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Calcolo algebrico e polinomi

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Introduzione

In questa lezione esporremo i principali concetti relativi alcalcolo algebrico elementare e ai polinomi.In particolare, illustreremo:

• Prodotti notevoli e sommatorie

• Fattorizzazione di numeri naturali prima, e poi di polinomi

• Divisione con resto di polinomi

• Equazioni di secondo grado

Dato che però, tradizionalmente, un approccio diretto basatosull’algebra astratta crea difficoltà agli studenti, abbiamo decisodi iniziare richiamando alcune proprietà fondamentali relativeall’aritmetica dei numeri naturali.

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Introduzione

Infatti, queste proprietà da una parte costituiscono unriferimento concettuale esplicito che può guidare lo studentealla comprensione degli argomenti relativi alla divisione e allafattorizzazione dei polinomi, dall’altra ci consentono dipresentare una simbologia di uso corrente non solo nell’ambitodel calcolo algebrico, ma anche, come vedremo nei corsisuccessivi, all’interno del cosiddetto calcolo combinatorio e,poi, nell’ambito delle teorie della probabilità e della statistica.

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Concetti preliminari

Abbiamo già incontrato l’insieme dei numeri naturali N:

N= {0,1,2, . . . ,n, . . .} . (1)

Lo studio delle proprietà di N a livello elementare si chiamaaritmetica, mentre a livello superiore è noto col nome di teoriadei numeri.L’abitudine consolidata in ognuno di noi consente al docente diritenere che nessuno studente abbia difficoltà nel riferirsi ad unproprio schema mentale operativo che gli permetta di ragionareusando i numeri naturali.

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Concetti preliminari

D’altra parte, anche se non ne svilupperemo i relativi dettagli, èopportuno precisare che una definizione matematica formaledell’insieme dei numeri naturali N richiederebbe un approccioassiomatico, concettualmente analogo a quello usato daEuclide per sviluppare i fondamenti della geometria euclidea.

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Fattorizzazione dei numeri naturali

Con queste premesse, possiamo iniziare a presentare le primeproprietà di interesse per i nostri obiettivi:Definizione 1: Siano m, n ∈N. Diciamo che m è un divisore di nse esiste k ∈ N tale che n = m · k. In questo caso si può anchedire che n è un multiplo di m, o che n è divisibile per m.

Osservazione:

(i) Nessun numero naturale positivo è divisibile per 0.

(ii) Ogni numero naturale positivo ha almeno due divisoribanali: 1 e se stesso.

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Numeri primi

Definizione 2: Sia n ∈ N, n ≥ 2. Diremo che n è primo se nonha altri divisori oltre i due divisori banali (cioè 1 e se stesso).

Ad esempio, i numeri, 2, 3, 5, 7, 11, 53 sono numeri primi.

Esistono infiniti numeri primi , fatto che era già noto adEuclide.

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Numeri primi

La dimostrazione di Euclide è la seguente: supponiamo che inumeri primi siano finiti e denotiamoli con

{p1,p2, . . . ,pk} .

Se adesso consideriamo il numero

p̄ = p1 ·p2 · · ·pk +1 ,

è facile verificare che nessuno dei p1,p2, . . . ,pk divide p̄.Ma allora p̄ è un numero primo diverso da p1,p2, . . . ,pk , cosache contraddice l’ipotesi che p1,p2, . . . ,pk fossero gli unicinumeri primi.

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Fattorizzazione dei numeri naturali

I due teoremi seguenti raccolgono le proprietà fondamentali dicui dovremo esaminare la generalizzazione nel contesto deipolinomi.

Teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni numeronaturale n ≥ 2 può essere fattorizzato come prodotto di numeriprimi, cioè scritto nella forma:

n = pα11 ·pα2

2 · . . . ·pαrr (2)

dove p1, . . . ,pr sono r numeri primi diversi fra loro, mentre gliesponenti α1, . . . ,αr sono numeri maggiori o uguali a 1.Inoltre, questa decomposizione è unica a meno dell’ordine deifattori.

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Divisione con resto di due numeri naturali

Teorema della divisione e del resto: Si considerino n, m ∈ N,con n ≥ m ≥ 1. Allora sono univocamente determinati duenumeri naturali q e r, che sono detti rispettivamente quozientee resto della divisione n : m, con le seguenti proprietà:

n = q ·m+ r , 0≤ r < m . (3)

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Prodotti notevoli

Indicando con a e b due generici numeri reali e con n unnaturale ≥ 3, valgono le seguenti identità, anche note col nomedi prodotti notevoli:

(i) a2−b2 = (a+b)(a−b)(ii) a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)(iii ) a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)(iv) an −bn = (a−b)(an−1+an−2b+ · · ·+abn−2+bn−1) .

