Campi Vettoriali

Francesca G. Alessio 1

Si dice campo vettoriale in Rn un’applicazione F : A ⊂ Rn → Rn. Posto F(x) =(F1(x), F2(x), ..., Fn(x)), x ∈ A, le funzioni Fi : A ⊂ Rn → R, i = 1, ..., n, che definisconoil campo verranno dette componenti del campo vettoriale F.

Possiamo pensare ad un campo vettoriale come ad un’applicazione che ad ogni puntox ∈ A ⊂ Rn associa un vettore F(x) ∈ Rn che rappresenta la forza che agisce sullaparticella di posizione x ∈ A (con tale interpretazione si usa parlare di campo di forze inluogo di campo vettoriale).

Come esempio notevole vediamo il campo gravitazionale determinato da una massa pun-tiforme M posta nell’origine di R3 ed agente su una particella di massa m posta nel puntoP (x, y, z). Detta G la costante di gravitazione universale, tale campo e descritto da

F(x, y, z) = −GmM

(x

(x2 + y2 + z2)32

,y

(x2 + y2 + z2)32

,z

(x2 + y2 + z2)32

)

Come ulteriore esempio, pensiamo a delle particelle in Rn che si muovono lungo delletraiettorie γ ⊂ Rn: se denotiamo con T (x) il vettore tangente alla traiettoria γ di unaparticella nella posizione x ∈ Rn, il campo vettoriale F(x) = T (x) descrivera la velocitadella particella, parleremo quindi di campo di velocita. Ad esempio il campo F(x, y, z) =ω(−y, x, 0) descrivera la velocita di un solido in rotazione attorno all’asse z:

1Dipartimento di Scienze Matematiche - Universita Politecnica delle Marche

1

Un altro esempio notevole e dato dal gradiente di una funzione derivabile f : A ⊂ Rn → R:

∇f(x) =

(∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), ...,

∂f

∂xn(x)

)Ad esempio, considerata la funzione f(x, y) = x2 − y2, abbiamo ∇f(x, y) = (2x,−2y):

Osserviamo che il campo gravitazionale F(x, y, z) risulta essere il gradiente della funzioneU : R3 \ {(0, 0, 0)} → R definita da

U(x, y, z) =GmM√

x2 + y2 + z2

Il campo gravitazionale e un esempio di campo conservativo secondo la seguente defini-zione.

Si dice che un campo vettoriale F : A ⊂ Rn → Rn e conservativo in A se esiste unafunzione derivabile U : A ⊂ Rn → R tale che ∇U(x) = F(x) per ogni x ∈ A, essendo∇U : A ⊂ Rn → Rn il gradiente di U :

∇U(x) = (∂U

∂x1(x),

∂U

∂x2(x), ...,

∂U

∂xn(x)) x ∈ A.

In tal caso la funzione U e detta potenziale del campo vettoriale F in A.

Osserviamo che se F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)) sono le componenti del campo, allorala condizione ∇U(x) = F(x) per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se

∂U

∂xi(x) = Fi(x), per ogni x ∈ A, i = 1, ..., n.

Osserviamo inoltre che se U(x) e un potenziale del campo F(x) in A ⊂ Rn, allora per ogni

k ∈ R, la funzione V (x) = U(x)+k e ancora un potenziale del campo F(x). Viceversa, dalTeorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso, abbiamo che se A ⊂ Rn

e un aperto connesso, due potenziali U(x) e V (x) del campo F(x) in A differiscono peruna costante: esiste k ∈ R tale che V (x) = U(x) + k per ogni x ∈ A. Vale quindi

2

Proposizione

Sia F(x) un campo vettoriale conservativo in un aperto connesso A ⊂ Rn e sia U(x) unsuo potenziale in A. Allora tutti e soli i potenziali del campo F(x) in A sono della formaU(x) + k con k ∈ R.

Lavoro di un campo vettoriale

Dato un campo vettoriale F(x) continuo in A ⊂ Rn (ovvero di componenti continue in A)e data una curva γ : [a, b] ⊂ R → Rn regolare con supporto contenuto in A, si definiscelavoro del campo F lungo la curva γ la quantita∫

γ

F(x) ·T(x) ds

essendo T(x) e il versore tangente a γ in x. Denoteremo il lavoro con∫γF ·ds oppure con

Lγ(F).

Se ϕ(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), t ∈ [a, b], sono le equazioni parametriche della curva γ ese F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)) sono le componenti del campo, risulta∫

γ

F · ds =

∫ b

a

F(ϕ(t)) · ϕ′(t)

‖ϕ′(t)‖‖ϕ′(t)‖ dt =

∫ b

a

F(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt

=

∫ b

a

F1(ϕ(t))x′1(t) + F2(ϕ(t))x′2(t) + ...+ Fn(ϕ(t))x′n(t) dt

Osserviamo che essendo il verso del versore tangente T(x) dipendente dall’orientamento

della curva, il lavoro

∫γ

F · ds dipende dall’orientamento della curva γ. Precisamente, se

−γ e curva equivalente alla curva γ ma con orientamento opposto, allora∫−γ

F · ds = −∫γ

F · ds

Osserviamo inoltre che dalle proprieta di additivita e di linearita dell’integrale curvilineosi ottengono le seguenti proprieta:

(i) linearita: se F(x) e G(x) sono campi continui in A ⊂ Rn e γ e curva regolare consupporto contenuto in A, per ogni α, β ∈ R si ha∫

γ

(αF + βG) · ds = α

∫γ

F · ds+ β

∫γ

G · ds

(ii) additivita: se F(x) e campo continuo in A ⊂ Rn, γ e curva regolare con supportocontenuto in A tale che γ = γ1 ∪ γ2 allora∫

γ

F · ds =

∫γ1

F · ds+

∫γ2

F · ds

3

Possiamo infine estendere la definizione di lavoro di un campo continuo F(x) lungo unacurva regolare a tratti γ ponendo∫

γ

F · ds =n∑i=1

∫γi

F · ds

essendo γ = γ1 ∪ γ2 ∪ ... ∪ γn e γi curva regolare per ogni i = 1, ..., n.

