Calcolo della Numerosità

Calcolo della Numerosità Binomiale 5 prove

0.031

0.156

0.313 0.313

0.156

0.031

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0 1 2 3 4 5

successi

pro

bab

ilit

à

Calcolo della NumerositàBinomiale 6 prove

0.016

0.094

0.234

0.313

0.234

0.094

0.016

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0 1 2 3 4 5 6

successi

pro

bab

ilit

à

Calcolo della NumerositàBinomiale 12 prove

0,000 0,0030,016

0,054

0,121

0,193

0,226

0,193

0,121

0,054

0,0160,003 0,000

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12successi

pro

bab

ilità

ns

-x=t

2

o

T-Test test sulla media di un gruppo

1. H0: = o

² nota viene utilizzata la distribuzione normale N(o,²/n)

² ignota si utilizza

T-TestT-Test

T-TestT-Test confronto fra le medie di due gruppi

2. H0: 1 = 2

1² = 2² ignote si utilizza

)n

1+

n

1(s

x-x=t

21

2p

21

2-n+n

)x-x(+)x-x(

2-n+n

SSQ+SSQ s

21

222j

n

1

211j

n

1

21

212p

21

T-TestT-Test osservazioni correlate

3. H0: d = 0

• Si calcolano per ogni soggetto le differenze d

ns

d=t

2d

Analisi della Varianza

• Quando i gruppi sono più di due non è più possibile applicare il t‑test per il confronto fra due medie

• Bisogna allora ricorrere all'analisi della varianza. Il suo presupposto fondamentale è che, se è vera l'ipotesi nulla che non vi sia differenza fra i gruppi, la variabilità all'interno dei gruppi è uguale alla variabilità fra i gruppi

Analisi della VarianzaAnalisi della VarianzaAnalisi della VarianzaAnalisi della Varianza

• Si tratta quindi di un confronto di varianze che può essere saggiato con la distribuzione F

• Per ciascun soggetto i del gruppo j lo scarto dalla media generale può essere scomposto in uno scarto dalla media di gruppo più uno scarto della media di gruppo dalla media generale


• Vale cioè la relazione:

xij - x.. = (xij - x.j) + (x.j - x..)

• La stessa scomposizione può essere fatta anche sulle somme degli scarti al quadrato (SSQ)

SSQtot = SSQintgr + SSQtragr


• La somma dei quadrati degli scarti totali è calcolata sui valori di tutti i soggetti del campione rispetto la media generale

• La somma dei quadrati degli scarti tra i gruppi si ottiene attribuendo a ciascun soggetto il valore medio del suo gruppo e calcolando gli scarti dei valori così modificati dalla media generale

• La somma dei quadrati degli scarti all'interno dei gruppi si ottiene per differenza

Analisi della VarianzaAnalisi della Varianza

• Le relative varianze si ottengono dividendo le somme dei quadrati degli scarti per i rispettivi gradi di libertà. La varianza all'interno dei gruppi è nota anche come varianza residua

• La variabile statistica su cui viene effettuato il test è data dal rapporto:

GRUPPIINTERNOVARIANZA

GRUPPITRAVARIANZAF

Analisi della VarianzaAnalisi della VarianzaGruppo 1

Gruppo 2

16 12

14 14

17 11

13 13

14 14

16 12

15 15

17 12

14 11

15 13

N Mean Std. Deviation

Std. Error Mean

Gruppo 1 10 15.1 1.370 .433

Gruppo 2 10 12.7 1.337 .423

Analisi della VarianzaAnalisi della Varianza

Punteggi t dfSig (2-tailed)

Mean Difference

95% Confidence Interval of the Difference

Equal variances assumed

3.963 18 .001 2.4 1.28 3.672

Equal variances

not assumed3.963 17.989 .001 2.4 1.28 3.672

t-test

Sum of Squares

dfMean

SquareF Sig

Beteewn Groups

28.8 1 28.800 15.709 .001

Within Groups

33.0 18 1.833

ANOVA


• L'interazione rappresenta l'effetto di particolari combinazioni degli effetti principali non imputabili semplicemente alla somma degli effetti componenti.

• Essa può anche essere vista come una mancanza di parallelismo tra un fattore e l 'altro.

