As So No Me Tri A

PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

Tra i metodi di rappresentazione della Geometria Descrittiva, lAssonometria quella che meglio degli altri associa unimmagine spaziale complessiva alla misurabilit su carta del modello grafico. La codifica dellAssonometria da attribuire allo studioso tedesco Weisbach (1806-1871) al quale fece seguito Pohlke (1810-1876) che con i suoi contributi determin il definitivo ruolo cardine dellAssonometria nella rappresentazione

Oggetto nello spazio

Come per le proiezioni ortogonali nelle Assonometrie il centro di proiezione improprio, e la proiezione viene eseguita, secondo un fascio di rette parallele, su di un piano unico avente giacitura qualunque rispetto alloggetto.

Rappresentazione assonometrica


Differenza tra proiezioni assonometriche e proiezioni centraliLe proiezioni assonometriche ricadono nella famiglia delle proiezioni parallele e si differenziano da quelle centrali (prospettiva) per la posizione dellosservatore. Entrambe danno una rappresentazione dinsieme delloggetto, ma lassonometria consente una immediata lettura delle dimensioni delloggetto disegnato.

La rappresentazione delloggetto in assonoetria avviene su di un piano che seziona le rette parallele di proiezione; il disegno in assonometria coincide proprio con limmagine piana delloggetto individuata dai punti dintersezione tra le rette proiettanti ed il piano (quadro).


Corrispondenza biunivoca tra oggetto e rappresentazione assonometricaIl metodo delle proiezioni assonometriche garantisce la duplice direzione di lettura, delloggetto dal disegno e del disegno dalloggetto; esiste, cio, una corrispondenza biunivoca tra loggetto e la sua rappresentazione assonometrica.

Sia Q immagine assonometrica di un punto dello spazio. Ad esso possono corrispondere infiniti punti (N, P, Q, R, ecc.) e ci non conforme alla corrispondenza biunivoca appena accennata.

Affinch questa corrispondenza biunivoca sia verificata necessario inserire un sistema di riferimento ortogonale (0, x, y, z) che consenta di bloccare la posizione del punto nello spazio. Insieme al punto va proiettato, sul piano assonometrico, il sistema di riferimento (0, x, y, z) e tre unit di misura lette sui suoi assi.


Elementi di riferimento dellassonometriaGli elementi che entrano in gioco nelle proiezioni assonometriche sono: la direzione assonometrica, il piano assonometrico (quadro), il sistema di riferimento (0, x, y, z) ed ununit di misura (u = ux = uy = uz) da staccare sui tre assi del sistema si riferimento.z

3P2 P3

2DIREZIONE ASSONOMETRICA (S) Suz

UNITA DI MISURA (u)ux

P o uy y

P1

x

1zP2

SISTEMA DI RIFERIMENTO (0, x, y, z)

uz

P3

ux o

uy

P yP1

x

PIANO ASSONOMETRICO ()


Deformazioni lineari ed angolariQuesta operazione di proiezione provoca deformazioni lineari ed angolari del modello grafico (rappresentazione assonometrica) rispetto agli oggetti dello spazio. Conoscere una trasformazione assonometrica vuol dire conoscere le deformazioni che essa comporta.Il sistema di riferimento nello spazio costituito da tre assi tra loro ortogonali, per cui la somma degli angoli (, , ) che essi formano pari a 270 nella ; rappresentazione assonometrica le immagini degli assi del sistema di riferimento, hanno angoli (, , ) la cui somma pari allangolo giro (360 ). Le unit di misura (u) riportate sugli assi x del sistema di riferimento spaziale hanno unimmagine assonometrica che pu non corrisponde pi alla unit iniziale u, ma ad una lunghezza superiore o inferiore. Le rappresentazioni assonometriche comportano, quindi, deformazioni angolari e lineari rispetto alla realt.x z

3P2 P3

2 S P

+ + = 270 + + = 360

uz

ux

o uy y

P1

1z

DEFORMAZIONI ANGOLARI P2

uz

P3

ux

uy

o

P yP1

RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE: x = ux/ux; y = uy/uy; z = uz/uz


Teorema fondamentale delle assonometrie di Pohlke

Tre segmenti complanari ux, uy, uz, uscenti da un medesimo punto O e di lunghezza arbitraria, formanti tra loro angoli arbitrari, possono sempre essere considerati come proiezione parallela di tre segmenti uguali ed ortogonali tra loro, purch non pi di uno dei segmenti e non pi di uno degli angoli sia nullo.

