Breve storia della geometria non...

Breve storia della geometria non euclidea

Martina De Marchis

26 maggio 2016

Nel quaderno delle lezioni dedicato alla geometria non euclidea CorradoSegre definisce le geometrie non euclidee

quelle che si svolgono logicamente quando dallrsquoinsieme delle pre-messe dellrsquoedifizio euclideo se ne sopprima qualcuna Dapprima quelnome srsquointrodusse per quella geometria che si ha togliendo il postu-lato delle parallele ed e appunto di quella che noi ci occuperemo(Segre [53])

Il problema di chiedersi se esista almeno una geometria che soddisfi un insie-me di assiomi diverso da quello contenuto nellrsquoopera di Euclide cioe chiedersise esistono geometrie non euclidee nasce quindi dallrsquoanalisi critica dei postulatipresenti nel I libro dei suoi Elementi di Geometria ([26]) in particolar modo delV Per duemila anni infatti gli Elementi costituirono il testo privilegiato di rife-rimento per lrsquoinsegnamento della geometria e il modello per lrsquoordinamento logicodeduttivo di una teoria matematica Cominciamo con lrsquoenunciare i postulati diEuclide

1 da qualunque punto si puo condurre una retta ad ogni altro punto

2 ogni segmento si puo prolungare per dritto a piacimento

3 con ogni centro e ogni distanza si puo descrivere un cerchio

4 tutti gli angoli retti sono uguali

5 se una retta incontrando due altre rette forma con esse da una medesimaparte angoli interni la cui somma sia minore di due retti quelle due retteprolungate indefinitivamente si incontrano dalla parte da cui stanno gliangoli la cui somma e minore di due retti

Si nota subito che il quinto e meno intuitivo e meno immediato rispetto aglialtri nonche molto meno chiaro infatti esso e meno accessibile allrsquoesperienzadello spazio fisico percepibile attraverso i sensi

Euclide stesso cerco per quanto possibile di sviluppare la geometria elemen-tare del piano senza riferirsi a questo postulato Le prime 28 proposizioni degliElementi infatti non ne fanno uso viene invece utilizzato nella dimostrazionedella proposizione 291

Gia dai primi commentatori di Euclide compare una chiara volonta di farluce su due questioni il postulato delle parallele puo essere dimostrato a partire

1Cfr [15] p 17 [18] p 3

1

dai primi quattro Se il quinto postulato e indipendente dai primi quattro epossibile sostituirlo con uno equivalente ma piu intuitivo

Per rispondere alla seconda domanda numerosi matematici in epoche diversecercarono di fornire alcuni enunciati equivalenti al postulato delle parallele tracui

bull il luogo dei punti equidistanti da una retta e una retta (Posidonio (135acndash50 ac))

bull se una retta interseca una di due rette parallele interseca anche lrsquoaltra(Proclo (412ndash485))

bull dato un triangolo ne esiste uno simile a quello dato e grande a piacere(Wallis (1616ndash1703))

bull la somma degli angoli di un triangolo e uguale a due angoli retti (Saccheri(1667ndash1733) Legendre (1752ndash1833))

bull per tre punti non allineati passa sempre la circonferenze di un cerchio(Bolyai Farkas (1775ndash1856))

bull per un punto fuori di una retta passa una e una sola parallela alla rettastessa (assioma di Playfair (1748ndash1819))

Le geometrie non euclidee nascono dunque dalla negazione del quinto postulatodetto anche postulato delle parallele Piu precisamente si arrivera a costruirela geometria iperbolica lasciando cadere questrsquoultimo e modificando anche ilsecondo postulato si otterra la geometria ellittica come vedremo fra poco

Tutto il lavoro fatto dai matematici per cercare formulazioni equivalentidel quinto postulato ne mette in luce la profondita la speranza di trovarneuno equivalente ma piu semplice da verificare testimonia la grande difficolta aconcepire la possibilita che nel mondo fisico si possano presentare situazioni ldquononeuclideerdquo (si pensi in proposito alla filosofia Kantiana in cui lo spazio euclideo eun giudizio sintetico a priori cioe lrsquounico spazio che la mente umana e in gradodi concepire) Quello che lrsquoesperienza fisica suggerisce nel dominio dei nostrisensi e lrsquoautorita di Euclide furono infatti i motivi principali che ostacolaronola possibilita di concepire le geometrie non euclidee

1 John Wallis e il suo postulato equivalente

Fra i tentativi piu significativi2 di enunciato equivalente e di dimostrazione delV postulato a partire da questo citiamo quello di Wallis che

fu uno dei primi professori Saviliani di Oxford cioe della cattedrafondata da sir Savile il [cui] titolare doveva dedicare qualche lezioneagli Elementi di Euclide(Castelnuovo Cfr Cap 3 ldquopreistoria dellageometria non euclideardquo)

2Sui tentativi di dimostrazione avvenuti prima del 1663 non ci dilunghiamo rimandandoai riferimenti che fa Castelnuovo nel suo quaderno Cap 3 ldquoPreistoria della geometria noneuclideardquo

2

Nel 1663 Wallis tenne due conferenze dedicate agli Elementi una di questeera proprio sul V postulato Egli propone di sostituirlo con la proposizioneper ogni triangolo ne esiste un altro ad esso simile (con gli stessi angoli) edi grandezza arbitraria Da questa ipotesi Wallis riesce poi a dimostrare ilpostulato delle parallele Lrsquoassunzione non e pero piu elementare di quella diEuclide poiche si assume lrsquoesistenza di figure simili quindi di rette paralleleche non e in alcun modo garantita Ma rimane interessante osservare comelrsquoequivalenza degli assiomi di Euclide con quelli che si ottengono sostituendo ilquinto postulato con quello di Wallis implica che in una geometria in cui nonvalga il quinto postulato necessariamente figure simili devono essere uguali e chela grandezza di una figura e legata a quella dei suoi angoli Ad esempio nel casodi un triangolo sferico3 con angoli A B C lrsquoarea e data da ∆ = r2(A+B+Cminusπ)(dove r e il raggio della sfera)4

Nel triangolo sferico a differenza di quello euclideo

tre angoli determinano completamente il triangolo a meno di isometrie

2 Saccheri precursore inconsapevole delle geo-metrie non euclidee

Colui che diede una svolta ai tentativi di dimostrazione del V postulato e fuprecursore inconsapevole delle geometrie non euclidee e il gesuita Girolamo Sac-cheri che nellrsquoanno della sua morte pubblico Euclides ab omni naevo vindica-tus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriaeprincipia [51] Diversamente dai suoi predecessori nella sua opera Saccheri noncerca di dimostrare il quinto postulato bensı parte dallrsquoipotesi che esso sia falsoe con una serie di conseguenze dedotte da cio cerca di arrivare ad un assurdo

Lrsquoapproccio seguito e appunto radicalmente diverso rispetto ai tentativi delpassato per questo rappresenta una svolta nella critica al V postulato

Il progresso rappresentato da questrsquoopera sta in cio mentre ipredecessori di Saccheri si erano sforzati di dimostrare il postulato5o appoggiando su premesse non sempre esplicitamente enunciate il

3Cioe di un triangolo in un modello in cui vale localmente la geometria non euclidea ditipo ellittico

4La formula precedente valente per la geometria ellittica e stata osservata da diversiautori come Cavalieri Girard e Lambert per citarne alcuni

