Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

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Pag. 1 Valutazione del carico critico in regime elastico di un telaio standard soggetto a soli carichi verticali - fig. 2.1 - - fig. 2.2 - Dati del problema: Ipotesi: travi e pilastri flessibili ma inestensibili Dimensioni: Altezza tra i piani H = 400 cm Lunghezza delle travi L = 700 cm Modulo di Young 2,1 10 Coefficiente di Poisson n 0,3 Modulo di elasticità tangenziale 21 n 8076923 Sezioni: Pilastri: HE300A 18260 6310 24570 Travi: IPE400 23130 1318 24448 Materiale: Acciaio classe Tensione di snervamento Tensione a rottura Fe 430/S275 2,75 10 4,3 10

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considerazioni sulla soluzione del problema di ricerca del carico critico di un telaio in acciaio con connessioni complete ai nodi e perfettamente incastrato alla base

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Pag. 1

Valutazione del carico critico in regime elastico di un telaio standard

soggetto a soli carichi verticali

- fig. 2.1 -

- fig. 2.2 -

Dati del problema:

Ipotesi: travi e pilastri flessibili ma inestensibili ��� → ∞�

Dimensioni:

Altezza tra i piani H = 400 cm

Lunghezza delle travi L = 700 cm

Modulo di Young � � 2,1 ∙ 10� ���

Coefficiente di Poisson n � 0,3

Modulo di elasticità

tangenziale � � �

2�1 � n� � 8076923 ���

Sezioni:

Pilastri: HE300A

��� � ����� � 18260��� �� � ���� � 6310���

�� � ����� � ���� � 24570���

Travi: IPE400

��� � ����� � 23130��� �� � ���� � 1318���

�� � ����� � ���� � 24448���

Materiale:

Acciaio classe Tensione di snervamento Tensione a rottura

Fe 430/S275 �� � 2,75 ∙ 10� ���

4,3 ∙ 10� ���

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Il primo passo del procedimento di soluzione consiste nella costruzione della matrice di rigidezza globale del

telaio in esame, passando per la scrittura delle equazioni di equilibro, nodo per nodo, alla rotazione e alla

traslazione. Al fine automatizzare il procedimento si può far uso dei metodi di assemblaggio tipici dell’analisi

matriciale.

Considerata una singola trave elastica (modello di Eulero - Bernoulli – Coulomb), le equazioni di equilibrio

nello spazio scritte rispetto ad un sistema di coordinate locale e con riferimento alle convenzioni adottate in

figura 2.3, possono essere poste in forma matriciale come:

- fig. 2.3 -

� � ����

���������T�T��!��!�!��T�T��!��!�!��"

#######$

%&&&&&&&&&&&&&&&' �����

��0 0 0 ( ����

��( �����

��0 0 0 ( ����

��

0 �����

��0 ����

��0 0 ( �����

��0 ����

��0

0 0 ����

�0 0 0 0 ( ���

�0 0

0 ����

��0 ����

�0 0 ( ����

��0 ����

�0

( ����

��0 0 0 ����

����

��0 0 0 ����

( �����

��0 0 0 ����

��

�����

��0 0 0 ����

��

0 ( �����

��0 ( ����

��0 0 �����

��0 ( ����

��0

0 0 ( ����

�0 0 0 0 ���

�0 0

0 ����

��0 ����

�0 0 ( ����

��0 ����

�0

( ����

��0 0 0 ����

����

��0 0 0 ����

� )***************+

���������,�,��-�.�.��,�,��-�.�.��"

#######$

Dove la matrice dei coefficienti di rigidezza K’ è stata opportunamente modificata, per adattarla al modello di

trave inestensibile; sono state, cioè, eliminate quelle righe e quelle colonne che moltiplicano le componenti di

spostamento assiale /� ed /� .

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Pag. 3

La differenza, rispetto al metodo classico di soluzione, consiste nell’adozione, per ciascun tratto soggetto ad

azioni assiali, di una matrice di rigidezza scritta nell’ambito dell’analisi al secondo ordine; ovvero di una

matrice ottenuta risolvendo l’equazione differenziale della linea elastica, per una trave standard doppiamente

incastrata, con riferimento ad una generica configurazione deformata:

������ � ���� � 0

- fig. 2.4 -

Imponendo, volta per volta, una distorsione unitaria nelle sezioni di estremità e tenendo conto

dell’inestensibilità, si ottiene il legame costitutivo per la trave piana in figura 2.4 scritto in forma matriciale*:

������

� � ���� ���������2�� � ���

���� �� � 2����������� ��

��� ���� � 2���

��� 2�� � ���

������� �� ��� �� ����������� ��� �

!

