Appunti di Misure elettroniche - Fiandrino...
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Appunti di Misure elettroniche Prof. Ferrero Andrea Pierenrico Fiandrino Claudio 8 luglio 2009 1
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Appunti
di
Misure elettronicheProf. Ferrero Andrea Pierenrico
Fiandrino Claudio
8 luglio 2009
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Indice
1 Incertezze 4
1.1 Nozioni di metrologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Tipi di incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Quarzi 7
3 Oscilloscopi 8
3.1 Oscilloscopi analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.1 Canale verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Canale orizzontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3 Doppia base tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.4 Canali di ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.5 Sonde compensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Oscilloscopi digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Campionamento Real Time . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Campionamento Sub Sampling . . . . . . . . . . . . . 21
4 Misure del tempo 22
4.1 Frequenzimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Periodimetri e periodimetri medi . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Misure di intervalli di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Principio dell’eterodina 27
6 Misure di tensione, corrente e fase 27
6.1 Voltmetri analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.1 Voltmetri in continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.2 Voltmetri in alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.1.3 Voltmetri a vero valore efficace . . . . . . . . . . . . . 336.1.4 Rosmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Voltmetri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2.1 Voltmetri a semplice integrazione . . . . . . . . . . . . 376.2.2 Voltmetri a doppia integrazione . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Amperometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3.1 Amperometri in continua . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3.2 Amperometri in alternata . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4 Fasometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4.1 Fasometri analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4.2 Fasometri ad alta frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 446.4.3 Fasometri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
7 Sintetizzatori di frequenza 44
7.1 PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 DDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3 Circuito ALC e Modulatore I/Q . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Analizzatori di spettro 53
8.1 Tipi di misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1.1 Modulo funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . 578.1.2 Distorsione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1.3 Intermodulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Power Meter 59
3
1 Incertezze
1.1 Nozioni di metrologia
Definiamo in questo modo la catena metrologica:
campioni primari
↓
campioni secondari
↓
tarature dello strumento
I campioni primari sono oggetti fisici e vengono conservati in laboratorinazionali (INRMI-Torino). La loro accuratezza e definita a priori altrimentinon si potrebbero fare confronti. I campioni secondari servono per tarare glistrumenti di laboratorio e si trovano in laboratori certificati; periodicamentedevono essere tarati dai campioni primari.
Definizioni
1. Incertezza: misura l’accuratezza.
2. Risoluzione: la piu piccola variazione che uno strumento apprezza sulmisurando.
3. Sensibilita: la risoluzione dello zero.
4. Dinamica: la differenza tra il valore massimo e minimo misurabile, ocampo di funzionamento dello strumento.
5. Ripetibilita: proprieta di ottenere lo stesso valore effettuando piuprove, a parita di avere le stesse condizioni del misurando.
Risoluzione ed incertezza non sono strettamente collegate: su una misura epossibile avere risoluzione di 1 µm ed incertezza di 1 cm. Ovviamente piu ealta la risoluzione piu e facile ottere incertezze basse, ma in generale questaproprieta non vale.
