Note sui regolatori PID

Note sui regolatori PID A.A.2010-11 P. Di Giamberardino

Note sui regolatori PID

per il corso di Controlli Automatici

A.A. 2010-11

Bozza del 6/6/11

a cura di P. Di Giamberardino

Generalità

Nell’ambito dei problemi di controllo il caso più rappresentativo è quello in cui si vuole che l’uscita assuma, a regime permanente, un valore costante pari a quello posto come riferimento.

Prima di procedere con una descrizione più formale di sistemi di regolazione che garantiscono una perfetta fedeltà di risposta, è opportuno richiamare brevemente una semplice metodologia di controllo che può trovare applicazione in alcuni casi.

A tal fine si consideri il problema di mantenere una temperatura fissata in un fluido all’interno di un contenitore. Si disponga di un riscaldatore che, azionato, permette di elevare la temperatura del fluido. Si supponga che, in assenza di riscaldamento, il fluido si raffreddi o comunque al passare del tempo o per immissione di fluido a temperatura inferiore a . Una soluzione può essere costituita da un interruttore che accende il riscaldatore quando la temperatura scende sotto il valore e lo spegne quando supera . Si parla in questo caso di controllo ON/OFF, indicando con ciò che si fa riferimento ad una forma di controllo in cui l’azione è presente o assente, ovvero che l’azione di controllo ha due possibili valori: 0 e massimo.

Tale forma di controllo presenta numerosi svantaggi: in sistemi veloci rischia di produrre commutazioni ON/OFF a frequenze elevate quando il valore della grandezza controllata è prossima al valore desiderato; in sistemi lenti, a causa dei possibili ritardi, si possono produrre ampie oscillazioni della grandezza controllata.

Una soluzione consiste nel definire, anziché un valore desiderato, un intervallo accettabile desiderato che costituisce una zona neutra, o zona morta, e l’azione ON e OFF vengono definite separatamente rispetto ai due valori estremi: ON quando si scende sotto il limite inferiore, OFF quando si supera il valore superiore. Si riducono così le commutazioni rapide e si riducono le oscillazioni.

Questo approccio trova applicazione in casi dove le inerzie (costanti di tempo) sono molto grandi e dove non è richiesta una elevata precisione nel controllo.

In caso contrario, occorre fare riferimento a soluzioni più efficienti, legate all’azione del controllore in modo continuo e modulato in funzione dell’errore istantaneo.

Una prima soluzione consiste nel definire una azione di controllo proporzionale all’errore , con coefficiente di proporzionalità : .

Nel caso di controllo proporzionale, è diffusa una certa terminologia utile per definire il sua comportamento reale. Infatti, qualunque attuatore avrà un massimo valore a cui può operare e tale valore deve corrispondere, attraverso il coefficiente di proporzionalità, al massimo errore compensabile. Si possono definire le seguenti quantità:

1. L’intervallo (range) in cui il sistema può operare, individuato dai valori minimo (non necessariamente zero) e massimo; un esempio può essere una temperatura tra -20°C e +100°C.

2. L’ampiezza (span) dell’intervallo di operabilità; nel caso precedente esso risulta pari a 120°C.

3. La deviazione (errore) assoluta espressa come differenza tra il valore misurato e il riferimento (set point).

4. La deviazione (errore) percentuale, espressa come il rapporto tra l’errore assoluto e l’ampiezza dell’intervallo di operabilità (span).

5. La banda proporzionale (BP), una alternativa al coefficiente di proporzionalità. Essa è data dalla deviazione (errore) percentuale che produce una variazione del nell’uscita del controllore. In formula

Per evidenziare la relazione tra la BP e il coefficiente , occorre sostituire nella precedente espressione

e

ottenendo

Per descrivere in modo più efficace quanto descritto in termini qualitativi e per introdurre azioni di controllo più performanti, occorre procedere in modo più formale. Questo viene effettuato nel seguito.

Sulla base delle considerazioni illustrate nei capitoli precedenti riguardo le prestazioni di un sistema di controllo dal punto di vista della stabilità, del comportamento ingresso-uscita desiderato, della possibilità di ridurre o annullare l’effetto di disturbi o di variazioni di parametri del processo, di un transitorio con caratteristiche di massima predefinite, si possono evincere alcune caratteristiche del sistema di controllo e del controllore. Infatti, specifiche progettuali per gli andamenti a regime permanente per segnali polinomiali si riflettono nella presenza di poli in zero del sistema ad anello aperto; stabilità e caratteristiche del transitorio sono legate a parametri quali la pulsazione di attraversamento e il margine di fase (e quindi la fase) sempre del sistema ad anello aperto. Quindi, se si guarda agli effetti prodotti nello schema di controllo, si possono individuare tre azioni elementari, ciascuna delle quali direttamente connessa ad una più caratteristiche del sistema. Tali azioni sono quelle prodotte da un semplice guadagno , da un termine integratore ed un termine derivatore che nominalmente assume la forma ma, a per la sua non causalità, sarebbe più opportuno rappresentare con con arbitrariamente piccolo.

