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Appunti di Telecomunicazioni

Davide Micheli

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INDICE:

RUMORE TERMICO NEI SISTEMI DI TLC ..............................................................................4

RUMORE INTERNO.............................................................................................................................4 RUMORE ESTERNO ............................................................................................................................9

SCELTA DELLA FREQUENZA DI LAVORO...........................................................................26

NOTE SULLA CIFRA DI RUMORE............................................................................................28 INTRODUZIONE................................................................................................................................28 REMINDER.......................................................................................................................................28 DEFINIZIONE DI TEMPERATURA EQUIVALENTE DI RUMORE ............................................................29 EQUIVALENT INPUT NOISE (EIN ) O EQUIVALENTE DI RUMORE IN INGRESSO ..................................30 DEFINIZIONE DI CIFRA DI RUMORE .................................................................................................31 CIFRA DI RUMORE DI UNA CASCATA DI DISPOSITIVI.........................................................................32 EIN DI UN DISPOSITIVO CON UNA TEMPERATURA D’INGRESSO T0 ...................................................33 CIFRA DI RUMORE DI UN ATTENUATORE A TEMPERATURA T0 ..........................................................34 MODELLO FISICO DI UN ATTENUATORE ...........................................................................................34 CIFRA DI RUMORE DI UN DISPOSITIVO PRECEDUTO DA UN ATTENUATORE .......................................36 CIFRA DI RUMORE DI UN POWER SPLITTER .....................................................................................37 CIFRA DI RUMORE DI UN INPUT RF MULTICOUPLER PER UNA STAZIONE RADIO BASE (SRB) PER TELEFONIA MOBILE .........................................................................................................................38

SISTEMA RICEVENTE.................................................................................................................39 PREAMPLIFICAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA.................................................39

NON LINEARITÀ IN AMPIEZZA ...............................................................................................48 1 DB COMPRESSION POINT ..............................................................................................................57 BLOCKING.......................................................................................................................................59 C) INTERCEPT POINT................................................................................................................60 SPURIOUS FREE DYNAMIC RANGE (SFDR) ......................................................................................64

CONSIDERAZIONI SUL RUMORE IN UNA CATENA DI RICEZIONE RADIO GENERICA ......................................................................................................................................68

ESEMPIO: CALCOLO DELLA POTENZA RUMORE UNA CATENA RX PER TELEFONIA MOBILE GSM 77

ANALISI DEL RUMORE DOPO L’INSERZIONE NELLA CATENA DI RICEZIONE RADIO DI UN AMPLIFICATORE A BASSA CIFRA DI RUMORE (LNA) CON L’ANALISI DEL C/N AD OGNI BLOCCO DELLA CATENA RX..........................................80

SEZ I ...............................................................................................................................................81 SEZ II ..............................................................................................................................................81 SEZ. III............................................................................................................................................81 SEZ. IV............................................................................................................................................81 ESEMPIO DI CALCOLO DEL C/N NEI VARI PUNTI DELLA CATENA RX ...............................................83

ANALISI DI ALCUNE TIPOLOGIE DI CATENE DI RICEZIONE RF DOVE SONO UTILIZZATI LOW NOISE AMPLIFIER (LNA): VANTAGGI E SVANTAGGI ..................86

PREMESSA.......................................................................................................................................86 CATENA DI RIFERIMENTO: LNA NON PRESENTE .............................................................................88 CONFIGURAZIONE A: ANTENNA → LNA → CAVO.....................................................................89 CONFIGURAZIONE B: ANTENNA → CAVO → LNA......................................................................90

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CONFIGURAZIONE C: ANTENNA → CAVO → LNA → ATTENUATORE........................................91 OSSERVAZIONI E CONFRONTI RELATIVI AI TRE CASI ESAMINATI......................................................92 GRAFICI DI CONFRONTO RELATIVI AI CASI ESAMINATI ....................................................................94

SCELTA DELL’LNA PER UNA CATENA DI RICEZIONE: CONVIENE MAGGIORE GUADAGNO OPPURE MINORE CIFRA DI RUMORE ? .......................................................97

CONDIZIONE DI BLOCCO DEL RICEVITORE ......................................................................................98 1 DB COMPRESSION POINT...............................................................................................................99 COMPARSA DI RUMORE DI INTERMODULAZIONE IM3 .....................................................................99

CALCOLO DELLA SENSIBILITÀ IN RICEZIONE PER UNA TRASMISSIONE DIGITALE......................................................................................................................................101

MIGLIORAMENTO DELLA SENSIBILITÀ DI RICEZIONE DELLA STAZIONE RADIO MEDIANTE L’USO DI UN LNA .............................................................................................................................................104 TRE SITUAZIONI DI CATENA DI RICEZIONE GSM MESSE A CONFRONTO IN TERMINI DI SENSIBILITÀ DI RICEZIONE IN ANTENNA.................................................................................................................106

UNITÀ LOGARITMICHE PER ESPRIMERE LE POTENZE...............................................107

UNITÀ LOGARITMICHE DBM E DBµV...........................................................................................108

LE RELAZIONI RECIPROCHE SONO :..................................................................................108

UNITÀ LOGARITMICHE: PASSAGGIO DA DBµV A DBM .................................................................109 UNITÀ LOGARITMICHE: PASSAGGIO DA DBµV A DBµV/M ...........................................................110

TRATTA RADIO...........................................................................................................................114

TRATTA RADIO: TRASMISSIONE IN SPAZIO LIBERO.........................................................................114

SATELLITI PER TELECOMUNICAZIONI: ACCESSO DI TIPO FDMA ..........................117 POTENZA RICEVUTA DALLA STAZIONE DI TERRA..........................................................................117 DEFINIZIONE DEL C/N PER UN COLLEGAMENTO SATELLITARE ......................................................118 CALCOLO DELLE COMPONENTI DI C/N .........................................................................................120

Tratta UP –Link ...................................................................................................................120 TRATTA DOWN-LINK.....................................................................................................122

FENOMENI DI ATTENUAZIONE E DEPOLARIZZAZIONE DURANTE LA PROPAGAZIONE RADIO DEL SEGNALE .......................................................................................................................................124

Attenuazione non dovuta a pioggia o ghiaccio........................................................................124 Attenuazione dovuta a Rain effect............................................................................................125

ESEMPI CALCOLO DI LINK SATELLITARI.........................................................................................126 Esempio 1.................................................................................................................................126 Esempio 2.................................................................................................................................126

BIBLIOGRAFIA...............................................................................................................................131

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Rumore Termico nei sistemi di TLC Il rumore rappresenta un ineliminabile contributo di disturbo che si sovrappone alla trasmissione di un segnale che porta informazione e ne degrada le caratteristiche. In effetti, nel caso di segnali analogici la qualità di trasmissione è espressa, in generale, dal rapporto S/N tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore. Nel caso di segnali numerici si ha un paramentro più esplicito, la cosiddetta probabilità di errore sul bit Peb, che rappresenta il numero di bit (simboli binari) ricevuti, in media, non correttamente sul totale dei bit trasmessi; anche Peb, peraltro, dipende dall’entità del rumore presente nel sistema e può essere espresso in funzione del rapporto S/N che lo caratterizza. In definitiva, è quindi estremamente importante definire le proprietà del rumore termico, per poter fornire metodi espliciti di valutazione del valore di N. In questa prospettiva, il rumore termico verrà ora introdotto in termini essenzialmente intuitivi, evidenziandone le peculiarità sia nel dominio del tempo, che in quello della frequenza, e mettendo in conto, soprattutto le caratteristiche statistiche. Il Rumore presente nel sistema di trasmissione proviene da numerose sorgenti che possono essere raggruppate in due categorie principali: sorgenti interne, cioè sorgenti che producono rumore all’interno dei circuiti del sistema di ricezione e sorgenti esterne che producono rumore nello spazio esterno

Rumore Interno Il rumore termico nei conduttori è dovuto all’agitazione termica degli elettroni liberi. Gli elettroni, infatti, trovandosi ad una temperatura T diversa dallo zero assoluto (T=0 K è l’unica condizione che consentirebbe di annullare il rumore termico) si muovono con moto caotico e disordinato ( a rigore si tratta di un moto browniano) con velocità media che è funzione della temperatura del conduttore. L’effetto del moto degli elettroni è di causare ai capi del conduttore differenze di potenziale elementari che variano nel tempo in modo casuale, in ampiezza, fase e frequenza. La differenza di potenziale globale agli estremi del conduttore (sorgente) risulta dalla sovrapposizione delle infinite differenze di potenziale elementari di frequenza comprese nella banda B che si sta considerando ed è caratterizzata da una distribuzione di densità di probabilità di tipo gaussiano. Tale differenza di potenziale è osservabile, ad esempio, con un oscilloscopio ad elevata sensibilità. In termini espliciti, ciò significa che un conduttore reale, deve essere rappresentato, ai fini del rumore, come un resistore ideale (privo di rumore) con in serie un generatore di tensione v(t) ovvero, il che è lo stesso, come un resistore ideale con in parallelo un generatore di corrente i(t). Le rappresentazioni equivalenti sono mostrate in figura. Il passaggio dalla rappresentazione serie a quella parallelo è possibile utilizzando concetti elementari di elettrotecnica ed è giustificata dall’osservazione che così come si rileva una tensione a vuoto v(t) ai capi di una resistenza (l’oscilloscopio di misura è in fatti caratterizzato da una elevata impedenza di ingresso), per le stesse ragioni fisiche si registra una corrente i(t)=v(t)/R quando i capi del conduttore sono cortocircuitati.

R ( non rumorosa)

5

figura 1

Stante la natura statistica del moto degli elettroni, la tensione v(t), che è il risultato della combinazione di molteplici contributi, è una funzione aleatoria o più propriamente, tenendo conto della presenza del tempo, un processo stocastico. È facile intuire che il valore medio di questa funzione aleatoria è identicamente nullo, ma essendo il valore istantaneo in generale diverso da zero, ad esso sarà associata una potenza la cui valutazione costituisce uno dei punti chiave dell’analisi.

figura 2

Si tratta di una potenza di rumore in quanto contributo indesiderato che si sovrappone al segnale utile che può essere, ad esempio, applicato alla resistenza di carico di un circuito. D’altro canto un rumore con caratteristiche analoghe a quelle del rumore termico è anche presente nelle reti attive, con generatori controllati o indipendenti, ove esso è dovuto, oltre che all’agitazione termica, anche alle fluttuazioni di corrente o di tensione dei generatori. Al contrario sulla base di argomentazioni termodinamiche, essenzialmente riconducibili alla conservazione dell’energia, si dimostra che un elemento reattivo (capacità o induttanza) non genera rumore termico; è anche vero però, che un condensatore o un induttanza reali hanno sempre associata una componente resistiva, e sarà quest’ultima responsabile di una rumorosità in uscita dal bipolo complessivo risultante. Per lo stesso prinicipio, un bipolo passivo comunque complesso comprendente elementi resistivi e reattivi, che presenti ai morsetti un’impedenza Z(f)=R(f)+iX(f) genera un rumore in misura proporzionale alla parte resistiva R(f). Per il fatto che la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosissimi contributi, nessuno dei quali è dominante e che possono essere assunti, con buona approssimazione, tra loro indipendenti, è lecito concludere che la tensione v, per qualunque istante t, è una variabile gaussiana con valore medio µ=<v> nullo e varianza σv

2. si ha dunque:

R (rumorosa)

v(t)

R ( non rumorosa) i(t)

V(t)

0

2

21

221)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= σµ

πσef v eq 1

per completare la descrizione statistica è necessario esplicitare il valore della varianza. Essendo il valore medio uguale a zero, la varianza di v coincide con il valore quadratico medio; si ha cioè:

22 2v v v vσ = − = 2 eq 2

D’altro canto, il valore quadratico medio di v coincide con la potenza del processo. In definitiva, la varianza della variabile aleatoria v può essere estratta da una valutazione di potenza. In effetti, la potenza di rumore può essere misurata, e si scopre che essa cresce proporzionalmente con:

1) il valore della resistenza R; 2) il valore della temperatura assoluta T a cui si trova la resistenza; 3) il valore della banda passante B del filtro interno all’apparato con cui si effettua la

misura. La costante di proporzionalità è pari a 4K, dove K=1.38⋅10-23 J/K è la costante di Boltzmann. In definitiva si ha dunque:

22 2 2v v v v 4RKTBσ = − = = eq 3

dove R è espressa in Ω, T in K, e la banda B in Hz. D’altro canto da un punto di vista pratico, ciò che interessa calcolare è la potenza che un conduttore rumoroso è in grado di erogare, in quanto sarà questa la misura diretta dell’entità del disturbo, da confrontare con la potenza del segnale utile. Si faccia allora riferimento alla figura sotto, dove R rappresenta la sorgente di rumore a cui è associato il generatore di tensione v(t) o, equivalentemente il generatore di corrente i(t), mentre RL è la resistenza di carico.

res serie R

carico RL I(t) RV(t) carico RL

figura 3

6

7

ovviamente interessa la situazione in cui si ha il massimo trasferimento di potenza. Come è noto dall’elettrotecnica, ciò avviene per R=RL e la potenza corrispondente, nota come potenza disponibile istantanea, vale

2 2v( ) v( ) v ( ) i ( )( ) v ( )i ( )2 2 4 4n L L

t t t RP t t t RR R R

= = ⋅ = =t eq 4

Anche Pn(t) è un processo stocastico, in quanto dato da v(t) e i(t), allora il valore medio, indipendente dal tempo, è pari a:

2 22

v i v =4

4 4n

RP KTB R KTB

R= = = ⇒ ⋅ eq 5

Dove KTBPn = discende da considerazioni di tipo fisico Come è consuetudine, chiameremo Pn, semplicemente “potenza disponibile”. Una interessante, e fondamentale, caratteristica della potenza Pn è che essa non dipende dal valore della resistenza; resistenze di valore diverso ma che si trovino alla stessa temperatura fisica erogando la stessa rumorosità. La (5) d’altro canto conserva la proporzionalità della banda B dell’apparato di misura. Ricordando i legame che c’è tra densità spettrale di potenza e potenza, possiamo allora concludere che lo spettro di potenza del rumore termico, espresso in W/Hz, è costante ed uguale a:

( )2

KTp f = eq 6

nello scrivere la (6) si è tenuto conto del fatto che la potenza viene ricavata integrando la densità spettrale tra –B e +B (rappresentazione bilatera).

22 2

B

nB

KT KTP df B+

−

= = =∫ KTB eq 7

Alternativamente, ci si potrebbe limitare a considerare le frequenze positive (rappresentazione unilatera), nel qual caso l’integrale sarebbe esteso tra 0 e +B ed in luogo della (6) si dovrebbe assumere uno spettro di potenza P(f)=KT (in modo da ottenere lo stesso risultato in (7). L’assunzione di una densità spettrale piatta per il rumore termico è in realtà accettabile a patto di non considerare frequenze molto elevate. Se infatti si integra la (7) tra -∞ e +∞, presupponendo di non avere limitazioni in banda, il risultato che si ottiene è chiaramente infinito; e una potenza infinita non ha significato fisico. In realtà, in conseguenza della validità della ripartizione quantistica dell’energia, la (7) dovrebbe essere, a rigore, sostituita dall’espressione esatta:

1( )2

exp 1

h fp f

h fKT

=⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

eq 8

la quale mostra, come è fisicamente plausibile, un andamento decrescente. Nella (8) h rapresenta la costante di Planck pari a 6.62⋅10-34 J⋅s. e K al costante di Boltzamann

in 231038.1 −⋅=k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

KJ

KSW

HzKW l’espressione corretta della densità spettrale di

potenza p(f) può anche essere riscritta come segue:

( ) ( )2 2

exp 1

h fKT KTKTp f

h fKT

γ= =⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

f eq 9

dove γ(f) ha il significato di “correzione quantistica”. Si verifica che a temperatura ordinaria (T=300 K) e per f<<6⋅1012 Hz tale termine risulta praticamente uguale a 1

[102.1 10K ]f T Th

<< = ⋅ Hz eq 10

E’ dunque evidente che assumere la (6) in luogo della più corretta (8), è lecito per le trasmissioni a frequenze “convenzionali” sia in propagazione guidata che in propagazione libera ( anche per questioni di disponibilità di dispositivi commerciali, le massime frequenze di interesse per applicazioni radio sono comprese nella cosiddetta gamma EHF- Extremely High Frequency, che va da 30 a 300 GHz). Il discorso cambia quando si considerano trasmissioni a frequenze ottiche: Qui la frequenza è dell’ordine di 1014 Hz e, corrispondentemente, la correzione quantistica a temperatura ordinaria è dell’ordine di 10-6. Si può dunque concludere che il rumore termico è praticamente assente a frequenze ottiche. Nondimeno, ciò non significa che una trasmissione in fibra ottica, che avviene sempre in modulazione, sia completamente immune da questa tipologia di disturbo: al ricevitore, infatti, il segnale dovrà essere processato e riportato a frequenze elettroniche, e un contributo di rumore termico sarà inevitabilmente introdotto dai relativi circuiti.

Antitrasformando la ( )2

KTp f = , si ottiene la funzione di autocorrelazione del processo.

Quest’ultima per il teorema di Wiener-Khintchine [ ])()( τω SSRFp = risulta allora delta di Dirac allocata nell’origine. Si ha cioè esplicitamente:

)(2

121

2221)(

21)( τδω

πω

πω

πτ ωωω KTdeKTdeKTdefpR tjtjtj =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=== ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

eq 11

8

9

Questa è una caratteristica peculiare del rumore termico “ideale” che per B→∞ è in effetti un “rumore bianco” (tutte le frequenze sono presenti ed hanno lo stesso peso). Come conseguenza della (11), due generici campioni di rumore, n1 ed n2, sono tra loro completamente incorrelati a patto che sia t1≠t2. In realtà si dimostra che in questo caso l’incorrelazione implica la statistica indipendenza (che, in generale, è una proprietà più restrittiva dell’incorrelazione). Si può dunque concludere che n1 ed n2 sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti per qualunque coppia di istanti t1≠t2. Essendo le sorgenti di rumore essenzialmente indipendenti in senso statistico, ne deriva che in un sistema lineare, come può essere considerato un sistema ricevente, la potenza di rumore complessiva all’uscita è data dalla somma delle potenze delle singole sorgenti di rumore. Il rumore generato dai componenti attivi dei circuiti ( tubi elettronici e semiconduttori) deriva essenzialmente dal fatto che la corrente elettrica in queste componenti è prodotta dal movimento globalmente ordinato di un grande numero di elettroni le cui velocità e direzioni di moto sono distribuite in maniera casuale intorno ad un valore medio. La fluttuazione risultante della corrente intorno al valore medio agisce come rumore.

Rumore Esterno Val la pena di rilevare che si parla di rumore termico anche per le antenne utilizzate come trasduttori nei collegamenti radio. In particolare, si definisce una temperatura di antenna Ta che contribuisce a determinare la qualità dell’apparato ricevente. Nondimeno Ta non è necessariamente la temperatura fisica dell’antenna ( che tipicamente sulla Terra si trova a 290 K) ma una temperatura che tiene conto del rumore termico di fondo captato. Si sul dire, a giustificare fisicamente l’asserto, che la resistenza effettiva dell’antenna non è una resistenza termica ma una resistenza di radiazione. Il valore di Ta dipende dalla direzione di puntamento dell’antenna. Se l’antenna punta lo spazio profondo ( come si verifica per i ponti radio via satellite artificiale ) si ha un rumore termico di fondo determinato dalla luminosità e dalla densità delle stelle nella zona di cielo puntata ( ordine di grandezza poche decine di K). La situazione più favorevole si ha quando vengono puntate zone con minima densità di stelle; in questo caso il valore di Ta si aggira intorno ai 3 K ed è dovuto alla radiazione residua attribuita al “Big Bang” da cui, secondo le tesi più accreditate, ha tratto origine l’universo. Solo se l’antenna punta il parte il terreno e in parte l’atmosfera ( come si verifica per i ponti radio che sfruttano la propagazione troposferica) il rumore termico è praticamente imposto dalla temperatura ambiente, e quindi Ta ≅290 K. I principali tipi di rumore esterno raccolto da un antenna sono:

• rumore cosmico, generato nello spazio esterno al sistema solare • rumore solare, generato dal sole e dai suoi pianeti • rumore terrestre, generato dalla terra e dalla sua atmosfera.

Per lo studio di tali sorgenti è utile introdurre il concetto di temperatura equivalente di rumore. Ovvero è quella temperatura che introdotta nella:

nP KT= B eq 12

fornisce la stessa potenza media di rumore prodotta dal componente considerato. Nel caso di sorgenti esterne essa è utile per calcolare il contributo che le varie sorgenti di rumore forniscono alla potenza di rumore complessiva. Nel caso di sorgenti esterne, bisogna notare che il concetto di temperatura di rumore non rispecchia interamente la realtà fisica. Infatti per sorgenti distribuite ed ancora più per quelle discrete ( come il sole e le radiostelle), il rumore non è solamente di origine termica e quindi il meccanismo di produzione del rumore non segue completamente la legge di radiazione del cormpo nero ( Planck). Altri meccanismi di produzione, accertati dalla radioastronomia, sono la radiazione sincrotronica dovuta al movimento degli elettroni in presenza di campi magnetici negli spazi circostanti corpi celesti ed interstellari e la emissione di nubi di idrogeno ionizzato. Malgrado questo, conviene esprimere le potenze di rumore generate dalle varie sorgenti esterne per mezzo di una temperatura equivalente di rumore dell’antenna ricevente. Prima di proseguire con l’analisi delle sorgenti esterne è quindi utile definire la temperatura di rumore di un antenna.

Temperatura di rumore di un’antenna La potenza di rumore ricevuta da un’antenna viene calcolata in funzione della radianza B della sorgente esterna verso cui è puntata. Supponiamo che una certa regione dello spazio sia vista come un corpo nero caratterizzato da una sua superficie ds che è vista dall’antenna attraverso un angolo solido dΩ e con un’inclinazione θ rispetto all’antenna stessa. Per semplicità rappresentativa si disegna un’antenna filiforme ma il discorso è a prescindere dal tipo di antenna utilizzato.

Corpo nero ds Carico adattato θ dΩ r

ZL=Z*

Antenna filiforme

figura 4 Si vuole valutare il rumore captato dall’antenna per effetto della radiazione del corpo nero. Il rumore è quantificato con una potenza di rumore che si ritrova ai capi dell’antenna. La sorgente è considerata come un corpo nero alla temperatura T. Se la sorgente emettesse rumore di sola origine termica allora la temperatura equivalente, sarebbe uguale alla temperatura fisica della sorgente. Nel caso generale T è la temperatura alla quale un corpo nero fornisce la stessa potenza di rumore che fornirebbe se fosse di sola origine termica.

10

11

La potenza che viene emessa dal corpo nero a temperatura T è quantificata tramite la brillanza o radianza che viene emessa dalla sorgente considerata come un corpo nero. Questa è data dalla approssimazione di Rayleigh-Jeans della legge di Planck valida per frequenze relativamente basse come sono quelle radio di interesse.

