecc.) in genere non vengono utilizzatiper l’eccessiva complessità realizzativa e per gli eccessivi ritardi introdottinell’anello di controllo.


Ricostruttore di ordine frazionario

• É una variante del ricostruttore di ordine uno. La relazione ingresso-uscitaè:

xf (t) = x(k T ) + Kx(k T ) − x((k − 1)T )

T(t − k T ), 0 ≤ K ≤ 1

• La risposta all’impulso gf (t) ha il seguente andamento:

0 T t

2 T

1

gf (t)K = 2

3

• La funzione di trasferimento Hf (s) vale:

Hf (s) =K + T s

T

(1 − e−s T

s

)2

+ (1 − K)(1 − e−s T )

se−s T


Ricostruttore ad uscita continua

• Questo ricostruttore viene utilizzato nei casi in cui si desideri avere unsegnale continuo all’uscita del ricostruttore in modo da non sollecitareeccessivamente l’attuatore. L’uscita é data da:

xc(t) = x((k − 1)T ) +x(kT ) − x((k − 1)T )

T(t − kT )

per kT ≤ t < (k + 1)T .

• La risposta all’impulso gc(t) ha il seguente andamento:

0 T t2 T

1gc(t)

gc(t) = r(t)T − 2 r(t−T )

T + r(t−2T )T

• Ad essa corrisponde la funzione di trasferimento:

Hc(s) =1T

(1 − e−s T

s

)2


Ricostruttori di segnale - panoramica

T

T

T

T

T

t

t

t

t

t

••

• •• •

••

• •• •

••

• •• •

••

• •• •

••

• •• • Sequenza di campioni

Ordine zero

Ordine uno

Ordine K = 0.5

Ad uscita continua

xc(t)

xf (t)

x1(t)

x0(t)

x(kT )


Ricostruttori di Segnale

Per la sua semplicità realizzativa, il ricostruttore di ordine zero è quello utilizzatonella quasi totalità delle applicazioni pratiche.


Corrispondenza tra piano s e piano z

•• La trasformata di Laplace X∗(s) del segnale campionato è legata allatrasformata zeta X(z) della sequenza di campioni x(kT ) dalla relazione:

X∗(s) = X(z)|z=esT

• Le variabili complesse s e z sono legate fra di loro dalla relazione:

z = esT

• Posto s = σ + jω si ha:

z = eT (σ+jω) = eTσejTω = eTσejT (ω+ 2kπT ), ∀k intero

• Punti del piano s la cui pulsazione differisce di un multiplo intero dellapulsazione di campionamento 2π/T vengono trasformati nello stesso puntodel piano z. Quindi la relazione non è biunivoca.



z = eTσejTω

• I punti del piano s a parte reale negativa (σ < 0) sono in corrispondenzacon i punti del piano z all’interno del cerchio unitario:

|z| = eTσ < 1

• I punti sull’asse immaginario (σ = 0) vengono mappati sul cerchio unitario(|z| = 1), mentre quelli a parte reale positiva (σ > 0) vengono mappatiall’esterno del cerchio unitario (|z| > 1).

• È possibile suddividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza ωs taliche ogni striscia sia in corrispondenza biunivoca con tutto il piano z.

• La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s = jωs/2 es = −jωs/2 prende il nome di striscia primaria



−j 5ωs2

−j 3ωs2

−j ωs2

j ωs2

j 3ωs2

j ωs2

jω

0 1

1

σ 0 Re

Im piano z

piano s

Strisciacomplementare


Striscia

primaria




Mapping tra striscia primaria e piano z

Striscia

primaria−∞

1

−j ωs2

−j ωs4

j ωs4

j ωs2

jω

0 σ 0 Re

Im piano zpiano s

12

34

5 67

8

1

2

3 4

56

7

8


Mapping tra luoghi noti del piano s e il piano z

È particolarmente utile evidenziare i luoghi dei punti nel piano z corrispondenti anoti luoghi del piano s (limitati, per le considerazioni fatte, alla sola strisciaprimaria).


Luoghi a decadimento esponenziale costante

e−σ1T

eσ2T

1

−σ1 σ20 σ

jω piano s piano z

Re

Im

s = σ + jω ↔ |z| = |e(σ+jω)T | = |eσT ejωT | = eσT


Luoghi a pulsazione costante

−jω1

jω1

jω2

0 σ

jω piano s piano z

Re

Im

−j ωs2

j ωs2

ω1T

ω1T

z = eT (σ+jω1)

z = eT (σ−jω1)

z = eT (σ+jω2)

1−1


Luoghi dei punti a smorzamento δ costante

Nel piano s, il luogo dei punti a cui corrisponde un coefficiente di smorzamentocostante δ = δ1 è una retta uscente dall’origine s = 0, che forma con il semiasseimmaginario positivo un angolo β pari a arcsin δ1.

s = −ω tanβ + jω = −ωδ1√

1 − δ21

+ jω, ω ≥ 0

jWs/2

-jWs/2

piano s piano z

1-1

z = esT = e(−ω tan β+jω)T = e−ϕ tan βejϕ, ϕ = ωT


Luoghi a smorzamento δ costante

jWs/2

jWs/2

piano s

piano z

1-1


Luoghi a pulsazione naturale ωn costante

jWs/2

jWs/2

piano s

piano z

1-1


Posizione dei poli in z e risposte campionate

•• I punti del piano s e del piano z, posti in corrispondenza, possono essereinterpretati anche come poli corrispondenti di trasformate F (s) ed F (z),dove F (z) è calcolata campionando F (s).

• Usando i luoghi caratteristici individuati si possono assegnarecaratteristiche di risposta nel tempo alle posizioni dei poli nel piano z.

• Bisogna notare che, supposte soddisfatte le condizioni di Shannon sulcampionamento, le caratteristiche di una funzione f(t) campionata sono lestesse della funzione prima del campionamento. Per esempio, ad unafunzione esponenziale corrisponde un andamento esponenziale dellasequenza dei suoi valori campionati


Posizione dei poli in z e risposte campionate

× × ×

××

××××

××

××××

×××

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Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOLaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

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