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La matematica degli antichiRomani (I)

di PAOLO CARESSA

“MAMMA LI ROMANI!”Uno dei libri più letti di storia della matematica è il trat-tato di Morris Kline Storia del pensiero matematico (Ei-naudi 1996, ed. orig. 1972) in due volumi, una disaminapiuttosto dettagliata, che dedica le prime duecento pagi-ne alla matematica nel mondo antico. Scrive Kline (p.210): “I Romani erano gente pratica che si vantava dellapropria praticità. Essi intrapresero e portarono a terminevasti progetti ingegneristici [...] ma si rifiutarono di pren-dere in considerazione qualsiasi idea che andasse al di làdelle particolari applicazioni concrete che stavano facen-do in quel momento”. Un giudizio piuttosto estremo perun’opera dettagliata come quella di Kline, il quale conti-nua dicendo che la loro incapacità [dei Romani] di farcompiere progressi alla matematica colpisce perché essigovernarono un impero di dimensioni enormi. Ma questaosservazione non viene sviluppata e annega nel mare dicontumelie che il matematico americano scrive a propo-sito di Roma.Come esempio della brutalità dei Romani, Kline cita la di-struzione della biblioteca di Alessandria da parte delle

truppe di Cesare (“due secoli e mezzo di paziente raccol-ta di libri e mezzo milione di manoscritti che rappresen-tavano il fiore della cultura antica andarono in fumo”,ibid. p. 211), che in realtà avvenne in parte solo alla finedel III secolo d.C. e definitivamente nel VII secolo d.C., erievoca la loro politica espansionistica in questi terminidegni di un sussidiario ottocentesco: “Le aree sottomes-se diventavano colonie da cui veniva tratto un gran flus-so di ricchezze mediante l’esproprio e la tassazione. Poi-ché la maggior parte degli imperatori erano egoisti, essimandarono in rovina tutti i paesi che cadevano sotto illoro controllo. Quando nascevano delle rivolte, come adAlessandria, i Romani non esitavano a soffocarle confame e a uccidere, dopo averne avuto ragione, migliaia diabitanti”.Stupisce che uno storico consideri crimini odiosi quelli diun singolo popolo quando ciò era prassi comune nell’an-tichità. Ad esempio, nel 335 a.C. Alessandro Magno raseal suolo Tebe sterminandone la popolazione e deportan-do i superstiti, ed è difficile trovare popoli e nazioni an-tiche, a partire dai Greci, che non utilizzassero questi me-

Gli antichi Romani: una stirpe pragmatica di contadini guerrieri? Che cosa c’è di vero inquesto luogo comune? E di falso? In questo numero e nel prossimo, potreste venire aconoscenza di alcuni aspetti dell’antica civiltà romana che non vi sareste mai aspettati!

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todi per espandere i propri orizzonti territoriali e com-merciali (a ben vedere fino a tempi assai recenti).Il saggio di Kline è comunque scritto con rigore, a diffe-renza dell’avvincente ma fantasioso libro di E.T. Bell, Igrandi matematici (Sansoni 1950, ed. orig. 1937), ancorasulla cresta dell’onda, nel quale l’autore dà ampio sfogo aisuoi pruriti poetici, arando nel solco di molti luoghi co-muni. Ecco un esempio: “Nella morte di Archimede scor-giamo il cozzo di una civiltà grossolanamente utilitariacontro qualche cosa di superiore che essa distrusse;Roma, uragano di vittorie e di porpora imperiale, dopoavere presso a poco distrutto Cartagine, si abbattevasulla Grecia per spezzare la sua magnifica fragilità”! (p.28).Ci si può chiedere da dove provenga questo unanimecoro di strali contro i “brutali” Romani distruttori dei“raffinati” Greci (anche se in realtà tutti questi autori par-lando di grecità intendono ellenismo). Le fonti sono igrandi trattati degli studiosi ottocenteschi, infatuati dalpensiero ellenistico, che vedevano nelle altre civiltà anti-che – in particolare nei Romani e nei Parti, che ebbero il“torto” di conquistare e annettere i regni ellenistici –tutto il male che evitavano di attribuire invece al mondoellenistico. E infatti accanto ai Romani – rozzi contadiniguerrieri – troviamo i Parti e i Persiani, considerati popo-li schiavisti, teocratici e corrotti, secondo un luogo co-mune passato anche nella cultura popolare, come dimo-stra la pittoresca descrizione che Frank Miller ne forniscenel fumetto 300.In effetti, se il Settecento è stato il secolo degli ammira-tori della cultura latina (basti pensare alla stima che gli Il-luministi nutrivano per Cicerone e Seneca), l’Ottocento èstato quello del Romanticismo, che vedeva nella Greciaantica una età dell’oro dell’arte e del pensiero. Grandi fi-lologi studiarono, tradussero e curarono le edizioni criti-che delle opere dei matematici ellenistici e greci, per e-sempio al danese Johan Ludvig Heiberg si devono le mo-numentali edizioni di Euclide e Tolomeo, e la scopertadel celebre palinsesto di Archimede, nel 1906, che meri-ta un racconto a sé. Sua è la se-guente citazione, forse lamadre remota delle precedenti, che traiamo dall’edizioneitaliana del 1924 (ed. orig. 1920) del volume Matemati-che, scienze naturali e medicina nell’antichità classica