Un controllore basato su questi elementi assume la forma generica

ovvero

Inserite in uno schema a controreazione, tali elementi corrispondono a far sì che il controllore sia costituito da un termine proporzionale all’errore, uno proporzionale all’integrale dell’errore ed uno proporzionale alla derivata dell’errore. Se con si indica l’uscita del controllore, la relazione con l’errore risulta

Per una più formale e completa comprensione del significato e del contributo dei singoli termini, nel seguito si analizzeranno dapprima gli effetti per ciascuno di essi separatamente.

Analisi degli singole azioniIl termine proporzionale (P)

In questo caso il controllore fornisce in uscita un valore proporzionale all’errore: . Questa, in termini di funzione di trasferimento, si esprime con . In uno schema a blocchi si rappresenta come

Per capire gli effetti di un tale termine al variare di , iniziamo con il visualizzare il suo diagramma di Bode.

da cui si vede che in frequenza il suo contributo nella si esplica aumentando (diminuendo in caso di guadagno positivo minore di uno) uniformemente il modulo e lasciando invariata la fase (sfasando uniformemente di in caso di segno negativo).

Con riferimento ai parametri caratteristici introdotti con le specifiche e sulla base degli andamenti più frequenti per , si può evincere che aumenti di in modulo producono aumenti della pulsazione di attraversamento e, di conseguenza, diminuzioni di margine di fase . Per il sistema ad anello chiuso questo corrisponde ad un aumento della banda passante (legata alla ) e del modulo alla risonanza (legato a ). Tali aumenti si traducono in termini di risposta indiciale, in una diminuzione del tempo di salita ed in un aumento della sovraelongazione .

Questi risultati possono essere confrontati con le figure che seguono, in cui si rappresentano i diagrammi di Bode di , con una di esempio, la cui espressione non è importante per lo scopo, al variare di in un insieme di valori positivi.

Sono evidenti i due effetti descritti: aumento di e conseguente diminuzione di . Si osserva che tale diminuzione può arrivare a far assumere valori negativi per il margine di fase. Questo comporta la perdita di stabilità per il sistema ad anello chiuso.

Come le variazioni di si riflettono sulla risposta armonica di è mostrato in figura.

Il grafico di interesse è quello del modulo, dove si vede ciò che si era previsto: un aumento sia della banda passante che del modulo alla risonanza. Per quest’ultimo, il grafico relativo a sembra avere un comportamento diverso: si osserva una diminuzione rispetto al caso di ciò è dovuto al fatto che il sistema è instabile, il margine di fase è negativo, e le osservazioni fatte sulla relazione tra e devono essere riviste sulla base della carta di Nichols.

Il comportamento della risposta indiciale è riportato in figura per e , ossia i due casi in cui il sistema è stabile. Anche qui gli andamenti previsti sono confermati: diminuzione del tempo si salita e aumento della sovraelongazione. Si osserva,inoltre, che il valore verso il quale le due risposte tendono, ossia il guadagno di , sono diversi. Anche questo è un valore prevedibile, essendo

per cui al crescere di il valore, sempre minore di , aumenta. In ogni caso esso sarà minore di uno; questo significa che il solo termine proporzionale non può garantire l’uguaglianza, a regime permanente, tra riferimento ed uscita: sarà sempre presente un errore finito che può solo essere ridotto aumentando il valore di ; questo aumento, però, può compromettere le caratteristiche di stabilità, come mostrato nella figura seguente.

Nel caso di e il sistema risulta instabile () e tale comportamento è evidenziato nelle risposte indiciali corrispondenti, riportate in figura

In conclusione, l’uso di un termine proporzionale all’errore nel controllore consente di aumentare il tempo di salita ma, allo stesso tempo, aumenta la sovraelongazione e può rendere il sistema instabile. Di contro, per mantenere piccola la sovra elongazione e garantire la stabilità, non è possibile ridurre liberamente il tempo si salita.

Il termine derivativo (D)

In questo caso il controllore fornisce in uscita un valore proporzionale alla derivata dell’errore: . Questa, in termini di funzione di trasferimento, si esprime nominalmente con ma in realtà con con piccolo a piacere. In uno schema a blocchi si rappresenta come

Per capire gli effetti di un tale termine, studiamo principalmente il caso nominale al variare di e mostrando l’ininfluenza sul comportamento qualora si introduca un .