EFFETTI PRINCIPALI E INTERAZIONE

Trattati M Controlli M

Trattati F Controlli F

Trattati Controlli

DISEGNO SPERIMENTALE

Definisce il modo di dividere in gruppi il campione sperimentale

CRITERI DI CLASSIFICAZIONEDefiniscono i modi di raggruppamento e quindi gli effetti studiati

Trattati Controlli

M

31 39

35 41

34 43

32 38

36 40

F

36 41

37 36

38 35

33 41

38 38

EFFETTI PRINCIPALI EFFETTI PRINCIPALI E E INTERAZIONE INTERAZIONE

Parametri descrittivi


MeanStd.

deviationn

TrattatiM 33.6 2.074 5

F 36.4 2.074 5

ControlliM 40.2 1.924 5

F 38.2 2.775 5

Totale 37.1 3.227 20


Source SS df MS F Sig

constant 27528.2 1 27528.2 5505.64 .000

trattamento 88.2 1 88.2 17.64 .001

sesso .8 1 .8 .16 .694

Tratt x Sesso 28.8 1 28.8 5.76 .029

Within factor 80.0 16 5.0

Analisi della Varianza

Analisi della VarianzaAnalisi della VarianzaAnalisi della VarianzaAnalisi della VarianzaCalcolo dell’interazione

) y y ( ) y y ( y = principalieffetti trattatiM trattatiM

trattatiM trattatiM principali effetti -y = scarto

Valori Sperimentali

trattati controlli media

Maschi 33.6 40.2 36.9

Femmine 36.4 38.2 37.3

media 35.0 39.2 37.1


Interazione

30

35

40

45

Trattati Controlli

MF

Analisi della Regressione Lineare

• Permette di analizzare la relazione fra due o più variabili quantitative gaussiane utilizzando un modello di riferimento costruito a partire dai dati sperimentali.

• Può essere Lineare semplice o Lineare Multipla

Analisi della Regressione LineareAnalisi della Regressione Lineare

Nel caso in cui la variabile indipendente sia una sola il modello utilizzato è di tipo lineare semplice e l’equazione che lo determina e l’equazione della retta:

y=a+bx

La determinazione dei parametri a e b è fatta con il metodo dei minimi quadrati


s

s=b xb-y=a

2x

xy

1-n

)y-y()x-x(=s

ii

n

1xy

Dove:

• Coefficiente di Determinazione R2

SSQ modelloR2 =

SSQ totale

• Coefficiente di Correlazione • Parametro F

varianza modelloF =

varianza residua


ss

s=r

yx

xy


44 46 48 50 52 54 56 58 60 6225

26

27

28

29

30

Med

ia E

sam

i

Voto Maturità

SV

SH

DE

Modello Lineare Generale (GLM)

dove yijk rappresenta la variabile dipendente misurata e e e rappresentano i parametri relativi agli effetti e all’interazione che influenzano la variabile dipendente. Il coefficiente b rappresenta la relazione fra x e y. Il parametro e rappresenta il termine errore dovuto alla variazione casuale dei dati.

yijk = + i + j + ij + b·x + eijk

• Di ogni parametro viene data la significatività

• I parametri vengono calcolati eliminando gli effetti di tutti gli altri parametri

• Si possono calcolare contrasti multipli ortogonali

Modello Lineare Generale Modello Lineare Generale (GLM)(GLM)

Permette:

• l’uso di fattori qualitativi e quantitativi

• il confronto fra prove ripetute, di dati correlati

• l’uso di più variabili dipendenti (analisi multivariata)

Modello Lineare Generale Modello Lineare Generale (GLM)(GLM)

Modelli Non Parametrici

Accuracy and certainty are competitors:

The surer we want to be, the less we must demand.

Basic Ideas of Scientific Sampling di Alan Stuart, Griffin, London, 1968

Modelli Non ParametriciModelli Non ParametriciUna serie di dati

- binomiale

- chi quadrato

- runs (numero di valori consecutivi superiori o inferiori a un valore soglia)

Due serie di dati correlati- McNemar (proporzioni)

- Sign (distribuzione dei valori)

- Wilcoxon

Più serie di dati correlati- Friedman

Due serie di dati indipendenti- Mann-Whitney

- Kolmogorov-Smirnov

Più serie di dati indipendenti- Kruskall-Wallis

Modelli Non ParametriciModelli Non Parametrici

Misure di associazione Tavole di contingenza: associazione fra due variabili qualitative Modelli Log-Lineari: associazione fra più variabili qualitative Modelli Log-Lineari Gerarchici: associazione fra più variabili

qualitative

Modelli Regressivi Regressione Logistica: modello generale in cui è possibile esprimere

una variabile qualitativa (dicotomica) come funzione di una o più variabili sia qualitative che quantitative.

