1

Bipoli Elettrici

Esercitazioni aggiuntive

Esercizio 1.1

Tracciare la caratteristica esterna della rete in figura:

+

VAB

iAʼBʼ

iD

+

+

VD

VR

VEEγ

D

Rd

iR

iE

A

B

iAB Aʼ

ii

Ri

Bʼ

C

D

+VEEγ

iE

D

Bʼ

+VRRd

iR

C

D

iD

+

VDD

C

Aʼ

ii

Ri

A

B

+Vi

Eg = 0.5 [v]Rd =10 [W]Ri =10 [kW]

Si definiscano le c.r.a. per ogni bipolo; applicando le leggi di Kirchhoff si possono scrivere le seguen-ti relazioni:

i i i iD R E A B= = = ' '

iAB = iI + iA 'B '

vA 'B ' = vD + vR + vE

vAB = vA 'B ' = vI

Si considerino ora i bipoli del ramo serie; si traccino le caratteristiche tensione-corrente di ciascuno di essi, poi, dato che i tre bipoli sono in serie, per ciascun valore di corrente si sommino i relativi valori di tensione, e si tracci la caratteristica equivalente.

Bipoli ElETTrici2

iR [A]

VR [v]

10

0

1

iD [A]

VD [v]

0

iE [A]

VE [v]

0

0.5

iAʼBʼ [A]

VAʼBʼ [v]

1.5

0

0.1

0.5

Successivamente si disegni la caratteristica relativa al ramo Ri, che è:

Vi [V]

10

0

1.10 -3 ii [A]

ESErciTazioni 3

infine la caratteristica richiesta deriva dalla composizione in parallelo di quelle ralative al ramo serie ed al resistore R

i; per ciascun valore di tensione occorre sommare le corrispondenti correnti.

la caratteristica dell’intera rete è qui riportata:

iAB [A]

VAB [v]

0.6

0

0.01

0.5

Si osservi che la pendenza del ramo corrispondente ad Ri è stata arbitrariamente aumentata per una maggiore chiarezza del disegno.

Esercizio 1.2

Dato il circuito in figura ricavare la caratteristica esterna: vaB

= f(iaB

).

iAB

I R

A

B

E

I = 1 [a]R = 1 [W]

Si stabiliscano le c.r. di ogni bipolo.

iD

VD

E

AiI

E

B

VI

iR

E

B

VR

applicando le leggi di Kirchhoff si trovano le seguenti relazioni:

i iAB D=

i i iAB I R= +

v v vAB D ED= +

v v vEB R I= =

Bipoli ElETTrici4

Si traccino le caratteristiche tensione-corrente per ciascun bipolo:

iD [A]

VD [v]

0 iI [A]

VI [v]

-I 0

iR [A]

VR [v]

1

0

1

Dato che I ed R sono in parallelo per ciascun valore di tensione si devono sommare le correnti. Si ottiene:

iAB [A]

VEB [v]

1

0

-1

la caratteristica vAB = f(iAB) si ottiene componendo in serie l’ultima tracciata con quella del diodo:

v v vAB D EB= +

ESErciTazioni 5

Si ricava

iAB [A]

VAB [v]

1

0

-1

Esercizio 1.3

Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura:

B

D E F

A C

G H I

1 2

5

43

6

9 10

87

la rete è composta da 10 rami; essa contiene 9 nodi, di cui 6 impropri. le maglie sono 3.

nodi: a, B, c, D, E, F, G, H, i.Maglie: aBcFED; DEFiHG; aBcFiHGD.

nella seguente figura è riportato il grafo della rete in cui è stata eseguita l’operazione di orientamento dei singoli rami che, come è noto, equivale ad assumere i versi positivi delle correnti. Se, inoltre, per comodità si decide di assumere nella rete anche le condizioni di riferimento associate per i bipoli passivi, si osserva che automaticamente vengono stabiliti anche i versi delle polarità delle tensioni come è indicato a fianco della figura successiva.