Tale teorema fa capire come le rappresentazioni assonometriche oblique possibili sono infinite e che sempre possibile risalire ad una configurazione spaziale di un sistema di riferimento ortogonale, partendo da una sua rappresentazione piana sul quadro, scelta con assi e rapporti di riduzione presi in maniera arbitraria.


Classificazione delle AssonometrieIn base ai rapporti di riduzione lineare, le assonometrie possono essere classificate in: A. ISOMETRICA, A. DIMETRICA, A. TRIMETRICA.

ASSONOMETRIA ISOMETRICA

x = y = z

I RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE SONO UGUALI PER I TRE ASSI ASSONOMETRICI. NELLE TRE DIREZIONI OGNI ELEMENTO SUBISCE LE STESSE VARIAZIONI DIMENSIONALI.

ASSONOMETRIA DIMETRICAI RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE SONO UGUALI PER DUE DEI TRE ASSI ASSONOMETRICI E DIVERSI PER IL TERZO.

x = y z oppure oppure x = z y y = z x x y z

ASSONOMETRIA TRIMETRICA

I RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE SONO DIVERSI PER I TRE ASSI ASSONOMETRICI. OGNI ELEMENTO PARALLELO AI TRE DIFFERENTI ASSI SUBISCE VARIAZIONI DIMENSIONALI DISOMOGENEE.


Classificazione delle AssonometrieAltra classificazione delle assonometrie viene fatta in funzione dellangolo di incidenza delle rette proiettanti rispetto al piano assonometrico; se il fascio di rette proiettanti perpendicolare al piano assonometrico si parla di A. ORTOGONALE, altrimenti di A. OBLIQUA.

ASSONOMETRIA ORTOGONALE

ASSONOMETRIA OBLIQUA

ISOMETRICA

DIMETRICA TRIMETRICA

ISOMETRICA

DIMETRICA TRIMETRICA


Assonometria OrtogonalePer lassonometria ortogonale possibile stabilire i rapporti di riduzione sui tre assi assonometrici, note le loro reciproche inclinazioni, attraverso una costruzione grafica dei triangoli delle tracce.

Dato il sistema di riferimento ortogonale (0, x, y, z), un piano assonometrico (quadro) ed una direzione proiettiva assonometrica ortogonale al quadro, si determina nei punti X, Y, Z, lintersezione dei tre assi coordinati sul piano assonometrico; lunione di questi punti con limmagine O di O genera sul quadro il sistema degli assi assonometrici (0, x, y, z) come immagine del sistema di riferimento spaziale (0, x, y, z). La figura piana che si definisce sul quadro prende il nome di triangolo delle tracce dato che i segmenti XY, YZ e ZX sono le tracce dei piani individuati dalle coppie di assi ortogonali. La proiezione delle unit di misura poste sugli assi x, y, z, sul piano assonometrico consente lindividuazione dei rapporti di riduzione.

Il problema fondamentale nella ricerca dei rapporti di riduzione la risoluzione grafica svolta direttamente sul piano assonometrico.


