Assiomaticatra Matematica e FilosofiaLogica nell’OttocentoQuadro storicoL. classicaL. intuizionistaL. minimalistaAssiomaticaTo home page

Logica nell'Ottocento

algebrico-logico-->la logica intesa come un ramo della matematica-Leibniz-Boole-Bourbaki->Strutture algebriche

insiemistico-logico-->fondamento logico della matematica-Cantor-Frege-Russell

costruttivistico-->la mat. come risultato di costruzioni mentali->Poincaré

assiomatico-formalistico-->la teoria matem. giustificata dalla correttezza formale-> Hilbert

Storicamente sono state Storicamente sono state individuate almeno tre logiche individuate almeno tre logiche fondamentali:fondamentali:

Classica Intuizionista Minimale

Logica classica

Rappresenta un atteggiamento deterministico e descrittivo.Se affermo la proposizione p intendo che p vale oggettivamente.

Logica intuizionistica

Atteggiamento epistemologico:

se affermo p, intendo che “conosco p”, e ogni contraddizione è fatale.

Logica minimalista

Atteggiamento epistemologico:

se affermo p, intendo che “conosco p”, ma ammetto la possibilità di contraddizioni locali.

elem entipostulatiteorem i

Euclide

definizioni im plicitepostulatiteorem i

H ilbert

riduzione alla logica

Frege

teoria dei num eri

Peano

antinom ie

R usse ll

ASSIOMATICA

Figure storiche dell’assiomatica Euclide

Peano

Russell

Gödel

Euclide - sistema logico

Definizioni Punto è ciò che non ha parti Linea è una lunghezza senza larghezza Estremi di una linea sono punti Linea retta è quella che giace

ugualmente rispetto ai suoi punti estremi

Euclide - sistema logico

Postulati una linea retta può essere tracciata da

un punto qualsiasi a un altro un segmento rettilineo può essere

prolungato in linea retta fino a una lunghezza qualsiasi

con centro in un punto qualsiasi si può tracciare una circonferenza avente raggio arbitrario

tutti gli angoli retti sono uguali fra di loro

se una retta, incontrandone altre due, forma dallo stesso lato due angoli interni che sommati sono minori di due retti, allora le due rette all’infinito si incontreranno dal lato in cui gli angoli sono minori di due retti

Peano 1 è un numero naturale

per ogni numero naturale x esiste un unico num. nat. che è il successivo di x

non vi è alcun num. nat. Il cui successivo sia 1

se due num. nat. x e y sono tali che i loro successivi x’ e y’ sono uguali, allora sono uguali

principio di induzione: sia M un sottoinsieme di num. nat. con le seguenti proprietà: a)1 appartiene ad M b)x appartiene a M implica che x’ ...appartiene ad M Allora M è l’insieme di tutti i num. nat.

Antinomie

sono legate a situazioni di autoriferimento

Il mentitore :” io mento”(scuola di Mileto) Il barbiere :”…….rade quelli che non

radono sé stessi” Gli insiemi e l’insieme delle sue parti

(Russell

Antinomia di RussellAntinomia di Russell

a b c d e …………..m n ……….z

l p

o... r ... t

f...

AA

insieme A, (A) insieme delle parti di A:

(A)={,a,b,..,{a,b},…{d,e,f},………….A}

contiene come elementi tutti i sottoinsiemi di A, propri e impropri (quindi anche l’insieme vuoto e A stesso).

