Aspetti gruppali nel modello nucleare a shell

Pietro Guarato

30 agosto 2009

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I concetti della fisica sono libere creazioni dello spirito umano e non sono,nonostante le apparenze, determinati unicamente dal mondo esterno.

Albert Einstein

IntroduzioneE’ noto che, all’attuale stadio di sviluppo della fisica nucleare, si è ancora molto

lontani da una teoria unificata del nucleo atomico: nessun modello, cioè, risulta in gra-do di descrivere da solo con buona approssimazione il comportamento e le peculiaritàdel nucleo nelle sue molteplici manifestazioni. Il modello a shell, per qualche temporitenuto il più probabile candidato a questo scopo, è risultato presto inadeguato, per-lomeno per i nuclei più pesanti, a causa dell’elevato numero di stati permessi relativiad una determinata autoenergia (ovvero dell’elevato grado di degenerazione), che con-duce ad un aumento proibitivo delle difficoltà computazionali e risulta incongruentecon i dati sperimentali: sono stati perciò elaborati numerosi sottomodelli del modello ashell, imperniati sull’utilizzo dei gruppi di simmetria, allo scopo precipuo di diminuireil numero degli stati consentiti ai singoli nucleoni, cioè di ridurre la degenerazione.

Mentre il modello a shell descrive il nucleo in termini di particelle singole indipen-denti immerse in un campo (o un potenziale) medio che approssima le interazioni diciascun nucleone con tutti gli altri, i cosiddetti ”modelli collettivi” (per esempio quellorotazionale) si basano sull’assunzione del moto coerente di un gran numero di nucleonientro il nucleo. Anche se questi due approcci sembrano notevolmente diversi, l’osser-vazione sperimentale della presenza di bande rotazionali nello spettro di alcuni nucleisufficientemente leggeri da poter essere descritti mediante il modello a shell determinò,a partire dalla fine degli anni ’50, l’impetuoso sviluppo e il vasto utilizzo di uno deisottomodelli precedentemente citati, formalizzato ufficialmente per la prima volta daJ. P. Elliott nel 1958, che si serve principalmente del gruppo SU3 per classificare glistati dei nucleoni nei nuclei con 16 ≤ A ≤ 40, in corrispondenza dei quali si ha il pro-gressivo riempimento della shell (2s, 1d). Per studiare lo spettro energetico, in questomodello si adopera il potenziale di un oscillatore armonico più un potenziale residuo ditipo quadrupolare. Il ridotto intervallo in A preso in considerazione è dovuto al fattoche per nuclei con A < 16 la classificazione di Elliott non dice nulla di nuovo in quan-to risulta essere identica a quella del modello a shell, mentre per nuclei con A > 40l’aumento progressivo degli effetti di interazione spin-orbita splitta i livelli energeticicausando una notevole divergenza fra teoria ed esperienza e quindi la destabilizzazionedello schema in esame.

Lo scopo del presente elaborato è quello di descrivere la costruzione matemati-ca di questo modello di classificazione degli stati nucleari, ovvero la determinazione,mediante il ricorso all’algebra dei gruppi, dei numeri quantici utili a labellare le auto-funzioni dell’energia e la successiva deduzione delle autoenergie relative all’interazioneresidua di tipo quadrupolare che porta alla formazione di bande rotazionali nello spet-tro dei nuclei considerati. Tale schema quindi, pur costruito a partire dal modelloa shell, consente l’identificazione di caratteristiche collettive e quindi, in una certamisura, permette di giungere ad un primo, parziale livello di unificazione delle dueteorie in determinati casi. La parte conclusiva sarà dedicata al confronto tra la teoriae l’esperienza nei casi particolari dei nuclei del 20Ne e del 28Si.

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N.B. Le autofunzioni vengono determinate a partire dall’hamiltoniana dell’osc.armonico, mentre le autoenergie sono relative all’hamiltoniana dell’interazione residuadi tipo quadrupolare.

Capitolo 1

Se si considerano come forze agenti sulle particelle del nucleo solo quelle indipendentidallo spin, la prima approssimazione proposta nel modello a shell del potenziale medioa simmetria sferica in cui ogni nucleone si trova immerso è data, com’è noto, dalpotenziale dell’oscillatore armonico, dato che i due potenziali risultano avere una for-ma molto simile per gli stati legati (almeno per quelli di più bassa energia). A questopotenziale si dovrà poi aggiungerne un secondo relativo ad un’interazione residua ap-propriata, capace di tener conto degli effetti dell’interazione nucleone-nucleone noninclusi nel campo centrale medio e di splittare gli stati degeneri in l dovuti a quest’ul-timo senza spostare particelle da un orbitale all’altro. L’hamiltoniana che utilizzeremosarà quindi della forma

H = H0 + V (1.1)ove H0 è l’hamiltoniana media di particella singola (che può o meno includere i terminidi spin-orbita, dato che nell’intervallo di A considerato essi non sono così intensi damodificare le chiusure di shell (??)) che, come si è già detto, sarà approssimata conl’hamiltoniana dell’oscillatore armonico, mentre V è l’hamiltoniana dell’interazioneresidua.

Concentriamoci sul termine H0: come già anticipato, esso può essere approssimatodall’hamiltoniana dell’oscillatore armonico, la quale, posto ω =

√km

e α =√

mω~ , si

può scrivere come

H0 =p2

2m+mω2

2r2 =

p2

2m+k

2r2 =

p2 + ~2α4r2

2m=α2(α−2p2 + ~2α2r2)

2m(1.2)

Introduciamo ora gli operatori di creazione e distruzione dei quanti dell’oscillatorearmonico

a†j =α√

2

2(~rj − iα−2pj), aj =

α√

2

2(~rj + iα−2pj), j = 1, 2, 3 (1.3)

che soddisfano le relazioni di commutazione

[a†j , a†k] = [aj , ak] = 0, [aj , a

†k] = δjk, (1.4)

e i nove operatori di shift (CONTROLLA SE IL NOME E’ GIUSTO...)

Aij =1

2(a†iaj + aja

†i ), i, j = 1, 2, 3, (1.5)

che hanno l’effetto di spostare un quanto di oscillatore armonico dalla direzione j alladirezione i e che soddisfano le relazioni di commutazione (dalle (1.4))

[Aij , Akl] = δjkAil − δilAkj . (1.6)

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Proposizione 1 L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico ha come gruppo di simme-tria il gruppo U3 delle matrici 3× 3 unitarie complesse.

Dimostrazione. Per l’equazione (A.7), gli operatori Aij formano un’algebra di Liee sono quindi i generatori di un gruppo (più precisamente, lo sono le loro combinazionilineari hermitiane G±

ij = Aij + Aji ± i(Aij − Aji)): è noto dalla letteratura1 che talegruppo è il gruppo U3. Dalla (A.4) risulta inoltre che la rappresentazione più generaledi questo gruppo è data da

U = ei∑

j,k ξjkG±jk . (1.7)

In termini degli operatori Aij , si verifica immediatamente che la (1.2) si scrive

H0 =α2

2m(Axx +Ayy +Azz), (1.8)

e che quindi, tenendo conto delle (1.6), si ha

[H0, Aij ] = 0. (1.9)

Combinando la (1.7) e la (1.9) si trova infine che

[H0, U ] = 0, (1.10)

ovvero che H0 è invariante rispetto alle trasformazioni di U3. �

Per quanto riportato nell’appendice A, gli autovalori e le autofunzioni di H0 pos-sono quindi essere labellati mediante numeri quantici riferiti alle diverse rappresen-tazioni irriducibili di U3 ed ogni autovalore ha una degenerazione pari alla dimensionedella rappresentazione2. Gli autostati degeneri appartengono alla medesima rappre-sentazione irriducibile di U3: in altre parole, gli operatori del gruppo trasformano solotra stati dello stesso orbitale.

Nel caso dell’oscillatore armonico a molte particelle, è immediato vedere che val-gono gli stessi risultati per

H0 =∑

t

H0(t) (1.11)

e perAij =

∑t

Aij(t) (1.12)

dove t è un indice che corre sul numero di particelle.

Definizione 1 Per un sistema a molti corpi, l’operatore momento angolare orbitaleè un tensore di rango uno3 definito come

Lq =∑

t

Lq(t) (1.13)

oveLq(t) = (r× p)q (1.14)

1Cfr. per esempio [6].2Per esempio, i 6 possibili stati della shell N = 2 dell’oscillatore armonico appartengono

ad una rappresentazione 6-dimensionale di U3.3Ossia un vettore.