3

Saccheri ammette che il detto postulato (o una proposizione equiva-lente) sia falsa e da queste ipotesi trae una serie di conseguenze colproposito di far vedere che si va incontro allrsquoassurdo (CastelnuovoCfr Cap3 ldquoPreistoria della geometria non euclideardquo)

Alla teoria delle parallele Saccheri dedica il primo libro e 39 proposizionidove cerca di esplorare le conseguenze logiche della negazione del quinto postu-lato nella speranza di trovare delle contraddizioni ma determinando invece inmaniera irreprensibile una serie di risultati di geometria non euclidea (iperbo-lica) Beltrami che porta di nuovo allrsquoattenzione dei matematici il lavoro delgesuita loda questrsquoultimo per lrsquoaccuratezza dei risultati

Parmi percio degnissimo di menzione un libro che porta la datadel 1733 ed una buona meta del quale e dedicata ad una critica ve-ramente accurata e profonda del postulato drsquoEuclide(Beltrami [9]p 348)

Nellrsquoultima parte del primo libro che contiene le proposizioni che dovrebberodemolire le ipotesi alternative al quinto postulato arriva a risultati che sonoinvece semplicemente errati5

Ma quello che spiace di vedere e la leggerezza dellrsquo argomenta-zione cui lrsquoautore ricorre per istabilire incondizionatamente la da luiasserita eguaglianza egli ha voluto escire qui dal suo terreno daquello della geometria infinitesimale che evidentemente non gli erafamigliare(Beltrami [9] p 354)

Saccheri basa la sua trattazione sulla costruzione di un quadrilatero pianobirettangolo isoscele6 ABCD con i lati AC e BD congruenti7 dimostra che laperpendicolare nel punto medio E del lato AB e asse di simmetria del quadrila-tero deduce che essa e anche perpendicolare nel punto medio del segmento CDal segmento stesso e che gli angoli in C e D sono congruenti tutto questo senzausare il quinto postulato Stabilisce infine che il lato CD e uguale minore omaggiore della base AB secondo che gli angoli C e D siano retti ottusi od acutie viceversa (prop 2 e 3)

I quadrangoli isosceli di Saccheri Quelli trirettangoli EFBD sono detti di Lambert

5Cio e da attribuire forse al fatto che per arrivare allrsquoassurdo Saccheri si serve primadi proprieta che valgono al finito pretendendo che possano estendersi allrsquoinfinito e poi diconsiderazioni di carattere infinitesimale entrambi i tentativi tradiscono una scarsa conoscenzadi Saccheri per il Calcolo Infinitesimale allora appena nato cfr [28] pp 12-13

6Lambert probabilmente indipendentemente da Saccheri e prima di lui il matematicoarabo Al Khayyam considerarono il quadrilatero trirettangolo cioe meta del quadrilatero diSaccheri

7Cfr Castelnuovo ldquoPreistoria della geometria non euclideardquo

4

Saccheri osserva poi che che ciascuna delle 3 ipotesi accennate relative allanatura degli angoli dei quadrilateri birettangoli isosceli se e verificata in un solocaso particolare lo sara pure in ogni altro caso (prop V VI e VII)

Il gesuita dimostra ancora che la somma degli angoli di ogni triangolo e neitre casi rispettivamente eguale maggiore o minore di due retti Le ipotesi diSaccheri corrispondono a tre distinti sistemi geometrici che oggi sappiamo esseretutti logicamente possibili la geometria euclidea (angolo retto) la geometriaiperbolica (angolo acuto) e la geometria ellittica (angolo ottuso) Questrsquoultima sirealizza localmente su una regione opportunamente limitata della sfera qualorasi sostituisca alla retta lrsquoarco di cerchio massimo come vedremo piu avanti8

Nellrsquoipotesi dellrsquoangolo acuto Saccheri stabilisce che due rette nel piano osi incontrano o ammettono una perpendicolare comune oppure vanno semprepiu avvicinandosi e chiama queste ultime parallele non euclidee (prop XXIIXXIII e XXV) Saccheri dimostra che nellrsquoipotesi dellrsquoangolo acuto esistonoesattamente due parallele non euclidee che posso condurre da un punto a unaretta non passante per il punto

Le parallele non euclidee BX e AX

Ma la frase con cui conclude la parte costruttiva del lavoro lascia poco spazioalle geometrie non euclidee

Hypotesis anguli acuti est absolute falsa quia repugnans naturaelineae rectae(Saccheri Prop XXXIII in [9] p 354)

Lrsquoopera di Saccheri dopo aver destato inizialmente un certo interesse venneampiamente trascurata fino al 1889 anno in cui Beltrami che ne era venutoa conoscenza grazie alla segnalazione del gesuita Padre Manganotti richiamonuovamente su di essa lrsquoattenzione dei geometri in [9]

8Nel suo libro Saccheri dimostra che la geometria ellittica non e realizzabile E necessarioquindi spiegare in maggior dettaglio le differenze tra il punto di vista di Saccheri e quellomoderno sulla geometria ellittica proprio perche nel modello locale della geometria ellitticala retta va sostituita con un arco di cerchio massimo Saccheri pote affermare che questo modellocontraddiceva non solo il quinto ma anche il secondo postulato di Euclide affermando quindicon sicurezza la non esistenza di questa geometria Se inoltre consideriamo la sfera nella suainterezza per due punti non passa necessariamente un solo cerchio massimo (si pensi a puntiantipodali) contraddicendo anche il primo postulato Questo modello di geometria sulla sferaera conosciuto gia dai tempi di Euclide ma la mancata aderenza ai primi due postulati e alquinto non permise di considerarla valida come modello di geometria elementare Sara solograzie alla memoria di Riemann ([49]) e dei suoi suggerimenti per una opportuna modifica del

secondo postulato che la geometria ellittica assumera un senso come geometria non euclidea Eassolutamente fondamentale per concepire il contributo di Riemann e il suo modo di intenderele geometrie non euclidee il lavoro di Gauss che con il suo trattato ([30]) introdurra lrsquoidea diconsiderare le geometrie da un punto di vista intrinseco

5

3 Lambert Legendre e la diffusione dei risultatisul V postulato

A risultati per molti versi analoghi a quelli di Saccheri giunse forse in manieraindipendente anche Lambert nella sua opera Theorie der Parallellinien pubbli-cata nel 1786 [39] Lambert e piu critico nei confronti delle conseguenze trattedallrsquoipotesi dellrsquoangolo acuto e non e cosı sicuro di aver trovato una prova del-lrsquoinsostenibilita di tale ipotesi anche se mira sempre come Saccheri a dimostrarela necessita dellrsquoassioma euclideo Le osservazioni piu interessanti di Lambertriguardano lrsquoanalogia che osserva tra le formule che legano lrsquoarea di un triangoloai suoi angoli nel caso dei triangoli sferici ∆ = r2(A+B+Cminusπ) e dei triangoliiperbolici (che non dimostra in maniera completa) e cioe ∆ = ρ(πminusAminusBminusC)e dice

Dovrei quasi trarne la conclusione che la terza ipotesi si verifichisopra una sfera di raggio immaginario(Lambert [39])

Infatti Beltrami riuscı a dimostrare che la geometria iperbolica si realizza su unasuperficie di curvatura costante negativa come lo sarebbe una sfera complessadi raggio iρ

