1

Note sulla Definizione Assiomatica della Probabilita’

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I diagrammi di Wenn forniscono un metodo grafico per visualizzare i concetti fondamentali del calcolo delle probabilità. In questa rappresentazione una figura chiusa indicata con S rappresenta l’insieme di tutti i possibili esiti o eventi di un fenomeno casuale. Un particolare evento casuale E viene indicato mediante una figura chiusa all’interno di S su di un piano. L’evento impossibile si indica con Ø e non può essere disegnato. Il complemento di un evento E viene indicato con E ed è l’insieme di tutti gli eventi di S che non fanno parte dell’evento E. Un evento E ed il suo complemento E sono mutuamente esclusivi. Il verificarsi dell’evento A oppure dell’evento B si indica equivalentemente con: A U B notazione insiemistica A + B notazione algebrica Il verificarsi dell’evento A e dell’evento B si indica equivalentemente con:

A B notazione insiemistica A . B notazione algebrica

3

S S

S S

4

La totalità delle varie modalità con cui si può presentare un fenomeno casuale sono rappresentate dai punti di uno spazio S. Un sottoinsieme E qualunque dello spazio S (E S) rappresenta un qualunque evento casuale.

S S E

5

Viene definita PROBABILITA’ dell’evento casuale E, (p(E)), un numero associato univocamente all’evento E che soddisfi le seguenti 3 proprietà: - p(E) 0 " E; - p(S) = 1 - p(E1 E2 E3 …) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + … per qualsiasi insieme di eventi E1, E2, E3, … in numero finito oppure infinito e a due a due senza alcun elemento in comune ({Ei Ej} = " i j) TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE nel caso particolare di eventi incompatibili

S

Ei Ej

6

- S = S S = p(E1 E2 E3 …) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + …cona due a due senza alcun elemento in comune

p(S ) = p(S) + p() = p(S) =1 e p() = 0 - A B A = B (A B) p(E1 E2 E3 …) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + … cona due a due senza alcun elemento in comune

p(A) = p(B) + p(A B) & p(E) 0 " E p(A) p(B)

S

A

B

7

- Per due insiemi A e B qualunque, valgono le seguenti identità: A = (A B) (A B) B = (A B) (A B) A B = (A B) (A B) (A B) & p(E1 E2 E3 …) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + … cona due a due senza alcun elemento in comune Legge della probabilità totale nella sua forma più generale:

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) …

A B

S

8

… Infatti: p(A) = p(A B) + p(A B) p(B) = p(A B) + p(A B) p(A B) = p(A B) + p(A B) + p(A B) = = [p(A) - p(A B)] + p(A B) + [p(B) - p(A B)]

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) CVD

A B

S

9

Nel caso particolare di insiemi A e B disgiunti, si ottiene per la probabilità totale (p(A B)) , la relazione semplificata:

p(A B) = p(A) + p(B) A B=

A B

S

10

11

12

0,075

7.7 x 10-3

13

Definisco la probabilità condizionata che si verifichi l’evento E nel caso in cui si sia già verificato l’evento A con la simbologia: p(E|A) = p(E A) / p(A) con p(A) 0 … infatti, la p(E|A) soddisfa le 3 proprietà base della definizione assiomatica della probabilità, quindi e’ corretto “parlare” di una probabilità per la p(E|A) così definita. - p(E A) 0 & p(A) > 0 p(E|A) > 0 - S A = A p(S|A) = p(S A) / p(A) = p(A) / p(A) = 1 …

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… - Per insiemi E1, E2, E3, … a due a due disgiunti p(E1 E2 E3 … |A) =

= p((E1 E2 E3 … ) A) / p(A) = = [p(E1 A) + p(E2 A) + p(E3 A) + …] / p(A) = = p(E1 | A) + p(E2 | A) + p(E3 | A) + …

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Tramite la probabilità condizionata, si ricava la legge della probabilità composta p(A B) nella sua forma più generale (indifferentemente se per eventi statisticamente indipendenti o se per eventi dipendenti):

p(A B) = p(A|B) p(B) = P(B|A) p(A)

Nell’evento A ∩ B il ruolo degli eventi A e B si può scambiare (l’operatore ∩ è commutativo), per cui P(A ∩ B) = P(B ∩ A).