[ ][ ]

[ ][ ]

22 2 2

-23

2 2 W= Sr Hz m

=temperatura in Kelvin

=Lunghezza d'onda m

=costanante di Boltzamann=1.38 10 J/K

frequenza Hz

KT KTBc

T

K

νλ

λ

ν

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

⋅

=

eq 13

Corpo nero Un corpo nero è un corpo ipotetico che assorbe completamente tutte le lunghezze d’onda incidenti su di esso Questo corpo raggiungerà allora una temperatura di equilibrio e reirradierà energia tanto rapidamente quanto esso assorbe La brillanza del corpo nero obbedisce alla funzione di Plank:

3

2

2 1 W( ) 1

hKT

hB Tc m

eν

ν ⎡ ⎤= ⎢⎛ ⎞ ⎣ ⎦−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2Hz ⎥ eq 14

Quando hν << kT, che i limite classico nella legge di Rayleigh-Jeans allora si ha:

2 2

2

2 2c

2

1B KT T Bc Kν

ν= ⇒ = eq 15

la (15) rappresenta la temperatura di brillanza una quantità che i radio astronomi usano particolarmente. Dal momento che la brillanza è espressa in W / Sr*m2*Hz allora per esprimere la potenza in W / Sr cioè potenza per unità di angolo solido, è sufficiente moltiplicare la brillanza per una superficie in m2 ed una banda in Hz

[2

2 WKTdW B ds f ds fλ

= ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ ] eq 16

figura 5

Potenza irradiata dalla sorgente (copro nero) La potenza W irradiata per angolo solido di questo oggetto (corpo nero) è il prodotto della brillanza B per la superficie ds per la banda ∆f di frequenze considerate ed è espressa da:

[2

2 WKTdW B ds f ds fλ

= ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ ] eq 17

la densità di potenza a distanza r sull’antenna ricevente è data da:

[ ]22222 W/m 121

rfdsKT

rfdsB

rdWdp ∆⋅⋅=∆⋅⋅==

λ eq 18

questa pertanto definisce a che distanza r si colloca il corpo nero rispetto all’antenna. Per passare alla potenza ricevuta dal carico si può moltiplicare per l’area efficace dell’antenna:

12

[2

2 2

2 1 G W4r

KTdW dp Aeff ds fr

λλ π

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

] eq 19

poiché si ha una polarizzazione del tutto casuale tra trasmissione e ricezione ovvero si può ipotizzare che metà della potenza venga trasmessa con una polarizzazione e metà

13

con un’altra polarizzazione, allora si assume un fattore ½ sulla potenza effettivamente captata dall’antenna ricevente. Inoltre a causa del fatto che il corpo nero radiante non è ideale segue che l’emissività sarà in generale un numero minore di uno. Alla fine l’espressione della potenza ricevuta può essere riscritta come:

2

2 2

2 22

22

2 1 1G4 2

1 G = ma sin 4

1 G = 4

rKTdW dp Aeff ds f

r

KT ds f ds r d r d dr

KT r d fr

λ αλ π

α ϑ ϑ φπ

απ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅ = Ω = ⋅ ⋅

⋅ Ω ⋅∆ ⋅ ⋅ =

sin = G4d dKT f ϑ ϑ φ απ

⋅ ⋅⋅∆ ⋅ ⋅ ⋅

eq 20

ds=r*sinθ *dφ* r*dθ=r2 sinθ *dθ *dφ

r*sinθ r⋅dθ

r*sinθ *dφ

dφ

dθ r

θ

φ

figura 6

la potenza complessivamente captata dall’antenna che è disponibile sul carico è data dall’integrale su tutto l’angolo solido θ e Φ:

2

r0 0

W = ( , ) G( , ) T( , )sin4

T( , ) temperatura di brillanza o temperatura di cieloG( , ) guadagno di antenna nella direzione ( , )

banda di frequenze considerata

K f d d

f

π π

α ϑ φ ϑ φ ϑ φ ϑ ϑ φπ

ϑ φϑ φ ϑ φ

⋅ ∆⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

∆ =

∫ ∫

eq 21

sia T che G che α sono valutati in funzione della direzione di puntamento individuata dagli angoli θ e Φ:

14

f essendo eq 22 R AW KT= ∆ segue che la temperatura di antenna è data da:

2

0 0

1 ( , ) G( , ) T( , )sin4

RA

WT dK f

π π

dα ϑ φ ϑ φ ϑ φ ϑ ϑ φπ

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ ∫ ∫ eq 23

• La temperatura di antenna è una temperatura fittizia che non è la temperatura

fisica dell’antenna ma corrisponde ad una temperatura che genera sulla resistenza di radiazione una potenza di rumore pari alla potenza di rumore captata e disponibile che è proveniente dall’esterno.

• La temperatura di antenna è sostanzialmente la temperatura di brillanza delle sorgenti esterne pesate attraverso il diagramma di radiazione dell’antenna. Essa assume valori differenti in funzione della frequenza, quindi è il prodotto tra la temperatura T, l’emissività α, ed il guadagno G dell’antenna, integrato sull’intero angolo solido semisferico.

• La resistenza di radiazione è utile per la schematizzazione circuitale di un’antenna, è quella resistenza che percorsa dalla corrente che arriva ai morsetti di antenna, genera una potenza dissipata pari alla potenza irradiata/captata dall’antenna.

Per un collegamento punto punto, è evidente che conviene mantenere bassi i lobi laterali in quanto se questi vanno a prelevare il segnale da sorgenti a temperatura molto elevata aumenta complessivamente il rumore che si sovrappone al segnale ai capi dei morsetti di antenna.

Rumore atmosferico e terrestre L’ossigeno ed il vapore d’acqua presenti nell’atmosfera terrestre attenuano le onde radio. Parte dell’energia così assorbita è reirradata come energia termica, cosicché del rumore termico viene generato nell’atmosfera. Dal grafico di figura che riporta la temperatura di antenna in funzione della frequenza nel campo delle microonde, prendendo come parametro l’angolo di puntamento rispetto al nord, è evidente che la temperatura di antenna non è la temperatura fisica dell’antenna.

figura 7 Dal grafico si nota che vi è una dipendenza dal puntamento dell’antenna, infatti puntando verso l’orizzonte, aumenta il tratto di atmosfera che viene attraversato dall’onda elettromagnetica e di conseguenza aumenta il rumore termico introdotto dall’atmosfera. Le curve dipendono dalla frequenza in quanto i gas presenti nell’atmosfera emettono un certo disturbo avendo anche loro una certa temperatura. In particolare intorno ai 60 GHz vi è un picco dovuto all’ossigeno O2. Dal grafico si nota anche il contributo del rumore galattico che per frequenze minori di 1GHz è non è più trascurabile. Il rumore cosmico dovuto alla radiazione cosmica è pari a 3 Kelvin ed è stato originato dal Big Bang, esso è spiegato in una nota successiva. La figura non mostra il rumore proveniente dal sole che potrebbe essere in vista, questo grafico è relativo ad un antenna posta a livello del mare a temperatura ambiente in condizioni di cielo chiaro ovvero senza pioggia. This is why mm-wave & optical astronomers prefer Hawai'i to Manchester. (Well, it's one of the reasons, anyway!...) Similar sorts of graphs can be drawn for THz, infra-red and optical frequencies. Sebbene il rumore di cielo possa essere calcolato a partire dall’attenuazione, esso è normalmente determinato da grafici o tabelle in condizioni di cielo chiaro. La figura sotto mostra un esempio relativo ad una antenna cassegrain; è riportata la variazione del rumore di cielo in funzione dell’angolo di elevazione per due frequenze prese come parametro. Ad 11 GHz la maggiore temperatura di rumore è causata da un incremento di attenuazione per frequenze crescenti.

15

figura 8

Relativamente ai fenomeni di attenuazione cui si è accennato si riporta il grafico di

figura sotto che mostra l’assorbimento atmosferico per una trasmissione satellitare allo zenith (90° di angolo di elevazione rispetto all’orizzonte)

figura 9

16

17

Due importanti punti di risonanza sotto i 100 GHz, sono dovuti al vapore acqua concentrato intorno ai 22.235 GHz ed all’ossigeno tra 53.5 e 65.2 GHz. Pertanto le bande per comunicazioni satellitari devono essere accuratamente scelte per evitare l’assorbimento dei gas. Un’ altro contributo al rumore di antenna è portato dalla pioggia, infatti accanto all’effetto di attenuazione per depolarizzazione dell’onda elettromagnetica, le gocce di pioggia portano con se una radiazione termica. L’incremento del rumore di antenna dovuto a pioggia può essere stimato secondo il modello dato dall’equazione seguente:

[ ]4.34280 1 KA

bT e−⎛ ⎞

= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

eq 24

dove A è l’attenuazione per pioggia in dB. Questo termine di rumore va aggiunto al rumore di antenna in condizioni di cielo chiaro quando si debba calcolare il margine sul C/N in presenza di pioggia. Il numero 280 nell’equazione è chiamata temperatura effettiva della pioggia e viene preso nell’intervallo 270-290 K. Pertanto in condizioni di pioggia si ha un doppio effetto, l’aumento dell’attenuazione e l’aumento della temperatura di antenna. Per ulteriore dettagli sull’attenuazione atmosferica si riporta un grafico in figura sotto. questo grafico è relativo ad una atmosfera standard, e l’attenuazione è considerata per un antenna posta a livello del mare. In pratica tuttavia, pioggia, neve, nebbia , possono incrementare significativamente il livello di attenuazione, soprattutto nella regione da infrarosso a ultravioletto.

figura 10

Relativamente al rumore terrestre si può dire che la superficie terrestre si comporta come un corpo nero alla temperatura media di 290 K e quindi può essere considerato come una sorgente diffusa con temperatura di rumore pari a 290 K. Il rumore generato dalla Terra può contribuire notevolmente alla temperatura di rumore delle antenne; infatti quelle poste sulla sua superficie ricevono il rumore terrestre attraverso i lobi laterali ad anche attraverso il lobo principale quando l’angolo di elevazione dell’antenna è prossimo a zero gradi. Per quanto riguarda le antenne montate su veicoli spaziali la loro temperatura di rumore non può scendere al di sotto dei 290 K se sono a forte guadagno in modo da comprendere nel fascio l’intera superficie terrestre.

Rumore Galattico Il rumore galattico proviene da innumerevoli corpi celesti che formano la nostra galassia e dai relativi spazi interstellari. A causa della elevata densità di stelle il rumore galattico si può considerare come generato da una sorgente diffusa con intensità variabile a seconda della direzione di provenienza, come hanno messo in evidenza le misure radioastronomiche. Se infatti l’antenna è puntata nel piano della galassia ( verso la via lattea) la sua temperatura di rumore è più alta in quanto un maggior numero di corpi celesti è compreso entro il suo fascio. La temperatura invece diminuisce spostando il fascio dell’antenna fuori dal piano galattico. Le misure effettuate, per mezzo di radiotelescopi, hanno inoltre messo in evidenza che la temperatura di rumore galattico è funzione della frequenza secondo la legge approssimata:

2.5

0 0

T fT f

−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

eq 25

il grafico di figura fornisce, in funzione della frequenza, i valori massimi e minimi della temperatura di rumore galattico TAD per antenne puntate rispettivamente nel piano galattico e perpendicolarmente ad esse verso la zona di spazio ( declinazione 0°, ascensione retta 2 ore) più fredda

18

Ascensione rettadel nodo ascendente

Argomentodel Perigeo

Anomalia veraInclinazione delpiano orbitaledel satellite rispettoAl piano equatoriale terrestre, l’angolo “i”è misurato tra l’assepolare terrestre e il Vettore “h” relativoal Momento dellaQuantità di moto delSatellite lungo l’orbita

Ascensione rettadel nodo ascendente

Argomentodel Perigeo

Anomalia veraInclinazione delpiano orbitaledel satellite rispettoAl piano equatoriale terrestre, l’angolo “i”è misurato tra l’assepolare terrestre e il Vettore “h” relativoal Momento dellaQuantità di moto delSatellite lungo l’orbita

figura 11

Radiostelle Le sorgenti discrete di rumore nel campo delle radioonde, sono chiamate radiostelle. Non sempre le radiostelle corrispondono a corpi celesti visibili ( stelle, galassie, ecc.). nella tabella seguente sono elencate alcune tra le più intense radiostelle: si tratta di nebulose o lontane galassie: NOME DECLINAZIONE ASCENSIONE

RETTA DENSITA’ DI FLUSSO A 100 MHz (W/m2 Hz)

Cassiopea A +58° 30’ 23 h 21’ 1.7⋅10-22

Cigno A +40° 36’ 19 h 58’ 1,25⋅10-22

Toro A +22° 1’ 5 h 32’ 1.85⋅10-23

Centauro A -42° 37’ 13 h 22’ 1.85⋅10-23

Vergine A +12° 41’ 12 h 28’ 1.25⋅10-23

Il grafico di figura da l’andamento della densità di flusso, in funzione della frequenza, per Cassiopea A:

19

figura 12 per le sorgenti discrete, la intensità del rumore è data di solito come densità di flusso F sull’unità di superficie ricevente ed è quindi misurata in (W/m2⋅Hz). Per passare dal valore della densità di flusso alla temperatura equivalente di rumore della sorgente si procede applicando la formula già vista:

2

0 0

1 ( , ) G( , ) T( , )sin4

RA

WT dK f

π π


= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ ∫ ∫ eq 26

ovvero si valuta la temperatura di antenna con una misura di rumore che si ha in ingresso al ricevitore. Una volta nota la TA si può definire la temperatura della sorgente T(ϑ,φ). Gli strumenti utilizzati per tali misure sono i radiometri. È un classico problema inverso in quanto l’incognita compare sotto il segno di integrale. È un problema posto male in quanto esistono molte funzioni integrande che danno lo stesso integrale. Per misurare la temperatura di brillanza, occorre un antenna molto direttiva in modo tale che lo spazio circostante venga sanzionato con un lobo estremamente stretto e quindi tutta la radiazione emessa o captata dall’antenna avviene attraverso un angolo solido estremamente piccolo. Pertanto punto per punto si scanziona il cielo. Si può ragionevolmente affermare che il diagramma di radiazione dell’antenna e quindi il suo guadagno rimane costante all’interno del piccolo angolo solido (qualche frazione di grado). e vale circa 0 all’esterno di questo angolo, ovvero tutta la potenza è confinata in ∆Ω. Come mostrato in figura

20

∆Ω ϑ0

φ0

figura 13 Detta Wr la potenza irradiata dall’antenna allora la densità di potenza corrispondente per unità di angolo solido è:

2max rWPr

=∆Ω

eq 27

la densità di potenza isotropica è invece:

24r

isoWP

rπ= eq 28

allora la direttività ovvero la densità di potenza irradiata rispetto alla isotropica vale:

max2 2

44

r r

iso

P W WDP r r

ππ

= = =∆Ω ∆Ω

eq 29

supponendo che non ci sono perdite allora la potenza ricevuta è pari a quella massima e pertanto si può porre la direttività uguale al guadagno D=G:

se = ovvero non ci sono perdite rr tot

tot

WG D D W WW

= = eq 30

ed inserendola nella

2

0 0

1 ( , ) G( , ) T( , )sin4

RA

WT dK f

π π


= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ ∫ ∫ eq 31

e supponendo la emissività α unitaria si ottiene 21

2

0 00 0

1 4 1 T( , )sin ( ,4AT d

π π π )d Tϑ φ ϑ ϑ φ ϑ φ

22

π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈

∆Ω∫ ∫ valida per angoli piccoli, fraz grado eq 32

che è la temperatura di cielo uguale alla temperatura di antenna. In questo modo si può fare una mappatura del cielo e quindi si può stabilire la temperatura di brillanza alle diverse frequenze, dello spazio circostante.

Rumore del sistema solare il Sole è di gran lunga la sorgente più intensa di rumore nello spettro delle radioonde vedi figura. La temperatura equivalente di rumore varia notevolmente in dipendenza del suo stato di attività che come è noto ha un periodo di 11 anni. Come riportato in figura

figura 14

nel diagramma di figura sono riportati, in funzione della frequenza, i valori massimi (massima attività del sole) e minimi (sole in quiete) della temperatura equivalente di rumore del disco solare. I valori usuali di temperatura sono normalmente vicini alla curva del minimo.

figura 15

Va sottolineato che i sistemi di telecomunicazione dotati di antenne ad elevato guadagno Vengono a trovarsi in condizioni critiche se il sole è compreso entro il lobo principale dell’antenna. Anche i pianeti del sistema solare e la Luna sono sorgenti di rumore sebbene di intensità trascurabili nella maggior parte dei casi. Diventano importanti solo per antenne ad elevato guadagno che, per la particolare missione da compiere, vengono puntate verso uno di tali copri celesti. Il rumore prodotto dalla luna varia nel tempo leggermente a seconda delle fasi lunari, Fenomeno analogo si ha anche per i pianeti. Nella tabella seguente sono riportati i valori medi della temperatura di rumore della Luna e dei pianeti principali. PIANETA FREQUENZA DI

MISURA TEMPERATURA DI RUMORE (K)

DENSITà DI FLUSSO (W/m2)

Venere 10 Km Hz 600 Marte 10 200 Giove 10 150 Luna 1-10 250 4.5⋅10-23

Per i pianeti non sono riportate le densità di flusso in quanto la loro distanza dalla Terra è notevolmente variabile.

23

Breve storia della radiazione cosmica di fondo Il secolo scorso è stato testimone della nascita di una nuova visione dell'Universo, grazie allo sviluppo tecnico e teorico delle varie branche dell'astronomia. Nei primi decenni del novecento si ebbe la definitiva certezza che l'Universo non finisse ai bordi della nostra Galassia: essa altro non era che una delle tante "isole" di stelle esistenti nello spazio cosmico. Grazie al lavoro che Edwin P. Hubble svolse a partire dal 1929, si scoprì che tutti gli oggetti extragalattici (vale a dire le galassie) presentavano un moto di allontanamento (o recessione) rispetto a noi, in qualunque direzione si osservasse: quanto maggiore era la distanza di una galassia dalla Via Lattea, tanto maggiore risultava la sua velocità di recessione, essendo quest'ultima direttamente proporzionale alla distanza della galassia, per mezzo di una costante Ho, chiamata successivamente costante di Hubble. La scoperta del moto di recessione, avvenuta osservando lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali delle galassie, poneva così una serie di nuovi interrogativi sulla geometria dell'Universo e sulla sua evoluzione. In definitiva, se gli oggetti extragalattici presentavano un moto di allontanamento reciproco, era logico supporre che l'Universo avesse avuto un'origine, sia nello spazio sia nel tempo. A conferma di ciò, negli anni quaranta, George Gamow e i suoi collaboratori, Ralph A. Alpher e Robert R. Herman, svilupparono una teoria sulla sintesi dei nuclei atomici (nucleosintesi primordiale) volta a spiegare l'origine della materia presente nell'Universo. I loro calcoli prendevano l'avvio da meno di un secondo dopo la nascita dell'Universo, avvenuta attraverso un'immane esplosione o Big Bang, quando l'Universo era ancora un "brodo" estremamente caldo e denso di protoni, neutroni, elettroni e altre particelle elementari. Il Big Bang costituiva l'atto di nascita non solo di tutta la materia e la radiazione osservabili, ma dello stesso tessuto spazio-temporale! La velocità di recessione delle galassie, scoperta da Edwin Hubble qualche anno prima, era la diretta conseguenza del moto di espansione generato dal Big Bang.

Lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali Per giustificare le abbondanze osservate degli elementi e le dimensioni tipiche delle strutture su larga scala dell'Universo, come gli ammassi di galassie, doveva essere esistita un'epoca in cui la radiazione (i fotoni) e la materia erano state fortemente "interagenti", in uno stato, definito dai fisici, di accoppiamento termico. Nei primi istanti dopo il Big Bang, la temperatura dell'Universo era stata talmente elevata da impedire la formazione di nuclei atomici stabili: i fotoni avevano un'energia media così alta da distruggere ogni possibile legame stabile fra le particelle. L'espansione dell'Universo, però, aveva portato via via a un graduale abbassamento della temperatura, fino al punto in cui l'energia dei fotoni non fu più tale da impedire la formazione di nuclei stabili, anche se era ancora sufficientemente elevata da ostacolare la formazione dei primi elementi, impedendo il legame fra gli elettroni e i protoni. Il graduale raffreddamento dell'Universo, fino a una temperatura inferiore ai 4000 gradi sopra lo zero assoluto, aveva segnato la transizione da un'era "dominata dalla radiazione", in cui la maggior parte dell'energia era sotto forma di radiazione, a un'era "dominata dalla materia", in cui la maggior parte dell'energia era, ed è tuttora, intrappolata nella massa. A questo punto l'accoppiamento termico si era rotto e le "storie" della radiazione e della materia avevano preso due vie distinte: in altre parole, radiazione e materia si erano disaccoppiate. L'Universo era diventato trasparente alla radiazione, cosicché i fotoni avevano iniziato a viaggiare indisturbati attraverso distanze sempre maggiori, mentre il processo di aggregazione della materia per collasso gravitazionale, non più ostacolato dall'effetto "viscoso" dovuto all'interazione con la radiazione, aveva portato pian piano alla formazione delle prime masse, e quindi delle prime stelle.

24

25

Come si poteva essere certi che tale "visione" non fosse dovuta a un'errata interpretazione di ciò che si stava osservando? Nel 1948 Ralph Alpher e Robert Herman, sulla base della teoria da loro sviluppata, previdero l'esistenza di un fondo di radiazione, risalente all'epoca del disaccoppiamento tra materia e radiazione. Secondo i loro calcoli, tale radiazione, ormai rarefatta e raffreddata a causa dell'espansione dell'Universo, aveva una temperatura non superiore ai 5 gradi Kelvin, e doveva essere, in qualche modo, osservabile ... Arriviamo al 1964, anno in cui, Arno Penzias e Robert Wilson, per conto del "Bell Telephone Laboratory", utilizzano un'antenna a corno del diametro di 6 metri, allo scopo di misurare l'intensità delle onde radio provenienti dalla Via Lattea. Tale tipo di misura risultò molto difficoltoso, in quanto il segnale si presentava come una sorta di rumore, simile a quello che ascoltiamo da una radio in presenza di scariche temporalesche. Era dunque necessario conoscere a fondo ogni sorgente di rumore aggiuntivo, come le interferenze dovute all'elettronica, all'atmosfera e quelle provenienti dalla stessa antenna, per tenerne successivamente conto. Nonostante fossero state individuate tutte le possibili sorgenti di rumore note, le misure presentavano ancora un "eccesso di rumore" non giustificabile, indipendente dalla direzione verso la quale veniva puntata l'antenna o dai cicli diurni e stagionali. Qualsiasi ulteriore accorgimento, in seguito adottato, non fu sufficiente a eliminare tale "eccesso", che corrispondeva a una temperatura equivalente d'antenna compresa fra i 2,5 e i 4,5 gradi al di sopra dello zero assoluto. Contemporaneamente un fisico sperimentale di Princeton, Robert H. Dickie, in virtù di quanto teorizzato da Gamow, stava organizzando in collaborazione con P.G. Rolle, D.T. Wilkinson e successivamente con P.J.E. Peebles, una campagna osservativa alla ricerca della radiazione "fossile" che doveva essere osservabile, se si considerava valida la teoria del Big Bang. I due gruppi di ricerca iniziarono a collaborare,comprendendo con sempre maggior chiarezza che "l'eccesso di rumore" osservato da Penzias e Wilson non solo era di origine extragalattica, ma era quasi certamente il residuo della "fase calda" dell'Universo, vale a dire la radiazione "fossile" cercata da Dickie. L'"eccesso di rumore" misurato da Penzias e Wilson, noto oggi con il nome di radiazione cosmica di fondo, costituisce una delle più importanti scoperte del secolo scorso, per la quale è stato conferito ai due ricercatori del "Bell Telephone Laboratory" il premio Nobel nel 1978.. Perché la radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background Radiation) è, dunque, così importante per la cosmologia? La scoperta della CMBR ha aperto una nuova serie di interrogativi circa la geometria e la formazione delle strutture su larga scala dell'Universo. Nel 1990, il satellite COBE (COsmic Background Explorer) della NASA ha confermato che la radiazione cosmica di fondo ha lo stesso profilo di intensità previsto dalle attuali teorie (incredibilmente in accordo con quello di un "corpo nero").

Scelta della frequenza di lavoro Se l’obiettivo è la trasmissione dalla Terra allo spazio, l’energia elettromagnetica che si vuole trasferire deve attraversare l’atmosfera, la ionosfera, ed eventualmente strati di nuvole.

• La ionosfera è opaca al di sotto della sua frequenza critica (legata alla concentrazione degli elettroni liberi) che è dell’ordine di qualche KHz.

• Le nuvole sono opache al di sopra dei 10-12 GHz • Infine l’atmosfera è trasparente al di sotto dei 20 GHz circa oltre che naturalmente

nella gamma del visibile. • Il diagramma di figura sotto illustra la situazione e mette in evidenza la banda di

frequenze sempre utilizzabili per le comunicazioni spaziali.

Banda sempre disponibile per TLC spaziali 30Mhz—10 Ghz

Ionosfera

Nuvole

Atmosfera

104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

Raggi X

Hz

Visibile

Onde radio Infrarosso Ultravioletto figura 16

Per ottimizzare la scelta della frequenza di lavoro nella banda 30Mhz—10GHz, occorre dare la preferenza alla gamma di frequenze entro la quale il rumore esterno è minimo, e dove contemporaneamente l’attenuazione è minima.

26

figura 17

La gamma risultante che è sempre funzione dell’angolo di elevazione dell’antenna è per un angolo di 30° compresa tra 800 MHz ed 10 GHz. Sopra i 10 GHz ci sono due punti intorno a 22 GHz e 55 GHz dove l’attenuazione atmosferica dovuta a risonanza delle molecole di H20 e O2 aumenta. Le Bande satellitari attualmente utilizzate sono le seguenti:

L BAND 1-2 GHZ MOBILE SERVICES S BAND 2.5-4 GHZ MOBILE SERVICES C BAND 3.7-8 GHZ FIXED SERVICES X BAND 7.25-12 GHZ MILITARY Ku BAND 12-18 GHZ FIXED SERVICES Ka BAND 18-30.4 GHZ FIXED SERVICES V BAND 37.5-50.2 GHZ FIXED SERVICES

27

Note sulla cifra di rumore

Introduzione Questo documento descrive le formule base relative alla cifra di rumore. Tutte le formule e i calcoli sono basati sull’assunzione che la sorgente e il carico di ogni dispositivo abbiano impedenze perfettamente adattate. Tutte le potenze sono intese come potenze disponibili grazie all’adattamento delle impedenze sulle porte dei dispositivi. Le temperature sono espresse in K (Kelvin). La relazione tra Kelvin e °C è: K = °C + 273. eq 33 Molte formule fanno riferimento alla temperatura di riferimento che è uguale che è 300 K corrispondente a +27 °.

Reminder La potenza disponibile N (Watt) ai terminali di un resistore a temperatura T (k) e data da:

kTBBkTBWN === 22

22

)( η eq 34

dove:

22kT

=η è la bilateral noise spectral power density (W/Hz),

231038.1 −⋅=k è la costante di Boltzmann ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

KJ

KSW

HzKW

T è la temperatura di rumore (k)

B è la larghezza di banda monolaterale espressa in Hz. Il termine kTo è spesso espresso in dBm/Hz, ed è dato da:

( )[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

W3

Hz/W010

mW

Hz/mW010Hz/dBm0 10

kTlog10

1kT

log10kT eq 35

[ ][ ] [ ][ ]

[ ]Hz/dBm174

110003001038.1

log10W

K)HzK/(W23

10 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅= ⋅

−

28

Definizione di Temperatura equivalente di Rumore Si consideri un dispositivo le cui porte di ingresso e uscita siano connesse con carichi adattati, come mostrato in figura Poniamo che G sia il guadagno in potenza; Si, Ni la potenza di segnale e di rumore presenti in ingresso al dispositivo e So e No sono le potenze di segnale e di rumore in uscita al dispositivo

Impedance matched load

Si Ni Impedance matched

G So No

figura 18

Il dispositivo amplificherà la potenza di segnale e quella di rumore presenti in ingresso dello stesso fattore G, ma aggiungerà in uscita anche la potenza di rumore generata internamente. Così si ha:

io SGS = (W)

( ) NBkTGNNGN iio ∆+=∆+= (W) eq 36

E’ consuetudine rappresentare il comportamento delle sorgenti di rumore utilizzando un modello basato su quello del rumore termico. La temperatura di rumore di una sorgente corrisponde allora alla temperatura termodinamica di una resistenza che renda disponibile la stessa potenza di rumore della sorgente in questione. La Temperatura Equivalente Te è definita come la temperatura di rumore addizionale che dovrebbe produrre la stessa potenza di rumore presente all’uscita del dispositivo reale quando viene posta in ingresso ad un dispositivo identico ma ideale dal punto di vista del rumore. Si può pensare di riportare il ∆N in ingresso dividendolo per il guadagno G, ottenendo in definitiva un ulteriore ingresso al dispositivo per la potenza di rumore, quest’ultima pari a ∆N/G è quindi uguale a KTeB. La situazione è mostrata in figura

Real (noisy) Impedance

matched load Si NiImpedance

matched source G So No

No= (kTiB)G + ∆N Ni= kTiB Ideal (not noisy) Impedance

matched load S, NiImpedance

matched source G So No

No= [(Ti+Te)B]G Ni= kTiB+KTeB

figura 19

29

Dalle due espressioni di No abbiamo ( ) ( )[ ] ( ) ⇒=∆⇒+=∆+ GBkTNGBTTkNGBkT eeii

GNBkTe

∆=⇒ eq 37

kGBNTe

∆= eq 38

( ) ( )BGTTkGBkTBkTBGkTGNN eieiei +=+=+=0 eq 39

Le espressioni viste per Te sono poco usate, esse sono utili per comprendere il significato fisico della temperatura equivalente Te. Notare che Te non dipende da Ti, in quanto è un parametro caratteristico del dispositivo.

Equivalent Input Noise (EIN ) o equivalente di rumore in ingresso L’ Equivalent Input Noise (EIN) di un dispositivo è definito come segue

( BTTkEIN ei += ) (W) eq 40

Da questa equazione si ricava che la potenza di rumore disponibile per ogni dispositivo può essere espressa come:

( ) GEINBGTTkN eio ⋅=+= (W) eq 41

30

Definizione di Cifra di Rumore La cifra di rumore può essere definita come il rapporto tra SNR (Signal-to-Noise-Ratio) di ingresso e SNR di uscita del dispositivo. Poiché questo rapporto dipende dal rumore in ingresso al dispositivo (in quanto funzione dalla temperatura di rumore Ti di riferimento), al fine di evitare ambiguità, la Cifra di Rumore è riferita alla situazione in cui la temperatura di riferimento è Ti=T0 (=300 k, circa 27 °C). La cifra di rumore è allora definita come:

( )( )

0TTo

i

iNSNS

F=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= eq 42

Da questa equazione possiamo derivare la relazione tra F e Te :

( )( ) o

e

TTi

e

TTi

ei

TTei

i

i

i

TTo

i

TT

TT

TTT

BGTTkGSBkT

S

NSNS

Foioi

oi

i

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

=

=

11

)(0

0

1TT

F e+= eq 43

equivalentemente

( 10 −= FTTe ) eq 44

( ) ( )[ ] [ ] BFkTBTTFTkBTFTkBTTkEIN e 0000000 1 =+−=+−=+= eq 45

In alcuni casi la cifra di rumore può trovarsi espressa in funzione del rapporto tra il rumore in uscita del dispositivo reale e quello in uscita del dispositivo ideale alla temperatura di riferimento :

0device noisy) (not

device (noisy) real

TTidealo

o

iN

NF

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= eq 46

31

( ) ( )

[ ]BkTNTT

TTT

BkT

BkTBTTk

BGkTBGTTk

NN

F

oee

TT

i

TTi

ei

TTi

ei

TTo

o

i

iii

0device noisy) (not 00

0

device noisy) (not

device (noisy)

dove 1ingressoall' riportata uscitain rumore potenza

0

000

=+=+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

=

===

ideal

ideal

real

eq 47

da cui segue che la potenza equivalente di rumore del dispositivo ( cioè la potenza di rumore di uscita riportata all’ingresso di un dispositivo ideale che produce in uscita la stessa potenza di rumore del dispositivo reale) è semplicemente data dal prodotto tra:

BKTFNFN 000 ⋅=⋅= idealreal eq 48

La Cifra di rumore che si misura in dB viene correntemente utilizzata nel progetto di ponti radio, viceversa la Temperatura di Rumore, che fornisce una descrizione più fine su scala lineare, viene usata più diffusamente nell’ambito dei sistemi

Cifra di rumore di una cascata di dispositivi Consideriamo una cascata di dispositivi come mostrato in figura

G2, F2

Impedance matched

load

S0 NoSi NiImpedance

matched source

G1, F1

G , F

figura 20

( )( )

( ) ( )[ ]=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

===

=

oioioi

i

TTeei

i

i

i

TTe

i

i

i

TT

i

i

i

TTo

i

GBkTBGTTkGGSBkT

S

GBkTGEINGGSBkT

S

GEINGGSBkT

S

NSNS

F

2211

21

2211

21

22

210

( )=+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

= 10

2

0

10

1

211

GTT

TTT

GTTGTT ee

TTi

eei

oi

32

( ) ( )1

21

10

20

0

100 111G

FFGT

FTT

FTT −+=

−+

−+= eq 49

Più genericamente per una cascata di N dispositivi si ha:

12121

3

1

21

111

−

−++

−+

−+=

N

N

GGGF

GGF

GF

FFL

L eq 50

Oppure dal rapporto delle potenze di rumore si ottiene:

[ ] ( )1

00

1 2 21 1 2 22 2

1 2 1 2 1 2i

i

i e eeREALE

IDEALE i i iT TT T

KT B KT B G KT B GEIN G KT B GN EIN GFN KT BG G KT BG G KT BG G

==

⎧ ⎫⎡ ⎤+ +⎧ ⎫+ ⎪ ⎪⎣ ⎦= = = =⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎬

( )

( )( ) ( )

( )

0

0

1 1 1 2 2

1 2

0 1 1 0 2 2

1 2

21

1

1 1

cioè ancora1

i

i

i eREALE

IDEALE i T T

i

iT T

KT B KTe B G KT B GNFN KT BG G

KT B KT F B G KT F B G

KT BG G

FF F

G

=

=

⎧ ⎫⎡ ⎤+ +⎪ ⎪⎣ ⎦= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤+ − + −⎪ ⎪⎣ ⎦= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

−= +

=

eq 51

EIN di un dispositivo con una temperatura d’ingresso T0 Si consideri un dispositivo con una temperatura d’ingresso Ti=To, come mostrato in figura

Impedance matched load

Ti =To

Impedance matched source G, F

So No

figura 21

Si ha:

( ) ( ) ( )[ ] BFkTBFTTkBTTkBTTkEIN eei 0000 1 =−+=+=+= eq 52

33

Cifra di rumore di un attenuatore a temperatura T0 Si consideri un attenuatore a temperatura fisica T0, con sorgente a temperatura T0, sorgente e carico sono con impedenze adattate al dispositivo come mostrato in Errore. L'origine riferimento non è stata trovata..

34

figura 22

T=T0

G=1/A

AttenuatorNi No Impedance

matched loadT=T0

Guardando dalla sua porta di uscita l’attenuatore è un resistore posto a temperatura To, in tal modo la potenza di rumore in uscita è legata alla larghezza di banda B dalla relazione:

BkTNo 0= eq 53

La cifra di rumore di un attenuatore è allora data da:

( )( ) A

BkTA

S

BkTS

NSNS

Fi

i

TTo

i

i

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

0

0

10

eq 54

AF = eq 55 Ovvero è pari all’attenuazione A

Modello fisico di un attenuatore La potenza di rumore disponibile in uscita da un attenuatore a temperatura fisica T0 è funzione della potenza di rumore disponibile in ingresso tramite l’equazione:

( ) ( )[ ] ( )[ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−+=

−+=

−+=+=

A11BkT

ABkT

BA

1AkTA

BkTA

B1ATTkA

B1FTTkA1BTTkN 0

i0

i0i0ieio

eq 56

( ) BA

TATk

ABTTkN i

eio ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+=

1110

In questo modo l’attenuatore può essere modellato secondo lo schema seguente di figura dove gli elementi con doppio bordino sono ideali cioè esenti da rumore.

AG 1

=

AG 11−=

T=To

Attenuatore a T = T0

figura 23

35

Cifra di rumore di un dispositivo preceduto da un attenuatore Si consideri la situazione mostrata in figura.

G2, F2Impedance

matched load

So,No Si, NiImpedance matched

source

T=T

Attenuator

G1=1/A, F1=A

G, F

figura 24

( ) 222

1

21 1

111

AFFAA

A

FA

GF

FF =−+=−

+=−

+= eq 57

In questo caso se la cifra di rumore del ricevitore è Freceiver e, la cifra di rumore della linea in feeder è Ffeederline allora supposto che tutto sia a temperatura fisica T0 si ottiene che la cifra di rumore della cascata è il prodotto delle due cifre di rumore cioè Freceiver + feed line

receiverfeedlinefeedreceiver FLF =+ eq 58

dove Lfeed è la perdita o cifra di rumore della linea (o fattore di attenuazione su scala lineare).

36

Cifra di Rumore di un Power Splitter Si consideri un n-way power splitter, come mostrato in figura, dove i resistori disegnati sono di adattamento del carico.

T = To

So,

Si, n-way Power

G, F

figura 25

Assumiamo che il power splitter sia a temperatura fisica To. Poiché lo splitter è un dispositivo passivo se si connette un resistore adattato, avente temperatura T=T0 alla sua porta di ingresso e si osserva l’uscita si vede ancora solo un resistore a temperatura T=T0 allora la potenza di rumore disponibile alle porte di uscita è:

[ ] BkTN TTo i 00== eq 59

ne consegue che ,

( )( ) n

BkTn

S

BkTS

NSNS

Fi

i

TTo

i

i

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

0

0

10

eq 60

Allora un n-way power splitter a temperatura T = To è un dispositivo con guadagno G=1/n e cifra di rumore F=n. Confrontando questi risultati con quelli ottenuti per un attenuatore a temperatura T0 si conclude che un n-way power splitter a T=To è equivalente ad un attenuatore alla medesima temperatura.

37

Cifra di rumore di un input RF MULTICOUPLER per una Stazione radio base (SRB) per telefonia mobile È composto dalla cascata di un LNA ( Low Noise Amplifier) e di un Power Splitter come mostrato in figura, dove come al solito i resitori rappresentano carichi adattati. In questo esempio il guadagno dell’ LNA è posto in maniera da compensare la perdita del Power Splitter nel caso ideale.

Reciever MULTICOUPLER

2 disp

G2=1/n

F2=n

G1=n

1 disp

G1, F1

LNA

G2, F2

T = To

So,

Si, n-way Power

G, F figura 26

La cifra di rumore del Multicoupler è data da:

nF

nnF

GFFF 1111

111

21 −+=

−+=

−+= eq 61

38

Sistema Ricevente PREAMPLIFICAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA Il ricevitore a supereterodina è il più usato nelle stazioni di terra, sebbene sia per qualche verso più complicato di altri è in generale, capace di fornire più grande sensibilità selettiva.

39

figura 27

Il principio base è la conversione del segnale RF in una frequenza intermedia ottenuta dal battimento tra il segnale RF e l’uscita dell’oscillatore locale, la cui frequenza differisce da quella RF per una quantità uguale alla frequenza intermedia desiderata. Sintonizzare il ricevitore consiste nel sintonizzare contemporaneamente l’oscillatore locale, il mixer e l’amplificatore RF così che la frequenza intermedia rimane costante. Il vantaggio principale di un ricevitore a supereterodina è che la maggior parte dell’amplificazione del segnale può essere realizzata negli stadi di amplificazione a frequenza intermedia (IF) I quali non devono essere accordati di volta in volta e che usualmente operano a frequenze notevolmente più basse della RF. Questo porta ad una sensibilità e selettività quasi indipendenti dalla frequenza del segnale RF. Inoltre il guadagno dei singoli stadi IF è realizzabile a valori più elevati che non alle frequenze radio, a causa delle minori perdite capacitive, resistite, etc. Il miglioramento della cifra di rumore complessiva di un ricevitore a supereterodina con l’aggiunta di un amplificatore RF a monte del mixer può essere determinata dalla seguente equazione:

RF

mixRFtot G

FFF 1−+= eq 62

Per un buon valore del guadagno GRF dell’amplificatore RF la cifra di rumore totale Ftot, coincide in sostanza con la cifra di rumore dell’amplificatore RF subito a monte del ricevitore. Se l’amplificatore RF non ci fosse la Ftot sarebbe più alta perché Fmixer è in genere più alta di quella dell’amplificatore (in genere a bassa cifra di rumore) FRF.

RF Amplifier FRF GRF

Mixer FMix

Local Osclillator

Intermediate Freq. Amplifier

Demod.

Amplif. Filtro

fRF fIF

fOL

fOL= fRF – fIF Output

Quindi un primo criterio di progetto di un amplificatore è che la sua cifra di rumore FRF sia molto più bassa di quella del primo stadio di conversione di frequenza Fmix. Pertanto non considerando per il momento i problemi dovuti alla distorsione da non linearità e saturazione del amplificatore, poiché il livello di rumore del mixer è proporzionale a Fmix, il più basso livello di rumore totale o la migliore sensibilità si ottiene con il più alto guadagno del preamplificatore. C’è da aggiungere, però, che l’uso di un qualsiasi preamplificatore comporta una riduzione della portata dinamica dell’ingresso del mixer. In ogni caso, secondo l’eq. Ftot, la diminuzione del livello di rumore non è proporzionale a GRF. Allora deve esistere un valore ottimo del guadagno GRF, per il quale l’incremento in sensibilità sia consistente senza che la perdita della dinamica d’ingresso sia apprezzabile. Con l’intento di determinare il guadagno ottimo si deve calcolare il rapporto tra il livello di rumore (potenza di rumore) equivalente d’ingresso del solo mixer e quello equivalente di ingresso del sistema preamplificatore+mixer questo rapporto R1 (GRF) vale: da BKTFNFN 00 ⋅=⋅= sostituendo si vede che R1 è pari al rapporto tra la cifra di rumore del mixer e quella di tutta la catena di ricezione cioè mixer + preamplificatore. Più tale rapporto è alto più la cifra di rumore complessiva è piccola rispetto a quella del mixer segue che la sensibilità del sistema ricevente aumenta con l’aumentare di R1:

11)(0

0

0

01 −+⋅

⋅=

−+

==⋅⋅

=⋅⋅

==mixRFRF

RFmix

RF

mixRF

mix

tot

mix

tot

mix

tot

mix

tot

mixRF FGF

GF

GFF

FFF

NFNF

BKTFBKTF

NNGR eq 63

)1101010log(10)()(

)1log(10)log(10))((

10)(

10)(

10)(

1

−+⋅−+=

=−+⋅−⋅=dBFdBGdBF

RFmix

mixRFRFRFmixRF

mixRFRF

dBGdBF

FGFGFdbGR eq 64

FRF, GRF

RF Amplifier

Mixer

Local Osclillator

Intermediate Freq. Amplifier

Demod.

Amplif. Filtro

R1= Fmix / Ftot

Ftot

Fmix

fOL= fRF – fIF

fOL

fIF

Output

figura 28

40

la figura sotto riporta un grafico di R1(GRF) che è la sensibilità del ricevitore, dove come parametri sono stati posti FRF=5 dB e Fmix=20 dB

Sensibilità del mixer in funzione del guadagno dell'amplificatore RF a bassa cifra di rumorecon Frf=5 dB e Fmix=20 dB

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Gudagno Grf(dB)

R1(

Grf

) dB

RF Amplifier

Mixer

Local Osclillator

Intermediate Freq.

Demod.

Amplif. FiltroOutput

)1101010log(10)()(

)1log(10)log(10))((

10)(

10)(

10)(

1

−+⋅−+=

=−+⋅−⋅=dBFdBGdBF

RFmix

mixRFRFRFmixRF

mixRFRF

dBGdBF

FGFGFdbGR

Ftot fIF

fOL

fOL= fRF – fIF

Fmix

R1= Fmix / Ftot

figura 29

click sul file per aprire excel

E:\documenti per corsi\ELETTRONICA T

la figura mostra la funzione R1(GRF), che può essere considerata un parametro del miglioramento del livello rumore ( più il rapporto è elevato più la cifra di rumore del sistema completo cioè al connettore di antenna è bassa e quindi la sensibilità del ricevitore aumenta). La curva indica che guadagni GRF(dB) più alti di 15 dB non fanno aumentare significativamente la sensibilità. Un’altra funzione d’interesse è il rapporto R2(GRF) tra il contrasto di ingresso del mixer (relativo al solo rumore equivalente introdotto dal mixer stesso), e il contrasto di ingresso del mixer visto come parte del sistema preamplificatore + mixer (relativo al rumore complessivo della catena di ricezione composta da preamplificatore + mixer) . Questo rapporto rappresenta la potata dinamica disponibile in funzione del guadagno dell’amplificatore RF. Il contrasto d’ingresso del mixer, ovvero il suo “range” dinamico, è il rapporto della potenza del segnale d’ingresso Ps e quella del rumore equivalente d’ingresso, cioè

0mix I NF

PsCmix ⋅

= eq 65

dove FmixN0 è la potenza di rumore equivalente, cioè quella riportata all’ingresso del mixer. Il contrasto d’ingresso del sistema preamplificatore + mixer è dato dal rapporto:

41

0

mix I 1''

NG

FF

PsC

RF

mixRF ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

= eq 66

Il contrasto d’ingresso del mixer come parte del sistema preamplificatore + mixer si trova moltiplicando il denominatore per il guadagno dell’amplificatore GRF:

RFRF

mixRF GN

GFF

PsC⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

=

0

mix I1

' eq 67

dove la quantità RFRF

mixRF GN

GFF ⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+ 0

1 è la potenza di rumore equivalente

all’ingresso del mixer.