Iniziamo quindi con il graficare il diagramma di Bode di per alcuni valori di

dal quale si vede che per il modulo l’andamento è sempre lo stesso, a meno di un guadagno, mentre per la fase si ha un valore costante e indipendente dal pari a . L’introduzione del polo lontano porta a diagrammi di Bode per i quali è prevedibile l’andamento: il polo, dal punto di rottura fa cessare l’andamento crescente del modulo mentre la fase inizia a discostarsi in modo apprezzabile fin da una decade prima. Nei grafici riportati si è assunto : il punto di rottura è quindi collocato in e è il valore una decade prima, come evidenziato nel grafico.

È evidente che l’utilità principale di un termine derivativo, dal punto di vista dell’effetto in frequenza, consiste nell’alzare la fase e quindi aumentare il margine di fase. L’aumento del modulo, e quindi il prevedibile aumento della pulsazione naturale può essere controllata scegliendo opportunamente il valore del guadagno .

Nelle figure che seguono è mostrato l’effetto di un controllore di questa forma confrontando gli andamenti dei diagrammi di Bode di e per un sistema a controreazione senza e con il termine derivativo. Stesso confronto è riportato per la risposta indiciale.

Risulta evidente l’aumento di fase che il termine derivativo introduce su , anche considerando l’effetto del polo lontano (). L’andamento delle risposte indiciali è fortemente caratterizzato dal guadagno: infatti si nota un comportamento analogo a quello del termine proporzionale sul tempo di salita e sulla sovra elongazione. La caratteristica peculiare del termine derivativo la si osserva sul valore a regime permanente: avendo introdotto uno zero in zero, il guadagno di è diventato zero. Questo comporta che il termine derivativo non può mai essere utilizzato da solo.

Il termine integrale (I)

In questo caso il controllore fornisce in uscita un valore proporzionale all’integrale dell’errore: . Questo, in termini di funzione di trasferimento, si esprime con e, in uno schema a blocchi, si rappresenta come

Per capire gli effetti di un tale termine, anche in questo caso iniziamo con il graficare il diagramma di Bode di per alcuni valori di

Si vede che il suo contributo per il modulo, a meno di un guadagno, è rappresentato da un andamento uniformemente decrescente con un valore che tende all’infinito per la pulsazione che tende a zero. In un certo senso, è come se il sistema avesse un guadagno che tende all’infinito. Questo è l’effetto positivo per il quale il termine trova applicazione. Per la fase, invece, il suo comportamento risulta insoddisfacente, in quanto riduce la fase di a tutte le frequenze e quindi tende a ridurre il margine di fase, potendo anche renderlo negativo e quindi destabilizzare il sistema complessivo.

Sulla base delle considerazioni fatte circa il tipo di sistema, è chiaro che il principale effetto che un termine integrale ha in uno schema di controllo a controreazione è quello di far sì che l’errore a regime permanente per ingressi costanti sia nullo, ossia che l’uscita a regime permanente segua esattamente un riferimento costante. Tutto ciò è visibile nelle figure che seguono, nelle quali sono riportati gli andamenti dei diagrammi di Bode per la funzione ad anello aperto, per quella ad anello chiuso e della sua risposta indiciale in corrispondenza a diversi valori di .

Da quest’ultima figura si vede chiaramente come il sistema ad anello chiuso senza termine integrale tende ad un valore minore di uno, circa , mentre nel caso di termine integrale, indipendentemente dal valore di , il valore di regime è uno ().

Di contro, la fase viene ridotta uniformemente di e questo peggiora la stabilità del sistema, aumentando l’intervallo dei valori del guadagno per i quali ad anello chiuso non si ha stabilità.

Variando il guadagno si ritrovano le caratteristiche evidenziate nell’analisi del termine proporzionale e già riscontrate nel termine derivativo: modifica del tempo di salita, della sovraelongazione e possibile effetto sulla stabilità. Infatti, già per , dal diagramma di Bode di si vede che il margine di fase assume un valore negativo; a conferma di ciò, per tale valore di guadagno si ottiene la risposta al gradino riportata sotto, da cui è evidente una andamento divergente originato da instabilità.

Una spiegazione del fatto che l’errore a regime permanente viene annullato da un termine integrale risiede nel fatto che l’eventuale presenza di un errore non zero, anche piccolo, comporta un aumento nel tempo del termine integrale grazie proprio all’operazione di integrazione: il solo modo per poter avere integrale non divergente è che l’integrando, ossia l’errore, sia nullo.

Oltre a quanto detto, la presenza di un polo in zero nel ramo diretto consente anche di ottenere un sistema astatico rispetto a disturbi additivi sull’uscita nonché insensibilità a variazione dei parametri del processo.

