AVVISO! - TIM e Telecom in un unico portale | TIM 1... · commentandone la simmetria e...

2

AVVISO!Le regole di laboratorio, come pure le schede di

laboratorio, si trovano sul sito del !

Dott. Diego Cauz !

all’indirizzo !http://www.fisica.uniud.it/~cauz/laboratorio_ingegneria.htm!

Leggere con attenzione!

Cenni alla teoria della misura ed all’analisi di un campione di dati

[email protected]

Università degli Studi di Udine e Pordenone!Facoltà di Ingegneria!

!

Laboratorio di Fisica I

www.webalice.it/isidoro.sciarratta

ING UNIUD - LabFisica is

pendolo di Kater

4

ING UNIUD - LabFisica is5


OGGETTO DELLA PROVA

7

Misura del periodo di oscillazione di un pendolo semplice: determinazione della distribuzione degli!errori di misura allo scopo di verificarne l’andamento secondo la legge normale di Gauss.!Nell’esperienza si dovranno effettuare tre serie di misure del periodo - con numero di dati crescenti N = 30, 100, 300 - sulla base delle quali determinare: ! 1. le medie, ! 2. le distribuzioni e ! 3. i parametri statistici richiesti.


CENNI TEORICI

8

Descrivere, sinteticamente (in poche righe), le modalità con le quali si sono effettuate le misure. In particolare:! ➢ indicare il valore scelto per l’angolo massimo delle oscillazioni del pendolo;! ➢ il metodo con il quale si è verificato che l’ampiezza di oscillazione rispettasse l’angolo!suddetto.


Per ogni serie di misura riportare

9

il valore medio della misura, <x> ovvero;!lo scarto quadratico medio della serie di misure ;!la moda della distribuzione (valore più frequente);!l’eventuale numero di eventi fuori dell’intervallo !!e, nel caso esso sia diverso da zero:!

la nuova determinazione del valor medio della misura;!la nuova stima dello scarto quadratico medio (sempre se diverso dal precedente);!

errore quadratico medio della media ;!istogramma dei dati con sovrapposta la funzione di Gauss opportunamente normalizzata;!breve commento sulla simmetria dell’istogramma e sugli eventuali discostamenti dalla distribuzione normale.

< x > − 3σ ,< x > + 3σ[ ]

σ x

σ <x>


A completamento della relazione riportare un breve commento finale sui risultati

ottenuti. In particolare:

10

fare un confronto tra gli istogrammi delle tre serie di misure commentandone la simmetria e l’andamento all’aumentare del numero di dati;!dare una valutazione (propria del gruppo) sul successo o meno del la ver i f ica del l ’ andamento normale del la distribuzione degli errori;!commentare i vari problemi e/o gli eventuali risultati negativi ottenuti e darne una possibile giustificazione fisica.


come fare le misure

11


Valore “vero” e valore più probabile

Sia gli errori sistematici che quelli casuali sono impliciti nelle operazioni e nel metodo scelto per eseguire la misura. Si può concludere, pertanto,

che non ha senso chiedersi qual'è il valore vero da associare alla misura di una grandezza, bensì

qual'è il valore che più verosimilmente si avvicina al valore vero, ossia qual'è il valore più probabile.

12


legenda

N = numero totale dei dati del Campione!M = numero totale delle determinazioni distinte!xi, xj = misure!nj = frequenza assoluta!Nj = frequenza cumulata assoluta!fj = frequenza relativa!Fj = frequenza cumulativa relativa!E = viene usato per indicare un valore atteso

13


valore più probabile

Il valore più probabile è ovviamente quello la cui frequenza è maggiore. Esperienza e teoria provano che il valore di maggior frequenza coincide con la media aritmetica dei valori misurati.

14

m = m1 +m2 + ...+mN

N=

mii=1

N

∑N

m = m1 ⋅n1 +m2 ⋅n2 + ...+mM ⋅nMN

=mj ⋅nj

j=1

M

∑N

oppure


Errore assolutoIl valore medio, per risultare più attendibile, prima di venire associato come misura più probabile, dovrà essere affiancato da un'informazione che indichi il suo grado di affidabilità come misura della grandezza, ovvero che indichi lo scarto presumibile del valore medio dalla misura reale. Questo indice viene chiamato errore assoluto di misura e di solito viene indicato con ∆m. Pertanto la misura m di una grandezza va indicata con una scrittura del tipo

m = m ± Δm( )dove l’errore assoluto ∆m serve ad individuare l’intervallo di fiducia o di confidenza entro cui cade, con buona probabilità, la misura “vera”.