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sono le componenti del momento angolare orbitale di particella singola, mentre l’operatoredi quadrupolo è un tensore di rango due a 5 componenti (????) definito come

Qq =∑

t

Qq(t) (1.15)

ove

Qq(t) =

√4π

5(α2r2Y 2

q (θr, φr) + p2Y 2q (θp, φp)). (1.16)

Questi operatori possono essere riscritti in termini degli operatori di shift:

L±1 =

√2

2(Axz −Azx)± i

√2

2(Ayz −Azy), (1.17)

L0 = i(Ayx −Axy), (1.18)

Q±2 =

√6

2(Axx −Ayy)± i

√6

2(Axy +Ayx), (1.19)

Q±1 = ∓√

6

2(Axz +Azx)− i

√6

2(Ayz +Azy), (1.20)

Q0 = −Axx −Ayy + 2Azz. (1.21)

In base alle (1.6) risultano allora valere le seguenti relazioni di commutazione:

[L0, L±1] = ±L±1, (1.22)

[L−1, L+1] = L0, (1.23)

[Q±2, L±1] = [Q0, L0] = 0, (1.24)

[Q±2, L0] = ∓2Q±2, (1.25)

[Q0, L±1] = ±√

3Q±1, (1.26)

[Q±2, L∓1] = ∓√

2Q±1, (1.27)

[Q±1, L0] = Q±1, (1.28)

[Q±1, L±1] = ±√

2Q±2, (1.29)

[Q1, L−1] = −√

3Q0 −1

2√

2(Q2 −Q−2), (1.30)

[Q−1, L1] =√

3Q0, (1.31)

[Q±2, Q0] = [Q±2, Q±1] = 0, (1.32)

[Q0, Q±1] = ±3√

3L±1, (1.33)

[Q±2, Q∓1] = ±3√

2L±1, (1.34)

[Q2, Q−2] = 6L0, (1.35)

[Q1, Q−1] = −3L0. (1.36)

Si verifica inoltre che H0 (nella forma data dall’equazione (1.8)) commuta con tutti glioperatori Lq e Qq scritti in termini degli operatori di shift. Possiamo dunque consid-erare come generatori di U3, al posto degli Aij , nove loro combinazioni lineari date daH0, Lq (q = −1, 0, 1) e Qq (q = −2,−1, 0, 1, 2)(CONTROLLA....). Il sottoinsieme diotto operatori che omette H0 gode della proprietà di chiusura rispetto all’operazionedi commutazione (come si può vedere dalle equazioni (1.22)-(1.36)) e genera quindi un

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sottogruppo di U3 il quale non può che essere il gruppo SU34 delle matrici 3× 3 uni-

tarie complesse con determinante +1. Entro una data shell nucleare, la trasformazione

unitaria U0 = eiξ0H0 = eiξ0α2(Axx+Ayy+Azz)

2m (con ξ0 coefficiente reale arbitrario) cheabbiamo escluso si limita a modificare le funzioni di base di una fase, senza traslarequanti di oscillatore da una direzione all’altra (si osservino i tre operatori di shift pre-senti), ed è quindi priva di reale interesse fisico. Siamo perciò interessati, strettamenteparlando, ad una classificazione degli stati del modello a shell basata sul gruppo SU3.

Prima di proseguire è utile una puntualizzazione: ciò che ci proponiamo di fare,come si è detto, è una caratterizzazione sempre più precisa degli autostati nuclearinella shell (2s, 1d) mediante l’introduzione di opportuni numeri quantici (ciascunoriferito ad un particolare gruppo rispetto al quale l’hamiltoniana H0 è invariante)atti a labellare le funzioni d’onda corrispondenti a questi stati. Dalla definizione dirappesentazione data nell’appendice A emerge che gli stati possono essere classificatisimultaneamente rispetto a due gruppi distinti solo se le trasformazioni dei due gruppioperano in spazi differenti o se uno dei due gruppi è sottogruppo dell’altro. Gli elementidi Sn operano nello spazio dei numeri di particella, quelli di U3 (e analogamentequelli del suo sottogruppo SU3) nello spazio delle funzioni d’onda: è quindi possibileclassificare gli stati rispetto a Sn e a SU3 simultaneamente5. Sappiamo inoltre (si vedal’appendice B) che la classificazione rispetto a Sn è equivalente a quella rispetto a tuttele trasformazioni di Us tra gli s possibili stati di particella singola di una determinatashell (ad esempio, a N = 2 corrisponde s = 6, quindi il gruppo in questione è U6):siccome U3 è un sottogruppo di Us (per s ≥ 3) e SU3 è un sottogruppo di U3, laclassificazione fatta rispetto a Sn (utilizzando i numeri quantici [f1f2f3...], si vedal’appendice B) e a SU3 (utilizzando i numeri quantici (λµ), si veda il prossimo capitolo)può essere considerata equivalente a quella fatta rispetto a Us e a SU3. Risulterà quindisignificativo il concetto di riduzione di un gruppo rispetto ad un suo sottogruppo, checi dice quali rappresentazioni di un sottogruppo (o quali valori dei relativi numeriquantici) appartengono a una data rappresentazione del gruppo che lo contiene (INFORMULE E SIMBOLI???).

4E’ l’unico sottogruppo di U3 che ha dimensione 8.(CONTROLLA....)5E’ immediato rendersi conto che l’hamiltoniana è invariante rispetto alle permutazioni di

coppie di particelle di Sn.

Capitolo 2

Si vede facilmente che possiamo designare univocamente gli stati (AUTOSTATI??)dell’oscillatore armonico specificando il corrispondente numero di quanti1 di oscilla-tore (cioè N = nx +ny +nz) e la direzione di ciascun quanto (cioè nx, ny, nz): siccomel’oscillatore viene assunto isotropo, infatti, è sempre possibile spostare quanti di oscil-latore da una direzione all’altra senza modificare l’energia, essendo quest’ultima datada EN = ~ω(N + 3

2). H0 risulta quindi invariante rispetto a trasformazioni unitarie

delle funzioni di oscillatore φ della forma

φ′

{ni} =∑

j=x,y,z

Uijφ{nj} (2.1)

in cui il numero totale di quanti è conservato: possiamo perciò classificare glistati con un definito numero di quanti N in base alle loro simmetrie rispetto allepermutazioni dei quanti suddetti, e siccome un gruppo di simmetria di H0 è il gruppoU3, ciò significa che possiamo labellare questi stati in base a U3.

Come detto a conclusione del capitolo precedente, però, vorremmo classificare glistati in base al gruppo SU3, che è fisicamente più significativo. Per farlo, notiamoinnanzitutto che ogni quanto di oscillatore armonico può essere rappresentato da unacella in una tavola di Young che illustra la simmetria della funzione d’onda comp-lessiva di più quanti: ad esempio, ad ogni nucleone nella shell (2s, 1d) (cioè N = 2)corrispondono 2 quanti di oscillatore armonico, quindi a k nucleoni corrispondono 2kquanti, cioè, in una tavola di Young, 2k celle, le quali possono avere diversi tipi disimmetria rispetto alle permutazioni ma in nessun caso possono essere disposte in mo-do che la tavola abbia più di 3 righe, in quanto ci sono solo 3 direzioni consentite aiquanti e quindi non può esistere uno stato che sia complessvamente antisimmetricoin più di 3 quanti2. I diversi stati possono dunque essere determinati specificando ilnumero di celle in ciascuna delle 3 righe, [f1f2f3], analogamente a quanto riportatonell’appendice B.

Ora, siccome lo stato totalmente antisimmetrico rispetto alle permutazioni deiquanti, rappresentato ”alla Young” mediante una colonna con 3 celle (si veda la figura(2.1)), corrisponde alla funzione (non normalizzata)

1Ricordiamo che i quanti, a differenza dei nucleoni, non sono fermioni ma bosoni.2Invece, può esistere uno stato complessivamente simmetrico in più di 3 quanti, per esempio

uno stato con 2 quanti lungo x, 2 quanti lungo y e 2 quanti lungo z (CONTROLLA...).

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Figura 2.1: tavola di Young dello stato di 3 quanti totalmente antisimmetrico, [111].

F = det

φnx(1) φny (2) φnz (3)φnx(2) φny (3) φnz (1)φnx(3) φny (1) φnz (2)

, (2.2)

dove le φni , i = x, y, z, sono le 3 funzioni relative ai singoli quanti di oscillatorearmonico. Dopo una trasformazione unitaria simultanea di queste funzioni, si ottienela funzione

F ′ =∑

q,r,s,t,...

U1qU2rU3sU4t...det

φnx(1) φny (2) φnz (3)φnx(2) φny (3) φnz (1)φnx(3) φny (1) φnz (2)

(2.3)

ovvero

F ′ = det(U) · F. (2.4)

Volendo restringerci al caso in cui U ∈ SU3, dobbiamo imporre la condizione ulteri-ore det(U) = 1, la quale ci porta a concludere che F (cioè la funzione corrispondente a[111]) è invariante rispetto alle trasformazioni U di SU3. In una rappresentazione ”allaYoung” questo ha importanti conseguenze: ad esempio, siccome la rappresentazione[421] può essere equivalentemente scritta come [111]⊗ [31] e [111] è invariante rispettoalle trasformazioni di SU3, in una classificazione degli stati fatta rispetto a tale gruppolo schema [421] è del tutto equivalente a [31].

Figura 2.2: [421] = [111]⊗ [31].(MA IL PRODOTTO TENSORE NON E’ UNASOMMA DIRETTA DI PIU’ TERMINI?)