Esempi

• Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = (− yx2+y2

, xx2+y2

) lungo la curva γ avente persostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 percorsa in senso antiorario.Considerata la parametrizzazione ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], della curva γ si ha∫

γ

F · ds =

∫ 2π

0

F(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt

=

∫ 2π

0

(− sin t, cos t) · (− sin t, cos t) dt =

∫ 2π

0

sin2 t+ cos2 t dt = 2π

• Calcolare il lavoro del campo F(x, y, z) = ( y2√x2+y2

, y2√x2+y2

, z2) lungo l’elica cilin-

drica γ(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, 2π]. Osserviamo innanzitutto che DomF ={(x, y, z) |x2 + y2 6= 0} e che il sostegno della curva e contenuto in tale dominio.Dalla definizione otteniamo∫

γ

F · ds =

∫ 2π

0

F(γ(t)) · γ′(t) dt =

∫ 2π

0

(sin2 t, cos2 t, t2) · (− sin t, cos t, 1) dt

=

∫ 2π

0

− sin3 t+ cos3 t+ t2 dt =8

3π3

Riguardo al lavoro di un campo conservativo abbiamo il seguente risultato

Teorema sul lavoro di un campo conservativo

Sia F : A ⊂ Rn → Rn campo vettoriale continuo e conservativo sull’aperto A ⊂ Rn. Se γe curva regolare a tratti con sostegno contenuto in A di punto iniziale x0 e finale x, allora∫

γ

F(x) · ds = U(x)− U(x0)

essendo U un potenziale di F in A.

Dim. Sia γ(t), t ∈ [a, b], una parametrizzazione della curva γ tale che γ(a) = x0 eγ(b) = x. Allora, dalla definizione∫

γ

F · ds =

∫ b

a

F(γ(t)) · γ′(t) dt

4

Poiche il campo F(x) e conservativo ed U(x) e un suo potenziale risulta, F(γ(t)) =∇U(γ(t)) per ogni t ∈ [a, b]. Inoltre, posto f(t) = U(γ(t)), dal Teorema di derivazionedi una funzione composta abbiamo che f ′(t) = ∇U(γ(t)) · γ′(t) e quindi, dalla formulafondamentale del calcolo integrale, otteniamo∫

γ

F · ds =

∫ b

a

∇U(γ(t)) · γ′(t) dt =

∫ b

a

f ′(t) dt = f(b)− f(a) = U(γ(b))− U(γ(a)).

�

Dal precedente risultato abbiamo quindi che il lavoro compiuto da un campo conservativoF lungo una curva γ non dipende dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale dellacurva. In particolare, si ottiene che il lavoro lungo una curva chiusa risulta nullo.Ad esempio, il lavoro compiuto dal campo gravitazionale

F(x, y, z) = −GmM(x

(x2 + y2 + z2)32

,y

(x2 + y2 + z2)32

,z

(x2 + y2 + z2)32

)

per spostare un corpo da P0(0, 0, 2) a P (0, 2, 0) lungo una qualunque curva γ regolare atratti tale che γ ⊂ R3 \ {(0, 0, 0)} e pari a∫

γ

F · ds = U(P )− U(P0) = GmM(1

2− 1

2) = 0

essendo U(x, y, z) = GmM√x2+y2+z2

un potenziale di F(x, y, z). Si osservi che P e P0 hanno

la stessa distanza dall’origine e che il potenziale dipende solo dalla distanza dall’origine,quindi il lavoro e nullo.

La condizione che il lavoro non dipenda dalla curva ma solo dal punto iniziale e finale econdizione non solo necessaria ma anche sufficiente affinche un campo risulti conservativoin aperti connessi. Vale difatti il seguente risultato:

Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi

Sia F : A ⊂ Rn → Rn un campo vettoriale continuo sull’aperto connesso A ⊂ Rn. Sonoequivalenti le seguenti affermazioni

(i) F e conservativo in A,

(ii) per ogni curva γ semplice, chiusa, regolare a tratti con sostegno contenuto in Arisulta

∫γF(x) · ds = 0,

(iii) per ogni coppia γ1 e γ2 di curve semplici, regolari a tratti con sostegno contenuto inA aventi medesimo punto iniziale e finale, si ha

∫γ1F(x) · ds =

∫γ2F(x) · ds.

5

Dim. (i) ⇒ (ii) Segue dal Teorema sul lavoro dei campi conservativi: se U(x) e un po-tenziale di F(x), poiche la curva e chiusa, punto iniziale e finale della curva coinciderannoe quindi ∫

γ

F · ds = U(x0)− U(x0) = 0

(ii)⇒ (iii) Considerata la curva γ = γ1 ∪ (−γ2), avremo che γ e curva semplice, chiusa,regolare a tratti con sostegno contenuto in A. Allora da (ii) e dalla proprieta di additivitaavremo

0 =

∫γ

F · ds =

∫γ1

F · ds+

∫−γ2

F · ds =

∫γ1

F · ds−∫γ2

F · ds

e dunque∫γ1F(x) · ds =

∫γ2F(x) · ds.

(iii)⇒ (i) Da (iii) abbiamo che il lavoro del campo lungo una qualunque curva γ dipendesolo dal punto iniziale e finale. Fissato x0 ∈ A, poiche A e connesso, per ogni x ∈ A esisteuna curva γx semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0 conx 2. Risulta allora ben definita la funzione U : A ⊂ Rn → R definita da

U(x) =

∫γx

F · ds

Proviamo che U(x) e un potenziale di F(x) in A, ovvero che per ogni x ∈ A e ognii = 1, ..., n risulta

∂U

∂xi(x) = Fi(x).

Sia x = (x1, x2, ..., xn) ∈ A e sia h ∈ R sufficientemente piccolo di modo che xh =(x1 + h, x2, ..., xn) ∈ A. Avremo che

U(xh)− U(x) =

∫γxh

F · ds−∫γx

F · ds

dove γx e una qualunque curva congiungente x0 con x e γxh = γx ∪ γ0 essendo γ0 la curvaavente per sostegno il segmento congiungente x con xh. Essendo ϕ0(t) = (x1+t, x2, ..., xn),t ∈ [0, h] (se h > 0, altrimenti t ∈ [h, 0]), una parametrizzazione della curva γ0, otteniamo

U(xh)− U(x) =

∫γxh

F · ds−∫γx

F · ds =

∫γ0

F · ds =

∫ h

0

F(ϕ0(t)) · ϕ′0(t) dt

=

∫ h

0

F1(x1 + t, x2, ..., xn) dt

2per provarlo e sufficiente osservare che, fissato x0 ∈ A, gli insiemiA1 = {x ∈ A | ∃ γ curva semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in A congiungente x0 con x}A2 = A \A1 sono aperti e tali che A1 ∪A2 = A e A1 ∩A2 = ∅.

