Arco Fune Volta Cupola - Unife

Strutture resistenti per forma

ArcoFuneVolta CupolaCupola

1

Arco

La sollecitazione di compressione rappresentapraticamente l’unica sollecitazione cui la pietra e lamuratura sono in grado di resistere.

2

Arco

L’arco è un elemento strutturale in grado di incanalare,

con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni

prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti

di compressione.

3

Funi

Strutture soggette solo a sforzo normale (trazione)

4

funi

Strutture soggette solo a sforzo normale (trazione)

5

VolteLe volte fiorirono in età romana come naturalederivazione dell’arco; mentre quest’ultimo eradestinato a delimitare aperture nei muri, le volteconsentivano la copertura degli ambienti.

La loro realizzazione era basata sulla tecnicacostruttiva delle murature in calcestruzzo, cioèmattoni o blocchi di pietra assemblati con unlegante a base di calce.La qualità del calcestruzzo era garanzia dellasolidità delle volte, che gradualmenteconquistarono

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conquistaronoleggerezza e dimensioni sempre maggiori.

Le tipologie classiche sono distinte involte semplici e volte composte.

6

Volte, cupole…

7

Volte, cupole…

8

Volte

9

CupoleLe cupole sono in genere caratterizzateda una simmetria centrale o dallarotazione di un profilo intorno a un asseverticale. L’esempio più semplice ècostituito da una calotta semisferica.

Spesso le cupole poggiano su untamburo di forma prismatica o cilindrica,che poggia sulle strutture di base.Il tamburo, oltre a dare maggiore visibilità

tamburo

Il tamburo, oltre a dare maggiore visibilitàe dignità a una cupola più alta, serveanche all’apertura di finestre cheilluminano l’ambiente sottostante.

Per raccordare una base quadrata con untamburo ottagonale vengono inseriti deipennacchi , che possono avere formasferica, conica oppure più complessa.

10

Cupole

11

Cupole…Sulla sommità(cervello) della cupolasi apre molto spessouna lanterna, chefornisce una puntod’illuminazionecentrale e crea unelemento decorativoterminalealla superficiealla superficieesterna. Altri puntid’illuminazionepossono essereinseriti nella stessasuperficie dellacupola medianteaperture denominateocchi.

12

Cupole

Pantheon, Roma, opus cementitium13

Cupole

Santa Maria del Fiore, Firenze, schema misto14

Cupole…

Santa Sofia, Istanbul, VI sec d.C.

15

Cupole…

Santa Sofia, Istanbul, VI sec d.C.

16

Cupole…

San Pietro, Roma

17

Volte e cupole contemporaneeCon la tecnologia del cemento armato si possono coprire luci molto estese

Le grandi costruzioni sportive, congressuali o aeroportuali hanno fornito campi di prova per la sperimentazione di volte e cupole avanzate

18

Membrane curve

Belluzzi III pag 240

1) Per l’esiguità dello spessore rispetto alle altre dimensioni si

possono trascurare le rigidezze flessionali e torsionali,le

tensioni tangenziali si annullano, le tensioni si suppongono

costanti nello spessore (come nelle funi)

2) Le deformazioni elastiche non hanno una sensibile influenza2) Le deformazioni elastiche non hanno una sensibile influenza

sugli sforzi per cui possono essere considerate inestensibili

(come nelle funi)

3) Gli sforzi possono essere calcolati sulla base delle sole

equazioni di equilibrio (come nelle funi)

4) A differenza delle funi, la loro configurazione di equilibrio

non dipende dal carico

19

Membrane di rivoluzione


paralleli

Meridiani

COMPRESSI

Meridiani

TESISerbatoi appesi, silos

Di solito mat.metallici

Raramente C.A.

paralleliVOLTE

Muratura, C.A.