Bipoli ElETTrici6

Si ottiene così il seguente schema:

B

D E F

A C

G H I

1 2

5

43

6

9 10

87

i i

i4

i

i3

i7

i

ii

i8

V8

V4V3

V7

V9 V10

V5 V6

V1 V2

EQUazioni ai noDi

a) i i1 3 0− =

B) i i2 1 0− =

c) i i4 2 0− =

D) i i i3 5 7 0− − =

E) i i5 6 0− =

F) i i i6 8 4 0+ − =

G) i i7 9 0− =

H) i i9 10 0− =

i) i i10 8 0− =

EQUazioni allE MaGliE:

aBcFED) − − − − − − =v v v v v v1 2 4 6 5 3 0

DEFiHG) v v v v v v5 6 8 10 9 7 0+ − − − − =

aBcFiHGD) − − − − − − − − =v v v v v v v v1 2 4 8 10 9 7 3 0

ovviamente, come verrà espresso più chiaramente nel prossimo capitolo, nelle equazioni alle ma-glie sopra scritte sarebbe opportuno esprimere le tensioni di ramo in funzione delle relative corren-ti, ciò facendo uso delle r equazioni costitutive scritte per tutti i rami della rete, al fine di risolvere il circuito.

ESErciTazioni 7

Esercizio 1.4

Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura:

1

2

3

4 5

7

6

8

la rete è composta da 8 rami; contiene 5 nodi (di cui 1 improprio) e 12 maglie.

anche in questo caso, nella seguente figura è riportato il grafo della rete in cui è stata eseguita l’ope-razione di orientamento dei singoli rami che, come è noto, equivale ad assumere i versi positivi delle correnti. Se, inoltre, per comodità si decide di assumere nella rete anche le condizioni di riferimento associate per i bipoli passivi, si osserva che automaticamente vengono stabiliti anche i versi delle polarità delle tensioni come è indicato a fianco della figura successiva.

Si scelga arbitrariamente, inoltre, il verso di percorrenza antiorario per tutte le maglie.Si ottiene così il seguente schema:

EQUazioni ai noDi:

a) i i1 2 0− =

B) i i i i3 8 1 4 0+ − − =

c) i i i i2 6 5 3 0+ + − =

D) i i i4 7 5 0+ − =

E) − − − =i i i6 7 8 0 V1 1

V2

2i1

i2

V3

3i3

4i4

V4 V5 5

7

V7

i7V6

6

i5 i6

8i8

V8

A

BC

DE

Bipoli ElETTrici8

EQUazioni allE MaGliE

acB) v v v2 3 1 0+ + =

BcD) − − − =v v v3 5 4 0

cED) − + + =v v v6 7 5 0

DEB) − + + =v v v7 8 4 0

acDB) v v v v2 5 4 1 0− − + =

BDcE) v v v v4 5 6 8 0+ − + =

BcED) − − + − =v v v v3 6 7 4 0

BcE) − − + =v v v3 6 8 0

BcDE) − − − + =v v v v3 5 7 8 0

acEDB) v v v v v2 6 7 4 1 0− + − + =

acDEB) v v v v v2 5 7 8 1 0− − + + =

acEB) v v v v2 6 8 1 0− + + =

Esercizio 1.5

Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura:

1

2 3 4

765

8 9 10

13 11

12

A B C D

E F G H

la rete è composta da 13 rami; ha 8 nodi (di cui 2 impropri) e 27 maglie.procedendo ancora in maniera analoga, si assegnino arbitrariamente i versi delle correnti nei

diversi rami, e si indichino i versi delle tensioni su di essi, determinati applicando le condizioni di riferimento associate (convenzioni per gli utilizzatori in questo caso).

Si stabilisce arbitrariamente, inoltre, il verso di percorrenza antiorario per ciascuna maglia.

EQUazioni ai noDi:

a) i i i1 2 5 0+ − =

B) i i i3 6 2 0+ − =

c) i i i4 1 3 0− − =

ESErciTazioni 9

D) i i7 4 0− =

E) i i i5 8 13 0− − =

F) i i i i i i8 13 6 9 11 12 0+ − − − − =G) i i9 10 0− =

H) i i i i10 11 12 7 0+ + − =

i1V1

V2i2

V8

i8

V4i4

V9

i9

V10

i10

V13

i13

V11

V12

V3

V5V6 V7

i3

i5 i6 i7

i11

i12

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10

13 11

12

A B C D

E F G H

EQUazioni allE MaGliE:

acB) v v v1 2 3 0− − =

aBFE) v v v v2 5 8 6 0+ + + =

BcDHGF) v v v v v v3 6 9 10 7 4 0− + + + + =

FGH) − − + =v v v10 9 11 0

acDHGFB) v v v v v v v1 2 6 9 10 7 4 0− − + + + + =

acDHFB) v v v v v v1 2 6 11 7 4 0− − + + + =

acDHGFE) v v v v v v v1 5 8 9 10 7 4 0+ + + + + + =

acDHFE) v v v v v v1 5 8 11 7 4 0+ + + + + =

aBcDHGFE) v v v v v v v v2 5 8 9 10 7 4 3 0+ + + + + + + =

aBcDHFE) v v v v v v v2 5 8 11 7 4 3 0+ + + + + + =

BcDHF) v v v v v3 6 11 7 4 0− + + + =

FGH) − − + =v v v10 9 12 0

acDHFB) v v v v v v1 2 6 12 7 4 0− − + + + =

acDHFE) v v v v v v1 5 8 12 7 4 0+ + + + + =

aBcDHFE) v v v v v v v2 5 8 12 7 4 3 0+ + + + + + =

Bipoli ElETTrici10

BcDHF) v v v v v3 6 12 7 4 0− + + + =

FH) − + =v v11 12 0

aBFE) v v v v2 5 13 6 0+ + + =

acDHGFE) v v v v v v v1 5 13 9 10 7 4 0+ + + + + + =

acDHFE) v v v v v v1 5 13 11 7 4 0+ + + + + =

aBcDHGFE) v v v v v v v v2 5 13 9 10 7 4 3 0+ + + + + + + =

aBcDHFE) v v v v v v v2 5 13 11 7 4 3 0+ + + + + + =

acDHFE) v v v v v v1 5 13 12 7 4 0+ + + + + =

aBcDHFE) v v v v v v v2 5 13 12 7 4 3 0+ + + + + + =

EF) − + =v v8 13 0

acBFE) v v v v v1 5 8 6 3 0+ + + − =

acBFE) v v v v v1 5 13 6 3 0+ + + − =

Esercizio 1.6

Determinare il punto di lavoro della rete rappresentata in figura:

+E0

R0

VR

i

R

iR

A

B

E0 = 5 [v]

R0 = 1.5 [W]

v iR R= ⋅0 5 2. iR ≥ 0vR = 0 iR < 0

Si disegnino le caratteristiche dei tre singoli bipoli sui rispettivi piani di definizione; dopo aver scritto le leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti si tracci la caratteristica composta del bipolo serie E

0 – R

0.

Quindi si disegni la caratteristica del resistore non lineare R sul piano (IR, V

R).

osservando che le due caratteristiche possono essere tracciate sullo stesso piano di lavoro in base ai principi di Kirchhoff, tarando opportunamente gli assi, la relativa intersezione rappresenta il punto di lavoro della rete individuando i valori della corrente che circola nell’unica maglia e della tensione V

AB.

lo stesso problema può essere risolto anche nel seguente modo: si assegnino i versi delle cor-renti e delle tensioni come in figura; si traccino la caratteristica composta della serie E

0 – R

0 e quella

del resistore R; si rappresenti, infine, la caratteristica i cui punti si ottengono fissando un valore di tensione, trovando le correnti ad esso corrispondenti dai due precedenti grafici, e calcolandone la somma in base al principio di Kirchhoff per le correnti.

Quando, per un particolare valore di tensione, la somma delle due correnti è nulla, si è trovato il punto di lavoro.

ESErciTazioni 11

ciò si spiega, fisicamente, osservando che in una serie di bipoli il modulo della corrente, a parte le assegnazioni di verso (arbitrarie) su ciascuno di essi, deve essere uguale per ogni elemento; pertan-to, avendo stabilito versi opposti per le correnti nella serie E

0 – R

0 e nel resistore R, in corrispondenza

del punto di lavoro della rete la loro somma deve essere nulla.

Esercizio 1.7

Determinare il punto di lavoro della rete rappresentata in figura:

R

A

B

+E0

R0

+E1

R1C

i1

E0 = 5 [v]

E1 = 8 [v]

R0 = 1.5 [W]

R1 = 2 [W]

v iR R= ⋅0 5 2. iR ≥ 0

vR = 0 iR < 0

Si definiscano i versi delle tensioni e delle correnti secondo le condizioni di riferimento associate per gli utilizzatori per i seguenti bipoli: R, R

0, E

0, e la serie R

1 – E1.

+E0

iE

VE

B

C

R0

A

C

iR0

VR0R

A

B

iR

VR

A

B

+

E1

R1

i1

V1

applicando le leggi di Kirchhoff si trovano le relazioni:

i i i i iAB R E R= = = − −

0 1

v v v v vAB R R E= = + =

0 1

Si disegnino le caratteristiche dei bipoli, e si compongano in serie la v f iR R0 01= ( ) e la v f iE E= ( )2 , sommando le tensioni dei due bipoli relative a ciascun medesimo valore di corrente. Si ottiene così la caratteristica v f iAB AB= ( ) .