Dato che sappiamo che le tavole di Young relative a stati di quanti di oscillatorearmonico non possono avere più di 3 righe, questo ci dice che nella classificazionerispetto a SU3 possono avere al massimo 2 righe e che quindi in questo caso può essereintrodotta una nuova notazione costituita dalla coppia di numeri quantici (λµ) definiticome λ = f1− f2 e µ = f2. Il numero di stati con una certa simmetria (λµ), ovvero la

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dimensione della rappresentazione (λµ) di SU3, segue immediatamente dalla formula(B.5) con s = 3, f1 − f2 = λ, f2 − f3 = µ:

dim(λµ) =1

2(λ+ 1)(µ+ 1)(λ+ µ+ 2) (2.5)

Gli stati nucleari di un insieme di n particelle a cui siamo interessati (quelli dellashell N = 2) possono quindi essere classificati non solo mediante la rappresentazione[f ] basata sul gruppo Sn (o equivalentemente U6, come visto nell’appendice B3), maanche (e in modo fisicamente più significativo) per mezzo della rappresentazione (λµ)basata sul gruppo SU3. Il risultato di questa classificazione è riportato nella tabella(2.3), dove è indicato il numero di volte (?????) che ogni rappresentazione (λµ) apparenella riduzione di una data rappresentazione [f ]4.

Dalla classificazione rispetto a Sn e a SU3 passiamo ora alla classificazione rispettoa SU3 e al suo sottogruppo R3

5. L’indice che labella le rappresentazioni irriducibili diR3 (o meglio di O3) è dato dal numero quantico L di momento angolare (ORBITALE?E QUELLO DI SPIN?): si ha infatti che, sotto la trasformazione data da un operatoreunitario di rotazione R(n, θ) = e−iθn·L (cioè da un elemento di R3), una genericafunzione d’onda ψ viene ruotata, in un sistema fisso di coordinate, di un angolo θattorno alla direzione del versore n, dando come risultato una nuova funzione

ψ′ = R(n, θ)ψ = e−iθn·Lψ. (2.6)

Se la rotazione (2.6) avviene attorno all’asse z e θ è un angolo infinitesimo ε, si ha

ψ′ = (1− iεLz)ψ. (2.7)

Espressioni analoghe possono essere ottenute per rotazioni infinitesime attornoagli assi x e y, quindi, per l’equazione (A.5), gli operatori Lx,y,z sono i generatori dellerotazioni in R3.

I 2 quanti di oscillatore armonico che nella shell N = 2 corrispondono ad ogniparticella possono godere di 2 tipi di simmetria rispetto alle permutazioni, in base alleregole del prodotto esterno (PERCHE’ NON SI FA IL PRODOTTO INTERNO?):

Siccome ogni fonone trasporta un’unità di momento angolare, gli stati a due fononipossono trasportare una quantità complessiva di momento angolare L = 0, 1 o 2 (perla nota regola di composizione dei momenti angolari, L ⊗ L′ = (L + L′) ⊕ (L + L′ −1)⊕ ...⊕ |L−L′|). Le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili (20) e (01) di SU3

si ricavano dall’equazione (2.5):

dim(20) = 6, dim(01) = 3. (2.8)

3Ricordiamo che la degenerazione in l della shell (2s, 1d) è pari a 6: tenendo conto dei2 possibili valori dello spin, la degenerazione diventa pari a 12; tenendo conto anche dei 2possibili valori dell’isospin, diventa pari a 24.

4Per semplicità, in questa tabella n non denota il numero di nucleoni, ma solo di protoni (odi neutroni), perchè i 2 tipi di particelle si comportano in modo indipendente l’uno dall’altro,quindi la classificazione dei neutroni sarà identica a quella dei protoni.

5R3 è il gruppo delle rotazioni in R3 e una sua rappresentazione matriciale fedele (DEFINIS-CILA...) è fornita dal gruppo di Lie O3 delle matrici R 3× 3 ortogonali, ovvero soddisfacentila condizione RT R = RRT = 1, ove RT indica la trasposta di R, di modo che, a molti effetti,i due gruppi possono essere identificati. Il determinante di una matrice ortogonale è +1 o −1.Volendo essere del tutto precisi, R3 esclude le riflessioni (cioè le rotazioni improprie) e sarebbequindi più appropriato identificarlo con il gruppo O+

3 delle matrici di O3 con determinante+1.

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Figura 2.3: numero di volte che ogni rappresentazione (λµ) di SU3 appare nella riduzionedi una rappresentazione [f ] di Sn per n (o k) particelle nella shell (2s, 1d). Per comodità, latabella è suddivisa in tre parti, a seconda che sia il numero k +2, k +1 o k ad essere divisibileper 3.

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Figura 2.4: (10)⊗ (10) = (20)⊕ (01).

Le dimensioni delle tre rappresentazioni irriducibili di R3 degli stati a due fononi(labellate da L = 0, 1, 2) si possono ricavare dalla formula generale

dim(L) = 2L+ 1, (2.9)

ottenendo

dim(L = 0) = 1, dim(L = 1) = 3, dim(L = 2) = 5. (2.10)

Proposizione 2 Il momento angolare di uno stato di due particelle assume valoripari negli stati simmetrici e dispari in quelli antisimmetrici se le due particelle, presesingolarmente, hanno lo stesso valore del momento angolare.

Dimostrazione. Consideriamo le due funzioni d’onda di particella singola φjm(1)e φj′m′(2): la funzione d’onda dello stato di due particelle sarà allora ψJM (12) =∑

mm′〈jmj′m′|JM〉φjm(1)φj′m′(2) e se simmetrizziamo/antisimmetrizziamo questostato e adoperiamo le proprietà di simmetria dei coefficienti di Clebsch-Gordan rispet-to alla permutazione di una coppia di particelle otteniamo la funzione d’onda (nonnormalizzata) ψJM (12)±ψJM (21) = [1± (−1)j+j′−J ]ψJM (12), che nel caso in cui siaj = j′ ci dice che J assume valori pari negli stati di due particelle simmetrici e valoridispari in quelli antisimmetrici. �

Applicando al caso rappresentato in Figura (2.4) questa proposizione6 e la regoladi composizione dei momenti angolari, troviamo che la rappresentazione (01), ovvero ilcaso totalmente antisimmetrico, deve trasportare il valore L = 1 di momento angolare(lo si vede anche dall’uguaglianza delle dimensioni delle due rappresentazioni (λµ) =(01) e L = 1), mentre la rappresentazione (20) deve trasportare L = 0 e L = 2.Iterando questo procedimento per un numero di fononi via via crescente, si trova chel’algoritmo per determinare le rappresentazioni L di R3 presenti nella riduzione di unarappresentazione (λµ) di SU3 è dato da

L = K,K + 1,K + 2, ...,K + max{λ, µ} (2.11)

dove K = min{λ, µ},min{λ, µ} − 2, ..., 1 o 0 (a seconda che min{λ, µ} sia pari odispari), tranne che nel caso K = 0, perchè allora

L = max{λ, µ},max{λ, µ} − 2, ..., 1 o 0. (2.12)

6Le due particelle in questo caso sono due fononi, ciascuno dei quali trasporta un’unità dimomento angolare.

Capitolo 3

Il nostro intento ora è quello di determinare una classificazione rispetto a SU3 e aisuoi sottogruppi SU2 e U1. Il sottogruppo SU2 si ottiene dal gruppo U2 imponendo lacondizione di unimodularità1. Si vede facilmente che U2 è generato dai 4 operatori dishift nel piano xy:

Axx, Axy, Ayx, Ayy, (3.1)

i quali soddisfano le relazioni di chiusura richieste per formare un’algebra di Lie(A.7) e possono essere combinati a formare le tre componenti di un tensore di rangouno:

Λ0 =1

2(Axx −Ayy), (3.2)

Λ+1 = −√

1

2Axy, (3.3)

Λ−1 =

√1

2Ayx, (3.4)

le quali generano il gruppo SU2, infatti la combinazione linearmente indipendenteAxx +Ayy è l’unica ad avere traccia non nulla e quindi il determinante della corrispon-dente trasformazione unitaria (che, come si vede dagli operatori di shift presenti, silimita a modificare le funzioni di base di una fase e perciò non ha interesse fisico) nonè unimodulare. Le relazioni di commutazione di questi tre operatori si ricavano dalle(1.6) e risultano essere

[Λ+1,Λ−1] = −Λ0, [Λ0,Λ±1] = ±Λ±1, (3.5)

che sono le stesse a cui obbediscono gli operatori del momento angolare (cioè igeneratori di R3) espressi nella base sferica2: questo stabilisce un isomorfismo traSU2 e R3, dunque possiamo labellare le rappresentazioni irriducibili del sottogruppoSU2 in precisa analogia con l’introduzione dei numeri quantici di momento angolare.Nella fattispecie, Λ giocherà il ruolo di numero quantico di momento angolare, mentrel’autovalore di Λ0 (chiamiamolo ν

2) quello di terza componente del momento angolare

e sarà quindi

1Cioè imponendo che le matrici del gruppo abbiano determinante unitario.2[L+1, L−1] = −L0, [L0, L±1] = ±L±1, con L±1 = ∓

√12(Lx ± iLy), L0 = Lz .

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ν

2= −Λ,−Λ + 1, ...,Λ− 1,Λ (3.6)

per le rappresentazioni irriducibili di SU2 labellate da Λ. L’analogo del quadratodel momento angolare è dato da

Λ2 = Λ20 − Λ+1Λ−1 − Λ−1Λ+1(????) (3.7)

il cui autovalore è Λ(Λ+1) che sarà 2Λ+1 volte degenere (tante volte, cioè, quantisono i possibili valori di Λ0).

Il generatore del gruppo U1 è una qualsiasi combinazione lineare degli Aii, adesempio possiamo scegliere

Q0 = 2Azz −Axx −Ayy (3.8)

avente per autovalore ε. Dato che si verifica facilmente che [Q0,Λ0] = [Q0,Λ±1] =0, è effettivamente possibile classificare gli stati in base ai sottogruppi SU2 e U1

simultaneamente.Il discorso può essere semplificato notando che per caratterizzare SU2 sono suffi-

cienti gli operatori Λ2 e Λ0: allora, siccome valgono le regole di commutazione

[Λ2,Λ0] = [Λ2, Q0] = [Q0,Λ0] = 0, (3.9)

possiamo classificare gli autostati secondo la riduzione SU3 ⊃ SU2×U1 labellandolimediante i numeri quantici λ e µ di SU3, ε di U1, Λ e ν (o ν

2) di SU2: φ = φ(λµεΛν).

In particolare, vorremmo scoprire quali sono i valori di ε, Λ e ν consentiti per un certovalore della coppia (λµ).

Dalle equazioni (3.8) e (3.2) si ha che

ε = 2nz − nx − ny = 3nz −N,ν

2=

1

2(nx − ny) = Λ,Λ− 1, ...,−Λ. (3.10)

Proposizione 3 Il range di valori che può essere assunto dagli autovalori di Q0, Λ2

e Λ0, noti λ e µ, è dato da

ε = 2λ+ µ− 3p− 3q, Λ =1

2µ+

1

2p− 1

2q, Λ0 =

1

2ν =

1

2µ+

1

2p− 1

2q − r

(0 6 p 6 λ, 0 6 q 6 µ, 0 6 r 6 2Λ). (3.11)

Dimostrazione. Per prima cosa costruiremo la funzione di ‘massimo peso’, cioè lafunzione con il valore più grande possibile di ε e, per tale valore di ε, quello più grandepossibile di ν; in seguito, utilizzeremo opportuni operatori di distruzione analoghi aL− per passare dalla funzione di massimo peso a tutte le altre possibili funzioni incorrispondenza di tutti i possibili valori (via via decrescenti) dei numeri quantici inesame finchè, applicando di nuovo questi operatori, non otterremo zero (cioè finchènon raggiungeremo il minimo valore possibile).

a) Costruzione della funzione di massimo peso. Dalle (3.10) si ha che

εmax = (2nz − nx − ny)max, νmax = (nx − ny)max, (3.12)

quindi la funzione di massimo peso è quella per cui nz è il più grande possibile dato uncerto valore di (λµ) e nx è il più grande possibile compatibilmente con questo valore di

14

nz. Dato poi che la tavola di Young relativa ad una certa rappresentazione irriducibile(λµ) di SU3 implica che la funzione d’onda complessiva sia antisimmetrica in almeno µcoppie di fononi, queste µ coppie di fononi devono stare in differenti stati di particellasingola. Allora, se µ fononi sono relativi alla direzione x dell’oscillatore armonico, irimanenti λ+ µ possono essere relativi alla direzione z:

(nz)max = λ+ µ, (nx)max = µ, (3.13)

e quindi le (3.12) diventano:

εmax = 2λ+ µ, νmax = µ. (3.14)

L’equazione (3.7) può essere riscritta come

Λ2 = Λ0(Λ0 + 1) +AyxAxy (3.15)

da cui (notando che, siccome ny = 0, il risultato dell’applicazione dell’operatore Axy

alla funzione di massimo peso è zero) possiamo ricavare l’equazione agli autovalori

Λ2φ(λµεmaxΛνmax) =1

2νmax(

1

2νmax+1)φ(λµεmaxΛνmax) =

1

2µ(

1

2µ+1)φ(λµεmaxΛνmax).

(3.16)La funzione di massimo peso ha quindi autovalore Λ = 1

2µ = Λ0 = 1

2ν (tenendo conto

dell’equazione (3.15)).b) Gli operatori di distruzione. Costruiremo le funzioni d’onda con Λ0 = Λ (ovvero

con il massimo valore possibile di Λ0 per ogni Λ, o meglio con il valore di Λ corrispon-dente al caso della funzione di massimo peso, con ny = 0), sulle quali faremo agireripetutamente l’operatore di distruzione relativo a Λ, Λ− = Ayx, che sposta un fononedalla direzione x alla direzione y, per trovare le funzioni con valori di Λ via via minori.Dai commutatori

[Q0, Axz] = −3Axz, [Q0, Ayz] = −3Ayz, (3.17)

è facile vedere che Axz e Ayz sono operatori di distruzione che diminuiscono il valore diε = 3nz −N di 3 unità alla volta: ad esempio, se facciamo agire il primo commutatoresulla funzione φ, otteniamo

Q0Axzφ(λµεΛν) = (AxzQ0 − 3Axz)φ(λµεΛν) (3.18)

e quindiQ0(Axzφ(λµεΛν)) = (ε− 3)(Axzφ(λµεΛν)) (3.19)

ovvero, se φ è un’autofunzione di Q0 con autovalore ε, Axzφ è ancora un’autofunzionedi Q0, ma con autovalore ε− 3. Inoltre, se facciamo agire il commutatore

[Λ2, Axz] =3

4Axz +

1

2Axz(Axx −Ayy) +AyzAxy (3.20)

su una funzione φ con Λ0 = Λ (ovvero con il valore di Λ corrispondente al caso dellafunzione di massimo peso), l’ultimo termine dà come risultato zero essendo Λ+ = Axy

l’operatore di creazione relativo a Λ. Si ha quindi

[Λ2, Axz]φ(λµεΛ,Λ0 = Λ) = Axz{3

4+

1

2(Axx −Ayy)}φ(λµεΛ,Λ0 = Λ)3 (3.21)

3Possiamo equivalentemente usare come quinto numero quantico Λ0 = 12ν al posto di ν.

15

da cui, tenendo conto che 12(Axx −Ayy) = Λ0 = Λ in questo caso, si giunge a

Λ2(Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ(Λ + 1) +3

4+ Λ)(Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ +1

2)(Λ +

3

2)(Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ +1

2)((Λ +

1

2) + 1)(Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) (3.22)

Così, se φ è autofunzione di Λ2 con autovalore Λ e Λ0 = Λ, Axzφ è autofunzione di Λ2

con autovalore Λ + 12

e inoltre autofunzione di Λ0 con autovalore Λ + 12, infatti:

[Λ0, Axz] =1

2Axz, (3.23)

da cui

Λ0Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (AxzΛ0 +1

2Axz)φ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ +1

2)Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)). (3.24)

In conclusione, possiamo scrivere:

Axzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ) = costante · φ(λµ, ε− 3,Λ +1

2,Λ0 = Λ +

1

2), (3.25)

ossia, Axz risulta essere un operatore che diminuisce ε di 3 unità alla volta, mentreaccresce Λ e Λ0 di 1

2unità alla volta (posto Λ0 = Λ).

A questo punto non ci resta che tovare un operatore che diminuisca Λ e Λ0 di 12

unità alla volta (posto Λ0 = Λ): tale risulta essere

Oyz = AyxAxz −Ayz(Axx −Ayy + 1), (3.26)

il cui effetto complessivo è di trasferire fononi dalla direzione z alla direzione y. Per laprecisione, si ha che

[Q0, Oyz] = −3Oyz, (3.27)

quindi Oyz diminuisce ε di 3 unità alla volta, e che

[Λ2, Oyz] = −Oyz(1

4+

1

2(Axx −Ayy)) +AyxAyzAxy : (3.28)

applicando questo commutatore a una funzione φ con Λ0 = Λ, siccome l’ultimo terminedà zero come risultato (in quanto Axy = Λ+), si ottiene (tenendo conto come al solitoche 1

2(Axx −Ayy) = Λ0 = Λ)

Λ2(Oyzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ− 1

2)(Λ +

1

2)(Oyzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)) =

= (Λ− 1

2)((Λ− 1

2) + 1)(Oyzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ)), (3.29)

16

quindi, se φ è autofunzione di Λ2 con autovalore Λ e Λ0 = Λ, allora Oyzφ è autofunzionedi Λ2 con autovalore Λ − 1

2e (da [Λ0, Oyz] = − 1

2Oyz) Λ0 = Λ − 1

2. In conclusione,

possiamo scrivere:

Oyzφ(λµεΛ,Λ0 = Λ) = costante · φ(λµ, ε− 3,Λ− 1

2,Λ0 = Λ− 1

2), (3.30)

ossia, Oyz risulta essere un operatore che diminuisce ε di 3 unità alla volta, Λ di 12

unità alla volta e Λ0 di 12

unità alla volta (posto Λ0 = Λ).Notiamo anche che

[Oyz, Axz] = 0, (3.31)

quindi l’ordine di questi due operatori (uno di accrescimento, l’altro di dimuzione diΛ) può essere scambiato tranquillamente e mediante essi possiamo costruire stati convalori arbitrari di ε e Λ partendo dallo stato di massimo peso φMP con ε = εmax =2λ+ µ e Λ = 1