Nella geometria euclidea e in quella iperbolica esiste una unita di misuranaturale per gli angoli come lrsquoangolo retto Lambert osserva che nella geome-tria iperbolica a differenza di quella euclidea esistono unita naturali anche perle lunghezze Infatti in questa geometria angoli e segmenti sono strettamentelegati in quanto come gia osservato triangoli con gli stessi angoli devono neces-sariamente avere lati congruenti Ad ogni segmento possiamo quindi associarelrsquoangolo di un triangolo equilatero basato su quel segmento

Intorno al 1800 tra i numerosi matematici che rifletterono sui fondamentidella geometria e in particolare sul quinto postulato ricordiamo Adrien MarieLegendre non per la novita dei risultati in massima parte gia noti a Saccherie Lambert ma per lrsquoinfluenza e la diffusione delle sue opere in Francia e inGermania che sollevano un interesse ben maggiore di quello suscitato dai suoipredecessori

4 La corrispondenza di Gauss geometria ldquoanti-euclideardquo

Il primo ad ammettere chiaramente la possibilita di concepire una geometrianon contradditoria in cui non sia verificato il quinto postulato fu Gauss La suavisione non fu pero esposta in alcuna pubblicazione restando confinata nei suoiappunti e nelle lettere a qualcuno dei suoi corrispondenti scientifici per pauradegli ldquostrilli dei beotirdquo9 che temeva di poter sentire se avesse esposto pubbli-camente le sue conclusioni Per Gauss infatti i tempi non erano maturi peraccettare le geometrie non euclidee e la sua reputazione di illustre matematico

9Come scritto in una lettera a Bessel del 1829 Gli appunti di Gauss verrano resi noti solodopo il 1860 lrsquointera corrispondenza con Schumacher([29]) (sono infatti le lettere scambiatisicon costui in cui si parla di geometria non euclidea in particolar modo quelle del 1831) vennepubblicata da Peters dal 1860 in poi (cfr [27] p 20)

6

non meritava a suo avviso di essere compromessa con una teoria cosı impopo-lare10 Anche il suo apprezzamento per i lavori di Lobacevskij e Bolyai (i padrieffettivi delle geometrie non euclidee) resto confinato in una sfera quasi esclusi-vamente privata salvo proporre la candidatura di Lobacevskij a corrispondentedella Societa delle Scienze di Gottinga

Dalla corrispondenza sembra che Gauss abbia cominciato a riflettere sui fon-damenti della geometria fin dal 1792 con lo scopo iniziale di dimostrare il quintopostulato Dopo una fase in cui trovo anche lui numerosi enunciati equivalenticomincio a pensare che la geometria non euclidea fosse logicamente non contrad-dittoria e fin dal 1816 esistono tracce nei suoi appunti che testimoniano comestesse sviluppando una geometria che lui chiamava inizialmente antieuclideaNel 1831 affermo esplicitamente in una lettera a Schumacher che la geometrialdquonon euclideardquo non ha in se nulla di contraddittorio nonostante i suoi aspet-ti apparentemente paradossali come il fatto che non vi sono figure simili e digrandezza diversa In queste lettere Gauss osserva anche che gli angoli di untriangolo equilatero variano con il lato e tendono a zero quando il lato cresceindefinitamente esiste unrsquounita assoluta per le lunghezze che compare nelle for-mula come una costante speciale k la geometria euclidea corrisponde al valorek = plusmninfin

Anche se Gauss decise di non pubblicare nessuna delle sue idee sulle geome-trie non euclidee nel suo piu famoso lavoro [30] in cui sviluppa la geometriaintrinseca delle superfici manifesta in piu punti collegamenti evidenti con leriflessioni sulla geometria non euclidea ma questi collegamenti non sono mairesi espliciti Da questo lavoro di Gauss deriveranno i fondamentali contributidi Riemann e di Beltrami

5 Le influenze di Gauss sui contemporanei Sch-weikart e Taurinus

Gauss esercito unrsquoinfluenza indiretta sulle ricerche collegate alle geometrie noneuclidee di vari matematici suoi contemporanei

Schweikart un giurista venuto a conoscenza della teoria delle parallele svi-luppa una geometria che chiama astrale in cui la somma degli angoli di untriangolo e minore di π e diminuisce quando lrsquoarea aumenta Nel 1818 osservache lrsquoaltezza di un triangolo rettangolo isoscele continua a crescere con i suoi latima non puo mai superare una certa lunghezza Gauss viene a conoscenza delleteorie di Schweikart e ne parla al suo interlocutore Schumacher sviluppandonealcuni aspetti

Detta C la costante di Schweikart Gauss osserva in unrsquoaltra lettera a Schu-macher che C = k log(1 +

radic2) minus 1 e che lrsquoarea del triangolo e limitata da πk2

dove k e la costante introdotta nel paragrafo precedente

10In realta un un forte ostacolo nel concepimento delle geometrie non euclidee furono anchele idee di Kant sul concetto di spazio a priori euclideo e nella sua Critica della ragion pura[36] in cui affrontava il problema dei fondamenti della geometria introducendo appunto lrsquoideadi uno spazio assoluto a priori di cui il soggetto (lrsquouomo) possa avere conferma dallrsquoesperienzaIn questo senso per Kant e impossibile concepire delle idee di spazio diverse da quelle euclidee

7

Lrsquoaltezza rispetto allrsquoipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele iperbolico e limitata da

k log(1 +radic

2)

Un ulteriore importante contributo che precedette il riconoscimento pub-blico della non contraddittorieta delle geometrie non euclidee da parte di Lo-bacevskij e Bolyai fu dato da Taurinus (nipote di Schweikart) egli osservo che senelle formule di Trigonometria sferica si cambia il raggio R della sfera in R

radicminus1

(ritroviamo quindi lrsquoaffermazione di Lambert che a lui sembrava cosı assurda)si ottengono tra lati e angoli del triangolo relazioni che assumono forma rea-le usando funzioni iperboliche e che corrispondono a quelle relative allrsquoipotesidellrsquoangolo acuto

In questa maniera ottenne formalmente le formule per lrsquoarea del triangolola lunghezza della circonferenza lrsquoarea del cerchio lrsquoarea e il volume della sferavalide per la geometria iperbolica prima che al termine di un lungo percorso ciarrivassero Lobacevskij e Bolyai Lrsquoopera di Taurinus non ebbe alcun riconosci-mento forse dovuto al fatto che venne stampata a sue spese e distribuita soloagli amici

6 Lobacevskij e il suo approccio empirista

Nikolaj Lobacevskij con Gauss e Boylai fu lo scopritore delle geometrie noneuclidee Fu il primo a pubblicare risultati in maniera consapevole al riguardoNellrsquointroduzione a [40] del 1829 scrive

I vani sforzi compiuti dai tempi di Euclide per il corso di duemilaanni mi spinsero a sospettare che nei concetti stessi della geome-tria non si racchiuda ancora quella verita che si voleva dimostra-re e che puo essere controllata in modo simile alle altre leggi del-la fisica soltanto da esperienze quali ad esempio le osservazioniastronomiche11