Si rappresenti ora la funzione v f i i iAB AB R l= + +( ) ; essa si ottiene fissando un valore di tensio-ne, determinando dalle caratteristiche le tre correnti, e calcolandone la somma, e ripetendo poi queste operazioni per un numero sufficiente di punti. Quando, per un dato valore di tensione, la somma delle tre correnti è uguale a zero, sono verificate contemporaneamente le due leggi di Kirchhoff, e si determina il punto di lavoro del circuito.

Bipoli ElETTrici12

Si riporta di seguito il grafico della funzione v f i i iAB AB R l= + +( ) :

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

00- 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8

Somma delle correnti [A]

VAB [v]

Esercizio 1.8

Determinare le tensioni ai capi dei resistori per ciascuno dei tre circuiti mostrati in figura.calcolare la potenza dissipata da ogni resistore e da dove viene generata questa potenza, calco-

lando il contributo dovuto al generatore di tensione ed a quello di corrente.

R

A

B

+

E I

I1

I3+

VR

I2 R

+

E I

1) E = 2 [V]; I = 1 [a]; R = 3 [W]. 2) E = 2 [V]; I = 1 [a]; R = 3 [W]

R1

A

B

+E

R2

I

IE

IR+VR

3) E = 2 [V]; I = 1 [a]; R1 = 1 [W]; R2 = 3 [W]

ESErciTazioni 13

1) applicando le leggi di Kirchhoff si ottiene:

i i i1 2 3+ =

i2 1= [a]

v E vR I= = = 2 [v]

dalla relazione costitutiva del resistore si ha:

i

v3

2

30 667=

=

Ω.

[a]; quindi si ottiene:

i i i1 3 2 1 0 667 0 33= − = − + = −. . [a]

PgE= − ⋅ = −( . ) .0 333 2 0 667 [W] assorbe;

P I RR = =2 1 33. [W] assorbe;

P IVg IA= = 2 [W] Eroga.

2) I = 1 [a]; la tensione ai capi del resistore è:

V RI= = ⋅ =3 1 3 [v]

risulta, allora:

VI = 5 [v]

PgI= ⋅ =5 1 5 [W]

PgV= 2 [W] assorbe;

PJ = ⋅ =3 1 3 [W] assorbe.

3) applicando le leggi di Kirchhoff si ottiene:

I I IE R+ =

I = 1 [a]

VR12= [v]; la corrente su R1 vale:

IR = =

2

12 [a]

si calcola allora:

IE = − =2 1 1 [a]

Pg = 2 [W]

P RI WR R1

2 4= = [ ]

VR23= [v]

PR23 1 3= ⋅ = [W]

V VI = + = =3 2 5 [v]

PgI= 5 [W]

Bipoli ElETTrici14

Esercizio 1.9

Dato il seguente circuito:

R1

A

B

+

E

R2I3

I1

R3

I2

calcolare il valore delle resistenze R1 e R

2 e la fem ai capi del generatore di tensione E sapendo che:

R3 = 2 [W]

PR1

= 108 [W] P

R2 = 54 [W]

PR3

= 162 [W]

il bilancio delle potenze per il circuito dato, si esprime con la relazione:

EI R I R I R I3 1 12

2 22

3 32= + + ; risulta anche che:

I I I3 1 2= + ; posto che:

R I3 32 162= [W] si calcola:

IP

RR

33

3 162

29= = = [a]; poiché:

EI3 108 54 62 324= + + = [W] si calcola la tensione del generatore:

E = =324

936 [v] da cui:

V E R IAB = − = − ⋅ =3 3 36 2 9 18 [a] ed infine:

V

RAB2

1

108= [W];

R1

218

1083= =

[W];

V

RAB2

2

54= [W];

R2

218

546= = [W].

ESErciTazioni 15

Esercizio 1.10

risolvere la rete rappresentata in figura ed effettuare il bilancio delle potenze.

R

A

B

+

E I

IE

IR+

VR

I1

E = 1 [v]R = 1 [W]I = 2 [a]

Si stabiliscano su ciascun bipolo i versi delle tensioni e delle correnti secondo le condizioni di riferi-mento associate per gli utilizzatori e per i generatori, rispettivamente.