1.2 Tipi di incertezze
Esistono tipologie di errore che non sono incertezze: sono gli errori siste-
matici.Questi tipi di errore sono rimovibili con opportune tarature degli strumentimentre le incertezze non sono eliminabili in alcun modo. Per effettuare il
4
calcolo delle incertezze si provvede ad effettuare un certo numero di misureottenendo cosı una distribuzione. La media, o valore atteso, x =
∑ni=1 xi
e il valore centrale della distribuzione se gli eventi sono statisticamenteindipendenti. La varianza tra il campione i-esimo e il valore atteso x e:
σ2 =n
∑
i=1
(xi − x)2
N − 1
dove con N si intende il numero di misure fatte o campioni acquisiti. Ilvalore N-1 a denominatore della frazione indica il numero di intervalli traogni campione ed e un termine di normalizzazione: il significato di questaformula infatti evidenzia per ogni misura la sua distanza con il valore mediorispetto al totale delle misure effettuate.La distribuzione di probabilita piu comune e quella gaussiana per cui:
P (x) =1√
2πσ2e−
(x−x)2
2πσ2
Anche questa formula prevede che gli eventi siano scorrelati quindi ne de-duciamo che una distribuzione gaussiana implica che eseguendo piu misureognuna di esse non influenzi le altre. L’incertezza si calcola in questo modo:
I = µσ
dove µ e il fattore di copertura che puo assumere valore 2 oppure 3.Utilizzando µ = 2 si ottiene una probabilita pari al 95.4% che il misurandoricada nell’intervallo −µ, µ; aumenta fino al 99.7% nel caso in cui µ = 3.Elenchiamo di seguito i due tipi di incertezze che tratteremo:
1. incertezze di tipo A;
2. incertezze di tipo B;
Incertezze di tipo A
Per questo tipo di incertezze la misura risulta tanto piu accurata quanti piucampioni vengono prelevati. Questo comportamento viene osservato con imomenti del secondo ordine.
Incertezze di tipo B
Le incertezze di tipo B non permettono di ridurre gli errori aumentando ilnumero delle misure effettuate: un esempio e l’incertezza residua dovuta allarimozione degli errori sistematici.
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Incertezze di lettura
Le incertezze di lettura sono quelle incertezze dovute all’operatore, della suaaccuratezza di lettura del valore da misurare sulla lancetta. Questo tipo diincertezze infatti sono strettamente legate a strumenti analogici, in quantoquelli numerici forniscono direttamente il risultato in cifre.
Incertezze di classe
E un’incertezza assoluta solitamente espressa in % del valore di fondoscala.
esempio
1. Si misurano 5 V con un fondo scala di 10 V sapendo che lo strumentoe di classe 2.Incertezza assoluta:
∆V = 2% su 10 = 0.2
Incertezza relativa:
δV
V=
0.2
5= 0, 04 −→ 4%
2. Si misurano 5 V con un fondo scala di 50 V sempre con uno strumentodi classe 2.Incertezza assoluta:
∆V = 2% su 50 = 1
Incertezza relativa:
δV
V=
1
5= 0, 2 −→ 20%
Da questo esempio possiamo capire che per misurare qualsiasi grandezzae preferibile utilizzare il fondo scala piu prossimo al misurando al fine diminimizzare l’incertezza.
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2 Quarzi
I quarzi sono modellabili con dei circuiti risonanti risonatori che sfruttandol’ effetto piezoelettrico, trasformando quindi l’energia meccanica dellevibrazioni in energia elettrica, vengono utilizzati negli orologi per misurareil tempo.Per stimarne velocemente l’accuratezza pensiamo che normalmente si regolal’orologio due volte l’anno (cambi di ora legale-solare). La lancetta chemisura i secondi avra frequenza di oscillazione di 1 MHz. Stimiamo che lamisura sia affetta da un errore di ± 1 minuto: dunque
I =T
T=
1
259200= 3.86 · 10−6
dove 259200 sono l’equivalenti in minuti di 6 mesi.Si consideri che gli orologi atomici al cesio, ad esempio, hanno incertezzedell’ordine dei 10−12: sono dunque estremamente piu accurati. Cio e do-vuto proprio ai limiti fisici imposti dalla massima frequenza di oscillazione(e negli ordini delle centinaia di MHz) che condiziona la massa del quarzostesso.Piu e alta la pulsazione ω piu la massa diventa piccola, ma per ovvi motivinon puo essere infinitesimale mentre masse molto grandi di quarzo presen-tano una pulsazione non interessante per fini pratici.Gli oscillatori al quarzo inoltre sono caratterizzati da un fenomeno di dete-rioramento fisico che comporta una diminuzione della massa e, dunque, uncorrispondente aumento della frequenza di oscillazione (deriva).