Pertanto, l’uso di un termine integrale risulta molto utile per migliorare le caratteristiche a regime permanente in presenza di segnali polinomiali ma presenta l’inconveniente di diminuire il margine di fase fino, spesso, a far diventare instabile il sistema. Questo effetto indesiderato in qualche caso può essere evitato agendo sul guadagno altrimenti occorre aggiungere termini che possano far recuperare la caratteristica di stabilità.

Analisi delle combinazioni

Per quanto detto nell’analisi precedente, nell’uso dei termini P I e D è possibile utilizzare qualunque combinazione, che equivale a porre uguale a zero uno o due dei tre guadagni , e . In tali combinazioni, poiché in ciascuno dei tre termini è sempre presente un fattore di guadagno, il termine Proporzionale è sempre presente; al più si può pensare al termine integrale da solo con il suo guadagno. Inoltre, come si è messo in evidenza nell’analisi del termine derivativo, esso non può essere considerato come unico termine del regolatore. Quindi, otre all’uso di un singolo termine (P o I), le possibili combinazioni sono PD, PI, PID. Per ciascuna di esse si illustreranno le principali caratteristiche.

Caso PD

In questo caso l’equazione che governa l’azione del controllore è data da

che, in termini di funzione di trasferimento, diviene

implementata con l’aggiunta del polo lontano ( e comunque fuori dalla banda di utilizzo del sistema) nella forma propria

Lo schema a blocchi corrispondente per il sistema complessivo risulta essere

Il suo diagramma di Bode (caso ideale e caso reale) è riportato in figura

Si noti la sostanziale identità di andamento per pulsazioni sufficientemente piccole, rispetto al punto di rottura del polo: . Nel grafico tracciato si è scelto . Nella zona evidenziata sul grafico, valida sia per il caso nominale che per quello reale, si osserva che un regolatore PD consente di aumentare la fase, ovvero di aumentare il margine di fase, senza incidere sensibilmente sul modulo. Tale proprietà è indispensabile perché il margine di fase è legato alla pulsazione di taglio e modifiche nel modulo comportano modifiche del margine di fase anche senza che la fase cambi.

Per valori diversi di l’effetto è ancora lo stesso ma varia la similitudine del caso reale con quello nominale. Nella figura che segue è mostrato l’andamento del termine PD al variare di .

Si osserva che per il modulo, l’andamento tende sempre più ad essere coincidente con il caso nominale al diminuire di ; per la fase, invece, inevitabilmente a pulsazioni lontane da il contributo tende ad essere nullo. Solo in una banda di pulsazioni (frequenze) si esplica l’incremento di fase; l’ampiezza di tale banda dipende dalla posizione relativa di e , mentre l’entità di tale contributo alla fase, ricordando lo studio dei diagrammi di Bode per i termini binomi, non può in alcun modo superare i .

Al variare del termine non varia la forma del grafico ma esso trasla orizzontalmente: a destra se diminuisce, a sinistra se aumenta. Questo è ben evidenziato nella figura seguente.

La ragione è evidente: il primo punto di rottura del diagramma di Bode è dato dallo zero, quindi è : variando varia il punto a partire dal quale le curve iniziano a discostarsi dallo zero: circa per i moduli, circa per le fasi.

Per il guadagno della , il termine consente di modificarne l’ampiezza in modo arbitrario ma per questa operazione occorre sempre prestare molta attenzione per evitare che tali modifiche di modulo portino la pulsazione di attraversamento a valori per cui la fase di in tali valori sia minore di , cioè con negativo, ossia all’instabilità. Riportando le varie curve per variabile

si vede chiaramente, come è ovvio, che la fase non dipende dal guadagno e l’unico effetto è una traslazione verso l’alto del grafico del modulo. Quando il PD viene utilizzato, tale comportamento genera una traslazione verso l’alto del modulo dell’intera e quindi uno spostamento a destra della pulsazione di attraversamento; poiché solitamente all’aumentare della pulsazione diminuisce la fase, uno spostamento a sinistra della peggiora le caratteristiche di stabilità fino a comprometterla.

A titolo esemplificativo, si consideri un processo della forma più usuale, il cui diagramma di Bode è qui riportato

Per valutare quello che sarà l’effetto di un regolatore PD, si riportano anche la risposta armonica e quella indiciale per il sistema controreazionato senza l’utilizzo del regolatore PD, ossia con controllore unitario.

Dai grafici riportati si evidenzia un piccolo margine di fase che si riflette in elevati valori di sovraelongazione, con in conseguente andamento del transitorio, visibile nella risposta indiciale, con ampie oscillazioni che lentamente si smorzano verso le condizione di regime permanente.