Si scrivano le leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti, trovando le seguenti relazioni:

V V V VAB E R I= = =

I I IR E I− − = 0

poi:

V EE = ∀I

V RIR R=

I II = ∀VI

E RIR=

si calcola così:

IE

RR = = =1

11 [a]

I I I I IE R I R= − = − = − = −1 2 1 [a]

con riferimento alle potenze, per questo circuito si ha:

P V Iii

ii

i= =∑ ∑=

1

3

1

3

P V I EIE E E E= = = ⋅ −( ) = −1 1 1 [W]

PE < 0 ⇒ il generatore assorbe potenza.

P V I EIR R R R= = = ⋅ =1 1 1 [W]

Bipoli ElETTrici16

PR > 0 ⇒ il resistore (utilizzatore) assorbe potenza.

P V I EII I I= = = ⋅ =1 2 2 [W]

PI > 0 ⇒ il generatore eroga potenza.

il bilancio delle potenze si può quindi scrivere come:

P P P Pii

E R I=∑ = − + = − − + =

1

3

1 1 2 0 [W].

Si noti che in quest’ultima equazione PR < 0 perchè il resistore dissipa potenza.

Esercizio 1.11

Tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete seguente:

+

iAB

R2

R1

R3

iAC iAʼC

iAB

E

VAB

AAʼ

C

D

B

R1 = 8 [W]

R2 = 6 [W]

R3 = 6 [W]

E = 3 [V]

Si proceda con il metodo grafico.Si traccino le caratteristiche del resistore R1 e del generatore E:

iAC [A]

VDC [v]8

0

1 iAC [A]

VAʼD [v]

3

0

ESErciTazioni 17

la caratteristica complessiva della serie R1 – E risulta:

iAC [A]

VAʼC [v]

3

-0.375 0

Si ha:

iAB = iAC + iA’C.

la caratteristica del resistore R2 è:

iAʼC [A]

VAʼC [v]

6

0

1

la caratteristica del parallelo tra la serie R1 – E ed R2 risulta:

iAB [A]

VAʼC [v]

3

0.5-0.375

la caratteristica del resistore R3 è uguale a quella di R2; per tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete data basta comporre in serie l’ultima ricavata con quella di R3:

Bipoli ElETTrici18

iAB [A]

VAB [v]

6

0.5-0.375-2.25

Esercizio 1.12

Tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete seguente:

+

R2

R1

R3

E

A

B

R1 = 6 [W]

R2 = 6 [W]

R3 = 10 [W]

E = 3 [V]Si proceda con il metodo grafico.

Si segua un procedimento simile a quello relativo all’esercizio precedente indicando, ad esempio, i nodi e le correnti come nel seguente schema:

+

iAB

R2

R1

R3

iAC

iAB

E

iAʼC

VAB

AAʼ

C

D

B

ESErciTazioni 19

Esercizio 1.13

con riferimento al seguente circuito dire se i dati sono sufficienti per valutare la corrente in R3,e nel

caso affermativo valutare tale corrente:

R3

+E1

R4R2

R1

R5

+E2

perogE1 = perog

E2 = 50 [W] pass

R1 = passR4 = 18 [W]

passR2 = pass

R5 = 12 [W] R

3 = 10 [W]

Dal bilancio delle potenze:

P P P P P PEerog

Eerog

Rass

Rass

Rass

Rass

1 2 1 2 3 4+ = + + + ++ PR

ass5

in generale sussiste la relazione:

P R IRass

i Ri i= 2

;

dalle precedenti relazioni si ottiene allora:

PRass3

40= [W]

IP

RRRass

3

3

3

2= = [a].

Esercizio 1.14

nel circuito lineare tempo invariante mostrato in figura la tensione e la corrente dei corrispondenti generatori sono rispettivamente pari a: v(t) = Ae- at; i(t) = Bcoswt, dove A, B, a, w sono costanti.

calcolare la tensione sull’induttanza L, vL(t), e la corrente sulla capacità C, i

C(t).

R

+

vL(t)

iL(t)

v(t)

L1

C

iC(t)

i(t) L

Bipoli ElETTrici20

Dalle relazioni costitutive dell’induttore e del condensatore si ha:

v t Ldi t

dtL

di t

dtLB tL

L( )( ) ( )

sin= = = − ω ω [v]

i t Cdv t

dtAC eC

C t( )( )

= = − −α α [a]