Allora il rapporto R2(GRF) è in definitiva il rapporto tra il rumore complessivo introdotto della catena di ricezione come funzione del guadagno GRF, ed il rumore prodotto dal mixer soltanto:

[ ]11

1')(

0

0

mix I

mix I2 −+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

=

⋅

⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

==mixRFRF

mix

RFRF

mixRF

mix

mix

RFRF

mixRF

RF FFGF

GG

FF

F

NFPs

GNG

FF

Ps

CCGR eq 68

in dB si ha:

[ ] ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

=−+−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=

110101010)(

110101

10))((

10)(

10)(

10)(

2

dBFdBFdBG

mix

mixRFRFmixmixRFRF

mixRF

mixRFRF

LogdBF

FFGLogFLogFFG

FLogdBGR

eq 69

La curva riportata sotto indica chiaramente che per guadagni GRF<15 dB, la degradazione della portata dinamica del mixer si riduce di un entità non trascurabile ma comunque modesta, viceversa aumentando ancora il guadagno GRF la potenza di rumore in ingresso al mixer diviene eccessiva e la portata dinamica si riduce molto. Se il guadagno GRF>15 dB, la degradazione aumenta molto rapidamente.

42

Degradazione della Portata dinamica del Mixer

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

G(rf)

R2(dB)

[ ] ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

=−+−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=

110101010)(

110101

10))((

10)(

10)(

10)(

2

dBFdBFdBG

mix

mixRFRFmixmixRFRF

mixRF

mixRFRF

LogdBF

FFGLogFLogFFG

FLogdBGR

figura 30

Nella figura sotto sono riportate insieme le due curve:

Valori di R1(Grf) ed R2(Grf)

-40.00

-30.00

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Grf

R1(db) R2(dB)

figura 31

43

44

Il prodotto delle due funzioni R1(GRF) ed R2(GRF), viene definito come funzione di merito del preamplificatore ed è indicato con R(GRF). In definitiva R(GRF) è il rapporto tra l’aumento di sensibilità complessiva del ricevitore e la diminuzione della portata dinamica ovvero la riduzione del contrasto d’ingresso, in funzione del guadagno GRF.

( ) RFmixRFRF

mix

mixRFRF

mix

mixRFRF

RFmixRF G

FGFF

FGFF

FGFGFGR 2

2

111)(

−+⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅

⋅= eq 70

)()())(( 21 dBRdBRdBGR RF += eq 71

Dall’andamento riportato in figura sotto risulta evidente che la funzione di merito R(GRF), aumenta per guadagni bassi indicando che la sensibilità aumenta senza sacrificare il “range” dinamico cioè senza che il contrasto diminuisca troppo. Continuando ad aumentare il guadagno GRF la funzione di merito diminuisce. Questa diminuzione indica che la sensibilità migliora solo di poco ma è associata ad una eccessiva riduzione del contrasto d’ingresso. La figura sotto mostra l’andamento del fattore di merito R(GRF).

Valori del fattore di merito R(Grf) del pr R1(Grf) di se R2(Grf) di eamplificatore, nsibilità edegradazione del contrasto del mixer

-40.00

-30.00

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

0 5 10 20 25 30 35 40 45 50

Grf

R1(db) R2(dB) R(dB)

)()())(( 21 dBRdBRdBGR RF +=

15

Area del guadagno GRF con picco massimo del fattore di merito R(GRF)

figura 32

Il valore ottimo di GRF=GOTT, può essere calcolato eseguendo la derivata di R(GRF) e ponendola uguale a zero al fine di calcolare il valore che massimizza la funzione R(GRF).

Usando la relazione lineare si ha:

( ) ( )[ ]( )4

222

1121

−+⋅⋅⋅−+⋅−⋅−+⋅

=mixRFRF

RFmixRFmixRFRFmixmixRFRF

RF FGFGFFFGFFFGF

dGdR

eq 72

dal momento che 1<FRF <∞ e 1<GRF <∞ allora il denominatore è sempre diverso da 0 e ∞.

Segue che 0=RFdG

dR comporta che: GRF=GOTT è uguale al numeratore posto uguale

a zero: :

( ) ( ) 0121 222 =⋅⋅−+⋅−⋅−+⋅ OTTmixRFmixOTTRFmixmixOTTRF GFFFGFFFGF eq 73

dividendo tutto per (Fmix)2 (ciò è possibile essendo esso sempre > 0) si ottiene:

( ) ( ) 0121 2 =⋅−+⋅−−+⋅ OTTRFmixOTTRFmixOTTRF GFFGFFGF eq 74

chiamando

( xFGF mixOTTRF =−+⋅ 1) eq 75

( )

20

2 22

2 22

02

2

2

OTTRF

OTTRFOTTRFOTTRFOTTRF

OTTRF

GFGFGFGFGF

x

GxFx

⋅=

⋅±⋅=

⋅±⋅=

⇒=⋅− eq 76

ovvero:

1

01- 1

21 e 01

RF

mixOTT

mixOTTRFRF

mixOTT

OTTRFmixOTTRFmixOTTRF

FFG

FGFF

FG

GFFGFFGF

−=

=−+⋅−

=

⇓⇓

⋅=−+⋅=−+⋅

eq 77

Con questo valore del guadagno del preamplificatore, il rumore totale equivalente

all’ingresso del sistema preamplificatore + mixer, per l’eq RF

mixRFtot G

FFF 1−+= diventa:

45

RFRFmix

mixRFtot FF

FFFF 2

11

=−−

+= eq 78

Questa mostra che la cifra di rumore totale del sistema preamplificatore+mixer, corrispondente al valore ottimo del guadagno GRF=GOTT, è 3 dB più alta della cifra di rumore del solo preamplificatore che è in generale sempre minore della Fmix, quindi conviene in generale utilizzare un preamplificatore a bassa cifra di rumore. L’altro valore di GRF=GOTT condurrebbe ad una Ftot=0 che non è possibile fisicamente. La diminuzione del “range” dinamico associata a questa scelta di GRF si può calcolare partendo da R2(Gott):

[ ] [ ] 1 se 21

12111

)(2 >>≈−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=

−+= mix

mix

mix

mixRFRF

mix

mix

mixRFott

mixott F

FF

FFF

FF

FFGFGR eq 79

Ovvero il contrasto d’ingresso (o il suo range dinamico ) del mixer diminuisce di 3 dB. In conclusione, quando si usa un preamplificatore a monte di un mixer, il suo guadagno ottimo farà diminuire il contrasto d’ingresso di soli 3 dB, ma farà aumentare la sensibilità della differenza in termini di cifra di rumore tra il mixer (Fmix) e il preamplificatore (FRF) meno 3dB:

RF

mix

mixRF

mixRF

RF

mixmix

mixOTTRF

OTTmixRF F

F

FF

FF

FFF

FGFGFGR

211

1

1)(1 =

−+−

⋅

−⋅

=−+⋅

⋅= eq 80

in dB si ha:

dBdBFdBFdBGR RFmixRF 3)()())((1 −−= eq 81

con i dati utilizzati: FRF=5dB e Fmix=20 dB si ha: un aumento di sensibilità pari a :

• dBdBdBFdBFdBGR RFmixOTT 1235203)()())((1 =−−=−−= eq 82

per un guadagno ottimo del preamplificatore pari a

46

• dBLogF

FLogdBG dBF

dBF

RF

mixOTT RF

mix

1510

110 10 1 10)(10

)(

10)(

≅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= eq 83

la riduzione della dinamica d’ingresso è circa 3 dB. La figura di merito complessiva in corrispondenza di Gott diviene:

( )( )

( )( )

( ) 114

114

1

111)(

2

2

2

2

2

2

2

RFmix

mix

RF

mix

mix

mix

RF

mix

mixRF

mixRF

mixOTT

mixOTTRF

mixRF

FFF

FF

FF

FF

FF

FF

FGFGF

FGR

−=

−−

=

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−⋅

=−+⋅

=

eq 84

47

Non Linearità in ampiezza

Nell’ambito della non linearità di ampiezza si usa distinguere due contributi:

• Secondo ordine • Terzo ordine.

Ci si riferisce allo sviluppo in serie di potenze nell’intorno del punto di polarizzazione, il contributo del secondo ordine deriva da un termine di distorsione non lineare quadratico; quello del terzo ordine da un termine di distorsione non lineare cubico. Solitamente si valuta il disturbo di non linearità nella parte di spettro che coincide con quella del segnale utile, le componenti spettrali generate per non linearità che cadono fuori di tale banda possono essere facilmente eliminate mediante filtri. Dinamica e linearità non sono indipendenti in quanto intervengono i prodotti di intermodulazione. Facendo considerazioni di tipo deterministico ipotizziamo una caratteristica del tipo Y=G(X) in cui X è l’ingresso ed Y l’uscita del sistema. Lo sviluppo in serie di potenze nell’intorno di un certo punto di polarizzazione può scriversi come:

.................xaxaxaaY 33

2210 ++++≡

• a0 è una componente continua indipendente dal segnale X(t) quest’ultimo si

ipotizza a valore medio nullo, e quindi con spettro che non comprende la componente continua che pertanto può essere eliminata con un filtro passa alto;

• a1 pesa il segnale utile e quindi è bene che risulti il più grande possibile; • a2 e a3 pesano rispettivamente il disturbo del secondo ordine e quello del terzo

ordine e, chiaramente dovrebbero essere più piccole possibile. Se il segnale di ingresso è:

( ) ( )tcosBtcosA)t(x ba ωω +≡

allora se con lo sviluppo in serie di potenze, ci si ferma ai contributi del 3° ordine all’uscita si ha:

48

49

)

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]tcosBtcosA3tcosBtcosA3tcosBtcosAa

tcostcosAB2tcosBtcosAa

tcosBtcosAaaty

b22

aba22

b33

a33

3

bab22

a22

2

ba10

ωωωωωω

ωωωω

ωω

++++

++++

+++≡

ricordando la formula seguente: ( ) ( ) b)] - cos(a b) [cos(a 21bcos a cos ++≡

si ottiene:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]tcosBtcosA3tcosBtcosA3tcosBtcosAa

tcosABtcosABtcosBtcosAa

tcosBtcosAaaty

b22

aba22

b33

a33

3

babab22

a22

2

ba10

ωωωωωω

ωωωωωω

)

ωω

++++

+−+++++

+++≡

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+++

+−+++++

+++≡

tcosBtcosA3tcosBtcosA3

tcostcosBtcostcosAa

tcosABtcosABtcostcosBtcostcosAa

tcosBtcosAaaty

b22

aba22

b2

b3

a2

a3

3

bababb2

aa2

2

ba10

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωωω

ωω

riapplicando le sostituzioni si ha:

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++≡

tacos21

2

tb2cos2AB3tbcos21

2ta2cos

B2A3

21

2

tb2costbcos3B

21

2ta2cos

tacos3A

3a

tbacosABtbacosAB21

2

tb2cos2B21

2ta2cos2A2a

tbcosBtacosA1a0a)t(y

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωωωω

ωω

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

≡

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

++++

+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++++++

+++≡

2

tb2costacostacos

212AB3

2

ta2costbcostbcos

21B2A3

2

tb2costbcos3Btbcos3B21

2ta2costacos3Atacos3A

21

3a

tbacosABtbacosAB22B

22A

2

tb2cos2B2

ta2cos2A2a


ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωωωωω

ωω

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++++++

+++≡

tb2acos21tb2acos2

121tacos2

12AB3

ta2bcos21ta2bcos2

121tbcos2

1B2A3

tb2bcos21tb2bcos2

13B21tbcos3B2

1

ta2acos21ta2acos2

13A21tacos3A2

1

3a

tbacosABtbacosAB22B

22A

2

tb2cos2B2

ta2cos2A2a


ωωωωω

ωωωωω

ωωωωω

ωωωωω

ωωωωωω

ωω

50

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

≡

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

++++++

+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++++++

+++≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tb2acos41tb2acos4

1tacos212AB3

ta2bcos41ta2bcos4

1tbcos21B2A3

tbcos3B41tb3cos3B4

1tbcos3B21tacos3A4

1ta3cos3A41tacos3A2

1

3a

tbacosABtbacosAB22B

22A

2

tb2cos2B2

ta2cos2A2a


ωωωωω

ωωωωω

ωωωωωω

ωωωωωω

ωω

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

≡

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

+++

+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++++

+++≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tb2acos41tb2acos4

1tacos212AB3

ta2bcos41ta2bcos4

1tbcos21B2A3

tb3cos3B41ta3cos3A4

1tbcos3B43tacos3A4

3

3a

tbacosABtbacosAB2

2B2

2A2

tb2cos2B2

ta2cos2A2a


ωωωωω

ωωωωω

ωωωω

ωωωωωω

ωω

In particolare:

• il termine lineare in a1 costituisce effettivamente l’ingresso amplificato linearmente. • Il termine di secondo ordine moltiplica a2, e compare con (ωa+ωb) e (ωa-ωb), 2ωa

e 2ωb si noti inoltre che all’interno compare un termine costante: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

2

2B2

2A che

rappresenta una tensione continua che può essere facilmente filtrata. • Il termine del terzo ordine moltiplica a3 e compare con (ωa+2ωb), (ωa-2ωb),

(2ωa+ωb), (2ωa-ωb), 3ωa , 3ωb Si possono prendere in esame situazioni con tre funzioni di ingresso, in ogni caso aumentando il numero di ingressi si avrebbero nuove pulsazioni ma non nuove tipologie di combinazioni in frequenza. In particolare senza perdere di generalità al fine di facilitare i calcoli, assumendo che le ampiezze dei segnali siano uguali

51

A = B

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

≡

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++

++++

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+++++

+++≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tb2acos41tb2acos4

1tacos213

ta2bcos41ta2bcos4

1tbcos213

tb3cos41ta3cos4

1tbcos43tacos4

3

3A3a

1tbacostbacos2

tb2cos

2

ta2cos2A2a

tbcostacosA1a0a)t(y

ωωωωω

ωωωωω

ωωωω

ωωωωωω

ωω

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+++

+−+++

++++

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+++++

+++≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tb2acos43tb2acos4

3

ta2bcos43ta2bcos4

3

tb3cos41ta3cos4

1tbcos49tacos4

9

3A3a

1tbacostbacos2

tb2cos

2

ta2cos2A2a

tbcostacosA1a0a)t(y

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωωωω

ωω

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++−+++

+++−+++

++++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +≡

tb2acostb2acosta2bcosta2bcosAa43

tb3costa3cosAa41tbacostbacos2A2a

tb2costa2cosAa21tbcostacos3A3a

49A1a2A2a0a)t(y

33

33

22

ωωωωωωωω

ωωωωωω

ωωωω

rinominando le ampiezze come sotto

52

( )

( )( )

22

33

1

20 0 2

9 31 1 34

12 2

13 4

:

91 1 3

20 0 2

K a a A

K a A a A

K a A

K a A

conseguentemente

K a A K a

K a K

= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

= + ≈

= +

A

si può scrivere:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++−+++

+−+++

+++++⋅+≡

tb2acostb2acosta2bcosta2bcos3K3

tbacostbacos2K2

tb3costa3cos3Ktb2costa2cos2Ktbcostacos1K0K)t(y

ωωωωωωωω

ωωωω

ωωωωωω

Riguardo a:

• K0 vale quanto detto a proposito di a0 si tratta cioè di un disturbo eliminabile;

• K1 in cui il primo termine è dominante per cui K1≈a1A rappresenta l’ampiezza del segnale utile;

• K2 costituisce le ampiezze dei disturbi del secondo ordine;

• K3 costituisce le ampiezze dei disturbi del terzo ordine; Consideriamo i rapporti tra le potenze dei disturbi e le potenze del segnale utile che essendo moltiplicate per a1 devono essere considerate all’uscita:

53

( )

( )

22

2 2 222 2

2 22 21 11

23

2 2343 3

3 22 21 11

1124

114

16

a AK aD AK aa A

a AK aD AK aa A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≡ ≡ ≡

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≡ ≡ ≡

Il fatto che si tratti di disturbi dipendenti da A conferma che questo è un disturbo dipendente dal segnale utile, conviene tuttavia normalizzare questi rapporti in modo da renderli indipendenti da A. Se poniamo che l’ampiezza del segnale utile in uscita è:

1

1

aYA

alloraAaY

=

=

allora le equazioni precedenti possono riscriversi come:

461

23

2

11

2

31

3

3

21

23

3

241

22

2

11

2

21

2

2

21

22

2

Yaa

161

aYa

aYa

41

KKD

Yaa

41

aYa

aYa

21

KKD

≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≡≡

≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≡≡

trattandosi di un segnale sinusoidale, la potenza media in uscita si calcolerà come:

54

y2

2y

P2Y

Y21P

≡

≡

ementeconseguent

sostituendo si ottengono allora una potenza Pn2 del disturbo di secondo ordine e una potenza Pn3 del disturbo di terzo ordine che ricordando le definizioni dei due rapporti sopra calcolati, risultano rispettivamente:

( ) 2y6

1

232

y61

23

2

11

2

31

3

3

21

23

3

y41

22

y41

22

2

11

2

21

2

2

21

22

2

Paa

41P2

aa

161

aYa

aYa

41

KKD

Paa

21P2

aa

41

aYa

aYa

21

KKD

≡≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≡≡

≡≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≡≡

Poiché come è stato detto D2 e D3 rappresentano il rapporto tra le potenze del segnale utile e quelle del disturbo rispettivamente del secondo e terzo ordine, e per come sono state normalizzate sono indipendenti da A, allora moltiplicando tale rapporto per la potenza del segnale di uscita PY(Y) con Y=a1A, si può dedurre la frazione di potenza di rumore dovuta al disturbo:

3y6

1

23

y33n

2y4

1

22

y22n

Paa

41PDP

Paa

21PDP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡≡

in dB si avrebbe:

55

( )

y61

233

y61

23

3n

y41

222

y41

22

2n

LogP30aa

41Log10P

aa

41Log10P

Plog20aa

21Log10P

aa

21Log10dBP

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

Queste equazioni sulle potenze di rumore possono essere viste come equazioni di rette il cui coefficiente angolare è rappresentato dal termine in PY. Osservando in particolare il contributo del terzo ordine si deduce che ha una pendenza tripla rispetto al segnale amplificato linearmente Y(dB)=10Log(PY), pertanto si deduce che per ogni dB di amplificazione del segnale si ha un contributo di rumore di intermodulazione del terzo ordine che cresce di 3 dB. Nelle note che seguono sono riportate le conseguenze della distorsione/rumore di intermodulazione, in particolare si introducono alcuni concetti relativi a:

A) 1 dB compression point; B) Blocking; C) Intercept point; D) Spurious Free Dynamic Range (SFDR)

56

1 dB Compression point Si consideri un dispositivo 2-porte connesso come in figura A1.

57

TWO PORT DEVICE

SPECTRUM ANALYZER

SIGNAL GENERATOR

PIN POUT

Gain G Fig A1 La Fig. A2 illustra POUT (dBm) in funzione di PIN (dBm)

PIN dBm

(1 dB compress)

G dB

POUT dBm

(1 dB compress)

2α

α

Input-IM3

POUT dBm

PIN dBm

Output-IM3

Non linearità del dispositivo

Punto compressione 1 dB

Prodotti di intermodulazione del 3° ordine

1 dB

POUT dBm=PIN dBm+GdB

Intercetta IP3

Fig. A2

La Fig A3 correla il guadagno del dispositivo 2-Porte in funzione della potenza PIN (dBm)

PIN dBm PIN dBm

(1 dB compress)

POUT dBm

(1 dB compress)

GdB= POUT dBm- PINdBm

POUT dBm


1 dB Punto compressione 1 dB

La relazione che lega la massima potenza di ingresso che si può fornire al

dispositivo in relazione alla potenza corrispondente al punto di compressione del guadagno di 1 dB si può determinare partendo dal Backoff del dispositivo:

dBdBmcomprdB1_INdBmcomprdB1_MAX_IN BackoffPP −= −−−−

All’aumentare del Backoff la potenza massima in ingresso si riduce di una quantità

pari al Backoff.

58

Blocking Mentre 1 dB Compression Point è misurato con solo un input carrier in accordo con la compressione del guadagno del dispositivo 2-porte, il Blocking level dipende invece dalla compressione del guadagno con due portanti radio adiacenti. Per esempio un 3-dB blocking level corrisponde al livello di ingresso che una portante adiacente, con uno specificato offset in frequenza dalla portante utile di ∆f, deve avere in modo da causare un decremento in potenza di 3 dB del livello di uscita della portante utile. Il 3 dB blocking level può essere misurato con il seguente laboratorio di test illustrato in figura 1B.

SIGNAL GENERATOR 1 ( frequency f1)

COMBINER TWO PORT DEVICE

SPECTRUM ANALYZER


Fig. 1B I due generatori di segnale sono settati per dare la stessa potenza di uscita. Questi livelli devono essere bene al di sotto del punto di compressione del guadagno di 1 dB del dispositivo 2-porte. In questo modo all’ingresso del 2-porte si hanno due segnali, uno avente frequenza f1 e PIN f1, l’altro avente frequenza f2 e potenza PIN f2 con PIN f1 = PIN f2. Chiamiamo POUT f1 e POUT f2 Le potenze dei due segnali all’uscita del dispositivo 2-porte (queste potenze devono essere uguali se il guadagno dei dispositivi è lo stesso alle 2 frequenze). Incrementiamo ora la potenza di ingresso PIN f2 fino ad ottenere un decremento della potenza di uscita POUT f1 di 3 dB. La potenza di ingresso PIN f2 corrispondente a questa situazione è chiamata 3 dB blocking level con una portante adiacente spaziata di ∆f dalla portante utile

59

C) Intercept Point Si consideri un generico dispositivo 2-porte, supponiamo di iniettare due segnali alle frequenze f1 e f2 all’interno della larghezza di banda del dispositivo come mostrato in fig. C1


COMBINER TWO PORT DEVICE Gain =G

SPECTRUM ANALYZER


Fig. C1 A causa del comportamento lineare del dispositivo 2-porte, all’uscita troveremo armoniche spurie e prodotti di intermodulazione, alle frequenze (nf1+mf2) con n,m=0,±1, ±2, ……..