nella traduzione di Guido Castelnuovo: “I Romani, colloro orizzonte stretto e rustico, la loro sobrietà pratica edi corte vedute, avevano sempre nel profondo del cuorequel misto di sospetto e di disprezzo per la scienza purache è ancora il segno del semi istruito, che giunge talvol-ta a vantarsene”. La fonte è un motto ciceroniano che sve-leremo a tempo debito.Ma l’onda lunga di questo astio sdegnoso neiconfronti di un intero popolo si protrae finoai giorni nostri: un esempio notevole è ilcelebre ed erudito libro di LucioRusso, La rivoluzione dimenticata(Feltrinelli 1997), che contienemoltissime e dettagliate infor-mazioni di prima mano sullamatematica ellenistica (il chelo rende un’opera unica e in-sostituibile), raccolte tutta-via per servire l’ipotesi chela scienza così come oggila concepiamo sia una in-venzione ellenistica enon seicentesca. Nonmancano, nel tripudio diesaltazione della culturae della scienza ellenisti-che, gli strali contro iconquistatori Romani,con le stesse argomenta-zioni che troviamo negliautori precedenti, più al-cune di natura economica.

INFORMATICA ANTE

LITTERAM

A questo punto la curiositàimpone di verificare, sulla basedi alcuni esempi tratti dalla let-teratura latina, come i Romani ef-fettivamente vedevano e utilizzava-no la matematica: quello che emerge,infatti, è che, malgrado tutto quello cheabbiamo riportato fin qui, aritmetica e geo-metria facevano parte della vita quotidiana dellaRoma tardo repubblicana e imperiale.Possiamo subito osservare che non esistono matematiciromani i cui nomi siano associati a teoremi o a oggettigeometrici, come è invece il caso degli ellenistici, qualiEuclide, Archimede, Apollonio (Pitagora e Talete, duenomi associati alla geometria, fanno parte del periodo ar-caico e non hanno lasciato testimonianze dirette, masono noti per essere citati da commentatori di parecchisecoli più tardi).D’altra parte, se è esistita (come giustamente si afferma inmolti trattati) una matematica babilonese, una matemati-ca egizia, una matematica indù e anche una matematicamaya, allora con lo stesso metro va misurata la matema-tica dei Romani. Per non parlare del vasto e interessantis-simo corpus di testi matematici cinesi antichi, come i ve-nerandi Nove capitoli dell’arte matematica, che conten-go-no moltissime idee, calcoli e algoritmi matematici ap-plicati a svariate questioni, sebbene nessuna presentazio-

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ne assiomatica: ciò non toglie che si tratti di un classicodella storia del pensiero matematico.Un primo esempio di questo tipo di matematica romanaconcerne gli algoritmi di calcolo: non solo i Romani li uti-lizzavano, ma perfezionarono lo strumento dell’abaco,noto ai Sumeri, ai Babilonesi e agli Egizi, inventando, percosì dire, la prima calcolatrice tascabile della storia, un

abaco che poteva rappresentare, con un sistemaquinario, numeri minori di 10.000.000. Infatti

gli abachi precedenti erano tavole, anche diragguardevoli dimensioni, sulle quali si

disponevano dei sassolini, che i Romanichiamavano calculi (da cui la parolacalcolo che utilizziamo ancora

oggi): un esempio celebre è la ta-vola di Salamina, non il nome diun’osteria ma un celebre reper-to archeologico.La cosa sorprendente è che, adispetto del complicato einefficiente sistema che iRomani impiegavano perrappresentare i numeri (eche ancora oggi utilizziamoin certe circostanze), il si-stema di rappresentazionedegli abachi era posiziona-le: in pratica un numero in-tero si rappresentava conuna sequenza di sassolini di-sposti in colonne, con cia-

scuna colonna divisa in dueparti; nella parte supe-riore di

una colonna la presenza delsassolino rappresentava una

cifra maggiore o uguale a cinque,nella parte inferiore il resto modu-

lo 5 della cifra. Per esempio la cifra3 viene rappresentata con nes-sun

sassolino nella parte superiore e 3 sas-solini in quella inferiore, mentre la cifra 8

viene rappre-sentata con un sassolino nellaparte superiore e 3 nella parte inferiore. Otto

colonne consentivano di rappresentare numeri interifra 0 e 9.999.999: per esempio il numero 9.170.463 veni-va rappresentato come segue (le cifre meno significativestanno a destra):

Si noti la presenza della cifra zero, rappresentata dall’as-senza di sassolini nella colonna. Gli abachi contenevanoanche due cifre duodecimali; in effetti per i calcoli fra-zionari i Romani utilizzavano multipli di 1/12. L’idea direndere portatile l’abaco dovette essere estremamenteutile a mercanti, architetti, ingegneri ed esattori che viag-giavano nei territori dell’Impero, e la notazione posizio-nale di questi strumenti mostra come fosse possibilesvolgere in modo semplice ed efficiente i calcoli nell’an-tichità.Oltre alle calcolatrici, i Romani già usavano la crittogra-fia: in effetti il più celebre codice crittografico delmondo antico si chiama cifrario di Cesare in quanto,come racconta Svetonio nella Vita di Cesare, il dittatoreromano lo utilizzava per la corrispondenza riservata. Ilprincipio è semplice: si sceglie una permutazione dellelettere, in realtà un semplice “slittamento” di un certonumero di po-sti per codificare ciascuna lettera conun’altra. Se per esempio scegliamo 3 come chiave dellacifratura, allora ogni lettera del messaggio da cifrare saràspostata di tre posti in avanti nell’ordinamento alfabetico(dove se il posto eccede l’ultima lettera Z si ricominciadalla A). In pratica le corrispon-denze sono: A→D, B→E,C→F, ..., W→Z, X→A, Y→B, Z→C. Per esempio la parola“segreto” diviene “vhjuhwr”; per ricostruirla si effettua lospostamento inverso, di tre posti indietro. Come decifra-re questo sistema crittografico usando l’analisi delle fre-quenze delle lettere è una delle grandi idee della scienzaislamica: la si deve all’arabo al-Kindi (IX secolo), ed è illu-strata molto bene nel celebre racconto di Edgar Allan PoeLo scarabeo d’oro.In sostanza si parte dall’osservazione che, in una data lin-gua, alcune lettere sono più frequenti di altre: per esem-pio in italiano, in media in un testo ci saranno il 12% di “a”,il 5% di “s” e lo 0,5% di “z”. Avendo di fronte un testo ci-frato alla maniera di Cesare, si va per prima cosa a calco-lare le frequenze di ciascuna lettera, e si cerca di farlecorrispondere alle lettere le cui frequenze sono note. Peresempio il testo (dal quale eliminiamo gli spazi) “vediamose riesci a decifrarmi” si codifica, secondo Cesare, in “yh-gldprvhulhvfldghfliudupl”, e l’analisi delle frequenze pro-duce i seguenti va-lori per le lettere che compaiono testocifrato: l = 19,2%, h = 15,4%, d = 11,5%, u = 11,5%, f = 7,7%,g = 7,7%, p = 7,7%, v = 7,7%, i = 3,8%, r = 3,8%, y = 3,8%. Giàda questo è facile dedurre che “l” e “h” corrispondono auna lettera fra “e”, “a”, “i” (le lettere più frequenti in italia-no); proce-dendo per tentativi e guidati da queste suppo-sizioni, non è difficile sciogliere l’enigma, anche te-nendoconto delle coppie di lettere consecutive che possono onon possono comparire in italiano (per esempio dopouna “c” di solito segue una vocale, una “h” o un’altra “c”ecc.).

AGRICOLTORI CERTO, MA NON COSÌ ROZZI!Fin qua abbiamo parlato, in un certo senso, di argomentidi “informatica pre-tecnologica”; veniamo ora a qualcherisultato puramente matematico, che prendiamo dal Cor-pus agrimensorum, una collezione di libri romani di agri-mensura, vale a dire la tecnica di misurazione dei terreni,quello che letteralmente vuol dire il termine greco “geo-metria”. Questo Corpus è composto da opere redatte inepoche diverse, principalmente in età imperiale, e offre

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uno spaccato della maggiore applicazione della geome-tria alla vita quotidiana.La storia dell’agrimensura è antica quanto la storia dell’a-gricoltura, e quindi della civiltà: in effetti la necessità dimisurare appezzamenti di terreno sorge in modo sponta-neo quando si ammette l’esistenza di attività agricolenon solo a scopo di sussistenza. Per poter vendere ocomprare i terreni è necessario stimarne l’area in mododa offrire un prezzo equo, come pure è necessario potervalutare da parte delle istituzioni, per esempio ai finidella tassazione, per non parlare delle dispute territo-riali e del tracciamento di confini.La classe di funzionari romani che si occupava dell’agri-mensura e che era titolata e autorizzata a farlo era quel-la dei mensores (che in epoca cristiana si chiamerannoagrimensores): non stupisce che questi uomini, oltre auna preparazione in fatto di giurisprudenza e tecnicaagraria, avessero anche nel loro curriculum le nozioni digeometria indispensabili per le loro misurazioni. La geo-metria, anzi, era probabilmente considerata un argomen-to fin troppo elevato nel suo complesso, rispetto a quan-to serviva realmente per il lavoro di agrimensore: scrive

per esempio Agenio Urbico (IV secolo?) nel suo Sulle di-spute agrarie (xx. 7-8):

Dunque, di tutte le arti onorabili, che sono portateavanti in modo naturale o procedono dall’imitazionedella natura, la geometria richiede come capacità dibase il ragionamento: ardua e di difficile accesso all’i-nizio, deliziosa nella sua regolarità, piena di bellezza,inarrivabile nei suoi effetti. Perché con i suoi chiari me-todi di ragionamento illumina il campo del pensie-rorazionale.

Naturalmente la geometria non era di sola pertinenzadegli agrimensori: scrive Quintiliano (I secolo d.C.) nellesue Istituzioni di oratoria (i. 9) a proposito del valoredella geometria nell’educazione degli oratori, riferendosichiaramente al carattere deduttivo della geometria (lasottolineatura è nostra) a dispetto di quanto solitamentesi afferma a proposito dell’incapacità dei Romani di com-prendere il pensiero deduttivo:

E la conoscenza della geometria anche per se stessaentra frequentemente nelle cause (e infatti le contro-versie sono per confini e misure), ma ha un’altra piùgrande affinità con l’arte oratoria. Già, prima di tutto, ènecessario quell’ordine alla geometria; forse, nonanche all’eloquenza? La geometria, poi, arriva alle sueconclusioni dalle premesse, e prova, con ciò che ècerto, l’incerto; o non è quello che facciamo noi, nelparlare? E che? quella conclusione delle questioni, chesono state prima poste, non si appoggia forse sul sillo-gismo? […]. Spesso l’oratore con metodo geometricocoglie le falsità di certe cose che hanno tutta l’appa-renza di essere vere. […]. Sarà comunque particolar-mente opportuno, a proposito [della geometria], ilfatto che moltissime questioni, la cui soluzione è diffi-cile per altre vie, come il criterio della divisibilità, la di-visione all’infinito, il sistema di accelerazione, sianocon dimostrazioni geometriche, spesso, risolti; di mo-do che, se l’oratore si trova a dover parlare di tutto, èchiaro che non vi può essere oratore senza conoscenzadella geometria.

Sembra evidente da queste parole che il metodo geome-trico è per Quintiliano il metodo ipotetico-deduttivo(che sulla base di premesse giunge a conclusioni esatta-mente come avviene in geometria). È anche interessantenotare come Quintiliano sia chiaro nel precisare che lageometria ha questo ulteriore scopo “logico”, oltre aquello ovvio di fornire strumenti di misura dei terreni datenere presenti nelle cause civili.Ma quale poteva essere un tipico problema matematicotrattato dagli agrimensori? Per questo, e per altre curio-sità ancora, non perdetevi il n. 39 con la seconda parte diquest’articolo...

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Paolo CaressaÈ nato a Roma, dove vive e lavora: dopo aver conseguito la laurea e il dottorato di ricerca in matematica, ha svolto attività diinsegnamento e ricerca universitaria nel settore della geometria differenziale, per poi passare a svolgere consulenze per aziendedi software. In seguito ha lavorato come analista quantitativo per un importante istituto di credito, sviluppando e implemen-tando modelli matematici per la finanza. Attualmente si occupa di gestione di progetti software nell’ambito della sicurezza. Oltread alcuni lavori scientifici ha pubblicato articoli divulgativi (di matematica, informatica, letteratura), una Piccola storia della mate-matica (2010) per Alphatest e Matemática escolar desde un punto de vista superior (2011) per le edizioni UAM di Madrid.www.caressa.it