Nel caso particolare di eventi casuali statisticamente indipendenti, cioè tali che il verificarsi o meno dell’uno non alteri la probabilità di presentarsi dell’altro, p(A | B) = P(A) & p(B | A) = p(B)

p(A B) = p(A) p(B)

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Thomas Bayes (Londra, 1702 – Tunbridge Wells, 17 aprile 1761) è stato un matematico e

ministro presbiteriano britannico, noto soprattutto nella statistica per il suo

teorema sulla probabilità condizionata, pubblicato postumo nel 1763

Il teorema di Bayes (conosciuto anche come teorema della probabilità delle cause), proposto da Thomas Bayes, deriva da

due teoremi fondamentali delle probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta.

Viene impiegato per calcolare la probabilità di una causa che

pensiamo abbia prodotto l'evento che si è verificato.

In altri termini, si conosce il risultato dell’esperimento e si vuole calcolare la probabilità che sia dovuto ad una teoria.

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Dati 2 eventi casuali A e B qualsiasi A = (A B) (A B) Se definisco la probabilità condizionata p(x|y) che si verifichi l’evento x nel caso in cui si sia già verificato l’evento y, come: p(x|y) = p(x y) / p(y) con p(y) 0 p(A) = p(A B) + p(A B) = [p(A|B) p(B)] + [p(A|B) p(B)] = = [p(A|B) p(B)] + [p(A|B) (1 - p(B))]

A B

S

)()|()()|(

)()|(

)(

)(

)(

)()|(

BpBApBpBAp

BpBAp

Ap

BAp

Ap

ABpABp

+

18

19

S

20

21

22

… 1mo ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes

- Ho 2 monete: 1 moneta “buona” che ha pari probabilità di dare testa o di

dare croce (= 0.5); 1 moneta “cattiva” con 2 teste sulle 2 facce;

… Se scelgo una delle 2 monete: ho 2 eventualità mutuamente esclusive

A1: scelgo la moneta ”buona” A2: “ “ “ “cattiva”

con probabilità: p(A1) = p(A2) = 0.5 … se l’evento casuale E consiste nell’uscita di 1 testa, allora:

p(E|A1) = 0.5 e p(E|A2) = 1 … ora faccio l’esperimento di lanciare la moneta 1 volta

ottenendo testa, qual’e’ la probabilità che nella scelta iniziale io abbia scelto la moneta “buona”?

3

1

75.0

25.0

5.015.05.0

5.05.0

)()|()()|(

)()|()|(

2211

111

+

+

xx

x

ApAEpApAEp

ApAEpEAp (~33%)

23

24

… lancio la moneta non 1 volta soltanto, ma N volte… … si tratta di lanci indipendenti tra loro

… se ottengo almeno 1 croce su N lanci, posso concludere

che la moneta era “buona” (evento A1); … se non ottengo mai croce su N lanci (evento E) :

p(E|A1) = 1 / 2N e p(E|A2) = 1 p(A1|E) = 1 / (1 + 2N ) A1: scelgo la moneta ”buona”

Diminuisce la probabilità p(A1|E) per N >>1 di avere scelto la moneta “buona” non avendo ancora visto l’evento E (ovvero: NO croce su N lanci) p(A2|E) = 2N / (1 + 2N ) A2: scelgo la moneta ”cattiva”

Aumenta la probabilità di avere scelto la moneta “truccata”...

25

… 2ndo ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes - In una scuola ci sono:

60% di studenti maschi; 40% di studenti femmine;

… Se gli studenti maschi indossano tutti i “pantaloni”,

ovvero con probabilità: 100% ...

… Se gli studenti femmine indossano gonne e pantaloni con pari probabilita’: 50% ...

… ora faccio l’esperimento di di guardare la scuola da lontano,

ovvero di “intravedere” solo se lo studente indossa “pantaloni”,

ma non sono in grado di riconoscere se lo studente e’ maschio o femmina

... Se “intravedo” uno studente con i pantaloni, qual’e’ la probabilita’ che lo studente sia femmina?

26

27

... Simbolicamente ...

28

… 3zo ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes - Si progetta un esperimento di Fisica per lo studio di:

1) Eventi di un certo tipo che costituiscono il “Segnale” e che saranno rivelati con probabilita’ p(S) ~1%.

2) Insieme al “Segnale” ci sono anche altri eventi

che pero’ non interessano e che costituiscono il “Fondo” e che saranno rivelati con probabilita’ p(F) ~99% .

