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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRIESTE

Facoltà di Ingegneria

APPUNTI PER LE LEZIONI DI

ELETTROTECNICA

del Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Navale

Ingegneria Industriale Meccanica, Chimica, dei Materiali

DOCENTE : Gian Franco LADINI

Anno Accademico 2010/11

1

INTRODUZIONE L’ingegneria elettrica ha lo scopo di studiare le applicazioni dell’elettrotecnica nei vari settori

ove è utilizzata ai fini della produzione di un certo tipo di lavoro sia meccanico che termico, chimico o quant’altro senza tralasciare tutto il campo dell’illuminotecnica e della trazione elettrica.-

I grandi capitoli nei quali si suddivide lo studio dell’ingegneria elettrica partono da quello relativo alla Produzione dell’energia elettrica, passano per quello relativo al suo Trasporto e Distribuzione, concludendosi con l’Utilizzazione dell’energia stessa nei più svariati campi d’impiego.-

Premessa imprescindibile e fondamentale a tutta quest’analisi deve essere lo studio dell’Elettrotecnica e delle sue leggi che permettono di comprendere il funzionamento di tutte le apparecchiature usate nei vari Impianti Elettrici , fino ad arrivare alla loro progettazione.-

È chiaro che gli argomenti trattati sono suscettibili di notevoli approfondimenti, indispensabili a chi dovesse essere chiamato a progettare le apparecchiature di cui sopra, ma non fornibili nell’ambito di un corso di Elettrotecnica dedicato agli studenti della laurea triennale in Ingegneria industriale.-

L’elettrotecnica ha per oggetto l’analisi dei fenomeni pratici di natura elettrica e magnetica connessi con lo spostamento delle cariche elettriche.

I portatori elementari di cariche elettriche sono: Elettroni.: particelle elementari di carica negativa Ioni positivi: atomi o molecole ionizzate cioè privati di uno o più elettroni Ioni negativi: atomi o molecole ionizzate con eccesso di uno o più elettroni La migrazione ordinata d’elettroni in una certa direzione costituisce una Corrente

elettronica.- La migrazione ordinata di ioni positivi o negativi in una certa direzione costituisce una

Corrente ionica.- Questi spostamenti possono essere rilevati soltanto in base agli effetti macroscopici che essi

provocano e cioè: Effetto termico (un corpo attraversato da corrente si riscalda) - Effetto magnetico (la corrente produce delle azioni a distanza dette azioni magnetiche) - Effetto chimico (taluni liquidi percorsi da corrente danno luogo a fenomeni elettrolitici).-

La migrazione di cariche, cioè la corrente elettrica, è la conseguenza di una causa che la provoca. Tale agente fisico viene denominato: Tensione elettrica o Forza elettromotrice o Differenza di potenziale, nomi diversi che indicano la stessa grandezza fisica anche se usati in presenza di fenomeni diversi. Questo agente fisico deve esser capace d’esercitare una forza sulle cariche e cedere loro l’energia necessaria a vincere le resistenze che incontrano durante gli spostamenti.-

I corpi che possiedono al loro interno portatori di carica liberi, capaci di muoversi sotto l’azione di una Tensione dando luogo ad un flusso ordinato di cariche cioè ad una Corrente elettrica sono chiamati Conduttori.-

I corpi che, pur possedendo portatori d’elettricità, li hanno saldamente ancorati alla loro struttura atomica molecolare e quindi, anche sotto l’azione di una tensione, non riescono a fornire una sensibile migrazione ordinata di cariche, sono chiamati Isolanti.-

Valutando gli effetti macroscopici conseguenti al passaggio di una corrente o all’applicazione di una tensione si è in grado d’eseguire il confronto tra due corrente o due tensioni e quindi eseguirne la misura in base al rapporto tra una e l’altra assunta come campione o unità di misura. Gli strumenti atti ad eseguire questo confronto e tarati direttamente in base all’unità di misura scelta (il Volt per le tensioni e l’Ampere per le correnti) sono chiamati Voltmetri e Amperometri.- Tali strumenti, in

2

base al principio di funzionamento possono essere di tipo Elettromagnetico, Elettrodinamico, Termico, ad Induzione.-

Se in un conduttore la corrente, sotto l’azione di una tensione, fluisce sempre nel medesimo verso verrà chiamata Corrente continua e la tensione che la determina Tensione continua.-.

Se invece la tensione e la corrente che ne consegue s’invertono periodicamente verranno chiamate Tensione e corrente alternate.-

3

Capitolo I

CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Un circuito chiuso è una catena di corpi conduttori che consente al suo interno, sotto l’azione

di una tensione elettrica, la circolazione permanente di cariche elettriche, cioè di una corrente elettrica. Elementi fondamentali di un circuito sono i conduttori, che costituiscono il mezzo attraverso il quale si spostano le cariche, e i generatori di Forza Elettro Motrice (FEM), apparecchi capaci di generare l’agente fisico FEM trasformando dell’energia chimica o fisica messa a loro disposizione da un agente esterno.-

Se la continuità del circuito viene interrotta in modo da fermare il flusso della corrente, il Circuito si dice aperto.-

I generatori di tensione possono essere Pile, Accumulatori, Dinamo o Cellule fotovoltaiche; negli schemi vengono indicati, secondo i casi, con uno dei seguenti simboli:

Per convenzione, l’estremo del generatore verso cui migrano le cariche positive dicesi POLO

POSITIVO mentre quello da cui provengono POLO NEGATIVO. Deve risultare chiaro che un generatore non è in grado di creare le cariche elettriche ma

soltanto di spostarle dal suo morsetto d’ingresso a quello d’uscita, fornendo loro una certa quantità d’energia.-

1.1.0. Corrente elettrica Si definisce come corrente elettrica I la quantità di carica Q che fluisce in un conduttore

nell’unità di tempo t:

t

QI =

Convenzionalmente si assume come verso della corrente quello verso cui si spostano le cariche positive.-

Si definisce come Quantità di elettricità il prodotto: tIQ ⋅= Se il circuito non è a regime e la corrente varia in funzione di t si definisce il Valore

istantaneo della corrente:

dt

dqti =)( e la carica totale passata come: ∫ ⋅=

tdtiQ

0

Nel sistema internazionale di misura S.I. l’unità fondamentale di riferimento e quella della corrente cioè l’AMPERE il cui campione viene determinato, come si vedrà in seguito, in base agli effetti elettromagnetici repulsivi prodotti dal passaggio della corrente stessa in conduttori paralleli posti ad opportuna distanza.-

Assunto l’Ampere come unità fondamentale, si può definire l’unità di misura della carica elettrica tIQ ⋅= ; tale unità prende il nome di COULOMB : esso corrisponde alla quantità di carica

4

che passa in un conduttore, percorso dalla corrente costante di un Ampere, in un secondo. La quantità d’elettroni corrispondenti alla carica di un Coulomb è:

1 6 22 1018C el= ⋅, . Dimensionalmente:

[ ] [ ]1 1 1C A= ⋅ sec Nel caso la corrente sia distribuita uniformemente su tutta la sezione del conduttore, si può

definire la Densità di corrente come rapporto tra la corrente e la sezione stessa:

St

Q

S

I

⋅==σ

Se le cariche non si distribuiscono uniformemente nella sezione la densità è definita da:

σ = =di

ds

d q

dtds

2

Dimensionalmente: [ ] [ ]σ = ⋅ −1 1 2A m

L’unità di misura della densità di corrente è l’Ampere per metro quadro anche se normalmente, viste le dimensioni dei conduttori, viene usato come unità l’Ampere per millimetro quadro.-

1.2.0. Tensione elettrica La tensione elettrica viene definita facendo riferimento alla Legge di Coulomb: Due cariche q

1 e q

2 poste alla distanza r si respingono se delle stesso segno o si attraggono

se di segno contrario, con una forza F12 :

122

2112 r

r

qqkF ⋅

⋅⋅=

ove:

k Fm

oo= = ⋅ −1

48 859 1012

πεε ,

Nel caso di due cariche fisse q1 e q

2, l’effetto su una carica esploratrice positiva q

p, si può

determinare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti: Si definisce come Campo elettrico generato da una o più cariche tutta la regione dello spazio

ove tali cariche fanno sentire la loro influenza attraendo o respingendo una carica esploratrice infinitesima. In ogni punto il valore del Campo K è definito come la forza che agisce sull’unità di carica:

provaq

FK =

5

Il lavoro fatto dalle forze del campo per portare l’unità di

carica dal punto A al punto B lungo la linea a si definisce come DIFFERENZA DI POTENZIALE tra il punto A e B: ABV

∫ ∫ ×=×=B

Aa

B

AAB dlq

FdlKV

La differenza di potenziale così definita si misura in volt.-

Si dirà che tra due punti del campo c’è la differenza di potenziale di un Volt se le forze del campo compiono il lavoro di un Joule per trasportare la carica di un Coulomb dal punto a potenziale minore a quello avente potenziale maggiore.-

Si dimostra che, nel caso della forza di Coulomb definita dalla relazione precedentemente vista, il lavoro per spostare la carica esploratrice da A a B è lo stesso indipendentemente dal percorso:

∫ ∫ ×=×=B

A

B

AbaAB dl

q

Fdl

q

FV

In presenza di un campo elettrico, scegliendo un punto fisso di riferimento O (normalmente la terra), ogni punto dello spazio avrà un suo Potenziale rispetto O; la differenza di potenziale tra due punti potrà essere così calcolata come differenza dei loro potenziali rispetto la terra:

V V V V VAB AO OB AO BO= + = −

In base a quanto visto il Generatore di tensione sarà una macchina elettrica in grado

d’imprimere a ciascuna unità di carica una forza K , fornendogli un’energia potenziale V in modo che, in presenza di un circuito chiuso, possa percorrerlo vincendo le resistenze del circuito stesso.- Si definisce come Forza Elettromotrice di un generatore la quantità d’energia che il generatore fornisce all’unità di carica che lo attraversa.-

Poiché l’unità di carica durante l’attraversamento del generatore, per vincere le resistenze interne, dissipa una parte dell’energia che gli viene fornita, si definisce come Tensione o Differenza di potenziale ai morsetti del generatore la quantità di energia che l’unità di carica possiede all’uscita dal morsetto positivo del generatore, ridotta di quella che eventualmente possedeva all’ingresso.-

Si definisce come Caduta di tensione ai capi di un bipolo, facente parte di un circuito chiuso, il lavoro che l’unità di carica elettrica deve spendere per attraversare il bipolo stesso.-

Q

LV = Dimensionalmente: [ ]

=

C

JV

1

11

Il lavoro compiuto dal generatore per spostare la carica Q sarà: VQL ⋅=

1.3.0. Legge di Ohm S’immagini un circuito chiuso, costituito da un generatore di F.E.M. e da un conduttore di

tipo e forma opportuna, nel quale siano inseriti un voltmetro ed un amperometro. Si potrà rilevare che al variare della tensione, a parità di conduttore, il rapporto tra la tensione ed il corrispondente valore della corrente si mantiene costante:

6

V

I

V

I

V

Ik1

1

2

2

3

3

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

La costante k dipende dalle caratteristiche del circuito, prende il nome di Resistenza e viene indicata con il simbolo R.- Normalmente la resistenza del circuito viene immaginata concentrata in un unico punto e collegata con il resto del circuito con dei conduttori ideali privi di resistenza.-

In generale vale quindi la Legge di Ohm:

IRVRI

V ⋅=⇒=

La resistenza si misura in Ohm (W) e dimensionalmente risulta: [ ] [ ]1111 −⋅=Ω AV L’inverso della resistenza prende il nome di Conduttanza del circuito e si misura in Siemens (S):

VGIR

G ⋅=⇒= 1

1.3.1. Leggi di variazione della Resistenza: La resistenza normalmente si costruisce con un filo di materiale opportuno avvolto su un

supporto. Sperimentalmente si è visto che la Resistenza ohmica del filo è direttamente proporzionale alla lunghezza del filo stesso ( l ), inversamente proporzionale alla sua sezione ( S ) e dipende dal tipo di materiale di cui è fatto il filo:

S

lR ⋅= ρ

La costante di proporzionalità ρ prende il nome di Resistività

ρ = ⋅RS

l e corrisponde alla resistenza di un cubo di

materiale di lato unitario. Dimensionalmente: [ ] [ ]ρ = ⋅Ω m

In pratica la resistività si misura:

mm

mm

mcmM

mcm

⋅=⋅

⋅=⋅⋅=⋅

−

−

ΩΩ

ΩΩΩΩµ

62

4

8

10 :in conduttori fili iper

10 :in isolanti materiali iper

10 :in conduttori materiali iper

A sua volta la resistività del materiale e quindi la sua resistenza è legata alla Temperatura

del resistore; indicando con Ro la resistenza del materiale a 0° C, se questo viene portato a t° C,

subirà una variazione di resistenza pari a: ∆R R R R tt o o o= − = ⋅ ⋅α

proporzionale alla resistenza iniziale, al salto di temperatura e funzione del tipo di materiale, da cui: ( )tRR oot α+= 1

ove αο è una costante specifica del materiale chiamata Coefficiente di temperatura. Essendo:

7

αoo

R

R t=

⋅∆

le dimensioni di αο saranno: [ ]oC−1

I valori di ro e di ao per i seguenti materiali sono:

( ) ( )

0,002 40 Manganina

4,3 2,8 Alluminio

4,26 1,6 Rame

C cm oo31 10−− ⋅°⋅ αΩµρ

Volendo valutare la variazione di resistenza a partire da un valore di temperatura diverso da 0°C

( )( )

+=+=

22

11

1

1

tRR

tRR

oo

oo

αα

e dividendo membro a membro: ( )

1

12

1

2

1

2

11

1

1

t

tt

t

t

R

R

o

o

o

o

α

α

α

α

+

−+=

+

+=

( )[ ] 1 :cui da 1212 ttRR t −+= α

ove: per il rame: αα

αt

o

tt t

=+

=+

11

1

2341 1

Problema 1.01 Una resistenza di rame alla temperatura di 60°C vale 200 Ohm.- A quale temperatura vale

400 Ohm?

∆tR R

RC

t

o=−⋅

=−

⋅ ⋅=−

2 1

13

1

400 200

3 4 10 200294 7

α ,, ove: = 3,4 10-3 oα

αt

ot

C1

11

1

234 601

1=+

=+

⋅ −

t Co2 60 294 7 354 7= + =, ,

Problema 1.02 Un filo d’alluminio con sezione di 2 mmq è attraversato da una corrente di 3 A quando ai suoi

estremi è applicata una tensione di 9,3 V.- Che lunghezza ha il filo sapendo che la sua temperatura di prova è di 45 ° C ? ( )13103,4 −− °⋅= CAloα

Per la legge di Ohm: Ω∆1,3

3

3,945 ===

I

VR

Ωα

597,245103,41

1,3

451 3

45 =⋅⋅+

=⋅+

=−

o

o

RR

Essendo: m

mmcmo

22108,28,2 ΩΩµρ −⋅=⋅=

mSR

lo

o 5,185108,2

2597,22

=⋅

⋅=

⋅=

−ρ

8

1.3.2. Generatore di Tensione Ideale e Reale: Il generatore di tensione ideale è un generatore privo di resistenza interna quindi fornisce ai

suoi morsetti una tensione V costante ed uguale alla sua FEM in quanto la corrente che è chiamato ad erogare non incontra, al suo interno, alcuna resistenza.-

EV = Caratteristica esterna: Poichè il generatore di tensione reale al suo interno ha dei conduttori aventi una certa

resistenza r, l’energia fornita alle cariche che lo attraversano va in parte persa per vincere tale resistenza.-

L’energia (V) posseduta dall’unità di carica all’uscita dal generatore sarà uguale a quella fornita (E) ridotta di quella persa per vincere le resistenze interne pari, per la legge di Ohm, ad r.I ; sarà pertanto:

IrEV ⋅−= Caratteristica esterna:

1.3.3. Espressione generale della legge di Ohm: Nel caso più generale, quando in un circuito sono presenti più generatori e resistenze,

per ricavare l’equazione generale che governa il suo funzionamento, risulta utile eseguire il bilancio energetico relativo ad un Coulomb di cariche che percorre l’intero circuito.

Nel circuito di figura si supponga E1 maggiore di E

2;

a partire dal punto A, un Coulomb di carica, quando arriva in B, possiede E1 Joule d’energia fornitagli dal generatore 1; attraverso la resistenza R ne perde una quantità pari a IR⋅ (legge di Ohm per la resistenza R); incontrando 2E avente verso contrario, cioè sviluppante una forza che tenderebbe a spostare le cariche in senso contrario, il Coulomb di carica che si stà considerando deve ancora perdere una quantità d’energia pari a 2E per vincere tale forza contraria; per attraversare quindi 2r ed 1r deve spendere un’energia pari a

Ir ⋅2 ed Ir ⋅1 rispettivamente; arriverà infine al generatore 1 avendo percorso il circuito ad una velocità tale, quindi con un’intensità di corrente sufficiente ad esaurire tutta l’energia a disposizione; risulterà cioè:

01221 =⋅−⋅−−⋅− IrIrEIRE da cui :

IE E

R r r=

−+ +1 2

1 2

La forza elettromotrice E2 che agisce in senso contrario al movimento delle cariche prende il

nome di Forza Controelettromotrice.

9

1.4.0. Circuiti Elettrici Complessi Un insieme di circuiti semplici, tra loro opportunamente collegati, costituiscono una Rete di

Conduttori . Il problema che si pone è: note le resistenze dei conduttori che compongono la rete ed i valori delle Forze Elettromotrici inserite, determinare le correnti nei singoli conduttori.-

La rete per quanto complessa si può sempre pensare come una combinazione di Nodi e di Maglie essendo il nodo un punto della rete al quale convergono più di due conduttori e la maglia un circuito chiuso della rete tale che ogni suo conduttore venga percorso una sola volta. Dicesi Ramo della maglia il conduttore che collega due nodi consecutivi.-

1.4.1. I° Principio di Kirchhoff: Poiché un nodo non è in grado né di fungere da deposito di cariche né da generatore di

cariche, essendo soltanto un punto d’incontro di più conduttori, chiaramente la quantità di carica che entra nel nodo nell’unità di tempo dovrà essere uguale a quella che n’esce.-

Assegnando convenzionalmente un certo segno alle correnti che entrano in un nodo e segno contrario a quelle che n’escono, risulterà che:

La somma algebrica delle correnti che convergono ad un nodo è nulla.

ΣI k = 0

1.4.2. II° Principio di Kirchhoff: Si analizzi una maglia contenente più generatori e resistenze; essendo questo un circuito

chiuso, la somma delle differenze di potenziale tra tutti i nodi consecutivi (il che significa scegliere un verso arbitrario di percorrenza della maglia) dovrà essere nulla:

V V V VAB BC CD DA+ + + = 0 Analizzando ciascun ramo risulterà:

44

33

222

111

IRV

IRV

IREV

IREV

AD

CD

BC

BA

==

−=−=

Sostituendo e tenendo presente i versi delle differenze di potenziale, si ottiene:

− + = − + − +E E R I R I R I R I1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 Risulta in definitiva: In una maglia, fissato a piacere un verso di percorrenza ed i versi

delle correnti nei vari rami, assegnando segno positivo alle FEM e alle cadute di tensione concordi con il verso di percorrenza, la somma algebrica della Forze Elettromotrici comprese nei rami è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione.-

1.4.3. Resistenze in Serie e in Parallelo: In pratica per la costruzione dei circuiti si usano due tipi di collegamenti delle resistenze: in

serie ed in parallelo o derivazione.- Più resistenze si dicono in Serie se sono attraversate dalla medesima corrente. La tensione applicata a ciascuna di esse risulterà:

V R I V R I V R IAB BC CD= = =1 2 3

10

La tensione totale sarà:

( )V V V V R R R IAD AB BC CD= + + = + + ⋅1 2 2

Si definisce come Resistenza equivalente di più resistenze in serie quella resistenza che

risulta essere attraversata dalla medesima corrente quando a lei viene applicata la stessa tensione totale.-

V R IAD e= ⋅ Risulterà pertanto R R R Re = + +1 2 3 La resistenza equivalente di più resistenze in serie è uguale alla loro somma. R Re k k= Σ Più resistenze si dicono in Parallelo se ad esse è applicata la medesima tensione. La corrente in ciascun ramo sarà:

IV

RI

V

RI

V

RAB AB AB

11

22

33

= = =

La corrente totale:

( )I I I I VR R R

V G G GAB AB= + + = ⋅ + +

= ⋅ + +1 2 3

1 2 31 2 3

1 1 1

Si definisce come Resistenza equivalente di più resistenze in parallelo, quella resistenza che risulta essere attraversata dalla medesima corrente se a lei viene applicata la stessa tensione.

I VR

V GABe

AB e= ⋅ = ⋅1

Sarà pertanto: 1 1 1 1

1 2 31 2 3R R R R

G G G Ge

e= + + ⇒ = + +

L’inverso della resistenza equivalente di più resistenze poste in parallelo è uguale alla somma dei loro inversi o anche La conduttanza di più resistenze in parallelo è uguale alla somma delle loro conduttanze.-

1 1

R RG G

ek

ke k k= =Σ Σ

Nel caso di due sole resistenze in parallelo:

RR R

R Re =⋅+

1 2

1 2

11

1.4.4. Partitore di corrente: Applicando il primo principio di Kirchhoff al nodo A: 21 III += Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia: 22110 IRIR −= Risolvendo il sistema delle due equazioni:

I IR

R RI

R

RI I

R

R RI

R

Re e

12

1 2 12

1

1 2 2

=+

= =+

=

1.4.5. Partitore di tensione: Disponendo più resistenze in serie, la corrente totale sarà:

221 RRR

VI a

++=

e la tensione ai capi di R3: IRV b 3=

Per cui: 321

3

321

3RRR

RV

RRR

VRV a

ab

++=

++=

1.4.6. Inserzione di Amperometri e Voltmetri: Lo strumento base che si ha a disposizione, come si studierà in seguito, è un

milliamperometro che è in grado di fornire il valore della corrente che lo attraversa; tale strumento, per la sua struttura interna, offre al passaggio della corrente una certa resistenza ir e non sopporta

correnti superiori a qualche decina di milliampere.- Dovendo misurare correnti di valore superiore al milliampere si ricorre ai partitori di corrente,

in tal modo attraverso il milliamperometro passerà soltanto una frazione nota della corrente che si vuol misurare:

Si

Sa

Rr

RII

+= e ponendo:

S

SiS

R

RrK

+=

aS IKI ⋅=

Da quanto visto sopra risulta che l’Amperometro va sempre inserito in serie al conduttore nel quale sta passando la corrente

che si desidera misurare.