6

Poiche il campo e continuo, dal Teorema della media integrale si ha che esiste th ∈ [0, h]tale che

U(xh)− U(x) =

∫ h

0

F1(x1 + t, x2, ..., xn) dt = hF1(x1 + th, x2, ...., xn)

Infine, essendo th → 0 per h→ 0 e F1(x) funzione continua, ne segue che

limh→0

U(xh)− U(x)

h= lim

h→0

1

h

∫ h

0

F1(x1 + t, x2, ..., xn) dt

= limh→0

F1(x1 + th, x2, ...., xn) = F1(x1, x2, ..., xn) = F1(x)

e quindi che ∂U∂x1

(x) = F1(x) per ogni x ∈ A. Analogalmente si prova che ∂U∂xi

(x) = Fi(x)per ogni i = 1, ..., n e ogni x ∈ A. �

Il precedente risultato ci fornisce delle condizioni per provare che un campo non e conser-vativo. Ad esempio, avendo provato che per il campo F(x, y) = (− y

x2+y2, xx2+y2

) il lavorolungo la curva semplice, chiusa γ con sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio1 e non nullo, possiamo concludere che il campo non risulta conservativo sul suo dominio.

Il Teorema di caratterizzazione dei campi vettoriali fornisce nella dimostrazione un me-todo per determinare un potenziale in un dominio connesso di un dato campo vettorialeconservativo. Difatti, se F e campo conservativo nell’aperto connesso A, allora fissatox0 ∈ A, risulta un potenziale di F in A la funzione

U(x) =

∫γx

F · ds, x ∈ A,

essendo γx una curva regolare a tratti con supporto in A congiungente x0 con x ∈ A.

Campi vettoriali irrotazionali

Osserviamo che se F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)) e un campo vettoriale conservativo diclasse C1 in un aperto A ⊂ Rn e U(x) un suo potenziale in A, dalla condizione

∂U

∂xi(x) = Fi(x), ∀x ∈ A, i = 1, ..., n,

avremo che U(x) risulta di classe C2 in A e dal Teorema di Schwartz otteniamo che

∂2U

∂xi∂xj(x) =

∂2U

∂xj∂xi(x), ∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n

7

Dalle precedenti condizioni otteniamo allora che risulta

(I)∂Fi∂xj

(x) =∂Fj∂xi

(x), ∀x ∈ A, i, j = 1, ..., n.

Un campo vettoriale F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)) di classe C1 in un aperto A ⊂ Rn

soddisfacente la condizione (I) e detto campo vettoriale irrotazionale in A. Abbiamoquindi provato che condizione necessaria affinche un campo vettoriale di classe C1 in unaperto A ⊂ Rn risulti conservativo e che sia irrotazionale:

Teorema

Se F(x) e campo vettoriale conservativo e di classe C1 sull’aperto A ⊂ Rn allora F(x) eirrotazionale in A.

Nel caso n = 2, la condizione di irrotazionalita (I) di un campo F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)),(x, y) ∈ A ⊂ R2, si scrive:

∂F1

∂y=∂F2

∂x, in A,

mentre nel caso n = 3, avremo che un campo F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)),(x, y, z) ∈ A ⊂ R3, risulta irrotazionale se

∂F1

∂y=∂F2

∂x,

∂F1

∂z=∂F3

∂x,

∂F2

∂z=∂F3

∂y, in A

Il campo vettoriale

rotF = (∂F3

∂y− ∂F2

∂z,

∂F1

∂z− ∂F3

∂x,

∂F2

∂x− ∂F1

∂z)

e detto rotore del campo vettoriale F. La condizione di irrotazionalita in questo casochiede appunto che rotF = 0 in A (da qui il termine irrotazionale che, con abuso diterminologia, utilizziamo anche in Rn con n qualunque).

Esempi

• Il campo F(x, y) = (xy, x2 + y2) non e conservativo nel suo dominio non essendoirrotazionale in quanto:

∂F1

∂y(x, y) = x 6= ∂F2

∂x(x, y) = 2x,

mentre risulta irrotazionale il campo F(x, y) = (2xy, x2 + y2) essendo

∂F1

∂y(x, y) = 2x =

∂F2

∂x(x, y)

Tale campo risulta essere conservativo, un suo potenziale e difatti U(x, y) = x2y +13y3.

8

• Il campo F (x, y) = (− yx2+y2

, xx2+y2

) e campo irrotazionale nel suo dominio A =

R2 \ {(0, 0)} poiche∂F1

∂y=y2 − x2

x2 + y2=∂F2

∂x

ma abbiamo provato che tale campo non e conservativo (essendo∫γF · ds 6= 0 con

γ circonferenza di centro l’origine e raggio 1). Osserviamo pero che tale camporisulta conservativo nell’aperto A0 = {(x, y) |x 6= 0} essendo U(x, y) = arctan y

x

un suo potenziale in tale insieme (il campo risulta inoltre conservativo nell’apertoA1 = {(x, y) | y 6= 0} con V (x, y) = − arctan x

ycome potenziale).

• Il campo F(x, y, z) = (2xz, 2yz,−x2+y2

z2) risulta irrotazionale nel suo dominio A =

{(x, y, z) ∈ R3 | z 6= 0} essendo

∂F1

∂y= 0 =

∂F2

∂x,

∂F1

∂z= −2x

z2=∂F3

∂x,

∂F2

∂z=

2y

z2=∂F3

∂y,

Il campo risulta inoltre conservativo, U(x, y, z) = x2+y2

ze difatti un suo potenziale.

• Il campo F(x, y, z) = (− yx2+y2

, xx2+y2

, z) e campo irrotazionale nel suo dominio A =

{(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 6= 0} poiche

∂F1

∂y=y2 − x2

x2 + y2=∂F2

∂x,

∂F1

∂z= 0 =

∂F3

∂x,

∂F2

∂z= 0 =

∂F3

∂y

ma non risulta conservativo in A essendo∫γF · ds 6= 0 con γ(t) = (cos t, sin t, 0),

t ∈ [0, 2π].

I precedenti esempi mostrano che la condizione di irrotazionalita non e sufficiente affincheun campo risulti conservativo. Abbiamo difatti bisogno di un condizione supplementaresul dominio del campo.

Un aperto connesso A ⊂ Rn e detto semplicemente connesso se ogni curva semplice echiusa γ con sostegno contenuto in A si puo deformare con continuita in A in un puntox0 ∈ γ. Precisamente, se γ(t), t ∈ [a, b], e una parametrizzazione della curva γ tale cheγ(a) = γ(b) = x0, esiste un’applicazione continua Φ : [a, b]× [0, 1]→ A tale che

- Φ(t, 0) = γ(t) per ogni t ∈ [a, b],

- Φ(t, 1) = x0, per ogni t ∈ [a, b],

- per ogni s ∈ [0, 1], Φ(a, s) = Φ(b, s) = x0.

9

Con i termini della topologia algebrica si dice che Φ e un’omotopia tra γ e x0 ∈ γ e chela curva γ e omotopa ad un punto.

Ad esempio, sono semplicemente connessi gli aperti convessi di Rn (un aperto A ⊂ Rn edetto convesso se per ogni x0, x ∈ A il segmento che li congiunge risulta contenuto in A).

Sono semplicemente connessi gli aperti stellati di Rn (un aperto A ⊂ Rn e detto stellato seesiste x0 ∈ A tale che per ogni x ∈ A il segmento che congiunge x0 con x risulta contenutoin A).

In R2 si puo provare che un aperto connesso A ⊂ R2 e semplicemente connesso se ognicurva semplice chiusa e regolare γ ⊂ A risulta frontiera di un sottoinsieme D ⊂ A: γ = ∂Dcon D ⊂ A.

Esempi

• L’insieme A = R2 \ {(0, 0)} e connesso ma non e semplicemente connesso, la curvaγ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 e frontiera deldisco D di centro l’origine e raggio 1 ma D 6⊂ A.

• La corona circolare A = {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 9} e aperto connesso ma nonsemplicemente connesso (la curva γ ⊂ A avente per sostegno la circonferenza dicentro l’origine e raggio 2 e frontiera del disco D di centro l’origine e raggio 2 maD 6⊂ A).

• L’aperto {(x, y) | y 6= 0} non e semplicemente connesso non essendo connesso.

• Gli aperti R2, {(x, y) |x2 + y2 < 4}, {(x, y) | y 6= 0 se x > 0} sono semplicementeconnessi.

In R3 si ha invece che un aperto connesso A ⊂ R3 e semplicemente connesso se ogni curvasemplice, chiusa e regolare γ ⊂ A risulta bordo di una superficie con bordo S con sostegnocontenuto in A: γ = ∂S con S ⊂ A.

Esempi

• L’insieme A = R3 \ {(0, 0, 0)} e semplicemente connesso, ogni curva chiusa γ consostegno in A e deformabile con continuita in A in un punto.

• La corona sferica A = {(x, y, z) | 1 < x2 + y2 + z2 < 9} e semplicemente connesso.

• Il toro T , ottenuto dalla rotazione attorno all’asse z di un disco D = {(x, z) | (x −x0)

2 + (z − z0)2 < r2} (con 0 < r <√x20 + z20), non e semplicemente connesso: la

curva γ avente per sostegno la circonferenza del piano z = z0 di centro (0, 0, z0) eraggio x0 non e deformabile con continuita ad un punto in T .

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• L’insieme A = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 6= 0} e connesso ma non e semplicementeconnesso, la curva γ avente per sostegno la circonferenza di centro l’origine e raggio1 del piano z = 0 non e deformabile con continuita ad un punto in A.

Vale il seguente risultato (della cui prova accenneremo piu avanti):

Teorema

Se F(x) e campo vettoriale irrotazionale nell’aperto semplicemente connesso A ⊆ Rn

allora F(x) e conservativo in A.

Negli esempi che seguono, vedremo come stabilire che un dato campo vettoriale risulta con-servativo utilizzando il precedente risultato. Vedremo inoltre un metodo per determinareun potenziale di un dato campo conservativo.

Esempi

• Il campo F(x, y) = (xy2, x2y + y) e conservativo in R2. Infatti risulta irrotazionale:

∂F1

∂y= 2xy =

∂F2

∂x

sull’aperto semplicemente connesso R2. Per determinarne un potenziale, possiamoprocedere nei seguenti modi.

(I) Dal Teorema di caratterizzazione, dato (x, y) ∈ R2 e considerato il segmento γdi parametrizzazione ϕ(t) = (tx, ty), t ∈ [0, 1], un potenziale e dato da

U(x, y) =

∫γ

F (x, y) · ds =

∫ 1

0

(t3xy2, t3x2y + ty) · (x, y) dt

=

∫ 1

0

2t3x2y2 + ty2 dt =1

2x2y2 +

1

2y2 + c, c ∈ R.

(II) Osserviamo che se U(x, y) e un potenziale di F(x, y) in R2, allora U(x, y) dovraverificare le condizioni

∂U

∂x(x, y) = F1(x, y) = xy2 e

∂U

∂y(x, y) = F2(x, y) = x2y + y

Dalla prima delle due condizioni abbiamo che U(x, y) dovra essere una primitivarispetto ad x della funzione xy2 e dunque

U(x, y) =

∫xy2 dx =

x2

2y2 + c(y)

11

essendo c(y) funzione incognita della sola variabile y. Utilizziamo la seconda condi-zione per determinare l’incognita c(y):

x2y + y =∂U

∂y(x, y) = x2y + c′(y)

Ne segue che c′(y) = y e dunque che c(y) =∫y dy = y2

2+ c, c ∈ R. Quindi

U(x, y) =1

2x2y2 +

1

2y2 + c, c ∈ R

e il generico potenziale del campo dato.

• Il campo F(x, y, z) = (2xy − z2, 2yz + x2, y2 − 2xz) e campo conservativo essendoirrotazionale sull’aperto semplicemente connesso R3:

∂F1

∂y= 2x =

∂F2

∂x,

∂F1

∂z= −2z =

∂F3

∂x,

∂F2

∂z= 2y =

∂F3

∂y.

Per determinarne un potenziale, osserviamo che un potenziale U(x, y, z) del campoF(x, y, z) dovra verificare le condizioni:

∂U

∂x(x, y, z) = F1(x, y, z) = 2xy − z2,

∂U

∂y(x, y, z) = F2(x, y, z) = 2yz + x2,

∂U

∂z(x, y, z) = F3(x, y, z) = y2 − 2xz.

Dalla prima delle tre condizioni abbiamo che U(x, y, z) e una primitiva rispetto adx della funzione 2xy − z2 e dunque

U(x, y, z) =

∫2xy − z2 dx = x2y − z2x+ c1(y, z)

essendo c1(y, z) funzione incognita delle variabili (y, z). Determiniamo tale incognitautilizzando le restanti due condizioni. Dalla seconda condizione otteniamo

2yz + x2 =∂U

∂y(x, y, z) = x2 +

∂c1∂y

(y, z)

da cui∂c1∂y

(y, z) = 2yz

e quindi

c1(y, z) =

∫2yz dy = y2z + c2(z)

12

essendo c2(z) funzione incognita della sola variabile z. Utilizziamo infine la terzacondizione per determinare c2(z). Avendo trovato che

U(x, y, z) = x2y − z2x+ c1(y, z) = x2y − z2x+ y2z + c2(z)

dalla terza condizione si ha

y2 − 2xz =∂U

∂z(x, y, z) = −2zx+ y2 + c′2(z)

da cui c′2(z) = 0 e quindi c2(z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenzialedel campo dato e

U(x, y, z) = x2y − z2x+ c1(y, z) = x2y − z2x+ y2z + c

• Il campo F(x, y, z) = (2xz, 2yz− x2+y2

z2) abbiamo gia provato essere irrotazionale sul

suo dominio A = {(x, y, z) ∈ R3 | z 6= 0}. Poiche il dominio A non e semplicementeconnesso (non e difatti connesso) non possiamo concludere che il campo risultaconservativo in A. Possiamo pero concludere che il campo risulta conservativo sulledue componenti semplicemente connesse

A+ = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0} e A− = {(x, y, z) ∈ R3 | z < 0}.