- Il sistema di rivelazione degli eventi (“Segnale” e “Fondo”) e’ concepito con un apparato di rivelazione che e’ in grado di: 1) Rivelare il “Segnale” con una probabilità p(R|S) ~90% (efficienza trigger selezione eventi) 2) Rivelare il “Fondo” con una probabilità p(R|F) ~10% (inefficienza trigger selezione eventi)

29

= 92%

30

0

1

sia stata identificata

pur essendo stata identificata come muone

0

31

32

… 4rto ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes - Una analisi clinica e’ affidabile al 95% nel rilevare correttamente una patologia in un individuo.

In altri termini, una frazione di esiti positivi al test pari al 5% risulta associata a pazienti sani!

- La patologia indagata dal test clinico e’ diffusa tra la

popolazione con un tasso pari a 1%.

- Evento B, individuo affetto dalla patologia p(B) = 1% - Evento A, esito positivo al test diagnostico … analisi positiva ESSENDO il paziente malato p(A|B) = 95% … analisi positiva ESSENDO il paziente sano p(A|B) = 5%

33

sia

sia

!!!!!!!

34

… 5nto ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes: - In un campione di 30 persone (EU+MA),

di cui 17 europee (EU) e 13 malgasce (MA). p(EU) = 17 / 30 = 57% p(MA) = 13 / 30 = 43%

- Probabilita’ che una “malattia x” colpisca una persona e’: in EUROPA p(M|EU)= 33%, in MADAGASCAR p(M|MA)= 42%

Evento M, un individuo tra I 30 colpito dalla malattia: p(M) = p(M|EU) p(EU) + p(M|MA) p(MA) = = 0.33x0.57 + 0.42x0.43 = 0.37

Calcolare la probabilita’ condizionata che un soggetto scelto a caso tra i 30, se colpito dalla malattia possa risultare europeo p(EU|M) oppure malgascio p(MA|M) :

%4937.0

43.042.0

)(

)()|()|(

%5137.0

57.033.0

)(

)()|()|(

x

Mp

MApMAMpMMAp

x

Mp

EUpEUMpMEUp

35

… 6sto ESEMPIO di utilizzo del teorema di Bayes - Sistema automatico industriale per il controllo di qualita’:

…Evento E, pezzo eliminato dal controllo di qualita’

…Evento D, pezzo prodotto difettoso

- Da misure su di un campione so che: a) Se un pezzo e’ difettoso, esso viene eliminato con probabilita’ p(E|D) = 99.5% … pezzo eliminato ESSENDO difettoso…;

b) Se un pezzo NON e’ difettoso, esso viene eliminato con probabilita’ p(E|D) = 0.1%. ...pezzo non difettoso eliminato erroneamente...

c) Un pezzo qualunque prodotto … potra’ essere difettoso con probabilita’ p(D) = 15% ... Oppure... … potra’ NON essere difettoso p(D) = 1 - p(D) = 85%

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Calcolare la probabilita’ condizionata che un pezzo difettoso non sia eliminato al controllo di qualita’: p(D|E)

… pezzo NON eliminato ESSENDO difettoso… p(E|D) = 1 - p(E|D) = 100% - 99.5% = 0.5%

... pezzo NON eliminato NON essendo difettoso…

p(E|D) = 1 - p(E|D) = 100% - 0.1% = 99.9%

)|()()|()(

)()|(

)(

)()|()|(

DEpDpDEpDp

DpDEp

Ep

DpDEpEDp

+

00088.085.0999.015.0005.0

15.0005.0

)()|()()|(

)()|()|(

+

+

xx

x

DpDEpDpDEp

DpDEpEDp

37

Tramite un albero degli eventi

… si riportano gli eventi stessi che si succedono, evidenziando i loro reciproci rapporti di dipendenza e/o di indipendenza.

… vengono riportate le corrispondenti probabilita’, finalizzate

al calcolo della probabilita‘ degli esiti finali.

… si possono cosi’ calcolare anche le probabilita’ di eventi condizionati.

38

Albero delle decisioni per il 6sto ESEMPIO sul controllo di qualita’

D

D

E

E

E

E

14925.0995.015.0)()()( DEpDpEDp

00075.0005.015.0)()()( DEpDpEDp

00085.0001.085.0)()()( DEpDpEDp

84915.0999.085.0)()()( DEpDpEDp

15.0)( Dp

85.0)( Dp