• La quantità ⎢n⎥ +⎢m⎥ è chiamata “ordine” del prodotto spurio • I prodotti spuri aventi n=0 o m=0 sono chiamati “armoniche” • I prodotti spuri aventi n≠0 o m≠0 sono chiamati “prodotti di intermodulazione”

Focalizzeremo l’attenzione sui prodotti di intermodulazione del 3° ordine del tipo (2f1-f2) e (2f2-f1) che sono i più critici in quanto il loro offset da f1 e da f2 è ∆f=⎢ f1- f2⎥ fa in modo che tali prodotti cadano all’interno della larghezza di banda di funzionamento del 2-porte. Assumiamo che:

• f1<f2 e che 2f1-f2=f1+f1 - f2=f1 -(f2 -f1)=f1 - ∆f • f1<f2 e che 2f2-f1=f2+f2 - f1=f2 +(f2 -f1)=f2 +∆f

che sono interne alla larghezza di banda del 2-porte. Assumendo che l’ampiezza della risposta in frequenza del dispositivo 2-porte sia piatta sull’intera banda del dispositivo, allora i prodotti di intermodulazione del 3° ordine (f1 - ∆f) e (f2 +∆f) avranno la stessa ampiezza. In questo caso l’analizzatore di spettro posto all’uscita del dispositivo 2-porte mostrerà la situazione del tipo illustrata in fig. C2 60

61

f f2 f1

POUT CARRIER

POUT dBm

Thirth order intermodulation product

Noise Floor

∆ f∆ f ∆ f

Output Signal

IM3

Fig. C2 Come dimostrato in precedenza per ogni dB di incremento di PIN il livello IM3 dei prodotti di intermodulazione del 3° ordine si incrementa di 3 dB, mentre il livello di uscita del segnale utile si incrementaovviamente di 1 dB (assumendo di non essere nella regione di compressione). Questo comportamento è illustrato in fig. C3 sottoriportata:

IM3


IP3OUT

PIN dBm

POUT dBm

IP3IN

Prodotti di intermodulazione del 3° ordine: IM3dBm: f1-∆f o f2+∆f; slope: 3dB/dB

Punto Intercetta IP3

α

2α

G dB

b=2 a

a

c=3 a=IP3IN

PIN CARRIER

Segnale utile di uscita POUT CARRIER f1 o f2; slope: 1dB/dB

4

3

12

a

POUT CARRIER

Il punto di intercetta IP3 può essere definito come il punto teorico in cui:

• non c’è compressione del guadagno; • l’output level IP3 dei prodotti di intermodulazione del 3° ordine è uguale ,all’output

level del segnale utile. Di seguito è mostrata la relazione tra IP3IN , IP3OUT ,POUT CARRIER , IM3 Poniamo: a = IP3IN dBm – PIN CARRIER dBm come mostrato in figura C3. La pendenza della curva POUT CARRIER dBm è di 1 dB / dB, allora considerando il triangolo (di vertici 1,2,3) osserviamo che la distanza tra i punti (2,3) è pari a dist(2,3)=a. La pendenza della curva IM3dBm è di 3 dB / dB e dal triangolo ( di vertici 1,2,4) osserviamo che la distanza c tra i punti (2,4) è pari a c=dist(2,4)=3a. Da questo segue che ponendo b come la distanza tra i punti (3,4) cioè b=dist(3,4), allora come si osserva dalla fig C3 si ottiene che b=c-a=3a-a=2a Dalla fig C3 otteniamo le seguenti relazioni:

• Relazione tra IP3OUT e IP3IN

dBdBmINdBmOUT G3IP3IP += (C1)

• IP3OUT come funzione di POUT CARRIER e IM3

dBmCARRIEROUTdBmdBmCARRIEROUT

CARRIERdBmOUTdBmCARRIEROUTdBmOUT

P2

3IMP

P2bPa3IP

+−

=

=+=+= (C2)

• IP3OUT come funzione di POUT CARRIER , e IM3

Dalle equazioni (C1) e (C2) abbiamo:

dBdBmCARRIEROUTdBmdBmCARRIEROUT

dBdBmOUTdBmIN

GP2

3IMP

G3IP3IP

−+−

=

=−= (C3)

62

• IM3 come funzione di POUT CARRIER e IP3

Dalla fig. C3 abbiamo:

63

)(dBmOUTdBmCARRIEROUT

dBmCARRIEROUTdBmOUTdBmOUT

dBmOUTdBmOUTdBm

3IP2P3

P3IP33IP

a33IPc3IP3IM

−=

=−−=

=−=−=

(C4)

• Massimo valore di POUT CARRIER che mostra IM3 essere ≤ ad uno specificato

valore di (IM3)MAX ( assumendo IP3 del dispositivo come mostrato)

Dalla equazione (C4) possiamo calcolare POUT CARRIER dBm come funzione di IM3dBm e IP3OUT dBm

33IP23IM

P dBmOUTdBmdBmCARRIEROUT

+= (C5)

cosi abbiamo

( ) ( )3

3IP23IMP dBmOUTMAXdBm

MAXdBmCARRIEROUT

+= (C6)

per N portanti si usa la formula approssimata:

( )( )

35.1NNLog103IP23IM

P 10dBmOUTdBmdBmCARRIEROUT

−−+= (C7)

Spurious free dynamic range (SFDR) Consideriamo la situazione mostrata in Fig. D1:


COMBINER TWO PORT DEVICE Gain =G Noise Figure =F

POUT f1, f2PIN f1, f2

SPECTRUM ANALYZER


Fig. D1 Lo Spurious Free Dynamic Range (SFDR) è definito come la differenza in dB tra il livello di potenza di uscita del segnale utile e il livello di potenza di rumore nella situazione in cui i prodotti di intermodulazione IMD sono sulla soglia del livello di rumore. Questa situazione è mostrata in figura D1, che illustra come dovrebbe essere dovrebbe essere connesso un analizzatore di spettro all’uscita di un dispositivo 2-porte.

POUT CARRIER

f

f2

IM3=NOUT

f1

POUT dBm

Thirth order intermodulation product

Output Noise Floor level

∆ f

SFDR

∆ f ∆ f

Output Signal

Fig. D2 significato del SFDR

64

Questa situazione è anche mostrata in figura D3:

IM3=NOUT


IP3OUT

PIN dBm

POUT dBm

IP3IN

Prodotti di intermodulazione del 3° ordine: IM3dBm: f1-∆f o f2+∆f; slope: 3dB/dB

Punto Intercetta IP3

α

2α

G dB

PIN CARRIER

12

=IP3IN c=3 a

a

b=2 a

a

3

4

EINdBm

c=3a

b=2a

Segnale utile di uscita POUT CARRIER f1 o f2; slope: 1dB/dB

POUT CARRIER

Fig D3 Si mostreranno ora alcune relazioni:

• Relazione tra SFDR e IP3

Dalla figura D3 possiamo osservare che:

( dBmOUTdBmOUTdB N3IP32

3C2a2SFDR −=== ) (D1)

Questa equazione può essere riscritta nel modo seguente

( ) ( ) ([ ])

( )dBmIN

dBdBmdBINdBmOUTdBmOUTdB

EIN3IP32

GEING3IP32N3IP

32SFDR

−=

=+−+=−= (D2)

65

dove:

FBKT)W(EIN Hz0= (D3) F: cifra di rumore del dispositivo 2-porte EIN: Potenza di rumore equivalente in ingresso al dispositivo 2-porte

( )

( )[ ] ( ) ( )( ) dBHz10

10Hz1023

10

103Hz0

103Hz0

10dBm

FBLog10Hz/dBm174FLog10BLog10302901038.1Log10

FLog1010

BKTLog10F10

BKTLog10EIN

++−==+++⋅⋅=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

−−

(D4)

• Relazione tra SFDR, EIN e IP3 è utile la seguente relazione:

( )( )

( )( ) ( )

33IP2GEIN

3G3IP2GEIN

33IP2G3EIN

3EIN23IP2G3EIN3

EIN3IP32GEIN

SFDRGEINPP

EIN3IP32SFDR

dBmOUTdBdBmdBmINdBdBmdBmINdBdBm

dBmdBmINdBdBmdBmdBmINdBdBm

dBdBdBmdBmG*EIN3IM_@__carrier/OUTdBm3IM_to_due__carrier/MAX_OUT

dBmdBmINdB

++=

+++=

++=

=−++

=−++=

=++==

−=

=r

⇒++

=++

= dBdBmINdBmdBmINdBdBm

dBm3IM_to_due__carrier/MAX_OUT G3

3IP2EIN3

3IP2G3EINP

33IP2EIN

P dBmINdBm)dBm3IM_to_due__carrier(MAX_IN

+=⇒

• Relazione tra SFDR su una banda B1 e SFDR su una banda B2

66

Poniamo (SFDR)B1 e (SFDR)B2 lo Spurious Free Dynamic Range sulle bande B1 e B2 rispettivamente, e supponiamo B2=A B1 cioè A è il fattore di espansione dalla banda B1 alla banda B2. Dalle equazioni (D2) e (D4) otteniamo:

( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )

( ) ( )ALog1032SFDR

ALog1032FBLog10Hz/dBm1743IP

32

FBLog10ALog10Hz/dBm1743IP32

FBALog10Hz/dBm1743IP32

FBLog10Hz/dBm1743IP32

EIN3IP32SFDR

101BdB

10dBHz110dBmIN

dBHz11010dBmIN

dBHz110dBmIN

dBHz210dBmIN

2BdBmdBmIN2BdB

⋅−=

=⋅−++−−=

=+++−−=

=+⋅+−−=

=++−−=

=−=

(D5)

67

Considerazioni sul rumore in una catena di ricezione radio generica Se ci si svincola dalla condizione che tutti gli oggetti sono alla stessa temperatura di riferimento T0 allora va tenuto in conto il contributo a diversa temperatura di ogni elemento di una catena di ricezione, in particolare dell’antenna che vede in linea di principio oggetti a temperatura fisica differente. Si consideri il caso di un sistema composto da antenna e ricevitore, nel seguito si terrà conto del rumore dell’antenna e del ricevitore oltre a quello della linea di trasmissione in coax o guida d’onda. Nello schema sotto è riportato un sistema che rappresenta un ricevitore, formato:

• sez.1= antenna; • sez.2= linea di trasmissione; • sez.3= ricevitore;

ad ogni sezione è possibile valutare il rumore a partire dalla temperatura di rumore, come contributo del rumore in ingresso più il rumore dell’elemento stesso:

Sez. I Sez. III Sez. II

68

figura 1 La potenza totale di rumore Ps disponibile all’ingresso del ricevitore è la risultante del (rumore dell’ambiente captato dall’antenna)+ (il rumore dell’antenna stessa) + (il rumore della linea di trasmissione) + (il rumore del ricevitore).

Rx

Rumore Antenna Tant

Rumore linea di trasmissione Tlinea

Rumore del ricevitore Tr

Linea S+N Antenna

TAeff=Tant+Tamb Tamb Tsistema=Tr+ T=TAeff+Tlinea

Per valutare il massimo rumore trasmesso si fa l’ipotesi del massimo trasferimento di potenza ovvero si utilizza tutta la potenza disponibile del generatore, e dunque si fa l’ipotesi di adattamento di impedenza alle porte dei dispositivi della catena di ricezione. Il generatore di volta in volta corrisponde al rumore nella sezione del circuito che si sta analizzando; per esempio nel caso del rumore ambiente si può immaginare la potenza disponibile di rumore fornita da una resistenza di valore R alla temperatura assoluta di Tamb (K). Di seguito sono analizzati i contributi del rumore alle varie sezioni.

SEZ I: Rumore Ambiente circostante l’antenna Il rumore ambiente che si esprime tramite la temperatura di antenna Tamb, dipendente dalla temperatura di brillanza, dal diagramma di radiazione, e dalla emissività dei corpi che l’antenna va ad illuminare. Tamb è la temperatura della resistenza di radiazione Rrad, allora si può equivalentemente schematizzare un circuito equivalente di Thevenin dell’antenna chiusa sulla resistenza di carico Ramb. Il generatore equivalente ha un valore quadratico medio della tensione che è legato alla potenza di rumore sulla resistenza di radiazione RradSi può calcolare la potenza disponibile di rumore fornita dalla resistenza Ramb alla temperatura Tamb. Per ipotesi si assume il max trasferimento di potenza e quindi assumiamo la resistenza di radiazione come segue:

Rrad=Ramb (1)

Rrad Req=Rrad

(Tamb) Ramb

Vr fKTRV ambradr ∆≡ 42

figura 2

69

la Tamb è la temperatura della resistenza di radiazione Rrad dell’antenna, determinata dalle sorgenti nell’ambiente, dalla temperatura della pioggia e, per un collegamento satellitare in particolare anche dall’angolo di elevazione dell’antenna della stazione di terra. Tale temperatura si definisce solitamente come TSKY. Si possono scrivere ed eguagliare lel due equazioni sulla potenza di rumore causata da TSKY:

70

∆

ambP KT f≡ (2) 2 2

2

2 4r

rad radrad rad

VP I R R rVR R

⎛ ⎞≡ ≡ ≡⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3)

eguagliando la (2) con la (3) si ottiene

2 4r rad ambV R KT≡ f∆ (4) dove:

amb

-K = costante di Boltzman; -T = temperatura ambiente definita come di seguito riportato;-∆f = banda di frequenza utilizzata

(Vr)2 è il valore quadratico medio del generatore equivalente di Thevenin calcolato a circuito aperto ai morsetti di antenna. Se l’antenna illumina diverse regioni o corpi dello spazio a temperature di brillanza differenti, la temperatura d’antenna Tamb è la temperatura media delle regioni illuminate, pesata dalla frazione di potenza con cui ogni regione è irradiata/ricevuta; a rigore il contributo si calcola tramite un integrale, in pratica per semplificare i calcoli solitamente si opera una discretizzazione delle sorgenti più significative e si sostituisce l’integrale con una sommatoria in cui compaiono temperature e pesi:

regione o corpo esimo-K dal assorbita e antennadall' irradiata potenza della epercentualpregione o corpo esimo-k del brillanza di atemperatur

K ≡≡

≡ ∑K

Kk

TTpTamb

SEZ I: Rumore dell’antenna stessa

È dovuto a perdite ohmiche dell’antenna stessa per effetto joule, in fatti l’antenna è un conduttore non perfetto; si definisce una resistenza Rp di perdita dell’antenna che si trova a temperatura fisica dell’antenna T0 (tipicamente si assume T0=300 K di temperatura ambiente). Pertanto al circuito che simulava il rumore dell’ambiente esterno, devo aggiungere in più questa altra sezione in cui ancora una volta si definisce un generatore equivalente con un certo valore quadratico medio, che è dato dalla stessa espressione già vista, dove al posto della temperatura Tamb dovuta alla brillanza degli oggetti irradiati, sostituiamo la T0 fisica dell’antenna. Ai capi della SEZ 2 cioè ai morsetti di antenna risulta pertanto la somma delle potenze di rumore viste ed il circuito equivalente è:

Rp(T0)

fKTR4V 0p2

Loss ∆≡ Rrad(Tamb)

fKTR4V ambrad2

rad ∆≡

Componente di radiazione Componente di perdita resistiva

Sez. I Sez. II

figura 3

Il valore quadratico medio della tensione di rumore di resistenze in serie è pari alla somma dei valori quadratici medi (ipotesi di segnali incorrelati). Per il medesimo ragionamento sul max trasf di pot. chiudendo il circuito su una resistenza identica, si può determinare la potenza di rumore disponibile ai terminali dell’antenna. Pertanto tutto il circuito si riduce ad un generatore di tensione con una resistenza in serie come in figura 4 e 5:

71

Rrad+Rp

Rrad+Rp

( )2 2 204r p amb Rad pV V V K T R T R f≡ + ≡ + ∆

SEZ II

figura 4

Pertanto:

( )( )

( )

( )

( )

20

0

0

4

4 4

definendo:

efficienza antenna; 1 ; ;

allora ponendo

1

amb rad p pradr amb

rad p rad prad p rad p

pradr Aeff

rad p rad p

Aeff amb

K T R T R f RRVP K T T fR R R RR R R R

RR P KT fR R R R

T T T T

η η

η η

⎡ ⎤+ ∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ++ + ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

≡ ≡ − ≡ ≡+ +

≡ + − ≡

( )0

amb 0

0

si ottiene

1

se per ipotesi si assume T T dell'ambiente ( 300 K) si riottiene:

già nota.

SKY LOSS

r amb

r

T

P K T T f

P KT f

η

η η

⋅ +

⎡ ⎤≡ + − ∆⎣ ⎦

≡

≡ ∆

∆

∆

(5)

72

se la resistenza di perdita tende a 0 (caso ideale) l’efficienza tende ad 1 e quindi la potenza in uscita non dipende dalla temperatura fisica dell’antenna ma solo dalle sorgenti di brillanza che rientrano nel lobo dell’antenna.

SEZ. II: Rumore della linea di trasmissione Consideriamo ora la linea di trasmissione in cavo lunghezza L, posta tra antenna e ricevitore, si possono schematizzare temperatura di rumore e le perdite in questo modo:

73

figura 5 Dove è stato indicato con:

• T0,α Rispettivamente la temperatura fisica a cui si trova il cavo (tipicamente si assume 300 K) e, la parte reale del coefficiente di propagazione che indica il coefficiente di attenuazione in np/m della linea in cavo.

• TAeff. È la temperatura di rumore effettiva introdotta sul cavo di ricezione dall’antenna ed è prodotta dalle sorgenti a diversa temperatura di brillanza viste dall’antenna e dalla temperatura dell’antenna stessa in presenza perdite ommiche per effetto Joule.

L’attenuazione totale della linea in cavo può essere espressa come noto dalle equazioni sulle linee di trasmissione in funzione della sua lunghezza come:

L2eA α≡ (6) La linea è un attenuatore e pertanto introduce una cifra di rumore pari alla sua attenuazione.

RX

L,T0,α

AeffT

L Sez III Sez II

Per semplificare le considerazioni sul rumore possiamo pensare la linea non rumorosa (ideale dal punto di vista del rumore) ed introdurre una temperatura equivalente di rumore al suo ingresso come riportato in figura 6:

( ) ( )0 01 1 =

Aeff E cavo

Aeff cavo Aeff cavo

T T

T T F T T A

EIN K Bcavo

K B K B

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡+ − + −⎣ ⎦ ⎣

≡ ≡

≡ ⎤⎦

(7)

74

figura 6

Se la temperatura antenna TAeff fosse presa pari a T0 allora si otterrebbe:

( ) ( )( )10 0 0EIN K T T B K T T A B KT A Bcavo cavo cavoE cavoAeff≡ + ≡ + − ≡ (8) Si può osservare che il rumore introdotto è proporzionale all’attenuazione del cavo ovvero dipende dalla sua lunghezza. Moltiplicando per il guadagno della linea ovvero dividendo la potenza di rumore presente all’uscita della linea e data dalla (7) per l’attenuazione della linea, troviamo la potenza di rumore presente all’ingresso del ricevitore RX:

( ) ( ) ( )

( )

0 0 2 20

2

1 11

/

Aeff cavo Aeff cavo Aeff cavo L LAeff

cavo cavo cavo cavo

Lcavo

T T T T A T T AT T

A A A A

A e neper m

α α

α

− −+ + − −≡ ≡ ≡ + ≡ + −

=

e T e

(9)

La potenza di rumore all’ingresso del ricevitore è pertanto:

RX

α ( )0 1AeffT T A+ −

L Sez III Sez II

( ) ( )

( )

_ _

0 0

2 20

1 1

1

equivalente ingresso cavo cavo

cavo cavo cavo

Aeff cavo Aeff cavo Aeff cavo

cavo cavo cavo cavo

L LAeff

N EIN TN KTB K BA A A

T T T T A T T AK B K B K B

A A A A

K T e T e Bα α− −

≡ ≡ ≡ ≡ ≡

⎡ ⎤+ + − ⎡ ⎤−⎡ ⎤≡ ≡ ≡ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎡ ⎤≡ + −⎣ ⎦

≡⎦ (10)

Se TAeff=T0 allora si ottiene di nuovo la potenza di rumore di un resistore alla temperatura di riferimento

00 0Rx

KT A BcavoP KT B T TnAcavo

≡ ≡ =

Questo perché il cavo è un attenuatore e come tale esso attenua la potenza di rumore in ingresso ma contemporaneamente introduce lui stesso una potenza di rumore apri alla sua attenuazione: TEcavo=T0(ACavo-1)GCavo= T0(ACavo-1)/ACavo Dove le costanti hanno il seguente significato:

• T temp (K) all’ingresso del ricevitore non tenente conto della T del ricevitore • Taeff temperatura ai terminali dell’antenna (K); • α coefficiente di attenuazione della linea di trasmissione (neper/m); • L lunghezza della linea (m); • T0 temperatura fisica dell’antenna e della linea in cavo (K).

SEZ. III: Rumore in ingresso al ricevitore

75

La temperatura di rumore del ricevitore è dovuta al rumore termico generato dai componenti attivi e passivi (componenti con perdita resistiva) del ricevitore, anche in questo caso si può ipotizzare il ricevitore ideale mettendo al suo ingresso una temperatura equivalente di rumore TRX che tenga conto della cifra di rumore del ricevitore stesso. Il rumore totale TS cioè la temperatura di sistema all’ingresso del ricevitore risulta pertanto dalla somma tra la temperatura TOUT CAVO di rumore uscente dalla linea in cavo e la temperatura TRX del ricevitore stesso.

TS=TOUT cavo+TRx RX

Sez III

figura 7

La temperatura di rumore del ricevitore TRx può essere espressa in funzione della sua cifra di rumore:

76

)

( 1FTT RXoRX −≡ (11) allora la temperatura totale del sistema Antenna + Cavo all’ingresso del ricevitore è:

( )RXCavoOUTS TTT +≡ (12) La potenza di rumore del sistema disponibile all’ingresso del ricevitore è data da:

( ) fTTKP RXCAVOOUTS ∆+≡ (13) Per applicare in pratica quanto dimostrato consideriamo il seguente esempio

Esempio: calcolo della potenza rumore una catena RX per telefonia mobile GSM Una SRB (Stazione Radio Base) è collegata ad un sistema radiante formato da un’antenna in banda 900 Mhz con zero gradi di tilt (puntata con elevazione 0°verso l’orizzonte), tale che il lobo principale dell’antenna nonché i lobi laterali e posteriori vedono per il 50% la terra a T=300 K e, per il restante 50% l’atmosfera terrestre a 20 K. Il collegamento tra antenna e ricevitore è fatto attraverso un cavo coassiale del tipo LCF 7/8 ( attenuazione tipica circa 4 dB/100 m) di circa 60 m di lunghezza, la cui attenuazione comprendendo codini e giunzioni può essere stimata intorno a 3 dB, che è posto alla temperatura terrestre tipica di 300 K (25 C°). Si vuole determinare la temperatura di rumore presente all’ingresso del ricevitore.

1. calcolo della temperatura di antenna (Tamb): supponendo la temperatura della terra 300 K e quella dello spazio freddo 20 K si ha:

regione o corpo esimo-K dal assorbita e antennadall' irradiata potenza della epercentualp

regione o corpo esimo-k del brillanza di atemperatur

K ≡≡

≡ ∑K

Kkamb

TTpT

Tamb=0.5 ⋅ 20 + 0.5 ⋅ 300=10+150=160 K Il maggiore contributo deriva dall’apporto del lobo verso terra; su un collegamento satellitare per esempio vi è quindi la necessità di limitare i lobi che vedono la terra. A tale proposito normalmente per evitare anche effetti dovuti a fading troposferici l’elevazione non deve essere inferiore ai 5°.

2. calcolo della temperatura effettiva dell’antenna (TAeff): cioè la temperatura dovuta all’antenna e all’ambiente visto dall’antenna supponiamo l’efficienza η=0.7, Tamb quella calcolata al passo 1 e, T0=300 K

T

( )η−+η≡ 1TTT 0ambAeff

aeff=160⋅0.7+300⋅(1-0.7)=202 K

77

la seconda parte con un valore maggiore: 300⋅(1-0.7) è dovuta al contributo di rumore causato dalla temperatura fisica dell’antenna T0

3. Calcolo della temperatura all’ingresso al ricevitore: dai dati di partenza sul cavo si può dedurre una attenuazione di circa 0.06 dB/m

)m/Np(007.0686.806.0

686.8)m/dB(

eLog20)m/dB()m/Np(

10

≅≅α

≅α

≡α

( ) ( )

( ) K2571702.87e1300e202

e1TeT1AAT

ATT

60007.0260007.02

L20

L2aeff

0aeff

≅+≅−•+•≡

≡−+≡−+≡

••−••−

α−α−

Il maggiore contributo di 170 K è dovuto al cavo a 300 K di temperatura pertanto si ha la necessità di ridurre il più possibile la lunghezza dei cavi di collegamento tra antenna e ricevitore quando si richiede un rumore molto basso (principio valido soprattutto per trasmissioni via satellite o radiotelescopi per i quali si usano piu spesso antenne Cassegrain).

Un risultato simile si ottiene aggiungendo a TAeff la temperatura equivalente Te cavo del cavo a partire dalla relazione:

( ) ( )

( )

0 1 300 2 1 300

202 300251

2

e cavo cavo

Aeff e cavo

cavo

T T A

T TT K

A

≡ − ≡ − ≡

+ +≡ ≅ ≅

K

4. Calcoliamo la potenza di rumore in ingresso al ricevitore: Consideriamo solo la temperatura di rumore del sistema radiante T tralasciando per il momento quella del ricevitore. Coome banda di trasmissione consideriamo quella di una portante GSM pari a 200 KHz, allora la potenza di rumore all’uscita del cavo e prima del ricevitore è:

( )

( )

23 3 161.38062 10 257 200 10 7.1 10

10 ( 1000) 121S r S

S S

P K T T f KT f w

P dBm Log P dBm

− −≡ + ∆ ≡ ∆ ≅ ≡

≡ ≡ −

78

Da quanto detto si intuisce che segnali inferiori a –121 dBm si confondono con il rumore e non possono essere decodificati dal ricevitore GSM. Questa potenza di rumore dipende quasi esclusivamente dal rumore termico T0 che è la causa predominante di rumore sia per il cavo che sui lobi di antenna che sulle perdite di antenna stessa. Partendo da questa considerazione, tenendo conto che nell’ambito dei sistemi radiomobili le antenne hanno il lobo principale diretto verso oggetti sulla superficie terrestre a temperatura T0=300 K, solitamente ci si riferisce per tutti gli elementi della catena di ricezione e per le sorgenti viste dall’antenna alla temperatura T0, in tal caso si considera la potenza di rumore termico data dalla relazione seguente:

( ) dBmPLogdBmPwfKTP

SS

S

121)1000(101028.81020030010*38062.1 16323

0

−≡•≡•≡•••≅∆≡ −−

79

Analisi del rumore dopo l’inserzione nella catena di ricezione Radio di un amplificatore a bassa cifra di rumore (LNA) con l’analisi del C/N ad ogni blocco della catena RX Si consideri un sistema composto come in figura 1 in cui si prevede l’utilizzo di un amplificatore a bassa cifra di rumore (LNA) non posto immediatamente a valle dell’antenna ma dopo il cavo di ricezione che collega l’antenna al ricevitore. Si supponga poi che il Low Noise Amplifier sia collegato al ricevitore tramite un codino di ricezione flessibile che è indicato come un attenuatore variabile Att.

80

Antenna:

figura 1 Considerando il sistema proposto è possibile analizzare separatamente ad ogni sezione il rapporto tra il segnale utile ed il rumore C/N. Per il segnale si ha semplicemente una variazione proporzionale al guadagno del blocco, per valutare il rumore invece va tenuto presente quello generato da ogni blocco della catena, tale rumore viene amplificato/attenuato del guadagno/attenuazione dei blocchi successivi. Ad ogni sezione il rumore generato da ogni blocco è sommato al segnale complessivo (informazione +rumore) proveniente dal blocco che lo precede. Al fine di semplificare lo studio, un dispositivo reale si può pensare come un dispositivo ideale che non genera rumore interno con all’ingresso una rumore aggiuntivo che tiene conto del rumore generato dal dispositivo reale. Pertanto per convenzione consideriamo i blocchi ideali cioè privi di rumore ma prevediamo una temperatura di rumore equivalente TE di ingresso ai blocchi stessi. Di seguito è riportata l’analisi su ogni sezione della catena di ricezione proposta:

LNA Codino antenna RX

Att F_RX

Cavo

Sezione I: P1

Sezione II: Sezione III: Sezione IV: P2 P3 P4

N0= KT0B

KTE-CAVOB KTE-LNAB KTE-ATTB KTE-RXB

Sez I La potenza di rumore di partenza all’uscita dell’antenna supposta a temperatura T0 della Terra è:

BKTP 01 ≡ (1)

Sez II All’uscita del cavo troveremo la potenza di rumore proveniente dall’antenne + la potenza di rumore equivalente introdotta dal cavo stesso, il tutto moltiplicato per il guadagno del cavo ovvero diviso per la sua attenuazione:

( ) ( )( )2 0 0 0 01Ecavo Cavo cavo Cavo cavo CavoP KT B KT B G KT B KT F B G KT F BG≡ + ≡ + − ≡ (2) dove la temperatura equivalente di rumore in funzione della cifra di rumore è data da:

(0 1ET T F≡ − ) (3)

Sez. III All’uscita dell’LNA, troveremo la potenza di rumore proveniente dall’antenna + quella introdotta dal cavo + la potenza di rumore equivalente introdotta dall’ LNA stesso, il tutto moltiplicato per il guadagno dell’LNA:

( )( )1FGFBGKT

BG1FKTGBGFKTBGKTGPP

LNACavoCavoLNA0

LNALNA0LNACavocavo0LNAELNALNA23

−+≡≡−+≡+≡

(4)

Sez. IV All’uscita del codino di antenna prima del ricevitore si ha il contributo delle potenze di rumore precedenti + il rumore equivalente introdotto dal codino, il tutto diviso per l’attenuazione del codino stesso:

( )( ) ( )

( )

4 3 0 0

0 0 0 0

0

1 1

1

Att EAtt Att LNA Cavo Cavo LNA Att Att Att

LNA Cavo Cavo Att LNA LNA Att LNA Att Att Att Att

LNA Cavo Cavo LNA LNA LNA Att Att

P PG KT BG KT BG F G F G KT F BG

KT BG F G G KT BG F G KT BG G KT F BG KT BGKT B G F G G F G F G

≡ + ≡ + − + − ≡

≡ + − + −

≡ + − + −0 ≡ (5)

dal momento che per un attenuatore il guadagno è l’inverso della sua attenuazione, e la sua cifra di rumore è pari alla sua attenuazione, allora definendo Acavo l’attenuazione del cavo si ha:

81

( )4 0 01 11 1LNA Cavo

LNA LNA LNA Att LNA LNA AttAtt AttCavo

G AP KT B G F G A KT B G F AA A

⎛ ⎞≡ + − + − ≡ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ A− (6)

Come prova della bontà dei passaggi matematici riportati è sufficiente fare il rapporto fra il rumore reale ottenuto e quello ideale, cioè quello ottenuto come se ogni dispositivo della catena non introducesse alcun rumore e verificare che tale rapporto restituisce l’equazione canonica della cifra di rumore di una cascata di blocchi.

( )( )

LNACavo

Att

Cavo

LNACavo

AttLNACavo

AttAttLNALNALNACavoCavoLNA

AttLNACavouscitaideale

realetot

GGF

GFF

GGBGKTGFGFGGFGBKT

GGGPP

NNF

11

1

0

0

1

4

−+

−+≡

≡−+−+

≡≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

82

Esempio di calcolo del C/N nei vari punti della catena RX Come esempio si possono assumere i seguenti dati: GLNA=12 dB FLNA=2 dB ACAVO=FCAVO=3 dB ACODINO=FCODINO=3 dB FRx=4.5 dB In figura 2 è riportato lo schema ed i punti di misura:

Andamento della Potenza di Rumore su una catena di ricezione radio

-44.0

-124.0 -124.0

-41.0

-53.0-50.0

-110.0-109.0

-121.0 -124.0

-111.3

-109.8

-121.0

-107.0

-121.0

71.0

68.0

66.065.8

-140.0

-120.0

-100.0

-80.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.00 1 2 3

dispositivi

leve

l dB

m

63.0

64.0

65.0

66.0

67.0

68.0

69.0

70.0

71.0

72.0

C/I

S (dBm)N_ideale (dBm)Delta_N dB)N_reale (dBm)C/I (dB)

LNA Codino RX

F_LNAG_LNA

A F_RX

Cavo

83In particolare:

84

• il segnale utile S (dBm) varia in funzione del guadagno o dell’attenuazione del blocco della catena;;

• Il rumore N_Ideale (dBm) è quello che si misurerebbe alla fine di ogni blocco se il blocco fosse ideale ovvero non introducesse rumore e quindi fosse caratterizzato solo dal guadagno G (dB), per esempio il rumore all’uscita del cavo in sez.1 corrisponde al rumore al suo ingresso attenuato di Acavo=3 dB;

• Il rumore ∆N è viceversa il contributo in potenza di rumore introdotto dal blocco stesso della catena. Alla sezione 1 il rumore introdotto dal cavo è pari a KTE-CavoB=KT0(FF-Cavo-1)B, il cavo quindi attenua la potenza di rumore presente al suo ingresso ma contemporaneamente introduce una potenza di rumore dipendente dalla su cifra di rumore.

• Il rumore N_Reale (dBm) risulta dalla somma dei contributi di rumore N_idale e ∆N; alla sezione 1 la potenza di rumore all’uscita del cavo è praticamente uguale a quella in ingresso in quanto il cavo attenua la potenza di rumore in ingresso di un fattore pari alla sua attenuazione ma contemporaneamente introduce rumore

Alle varie sezioni si ha: Il rumore ideale alla sezione 1 è quello proveniente dall’antenna ed attenuato dal cavo: --N_Ideale(OUT Cavo)=KTB(dBm)-AttCavo= -121 dBm – 3 dB= -124 dBm Poiché il cavo introduce un contributo di potenza di rumore pari KTE-CavoB=KT0(FF-Cavo-1)B dBm, allora alla sua uscita il rumore reale è : --N_reale(OUT Cavo)= N_Ideale(OUT Cavo)+∆N_Reale(Cavo)= = -124 dBm+( KTE-CavoB)/ACavo=(KT0(FF-Cavo-1)B)/ACavo = -121 dBm Il rumore reale alla sezione 1 vale a dire N_reale(OUT Cavo), entra nel LNA ed è amplificato di 12 dB pertanto se l’LNA non introducesse rumore il rumore N_Ideale all’uscita dell’LNA sarebbe : --N_Ideale(OUT LNA) = -121 dBm+12db= -109 dBm Poiché LNA introduce un apporto di rumore pari a KTE-LNAB=KT0(FF-LNA-1)B dBm allora complessivamente la potenza di rumore in uscita dell’LNA sarà: --N_Reale(OUT LNA)= N_Ideale(OUT LNA)+∆N_Reale(LNA)= = -109 dBm+ (KTE-LNAB)GLNA=KT0(FF-LNA-1)GLNA = -107 dBm Questo Rumore N_Reale(OUT LNA) è il segnale di ingresso al codino la cui uscita risulta attenuata di 3 dB rispetto all’ingresso pertanto il rumore ideale sarebbe : --N_Ideale(OUT Codino)= N_Reale(OUT LNA)-AttCODINO=

85

= -107 dBm –3 dB=-110 dBm Poiché il codino introduce una potenza di rumore pari a KTE-CodinoB=KT0(FF-Codino-1)B, allora la potenza di rumore complessiva all’uscita del codino è: --N_Reale(OUT Codino)= N_Ideale(OUT codino)+∆N_Reale(Codino)=

= -110dBm+ (KTE-CodinoB)/ACodino=(KT0(FF-Codino-1)B)/ACodino= -109.8 dBm A causa del rumore introdotto da ogni dispositivo si può osservare che il rapporto C/I (carrier /interference) peggiora monotonamente ad ogni sezione andando dall’antenna verso il ricevitore. In particolare il cavo d’ingresso tra antenna e LNA peggiora di molto la cifra di rumore ovvero il rapporto tra S/NIN e S/NOUT in quanto oltre ad attenuare il segnale utile introduce anche rumore in misura circa equivalente all’attenuazione, in particolare esso apporta in uscita una potenza di rumore di -124 dBm che sommati ai –124 dBm del rumore di ingresso attenuati fornisce complessivamente una potenza di rumore di –121 dBm Un peggioramento si nota anche tra ingresso e uscita del LNA, infatti, esso amplifica il segnale ed il rumore d’ingresso di GdB=12 dB, portando la potenza di rumore da –121dBm a –109 dBm ma in più apporta in uscita una ulteriore potenza rumore di –111 dBm che risulta notevolmente più elevata circa 10 dB in più di quella presente al suo ingresso pari a –121dBm , pertanto si ha ancora una forte pendenza verso il basso della curva di C/I, ma sempre minore della pendenza del cavo e tanto minore quanto minore e FLNA. Nel tratto finale della catena la potenza complessiva di rumore entrante nel codino circa –107 dBm è molto più alta rispetto al contributo in rumore del codino stesso pari a -124 dBm pertanto il codino incide in termini di attenuazione della potenza in ingresso ma rappresenta un contributo trascurabile se considerato dal punto di vista del rumore, dunque la pendenza della curva di C/I è relativamente piccola.

Analisi di alcune tipologie di catene di ricezione RF dove sono utilizzati Low Noise Amplifier (LNA): vantaggi e svantaggi Di seguito sono riportati alcuni casi di catene di ricezione a radiofrequenza, per ognuno di questi si è cercato di valutare il beneficio sulla sensibilità di ricezione che si ottiene utilizzando un amplificatore a bassa cifra di rumore. I sistemi analizzati ottenuti inserendo l’ LNA in punti diversi della catena di ricezione sono sempre relazionati in termini di prestazioni con la situazione di riferimento di una catena di ricezione senza nessun LNA

Premessa Si richiamano sinteticamente alcuni concetti di base sulla cifra di rumore.

Cifra di rumore di dispositivi in cascata Si consideri la seguente cascata di dispositivi nell’ipotesi di adattamento di impedenze:

G, F

… G2, F2 GN, FN

Carico adattato

Sorgente adattata G1, F1

La cifra di rumore della cascata è data da:

12121

3

1

21

111

−

−++

−+

−+=

N

N

GGGF

GGF

GF

FFL

L (1)

Si noti che se il guadagno del primo dispositivo è sufficientemente grande la cifra di rumore della cascata si riduce a quella del primo dispositivo. Questo è il principio utilizzato per l’utilizzo di LNA (amplificatore a bassa cifra di rumore) per ridurre la cifra di rumore dell’intera catena di ricezione.

86

Cifra di rumore di un attenuatore alla temperatura ambiente T0 La cifra di rumore F di un attenuatore alla temperatura T0 è pari alla sua attenuazione A:

AF = (2)

Cifra di rumore della cascata composta da un attenuatore a monte di un dispositivo. Si consideri la seguente cascata:

Attenuatore

G2, F2Carico adattato

Sorgente adattata G1=1/A

G, F Applicando l’equazione (1) la cifra di rumore della cascata è data da:

2AFF = (3) Si noti che la presenza di un’attenuatore come primo elemento di una cascata di elementi degrada la cifra di rumore della cascata in modo proporzionale al suo fattore di attenuazione.

87

Catena di riferimento: LNA non presente Si considerano tre situazioni di seguito schematizzate per la catena di ricezione di una SRB. In tali situazioni, per ciascun elemento della catena, sono indicati i valori di F = cifra di rumore del quadripolo considerato; G = guadagno OUT/IN del quadripolo considerato; La configurazione di riferimento a cui tutte le implicazioni saranno riportate è: LNA non presente Questa configurazione si riferisce alla situazione standard in cui si ha il normale collegamento tra ricevitore RX e sistema radiante mediante un cavo conduttore.

88

Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento a cui tutti gli altri casi si rifaranno allo scopo di evidenziare vantaggi e svantaggi.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−+=

CAVOCAVO

CAVOCAVO

CAVO

RXCAVORIF

AG

AFGFFF

1

1

⇒ ( ) RXCAVORXCAVOCAVORIF FAFAAF =−⋅+= 1 (4)

Questo risultato è in accordo con l’equazione (3) della premessa. Si noti che la presenza del cavo di ricezione del sistema radiante degrada la cifra di rumore della cascata in modo proporzionale al suo fattore d’attenuazione.

RxRx GF ,

cavocavo GF ,

ricevitore cavo antenna

Configurazione A: Antenna → LNA → Cavo Questa configurazione si riferisce al caso in cui un LNA è inserito tra l’antenna di ricezione ed il cavo di collegamento al ricevitore radio cavocavo GF ,

RxRx GF ,

LNALNA GF ,

Ricevitore Rx Cavo LNA Antenna Si ha:

LNA

RXCAVOLNA

LNA

RIFLNAA G

FAF

GF

FF11 −

+=−

+= (5)

Si nota che, rispetto alla situazione di riferimento, la cifra di rumore della cascata si è ridotta dal valore ACAVO*FRX (proporzionale all’attenuazione del cavo) ad un valore che tende FLNA se GLNA è sufficientemente grande rispetto al prodotto ACAVO*FRX.

89

Configurazione B: Antenna → Cavo → LNA Questa configurazione si riferisce alla situazione in cui un LNA è inserito tra il cavo di ricezione ed il ricevitore

90

cavocavo GF ,

RxRx GF ,

LNALNA

Ricevitore LNA Cavo Antenna

GF ,

Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento del caso A. Si ha:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−+

−+=

CAVOCAVO

CAVOCAVO

LNACAVO

RX

CAVO

LNACAVOB

AG

AFGG

FG

FFF

1

11

⇒

⇒ ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

−+−+=

LNA

RXLNACAVO

LNA

RXCAVOLNACAVOCAVOB G

FFAG

FAFAAF 111 (6)

Si noti che nel caso in cui GLNA è sufficientemente grande rispetto a FRX si ha:

LNACAVOB FAF ≅ (7) ovvero il vantaggio rispetto alla situazione di riferimento è data dalla presenza di FLNA al posto di FRX. Tale vantaggio è presente purché FLNA sia minore di FRX ed è indipendente dalla lunghezza del cavo di ricezione.

Configurazione C: Antenna → Cavo → LNA → Attenuatore Questa configurazione si riferisce alla situazione in cui un Multicoupler (LNA) è inserito a valle del cavo di ricezione ed è seguito da un attenuatore, tipicamente un piccolo codino di ricezione per facilitare la connessione fisica del LNA o del cavo coassiale rigido al ricevitore della stazione.

91

cavocavo GF , Ricevitore Attenuatore LNA Cavo Antenna

RxRx GF ,

SEZ: VI III II I Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento del caso A. Si dimostra che:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

LNA

RXAttLNACAVOC G

FAFAF 1 (8)

Questa configurazione introduce un degrado rispetto alla situazione B (equazione 7) nel caso in cui il termine AATT*FRX non sia trascurabile rispetto a GLNA. Viceversa se AATT tende ad 1 cioè 0 dB di attenuazione si ricade nella situazione B (equazione 6).

LNALNA GF ,AttAtt

AF =

Osservazioni e confronti relativi ai tre casi esaminati Rapportando la cifra di rumore trovata nei tra casi a quella di riferimento si ottiene:

Configurazione A: Antenna → LNA → Cavo

LNALNALNA

RXCAVORXCAVOLNALNARXCAVO

LNA

RIF

A

GGF

FAFAGGFAF

FF 11111

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−+= (9)

o in modo approssimato

RXCAVO

LNA

RIF

A

FAF

FF

≅ (10)

Il vantaggio come RIF

A

FF in termini di cifra di rumore che si ha usando un LNA subito dopo

l’antenna è tanto più apprezzabile (minore di 1 indica un miglioramento) quanto maggiore è l’attenuazione (lunghezza) del cavo di collegamento a valle dell’antenna verso il ricevitore o quanto è più bassa la cifra di rumore del LNA

Configurazione B: Antenna → Cavo → LNA

RX

LNA

RXLNA

RXCAVO

LNA

RXLNACAVO

RIF

B

FG

FF

FAG

FFA

FF

11 −+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

= (11)

o in modo approssimato

RX

LNA

RIF

B

FF

FF

≅ (12)

il vantaggio in termini di cifra di rumore RIF

B

FF , con LNA posto a valle del cavo, non

dipende ovviamente dall’attenuazione del cavo, ed è minore di 1 (miglioramento) in quanto il numeratore e' dominato da termine FLNA che è minore di FRX. Quanto più la cifra di rumore del multicoupler (LNA) è bassa rispetto a quella del ricevitore, tanto più risulta vantaggioso l’utilizzo di un amplificatore a valle del cavo che ha costi di installazione ed esercizio più bassi rispetto ad un LNA in Antenna. Ovviamente questa soluzione è meno vantaggiosa della precedente in quanto il cavo non è compensato ovvero matematicamente essendo il denominatore più piccolo a causa dell’assenza di Acavo, risulta che il rapporto è più grande e quindi il vantaggio minore.

92

Configurazione C: Antenna → Cavo → LNA → Attenuatore

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=LNA

LNARXLNA

Att

RXCAVO

LNA

RXAttLNACAVO

RIF

C

GF

FGA

FAGFAFA

FF 11

1

(13)

L’equazione (13) può essere riscritta in modo approssimato come segue:

RX

LNA

LNA

Att

RIF

C

FF

GA

FF

+≅ (14)

Da questo si nota che se AATT è sufficientemente piccolo rispetto a GLNA le prestazioni di questa configurazione si riconducono a quelle del caso B ( equazione 12).

93

Grafici di confronto relativi ai casi esaminati I grafici che seguono illustrano i suddetti confronti in alcune situazioni tipiche relazionando il guadagni in termini di cifra di rumore in funzione dei tre parametri:

• guadagno LNA • lunghezza del cavo di connessione • attenuazione del codino di ricezione

Il grafico di Figura 1 riporta l’andamento delle grandezze espresse dalle equazioni (9) e (11) in funzione del guadagno del LNA, ipotizzando FLNA = 2 dB e una perdita del cavo pari a 3 dB.

Rapporto Cifre di rumore (dB) della catena di ricezione rispetto alla situazione di riferimento per i casi A) e B) in funzione del guadagno del LNA

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

00 5 10 15 20 25

G_LNA (dB)

F_A / F_RIF (dB)F_B / F_RIF (dB)

Figura 1

Dal grafico di figura appare evidente che la configurazione A) con LNA in Antenna è quella che restituisce un guadagno in termini di cifra di rumore maggiore ed è pertanto la preferibile in termini di prestazioni ma non lo è in termini di costi di esercizio.

Il grafico di Figura 2 riporta l’andamento delle grandezze di guadagno sulla cifra di rumore espresse dalle equazioni (9) e (11) e l’andamento della cifra di rumore nei due casi A) e B) in funzione della lunghezza del cavo di connessione. In questo grafico si è ipotizzato GLNA = 12 dB, FLNA = 2 dB, e si è considerato un cavo avente attuazione pari a 3.8 dB/100m (LCF 7/8).