Per misurare le tensioni si userà un Voltmetro, costituito da un milliamperometro avente in serie una resistenza addizionale di valore elevato in modo che sia attraversato da una corrente ridotta e proporzionale alla tensione che si vuol misurare:

addi

VRr

VI

+=

12

ponendo: addiV RrR += VV IRV ⋅=

Da quanto visto risulta che il Voltmetro

va sempre inserito in derivazione agli estremi del bipolo sul quale si vuol misurare la differenza di potenziale.-

Problema 1.03 E’ dato il circuito di figura ove:

AI R

R R

R R

390

830

211

14

53

21

======

ΩΩΩΩΩ

Determinare la tensione di alimentazione.-

( )( )

( )

VRIV

RRR

RRR

RRRR

AB 60203

20119

99082

9082

12541

12541254

452

452254

=⋅=⋅==+=+=

=++

⋅+=

++

⋅+=

Ω

Ω

Ω123020

3020

31245

31245 =+⋅=

+

⋅=

RR

RRRe A

R

VI

e

ABt 5

12

60 ===

1.5.0. Soluzione delle Reti

1.5.1. Soluzione delle reti mediante i Principi di Kirchhoff: Una rete di conduttori contenenti resistenze e generatori, che risulti costituita da un numero r

di rami ed un numero n di nodi, in fase di risoluzione presenta un numero di incognite pari a 2r corrispondenti a r correnti ed r cadute di tensione agli estremi di ciascun ramo; per risolvere la rete si avrà perciò bisogno di 2r equazioni indipendenti.- La legge di Ohm applicata a ciascun ramo fornirà

13

r equazioni; gli n nodi forniranno n - 1 equazioni indipendenti applicando il primo principio di Kircoohff; le rimanenti r - (n - 1 ) equazioni si otterranno applicando il secondo principio di Kircoohff ad altrettante maglie della rete scelte a piacere.-

Problema 1.04

Trovare le correnti nei tre rami della rete di figura sapendo che:

VEVER

RRR

100905

15105

214

321

======

ΩΩΩΩ

Fissati ad arbitrio i versi delle tre correnti ed il senso di circolazione nelle maglie, risulterà:

++=+=

=+

3422232

34111

321

IRIRIRE

IRIRE

III

+++=++=

212

211

IIII

III

551015100

55590

2

=+=+

206

182

21

21

II

II

I A I A I A1 2 38 2 10= = =

1.5.2. Teorema di Thevenin : Il teorema di Thevenin discende dall’applicazione del principio di sovrapposizione

degli effetti.- Si consideri una qualsiasi Rete comunque complessa ed un suo ramo di resistenza R compreso tra i nodi A e B nel quale si voglia determinare la corrente I.- Si indichi con abV la tensione

che si stabilisce tra i morseti A e B della rete quando viene disinserita la resistenza R ; con abR la

resistenza della rete vista da A e B cortocircuitando i suoi generatori e sostituendoli con le loro resistenze interne.-

Si immagini ora di inserire nel ramo AB delle rete un generatore di tensione ideale avente

F.e.m. uguale a abV− . Si calcoli quindi la corrente I* che risulterebbe in questo ramo AB, applicando

il principio di sovrapposizione degli effetti; essa è la somma algebrica di due correnti: la prima si ottiene cortocircuitando il generatore abV− per cui la corrente è quella dovuta agli altri generatori

della rete cioè la corrente I che si vuol determinare, la seconda è quella che si ottiene cortocircuitando tutti i generatori della rete e quindi dovuta al solo generatore abV− :

IV

R Rab

ab

** =−+

Risulterà quindi: I I I* **= +

14

Ma la I* dovrà essere nulla in quanto il generatore abV− si oppone esattamente alle tensioni

del circuito, per cui : I I+ =** 0 cioè:

IV

R Rab

ab

=+

La corrente che passa nella resistenza R di un ramo AB di una rete è uguale al rapporto tra il valore della tensione Vab che si stabilisce tra i morsetti A e B quando si disinserisce la resistenza R e la somma della resistenza R con la resistenza equivalente della rete vista da A e B quando si toglie la resistenza R e si cortocircuitano i generatori della rete sostituendoli con le loro resistenze interne.-

Tutta la rete può quindi essere sostituita da un unico generatore equivalente avente F.e.m. = abV e resistenza interna abR .-

Problema 1.05 Si determini la corrente 3I della rete del problema 4 :

( ) ( )( ) ( )

Disinserita la R , si calcola la V e la R :

Per il teorema di Thevenin sarà:

I

4 AB AB

3

IE E

R R RA

V E R R I V

RR R R

R R R

V

R RA

AB

AB

AB

AB

=−

+ +=

−+ +

=

= − + = − + ⋅ =

=+

+ +=

⋅ ++ +

=

=+

=+

=

2 1

1 2 3

2 2 3

1 2 3

1 2 3

4

100 90

5 10 150 333

100 10 15 0 333 91 666

5 10 15

5 10 154 166

91 666

5 4 16610

,

, ,

,

,

,

Ω

1.6.0. L’Energia nei circuiti a corrente continua

1.6.1. Effetto Joule : E’ noto che qualsiasi corpo attraversato dalla corrente si riscalda; il moto delle cariche

elettriche al suo interno da luogo ad una trasformazione d’energia il cui risultato è appunto una produzione di calore.- Il generatore che spinge le cariche a migrare nell’interno del corpo fornisce loro un’energia che, per unità di carica, è uguale alla sua F.E.M.: è tale energia che si trasforma in calore.-

15

Una serie sistematica di misure mediante un calorimetro permette di rilevare che la quantità di calore prodotta è direttamente proporzionale al quadrato dell’intensità di corrente, alla resistenza del corpo e alla durata del fenomeno:

Q k R I t= ⋅ ⋅ ⋅2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Dimensionalmente: Cal k A k V A k V C k J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =Ω 2 sec sec

ove k è l’equivalente termico del lavoro meccanico e vale: k = 0,24.10 -3 Cal/J

Q R I t= ⋅ ⋅ ⋅−0 24 103 2,

La quantità d’energia elettrica trasformata in calore risulterà:

[ ]W R I t Joule= ⋅ ⋅2

Se la corrente è variabile nel tempo, l’energia infinitesima trasformata nel tempo dt sarà:

dW R i dt= ⋅ ⋅2

e l’energia trasformata in un intervallo di tempo 21 tt ÷ :

W R i dt

t

t

= ⋅ ⋅∫ 2

1

2

1.6.2. La potenza elettrica: Si consideri un generatore che alimenta una resistenza

R; la tensione ai capi della R sarà: IrEV i−= ove: IRV ⋅=

L’energia spesa dal generatore per far passare la carica Q attraverso la resistenza R sarà:

VQW ⋅= La carica Q che attraversa al resistenza R nel tempo t

risulta: tIQ ⋅=

sostituendo: tIVW ⋅⋅= La Potenza impiegata dal generatore, intesa come Energia spesa nell’unità di tempo, sarà:

P

W

tV I R I G V= = ⋅ = ⋅ = ⋅2 2

[ ] [ ] [ ]P

JV A W=

= ⋅ =

sec J103,6=1KWh secWJ 6⋅⇒= 11 La resistenza può venire definita in base alla legge di Joule come il rapporto fra la potenza in

essa trasformata in calore ed il quadrato della corrente che la attraversa:

R

p

i= 2

L’equivalente termico dell’energia meccanica è:

1860

3 6 100 24 106

3J Cal Cal=⋅

= ⋅ −

,,

16

1.6.3. Sovratemperatura nei conduttori: La corrente passando attraverso un conduttore di sezione S, perimetro p, lunghezza l, produce

una certa quantità di calore pari a:

tIS

l,tRI,Q ∆ρ∆∆ 2323 1024010240 ⋅⋅=⋅= −−

A regime termico, questo calore viene ceduto all’ambiente in quanto il conduttore riscaldandosi assume una temperatura maggiore dell’ambiente stesso con un salto termico pari a ∆Τ ; indicando con lpA ⋅= la superficie esterna del conduttore, il calore ceduto all’ambiente vale:

∆ ∆ ∆ ∆Q c A T t

l

SI t= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−0 24 10 3 2, ρ

p S

c TI⋅ =

⋅ ⋅⋅

⋅−0 24 103

2, ρ∆

A parità di sovratemperatura (∆Τ) i conduttori piatti sopportano maggiori correnti.

La massima densità di corrente ammessa risulta dipendente dalla sezione del conduttore:

σ

ρ2

2

2 30 24 10= =

⋅⋅

⋅−

I

S

c T p

S

∆,

essendo p S≡ a parità di sovratemperatura DT ammessa:

σ 2 1

≡ ≡S

S S

In pratica si riscontra nei conduttori di rame:

fino:

fino:

fino:

σ

σ

σ

=

=

=

4 5

3 20

2 100

Ammq mmq

Ammq mmq

Ammq mmq

Problema 1.06 Un milliamperometro ha una resistenza interna di 30 Ω e una corrente di fondo scala uguale a

1,5 mA.- Calcolare il valore della resistenza di shunt necessaria ad ottenere un amperometro con portata di 3 A.-

1+=+

=s

i

asi

sa

R

r

I

I

Rr

RII

199920001051

33

==⋅

=−

s

i

a R

r

,I

I ΩΩ m,,

RR a

S 007515015007501999

30

1999====

17

Problema 1.07 In quanto tempo un bollitore della capacità di 80 litri d’acqua, dotato di una resistenza

riscaldatrice di 2 kW di potenza, porta ad ebollizione l’acqua avente una temperatura iniziale di 18°C, supposte nulle le dispersioni di calore?

La quantità di calore necessaria sarà: ( ) CalQ 65601810080 =−=

Per la legge di Joule: Q = 0 24 103, ⋅ ⋅− P t

47473=13667sec=2000100,24

6560=

1024,0

secmin

3-3

h

P

Qt

⋅⋅⋅=

−

Problema 1.08 Calcolare il valore della resistenza riscaldatrice di un ferro da stiro del peso di 1,5 kg

alimentato alla tensione di 250 V in modo che in 5 min. passi dalla temperatura di 22 °C a quella di 200 °C, supponendo nulle le dispersioni ( Calore specifico del ferro = 0,134 Cal / Kg . °C ).-

La quantità di calore necessaria sarà:

( ) ( )Q c Peso T T Cals= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =2 1 0 134 1 5 200 22 35 78, , ,

Per la legge di Joule: Q P t= ⋅ ⋅ ⋅−0 24 10 3,

PQ

tW=

⋅=

⋅ ⋅ ⋅=− −0 24 10

35 78

0 24 10 5 604973 3,

,

,

Ω126497

25022

===P

VR

Problema 1.09 Una linea di rame lunga 300 m alimenta alla tensione di 200 V un carico che assorbe 10 kW.

Calcolare la sezione dei conduttori di linea affinché questa funzioni con un rendimento del 95%.-

A.

V

PI

a

al 50

200

00010 === p

al

P

P=η P Wp = =

10 000

0 9510526

.

,.

p P P Wl p a= − = − =10 526 10 000 526. . p R Il l l= ⋅ ⋅2 2

Ω10520502

526

2 22,

I

pR l

l =⋅

=⋅

= S

lRl ⋅= ρ

Sl

Rmm

l

= ⋅ = ⋅ =ρ 17 50 3

0 105249 9 2,

,

,,

517 :dove2

20km

mm,CCu Ωρ =° Sezione commerciale: 250mmS =

18

Problema 1.10

Un filo di Nichelio ( )C006,0cm8,11 1oo

−−−−°°°°====αααα⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩµµµµ====ρρρρ avente una sezione 2mm8,0S ==== è attraversato da una corrente di A4 quando ai suoi capi è applicata una tensione di

V60 .- Qual è la sua lunghezza se la temperatura di funzionamento è di C180°°°° ?

La resistenza del filo a C°180 vale: Ω154

60180 ===

I

VR

La sua resistenza a C°0 vale: Ωα

21718000601

15

1,

,T

RR

o

To =

⋅+=

+=

La lunghezza del filo risulterà: m,,

,,

SRL

o

o 884810811

80217

2=

⋅⋅==

−ρ

Si tenga presente che: mmm,cm,

2210811811 ⋅⋅=⋅ − ΩΩµ

Problema 1.11 Un filo d’alluminio della lunghezza di m70 è percorso dalla corrente di A20 quando ai suoi

capi è applicata una tensione di V10 .- Calcolare la sezione del filo, sapendo che la prova è stata eseguita alla temperatura di C80°°°° .- (Per l’alluminio )C0043,0cm80,2 1

oo−−−−°°°°====αααα⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩµµµµ====ρρρρ

)mm27,5S:R( 2====

Problema 1.12 In un forno viene posta una resistenza di rame alimentata alla tensione costante di V10 ;

quando la temperatura del forno è di C20°°°° la corrente assorbita dalla resistenza vale A2,0 .- Calcolare il valore della temperatura che deve raggiungere il forno affinché la corrente assorbita dalla resistenza valga A125,0 .-

( )C8,172T:R °°°°====

Problema 1.13 Due generatori, aventi rispettivamente:

ΩΩΩΩ========

5,0r

V80E

1i

1 ed

ΩΩΩΩ========

3,0r

V50E

2i

2

sono collegati in serie con polarità in opposizione ed alimentano una resistenza R che risulta essere attraversata da una corrente di A2 ; determinare il valore della resistenza R.-

19

Tenedo presente che i due generatori sono collegati tra loro in opposizione, l’equazione che regola il funzionamneto del circuito sarà: I)Rrr(EE ii ⋅++=− 2121

2121

ii rrI

EER −−

−=

Ω21430502

5080,,,R =−−−=

Problema 1.14 Due generatori collegati in serie con polarità in opposizione ed aventi:

ΩΩΩΩ========

5,0r

V50E

1i

1 ed

ΩΩΩΩ========

5,1r

V150E

2i

2

alimentano una resistenza formata da un filo di Rame della lunghezza di m4000 avente sezione 2mm1 e funzionante alla temperatura di C200°°°° .- Calcolare la corrente che scorre nel circuito.-

( )A8297,0I:R ====

Problema 1.15 Trovare la resitenza equivalente del circuito di figura:

ove:

======

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

2

3

83

10

5

2516

6

5

4

3

2

1

R

R

,R

R

R

,R

20

Ω2123

23

65

65

56 ,RR

RRR =

+⋅=

+

⋅= Ω52183564456 =+=+= ,,RRR

Ω151053223 =+=+= RRR Ω753155

155

23456

2345623456 ,

RR

RRR =

+⋅=

+

⋅=

Ω207532516234561 =+=+= ,,RRReq

Problema 1.16 Trovare il valore della corrente 3I che attraversa la resistenza 3R del circuito di figura:

======

12

5

6

2

8

26

6

5

4

3

2

1

R

R

R

R

R

,R

ΩΩΩΩ

Ω

======

VE

R

R

R

R

R

90

8

6

14

40

10

11

10

9

8

7

ΩΩΩΩΩ

Ω84010

401078 =

+⋅=R Ω20812678 =+=R

Ω4205

2055678 =

+⋅=R Ω24

614

614109 ,R , =

+⋅=

a,, R,,,R ==++++= Ω428824462611101456789

Ω6128

2823 ,R =

+⋅=

Ω304286123 =+=+= ,,RRR aeq

AR

EI

eq

330

90 === A,RR

RII 42

28

83

32

23 =

+⋅=

+⋅=

21

Problema 1.17 È dato il circuito di figura ove:

===

ΩΩΩ

40

3

6

3

2

1

R

R

R

===

AI

R

R

2

2

20

1

5

4

ΩΩ

Determinare la tensione di alimentazione ABV e la corrente totale I .-

Si ricava si circuito equivalente:

Ω42023

2023

452

452245 =

++

⋅+=

++

⋅+=

)(

R)RR(

R)RR(R

V)(I)RR(V AB 2024612451 =⋅+=⋅+=

Dall’equazione dei partitori di corrente:

)RR(R

RII

24513

31

++⋅=

A,R

RRRII 52

40

46402

3

245131 =++⋅=

++⋅=

Problema 1.18 (Equivalenza collegamento triangolo – stella) Data una rete, comunque complessa, nella quale siano inserite tre resistenze poste fra tre nodi

( A – B – C ) e collegate a triangolo, determinare il valore di tre opportune resistenze collegate a stella, di valore tale che il circuito veda dai tre nodi la stessa resistenza equivalente.-

Viste dai nodi A e B : ( ) ( )1

CABCAB

CABCABBA

RRR

RRRRR

++

+=+

Viste dai nodi B e C : ( ) ( )2

CABCAB

ABCABCCB

RRR

RRRRR

++

+=+

Viste dai nodi C e A : ( ) ( )3

CABCAB

BCABCAAC

RRR

RRRRR

++

+=+

22

Eseguendo (1) - (2) + (3) e dividendo per due si ricava la RA e parimenti per la R

B e la R

C:

CABCAB

CAABA

RRR

RRR

++

⋅=

CABCAB

ABBCB

RRR

RRR

++

⋅=

CABCAB

BCCAC

RRR

RRR

++

⋅=

Risolvendo il sistema delle (1),(2),(3) rispetto alle RAB

, RBC

, RCA

si ricavano le espressioni inverse:

p

BAAB

R

RRR

⋅=

p

CBBC

R

RRR

⋅=

p

ACCA

R

RRR

⋅=

Dove: CBAp RRRR

1111 ++=

Problema 1.19 Determinare la tensione d’alimentazione ABV del circuito di figura, conoscendo la corrente

4I che attraversa la resistenza 4R .-

Le resistenze 321 RRR −−−−−−−− costituiscono un collegamento a triangolo che può essere sostituito

dall’equivalente a stella:

Ω103744 =+=+= RRR BB Ω30161455 =+=+= RRR CC

Ω573010

3010

54

5454 ,

RR

RRR

CB

CBCB =

+⋅=

+

⋅=

Ω59257454 ,,RRR CBe =+=+=

V,IRV BCB 75571044 =⋅=⋅= A,R

VI

CB

CB 1057

75

54

===

V,IRV eAB 951059 =⋅=⋅=

===

ΩΩΩ

20

70

10

3

2

1

R

R

R

===

A,I

R

R

57

16

3

4

5

4

ΩΩ

Ω

Ω

Ω

14207010

7020

7207010

7010

2207010

2010

321

23

321

21

321

31

=++

⋅=++

⋅=

=++

⋅=++

⋅=

=++

⋅=++

⋅=

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

C

B

A

23

Problema 1.20 È dato il circuito di figura, ove:

Determinare il valore delle correnti circolanti in ciascun ramo del circuito.- Fissato ad arbitrio il verso delle tre correnti ed il senso di percorrenza delle due maglie, si

applicano il primo principio di Kirchhoff al nodo A ed il secondo alle due maglie:

AI 31 = AI 72 = AI 103 =

Problema 1.21 È dato il circuito di figura, ove:

Determinare il valore della corrente 1I e della 2E

=====

VE

VE

R

R

R

64

80

5

2

10

2

1

3

2

1

ΩΩΩ

+=+=

=+

33222

33111

321

IRIRE

IRIRE

III

++=++=

212

21

5I5II

5I5II0

264

108 1

=−+−=

64211125

316

11

12

II

II

====

ΩΩΩΩ

1

4

6

4

4

3

2

1

R

R

R

R

====

AI

VE

R

R

2

40

1

2

2

1

6

5

ΩΩ

24

Fissato arbitrariamente il verso della 2E e delle correnti incognite oltre al senso positivo di percorrenza delle due maglie, si applicano i due principi di Kirchhoff:

Problema 1.22 Si determini la corrente 3I della rete di figura, ove :

Il calcolo della corrente 3I può essere fatto applicando il teorema di Thevenin al ramo AB :

Disinserendo la resistenza del ramo AB si calcola la tensione ABV e, cortocircuitando i generatori di tensione, la resistenza ABR :

ARRR

EEI 1

10155

70100

421

12 =++

−=++

−= Ω1664

10155

10155

421

421 ,)(

RRR

)RR(RRAB =

++

+⋅=

++

+=

V)(I)RR(EV AB 7511015100422 =⋅+−=⋅+−= Per il teorema di Thevenin, risulterà:

A,,RR

VI

AB

AB 182851664

75

3

3 =+

=+

=

+++=+++=

=+

333624252

333612111

321

IRIRIRIRE

IRIRIRIRE

III

⋅+⋅+⋅+⋅=+++=

=+

332

3311

31

412122

46440

2

IIE

IIII

II

===

VE

VE

R

100

70

10

2

1

4 Ω

===

ΩΩ

Ω

5

15

5

3

2

1

R

R

R

=

=

VE

AI

26

2

2

1

25

Problema 1.23 Calcolare il valore della corrente I circolante nel ramo AB del circuito di figura, ove:

Volendo usare il teorema di Thevenin, si consideri il circuito ottenuto togliendo la resistenza R e si calcoli la differenza di potenziale ABV :

VIREV BAC 10543044 =⋅−=−=

VIRV ABC 42765 =⋅== VVVV BCACAB 324210 −=−=−=

Per calcolare la resistenza equivalente del circuito, vista dai morsetti A e B con la resistenza R disinserita, si pongono in corto circuito i generatori di tensione ottenendo il circuito di figura:

=======

ΩΩΩΩΩΩ

Ω

15

3

6

4

3

1

252

7

6

5

4

3

2

1

R

R

R

R

R

R

,R

====

==

VE

VE

VE

VE

,R

R

30

60

10

20

211

2

4

3

2

1

8

ΩΩ

Ω753515

515

867

867678 ,

RRR

)RR(RR =

+⋅=

++

+⋅= A

,,RRR

EEI B 5

7534252

3020

67841

41 =++

+=++

+=

ARRR

EEI A 7

631

6010

532

32 =++

+=++

+=

26

Ω4264

64

532

532235 ,

RRR

R)RR(R =

+⋅=

++

⋅+=

Ω427532524

7532524

67814

6781414678 ,

,,

),,(

RRR

)RR(RR =

++

+⋅=

++

+⋅=

Ω84424214678235 ,,,RRR AB =+=+=

Per il teorema di Thevenin, risulterà:

A,,RR

VI

AB

AB 284211

32 −=+

−=+

=

Il segno meno indica che il verso della corrente nel ramo AB è opposto a quello indicato nello schema vale a dire va da B ad A.-

Problema 1.24 Nel circuito di figura, si calcoli la corrente I che attraversa la resistenza 4R (teorema di

Thevenin).-

=====

ΩΩ

ΩΩΩ

8

812

4

5

1

5

4

3

2

1

R

,R

R

R

R

====

VE

VE

R

R

10

30

10

2

2

1

7

6

ΩΩ

( A4,0I:R ==== )

Problema 1.25 Calcolare la resistenza di isolamento chilometrica di un cavo unipolare sotto piombo isolato

con gomma vulcanizzata ( mM106 6 ⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅====ρρρρ ) sapendo che il raggio del conduttore è di 5 mm ed il raggio interno dell’involucro di piombo è di 15 mm.-

27

Si calcola la resistenza dR di un cilindro di raggio x (

21 rxr ≤≤≤≤≤≤≤≤ ) , spessore dx e lunghezza L=1000m:

Lx

dxdR

⋅⋅⋅=

πρ

2

[ ]∫ ⋅=

⋅⋅⋅= 2

1

2

122

r

r

r

rxlnLLx

dxR

πρ

πρ

kmMln

)m(

)mM(R Ω

π

Ω1049

5

15

10002

106 6

=⋅⋅

⋅⋅=

Problema 1.26 Un generatore, funzionante a carico, fornisce ai morsetti una tensione di 2,17V quando eroga

una corrente di 2A ed una tensione di 2,08V quando eroga una corrente di 5A.- Calcolare la F.E.M. , la resistenza interna e la corrente di corto circuito del generatore.- Nelle due situazioni di carico risulterà:

=−=−

22

11

VIrE

VIrE

i

i

=⋅−=⋅−

0825

1722

,rE

,rE

i

i

=

=

Ω030

232

,r

V,E

i

A,,

,

r

EI

i

cc 3374030

232===

Problema 1.27 Un milliamperometro ha una resistenza interna di 20 WWWW ed una corrente di fondo scala di

2,5 mA.- Calcolare il valore della nuova corrente di fondo scala se viene inserita una resistenza di shunt del valore di 10,005 mWWWW.-

Sa

Sa

RR

RII

+= 1+=

S

a

a R

R

I

I

200011000510

203

=+⋅

=−,I

I

a

A,II a 5105220002000 3 =⋅⋅=⋅= −

28

Problema 1.28 Calcolare il tempo necessario ad un bollitore, avente una resistenza riscaldatrice di 30WWWW, per

portare alla temperatura di 80° C la quantità di 40 litri d’acqua che si trova inizialmente alla temperatura di 16°C, sapendo che viene alimentato ad una tensione di 220V e supposte nulle le perdite di calore.-

La quantità di calore necessaria sarà: Cal.)(Q 5602168040 =−=

Per la legge di Joule: tR

V,tP,Q ∆∆ ⋅⋅=⋅⋅= −−

233 1024010240

secmhsec,V,

QRt 125016612

22010240

256030

10240 2323==

⋅⋅⋅=

⋅

⋅=

−−∆

Problema 1.29

Nel circuito di figura, calcolare il rapporto tra R ed ir affinché risulti massima la potenza

trasmessa dal generatore a R.-

Indicando con k il rapporto cercato: ir

Rk =

Essendo: irR

EI

+=

La potenza assorbita dalla resistenza R sarà:

2

2

22

2

2

22

11 )k(

k

r

E

)k(r

Erk

)rR(

ERIRP

ii

i

i +⋅=

+⋅⋅=

+⋅=⋅=

01

1

1

1214

22

4

22

≥+−⋅=

+

+−+⋅=

)k(

k

r

E

)k(

)k(k)k(

r

E)k('P

ii

0≥)k('P per: 11 +≤≤− k

Si ottiene il massimo per: 1=k cioè irR ====

Problema 1.30 La resistenza di un reostato a cursore è fatta variare con legge lineare da ΩΩΩΩ40 a ΩΩΩΩ280 nel

periodo di 10 minuti.- Se la tensione d’alimentazione di V200 rimane costante, quant’è il calore sviluppato per effetto Joule?