Tavole di Contingenza

Permettono di analizzare la relazione fra due variabili di tipo qualitativo.

L’ipotesi nulla (assenza di relazioni) corrisponderà alla proporzionalità fra le diverse condizioni delle variabili.

Un esempio…

Tavole di ContingenzaTavole di Contingenza

Soggetti Risultato negativo Risultato positivo Totale

Gruppo A 41 216 257

Gruppo B 64 180 244

Totale 105 396 501


Per confrontare le frequenze sperimentali con l’ipotesi nulla si crea una corrispondente tabella per l’H0 costituita dalle frequenze teoriche che rappresentano la condizione di proporzionalità.

In formule…


Calcolo dei valori teorici Ti nell’ipotesi di proporzionalità (Ho)

Valutazione della differenza fra i valori teorici e i valori sperimentali applicando la

formula del 2

T

) E - T ( =

i

2ii

i2

totale

tottot = T

colonnarigai


Calcolo i valori teorici T nell’ipotesi di proporzionalità (Ho vera)

totale

tottot = T

colonnarigai

Risultato negativo Risultato positivo Totale

Gruppo A 41 53.9 216 203.1 257

Gruppo B 64 51.1 180 192.9 244

Totale 105 396 501

Valuto l’entità della differenza fra i valori teorici e i valori sperimentali applicando la formula del 2 .

2= (41-53.9)2 /53.9 + (64-51.1)2 /51.1 + (216-203.1)2 /203.1+ + (180-192.9)2 /192.9 = 7.978


T

) E - T ( =

i

2ii

i2

• Valuto la significatività: se p<0.05 posso concludere che c’è differenza nei due gruppi rispetto ai risultati positivi/negativi.

• Confronto il valore di 2 ottenuto con il limite di falsificazione per (r‑1)(c‑1) gradi di libertà che in questo caso corrisponde a 2

.05,1=3.84 < 7.978

Posso Respingere H0


Test del Segno

• Utilizzato per confrontare due serie di dati correlati, ad esempio fra due prove misurate con punteggi che vanno da 1 a 10.

• Il confronto si effettua sulle differenze fra seconda e prima prova, applicando la Distribuzione Binomiale per valutare la diversità fra miglioramenti e peggioramenti.

Un esempio...

Soggetti Prova1 Prova2 Differenza1 6 8 22 5 6 13 5 8 34 6 5 -15 4 7 36 7 7 =7 6 8 28 7 6 -19 6 9 310 5 4 -111 4 7 312 6 6 =

Escludendo le situazioni di assenza di differenze, confronto i 7 miglioramenti sui 12 casi.Attraverso il Test del Segno la differenza non è significativa in quanto p=0.344.

Se avessimo applicato il t-test per prove ripetute...

t= 2.382 che, con 11 gradi di libertà, fornisce una significatività di 0.036. Il valore del parametro t viene calcolato dalla media delle differenze e dalla loro deviazione standard.

Mean N Std. Deviation Std. Error MeanPROVA1 5.58 12 0.996 0.288PROVA2 6.75 12 1.422 0.411PROVA2 - PROVA1 1.17 12 1.697 0.490

Una soluzione alternativa: il Test dei Ranghi di Wilcoxon

• Si basa sulla classificazione dei soggetti in base alla differenza ottenuta nelle due prove e utilizza il numero d’ordine (rango) dei soggetti come nuova variabile da sottoporre a verifica statistica.

• Attraverso un’opportuna elaborazione di tale variabile si ottiene un parametro con una distribuzione prossima ad una distribuzione normale standard che viene utilizzata per eseguire il test.

Test dei Ranghi di Wilcoxon

• Per effettuare il test si parte mettendo i dati sia del primo che del secondo gruppo in ordine crescente in un unico elenco. Si associa a ogni dato il suo numero d'ordine nella scala così ottenuta. L'ipotesi nulla, come al solito, è che non vi sia differenza fra i due gruppi. Se questo è verificato i dati del primo gruppo saranno dispersi in modo uniforme nella scala costruita. Se l'ipotesi nulla è falsa essi saranno concentrati nella parte alta o bassa della scala. Nel caso precedente p=0.039.