(4)

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Prodotti notevoli

Inoltre, per n dispari:

an +bn = (a+b)(an−1−an−2b+an−3b2 · · ·−abn−2+bn−1) . (5)

Lo studente è invitato ad eseguire esplicitamente i calcolinecessari a verificare i prodotti notevoli (4)–(5).

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Simbolo di sommatoria

Ora acquistiamo familiarità con i calcoli coinvolgenti lesommatorie: ricordiamo che, se

a1 . . .ak

indicano k numeri reali (non necessariamente distinti fra loro),allora la scrittura:

k

∑i=1

ai

significa:a1+a2+ . . .+ak .

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Simbolo di sommatoria

Esercizio: Calcolare8

∑i=3

i2 .

Soluzione:

8

∑i=3

i2 = 32+42+52+62+72+82 = · · ·= 199.

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Esercizio

Esercizio (Somma dei primi n numeri): Dimostrare che,∀n ≥ 1, si ha:

n

∑k=1

k =n(n+1)

2. (6)

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Somma dei primi n numeri

Soluzione: possiamo scrivere

2n

∑k=1

k =n

∑k=1

k+n

∑k=1

k

=n

∑k=1

k+n

∑k=1

(n− k+1)

=n

∑k=1

(k+n− k+1) =n

∑k=1

(n+1)

= n(n+1) .

Questa catena di uguaglianze dimostra che:

2n

∑k=1

k = n(n+1) .

Dividendo per 2 si ha immediatamente la tesi.• Ragionamento di Gauss....

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Polinomi

Un polinomio di grado n, a coefficienti in R, è una funzioneP : R→ R definita da una legge del tipo:

P(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn (an 6= 0) , (7)

dove i coefficienti a0, . . . ,an sono dei numeri reali assegnati.Una notazione equivalente, più sintetica, è:

P(x) =n

∑j=0

aj xj , aj ∈R , an 6= 0 . (8)

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Polinomi

Ad esempioP(x) = 2x5− x4+π x2−6x+1

è un polinomio di grado 5.

Notiamo anche che i polinomi costanti P(x)≡ a0 hanno gradozero. Se poi a0 = 0, allora P(x) si chiama polinomio nullo(P(x)≡ 0) (in questi casi, la simbologia “≡” sostituisce “=” persottolineare che l’uguaglianza vale ∀ x).

I polinomi con un solo coefficiente non nullo vengono dettimonomi.

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Radici di un polinomio

Definizione: Diremo che x0 ∈R è una radice di P(x) se è unasoluzione dell’equazione P(x) = 0, o, in altre parole, se

P(x0) = 0 . (9)

Ad esempio, se

P(x) = 2x5− x4+3x3+ x2−6x+1 ,

allora possiamo facilmente verificare che x0 = 1 è una suaradice. Infatti

P(1) = 2·15−14+3·13+12−6·1+1= 0 .

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Radici di un polinomio

Esercizio: Sia

P(x) = x4−3x3+2x2+ x−1 .

Stabilire se x0 = 1 e x1 =−1 sono radici di P(x).Soluzione: Si ha

P(1) = 14−3·13+2·12+1−1= 0 ,

per cui effettivamente x0 = 1 è una radice di P(x). Invece:

P(−1) = (−1)4−3· (−1)3+2· (−1)2+(−1)−1= 4 6= 0 ,

per cui x1 =−1 non è una radice di P(x).

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Divisione di polinomi e resto

Iniziamo con l’enunciato di un teorema che rappresenta, inquesto contesto, l’analogo del teorema di divisione con restospiegato per i numeri naturali N .Teorema della divisione e del resto per polinomi: SianoP(x), P′(x) due polinomi a coefficienti reali, di gradorispettivamente n, n′ ∈ N, con n ≥ n′. Allora sono univocamentedeterminati due polinomi Q(x) e R(x), detti rispettivamentequoziente e resto della divisione P(x) : P′(x), con le dueseguenti proprietà:

{

(i) P(x) = P′(x) ·Q(x)+R(x)(ii) R(x)≡ 0 oppure r < n′ ,

(10)

dove r indica il grado di R(x).