La quantità d’energia dW trasformata nel tempuscolo dt sarà:

dt)t(R

VdtPdW

2

=⋅=

dove R(t) è il valore della resistenza al tempo t che viene fornito dalla relazione di linearità:

29

40

40 0,4

La quantità totale d’energia trasformata sarà:

Jln,

)t,ln(,t,

dtVdt

)t(R

VW

t194591

40

280

40

12004040

40

1200

4040

2

0

600

0

600

0

222

1 ==

⋅+⋅=

⋅+== ∫ ∫

Cal,,W,Q 7461945911024010240 33 =⋅⋅=⋅= −−

Problema 1.31 Determinare la resistenza equivalente del circuito di figura, ove ΩΩΩΩ==== 3R

( ΩΩΩΩ==== 5,1R:R AB ) Problema 1.32

Determinare la resistenza equivalente tra i punti A e B del circuito di figura, ove:

===

ΩΩΩ

60

30

15

3

2

1

R

R

R

( ΩΩΩΩ==== 091,19R:R AB )

30

Problema 1.33 Una linea di rame lunga 420m deve alimentare alla tensione di V400V a ==== un carico

costituito da una resistenza del valore di: ΩΩΩΩ==== 2R C . Calcolare la sezione dei conduttori di linea

affinché questa funzioni con un rendimento minimo del 90%; in tali condizioni calcolare anche il valore della tensione che bisogna applicare in partenza della linea.-

La corrente assorbita dal carico vale:

AR

VII

C

aLC 200

2

400 ====

La potenza assorbita dal carico vale: WIVP CCC 80000200400 =⋅=⋅=

La potenza in partenza della linea viene calcolata in base al rendimento della linea stessa:

W,

PP

L

C

p 88888900

80000===η

Le perdite in linea dovranno avere un valore massimo pari a: WPPp CpL 88888000088888 =−=−=

La resistenza totale dei due conduttori di linea dovrà avere un valore massimo di:

Ω2220200

888822

,I

pR

L

LL ===

La sezione minima dei conduttori di linea risulta:

2

2

11682220

420201802mm,

)(,

)m()mmm(,

R

LS

L

=⋅⋅⋅

=⋅

=Ω

Ωρ

La sezione commerciale usata sarà: 270mmS =

La resistenza effettiva della linea sarà quindi: Ω216070

42020180 ,,RL =⋅=

Il rendimento effettivo: %,,,IRP

P

LLC

C 2909020200216080000

8000022

==⋅+

=+

=η

La tensione in partenza della linea: V,,IRVV LLaP 24432002160400 =⋅+=+=

Si noti anche che: 90202443

400,

,V

V

IV

IV

P

P

p

a

Lp

La

p

aL =====η

Problema 1.34 Una linea di rame della lunghezza di 1000m alimenta un carico che assorbe una potenza di

5kW funzionando con un rendimento del 90%. Sapendo che la tensione in partenza della linea vale 1000V, determinare la resistenza di linea, la tensione all’arrivo e la densità di corrente in linea.-

( R: 2La mmA89,218RV900V ====σσσσ−−−−ΩΩΩΩ====−−−−==== )

31

Problema 1.35 Determinere in modulo e verso la corrente che attraversa il ramo 3 ( 33 RE −−−− ) del circuito

di figura, ove:

======

VE

VE

VE

,R

R

R

55

40

100

2511

15

5

3

2

1

3

2

1

ΩΩ

Ω

( BversoAdaA2I:R 3 ==== )

Problema 1.36

Determinare in quanto tempo un bollitore, di 80 l di capacità e di 2 kW di potenza, porta

l’acqua all’ebollizione, se la temperatura iniziale dell’acqua è di 18°C e si suppone una perdita di calore pari al 5% del calore prodotto.-

( R: secmh 46593 )

32

Capitolo II

IL CAMPO ELETTRICO

2.1.0. Elettrostatica - Condensatore Mentre l’ELETTRODINAMICA studia i sistemi di cariche libere che, sotto l’influenza di

sollecitazioni diverse, si muovono all’interno di un circuito chiuso, l’ELETTROSTATICA studia i sistemi di cariche elettriche libere che, sotto l’azione di sollecitazioni diverse, si assestano in una posizione d’equilibrio stabile nella quale rimangono in quiete.-

Il più comune esempio di passaggio da un sistema Elettrodinamico ad un Elettrostatico è l’interruzione di un circuito percorso da corrente.-

Interrompendo il circuito nei punti A e B, le cariche elettriche che prima erano in movimento attraverso tutto il circuito, assumono uno stato di quiete, addensandosi, sotto l’azione del generatore E, ai due estremi A e B (le positive in A e le negative in B), generando una differenza di potenziale tra i due punti tale da opporsi ad ogni ulteriore spostamento; ciò avverrà quando la differenza di potenziale uguaglierà la F.E.M. del generatore.-

Per esaltare il fenomeno, cioè aumentare il numero di cariche che si raccolgono in A e B, si possono collocare a tali estremi due superfici metalliche chiamate Armature separate da un materiale isolante chiamato Dielettrico, ottenendo quello che viene indicato con il nome di Condensatore.-

Considerato il circuito di figura con il deviatore in posizione 1 , si avrà una prima fase dinamica durante la quale il generatore tenderà a spostare le cariche elettriche presenti nel circuito addensandole sulle armature fino a quando la differenza di potenziale ABV che si stabilisce tra tali armature non eguaglierà la F.E.M. del generatore; dopo di che s’instaurerà un regime elettrostatico, si dirà cioè che il Condensatore è Caricato. Durante la fase transitoria di carica, la corrente varia tra un valore massimo nell’istante iniziale ed il valore finale tendente a zero.-

La quantità di carica spostata totalmente sarà:

Q i dtT

= ⋅∫

L’andamento della corrente di carica del condensatore e della tensione sulle sue armature sarà ricavato in seguito.-

Spostando quindi il deviatore in posizione 0 il condensatore rimane isolato. Nel circuito non passa alcuna corrente, sulle armature permangono le cariche Q che vi si erano accumulate e la differenza di potenziale tra le armature stesse rimane costante (Regime Elettrostatico).-

Spostando il deviatore in posizione 2 le armature vengono collegate tra loro attraverso la resistenza R per cui la differenza di potenziale ABV esistente tra le armature stesse spinge le cariche a ricombinarsi tra loro passando attraverso la resistenza R determinando un passaggio transitorio di corrente cioè la Scarica del condensatore.-

33

Con una serie sistematica di prove di carica e scarica di uno stesso Condensatore, si è

costatato che la quantità di carica che si deposita sulle sue armature nella fase di carica è proporzionale alla tensione ad esse applicata:

VkQ ⋅= La costante di proporzionalità, caratteristica di ciascun condensatore, prende il nome di

Capacità ( C ):

CQ

V=

Si definisce cioè come Capacità di un condensatore il rapporto tra la carica depositata sulle

sue armature e la tensione ad esse applicata.- Dimensionalmente:

[ ] [ ] [ ]CQ

V

C

V

A

AF=

=

=

⋅⋅

= ⋅ =−sec

secΩ

Ω 1

L’unità di misura della capacità è il FARAD ( F ).- Normalmente vengono usati i suoi

sottomultipli: Millifarad ( mF ) - Microfarad ( µF) - Nanofarad ( nF ) - picofarad ( pF ) .- Un condensatore ha la capacità di 1 Farad se, applicando alle sue armature la tensione di

1 Volt, su di esse si accumula la carica di 1 Coulomb.- Nel caso di condensatori costruiti con armature piane parallele aventi superficie S e poste alla

distanza d, si è riscontrato, mediante delle prove sistematiche per determinarne la capacità, che questa risulta proporzionale alla Superficie ed inversamente proporzionale alla Distanza tra le armature e dipende in oltre dal tipo d’isolante interposto tra le armature:

d

SC ε=

ove la costante di proporzionalità ε , legata alle caratteristiche del materiale, viene chiamata Costante dielettrica del materiale.-

[ ] [ ]1

2

−⋅=

⋅=

⋅= mF

m

mF

S

dCε

mF, 12

o 10868 :risulta vuotoilPer −⋅=ε

La costante dielettrica di tutti gli altri materiali viene espressa in funzione di quella del vuoto:

or εεε ⋅=

ove rε è la Costante dielettrica relativa del materiale.

o

rεεε =

Per i vari materiali isolanti risulta:

170100

32

75

85

2 ⇔⇔⇔⇔

.distilOH

Porcellana

Mica

Vetrorε

34

2.2.0. Accoppiamento dei condensatori Più condensatori possono essere raggruppati collegando le loro armature e costituendo così

una Batteria di condensatori.-

2.2.1. Collegamento in parallelo: In questo tipo di collegamento alle armature risulta applicata la medesima tensione V

AB quindi

la carica Qk di ciascun condensatore è proporzionale alla capacità C

k.-

La carica totale accumulata dalla batteria di condensatori sarà pari alla somma delle singole

cariche: ∑ ∑⋅==⋅= kABktotkABk CVQQCVQ

Definendo come Capacità equivalente quella di un condensatore unico che, alimentato alla

medesima tensione VAB , accumula sulle sue armature la carica totale accumulata dalla batteria:

C

Q

V

V C

VCe

tot

AB

AB k

ABk= =

⋅=

ΣΣ

La capacità di una batteria di condensatori collegati in parallelo è uguale alla somma delle

capacità dei singoli condensatori.-

2.2.2. Collegamento in serie : In questo tipo di collegamento la tensione V

AB risulta applicata ai due estremi della serie.- A

seguito dell’applicazione della tensione i condensatori tendono a caricarsi, cioè delle cariche si separano accumulandosi sulle varie armature.

Considerando il sistema, elettricamente isolato, costituito dalle due armature contigue

appartenenti a due condensatori successivi, la carica +Q che si forma sull’armatura positiva deve essere uguale ed opposta a quella -Q che si forma sull’armatura negativa. Poichè le cariche che si depositano sulle due armature dello stesso condensatore devono essere uguali, risulterà che tutti i condensatori delle serie saranno caricati con la medesima quantità di carica Q; di conseguenza le differenze di potenziale che si stabiliscono su ciascun condensatore della serie saranno rispettivamente:

∑ ∑ ∑====k k k kk

kAB

k

kC

QC

QVV

C

QV

1 :serie alla applicata totale tensionela e

Assumendo come Capacità equivalente quella che, alimentata dalla medesima tensione VAB

accumula la stessa quantità totale di carica della serie di condensatori, si ottiene:

35

∑=⇒=⋅

==ke

kk

AB

eCC

CCQ

Q

V

QC

11

1

1

1 ΣΣ

La capacità di una batteria di condensatori collegati in serie è uguale all’inverso della somma degli inversi delle capacità dei singoli condensatori.-

La tensione ai capi di ciascun condensatore è inversamente proporzionale alla capacità del condensatore stesso.-

Problema 2.01

Un condensatore piano con dielettrico aria ha una superficie di 200 cm2; se applicandovi una tensione di 1000 V accumula una carica di 177,2 nC, qual è la distanza tra le sue armature?

C

Q

VF= =

⋅= ⋅

−−177 2 10

1000177 2 10

912,

,

mmmdd

S

d

SC roro 11010

102,177

102001108,86=

C

S 4

12

412- =⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅= −

−

−

εεεεε

Problema 2.02

Nel circuito di figura, spostando il commutatore in posizione 1, il condensatore C1 viene

caricato alla tensione di 2000 V quindi, spostando il commutatore in posizione 2, il condensatore C1

viene collegato al condensatore C2, inizialmente scarico.- In questa nuova situazione, quando vale la

tensione ai capi dei condensatori e la carica accumulata da ciascuno dei due?

In posizione 1 : In posizione 2 : Per il principio di conservazione della carica:

Q=C EQ C V Q C V

Q Q QC E C V C V

AB AB

AB AB

1

1 1 2 2

1 2

1 1 2

⋅= ⋅ = ⋅

= +⋅ = ⋅ + ⋅

C pF C pF

E V1 2400 100

2000

= ==

V EC

C CVAB = ⋅

+= ⋅

⋅⋅ + ⋅

=−

− −1

1 2

12

12 122000400 10

400 10 100 101600

Q C V C CAB1 1

12 6400 10 1600 0 64 10 0 64= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =− −, , µ

Q C V C CAB2 212 6100 10 1600 0 16 10 0 16= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =− −, , µ

2.3.0. Campo elettrico all’interno dei materiali

2.3.1. Campo elettrico all’interno di un materiale isolante: All’interno della struttura atomica di certi materiali isolanti esistono già dei dipoli elettrici; in

altri invece soltanto sotto l’azione di un campo elettrico esterno gli edifici atomici tendono a deformarsi generando dei dipoli elettrici: in entrambi i casi, un campo elettrico esterno non riesce a spostare i dipoli dalla loro posizione all’interno della struttura del materiale ma soltanto gli orienta.-

In definitiva sotto l’azione di un campo elettrico esterno, all’interno di un materiale isolante si genera uno spostamento transitorio di carica, transitorio nel senso che dura soltanto il tempo che il campo impiega ad orientare i dipoli cioè a polarizzare il materiale.-

36

Disponendo un blocco di materiale isolante tra le armature di un condensatore piano, caricato

in modo che sulle superfici ci sia una distribuzione di cariche + Q e - Q rispettivamente e di conseguenza al suo interno si

sia in presenza di un Campo ElettricoK , tale campo agirà sul materiale isolante polarizzandolo; si formeranno così delle superfici immaginarie, parallele alle armature del condensatore, caricate alternativamente positive e negative.- Si definisce come Spostamento Dielettrico il vettore D avente la stessa direzione e verso del campo elettrico e modulo:

DQ

Ss=

ove SQ è la carica di spostamento e S la superficie sulla quale tale carica si sposta.-

Poichè la quantità di carica che si sposta e proporzionale al campo agente, sarà: D K≡

Si consideri un condensatore piano, avente come dielettrico il vuoto, al quale venga applicata una differenza di potenziale V in modo che sulle sue armature si dispongano le cariche +Q e -Q. Al suo interno si formerà un campo K: ponendo tra le armature una carica q questa, sotto l’azione del campo, si sposterà parallelamente alla direzione del campo. Il lavoro fatto dal campo per spostare l’unità di carica da un’armatura all’altra, sarà:

dKq

dF

q

WV ⋅=⋅==

ove: W è il lavoro fatto per spostare la carica q F è la forza che agisce sulla carica q d è la distanza tra le armature

Il campo all’interno del condensatore sarà:

KV

d

V

m=

Immaginando che il condensatore di cui sopra, avente capacità C, sia stato caricato e poi

isolato dal generatore in modo che la carica Q dislocata sulle sue armature rimanga costante, cioè:

Q C V

S

dV= ⋅ = ⋅ ⋅ε

( )e quindi: *

Q

S

V

dK= ⋅ = ⋅ε ε

risulterà che, essendo Q e S costanti, il campo K all’interno del condensatore caricato ed isolato rimarrà costante.- Il rapporto tra la carica dislocata sulle armature e la superficie delle stesse si definisce come Densità superficiale di carica sulle armature:

Q

S

C

m=

2

Se all’interno del condensatore, caricato ed isolato, viene posto un dielettrico questo,

secondo quanto visto in precedenza, si polarizza.- La carica Qs che si dispone sulle superfici ideali

di polarizzazione del dielettrico è uguale a quella distribuita sulle armature del condensatore:

Q = Qs

37

Cioè: DS

Q

S

Q S ==

La densità superficiale di carica è uguale allo Spostamento Dielettrico.- In definitiva, tenendo presente la (*):

D K= ⋅ε

2.3.2. Materiali Dielettrici Reali: I materiali dielettrici sono caratterizzati da due proprietà fondamentali:

I°: Proprietà Isolante rappresentata dalla grande resistenza che essi offrono al passaggio della corrente. La grandezza che ne indica la qualità è la Resistenza Specifica ρ

II°: Proprietà dielettrica rappresentata dal loro comportamento all’interno di un campo elettrico. La grandezza che ne indica la qualità è la Costante dielettrica ε

Per quanto concerne le proprietà isolanti, in teoria, la resistività del materiale dovrebbe essere infinita, in realtà essa è molto grande ma non infinita:

Mica: Rame:

ρρ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅−

2 1017 10

9

14

M mM m

ΩΩ,

Per quanto concerne le proprietà dielettriche dei materiali isolanti, in teoria, quando il campo polarizzatore viene azzerato, dovrebbe anche annullarsi la polarizzazione del materiale, in realtà, a causa dell’Isteresi dielettrica, permane una certa Polarizzazione Residua tale che per annullarla bisogna applicare un Campo coercitivo di segno contrario.-

2.3.3. Rigidità Dielettrica: Quando un materiale dielettrico è sottoposto ad un certo Campo elettrico, questo tende a

deformare i dipoli interni e spostarli dalla loro posizione nel reticolo; a ciò si oppongono, a livello atomico, le forze d’attrazione interna. Aumentando opportunamente il campo esterno, si arriverà ad un certo suo valore sufficiente a rompere i legami, generando in tal modo una Scarica disruptiva che perfora il materiale provocando dei danni permanenti all’isolamento.- Si definisce come Rigidità Dielettrica del materiale il valore massimo del campo elettrico che il materiale può sopportare prima che si determini la Scarica disruptiva.- Essa si misura normalmente in kV/cm e dipende dal tipo di materiale, dal suo spessore, dalla temperatura, dall’umidità e dalla durata della prova.- In pratica, partendo dalla tensione cui il materiale deve essere sottoposto, si sceglie il suo spessore in modo che il campo elettrico cui sarà sottoposto sia notevolmente inferiore alla sua Rigidità dielettrica.-

2.4.0. Transitorio di carica e scarica di un condensatore Nel circuito di figura si considerino come condizioni iniziali il condensatore scarico per cui,

con il commutatore in posizione 0, risulterà: 0)0( =q 0)0( =v Quando si porta il commutatore in posizione 1 ha inizio la fase di carica; la corrente istantanea nel circuito sarà:

dt

dqi =

ma essendo: dvCdq ⋅=

38

risulterà: dt

dvCi ⋅=

ove v è la tensione ai capi del condensatore e dv il suo incremento nel tempo dt dovuto all’aumento dq della carica sulle sue armature.- Per la legge di Ohm in ogni istante nella maglia dovrà risultare:

E v R i= + ⋅

dt

dvCRvE ⋅=−

RC

dt

vE

dv =−

Questa equazione differenziale lineare a variabili separabili, ha per integrale generale:

( )− − = +ln E v

RCt A

1

Viste le condizioni iniziali: per t = 0 ⇒v = 0 sarà: AE =− ln

( )− = − − =

−1

RCt E v E

E v

Eln ln ln

E

v

E

vEe

tRC −=−=

⋅−1

1

−=

−RC

t

eEv 1

essendo:

[ ] [ ]RCV

A

C

V

C

C= ⋅

=

⋅

=−sec

sec1 il prodotto RC si misura in

secondi e viene definito come Costante di tempo del circuito T = RC

−=

−T

t

eEv 1

La carica q che si trova sulle armature al tempo t sarà:

q C v C E e Q e

t

T

t

T= ⋅ = ⋅ −

= −

− −1 1

ove ECQ ⋅= è la carica finale (pert → ∞ ) sulle armature del condensatore.-

La corrente i si ricava derivando la q rispetto al tempo:

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ee

RC

Qe

T

Q

TeQ

dt

dqi

−−−−===

−⋅

−⋅== 1

i I et

T= ⋅−

essendo I la corrente all’istante iniziale.-

−=

−T

t

eEv 1

−=

−T

t

eQq 1 T

t

eIi−

⋅=

39

In teoria il tempo di carica è infinito, in pratica si considera concluso il transitorio di carica dopo un tempo pari a 4,6 T quando la tensione ha raggiunto il 99% del valore finale:

v E e ET

T= −

=

−1 0 99

4 6,

,

Portando il commutatore in posizione 2 ha inizio la fase di scarica del condensatore attraverso la resistenza R. La corrente s’inverte e vale:

idq

dtC

dv

dt= − = − il segno meno è dovuto al fatto

che la corrente s’inverte determinando una riduzione delle cariche sulle armature del condensatore.- La maglia sarà governata dalla relazione: iRv ⋅=

v RC

dv

dt= −

dv

v

dt

RCv

t

RCA= − ⇒ = − +ln

e viste le condizioni iniziali: t = 0 v = E ⇒ ln E = A

RC

t

eEvRC

t

E

vln

RC

tElnvln

−⋅=⇒−=⇒−=−

T

t

eEv−

⋅=

La carica ai capi del condensatore sarà:

T

t

T

t

eQeCEvCq−−

⋅=⋅=⋅= ove Q è la carica sulle armature all’inizio delle scarica.-

La corrente di scarica sarà:

T

t

T

t

T

t

T

t

eIeR

Ee

RC

Qe

T

Q

dt

dqi

−−−−⋅=⋅=⋅=⋅=−= ove I è la

corrente iniziale di scarica. Il tempo di scarica, come nella carica, è teoricamente infinito. In pratica si considera concluso dopo 4,6.T secondi quando la tensione sulle armature si è ridotta al 1% del valore iniziale.-

v E et

T= ⋅−

q Q et

T= ⋅−

i I et

T= ⋅−

Problema 2.03 Un proiettile sparato attraverso il circuito di figura interrompe i conduttori a e b in istanti

successivi provocando una diminuzione di 8V nell’indicazione del voltmetro (avente resistenza interna tendente all’infinito).- Qual è la velocità del proiettile?

40

Nell’istante 0 nel quale viene reciso il

conduttore a la tensione ai capi del condensatore è quella del generatore E; nell’intervallo di tempo impiegato dal proiettile a raggiungere il conduttore b e reciderlo il condensatore si scarica sulla resistenza R e la sua tensione scende al valore ( 104 - 8) = 96

VE

FCkR

104

110

=== µΩ

Essendo: T RC= = ⋅ ⋅ ⋅ =−10 10 1 10 0 013 6 , sec si avrà:

01,010496t

T

t

eeEv−−

⋅=⋅=

− = = − ⇒ = ⋅ −t

t0 01

0 92308 0 08 8 104,

ln , , sec

sec250108

2,04

mv =⋅

=−

2.5.0. L’Energia nei Condensatori

2.5.1. Energia di carica di un condensatore: Nel circuito di figura, alla chiusura del tasto, il condensatore inizia a caricarsi; in ogni istante,

tra le grandezze del circuito, vale la relazione: )()( tvtiRV +⋅=

Moltiplicando entrambi i membri per dti ⋅ : idtvdtiRidtV ⋅+⋅=⋅ 2

Quest’uguaglianza esprime istante per istante l’equilibrio energetico del circuito.- Il termine dqVidtV ⋅=⋅ rappresenta l’energia fornita dal

generatore nel tempo dt Il termine dtiR 2⋅ rappresenta l’energia dissipata nella

resistenza nel tempo dt Il termine idtv ⋅ rappresenta, per differenza, l’energia

assorbita dal condensatore nel tempo dt.- Integrando il primo termine per tutto il periodo di carica si ottiene l’energia totale fornita dal

generatore:

W V idt V idt V Q CVg = ⋅ = ⋅ = ⋅ =∞∞

∫∫ 2

00

ove Q è la carica totale

accumulata dal condensatore. Si noti che l’energia totale fornita dal generatore è indipendente dal valore della resistenza R .-

L’energia totale dissipata nella resistenza vale:

W R i dt R

V

Re dt

V

Re dt

V

Re

T V

R

T V

R

RC CVR

t

T

t

T

t

T= ⋅ =

= = ⋅ −

= +

= ⋅ =

−∞∞

−∞

−∞

∫∫ ∫2

00

2 2 2

0

2 2

0

2 2 2

20

2 2 2

41

W WR g=

1

2

Qualsiasi sia il valore della resistenza R , metà dell’energia fornita dal generatore per caricare il condensatore, va persa per effetto Joule nella resistenza del circuito.-

L’energia totale fornita dal generatore alla capacità sarà:

W v idt v dq

Cq dq

Cq

Q

C

CVc

Q Q Q

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= =∫∫ ∫

∞

00 0

2

0

2 21 1 1

2 2 2

W WC g=

1

2 Qualsiasi sia la resistenza del circuito di carica, il Rendimento di carica del condensatore è

del 50%.- L’energia assorbita dal condensatore durante la carica è interamente impiegata per la

polarizzazione del dielettrico.