2µ:

φ(λµεΛ,Λ0 = Λ) = costante ·OqyzA

pxzφMP (λµ, ε = 2λ+ µ,Λ =

1

2µ,Λ0 =

1

2µ) (3.32)

conε = 2λ+ µ− 3p− 3q, Λ =

1

2µ+

1

2p− 1

2q. (3.33)

Per determinare tutti i possibili valori di ε e Λ dobbiamo prima determinare gli in-tervalli di definizione di p e q. Iniziamo con l’osservare che Axz trasferisce un fononedalla direzione z alla direzione x: partendo da una funzione di massimo peso con λ+µfononi nella direzione z e µ fononi nella direzione x, è possibile trasferire al massimo λfononi dalla direzione z alla direzione x, perchè il trasferimento del (λ+1)-esimo fononecreerebbe almeno uno stato antisimmetrico di due fononi entrambi lungo la stessa di-rezione x, ma una tale funzione è identicamente nulla (in quanto se due bosoni hannotutti i numeri quantici uguali non possono costituire una funzione d’onda antisimmet-rica (E LA FUNZIONE D’ONDA DI SPIN???)). Deve quindi essere necessariamentep 6 λ. Inoltre, come si è visto, dopo aver operato con Axz λ volte si ha nx = λ + µe nz = µ: allora, successive ripetute applicazioni di Oyz daranno come risultato zerodopo µ volte (perchè a quel punto si sarà arrivati a nz = 0). Deve quindi essere nec-essariamente q 6 µ (si noti che l’ordine di applicazione dei due operatori è irrilevanteper il risultato finale a causa dell’equazione (3.31)). Ogni valore della coppia (p, q)definisce quindi un valore della coppia (ε,Λ) nell’intervallo 0 6 p 6 λ, 0 6 q 6 µ: aciascuna quaterna di valori di questi quattro numeri quantici corrispondono 2Λ + 1funzioni (perchè Λ0, l’unico numero quantico non ancora considerato, può assumere intotale 2Λ + 1 valori distinti). Il numero totale di stati con una certa simmetria (λµ) èallora dato dalla sommatoria

λ∑p=0

µ∑q=0

[2Λ + 1] =

λ∑p=0

µ∑q=0

[2(1

2µ+

1

2p− 1

2q) + 1] =

1

2(λ+ 1)(µ+ 1)(λ+ µ+ 2), (3.34)

in accordo con l’equazione (2.5). I numeri quantici ε, Λ, ν (o Λ0) sono dunque sufficientiper labellare completamente le autofunzioni con una certa simmetria (λµ), che possonoessere scritti (ricorrendo all’operatore Ayx = Λ− per ottenere i diversi possibili valoridi Λ0 = 1

2ν)

φ(λµεΛΛ0) = N(λµpqr)AryxO

qyzA

pxzφMP (λµ, ε = 2λ+ µ,Λ =

1

2µ,Λ0 =

1

2ν =

1

2µ)

(3.35)

17

(ove N(λµpqr) è una costante di normalizzazione) con

ε = 2λ+ µ− 3p− 3q, Λ =1

2µ+

1

2p− 1

2q,

Λ0 =1

2ν =

1

2µ+

1

2p− 1

2q − r = Λ− r = Λ0,max − r

(0 6 p 6 λ, 0 6 q 6 µ, 0 6 r 6 2Λ). (3.36)

�

Denoteremo gli stati classificati in base alla riduzione SU3 ⊃ SU2×U1 con φ((λµ)γεΛν),ove γ comprende tutti i possibili numeri quantici finora non considerati. Un’altra no-tazione possibile è data da ψ((λµ)αLM)4, equivalente alla precedente, ove di nuovoα assorbe tutti i possibili numeri quantici aggiuntivi. E’ possibile espandere la primafunzione in termini della seconda, cioè scrivere

φ((λµ)γεΛν) =∑αLK

a((λµ)γεΛν, αLK)ψ((λµ)αLK). (3.37)

Notiamo infine che, dalla relazione tra ε, ν e il numero di fononi lungo le tredirezioni nx, ny e nz da una parte (in base all’equazione (3.10)), e λ, µ dall’altra(in base all’equazione (3.11)), emerge che per λ � µ si ha nz � nx e quindi lacorrispondente funzione d’onda descrive una deformazione prolata, mentre per µ� λsi ha nx � nz e quindi la corrispondente funzione d’onda descrive una deformazioneoblata.

4Ricordiamo che L rappresenta il momento angolare orbitale, M è la sua terza componentenel sistema di riferimento del laboratorio, K la sua terza componente nel sistema di riferimentointrinseco: a seconda del sistema di riferimento in cui ci poniamo, quindi, possiamo usareequivalentemente M o K come terza componente di L.

Capitolo 4

E’ sempre possibile costruire un operatore invariante per i gruppi di Lie semisemplici1:è l’operatore di Casimir, una particolare combinazione dei generatori del gruppo cheper U3 è semplicemente

C′ =∑i,j

AijAji (4.1)

in termini degli operatori di shift definiti nell’equazione (1.5). C, l’operatore diCasimir per SU3, può essere ottenuto da C′ escludendo dai generatori l’operatore H0

che distingue U3 da SU3, ovvero, ricordando l’equazione (1.8), definendo dei nuovioperatori

A′ij = Aij −

1

3δij(Axx +Ayy +Azz), (4.2)

in base ai quali si ha

C =∑i,j

A′ijA

′ji =

∑i6=j

AijAji+1

6(2Azz−Axx−Ayy)2+

1

2(Axx−Ayy)2 =

1

6Q·Q+

1

2L·L(???????).

(4.3)Se esprimiamo l’addendo all’ultimo membro contenente il tensore di quadrupolo

in termini degli operatori di particella singola, otteniamo:

Q ·Q =

n∑i=1

Q(i) ·Q(i) +∑i6=j

Q(i) ·Q(j), (4.4)

dove il secondo termine al secondo membro è la forza tra due particelle di tipoquadrupolo-quadrupolo, che ci aspettiamo essere la componente prevalente dell’in-terazione effettiva nucleone-nucleone per grandi distanze(PERCHE’???). Siccome lerappresentazioni irriducibili (λµ) di SU3 diagonalizzano C (IN CHE MODO???), inquanto C è un gruppo di simmetria di SU3 per costruzione, e siccome per la nostraclassificazione L è un buon numero quantico (infatti è l’indice che labella le rappre-sentazioni irriducibili di R3, come abbiamo visto), per l’equazione (4.3) esse diagonal-izzano anche Q ·Q. La parte attrattiva dell’interazione effettiva a lungo raggio puòquindi essere scritta, in base alla (4.3), come

1In generale, un gruppo è detto semisemplice se non possiede alcun sottogruppo invariante(cioè un sottogruppo che commuta con tutti gli elementi del gruppo) abeliano ad eccezionedell’elemento neutro.

19

−Q ·Q = 3L2 − 6C (4.5)

che conduce, in accordo con i dati sperimentali, all’insorgere negli spettri energeti-ci di numerosi nuclei (a causa della presenza del termine in L2) di una dipendenzadal momento angolare orbitale di tipo L(L + 1) entro una data rappresentazione ir-riducibile di SU3: queste non sono altro che le bande rotazionali secondo la descrizionefornita dallo schema SU3 nella teoria di Elliott e la loro insorgenza è dunque dovutaall’interazione quadrupolo-quadrupolo.

Siccome C è invariante rispetto a SU3, il suo valore calcolato rispetto ad uno statoclassificato in base a questo gruppo dipende solo dalla particolare rappresentazioneirriducibile del gruppo alla quale quello stato appartiene, ovvero dai valori di λ e di µche la labellano: quindi, qualunque stato relativo ad una rappresentazione (λµ) puòessere equivalentemente usato per determinare il valore di C. E’ conveniente adoperarelo stato di massimo peso nella riduzione SU3 ⊃ SU2 × U1, perchè esso ha il massimonumero di fononi nella direzione z e, compatibilmente con questo valore, il massimonumero di fononi nella direzione x e quindi si ha:

AxyφMP (λµ) = AzxφMP (λµ) = AzyφMP (λµ) = 0. (4.6)

Possiamo riscrivere i termini del tipo AijAji che compaiono nell’equazione (4.3) usandole relazioni di commutazione (1.6): ad esempio, si ha

AxyAyx = AyxAxy +Axx −Ayy, (4.7)

forma particolarmente utile in quanto per le funzioni di massimo peso ny = 0, quindiAxy fatto agire su una tale funzione produce zero come risultato. Inoltre, per unafunzione di massimo peso,

(2Azz −Axx −Ayy)φMP (λµ) = εmaxφMP (λµ) = (2λ+ µ)φMP (λµ), (4.8)

e(Axx −Ayy)φMP (λµ) = νmaxφMP (λµ) = µφMP (λµ). (4.9)

Dall’equazione (4.3) si ricava allora l’equazione agli autovalori:

CφMP (λµ) = 4(λ2 + µ2 + λµ+ 3λ+ 3µ)φMP (λµ), (4.10)

e dall’equazione (4.5) è immediato concludere che gli stati di più bassa energia siotterranno scegliendo la rappresentazione (λµ) che massimizza l’autovalore di C nel-l’equazione (4.10).