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3 Oscilloscopi
La funzionalita di un oscilloscopio e rappresentare una forma d’onda su unvideo con assi opportunamente tarati in ampiezza del segnale [V ] (tipica-mente asse y) e tempo di visualizzazione [s] (tipicamente asse x).Esistono 2 categorie di oscilloscopi:
1. oscilloscopi analogici;
2. oscilloscopi digitali;
I primi ad essere stati realizzati sono stati gli oscilloscopi analogici, oggi nonsono quasi piu presenti sul mercato, ma offrono le stesse funzionalita dalpunto di vista utente degli oscilloscopi numerici.Il grosso vantaggio di questi ultimi deriva dal fatto che, mediante il loro uti-lizzo e possibile fare confronti tra due segnali contemporaneamente oppurestimare con precisione un transitorio perche questi dispositivi sono dotati dimemoria. In questo modo possono memorizzare dei campioni, cosa non fisi-camente realizzabile in analogica perche i fosfori, che permettono la visibiltadella forma d’onda sullo schermo, hanno una durata finita di tempo in cuisi illuminano e dunque permettono di vedere solo in tempo reale il segnale.E tuttavia importante precisare che se non si sono acquisiti dati prima dell’i-stante in cui il trigger comincia ad essere attivo e molto probabile che non sivedra nulla sullo schermo: dunque c’e netta separazione tra i due istanti (diinizio acquisizione dati e di trigger) cosa che non avviene negli oscilloscopianalogici.
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3.1 Oscilloscopi analogici
Lo schermo visualizza il segnale quando i fosfori presenti nella superficieinterna del tubo a raggi catodici vengono colpiti dal fascio elettronicoemettendo fotoni (ovvero trasformando la loro energia cinetica in energialuminosa).Un singolo elettrone una volta strappato dal filamento caldo viene accelle-rato ed arriva cosı a colpire i fosfori; senza particolari accorgimenti il fasciodegli elettroni colpirebbe i fosfori nel mezzo dello schermo disegnando unpunto e non una forma d’onda.Per far sı che il raggio elettronico disegni sullo schermo il segnale occorredeflettere il raggio stesso attraverso placchette di deflessione verticali edorizzontali.Mediante la deflessione verticale si riescono a rappresentare le ampiezze delleforme d’onda e con il canale orizzontale se ne definisce l’occupazione tem-porale sul video.La deflessione D viene calcolata con la seguente formula:
D =VdbL
2dVacc
. Vd e la tensione di deflessione
. b e la lunghezza delle placchette
. L e la lunghezza del tubo
. d e distanza tra le placchette
. Vacc e la tensione di accellerazione
La deflessione aumenta aumentando la lunghezza del tubo catodico men-tre diminuisce se le placchette sono troppo vicine.Esse infatti si comportano come condensatori a facce piane con capacitaC = ǫS
d , dove ǫ e la permittivita dielettrica (o costante dielettrica) ed S lasuperficie della faccia di una singola armatura.Se la distanza fra le armature e piccola =⇒ la capacita e grande e siccome il
circuito equivalente e di tipo passabasso in cui Vd =1
1 + sRC· Ving si nota
che la pulsazione del polo ωp si sposta verso sinistra.Ricordiamo che f= ω
2π dunque anche la frequenza diminuisce e questo com-porta la necessita di avere in ingresso segnali con banda limitata perchealtrimenti non sarebbe possibile visualizzarli sullo schermo.
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Figura 1: schema generale oscilloscopio canali verticale ed orizzontale
3.1.1 Canale verticale
L’attenuatore condiziona il segnale di ingresso per garantire una dinamicaelevata e quindi una banda piu larga a disposizione compatibilmente coni vincoli imposti dalla deflessione. Generalemente si utilizzano attenuatorivariabili a scatti, composti cioe da celle a k costante (k fattore di attenua-zione, es. k= 10 dB).