Determinati allora due potenziali U+(x, y, z) e U−(x, y, z) del campo F rispettiva-mente in A+ e A−, essendo A+ ∩ A− = ∅, avremo che

U(x, y, z) =

{U+(x, y, z) se(x, y, z) ∈ A+

U−(x, y, z) se(x, y, z) ∈ A−

risulta un potenziale di F(x, y, z) in tutto il suo dominio e dunque il campo risultaconservativo in A.Per determinare i potenziali U± procediamo come nel precedente esempio. Unpotenziale U(x, y, z) del campo in A± dovra verificare

∂U

∂x(x, y, z) = F1(x, y, z) =

2x

z,

∂U

∂y(x, y, z) = F2(x, y, z) =

2y

z,

∂U

∂z(x, y, z) = F3(x, y, z) = −x

2 + y2

z2.

Dalla prima delle tre condizioni abbiamo

U(x, y, z) =

∫2x

zdx =

x2

z+ c1(y, z)

13

Dalla seconda condizione otteniamo

2y

z=∂U

∂y(x, y, z) =

∂c1∂y

(y, z)

da cui∂c1∂y

(y, z) =2y

z

e quindi

c1(y, z) =

∫2y

zdy =

y2

z+ c2(z)

Utilizziamo la terza condizione per determinare c2(z). Avendo trovato che

U(x, y, z) =x2

z+y2

z+ c2(z)

dalla terza condizione si ha

−x2 + y2

z2=∂U

∂z(x, y, z) = −x

2 + y2

z2+ c′2(z)

da cui c′2(z) = 0 e quindi c2(z) = c ∈ R. Otteniamo quindi che il generico potenziale

del campo in A± e U±(x, y, z) = x2

z+ y2

z+ c± con c± ∈ R e dunque il generico

potenziale del campo dato e

U(x, y, z) =

{x2

z+ y2

z+ c+ se(x, y, z) ∈ A+

x2

z+ y2

z+ c− se(x, y, z) ∈ A−

con c± ∈ R non necessariamente uguali.

14

Teorema di Green e Teorema della divergenza di Gauss in R2

Vediamo ora un’importante risultato che lega il concetto di integrale curvilineo di uncampo vettoriale con il concetto di integrale doppio.

Teorema di Green

Sia F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) un campo vettoriale di classe C1 in un aperto A ⊂ R2 esia D un dominio normale regolare in A. Allora, denotata con ∂D+ la curva semplice,chiusa e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera di D positivamente orientata,risulta ∫

∂D+

F · ds =

∫∫D

∂F2

∂x− ∂F1

∂ydxdy

Dim. Ci limitiamo a considerare il caso semplice in cui D e un rettangolo D = {(x, y) ∈R2 |x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}. La frontiera ∂D+ risulta allora unione delle quattro curve γicon i = 1, 2, 3, 4 di parametrizzazioni: γ1(t) = (t, c), t ∈ [a, b], γ2(t) = (b, t), t ∈ [c, d],−γ3(t) = (t, d), t ∈ [a, b], −γ4(t) = (a, t), t ∈ [c, d]. Allora∫

∂D+

F · ds =

∫γ1

F · ds+

∫γ2

F · ds−∫γ3

F · ds−∫γ4

F · ds

=

∫ b

a

F1(t, c)dt+

∫ d

c

F2(b, t)dt−∫ b

a

F1(t, d)dt−∫ d

c

F2(a, t)dt

=

∫ d

c

F2(b, t)− F2(a, t) dt−∫ b

a

F1(t, d)− F2(t, c) dt

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale e dalle formule di riduzione per gliintegrali doppi si ottiene allora∫

∂D+

F · ds =

∫ d

c

(

∫ b

a

∂F2

∂x(x, y)dx)dy −

∫ b

a

(

∫ d

c

∂F1

∂y(x, y)dx)dy

=

∫∫D

∂F2

∂x− ∂F1

∂ydxdy

�

Osserviamo che se γ e curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in un apertosemplicemente connesso A ⊂ R2 allora γ e frontiera di un dominio D ⊂ A unione didomini normali regolari Di ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprieta di additivita degli integralicurvilinei e doppi e dal precedente risultato si ottiene allora∫

∂D+

F · ds =n∑i=1

∫∂D+

i

F · ds =n∑i=1

∫∫Di

∂F2

∂x− ∂F1

∂ydxdy =

∫∫D

∂F2

∂x− ∂F1

∂ydxdy

15

Ne segue quindi che se F e campo vettoriale irrotazionale sull’aperto semplicemente con-nesso A allora per ogni curva γ semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in Arisulta

∫γF · ds = 0 e dal Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi F risulta

campo vettoriale conservativo in A.

Come conseguenza immediata del precedente risultato abbiamo inoltre le seguenti formuleper il calcolo dell’area di una regione piana.

Corollario

Sia F(x, y) un campo vettoriale di classe C1 in aperto A ⊂ R2 tale che

∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1, in A

Allora per ogni dominio regolare D ⊂ A risulta µ(D) =∫∂D+ F · ds

La condizione precedente e verificata ad esempio dai campi F(x, y) = (0, x), F(x, y) =(−y, 0) e F(x, y) = 1

2(−y, x).

Esempi

• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dall’ellisse x2

a2+ y2

b2= 1.

Abbiamo

µ(D) =

∫∂D+

F · ds

essendo F(x, y) = 12(−y, x). Allora, posto γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π], risulta

µ(D) =

∫ 2π

0

F(γ(θ)) · γ′(θ) dθ =1

2

∫ 2π

0

(−b sin t, a cos t) · (−a sin t, b cos t) dt

=1

2

∫ 2π

0

ab dθ = abπ

• Calcoliamo l’area della regione del piano D delimitata dal cardioide ρ(θ) = 1+cos θ,θ ∈ [−π, π]. Abbiamo

µ(D) =

∫∂D+

F · ds

essendo F(x, y) = 12(−y, x). Allora, posto γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ), θ ∈ [−π, π],

risulta

µ(D) =

∫ π

−πF(γ(θ)) · γ′(θ) dθ

=1

2

∫ π

−πρ2(θ) dθ =

1

2

∫ π

−π(1 + cos θ)2dθ =

3

2π

16

Teorema equivalente al Teorema di Green e il seguente

Teorema della divergenza di Gauss in R2

Sia F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) un campo vettoriale di classe C1 in un aperto A ⊂ R2 esia D un dominio regolare in A. Allora,∫

∂D+

F ·Ne ds =

∫∫D

divF dxdy

essendo Ne(x, y) il versore normale esterno a ∂D+ nel punto (x, y) ∈ ∂D+ e divF =∂F1

∂x+ ∂F2

∂yla divergenza del campo.