Vogliamo ora studiare l’applicazione del modello di Elliott basato sul gruppo SU3

alla shell (2s, 1d) di alcuni nuclei leggeri: per comodità ci limiteremo a considerareil caso di maggior interesse, quello dei nuclei pari-pari2, perchè in tal caso la densitàdegli stati di bassa energia è sufficientemente piccola da non creare ambiguità nella lorodistinzione ed identificazione, ed inoltre perchè in questo caso dagli esperimenti emergeche tutti gli stati di massima simmetria orbitale hanno S = 0 e quindi, restringendocia queste particolari funzioni, le forze dipendenti dallo spin avranno elementi di matricenulli e il momento angolare totale J di uno stato coinciderà con il momento angolareorbitale L che è quello da noi considerato finora.

2Cioè, con un numero pari sia di protoni che di neutroni.

20

Concentriamoci ora sull’equazione (1.1): il termine di interazione residua, come an-ticipato all’inizio e per i motivi suddetti, sarà preso di tipo quadrupolare a cui aggiun-geremo un termine proporzionale al potenziale di Majorana per migliorare l’accordocon i dati sperimentali:

V = aM +b

4(Q ·Q), (4.11)

ove a e b sono costanti dimensionali il cui valore più opportuno è stato calcolato essere

a ≈ −1, 053 MeV, b ≈ −0, 211 MeV (4.12)

e M =∑

i<j Pij3 è l’operatore di Majorana.

Quest’ultimo operatore ”ordina” gli stati in base alla loro simmetria orbitale [f ]:ad esempio, se la simmetria orbitale di una funzione d’onda di molte particelle [f ] èillustrata da una tavola di Young con 4 colonne contenenti rispettivamente n1, n2, n3

e n4 celle, il valore di aspettazione (cioè la misura dell’autovalore) dell’operatore diMajorana può essere scritto:

〈M〉[f ] = n2 + 2n3 + 3n4 −1

2

4∑i=1

ni(ni − 1), (4.13)

che può essere interpretato4 come il numero di coppie simmetriche (nelle righe)nella rappresentazione [f ] meno il numero di coppie antisimmetriche (nelle colonne).Allora, essendo il parametro a negativo, gli stati con massima simmetria orbitale(CIOE’????) avranno energia più bassa, come nel caso di un potenziale centrale.Per quanto riguarda il termine contenente Q · Q, infine, gli autostati di più bassaenergia sono stati calcolati in base alla (4.5) tenendo conto della (4.10) nell’equazioneagli autovalori (GIUSTO? O IL PROCEDIMENTO E’ PIU’ COMPLICATO??).

Gli spettri, calcolati in base allo schema SU3, dei nuclei del 20Ne e del 28Si presi inesame derivano dal potenziale riportato nell’equazione (4.11) con i parametri (4.12).Nel calcolo delle energie sono stati considerati solo gli autostati aventi le energie piùbasse nella classificazione fatta rispetto a SU3 (?????), ovvero gli stati di base conmassima simmetria orbitale [f ]: la ragione di ciò nasce da alcuni calcoli effettuati daElliott e riportati nella tabella (4.1).

Nella penultima colonna della tabella sono riportate le percentuali delle funzionid’onda relative al modello a shell standard che hanno massima simmetria orbitale,cioè che appartengono alla partizione di funzioni d’onda di particelle [f ] di più bassaenergia (PERCHE’ E’ SCRITTO L-S???), scegliendo sempre per comodità, tra tuttele rappresentazioni (λµ) compatibili con quella determinata [f ], quella che ha µ = 0, inmodo tale da massimizzare λ+µ e quindi l’autovalore di C, così da ottenere effettiva-mente gli stati di più bassa energia (per l’equazione (4.10)). Nell’ultima colonna sonoriportate le percentuali di sovrapposizione tra le funzioni d’onda relative al modelloa shell standard e quelle relative allo schema SU3. L’interazione usata per eseguirei conti è costituita da un potenziale di Yukawa (per esprimere la dipendenza radi-ale dell’interazione nucleone-nucleone) con uno scambio (??????) di Rosenfeld5 e unpotenziale di particella singola (TROVA LA FORMULA ESATTA!!!): la matrice del-l’energia per una forza di Yukawa è stata valutata, indi diagonalizzata allo scopo di

3Pij è l’operatore di permutazione della particella i-esima con la particella j-esima.4Vedi ”Nuclear shell theory” pag. 469...(CONTROLLA!!!)5E’ un particolare coefficiente del potenziale.

21

Figura 4.1: sovrapposizioni tra funzioni d’onda.

ottenere lo spettro e le funzioni d’onda(SPIEGARE MEGLIO...). Si può notare che laclassificazione rispetto a SU3 è fisicamente rilevante nei nuclei considerati, in quantole sue funzioni d’onda risultano essere una buona approssimazione di quelle relative almodello a shell e in più, come si è visto, portano all’insorgenza di bande rotazionalisperimentalmente verificate. Ad esempio, nel caso del nucleo del 20Ne, con 4 nucleoninella shell N = 2 ci sono 4 stati S, cinque stati D, quattro stati G, ecc. (dalla regola dicomposizione dei momenti angolari, ricordando che i singoli stati a due fononi possonotrasportare L = 0, 1 o 2), corrispondenti alla rappresentazione totalmente simmetrica[f ] = [4], quella di più bassa energia: siccome per questi stati S = 0, si ha J = Le dalla tabella risulta che il confronto tra questi stati di SU3 nella rappresentazione(λµ) = (80) e gli stati del modello a shell di più bassa energia per ogni valore delmomento angolare dà un buona somiglianza. I due casi per i quali la sovrapposizionedelle due funzioni d’onda risulta pari al 100% sono banali perchè in quei casi c’è solouno stato con quel valore di L (E ALLORA???).

(i) Lo spettro del nucleo di 20Ne. Nella figura (4.2) viene mostrato come la simme-tria orbitale (il termine M) e il termine di tipo quadrupolare (contenente l’operatore diCasimir di SU3 e L2) del potenziale residuo V prescelto cooperino alla formazione dellospettro energetico finale, cioè lo spettro (c), che può essere facilmente messo a confron-to con i dati sperimentali. Gli spettri (a), (b) e (c) in successione sottolineano comel’operatore di Majorana rimuove la degenerazione degli stati dell’oscillatore armonicoin base alla loro simmetria orbitale [f ], come poi l’operatore C splitti ulteriormentei livelli energetici in base allo schema SU3 (cioè alla simmetria (λµ)) e, infine, comel’operatore L2 determini un’altra differenziazione degli stati degeneri, questa volta inbase alla simmetria rispetto a R3, ovvero al momento angolare orbitale ed evidenzi,grazie al suo autovalore L(L+1), la formazione di bande rotazionali, ad esempio soprail livello descritto dalla rappresentazione (82)− 6, che inizia con un livello 0− a circa 9MeV.

6Viene qui riportata anche la parità dello stato: la parità dello stato di una particella inun potenziale centrale è data da (−1)l.

22

Figura 4.2: Lo spettro del nucleo del 20Ne (a) con un puro potenziale di Majorana e livellialtamente degeneri labellati mediante la simmetria [f ] di Sn; (b) con l’aggiunta dell’operatoredi Casimir C di SU3 e livelli degeneri labellati mediante la simmetria (λµ) di SU3; e (c) con ilpotenziale di Majorana più un potenziale attrattivo di tipo quadrupolo-quadrupolo. Lo statofondamentale in (c) ha quindi simmetria [f ] = [4], (λµ) = (80) e momento angolare orbitaleL = 0.

23

Figura 4.3: Lo spettro del nucleo del 28Si. Gli spettri (a), (b) e (c) sono stati determinatiin modo analogo a quelli di figura (4.2), mentre gli spettri (d) e (e) facendo ricorso ad unpotenziale a due corpi gaussiano con scambi di Serber e di Rosenfeld rispettivamente.

24

(ii) Lo spettro del nucleo di 28Si. Il discorso generale è analogo al punto (i),ma con alcune peculiarità: ad esempio, come emerge dalla tavola (2.3), entrambe lerappresentazioni irriducibili (12, 0) e (0, 12) di SU3 sono possibili nella situazione dimassima simmetria orbitale del 28Si (ovvero, compaiono nella riduzione della rappre-sentazione [444] di massima simmetria orbitale (??????) del 28Si) ed entrambe dannolo stesso autovalore per l’operatore C nell’equazione (4.10), che è di certo l’autovalorecorrispondente agli stati di più bassa energia. Le soluzioni (cioè gli autostati) cheminimizzano l’energia sono dunque degeneri, ma una delle due (la (12,0)) implica unasuperdeformazione prolata, l’altra (la (0,12)) una superdeformazione oblata e siccomequeste due possibilità di energia minima devono coesistere nello spettro del nucleo di28Si, esso risulta di conseguenza piuttosto complesso.