Studio e svolse la sua attivita accademica presso lrsquouniversita di Kazan di cui fuanche rettore Oriento la sua ricerca verso la geometria non euclidea (che saralrsquounica ricerca a cui si dedichera in tutta la sua vita) tra il 1823 e il 1825 Ilsuo approccio puo definirsi empirista in quanto era convinto che la questione

11Cfr[10] per la traduzione

8

della validita del quinto postulato dovesse stabilirsi sperimentalmente come perle altre scienze (ad esempio la fisica) Nel 1826 fece la sua prima comunicazio-ne sui principi della geometria non euclidea presso la Sezione fisico-matematicadellrsquouniversita di Kazan ma la relazione non venne pubblicata La prima pub-blicazione in cui annuncia le sue scoperte e riassume i risultati e del 1829 ([40])In essa qualifica immaginaria la nuova geometria e dimostra tra lrsquoaltro che lasomma degli angoli di un triangolo e minore di due retti e introduce la trigo-nometria iperbolica e le formule per il calcolo di lunghezze di aree e di volumidi figure iperboliche La presentazione completa delle idee di Lobacevskij fupubblicata nel 1855 nellrsquoopera Pangeometria [41]12 ma la sua geometria non fuapprezzata durante la sua vita e solo Gauss richiamo lrsquoattenzione sulle sue ideein alcune lettere ai suoi corrispondenti scientifici Gauss come gia detto pro-pose la candidatura di Lobacevskij a corrispondente della Societa delle Scienzedi Gottinga che non venne pero approvata

Tra i risultati piu significativi del matematico russo crsquoe lrsquoidea dellrsquoesistenza diunrsquounita naturale per la distanza nella geometria iperbolica13 e le proprieta del-lrsquoangolo di parallelismo14 osservando che e funzione decrescente della lunghezzac del segmento ortogonale condotto da A a r

Sia s una delle parallele alla retta r per A Lrsquoangolo acuto Π si dice angolo di parallelismo

Lobacevskij scopre anche le formule per il volume del tetraedro iperbolicoper cui introduce la famosa funzione che oggi porta il suo nome

L(x) =

int x

0

log sec yd y

12Che verra tradotta nel volume V del Giornale di Matematiche nel 1867 da Battaglini initaliano tuttavia la versione tedesca del lavoro venne rilasciata da Lobacevskij stesso per averemaggiore diffusione delle teorie

13cfr[43] p114Lrsquoangolo di parallelismo indica il minimo angolo che una retta s parallela a una retta

data r e passante per un punto A forma con la normale a r passante per A Nella geometriaeuclidea e retto mentre nella geometria iperbolica e acuto Per approfondimenti e costruzionerimandiamo al quaderno di Castelnuovo nella sezione ldquoLa geometria non euclidea secondolrsquoindirizzo elementarerdquo

9

Osserva anche che tutta la geometria non euclidea si basa sulle formuleper lrsquoarea del triangolo in funzione delle lunghezze dei lati che a loro voltacoincidono con quelle per il triangolo sferico quando ai lati a b e c si sostituisconoia ib e ic Allora ogni inconsistenza della geometria non euclidea porterebbead una inconsistenza della geometria sferica e quindi in ultima analisi dellageometria euclidea

7 Janos Bolyai e la geometria assoluta

Lrsquoaltro padre riconosciuto delle geometrie non euclidee e lrsquoungherese Janos Bo-lyai Fu il secondo (in ordine di pubblicazione) a pubblicare un lavoro siste-matico sulla geometria non euclidea che sviluppo in maniera completamenteindipendente da Lobacevskij Fu avviato agli studi matematici dal padre Far-kas compagno di studi e amico di Gauss che per anni intraprese studi critici sulpostulato delle parallele e tento di dimostrare senza riuscirci il quinto postu-lato Janos condivideva questo obiettivo ma il padre che aveva profuse tanteenergie in tentativi infruttuosi esorto il figlio piu e piu volte ad abbandonare ilproposito

Non imboccare la strada delle parallele Io ne conosco bene lrsquointe-ro cammino Ho attraversato questa notte senza fondo che ha oscu-rato ogni luce e gioia nella mia vita [] Per amor di Dio te nesupplico lascialo stare Devi temerlo non meno di una passione car-nale perche anchrsquoesso puo prendersi tutto il tuo tempo e privarti delbenessere della tranquillita della mente e della felicita nella vita(cfr [57])

Nonostante i consigli appassionati del padre a rivolgere altrove i suoi inte-ressi quello per le parallele non era un semplice capriccio e nel novembre del1823 Janos pervenne alla convinzione che non fosse possibile dimostrare il quintopostulato scrivendo al padre

Sono ormai risoluto a pubblicare unrsquoopera sulla teoria delle pa-rallele appena avro ordinato la materia e le circostanze me lo per-metteranno Non lrsquoho ancora fatto ma la via che ho seguito hacertamente per cosı dire quasi raggiunto lo scopo lo scopo proprionon e raggiunto ma ho scoperto cose cosı belle che ne sono rimastoabbagliato e si dovrebbero sempre rimpiangere se andassero perdu-te Quando le vedrete lo riconoscerete voi pure Nellrsquoattesa non viposso dire altro che questo ho creato dal nulla un nuovo universo(Lettera del 3 novembre 1823 cfr [57])

La redazione delle sue indagini sulla Geometria assoluta come egli stesso lachiamo si protrasse fino al 1829 e i risultati furono pubblicati nel 1832 comeappendice al lavoro del padre [12] con il titolo in latino di ldquoAppendix Scien-tiam spatii absolute veram exibensrdquo [13] Gauss che ne ricevette una copiascrisse che lodare questo lavoro sarebbe come lodare se stesso poiche i contenu-ti e i risultati di esso coincidevano con i propri e si compiaceva che proprio ilfiglio del suo vecchio amico lo avesse preceduto in modo cosı notevole15 Janos

15Entrambi gli estratti della risposta di Gauss sono contenuti in una lettera a Farkas del 6marzo 1832 cfr [13] pp34-35

10

Bolyai non rimase pero soddisfatto dalla risposta di Gauss temendo ingiustifi-catamente che volesse rivendicare la priorita della scoperta Anche in seguitoquando venne in contatto con gli scritti di Lobacevskij sembra che fosse restioad accettarli credendoli scritti di Gauss atto a screditare la sua fama Conunrsquoattenta lettura dei lavori di Bolyai e Lobacevskij si puo affermare senzrsquoaltroche il lavoro del secondo e piu esaustivo e dettagliato di quello del primo seconsideriamo la parte analitica del lavoro

Ma il lavoro di Bolyai appare piu elementare non ricorre pesantementecome in quello di Lobacevskij ai sussidi analitici ma sviluppa la geometriaiperbolica nello stesso spirito con cui Euclide sviluppa quella euclidea

Un punto importante del suo lavoro consiste nella derivazione della trigono-metria del piano iperbolico non facendo uso delle relazioni stereometriche Eglipero a differenza di Lobacevskij non dimostra la consistenza della geometriaiperbolica considerandola banale