In questo caso, se l’esigenza è limitata a ridurre l’ampiezza di tali oscillazioni, ovvero diminuire la sovraelongazione, un regolatore PD, in virtù della sua capacità di aumentare la fase, può essere validamente utilizzato. Dal diagramma di Bode del processo si deducono i valori e . Scegliendo un regolatore PD che vari il meno possibile il modulo, specie nell’intorno di , e aumenti sensibilmente la fase nell’intorno di . È evidente che la scelta dei tre parametri , e, infine, , non è univoca. È anche vero che questo dipende dal numero e dal tipo di specifiche. In questo caso , e (ad es. ) producono il regolatore

la cui risposta armonica ha il diagramma di Bode seguente

in cui sono evidenziatil0aumento della fase e l’aumento del modulo in corrispondenza della pulsazione di taglio del processo: la fase aumenta di circa , ma anche il modulo aumenta, anche se di poco: circa 3dB.

Se riportiamo nello stesso grafico il diagramma di Bode del processo dato (), quello del regolatore () e quello del processo compensato (la del ramo diretto), è possibile visualizzare l’effetto del controllore sul modulo e sulla fase

In effetti la fase si è alzata; purtroppo l’aumento del modulo ha spostato a destra la pulsazione di taglio e ciò ha comportato una perdita, in fase, rispetto a quanto atteso. Al netto, comunque, si evidenzia un aumento del margine di fase e un aumento della pulsazione di taglio: ci si aspetta, quindi, di aver ottenuto un sistema più smorzato nelle oscillazioni (minore ) ma nello stesso tempo un po’ più veloce nella risposta (minore ).

Il confronto tra le risposte indiciali del sistema a complessivo senza e con il regolatore PD conferma quanto previsto e permette di evidenziare le potenzialità di questo tipo di controllore.

Si osservi anche che il guadagno del sistema complessivo risulta pari a e tale valore non è stato modificato dal blocco di regolazione, il cui guadagno pari ad uno non ha cambiato i valori per . Dal diagramma di Bode del sistema ad anello aperto in presenza di compensatore, si riscontra la difficoltà ad aumentare in guadagno ad anello aperto senza peggiorare tutte le caratteristiche, compresa la stabilità.

Si osservi che, in questo caso, i parametri sono stati scelti sulla base della risposta armonica del sistema di partenza e avendo fissato degli obiettivi (specifiche di progetto).

Caso PI

In questo caso il sistema di controllo definisce l’azione sul processo in funzione dell’errore secondo la seguente equazione

che fornisce la seguente funzione di trasferimento

Se si esamina il diagramma di Bode

si ritrova l’andamento del termine integrale alle basse frequenze, mentre all’aumentare della frequenza lo zero in compensa il polo in zero, portando l’andamento a divenire sempre più ininfluente sul processo, per quanto riguarda la fase, man mano che aumenta, mentre per il modulo il contributo alle alte frequenze dipende sia dal guadagno del regolatore () che dallo zero. Gli andamenti al variare di per costante, sono nella figura che segue e, come previsto, nulla cambia per la fase mentre il modulo aumenta uniformemente.

Se invece si osserva, nella figura che segue, l’andamento della risposta armonica al variare di con guadagno costante, si osserva nei moduli una identità di comportamento alle basse frequenze mentre risulta ritardato il momento in cui lo zero inizia a compensare il polo in zero: questo si traduce in una variazione del modulo ad alta frequenza che tende a un valore costante tanto minore quanto più piccola è la costante di tempo. Per la fase, gli andamento asintotici ( e ) sono indipendenti dal valore di ; risulta diversamente collocato in frequenza il tratto di curva che costituisce la transizione tra fase e .

Per esemplificare l’effetto di un regolatore PI in un sistema di controllo, si prenda in esame un processo di forma solita il cui diagramma di Bode è riportato per comodità in figura

e che, controreazionato con un controllore unitario produce un sistema ad anello chiuso la cui risposta armonica e la risposta indiciale sono qui riportate

La caratteristica peculiare del regolatore PI è quella di rendere il sistema di tipo uno. Per il fatto che esso tende a ridurre la fase e quindi, potenzialmente, a peggiorare diverse caratteristiche e a ridurre i margini di stabilità, il suo utilizzo non ha in genere specifiche particolari aggiuntive.