Figura 2: cella a k costante
Il progettista puo determinare il valore di k scegliendo il numero delle cellein modo tale da ottenere il fattore di attenuazione desiderato:
esempio
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Occorre realizzare un’ attenuazione complessiva del segnale di 15 dBavendo a disposizione 6 celle rispettivamente con k1 = 5, k2 = 5, k3 = 9,k4 = 6, k5 = 1, k6 = 5.La configurazione migliore e quella che prevede di utilizzare k3 e k4 in quantoin questo modo si raggiunge un fattore di attenuzione pari a quello deside-rato e si minimizzano le resistenze parassite degli interruttori meccanici.Queste resistenze sono di per se trascurabili dunque non cambiano il po-tenziale ne contribuiscono in alcun modo ad aumentare le incertezze, ma inogni caso e bene tenerne conto e cercare di ridurle il piu possibile.
Davanti all’attenuatore viene posto un circuito di selezione dell’ingresso(come in figura... ):
Figura 3: circuito di selezione
. GND permette di porre a zero la scala;
. DC fa passare il segnale;
. AC filtra il segnale.
Dopo l’attenuatore deve essere necessariamente presente un’amplicifatore
con la funzione di amplificare il segnale in modo tale da avere tensioni digrandezza sufficiente per poter deflettere gli elettroni; queste tensioni sonodell’ordine dei 100/1000 V.Ovviamente l’amplificatore non deve operare in zona di saturazione e questoe il secondo motivo per cui e presente l’attenuatore.Dopo essere stato amplificato il segnale raggiunge le placchette di deflessioneverticale.
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3.1.2 Canale orizzontale
Gli elementi che formano il canale orizzontale sono:
. generatore di rampa;
. trigger;
. circuito di blanking;
L’accuratezza sull’asse orizzontale (asse dei tempi) del segnale dipendedall’accuratezza della rampa: piu e ripida piu il pennello viene deflesso ve-locemente.Quando il pennello deve tornare verso sinistra dopo aver disegnato parte delsegnale la coda che esso produrrebbe viene eliminata grazie al circuito di
blanking, un sistema che azzerando la tensione di accellerazione fa in mododi non eccitare i fosfori e quindi di non far visualizzare a video tracce inutili.
Il circuito di trigger e quel circuito che provvede a far partire la rampain prossimita di un certo livello di tensione del segnale .In ingresso del trigger e posto un selettore simile a quello visto per l’attenua-tore, ma in particolare al posto di GND la linea di ingresso corrispondentee LINE (50 Hz, 220 V).Questa configurazione e molto utile nel caso si voglia fare un’analisi del ru-more che, a frequenze molto basse, avrebbe un livello di tensione cosı bassoda non far mai scattare il trigger; usando questo accorgimento si ovvia atale problema.Il livello di tensione necessario a far visualizzare il segnale viene regolatomediante il LEVEL SLOPE: permette anche di scegliere su quale pendenza(positiva o negativa) si deve far partire il segnale di trigger.Il trigger potrebbe non essere mai attivato per due ragioni: in caso di man-canza del segnale di ingresso oppure se la soglia e posta ad un livello piualto della massima ampiezza del segnale.E dunque previsto un meccanismo automatico in grado di azionare il triggerindipendentemente dal livello del segnale mediante la modalita AUTO; seinvece si vuole avere pieno controllo sul trigger si lascia settata l’altra mo-dalita, NORMAL, che funziona come spiegato precedentemente.Nel caso su un segnale la soglia di trigger sia presente piu volte sullo schermosi potrebbe visualizzare una traccia sovrapposta; il motivo e semplice: unavolta che il pennello termina un periodo tornando a sinistra viene nuova-mente azionato il trigger e dunque a video si visualizza una doppia traccia.La soluzione e spegnere il circuito di trigger per un certo lasso di tempo:sull’oscilloscopio si usa l’HOLD/OFF.