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Ora illustriamo come si effettua la divisione tra polinomi:procediamo attraverso la descrizione dettagliata di un esempio.La seguente sequenza illustra appunto il cosiddetto algoritmoeuclideo per la divisione dei polinomi:

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+x4 −3x3 +2x2 −x −1 x−1+x4 −x3 x3−2x2−1 (= Q(x))// −2x3 +2x2 −x −1

−2x3 +2x2

// // −x −1−x +1

(RestoR(x) =) // −2(11)

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Divisione di polinomi

In conclusione, mediante l’algoritmo di divisione (15) abbiamoottenuto:

P(x) = (x−1)Q(x)+R(x) ,

con Q(x) = x3−2x2−1 e R(x)≡−2.

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Divisione di polinomi

Vediamo un altro esempio:

+x3 −2x2 +1 x−1+x3 −x2 x2− x−1.// −x2 +1

−x2 +x// −x +1

−x +1// //

(12)

Ricapitolando, +x3−2x2+1= (x−1)(x2− x−1). In questo casoR(x)≡ 0 . In altre parole, x0 = 1 è una radice del polinomio+x3−2x2+1 .

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Molteplicità algebrica di una radice

Se x0 è una radice di P(x), allora esiste un’unica fattorizzazionedi P(x) del tipo:

P(x) = (x− x0)k Q(x) , (13)

dove k ∈ N,k ≥ 1, mentre Q(x) ha grado (n− k) e Q(x0) 6= 0. Ilnumero naturale k si chiama molteplicità algebrica di x0 e siindica con la simbologia:

µa(x0) = k . (14)

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Esercizio su divisione e molteplicità algebrica

Nel prossimo importante esercizio studiamo il concetto dimolteplicità algebrica di una radice applicando l’algoritmo didivisione di polinomi.Esercizio: Sia

P(x) = x4−3x3+2x2+ x−1 .

Verificare che x0 = 1 è una radice di P(x) e determinare µa(1).Soluzione:

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P(1) = 14−3·13+2·12+1−1= 0 ,

per cui effettivamente x0 = 1 è una radice di P(x).Dobbiamo ottenere la fattorizzazione

P(x) = (x−1)k Q(x) ,

dove k ∈ N,k ≥ 1, mentre Q(x) ha grado (4− k) e Q(1) 6= 0.

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Il numero naturale k coincide con la molteplicità algebrica dix0 = 1 e si indica, come già sottolineato, con la simbologia

µa(1) = k .

Riassumendo, per prima cosa dobbiamo dividere P(x) per ilpolinomio di primo grado (x−1).

L’algoritmo relativo a questa prima divisione è il seguente:

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+x4 −3x3 +2x2 +x −1 x−1+x4 −x3 x3 −2x2+1 (= Q(x))// −2x3 +2x2 +x −1

−2x3 +2x2

// // +x −1+x −1

(RestoR(x) =) // //(15)

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Considerazioni di riepilogo: il procedimento per costruirel’algoritmo di divisione (15) segue la logica della divisione tranumeri naturali ed è il seguente:si costruisce Q(x) decrescendo dal monomio di grado maggiore(3 nella nostra situazione), individuato come quel monomio (x3

in questo caso) che, moltiplicato per il divisore (x−1), generaun polinomio il cui monomio di grado maggiore (x4 in questoesempio) coincide con quello del dividendo P(x).

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Si scrive poi il risultato di questa moltiplicazione sotto P(x) e sieffettua la sottrazione, trovando in questo caso:

−2x3+2x2+ x−1 .

Si continua allo stesso modo, determinando il secondomonomio di Q(x) (−2x2 nel nostro esempio): il procedimentotermina quando si ottiene resto nullo (come in questo caso) o digrado strettamente inferiore a quello del divisore.

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In conclusione, mediante l’algoritmo di divisione (15) abbiamoottenuto:

P(x) = (x−1)Q(x)+R(x) ,

con Q(x) = x3−2x2+1 e R(x)≡ 0. Per comodità riscriviamoesplicitamente questo risultato nel modo seguente:

P(x) = (x−1)(x3−2x2+1) . (16)

Poiché Q(1) = 0, la fattorizzazione non è ancora terminata ebisogna dividere Q(x) per x−1. Abbiamo:

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+x3 −2x2 +1 x−1+x3 −x2 x2 −x−1.// −x2 +1

−x2 +x// −x +1

−x +1// //

(17)

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In conclusione,

Q(x) = (x−1)(x2− x−1) ,

che sostituita in (16) fornisce:

P(x) = (x−1)2 (x2− x−1) , (18)

che è la fattorizzazione richiesta, in quanto x0 = 1 non è radicedi (x2− x−1).Quindi la molteplicità algebrica di questa radice vale µa(1) = 2.

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Polinomi di secondo grado irriducibili

Definizione: Sia

P(x) = ax2+bx+ c , a 6= 0 ,

un polinomio di secondo grado.Diciamo che P(x) è irriducibile se non ha radici reali.

Esempio: il polinomio

P(x) = x2+1

è irriducibile.

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Fattorizzazione di polinomi

Possiamo adesso enunciare il seguente importante risultatoche generalizza al contesto dei polinomi il teorema difattorizzazione dei numeri naturali in prodotto di numeri primi.

Teorema di fattorizzazione dei polinomi: Ogni polinomio acoefficienti reali, di grado n ≥ 1, può essere fattorizzato comeprodotto di potenze di polinomi di primo grado e polinomi disecondo grado irriducibili.Inoltre, questa decomposizione è unica a meno dell’ordine deifattori.

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Va sottolineato che una giustificazione rigorosa di questoenunciato costituisce materia avanzata, che non rientracompletamente negli obiettivi di questo corso.

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Detto questo, appare naturale la necessità di discutere quando,ed eventualmente come, sia possibile determinareesplicitamente le radici di un dato polinomio.Infatti, come illustrato attraverso l’algoritmo di divisione, ladeterminazione della fattorizzazione direttamente collegata allacapacità di saper determinare le radici del polinomio che sivuole fattorizzare.

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive perdeterminare, in generale, le radici di polinomi di gradosuperiore a quattro.Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre equattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse perquesto livello di trattazione.Invece, è possibile ed utile illustrare in dettaglio la situazioneper i polinomi di secondo grado: in particolare, ora possiamoderivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

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Per prima cosa, ricordando l’ipotesi a 6= 0, scriviamo:

ax2+bx+ c = a

(

x2+ba

x

)

+ c

= a

(

x+b2a

)2

+

(

c− b2

4a

)

= a(x− x0)2− ∆

4a,

(19)

dove abbiamo posto:

x0 =− b2a

e ∆ = b2−4ac . (20)

∆ si chiama discriminante dell’equazione di secondo grado.

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Facciamo il punto della situazione: grazie alla (19) possiamodire che l’equazione

ax2+bx+ c = 0 (21)

equivale a:

a(x− x0)2 =

∆4a

. (22)

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Quindi, se ∆ < 0, ora possiamo subito concludere che non cisono radici reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile.

Invece, se ∆ ≥ 0, una semplice ispezione di (22) fornisce:

x− x0 =±√

∆4a2 ,

ovvero

x = x0±√

∆4a2 . (23)

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In particolare, usando l’espressione esplicita di x0 data in (20),concludiamo che le due radici sono:

x1 =−b−

√∆

2a, x2 =

−b+√

∆2a

(24)

(si noti che x1 = x2 quando ∆ = 0).

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Infine, un calcolo diretto consente di verificare che, quando∆ ≥ 0, la fattorizzazione del polinomio di secondo grado è:

ax2+bx+ c = a(x− x1)(x− x2) , (25)

dove x1 e x2 sono appunto le sue due radici (eventualmentecoincidenti).

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Esercizio

Esercizio: Si consideri il seguente polinomio di secondo grado:

P(x) = x2−2x−3 .

(i) Determinare le eventuali soluzioni reali dell’equazione disecondo grado

P(x) = 0 ;

(ii) Fattorizzare, se possibile, P(x) nel prodotto di polinomi diprimo grado.

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Esercizio

Soluzione: (i) Applicando la formula risolutiva (23) troviamofacilmente:

x1 =−1 e x2 = 3 .

(ii) Applicando la fattorizzazione (25) abbiamo subito:

P(x) = (x+1) · (x−3) .

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Considerazioni conclusive

Si consiglia di riflettere bene sul legame esistente tra il segnodel discriminante ∆ e la rappresentazione grafica di parabole:

• ∆ > 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha 2 punti diintersezione con l’asse x ;

• ∆ = 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha un unicopunto di intersezione con l’asse x ;

• ∆ < 0 corrisponde al caso in cui la parabola NON ha puntidi intersezione con l’asse x .

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