Per rendersi conto degli effetti collaterali indesiderati che un PI può introdurre, si consideri come prima scelta il regolatore caratterizzato dai parametri e

e il risultato della sua applicazione graficando il diagramma di Bode della funzione ad anello aperto compensata

L’andamento per conferma il tipo di sistema. Di contro, il margine di fase, divenuto negativo a causa del termine PI, indica che il sistema a controreazione è instabile, come la risposta al gradino in figura mostra

La soluzione consiste nell’agire sul guadagno , diminuendolo fino a quando la pulsazione di attraversamento corrisponderà ad un valore in corrispondenza del quale la fase è maggiore di . È chiaro che in questi termini non si potranno fissare tempo di salita e sovraelongazione; minore sarà il guadagno, minore sarà la pulsazione di taglio e maggiore il margine di fase: si avrà via via un sistema complessivo più lento e più smorzato.

Infatti, provando a scegliere guadagni pari a , e si ottengono i diagrammi di Bode seguenti

E le risposte indiciali sotto riportate

Si trova quanto previsto: al diminuire del guadagno il sistema torna stabile, il tempo si salita cresce (nel caso il tempo di salita è tra i 40 e i 50 secondi) e la sovraelongazione cala (nel caso è talmente diminuita che essa è divenuta pari a zero.

Caso PID

È il caso completo. La relazione nel tempo tra errore e uscita di controllo è data da

che, in termini di funzione di trasferimento, diviene, nella sua forma nominale,

Essendo presente il termine derivativo il sistema in questa forma non risulta fisicamente realizzabile e quindi, come già visto in precedenza, nella implementazione occorre aggiungere il polo lontano. Data l’arbitrarietà dell’operazione, questo può essere fatto anche dopo l’aggregazione dei termini, ottenendo così

Le differenze di comportamento tra il caso nominale () e quello reale sono equivalenti a quelle già studiate per il caso dei regolatori PD: stesso comportamento a bassa frequenza e comportamento che si discosta ad alta frequenza, a partire da pulsazioni dell’ordine di .

Quindi, in uno schema a controreazione, tali elementi compongono il controllore che risulta costituito da un termine proporzionale all’errore, uno proporzionale all’integrale dell’errore ed uno proporzionale alla derivata dell’errore; tale controllore deve coniugare i pregi di un PI con quelli di un PD compensandone gli effetti indesiderati. Quindi deve introdurre un polo in zero ma nello stesso tempo non solo non peggiorare le caratteristiche di stabilità ma, anche, consentire un aumento del margine di fase.

Lo schema del controllore è quello riportato in figura

FIGURA

Un possibile andamento, fissati i tre parametri, è riportato in figura

in cui si notano le azioni descritte: c’è il polo in zero, ci sono variazioni di modulo e, soprattutto, una zona in cui ho un aumento di fase (fase positiva) da usare ai fini della stabilizzazione e del miglioramento delle caratteristiche del transitorio.

L’effetto di queste singole azioni all’interno dell’intero controllore è evidenziato dalle figure che seguono, nelle quali si mostra come il diagramma di Bode di un regolatore PID vari al variare dei tre parametri , e .

Nell’ordine, si vede che variazioni del termine non modifica la fase mentre contribuisce ad una variazione uniforme del modulo; variazioni di spostano la banda di pulsazioni in cui l’azione integrale (la curva a pendenza dB/decade) agisce, producendo un peggioramento nella fase tanto maggiore quanto più si sposta a sinistra tale azione; variazioni di sostanzialmente producono variazioni in ampiezza sull’anticipo di fase che introduce, agendo quindi su parametri legati alla stabilità e alle attenuazioni delle oscillazioni nei transitori.

Una procedura di sintesi strutturata basata sul modello è un procedimento non immediato. Per evidenziare l’effetto di un regolatore PID in uno schema di controllo, si considera un processo di riferimento il cui diagramma di Bode è qui riportato

Nel caso in cui si desideri ottenere un sistema di tipo uno, è necessario utilizzare un regolatore che contenga il termine integrale. Se si utilizzasse un regolatore PI si otterrebbe, nel ramo diretto, una funzione compensata il cui diagramma di Bode è il seguente

E’ evidente che il termine PI introduce il polo in zero ma peggiora la situazione per quanto riguarda la fase, giungendo ad un condizione di instabilità. Tale situazione può essere recuperata inserendo anche il termine derivativo ed utilizzando un PID. Nella figura che segue si riporta il diagramma di Bode del processo, quello di un compensatore PID e quello della funzione complessiva del sistema nel ramo diretto con la compensazione

Riportando la risposta indiciale per il sistema complessivo si può vedere il comportamento nel transitorio, caratterizzato da ampie oscillazioni (grande ).

