Attività proposta sull’ellisse

Partiamo dalle proposte del nostro libro di testo

A pag. 398 troviamo almeno due proposte da cui partire.

Ellisse del giardiniere

Per vedere se è tutto così facile, seguiamo le indicazioni.

Ma ben presto ci accorgiamo che qualcosa non funziona………

Il nostro filo si blocca in corrispondenza dei vertici (appartenenti all’asse dei fuochi).

E’ possibile risolvere il problema:a) sostituendo alle puntine dei cilindri che ruotano…

come in figura;b) oppure sostituire la corda legata con un filo

chiuso… come nel video.

Vediamo una parte della teoria in sintesi

Pag. 400

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Abbiamo osservato che la formula di sdoppiamento può essere utilizzata anche nel caso

che il punto (x0;y0) non appartenga all’ellisse.

Se P non appartiene

Se P appartiene

Foglio geogebra

Un caso nel quale è utile la tangenteIl biliardo ellittico

Un biliardo ellittico: iniziamo con il supporre che le due palle sono poste nei fuochi. Cosa accade colpendo una palla e facendola rimbalzare sulla sponda?(Per chiarire vedi video)

Il biliardo ellittico

Proviamo a verificare questa proprietà con alcuni calcoli e con Geogebra:

1) Considerare una ellisse riferita ad O; ad esempio

2) Scegliere un punto P sull’ellisse: con carta e penna assegniamo un valore alla x e ricaviamo la y dall’equazione

(quante y otteniamo? È una funzione?)Ad esempio ricaviamo il punto di

ascissa x=1 nel primo quadrante

3) Calcolare la tangente con la formula di sdoppiamento

1916

22

yx

1) In Geogebra digitiamo nella riga di inserimento l’equazione

2) In Geogebra “Punto su oggetto” e scegliamo un punto sull’ellisse

3) In Geogebra scegliamo tra i comandi relativi alle rette: “retta tangente”.

Osserviamo che Geogebrafornisce anche un comando “polare”.. Provare a vedere cosa accade

Segue

Il biliardo ellittico

4) Dobbiamo ora individuare i fuochi della nostra ellisse:• Calcoliamo la distanza focale• Individuiamo le coordinate dei fuochi

5) Supponiamo di lanciare la palla da F1 e, dopo un percorso rettilineo, colpisca in P la sponda:• Calcoliamo la retta per F1 e P

6) Per proprietà fisiche: la palla rimbalza formando un angolo con la normale alla retta tangente in P uguale all’angolo formato tra la retta F1P e la normale alla tangente nel punto P

Occorre quindi trovare la normale alla retta tangente per P (come deve essere il coefficiente angolare? C’è qualche relazione tra i coefficienti della tangente e quelli del vettore normale?)

1916

22

yx

4) Digitiamo nella riga di inserimento le coordinate dei due Fuochi

5) Con Geogebra costruiamo la retta per i due punti F1 e P

6) Geogebra ci aiuta molto:

• Disegniamo la retta perpendicolare alla tangente in P

Segue

Il biliardo ellittico1

916

22

yx

Segue

Arriviamo adesso al punto più faticoso (per i calcoli!!):7) Occorre calcolare l’angolo tra la retta e la normale e poi cercare la retta lungo la quale la palla rimbalza:

• potremmo ragionare in termini di vettori • potremmo anche osservare che quella che cerchiamo è la retta trasformata attraverso una simmetria assiale rispetto alla normale• potremmo cercare una formula (ed esiste) che ci calcola l’angolo a partire dai coefficienti della retta•Per semplicità affidiamoci a Geogebra

Il biliardo ellittico1

916

22

yx

7) Chiediamo a Geogebra di rappresentare la retta che si ottiene tramite una simmetria assiale della retta F1P rispetto alla normale

Osserviamo:1) La retta trovata passa per

il secondo fuoco2) Muovendo il punto P

sull’ellisse cosa accade?

Vedi la costruzione realizzata in Geogebra

Alcune conclusioni sul biliardo ellitticoPotremmo adesso domandarci due cose:1) Cosa accade se ho una sola palla che parte da un fuoco?

• Rimbalza e passa per l’altro fuoco e poi?• Continua a rimbalzare…e dopo alcuni rimbalzi che succede?

2) Cosa accade se la palla parte da un punto interno all’ellisse diverso dai fuochi?

• Se la palla non passa tra i fuochi allora le traiettorie (dopo una serie di rimbalzi) disegneranno un’ellisse più piccola ma con gli stessi fuochi

• Se la palla passa tra i due fuochi allora le traiettorie disegneranno una iperbole con gli stessi fuochi

Alcune conclusioni sul biliardo ellittico3) E se il biliardo fosse circolare?In particolare se una palla è posta nel centro e una palla viene fatta rimbalzare sulle pareti, colpirà mai la palla nel centro?

Oltre il biliardo ellittico

Possiamo ora leggere la pagina 375

L’ellisse nel Barocco

Numerose sono le piazze, le piante delle chiese, gli elementi decorativi a forma ellittica specie nel Barocco. Consideriamo ad esempio Piazza San Pietro a Roma.La sua forma richiama l’abbraccio della Chiesa verso i suoi fedeli e al tempo stesso permette di regolarizzare uno spazio che l’evoluzione urbanistica aveva reso estremamente irregolare

Proposta di lavoro:-Ricerchiamo informazioni sulle dimensioni della piazza- Cerchiamo l’equazione dell’ellisse che descrive la parte interna della piazza- Verifichiamo che la parte esterna è omotetica a quella interna (ovvero la stessa eccentricità)

L’ellisse nel Barocco – San PietroPer ricavare le informazioni necessarie è possibile partire da questa immagine

L’ellisse nel BaroccoNumerose altre strutture possono essere prese per ripetere lo stesso esercizio

Sant’Andrea al Quirinale – Roma

Oppure lo spazio urbano proposto da Zanichelli nel nostro libro

L’aiuola ellittica

Cerchiamo ad esempio in internet informazioni sulla dimensione dell’aiuola e del canale. In particolare sugli assi maggiori e minori di ciascuna ellisse.

Pag. 398

Per ricavare le informazioni sugli assi, possiamo:

-Utilizzare Google Map, ricavare l’immagine in scala

1) ricaviamo le equazioni delle ellissi che descrivono l’aiuola

e la sponda del canale.

2) Riportiamo il grafico utilizzando Geogebra

3) Verifichiamo se le ellissi hanno la stessa eccentricità

4) Verifichiamo se esiste una omotetia centrale che

trasforma una ellisse nell’altra e nel caso determiniamo il

fattore di omotetia

Altre proposte di lavoroL’ellisse è usata anche per alcuni tipi di archi.Un esempio lo possiamo trovare nel ponte Santa Trinita a Firenze(Ammannati XVI secolo); le arcate a sezione ellittica consentono grandi luci senza alzare eccessivamente la chiave di volta.

Il profilo ellittico è nell’intradosso

Altre proposte di lavoro

Altre strutture sulle quali possiamo ripetere la nostra analisi (come per San Pietro e Piazza del Prato della Valle):

-Piazza Anfiteatro a Lucca

- L’anfiteatro di Pompei