(* vedi: P. Pozzati – C. Ceccoli “Teoria e tecnica delle strutture” Vol.III pag. 180; nota: i segni sono adattati alle convenzioni qui adottate )

All’interno della matrice dei coefficenti di rigidezza, compaiono le funzioni di stabilità che tengono conto

dell’influenza del carico P sui coefficenti di equilibrio, e sono così definite : �� � 2 � 2cos��� � ���sin���

�� � �����1 � cos������

�� � ���sin��� � ��cos������

�� � ����� � sin������

in cui:

�� � ���EJ�

Queste funzioni vanno specificate per ogni piano che compone il telaio ( primo piano � � �, secondo piano � � �, terzo piano � � � ). Poiché stiamo trattando il caso di una trave nello spazio, la matrice di rigidezza sarà l’estensione tridimensionale di questo caso piano:

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P

ag

. 4

in

cu

i:

e c

on

:

� �=

���������������������

��

� ���

���

��

��0

00

−��

����

����

����

��

�� �

���

���

��0

00

−��

����

����

0��

��

���

���

���

��0

���

���

��0

0��

��

� �

����

���

��0

���

���

��0

00

��� �

00

00

−��

� �0

0

0��

��

����

0��

��

���

00

−��

��

����

0��

��

���

0

−��

����

����

00

0��

����

���

����

��

����

00

0��

����

���

����

��

�� �

���

���

��0

00

����

��

����

����

��

� ���

���

��

��0

00

����

��

����

0��

��

� �

����

���

��0

−��

��

����

00

���

� �

����

���

���

0−

���

���

��0

00

−��

� �0

00

0��

� �0

0

0��

��

����

0��

��

���

00

−��

��

����

0��

��

���

0

−��

����

����

00

0��

����

���

����

��

����

00

0��

����

���

�����������������

� ��=

2−2cos

� ��� −

� ��� sin

(� ��)

� ��=

2−2cos

� ���−

� ���sin

(� ��)

� ��=

(��)�

[���

���

��

� ]� �

� ��=

(��)�

[���

���

��

�]� �

� ��=

��

[� !(

��)�

��

����

��

� ]� �

� ��=

��

[� !(

��)�

��

����

��

�]� �

� ��=

��

� ��

�� !

� ��

� ]� �

� ��=

��

��

�� !

���

�]� �

� ��=

� �" �

#$%

����

� ��=

� �" �

#$%

����

Page 5: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 5

Il coefficiente α� serve a tener conto del fatto che nei pilastri (1-5), (2-6), (3-7) e (4-8) il carico vale 3P

(ossia �� � ��, nei pilastri (5-9), (6-10), (7-11) e (8-12) il carico vale 2P (�� � �� ed infine nei pilastri (9-13), (10-14), (11-15) e (12-16) il carico vale P (�� � ��. Ai fini operativi del calcolo è possibile scrivere la matrice in funzione di un solo coefficiente λ� in modo da avere una sola variabile:

������ � ���� ��

���� ����

� ���� �� ⇒ ��� � ��� ���� ��

≅ 0,58785 ∙ ���

- fig. 2.5 -

In termini del tutto generali , indicata con i’ , j’ , k’ e con i , j , k due terne di versori corrispondenti a due

sistemi di riferimento nello spazio ( e nel caso in esame indicanti rispettivamente un sistema di riferimento

“locale” ed uno “globale” ), la matrice di rotazione del sistema locale in quello globale avrà la forma:

Assunto come sistema di riferimento globale per la struttura quello concorde col sistema di riferimento locale

dei pilastri, le uniche matrici che vanno ruotate prima di essere assemblate sono le matrici delle travi.

