Una proposta per la matematica del Primo Biennio tra contenuti e attività (scuola sec. di II grado)

Pierangela Accomazzo

Silvia Beltramino

Ercole Castagnola

Luigi Tomasi

Convegno UMI-CIIM, Salerno 17-18-19 ottobre 2013

Fare matematica nella scuola di tutti dedicato a Emma Castelnuovo

Pierangela AccomazzoMarilina AjelloGianpaolo BaruzzoSilvia BeltraminoSebastiano CappuccioMaria Angela ChimettoRossella GarutiRaffaella ManaraPaola RanzaniRiccardo RugantiLuigi TomasiSergio Zoccante

La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari di Matematica – I Biennio

Coordinatore: Ercole Castagnola

Le linee guida indicate dalla CIIM:

Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in vigore sull’obbligo scolastico.

Continuità con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del Primo Ciclo.

Flessibilità delle proposte didattiche per un facile adattamento a ogni corso di studi della Scuola secondaria di II grado.

Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilità e già sperimentati.

Particolare attenzione alle “novità” delle Indicazioni relative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”.

Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento informatico.

Modalità per la realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale.

Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.

Indicazioni sulle prove di verifica.

Due proposte di percorso …

… a seconda degli ordini di scuola e degli orari curricolari per la matematica

Percorso ‘sintetico’

Percorso ‘analitico’

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TEM

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I quadri orari della scuola del riordino: i corsi con Matematica ‘debole’

COSA? Quali argomenti sono irrinunciabili? Che cosa considerare già svolto negli anni precedenti?

COME? Con quale profondità, con quali metodologie?

COME valutare?

Le scelte della Commissione:

Non penalizzare nessun ambito Evidenziare i collegamenti tra i vari ambiti

in orizzontale (Nuclei diversi) in verticale (primo/secondo Ciclo)

Articolare gli argomenti in ‘blocchi’ tematici, con indicazioni metodologiche numero di ore indicativo

Per ogni ‘blocco’ si suggeriscono una o più attività

Un esempio di attività di Aritmetica e algebra presente in rete: Il livello del mare

Si parte dal sito:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/e si apre la seguente pagina

Scendendo lungo la pagina si arriva a

Si clicca su m@t.abel e si apre la pagina

Si clicca su NUMERI e si arriva alla pagina

dove sono contenute le attività m@t.abel attualmentedisponibili per il nucleo NUMERI. Scorrendo lungo lapagina si arriva a

Cliccando su «IL LIVELLO DEL MARE»si arriva a

da cui è possibile sia scaricare la versione testuale («zippata») che utilizzare la versione multimediale

I parte – Aritmetica e algebra

Le Indicazioni/Linee guida (Aritmetica e

algebra)Una proposta di percorso (“sintetico”) per

Aritmetica e algebra – I biennioUn’attività da fare in classe (Il livello del mare,

m@t.abel)Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica

e algebra al termine del I biennio?Considerazioni didattiche

La suddivisione oraria del primo anno

Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione

10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Per

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Aritmetica e algebra

Per

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Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5h (R1): Introduzione al concetto di funzione.

Raggruppamenti comuni10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni).5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

Geometria20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi.

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Percorso “sintetico” – Primo anno

Per

cors

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Percorso “sintetico” – Secondo annoAritmetica e algebra10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali.

Relazioni e funzioni15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2.

Raggruppamenti comuni5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni).5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria).10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria).

Geometria20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione.Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo).

Dati e previsioni15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti).

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RA Nelle Indicazioni nazionali si legge:

“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico”

[…] “lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”

n …+12 …5 … - 4… …+40 Cosa ottieni?

7 7+12 (7+12)5

(7+12)5 – 47

[(7+12)5 - 47]+40

Pensa un numero intero• somma ad esso 12• moltiplica il risultato per 5• sottrai 4 volte il numero pensato• somma al risultato 40

Che numero hai ottenuto?

Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato

m@

t.ab

elL’uso delle lettere non

si riduca al solito calcolo algebrico, ma

anzi lo preceda e serva ad esprimere le proprietà dei numeri

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

L’ar

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5( n + 12) – 4n + 40 = 100 + n

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a ai

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La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici”

Considera il prodotto 15·25puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5)quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 −

5·5dopo le semplificazioni ottieni 20·20 + 20·5 – 5·20 −

5·5 Cioè 202 − 52.

Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti:28·32 =……………………………………………………………97·103 =……………………………………………………………

• Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule

• esprimere con parole e con formule le regolarità osservate

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Eseguire operazioni tra numeri • a mente • con gli usuali algoritmi

scritti• con strumenti valutando quale strumento può essere più opportuno

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

L’ar

itmet

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Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione:i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

Il livello del mare (m@t.abel).L'attività affronta i problemi legati alle stime degli ordini di grandezza. In effetti, saper stimare correttamente un ordine di grandezza, o saper approssimare dei valori, rappresenta una difficoltà diffusa. Proponendo problemi anche legati a situazioni reali, si capisce che in certi casi è importante l'ordine di grandezza, mentre il numero di cifre significative diventa secondario. All'inizio dell'attività si introduce la notazione scientifica per rappresentare i numeri e si discute l'uso di questa scrittura per valutare l'ordine di grandezza. Si tratta di strumenti fondamentali per un cittadino, perché spesso arrivano dai mass media informazioni che vengono accolte con scarsa capacità di analisi e senza un adeguato "senso dei numeri". Analizzando e ragionando su un importante tema d'attualità ("di quanto si innalzerebbe il livello dei mari se tutti i ghiacciai si sciogliessero?"), si affrontano in un caso concreto le diverse problematiche inerenti l'ordine di grandezza, la precisione, l'approssimazione.

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t.ab

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Un esempio di attività per il I anno

(5,6 E 5) + (1,4 E 5) (3,6 E 2) + (1,1 E 5) (7,2 E 3) (5,4 E 2)(4 E 2) (1,1 E 5) (4 E 8) (3 E 1)(9,6 E 2) + (1,4 E 0) (3,6 E 2) (1,1 E 5)(3,6 E 2) (1,1 E 4) (3,6 E 2) : (4 E 5) Qual è il risultato?

Un punto critico nel trattare le operazioni con la notazione scientifica è la propagazione degli errori nel calcolo approssimato.

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lo d

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Notazione scientifica dei numeri: precisione e ordine di grandezza

Consigli e sconsigli

È importante mantenere forte, soprattutto nelle

prime manipolazioni algebriche, il significato delle

formule e far capire all’allievo che il calcolo

algebrico non è fine a se stesso.

Nell’affrontare le tecniche di calcolo

algebrico sarà opportuno individuare il

giusto equilibrio fra la ricerca del valore

semantico (il ‘senso’ di una formula in un

certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di

calcolo formale) che è in parte legata

all’addestramento.

Consigli e sconsigli

Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza

operativa e non dovranno costituire compito

eccessivamente ripetitivo

Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a

esprimere con parole e con formule le regolarità osservate

(eventualmente anche mediante rappresentazioni

grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è

il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici

algoritmi implementabili sul calcolatore

Non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero

Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

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– 20

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È difficile non essere d’accordo con quanto riportato sul Quaderno SNV

• Solo poco più del 20% degli studenti riconosce che 1037 +1038 = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovrebbero risultare palesemente scorrette in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco. È plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica 1037 + 1038) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero.

• In ogni caso la presenza di un numero così rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria, invita a una riflessione sull’opportunità didattica di molte attività di manipolazione simbolica fini a se stesse che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso più che sufficienti per determinare la risposta corretta).

Cla

sse

II s

up.

– 20

12

Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso.

I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati.

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Ma già alla fine del I Ciclo i problemi non mancano![da PN 2012]

Conoscenze Abilità Competenze Attività

Equazioni e disequazioniEquazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici “Relazioni e funzioni”, funzioni lineari

Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti.Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa.Impostare e risolvere problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado.Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati.

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico

1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari (m@t.abel)Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni2F - Equazioni e disequazioni di primo grado (m@t.abel) 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono (m@t.abel)Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni (IPRASE)Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo.5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito:http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)7F – Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa)

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Un esempio di attività di Geometria presente in rete: Ombre e proporzionalità

Si parte dal sito:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/e si apre la seguente pagina

Scendendo lungo la pagina si arriva a

Si clicca su m@t.abel e si apre la pagina

Si clicca su GEOMETRIA e si arriva alla pagina

dove sono contenute le attività m@t.abel attualmentedisponibili per il nucleo GEOMETRIA. Scorrendo lungo lapagina si arriva a

Cliccando su «OMBRE E PROPORZIONALITÀ»si arriva a

da cui è possibile sia scaricare la versione testuale («zippata») che utilizzare la versione multimediale

II parte - Geometria

Le Indicazioni/Linee guida (Geometria)Una proposta di percorso (“sintetico”) per la

Geometria – I biennioUn’attività da fare in classe (Ombre e

proporzionalità, m@t.abel)Cosa ci dicono le prove INVALSI sulla

geometria al termine del I biennio?Considerazioni didattiche

La suddivisione oraria del primo anno

Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione

10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Per

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GeometriaGeometria

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Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5h (R1): Introduzione al concetto di funzione.

Raggruppamenti comuni10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni).5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

Geometria20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi.

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Percorso “sintetico” – Primo anno

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Percorso “sintetico” – Secondo annoAritmetica e algebra10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali.

Relazioni e funzioni15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2.

Raggruppamenti comuni5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni).5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria).10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria).

Geometria20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione.Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo).

Dati e previsioni15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti).

GEO

METR

IANelle Indicazioni nazionali si legge:

“Il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano…. l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica”.

[…] “La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (riga, compasso,…) sia mediante strumenti informatici di geometria.”

Ombre e proporzionalità (m@t.abel).Gli studenti sono coinvolti in situazioni problematiche, in cui devono individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalità diretta,…), quindi costruire modelli a partire da dati, utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari,…). Infine entrando nello specifico delle similitudini, da un punto di vista teorico, ne analizzano proprietà e invarianti, collegandole alle situazioni reali ad esse riconducibili.

m@

t.ab

elSi affronta il nodo concettuale delle similitudini,

partendo dall’analisi di situazioni reali fino a giungere al nodo cruciale del teorema di Talete, unitamente alle sue conseguenze nel piano favorendo l’acquisizione della consapevolezza del suo ruolo fondamentale nella geometria piana.

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

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Un esempio di attività per il II anno

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itàTalete e l’altezza della piramide

Quanto è alto questo lampione?

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itàBastoncini, gnomoni,obelischi

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itàLa similitudine: applicazioni ed approfondimenti con un software di geometria dinamica

Consigli (geometria) Non partire da un’impostazione assiomatica, ma

mettere in evidenza l’importanza dei teoremi, senza far imparare troppe dimostrazioni; è impossibile, non c’è il tempo e si perderebbe il significato di quelle poche che sono veramente importanti: dimostrare tutto è come non dimostrare nulla.

Argomentare e congetturare vengono prima di dimostrare

• Mantenere la geometria connessa agli altri ambiti e sottolineare continuamente i collegamenti tra di loro

• La geometria non è un formulario per trovare lunghezze, aree e volumi; è necessario presentarla come un ambito molto importante per scoprire, sperimentare, visualizzare, argomentare proprietà e collegamenti tra una teoria matematica e il mondo reale

GEO

METR

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e… Sconsigli (geometria) Si sconsiglia di trascurare la geometria: vuol dire privare

gli allievi di un ambito estremamente importante per

l’apprendimento della matematica e tarpare le ali anche

agli altri ambiti del sapere matematico Si sconsiglia di chiedere definizioni imparate solo a

memoria; prima occorre capire e costruire i concetti e poi

definire; gli allievi comprendono anche se non sanno

ancora definire

Si sconsiglia di presentare una dimostrazione in modo

dettagliato (mettendo cioè in evidenza i vari passi e che

cosa si utilizza per giustificarli) se prima non è chiaro il

significato che ha “il dimostrare” e che cosa esso

presuppone (una teoria, degli assiomi,…)

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Da fare!Item Mancata

rispostaOPZIONI

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D7_b 5,9 33,1 30,6 24,8 5,7

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Un cenno al problema della verifica e della valutazione

L’attenzione ai comportamenti degli studenti

Una griglia per l’osservazione in laboratorio

Prove che tendano a verificare la spendibilità delle nozioni apprese in contesti diversi

http://www.invalsi.it

51

Un’osservazione importante sul percorso e sulle attività proposte

Il documento CIIM che abbiamo presentato saràdisponibile sul sito CIIM:

http://www.umi-ciim.it/

Non tutte le attività m@t.abel per il secondo bienniosono attualmente disponibili sul sito precedentementeindicato:http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/

Poiché si tratta di «lavori in corso», sarà opportunotornare periodicamente su tale sito e controllare leattività presenti.