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3.1.3 Doppia base tempi
Occorre fare una distinzione prima di parlare concretamente delle funzionidella doppia base tempi:la doppia base tempi non e la stessa cosa di utilizzare due canali di ingresso!La doppia base tempi serve a evidenziare oppure zoomare una traccia. Uti-lizzando la modalita ritardata e intensificata la BT1 comandando la BT2con la sua rampa fa sı che sullo schermo si visualizzi, nel periodo della BT2,il segnale molto piu luminoso sul video.Quando invece viene utilizzata la modalita ritadata il segnale di ingressoviene triggerato soltanto dalla BT2 visualizzando sullo schermo il segnalezoomato.
3.1.4 Canali di ingresso
Quando si utilizzano piu canali e presente un selettore che sceglie l’ingressoappunto da un solo canale alla volta.Se i segnali da visualizzare sono lenti e consigliabile settare su CHOPPEDil modo in cui il selettore cambia l’ingresso in quanto e pilotato con un’ondaquadra passando velocemente da un’ingresso all’altro.ALTERNATE invece e preferibile se i segnali variano con frequenze dei KHzperche il selettore completa una rampa di trigger con il primo canale primadi passare sul secondo quindi se il segnala fosse lento sullo schermo verrebbevisualizzato solo un flash in quanto il pennello non sarebbe deflesso con lavelocita necessaria per far vedere una traccia fissa.
3.1.5 Sonde compensate
Il circuito equivalente dell’oscilloscopio con gli elementi finora considerati e,nella sua prima approssimazione, come quello mostrato in figura.
Figura 4: circuito in prima approssimazione
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. RIN ordine delle decine di Ω
. RG ordine dei MΩ
Calcoliamone la funzione di trasferimento (f.d.t):
VIN
VG=
GG
GG + GIN + sCIN
dove GG e GIN sono l’inverso di RG e RIN .La frequenza di taglio dell’unico polo della funzione e ωp = GG+GIN
CINche
possiamo approssimare a ωp∼= GG
CINin quanto GIN e trascurabile rispetto a
GG.Possiamo immediatamente dedurre che avere un polo fisso puo essere limi-tante quindi per migliorare il comportamento in frequenza si adottano dellesonde compensate per effettuare le misure con il seguente circuito equiva-lente:
Figura 5: circuito equivalente con le sonde
Analizziamo ora la f.d.t complessiva:
VIN
VG=
GG//(GS + sCS)
GG//(GS + sCS) + sCIN + GIN=
=GG · (GS + sCS)
GG · (GS + sCS) + (GG + sCS + GS) · (sCIN + GIN )(1)
il cui diagramma di bode e quello mostrato in figura con 2 poli ed 1 zeroalternati.———————-figura
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———————-Agendo sul parametro GS , l’unico sul quale si possa intervenire, realizzandol’uguaglianza:
CS
GS=
CIN
GIN(2)
e possibile semplificare l’espressione precedente in modo da ottenere:
VIN
VG=
GG · GS · (sCS
GS+ 1)
GG · GS · (sCS
GS+ 1) + GIN · (sCIN
GIN+ 1) · (sCS + GG + GS)
dove i rapporti (sCS
GS+ 1) e (sCIN
GIN+ 1) sono uguali e quindi possono essere
ridotti:
VIN
VG=
GG · GS
GG · GS + GIN · (sCS + GG + GS)(3)
Notiamo immediatamente che in questa equazione sono scomparsi un poloed uno zero: si parla di compensazione di un polo con uno zero perche lacomplessita della f.d.t e diminuita di un grado ed inoltre, come si puo vederegraficamente, la frequenza di taglio ωp si e spostata a destra, garantendoquindi una banda piu larga.———————-figura———————-Introduciamo ora il rapporto:
1
A=
RIN
RIN + RS=
GS
GS + GIN
con A fattore di attenuazione della sonda (> 1).Calcoliamo il valore di GS :
GS · A = GS + GIN
dunque
GS =GIN
A − 1
Per questo A > 1 altrimenti questo rapporto non avrebbe senso. Per la (2)scrivere CS = CIN
A−1 e equivalente a scrivere GS = GIN
A−1 .Verifichiamo calcolando quanto vale CS ed esprimiamola come prima infunzione di A:
CS =GS · CIN
GIN=⇒ CS =
CIN
(A − 1)(4)
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Rielaborando ulteriormente la (3) otteniamo:
VIN
VG=
GG · GS
GG · (GS + GIN ) + GIN · GS + sCS · GIN
ora moltiplichiamo e dividiamo per (GS + GIN ):
VIN
VG=
GG · [ GS
(GS+GIN ) ]
GG + GIN · [ GS
(GS+GIN ) ] + sCS · [ GIN
(GS+GIN ) ](5)
Indichiamo ora:
Geq =GS · GIN
GS + GIN, Ceq =
CS · CIN
CS + CIN
e possibile ricavare la seconda mediante i seguenti passaggi partendo da:
Ceq =CS · GIN
GIN · GS= CS · 1
1 + GS
GIN
=
= CS · 1
1 + CS
CIN
=CS · CIN
CS + CIN
Con queste quantita scriviamo la (5) in questo modo piu semplice:
VIN
VG=
(GG
A )
GG + Geq + sCeq
Notiamo subito che e molto simile a quella scritta senza sonde compensatea patto di sostituire a CIN e GIN con Ceq e Geq tenendo conto del fattoredi attenuazione A.La nuova posizione del polo e ωp1 =
GG+Geq
Ceq
∼= GG
Ceqin quanto Geq ≪ GG;
esprimiamo il valore di Ceq sostituendo a CS la (4):
Ceq =CS · CIN
CS + CIN=
CIN
(A − 1)· CIN
CIN
(A−1) + CIN
= CIN · CIN
CIN · A =CIN
A
A questo punto osserviamo:
ωp1∼= GG
CIN· A = ωp · A
Questa formula ci dice che con una capacita equivalente pari alla capacitadi ingresso divisa per il fattore di attenuazione delle sonde riusciamo adallargare la banda di funzionamento dell’oscilloscopio dello stesso fattore.Ora calcoliamo approssimativamente i valori in continua nel caso si utilizzinosonde compensate oppure no: nel primo caso si ottiene:
(
VIN
VG
)
s=0
=(GG
A )
GG + Geq
∼= 1
A
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tenendo conto che Geq ≪ GG; se invece non si utilizzano le sonde:
VIN
VG=
GG
GG + GIN
e trascurando nuovamente GIN perche GIN ≪ GG si ottiene circa 1. Global-mente con un’aumento di banda abbiamo ottenuto un fattore di attenuazionesul guadagno di A.Tuttavia mediante amplificatori e facile riportare il guadagno su valori de-siderati mentre sarebbe molto difficile ovviare al problema della banda ri-stretta di frequenza: e il compromesso banda per guadagno.
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3.2 Oscilloscopi digitali
Come accennato nella presentazione gli oscilloscopi digitali, o numerici, so-no sostanzialmente dei sistemi di acquisizione dati che si prestano moltobene ad operazioni di confronto tra segnali (i dati campionati sono livelli ditensione) e a visualizzare transitori, ovvero a mostrare la forma d’onda delsegnale ad un tempo iniziale e molto breve.
Figura 6: schema generale oscilloscopio numerico
Le prestazioni di questi dispositivi sono legate essenzialmente a tre fatto-ri: la capacita della base tempi, la frequenza di clock e la frequenza dicampionamento.Avendo a disposizione tanta memoria consente di avere una base tempi mol-to lunga, capace cioe di contenere molti campioni, e ci si puo permettere dilavorare con frequenze alte.Se al contrario si ha poca memoria sono possibili due scelte:
• scegliere una base tempi lunga con l’obbigo di lavorare a frequenzebasse;
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• optare per una base tempi corta, ma poter trattare frequenze piu ele-vate;
L’accuratezza dell’oscilloscopio numerico e direttamente proporzionale conil numero di bit che il convertitore analogico-digitale (ADC) ha: ricordiamoche le soglie di decisione sono 2N con N che indica il numero di bit. Dunquese N e grande si riesce a quantizzare il segnale in maniera piu ′′precisa′′
perche le soglie sono a livelli di tensione piu vicini rispetto al caso in cui Nsia piccolo.Ovviamente migliore e l’accuratezza meno veloce diventa il dispositivo quin-di operera con frequenze basse. La soluzione migliore, quella di compromes-so, garantisce la massimizzazione della banda in funzione della base tempi.
