Asintoto obliquo Definizione: si dice che la retta di equazione

€

y = mx +q

€

x →+∞

€

Limx→ +∞

f x( ) −mx −q[ ] = 0

€

con m ≠ 0 è asintoto obliquo di f per se:

cioè se

€

f x( ) = mx +q+o 1( ) per x →+∞

€

y = mx +q

Vale lo stesso discorso per meno infinito; in particolare una funzione può avere asintoto obliquo sia a meno infinito sia a più infinito e non necessariamente devono essere uguali

Teorema: condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza dell’asintoto obliquo

Sia

€

f := a;+∞( ) →R, f ha asintoto obliquo per

€

x →+∞

di equazione

€

y = mx +q m ≠ 0( ) se e solo se:

€

Limx→ +∞

f x( )x

= m m∈R | m ≠ 0( )

€

Limx→ +∞

f x( ) −mx[ ] = q q∈R( )

Esercizio

Determinare gli eventuali asintoti obliqui di

€

f x( ) = x⋅ e1

x

€

Limx→ −∞

xe1

x

x=

€

Limx→ −∞

e1

x = e1

−∞ = e0 =1 = m ≠ 0

€

Limx→ −∞

xe1

x − x ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

−∞+∞

€

Limx→ −∞

x e1

x −1 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

e1

x −1 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟≈

1

x

€

Limx→ −∞

x1

x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=1 = q

€

⇒

€

y = x +1 per x →−∞

Appare evidente che accade la stessa identica cosa se

€

x →+∞

€

⇒

€

y = x +1 per x →±∞

€

per x →±∞ xe1

x = x +1+o 1( )

Esercizio

Determinare gli eventuali asintoti obliqui di

€

f x( ) = x 2 + 3

€

Limx→ −∞

x 2 + 3

x=

€

Limx→ −∞

x 2 + 3 + x( ) =

€

Limx→ −∞

x

x=

€

Limx→ −∞

−x

x= −1 = m ≠ 0

€

−∞+∞

€

Limx→ −∞

x 1+3

x 2 + x ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

Limx→ −∞

−x 1+3

x 2 + x ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

Limx→ −∞

− x 1+3

x 2 −1 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

1+3

x 2 −1 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟≈

3

2x 2

€

Limx→ −∞

− x3

2x 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= 0 = q

€

y = −x per x →−∞

€

Limx→ +∞

x 2 + 3

x=

€

Limx→ +∞

x

x= +1 = m ≠ 0

€

Limx→ +∞

x 2 + 3 − x( ) =

€

−∞+∞

€

Limx→ +∞

x 1+3

x 2 − x ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

Limx→ +∞

x 1+3

x 2 −1 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

y = +x per x →+∞

€

Limx→ +∞

x3

2x 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= 0 = q

Esercizio

Determinare gli eventuali asintoti obliqui di

€

f x( ) =x 2 − x + e−x

2x −1

€

Limx→ −∞

x 2 − x + e−x

2x −1x

=

€

y =1

2x −

1

4per x →+∞

€

Limx→ −∞

e−x

2x 2 = +∞ Non esiste asintoti obliquo

€

Limx→ +∞

x 2 − x + e−x

2x −1x

=

€

Limx→ +∞

x 2

2x 2 =1

2= m ≠ 0

€

Limx→ +∞

x 2 − x + e−x

2x −1−

1

2x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

Limx→ +∞

2x 2 − 2x + 2e−x − 2x 2 + x

2 2x −1( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

€

Limx→ +∞

−x

4x= −

1

4= q