Dim. Posto G = (−F2, F1), risulta G ·T = F ·Ne, essendo T(x, y) il versore tangente a∂D+ nel punto (x, y) ∈ ∂D+ e ∂G2

∂x− ∂G1

∂y= ∂F1

∂x+ ∂F2

∂y. Dunque, dal Teorema di Green si

ottiene ∫∂D+

F ·Ne ds =

∫∂D+

G ·T ds =

∫∂D+

G · ds =

∫∫D

∂G2

∂x− ∂G1

∂ydxdy

=

∫∫D

∂F1

∂x+∂F2

∂ydxdy =

∫∫D

divF dxdy

�

17

Flusso di un campo vettoriale

Sia F(x, y, z) un campo vettoriale continuo in un aperto A ⊂ R3 e sia φ : D ⊂ R2 → R3

una superficie regolare con sostegno S contenuto in A. Si dice flusso del campo vettorialeF attraverso la superficie S nella direzione del versore normale alla superficie N l’integrale∫

S

F ·N dσ

Dalla definizione di versore normale alla superficie e di integrale di superficie, abbiamo∫S

F ·N dσ =

∫∫D

F(φ(u, v)) · φu(u, v) ∧ φv(u, v)

‖φu(u, v) ∧ φv(u, v)‖‖φu(u, v) ∧ φv(u, v)‖ dudv

=

∫∫D

F(φ(u, v)) · (φu(u, v) ∧ φv(u, v)) dudv

Osserviamo che l’integrale di flusso non dipende dalla particolare parametrizzazione sceltadella superficie a meno dell’orientamento indotto al versore normale. Difatti cambiandoverso al versore normale, l’integrale cambiera segno.

Osserviamo inoltre che dall’additivita dell’integrale doppio, la definizione di flusso di uncampo puo essere estesa anche a superfici regolari a tratti (unione finita di superficiregolari).

Se la superficie regolare S e frontiera di un dominio E ⊂ R3, si parlera di flusso entrante ouscente dalla frontiera S di E a seconda che il versore normale sia orientato verso l’internoo verso l’esterno del dominio E.

Se pensiamo ad R3 pieno di un fluido che si muove secondo un campo di velocita F, siaS una superficie in R3 che non costituisca barriera per il fluido. L’integrale

∫SF ·N dσ

misurera la rapidita (massa al secondo) con cui il fluido attraversa la superficie S nelladirezione N.

Esempi

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie lateraleS del cilindro di equazione x2 + y2 = 1, z ∈ [0, 3]. Parametrizzando la superficielaterale del cilindro utilizzando le coordinate cilindriche φ(u, v) = (cosu, sinu, v),u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 3], si ottiene

φu(u, v) ∧ φv(u, v) = (cosu, sinu, 0)

che determina il vettore normale φu ∧ φv(π2 , 1) = (0, 1, 0) (dunque la parametriz-zazione determina l’orientamento richiesto). Allora, posto D = [0, 2π] × [0, 3] si

18

ottiene ∫S

F ·N dσ =

∫∫D

F(φ(u, v)) · (φu(u, v) ∧ φv(u, v)) dσ

=

∫∫D

sin2 u+ cos2 u dudv = 6π

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y,−x, z) entrante nella superficie S aven-te per sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Parametrizzando la sferautilizzando le coordinate sferiche φ(u, v) = (sinu cos v, sinu sin v, cosu), u ∈ [0, π],v ∈ [0, 2π], si ottiene

φu(u, v) ∧ φv(u, v) = (sin2 u cos v, sin2 u sin v, sinu cosu)

che determina il vettore normale (φu ∧ φv)(π2 ,π2) = (0, 1, 0) orientato verso l’esterno

della sfera (dunque la parametrizzazione determina l’orientamento opposto a quellorichiesto). Allora, posto D = [0, π]× [0, 2π] si ottiene∫

S

F ·N dσ = −∫∫

D

F(φ(u, v)) · (φu(u, v) ∧ φv(u, v)) dσ

= −∫∫

D

sinu cos2 u dudv

= −2π

∫ π

0

sinu cos2 u du = −4

3π

19

Superfici regolari con bordo e bordo di una superficie

Sia φ : D ⊂ R2 → R3 una superficie definita sul dominio regolare D. Si dice che φ esuperficie regolare con bordo se

• φ e di classe C1 in D,

• φ e iniettiva in D,

• la matrice jacobiana Jφ ha rango 2 in D, ovvero φu ∧ φv e non nullo in D.

Ad esempio, risulta superficie regolare con bordo la superficie di equazione cartesianaz = x2 + y2 con (x, y) ∈ D essendo D il disco di raggio 1 e centro l’origine, avente persostegno la porzione di paraboloide S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = x2 + y2, z ≤ 1}.Non risulta invece superficie regolare con bordo la superficie di equazioni parametricheφ(ϕ, θ) = (sinϕ cos θ, sinϕ sin θ, 1 + cosϕ) con (ϕ, θ) ∈ D = [0, π] × [0, 2π], avente persostegno la sfera di raggio 1 e centro (0, 0, 1). Osserviamo che tale superficie non risultaregolare con bordo anche sul dominio ristretto D0 = [π

2, π]× [0, 2π] (il sostegno in questo

caso risulta essere l’emisfera della regione z ≤ 1), risulta invece superficie regolare conbordo se ne consideriamo la restrizione al dominio D1 = [π

4, 3π

4]× [π

2, 3π

2]

Sia ora φ : D → R3 superficie regolare con bordo e sia γ : [a, b] → R2 la curva sempliceregolare a tratti avente per sostegno la frontiera ∂D del dominio D. Detto S il sostegnodella superficie, avremo che Γ(t) = φ(γ(t)), t ∈ [a, b] definira una curva semplice regolarea tratti con sostegno contenuto in S. Tale curva verra detta bordo della superficie edil suo sostegno verra denotato con ∂S. L’orientamento di tale curva sara determinatodall’orientamento della curva ∂D e dall’orientamento del versore normale alle superficie.

Si dice che il bordo ∂S e positivamente orientato, se un osservatore che percorre il bordo∂S nel verso determinato da Γ(t) ed e orientata nel verso del versore normale alla superficievede alla sua sinistra i punti della superficie S.