esempio
Un segnale con banda 1 kHz modulato ad 1 MHz. Lo spettro di questosegnale e composto da un segnale portante ogni cento campioni di modulan-te. Se la memoria contiene pochi campioni il rischio e di riuscire a vederesolo segnali della modulante e non la portante.
Dimostriamo ora che il rapporto segnale-rumore SN e pari a 6N.
Definiamo per prima cosa ∆V come l’intervallo tra una soglia di quantizza-zione e l’altra. Esso rappresenta l’intervallo in cui dato un segnale continuonel tempo non riusciamo a distinguere due valori diversi di tensione, ma lirappresentiamo, approssimandoli, con un medesimo livello di soglia: si defi-nisce ′′rumore di quantizzazione′′.Matematicamente quindi ∆V = Vmax
2N−1in quanto Vmax e la tensione massima
che puo raggiungere il segnale e 2N −1 rappresentano il numero di intervalliin cui si effettua la quantizzazione.In prima approssimazione possiamo dire che ∆V ∼= Vmax
2N .Ora anziche effettuare il calcolo rigoroso con gli spettri di potenza trattiamoil rumore come se fosse un segnale:
S
N=
Vmax
∆V∼= Vmax
Vmax
2N
∼= 2N
Esprimiamo ora in dB il risultato ottenuto: i rapporti sono fra tensionidunque:
2N |dB = 20log102N = 20Nlog102 = 6N
Gli oscilloscopi moderni sono sovracampionati (non si faccia confusionecon il campionamento real time o sub sampling trattati in seguito) nel sensoche, una volta stabilita la banda su cui effettuare il campionamento anzicheutilizzare il numero di campioni minimo indicato da Nyquist generalmente
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se ne prendono di piu.La motivazione e spiegabile analizzando ancora il rumore di quantizzazionedefinito in precedenza: la probabilita di commettere un errore in un inter-vallo non influisce sugli altri quindi ne deduciamo che il rumore di quantiz-zazione e gaussiano e quindi bianco.Ipotizziamo ora un segnale con potenza normalizzata ad 1 che sia affetto dalrumore di quantizzazione come in figura:————-figura————-definiamo:
ω =Ps
B, > ωN =
PN
B
In dBm possiamo scrivere la relazione Ps = PN + 6N dunque linearmentePN = Ps
106N10
.
Ora sovracampioniamo: la banda B aumenta diventando BNew come in fi-gura:————-figura————-La potenza del segnale Ps rimane la stessa, mentre cambia PN1 = ωN1 · Bdove ωN1 = PN ·B
BNew= Ps
106N10
· BBNew
si e distribuito sulla nuova banda.
A noi pero interessa calcolare il rapporto SN sempre sulla banda B e non
BNew perche il segnale utile non e variato.
(
S
N
)
bandaB
=Ps
Ps· 10 6N
10 · BNew
B
in dB troviamo che:(
S
N
)
dB
= 10log10S
N= 6N + 10log10
BNew
B
Quindi il rumore si riduce in quanto e quello che si avrebbe se si campionas-se ad una frequenza pari a quella di sovracampionamento: cio comporta lapossibilita di aumentare l’accuratezza senza avere un numero elevato di bite quindi la risoluzione senza avere complessita di componentistica elevate.Questo principio e lo stesso che si utilizza nella DFT quando si vuole au-mentare la risoluzione in frequenza di sequenze numeriche formate da pochicampioni nel dominio del tempo: si aggiungono degli zeri con il meccanismodel zeros padding, che non influiscono sul comportamento del segnale, perfar sı che si ricostruisca il segnale interpolando piu punti.