15


intervalli di confidenza a confronto

L’ampiezza dell’intervallo dipende da come viene stimato ∆m. !A riguardo vi sono molti modi. La loro scelta dipende dalla sensibilità degli strumenti usati, dal numero di misure che compongono il campione, dalle condizioni sperimentali, ecc.

16

m-b

frequenze

misurem

f3

f2

f1

m+bm+am-a


metri di varie sensibilità

17


cronometri di varie sensibilità


alcuni!metodi!per il!

calcolo!di !Δm

19

risoluzione dello strumento

semidispersione

media degli scarti

scarto quadratico medio o Deviazione Standard

non dipende dal numero N di misure eseguite

scarto quadratico medio della media

dipende dal numero N di misure eseguite!

Vi si fa ricorso finché non diventa inferiore alla risoluzione strumentale!

η

Δm = mmax −mmin

2

δ =mi −m

i=1

N

∑N

=di

i=1

N

∑N

σ =di2

i=1

N

∑N −1

σ X =σN

=di2

i=1

N

∑N ⋅ N −1( )


errore relativo

20

Accanto all'errore assoluto è necessario definire l'errore relativo. Esso è dato dal rapporto fra l'errore assoluto ed il valore medio della grandezza misurata. Pertanto risulta adimensionale. Inoltre, di solito, esso viene espresso in percentuale.

ε =Δmm

L'errore relativo risulta utile per:!1. giudicare la precisione della misura eseguita e la bontà del metodo di misura;!2. confrontare due successioni di dati non omogenei, cioè due insiemi di valori di differenti grandezze.!3. per assegnare l'errore assoluto alle grandezze derivate


Riepilogo sulla propagazione dell’errore

21

Per propagazione dell’errore si intende la teoria che consente di assegnare l’incertezza alle misure delle grandezze calcolate, perciò indirette, tramite quelle misurate direttamente.

operazioni errore assoluto

A=B+C

A=B-C

A=k B

A=B·C

A=B/C

A=B

A=B

A=B

A=(B C)/D

A=(B+C)/D

A=(B C

ΔAA

= ΔBB

+ ΔCC

ΔAA

= ΔBB

+ ΔCC

ΔAA

= n ΔBB

ΔAA

= 1n⋅ ΔBB

ΔAA

= mn⋅ ΔBB

ΔAA

= ΔBB

+ ΔCC

+ ΔDD

ΔAA

= ΔBB

+ 2 ΔCC

+ 3ΔDD

ΔAA

= ΔB + ΔCB +C

+ ΔDD

ΔA = k ⋅ ΔB

ΔA = ΔB + ΔC

ΔA = ΔB + ΔC


Dalla misura diretta alla misura indiretta, cifre significative

22

Dalla teoria degli errori discende la seguente definizione che indica le cifre significative che descrivono la misura di una grandezza. !Dicesi "gruppo di cifre significative quello che inizia da sinistra con la prima cifra non nulla e termina a destra con l'ultima cifra nota, fosse anche uno zero".!In una operazione di misurazione si definiscono cifre significative le cifre note con certezza più la prima cifra incerta.

numero cifre significative

21,3 321,30 40,213 310,213 5

4,5 2


Cifre significative per le grandezze derivate

23

Una volta deciso il numero di cifre significative delle grandezze direttamente misurate o assegnate, si pone il problema di stabilire quali sono le cifre significative delle grandezze derivate. Si hanno i seguenti casi:!La somma (o la differenza) di due misure note presenta lo stesso numero di cifre dopo la virgola della misura meno precisa (ovvero quella che presenta errore relativo maggiore). !Analogamente "il prodotto (il quoziente) di una misura per un numero adimensionale conserva lo stesso livello di precisione (stesso numero di cifre dopo la virgola) rispetto alla misura di partenza.!“Le cifre significative del prodotto come quelle del quoziente fra due misure note, invece, non devono mai superare quelle della misura che presenta l’errore relativo maggiore”.