��� ��� 0 0 00 �

� 0 000 00 ��

00 ��

nella quale: ��� �� ∙ �′ ∙ �′ � ∙ �′� ∙ ′ ∙ ′ � ∙ ′� ∙ �′ ∙ �′ � ∙ �′�

Page 6: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 6

Scelto il verso positivo dell’asse locale z’ quello ottenuto seguendo un verso di percorrenza concorde alla

numerazione crescente dei nodi e mantenendo l’asse x’ sempre rivolto verso il basso ( l’asse y’ in questo

modo risulterà sempre orientato verso l’esterno del telaio ), risulta immediato individuare il sistema di

riferimento di ciascuna trave ( vedi figura 2.5 ) e quindi anche le matrici di rotazione per ciascuna trave:

Tratto (5-6)

Tratto (9-10)

Tratto (13-14)

�� = �� � �−� � �� � ��

Tratto (6-7)

Tratto (10-11)

Tratto (14-15)

�� = �� � −�−� � �� � ��

Tratto (7-8)

Tratto (11-12)

Tratto (15-16)

�� = �� −� �−� � �� � −��

Tratto (8-5)

Tratto (12-9)

Tratto (16-13)

�� = �� � �−� � �� −� ��

Le matrici scritte nel sistema di riferimento globale si ottengono sviluppando il prodotto:

�� = ��

������

Il telaio ha globalmente 16 nodi, di cui 4 perfettamente incastrati alla base, pertanto solo 12 possono subire

spostamenti. Nello spazio i gradi di libertà di ciascun nodo sono 6, ma, data l’ipotesi di inestensibilità, non

sono possibili spostamenti in direzione Z ( cioè i pilastri non subiscono variazione di lunghezza ) e gli

spostamenti in direzione orizzontale sia in X che in Y sono uguali per le coppie di nodi collegate da ciascuna

trave. Ad esempio i nodi 5 e 6 subiranno lo stesso spostamento lungo l’asse X ed allo stesso modo i nodi 8 e 5

nella direzione Y. In definitiva su ogni piano ci saranno solo quattro incognite di spostamento orizzontale

indipendenti.

Il sistema di equazioni di equilibrio pertanto si comporrà di 36 equazioni di equilibrio alla rotazione ( ovvero

tre per ciascun nodo ) più 12 equazioni di equilibrio alla traslazione ( ovvero quattro per ciascun piano ) che

non sono altro che l’estensione al caso tridimensionale delle equazioni di Gehler per i telai piani.

Per il nodo 5 si avrà :

- equazione di equilibrio alla rotazione �� ( rotazione intorno a Z ):

−������ ����� − ����

�� ��� + ������ +

� ���� ���+

������ ���� +

����� �� +

������ ���� +

����� �� −

���� �� = ��

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a X ):

����������

��−

���������

��� ��� + � � �

� +����

� +��������

� +��������

� � ��� − � �

� ��� +

+ ����� ��� −

���������

������� +

���������

� ��� = ��

Page 7: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 7

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a Y ):

�� ��������

�� � �

������

�� ����� � �� ��� � ��

�� � �

�������

�� � �

������

����� � ��

���� � � �

���� �

� � �����

������� � � �

������

���� � ��

- fig. 2.6 -

Per il nodo 6 si avrà :

- equazione di equilibrio alla rotazione �� ( rotazione intorno a Z ):

� �� �

������ � �� �

����� � �!� ��

� �� ��

��!� � �� �

���"�� � �� �

�!� � �� �

��� �" �

� �� �

�!" � � �

�!�# � �#

Page 8: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 8

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a X ):

− � �

� ��� +����

� ��� + ����������

��−

���������

��� ���� + � � �

� +����

� +��������

� +��������

� � ��� +

+ ���������

�������� +

���������

� � �� = ��

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a Y ):

����� �� −

� �� �� + �������

���

��−

���������

��� ����� + � � �

� +����

� +������

���

� +������

���

� ��� +

− ���������

�������� +

���������

� � � = �

Per il nodo 7 si avrà :

- equazione di equilibrio alla rotazione �� ( rotazione intorno a Z ):

������ ����� + ����

� ��+������ ��� + �����

� +� ���

� ��� +������ ���� +

������ ���� +

+ ����� �� −

���� � = ��

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a X ):

− � �

� ��� +����

� ��� + ����������

��−

���������

��� ���� + � � �

� +����

� +��������

� +��������

� � ��� +

+ ���������

�������� +

���������

� � � = ��

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a Y ):

����� �� −

� �� �� + �������

���

��−

���������

��� ���� + � � �

� +����

� +������

���

� +������

���

� ��� +

− ���������

��������� +

���������

� � = �

Per il nodo 8 si avrà :

- equazione di equilibrio alla rotazione �� ( rotazione intorno a Z ):

������ ����� + ����

� ��−������ ���� + �����

� +� ���

� ��� +������ ���� −

������ ��� +

+ ����� ��−

���� � � = ��

Page 9: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 9

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a X ):