Ad esempio, il bordo della superficie regolare sopra considerata, avente per sostegno laporzione di paraboloide S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = x2 + y2, z ≤ 1}, risulta essere lacirconferenza ∂S = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 = 1, z = 1}. L’orientamento risulta positivose pensiamo alla frontiera ∂D orientata in senso antiorario e S parametrizzata con lecoordinata cartesiane: ∂S+ = φ(∂D+) essendo φ(x, y) = (x, y, x2+y2) e D = {(x, y) |x2+y2 ≤ 1}.

20

Teorema di Stokes e Teorema della divergenza di Gauss in R3

Il seguente risultato generalizza il Teorema di Green al caso di campi vettoriali in R3

Teorema di Stokes

Sia F(x, y, z) campo vettoriale di classe C1 nell’aperto A ⊂ R3 e sia S superficie regolarecon bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S+ il bordo positivamente orientatodella superficie, risulta ∫

∂S+

F · ds =

∫S

rotF ·N dσ,

essendo N il versore normale alla superficie.

La precedente formula, detta formula di Stokes, esprime il fatto che il lavoro del campolungo il bordo di S (la circuitazione del campo attorno a ∂S) e uguale al flusso del rotoreattraverso la superficie S.

Si puo provare che se γ e curva semplice, chiusa e regolare a tratti con sostegno in unaperto semplicemente connesso A ⊆ R3, allora γ e bordo di una superficie S unione disuperfici regolari con bordo Si ⊂ A, i = 1, ..., n. Dalle proprieta di additivita degli integralicurvilinei e di superficie e dal Teorema di Stokes, ne segue che se F e campo vettorialeirrotazionale sull’aperto semplicemente connesso A allora per ogni curva γ semplice, chiusae regolare a tratti con sostegno in A, risulta

∫γF·ds = 0. Dal Teorema di caratterizzazione

dei campi conservativi, F risulta campo vettoriale conservativo in A.

Vale inoltre

Teorema della divergenza di Gauss in R3

Sia F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) un campo vettoriale di classe C1 in unaperto A ⊂ R3 e sia T un dominio normale regolare in A. Allora,∫

∂T

F ·Nu ds =

∫∫∫T

divF dxdydz

essendo Nu(x, y, z) il versore normale uscente dalla superficie ∂T frontiera del dominioT nel punto (x, y, z) ∈ ∂T e divF = ∂F1

∂x+ ∂F2

∂y+ ∂F3

∂zla divergenza del campo.

Esempi

• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (0, yz, x) uscente dalla superficie esternadella porzione di parabolide T = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ z ≤ 2}. Dal Teorema diGauss, essendo divF(x, y, z) = z, risulta∫

∂T

F ·Nu dσ =

∫∫∫T

divF dxdydz =

∫∫∫T

z dxdydz

21

ed integrando per strati, posto Dz = {(x, y) |x2 + y2 ≤ z}, otteniamo∫∂T

F ·Nu dσ =

∫ 2

0

(

∫∫Dz

z dxdy) dz =

∫ 2

0

πz2 dz =8

3π

• Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (y,−x, z) entrante nella superficie S aventeper sostegno la sfera di raggio 1 e centro l’origine. Dal Teorema di Gauss, postoT = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 1}, avremo S = ∂T e∫

∂T

F ·N ds = −∫∂T

F ·Nu ds = −∫∫∫

T

divF dxdydz = −∫∫∫

T

dxdydz = −4

3π

• Calcoliamo il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dalla superficie lateraleS della porzione di cilindro di equazione x2 + y2 = 1, z ∈ [0, 3]. Osserviamo cheposto T = {(x, y, z) |x2 + y2 ≤ 1, z ∈ [0, 3]}, risulta ∂T = S ∪ S0 ∪ S3, essendo S0

(rispettivamente S3) la superficie avente per sostegno il disco di equazione x2 +y2 =1, z = 0 (rispettivamente, z = 3). Dal Teorema della divergenza avremo∫S

F ·Nu dσ +

∫S0

F ·Nu dσ +

∫S3

F ·Nu dσ =

∫∂T

F ·Nu dσ =

∫∫∫T

divFdxdydz.

Essendo divF(x, y, z) = 4 risulta∫∫∫

TdivFdxdydz = 4µ(T ) = 12π e quindi avremo

che il flusso uscente dalla superficie laterale del cilindro sara dato da∫S

F ·Nu dσ = 12π −∫S0

F ·Nu dσ −∫S3

F ·Nu dσ.

Considerata la parametrizzazione ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0), ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π],della superficie S0, risulta ϕρ∧ϕθ(ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore parallelo al versore (0, 0, 1)(dunque l’orientamento non e concorde alla direzione uscente). Avremo allora∫

S0

F ·Nu dσ = −∫∫

[0,1]×[0,2π]F(ϕ(ρ, θ)) · ϕρ(ρ, θ) ∧ ϕθ(ρ, θ)dρdθ = 0

Analogalmente, considerata la parametrizzazione ψ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 3), ρ ∈[0, 1], θ ∈ [0, 2π], della superficie S3, risulta ψρ ∧ ψθ(ρ, θ) = (0, 0, ρ), vettore paral-lelo al versore (0, 0, 1) (dunque l’orientamento e concorde alla direzione uscente dalcilindro). Avremo allora∫

S3

F ·Nu dσ =

∫∫[0,1]×[0,2π]

F(ψ(ρ, θ)) · ψρ(ρ, θ) ∧ ψθ(ρ, θ)dρdθ

=

∫∫[0,1]×[0,2π]

6ρdρdθ = 6π

da cui ∫S

F ·Nu dσ = 12π − 6π = 6π

22

Forme differenziali e Campi vettoriali

Si dice forma differenziale in Rn un’applicazione ω : A ⊂ Rn → (Rn)∗, dove con (Rn)∗ sie denotato il duale di Rn, ovvero l’insieme delle applicazioni lineari da Rn in R. Denotaticon dxi ∈ (Rn)∗ gli elementi della base duale:

dxi(h) = ei · h = hi, ∀h = (h1, h2, ..., hn) ∈ Rn,

per ogni x ∈ A potremo scrivere ω(x) ∈ (Rn)∗ come

ω(x) = a1(x)dx1 + a2(x)dx2 + ...+ an(x)dxn

e le funzioni ai : A ⊂ Rn → R, i = 1, ..., n verranno dette coefficienti della formadifferenziale ω.