8 Diffusione delle geometrie non euclidee

Anche Bolyai non ebbe la soddisfazione di veder apprezzata la sua opera Fusolo dopo la morte di tutti e tre gli scopritori della geometria non euclidea chelrsquoattenzione dei matematici comincio a rivolgersi al loro lavoro prima con lapubblicazione del libro di Baltzer del 1862 [] e poi con le traduzioni prima infrancese curate da Houel e poi in italiano curate da Battaglini delle opere diBolyai e di Lobacevskij Le traduzioni di Battaglini tratte da quelle francesi diHouel apparvero sul Giornale di Matematiche (vol V e VI) il giornale fondatonel 1863 da Battaglini Trudi e Janni e

dedicato principalmente ai giovani studiosi delle Universita Ita-liane perche loro serva come di anello tra le lezioni universitarie ele alte quistioni accademiche cosicche possano rendersi abili a colti-vare le parti superiori della scienza e leggere senza intoppi le dottecompilazioni del Tortolini del Crelle del Liouville ed altri

Sempre nel Giornale di Matematiche nel VI volume apparve la famosa memo-ria di Beltrami in cui si costruivano modelli della Geometria iperbolica di cuiparleremo tra poco e che ebbero il grande merito di far accettare le geometrienon euclidee alla comunita matematica

Beltrami seguendo le idee sulla geometria intrinseca delle superfici svilup-pate da Gauss e generalizzate da Riemann concepı alcuni modelli intrinsecitra cui uno molto semplice poi sviluppato ulteriormente da Felix Klein

9 I modelli per la geometria non euclidea

Prima di introdurre i modelli per la geometria iperbolica e necessario soffer-marsi sulla differenza che sussiste tra modelli geometrici immersi (ad esempiola pseudosfera su cui torneremo nel capitolo 2) e modelli intrinseci

Per modello immerso di una geometria elementare intendiamo una superficiedello spazio tridimensionale con metrica indotta dalla restrizione della metricaeuclidea in cui

bull i segmenti siano archi di curva geodetica

11

bull i cerchi siano luoghi di punti equidistanti a un punto dato (centro delcerchio)

Se consideriamo le tre geometrie (euclidea ellittica e iperbolica) possiamoconsiderare tre esempi di modelli immersi

bull Il cilindro e un modello su cui si realizza localmente la geometria euclidea

bull La pseudosfera e un modello su cui si realizza localmente la geometriaiperbolica Questo modello fu introdotto da Beltrami in [8] e rappresentail primo tentativo concreto di visualizzare la geometria iperbolica Questasuperficie e ottenuta a partire dalla rotazione di una curva chiamata -trattrice ed ha curvatura costante negativa La superficie in questionesara di fondamentale importanza per la diffusione delle geometrie noneuclidee nella comunita matematica16

bull La sfera e un modello su cui si realizza localmente la geometria ellitticaCome gia accennato la geometria sferica era nota ai tempi di Euclide Masolo grazie a Riemann e alla sua memoria [49] fu possibile concepire unageometria non euclidea sulla sfera in questo modello le rette sono rap-presentate da archi di cerchio massimo passanti per due punti (possiamoanche considerare la semisfera per evitare di contraddire il primo postula-to) In questo modo non possiamo garantire il secondo postulato poichei cerchi massimi chiudendosi su loro stessi non possono essere prolunga-ti indefinitamente Riemann riprende questo modello assumendo che ilpiano sia una superficie chiusa e che le rette siano chiuse e finite Il Vpostulato puo essere sostituito dal seguente assioma di Riemann

Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno unpunto in comune

16La costruzione come la questione della diffusione verra trattata piu in dettaglio nelparagrafo 22

12

(Possiamo dire quindi che in questa geometria non esistono rette parallele)In questo modo possiamo costruire un modello per la geometria ellittica

Sebbene questi modelli rappresentino rispettivamente le tre geometrie e le me-triche su essi coincidono con quella indotta dalla geometria tridimensionale eu-clidea essi non possono essere considerati modelli globali delle geometrie inquestione infatti essi hanno valenza solo locale cioe rappresentano solo unaporzione di spazio (rispettivamente euclideo ellittico iperbolico) Questo ciappare chiaro quando si parla del cilindro e con le dovute considerazioni dellasfera e meno evidente nel caso della pseudosfera Si osservi come localmentela geometria del cilindro e la stessa di quella del piano euclideo ma ci sono dif-ferenze globali ad esempio le circonferenze ortogonali allrsquoasse sono geodetichema non sono infinite

Il problema della localita della pseudosfera fu un tema molto accesso neglianni successivi alla pubblicazione del Saggio di Beltrami([8]) e fu oggetti dimolte critiche ad opera di alcuni matematici (italiani e non) come ad esempioGenocchi17 La questione venne definitivamente risolta da Hilbert che nel 1901in [33] dimostro che la pseudosfera non poteva essere un modello globale perla geometria iperbolica poiche non esistono modelli globali per la geometriaiperbolica

Del tutto diversa e la questione dei modelli intrinseci essi saranno possibilisolo dopo il trattato di Gauss [30] che permise di studiare le superfici non solocome oggetti immersi in uno spazio piu grande ma come oggetti in se E chiaroche il contributo della memoria di Riemann fu necessario per questo scopo inquanto generalizza i risultati sulle superfici alle varieta I modelli intrinseci dellageometria iperbolica possono essere globali

I principali modelli intrinseci (tutti studiati da Beltrami)18 per la geometriaiperbolica sono tre

bull Modello di Beltrami - Klein noto anche come ldquomodello proiettivordquo19

bull Modello di Beltrami - Riemann - Poincare20 noto anche come ldquodisco diPoincarerdquo

17Per la polemica Genocchi-Beltrami si rimanda al capitolo 218Cfr pe [2] p 619Beltrami lo studio in [8] e Klein lo studio dal punto di vista proiettivo rendendolo celebre

cfr [43] p320Riemann lo menziono brevemente e implicitamente in [49] e Poicare gli dedico uno studio

approfondito concentrandosi sulle applicazioni della geometria non-euclidea cfr [43] p4

13

bull Modello di Beltrami - Liouville21 noto anche come ldquosemipiano di Poin-carerdquo

I tre modelli vennero studiati in dettaglio da Beltrami e vennero poi svilup-pati da Klein nelle sue ricerche sullrsquointerpretazione proiettiva della geometrianon euclidea (cfr [43] p3)

In questi modelli alcuni oggetti interessanti per la geometria sono le geode-tiche gli orocicli e gli ipercicli

bull Una geodetica e una curva che descrive localmente la traiettoria piu brevefra due punti nello spazio

bull gli orocicli detti anche cerchi limite sono invece curve perpendicolari adelle geodetiche che passano tutte in un punto allrsquoinfinito

bull gli ipercicli sono curve tali che i loro punti hanno la stessa distanza or-togonale da una data retta (nel piano euclideo il luogo dei punti che hala stessa distanza ortogonale da una retta e la sua retta parallela nellageometria iperbolica invece definiamo questi oggetti che hanno appuntoun comportamento analogo alle rette nel piano)

Modello proiettivo Il primo modello interpreta la geometria iperbolicasul disco unitario

(a) Geodetichenel modello diBeltrami-Klein

(b) Cerchi nel modello diBeltrami-Klein

La distanza in forma finita e

d(u v) =1

2log(b(u vprime v uprime))

dove uprime vprime sono le intersezioni col bordo della retta per u e v e b(u vprime v uprime)indica il birapporto22

La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2

21La forma della metrica e stata indicata nel caso bidimensionale da Liouville nelle noteal lavoro di Monge Application de lrsquoAnalyse[44] p600 (cfr [7] p14)