Esercizio da svolgere

24

Determinare il perimetro e l’area della superficie del quadrilatero ABCD di figura dopo aver misurato i lati in cm mediante un regolo avente la sensibilità del mm


Esempio 7 - La base e l'altezza di un rettangolo misurano rispettivamente: b = (2,150±0,003)m ed h = (4,25±0,02)m. Determinare sia il perimetro che l'area della superficie. Si ha:!! ! 2 p = 2(b + h) = 2[(2,150 + 4,25) ± 0,023] = (12,80 ± 0,05) m! ! !! ! A = b·h = (2,150±0,003)·(4,25±0,02) = (9,14±...) m2 !Si osservi che !! ! ΔA/A = (Δ b)/b + (Δ h)/h = (0,003/2,150) + (0,02/4,25) = !! ! ! = 0,0014 + 0,085 = 8,6 %!Segue, pertanto che l'errore assoluto della superficie ΔA = 0,81. Di conseguenza si può concludere che !! ! A = (9,14±0,81) m2.


Popolazione e campioni di datiDue concetti fondamentali della statistica sono quelli di campione e di popolazione.!Dicesi popolazione, ad esempio, l’insieme di tutte le misure che si possono fare in merito ad una grandezza: esse sono sicuramente infinite.!Quando eseguiamo un certo numero di misure, ovviamente finito, in tal caso realizziamo un campione. Ovvero estraiamo un campione dalla popolazione delle misure.!Scopo della statistica è quello di raccogliere informazioni sulla popolazione attraverso lo studio dei campioni.!Nello spirito di questa premessa introdurremo i seguenti concetti di media, varianza e scarto quadratico medio.

26


elaborazione dei dati di un campione empirico di 80 misure

eseguite rigorosamente nelle stesse condizioni

27


1,99 1,88 1,99 1,93 1,94 1,99 2,01 1,99 2,00 1,96

1,91 2,00 2,01 2,00 1,99 2,04 2,02 2,00 2,02 1,99

1,94 1,95 2,00 2,00 1,96 1,97 2,00 1,98 1,98 2,00

1,99 1,99 1,99 1,99 1,98 2,03 2,03 1,99 1,95 1,90

1,99 2,04 2,02 1,97 2,00 1,98 1,98 2,02 2,02 2,01

2,00 2,01 2,01 2,00 1,98 2,02 2,01 2,01 2,04 1,93

1,90 2,06 1,96 1,95 1,99 2,00 2,00 1,98 1,95 1,99

2,02 2,01 1,97 1,94 1,93 1,97 1,94 2,02 2,06 2,01

28


x n f

1,85 0 0,00

1,86 0 0,00

1,87 0 0,00

1,88 1 1,25

1,89 0 0,00

1,90 2 2,50

1,91 1 1,25

1,92 0 0,00

1,93 3 3,75

1,94 4 5,00

1,95 4 5,00

1,96 3 3,75

x n f

1,97 4 5,00

1,98 7 8,75

1,99 14 17,50

2,00 13 16,30

2,01 9 11,30

2,02 8 10,00

2,03 2 2,50

2,04 3 3,75

2,05 0 0,00

2,06 2 2,50

2,07 0 0,00

2,08 0 0,00

80 100%

29


Grafico 3

0,00

3,50

7,00

10,50

14,00

1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08


Media e Varianzadi un campionedella popolazione

x = E(x) = 1N⋅ x j ⋅j=1

M

∑ nj = x j ⋅j=1

M

∑ f j = µµ = E(x) = xi ⋅

i=1

n

∑ pi

µ = E(x) = xdP =∫ xdPdx

dx =∫ x ⋅ g(x)dx∫VAR = s2 =

1N⋅ (xi − x )

2

i=1

N

∑ = (x j − x )2 ⋅ f j

J =1

M

∑σ 2 = (x j − µ)