Raramente materiali metallici

20

Membrane curveθ colatitudine: angolo che il piano tangente forma con il piano

orizzontale

ψψψψ longitudine

θ

ψθθ

21

Membrane di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico

r1

r2

Belluzzi III pag 246 22

Sezioni principali della superficie media della memb rana nell’intorno considerato: La sezione meridiana ha centro di curvatura O 1 oltre l’asse OO o prima di esso a seconda che la curvatura cali o cresca a partire dal verticeLa sezione normale al meridiano con centro di curvat ura O 2 su OOr1 ed r 2 sono i loro raggi di curvatura1/r1 ed 1/r 2 sono le loro curvature


r1

r2


ψθ≅ψ=θ=

dsinrrdd

drd

22

11

l

l

23

Membrane curve

24

θ

θ=

sin

rr2O1

O2

Risultanti dei carichi agenti

y xz


θψ=

θψ=θψ=

ψψ

θθ

drrdpP

drrdpP

drrdpP

1NN

1

1

25

r1


ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ θ′θψ drN 1

θθψ drN 1

ψψθrdN

ψψψψθθθθ rdN

θθθθψψψψ drN 1

θθθθψψψψ drN 1′′′′

ψ′ rdN dθθθθ

θθθθ

ψψψψθθθθ rdN ′′′′

ψ′ψθrdN

Nθθθθ: : : : sforzo normale specifico lungo i meridiani

Nψψψψ: : : : sforzo normale specifico di cerchiatura lungo i

paralleli

Sono gli analoghi degli sforzi membranali introdotti

nelle piastre 26

1


ψψψψ

dψψψψ


θθψ drN 1

ψψθrdN




ψ′ rdN

Considero gli sforzi e le loro variazioni lungo i lati dell’elemento infinitesimo di membrana

dθθθθ

θθθθ


ψ′ψθrdN

θψ∂

∂+θ=θ′

ψθθ∂

∂+ψ=ψ′

θψθψϑψ

θθϑ

dr)N(

drNdrN

dd)rN(

rdNrdN

11127

1

Equilibrio lungo y (tangente al meridiano )

Gli sforzi normali ed hanno la risultante

diretta secondo r che vale a meno di infinitesimi di ordini

superiori e questa ha secondo y una

componente

θθθθψψψψ drN 1θθθθψψψψ drN 1

′′′′

ψψψψθθθθψψψψ ddrN 1

θθθθψψψψθθθθψψψψ cosddrN 1

θθθθψψψψθθθθψψψψ cosddrN 1


θθθθ ψψψψθθθθψψψψ ddrN 1

y

θθθθψψψψ drN 1 θθθθψψψψ drN 1′′′′

28


ψψψψ

dψψψψ


θθψ drN 1ψψψψθθθθ rdN



dθθθθ

θθθθ


Equazione di equilibrio lungo la direzione meridiano

0ddrrpddcosrNddrN

dd)rN(

111 =ψθ+ψθθ−ψθψ∂

∂+ψθ

θ∂∂

θψθψθ

29

1


ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ




θθψ drN 1

θθψ dr'N 1

dθθθθ

θθθθ


Nel caso di carichi assial-simmetrici

ψconvarianonψ

θψψθ ==

N

0NN

30

1

Equilibrio lungo x (tangente al parallelo )

ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ

ψψθrdNθθθθψψψψ drN 1


ψ′ dθθθθ

θθθθ

ψ′ψθrdN

ψθθ∂

∂+ψ=ψ′

θψψ∂

∂+θ=θ′

ψϑψϑψϑ

ψψψ

dd)rN(

rdNrdN

drdN

drNdrN 111

31

1


Gli sforzi ed hanno una risultante la cui

componente secondo x vale a meno di infinitesimi di ordini

superiori

θθψ drN 1θ′θψ drN 1

θψθθψ cosddrN 1

θψθθψ cosddrN 1

θθψ drN 1 θ′θψ drN 1

32

x


ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ

ψψθrdN

θθψ drN 1

θθψ dr'N 1

dθθθθ

θθθθ

ψ′ψθrdN

Equazione di equilibrio secondo i paralleli

0rddrpcosddrNddrN

dd)rN(

111 =ψθ+θψθ+ψθψ∂

∂+ψθ

θ∂∂

ψθψψψθ

33

1

Equilibrio lungo z (normale)

ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ




dθθθθ

θθθθ


θθθθψψψψψψψψ

θθθθθθθθ ψψψψψψψψψψψψ drd

NdrNdrN 111 ∂∂∂∂

∂∂∂∂++++====′′′′

ψψψψθθθθθθθθ

ψψψψψψψψ θθθθθθθθϑϑϑϑ dd

rNrdNrdN

∂∂∂∂∂∂∂∂++++====′′′′ )(

34

1

Equilibrio lungo z

Gli sforzi normali ed hanno la risultante

diretta secondo r che vale, a meno di infinitesimi di ordini

superiori, e questa ha secondo z una

componente

θθθθψψψψ drN 1θθθθψψψψ drN 1

′′′′


θθθθψψψψθθθθψψψψ sinddrN 1



θθθθy

θθθθψψψψ drN 1 θθθθψψψψ drN 1′′′′

θθθθψψψψθθθθψψψψ sinddrN 1

35

Equilibrio lungo z (normale)