Assonometria OrtogonaleEvidenziato il problema nello spazio, necessario risolverlo direttamente sul piano assonometrico, dato che noi disegniamo su di un foglio di carta bidimensionale. A tale scopo si effettua unoperazione di ribaltamento degli assi x, y, z, sul quadro, con una successiva proiezione nella direzione degli assi assonometrici.Il ribaltamento dei triangoli O-Tx-Ty e O-Ty-Tz, lungo i rispettivi lati Tx-Ty e Ty-Tz, individuano i ribaltamenti (O*, x*, y* e z*) sul quadro del sistema di riferimento (O, x, y, z), insieme alle unit di misura ux, uy e uz. Proiettando i ribaltamenti ux*, uy* e uz* delle unit di misura lungo le direzioni degli assi assonometrici, si generano le unit di misura deformate ux, uy e uz come intersezione delle proiezioni con gli assi assonometrici.

uz ux uy uz ux uy uz* uy*

ux*

uy*

Operazione di ribaltamento delle unit u sul quadro e proiezione sugli assi assonometrici


Assonometria OrtogonaleEssendo la proiezione assonometrica ortogonale al quadro, gli assi assonometrici sul piano risultano sempre perpendicolari ai lati del triangolo delle tracce Tx-Ty-Tz.

ux* = ux = u uy* = uy = u uz* = uz = uGraficamente si determina la lunghezza delle unit deformate ui e si calcolano i rapporti di riduzione lineare. u = unit di misura a scelta

z Tzz* uz *

O*uzuy *

x = ux/u z = uz/u

Ou yy*

y = uy/ux

Txx*

ux

Tyuy * y** ux

y

Questi rapporti sono da applicare alle dimensioni reali delloggetto nel momento in cui si esegue la sua rappresentazione assonometrica.

O*


Assonometria Ortogonale IsometricaLassonometria ortogonale isometrica caratterizzata dallavere un unico rapporto di riduzione sui tre assi pari a 0.816, ed una inclinazione reciproca degli assi assonometrici pari a 120 .RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE: x = y = z = 0.816

= = = 120

Assi assonometrici

Rappresentazione di un cubo avente lato pari a 10cm

Rappresentazione di un cubo avente lato pari a 10cm, secondo normativa UNI 4819

Sebbene nellassonometria ortogonale isometrica i rapporti di riduzione lungo i tre assi assonometrici siano tutti pari a 0.816, la normativa UNI 4819 prevede che, per ragioni pratiche, ammissibile e consigliabile applicare dei rapporti pari a 1, e mantenendo gli angoli tra glia assi pari a 120 .


Assonometria Ortogonale DimetricaLassonometria ortogonale dimetrica caratterizzata dallavere un unico rapporto di riduzione per due dei tre assi, pari a 0.943, un rapporto per il terzo asse pari a 0.471, ed una inclinazione reciproca degli assi assonometrici pari a 131.5e 97 .RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE:

x = 0.471 0.50

= = 131.5 = 97

y = z = 0.943 1.00

La normativa UNI 4819 prevede che, per ragioni pratiche, ammissibile e consigliabile arrotondare i rapporti di riduzione a valori pari a 1 (per i primi due) e pari a 0.5 (per il terzo).

Assi assonometrici

Rappresentazione di un cubo avente lato pari a 10cm, secondo normativa UNI 4819

Questo tipo di assonometria predilige la vista frontale e, pertanto, va applicata nella rappresentazione di oggetti dei quali si vuole mettere in evidenza una delle facce.


Assonometria Ortogonale TrimetricaLassonometria ortogonale trimetrica caratterizzata dallavere i tre rapporti di riduzione differenti luno dallaltro. Le possibilit di rappresentazioni trimetriche sono infinite e legate alla scelta degli assi assonometrici da adottare; scelti gli assi, possibile trovare i rapporti di riduzione con il metodo grafico del triangolo delle tracce.

RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE:

x

y z

Tabella riassuntiva delle Assonometrie Ortogonali

Nella tabella riassuntiva sono riportati i casi delle assonometrie ortogonali isometriche, dimetriche e due esempi di assonometrie trimetriche con le angolazioni degli assi scelte in modo tale da avere rapporti di riduzione di uso immediato.