2 ⋅ pjJ =1

M

∑

σ 2 = (x − µ)2 dP∫ = (x − µ)2 dPdx∫ dx = (x − µ)2g(x)∫ dx

E(x) = µ

σ 2 = E(sN −12 ) = N

N −1⋅ s2 =

1N −1

⋅ (xi − x )2

i=1

N

∑31

estimatori&corretti


i xi ni fi xi*fi Ass(di)*fi di^2*fi Gauss xi Gauss/N fi

1 1,85 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,01 1,85 0,00 0,00

2 1,86 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,02 1,86 0,00 0,00

3 1,87 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,05 1,87 0,00 0,00

4 1,88 1 0,01 0,02 0,0013 0,01148 0,11 1,88 0,00 0,01

5 1,89 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,26 1,89 0,00 0,00

6 1,9 2 0,03 0,05 0,0022 0,01518 0,54 1,90 0,01 0,03

7 1,91 1 0,01 0,02 0,0010 0,00595 1,05 1,91 0,01 0,01

8 1,92 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 1,86 1,92 0,02 0,00

9 1,93 3 0,04 0,07 0,0021 0,00979 3,06 1,93 0,03 0,04

10 1,94 4 0,05 0,10 0,0024 0,00888 4,64 1,94 0,05 0,05

11 1,95 4 0,05 0,10 0,0019 0,00551 6,50 1,95 0,07 0,05

12 1,96 3 0,04 0,07 0,0010 0,00221 8,41 1,96 0,08 0,04

13 1,97 4 0,05 0,10 0,0009 0,00117 10,03 1,97 0,10 0,05

14 1,98 7 0,09 0,17 0,0006 0,00036 11,05 1,98 0,11 0,09

15 1,99 14 0,18 0,35 0,0005 0,00012 11,24 1,99 0,11 0,18

16 2 13 0,16 0,33 0,0021 0,00215 10,56 2,00 0,11 0,16

17 2,01 9 0,11 0,23 0,0026 0,00471 9,15 2,01 0,09 0,11

18 2,02 8 0,10 0,20 0,0033 0,00865 7,32 2,02 0,07 0,10

19 2,03 2 0,03 0,05 0,0011 0,00368 5,41 2,03 0,05 0,03

20 2,04 3 0,04 0,08 0,0020 0,00839 3,69 2,04 0,04 0,04

21 2,05 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 2,32 2,05 0,02 0,00

22 2,06 2 0,03 0,05 0,0018 0,01062 1,35 2,06 0,01 0,03

23 2,07 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,72 2,07 0,01 0,00

24 2,08 0 0,00 0,00 0,0000 0,00000 0,36 2,08 0,00 0,00

80 1,00 1,99 0,0267 0,09884 99,72 1,00 1,00

x medio = 1,99 semidifferenza 0,09

ms = 0,03

sqm = 0,0353712230170448

sqmm = 0,00395462295567087


parametri valori misura corrispondente

<m> = µ = 1,99

sensibilità dello strumento 0,01 m = (1,99±0,01) u.m.

semidifferenza 0,09 m = (1,99±0,09) u.m.

media degli scarti 0,03 m = (1,99±0,03) u.m.

scarto quadratico medio 0,04 m = (1,99±0,04) u.m.

scarto quadratico medio della media 0,004 m = (1,99±0,01) u.m.

33


Frequenza cumulata

34


andamento frequenza cumulativa

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,851,861,871,881,891,901,911,921,931,941,951,961,971,981,992,002,012,022,032,042,052,062,072,08

Un altro concetto importante è quello della frequenza cumulata assoluta Nj che indica il numero di volte che il risultato della misura è stato minore o uguale a xj

N j = nkk=1

j

∑ Fj =N j

N=

nkNk=1

j

∑ = fkk=1

j

∑

35


Distribuzione normale o di Gauss

36


Distribuzione normale o di GaussLa funzione densità di probabilità gaussiana è definita come:

dPdx

= g(x) = C ⋅ e−x−a( )2

2b2

essa dipende da tre parametri, ma solo due sono realmente indipendenti. Infatti la costante C è una costante di normalizzazione e va calcolata in modo da soddisfare la richiesta di normalizzazione a 1 della distribuzione di probabilità.