− � �

� ��� +����

� ��� + ����������

��−

���������

��� ��� + � � �

� +����

� +��������

� +��������

� � ��� +

+ ���������

������� +

���������

� � �� = ��

- equazione di equilibrio alla rotazione ��� ( rotazione intorno a Y ):

����� �� −

� �� �� + �������

���

��−

���������

��� ���� + � � �

� +����

� +������

���

� +������

���

� ��� +

− ���������

��������� +

���������

� � � = �

Equazioni alla traslazione :

- equazione di equilibrio ����� ( traverso 5-6 in direzione X ):

2 �������� +

�������������������� ��

+��������

������������ ��

� ����� −������ ��� + �� − �� + ��+

+ ����������

��−

���������

��� ��� +���− �����

�� ���� + 2�����������������

��� ��

������ +

− ���������

���� � +��� = �����

- equazione di equilibrio ����� ( traverso 6-7 in direzione Y ):

2 �������� +

������������������ ��

+����������

�������� ��

����−� +

������ ��� + �� − �� − ��+

+ ����������

��−

���������

��� ���� +����− �����

�� ��� + 2�����������������

� ��

������ +

− ���������

���� �� +� �� = ����

- equazione di equilibrio ����� ( traverso 7-8 in direzione X ):

2 �������� +

�������������������� ��

+��������

������������ ��

� ���� − ������ ��� + �� − �� − �� +

+ ����������

��−

���������

��� ��� +���− �����

�� ����� + 2�����������������

��� ��

������� +

+ ���������

���� +� �� = ����

Page 10: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 10

- equazione di equilibrio ����� ( traverso 8-5 in direzione Y ) :

2 �������� +

������������������ ��

+����������

�������� ��

� ��� − ������ ��� + �� − �� + �� +

+ ����������

��−

���������

��� ���� +����− �����

�� ���� + 2�����������������

� ��

����� +

− ���������

���� �� −���� = ���

In modo del tutto analogo si possono scrivere le equazioni di equilibrio per gli altri nodi e gli altri traversi che

compongono il telaio. Raccogliendo i coefficenti nella matrice di rigidezza globale K , è possibile ricavare il

valore degli spostamenti semplicemente dalla relazione:

� = [�(!)]���

Dalla definizione di matrice inversa, data dal rapporto tra il determinante dell’aggiunto ed il determinante

della matrice dei coefficenti, si vede che gli spostamenti del vettore δ tendono ad infinito quando:

���[�(!)] = 0

Da questa condizione si ottiene un’equazione trascendente nella variabile �.

Il valore del carico critico per perdita di rigidezza ( buckling ), è quello corrispondente al più piccolo valore di � che soddisfa questa equazione. Questa ricerca può essere condotta tracciando il diagramma di ���[�(!)] :

Dall’analisi del grafico si ricava:

�"#� =� 1,757

Da cui:

�� = 0,58785 ∙ ���� = 1,0328

E quindi: �$% = �&���

' �E!()*+ = ��,,-,

�.. �∙ 2,1 ∙ 10, /

0)�∙ 6310"#� =� �������,$�%&

lunghezza di libera inflessione pari a : '� = (12,��3�∙�,�∙�.� �

���∙�2�.0)�

�--��--,24�/

=� 714,86"#

Dato l’elevato numero di equazioni e la loro natura fortemente non lineare , può essere interessante tentare

un altro metodo di calcolo in modo da poter confrontare i risultati.

Partendo dall’esservazione che, nella configurazione variata, la matrice di rigidezza di ciascun tratto può

essere messa in funzione della nuova geometria assunta, si può intraprendere un’altra strada che conduce

alla soluzione. Analisi di questo tipo, uscendo dall’ambito dei piccoli spostamenti ( pur mantenedosi in quello

di deformazioni piccole ), tengono conto della non linearità geometrica e possono essere trattate con gli stessi

1.7 1.8 1.9 2.0

-2. µ10-203

2. µ10-203

4. µ10-203

6. µ10-203

Page 11: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 11

metodi dell’analisi matriciale per le strutture in campo lineare; a causa della presenza di termini non lineari,

le soluzioni delle equazioni ( quindi il valore degli spostamenti ) non possono però essere ottenute per via

diretta in modo esplicito semplicemente invertendo la matrice di rigidezza, ma saranno necessarie procedure

di calcolo iterativo, inoltre, anche con queste procedure, è possibile impostare la ricerca del carico critico di

un telaio in campo elastico.