Appendice A

Teoria dei gruppi e meccanicaquantistica

Iniziamo dalla nozione algebrica di gruppo:

Definizione 2 Un insieme G di elementi {gi} nel quale è definita un’operazione, in-dicata come moltiplicazione, è chiamato gruppo se sono soddisfatti i seguenti assiomi:

i) il prodotto di due elementi di G è ancora un elemento di G;ii) la moltiplicazione è associativa: (gigj)gk = gi(gjgk);iii) ∃! elemento identità e tale che egi = gi per ogni elemento di G;iv) ogni elemento gi di G possiede uno (e un solo) elemento inverso g−1

i tale cheg−1

i gi = e.Se inoltre vale la proprietà commutativa, ovvero gigj = gjgi per ogni coppia di

elementi di G, G è detto gruppo commutativo (o abeliano).

Dato allora un gruppo G, è detto complesso o sottoinsieme di G ogni insieme nonvuoto formato da elementi di G, e sottogruppo di G ogni complesso di G i cui elementiformino gruppo rispetto alla medesima operazione definita in G.

L’insieme R di matrici n × n (con n finito o infinito) M costituisce una rappre-sentazione n-dimensionale del gruppo G se ad ogni elemento gi di G corrisponde unelemento di R, gi → M(gi) ∈ R, tale che sia rispettata la legge di moltiplicazione delgruppo, ovvero M(g1)M(g2) = M(g1g2).

In meccanica quantistica gli operatori lineari O possono essere visti in modo equiv-alente come matrici (di dimensione finita o infinita) mediante la relazione Omn =〈m|O|n〉, dove l’insieme dei vettori {|m〉} è una base completa e ortonormale di auto-stati dell’operatore O. Le rappresentazioni di un gruppo tramite operatori lineari pos-sono essere unitarie o non unitarie. Le rappresentazioni in termini di matrici unitarie1

sono chiamate rappresentazioni unitarie.Supponiamo che il gruppo in questione sia un gruppo di operatori lineari che

agiscono su uno spazio di funzioni n-dimensionale descritto da un insieme completo difunzioni ortonormali {ψµ} = {ψ1, ψ2, ..., ψn}. Allora per un qualsiasi elemento gi delgruppo si ha che giψν =

∑nµ=1Mµν(i)ψµ: l’insieme di matrici Mµν(i), dove i labella

1Una matrice U è detta unitaria se è soddisfatta la condizione UU† = 1, ove U† denota lamatrice aggiunta di U .

26

gli elementi del gruppo, costituisce per l’appunto una rappresentazione n-dimensionaledel gruppo. E’ immediato a questo punto introdurre il concetto di rappresentazioneirriducibile:

Definizione 3 Se esiste un sottospazio L′ dello spazio di funzioni L =< {ψµ} >tale che nessun elemento di un gruppo G, agendo su un elemento di L′, dia originea una funzione che non appartiene a L′, L′ costituisce una base per una rappresen-tazione ridotta di G. L’insieme di matrici corrispondente {Mµν(i), µ = 1, 2, ...,n’, ν =1, 2, ..., n′} è una rappresentazione n′-dimensionale (n′ < n) del gruppo. Se un’ulteri-ore riduzione di questo tipo non è possibile, la rappresentazione è detta irriducibile.

Nelle applicazioni fisiche, assume notevole importanza il concetto di invariante diun gruppo: in particolare, l’hamiltoniana H è detta invariante rispetto alle trasfor-mazioni del gruppo G se giHg

−1i = H (ovvero [H, gi] = 0) per ogni elemento gi di G.

In questo caso, G costituisce un gruppo di simmetria per H. E’ evidente che, se G èun gruppo di simmetria per H, anche qualsiasi sottogruppo di G lo è. Supponendo cheesista una degenerazione nello spettro di H tale che Hψν = Eψν , ν = 1, 2, ..., n, pern autofunzioni linearmente indipendenti, e che H sia invariante rispetto alle trasfor-mazioni {gi} del gruppo G, abbiamo che giHψν = giHg

−1i giψν = Hgiψν = Egiψν ,

ovvero giψν è un’autofunzione di H con autovalore E. Quindi, considerando la rappre-sentazione n-dimensionale di G fornita dalla relazione giψν =

∑nµ=1Mµν(i)ψµ, si vede

che tramite le rappresentazioni del gruppo di simmetria di H è possibile ottenere unaclassificazione delle autofunzioni di H(SPIEGARE MEGLIO...). In forma matriciale,quindi, l’hamiltoniana può assumere un aspetto diagonale a blocchi, in cui i blocchisono relativi alle diverse rappresentazioni irriducibili del suo gruppo di simmetria:

H =

H11 H12 H13 0 0 0 0 . . .H21 H22 H23 0 0 0 0 . . .H31 H32 H33 0 0 0 0 . . .0 0 0 H44 H45 0 0 . . .0 0 0 H54 H55 0 0 . . .0 0 0 0 0 H66 H67 . . .0 0 0 0 0 H76 H77 . . ....

......

......

......

(A.1)

dove

H11 ≡ (ψ1, Hψ1), H12 ≡ (ψ1, Hψ2), . . .

......

H44 ≡ (φ4, Hφ4), H45 ≡ (φ4, Hφ5), . . .

......

essendo {ψν} e {φµ} insiemi di funzioni che trasformano secondo differenti rappresen-tazioni irriducibili e quindi soddisfacenti alle relazioni

(φµ, ψν) = 0, (φµ, φλ) = δµλ, (ψν , ψσ) = δνσ. (A.2)

L’equazione (A.1) segue dal fatto che Hψν trasforma secondo la stessa rappresen-tazione irriducibile di ψν e quindi

(φµ, Hψν) = 0 (A.3)

27

segue dall’equazione (A.2). Come conseguenza dell’equazione (A.1), la diagonaliz-zazione di H (allo scopo di determinarne gli autovalori) si riduce al compito molto piùsemplice di diagonalizzare i singoli blocchi presenti nella matrice.

Definizione 4 Un gruppo continuo (i cui elementi, cioè, dipendono da uno o piùparametri {α} in modo continuo) è un gruppo di Lie se la varietà su cui vivono i suoiparametri è una varietà analitica (o differenziabile) rispetto a questi ultimi. Se talevarietà è anche compatta, si ha un gruppo di Lie compatto.

Ogni rappresentazione di un gruppo di Lie compatto è equivalente ad una rap-presentazione in termini di operatori unitari (che per quanto detto sopra può essereparimenti vista come una rappresentazione matriciale); a sua volta, ogni elementodi un gruppo unitario2 che si possa ottenere dall’elemento unità con una variazionecontinua dei parametri può essere scritto come (CONTROLLA....)

U({ξ}) =∏a

eiξaXa = ei∑

a ξaXa (A.4)

ove gli n parametri ξa (a = 1, 2, ..., n) sono reali e le matrici Xa sono particolarioperatori hermitiani detti generatori delle trasformazioni infinitesime,

U({ε}) ' 1 + i∑

a

εaXa +O(ε2), (A.5)

essendo per definizione

Xa =∂U(~ξ)

∂ξa ~ξ=~0

. (A.6)

La dimensione del gruppo è data dal numero di parametri del gruppo, che è paria quello dei generatori.

Esiste un isomorfismo tra un gruppo di Lie ed una struttura algebrica costituita dauno spazio vettoriale dotato di un’operazione di moltiplicazione (usualmente indicatacon il simbolo di commutatore) che sia antisimmetrica, lineare ed obbedisca all’identitàdi Jacobi: tale algebra, detta algebra di Lie, è perciò definita dalle relazioni di chiusura(dette anche relazioni di Lie-Cartan)

[Xa, Xb] =∑

c

fabcXc, (A.7)

dove le fabc sono le costanti di struttura del gruppo.

2Ossia un insieme di matrici unitarie che soddisfano le proprietà gruppali.

Appendice B

Le tavole di Young

Definizione 5 Il gruppo simmetrico Sn è il gruppo di n! elementi che corrispondonoalle n! possibili permutazioni di n oggetti.