Test di McNemar

• Misura la concordanza fra due variabili.

14 8

2 6

METODO1ottimisti

pessimisti

ottimisti pessimisti

METODO2

METODO1 & METODO2

Test di McNemarTest di McNemar

• Questo test considera solo le risposte discordanti dei due metodi e formula l’ipotesi nulla che non vi sia differenza fra i due metodi, nel senso che si possono avere indifferentemente soggetti classificati ottimisti dal primo metodo ma non dal secondo o l’opposto di questo. Il test non considera cioè quanto i due metodi sono concordi ma solo se le discordanze hanno una direzione preferenziale.

Test di McNemarTest di McNemar

• Nell’esempio in corso abbiamo 10 soggetti con risposta discorde. L’ipotesi nulla è che di questi 5 siano ottimisti col primo metodo ma non con il secondo e che 5 siano nella situazione opposta. In realtà per questi due gruppi abbiamo ottenuto 8 e 2.

Test di McNemarTest di McNemar• Utilizzando la distribuzione binomiale, valutiamo se i

valori ottenuti sono significativamente diversi dai valori attesi. La distribuzione binomiale ci permette di ottenere un test esatto e, data la bassa numerosità del campione, rappresenta il metodo idoneo. Per numerosità maggiori viene spesso utilizzata la distribuzione 2 che, pur essendo un test approssimato, necessita di calcoli più semplici.

• La significatività che si ottiene da questi dati è di 0.109 che non ci permette di falsificare l’ipotesi nulla e di sostenere una reale differenza fra i due metodi.

Regressione Logistica

• Trasforma la variabile qualitativa dicotomica (evento, non evento) in una variabile quantitativa utilizzando il parametro odds

• 1.Variabile0,1

• 2.Probabilità 0 1

• 3.Odds 0

)(

)(

eventononp

eventopodds

Regressione LogisticaRegressione Logistica

ODDS

)(

)(

)|(

)|(

eventnonp

eventp

exposureeventp

exposureeventpodds

odds

oddsp

oddspoddsppoddsoddsp

podds

1

)1(1


Per poter utilizzare una equazione nel campo dei numeri reali si esegue una ulteriore trasformazione

logarimica che prende il nome di logit

Odds logit (valore - --- 0 --- +)

)(

)(loglogit

noneventop

eventop


La variabile può essere vista come funzione dei

fattori in un modello regressivo:

logit (variabile)= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 ….

110 xbb eeodds


Stima dei Parametri (b)viene fatta con metodo a successive approssimazioni.

Il loro significato si può dedurre dall’odds ratio:

1

0

10

1

1

1

0

1.. bb

bb

x

x ee

ee

odds

oddsRO

Odds Ratio e Rischio relativo

a b c d

Disease Non Disease

Exposed

Non Exposed

OR= a/b c/d

RR= a/(a+b) c/(c+d)


• La regressione logistica fornisce le significatività per:

il modello globale i singoli parametri, togliendo gli effetti dei

parametri già considerati

Analisi fattoriale

• ridurre il numero delle variabili in esame;

• trasformare le variabili in studio in variabili mutuamente indipendenti;

• individuare le fonti delle variabili sperimentali;

• assegnare ad esse un significato reale.

Analisi fattoriale

Il punto di partenza dell’analisi fattoriale è la matrice di correlazione delle variabili esaminate, attraverso la quale vengono calcolate nuove variabili, dette fattori, fra loro indipendenti. Vi sono diversi metodi matematici per ottenere queste nuove variabili. Un metodo, noto come metodo delle componenti principali, si avvale del calcolo degli autovalori e autovettori della matrice di correlazione.

Analisi fattoriale

• capacità argomentativa

• desiderabilità sociale

• coinvolgimento emotivo

• ricerca della certezza

• atteggiamento di intransigenza

Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct

1 1.58165 31.6 31.62 1.31683 26.3 58.03 .87879 17.6 75.54 .65468 13.1 88.65 .56805 11.4 100.0

Analisi fattoriale

Variable Factor 1 Factor 2

argoment. .79211 -.03512des.soc. -.06178 .82247emotiv. .00558 .76485certezza .63892 .21603intrans. .73631 -.08646

ND D

‘ND’

‘D’

‘D’ ‘ND’

TP/(TP+FN)

TN/(TN+FP)

TP/(TP+FP)

TN/(TN+FN)

(TN+TP)/ALL

Calcolo della Numerosità

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