37


In praticadPdx

dx =∫ C ⋅ e−x−a( )2

2b2∫ dx = C ⋅ e−x−a( )2

2b2∫ dx = 1

operando il cambiamento di variabile:

u =x − a2b

⇒ du =12bdx

C ⋅ e−x−a( )2

2b2∫ dx = C ⋅ 2b e−u2

∫ du = C ⋅ 2b ⋅ π = 1

C =12πb

da cui si evince che il significato del parametro C dipende da b e non da a

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

38


Il significato del parametro a si ottiene considerando l’espressione della media

µ = x ⋅dPdx

dx =∫ x ⋅12πb

⋅ e−x−a( )2

2b2∫ dx

operando il cambiamento di variabile:

u =x − a2b

⇒ du =12bdx

µ = 12πb

⋅ ( 2bu + a)e−u2

∫ ⋅ 2bdu =

=2b2πb

⋅ 2b ue−u2

∫ du + a e−u2

∫ du⎡⎣

⎤⎦ =

=1π⋅a π = a

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

39


Il significato del parametro b si ottiene considerando l’espressione della varianza:

σ 2 = (x − µ)2 ⋅ dPdx

dx =∫ (x − µ)2 ⋅ 12πb

⋅ e−x−a( )2

2b2∫ dx

operando sempre lo stesso cambiamento di variabile questa volta si ottiene:

u =x − µ2b

⇒ du =12bdx ⇒ (x − µ) = 2bu

σ 2 =2b2u2

2πb⋅ e−u

2

⋅ 2bdu =∫

=2πb2 u2 ⋅ e−u

2

du =∫2πb2 ⋅ π

2= b2

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

40


segue: b2 = σ 2

g(x) = 1σ 2π

⋅ e−x−µ( )2

2σ 2ed in definitiva

-2 2 4 6

0.1

0.2

0.3

0.4

41


g(x) = 1sN −1 ⋅ 2π

⋅ e−x−µ( )2

2sN−12

Poiché µ e σ sono due parametri della popolazione (infinita), questi non sono noti a priori. E’ però possibile stimarli attraverso un campione di misure in quanto risulta che

per questa ragione segue che:

µ→ x

σ 2 → sN −12

42


Interpretazione probabilistica dell’integrale di g(x)

Dalla definizione di g(x) segue che

rappresenta la probabilità che effettuando una misura, si ottenga un valore di x contenuto in tale intervallo.

x x+$x1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15

2

4

6

8

10

g(x)dxx

x+∆ x

∫

43


In particolare:

g(x)dxµ−σ

µ+σ

∫

g(x)dxµ−2σ

µ+2σ

∫

g(x)dxµ−3σ

µ+3σ

∫

rappresenta il 68% di probabilità

rappresenta il 95% di probabilità

rappresenta il 99,7% di probabilità

44


1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Funzione di ripartizione

45

Si osservi lo stretto legame che c’è fra &la funzione di ripartizione e la Frequenza cumulata


frequ

enze

0,00

0,05

0,09

0,14

0,18

misure1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,9 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08

47

• l’istogramma va normalizzato nel caso in cui si vuol fare un confronto con la curva Normale della distribuzione di probabilità di Gauss.&

• L’ampiezza dell’intervallo deve risultare pari alla risoluzione dello strumento. In ogni caso il numero degli intervalli non deve superare la radice del numero totale di misure eseguite N.

Suggerimenti per la costruzione di un istogramma


Confronto fra i dati empirici e le rispettive funzioni densità di

probabilità di quattro campioni di dati al variare del

loro numero

48


1.94 1.96 1.98 2.00 2.02 2.04 2.06

10

20

30

40

50

1.90 1.95 2.00 2.05 2.10

2

4

6

8

10

12

1.90 1.95 2.00 2.05 2.10

2

4

6

8

10

1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10

2

4

6

8

10

campione di 30 misure campione di 300 misure

campione di 3.000 misure campione di 10.000 misure49


1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10

2

4

6

8

10

in questa situazione è legittimo riconoscere che dati empirici e curva teorica concordano

pienamente50


Regressioni

51


Regressione lineareApplicando il criterio dei minimi quadrati all’equazione

si ottiene il seguente sistema di equazioni normali, la cui soluzione porta ad individuare i coefficienti a e b. Si ha

y = a + b ⋅ x

retta di regressione di y rispetto a x

a =yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

i=1

n

∑

b =n xiyii=1

n

∑ − xii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

i=1

n

∑

yii=1

n

∑ = an + b xii=1

n

∑

xiyii=1

n

∑ = a xii=1

n

∑ + b xi2

i=1

n

∑

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

52


regressione lineareÉ utile poter stabilire quanto bene una curva interpolante si adatti ad una serie di punti sperimentali. Ciò suggerisce di valutare una incertezza standard della stima di y in x. Tale stima è così definita:

dove&• yi = ordinate punti sperimentali&• Yi = ordinate dei corrispondenti punti sulla curva teorica&• n = numero totale di dati sperimentali&• c = numero di parametri calcolati