Provando ad aumentare il coefficiente , quello responsabile dell’entità dell’aumento di fase, si dovrebbe migliorare il margine di fase e quindi, oltre ad aumentare la robustezza rispetto alla stabilità, si dovrebbe migliorare il transitorio. In figura sono riportati i diagrammi di Bode del processo, del compensatore e del sistema complessivo nel ramo diretto

da dove si può vedere che in effetti è aumentato il margine di fase. Inoltre, è variata anche la pulsazione di attraversamento. Gli effetti noti sono evidenziati nella corrispondente risposta indiciale

Il miglioramento nel comportamento è più visibile se si confrontano i diagrammi di Bode delle due funzioni nel ramo diretto ottenute per i due diversi valori di

o, più direttamente ed evidentemente, confrontando le due risposte indiciali.

(45)Bozza del 6/6/2011

10

-1

10

0

10

1

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Modulo

Termine costante

|K| >1

|K| < 1

10

-1

10

0

10

1

-200

-150

-100

-50

0

Fase

Termine costante

K > 0

K < 0

-30

-20

-10

0

10

20

30

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode al variare di Kp

Pulsazione (rad/sec)

Kp=2

Kp=5

Kp=10

Kp=20

-30

-20

-10

0

10

20

30

Modulo (dB)

10

-1

10

0

-270

-180

-90

0

90

180

Fase (deg)

Diagramma di Bode di W(jw)

Pulsazione (rad/sec)

Kp=2

Kp=5

Kp=10

Kp=20

05101520253035404550

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposta indiciale

Tempo (sec)

y(t)

Kp=5

Kp=2

05101520253035404550

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Risposta indiciale

Tempo (sec)

y(t)

Kp=10

Kp=20

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

89

89.5

90

90.5

91

Fase (deg)

Diagramma di Bode di j

Pulsazione (rad/sec)

Kd=0.5

Kd=1

Kd=5

-20

0

20

40

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

45

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di C(j

) = K

D

i

/(1+j

)

Pulsazione (rad/sec)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di F(j

)

Pulsazione (rad/sec)

Processo

Processo

Sistema compensato (F(jw))

Kd=10,20,40

Sistema compensato

Kd=10

Sistema compensato

Kd=20

Sistema compensato

Kd=40

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di F(j

) con C(j

)=K

D

j

/(1+ j

)

Pulsazione (rad/sec)

Processo

Processo

Sistema compensato

Kd=10,20,40

Sistema compensato

Kd=10

Sistema compensato

Kd=20

Sistema compensato

Kd=40

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

0

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di W(j

)

Pulsazione (rad/sec)

Sistema senza

termine derivativo

Sistem senza

termine derivativo

Sistema con

termine derivativo

Kd=10

Kd=20

Kd=40

Sistema con termine derivativo

Kd=10

Kd=20

Kd=40

05101520253035404550

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposte indiciali

Tempo (sec)

y(t)

Sistema senza

termine derivativo

Sistema con termine derivativo

Kd=10

Sistema con termine derivativo

Kd=20

Sistema con termine derivativo

Kd=40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Fase (deg)

Diagramma di Bode di C(j

)=K

I

/ j

Pulsazione (rad/sec)

Ki = 0.5

Ki = 1

Ki = 5

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagrammi di Bode di F(j

)

Pulsazione (rad/sec)

Sistema con

termine integrale

Ki=0.01

Sistema senza

termine integrale

Sistema con

termine integrale

Ki=0.1

Sistema con

termine integrale

Ki=1

Sistema con

termine integrale

Ki=0.01, 0.1, 1

Sistema senza

termine integrale

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

-360

-270

-180

-90

0

90

180

Fase (deg)

Diagrammi di Bode di W(j

)

Pulsazione (rad/sec)

Sistema senza

termine integrale

Sistema con

termine integrale

Ki=0.01

Sistema con

termine integrale

Ki=0.1

Sistema con

termine integrale

Ki=1

050100150200250300350400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposte indiciali

Tempo (sec)

y(t)

Sistema senza azione intergale

Sistema con azione integrale

Ki=0.01

Sistema con azione integrale

Ki=0.1

050100150200250300350400

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10

11

Risposta indiciale

Tempo (sec)

y(t)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

0

45

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode

Pulsazione (rad/sec)

0

20

40

60

Modulo (dB)

tau = 0

tau>0

tau>0

tau=0

0

10

20

30

40

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

0

30

60

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode del termine PD, con

D

=1 al variare di

Pulsazione (rad/sec)

tau=0.01

tau=0.05

tau=0.1

0

5

10

15

20

25

30

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

0

30

60

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode del termine PD al variare di

D

Pulsazione (rad/sec)

tauD=10

tauD=1

tauD=0.1

0

10

20

30

40

50

Moduol (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

0

30

60

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode del termine PD al variare di K

P

Pulsazione (rad/sec)