Il primo passo per impostare il calcolo consiste nella ricerca della matrice di rigidezza di una trave

pressoinflessa per spostamenti finiti piccoli (non infinitesimi). Con riferimento alla trave S-E di lunghezza H

nel piano (z’, x’):

Lo spostamento di un punto interno alla trave nella generica coordinata z può essere messo in funzione degli

atti di moto delle sezioni di estremità utilizzando le funzioni di forma*:

$$%% � &1 � ( 6*( � (��+ *1 � 4( � 3(��+.0 1 � 3(� � 2(& *�( � 2(� � (&�. ( 6*�( � (��+ *3(� � 2(�+.0 3(� � 2(& *(� � (&�. 0 1

$�$�$�$�$�$�

2 in cui : ξ � �

� e η � �

� sono parametri adimensionali.

( * J.S. Przemieniecki - “ Theory of Matrix Structural Analisys ” cap. 15 pp. 388 sgg. )

Page 12: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 12

La deformazione totale per grandi spostamenti in una trave soggetta sia a deformazioni assiali che flessionali

è espressa come :

)� =�*.�+ −

��,�+� - +1

2��,�+�

dove � è la funzione u calcolata per � = 0.

Da questa è possibile ricavare l’energia elastica di deformazione:

. = /20)�� �1

5= /2

20 ��*.�+ �� �+�

.+/!62

0 3��,�+�4� �+�

.+/22

0 �*.�+ ��,�+�� �+�

.

Sostituendo le funzioni di forma precedentemente ricavate all’interno di questa espressione, e imponendo la

stazionarietà dell’energia potenziale ( oppure in alternativa sfruttando il teorema di Castigliano ), si ricava la

matrice delle rigidezze. Si può notare come dai primi due integrali a destra del segno di uguaglianza, si

ricavino i consueti elementi della matrice di rigidezza elastica della trave standard (��), mentre dal terzo

integrale si ricavino elementi che tengono conto della variazione di rigidezza dovuta alla configurazione

assunta alla trave e che possono essere ordinati in una matrice, detta appunto “matrice geometrica” �� .

�7 =5*6

788888889

1 0 0 −1 0 00 65

− 610

0 −6

5−

610

0 −610

26�

150 6

10−6�

30−1 0 0 1 0 00 −

6

5 6

100 6

5 610

0 −610

−6�

300 6

1026�

15

:;;;;;;;<

Il legame costitutivo può allora essere espresso come :

= = ��8 +�7�>

E’ possibile implementare una procedura di calcolo a più “step” lineari che consente di calcolare il

vettore degli spostamenti �, tenendo conto di queste variazioni di geometria e quindi trovare la

soluzione ( approssimata ) del problema non lineare. Ciascuno step rappresenterà un incremento di carico.

Quindi la matrice � non dipenderà soltanto dalla geometria ma anche dalle forze iniziali esistenti all’inizio

di ciascuno step ( per questo motivo è anche detta “matrice delle sollecitazioni iniziali “ ). E’ da notare che

allo “step 0” ( passo iniziale ) ���� = �, perchè la matrice geometrica è proporzionale alle forze interne

iniziali che sono supposte inizialmente nulle; quindi il primo step è un semplice calcolo in regime elastico

lineare.

Gli spostamenti totali per i valori finali del carico applicato, si otterranno come somma dei valori ottenuti al

termine di ciascuno step. L’accuratezza del risultato, sia in termini di spostamenti che in termini di sforzi

interni alle travi costituenti il telaio, dipenderà dall’ampiezza dell’incremento di carico di ciascun passo.

Esprimendo il carico applicato come:

� = �=∗

Page 13: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 13

in cui � è una costante moltiplicativa e �∗ rappresenta l’intensità relativa delle forze applicate, si ha che,

come conseguenza della proporzionalità tra la matrice �� e le forze all’inizio di ciascuno step, si può scrivere:

�7 = ��7∗

In cui ��∗ è la matrice di rigidezza geometrica per un valore unitario del carico applicato ( � = 1 ). La matrice

di rigidezza elastica �� può essere trattata come composta da elementi costanti per un ampio range di valori

degli spostamenti. Pertanto si può scrivere :

�=∗ = ��8 + ��7∗�>

Per calcolare gli spostamenti basta invertire:

> = ��8 + ��7∗����=∗

Gli spostamenti avranno valori infiniti ( condizione di collasso per instabilità geometrica ) quando:

���?�8 + ��7∗@ = 0

La ricerca del carico critico è diventata un problema agli autovalori; il più piccolo valore di � che soddisfa

questa equazione ci da il valore ��� che porta all’instabilità:

�$% = �$%=∗

Ripetendo lo stesso procedimento sul piano (z’, y’) e assemblando insieme le due matrici geometriche si

ottiene la�� per la trave nello spazio*:

�7 =/�

78888888888888889

1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 �- 0 0 0 −

��. 0 −

�- 0 0 0 −

��.0 0

�- 0

��. 0 0 0 −

�- 0 ��. 0

0 0 0��9 0 0 0 0 0 −

��9 0 0

0 0��. 0

���

�- 0 0 0 −��. 0 −

��

2. 00 −

��. 0 0 0

���

�- 0 ��. 0 0 0 −

��

2.−1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 −

�- 0 0 0

��. 0 �

- 0 0 0 ��.0 0 −�- 0 −

��. 0 0 0

�- 0 −

��. 0

0 0 0 −��9 0 0 0 0 0

��9 0 0

0 0��. 0 −

��

2. 0 0 0 −��. 0 ���

�- 00 −

��. 0 0 0 −

��

2. 0 ��. 0 0 0 ���

�-

:;;;;;;;;;;;;;;;<

( * W. McGuire – R.H. Gallagher “Matrix Structural Analysis” pag. 257; nota: i segni sono adattati alle convenzioni qui adottate )

Posto P∗ = 1� , il valore di � che soddisfa la condizione di determinante nullo fornirà proprio �$% .

Per avere un’idea del grado di approssimazione si può ad esempio paragonare il carico critico euleriano per

un pilastro incastrato alla base e con l’estremo superiore libero:

Page 14: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 14

lunghezza di libera inflessione: 3� � 2 H = 800 cm

�'( � 4�5��3�� � *3,14�� ∙ 2,1 ∙ 107 ���2 ∙ 6310��464000067�� 2041399,36879

con quello calcolato in maniera approssimata:

������ �

���������

���

�0 0 0 0 0

0 ��������

��0 0 0 � ����

���

��

0 0 �������

��0 ����

��

��0

0 0 0 ���

�0 0

0 0 ������

��0 ����

��

�0

0 � �������

��0 0 0 �������

���������

� �

��������

1 0 0 0 0 00 �

�0 0 0 � �

0 0 �

�0 �

� 0

0 0 0 ��

��0 0

0 0 �

� 0 ���

��0

0 � �

� 0 0 0 ���

��

��������

La condizione di determinante nullo può essere visualizzata con diagramma in funzione di λ

:;<=���"��> � 0 → �'( � 2069000 Un’approssimazione per eccesso dell’1,35%

Fatte queste premesse, si può valutare il carico critico del telaio in esame tenendo presente che, supposti i

carichi verticali applicati in corrispondenza di ciascun nodo e perfettamente centrati nei pilastri, le travi

risulteranno prive di sollecitazioni assiali e pertanto parteciperanno al calcolo col solo contributo elastico e

non anche con quello geometrico ��#$ � 0�.

La matrice di rigidezza globale della struttura può essere ottenuta mediante semplici procedure di

assemblaggio, stando però attenti a tenere conto del valore ( e del segno ) dello sforzo normale presente nei

pilastri in modo da utilizzare la corretta matrice di rigidezza geometrica per ognuno. Più precisamente:

Pilastri Valore di ��

( 1-5 ); ( 2-6 ); ( 3-7 ); ( 4-8 ); �3�∗

( 5-9 ); ( 6-10 ); ( 7-11 ); ( 8-12 ); �2�∗

( 9-13 ); ( 10-14 ); ( 11-15 ); ( 12-16 ); ��∗

1 µ 106

2 µ 106

3 µ 106

4 µ 106

5 µ 106

6 µ 106

7 µ 106

-4 µ 1041

-2 µ 1041

2 µ 1041

4 µ 1041

6 µ 1041

Page 15: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 15

Al fine di automatizzare il calcolo può essere rimossa l’ipotesi di inestensibilità ed utilizzare le matrici

complete anche dei termini estensionali.