Se consideriamo un sistema fisico di n particelle identiche (immaginate numerate),ogni permutazione delle loro coordinate spaziali può essere espressa con una deter-minata successione dei numeri 1, 2, 3, ..., n che può essere ottenuta dalla successionenaturale con permutazioni successive di coppie di particelle. La permutazione è dettapari o dispari a seconda che essa risulti da un numero pari o dispari di permutazioni dicoppie. Una possibile rappresentazione di Sn può essere ottenuta come segue: indicaticon P gli operatori delle permutazioni di n particelle ed introdotta la grandezza

δP =

{+1 se la permutazione è pari−1 se la permutazione è dispari

si ha che Pψ = ψ se la funzione d’onda spaziale complessiva del sistema di n particelle,ψ, è simmetrica rispetto a tutte le particelle, mentre Pψ = δPψ se ψ è antisimmetricarispetto a tutte le particelle. Dalla funzione arbitraria ψ si può formare una funzionesimmetrica mediante l’operazione di simmetrizzazione, un processo di permutazioni ecombinazioni lineari che può essere scritto:

ψsimm = costante∑P

Pψ, (B.1)

ove la somma corre su tutte le possibili permutazioni. L’antisimmetrizzazione, cioè lacostruzione di una funzione antisimmetrica, può invece essere scritta:

ψantisimm = costante∑P

δPPψ. (B.2)

Se le n particelle considerate sono nucleoni (quindi fermioni), la parte puramentespaziale della funzione d’onda complessiva potrà avere in generale diversi tipi di sim-metria ma, combinandosi con la parte puramente spinoriale, per soddisfare il prin-cipio di esclusione di Pauli dovrà dare origine ad una funzione d’onda totalmenteantisimmetrica. Suddividiamo ora l’insieme delle coordinate spaziali delle n parti-celle r1, r2, ..., rn (o, equivalentemente, degli indici 1, 2, ..., n) in sottoinsiemi contenentif1, f2, f3, ... elementi, in modo tale che sia

f1 + f2 + f3 + ... = n (B.3)

29

ef1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ .... (B.4)

Tale situazione può essere illustrata mediante uno schema, chiamato tavola di Young,in cui ciascuno dei numeri f1, f2, f3, ... è rappresentato da una riga di più celle ed ognicella deve essere immaginata contenere uno dei numeri 1, 2, ..., n, come nell’esempio infigura:

Figura B.1: una tavola di Young relativa al caso n = 13.

La successione dei numeri in una tavola deve essere sempre crescente andando dasinistra a destra (lungo una riga) e dall’alto in basso (lungo una colonna). Una tavoladi Young determina il tipo di simmetria della funzione d’onda spaziale complessivarispetto alle permutazioni delle particelle. Il diagramma (cioè la forma) di una tavoladi Young (che viene usualmente designato mediante la notazione [f ] = [f1f2f3...])corrisponde ad una rappresentazione irriducibile di Sn le cui funzioni di base sonodescritte da tutte le possibili configurazioni che si possono ottenere applicando allecelle di quella tavola di Young i numeri 1, 2, ...n in modo tale che siano soddisfattele equazioni (B.3) e (B.4) (in realtà, volendo essere del tutto precisi, non tutte lefunzioni così ottenute sono linearmente indipendenti, quindi la dimensione della rap-presentazione irriducibile di Sn in esame sarà inferiore). Una trasformazione unitariaapplicata ad una certa funzione non può modificare il diagramma di Young della fun-zione, in quanto è totalmente simmetrica nei numeri di particella (????): quindi, lerappresentazioni irriducibili di Us possono essere labellate, come quelle di Sn, medi-ante la sola partizione [f ]. Il numero delle possibili funzioni corrispondenti ad un datodiagramma di Young (ovvero la dimensione della rappresentazione [f ] del gruppo Us)è determinato dalla formula di Weyl :

dim[f ] =∏

16i<j6s

(fi − fj + j − i)

(j − i)(B.5)

Data una tavola di Young, la funzione d’onda spaziale complessiva è simmetricarispetto alle particelle di ogni riga considerata singolarmente, ma è impossibile sim-metrizzarla rispetto a particelle appartenenti a righe differenti; equivalentemente, essaè antisimmetrica rispetto alle particelle di ogni colonna considerata singolarmente, maè impossibile antisimmetrizzarla rispetto a particelle appartenenti a colonne differen-ti (VUOL DIRE CHE CI SONO COPPIE DI PARTICELLE CHE NON POSSONOESSERE NE’ SIMMETRIZZATE NE’ ANTISIMMETRIZZATE??). Allora, se unatavola di Young è costituita da una sola riga corrisponde a una funzione d’onda spazialesimmetrica rispetto a tutte le possibili permutazioni delle n particelle, mentre se è cos-tituita da una sola colonna corrisponde a una funzione d’onda spaziale totalmenteantisimmetrica. Per esempio, se n = 2:

30

Figura B.2: la prima tavola corrisponde al caso totalmente simmetrico, la seconda a quellototalmente antisimmetrico.

Se le 2 particelle si trovano in stati φi che appartengono ad un medesimo liv-ello energetico s volte degenere in l1, i = 1, 2, ..., s, alla prima tavola corrispon-dono le 1

2s(s + 1) (COME SI TROVA QUESTA FORMULA?? CON IL CALCOLO

COMBINATORIO??) funzioni

ψ+i = φi(r1)φi(r2), (B.6)

ψ+ij(r1, r2) =

1√2(φi(r1)φj(r2) + φj(r1)φi(r2)), (B.7)

mentre alla seconda tavola corrispondono le 12s(s− 1) funzioni

ψ−ij(r1, r2) =1√2(φi(r1)φj(r2)− φj(r1)φi(r2)) =

1√2det

(φi(r1) φj(r1)φi(r2) φj(r2)

)(B.8)

Esempi(si noti che i diversi stati degeneri possono essere univocamente identificatisia dai numeri quantici l e m, sia dai tre numeri quantici di oscillatore armoniconx, ny, nz):

a) se si considerano nucleoni nella shell 1p (corrispondente cioè al numero quanticototale di oscillatore armonico N = nx +ny +nz = 1), s = 2l+1 = 3, quindi esistono 3stati degeneri labellati da i = (l,m) = (1, 1), (1, 0), (1,−1) oppure da i = (nx, ny, nz) =(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);

b) se si considerano nucleoni nella shell (2s, 1d) (corrispondente cioè a N = 2),s = (2l+1)2s +(2l+1)1d = 6, quindi esistono 6 stati degeneri labellati da i = (l,m) =(2, 2), (2, 1), (2, 0), (2,−1), (2,−2), (0, 0) oppure da i = (nx, ny, nz) = (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1).

Nel caso n = 3, abbiamo 16s(s+ 1)(s+ 2) stati totalmente simmetrici

ψ+i (r1, r2, r3) = φi(r1)φi(r2)φi(r3), (B.9)

ψ+ij(r1, r2, r3) =

1√3(φi(r1)φj(r2)φj(r3) + φj(r1)φi(r2)φj(r3) + φj(r1)φj(r2)φi(r3)),

(B.10)

ψ+ijk(r1, r2, r3) =

1√6

∑6permutazioni

Pφi(r1)φj(r2)φk(r3), (B.11)

poi abbiamo 16s(s− 1)(s− 2) stati totalmente antisimmetrici

ψ−ijk(r1, r2, r3) =1√6det

φi(r1) φj(r1) φk(r1)φi(r2) φj(r2) φk(r2)φi(r3) φj(r3) φk(r3)

, (B.12)

1Ossia, s =∑

l(2l + 1).

31

e 23s(s + 1)(s − 1) stati di ”simmetria mista”, ovvero simmetrici rispetto ad una

coppia di particelle ed antisimmetrici rispetto ad un’altra: ad esempio

ψijk(r1, r2, r3) =1

2(φi(r1)φj(r2)φk(r3)+φj(r1)φi(r2)φk(r3)−φk(r1)φj(r2)φi(r3)−φk(r1)φi(r2)φj(r3)

(B.13)è simmetrica rispetto alla prima e alla seconda particella e antisimmetrica rispetto allaprima e alla terza, mentre

ψ′ijk(r1, r2, r3) =

1

2(φi(r1)φj(r2)φk(r3)−φj(r1)φi(r2)φk(r3)+φk(r1)φj(r2)φi(r3)−φk(r1)φi(r2)φj(r3)

(B.14)è simmetrica rispetto alla prima e alla terza particella e antisimmetrica rispetto allaprima e alla seconda. Le funzioni rappresentate dalle equazioni (B.9)-(B.11),(B.12),(B.13) e (B.14) corrispondono rispettivamente alle quattro seguenti tavole di Young:

Figura B.3:

Definizione 6 (CONTROLLA...) Il prodotto esterno ⊗ descrive le simmetrie gen-erate combinando stati di simmetria relativi a due differenti insiemi di particelle, ilprodotto interno × quelle generate combinando stati di simmetria relativi allo stessoinsieme di particelle.

Nella rappresentazione ”alla Young” il prodotto esterno può essere schematizzatomediante l’equazione

[f ]⊗ [f ′] =∑f ′′

nf ′′ [f′′] (B.15)

ove nf ′′ è un intero che dà il numero di volte che la rappresentazione [f ′′] apparenella decomposizione del prodotto. Le regole per generare la rappresentazione [f ′′]prevedono l’aggiunta delle celle di [f ′] alla tavola di Young di [f ], preservando lasimmetria di entrambe nella tavola finale [f ′′]: ciò può essere fatto applicando il numeroi a tutte le celle della i-esima riga in [f ′] e facendo in modo che nella tavola [f ′′] nonappaia più di una cella labellata con un certo numero i nella stessa colonna. Adesempio, se [f ] = [31] e [f ′] = [2] si ha che

32

Figura B.4: [f ]⊗ [f ′] = [31]⊗ [2] = [51]⊕ [42]⊕ [411]⊕ [33]⊕ [321].

Bibliografia

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