2.5.2. Energia di scarica di un condensatore: Quando un condensatore di capacità C,caricato con tensione tra le armature pari a V, viene

chiuso su una resistanza di scarica R, valgono le relazioni:

T

t

eR

Vi

−⋅=

T

t

eVv−

⋅= Durante il periodo di scarica, l’energia ceduta alla resistenza R sarà:

W v idtV

Re dt

V

Re

T V

R

T V

R

RC CVs

t

T

t

T= ⋅ = ⋅ = − ⋅

= ⋅ = ⋅ =

∞ ∞− −

∞

∫ ∫0

2

0

2 2 2

0

2 2 2

2 2 2 2

Il condensatore, durante la scarica, restituisce integralmente l’energia che aveva immagazzinato durante la carica.-

Problema 2.04 Un condensatore in aria ad armature piane e parallele, poste ad una distanza di 0,5mm,

sottoposto ad una tensione di 800V, assorbe una carica di 200nC.- Determinare la sua capacità e la superficie delle armature.-

nF,F,V

QC 25010250

800

10200 99

=⋅=⋅== −−

22

12

93

14101410108681

102501050cmm,

,

,,CdS

d

SC

or

or ==⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅=⇒=−

−−

εεεε

42

Problema 2.05

Un condensatore di capacità nF200C 1 ==== viene caricato alla tensione di 1000V quindi,

separato dal generatore, viene posto in parallelo ad un altro condensatore di capacità nF50C 2 ==== sulle cui armature è stata precedentemente depositata una carica di mC1,0Q ==== .- Calcolare il valore della tensione che si stabilisce ai capi del parallelo dei due condensatori e la carica accumulata sulle armature di ciascun condensatore.-

Con il deviatore in posizione 1 il condensatore 1C accumula la carica: EC'Q 1= Spostando il deviatore in posizione 2 i condensatori risultano in parallelo; la carica totale che si disporrà sulle loro armature risulterà: QECQ'QQT +=+= 1 La tensione V che si stabilirà ai capi del parallelo risulterà legata alla carica totale e alla capacità equivalente dalla relazione:

)CC(VQECCVQ ET 211 +⋅=+⇒⋅=

V,

CC

QECV 1200

105010200

101010001020099

39

21

1 =⋅+⋅

⋅+⋅⋅=+

+=

−−

−−

mC,CCVQ 24010240102001200 6911 =⋅=⋅⋅=⋅= −−

mC,CCVQ 060106010501200 6922 =⋅=⋅⋅=⋅= −−

Problema 2.06 Calcolare la capacità equivalente della rete di figura, ove:

==

FC

FC

µµ

1

2

2

1

43

Con passaggi successivi, si calcolano i circuiti equivalenti:

FCCC µ3122112 =+=+= F,CC

CCC µ21

23

23

112

112112 =

+⋅=

+

⋅=

F,,CCC µ2212121121122 =+=+= F,,

,

CC

CCCeq µ04761

222

222

11122

11122 =+⋅=

+

⋅=

Problema 2.07 Nella rete di figura, la capacità equivalente a tasto aperto vale F8C eqA µµµµ==== mentre a tasto

chiuso vale F9C eqC µµµµ==== ; sapendo che F10C 1 µµµµ==== , ricavare i valori di 2C e 3C .-

A tasto aperto risulta: 821

21 =+

⋅=

CC

CCC eqA

A tasto chiuso: 9132

132 =++

⋅+=

C)CC(

C)CC(CeqC

Risolvendo il sistema della due equazioni:

=++

⋅+

=+

⋅

910

10

810

10

32

32

2

2

CC

)CC(

C

C

=

=

FC

FC

µ

µ

50

40

3

2

44

Problema 2.08 Si determini la tensione CBV ai capi del condensatore 2C del circuito di figura, in funzione

della tensione di alimentazione ABV (Partitore Capacitivo)

Essendo i due condensatori posti in serie, la carica Q depositate sulle loro armature sarà la stessa per entrambi e pari a quella depositata sulle armature della capacità equivalente alimentata dalla medesima tensione:

ABABe VCC

CCVCQ

21

21

+

⋅==

La tensione ai capi di 2C risulterà di conseguenza:

ABABCB VCC

CV

CC

CC

CC

QV

21

1

21

21

22

1

+=

+

⋅⋅==

Problema 2.09 Data la rete di condensatori di figura, calcolare la tensione ABV che si stabilisce ai capi di

3C quando il circuito viene alimentato alla tensione di 1000V.-

=======

VV

FC

FC

FC

FC

FC

FC

1000

30

4

6

40

2

40

6

5

4

3

2

1

µµµµ

µµ

Si determina anzitutto la capacità equivalente del circuito:

FCCC µ10465445 =+=+= FCC

CCC µ8

4010

4010

345

345345 =

+⋅=

+

⋅=

FCCCC µ5082403452112345 =++=++= F,CC

CCCeq µ7518

3050

3050

612345

612345 =+⋅=

+

⋅=

45

La serie del condensatore equivalente 12345C con 6C può essere immaginata come un partitore

capacitivo, quindi la tensione ai capi di 12345C risulterà:

VCC

CVV 375

3050

301000

612345

612345 =

+⋅=

+⋅=

La serie del condensatore equivalente 45C con 3C può essere immaginata come un partitore

capacitivo, quindi la tensione ai capi di 3C risulterà:

VCC

CVV AB 75

4010

10375

345

4512345 =

+⋅=

+⋅=

Problema 2.10 Tre condensatori di identiche dimensioni, ma aventi per dielettrico aria ( 1r ====εεεε ), gomma

( 5,2r ====εεεε ) e mica (eeeer = 8), vengono caricati rispettivamente alle tensioni di 500V, 2000V e 750V.- Determinare il valore comune della tensione che si stabilisce sulle loro armature quando,

dopo essere stati distaccati dai generatori, vengono collegati in parallelo.-

Essendo: d

SC or εε= la capacità di un condensatore, indicando con 321 CCC −− le

capacità dei tre condensatori, risulterà: 12 52 C,C ⋅= e 13 8 CC ⋅=

La carica accumulata sulle armature dei singoli condensatori, funzione della loro tensione di carica, risulterà: 11 500CQ = 1122 50005220002000 CC,CQ =⋅== 133 6000750 CCQ == 133 6000750 CCQ ==

Quando, distaccati dai generatori, vengono posti in parallelo la loro capacità equivalente sarà: 1111321 511852 C,CC,CCCCC eq =++=++=

La carica totale sulle armature sarà: 1111321 1150060005000500 CCCCQQQQ tot =++=++=

La tensione che si stabilisce sulle loro armature risulterà:

VC,

C

C

QV

eq

tot 1000511

11500

1

1 ===

Problema 2.11

Determinare la capacità di un condensatore costituito da una pila di 101 dischi d’alluminio di

200 cm2 di superficie, separati da un foglio di mica ( 5r ====εεεε ) di 2/10 di mm di spessore e collegati alternativamente fra loro.

( F443,0C:R µµµµ==== )

46

Problema 2.12 Un condensatore di F02,0 µµµµ di capacità, caricato alla tensione di 100 V, viene

successivamente scaricato su una resistenza R.- Qual è il valore di R se dopo .sec1µµµµ di scarica, la tensione fra le armature è metà di quella iniziale? E qual’è il valore di detta tensione dopo .sec5,0 µµµµ di scarica?

L’andamento della tensione di scarica di un condensatore su una resistenza è fornito dalla

relazione:

)e(E)t(v RCt−= ⇒⇒⇒⇒ )e(E

E RCt−=

2 ⇒⇒⇒⇒ 50 ,e RC

t=−

50,lnRC

t =− ⇒⇒⇒⇒ Ω1726931010020

101

50 6

6

,),(,,lnC

tR =

−⋅⋅−=

⋅−=

−

−

La costante di tempo del circuito è: sec,sec,,,CRT µ442110442110020172 66 =⋅=⋅⋅=⋅= −−

V,)e()e(E)t(v ,

,

RCt

770100 4421

50

===−−

Problema 2.13 Qual è l’energia erogata da un generatore di 100V di tensione, per caricare un condensatore

da F5,0 µµµµ attraverso un circuito di ΩΩΩΩ200 di resistenza? Qualsiasi sia il valore della resistenza del circuito di carica, il generatore dovrà sempre

erogare un’energia doppia di quella necessaria per caricare il condensatore.-

mJJ,,CVW 5005010010502

12 262 ==⋅⋅=⋅= −

Problema 2.14 Nel circuito di figura, l’interruttore viene chiuso in t=0 ed in quel momento ai capi del

condensatore c’è una carica CQ o µµµµ80==== con la polarità indicata.- Ricavare l’andamento della

tensione ai morsetti del condensatore e della corrente di carica.-

====

CQ

FC

kR

VE

o µµΩ

80

10

2

40

47

La tensione iniziale ai capi del condensatore è: V81010

1080

C

QV

6

6o

o =⋅

⋅==−

−

Il verso di tale tensione oV è contrario a quello scelto per la v di figura (*)

La costante di tempo del circuito di carica è: sec,CRT 0201010102 63 =⋅⋅⋅=⋅= −

La legge di carica di un condensatore è data dalla relazione: AtRC

)vEln( +−=− 1

Ove la costante A viene ricavata in base alle condizioni iniziali, vedi(*):

−==

oVv

t 0

Sostituendo: A)VEln( o =+

)VEln(tRC

)vEln( o++⋅−=− 1 ⇒⇒⇒⇒ t

RCVE

vEln

o

⋅−=+− 1

t

RC

o

eVE

vE ⋅−=

+− 1

⇒⇒⇒⇒ t50t

RC

1

o e4840e)VE(Ev −⋅−

⋅−=+−=

La carica istantanea sulle armature del condensatore risulta essere:

6t50t506 10)e480400()e4840(1010vCq −−−− ⋅⋅−=⋅−⋅=⋅= La corrente di carica del condensatore è quindi:

t50e024,0dt

dqi −⋅==

Problema 2.15 Nel circuito di figura, i due condensatori vengono prima caricati chiudendo i tasti 1T e 2T

quindi collegati in parallelo chiudendo il tasto 3T , dopo aver aperto i tasti 1T e 2T .- Calcolare il

valore della tensione che si stabilisce ai capi del parallelo.-

====

VE

VE

FC

FC

80

120

15

25

2

1

2

1

µµ

Chiudendo i tasti 1T e 2T i due condensatori si caricano; la quantità di carica che si accumula sulle rispettive armature è: CECQ 36

111 1031201025 −− ⋅=⋅⋅=⋅= C,ECQ 36

222 1021801015 −− ⋅=⋅⋅⋅=⋅=

48

Aprendo i tasti 1T e 2T i condensatori vengono isolati dai generatori quindi la carica totale del circuito non può variare; chiudendo il tasto 3T i condensatori vengono posti in parallelo perciò la

loro capacità equivalente risulta: FCCCeq

66621 104010151025 −−− ⋅=⋅+⋅=+=

La tensione che si stabilisce ai capi del parallelo è:

V,

C

QV

eq

tot 1051040

10211036

33

=⋅

⋅+⋅==−

−−

Problema 2.16 Tre condensatori di capacità: pF200C 1 ==== - pF300C 2 ==== - pF600C 3 ==== , collegati tra

loro in serie, vengono caricati applicando ai capi della loro serie una tensione di 1000V e quindi staccati dal generatore e collegati tra loro in parallelo.- Qual è il valore della tensione che si stabilisce ai capi del parallelo?

In fase di carica, i condensatori sono collegati in serie quindi la loro capacità equivalente vale:

1

321

010600

1

300

1

200

11111 −=++=++= pF,CCCCe

pFC e 100=

Nel collegamento in serie, tutti i condensatori risultano caricati con la medesima carica: CCVQ e

912 10100101001000 −− ⋅=⋅⋅=⋅=

La tensione ai capi di ciascun condensatore vale:

VC

QV 500

10200

1010012

9

1

1 =⋅⋅==

−

−

V,C

QV 3333

10300

1010012

9

2

2 =⋅⋅==

−

−

V,C

QV 6166

10600

1010012

9

3

3 =⋅⋅==

−

−

Quando i condensatori vengono staccati dal generatore e collegati in parallelo, conservano la carica totale posseduta pari a Q3 ⋅⋅⋅⋅ ridistribuendola sulle relative armature in modo da rendere uguale la differenza di potenziale tra le armature stesse (collegamento parallelo): )CCC(VCVQQ p.parept 3213 ++⋅=⋅=⋅=

V,)(CCC

QV p 73272

10600300200

101003312

9

321

=⋅++

⋅⋅=++

⋅=

−

−

49

Problema 2.17

Nel circuito di figura, il condensatore 1C viene cariato alla tensione V mentre il condensatore

2C è completamente scarico, calcolare l’energia dissipata sulla resistenza R quando, chiudendo il tasto, la carica si ripartisce sui due condensatori.-

==

==

VV

R

FC

FC

100

50

2

3

2

1

Ωµµ

Il condensatore 1C caricato alla tensione V ha depositata sulle sue armature una carica: VCQ ⋅= 1 Alla chiusura del tasto, la carica si ripartisce tra i due condensatori in modo che essi assumano la medesima tensione (ad equilibrio raggiunto, la corrente di scambio si azzera e quindi anche la caduta su R è nulla):

VCC

C

CC

Q

C

Q'V

eq 21

1

21 +=

+==

L’energia immagazzinata da 1C prima della chiusura del tasto è:

21

2

1VCW =

mentre quella immagazzinata da entrambi i condensatori dopo la chiusura del tasto ed equilibrio raggiunto:

2

21

212

221

21

212

212

1

2

1

2

1V

CC

CV

)CC(

C)CC('V)CC('W

+=

++=⋅+=

La differenza tra le due energie corrisponde a quella persa su R nel periodo transitorio di passaggio della corrente:

2

21

212

21

212

12

1

2

1

2

1V

CC

CCV

CC

CVC'WWW

+=

+−=−=∆

JW 32

66

66

106100102103

102103

2

1 −

−−

−

⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=∆

50

Capitolo III

IL CAMPO MAGNETICO

3.1.0. Azioni a distanza di una corrente La corrente elettrica, percorrendo un conduttore, oltre a produrre un effetto termico (Effetto

Joule), produce degli effetti a distanza: I° : Un’azione ponderomotrice a distanza su un’altra corrente o su un ago magnetico.

II° : Una forza elettromotrice indotta in un circuito separato ogni qual volta c’è una variazione .

L’agente fisico attraverso il quale la corrente trasmette la sua azione a distanza sarà chiamato Campo magnetico e le azioni trasmesse Azioni magnetiche .-

Ogni qual volta si è in presenza di cariche elettriche in movimento, esiste nello spazio circostante un campo magnetico e viceversa ogni qual volta si è in presenza di un campo magnetico vi è sempre un moto di cariche elettriche che lo produce: Campo magnetico e corrente elettrica rappresentano una stessa realtà fisica inscindibile.-

La presenza di un campo magnetico e la valutazione della sua entità può esser fatta sfruttando la I° proprietà, cioè la sua azione su un ago magnetico, oppure per mezzo della II°, controllando cioè la FEM che lui induce in un altro circuito in condizioni appropriate.-

Volendo seguire la I° via s’impiega un minuscolo magnete permanente, a forma di losanga allungata, libero di ruotare su un perno centrale; sotto l’azione del campo magnetico terrestre l’ago si orienta in un certo modo: l’estremità che risulta diretta verso il Nord geografico viene contrassegnata e prende il nome di Polarità Nord ; l’altra estremità Polarità Sud. In presenza di una corrente I l’ago subisce un’azione ponderomotrice che lo fa ruotare, orientandolo in modo appropriato.-

La corrente I esercita cioè sull’ago una azione che lo fa orientare: Si dirà che la corrente possiede una Forza magnetomotrice (F.M.M.) F intrinseca alla corrente stessa e s’identificherà l’intensità di F con l’intensità di I ; anzi, poiché l’azione di N conduttori tutti percorsi dalla corrente I è N volte quella di I , s’identificherà l’espressione di F con quella di NI misurandola in Amperfili o Amperspire:

[ ] [ ] [ ]F I Amper= =

3.2.0. Configurazione del Campo Magnetico Volendo rilevare la configurazione di un campo magnetico si può sfruttare un piccolo ago

magnetico (piccolo per non alterare il campo magnetico pre esistente) sospeso ad un filo e quindi libero di muoversi in ogni direzione; lo si disponga con il suo baricentro in ciascun punto del campo magnetico: si assumerà come direzione del campo magnetico H quella nella quale si dispone l’ago e come verso quello che va dalla polarità Sud a quella Nord dell’ago stesso.-

51

3.2.1. Campo generato da una corrente rettilinea in un mezzo omogeneo ed isotropo:

Mediante l’ago magnetico si può tracciare l’andamento del campo disegnandone la Linee di Forza, cioè quelle linee che hanno per tangente in ogni loro punto il vettoreH .- Le linee di forza del campo sono delle circonferenze concentriche, disposte su piani perpendicolari alla corrente con centro il punto d’intersezione della corrente con i piani; il verso è quello di penetrazione di una vite destrogira.-

3.2.2. Campo generato da una spira percorsa da corrente in un mezzo omogeneo ed isotropo:

Immaginando di piegare a mo’ di spira un conduttore rettilineo, il campo magnetico assumerà l’andamento di figura:

Le linee di forza sono delle circonferenze un po’ deformate, giacenti su piani perpendicolari

al piano della spira, spostate eccentricamente verso l’esterno della spira stessa.-

3.2.3. Campo generato da un solenoide rettilineo percorso da corrente in un mezzo isotropo ed omogeneo:

Il campo si può immaginare come generato da una successione di spire con il centro sullo stesso asse e percorse dalla medesima corrente.- Il verso del campo all’interno del solenoide si può determinare con la Regola della Vite Destrogira; le linee di forza all’interno, se questo è abbastanza lungo rispetto al suo diametro, assumono un andamento in pratica rettilineo ed il campo si può ritenere uniforme.-

3.2.4. Campo generato da un solenoide toroidale percorso da corrente in un mezzo isotropo ed omogeneo:

Il campo si può immaginare come generato da un solenoide rettilineo il cui asse principale

52

venga curvato secondo una circonferenza.- Le linee di forza si svolgono, quasi tutte in forma di circonferenza, dentro il toro ed il campo rimane pressoché tutto concentrato all’interno del toro stesso.-

Dall’esame dell’andamento dei campi sopra descritti si può dedurre che: 1. Le linee di forza di un campo magnetico non hanno né principio né fine ma si

racchiudono sempre su se stesse. 2. Ogni linea di forza è sempre concatenata con la corrente che la produce.

3.3.0. Intensità del Campo magnetico Si consideri un conduttore percorso dalla corrente I e più linee di forza l

1 , l

2 .... tutte

concatenate con la F.M.M. : F = I (Una linea chiusa si dice concatenata con un conduttore se il conduttore attraversa una superficie immaginaria che abbia per contorno la linea stessa).- L’azione della F = I si sviluppa su tutta la lunghezza della l , in particolare, se la distribuzione non è uniforme, su dl agirà una

dF in modo che su tutta la ∫= dll agirà la ∫= dFF .-

Convenzionalmente si assumerà come intensità di H il rapporto:

H

dF

dldF H dl= ⇒ = ⋅

Nel caso di distribuzione uniforme di F su tutta la linea l

[ ]H

F

lH

Aspire

m= ⇒ =

In generale tra due punti A e B della medesima linea di forza si definirà come Tensione

magnetica tra A e B :

∫ ⋅=B

A

AB dlHF

Si dimostra che il valore di FAB dipende soltanto dalla posizione di A e B.- Se il percorso è

una linea chiusa (non necessariamente una linea di forza) , FABA

corrisponde per definizione alla corrente totale concatenata con tale linea NI perciò:

NI Hdl=∫

che rappresenta il : Teorema della Circuitazione: L’integrale del campo magnetico esteso ad una linea chiusa

(circuitazione) è uguale alla forza magnetomotrice (F.M.M.) con essa concatenata.-

53

Se i punti A e B non appartengono alla Se i punti A e B appartengono alla medesima medesima linea di forza: linea di forza, il campo H è parallelo a dl

dF H dl= × dF H dl= ⋅ dF H dlt= ⋅

F H dl H dlAB A

B

tA

B

= × = ×∫ ∫ F H dlAB A

B

= ⋅∫

3.4.0. Studio di campi magnetici caratteristici

3.4.1. Campo generato da una corrente rettilinea: S’immagini un conduttore rettilineo percorso dalla corrente I : le linee di forza del campo

magnetico generato dalla corrente saranno delle circonferenze giacenti su piani perpendicolari al conduttore e concentriche con questo.-

Considerando la generica linea di forza avente raggio x, si applichi il teorema della circuitazione a tale linea:

∫ ⋅=l

dlHI

Poiché, per la simmetria geometrica della linea di forza rispetto al conduttore, il campo H è costante lungo tutta la linea:

xHdlHIl

⋅⋅== ∫ π2

Si ottiene così la legge di Biot Savart che fornisce il valore del campo generato da un conduttore rettilineo attraversata da corrente

x

IH

⋅=

π2

54

3.4.2. Campo generato da un solenoide toroidale: Si consideri un solenoide a sezione circolare ed asse toroide costituito da N spire percorse dalla corrente I ed avente raggio interno R1 ed esterno R2. Le linee di forza sono delle circonferenze concentriche interne al toro; considerando una linea di forza di raggio x, il valore del campo, per ragioni di simmetria geometrica, risulta essere costante lungo tutta la linea mentre la corrente concatenata con tale linea è NI . Per il teorema della circuitazione, risulterà:

x

NIH

xHdlHdlHNIF

⋅=

⋅⋅==⋅== ∫∫

π

π

2

2

con:

H

NI

RH

NI

Rmax min=⋅

=⋅2 21 2π π

Se risulta: R R R cioè R R R2 1 1 1 2− ≅ ≅pp il campo, all’interno del solenoide, è in sostanza costante:

H

NI

R=

⋅2π

3.4.3. Campo generato da un solenoide rettilineo: Si consideri un solenoide ad asse rettilineo di raggio R e lunghezza l costituito da N spire;

il campo, calcolato mediante la I° formula di Laplace, in un punto P dell’asse del solenoide sarà:

( )21 coscos2

αα −=l

NIH

Se risulta:

lR ⋅<20

1 ⇒ παα ≅≅ 21 0

ne segue che il campo nei vari punti dell’asse all’interno di un solenoide allungato vale:

l

NIH =

La direzione del campo è quella dell’asse del solenoide ed il verso è quello d’avanzamento di

una vite destrogira che ruoti nel senso della corrente.- All’esterno del solenoide ove: α α1 2≅ il campo è praticamente nullo.-