Per il telaio ad un solo piano si avrà :

�%& �� 7093000 → "%& �� #$%&$$$' (rispetto al caso di pilastro semplice, è aumentato di quasi 3,5 volte)

con lunghezza di libera inflessione pari a : 3� � )&,+�,∙�,+∙+.��

��∙�&+./0�

1.2&...3

� �@ 42967

Per un telaio a due piani :

�%& �� 3478000 → "%& �� &*#+$$$' ( si è praticamente dimezzato rispetto al caso precedente )

lunghezza di libera inflessione pari a : 3� � )&,+�,∙�,+∙+.��

��∙�&+./0�

34780003

� �@ 61367

6.0 µ106

7.0 µ 106

8.0 µ 106

9.0 µ 106

1.0 µ 107

5.0 µ 10182

1.0 µ 10183

1.5 µ 10183

2.0 µ 10183

2.5 µ 10183

3.0 µ 10183

3.5 µ 10183

3.4 µ106

3.6 µ106

3.8 µ106

4.0 µ106

-4. µ10-233

-2. µ10-233

2. µ10-233

4. µ10-233

Page 16: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 16

Nel caso di tre piani :

�%& �� 2789000 → "%& �� ,#+%$$$'

lunghezza di libera inflessione pari a : 3� � )&,+�,∙�,+∙+.��

��∙�&+./0�

27890003

� �@ 684,4367

Si vede quindi come il carico critico differisca di appena il 9% rispetto a quello calcolato col procedimento

“esatto”.

Lo stesso tipo di procedimento si può eseguire nella ricerca del carico

critico di un telaio piano, in cui si ha il vantaggio di poter scrivere delle

equazioni di equilibrio più semplici e meccanicamente più intuitive.

Dati del problema:

Dimensioni: Sezioni:

Pilastri: H = 400 cm HE300A A4 � 18260��4

Travi: L = 700 cm IPE400 A5 � 23130��4

Ipotesi:

Travi e pilastri flessibili ma inestensibili �-. → ∞�

2.8µ106

3.0µ106

3.2µ106

3.4µ106

-2.µ10-248

-1.µ10-248

1.µ10-248

2.µ10-248

Page 17: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 17

Per le strutture piane si fa ovviamente riferimento alle matrici relative a questo caso, con l’ipotesi che le travi

ed i pilastri si deformino rispetto all’asse di massima inerzia. In ciascun nodo si avrebbero 3 gradi di libertà, e

quindi, nel problema in esame, si dovrebbero scrivere 24 equazioni di equilibrio ( 3 equazioni per ciascuno

degli 8 nodi che sono sede di deformazione ), ma l’ipotesi di inestensibilità riduce il numero di incognite a 12.

Si avranno quindi 8 equazioni di equilibrio alla rotazione e 4 equazioni di equilibrio alla tralazione

orizzontale. Prima di tutto vanno definite le funzioni di stabilità di ciascun pilastro, che adesso, per

semplicità, possono essere messe in funzione di un unico parametro �, e precisamente �� che è quello

relativo ai pilastri dell’ultimo piano:

������������� �à����������1 − 3��(2 − 4)

������������� �à����������3 − 5��(4 − 6)

�� = 2��

�� = 2 − 2Cos���� − ��Sin[��]

�� =(��)

�(1 − Cos[��])

��

�� =��(Sin[��] − ��Cos[��])

��

�� =��(�� − Sin[��])

��

�� = (3)�

���

�� = 2 − 2Cos���� − ��Sin[��]

�� =(��)

�(1 − Cos[��])

��

�� =��(Sin[��] − ��Cos[��])

��

�� =��(�� − Sin[��])

��

������������� �à����������5 − 7��(6 − 8) ������������� �à����������7 − 9��(8 − 10)

�� = (2)�

���

�� = 2 − 2Cos���� − ��Sin[��]

�� =(��)

�(1 − Cos[��])

��

�� =��(Sin[��] − ��Cos[��])

��

�� =��(�� − Sin[��])

��

�� = 2 − 2Cos���� − ��Sin[��]

�� =(��)

�(1 − Cos[��])

��

�� =��(Sin[��] − ��Cos[��])

��

�� =��(�� − Sin[��])

��

con : �� = ���EJ�

Le equazioni di Gehler in questo caso sono:

Equazioni di equilibrio alla rotazione

Nodo 3 : ����

��� + ��� +

����

�� �� +

����

��� +

�����

��� +

���

���� − ���� ���! −

���"�

��� ���! = 0

Page 18: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 18

Nodo 4 : ����

��� + ��� +

����

�� �� +

����

��� +

�����

��� +

���

���� − ���� ���! −

���"�

��� ���! = 0

Nodo 5 : ����

��� + �#� +

����

�� �� +

�����

��� +

����

��� +

�����

��� +

���"�

��� ���! +

���

���# − ���� ���! −

���"�

��� ���! = 0

Nodo 6 : ����

��� + �#� +

����

�� �� +

�����

��� +

����

��� +

�����

��� +

���"�

��� ���! +

���

���# − ���� ���! −

���"�

��� ���! = 0

Nodo 7 : ����

��# + ��� +

����

�� �� +

�����

��� +

����

��� +

�����

��$ +

���"�

��� ���! +

���

���� − �#�� ���! −

���"�

��� $�% ! = 0

Nodo 8 : ����

��# + ��� +

����

�� �� +

�����

��� +

����

��� +

�����

��% +

���"�

��� ���! +

���

���� − �#�� ���! −

���"�

��� $�% ! = 0

Nodo 9 : �����

�+

���&�

���$ +

�����

��� +

����

��% +

���"�

��� ���! −

���"�

��� $�% ! = 0

Nodo 10 : �����

�+

���&�

���% +

�����

��� +

����

��$ +

���"�

��� ���! −

���"�

��� $�% ! = 0

Equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale

Traverso (3-4) :

2���

���(2�� − ��

�) + (2�� − ���)�� ���! + 2

���('����"�)

��� ���! + ����"�

��−

���"�

��� �� + ��� +

���"�

���� + ��� = 0

Traverso (5-6) :

2���

���2�� − ��

�� + (2�# − �#�)�� ���! + 2

���('����"�)

��� ���! + 2

���('����"�)

��� ���! −

���"�

���� + ��� +

+ ����"�

��−

���"�

��� �� + ��� +

���"�

���� + ��� = 0

Traverso (7-8) :

2���

���(2�# − �#

�) + (2�� − ���)�� ���! + 2

���('����"�)

��� ���! + 2

���('����"�)

��� $�% ! +

+ ����"�

��−

���"�

��� �� + ��� −

���"�

���� + ��� +

���"�

���$ + �% � = 0

Traverso (9-10) :

2���(�"��'�

�)

��� $�% ! + 2

���('����"�)

��� ���! −

���"�

���$ + �% � −

���"�

���� + ��� = 0

Page 19: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 19

Componendo con i coefficenti delle incognite la matrice di rigidezza K ed imponendo la condizione di

���[�] = �, si ottiene :

��� = �,��� → ��� = ��()

��� � = � �,��

��� �� 2,1 ∙ 10

��218260��4 = ��� � �,��

La ricerca della soluzione col metodo che fa uso della matrice geometrica in questo caso porta a:

��� =� �������� che corrisponde ad un valore del moltiplicatore :��� = ��()

��*=� �,����

Un errore sicuramente significativo, dovuto probabilmente all’adozione di un unico elemento finito per

ciascun tratto compreso tra due nodi.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

-5µ 1076

5µ 1076

1µ 1077

2 µ 106

4 µ 106

6 µ 106

8 µ 106

1 µ 107

-5. µ 10-25

5. µ 10-25

1. µ 10-24

Page 20: Calcolo Del Carico Critico Di Un Telaio Spaziale in Acciaio

Pag. 20

E’ curioso notare come il valore del moltiplicatore � sia molto influenzato dal tipo di profilato usato per le

travi. Se,ad esempio, invece dell’IPE400 si fosse fatto uso di un profilato IPE300 ( 0+ � 8356���),

mantenendo gli stessi profilati usati per i pilastri, si sarebbe ottenuto :

��� �� #, �BB�

e

����� �"#"�#�, �BC

Il carico critico s’è ridotto di 3 volte.

Mentre se si fossero mantenute le travi IPE400 e si fosse scelto per i pilastri un profilato HE240A

( 0, � 7763���) , si sarebbe ottenuto :

��� �� �, ��

e

����� ���B�B�, ��C

Addirittura un aumento del carico critico.

Nel caso in cui il telaio fosse controventato, rimangono valide solo le

8 equazioni di equilibrio alla rotazione dei nodi, in cui però vengono

cancellati tutti i termini che moltiplicano le incognite di traslazione

orizzontale dei traversi.

La condizione di determinante nullo in questo caso porta a:

���

� �, �� → ���

� �� �����, ���

valore quattro volte superiore alla soluzione “esatta” ottenuta per il

caso senza controventi.

0.5 1.0 1.5

5.0 µ 1075

1.0 µ 1076

1.5 µ 1076

2.0 µ 1076

2.5 µ 1076

3.0 µ 1076

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.µ10-6

2.µ10-6

3.µ10-6

4.µ10-6

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-4.µ10-23

-2.µ10-23

2.µ10-23

4.µ10-23

6.µ10-23

8.µ10-23