Quindi A(A)

Quindi:

Se indichiamo con S l’insieme di tutti gli insiemi sarà:

A : AS e (A) S

e quindi anche (S)S

contraddizione!!!!!!!!!!!!!!!!

perché S(S)

Gödelun sistema T di postulati può avere queste caratteristiche:

Non contradditorietà o coerenza: non può essere che pT e non pT

Indipendenza: un postulato p è indipendente dagli altri , che formano T, se né p né non p sono deducibili da T

Completezza: p T->( p aut non p)

ossia per ogni p, T è capace di dimostrare p o non p

ossia è impossibile formulare un nuovo postulato indipendente da quelli assegnati

ossia è in grado di decidere il valore di verità di una sua proposizione

Decidibilità: T è decidibile se è possibile per ogni p decidere se si tratta di un teorema di T

I teoremi di Gödel

Ogni insieme contraddittorio è completo

Un sistema T di postulati non può essere completo e non contraddittorio

Definizione: dato un sistema T di postulati, se due modelli che soddisfino tutti i postulati sono isomorfi allora si dice che il sistema è categorico

Teorema : un sistema T può essere completo e categorico

Nel secolo attuale la scoperta più importante è certamente da attribuire a Kurt Gödel (1906-1978), un matematico austriaco emigrato negli Stati Uniti e membro dell'Institute for Advanced Studies di Princeton, dove gli fu assegnato il Premio Einstein nel 1951. Gödel è poco conosciuto: il suo carattere modesto e l'altissimo grado di astrattezza delle sue ricerche non l'hanno certo portato alla ribalta della popolarità; tuttavia qualcuno non esita a definirlo l'Einstein della matematica.

La matematica abbonda di proposizioni generali, alle quali non si è mai trovata un'eccezione, che hanno resistito a tutti i tentativi di dimostrazione. Un esempio classico è noto come teorema di Goldbach, e afferma che ogni numero pari è somma di due numeri primi.Non si è mai trovato un numero pari che non fosse la somma di due numeri primi, ma nessuno è riuscito a dimostrare questa congettura. Ciò detto, supponiamo che modificando gli assiomi dell'aritmetica o aggiungendone altri il teorema di Goldbach giunga ad essere dimostrato; i risultati di Gödel provano che questo non porterebbe alcun rimedio sostanziale, perché vi sarebbero sempre altre verità aritmetiche non deducibili dagli assiomi di partenza.

………..due difficoltà.Una di natura sostanziale, enunciata da Gödel nel suo celebre teorema: all'interno di un corpo di assiomi, cioè di un certo linguaggio formale, noi possiamo enunciare correttamente dei teoremi dei quali però non riusciamo a dimostrare né la verità né la falsità. Prima o poi ci dobbiamo scontrare con una indecidibilità radicale: l'unico modo per evitarla sarebbe aumentare continuamente il numero di assiomi ma questo porterebbe ad una regressione all'infinito.

C'è però anche una difficoltà di tipo pratico. Se il modello teorico che adottiamo non è quello adeguato al mondo reale, la nostra descrizione del mondo può richiedere tempi più lunghi di quello che sta accadendo nella realtà; a questo punto il problema diventa intrattabile.

"Teorema di incompletezza"  :

Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili.

….basi sono….mobili e relative ad altri presupposti ; ciò richiama alla mente i risultati di Einstein, per cui un sistema di coordinate è sempre relativo ad un altro sistema di coordinate .

….logica fino a Gödel usata, che fondavano anche la razionalità scientifica, e cioè il dualismo vero/falso. I fisici devono dunque scegliere quale matematica usare, oltre a scegliere, come abbiamo visto in precedenza, quale geometria usare.

……. La limitazione imposta da Gödel obbliga ad accettare la contraddizione o a superarla passando ad un sistema più ampio.

Mostra i limiti della visione dualistica della matematica e della scienza : il dualismo verificabilità/falsificabilità, il dualismo soggetto/oggetto e osservatore/osservato…..

Gödel aveva evidenziato che la nozione di ‘dimostrabilità’ è più debole di quella di ‘verità’ (poiché vi sono enunciati veri non dimostrabili)

Il teorema di indecidibilità

Questo teorema si può enunciare, con qualche semplificazione, come segue:

Se un sistema formale S è consistente, allora esiste un enunciato V vero ma non dimostrabile in S

cioè la consistenza di S implica l'esistenza di (almeno un) enunciato V vero ma non dimostrabile in S.