AstronomiaLezione 17/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

Riepilogo lezione passata.

Se la parallasse si misura in secondi d’arcoinvece di radianti vale questa relazione.

In Astronomia e’ di fondamentale importanza trovare dei metodi per la determinazionedelle distanze da noi degli oggetti celesti.Il metodo piu’ semplice e’ quello della Parallasse (misurare angolo p dopo ½ anno):

Le distanze delle stelle pero’ si misurano inparsec, vale a dire la distanza a cui corrispondeUna parallasse stellare di 1’’.

Riepilogo lezione passata.La parallasse pero’ vale solo per distanze «piccole». Da terra al massimo si misuranodistanze < 50 pc. Nello spazio (Hypparcos) 1Kpc, e al massimo 10 Kpc con missionifuture come Gaia. Il raggio (luminoso) della Via Lattea e’ di circa 10 Kpc.

Data una stella possiamo introdurre tre quantita’: la sua distanza d, il flusso radiativoF (energia per unita’ di tempo per unita’ di area) che riceviamo qui sulla Terra, e la sua luminosita’ L (energia emessa per unita’ di tempo). Queste tre quantita’ sono legate traloro dalla semplice relazione:

24 d

LF

Riepilogo lezione passata.

In astronomia, invece di usare i Flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.Si ha quindi, date due stelle di flussi F1 ed F2, la seguente relazione con le magnitudini:

Oppure, prendendo il logaritmo:

notare il segno meno !!Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.

Riepilogo lezione passata.

In astronomia, invece di usare i flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.Si ha quindi, date due stelle di flussi F1 ed F2, la seguente relazione con le magnitudini:

Oppure, prendendo il logaritmo:

notare il segno meno !!Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.

Magnitudine apparente

La stella Vega e’ usata come stella di riferimento per le magnitudini apparenti.Vega viene quindi assunta avere magnitudine apparente m=0.In realtà dato che può non essere visibile si usa il flusso di Vega e si calibrano le altremagnitudini nel modo seguente:

Vega e’ distante 25,3 anni luce, 7,76 pc.

Magnitudine AssolutaPossiamo dare ad ogni stella una magnitudine intrinseca ovvero che non dipendedalla distanza alla quale si trova. Per ogni stella si definisce come magnitudine assolutala magnitudine apparente che la stella avrebbe se fosse posta a 10pc da noi.Dato che tra due stelle si ha che:

Considerando ora la stessa stella ma prendendo una delle due magnitudini a 10pc ovvero la sua magnitudine assoluta, si ha:

e quindi la relazione:

Modulo di distanza

Quindi in pratica, data una stella la relazione che lega flusso, luminosita’ e distanza:

In astronomia diventa la seguente espressione detta modulo di distanza:

24 d

LF

m=0.41d=152 pcM=-5.5

m=0.14d=244 pcM=-6.8

Magnitudine Assoluta del SoleConoscendo la distanza del Sole dalla Terra e la sua magnitudine apparente possiamo calcolare la sua magnitudine assoluta:

Notate che la magnitudine assoluta e’ maggiore in questo caso di quella apparente perche’Il Sole a 10 pc e’ chiaramente meno luminoso che visto dalla Terra !In generale la magnitudine assoluta di una stella e’ sempre minore di quella apparente(tranne per quelle piu’ vicine a noi di 10 pc).

Magnitudine Assoluta

Data una stella, di luminosita’ L, la sua magnitudine assoluta puo’ essere ricavataa partire dalla luminosita’ e magnitudine assoluta del Sole, tramite:

Dove =+4.74 e e

Le onde elettromagnetiche sono caratterizzate dalla lunghezza d’onda λ e dalla frequenza ν.Lunghezza d’onda e frequenza determinano la posizione nello spettro elettromagnetico.La frequenza (numero di oscillazioni per unità di tempo) si misura in Hertz (Hz =oscillazioni/s).La lunghezza d’onda si misura in micron (μm; 10-6 m), nanometri (nm, 10-9 m) o Ångstrom (Å, 10-10 m). La luce visibile ha lunghezze d’onda comprese tra 400-700nm (4000-7000 Å). Colori diversi corrispondono a lunghezze d’onda diverse. Lo spettro solare ha il massimo di emissione a λ = 550 nm.

Lo Spettro Elettromagnetico

Indice di Colore

Fino adesso quando abbiamo parlato di magnitudini non abbiamo consideratoche solo una parte dello spettro elettromagnetico della stella e’ misurabile.Questo sia per filtri posti davanti al nostro ricevitore, sia per i vari assorbimenti(atmosfera, etc). Nel caso in cui non si consideri questi effetti la magnitudinesi definisce come magnitudine bolometrica.Gli astronomi pero’ misurano la magnitudine di un oggetto ponendo due o piu’filtri davanti al rivelatore e facendo la differenza tra queste. Questo porta all’indice di colore.