55

3.5.0. Induzione Elettromagnetica Valutata la distribuzione del campo magnetico nello spazio, si possono analizzare gli effetti

prodotti dall’azione a distanza del campo stesso su un elemento in grado di subirli e quindi rivelarli.- Se l’elemento che li subisce è una corrente o un magnete, si parlerà di un effetto magnetomotore; se l’elemento è un circuito in presenza di una variazione, si parlerà di un effetto magnetoelettrico.- Lo studio dell’induzione elettromagnetica corrisponde all’analisi dell’effetto magnetoelettrico.-

Si consideri una spira (indotta) di superficie S posta all’interno del campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente (circuito inducente o induttore): la superficie della spira sarà tagliata da un certo numero di linee di forza del campo induttore, cioè la spira sarà concatenata con le linee di forza del campo magnetico induttore; se, per un qualsiasi motivo (variazione della corrente nella bobina induttrice, spostamento della spira indotta o della bobina induttrice una rispetto all’altra), varia il numero delle linee di forza concatenate con la spira indotta, il voltmetro, collegato a tale spira, registrerà la nascita di un impulso di tensione che durerà fino a quando le linee di forza concatenate continuano a variare.-

Tale impulso, misurato in Volt.secondo, corrisponde nel diagramma di figura all’area:

∫ ⋅1

0

tdte

e dipende soltanto dall’entità della variazione delle linee di forza concatenate. A parità d’impulso, cioè di area, il valore di picco è legato alla rapidità con la quale avviene le variazione.- In conclusione: Una variazione del campo magnetico concatenato con un circuito elettrico induce in questo, durante la variazione, una F.e.m. la cui intensità massima è tanto più grande quanto maggiore è l’entità e la velocità della variazione.- L’esperienza mostra anche che il verso della F.e.m. indotta è tale da produrre nella spira, se chiusa, una corrente che a sua volta genererà un campo magnetico di senso contrario alla variazione del campo induttore.- E’ questa la Legge di Lenz che, sinteticamente, afferma: La F.E.M. indotta è sempre diretta in senso tale da opporsi all’azione che l’ha generata.-

Ripetendo più volte l’esperimento in condizioni diverse, si riscontra che il valore dell’impulso

di tensione ∫ ⋅ dte è sempre lo stesso se non varia il numero iniziale e finale di linee di forza

concatenate. Si potrà quindi assumere tale impulso come misura dell’entità della variazione di campo magnetico o meglio, se la variazione si ottiene azzerando il campo magnetico induttore, tale impulso fornirà il valore del campo nel punto in cui è disposta la spira indotta, valore del campo valutato in

base all’effetto magnetoelettrico da lui prodotto nella spira.- Tale grandezza ∫ ⋅ )( dte viene indicata

con il nome di Flusso di induzione magnetica o più brevemente Flusso magnetico ΦΦΦΦ Si potrà quindi dire che: Il flusso magnetico concatenato con una spira è l’impulso di

tensione che nasce nella spira quando il campo si annulla:

∫ ⋅= dteΦ

Il flusso si misura in Weber: [ ] [ ] [ ]WbsecV =⋅=Φ

56

Da quanto esposto si deduce che il flusso rappresenta integralmente l’effetto del campo

magnetico su una spira di forma e dimensione particolare, posta in uno specifico punto del campo.- Volendo invece analizzare l’effetto magnetoelettrico del campo, punto per punto,

indipendentemente dalla spira, si consideri in un certo punto P del campo una spira infinitesima dS orientata perpendicolarmente rispetto H e sia dΦ il flusso concatenato con dS; si definirà come Densità di flusso o Induzione Magnetica del campo in P la grandezza vettoriale B che ha direzione e verso uguale a quelli di H e per modulo:

dS

dB

Φ=

Se il mezzo è isotropo ed omogeneo, la configurazione di B ed H sono uguali.- L’induzione magnetica si misura in Tesla

[ ] [ ] [ ] [ ]TmsecVm

WbSB 2

2

1 =⋅⋅=

=⋅= −−Φ

Nelle zone ove il campo può ritenersi uniforme, sarà:

SB :cui per S

B ⋅== ΦΦ

Nelle zone ove il campo non è uniforme, essendo in generale: dSBd ⋅=Φ

∫ ⋅=S

dSBΦ

3.5.1. Relazione tra H e B : Si consideri il circuito di figura, costituito da una bobina di N spire lunga l ed attraversata

da una corrente I di valore variabile a piacere, da una spira esploratrice di sezione S posta al centro del solenoide e collegata, attraverso una resistenza R , ad un galvanometro balistico che fornisce il valore della carica Q che attraversa il circuito indotto, quando la spira viene estratta dal campo generato dalla bobina.- Dalla lettura della corrente I fornita dall’amperometro, si ricava il valore del campo magnetico al centro del solenoide induttore:

H

NI

l=

Dal valore della carica Q, fornito dal galvanometro balistico, quando la spira,

precedentemente posta al centro del solenoide induttore, perpendicolarmente al suo asse, viene estratta dal campo magnetico, si risale al valore dell’induzione magnetica nel medesimo punto:

BS S

e dtS

R i dtR

SQ= = ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫

Φ 1 1

Con una serie di prove eseguite con correnti diverse, si può notare che, se il mezzo in cui si

sviluppa il campo non è ferromagnetico, esiste una relazione di proporzionalità tra campo ed induzione:

B H= ⋅µ

57

ove la costante di proporzionalità µ dipende dal tipo di materiale nel quale si sviluppa il campo magnetico e prende il nome di Permeabilità magnetica; la sua unità di misura sarà:

[ ] [ ]

=⋅⋅=

⋅⋅⋅=

= −

−

−

m

Hm

mA

mV

H

B 1

1

2

secsec Ωµ

essendo 1 Ω.sec = 1 Henry , unità di misura dell’induttanza, come si vedrà in seguito.- La permeabilità magnetica del vuoto si indica con µ

o e vale:

HBmH

oo ⋅=⇒⋅= − µπµ 7104

Negli altri materiali la permeabilità magnetica assoluta µ viene fornita in funzione di quella del vuoto mediante la loro permeabilità magnetica relativaµ r :

or µµµ ⋅=

I valori di εo e µ

o sono legati tra di loro dalla relazione:

sec102,998=104108,86

1=

1 8

712-

mcoo

⋅⋅⋅⋅

=−πµε

Corrispondente alla

velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto.-

[ ]

=

=

⋅⋅⋅=

⋅=

⋅=

−−−−−

sec

secsecsecsec 2

1

2

22

1

2

22

1

2

2

1

2

1

o

m

mmV

A

mV

C

mm

Fo

ΩΩΩµε

3.5.2. Legge di Lenz o dell’Induzione Magnetica:

Si consideri una spira di area S con la quale sia concatenato un flusso 1Φ . Se tale flusso viene variato con legge lineare e portato al valore2Φ , la variazione di flusso concatenato con la spira

risulta essere: 12 ΦΦΦ∆ −=C ; indicando con ∆t il tempo in cui avviene tale variazione di

flusso concatenato , la forza elettromotrice che viene indotta nella spira sarà:

te

te

Cm

Cm

∆

∆Φ

∆

∆Φ

−=

=

:cuiper generata

hal' che causa alla opporsi da talesarà F.E.M. della versoil

Se la legge di variazione del flusso concatenato non è lineare, l’espressione della F.E.M. vista non perde significato soltanto che si faccia riferimento alle variazioni infinitesime di flusso concatenato Cdϕ nel tempo infinitesimo dt:

e

d

dtc= −

ϕ

3.5.3. F.e.m. indotta in un conduttore aperto: Si consideri un conduttore di lunghezza l che si sposti con velocità v normale ad l

tagliando le linee di forza di un campo magnetico uniforme di induzione B a sua volta perpendicolare sia a l sia a v .- Si immagini che tale conduttore sia collegato mediante due contatti striscianti ad un circuito chiuso c .- Il movimento di l comporta la variazione della superficie

em

e

t t

58

( ) ( )( )

:intensitàd' F.E.M. una spira nella

indurrà temponel oconcatenat flusso di ne variazioQuesta

:in

:in

:spira

con tale oconcatenat flusso del e variazionuna così provocando

da e da costituita ideale spira dalla contornata chiusa

'

'

dt

dlBlBdlBd

ldBldSdtt

lBlSt

c llS

CCC

Co

Co

δδδδΦΦΦδδΦδδ

δΦδ

δ

⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅=−=

⋅+⋅=⋅+=⇒+

⋅⋅=⋅=⇒

⋅=

e

d

dtB l

d

dtB l vc= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Φ δ

Per quanto concerne il verso della e , esso sarà tale da far circolare nella spira una corrente che a sua volta produca un campo magnetico che si opponga all’aumento di flusso concatenato che l’ha generato e quindi, in questo caso, di verso contrario al campo induttore.- Tale verso, in generale, può essere determinato con la regola della mano destra: Si apra la mano destra ponendola in modo che l’induzione B penetri nel palmo e la velocità sia diretta secondo il pollice; il verso della F.E.M. indotta sarà quello delle quattro dita rimanenti.-

Di tutto il circuito c soltanto l è la parte attiva nella quale s’induce la e; essa infatti mantiene immutato il suo valore qualsiasi siano le posizioni ed i valori di c.- Ciò significa che la F.E.M. s’induce nel conduttore in movimento a prescindere dell’esistenza della spira, basta che nel suo movimento il conduttore tagli delle linee di forza di un campo magnetico.-

Più in generale se la velocità v non è perpendicolare all’induzione B basterà, nell’espressione di e , considerare la componente della velocità normale a B e ad l :

αα

senvlB'vlBe

senv'v

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

3.5.4. F.e.m. indotta in una spira ferma in un campo magnetico variabile: Si consideri una spira di sezione S disposta perpendicolarmente ad un campo magnetico

( )[ ] [ ] [ ]

variabile con legge sinusoidale: Il flusso concatenato con tale spira sarà: Essendo tale flusso concatenato variabile nel tempo, nellaspira si indurrà una F.e.m. :

ove il prodotto è una tensione, infatti:

C

b B t

S B t

ed

dtS B t E t

S B

E S B mV

m

radV

M

M

CM M

M

M M

=

= ⋅

= − = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅⋅

⋅

=

cos

cos

sen sen

sec

sec

ω

ϕ ω

ϕω ω ω

ω

ω 22

59

3.5.5. F.e.m. indotta in una spira rotante in un campo magnetico costante: Si immagini una spira di sezione S ruotante intorno al suo asse con velocità angolare

costante.- Nell’istante zero la spira si trovi in posizione normale rispetto l’induzione B del campo magnetico induttore per cui il flusso a lei concatenato sarà massimo:

in t B S B l dM= ⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅0 Φ In un istante successivo t la spira sarà ruotata di un angolo α = ω.t ,ove ω è la velocità

angolare della spira, per cui il flusso concatenato risulterà:

in t B S B l dc⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ϕ α' cos ϕ ωc B l d t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos Tale flusso risulta variabile nel tempo per cui nella spira si indurrà una F.e.m. pari a:

ed

dtB l d tc= − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ϕω ωsen

Essendo l.d una superficie il prodotto B l d⋅ ⋅ ⋅ω ha le dimensioni di una tensione, come

già visto nel caso precedente, per cui: e E tM= ⋅senω

Problema 3.01 Calcolare il valore del campo magnetico al centro dell’asse di un solenoide avente 300

spire, lungo 30 cm. con raggio di 1 cm. percorso dalla corrente di 10A.- Il valore esatto di H si ottiene usando la relazione vista al paragrafo 3.4.3 :

( )H

NI

l= −

2 1 2cos cosα α

tgα α1 1

1

150 998= ⇒ =cos ,

α π α α2 1 2 0 998= − ⇒ = −cos ,

( ) cmAspH 8,990988,998,0

302

10300 =+⋅

⋅=

In questo caso essendo:

3020

11

20

1 <⇒< lR si può usare l’espressione

semplificata: cmAsp

l

NIH 100

30

10300 =⋅==

60

Problema 3.02 Una spira circolare di raggio r = 2 cm è disposta perpendicolarmente e al centro dell’asse di

un solenoide rettilineo lungo l = 50 cm formato da N = 2000 spire di raggio R = 3 cm percorse dalla corrente I = 5 A .- Calcolare il valore medio della F.e.m. indotta nella spira quando la corrente del solenoide passa dal valore di 5 A quello di 2 A nel tempo di 2 sec.-

( )

Poichè:

il campo si calcolerà con la formula esatta:

Rl

HNI

l

> ⇒ >

= −

203

50

20

2 1 2cos cosα α

1212

11

coscos

993,0cos 25

3 :sarà centro Nel

αααπα

αα

−=⇒−=

=⇒=tg

( ) mAspH= 19857993,0993,0

5,02

52000 =+⋅

⋅

L’induzione nel centro della bobina sarà:

B H T= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− −µ 1 256 10 19857 24 941 106 6, . Il flusso concatenato con la spira sarà:

( )Φc B S Wb= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −24941 10 2 10 31 3 106 2 2 6π , Essendo:

( )Φc B S H S S

NI

lkI= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =µ µ α α

2 1 2cos cos

Risulterà:

( )( )

Wb1054,1225

103,312

5

66

A5perICA2perIc

−−=

= ⋅=⋅⋅=⋅Φ

=Φ

Perciò la variazione di flusso concatenato con la spira sarà: ( ) Wb1076,181054,123,31 66

c−− ⋅=⋅−=∆Φ

E la forza elettromotrice media :

V38,9V1038,92

1076,18

te 6

6c

m µ=⋅=⋅=∆

∆Φ= −

−

Problema 3.03 Una bobina rettangolare con lati di 4cm e 3cm rispettivamente avente 100 spire, ruota alla

velocità costante di 3300 giri/min, attorno al suo asse mediano in un campo magnetico uniforme di valore B=0,75 T perpendicolare all’asse di rotazione.- Determinare la legge di variazione della F.e.m. indotta.-

61

te

VNBSE

radn

tEtNBSdt

de

tNBSt

M

Mc

Cc Max

⋅==⋅⋅⋅⋅⋅==

=⋅=⋅=

==−=

==

−

6,345sen1,31

1,31103475,01006,345

sec6,34560

33002

60

2

sensen

:sarà indotta F.e.m. La

coscos

:sarà bobina lacon oconcatenat flusso Il

4ω

ππω

ωωωϕ

ωωΦϕ

3.6.0. La materia nel campo magnetico In base alle moderne concezioni della materia, gli elettroni muovendosi negli spazi atomici e

molecolari danno luogo ad effetti magnetici di due tipi diversi: I° Nel moto lungo le proprie orbite originano una: Azione magnetica orbitale II° Nel moto di rotazione su se stessi originano una: Azione magnetica di Spin Tali azioni, per ciascuna molecola, si sommano dando origine ad un’azione risultante

assimilabile ad una corrente molecolare equivalente diversa secondo il tipo di molecola, cioè di materiale.-

Quando la materia non è investita da alcun campo magnetico esterno, cioè è allo stato neutro, dal punto di vista macroscopico i piani delle correnti molecolari equivalenti sono statisticamente orientati in tutte le direzioni fornendo un effetto risultante nullo.-

In presenza di un Campo Magnetizzante le correnti molecolari equivalenti acquistano un orientamento fornendo un’azione magnetica macroscopica diversa da zero.- Tale nuovo assetto della materia prende il nome di Polarizzazione Magnetica della Materia.-

La Polarizzazione Magnetica della materia avviene secondo due meccanismi diversi: A: Precessione di Larmor per la quale il campo magnetico esterno determina un’alterazione del moto orbitale degli elettroni con un effetto macroscopico risultante di senso opposto al campo magnetizzante e tendente quindi a ridurre l’entità del campo esterno (effetti di piccolissima entità difficilmente misurabili).- Tutti i materiali sono sede di tale fenomeno; quelli nei quali è l’unico tipo di polarizzazione presente e quindi si magnetizzano debolmente in senso contrario al campo induttore, prendono il nome di Materiali Diamagnetici.- B: Polarizzazione per orientamento: in questo caso il campo magnetico esterno tende ad orientare le correnti molecolari equivalenti secondo la propria direzione producendo un effetto magnetico risultante macroscopico concorde con il campo induttore e che aumenta fino ad un certo limite quando si raggiunge la Saturazione magnetica. I materiali sede di questo effetto, la cui entità prevale rispetto all’effetto della precessione di Larmor, pur presente, per cui globalmente si magnetizzano nello stesso senso del campo induttore, prendono il nome di Materiali paramagnetici.-

Volendo rappresentare quantitativamente il fenomeno della polarizzazione, si indichi con H il valore del campo magnetico induttore esterno, con Hp il valore del campo magnetico di polarizzazione che nasce per orientamento o per Precessione di Larmor all’interno del materiale; nello spazio vuoto inframolecolare i due campi si sommeranno dando origine ad un campo risultante Hris :

pris HHH +=

62

Tale campo risultante agisce nel vuoto degli spazi inframolecolari dando origine ad un’induzione: ( )poriso HHHB +⋅== µµ

In alternativa si può pensare che il campo magnetico esterno H dia origine nel materiale ad un’induzione B , legata al valore del campo per mezzo della permeabilità magnetica del materiale µ :

HB ⋅= µ Confrontando le due espressioni di B si ricava:

( ) HHHHHo

oppo ⋅

−=⇒+=⋅

µ

µµµµ

La quantità:

o

om

µ

µµχ

−= prende il nome di Suscettività

magnetica; essa è un numero puro, caratteristico d’ogni materiale.- Dall’espressione della Suscettività si può ricavare:

( ) 111 −=+=+= rmmrmo µχχµχµµ

Classificazione dei materiali: Materiali Diamagnetici: sono materiali che hanno correnti molecolari equivalenti

mediamente nulle quindi subiscono soltanto la precessione di Larmor: Rame, Argento, Vetro, Acqua ………..Per questi materiali:

orm µµµχ ppp 10

Materiali Paramagnetici: sono sostanze che hanno correnti molecolari equivalenti mediamente non nulle che tendono ad orientarsi nella direzione del campo magnetizzante annullando, in quanto maggiori, l’effetto Larmor, sempre presente, e generando un campo risultante maggiore di quello induttore : Alluminio, Platino, Ebanite...... Per questi materiali:

χ µ µ µm r of f f0 1 Materiali Ferromagnetici sono materiali che si polarizzano per orientamento come i

paramagnetici ma con campi interni di polarizzazione intensissimi : Ferro, Cobalto, Nichel ed alcune loro leghe.- Per questi materiali:

χ µ µ µm r off ff ff0 1 Curve di magnetizzazione:

B H= ⋅µ

63

3.6.1. Ferromagnetismo: Alcuni materiali e più precisamente il ferro, il cobalto, il nichel ed alcune loro leghe, poste

entro un campo magnetico induttore hanno un comportamento particolare che li fanno definire come Materiali ferromagnetici .- Questi materiali hanno una Suscettività magnetica e quindi una Permeabilità magnetica che sono:

I° Molto grandi II° Funzioni delle temperatura III° Variano entro ampi limiti in funzione del campo induttore IV° Dipendono dai trattamenti meccanici, termici e magnetici precedenti Questo comportamento si pensa sia dovuta alla presenza in tali materiali di microzone dette

Domini di WEISS entro i quali le molecole abbiano un medesimo orientamento magnetico anche in assenza di un campo induttore.- In condizioni normali i domini sono orientati in modo disordinato per cui la polarizzazione è mediamente nulla.- In presenza di un campo magnetizzante i domini di Weiss tendono ad orientarsi nella direzione del campo esaltando l’effetto di questo e quindi la relativa induzione B; aumentando gradualmente il campo induttore il fenomeno d’orientamento dei domini non avviene con continuità ma a scatti fino a raggiungere l’orientamento totale cioè la saturazione.-

In fase di riduzione del campo induttore, lo scatto non avviene per i medesimi valori incontrati

durante l’aumento ma con un certo ritardo, per cui la curva di magnetizzazione in discesa ha un certo ritardo anzi, annullato il campo induttore, il materiale manterrà una certa Induzione Residua RB ; per annullare tale Induzione Residua bisogna invertire il campo magnetizzante; il valore del campo inverso necessario per annullare l’Induzione Residua prende il nome di Campo Coercitivo CH .-

Misurando sperimentalmente in un provino di materiale ferromagnetico, inizialmente del tutto smagnetizzato, i valori di B al variare di H da zero fino ad un valore massimo HM si può trac-

ciare la curva di Prima Magnetizzazione che ha l’andamento di figura.-

Riducendo, a partire del valore di HM , il campo fino a zero e quindi invertendone il verso per farlo poi aumentare con valori negativi fina a -HM si noterà che l’induzione raggiungerà un valore -BM esattamente uguale in valore assoluto, ma di segno contrario, a quello raggiunto in corrispondenza di +HM .- Riportando infine il valore del campo a +HM l’induzione ritornerà al valore di +BM con un andamento simmetrico rispetto

64

l’origine degli assi .- Il ciclo così ottenuto prende il nome di Ciclo d’isteresi.- Se il campo induttore H oscilla tra valori H’ e H’’ qualunque, la curva B=f(H) assume un

andamento asimmetrico e prende il nome di Ciclo d’isteresi asimmetrico .- A seconda della natura del materiale ferromagnetico in esame, cioè del tipo di lega, il ciclo di

isteresi può assumere varie forme con valori di induzione residua e campo coercitivo molto diversi.- Rilevando per un certo provino una serie di cicli d’isteresi simmetrici e concentrici con valori

crescenti di HM, il luogo dei punti estremi (HM , BM) prende il nome di Curva di magnetizzazione normale.-

L’andamento della curva di prima magnetizzazione e di quella di magnetizzazione normale, conferma che la permeabilità µ non è costante ma varia in funzione del valore di H o di B.-

Tenendo presente che in ogni punto risulta:

µ α= = =

B

H

BA

OAtg

si può costruire per punti l’andamento della permeabilità al variare di H.-

3.6.2. Campo magnetico in un mezzo non omogeneo: I° - Sia S la superficie di separazione tra due mezzi aventi permeabilità magnetiche

diverse; si immagini un cilindretto infinitesimo di base dS posto a cavallo della superficie di separazione, con le basi parallele a tale superficie ed altezza (e quindi superficie laterale) infinitesimi di ordine superiore.-

65

Per il teorema della divergenza, il flusso totale attraverso la superficie chiusa del cilindretto sarà nullo.- Potendosi trascurare il flusso attraverso la superficie laterale, essendo questa infinitesima di ordine superiore, il flusso entrante attraverso la base inferiore sarà uguale a quello uscente attraverso la base superiore.-

Se 1B e 2B sono i valori dell’induzionesulle due basi nei due mezzi rispettivamente, il flusso attraverso le due basi sarà:

d B dS d B dSn nϕ ϕ1 1 2 2= ⋅ = ⋅ dovendo essere:

d d B dS B dS B Bn n n nϕ ϕ1 2 1 2 1 2= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Principio di continuità della componente normale dell’induzione magnetica : Passando da

un mezzo magnetico ad un altro, la componente normale dell’induzione rimane invariata. II° - Sulla medesima superficie S di separazione dei due mezzi aventi permeabilità diverse

si consideri un punto P ed un rettangolo infinitesimo con i lati maggiori di lunghezza dl paralleli alla superficie di separazione che lo contenga e avente i lati minori di lunghezza dx pari ad un infinitesimo di ordine superiore.-

Indicando con 1H ed 2H il valore del campo magnetico sui due lati del rettangolo infinitesimo da parti opposte della superficie di separazione, si applichi il teorema della circuitazione sulla linea chiusa costituita dal perimetro del rettangolo.- Nell’ipotesi che per il punto P non passi alcuna corrente, dovrà risultare:

∫ =× 0dlH

Essendo:

H dl H dl H dl H dlt t1 1 2 2× = ⋅ × = − ⋅ mentre il prodotto del campo per le lunghezze dei lati corti è nullo essendo questi di lunghezza pari ad un infinitesimo di ordine superiore, risulterà:

H dl H dl H dl H Ht t t t× = ⋅ − ⋅ = ⇒ =∫ 1 2 1 20

Principio di continuità della componente tangenziale del campo magnetico : Passando da un

mezzo magnetico ad un altro, la componente tangenziale del campo magnetico rimane invariata.

Da quanto visto segue che:

B B H H H H H Hn n n n n n t t1 2 1 1 2 2 21

21 1 2= ⇒ = ⇒ = ⇔ =µ µ

µµ

H HB B

B B B Bt tt t

t t n n1 21

1

2

22

2

11 1 2= ⇒ = ⇒ = ⇔ =µ µ

µµ

66

Passando da un mezzo magnetico all’altro, la componente normale del campo e la componente tangenziale dell’induzione subiscono una brusca variazione .-

Nell’esempio seguente si immagini µ

1 >> µ

2 (mezzo 1: ferro , mezzo 2: aria )

21121

2

12 ttnnnn HHHHHH =>>⇒=

µ

µ

1

11

n

t

H

Htg =α

2

22

n

t

H

Htg =α

21

2

1

2

2

1

1

2

1 1 ααµµ

αα

>>⇒>>=⋅=t

n

n

t

H

H

H

H

tg

tg

°<⇒°<<⋅= 30 800 e 1000 :per 2121 ,ααµµ

Nel passare da un mezzo a grande permeabilità (Ferro) ad un mezzo a bassa permeabilità (Aria) le linee di forza del campo subiscono una rifrazione che tende ad avvicinarle alla normale alla superficie di separazione facendole emergere quasi perpendicolarmente alla superficie.-

3.6.3. Circuiti magnetici: Si consideri un anello chiuso di ferro attorno al quale sia uniformemente avvolto un solenoide

di N spire percorse dalla corrente I . La F.M.M. NI genera un Campo le cui linee di forza si sviluppano prevalentemente all’interno del solenoide cioè nel ferro; ne segue che il Flusso di Induzione Magnetica si chiude totalmente nel ferro. Se la sezione del solenoide è piccola rispetto al suo diametro, l’Induzione Magnetica B sarà costante in tutta la sezione S ; risulterà quindi:

SB ⋅=Φ costante attraverso ogni sezione dell’anello.- Applicando il teorema della circuitazione ad una qualsiasi circonferenza interna dell’anello si ottiene:

∫ ⋅== dlHNIF

∫ ⋅=== dlS

NIS

BH

µΦ

µΦ

µ :risulterà :Poichè

Avendo riscontrato che il flusso è costante si ottiene:

NIS

dl= ⋅ ∫Φ1

µ

L’espressione

∫=ℜ dlSµ1

prende il nome di Riluttanza magnetica

67

del percorso del flusso che a sua volta viene chiamato Circuito magnetico.- Φ⋅ℜ=F

L’espressione vista ha carattere generale, vale per tutti i circuiti magnetici e costituisce la

Legge di Hopkinson: In un circuito magnetico la forza magnetomotrice è uguale al prodotto della riluttanza del circuito per il flusso.-

Esiste un’evidente analogia tra la legge di Hopkinson per un circuito magnetico e la legge di Ohm per un circuito elettrico ove si stabilisca una corrispondenza tra la Forza Magnetomotrice F e la

Forza Elettromotrice E, tra il flusso FFFF e le corrente elettrica I , tra la resistenza ohmica ∫=S

dlR

γ e la

riluttanza magnetica ∫=ℜS

dl

µ .-

Le dimensioni della Riluttanza sono:

[ ] [ ] [ ]111 −−− =⋅=

⋅=

=

=ℜ HsecsecV

A

Wb

AspF ΩΦ

Nel caso particolare ove la sezione del circuito e la sua permeabilità possano ritenersi costanti

su tutta la sua lunghezza, risulterà:

S

lR

S

l m ⋅=⇔⋅=ℜγµ1

1

3.6.4. Circuiti magnetici reali con traferro: Nella pratica, per ragioni costruttive o per permettere movimenti relativi tra le varie parti della

macchina, la catena di materiali magnetici che costituiscono il circuito è interrotta da sottili strati d’aria chiamati Traferri .-

Facendo riferimento all’espressione generale della riluttanza:

ferro ilper 1

aria;l'per 1

S

l

S

l

fe

fe

o

o ⋅=ℜ⋅=ℜµµ

essendo: Feo µµ << la riluttanza che incontra il flusso nel percorrere il ferro sarà notevolmente

inferiore a quella che incontra nell’attraversare l’aria.- Pur essendo la riluttanza dell’aria molto grande rispetto quella del ferro, non sarà tale da impedire la continuità di passaggio del flusso.-

68

Nell’analogia elettrica vista sopra, il circuito magnetico con traferro non corrisponde ad un circuito elettrico interrotto, cioè aperto, bensì ad un circuito nel quale siano state inserite delle resistenze molto grandi rispetto alle altre.-

La F.M.M. (NI) che fa circolare il flusso avrà una caduta maggiore in corrispondenza del traferro. Per ridurre la Riluttanza e quindi la F.M.M. necessaria per far circolare una certa quantità di flusso, si cercherà di costruire i circuiti con il traferro il più possibile sottile.-

Il seguente è un esempio di circuito magnetico con traferro, ove s’ipotizza la sezione costante:

FeFe

fe

FES

l

⋅=ℜ

µ

aa

aaria

S

l

µ=ℜ

aFe

NI

ℜ+ℜ=Φ

⇒ La corrente I necessaria a produrre il flusso viene detta: Corrente di eccitazione o

magnetizzante. La funzione che fornisce il valore del flusso per ciascun valore della corrente di eccitazione prende il nome di Caratteristica di eccitazione del circuito magnetico.-

3.6.5. Flussi dispersi: Nel circuito magnetico dell’esempio in figura, il flusso totale prodotto dalla F.M.M. tenderà a

chiudersi essenzialmente nel ferro in quanto questo, avendo una permeabilità molto grande rispetto all’aria, presenta una riluttanza magnetica molto inferiore all’aria. Pur tuttavia alcune linee di flusso si chiuderanno nell’aria in quanto questa ha una riluttanza molto grande ma non infinita (il tutto avviene come se la F.M.M. alimentasse due circuiti magnetici in parallelo di cui uno a riluttanza piccola, il ferro,l’altro a riluttanza molto grande, l’aria.- Il flusso che si chiude nell’aria costituisce il Flusso disperso: il nome deriva dal fatto che, ponendo una spira S attorno al circuito magnetico in un punto lontano

da N, il flusso che si concatenerà con lei risulta inferiore da quello prodotto dalle NI in quanto parte del flusso va disperso nell’aria.-

Nella pratica, allo scopo d’ottenere alti valori di flusso con valori di Forze magnetomotrici i più bassi possibili, i circuiti magnetici vengono costruiti con materiali ad alta permeabilità magnetica, cioè con materiali ferromagnetici.- Questi si suddividono in due categorie:

69

Materiali magneticamente dolci: Sono materiali aventi permeabilità massima molto elevata che raggiungono la saturazione per piccoli valori di Campo magnetico ed hanno un basso valore di Campo coercitivo pur con Magnetismo residuo elevato.-

Materiali magneticamente duri: Hanno Permeabilità massima inferiore ai

precedenti, raggiungendo la saturazione per valori più elevati del Campo ed hanno un Campo coercitivo molto grande.-

Nella costruzione delle macchine elettriche vengono usati per le parti massicce: GHISA -

FERRO - ACCIAIO FUSO Per le parti laminate : LAMIERE DI FERRO da 5/10 mm o LAMIERE DI FERRO AL SILICIO da 3/10 mm a 5/10 mm di spessore.-

Esistono anche in commercio, per perticolari tipi di esigenza costruttive, delle leghe di materiali ferromagnetici, quali il PERMINVAR (Fe-Ni-Co) ed l’ISOPERM (Fe-Ni-Cu) aventi permeabilita magnetica molto elevata ma costante.-

3.6.6. Calcolo dei circuiti magnetici: Il problema fondamentale del calcolo dei circuiti magnetici consiste nel fatto che la

Permeabilità µ dei materiali ferromagnetici varia in funzione dell’Induzione B per cui la Riluttanza R del circuito non è una costante ma dipende dal valore del Flusso Φ . Tenendo presente che la µ=f(B) segue una legge empirica non esprimibile con un algoritmo matematico segue che:

I° Caso: Data la corrente d’eccitazione I trovare il Flusso.

l

SNI

NI ⋅⋅=

ℜ=

µΦ

ma il valore di µ dipende da quello dell’induzione B che a sua volta dipende da Φ che è incognito, per cui il problema non è risolvibile per questa via.-

II° Caso: Dato il Flusso trovare la corrente d’eccitazione che lo genera.

N

IS

lBf

SB

ℜ⋅=⇒=ℜ⇒=⇒= Φµ

µΦ 1)( il problema è risolvibile.

In pratica il primo caso viene risolto dando al Flusso un valore arbitrario e ricavando, tramite la via indicata dal secondo caso, il relativo valore della corrente; si confronta questo con quello fornito dal problema e si rifà il calcolo per un altro valore più appropriato di Flusso; ripetendo il calcolo un certo numero di volte si può tracciare la caratteristica di eccitazione del circuito e ricavare, per interpolazione, il valore cercato.-

70

Problema 3.04 Trascurando i flussi dispersi, calcolare la corrente

magnetizzante necessaria a produrre nel traferro del circuito magnetico di figura un’induzione B = 1 T e la riluttanza del circuito.-

l1 = 50 cm S1= 25 cm2 Ferro l2 = 30 cm S2 = 50 cm2 Ghisa da = 1 mm N = 1000 spire

Essendo il traferro molto sottile sarà:

Ba = 1 T Ha = Ba / mmmmo = 1/ 4p.10-7 = 0.796 Asp/m

Fa = Ha da = 0,796 . 106 . 1 . 10-3 = 796 Asp

( ) ( ) AspllHFcmAspHTB fefefefe 32050502,32,31 11 =+⋅=+=⇒=⇒=

( )seriein magnetici circuiti 10251 4ariaghisafefefe WbSB ΦΦΦ ==⋅⋅=⋅= −

AspFcmAspHT

SB ghgh

gh

gh

gh 6003020205,01050

10254

4

=⋅=⇒=⇒=⋅⋅==

−

−Φ

AN

FIAspFFFF tot

eccghfeatot 716,11000

17161716600320796 ===⇒=++=++=

WbAspFtot 4

41064,68

1025

1716 ⋅=⋅

==ℜ−Φ

(I valori del campo magnetico nel ferro e nella ghisa in funzione dei relativi valori

dell’induzione, sono stati ricavati dalle tabelle dei materiali fornite dai fabbricanti)

3.7.0. Il fenomeno dell’autoinduzione Ogni circuito percorso da una corrente I crea intorno a se un campo magnetico avente una

certa induzione B le cui linee di forza sono inevitabilmente concatenate con la corrente I stessa.- Ne conseguirà che, ogniqualvolta c’e una variazione della corrente I e quindi dell’induzione B, ci sarà anche una variazione del flusso concatenato con il circuito stesso, variazione che indurrà a sua volta nel circuito una F. E. M. detta di autoinduzione che avrà, per la legge di Lenz, verso tale da opporsi alla causa che l’ha generata cioè alla variazione della corrente I .- Ne segue che l’autoinduzione ha un carattere inerziale, tendente cioè a ritardare le variazioni.-

71

In un circuito di n spire percorse dalla corrente i, si indichi con

KΦ il flusso concatenato con la spira k dovuto alla corrente i; il flusso totale d’autoinduzione concatenato con il circuito sarà:

K

n

ΦΦ1∑=∑

Tale flusso, se il mezzo circostante è a permeabilità costante, risulterà proporzionale alla corrente che lo produce: iL ⋅=∑Φ

dove L è un coefficiente di proporzionalità che prende il nome di Coefficiente d’autoinduzione o Induttanza del circuito e si misura in Henry:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]L I V A Henry= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =− −Φ Ω1 1sec sec Immaginando di concentrare in un unico punto del circuito tutta la sua induttanza, questa

viene indicata con il simbolo:

La F.E.M. d’autoinduzione in un circuito vale:

dt

diL

dt

de −=−= ΣΦ

Il suo verso è tale che ad ogni aumento di corrente nel circuito corrisponde una e di verso contrario alla F.E.M. che fa circolare la corrente; ad ogni diminuzione di corrente nel circuito corrisponde una e concorde con la F.E.M che fa circolare la corrente.-

Il calcolo dell’induttanza di una bobina concentrata può essere fatto facilmente se si conoscono i parametri del circuito magnetico attraverso il quale si chiude il flusso concatenato (si indichi con n il numero di spire della bobina e con Φ il flusso concatenato con una spira):

eqeq

nL

n

in

n

inn

i

n

iL

ℜ=⇒

ℜ=

⋅=

⋅⋅=⋅==

2222

Φ

ΦΦΦ Σ

L’Induttanza di una bobina è uguale al quadrato del suo numero di spire diviso per la Riluttanza del suo circuito magnetico.-

l

nS

S

l

nnL

eq

222

1

⋅⋅=⋅

=ℜ

= µ

µ

In generale l’induttanza di una bobina è tanto maggiore quanto più grande è la superficie che abbraccia, il suo numero di spire e la permeabilità del mezzo e quanto minore è il suo sviluppo longitudinale.-

3.7.1. Induttanza di un solenoide rettilineo lungo:

l

NSL

S

l

NNL

Rl

222

1

20 :Se

⋅=⇒=ℜ

= µ

µ

f

72

3.7.2. Induttanza di un solenoide toroidale:

L’induttanza di un solenoide toroidale avente N spire, avvolte su un mezzo a permeabilità variabile costante, con raggio medio mR e sezione S, può essere calcolata

mediante l’espressione:

mm R

NSL

S

R

NNL

222

221

⋅=⇒

⋅=

ℜ=

π

µπ

µ

3.8.0. Circuiti induttivi in regime variabile

In un circuito contenete un’induttanza, ogni variazione della corrente che lo percorre genera al suo interno una F.E.M. d’autoinduzione contraria alla variazione, avente un effetto ritardatore sulla corrente stessa.-

Volendo osservare il fenomeno nel circuito di figura, si riscontra che allo spostamento del deviatore in 1 la corrente tende a passare dal valore zero

a quello di regime pari a R

V ; questa variazione di

corrente farà nascere all’interno del circuito una F.E.M. d’autoinduzione e che, per la legge di Lenz, tende ad opporsi all’aumento di corrente cioè alla tensione che è stata applicata; in ogni istante varrà la relazione:

iRdt

diLViReV ⋅=−⇒⋅=+

( )V R i dt L di

dt

L

di

V R i− ⋅ = ⋅ ⇒ =

− ⋅ Integrando l’equazione si ottiene:

( ) AiRVRL

t +⋅−−= ln1

La costante A viene calcolata in base alle condizioni al limite: 0tper0i ==

A =

1

Rln lnV

t

L R

V R i

V⇒ − =

− ⋅1

lnV R i

V

R t

L

V R i

Ve

R t

L− ⋅

= −⋅

⇒− ⋅

=−

⋅

73

iV

Re

R

Lt

= −

−1

V

RI= → ∞ è la corrente di regime per t

[ ]Il rapporto L

R= T ha le dimensioni di un tempo: ed è una grandezza

L

R

=

⋅

=

ΩΩsec

sec

caratteristica del circuito chiamata Costante di tempo T .- L’equazione del circuito diventa:

i I et

T= ⋅ −

−1

Dopo la chiusura del circuito la corrente

impiega teoricamente un tempo infinito per raggiungere il suo valore di regime I = V/R ; in pratica si ritiene che il valore di regime sia raggiunto dopo un tempo pari a 4,6 T quando cioè la corrente ha raggiunto un valore pari al 99% del valore finale.- L’espressione della corrente:

i I I et

T= − ⋅−

fornisce una chiave di lettura diversa del fenomeno: All’istante di chiusura, alla corrente di regime I

si sovrappone un’extracorrente transitoria di chiusura − ⋅−

I et

T di senso opposto che tende ad annullarsi asintoticamente .-

Quando il circuito è a regime, percorso dalla corrente I , il deviatore venga spostato

bruscamente nella posizione 2 : la tensione V scompare ma la corrente non si annulla immediatamente perché la sua variazione (tendente allo zero) fa nascere una forza elettromotrice d’autoinduzione che s’oppone al suo azzeramento istantaneo.- L’equazione del circuito diventa:

·

·

ln

condizioni iniziali: t = 0 ; i = I

ln ! ln – ln !

ln#

$

·

#

$

%

& =

i I e

t

T= ⋅−

La corrente, continuando a circolare nel medesimo senso, decresce esponenzialmente azzerandosi in un tempo infinito, in pratica dopo un tempo pari 4,6 T quando raggiunge l’ 1% del

valore iniziale.- Questa corrente può essere pensata come un’extracorrente d’apertura T

t

eI−

⋅ che continua a fluire nel circuito anche in assenza del generatore.-

74

In generale: In un circuito induttivo si genera in apertura e chiusura un’extracorrente T

t

eI−

⋅ che s’oppone alla I in chiusura e si sostituisce alla I in apertura.- Da ciò nascono i problemi di scariche ed archi sui contatti degli interruttori che devono agire sui circuiti.-

3.9.0. Mutua induttanza

Le linee di forza del campo magnetico generato dalla corrente che percorre un circuito (induttore o primario), oltre che con il circuito stesso, possono concatenarsi con un secondo circuito (indotto o secondario) posto nelle vicinanze inducendo in questo una F.E.M. ogni qual volta nel primario c’è una variazione di corrente.- Due circuiti si dicono accoppiati induttivamente quando ciascuno d’essi è concatenato con alcune delle linee di forza del campo magnetico prodotto dall’altro.- L’entità dell’accoppiamento dipende dalle reciproche posizioni, potendo tale accoppiamento essere più o meno stretto:

Accoppiamento nullo Accoppiamento parziale Accoppiamento totale Si considerino due circuiti mutuamente accoppiati e le linee di forza del campo prodotto dal

primario; queste possono avere andamenti diversi e, rispetto all’accoppiamento, si suddividono in:

1 e 2 sono le linee di forza di Mutua induttanza (1 totalmente concatenate-2 parzialmente concatenate) 3 e 4 sono le linee di forza disperse (3 totalmente concatenate - 4 parzialmente concatenate)

75

Di conseguenza si definiranno come Flussi di mutua induzione completamente

concatenati: °° I dal prodotto e circuito II ilcon oconcatenat totaleflusso il 12 ΣΦ °° II dal prodotto e circuito I ilcon oconcatenat totaleflusso il 21ΣΦ Quando lo spazio circostante è occupato da un mezzo a permeabilità costante, tali flussi

risulteranno proporzionali alle correnti che li producono: 11212 iM ⋅=ΣΦ

22121 iM ⋅=ΣΦ Per il principio di reciprocità degli effetti induttivi i due coefficienti di proporzionalità 12M e

21M sono delle costanti uguali tra loro:

M M M12 21= = Tale valore M viene chiamato Coefficiente di mutua induttanza tra i circuiti:

2

21

1

12

iiM ΣΣ ΦΦ

==

Il coefficiente di muta induttanza ha le stesse dimensioni ed unita di misura dell’induttanza:

[ ] [ ] [ ]HA

V

IM =⋅=

⋅=

= secsec ΩΦ

A differenza dell’induttanza, che è sempre positiva, la mutua induttanza può assumere

valori positivi o negativi: quando il flusso di mutua induzione prodotto dal circuito induttore, concatenandosi con il circuito indotto, risulta concorde con il flusso d’autoinduzione di quest’ultimo si darà alla Mutua induttanza segno positivo, in caso contrario sarà considerata negativa.-

Si dimostra che la mutua induttanza tra due bobine è legata al valore delle loro induttanze mediante la relazione:

21 LLkM ⋅= ove k (sempre minore di 1) è il

loro coefficiente di accoppiamento che tiene conto dell’entità dei flussi dispersi.-

3.9.1. Forze elettromotrici di mutua induzione: In presenza di due circuiti mutuamente accoppiati, ogni variazione della corrente nel

circuito primario, da origine ad una Forza Elettromotrice d’auto induzione nel circuito primario stesso ed una Forza Elettromotrice di mutua induzione nel circuito secondario:

dt

diM

dt

de

dt

diLedi ML

1122

1111 −=−=−=⇒ ΣΦ

Ad ogni variazione di corrente nel circuito secondario, corrisponde la nascita di una Forza Elettromotrice d’autoinduzione nel circuito secondario stesso ed una Forza Elettromotrice di mutua induzione nel circuito primario:

dt

diM

dt

de

dt

diLedi ML

2211

2222 −=−=−=⇒ ΣΦ

76

3.10.0. Energia in un circuito induttivo Considerando il circuito di figura, allorché, spostando il deviatore in posizione 1, si applica

una tensione V alla serie R - L (con L costante), durante il transitorio di carica la corrente varia istante per istante in base alla legge di Ohm generalizzata secondo 1’ espressione:

dt

idLiRV C

C +=

Moltiplicando ambo i membri per dti C :

CCCC diiLdtiRdtiV ⋅⋅+⋅=⋅ 2

Questa relazione esprime, istante per istante, il bilancio energetico del circuito: dtiV C⋅ esprime l’energia che il generatore fornisce al carico nel tempo dt

dtiR C2⋅ esprime l’energia dissipata per effetto Joule nella resistenza R nel medesimo tempo dt

CC diiL ⋅ esprime l’energia che il generatore deve fornire all’induttanza per poter variare la corrente

La potenza e quindi l’energia assorbita dall’induttanza è diversa da zero fino a quando la corrente varia (diC

/dt diversa da zero), diventa nulla quando la corrente, a regime, è costante.-

regime) di correntela è I (ove 2

1

2

10 0

2

0

2∫ ∫ ⋅=

⋅=⋅⋅=⋅⋅=I I

I

CCCCCL ILiLdiiLdiiLW

Da questa espressione dell’energia si può ricavare un’altra definizione di induttanza:

L

W

IL=

22

L’induttanza di un circuito è uguale al rapporto tra il doppio dell’energia che bisogna

fornirgli per stabilirvi una corrente e il quadrato di tale corrente.-

Raggiunto il regime, commutando in 2, l’extracorrente di apertura: i I et

T= ⋅−

cede alla resistenza R del circuito l’energia:

22

0 0

2

0

2

2

2

22

2

1

2

1

22LI

R

LRI

TRIe

TRIdteRIdtRiW T

t

T

t

R ===

−=== ∫ ∫

∞ ∞∞

−−

Poiché in questa fase il generatore è staccato dal circuito, tale energia, dissipata nella resistenza, viene interamente fornita dall’induttanza ed è esattamente uguale a quell’assorbita in fase di carica.- Né segue che: L’energia assorbita da un induttanza L in regime variabile, non viene dissipata, ma interamente immagazzinata nel campo magnetico interno e restituita durante la variazione di regime inversa.- L’induttanza nel circuito ha, rispetto la corrente, un effetto assimilabile a quello di un volano in un sistema meccanico.-

La presenza di una corrente, e quindi di un Campo magnetico, risulta associata ad un’accumulazione d’energia nel campo stesso, la cui entità è legata alle variazioni della corrente e quindi del campo: questa energia prende il nome di Energia Magnetica.-

Consideriamo un solenoide torico con N spire uniformemente avvolte su un nucleo fatto di materiale a permeabilità costante; se ms rr << risulterà:

mr

nIH

π2= ⇒

n

HrI mπ2

=

77

Poiché in queste condizioni l’induttanza del circuito vale:

mm r

Sn

S

r

nnL

πµ

µ

π 22

222

==ℜ

=

l’energia magnetica accumulata nello spazio all’interno del toro sarà:

22

2

222 2

2

12

22

1

2

1H)Sr(H

n

)r(

r

SnLIW m

m

m

m πµπ

πµ

=⋅==

.VolHWm ⋅= 2

2

1 µ

Essendo il campo H costante, nelle ipotesi fatte, in tutti i punti del toro, si può ritenere che l’energia sia uniformemente distribuita nelle spazio occupato dal toro; perciò l’energia specifica o Densità di energia magnetica sarà:

µµω

22

2

1

2

1

2

1 BBHH

.Vol

Wmm ====

La dimostrazione vale in generale anche se H e quindi w varia da punto a punto, ma in ciascun punto risulterà:

µµω

22

2

1

2

1

2

1 BBHHm ===

Se nel nucleo del solenoide toroidale viene posto un materiale ferromagnetico, la sua permeabilità varierà in funzione del campo H e quindi della corrente, per cui l’induttanza L non sarà più una costante ma varierà al variare della corrente. Di conseguenza , per calcolare l’energia immagazzinata, bisognerà far riferimento ai valori istantanei delle grandezze in giuoco:

--- Ad ogni variazione di della corrente i corrisponderà una variazione dH del campo H --- La variazione di della corrente i nel tempo dt farà nascere una F.e.m. e avente modulo:

( ) ( )

solenoide del sezionela è ove 2s

c rSdt

dBnS

dt

BSdn

dt

nd

dt

de π

ΦΦ=====

--- Il generatore, per vincere tale F.e.m., dovrà fornire un’energia pari a:

SdBniidtdt

dBnSidtedWm ⋅=⋅=⋅=

--- Moltiplicando e dividendo per la lunghezza media del circuito magnetico:

VolHdBrSdBr

nidW m

m

m ⋅=⋅⋅= ππ

22

--- L’energia specifica fornita dal generatore per ciascuna unità di volume del nucleo in modo da ottenne una variazione di induzione pari a dB sarà:

HdBVol

dWd m

m ==ω

--- L’energia totale che il generatore dovrà fornire a ciascuna unità di volume del materiale per portare l’indizione da 0 al valore massimo B

M sarà:

∫= MB

m HdB0

ω

78

Nella rappresentazione grafica della

curva di magnetizzaione del materiale, tale energia sarà data dalla superficie compresa tra la curva e l’asse dell’induzione.-

In presenza di materiali ferromagnetici, investiti da campi magnetici periodicamente variabili

e quindi sottoposti a cicli periodici di magnetizzazione e smagnetizzazione, a causa dell’isteresi magnetica e dell’induzione residua, l’energia che il materiale accumula in fase di carica risulta maggiore di quella che restituisce in fase di scarica quindi, alla fine d’ogni ciclo, una certa quantità d’energia, che viene dissipata nel materiale, va persa trasformandosi in calore.