ψψψψ

dψψψψ

ψθψθψθψθ




dθθθθ

θθθθ


Equazione di equilibrio secondo z

θψθ=θψθ+θψθ ψθ ddsinrrpddsinrNddsinrN 12N12

36

1


Consideriamo un elemento abcd di membrana;

In tale caso lo sforzo tangenziale si annulla

Rimangono solo gli sforzi membranali lungo i meridani ed

i paralleli



Consideriamo un elemento di membrana;

In tale caso lo sforzo tangenziale si annulla

Il piano meridiano ed il piano perpendicolare al meridiano

diventano i piani principali di curvatura in un punto della

superficie di rivoluzione

Chiamiamo i corrispondenti raggi di curvatura R1 ed R2


1/R1 e 1/R2 sono dette curvature Gaussiane della superficie

membraneleperMariottediformulapRS

RS

ddRRpddRSddRS

N

N

====++++

====++++

2

2

1

1

121221 θθθθψψψψθθθθθθθθψψψψθθθθθθθθψψψψθθθθ sinsinsin

38

Esempio: membrana di rivoluzione caricate in modo

assialsimmetrico

ψθθθR2

S1

r


Q

Simmetria assiale implica che

Inoltre i paralleli ed i meridiani

sono direzioni principali

0N =ψθ

21 SNSN == ψθ39


assialsimmetrico

ψθθ

θ

R2

S1

r


Q

Inoltre

Non dipendono da ψψψψψθ NedN

40


assialsimmetrico

ψθθ

θR2

S1r


QvEquilibrio alla traslazione verticale

θπ=

πθ=

=πθ

22

VV1

V1

sinR2

Q

r2sin

QS

Qr2sinS

θ= sinRr 2

41

Casi particolari: serbatoi in pressione per gas

Si trascura il peso del fluido ed il peso proprio del serbatoio

2

Rp

sin2

rp

sinr2

rp

sinr2

QS

rpQ

22

V1

2V

=θ

=θπ

π=θπ

=

π=

2sin2sinr2sinr2 θθπθπ

Dall’equazione di equilibrio si ha

)R

R2(

2

pRSp

R

S

R2

pRp

R

S

R

S

1

222

2

2

1

2

2

2

1

1 −=⇒=+⇒=+

42

Casi particolari: serbatoi in pressione per gas

Caso di serbatoio cilindrico di spessore s

pRS)R

2(pR

S

2

pRS

RRR

1

21

=⇒−=

=

=∞=

pRS)R

R2(

2

pRS 2

12 =⇒−=

Le tensioni diventano(formula di Mariotte dei tubi sottili)

121 2s

pR

s2

pR σ==σ=σ43

Casi particolari: serbatoi per liquidi

Belluzzi III pag 255-258

Sia γl il peso specifico del liquido

44



Tagliato il serbatoio con un piano orizzontale mm, la

risultante Q delle pressioni agenti sulla parete sottostante

è= al peso del volume V di liquido punteggiato in

figura. Da cuiVlγγγγ

θπγ=

θπγ=

22

ll1 sinR2

V

sinr2

VS

45



z

La S2 si calcola noto S1 come

)zR

S(R)p

R

S(RS l

1

12N

1

122 γ+−=+−=

θπγ=

θπγ=

22

ll1 sinR2

V

sinr2

VS

46

Casi particolari: tramoggia

47

Casi particolari: cupola con lanterna

48

Casi particolari: cupola ogivale

49

Danneggiamento delle cupole

50


Assestamento delle imposte Tamburo inefficiente

51


Traslazione deipilastri/muri di supporto

52


Effetti biologiciEs piante..

53

Interventi di ripristino

Cerchiatura cupola

54


Anelli di rinforzo per false volte

55


Cerchiatura cupola con FRP

56


Cerchiatura cupola con FRP

57


Cerchiatura cupola San Carlo, Roma

58

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