Indici di colore – Sistema Johnson

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm- Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Sistema Johnson Esteso

Nebulosa dell’Aquila

Indice di Colore

L’indice di colore e’ definito come la differenza tra due magnitudini di uno stesso oggetto misurate in bande di colore diverse.

- Le magnitudini apparenti in una certa banda di colore si indicano con U,V,B

- Le magnitudini assolute in una banda di colore si indicano invece con MU,MV,MB

Quindi, ad esempio, U-B e’ l’indice di colore tra l’ultravioletto ed il blu, B-V e’l’indice di colore tra blu e visibile. Notare che:

dato che magnitudini apparenti e assolute differiscono solo per la distanza cheè la stessa per ogni banda.

Magnitudine in una Banda

La relazione tra magnitudine apparente in una banda e il flusso della stella e’ data da:

Dove S e’ appunto il filtro e C e’ una costante di calibrazione. Entrambi variano a secondaDella banda selezionata.

Per misurare la magnitudine apparente U si usano delle funzioni di sensibilita’ S:

La costante C la possiamo misurare ponendo una magnitudine di riferimento.In generale si assume che la stella Vega abbia magnitudine zero in ogni banda.Per la magnitudine bolometrica si ha, per definizione:

La costante in questo caso si e’ cercata in modo tale che la correzione bolometrica:

m=0.41d=152 pcM=-5.5B-V=1.85

m=0.14d=244 pcM=-6.8B-V=-0.03

Indice di colore B-V maggiore significa che la magnitudine e’ maggiore nel Blurispetto al Visibile. Ovvero che la stella e’ più luminosa a frequenze minori olunghezze d’onda maggiori. B-V maggiore significa quindi che la stella e’ più rossa.

Indici di colore bassi Stella BluIndici di colore alti Stella Rossa

Costellazione di

Orione

Il colore e’ legato alla temperatura.Maggiore e’ la temperatura della stella, piu’ questa

appare blu e minore e’ l’indice di colore

Il Corpo Nero

Questo accade perche’ gli spettri diemissione di una stella sono in prima approssimazione dei corpi neri.

Un corpo nero e’ un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidentee che riemette radiazione con unospettro in lunghezza d’onda la cuiformula e’ stata scoperta da Planck e che dipende solo dallatemperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura maggioree’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.

Legge di Wien:

Corpo Nero: Derivazione Teorica

La luce nel vuoto si propaga come un’onda elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed uno magnetico ortogonali tra loro e variabili nel tempo.L’onda elettromagnetica possiede una lunghezzad’onda l (intervallo spaziale tra due creste) e procede ad una velocità pari alla velocità della luce c. Si ha quindi che la frequenzan (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:

Spettro nelvisibile .LunghezzeIn nm

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e

costante di Boltzmann.

Corpo NeroUn risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma della cavità. Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purché le frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda:

ovvero frequenze (con l numero intero):

nel caso tridimensionale si avrà:

con l, m, n numeri interi.

Corpo Nero – Caso ClassicoIl problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo.Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energiatra E e E+dE alla temperatura T e’data da:

si ha quindi che l’energia media vale:

Ora ponendo si ha:

Da cui:

per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:

Corpo Nero – Catastrofe Ultravioletta

La formula di Rayleigh-Jeans:

però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamocalcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito.Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile.Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento della fisica classica.In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans funziona bene per basse frequenze maappunto diverge per alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in accordo con le osservazioni.

l (mm)

I (e

rg c

m-3

s-1

) Rayleigh-Jeans

116123 Kerg101.38KJ101.38k

Corpo Nero – Caso QuantisticoLa soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenzan possono avere energia pari solo a multipli di hn con h costante.

la probabilità diviene:

e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali:

Si ha quindi:

da cui:

ottenendo infine la formula di Planck:

Max Planck (1858-1947)Ha ideato la teoria dei quanti, che insieme con la teoria della relatività di Albert Einstein è uno dei pilastri della fisica contemporanea.Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni di emissione e di assorbimento delle radiazioni elettromagnetiche avvengono in forma discreta (proporzionale alla loro frequenza di oscillazione, secondo una costante universale), non già in forma continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica classica.Nel 1901 Planck passò dall'ipotesi quantistica alla vera e propria teoria quantistica, secondo la quale gli atomi assorbono ed emettono radiazioni in modo discontinuo, per quanti di energia, cioè quantità di energia finite e discrete. In tal modo anche l'energia può essere concettualmente rappresentata, come la materia, sotto forma granulare: i quanti sono appunto come granuli di energia indivisibili.La sua teoria gli valse il premio Nobel per la fisica del 1918.