Kp=10

Kp=5

Kp=1

Kp=1, 5, 10

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

-270

-225

-180

-135

-90

-45

Fase (deg)

Diagramma di Bode di un processo P(j

)

Pulsazione (rad/sec)

-30

-20

-10

0

10

20

Modulo (dB)

10

-1

10

0

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode del sistema a controreazione W(j

) senza regolaotore PD

Pulsazione (rad/sec)

0

10

20

30

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

30

60

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode del regolatore PD

Pulsazione (rad/sec)

Riferimento

alla pulsazione di taglio

del processo

Aumento del guadagno

alla pulsazione di taglio

del processo

Aumento di fase

alla pulsazione di taglio

del proceso

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Modulo (dB)

10

-1

10

0

10

1

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode della funzione nel ramo diretto prima e dopo la compensazione

Pulsazione (rad/sec)

Pulsazione di taglio

prima del PD

Pulsazione di taglio

con il PD

Margine di fase prima del PD

Margine di fase

con regolatore

Processo dato

Regolatore

PD

Processo + regolatore

05101520253035404550

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposte indiciali senza e con PD

Tempo (sec)

y(t)

Risposta indiciale

del sistema a controreazione

senza PD

Risposta indiciale

del sistema con regolatore PD

Riduzione di sovraelongazione

0

10

20

30

40

50

60

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode di un regolatore PI

Pulsazione (rad/sec)

-20

0

20

40

60

80

100

120

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagrammi di Bode per il termine PI al variare della costante di tempo

I

Pulsazione (rad/sec)

tau=0.1

tau=1

tau=10

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode del processo

Pulsazione (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode del sistema a controreazione con controllore unitario

Pulsazione (rad/sec)

020406080100120140160180

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposta indiciale per il sistema a catena chiusa con controllore unitario

Tempo (sec)

y(t)

-100

-50

0

50

100

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-315

-270

-225

-180

-135

-90

Fase (deg)

Diagramma di Bode del sistema ad anello aperto con PI

Pulsazione (rad/sec)

Margine di fase

negativo

05101520253035404550

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

Risposta al gradino unitario

Tempo (sec)

y(t)

0102030405060708090100

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Risposta indiciale pe Ki=0.1

Tempo (sec)

y(t)

0102030405060708090100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Risposta indiciale per Ki=0.05

Tempo (sec)

y(t)

0102030405060708090100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposta al gradino con Ki=0.01

Tempo (sec)

y(t)

-10

0

10

20

30

40

50

60

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-90

-45

0

45

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di un regolatore PID

Pulsazione (rad/sec)

-20

0

20

40

60

80

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-90

-45

0

45

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di un PID al variare di Kp

Pulsazione (rad/sec)

Kp=0.1

Kp=1

Kp=10

Kp=0.1, 1, 10

-20

0

20

40

60

80

100

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-90

-45

0

45

90

Fase (deg)

Diagramma di bode di un PID al variare di

I

Pulsazione (rad/sec)

I

=0.1

I

=1

I

=10

-10

0

10

20

30

40

50

60

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-90

-45

0

45

90

Fase (deg)

Diagramma di Bode di un PID al variare di

D

Pulsazione (rad/sec)

D

=0.1

D

=1

D

=10

-100

-80

-60

-40

-20

0

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase (deg)

Diagramma di Bode del processo di riferimento

Pulsazione (rad/sec)

-60

-40

-20

0

20

40

60

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-270

-225

-180

-135

-90

Fase (deg)

Diagramma di Bode della funzione compensata con un PI

Pulsazione (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

100

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode del processo P(j

), del controllore C(j

)

e della funzione nel ramo diretto F(j

)=C(j

)P(j

) per

D

=1

Pulsazione (rad/sec)

P(j

)

C(j

)

F(j

)

020406080100120140160180200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Risposta indiciale sistema compensato con PID,

D

=1

Tempo (sec)

y(t)

-150

-100

-50

0

50

100

Modulo (dB)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-180

-90

0

90

Fase (deg)

Diagrammi di Bode del processo P(j

), del controllore C(j

)

e della funzione nel ramo diretto F(j

)=C(j

)P(j

) per

D

=5

Pulsazione (rad/sec)

P(j

)

C(j

)

F(j

)

020406080100120140160180200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Risposta indiciale sistema compensato con PID,

D

=5

Tempo (sec)

y(t)

-150

-100

-50

0

50

Modulo (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

-45

Fase (deg)

Confronto tra diagrammi di Bode

Pulsazione (rad/sec)

D

minore

D

maggiore

020406080100120140160180200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Confronto tra le risposte indiciali

Tempo (sec)

y(t)

D

minore

D

maggiore