94

Andamento delle prestazioni in termini di cifra di rumore della catena di ricezione in funzione della lunghezza del cavo nei casi A) e B)

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 50 100 150 200 250

Lunghezza del cavo (m)

dB

F_A(dB)

F_B(dB)

F_A / F_RIF (dB)

F_B / F_RIF (dB)

F_RIF (dB)

Figura 2 L’analisi del caso C) che prevede l’utilizzo di un codino di ricezione flessibile a monte del ricevitore è riportata in figura 3 ed esprime l’andamento delle grandezze espresse dalle equazioni (8) e (14) in funzione della attenuazione del codino di ricezione (cioè dell’attenuatore). In questo grafico si è ipotizzato GLNA = 22 dB ( Guadagno del Multicoupler), FLNA = 2 dB, e FRX = 8 dB si è considerato un cavo di ricezione dall’antenna avente attuazione pari a 3dB.

Caso C) guadagno in termini di prestazioni sulla cifra di rumore con un attenuatore (codino di ricezione flessibile) a monte del ricevitore

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Aatt (dB) del codino di ricezione flessibile

Frif (dB)F_C(dB)F_C / F_RIF (dB)

Figura 3

95

Dal grafico di figura 3 si osserva che rispetto alla situazione di riferimento se si introduce un codino di ricezione ed a monte di questo un LNA (multicoupler di ricezione ) allora il guadango ottenuto in termini di miglioramento sulla cifra di rumore si attenua fino ad annullarsi quando il codino di ricezione diventa troppo lungo. Il grafico di figura 4 traduce i risultati del precedente in termini di sensibilità (dBm) della catena di ricezione e confronta questo dato con quello ottenuto da misure sperimentali di sensibilità

Confronto sensibilita' teorica - sensibilta' misurata

-112.00

-111.50

-111.00

-110.50

-110.00

-109.50

-109.00

-108.50

-108.00

-107.50

-107.00

-106.500 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Aatt (dB)

Sens

ibili

tà (d

Bm

)

Sens(RIF) dBmSens(C) dBmSens(C) misurata (dBm)Sens(RIF) misurata (dBm)

Figura 4

96

Scelta dell’LNA per una catena di ricezione: conviene maggiore guadagno oppure minore cifra di rumore ? Si consideri una situazione come quella mostrata in figura 1:

LNA Attenuatore (cavo) RX

F_LNA G LNA

A F_RX F_RIF = F_RX =4.50 dB

Figura 1 Facendo variare la lunghezza del cavo e prendendo in considerazione dispositivi LNA aventi prestazioni diverse si può vedere in Fig 2 come questi influiscono sulla cifra di rumore dell’intera cascata di dispositivi.

Fig. 2

Cifra di rumore della cascata: LNA-Cavo-Ricevitore per vari LNA al variare della lunghezza del cavo con attenuazione di A (dB)

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Attenuazione A dell'attenuatore (dB)

F (dB) della config. di riferimento (solo RX)

F (dB) con Device 1 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 0.6 dB)

F (dB) con Device 2 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 1.7 dB)

F (dB) con Device 3 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 2 dB)





Ipotesi: 1)Non esistono dispositivi attivi a monte del LNA.2)La situazione di riferimento è il solo ricevitore con a monte il cavo o attenuatore.

LNA Attenuatore RX

F_LNAG_LNA

A F_RXF_RIF =

F_RX=4.5

Dal grafico di Fig 2 si possono osservare due fenomeni:

97

• All’aumentare del guadagno dell’ LNA la curva si appiattisce in orizzontale, in

questo caso anche con un’attenuazione A (dB) del cavo elevata, si riesce a tenere la cifra di rumore complessiva relativamente costante e praticamente pari alla cifra di rumore del LNA. Questo discende immediatamente dalla legge di Friss che vede dominare il primo elemento della catena di ricezione in maniera tanto più forte quanto maggiore è il guadagno del LNA.

• Quanto minore è la cifra di rumore del LNA quanto minore risulta la cifra di rumore totale della catena.

Si potrebbe erroneamente pensare quindi che aumentando indefinitamente il guadagno del LNA e, riducendo la sua cifra di rumore, le prestazioni in termini di rumore della catena di ricezione mostrata possano migliorare indefinitamente. In realtà dal punto di vista delle prestazioni conviene ridurre la cifra di rumore del LNA ma non serve anzi può risultare dannoso aumentare eccessivamente il guadagno del LNA. I dispositivi di ricezione hanno infatti delle soglie di potenza massima ammissibile di ingresso, oltre le quali si ha un comportamento non lineare del dispositivo di ricezione che può presentare fenomeni di:

• Blocco del ricevitore per saturazione a causa segnale di ingresso troppo elevato • Riduzione della dinamica di ingresso del ricevitore e blocco per livello superiore ad

1dB compression point • Comparsa di rumore e distorsione di intermodulazione: IM3

La condizione più stringente tra queste è quella che determina il guadagno max del LNA.

Condizione di Blocco del Ricevitore La condizione di blocco del ricevitore determina il guadagno max del LNA nel modo sottoriportato:

Pin LNA

F_RX

RX LNA Attenuatore

F_LNA G_LNA

A

Prx block

Fig 3 Nota la potenza di ingresso al ricevitore che ne determina il blocco, la potenza in ingresso all’LNA si trova mediante le due equazioni:

98

cavoLNABlockINBlockRX AGPP −+= se per esempio PRX Block= -26 dBm, GLNA=12 dB, ACAVO=0 dB allora

cavoLNABlockRXBlockIN AGPP +−= PIN Block= - 38 dBm max

1 dB compression point La potenza massima in ingresso è data dalla seguente realzione in cui il backoff deve essere noto dalla specifica del ricevitore.

dBdBmcomprdB1_INdBmcomprdB1_MAX_IN BackoffPP −= −−−−

Comparsa di Rumore di intermodulazione IM3 Il Rumore di intermodulazione IM3 può essere definito in questo caso attraverso lo Spurious Free Dynamic Range (SFDR) cioè la differenza in dB tra il livello di potenza in uscita del segnale utile ed il livello di potenza del rumore nella situazione in cui i prodotti di intermodulazione IM3 sono pari alla soglia di rumore. In tal caso la potenza massima ammissibile in ignresso al dispositivo è data dalla seguente rlazione:

33IP2EIN

P dBmINdBmdBm3IM_to_due__carrier/MAX_IN

+=⇒

Come esempio si riportano le curve di dinamica di un dispositivo LNA in termini di guadagno e potenza massim ad’ingresso in funzione dell’’attenuazione A del cavo Il grafico di figura 4 considera un ricevitore di stazione RX avente un livello di blocco relativo ai segnali di input pari a PRX Block= -26 dBm.

99

Fig. 4

Gudagno LNA e Ppotenza di ingresso Max a LNA in funzione dell'attenuazione del cavo A

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

A (dB)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

F (dB) della config. di riferimento (solo RX)

F (dB) con Device 1 (G_LNA = 12 dB, F_LNA =0.6 dB)F (dB) con Device 2 (G_LNA = 12 dB, F_LNA =1.7 dB)Riferimento: P_IN_MAX_CASCATA (due toBTS saturation) (dBm)Device 1 (IP3_IN = 13 dBm):P_IN_MAX_CASCATA (dBm)Device 2 (IP3_IN = 4 dBm):P_IN_MAX_CASCATA (dBm)

LNA Attenuatore RX

F_LNAG_LNA

A F_RX

F_RIF = F_RX

A

B

Le curve rosse e gialle di Fig. 4 si riferiscono rispettivamente a due dispositivi LNA diversi:

1) Giallo LNA con F=0.6 dB G=12 dB IP3IN=13 dBm 2) Rosso LNA con F=1.7 dB G=12 dB IP3IN=4 dBm

Relativamente alla cifra di rumore della cascata di dispositivi, non vi è nulla di nuovo rispetto a quanto già visto. Viceversa relativamente alla dinamica, Il primo dispositivo, con F=0.6 dB e IP3IN=13dBm, è migliore in prestazioni dal punto di vista del rumore rispetto al secondo dispositivo, infatti la potenza che ammette in ingresso prima di produrre prodotti spuri IM3 è più elevata rispetto al secondo dispositivo, questo è il motivo per il quale la curva gialla si trova più in alto sull’asse delle potenze di ingresso rispetto alla curva rossa, ovvero il primo dispositivo ammette una maggiore dinamica del segnale di ingresso. I punti A e B sono quelli dove il comportamento della curva cambia, in particolare a sinistra dei punti la condizione più restrittiva è rappresentata dal livello di blocco per saturazione del ricevitore mentre a destra, il livello più basso che determina la condizione più restrittiva è dovuto ai prodotti di intermodulazione IM3.

100

101

Per il primo dispositivo, si nota che a basse attenuazioni del cavo cioè a sinistra del punto B, anche se il i prodotti IM3 sono ottimi si è comunque costretti a ridurre la potenza di ingresso all’ LNA a causa del blocco per saturazione del ricevitore radio. Nell’esempio non è stato inserita la condizione su 1 dB compression point. Da quanto detto fino ad ora si più pertanto concludere che per una scelta ottimale dei parametri di un LNA : Guadagno, Cifra di Rumore, IP3IN occorre prima conoscere le caratteristiche del ricevitore e del cavo a valle del LNA. Per quanto riguarda le BTS in generale si è visto che un LNA con F=0.8 dB, G=12 dB, IP3IN=13 dBm si ottiene un buon compromesso tra dinamica e cifra di rumore della cascata di dispositivi. Calcolo della sensibilità in ricezione per una trasmissione digitale

Per il calcolo della sensibilità si parte dalla relazione che correla il rapporto segnale rumore a: energia sul bit, larghezza di banda, bit rate, rumore termico.

0 0

b b b bE R E RSN N W KT FW

⎛ ⎞≡ ≡⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1)

Per esempio nel caso di un sistema per telefonia mobile GSM inserendo qualche dato tipico si osserva che:

271.0009(dB) 7.68 (dB) 10 7.68 (dB) 1.32 (dB) 200.000

Log ⎛ ⎞≅ + ≅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Ciò che interessa è il valore minimo di S ovvero il valore minimo del segnale utile che permette al ricevitore di decodificare con una certa probabilità di errore (BER%) accettata funzione della codifica adottata, della banda utilizzata, del tipo di modulazione, della bit rate, e del mezzo fisico di propagazione. Una volta fissata la BER% e la banda a disposizione si può risalire anche la bit rate Rb sostenibile per un dato rapporto di Eb/N0.

0 00 0 0 0

b b b b b b bb

E R E R E R ES N N KT FW R KN W N W N

T FN

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ ≡ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

dBm

(3) W⎜ ⎟

⎝ ⎠ Riferendosi al caso GSM si ha per esempio:

7.68 54 174 8 104S ≅ + − + ≅ − (4) dove per il GSM valgono le seguenti:

0 0

0 0

0

; potenza di rumore termico sul canale -121 dBm;

cifra di rumore del ricevitore 8 dB

quantità nota e funzione del Ber 7.68

larghezza di banda del canale 200 Khz 53dBhz bit ra

b

b

N KT FP KT WFENWR

≡

≡ ≡ ≅

≡ ≅

≡ ≅

≡ ≅ ≅≡

-23

0

0

te del canale 271 Kb/s 54 dB bit/s energia per bit

costante di Boltzman 1.38062 10 J/K temperatura di riferimento 300 K

densità spettrale di rumore termico -174 dBm/Hz

bE

KTKT

≅ ≡

≡

≡ ≡ ⋅≡ ≡

≡ ≡

(5)

102

In alternativa è possibile ricavare la sensibilità partendo dal rapporto C/I noto che da specifica garantisce una certa probabilità di errore ma questo metodo non consente di semplificare la banda W in ingresso al ricevitore che non sempre è conosciuta in modo univoco , in quanto per esempio dipende dalla pendenza dei filtri di ricezione per evitare interferenze dovute a canale adiacente:

0 0

b b b bE R E RSN N W KT FW

⎛ ⎞≡ ≡⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6)

ricavando la potenza utile minima per la sensibilità si ha:

( 0b bS )E R KT FN

≡ W (7)

cioè in dB:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( )0 /

9 ( 174) 53 8 9 121 8 104

b bSE R dB dB KT dBm Hz F dB W dBHzN

dBm

≡ + + +

+ − + + ≅ + − + ≅ −

≡ (8)

Di seguito è riportato un esempio pratico relativo al miglioramento della sensibilità di ricezione nel caso di una catena di ricezione GSM che utilizzante un LNA.

103

Miglioramento della sensibilità di ricezione della stazione radio mediante l’uso di un LNA Si consideri il caso di una catena di ricezione di riferimento formata dagli elementi di figura1:

L Codino

Situazione di riferimento

Codino

F_RIFdB = F_RXdB + 1 dB e Sens Rif.= -105.8dBm

F_RX

RX

Figura1 Si da per assunto che il collegamento all’antenna avviene tramite un cavo di ricezione che si trova a monte di questa cascata e che nel disegno non è rappresentato. Consideriamo ora la situazione in cui un LNA è inserito a monte di tutta la catena radio ovvero subito a valle dell’antenna come in figura 2

La sensibilità varia in funzione della lunghezza del feeder di antenna

Aggiunta LNA e del feeder di antenna a valle come parametro

Sens

TMA Codino

L_codino

Feeder

L_feeder F_RX

RX

figura 2 sono noti i seguenti dati: GLNA=12 dB; FLNA=1.7 dB; C/I=S/N=9 dB; FRX=5.19 dB 104

Utilizzando la formula della sensibilità sotto riportata:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dBHzWdBFHz/dBmKTdBNSdBREC

FWKTNSRE

RE

FWKTRE

WR

NE

NS

0bb

0bb

bb

0

bbb

0

b

+++≡=

≡

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

:ottiene si decibel in

:ottiene si àsensibilit la per minimo C utile segnale al equivale che isolando

si può osservare che la sensibilità dipende dalla cifra di rumore della catena di ricezione,che funzione della lunghezza del cavo ovvero dalla sua attenuazione e dalla lunghezza del codino finale di antenna che lo connette al ricevitore. Considerando come parametro la lunghezza del Feeder di antenna allora si ottengono le seguenti curve di variazione di sensibilità in dBm di figura 3:

Effetto dell'amplificatore LNA

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15Lunghezza codino (dB)

Incr

emen

to d

i sen

sibi

lità

(dB

)

L_feeder = 1 dBL_feeder = 2 dBL_feeder = 3 dBL_feeder = 4 dB

figura 3

105

Dal grafico si osserva che la sensibilità in antenna si riduce sia all’aumentare della lunghezza del feeder sia al crescere della lunghezza del codino di ricezione lato Stazione radio.

Tre situazioni di catena di ricezione GSM messe a confronto in termini di sensibilità di ricezione in antenna Nella successiva figura sono riportati tre casi a confronto:

• Nel primo non ci sono LNA • Nel secondo LNA si trova in mezzo alla catena di ricezione, tra feeder e codino • Nel terzo caso l’LNA si trova a monte dei cavi feeder e codino.

106

I risultati si commentano da soli.

RBS200 (con codino da 1 dB)

-108.8-109.1

-109.4-109.6

-105.7

-106.7

-107.7

-108.7

-101.8

-102.8

-103.8

-104.8

-111.0

-110.0

-109.0

-108.0

-107.0

-106.0

-105.0

-104.0

-103.0

-102.0

-101.0

0 1 2 3 4 5

L feeder (dB)

Sens (dBm) RBS200 TMA topSens (dBm) RBS200 LNA bottomSens (dBm) RBS200 no ampli

RX

F_RX

F

Lfeeder

Feeder

1 dB

Codino

TMA

F_TMAG_TMA

RX

F_RX

F

Lfeeder

Feeder

1 dB

Codino

LNA

F_LNAG_LNA

RX

F_RX

F

Lfeeder

Feeder

1 dB

CodinoLNA

F_LNAG_LNA

Unità Logaritmiche per esprimere le potenze L’unità adimensionale dB esprime il rapporto in maniera logaritmica tra due grandezze, per esempio per i livelli di potenza P(W); di solito si sceglie un riferimento:

107

sando misure di tensione è necessario tenere conto dell’impedenza attraverso cui

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

10PPLogdB

Uciascuna tensione viene misurata:

000

00

0

200

:se 2010

10201010

R RVVLog

PPLog

RRLog

VVLog

RVR

V

LogPPLog

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2 ⎞⎛

108

nità Logaritmiche dBm e dBµV

nto le seguenti:

e relazioni reciproche sono :

[ ]

[ ]

[ ]

U Considerando come grandezze di riferime

[ ] [ ][ ] [ ]( ) ( )

[ ]( ) ( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ]dBVPVLogdove

VLogLogVLog

LogVLogV

VLogdBP

dBWPWPLogdove

WPLogLogWPLog

LogWPLogW

WPLogdBPdBP

VV

mW

V

mmW

=

+=+=

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

+=+=

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=

=

−

−

20 :

120201012020

10202010

20

10 :

3010103010

10101010

10

1

1

66

33

0

0

µ

µ

P

L

109

nità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBm

[ ] [ ]( )

[ ] [ ]( ) [ ]

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

[ ]

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

[ ]

6

2062020

120120

120

3

1031010

3030

1030

101010101010

1010

20120

1010101010

1010

1030

20/1

20

10/1

10

VVV

V

V

mmm

m

m

dBPdBPdBP

dBP

VLogdBP

V

dBPdBPdBP

dBP

WPLogdBP

m

VP

VLogdBP

WP

WP

WPLogdB

µµµ

µ

µ

µ

====

=

=−

====

==

=−

−−

−

−

−−

−

−

P

U

[ ] ( ) ( )

( ) [ ]( ) ( )

[ ] ( ) [ ] ( )

[ ] ( )

[ ] [ ] ( ) [ ]

[ ] [ ] 107

3012017301205010

:ottiene si allora 50

3012010

)10(101201010

101201010

1010

120101012010

10202010

2010

20

:

333

3

62/166

+=

⇓

−++=−++=

Ω=

−++=

+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

=++=+=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⇒=

−−−

−

−−

dBmPdBP

dBmPLogdBmPdBP

Rse

RLogdBmP

LogRLogWPLogRLogWPLog

RLogWPLogPRLog

LogPRLogPRLogVLogdBP

PRVR

Pa

V

V

V

µ

µ

µ

2Vd

110

nità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBµV/m U

111

ndo un onda incidente su L

e si misura in [m-1] è dato da

Alla relazione precedente si arriva anche mediante i seguenti passaggi: sia δ è la densità di potenza generata dall’antenna trasmittente in un punto a distanza d

È necessario introdurre il fattore di antenna K pertanto consideran antenna collegata ad un carico z come in figura si ha u

Dipolo

zL(Ω)

VL(µV)

Ei (µV/

Carico

•Ei campo elettrico incidente

antenna hiusa su un carico specifico

•VL tensione ai morsetti di c

Per definizione l’Antenna Factor (AF) ch

[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( )1

11

/

/20

−

−

+=

⇓

−=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⇒=

dBmAFVdBVmVdBE

VdBVmVdBEVV

LogdBmAFmV

Li

LiL

i-

L

i

µµ

µµµ

/ ⎞⎛ mVEE µAF

Il passaggio è immediato utilizzando le relazioni già viste

[ ] [ ] ( )1107/ −++=i dBmAFdBmPmVdBE µ

[ ] [ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )( ) [ ] ( )

[ ][ ] ( )

20107

6

10720/11076

107

20

6

10

107

1020

/

1

11

1

20

6

1

6

1010/

20101010

101010

101010

−

−−

−

−

−

−

++−

++++

−

++−⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

==

dBmAFdBmP

i

dBmAFdBmPdBmAFdBmP

dBmAFdBmPm

V

Log

dBmAFdBmPm

V

Log

mVdBE

mVE

m

V

m

V

i µ

24 dGtPt××

×=

πδ

112

condizioni di campo lontano cioè per un onda piana tale densità di potenza è anche guale a:

per l’area efficace dell’antenna ricevente si ottiene si ottiene la potenza

un’antenna è legata al suo guadagno attraverso la seguente lazione:

tale valore nell’espressione della potenza ricevuta si ha

vertendo la relazione si ottiene

Dal momento che esiste una relazione ch Antenna Factor al guadagno si può scrivere:

Inu

moltiplicando la densità di potenza

ricevuta:

si sa che l’area efficace di re

sostituendo

in

e lega l’

ηδ

2E=

•η è l’impedenza caratteristica del vuoto,

•Pr è la potenza ricevuta dal ricevitore nel punto considerato (W),

.Pr effA

•λ è la lunghezza d’onda del segnale utile,

•Gr è il guadagno del ricevitore, •freq è la frequenza in Hz

×= δ

Gr×π4

Aeff ×=λ2

.

