AppuntiMF

Corso di Matematica I

Facolt di Economia Dipartimento di Matematica Applicata Universit CaFoscari di Venezia

Funari Stefania, [email protected]

Appunti su rendite e ammortamenti

1. Rendite Per rendita si intende un insieme di capitali {R0, R1,,Rn} da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate {t0, t1,,tn}, come visualizzato nel seguente diagramma importi-epoche:

t0 t1 t2

tn

R0 R1 R2 Rn

I capitali R0, R1, R2, ., Rn sono chiamati rate della rendita. Lintervallo di tempo fra due rate consecutive detto periodo e generalmente esso costante (si veda il paragrafo Tipi di rendite). Una rendita ha una durata che uguale allintervallo di tempo fra linizio del primo periodo e la fine dellultimo periodo.

1. 1 Tipi di rendite Si possono distinguere le rendite in varie categorie, a seconda delle caratteristiche dei tempi di scadenza e delle rate della rendita.

i) Rendite periodiche e rendite non periodiche La distinzione fra rendite periodiche e non periodiche fa riferimento al tempo che intercorre fra due rate consecutive. Nelle rendite periodiche lintervallo di tempo che intercorre fra due rate consecutive uguale durante tutto lorizzonte temporale della rendita ed chiamato periodo della rendita; si parla in questo caso di rendite annuali se il periodo lanno, di rendite mensili se il periodo il mese, di rendite semestrali se il periodo il semestre e cos via.

ii) Rendite immediate e rendite differite La prima rata della rendita pu essere riscossa (o pagata), nel primo periodo della rendita, in questo caso la rendita si dice immediata, oppure in un periodo successivo k e in questo caso la rendita si dice differita di k periodi.

Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 2

iii) Rendite posticipate e rendite anticipate Assume rilievo il tempo di scadenza delle rate; si parla di rendite posticipate qualora la scadenza di ciascuna rata sia riferita allistante finale di ogni periodo:

tk-1 tk

Rk

k-mo periodo

Si parla di rendite anticipate qualora la scadenza di ciascuna rata sia riferita allistante iniziale di ogni periodo:

tk-1 tk

Rk

k-mo periodo

iv) Rendite costanti e rendite variabili Per quanto riguarda gli importi delle rate si distingue fra le rendite costanti, in cui gli importi delle rate sono tutti uguali fra di loro e le rendite con importi variabili; in questultimo caso anche possibile che le rate si modifichino in base ad una certa legge, ad esempio in progressione aritmetica o in progressione geometrica.

v) Rendite temporanee e rendite perpetue Con riferimento al numero delle rate, si distingue fra le rendite temporanee, in cui il numero delle rate finito e le rendite perpetue in cui il numero delle rate infinito.

1.2 Il problema della valutazione di una rendita Quando si parla di rendite si pone il problema di determinare limporto monetario che, con riferimento ad un istante fissato, pu essere considerato finanziariamente equivalente alla rendita. Questo importo, chiamato valore della rendita, varia in relazione alla scelta del regime finanziario utilizzato (solitamente nel calcolare il valore di rendite si usa il regime della capitalizzazione composta), alla scelta del tasso di interesse impiegato nel calcolo e alla scelta dellistante di valutazione. In particolare, il valore della rendita chiamato valore attuale della rendita qualora listante di valutazione coincida con listante in cui avviene la prima riscossione (pagamento) o con un istante precedente; chiamato montante della rendita qualora listante di valutazione coincida con listante in cui avviene lultima riscossione (pagamento) o con un istante successivo.


1.2.1 Calcolo del valore attuale di una rendita Si consideri il caso di una rendita che consenta di riscuotere alla fine di ogni anno un importo R, per n anni. Usando la terminologia del paragrafo precedente, si tratta di una rendita temporanea, annua, costante di rata R, posticipata.

0 1 2

n

R R R

Si vuole calcolare il valore attuale della rendita allistante t = 0. Per fare questo, basta riportare ciascuna rata al tempo 0 mediante operazioni di attualizzazione; si calcola quindi la somma dei valori attuali delle singole rate, utilizzando il regime di capitalizzazione composta ad un tasso annuo di interesse i, supposto per semplicit costante per tutta la durata delloperazione.