Assonometria ObliquaLe assonometrie oblique sono proiezioni parallele nelle quali i raggi proiettanti incidono il piano assonometrico con unangolazione non ortogonale. Questo tipo di assonometria comporta procedimenti proiettivi molto complessi che non sempre portano a rappresentazioni esaurienti.

Tra le assonometrie oblique meritano di essere trattate due applicazioni usatissime nellambito della rappresentazione progettuale per la rapidit di esecuzione e per la ricchezza di informazioni che forniscono: lAssonometria Obliqua Cavaliera isometrica e dimetrica. La particolarit di questo tipo di assonometria dovuta al fatto che uno dei piani formati da due assi del sistema di riferimento (O, x, y, z) posto parallelamente al piano assonometrico. Ci comporta che i rapporti di riduzione relativi ai due assi che generano il piano parallelo al quadro, sono di valore unitario, e che langolo ortogonale tra gli stessi assi viene conservato nella rappresentazione assonometrica. Questo equivale a dire che su questo piano e sui piani ad esso paralleli, non si generano deformazioni lineari ed angolari.


Assonometria Obliqua Cavaliera IsometricaLassonometria obliqua cavaliera isometrica si genera appoggiando il piano xz sul quadro assonometrico, ed effettuando una proiezione parallela sul quadro con un angolo di incidenza paria a 45 in modo che il rap porto di riduzione lineare sullasse , y sia pure pari ad uno.RAPPORTI DI RIDUZIONE LINEARE: x = y = z = 1.00

= = 135

= 90

Proiezione parallela del cubo sul quadro con un fascio di rette inclinate di 45

Rappresentazione di un cubo

In questo caso la faccia del cubo appoggiata sul piano xz e laltra ad essa parallela, non hanno subito alcuna deformazione. Il limite di questa assonometria che, percettivamente, loggetto sembra sproporzionatamente allungato sullasse y


Assonometria Obliqua Cavaliera DimetricaLassonometria obliqua cavaliera dimetrica consente di ovviare al limite della rappresentazione isometrica; infatti, si dimezza il rapporto di riduzione lungo lasse y in modo da soddisfare maggiormente le esigenze visive. Questa assonometria raccomandata dalla normativa UNI 4819.A. O. Cavaliera Isometrica A. O. Cavaliera Dimetrica

Confronto tra lassonometria cavaliera isometrica e la dimetrica


x = z = 1.00 ; y = 0.50 = = 135 = 90



Assonometria Obliqua Cavaliera PlanometricaLassonometria obliqua cavaliera planometrica (o MILITARE) consente di mantenere inalterata la pianta delloggetto da rappresentare, in quanto il piano parallelo al quadro xy, ed alzare le altezze lungo la direzione dellasse z. Anche questa assonometria contemplata dalla normativa UNI 4819.


x = y = 1.00 ; z = 0.50 = = 135 = 90


x = y = 1.00 ; z = 0.50 = 90

= 120 = 150



Esempi di rappresentazioni assonometriche Rappresentazione in assonometria ortogonale trimetrica delledificio Postale a Roma dellarch. Adalberto Libera (1933).

Assonometria ortogonale trimetrica


Esempi di rappresentazioni assonometriche Rappresentazione in assonometria obliqua cavaliera isometrica delledificio Postale a Roma dellarch. Adalberto Libera (1933).

Assonometria obliqua isometrica


Esempi di rappresentazioni assonometriche Rappresentazione in assonometria obliqua cavaliera dimetrica del Museo di Arti Decorative a Francoforte dellarch. Richard Meier (1976).

Assonometria obliqua dimetrica


Esempi di rappresentazioni assonometriche Rappresentazione in assonometria obliqua cavaliera isometrica del Guggenheim Museum a New York dellarch. Frank Lloyd Wright (1958).

Assonometria obliqua isometrica


Esempi di rappresentazioni assonometriche Esempio di uno spaccato assonometrico rappresentato in assonometria obliqua cavaliera dimetrica (militare).

Spaccato assonometrico

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