Associazione tra variabili qualitative• È possibile verificare l’associazione anche tra variabili

qualitative (nominali o ordinali) attraverso un apposito test.

• Esempio:• Verificare l’associazione tra genere e scelta della

facoltà universitaria.• Ossia ci si sta chiedendo: la scelta della facoltà

universitaria dipende dal genere o è indipendente al genere?

• Dunque bisogna verificare la dipendenza tra le due variabili.

Costruire la tabella di frequenza doppiaSoggetti Genere Facoltà

1 Maschio Psicologia2 Femmina Psicologia3 Femmina Psicologia4 Femmina Psicologia5 Maschio Ingegneria6 Femmina Psicologia7 Femmina Psicologia8 Maschio Ingegneria9 Femmina Ingegneria10 Maschio Ingegneria

Tabella di frequenza doppiaPsicologia Ingegneria Totale riga

Maschi 1 3 4Femmine 5 1 6Tot colonna 6 4 10

Informazioni della Tabella di frequenza doppia:Esprime la relazione tra le modalità (o livelli) di 2 variabili qualitative.I numeri all’interno di ciascuna cella indicano le frequenze osservate (fo) sul campione, ossia derivanti dalla rilevazione.

Frequenze attese• Per verificare l’eventuale dipendenza è

necessario calcolare la frequenza attesa (fe; expected frequencies) per ciascuna cella (frequenza osservata).

• Ossia in questo caso: sapendo che i maschi sono 4 e che gli iscritti a psicologia sono 6, quanti maschi “mi aspetto” che si iscrivano a psicologia?

N

tottotf colonnarigae

Tabella doppia con fo ed fePsicologia Ingegneria Totale riga

Maschi 1(fe=2,4)

3(fe=1,6)

4

Femmine 5(fe=3,6)

1(fe=2,4)

6

Tot colonna 6 4 10

La somma delle frequenze attese per riga deve al totale di riga.La somma delle frequenze attese per colonna deve al totale di colonna.La somma di tutte le frequenze attese deve essere uguale a N.

Indice di dipendenza χ2

• Dopo aver calcolato le fe si calcola il χ2:

• Se tutte le fo e le fe sono uguali il valore del χ2 sarà uguale a 0, dunque le due variabili non sono dipendenti.

• Di conseguenza, maggiore è la differenza tra fo ed fe, maggiore sarà il valore del χ2.

e

eo

f

ff 22

Calcolo del χ2 Psicologia Ingegneria Totale riga

Maschi 1fe=2,4

3fe=1,6

4

Femmine 5fe=3,6

1fe=2,4

6

Tot colonna 6 4 10

4,2

4,21

6,3

6,35

6,1

6,13

4,2

4,21 22222

41,382,054,023,182,02

Caratteristiche del χ2 • L’indice χ2 è sempre positivo• Può assumere valori che variano tra 0 (massima

indipendenza) ed N (massima dipendenza)• Il χ2 risulta dunque difficilmente interpretabile e

pertanto è necessario calcolare il χ2 relativo (φ) ossia χ2/N

• φ varia tra 0 ed 1 e si interpreta come segue:

0 e 0,5 0,5 e 1

Indipendenza tra le variabili

Dipendenza tra le variabili

Calcolo del χ2 relativo: interpretazione• φ= χ2/N• φ= 3,41/10=0,34

• Interpretazione• Le due variabili non risultano associate, ossia

genere e scelta della facoltà universitaria sono indipendenti (o più precisamente, la scelta universitaria non dipende dal genere).

Esercizio 1• Verificare l’associazione tre le variabili “genere” ed

“esito dell’esame di psicometria”.Soggetti Genere Esito

1 Maschio Bocciato

2 Maschio Bocciato

3 Maschio Promosso

4 Femmina Promosso

5 Femmina Promosso

6 Femmina Promosso

7 Femmina Bocciato

8 Femmina Bocciato

9 Femmina Bocciato

10 Femmina Bocciato

11 Femmina Bocciato

12 Femmina Bocciato

Tabella di massima indipendenzaPromozione Bocciatura Totale riga

Maschi 1fe=1

2fe=2

3

Femmine 3fe=3

6fe=6

9

Tot colonna 4 8 12

0

6

66

3

33

2

22

1

11 22222

Esercizio 2• Verificare l’associazione tre le variabili “genere” e

“professione”.Soggetti Genere Professione

1 Maschio Meccanico

2 Maschio Meccanico

3 Maschio Meccanico

4 Maschio Meccanico

5 Maschio Meccanico

6 Maschio Meccanico

7 Maschio Estetista

8 Femmina Estetista

9 Femmina Estetista

10 Femmina Estetista

11 Femmina Estetista

12 Femmina Estetista

Tabella di frequenza doppiaEstetista Meccanico Totale riga

Maschi 1fe=3,5

6fe=3,5

7

Femmine 5fe=2,5

0fe=2,5

5

Tot colonna 6 6 12

58,85,25,279,179,15,2

5,20

5,2

5,25

5,3

5,36

5,3

5,31 22222

φ=0,72 quindi?Le due variabili sono dipendenti: in particolare i maschi scelgono di fare il meccanico, mentre le femmine di fare l’estetista.

Esercizio 3• Verificare l’efficacia della psicoterapia rispetto a tre

diversi disturbi.Soggetti Disturbo Esito dopo 2 mesi1 Depressione Migliorato2 Ansia Migliorato3 Bipolare Stabile4 Depressione Stabile5 Ansia Migliorato6 Bipolare Peggiorato7 Depressione Stabile8 Ansia Migliorato9 Bipolare Peggiorato10 Depressione Migliorato

Risultati

• χ2=9,11; φ=0,91; c’è dipendenza tra le variabili. • In particolare: le persone con disturbo di ansia hanno avuto un miglioramento; le persone con disturbo

bipolare hanno avuto un peggioramento; le persone con disturbo di depressione sono rimaste stabili.

Peggiorato Stabile Migliorato Totale rigaAnsia 0

fe=0,60

fe=0,93

fe=1,53

Bipolare 2fe=0,6

1fe=0,9

0fe=1,5

3

Depressione 0fe=0,8

2fe=1,2

2fe=2

4

Tot colonna 2 3 5 10