22Si definisce birapporto della quaterna di punti allineati ABCD la quantita

b(ABCD) =AC middotBD

BC middotAD

dove ACBDBCAD denotano le lunghezze (con segno) dei segmenti orientati

14

In questo modello le geodetiche sono segmenti di retta ma gli orocicli e

gli ipercicli essendo gia le circonferenze difficili da disegnare non sono cosıimmediati da descrivere(vedi figure a e b)

Modello del disco di Poincare Il secondo modello interpreta anchrsquoessoil piano iperbolico sul cerchio unitario ma le geodetiche non sono piu rette bensıarchi di circonferenza ortogonali alla circonferenza unitaria o segmenti passantiper il centro del cerchio Gli orocicli sono circonferenze tangenti alla circonfe-renza limite e contenute nel cerchio unitario e gli ipercicli sono circonferenzeche incidono in maniera non ortogonale sul cerchio unitario

La metrica iperbolica sul modello di Beltrami-Poincare e

ds2 = 4dx2 + dy2

(1minus x2 minus y2)2


d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2

(1minus ||u||2)(1minus ||v||2)

)

Geodetiche (in verde) orociclo (in rosso) e ipercicli (in blu) nel modello di

Riemann-Beltrami-Poincare

Modello del semipiano di Poincare Il terzo modello si rappresenta sulsemipiano delle ordinate positive di un piano cartesiano Le geodetiche anchequi sono di due tipi rette perpendicolari allrsquoasse limite cioe lrsquoasse delle ascisseo gli archi di circonferenza che hanno il centro sullrsquoasse limite

Gli orocicli invece sono circonferenze tangenti allrsquoasse limite contenute nelsemipiano e rette parallele allo stesso asse come mostrato in figura infine gliipercicli sono rette o circonferenze incidenti lrsquoasse limite con angoli acuti o ottusi(non retti)

Indichiamo anche per questo modello la metrica

ds2 =dx2 + dy2

y2

15

e la distanza in forma finita

d(u v) = arccosh(1 + (uprime minus u)2 + (vprime minus v)2

2vvprime)

Geodetiche (in verde) e orocicli (in rosso) nel modello di Beltrami-Liouville

Localita della pseudosfera sui modelli intrinseci Abbiamo accenna-to prima alla difficolta di visualizzare la localita della pseudosfera difficolta checon il cilindro non sussisteva Avendo introdotto alcuni modelli intrinseci digeometria iperbolica possiamo dire che

il piano iperbolico puo applicarsi limitatamente a una regioneconveniente su una superficie rotonda a curvatura costante negativa[] in modo che ai meridiani di questa si sovrappongano semprerette di un fascio rispett ideale proprio e improprio e ai parallelii cicli (ipercicli cerchi oricicli) ortogonali a queste rette (Fano[28] p 106)

23

Lrsquoaffermazione di Fano rende piu chiaro in che modo puo visualizzarsi lrsquoap-plicazione della pseudosfera sul piano iperbolico un esempio di applicazione edato dalla seguente figura

Visualizzazione della pseudosfera sul modello di Beltrami-Riemann-Poincare

23Queste appplicazioni sono dettagliatamente studiate da Fano in [28] riferimenti modernipossono invece essere trovati in [43] e [2]

16

Il lavoro di Beltrami che abbiamo sommariamente presentato puo essereesteso alla costruzione di modelli tridimensionali intrinseci delle geometrie noneuclidee seguendo le idee di Riemann che permettono di estendere lrsquoapproc-cio intrinseco di Gauss sulla teoria delle superfici differenziabili a varieta didimensione qualsiasi

Una terza via e quella indicata da Helmholtz e approfondita successivamenteda Lie che assume come concetto primitivo quello di movimento e specifica lageometria descrivendone il gruppo di movimenti rigidi Una quarta possibile viae quella di subordinare la geometria euclidea e anche le geometrie non euclideealla geometria proiettiva Secondo questo punto di vista considerato per primoda Cayley e sviluppato successivamente da Klein le proprieta metriche di unafigura sono le proprieta preservate dalle proiettivita che trasformano in se stessauna opportuna conica (nel piano) o quadrica (nello spazio)

17

Riferimenti bibliografici

[1] Anderson J Hyperbolic Geometry [II edition] Springer 2005

[2] Arcozzi N ldquoBeltramirsquos model of non-euclidean geometryrdquo httpwww

dmuniboit~arcozzibeltrami_sent1pdf

[3] Baltzer R Elementi di matematica Prima versione italiana fatta sullaseconda edizione di Lipsia ed autorizzata dallrsquoautore per Luigi CremonaGenova Tip dersquo Sordo-Muti 1865

[4] Battaglini G ldquoSulla geometria immaginaria di LobatschewskyrdquoRendiconti dellrsquoAccademia delle Scienze di Napoli 1867

[5] Battaglini G Raccolta di lettere (1854-1891) di un matematico al tempodel Risorgimento drsquoItalia A cura di Mario Castellana e Franco PalladinoBari Levante editori 1996

[6] Beltrami E ldquoRisoluzione di un problema relativo alla teoria delle super-ficie gobberdquo Annali di Matematica pura et applicata serie I VII pp xx1865

[7] Beltrami E ldquoTeoria fondamentale degli spazi di curvatura costanterdquoAnnali di matematica volII 2 pp 232ndash255 1868

[8] Beltrami E ldquoSaggio sulla interpretazione della geometria non-euclideardquoGiornale di Matematiche pp284-32 VI 1868 httpwwwcaressaitpdfbeltrami01pdf

[9] Beltrami E ldquoUn precursore italiano di Legendre e Lobachewskijrdquo Rendi-conti dellrsquoAccademia dei Lincei V 1889 httpmathematicasnsitmediavolumi432beltrami_4pdf in Opere Tomo IV pp 348-355

[10] Bertolini F Lrsquoevoluzione della geometria Aracne editori Roma 2008

[11] Bianchi L Lezioni di Geometria Differenziale Enrico Spoerri Pisa 1894httpmathematicasnsitopere21

[12] Bolyai W Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos pu-rae elementaris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic propriaintroducendi cum appendice triplici

[13] Bolyai J Appendix The theory of Space(1832) Budapest AkademiaiKiado 1987

[14] Bonola R ldquoSulla teoria delle parallele e sulle Geometrie non euclideerdquoQuestioni riguardanti la Geometria elementare Raccolte e coordinate daFederigo Enriques Bologna Zanichelli pp 144-222 1900

[15] Bonola R La geometria non-euclidea Zanichelli Bologna 1906httpirnmuorguabitstreamhandle12345678910686

50fbbcb03cb06dd2411d23a14edc85cbpdfsequence=1 (versione ininglese Non-Euclidean Geometry New York Dover publications INC1911)

18

[16] Brunel MG ldquoNotice sur lrsquoinfluence scientifique de Guillaume-JulesHouelrdquo Memoire de la Societe de Sciences physiques et naturelles deBordeaux 1866

[17] Castelnuovo G ldquoQuaderno delle lezioni del 1910-11 in Raccolta di quader-ni di Guido Castelnuovo Fondo Guido Castelnuovo Accademia Nazionaledei Lincei httpoperedigitalilinceiitCastelnuovoLettere_

E_QuadernimenuQhtm

[18] Coxeter H Non euclidean geometry [6th ed] Washington the mathe-matical association of America 1998 httpwwwscribdcomdoc

210795635non-euclidean-geometry-6th-ed-h-s-m-coxeter-pdf

scribd

[19] Delisa A (2013) ldquoStoria della scoperta delle geometrie non eucli-deerdquo Nuova storia culturale httpstoriografiame20131118

storia-della-scoperta-delle-geometrie-non-euclidee

[20] do Carmo MP Differential Geometry of Curves and Surfaces NewJersey Prentice-Hall 1976

[21] Engel F Stackel P Die theorie der parallellinien von Euklid bis aufGauss eine urkundensammlung zur vorgeschichte der nichteuklidischengeometrie Leipzig BG Teubner 1895

[22] Enriques F Questioni riguardanti la Geometria elementare Raccolte ecoordinate da Federigo Enriques Bologna Zanichelli 1900

[23] Enriques F Questioni riguardanti le Matematiche elementari Raccolte ecoordinate da Federigo Enriques Bologna Nicola Zanichelli Editore 1912

[24] Enriques F ldquoPrinzipien der Geometrierdquo in Encyklopaedie der mathema-tischen Wissenschaften Bd III red v W F Weber und H Mohrmann1 Teil Leipzig Teubner pp 1-129 Trad francese 1103 trad russa 1603v tedesca httpgdzsubuni-goettingendeendmsloadertoc

PID=PPN360609635 v francese httpgallicabnffrark12148

bpt6k29100tf9imager=

[25] Enriques F Gli elementi drsquoEuclide e la critica antica e moderna LibriI-IV Roma Alberto Stock 1925

[26] Euclide Elementi di Geometria III sec aC Edizione a cura di ldquoNicolaTartagliardquo

httpwwwastrofilibrescianiitBiblioteca_UABBiblioteca

euclid_ppdf

[27] Fano G Lezioni di geometria non euclidea Roma 1898

[28] Fano G Geometria non euclidea Introduzione geometrica alla teoria dellarelativitarsquo Bologna Nicola Zanichelli Editore 1935

[29] Gauss CF Briefwechsel zwischen CF Gauss und HC Schumacherherausg A cura di von CAF Petersldquofunfter Bandrdquodove 1863

19

[30] Gauss CF ldquoDisquisitiones generales circa superficies curvasrdquo Commen-tationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores VolumeVI pp 99ndash146 1827 (versione inglese General investigation of Cur-ved Surfaces httpcorsomonograficowdfilescomlocal--fileslettureGausspdf

[31] Greenberg MJ Euclidean and non-Euclidean Geometries deve-lopment and hystory [III edizione] WHFreeman and Compa-ny New York 1993 httpucsbiuacil~margolisEuclidean

20GeometryEuclidean20Geometry203rd20Editonpdf

[32] Heath T L The Thirteen Books of the Elements Vol 1 Books 1-2 2nded Dover Publications New York 1956

[33] Hilbert D ldquoUber Flachen von konstanter Krummungrdquo pp 87-99 TransAmerican Mathematical Society 2 1901

[34] Hilbert D Grundlagen der Geometrie Leipzig BG Teubner 1903httpsarchiveorgdetailsgrunddergeovon00hilbrich

[35] Houel J H Etudes geometriques sur la theorie des parallele 1866

[36] Kant I Critica della ragion pura

[37] Klein FC Elementary mathematics from an advanced stand-point Mineola Dover 2004 httpsarchiveorgdetails

elementarymathem032765mbp(Versione tedesca originale Ele-mentarmathematik vom hoheren Standpunkt aus II https

archiveorgdetailselementarmathema01kleiuoft)

[38] Klein FC Nicht-Euklidische Geometrie Gottingen (Gottinga) 1893httpsarchiveorgdetailsnichteuklidische01klei

[39] Lambert JH Die Theorie der parallelinien 1766

[40] Lobacevskij NI ldquoSui principi della Geometriardquo Messaggero di KazanKazan 1829

[41] Lobacevskij NI ldquoPangeometrierdquo Messaggero di Kazan Kazan 1855

[42] ldquoMacTutor History of Mathematicsrdquo httpwww-historymcs

st-andrewsacukindexhtml

[43] Milnor J ldquoHyperbolic geometry the first 150 yearsrdquo Bullettin of theamerican mathematical society vol6 1 1982

[44] Monge Application de lrsquoAnalyse a la geometrie Bachelier Paris 1850httpsarchiveorgdetailsapplicationdela00monggoog

[45] Poincare JH Non-euclidean geometries Science and Hypotesis(1902)volpp

(in inglese)httpwww-groupsdcsst-andacukhistoryExtrasPoincare_non-Euclideanhtml

20

[46] Poincare JH La scienza e le ipotesi(1902) [nuova edizione] Dedalo Ba-ri 2012 httpsbooksgoogleitbooksid=NvMuHAUYpDMCamppg=PA3amp

hl=itampsource=gbs_selected_pagesampcad=2v=onepageampqampf=false

[47] Poincare JH Theorie des groupes fuchsiens Uppsala Almqvist andWiksells 1882 httpsarchiveorgdetailsthoriedesgroup00poin

[48] Proclo LD In primum Euclidis elementorum librum commentarii V secdC

[49] Riemann GFB ldquoSulle ipotesi che stanno a fondamento della geometriardquodove dove 1868 Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grun-de liegen in tedescohttpwwwemisdeclassicsRiemannGeompdfhttpfisicaunipvitantocireRiemannpdf

[50] Russo L La rivoluzione dimenticata Il pensiero scientifico greco e lascienza moderna III ed Feltrinelli Milano 1997

[51] Saccheri GG Euclides ab omni naevo vindicatus sive conatusgeometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae princi-pia Milano 1733 httpmathematicasnsitmediavolumi128

Euclides20ab20omni20naevo20vindicatuspdf Traduzione ita-liana httpquodlibumicheducacheabqabq97160001001

00000001tif20pdfpage=1zoom=75

[52] Segre C ldquoCongetture intorno alla influenza di Gerolamo Saccheri sul-la formazione della geometria non-euclideardquo Rendiconti della RealeAccademia delle Scienze di Torino 1902-03

[53] Di Sieno S ldquoIntroduzione al quaderno 16rdquo In Segre C Lezioni di Geo-metria Non Euclidea 1902-1903 httpwwwcorradosegreunitoitquaderniphp

[54] I quaderni di Corrado Segre httpwwwcorradosegreunitoit

quaderniphp

[55] Simon M Euclid und die sechs planimetrischen Bucher Teubner 1901

[56] Sommerville D The elements of non-Euclidean geometryGBell amp Sons Ldt 1919 httpsarchiveorgdetails

ElementsOfNonEuclideanGeometry

[57] Stackel P The life and Work of the Two Bolyairsquos

[58] La decouverte de la geometrie non euclidienne sur la pseudoshpere Le let-tres drsquoEugenio Beltrami a Jules Houel (1868ndash1881) Introduction notes etcommentaires critiques par LBoi L Giacardi R Tazzioli Paris LibrairieScientifique et Technique Albert Blachard 9 rue de Medicis 75006 1998

[59] Tazzioli R (2003) ldquoLrsquoOttocento matematica La geome-tria non euclideardquo httpwwwtreccaniitenciclopedia

l-ottocento-matematica-la-geometria-non-euclidea_

(Storia-della-Scienza)

21

Indice degli Autori citati

Al Khayyam Omar (1048 ndash1131) 4

Battaglini Giuseppe (1826ndash1894) 911

Beltrami Eugenio (1835ndash1900) 56 11 14 17

Bessel Friedrich Wilielm (1784ndash1846)6

Bolyai Janos (1802ndash1860) 7 8 1011

Bolyai Wolfgang Farkas (1775ndash1856)2 10

Castelnuovo Guido (1865ndash1952) 24

Cavalieri Bonaventura Francesco (1598ndash1647) 3

Cayley Arthur (1821ndash1895) 17

Euclide di Alessandria 367 aCndash283aC 1ndash3 5 11

Fano Gino (1871ndash1952) 16

Gauss Johann Karl Friedrich (1777ndash1855) 5ndash11 17

Genocchi Angelo (1817ndash1889) 13Girard Albert (1595ndash1632) 3

Hilbert David (1862ndash1943) 13Houel Guillaume-Jules (1823ndash1886)

11

Iperciclo 15

Kant Immanuel (1724ndash1804) 7Klein Felix Christian (1849ndash1925)

11 14 17

Lambert Johann Heinrich (1728ndash1777)3 4 6 8

Legendre Adrien Marie (1752ndash1833)2 6

Lie Marius Sophus (1842ndash1899) 17Liouville Joseph (1809ndash1882) 14Lobacevskij Nikolaj Ivanovic (1792ndash

1856) 7ndash11

Manganotti Angelo (1828ndash1907) 5

Peters Christian Heinrich Friedrich(1813ndash1890) 6

Playfair John (1748ndash1819) 2Poincare Jules Henri (1854ndash1912)

13Posidonio di Rodi (135 acndash50 ac)

2Proclo Licio Diadoco (412ndash485) 2

Riemann Georg Friedrich Bernhard(1826ndash1866) 5 11ndash13 17

Saccheri Giovanni Girolamo (1667ndash1733) 2ndash6

Schumacher Heinrich Christian (1780ndash1850) 6 7

Schweikart Ferdinand Karl (1780ndash1857) 7 8

Segre Corrado (1863ndash1924) 1

Taurinus Franz Adolph (1794ndash1874)8

von Helmholtz Hermann (1821ndash1894)17

Wallis John (1616ndash1703) 2 3

22

Indice dei concetti introdotti

Angolo di parallelismo 9Asse limite 15

Birapporto 14

Dimostrazione di consistenza dellageometria euclidea 10

Geodetica 14 15Geometria antieuclidea 7Geometria assoluta 10Geometria astrale 7Geometria ellittica 2 3 5Geometria euclidea 5Geometria immaginaria 9Geometria iperbolica 2 4ndash6 8

Parallele non euclidee 5Lunghezze naturali 6

Iperciclo 14

LobacevskijFunzione di 9

Orociclo 14 15

Parallele non euclidee 5Pseudosfera 12 16

Quinto postulatoFormulazioni equivalenti 2

SaccheriQuadrilatero di 4

23

John Wallis e il suo postulato equivalente

Saccheri precursore inconsapevole delle geometrie non euclidee

Lambert Legendre e la diffusione dei risultati sul V postulato

La corrispondenza di Gauss geometria ``anti-euclidea

Le influenze di Gauss sui contemporanei Schweikart e Taurinus

Lobacevskij e il suo approccio empirista

Janos Bolyai e la geometria assoluta

Diffusione delle geometrie non euclidee

I modelli per la geometria non euclidea

Bibliografia

dai primi quattro Se il quinto postulato e indipendente dai primi quattro epossibile sostituirlo con uno equivalente ma piu intuitivo

Per rispondere alla seconda domanda numerosi matematici in epoche diversecercarono di fornire alcuni enunciati equivalenti al postulato delle parallele tracui

bull il luogo dei punti equidistanti da una retta e una retta (Posidonio (135acndash50 ac))

bull se una retta interseca una di due rette parallele interseca anche lrsquoaltra(Proclo (412ndash485))

bull dato un triangolo ne esiste uno simile a quello dato e grande a piacere(Wallis (1616ndash1703))

bull la somma degli angoli di un triangolo e uguale a due angoli retti (Saccheri(1667ndash1733) Legendre (1752ndash1833))

bull per tre punti non allineati passa sempre la circonferenze di un cerchio(Bolyai Farkas (1775ndash1856))

bull per un punto fuori di una retta passa una e una sola parallela alla rettastessa (assioma di Playfair (1748ndash1819))

Le geometrie non euclidee nascono dunque dalla negazione del quinto postulatodetto anche postulato delle parallele Piu precisamente si arrivera a costruirela geometria iperbolica lasciando cadere questrsquoultimo e modificando anche ilsecondo postulato si otterra la geometria ellittica come vedremo fra poco

Tutto il lavoro fatto dai matematici per cercare formulazioni equivalentidel quinto postulato ne mette in luce la profondita la speranza di trovarneuno equivalente ma piu semplice da verificare testimonia la grande difficolta aconcepire la possibilita che nel mondo fisico si possano presentare situazioni ldquononeuclideerdquo (si pensi in proposito alla filosofia Kantiana in cui lo spazio euclideo eun giudizio sintetico a priori cioe lrsquounico spazio che la mente umana e in gradodi concepire) Quello che lrsquoesperienza fisica suggerisce nel dominio dei nostrisensi e lrsquoautorita di Euclide furono infatti i motivi principali che ostacolaronola possibilita di concepire le geometrie non euclidee

1 John Wallis e il suo postulato equivalente

Fra i tentativi piu significativi2 di enunciato equivalente e di dimostrazione delV postulato a partire da questo citiamo quello di Wallis che

fu uno dei primi professori Saviliani di Oxford cioe della cattedrafondata da sir Savile il [cui] titolare doveva dedicare qualche lezioneagli Elementi di Euclide(Castelnuovo Cfr Cap 3 ldquopreistoria dellageometria non euclideardquo)

2Sui tentativi di dimostrazione avvenuti prima del 1663 non ci dilunghiamo rimandandoai riferimenti che fa Castelnuovo nel suo quaderno Cap 3 ldquoPreistoria della geometria noneuclideardquo

2










3











4










5










6











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia










3











4










5










6











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia











4










5










6











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia










5










6











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia










6











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia











7


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia


k log(1 +radic

2)


radicminus1








8





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia





L(x) =

int x

0

log sec yd y




9









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia









10













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia













11








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia








12











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia











13











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia











d(u v) =1



La metrica invece e

ds2 =dx2

1minus x2+

(x middot dx)2

(1minus x2)2




BC middotAD


14





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia





ds2 = 4dx2 + dy2



d(u v) = arcosh

(1 + 2

||uminus v||2


)






ds2 =dx2 + dy2

y2

15



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia



2vvprime)




23




16



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia



17



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia



















18



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia



E_QuadernimenuQhtm



scribd













euclid_ppdf




19






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia






















20













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia













quaderniphp









21
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia
















11

Iperciclo 15


11 14 17




1856) 7ndash11














22



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia



Birapporto 14




Iperciclo 14


Orociclo 14 15




23










Bibliografia

Breve storia della geometria non...

Documents

Transcript of Breve storia della geometria non...