0 1 2

n

R R R V

n)i(R...)i(R)i(RV ++++++= 12111 (1)

Considerato il fattore di attualizzazione 11 += )i(v si pu scrivere nRv...RvRvV +++= 2

(2)

da cui )nv...vv(RV +++= 2 (3)

Poich i termini entro parentesi costituiscono una progressione geometrica di ragione v, si pu scrivere il valore attuale come1:

ivR

v

vRvVnn

=

=

11

1

(4)

Ad esempio il valore attuale al tempo 0 di una rendita di rata 30 esigibile alla fine di ogni anno per 5 anni, calcolato ad un tasso annuo di interesse del 10%, uguale a:

72,1131,0

)1,01(1305

=

+=

V

(5)

1 La quantit

iv n1

si indica normalmente con il simbolo i|na (a figurato n al tasso i) ed indica il valore attuale di una rendita annua, posticipata, di n rate unitarie.


Nel caso invece in cui la riscossione della rata avvenga in via anticipata allinizio di ogni anno, come rappresentato dal diagramma seguente

0 1 2 n

R R R R

n-1

il valore attuale al tempo 0 si calcola come segue: )1(1 )1(...)1( +++++= nant iRiRRV (6)

Considerato il fattore di attualizzazione 1)1( += iv , si pu scrivere

12...

++++= nant RvRvRvRV

(7)

da cui

v

vRvvvRVn

nant

=++++= 1

1)...1( 12

(8) Nellesempio precedente di una rendita con R = 30, n = 5, ed i = 10%, qualora le rate siano riscosse in via anticipata, si ottiene un valore attuale uguale a

10,125)1,01(1)1,01(130 1

5=

+

+=

antV

(9)

Alternativamente, se si conosce gi il valore attuale della rendita posticipata, si pu semplicemente utilizzare la seguente relazione che lega i due valori attuali:

ViVant )1( += (10) Nellesempio, 1012572113101 ,,),(antV =+= .

1.2.2 Calcolo del montante di una rendita Si consideri una rendita posticipata, di rata costante R e durata n anni. Questa volta interessa conoscere limporto M che, con riferimento allistante in cui avviene lultima riscossione, pu essere considerato finanziariamente equivalente a riscuotere R alla fine di ogni anno, per n anni.

0 1 2

n

R R R M

Tale importo chiamato valore finale, o montante della rendita, e viene calcolato capitalizzando ogni singola rata allepoca n e poi sommando

R)i(R...n)i(Rn)i(RM +++++++= 12111 (11) Considerato il fattore di capitalizzazione )i(u += 1 si pu scrivere


RRu...nRunRuM ++++= 21 (12) da cui

)u...nunu(RM 121 ++++= (13) Considerato che i termini entro parentesi costituiscono una progressione geometrica di ragione u, si pu scrivere il montante come2:

i

nuR)i(nuR

u

nuRM 111

11

1 =

+

=

=

(14) Nellesempio di una rendita di rata 30 esigibile alla fine di ogni anno per 5 anni, il montante allepoca n, calcolato ad un tasso annuo di interesse del 10%, uguale a

1518310

1510130 ,,

),(M =+=

(15) E interessante osservare che in virt della propriet di scindibilit della capitalizzazione composta equivalente capitalizzare ogni rata allepoca n e poi sommare oppure calcolare la somma dei valori attuali delle rate allepoca 0 (valore attuale della rendita) e poi capitalizzare il risultato cos ottenuto per n anni; vale quindi la relazione

n)i(VM += 1 (16)

Qualora loperazione finanziaria abbia breve durata, per calcolare il montante di una rendita si potrebbe adottare il regime della capitalizzazione semplice. Ad esempio, si consideri la situazione di una rendita che consente di riscuotere un importo uguale a 120 allinizio di ogni trimestre. Si vuole calcolare il montante di tale rendita alla fine dellanno in corso, in regime di capitalizzazione semplice, utilizzando un tasso di interesse annuo 030,i = .

)i()i()i()i(M 4891231120

1261120

12911201120 =+++++++=

1.2.3 Osservazione: uso di tassi di interesse equivalenti Potrebbe capitare che il tasso di interesse i sia riferito ad un periodo diverso da quello della rendita. Ad esempio si potrebbe considerare la situazione di una rendita che consente di riscuotere un certo importo R alla fine di ogni mese, per n mesi e si conosca il tasso annuo di interesse i. In questo caso prima di impiegare le formule per il calcolo del valore attuale e del montante, occorre calcolare il tasso di interesse im, riferito ad 1/m-simo di anno, equivalente al tasso annuo i:

11 1 += m/m )i(i (17) Ad esempio il valore attuale di una rendita che preveda la riscossione mensile, in via posticipata di 258 per 48 mesi, al tasso di interesse annuo i del 10%, si calcola come

,

i)i(V 971025511258

12

4812

=

+=

2 La quantit

iu n 1

si indica normalmente con il simbolo i|ns ed indica il montante di una rendita annua, posticipata, di n rate unitarie.


dove 0079741401101 12112 ,),(i / =+= rappresenta il tasso di interesse mensile, equivalente al tasso di interesse annuo i.

1.3 Problemi relativi alle rendite Si riprenda la formula (4) che permette di calcolare il valore attuale di una rendita con rata costante, posticipata, uguale ad R:

i

n)i(RV+

=

11

(18)

Compaiono quattro grandezze: il valore attuale V, la rata R, la durata n ed il tasso di interesse i. Se si conoscono i valori di tre di queste grandezze, si pu determinare il valore della quarta. La relazione precedente, appunto, determina V noti R, n, i.

1.3.1 Calcolo della rata Per calcolare limporto della rata che consente di ottenere un certo valore attuale, basta ricavare R dalla relazione precedente:

n)i(ViR

+=

11

(19)

1.3.2 Calcolo del numero delle rate Noto il valore attuale della rendita, la rata ed il tasso di interesse, possibile determinare n, cio determinare il numero delle rate che occorre versare per ottenere un certo valore attuale V. La relazione (18) pu essere scritta come

i

n)i(RV +

=

11

(20) da cui

n)i(RVi

+= 11 (21)

risolvendo mediante i logaritmi, si ha

)ilog()

RVilog(

n+

=

1

1

(22)

con la condizione iRV < .

1.3.3.Calcolo del tasso di interesse A volte si presenta il problema di determinare il tasso di interesse associato ad una rendita, qualora si conosca il valore attuale, il numero e limporto delle rate. Si riprenda la formula (1) per il calcolo del valore attuale che pu essere scritta come

0012111 ==++++++ )i(gVn)i(R...)i(R)i(R (23)

Lobiettivo quello di cercare il valore della variabile i che risolve lequazione 0=)i(g . La soluzione pu essere ricercata utilizzando alcuni metodi approssimati, fra i

quali ricordiamo un metodo iterativo per la ricerca degli zeri di una funzione. Il metodo


si basa sul fatto che se una funzione continua in un intervallo assume in due punti a e b dellintervallo valori di segno diversi, allora essa si annulla almeno una volta in (a,b). Solo per dare unidea, lapplicazione del metodo iterativo per la ricerca del tasso di interesse parte da un valore iniziale del tasso di interesse i0 e procede con il calcolo di g(i0) in base alla (23); se si trova che g(i0)=0 allora i0 il tasso di interesse cercato; altrimenti, se ad esempio g(i0)>0 si cercher di diminuire il primo membro dellequazione aumentando il tasso di interesse e quindi considerando i1>i0; si calcola nuovamente g(i1) e se si trova che g(i1)


ii) Rimborso rateale (ammortamento progressivo) In questo caso si verifica la restituzione graduale del capitale che avviene in pi scadenze successive ed il pagamento degli interessi in ciascuna scadenza. La durata del prestito viene quindi suddivisa in varie scadenze nk tttt ,...,,...,, 10 .

t0 t1 tn tk

Ck Ik

Rk

Ad ogni scadenza k-esima il debitore paga unimporto (Ck) a titolo di rimborso del capitale (quota capitale) ed un importo (Ik) a titolo di interesse (quota interesse). Quindi ad ogni scadenza il debitore paga sia la quota capitale che la quota interesse. Indicata con Rk la rata di ammortamento, la somma che complessivamente il debitore paga alla scadenza k, si ha che Rk = Ck + Ik. Dal punto di vista del debitore lammortamento si configura come unoperazione finanziaria in cui si riceve S allepoca t0 e si pagano le rate di ammortamento R1, R2,.., Rn, alle varie epoche nk t,...,t,...,t1 . Allopposto il creditore eroga S allepoca 0 e riceve gli importi R1, R2,.., Rn, alle varie scadenze.

2.1 Il piano di ammortamento Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determinare gli importi che in ciascuna scadenza il debitore dovr restituire al creditore. Si tratta quindi di determinare le quote parziali di rimborso del capitale e lammontare degli interessi da pagare in ciascuna scadenza, che saranno commisurati di volta in volta al capitale che a tale scadenza risulta non ancora restituito. Si consideri inizialmente la situazione in cui le epoche di rimborso parziale sono equidistanti una dallaltra (scadenze 0, 1,, k, , n) e i pagamenti avvengono in via posticipata alla fine di ogni scadenza pattuita. E possibile organizzare le specifiche relative ai tempi di rimborso e al pagamento delle quote in un prospetto che prende il nome di piano di ammortamento. Ad ogni scadenza importante conoscere anche lammontare del debito residuo e lammontare del debito estinto; ammortizzare un mutuo significa versare alle varie scadenze le rate previste in modo che il debito residuo finale si azzeri e, allo stesso modo, che il debito estinto raggiunga limporto del prestito che stato concesso. Si indichi con: S lammontare del prestito; Ck la quota che il debitore paga alla scadenza k, a titolo di rimborso

del capitale (quota capitale); Ik la quota che il debitore paga alla scadenza k, a titolo di interesse

(quota interesse); Rk limporto totale versato dal debitore alla scadenza k (rata di

ammortamento), dove


kkk ICR +=

2.1.1 Condizione di chiusura sulle quote capitale Poich il prestito S viene suddiviso in parti da rimborsare alle diverse scadenze, deve essere rispettato il vincolo:

SCCCC nk =+++++ ......21 (24)

il che significa che la somma di tutte le quote di capitale versate coincide con lammontare del prestito.

2.1.2 Condizione di equit sulle rate Lammortamento si configura come unoperazione finanziaria in cui si riceve S (o si paga S se si considera il punto di vista del creditore) allepoca 0 e si pagano (rispettivamente si ricevono se si considera il punto di vista del creditore) le rate di ammortamento R1, R2,.., Rn, alla fine di ciascun periodo n,..,2,1 , nellipotesi di pagamenti posticipati.

0 1 2

n

R1 R2 Rn

Deve essere quindi verificata una condizione di equivalenza finanziaria fra la prestazione S allepoca 0 e la successione degli importi (rate) R1, R2,.., Rn, alle diverse epoche. Ci significa che il mutuo S deve coincidere con il valore attuale, calcolato al tempo iniziale 0, della rendita descritta dalle rate R1, R2,.., Rn

nn iRiRiRS

++++++= )1(....)1()1( 2211 (25) dove i rappresenta il tasso uniperiodale di interesse, considerato il regime di capitalizzazione composta.

2.1.3 Debito residuo Risulta interessante determinare ad ogni scadenza k-esima lammontare di denaro che il debitore deve ancora restituire, a titolo di capitale, per estinguere il debito. Tale grandezza viene denominata debito residuo allepoca k e viene indicata con Dk. Si pu esprimere il debito residuo considerando le quote capitale che hanno scadenza successiva a k

nkkk CCCD +++= ++ ...21 (26) Da tale relazione si ricava che il debito residuo iniziale coincide con limporto del mutuo, mentre il debito residuo finale si annulla

SCCCD n =+++= ...210 0=nD

(27) (28)


Lultima relazione, quella di azzeramento del debito residuo, pu essere vista come una condizione di equit o condizione di chiusura delloperazione di ammortamento. E anche possibile esprimere il debito residuo ad una certa scadenza aggiornando il debito residuo ottenuto alla scadenza precedente, nel modo seguente

kkk CDD = 1 (29)

2.1.4 Debito estinto Si definisce debito estinto allepoca k, e si indica con Ek, lammontare di denaro che il debitore ha gi versato a titolo di rimborso del capitale. Si pu esprimere il debito estinto considerando le quote capitale gi versate fino alla scadenza k-esima

kk CCCE +++= ...21 (30) Da tale relazione si ricava che il debito estinto iniziale nullo, mentre il debito estinto alla scadenza n coincide con lammontare del prestito S

00 =E SCCCE nn =+++= ...21

(31) (32)

Conoscendo il debito estinto ad una certa scadenza si pu ottenere il debito estinto alla scadenza successiva mediante la regola di aggiornamento

kkk CEE += 1 (33)