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energiava a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Formula di PlanckUn punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità perIntervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere:

e quindi, sostituendo:

dTdT ,,

dT

e

d

c

h

e

d

cdT

kThkT,

1

8

1,

/3

3

/23

3

1

8,

/3

3

kThe

d

c

hdT

Spettro di Planck - Brillanza

In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità ditempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggiodi luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite:

Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché:

e quindi si ha (notare la potenza di l):

1

2,

4 /2

3

kThe

d

c

hT

cdTB

dTBdTB

1

2/5

2

kThce

dhcTB

l (mm)

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

Spettro di Planck In figura riportiamo lo spettro dicorpo nero nel caso di 4 temperaturediverse.Da notare:

- A temperature crescenti lo spettroha un incremento complessivo.Due curve di corpo nero a temperature diverse non si intreccianomai !

- A temperature maggiori la posizionedel picco si sposta verso frequenzemaggiori (lunghezze d’onda minori).Cioè va dal rosso al blu.OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDIDI ROSSI.

corpo umano

T = 37° C = 310 K lmax 9 m

l (mm)

B(l,

310

K) (

x108

erg

cm

-3 s

-1) La funzione di Planck per un corpo nero che

emette alla temperatura del corpo umano. Il massimo di emissione si ha a circa 9 micron, mentre al di sotto di 3 micron non c’è praticamente alcuna emissione. Infatti al buio una persona risulta invisibile, mentre diventa visibile con un sensore di luce infrarossa.

Spettro di Planck - Esempi

lampada a incandescenza

T 3 000 K

lmax 1 m

l (mm)

B(l,

300

0 K)

(x10

13 e

rg c

m-3

s-1

)Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura di una lampadina a incandescenza. Di nuovo, il massimo di emissione è collocato nell’infrarosso, eppure la lampadina emette luce visibile. Questo è possibile perché come si vede dal grafico la funzione si estende fino a 0.3 micron, includendo l’intervallo di lunghezza d’onda visibile. Quindi solo una frazione della radiazione globale emessa dalla lampadina è luce visibile.

stella

T 30 000 K

lmax 1000 Å

l (mm)

B(l,

300

00 K

) (x1

018

erg

cm-3

s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura superficiale di una stella molto calda. Questa volta il massimo di emissione cade nell’ultravioletto. La stella risulta visibile ad occhio nudo perché la funzione si estende fino all’infrarosso e oltre con emissione decrescente, ma pur sempre con valori molto alti.

z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso a destra in alto) le stelle della cinturadi Orione sono un esempio di stelle a questa temperature.Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo…Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.

Il Corpo Nero

Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha unospettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa perunita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezzad’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto.Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo.Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.

Il Corpo Nero

Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K)e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla formula di Planck

Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

1

12/5

2

kThce

hcTB

kThcx /

01

5

xeAx

dx

d

2

54

2

545

1

15

11

5

1

x

xxx

xxxe

eAxeAxe

e

Ax

e

Ax

e

Ax

dx

d

05

1

055

015 54

xe

xe

exex

x

x

xx

9651,4max

x

maxmax kx

hcT

Dimostriamo che la legge di Stefan-Boltzmann :

deriva dalla formula di Planck

Il Corpo Nero

Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

1

12/5

2

kThce

hcTB

1

12sincos

1

12/5

22

0

2/

0/5

2

kThckThc e

hcd

e

hc

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:

Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

1

18

1

12/5

222

/5

2

kThcA

kThc e

hcRdA

e

hcdL

5/222

1

18

d

ehcRdLL

kThc

kThcx / 2d

kT

hcdx

15

8

18

44

23

2233222 kT

ch

Rdx

e

x

hc

kT

hc

kThcRL

x

444

23

2242

15

84 Tk

ch

RTR

kTx

hc

23

45

15

2

ch

k

à Rayleigh-Jeans(catastrofe ultravioletta)

Wien

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (e

rg c

m-3

s-1

)

Wien

l (mm)

I (e

rg c

m-3

s-1

)

Rayleigh-Jeans

1

12/5

2

kThce

hcTB

4

2lim

kTcTB

kThcehc

TB

/5

2

0

2lim

..1lim /

0

x

kT

hce kThcx

x

Qualche esempio di uso del corpo neroe indici di colore

Una stella molto calda ha una temperatura superficiale di 42000 K mentre unastella meno calda ha una temperatura superficiale di 10000 K. Stimare i loroIndici di colore B-V sapendo che

Approssimiamo i flussi come i valori dello spettro di Planck al centro delle bandee come integrale semplicemente moltiplichiamo per la larghezza di banda:

Ricordando che e

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modoquasi perfetto

Qui noc’e’ assorbimentoda parte dell’atmosferastellare

Linee spettrali

Ha identificato delle linee «nere»nella luce del Sole dispersa da unprisma. Intorno il 1814, FraunhoferCatalogo’ oltre 475 linee di questo Tipo.

Linee e moti propriSe le linee non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove di moto proprio. Per v<<c si ha:

Atomo di BohrCerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione edAssorbimento e non vi sia uno spettro continuo.Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una attrazione secondo la legge di Coulomb:

Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da unprotone entrambi di carica (in modulo):

Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone e la massa del protone rispettivamente:

Atomo di Bohr

Usando la II legge di Newton abbiamo:

L’energia totale e’ negativa (sistema legato):

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr