APPUNTI INTEGRATIVI Provvisori circa:

Risposta in Frequenza: Introduzione ai Filtri Passivi e Attivi

Filtri del I ordine

1. Passa-BassoConsideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un condensatore ideale dicapacità C posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:

( ) 1 1 1( )1 1( ) ( )

CV sH s

E s sC R RC ssC RC

(1)

la corrispondente risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete,la quantità immaginaria j (dove, come noto 2 f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è lafrequenza [Hz]).Si avrà dalla (1):

1( )1( )

H jRC j

RC

(2)

La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso informa euleriana:

( )( ) ( )H j H e (3)

dove la funzione:

22

1( )1

H

RCRC

(4)

rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre

( ) ( )arctg RC (5)

ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.

Si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, che indicheremo con t ,tale che:

1( ) 0.7072tH (6)

Si ottiene allora, in virtù della (4):2

2 22

2

22

2

1 1 1( ) ( ) ( ) 221

1 1 12( )

t t

t

t t

H RCRC

RCRC

RC RCRC

(7)

In virtù della (7) la (1) si scrive:

( )( )

t

tH s

s

(1.bis)

Ricordando che in un circuito serie R-C il prodotto RC è pari alla costante di tempo del circuito,possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:

( ) ( )tarctg RC , che, in base alla (7) permette di ricavare:

( ) ( ) ( ) ( 1)4t

RCarctg RC arctg arctgRC

(8)

Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo allapulsazione di taglio.Quindi, per la (4) e la (6) si ha:

2 22 2

2 22 2

1 1 1 1

1 1passate t

passate t

passate t

RC RCRC RC

RC RC

(9)

Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sul condensatore di una serie R-C ha proprietàfiltranti di tipo Passa-Basso (“passano le pulsazioni più piccole della pulsazione di taglio).In Figura 1, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione ditrasferimento in tensione per un filtro passa-basso R-C con R = 1 k e C = 0.159μF e relativafrequenza di taglio di 1 kHz.

Fig.1 Andamento del modulo Andamento della fase

0 2000 4000 6000

0.5

1

H j ( )

1

2

2

0 2000 4000 6000

1

0.5

0

arg H j ( )( )

arg H j1

R C

2

Filtro AttivoUna realizzazione di filtro attivo “passa basso” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito inFig. 2.

Au

Vu

Vi

Iu

Fig.2 Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine

Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:11 2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 1

2 1

1 1

22 11

1

11 2

1

0

01 0

( )

A i

u u

u i

u

u t

i t

t

V V GG G sC G sCV IG sC G sC

IG sC V GVG sC

V G GGV G sC sC sC

Gcon ponendo G GC

(10)

L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnaled’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertentead amplificazione unitaria.

2. Passa-Alto

Consideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un induttore ideale diinduttanza L posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:

( )( )

( )LV s sL sH s

RE s R sL sL

(1)

la risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete, la quantitàimmaginaria j (dove, come noto 2 f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è la frequenza[Hz]).Si avrà dalla (1):

( ) jH jRjL

(2)

La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso informa euleriana:

( )( ) ( )H j H e (3)

dove la funzione:

22

( )HRL

(4)

rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre

( ) ( )LarctgR (5)

ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.

Come detto, si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, cheindicheremo con t , tale che:

1( ) 0.7072tH (6)

Si ottiene allora, in virtù della (4):

22 2

22

22 2

1( ) 22

2 0

tt t t

t

t t t

RHLR

L

R RL L

(7)

In virtù della (7) la (1) si scrive:

( )( )t

sH ss

(1.bis)

Ricordando che in un circuito serie R-L il rapporto L/R è pari alla costante di tempo del circuito,possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:

( ) ( )tRarctgL

, che, in base alla (7) permette di ricavare:

( ) ( ) ( ) (1)4

t L RLarctg arctg arctgR LR (8)

Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo allapulsazione di taglio.Quindi, per la (4) e la (6) si ha:

2 2

2 22 22 22 2

2 22 2 2 2 2 2

passate passatet t

passate tpassate t

t passate passate t passate t

passate t

R RR RL LL L

R RL L

(9)

Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sull’induttore di una serie R-L ha proprietàfiltranti di tipo Passa-Alto (“passano le pulsazioni più grandi della pulsazione di taglio).In Figura 3, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione ditrasferimento in tensione per un filtro passa-alto R-L con R = 1 k e L = 159.155mH e relativafrequenza di taglio di 1 kHz.

Fig.3 Andamento del modulo Andamento della fase

0 2000 4000 60000

0.5

H j ( )

1

2

2

0 2000 4000 6000

0.5

1

1.5

arg H j ( )( )

arg H j RL

2

Filtro AttivoUna realizzazione di filtro attivo “passa alto” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito in Fig.2.

A

uAVi

Vu

Fig.2 Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine

Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:

69 5 6 9 5

9 5 9 5

69 5

9 5

6 6

99 55

5

95 6

5

0

001

( )

A i

u u

u i

u

u

i t

t

V V sCG s C C G sCV IG sC G sC

I V sCG sCVG sC

V sC sC sGV G sC sC sC

Gcon ponendo C C

C

(10)

L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnaled’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertentead amplificazione unitaria. Si noti come nella realizzazione attiva il filtro non ha induttori, cosa chelo rende adatto a realizzazioni integrate.

Filtri del II ordinePrendiamo ora in considerazione un circuito serie R-L-C e proponiamoci di considerare le trefunzioni di trasferimento che si ottengono considerando di prelevare il segnale come tensione aicapi del resistore, dell’induttore e del condensatore rispettivamente.

Filtro Passivo Passa BandaSe prendiamo il segnale sul resistore R, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzione ditrasferimento in tensione:

2 2

2 22 0

( )1 11 ( )

( )1 ( )( )

R sCR sCRH sRs LC sRCsL R LC s s

sC L LCsR BsH sR s BsL s sL LC

(1)

dove chiaramente si è posto: RBL e 0

1LC

ed il cui significato verrà presto evidenziato. La

funzione di rete relativa ad un filtro passa banda del secondo ordine presenta uno zero per s = 0.Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come diconsueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:

2 22 0

2 2 22 200

2 2 2 2 2 22 20 0

( )1 ( )( )

( )

( ) ( )

j R j BH jR j BL jL LC

B jBj B j B

B B

(2)

Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):

2 2 2 20

( )( ) ( )

BH jB

(3)

2 2 2 20 0

2( ) ( )

( )B

arctg arctgBB

(4)

Considerando la (3) si vede che essa presenta un massimo per:

2 2 2 4 2 2 40 0 0

2 2

4 2 4 4 420 0 0 0

2 2 2 2 3 2 2 3

max 0

00 max 2 2 2 2

0 0 0

2 20 0

0

( ) 1 1 0( ) ( 2 )1 1

( ) ( )

2 2 2( )2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1( ) ( )

( )( )

diH

d H j d dd d d

B B

dd B B B B B B

BH j H

B

arctgB

0

(5)

Quindi 0 rappresenta la pulsazione di risonanza, cioè quel valore della pulsazione che rende ilcircuito come fosse resistivo puro (si annullano le reattanze capacitiva ed induttiva).Mentre agli estremi del campo di definizione di H(j) avremo:

lim ( ) 0H j

e0

lim ( ) 0H j

, dunque, per quanto detto, la funzione di trasferimento (1) descrive

un filtro passa banda, in quanto solo un insieme (banda) di frequenze porterà al superamento del

modulo della H(j) del valore 12

. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:

(6)

da ciò si evince che il valore di B è coincidente con l’ampiezza della banda passante.

Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH. Al variare di R tra0.5 e 10 si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimentoin tensione calcolata sul resistore:

Andamento del modulo della funzione di rete

2 2 2 20

2 2 2 2 20

2 2 2 20

2 20

2 202 2

0 0 1

2 202 2

0 0 2

12( ) ( )

2 ( ) ( ) 0

( )

( )

4( )

2

4( )

2

t

t t

t t t

t t

t t t

t t t t

t t t t

B

B

B B

B

B essendo B sicuramente positivo

B Bper B

B Bper B

la diffe

2 2 2 20 0

1 24 4

2 2t t

renza tra le due pulsazioni di taglio è

B B B BB

Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete

Si definisce fattore di merito, Q, il rapporto tra il modulo della tensione sull’induttore (o sulcondensatore) e il modulo della tensione sul resistore alla pulsazione di risonanza:

0LQ

R ovvero

0

1QCR

.

In base al’espressione della banda passante, si trova che: 0QB . Ciò comporta che ci si può

esprimere sia in termini di banda passante che di fattore di merito per descrivere il grado diselettività del filtro passa banda. E’ altresì chiaro che la selettività è tanto più alta quanto più piccolaè il valore della resistenza.

Filtro Passivo Passa BassoSe prendiamo il segnale sul condensatore C, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguentefunzione di trasferimento in tensione:

2 2

20

2 20

11 1( )

1 11 ( )

( )( )

sCH sRs LC sRCsL R LC s s

sC L LC

H ss Bs

(1)

dove chiaramente si è posto: RBL e 0

1LC

.

La funzione di rete relativa ad un filtro passa basso del secondo ordine non presenta zeri.

Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come diconsueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:

2 2 22 0 002 2 2 2 2 2

0 0

( )( )

( ) ( ) ( )

j BH j

Bj B

(2)

Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2) nella forma ( )( ) ( ) jH j H j e :20

2 2 2 20

( )( ) ( )

H jB

(3)

02 20

02 20

( )

Barctg per

Barctg per

(4)

Si vede dalla (3) chelim ( ) 0H j

mentre0

lim ( ) 1H j

, dunque, la funzione di trasferimento (1) descrive un filtro

passa basso, in quanto solo un insieme di “basse” frequenze porterà al superamento del modulo

della H(j) del valore 12

. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:

(5)

Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:

2 2 2 20

2 2 20

2 20

( ) ( ) 0

2 4 ( ) 0

4 24m

d Bd

B

B

(6)

Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete nel punto0m , allora si trova che deve essere:

20

2 2 2 20

2 2 2 2 40 0

2 4 2 2 20 0

2 2 2 4 20 0

22 2 2 2 40 0 0

22 2 2 2 40 0 0

12( ) ( )

( ) ( ) 2

2 ( )

2 0

2 2 4

2

2 2 4

2

t t

t t

t t

t

t

t

B

B

B

posto x B x x

B Bx dovendo essere sicuramente positivo

B B

0 2B (7)

Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:

0t (8)

Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato ilvalore di L:

*0 2R L (9)

Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH, cioè una frequenza dirisonanza di 1 kHz e una resistenza * 8.886R , calcolata tramite la (9). Al variare di R intorno alvalore *R . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento intensione calcolata sul condensatore:

Andamento del modulo della funzione di rete

Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete

Filtro Passivo Passa AltoSe prendiamo il segnale sull’induttore L, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzionedi trasferimento in tensione:

2 2

2 2

2

2 20

( )1 11 ( )

( )( )

sL s LC sH sRs LC sRCsL R s s

sC L LC

sH ss Bs

(1)

dove chiaramente si è sempre posto: RBL e 0

1LC

.

La funzione di rete relativa ad un filtro passa alto del secondo ordine possiede uno zero dimolteplicità 2 in 0s .

Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come diconsueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:

2 2 2 2 2 22 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

jB jBH j

Bj B B

(2)

Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2) nella forma ( )( ) ( ) jH j H j e :

2

22 2 20

( )H jB

(3)

02 20

02 20

( )

Barctg per

Barctg per

(4)

Si vede dalla (3) che lim ( ) 1H j

mentre0

lim ( ) 0H j

, dunque, la funzione di trasferimento (1)

descrive un filtro passa alto, in quanto solo un insieme di “alte” frequenze porterà al superamento

del modulo della H(j) del valore 12

. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:

(5)

Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:

4 2 22 2 40 0

4 4 4 4

4 220 0

3 5 3

2 2 2 40 0

40

2 20

2 0

42 4 0

4 2 4 0

4

4 2m

d Bd

B

B

B

(6)

Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete perm , allora si trova che deve essere nullo il denominatore dell’ultima delle (6), da cui:

0 2B (7)

Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:

2

22 2 20

2 2 2 2 40

2 4 2 2 20

2 2 2 4 20 0

22 2 2 2 40 0 0

22 2 2 2 40 0 0

12

( ) ( ) 2

2 ( )

2 0

2 2 4

2

2 2 4

2

t t

t t t

t t t

t

t

t

B

B

B

posto x B x x

B Bx dovendo essere sicuramente positivo

B B

0t (8)

come già trovato per il passa basso.Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato ilvalore di L:

*0 2R L (9)

Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 μF e L = 1 mH, cioè una frequenza dirisonanza di 1 kHz e una resistenza * 8.886R , calcolata tramite la (9), . Al variare di R intorno alvalore *R . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento intensione calcolata sull’induttore:

Andamento del modulo della funzione di rete

Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete

Filtro Passivo Elimina BandaSe prendiamo il segnale somma della tensione sull’induttore L e sul condensatore C, di un circuitoserie R-L-C otterremo la seguente funzione di trasferimento in tensione:

22

2 2

2 20

2 20

1 1( )1( )1 11 ( )

( )( )

sL LC ss LCsC LCH sRs LC sRCsL R LC s s

sC L LC

sH s

s Bs

(1)

dove chiaramente si è posto: RBL e 0

1LC

.

La funzione di rete relativa ad un filtro elimina banda del secondo ordine presenta due zeriimmaginari coniugati per 0s j .Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come diconsueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:

2 20

2 20

( )( )

H jBj

(2)

Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):2 20

2 2 2 20

( )( ) ( )

H jB

(3)

2 2 2 20 0 ( )

2 2 2 20

2 20

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

jjB

H j H j eB

Barctg

(4)

Si vede dalla (3) che 0( ) 0H j mentre sia lim ( ) 1H j

, sia0

lim ( ) 1H j

, dunque, la funzione di

trasferimento (1) descrive un filtro elimina banda, in quanto solo un insieme di frequenze sarà al di

sotto del modulo della H(j) del valore 12

. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di

taglio:

(5)

22 20

2 2 2 20

22 2 2 2 2 20 0

2 2 2 20

2 2 2 4 20 0

22 2 2 2 40 0 0

22 2 2 2 40 0 0

1,2

12( ) ( )

( ) ( ) 2

( )

2 0

2 2 4

2

2 2 4

2

t t t

t t

t

t

t

B

B

B

posto x B x x

B Bx dovendo essere sicuramente positivo

B B

Se operassimo una traslazione dell’asse delle ascisse in modo da definire un nuovo sistema dipulsazioni fittizio tale che per il nuovo asse ' la propria origine coincida con la pulsazione dirisonanza, cioè '

00 per , avremo che l’ampiezza della banda eliminata misurata nei duesistemi di riferimento è la stessa, ma semplificheremmo notevolmente i calcoli perchè avremmo:

' '2 1 2 1

2 22 2 2 2 4 2 2 2 2 40 0 0 0 0 0

2 22 2 2 2

2 2 4 2 2 4

2 2

2 2

t t t t

B B B B

B B B BB

(6)

Dalla (6) si evince che la banda eliminata vale proprio B che era il valore della banda passante nelfiltro passa banda.

Si riportano gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in tensionecalcolata sulla serie induttore-condensatore:

Andamento del modulo della funzione di rete Elimina Banda

Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete Elimina Banda

Esempi di Filtri Attivi del II ordine

Si consideri il circuito in figura:

che risolviamo con il metodo dei nodi: 1 2 3 4 2 4 1

2 2 5 5

4 5 5

0

: 0

A i

B

carico u u

B

A y y y y y y V y VB y y y y Vu y y y G V I

vincolo operazionale V

(1)

1( )y s 2( )y s

3 ( )y s

4 ( )y s

5 ( )y s

AuA

ViVu

BGcarico

quindi riarrangiando il sistema si ha, immediatamente:

1 2 3 4 2 4 1

2 2 5 5

4 5 5

1 2 3 4 4 1

2 5

4 5

1 2

1 2

0 0( )

00 01 ( ) 0

:

A i

carico u u

A i

u

carico u

iu

A y y y y y y V y VB y y y yu y y y G V I

y y y y y V y Vy y Iy y G V

Cramer

y y VV

y y y

3 4 5 2 4y y y y

(2)

Se si vuole realizzare un filtro passa banda che abbia lo stesso comportamento di quello descrittonel paragrafo dedicato al filtro passivo R-L-C passa banda si dovrà porre:

1 2

2 21 2 3 4 5 2 4 0

iu i

y y V BsV Vy y y y y y y s Bs

(3)

da cui si vede che, a meno del segno, che se si prende 4 4y sC e quindi 1 1y G , si dovrà e potràporre 2 2y sC e di conseguenza 5 5y G e 3 3y G . Operando in tal modo si avrà:

1 2

2 2 21 2 3 4 5 2 4 0

1 2

u

i

V G C s BsV G C s G C s G C C s s Bs

G C

4 2

s

C C2 2

21 3 5 2 4 5 0

2 4 2 4

1

4

2 4 5

2 4

21 3 50

2 4

( ) ( )

( )

( )

BsG G G C C G s Bss s

C C C C

G BC

C C GB

C CG G G

C C

(4)

Così se si vuole realizzare un filtro corrispondente ad uno passivo dove C = 25.33 μF e L = 1 mH eR = 0.628 , cioè con 0 2 1000 /rad s (frequenza di risonanza 1 kHz) e banda passante

2 100 /B rad s si avrà:

1

4

2 4 5

2 4

2 61 3 5

2 4

2 100

( )2 100

( )4 10

GC

C C GC C

G G GC C

vincoli di esistenza dei parametri:

12

2 1 12 1 5

1 15 1 2 52

5( 1)

GC C B G GB BB C deve essere G GG GG G C GC BB G

(5)

e

2 22 4 2 43 0 1 1 0

5 5

C C C CG G GG G

. (6)

Assegnato, ad esempio il valore 11 1750 1.33R G m si ottiene che deve

essere: 1 14 2.122

2 100G GC FB

.

Preso allora 5 51 1R k G m che soddisfa la disequazione della (5) dovuta al vincolod’esistenza dei parametri, si avrà che:

3

2 3

3

1.33 10 6.361.33 10( 1)2 100

10

C F

.

Non rimane ora che calcolare 2 6 2 43 1

54 10

C CG GG

e verificare l’altra disequazione della (6) di

vincolo.Si trova che 1

3 30.532 1.88G R .Il filtro si presenta dunque:

e la risposta sul resistore di carico (il cui valore di resistenza non influenza mai le prestazioni delfiltro) è riportata in Figura:

Rcarico

Andamento della funzione di trasferimento del filtro passa banda attivo precedentementedimensionato