GrGr ××

×=××

×=π

ληπ

δ44

Pr2Eλ 22

GrEr

××××

= 2

4Prλ

πη

113

[ ]

6

6

6

6

2222

2

10Pr

2010/20

10Pr10/

///in miuratoPr

1Pr

44Pr4Pr

:ha si elettrico campo del eespressionnell' osostituend

44

−

−

−

−

⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅=

==⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

=

radiazione

radiazione

radiazione

radiazioneradiazione

RX

RAFLog

mVELog

RAFmVE

mVE

mVm

AVAVm

AVWRAF

AFRAFRGr

E

G

µ

λπηλ

πηλ

πη

πηπη

[ ]

222 =⇒=radiazione

RXRXradiazione AFR

GGR

AFλλ

[ ] 107][

107][)(20

120)50(1030][)(20

120)(10)10(10][)(20

120)(10)1010](Pr[10)(20

1020)(10])(Pr[10)(20/

1

3

3

3

6

++=

++=

=++−+=

=++++=

=++⋅+=

=+++=

−

−

−

−

dBmPdBmAF

dBmPAFLog

LogdBmPAFLog

RLogLogdBmPAFLog

RLogWLogAFLog

LogRLogWLogAFLogmVdB

radiazione

radiazione

radiazioneµE

Tratta radio

114

Tratta radio: trasmissione in spazio libero

na trasmissione radio può essere schematizzata mediante i seguenti blocchi

r la parte radio, l’att uazione co tratta hertziana si trova mediante la

a parte di tratta che comprende antenna trasmittente ed antenna ricevente caratterizza la

Ufondamentali:

Pe en mplessiva diseguente:

Ltrasmissione nello spazio che ipotizziamo essere “spazio libero”

Tx(A

Rx(B

ΘA,ФA

ΘB,ФB

WRB

WTA

rtrasmettitore

ricevitore

Mu Mo Tx AL1

G1

AFMu De Rx AL2

G2

A0

A

AT

TRATTA RADIO

•Mu•Mo: modulator F A: attenuazione di tratta

: multiplex AT:attenuazione complessiva di tratta hertziana e R

ntale di trasmissione

ore

•T: trasmettitore A0:attenuazione fondame •R: ricevitore AL:attenuazione delle connessioni di antenna •De: demodulat AF:attenuazione aggiuntiva di fading • G d di

)( dBAAA)G(GAA 21210 FLLT ++++−=

115

• WTA: potenza trasmessa in ingresso all’antenna A

: ione di massima radiazione

u suppongono soddisfatte le seguenti ipotesi:

Campo lontano (cioè distanza r > 2d2/λ con d=dimensione maggiore lineare

ei carichi ( in quanto si vuole il max trasferimento di potenza senza

ione (per evitare perdite di potenza dovute a polarizzazione

ertanto si ottiene l’equazione di FRIIS:

attenuazione fondamentale di tratta A0 di spazio libero è

• WTB: potenza ricevuta in uscita dall’antenna B • G(Θ,Ф) guadagno delle antenne rispetto alla direz

S •

dell’antenna) Adattamento d• effetti di potenza riflessa) Adattamento di polarizzaz• diversa delle tra trasmissione e ricezione)

[ ]

[ ]

22

2

2

22

4

44

:è B antennadell' morsetti ai ricevuta potenza la aconseguenz di

4

:ha si antenna di guadagno al efficace area lega che relazione dalla

B antenna dalla morsetti ai W potenza

A da "" distanza a ricevuta W/m potenza di densità 4

λπ

GG

rπWλ

πG

PW

λπ

GA

APW

rGrπ

WP

),Φ(ΘB),Φ(ΘA

TA),Φ(ΘBBRB

),Φ(ΘB

),Φ(ΘBeff

),Φ(ΘBeffBRB

),Φ(ΘATA

B

BB

AA

BB

BB

BB

BB

AA

⋅=⋅=

=

⋅=

=

P

),Φ(ΘB),Φ(ΘATA

RBBBAA

GGrπλ

WW

4 ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=2

⎞⎛

l’

75.0 0.5

è effettiva areal' apertura ad antenneper

1

14

2

0

2

116

sprimendo l’equazione di Friis in decibel si ottiene

condizioni reali all’attenuazione fondamentale di tratta A0 va aggiunta l’attenuazione

E

Indovuta a fading (evanescenza) AF :

0

≤≤⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ηAηA

AAfrc

WWA

GGcrfπ

WWA

geometricaeff

BeffAeffRB

TA

BARB

TA

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ][ ]Hzfmr

con

dBGdBGrLogfLog

dBGdBGrLogπLogfLogcLog

dBGdBGrπLogfcLog

dBGdBGrπλLogdBmWdBmWdBW

),Φ(ΘB),Φ(ΘA

),Φ(ΘB),Φ(ΘA

),Φ(ΘB),Φ(ΘA

),Φ(ΘB),Φ(ΘATARB

BBAA

BBAA

BBAA

BBAA

≡≡

+++−≅

=+++−−=

=++⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−=∆

:

)()(20206,147

)()(204202020

)()(4102102

)()(4

102)()()(

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

azionedepolarizztoassorbimenostacoli da difrazione

rifrazioneeriflession

:con )( 0 FF AdBAAA

Satelliti per telecomunicazioni: accesso di tipo FDMA Sono di seguito riportate alcune nozioni di base per il calcolo del Link-Budget relativo ad un collegamento radio satellitare per telecomunicazioni

Potenza Ricevuta dalla stazione di Terra Si consideri lo schema di una tratta radio satellitare di figura 1 La potenza Pr, ricevuta nella stazione a terra può essere calcolata nel modo seguente:

LossesRGGPP rttr

14

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

πλ (1)

ovvero in dBW:

rataaprsatelliter LLLLGEIRPP −−−−+= (2) dove:

( ) ( )10

10 2

2

10

10

410

4path loss 10

attenuazione atmosfera( )perdita antenna trasmissione ( )perdita antenna ricezione ( )

satellite t t

r eff

eff Geometrica

p

a

ta

ra

EIRP dBW Log PG

G Log A

A A

RL Log

L dL dL d

πλ

η

BB

B

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

πλ

= =

==

=

(3)

LNA

Received Power Pr

Earth station Antenna Gain Gr Loss Lra

Path Loss LP

Atmospheric Loss La

EIRPsatellite Loss Lta satellite

Figura 1

117

Definizione del C/N per un collegamento satellitare Solitamente per una stazione di terra si usa definire il rapporto C/N in questo modo:

2 2potenza ricevuta 1 1rumore 4 4

t t r t t r

s s

PG G PG GCN KT B R Losses KB R T Losses

λ λπ π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4)

dove :

KBGP tt : è il fattore di merito del trasmettitore lato satellite

Losses : sono le perdite complessive dei cavi più antenne

2

4

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Rπλ

: è il path loss dello spazio libero

s

r

TG : è la figura di merito del ricevitore della stazione di terra

Free Space Loss

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

100

1000

1000

0

1E+0

5

1E+0

6

1E+0

7

1E+0

8

1E+0

9

1E+1

0

4E+1

1

Distance (m)

Att

enua

tion

(dB

)

A0(dB) f=1GHzA0(dB) f=10 GHzA0(dB) f=100 GHz

2

04

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

crfπ

WWA

RB

TA

118

Il C/N globale del collegamento FM tra stazione di terra e satellite può essere determinato A partire dai contributi sulle tratte Up_link e D_Link e aggiungendo il C/N di intermodulazione sulla tratta D-Link a causa della saturazione del High Power Amplifier (Travelling Wave Tube) del satellite:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=++

=

−−−

−−−−−−

ntermod

ntermodntermod

1111

1

iIlinkDlinkU

iIlinkDlinkUiIlinkDlinkU

NC

NC

NC

CN

CN

CNNNN

CNC

Definiamo il Back-Off di input in Up-Link come la differenza tra la potenza di ingresso di una singola portante radio che provoca la saturazione in uscita del TWT, e la potenza di uscita di una particolare portante del multicarrier FDMA considerata intorno al normale punto di lavoro. Segue che le potenze e dunque i C/I possono essere espressi in funzione del Backoff riferendosi alle potenze di saturazione e sottraendo contemporaneamente il margine di Backoff relativo. Il Backoff UP-Link determina il Backoff D-Link cioè la distanza dalla potenza di saturazione di output del TWT amplifier. In figura è riportato il concetto di backoff, si osserva che a causa della distribuzione delle potenze sulle portanti radio nel caso di una muticarrier la linea di saturazione è a più bassa potenza rispetto alla singola portante di saturazione.

119

At single carrier input

At multicarrier output

Operating Point Output

Saturation Output

Output

InputOperating Point

TWT Saturation

Output BOO backoff

Input backoff BOI

Calcolo delle componenti di C/N Vengono di seguito riportate le componenti che formano il C/N del collegamento satellite –stazione terra Tratta UP –Link Il C/N è dato da:

inputs

rSaturation

inputs

rtt

inputs

rtt

U

BOKBTG

F

BOKBTG

RGP

BORBKTGGP

NC

114

1144

14

2

2

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

πλ

πλ

ππλ

relativamente al BACKOFF si ha che :

)()/()/( 22 dBBOmdBWFluxmdBWFlux inputdensity −= saturationdensity

120

121

Il TWT produce la massima uscita nella regione di saturazione dove tuttavia si producono a causa della non linearità del dipositivo TWT , prodotti di intermodulazione e la distorsione di intermodulazione. L’output Backoff D-Link è compreso solitamente tra 3 e 7 dB ed è determinato dalla potenza Up-Link ricevuta dal Satellite, per questo motivo il problema fondamentale su tale tratta è calibrare la potenza di trasmissione della stazione di terra in modo che le oscillazioni sul satellite non siano superiori tipicamente allo ±0.5%. Le stazioni di terra pertanto solitamente hanno grandi antenne molto direttive e possono sfruttare una grande potenza di trasmissione con elevata accuratezza in potenza trasmessa.. Infatti lato Up-Link, da terra verso satellite, teoricamente non ci sono problemi legati né alla potenza disponibile di trasmissione né alle dimensioni delle antenne, (parabole di 20m di diametro), viceversa il satellite che è alimentato a celle solari ha maggiori difficoltà in potenza di trasmissione, nonché in dimensioni fisiche delle antenne a bordo. La stazione di terra inoltre possiede sensibili meccanismi di regolazione della potenza di trasmissione basati sul monitoraggio del fading tramite un controllo a feedback del segnale D-Link ricevuto. Per tale motivo le stazioni di terra che devono trasmettere verso il satellite sono mediamente molto costose ed è quindi anche per questo motivo che si preferisce l’uso del satellite per collegamenti punto-multipunto D-Link di tipo broadcasting per esempio TV Broadcast. Il maggior contributo di rumore verso il satellite è dovuto :

• rumore termico della terra 250-300 K; • rumore termico del trsponder; • Interferenze Up_link cocanali ed adiacenti: CCI e ACI

Relativamente al rumore termico della terra vi è poco da fare, esso resta abbastanza costante intorno a 250 K quando la terra è vista da satellite o 300 K quando il dispositivo di antenna è sulla terra; viceversa nel caso delle interferenze Up-Link considerato il recente passaggio sulla spaziatura angolare tra satelliti da 3° a 2° vi è in generale il maggiore problema di interferenza. La inter-spaziatura angolare tra satelliti è funzione sia della densità crescente di satelliti sia del problema interferenziale che si ha a causa di antenne con pattern non sufficientemente stretto. Tale interferenza può divenire forte quando le stazioni di terra usano piccole antenne paraboliche con un fascio radio non sufficientemente stretto. Se da un lato questo le rende poco costose, facili da installare e da puntare, dall’altro lato per ottenere elevati EIRP di trasmissione richiedono molta potenza in ingresso ( per esempio Intelsat IV piu di 200 W per singola portante ) ed a causa del lobo non sufficientemente stretto possono provocare maggiori criticità interferenziali sui satelliti adiacenti. Per ridurre tale problema interferenziale, il CCIR ha emesso una specifica relativa al pattern di trasmissione di tali antenne, che fissa il guadagno in funzione dell’angolo di apertura, in particolare si ha:

( )( ) ;7))(2532(

;71))(2529(°>−=

°<<°−=ϑϑϑ

ϑϑϑperLogGperLogG

in figura e riportato il grafico relativo alla maschera del pattern di specifica:

Isotropic level 0

20

29-25Log(ϑ)

32-25Log(ϑ)

G(ϑ) dB

Angle of axis ϑ -7° 7° TRATTA DOWN-LINK Nel verso D-Link i contributi di rumore ricevuti sulla stazione di terra sono:

• Prodotti di intermodulazione del HPA: problema del Backoff ; • Temperatura del Sole circa 6000 K; • Ts temperatura di sistema del ricevitore; • Sky Noise cioè rumore dovuto all’atmosfera; • Rumore da interferenza CCI e ACI.

Le specifiche a seconda della frequenza richiedono che al C/N sia ammesso di andare sotto una data soglia per una % di tempo non superiore alla specifica. Per esempio:

• 6/4 Ghz tale percentuale è 0,01 % dell’anno; • 14/11 Ghz dove la rain attenuation è maggiore si parla dello 0.1% dell’anno • 30/20 Ghz dello 0.2% dell’anno.

Calocolo del C/N:

122

outputs

r

outputs

rtt

otputs

rtt

D

BOKBTG

EIRP

BOKBTG

RGP

BORBKTGGP

NC

114

114

142

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

πλ

πλ

πλ

)(dBBONC

NC

outputSaturationII

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−

Sia il C/N D-Link che il C/N di Intemodulazione dipendono dal Output Backoff ovvero dalla potenza di uscita del TWT che non deve operare nella regione di saturazione. Quanto maggiore è il l’output Backoff cioè quanto minore è la potenza di uscita del TWT, tanto maggiore cioè migliore risulterà il C/N di intemodulazione Sulla tratta Up-Link all’aumentare della potenza di flusso in ingresso al satellite il C/NUP tende a migliorare e così fa anche il C/NDL, ma raggiungendo la regione di saturazione il C/NDL rimane stabile ed una volta oltrepassata la regione di saturazione inizia a decadere al crescere del C/NUL Il termine C/NI decresce monotonamente al crescere del C/NU il risultato è la curva ci C/N totale con un massimo che corrisponde al punto ottimale di operating point del TWT amplifier. Quanto detto è visualizzato sul grafico sotto di figura:

123

Optimum

C/N dB

Overall C/NINTERMOD: C/NI

D-LINK: C/ND

UP-LINK: C/NU

TWT input Power

124

Fenomeni di attenuazione e depolarizzazione durante la propagazione radio del segnale Sono di seguito brevemente elencati i principali fenomeni di attenuazione che occorrono su un collegamento satellitare: Attenuazione non dovuta a pioggia o ghiaccio

• Assorbimento atmosferico in corrispondenza delle frequenze di risonanza del vapore acqueo circa 21 Ghz e dell’ossigeno circa 60 Ghz;

• Attenuazione troposferica evidente soprattutto per angoli di elevazione dell’antenna minori di 5°;

o Scintillazione cioè rapide fluttuazioni del segnale radio; o Muiltipath fading selettivo in frequenza per il quale si considera un margine

aggiuntivo di sicurezza ed è da intendersi come attenuazione da superare solo per una data percentuale di tempo;

o Land e sea multipath.

• Faraday rotation nella Ionosfera: tra 40 e 100 Km di altitudine a causa delle particelle ionizzate si considera la ionosfera come un plasma all’interno della quale l’onda si propaga secondo due polarizzazioni inizialmente ortogonali.

125

A causa del percorso nella ionosfera tali polarizzazioni dell’onda subiscono un’attenuazione differente e la somma vettoriale restituisce una polarizzazione diversa da quella di partenza.

Attenuazione dovuta a Rain effect

• Attenuazione: per frequenze maggiori di 10 Ghz la lunghezza d’onda è tale che le gocce di pioggia provocano uno scatter dell’onda elettromagnetica. Questa diffrazione diffonde parte dell’energia dell’onda in direzioni diverse da quella principale di propagazione provocando complessivamente un’attenuazione del segnale.

• Depolarizzazione: avviene in misura differente a seconda della polarizzazione dell’onda incidente, questo è dovuto alla forma schiacciata ad ellissoide della goccia di acqua in caduta. L’attenuazione è minima se l’onda si propaga con il campo elettrico parallelo all’asse minore dell’elissoide. Un onda polarizzata linearmente in una direzione qualunque può essere vista come composta dalla somma vettoriale di una polarizzazione verticale e una orizzontale, ne consegue che se ad opera della pioggia una delle due polarizzazioni viene attenuata maggiormente allora la polarizzazione complessiva cambia.

• Aumento temperatura di rumore dell’antenna: La pioggia oltre ad introdurre un attenuazione contribuisce all’incremento della temperatura di antenna sul quale cade, tale effetto può in alcuni casi essere peggiore che la sola attenuazione introdotta. Poiché complessivamente come si è visto il C/N dipende sia dall’attenuazione del segnale utile C, sia dal rumore N, è evidente che l’effetto della pioggia si traduce in un aumento di N ed una riduzione di C pertanto in un peggioramento del C/N. La legge è la seguente: Tb=280(API-1) Dove 280 K è l’effettiva temperatura media della pioggia ed API è l’attenuazione da essa introdotta sul collegamento radio.

Esempi calcolo di link satellitari Esempio 1 Si consideri un satellite geostazionario a circa 40.000 Km di altitudine. Dati stazione terra:

• Banda B=36 Mhz; • Angolo Elevazione antenne stazione terra terra : θ>5° • Temperatura di Clear Sky con θ>5° circa pari a Ta= 50 K • Temperatura del ricevitore TRX=20 K • C/N richiesto per FDMA=11 dB per il 99.9% del tempo • Margine di 3 dB per Noise Sun • Margine di 3 dB per Fading θ>5° • Margine 1 dB di implementazione

Dati satellite: potenza trasmessa Ptx: EIRP=21 dBw si vuole calcolare l’area dell’antenna della stazione di terra considerando una efficienza di antenna η=0.65. Risoluzione:

• N=KTsB=K(Ta+Ts)B=K(50+20)B=K(70)B=-134 dBW è la potenza di rumore termico all’ingresso del ricevitore della stazione di terra.

• Fflux-density-satelliteTX=EIRP/4πR2= EIRP/4π(40*106m)=-142 dBW/m2 • Poiché il C/N FDM richiesto è 11 dB e poiché i margini introducono una

attenuazione complessiva di 3+3+1=7 dB allora il C/N(99.9% tempo)=18 dB. • Da C/N=18 dB e N=-134 dBw si ricava C(99.9 %tempo)>=18dB+N(dBw)=

=18dB-134dBw= -116 dBw • Cutile= Fflux-density-satelliteTX*(AEFFICACE-ANTENNA_RX )= Fflux-density-satelliteTX *(AGEOMETRICA* η)

pertanto AGEOMETRICA=[C(dBW) - Fflux-density-satelliteTX(dBW/m2)- η(dB)] Ovvero per ricavare l’area geometrica risulta:

NAF

NC RXANTGEOMETRICAFLUX −−••

=η

Esempio 2 Si consideri un satellite geostazionario a circa 40.000 Km di altitudine.

126

127

Dati stazione di terra:

• f=14 / 11 Ghz • GRX / TS=40,3 dB • GRX=64 dB • Angolo Elevazione antenne stazione terra terra : θ=10° • Antenna aperture efficiency ηA=71.3% • Sky Noise a 10° elevation angle Ta=30 K • TLNA=150 K • TLOSS antenna da determinare ? • Temperatura sistema: Ts-clear-sky=Tantenna+TLNA=(TLOSS-antenna+Tcaptato-antenna)+TLNA=

234 K Dati Meteo:

• Durante heavy rain la crescita dell’atttenuazione slant path attenuation è 8 dB per lo 0.01 % dell’anno

Problema: Calocolare il G/T ed il C/N per la frazione dell 0.01% dell’anno. Risoluzione:

• TS=Tantenna+TLNA=(TLOSS antenna+Tcaptato antenna)+TLNA=234 K • Tcaptato antenna =30K x ηA =30K x 0.713=21.4 K è il contributo dello sky noise

sull’anntenna • TLOSS antenna= TS- TLNA- Tcaptato antenna=234-150-21.4=62.6 K • La temperatura equivalente della pioggia è: TE=TP(1-G) con TP=270 K temperatura

fisica della pioggia a 11 GHz; e G=1/Aslant = -8 dB=0.158 (scala Lineare) pertanto la temperatura equivalente agli 8 dB di attenuazione della pioggia è: TE=TP(1-0.158)=227 K

• Si nota che 8 dB di attenuazione della pioggia originano una delta di temperatura di 227 K che risultando >>> di 30 K relativi a clear sky condition implica che quest’ultimo può essere trascurato.

• Il contributo sull’antenna dipende come prima dall’efficienza di apertura dell’antenna: Tcaptato antenna=227 x 0.713=161.8 K la temperatura del sistema è ora: TS=Tantenna+TLNA=(TLOSS antenna+Tcaptato antenna)+TLNA=62.6+161.8+150 =374 K che in dB corrispondono a 25.7 dBK

• Il nuovo G/T è (GRX / TS)(dB)= GRX (dB)- TS (dB)=64-25.7=38.3 dB rispetto al valore iniziale di 40.3 dB si ha un peggioramento di 2 dB a causa della pioggia sul sistema di antenna.

• Poiché l’attenuazione del segnale per pioggia corrisponde ad 8 dB allora il C/N si riduce di 8 dB.

• Essendo il C/N dipendente anche dal rapporto G/T ed essendo questo peggiorato di 2 dB allora a causa della pioggia il C/N peggiora complessivamente di 10 dB.

S

RX2

TX

TG

R4KBP

NC

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

πλ

Esempio 3

Si vuole realizzare un collegamento satellitare con la potenza trasmessa da terra di PT = 5 KW, con un'antenna terrestre di tipo parabolico con guadagno di GT(dB) = 58 dB, ed una sul satellite, distante r = 36.000 Km, di GS(dB) = 37 dB.

La frequenza da impiegare è di f = 9 GHz e l'efficienza d'antenna è nei due casi η% = 55%.

Si chiede:

• Il diametro delle due antenne paraboliche. • La densità di potenza ricevuta dal satellite. • Il campo elettrico ricevuto dal satellite. • L'attenuazione dello spazio libero. • La potenza ricevuta dal satellite. • L'attenuazione complessiva del collegamento Terra - satellite.

SOLUZIONE

La formula che lega il guadagno G delle antenne paraboliche con il diametro D è:

Bisogna dunque, per determinarne il diametro D, conoscere i guadagni delle due antenne, in modo normale GT, e GS mentre noi li conosciamo in dB; la lunghezza d'onda λ, che si può ricavare dalla frequenza f che è data, e l'efficienza d'antenna, data dal testo come η%.

Determinazione della lunghezza d'onda λ:

Dalla formula della velocità:

facendo la formula inversa, si ricava λ:

128

Determinazione dei diametri delle due antenne:

Dal guadagno G(dB) in dB delle due antenne, si ricava il guadagno G in modo normale.

Scriviamo infatti la formula di G(dB):

e sostituiamo i valori:

dividendo per 10 il primo ed il secondo membro:

passando dai logaritmi ai numeri:

da cui:

GT=631.000

GS = 5.010

Dalla formula del guadagno d'antenna parabolica:

sviluppando la formula inversa rispetto al diametro D si ottiene nei due casi:

129

La densità di potenza in arrivo sul satellite si calcola con la formula:

dove sostituendo i valori numerici si ottiene:

Per il campo elettrico in arrivo sul satellite, dall'espressione

dove i valori dei campi elettrico E e magnetico H sono espressi in valore efficace,

calcolando la formula inversa, in funzione di E, e sostituendo i valori numerici:

Si ricorda infatti che la resistenza caratteristica dell'aria è 377 Ω.

L'attenuazione dello spazio libero si calcola con la formula:

La potenza ricevuta dal satellite si ottiene dalla formula generale della trasmissione:

L'attenuazione totale, intesa come il rapporto fra la potenza trasmessa e quella ricevuta è:

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Molto più spesso però in questo campo delle telecomunicazioni, tutti i valori delle potenze vengono espressi in dBW ed i valori dei guadagni e delle attenuazioni in dB.

In questo caso, allora, calcoliamo detti valori:

e ricordando che i guadagni delle due antenne in dB sono già noti :

GT = 58 dB

GS = 37 dB

dalla formula generale della trasmissione, si ottiene la potenza ricevuta dal satellite espressa in dB:

In effetti, calcoliamo per verifica confrontando con il risultato già ottenuto:

Bibliografia: [1] Lezioni Prof Chiaraluce (Università Politecnica delle Marche: Ing Elettronica) [2] Lezioni Prof Diruscio (Università La Sapienza : Ing Aerospaziale) [3] Lezioni Prof Schirone(Università La Sapienza : Ing Aerospaziale) [4] Lezioni Prof Cerri (Università Politecnica delle Marche: Ing Elettronica) [5] Lezioni Ing. Massaccesi (TIM) [6] Digital And Analog Communication Systems sixth edition (Leon W.Couch ,II) [7] Satellite Communication (Timothy Prat & Charles Bostian I and II edition) [8] Phisycs of the Solar System ( Bertolotti Farinella Vokrouhlicky) [9] Analisi eseguite presso TIM per l’utilizzo di LNA

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[10] Materiale su Internet

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