La quantità totale di energia trasformata in calore iW per ciascun periodo e per unità di

volume del materiale, corrisponde all’area del ciclo di isteresi.- Tale energia è praticamente quella spesa per far variare i domini di Weiss.-

La potenza persa, che prende il nome di Perdite per Isteresi , relativa all’unità di volume, sarà:

fWT

WP i

ii ⋅== ove: T è il tempo impiegato per compiere il ciclo ed f

la relativa frequenza L’area del ciclo d’isteresi, rappresentante l’energia dissipata per unità di volume, non è

calcolabile con un algoritmo matematico.- Normalmente si usa la formula empirica di Steimetz:

6,1

Maxii BfkP ⋅⋅= ove:

ki = 250÷500 W /m3 per lamiere normale

ki = 125 ÷ 250 W /m3 per lamiere al silicio

79

3.11.0. Forze elettromagnetiche

3.11.1. Effetti ponderomotori della corrente: La corrente elettrica esercita, attraverso il campo magnetico, un’azione a distanza di tipo non

solo magnetoelettrico ma anche ponderomotore, sviluppando un’azione meccanica sia sui magneti permanenti sia sulle correnti.-

Forza di Lorentz: si consideri un conduttore di lunghezza dl immerso in un campo magnetico d’induzione B

nel quale si sposti con velocità v essendo B , dl , v tra loro ortogonali.-

Nel conduttore s’indurrà una F.e.m.: de = B v dl⋅ ⋅

Tale F.e.m. spingerà le cariche libere di nome opposto a addensarsi ai due estremi del conduttore generando così un campo elettrico:

Kde

dlB v= = ⋅

che eserciterà su ciascuna carica q una forza qvBqKF ⋅⋅=⋅= tendente a riportare le cariche al centro del conduttore.- Poichè ciò non avviene, infatti la F.E.M. de permane, significa che, a causa del moto del conduttore si è generata una forza LF ( Forza di Lorentz) uguale e contraria alla F che mantiene le cariche separate alle due estremità del conduttore:

F B v qL = ⋅ ⋅

La presenza del conduttore che supporta le cariche non è indispensabile al verificarsi del

fenomeno; è sufficiente che ci sia una carica che si sposta entro un campo magnetico, cioè: Una carica q che si sposta a velocità v in un campo d’induzione B è sottoposta ad una forza di direzione normale a B e a v; nel caso di carica positiva, se il campo è diretto verso il palmo della mano sinistra, la velocità secondo le quattro dita, il verso della forza sarà quello del dito pollice.-

Se l’induzione B non è normale alla velocità ma forma con questa un angolo αααα, sarà necessario considerare la sua componente nella direzione normale all’induzione: v sen α α α α

La forza di Lorentz diventa quindi:

F B v qL = ⋅ ⋅ ⋅ senα Si consideri ora un conduttore di lunghezza l percorso dalla corrente I immerso in un campo

magnetico uniforme avente induzione B diretta normalmente a l : La carica elementare positiva dq che si trova nel

trattino dl, spostandosi con velocità dt

dlv = , sarà

sottoposta ad una forza di Lorentz:

dlIBdqdt

dlBdqvBdFL ⋅⋅=⋅=⋅⋅=

Sull’intero tratto l agirà la forza:

F BIdl B l I

l= = ⋅ ⋅∫

Il verso della forza si deduca dalla regola della mano sinistra: Disponendo la mano sinistra aperta in modo che l’induzione B penetri nel palmo e le quattro dita siano dirette secondo il verso della corrente, la Forza risulta diretta secondo il pollice.-

80

3.11.2. Forza tra due conduttori paralleli percorsi da corrente: Si considerino due conduttori rettilinei e paralleli di lunghezza indefinita, posti ad una

distanza d molto grande rispetto il loro raggio, in un mezzo di permeabilità costante µ e percorsi dalle correnti 1I e 2I :

Nel punto P la prima corrente genererà un campo 1H :

d

IB

d

IH

π

µ

π 22

11

11 =⇒=

L’induzione 1B è normale alla corrente 2I e alla congiungente d ed ha il medesimo valore in tutti i punti di 2I . Il secondo conduttore risulterà immerso in un campo d’induzione 1B per cui sarà sottoposto in ciascun suo elemento dl ad una forza:

dlId

IdlIBdF 2

121

2π

µ==

Sul tratto l agirà una forza pari a:

ld

IIdl

d

IIF

l

πµ

π

µ

22

21

0

21 == ∫

La forza F, normale a l e B, sarà d’attrazione se le correnti sono concordi, di repulsione se contrarie.- In generale: Due conduttori paralleli percorsi da correnti concordi si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle correnti ed inversamente proporzionale alla loro distanza.-

NFmlm

H

mdAII

o

777

211021

12

11104

1104

11 : Ponendo −−

− ⋅=⋅⋅

⋅⋅=⇒

=⋅=

===

ππ

πµ

Da questa relazione deriva la definizione dell’Ampere preso come unità di misura della

corrente nel Sistema Internazionale: Due conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita e diametro infinitesimo posti alla

distanza di 1 m nel vuoto si respingono con la forza di N7102 −⋅ , per metro di lunghezza, se attraversati dalla corrente di 1A.

3.12.0. Correnti parassite o di Foucault Sono le correnti che s’inducono in qualsiasi massa metallica conduttrice sottoposta ad un

flusso variabile, come per esempio accade nel caso di un cilindretto di materiale conduttore fatto ruotare tra le espansioni polari di un magnete permanente.- Infatti, la massa del cilindretto si può immaginare formata da tante spire conduttrici chiuse che ruotano entro il campo magnetico d’induzione B.- In ognuna s’indurrà una F.e.m. che farà circolare una corrente parassita che, per effetto Joule, produrrà un riscaldamento e quindi una perdita di potenza (Fornita dal motore che fa ruotare il cilindretto):

81

P i e

tf Bj

c≡ ≡ ≡

≡2 2

2

2 2∆Φ∆

Per ridurre le perdite per correnti parassite si lamina il materiale parallelamente al verso dell’induzione, interponendo degli strati isolanti; in tal modo le linee di flusso non sono tagliate (fatto che aumenterebbe la riluttanza del circuito magnetico), mentre i percorsi delle correnti di Foucault sono interrotti riducendone l’entità e quindi le relative perdite.-

Le perdite totali nel ferro (per isteresi e per correnti di Foucault) sono:

)m

Watt(BfkBfkP MaxF,

Maxife 32261 ⋅+⋅=

Problema 3.05 Nel circuito di figura, dopo aver raggiunto il regime, viene cortocircuitata la resistenza2R .

Determinare la legge di variazione della corrente assumendo 0=t nell’istante di chiusura del tasto.-

: tastodel chiusura la dopo regime di corrente La

909,0101

10

tastodel chiusura di istanteall' regime di corrente La

010

10110

21

21

ARR

EIt

rmHL

RRVE

o

i

=+

=+

=⇒

=====

−

ΩΩ

t I

E

RAR→ ∞ ⇒ = = =

1

10

110

Cortocircuitando R

2 la costante di tempo del circuito diventa:

TL

R= =

⋅=

−

1

310 10

10 01, sec

L’equazione del circuito, dopo la chiusura del tasto sarà:

L

dt

iRE

di

dt

diLiRE =

−+=

11 : variabilile separando e

( ) ( )IRER

AIi

tA

L

tiRE

R1

1

1

1

ln10

ln1 −−=⇒

==

+=−−

IRE

iREe

IRE

iRE

RL

tL

tR

1

1

1

1

1

1

ln1

−−

=⇒−−

=−−

( ) T

t

T

t

eIR

E

R

EieIREiRE

−−

−−=⇒−=⋅−

11

11

82

i e t= − ⋅ −10 9 09 100,

Problema 3.06 Determinare il flusso magnetico concatenato con una spira circolare di raggio 2 cm, di filo

sottilissimo, posta al centro di un solenoide rettilineo con esso coassiale, lungo 80 cm, costituito da 1000 spire circolari di raggio 3 cm e percorse da una corrente di 10 A.-

Il valore del campo magnetico al centro del

solenoide, essendo per esso 20

LR < , può essere

calcolato con la relazione:

mAsp

,L

INH 12500

800

101000 =⋅=⋅=

L’induzione al centro del solenoide (in aria) risulta:

T,HB o37 10711512500104 −− ⋅=⋅⋅== πµ

Il flusso concatenato con la spira posta al centro del solenoide, su un piano normale all’asse del solenoide stesso, è:

Wb74,19Wb1074,191021071,15SB 6423spirac µ=⋅=⋅⋅π⋅⋅=⋅=Φ −−−

Problema 3.07 Calcolare il valore medio della f.e.m. indotta in una spira circolare di raggio 4 cm posta in

aria in corrispondenza della mezzeria di un solenoide rettilineo con essa coassiale lungo 60 cm, costituito da 2000 spire circolari di raggio 6 cm e percorse da una corrente di 8 A, quando, nell’intervallo di 1,5sec la corrente nel solenoide passa al valore di 2 A.-

83

Il valore del campo magnetico al centro del

solenoide, essendo per esso 20

LR > , può essere

calcolato con la relazione:

)cos(cosL

INH 21

2αα −⋅=

98102030

6

5011 ,cos,

L,

Rtg =⇒=== αα

9810180 212 ,cos −=⇒−°= ααα

mAsp),,(

,H 2616098109810

602

82000 =+⋅

⋅=

L’induzione al centro del solenoide in aria risulta: T,HB o

37 10873226160104 −− ⋅=⋅⋅== πµ

Il flusso concatenato con la spira, posta al centro del solenoide, è:

Wb,,SB spiraC6423 102165104108732 −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=Φ π

Quando la corrente passa dal valore di 8A a quello di 2A il campo magnetico induttore H si riduce proporzionalmente di quattro volte (8A : 2A) ed altrettanto avviene dell’induzione B e del flusso concatenato che passa al valore:

Wb,,

' CC

66

103414

102165

4

−−

⋅=⋅=Φ

=Φ

Il valore medio della f.e.m. indotta risulta:

V,V,,

),,(

t

'e CC

media µ6821068251

103412165 66

=⋅=⋅−

=∆

Φ−Φ= −

−

Problema 3.08 Una bobina di 150 spire di filo sottilissimo e chiusa su un circuito puramente ohmico di

resistenza 9000 WWWW, viene introdotta fra le espansioni polari di un magnete permanente in modo che nella sua posizione finale essa è concatenata con tutto il flusso passante nel traferro del magnete.-

Quanto vale tale flusso, se, per effetto dell’introduzione, la bobina viene attraversata da una quantità di carica di 12 mmmmCoulomb ?

Indicando con ΦΦΦΦ il valore del flusso cercato, introducendo la bobina tra le espansioni polari del magnete permanente, il flusso con essa concatenato passa dal valore zero al valore:

ΦΦ ⋅= NC

La variazione di flusso concatenato indurrà nella bobina un impulso di tensione uguale al valore di tale variazione:

∫ ⋅= dteC∆Φ

84

∫∫ ∫ ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅=−= QRdtiRdtR

eRdteNCC ΦΦ∆Φ 0

mWb,WbN

QR72010720

150

10129000 66

=⋅=⋅⋅=⋅

= −−

Φ

Problema 3.09 Su un nucleo a forma di toro di raggio medio 15cm, con sezione circolare di raggio 1 cm,

sono avvolte uniformemente 2000 spire percorse dalla corrente di 4 A. Sullo stesso nucleo è avvolta una bobina di 15 spire chiusa su un circuito di resistenza 2.500 WWWW nel quale è inserito un galvanometro balistico che misura la quantità di carica Q che attraversa il circuito stesso.-

Qual è la permeabilità relativa del materiale del nucleo se, al momento in cui si interrompe la corrente nel solenoide, il galvanometro indica il passaggio di una carica di 2,404mmmmC ?

Poiché: rR m >>>>>>>> si può ritenere che il campo magnetico all’interno del solenoide toroidale sia uniforme e valga:

mAsp,

R

INH

m

3848810152

42000

2 2

1 =⋅⋅⋅=

⋅=

−ππ

L’induzione all’interno del solenoide risulta: T,,HB rror

37 10671038488104 −− ⋅=⋅⋅== µπµµµIl flusso all’interno del toroide vale:

Wb,,SB rr7423 105133101106710 −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅= µπµΦ

Il flusso concatenato con la bobinetta di 15 spire avvolta sullo stesso toroide, vale: Wb,,N rrC

672 10265010513315 −− ⋅=⋅⋅== µµΦΦ

Interrompendo la corrente nel solenoide, il flusso concatenato con la bobinetta si annulla generando una variazione di flusso concatenato e quindi un impulso di f.e.m. che a sua volta genererà un impulso di corrente e quindi un passaggio di carica quantificata dal galvanometro balistico:

QRdtiRdtR

eRdteC ⋅=⋅==⋅= ∫∫∫∆Φ

∆() () 0 µ+50,26 · 10 2500 · 2,404 · 10

01 2·,

2, 120

Problema 3.10

Una bobina rettangolare di sezione 2cm)84( × , costituita di 400 spire concentrate di filo

sottilissimo, ruota con una velocità angolare di secrad150 attorno al suo asse maggiore che risulta

85

parallelo ad un conduttore rettilineo indefinito, il cui asse dista 12cm dal centro della bobina, percorso dalla corrente di 250A. Qual è la f. e. m. indotta, istante per istante, nella bobina?

Essendo il conduttore, percorso dalla corrente I = 250 A, di lunghezza indefinita, il campo da esso generato, ad una distanza r dal suo asse, vale:

mAsp,

r

IH 57331

10122

250

2 2=

⋅⋅=

⋅=

−ππ

In prima approssimazione, l’induzione media che interessa tutta la superficie della bobina è: T,,HB o

37 1041666057331104 −− ⋅=⋅⋅== πµ

La f.e.m. istantanea che s’induce nella bobina vale:

tsenNSBe ωω ⋅⋅⋅⋅=

tsen,tsen,e 157080157150400108410416660 43 =⋅⋅⋅⋅⋅= −−

In realtà il calcolo dell’induzione che interessa la bobina deve essere fatto tenendo presente che tale induzione varia in funzione della distanza dall’asse del conduttore che genera il campo:

x2

Ih

⋅⋅⋅⋅ππππ==== ⇒⇒⇒⇒

x

Ihb oo

⋅==

πµµ

2

Il flusso che investe la superficie dxldS ⋅= vale:

x

dxlIdSbd o

⋅⋅⋅=⋅=

πµΦ

2

Il flusso che investe tutta la superficie della spira:

∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅= 2

11

2

22

r

r oor

rln

lI

x

dxlI

πµ

πµΦ

Il valore massimo della f.e.m. risulterà perciò:

V,ln,

Nr

rln

lINNSBE oM 08070150400

10

14

2

080250104

2

7

1

2 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= −

ππω

πµωΦω

Confrontando i due valori trovati si può notare che l’approssimazione introdotta, con il metodo semplificato visto in precedenza, è dell’ordine del:

%,,

,,%e 870

08070

08008070100 =

−=

Problema 3.11 Determinare la riluttanza del circuito magnetico costituito da un toro di bachelite ( oµµµµ====µµµµ ) a

sezione quadrata, di raggio interno 10 cm e raggio esterno 20 cm.- Determinare l’errore percentuale che commetteremmo, se eseguissimo il calcolo

approssimato supponendo una distribuzione uniforme del campo magnetico nella sezione del toro.-

86

Si calcola in Campo e l’Induzione magnetica in un punto distante r dall’asse, immaginando avvolto sul toro un solenoide di N spire percorso dalla corrente I:

r

NIH r

⋅=

π2

r

NIBr

⋅⋅=

πµ

2

Il flusso che taglia la sezione infinitesima drh ⋅⋅⋅⋅ sarà:

drhr

NIdSBd r ⋅

⋅⋅==

πµΦ

2

Il flusso totale attraverso le sezione è:

∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅= e

i

R

Ri

e

R

Rlnh

NIdrh

r

NI

πµ

πµΦ

22

Φµ

π ⋅⋅⋅

=

i

e

R

Rlnh

NI2

Poiché: Φ⋅ℜ=NI

i

e

R

Rlnh ⋅⋅

=ℜµ

π2

WbAsp,

ln)(

6

27

1013572

10

20101020104

2 ⋅=⋅−⋅

=ℜ−−π

π

Supponendo una distribuzione uniforme del campo all’interno della sezione del toro:

mR

NIH

⋅=

π2

mR

NIB

⋅⋅=

πµ

2 2

2)RR(

R

NISB ie

m

−⋅⋅

⋅=⋅=π

µΦ

mAsp

),,()RR(

RNI

ie

m 6

27

2

21075

1020104

101522⋅=

−⋅⋅⋅=

−⋅

⋅==ℜ

−

−

ππ

µ

π

Φ

L’errore relativo che si commette risulta:

%,,

%e 82375

1357275100 =

−⋅=

Problema 3.12 Determinare la riluttanza del circuito magnetico costituito da un toro a sezione quadrata, di

raggio interno 10 cm e raggio esterno 19 cm formato da tre strati di uguale spessore, sovrapposti esternamente uno all’altro, costituiti da materiale ferromagnetici, le cui permeabilità magnetiche relative, a partire dallo strato esterno, sono rispettivamente 800, 1200, 1600.-

Come visto nell’esercizio 3.11, il flusso attraverso la sezione costituita dall’anello più interno vale:

87

∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅= 2 2

1122

R

Ri

i R

Rlnh

NIdrh

r

NI

πµ

πµΦ

Quello attraverso l’anello intermedio:

∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅= 3

22

322

22

R

R R

Rlnh

NIdrh

r

NI

πµ

πµΦ

Quello attraverso l’anello esterno:

∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅= eR

R

e

R

Rlnh

NIdrh

r

NI3

3

3322 π

µπ

µΦ

Il flusso totale risulta:

++⋅=

3

3

2

32

21

2 R

Rln

R

Rln

R

Rln

NIh e

i

µµµπ

Φ

++⋅⋅

==ℜ

3

3

2

32

21

2

R

Rln

R

Rln

R

Rlnh

NI

err

i

ro µµµµ

πΦ

WbAsp,

lnlnln,

3

7

108968

16

19800

13

161200

10

131600104090

2 ⋅=

⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅=ℜ

−π

π

Problema 3.13 Un solenoide toroidale in aria, avente raggio interno 27 cm ed esterno 30 cm, a sezione

circolare, è formato da 5000 spire di filo di rame di diametro 0,5 mm funzionante alla temperatura di 20°C.- Il solenoide è alimentato da un generatore avente E = 100V ed ΩΩΩΩ==== 34,8r i .-

Determinare il flusso concatenato con il solenoide , la sua induttanza e la costante di tempo.-

Per il rame: ),(,)t( oo 2000426010160120 ⋅+⋅=+= αρρ

m

mm,

2

20 017360 Ωρ =

La lunghezza totale del filo di rame che costituisce il solenoide è:

),,()RR(NL ie 270305000 −⋅=−⋅= ππ

m,L 2471= La resistenza della bobina vale:

Ωπ

ρ 6641250

2471017360

22020 ,,

,,

S

LR

filo

=⋅

==

La corrente erogata dal generatore è:

88

A,,Rr

EI

i

26641348

100

20

=+

=+

=

Il campo all’interno del solenoide, essendo eie RRR <<− , si può ritenere uniforme ed uguale a

quello calcolato in corrispondenza al raggio medio:

mAsp,

,R

NIH

m

4558428502

25000

2=

⋅⋅=

⋅=

ππ

T,,HB o37 10017745584104 −− ⋅=⋅⋅== πµ

La superficie della spira vale: 2422

1006874

27030

4m,

),,()RR(S

iespira

−⋅=−

=−

=ππ

Il flusso concatenato con il solenoide: Wb,,,SBN spirac 024801006871001775000 43 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −−Φ

H,,

IL c 01240

2

02480===

Φ 3

,

41, 297,6 · 1067

Curve di Magnetizzazione del Ferro, Acciaio e Ghisa

89

Problema 3.14 Sulla colonna 2 del circuito magnetico di figura, in ferro fucinato, sono avvolte N=2000

spire; trovare il valore della corrente che bisogna inviare nella bobina d’eccitazione affinché al traferro ci sia un flusso di 2,5mWb, ammettendo un coefficiente di dispersione del flusso al traferro pari a k = 1,1.-

==

=

====

mWb,

spireN

cmS

cm,l

cml

cml

cml

fe

52

2000

25

749

40

90

40

2

4

3

2

1

Φ

Poiché il coefficiente di dispersione k corrisponde al rapporto tra la superficie dell’aria interessata dal flusso e quella del ferro, risulta:

ferro

aria

S

Sk = ⇒⇒⇒⇒ 25272511 cm,,SkS ferroaria =⋅=⋅=

L’induzione magnetica nel traferro sarà perciò:

90

T,,

,

SB

aria

o 909010527

10524

3

=⋅

⋅==

−

−Φ ⇒⇒⇒⇒ m

Asp,,B

Hro

o

o3

7104723

1104

9090⋅=

⋅⋅=

⋅=

−πµµ

Essendo la lunghezza del traferro: cm,,llll aria 307494090432 =−−=−−=

La F.m.m. necessaria a far circolare nell’aria tale flusso risulterà: Asp,,,lH ariaoaria 321701030104723 23 =⋅⋅⋅=⋅=ℑ −

L’induzione magnetica nel ferro (il circuito magnetico è costituito da tronchi posti in serie e quindi interessati tutti dal medesimo flusso; poiché hanno tutti la medesima sezione, l’induzione sarà uguale in tutti i tratti) vale:

T,

SB

ferro

ferro 11025

10524

3

=⋅

⋅==

−

−Φ

Dalla curva di magnetizzazione del ferro si ricava che il campo magnetico necessario per avere

un’induzione magnetica di 1 Tesla corrisponde al valore di cmAspH fe 4= .-

La F.m.m. necessaria a far circolare il flusso nei vari tronchi sarà: AsplH fe 16040411 =⋅=⋅=ℑ AsplH fe 36090422 =⋅=⋅=ℑ

AsplH fe 16040433 =⋅=⋅=ℑ Asp,,lH fe 8198749444 =⋅=⋅=ℑ

La F.m.m. totale richiesta dal circuito per avere al traferro il flusso voluto, vale: Asp,,,ariatotale 132098198160360320321702 4321 =++++=ℑ+ℑ+ℑ+ℑ⋅+ℑ=ℑ

La corrente d’eccitazione cercata risulta essere:

A,,

NI totale 60451

2000

13209 ==ℑ

=

Problema 3.15 Nella bobina d’eccitazione del circuito magnetico indicato in figura, costruito con ferro, viene

inviata una corrente di 10 A.- Qual è il flusso al traferro?