2.1.5 Quota interesse Sia i il tasso di interesse riferito allunit temporale presa in considerazione; se ad esempio le epoche di rimborso parziale sono misurate in anni, il tasso i corrisponde al tasso annuo di interesse. Alla scadenza di ogni rata k-esima si possono calcolare gli interessi commisurati al capitale che a tale scadenza risulta non ancora restituito, cio gli interessi generati dal debito residuo, nel modo seguente:

1= kk DiI (34) Si osservi che qualora le epoche di rimborso siano scadenze generiche nk t,...,t,...,t1 , non necessariamente equidistanti una dallaltra, si dovranno calcolare gli interessi maturati dal debito residuo in ciascun generico intervallo ),( 1 kk tt :

]11)1[(1 += kkiDI ttkk (35) La relazione (34) un caso particolare della (35) posto 11 = kk tt (epoche equidistanti).

2.1.6 Redazione del piano di ammortamento Le grandezze fondamentali che compaiono nelloperazione di ammortamento, limporto del mutuo (S), le scadenze del rimborso k ( n,...,,k 10= ), la successione delle rate di ammortamento (Rk), delle quote capitale (Ck), delle quote interesse (Ik), del debito residuo (Dk), e del debito estinto (Ek), sono organizzate solitamente in un prospetto denominato piano di ammortamento in cui ogni colonna del piano viene intestata ad una di tali successioni. Una volta redatto il piano di ammortamento si possono verificare le relazioni esistenti fra i vari elementi del piano, le condizioni di chiusura e di equivalenza finanziaria delloperazione di ammortamento di un debito.


epoca rata quota capitale

quota interesse

debito residuo

debito estinto

0 - - - SD =0 00 =E 1 R1 C1 I1 D1 E1 2 R2 C2 I2 D2 E2

k kkk ICR += Ck Ik kkk CDD = 1 kkk CEE += 1

n Rn Cn In 0=nD SEn =

2.1.7 Esempio Si contrae un prestito di 18.000 con durata 5 anni e si concordando le seguenti quote di capitale: 4.500 alla fine del primo e del terzo anno, 2.000 alla fine del secondo e del quinto anno. Si sa che il tasso di interesse annuo del 12% in regime di capitalizzazione composta. Si vuole redigere il piano di ammortamento del mutuo.

Si considerino i dati del problema: S = 18.000 ; n = 5; i = 0,12; C1 = C3 = 4.500 ; C2 = C5 = 2.000 . Il piano di ammortamento del prestito si presenta come segue:

k Rk Ck Ik Dk Ek 0 - - - 18.000 0 1 6.660 4.500 2.160 13.500 4.500 2 3.620 2.000 1.620 11.500 6.500 3 5.880 4.500 1.380 7.000 11.000 4 5.840 5.000 840 2.000 16.000 5 2.240 2.000 240 0 18.000

Per compilarlo si pu partire scrivendo nelle celle corrispondenti alcuni dati del problema (C1 = 4.500, C2 = 2.000 , C3 =4.500 , C5 =2.000 ). Inoltre si conoscono il debito residuo e il debito estinto iniziali (D0 = S = 18.000, E0 = 0). Dalla condizione di chiusura sulle quote capitale si pu ricavare lammontare della quarta quota capitale, note le altre e noto limporto del mutuo:

000.5)( 53214 =+++= CCCCSC Una volta che si conoscono le cinque quote capitale si pu trovare la successione dei debiti residui, impiegando la regola di aggiornamento (29) e la successione dei debiti estinti, impiegando la regola di aggiornamento (33). Noti i debiti residui in ciascuna scadenza k, si possono poi trovare le quote interesse Ik (k = 0,1,..,5), tramite la relazione (34). Infine, nota la colonna delle quote capitale e delle quote interesse, si pu trovare la successione delle rate.

2.2 Nuda propriet e usufrutto Durante unoperazione di ammortamento vi pu essere la necessit di valutare gli impegni futuri, considerato un certo istante di valutazione ed un particolare tasso di


valutazione. A volte infatti si stipula un contratto di ammortamento, ma poi decorso un certo periodo di tempo si pu avere la necessit di rivedere le condizioni del contratto, oppure di saldare anticipatamente il mutuo, oppure di allungarne la durata. In tutti questi casi utile valutare limpegno finanziario futuro; solitamente la valutazione viene fatta impiegando un tasso di valutazione diverso dal tasso di remunerazione del prestito. Indicata con k una certa epoca, si definisce valore del prestito allepoca k (chiamato anche corso delloperazione finanziaria) il valore attuale in k delle rate ancora da corrispondere, calcolato in base ad un generico tasso di valutazione x:

)(22

11 )1(....)1()1()( knnkkk xRxRxRxW ++ ++++++= (36)

Si definisce nuda propriet del prestito allepoca k il valore attuale in k delle quote capitale ancora da corrispondere, calcolato in base al tasso di valutazione x

)(22

11 )1(....)1()1()( knnkkk xCxCxCxP ++ ++++++= (37)

Infine, si definisce usufrutto del prestito allepoca k il valore attuale in k delle quote interesse ancora da corrispondere, calcolato in base al tasso di valutazione x

)(22

11 )1(....)1()1()( knnkkk xIxIxIxU ++ ++++++= (38)

Dalle definizioni date e utilizzando la propriet di decomposizione della rata di ammortamento nelle sue componenti (quota capitale e quota interesse), segue che il valore del prestito ad una certa epoca k, valutato in base ad un dato tasso di valutazione, non altro che la somma della nuda propriet e dellusufrutto del prestito

)()()( xUxPxW kkk += (39) Si osservi che il calcolo del valore del prestito, della nuda propriet e dell usufrutto pu anche essere effettuato adottando un regime diverso da quello solitamente impiegato della capitalizzazione composta; inoltre, tali grandezze possono essere riferite ad un generico istante s che non coincide con alcuna delle scadenze di rimborso del piano. In questi casi si dovranno riformulare le relazioni (36)-(37)-(38) in modo che siano in grado di rappresentare il caso considerato.

2.2.1 Esempio Si consideri lesempio del paragrafo precedente dellammortamento di un mutuo di 18.000 da ammortizzarsi in cinque anni. Si vuole calcolare la valutazione del prestito, la nuda propriet e lusufrutto, dopo aver corrisposto le prime due rate, impiegando un tasso di valutazione del 15%.

Posto k = 2, x = 0,15, si pu calcolare dapprima la nuda propriet P2(0,15) e lusufrutto U2(0,15) impiegando la (37) e la (38):

79,008.9)15,01(000.2)15,01(000.5)15,01(500.4)15,0( 3212 =+++++= P 97,992.1)15,01(240)15,01(840)15,01(380.1)15,0( 3212 =+++++= U

Poi, tramite la (39), si calcola la valutazione del prestito

76,001.11)15,0()15,0()15,0( 222 =+= UPW

2.3 Ammortamento con quote di capitale costante Un particolare metodo di ammortamento prevede il pagamento, da parte del debitore, di quote capitale tutte uguali ad un comune importo C.


CCCC n ==== ...21 (40) Tale tipo di ammortamento anche chiamato metodo italiano o metodo uniforme. Se si conosce lammontare del prestito S si pu ricavare immediatamente lammontare della quota capitale costante da versare alla fine di ciascuna scadenza pattuita; ci si ottiene utilizzando la condizione di chiusura sulle quote capitale:

n

SCSnCSCCC n ===+++ ...21 (41)

Si pu mostrare come in tale tipo di ammortamento le quote di debito residuo, le quote interesse e le rate di ammortamento siano decrescenti in progressione aritmetica.

2.3.1 Debito residuo Dalla condizione (29) di aggiornamento del debito residuo, essendo la quota capitale costante in ciascuna scadenza k-esima ( )kCCk = , si ottiene la relazione

nkCDD kk ,...,2,11 == (42) ci significa che la differenza fra il debito residuo ad una certa scadenza e il debito residuo alla scadenza precedente costante ed uguale a C, che rappresenta la ragione della progressione aritmetica.

2.3.2 Quota interesse Si consideri la quota interesse allepoca k+1, calcolata sulla base del debito residuo alla scadenza precedente

kk DiI =+1 (43) dalla relazione (42) si pu scrivere il debito residuo alla scadenza k come:

CDD kk = 1 (44) per cui sostituendo in (43) si ottiene

iCiDCDiI kkk == + 111 )( (45) ed essendo kk IiD =1 , si ottiene

iCIIiCII kkkk == ++ 11 (46) il che significa che le quote interesse si presentano in progressione aritmetica decrescente, con ragione iC.