Si osservi che, essendo (Rn)∗ isomorfo a Rn, ad ogni elemento ϕ ∈ (Rn)∗ e associatoun vettore ν ∈ Rn tale che ϕ(h) = ν · h, e viceversa. In particolare, considerata unaforma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn)∗, per ogni x ∈ A esiste ν(x) ∈ Rn tale cheω(x)(h) = ν(x) · h per ogni h ∈ Rn (alle forme dxi della base canonica di (Rn)∗ sonoassociati i vettori ei della base canonica di Rn). In questa prospettiva, i coefficienti dellaforma ω(x) non sono altro che le componenti del vettore ν(x).

Ad esempio, la forma differenziale ω(x, y) = x2dx + xydy e l’applicazione lineare da R2

in R tale che ω(x, y)(h, k) = x2h + xyk per ogni (h, k) ∈ R2, a cui e associato il vettoreν(x, y) = (x2, xy) per ogni (x, y) ∈ R2:

ω(x, y)(h, k) = x2h+ xyk = ν(x, y) · (h, k), ∀(h, k) ∈ R2.

Osserviamo che ad ogni forma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn)∗ possiamo associare ilcampo Fω : A ⊂ Rn → Rn avente per componenti i coefficienti di ω

ω(x) = a1(x)dx1 + a2(x)dx2 + ...+ an(x)dxn ⇐⇒ Fω(x) = (a1(x), a2(x), ..., an(x)).

Si dice che una forma differenziale ω : A ⊂ Rn → (Rn)∗ e esatta se esiste una funzioneU : A ⊂ Rn → R tale che dU(x) = ω(x) per ogni x ∈ A essendo dU : A ⊂ Rn → (Rn)∗, ildifferenziale di U , la forma differenziale:

dU(x) =∂U

∂x1(x)dx1 +

∂U

∂x2(x)dx2 + ...+

∂U

∂xn(x)dxn, x ∈ A.

Ricordiamo infatti che dalla definizione di differenziale, dU(x)(h) = ∇U(x) · h per ognih ∈ Rn. In tal caso la funzione U e detta primitiva della forma differenziale ω in A.

Osserviamo che se ω(x) = a1(x)dx1+a2(x)dx2+...+an(x)dxn, la condizione dU(x) = ω(x)per ogni x ∈ A risulta verificata se e solo se risulta

∂U

∂xi(x) = ai(x), ∀x ∈ A, ∀i = 1, ..., n.

23

E chiaro allora che se Fω e il campo associato alla forma differenziale ω, avremo che ωrisulta esatta in A se e solo se il campo Fω risulta conservativo in A. Inoltre avremo cheU e una primitiva di ω se e solo se U e un potenziale di Fω:

dU = ω ⇐⇒ ∇U = Fω

Data una forma differenziale ω continua in A ⊂ Rn (ovvero di coefficienti continui in A)e data una curva γ : [a, b] ⊂ R→ Rn di classe C1 si definisce∫

γ

ω =

∫γ

ω(x)(T (x))ds

dove T (x) e il versore tangente a γ in x. Se γ(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), t ∈ [a, b], sonole equazioni parametriche della curva e se ω(x) = a1(x)dx1 + a2(x)dx2 + ... + an(x)dxn,risulta∫

γ

ω =

∫ b

a

ω(γ(t))(γ′(t)) dt =

∫ b

a

a1(γ(t))x′1(t) + a2(γ(t))x′2(t) + ...+ an(γ(t))x′n(t)dt

Osserviamo che se Fω e il campo associato alla forma differenziale ω, l’integrale lungo γdella forma ω corrisponde al lavoro del campo Fω lungo γ:∫

γ

ω =

∫γ

Fω(x) · ds

Valgono allora i seguenti risultati corrispondenti ai Teoremi sul lavoro di un campoconservativo e sulla caratterizzazione dei campi conservativi

Teorema

Se ω e forma differenziale esatta e continua sull’aperto A ⊂ Rn allora per ogni curvaγ : [a, b] ⊂ R→ Rn di classe C1 risulta∫

γ

ω = U(γ(b))− U(γ(a))

essendo U una primitiva di ω in A.

e

Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte

Sia ω forma differenziale continua sull’aperto connesso A ⊂ Rn. Sono equivalenti leseguenti affermazioni

(i) ω e esatta in A,

24

(ii) per ogni curva γ chiusa, semplice, regolare a tratti con sostegno contenuto in Arisulta

∫γω = 0,

(iii) se γ1 e γ2 sono curve semplici, regolari a tratti con sostegno contenuto in A aventimedesimo punto iniziale e finale, allora

∫γ1ω =

∫γ2ω

Una forma differenziale ω(x) = a1(x)dx1 + a2(x)dx2 + ... + an(x)dxn di classe C1 in unaperto A ⊂ Rn e detta forma differenziale chiusa se risulta

∂ai∂xj

(x) =∂aj∂xi

(x), ∀x ∈ A, i = 1, ..., n.

Osserviamo che se Fω e il campo vettoriale associato alla forma differenziale ω, avremo cheω risulta forma differenziale chiusa se e solo se il campo vettoriale Fω risulta irrotazionale.Si ha allora

Teorema

Se ω e forma differenziale esatta di classe C1 sull’aperto A ⊂ Rn allora ω e chiusa in A.

Inoltre

Teorema

Se ω e forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso A ⊂ Rn allora ωe esatta in A.

Nel caso di forme differenziali del piano R2, abbiamo le seguenti formule equivalenti alTeorema di Green e di Gauss

Teorema (Formule di Gauss-Green)

Sia f(x, y) una funzione di classe C1 in un aperto A ⊂ R2 e sia D un dominio regolare inA. Allora, denotata con ∂D+ la curva semplice e chiusa avente per sostegno la frontieradi D positivamente orientata, risulta∫

∂D+

f(x, y)dy =

∫∫D

∂f

∂x(x, y) dxdy e

∫∂D+

f(x, y)dx = −∫∫

D

∂f

∂y(x, y) dxdy

Dalle precedenti formule si ottengono le seguenti formule per il calcolo dell’area di undominio regolare D ⊂ A

µ(D) =

∫∂D+

x dy = −∫∂D+

y dx =1

2

∫∂D+

x dy − y dx

Infine, il Teorema di Stokes per una forma differenziale ω in R3 diventa

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Teorema (Formula di Stokes)

Sia ω = a1dx+ a2dy + a3dz una forma differenziale di classe C1 nell’aperto A ⊂ R3 e siaS una superficie regolare con bordo con sostegno contenuto in A. Denotato con ∂S+ ilbordo positivamente orientato della superficie, risulta∫

∂S+

ω =

∫S

(∂a3∂y− ∂a2

∂z,∂a1∂z− ∂a3

∂x,∂a2∂x− ∂a1

∂y) ·N dσ,

essendo N il versore normale alla superficie.

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