=

=

==

==

AI

cmS

,k

cm,l

cml

spireN

fe

aria

fe

10

40

21

20

50

1000

2

Quando, di un circuito magnetico, il dato di partenza è la corrente d’eccitazione invece del flusso o dell’induzione (come nell’esercizio precedente), la soluzione va cercata per approssimazioni successive.-

Le espressioni impiegate per il calcolo sono:

91

2484021 cm,SkS fearia =⋅=⋅= aaa SB ⋅=Φ o

a

a

BH

µ= aaa lH ⋅=ℑ

fe

fe

feS

BΦ

= )B(fH fefe = fefefe lH ⋅=ℑ featot ℑ+ℑ=ℑ N

I totℑ=

Tenendo presente che afe ΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ si inzia ipotizzando un’induzione T1B a ==== :

aB aΦΦΦΦ aH aℑℑℑℑ feB feH feℑℑℑℑ totℑℑℑℑ I

(T) (mWb)

cmAsp (Asp) (T)

cmAsp (Asp) (Asp) (A)

1,00 4,80 7958 1592 1,20 6,5 325 1917 1,917 1,50 7,20 11936 2387 1,80 100 5000 7387 7,387 1,60 7,97 12732 2546 1,99 245 12250 14796 14,796 1,55 7,44 12334 2467 1,86 140 7000 9467 9,467 1,57 7,54 12494 2499 1,88 152 7600 10099 10,099 Vista l’approssimazione nella determinazione di feH dalla lettura del grafico, si può concludere dhe

una corrente d’eccitazione di 10 A genererà un flusso di 7,53 mWb nel traferro.-

Problema 3.16 Un circuito magnetico in ghisa è costituito da 4 tronchi accostati con sezione costante ed una

lunghezza complessiva di 120 cm.- Inviando una corrente di 1,5A nella bobina di

eccitazione, costituida da 1300spire, l’induzione risulta essere B = 0,4 T.- Calcolare lo spessore complessivo dei quattro traferri.-

La f.m.m. sviluppata dalla bobina di

eccitazione è: Asp,INtot 1950511300 =⋅=⋅=ℑ

Dalla curva di magnetizzaione della ghisa si ricava:

T,B ghisa 40= ⇒⇒⇒⇒ cmAspH ghisa 13=

La f.m.m. necessaria a sostenere tale campo nella ghisa vale: AsplH ghisaghisaghisa 156012013 =⋅=⋅=ℑ

La f.m.m. disponibile per sostenere il campo nei traferri risulta: Aspghisatotaria 39015601950 =−=ℑ−ℑ=ℑ

Il campo magnetico nei traferri vale:

mAsp,B

Ho

ariaaria 318310

104

407

=⋅⋅

==−πµ

Lo spessore complessivo dei quattro traferri risulterà quindi:

mm,m,H

laria

aria

aria 22110221318310

390 3 =⋅==ℑ

= −

92

Problema 3.17 Ricavare l’espressione delle correnti nei vari rami del circuito di figura, nel periodo

transitorio quando viene applicata una tensione di 400 V.-

====

ΩΩ

Ω

80

20

400

4

2

1

R

R

mHL

R

o

o

Alla chiusura del tasto, in un circuito contenete un’induttanza, la corrente ha l’andamento:

−=

− tL

R

regimee

e

eIi 1

Nel caso in esame, la corrente di regime vale:

A

RR

RRR

V

R

VI

oe

regime 220

400

8020

80204

400

21

21

==

+⋅+

=

++

==

La corrente totale sarà quindi:

( )tt

,t

L

R

regimeo eeeIi o

e

5040

20

12121 −−−

−=

−=

−=

Le correnti nei due rami derivati saranno invece:

( )tooo e,i,i

RR

Rii 50

21

21 16180

8020

80 −−=⋅=+

=+

=

( )tooo e,i,i

RR

Rii 50

21

12 14020

8020

20 −−=⋅=+

=+

=

Problema 3.18 Un conduttore lungo L = 50cm, trascinato in movimento da una forza applicata F = 0,8 kg,

taglia ortogonalmente le linee di forze di un campo uniforme avente induzione T2,1B ==== .- I suoi estremi, attraverso due contatti striscianti con attrito trascurabile e due guide metalliche,

sono collegati ad una resistenza di carico ΩΩΩΩ==== 5,1R .- Determinare la velocità del conduttore a regime, la potenza meccanica necessaria per

trascinare il conduttore e la potenza elettrica assorbita dalla resistenza di carico, supponendo che la resistenza complessiva del conduttore, dei contatti striscianti e delle guide metalliche sia ΩΩΩΩ==== 05,0r .

93

Il conduttore, sotto l’azione della forza F, si sposta nella sua direzione con velocità v immerso in un campo magnetico d’induzione B: sarà perciò sede di una f.e.m. indotta e che a sua volta farà circolare nel circuito costituito dalla serie R + r una corrente i.

Il conduttore, percorso dalla corrente i ed immerso in un campo magnetico d’induzione B, sarà a sua volta sottoposta ad una forza di reazione F’ di verso contrario a F; il regime verrà raggiunto quando le due forze si uguaglieranno, per un valore della corrente:

iLB'FF ⋅⋅== ⇒⇒⇒⇒ LB

Fi

⋅=

La forza elettromotrice indotta nel conduttore in movimento vale: i)rR(vLBe ⋅+=⋅⋅= La velocità di spostamento, a regime, è:

secm,

,,

,,

,,

,,

LB

F

LB

rR

LB

i)rR(v 833

5021

81980

5021

05051=

⋅

⋅⋅

⋅

+=

⋅⋅

⋅+=

⋅

⋅+=

La potenza meccaniche richiesta per trascinare il conduttore si ricava da:

W,,,vFt

sF

tempo

LavoroP .mec 26583381980 =⋅⋅=⋅=⋅==

∆∆

∆

Si tenga presente che la forza e lo spostamento hanno il medesimo verso e direzione e che a regime la velocità è costante.- La potenza elettrica assorbita dalla resistenza del carico vale:

W,,

,,,iRPel 257

5021

8198051

2

2 =

⋅

⋅⋅=⋅=

La differenza di W8 tra la potenza meccanica impiegata e quella elettrica dissipata sulla resistenza di carico, corrisponde alla potenza persa sulla resistenza r delle guide, del conduttore e dei contatti.-

Problema 3.19 Nel circuito magnetico di figura (costruito in ferro) calcolare la corrente che bisogna inviare

nella bobina d’eccitazione per avere un flusso di 0,2 mWb al traferro.-

=======

2

3

2

1

4

31

2

40

99

40

1000

cmS

,k

mm

cml

cm,l

cml

spireN

fe

δ

94

Facendo riferimento alla legge di Ohm magnetica, il circuito può essere rappresentato da un insieme di riluttanze poste in serie e parallelo.- Per calcolare l’induzione al traferro, bisogna tener conto del coefficiente di dispersione:

T,,

,

SkSB

fea

a 3845010431

10204

3

=⋅⋅

⋅=

⋅==

−

−ΦΦ

mAsp,

,BH

o

a

a4

710630

104

38450⋅=

⋅==

−πµ

La tensione magnetica necessaria a vincere la riluttanza oℜℜℜℜ dell’aria è:

Asp,H aa 61210210630 34 =⋅⋅⋅=⋅=ℑ −δ

La tensione magnetica necessaria a vincere la riluttanza 2ℜℜℜℜ dei due tratti 2l è:

T,,

SB

fe

fe 50104

10204

3

=⋅

⋅==

−

−Φ ⇒⇒⇒⇒ cm

Asp,H fe 41=

Asp,,,lH fe 727992412 22 =⋅⋅=⋅⋅=ℑ

La tensione magnetica ai capi del tratto 2 risulterà essere: Asp,,a.tot 763972761222 =+=ℑ+ℑ=ℑ

La colonna 2 e la colonna 3 sono in parallelo quindi avranno ai loro capi la medesima tensione magnetica:

Asp,tot 763923 =ℑ=ℑ ⇒⇒⇒⇒ cmAsp,

lH 16

40

7639

3

33 ==

ℑ= ⇒⇒⇒⇒ T,B 4513 =

(3 93 · :; 1,45 · 4 · 104

5,8 · 104

=> 0,58?=>

Il flusso nella colonna 1 sarà pari alla somma di quelli nelle colonne 2 e 3:

( ( (@ 0,2 · 10@ 0,58 · 10@ 0,78 · 10@=>

9 (

ABC

,D·EF

·EG 1,95=> H I 180 6J/7?

L I · M 180 · 40 7200 6J N! LO L L@ 7200 639,7 7839,7 6J

! P$

P

[email protected]

7,84

Problema 3.20 Una mutua induttanza, il cui primario è costituito da un induttore avente H8,0L 1 ==== e

ΩΩΩΩ==== 5,9R 1 , è alimentata da un generatore avente V80E ==== e ΩΩΩΩ==== 5,0r i .- Il suo secondario, costituito da un induttore avente H2,0L 2 ==== e ΩΩΩΩ==== 2R 2 , è chiuso su un galvanometro balistico

(misuratore di carica) avente resistenza interna ΩΩΩΩ==== 98r b e costante divC500µµµµ ; calcolare il

coefficiente di accoppiamento della mutua induttanza se, alla chiusura del tasto al primario, il galvanometro balistico ha una deviazione di 45div.-

95

La relazione che intercorre tra la quantità di carica indicata dal galvanometro balistico e l’impulso di tensione che si genera nel secondario della mutua, alla chiusura tel tasto primario è:

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⋅+=+=+

+== QrRdtirRdtrR

erRdte bb

b

bC ∆∆Φ 222

2

2222

La relazione che intercorre tra la variazione di corrente primaria, alla chiusura del tasto, e la variazione di flusso concatenato con il secondario della mutua induttanza è:

( ) QrRRr

EMIM b

i

C ∆∆∆Φ ⋅+=+

⋅=⋅= 2

1

12

( ) ( ) ( ) ( ) H,,,RrE

QrRM i

b 2810595080

1050045982 6

12 =+⋅

⋅⋅⋅+=+⋅

⋅+=

−∆

Il coefficiente di accoppiamento della mutua induttanza è dato dalla relazione:

702502080

2810

21

,,,

,

LL

Mk =

⋅==

Problema 3.21 Un solenoide rettilineo di 1N spire, lunghezza l 1 e diametro 1D ha disposto sul suo asse,

esattamente al centro, un secondo solenoide di 2N spire, diametro 2D e lunghezza l 2 ; calcolare la mutua induttanza tra i due solenoidi ed il loro coefficiente di accoppiamento.-

==

==

==

cm,D

cm,l

spireN

cmD

cml

spireN

21

90

10

18

50

1000

2

2

2

1

1

1

Ipotizzando che la prima bobina sia attraversata da una corrente 1I , il campo al centro del solenoide si calcola con l’espressione (si tiene conto che l < 10 D):

( )21

1

111

2αα coscos

l

INH −= )cos(cos

l

INHB oo 21

1

1111

2ααµµ −==

Il flusso concatenato con il secondo solenoide e generato dal primo, vale:

2221

1

112212122

42D)cos(cos

l

INNSBNN oC

πααµΦΦ ⋅−===

Per la definizione di mutua induttanza:

96

)cos(cosDl

NN

IM o

C

212

2

1

21

1

2

42ααπµ

Φ−==

(Nei calcoli si è supposto che il campo generato dalla prima bobina rimanga costante all’interno della seconda)

3060

18

1

11 ,

l

Dtg ===α 95801 ,cos =α 12 180 αα −°= 95802 ,cos −=α

H,H,),,(,,

M µππ 72321072329580958010214502

101000104 6427 =⋅=+⋅

⋅⋅⋅= −−−

Per calcolare il coefficiente d’accoppiamento dei due solenoidi e necessario conoscere l’induttanza delle due bobine. Poiché i due solenoidi hanno l < 10 D, l’induttanza si calcola con la relazione:

l

NSL

2o ⋅⋅⋅⋅µµµµ

⋅⋅⋅⋅αααα==== ove il coefficiente αααα è fornito dal seguente diagramma

Per il solenoide esterno risulta: 821850 ,D

l == ⇒⇒⇒⇒ 840 ,=α

Per il solenoide interno risulta: 7502190 ,,,

Dl == ⇒⇒⇒⇒ 60 ,=α

H,,

,L 32427

1 107253500

1000109104840 −

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ππ

H,,

,,L 6

2

2427

2 109474801090

10106010460 −

−

−−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

ππ

01207010947480107253

10723263

6

21

,,,

,

LL

Mk =

⋅⋅⋅

⋅==

−−

−

Problema 3.22 Su un nucleo di ferro fucinato a sezione quadrata e di forma toroidale avente cm30D e ==== e

cm22D i ==== , sono avvolte N = 800 spire; qual è il valore della corrente che bisogna inviare nella bobina d’eccitazione affinché il flusso nel nucleo toroidale valga mWb3====ΦΦΦΦ ?

Se si pratica nel nucleo un taglio, normale all’asse del toroide, dello spessore di mm2====δδδδ , che valore assume il flusso se la corrente d’eccitazione rimane invariata (si assuma un coefficiente di dispersione al traferro k = 1,2)?

97

La sezione del ferro sarà: ( ) ( ) 222 161115 cmRRS iefe =−=−=

L’induzione nel ferro risulta:

T,S

Bfe

fe 87511016

1034

3

=⋅⋅==

−

−Φ

Dalla curva di magnetizzazione del ferro si ricava il valore del campo magnetico:

cmAspH fe 150=

La lunghezza media del circuito magnetico toroidale è:

cm,DD

l iem 6881

2

2230

2=+=

+= ππ

La f.m.m. necessaria a sostenere il campo feH vale:

Asp,lH mfefe 122526881150 =⋅=⋅=ℑ

La corrente d’eccitazione che bisogna inviare nella bobina per generare la f.m.m. richiesta vale:

A,N

Ife

3115800

12252==ℑ

=

Praticando un intaglio nel circuito magnetico, la sua riluttanza aumenta, quindi il flusso, a parità di corrente d’eccitazione, diminuirà ed il suo valore dovrà essere ricavato indirettamente per approssimazioni successive.-

Immaginando inizialmente un flusso di 1 mW il calcolo della corrente d’eccitazione è fatto impiegando le relazioni:

22191621 cm,,SkS fearia =⋅=⋅=

aria

aS

BΦ=

o

aaria

BH

µ=

δ⋅=ℑ ariaaria H

fe

feS

BΦ= ⇒⇒⇒⇒ feH

fefefe lH ⋅=ℑ

δ−= mfe ll feariatot ℑ+ℑ=ℑ N

I totℑ=

Il valore della corrente d’eccitazione così ottenuto viene confrontato con quello effettivo e di conseguenza si esegue un ricalcolo con un valore più appropriato di flusso fino a giungere, per approssimazioni successive, al valore cercato.- ΦΦΦΦ aB aH aℑℑℑℑ feB feH feℑℑℑℑ totℑℑℑℑ I

( )mWb ( )T

cmAsp ( )Asp ( )T

cmAsp ( )Asp ( )Asp ( )A

1,0 0,52 4144,6 829 0,625 1,9 155 984 1,23 2,0 1,04 8289,3 1658 1,250 7,5 611 2269 2,84 3,0 1,56 12434 2487 1,875 150 12222 14709 18,38 2,5 1,30 10361 2072 1,562 30 2445 4517 5,64

98

Per interpolazione si ricava che con una corrente d’eccitazione di 15,31 A il flusso nel

circuito magnetico con traferro vale 2,87 mW

Problema 3.23 Nel circuito di figura, il tasto 1T viene chiuso all’istante 0t ==== ; trascorsi secm15 viene

aperto il tasto 2T .-Determinare l’andamento della corrente erogata dal generatore.-

===

=

H,L

R

R

VE

20

75

25

200

2

1

ΩΩ

Alla chiusura di 1T , Il generatore alimenta la serie di 1R e L ; la corrente passerà dal valore inziale nullo al valore di regime:

99

AR

EI 8

25

200

1

1 ===

con un andamento esponenziale avente costante di tempo: mssec,,

R

LT 80080

25

20

1

====

( ) ttTt

eeeIi ⋅−−− −=−=

−= 125125

1 88181 per t < 15 msec

All’apertura di 2T ,trascorsi 15 msec, la corrente i ha raggiunto il valore di:

( ) A,e),(i , 7736180150 0150125 =−= ⋅− e tende esponenzialmente al valore finale di regime:

ARR

EI 2

7525

200

21

2 =+

=+

=

con un andamento esponenziale avente costante di tempo: sec,,

RR

LT 0020

100

20

21

==+

=

tt,,

,t

e,e,e),(i 500500570020

0150

88629277342227736 −−−

−

⋅+=⋅+=+⋅−= per secmt 15≥

Problema 3.24

Calcolare il valore delle induttanze delle due bobine avvolte sul circuito magnetico di figura,

la loro mutua induttanza ed il fattore d’accoppiamento nell’ipotesi che il materiale del nucleo (lega isoperm: ferro-nichel-cobalto) abbia permeabilità relativa costante, il campo nel traferro sia uniforme

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035

i (A)

t (sec)

100

e siano anche trascurabili gli altri flussi dispersi; la sezione del nucleo rimane costante.- Valutare l’influenza che ha lo spessore del traferro sui valori delle induttanze, della mutua e del coefficiente d’accoppiamento.-

=

===

====

2

3

1

3

2

1

64

400

500

1500

1

50

59

50

cmS

spireN

spireN

cm

cml

cm,l

cml

nucleo

rµδ

Poiché il nucleo lavora con permeabilità costante, si possono calcolare le riluttanze dei vari tronchi del circuito magnetico (tali riluttanze rimarranno costanti nelle varie condizioni di lavoro):

314

47

11 1014464

10641041500

5001 ℜ=⋅=⋅⋅⋅⋅

==ℜ −

−−H,

,

S

l

nucleoor πµµ

14

47

22 1057501

10641041500

0950221 −

−−⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅=ℜ H,

,

S

l

nucleoor πµµ

14

47

2

10341241064104

1011 −

−−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅==ℜ H,Sariao

oπ

δµ

La riluttanza della colonna centrale risulta essere: 1444

2 109112510341241057501 −⋅=⋅+⋅=ℜ+ℜ=ℜ H,,,oC

La riluttanza equivalente dell’intero circuito magnetico visto dalla bobina 1N vale:

144

3

31

1015718101446491125

144649112514464 −⋅=⋅

+

⋅+=

=ℜ+ℜ

ℜ⋅ℜ+ℜ=ℜ

H,,,

,,,

C

Ce

L’induttanza della bobina avvolta sulla prima colonna vale quindi:

H,,

NL

e

06531015718

5004

221

1 =⋅

=ℜ

=

Poiché il circuito magnetico, visto dalla bobina 3N ,

presenta la medesima riluttanza ( 31 ℜ=ℜ ),

l’induttanza della bobina avvolta sulla colonna 3 vale:

H,,

NL

e

96111015718

4004

223

3 =⋅

=ℜ

=

Il calcolo del coefficiente di mutua induttanza tra le due bobine può essere calcolato immaginando d’inviare nella prima bobina una corrente 1I e calcolando quindi il flusso che si concatena con la

101

bobina 3; con quest’ipotesi, il flusso prodotto dalle 11 IN e circolante nel ramo 1 del circuito magnetico risulta:

e

IN

ℜ= 11

1Φ

Questo flusso si suddividerà tra la colonna centrale e la colonna 3 in parti inversamente proporzionale alle loro riluttanze; quindi il flusso nella colonna 3 risulterà essere:

eC

C

eC

C IN

ℜ+ℜ

ℜ⋅

ℜ=

ℜ+ℜ

ℜ= 11

3

13 ΦΦ

Il flusso concatenato con la bobina 3 sarà:

eC

C

e

.Conc

INNN

ℜ+ℜ

ℜ⋅

ℜ⋅=⋅= 11

3333 ΦΦ

La mutua induttanza tra le bobine 1 e 3 vale:

H,,,

,

,

NN

IM

C

C

e

.Conc 374210144641091125

1091125

1015718

40050044

4

43

31

1

3 =⋅+⋅

⋅⋅

⋅⋅=

ℜ+ℜ

ℜ⋅

ℜ==

Φ

Il coefficiente d’accoppiamento è:

968096110653

3742

31

,,,

,

LL

Mk =

⋅==

Risulta d’immediata comprensione che ogni riduzione dello spessore del traferro determina una riduzione della riluttanza della colonna centrale e un conseguente aumento del flusso che la attraversa; poiché tale flusso risulta essere un flusso disperso ai fini dell’accoppiamento tra le due bobine, la conseguenza della riduzione del traferro è una diminuzione dell’accoppiamento e quindi della mutua induttanza.- Di contro una riduzione della riluttanza della colonna centrale determina una diminuzione della riluttanza equivalente e quindi un aumento delle induttanze delle due bobine.-

Per valutare quantitativamente tali effetti basta ripetere i calcoli fatti, per diversi valori dello spessore del traferro e riportare i risultati ottenuti in un grafico come risulta in figura.-

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014

d(d(d(d(m)

L (H)

3L (H)

1

M (H)

k

102

Problema 3.25 Una bobina rettangolare di sezione (6 x 15)cm2, costituita da 200 spire concentrate di filo

sottilissimo, è animata da un moto di rivoluzione attorno al suo asse maggiore con la velocità

angolare di secrad60 .- La bobina è disposta con il suo asse maggiore parallelo ad un conduttore

rettilineo indefinito distante da esso 4 cm e percorso dalla corrente di 150 A.- Qual’è la f. e. m. indotta ad ogni istante nella bobina? Il campo generato dalla corrente I in un punto distante x

dal conduttore vale:

x

IH

⋅=

π2

Tale campo e la relativa induzione B risultano, nell’istante in cui il piano della bobina contiene anche il conduttore, normali alla bobina stessa:

x

IB o

⋅=

πµ

2

Il flusso tagliato dalla superficie dxadS ⋅= risulta:

dxax

IdSBd ox ⋅

⋅=⋅=

πµΦ

2

Il flusso totale tagliato dalla spira nell’istante considerato è:

Wb,ln,

bd

bdln

Iadxa

x

Io

bd

bd

672

2

0 10756834

34

2

150150104

2

2

22

−−

+

−

⋅=−+⋅

⋅⋅=

−

+⋅⋅=⋅

⋅= ∫ π

ππ

µπ

µΦ

Il flusso massimo concatenato con la bobina risulta: Wb,,NCMax

36 107511107568200 −− ⋅=⋅⋅=⋅= ΦΦ

Il flusso istantaneo concatenato con la bobina, quando questa ruota con velocità angolare ωωωω attorno il suo asse maggiore, è:

tcos,tcosCMaxC 60107511 3−⋅== ωΦϕ

La forza elettro motrice indotta ad ogni istante nella bobina sarà:

tsen,tsen,dt

de C 601050606060107511 3 ⋅=⋅⋅⋅=−= −ϕ

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