2.3.3 Rata di ammortamento In modo analogo si pu dimostrare che anche le rate di ammortamento si presentano in progressione aritmetica decrescente, con ragione iC, cio

iCRR kk =+1 (47) Infatti si pu far vedere che la differenza fra le rate di ammortamento in due scadenze successive coincide con la differenza fra le quote interesse in due scadenze successive, la quale a sua volta uguale a iC, per la (46). Infatti si possono esprimere le rate di ammortamento alle scadenze k e k+1, come somma delle quote capitale (costanti) e delle quote interesse:

kk ICR += e 11 ++ += kk ICR da cui

kkkkkk IIICICRR =+= +++ 111


2.3.4 Esempio Si vuole ammortizzare, con il metodo italiano, 1.000 al tasso di interesse del 10% annuo, in 5 anni. Il piano di ammortamento si presenta come segue

k Rk Ck Ik Dk Ek 0 - - - 1.000 0 1 300 200 100 800 200 2 280 200 80 600 400 3 260 200 60 400 600 4 240 200 40 200 800 5 220 200 20 0 1.000

In primo luogo si pu calcolare lammontare della quota capitale da pagare alla fine di ciascun anno

2005000.1000.15 === CC

ci consente di riempire immediatamente la colonna intestata alla quota capitale. Successivamente, sfruttando la relazione di aggiornamento del debito residuo ( CDD kk = 1 , con 000.10 == SD ) si pu riempire la colonna intestata al debito residuo; si nota appunto come le quote Dk siano in progressione aritmetica decrescente di ragione 200. Una volta noto il debito residuo in ciascuna scadenza, si possono calcolare le quote interesse, che saranno decrescenti in progressione aritmetica di ragione iC = -20 e le rate di ammortamento come somma delle quote capitale e delle quote interesse.

2.4 Ammortamento a rate costanti Un altro particolare metodo per ammortizzare un prestito prevede rate di ammortamento tutte uguali ad un comune importo R, in ciascuna scadenza considerata

RRRR n ==== ...21 (48) Tale tipo di ammortamento anche chiamato metodo francese o metodo progressivo in senso stretto. In questo caso la condizione di equivalenza finanziaria impone che limporto del prestito S deve coincidere con il valore attuale calcolato al tempo iniziale 0 della rendita a rata costante R, cio, ricordando la formula (4) del capitolo dedicato alle rendite

ivRS

n

=

1

(49) Se si conosce lammontare del prestito S, il numero delle rate n ed il tasso di interesse i, si pu ricavare immediatamente lammontare della rata di ammortamento da versare alla fine di ciascuna scadenza pattuita

nv

iSR

=

1

(50) Una caratteristica di tale metodo di ammortamento che le quote capitale Ck sono crescenti in progressione geometrica (da cui il termine metodo dammortamento progressivo). Infatti a partire dalle relazioni:

kkkkk CDiCIRR +=+== 1


111111 )( +++++ +=+=+== kkkkkkkk CCDiCDiCIRR essendo il primo membro uguale ad R per entrambe le equazioni, si possono uguagliare i secondi membri e si ottiene:

kkkkkkk CiCCCiDiCDi )1(1111 +=+=+ ++ il che significa che il rapporto fra la quota capitale ad una certa scadenza e quella alla scadenza precedente costante ed uguale ad (1+i), che rappresenta la ragione della progressione.

2.4.1 Esempio Si vuole costruire il piano di ammortamento di un prestito di 20.000 da restituire in quattro rate costanti annuali al tasso di interesse annuo i = 0,06. Il piano di ammortamento completo del debito si presenta come segue:

k Rk Ck Ik Dk Ek 0 - - - 20.000 0 1 5.771,83 4.571,83 1.200 15.428,17 4.571,83 2 5.771,83 4.846,15 925,68 10.582,02 9.417,98 3 5.771,83 5.136,90 634,92 5.445,12 14.554,88 4 5.771,83 5.445,12 326,71 0 20.000

In primo luogo si pu calcolare lammontare della rata di ammortamento, in base alla relazione (50):

83,771.5)06,01(1

)06,0(000.204 =+

=

R

Calcolata R e riempita lintera colonna intestata alla rata, si possono calcolare le altre grandezze del piano, calcolando per ciascuna scadenza k-esima (k = 1,,4) la quota interesse 1= kk DiI , la quota capitale kkk IRC = e il debito residuo

kkk CDD = 1 . Si osservi che le quote capitale crescono in progressione geometrica di ragione 1,06.

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