Sy= f (x ) =(yi −Yi )

2

i=1

n

∑n − c

53


Indice di correlazioneUn secondo modo di valutare la bontà dell’adattamento di una curva ad una serie di punti sperimentali consiste nel calcolare un numero puro R, che può assumere valori compresi tra -1 ed 1. Esso è detto coefficiente di correlazione. &R è calcolato come rapporto tra la covarianza, ovvero la dipendenza fra le due variabili ed il prodotto delle loro deviazioni standard

54

R = ρxy =σ xy

σ xσ y

=xi − µx( ) yi − µy( )

i=1

n

∑

xi − µx( )2i=1

n

∑ yi − µy( )2i=1

n

∑

isING uniud - Lab Fisica

Indice di correlazione di Bravais-Pearson

55

−1≤ R ≤1Se:&R > 0, le variabili x e y si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;R = 0, le variabili x e y si dicono incorrelate; R < 0, le variabili x e y si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Per la correlazione diretta si distingue inoltre:&0 < R < 0.3 : correlazione debole; 0.3 < R < 0.7 : correlazione moderata;R > 0.7 : correlazione forte.


Indice di correlazione di Bravais-Pearson

56

Esempi di insiemi di punti (x, y) con relativo coefficiente di correlazioneCortesia Wikipedia - Correlazione statistica


Indice di determinazione R2

57

In statistica, il coefficiente di determinazione, (più comunemente R2), è una proporzione tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato.&Esso varia tra 0 ed 1: &• quando vale 0 il modello utilizzato non spiega per nulla i

dati; &• quando vale 1 il modello spiega perfettamente i dati.


regressione parabolica

y = a + b ⋅ x + c ⋅ x2

parabola di regressione di y rispetto a x

Applicando il criterio dei minimi quadrati all’equazione

si ottiene il seguente sistema di equazioni normali, la cui soluzione porta ad individuare i coefficienti a, b e c. Si ha

yii=1

n

∑ = an + b xi + c xi2

i=1

n

∑i=1

n

∑

xiyii=1

n

∑ = a xii=1

n

∑ + b xi2 + c xi

3

i=1

n

∑i=1

n

∑

xi2yi

i=1

n

∑ = a xi2

i=1

n

∑ + b xi3 + c xi

4

i=1

n

∑i=1

n

∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

58


regressione parabolica

a =xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi2yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

3

i=1

n

∑ xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi2yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

3

+ n xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

+ xii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟2 xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A titolo di curiosità esprimiamo qui le soluzioni simboliche del precedente sistema. Ovvio che non conviene ricordare le seguenti formule: sarà sufficiente di volta in volta risolvere direttamente il sistema delle equazioni normali.

b =xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− n xi

4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi2yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑ xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi2yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

3

+ n xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

+ xii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟2 xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

c =xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi2yi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑ xii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xiyii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

2yii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

xi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

3

+ n xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

+ xii=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

xi4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟− xi

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟2 xi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xi3

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ n xi

4

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

parabola di regressione di y rispetto a x59


regressione esponenziale

y = a ⋅ ebxUna funzione molto importante in fisica è la funzione esponenziale

ln y = lna + bxe quindi si può applicare il metodo dei minimi quadrati a questa relazione lineare

Passando ai logaritmi si ottiene:

60


Bibliografia

61

1. Caporaloni, Ambrosini - La misura e la valutazione della sua incertezza nella fisica sperimentale - Zanichelli&

2. John R. Taylor - Introduzione all’analisi degli errori - Zanichelli

AVVISO! - TIM e Telecom in un unico portale | TIM 1... · commentandone la simmetria e...

Documents

Transcript of AVVISO! - TIM e Telecom in un unico portale | TIM 1... · commentandone la simmetria e...