20
3.2.1 Campionamento Real Time
Questa modalita di campionamento segue il criterio di Nyquist quindi cam-piona il segnale ad una frequenza di campionamento che e almeno il dop-pio della banda per non perdere informazione. Solitamente raggiungonofrequenze di 20 GHz.
fc ≥ 2B
Il problema delle alte frequenze viene risolto parallellizzando l’ingresso, ov-vero con piu ADC ritardati fra loro con dei τ diversi. Ad esempio in questomodo si ottiene un campione in 1/4 del tempo utilizzando in ingresso 4 ADCe le misure sono distribuite nel singolo periodo. Il periodo di trigger e co-munque pari a 2B del segnale, tuttavia nel nostro esempio i campioni sono4 quindi in sostanza si sta triggerando 4 volte nello stesso periodo e questosignifica che e come se l’ADC avesse una frequenza 4 volte superiore.Questa situazione comporta che le memorie devono essere veloci per scriverenel minor tempo possibile la misura effettuata: per questo vengono utilizza-te memorie cache il cui pregio e per l’appunto l’elevata velocita compensatapero dal fatto che sono molto piccole. Ne consegue che le base tempi nonpossono essere lunghe a piacere, ma devono essere consone alle capacita del-le memorie cache; precisiamo che ogni ADC utilizza una memoria cache (4ADC −→ 4 memorie cache). Effettuaiamo ora le ultime considerazioni sulcircuito di sample & hold: per quanto detto prima la velocita meccanica delcircuito non puo che essere veloce altrimenti non si porrebbe nemmeno ilproblema di voler visualizzare segnali ad alta frequenza.Con un segnale di 20 GHz il periodo T = 1
f e di 1(50·109) = 2−11 = 50 ps
(picosecondi). Con un calcolo approssimato che stabilisce la velocita delcampionatore ad 1
20T troviamo che ≃ 2 ps e la minima velocita che deveavere il sample & hold.In memoria una volta effettuato il campionamento troviamo dei segnali chesono l’immagine di quelli analogici affetti da un errore aggiuntivo, dovutoalla non idealita del campionatore. La porta pT con cui si campiona ha comerisposta all’impulso una sinc e non una δ ideale come teorizzato da Nyquistquindi lo spettro presenta aliasing in corrispodenza delle code del treno disinc, un fenomeno che contribuisce ad aumentare l’incertezza.
3.2.2 Campionamento Sub Sampling
Non risponde al criterio di Nyquist, ma sfrutta il principio delle ′′bandeequivalenti′′.
21
4 Misure del tempo
Passiamo ora ad analizzare i principali strumenti utilizzati per effetturemisure del tempo:
. frequenzimetri;
. periodimetri e periodimetri medi;
4.1 Frequenzimetri
Sostanzialmente i frequenzimetri misurano quanti colpi di clock sono pre-senti in una finestra temporale, o finestra di gate.
Il segnale in ingresso con una propria frequenza fx e periodo tx viene
Figura 7: schema frequenzimetro
mandato ad uno squadratore (che puo essere un trigger di Schmitt o uncomparatore di soglia con isteresi) da cui si ricavano impulsi con periodo T.Questi impulsi sono successivamente mandati ad un porta AND, la qualericeve anche il risultato del processo non lineare di generazione delle ar-moniche (con frequenza fck e periodo tck) di cui si tiene conto del singoloperiodo grazie al divisore.Il risultato dell’operazione logica rappresenta il numero di impulsi presentinel periodo che e la finestra di gate; ad effettuare questo conteggio provvedeun contatore decadico.
22
Effettuiamo ora alcune considerazioni quantitative:il divisore genera delle finestre ogni τgate = N · tck quindi possiamo dedurreche il contatore decadico conti n impulsi pari a:
n =N · tck
tx=
N · fx
fck
da cui ricaviamo che:
fx =n · fck
N(6)
Calcoliamo ora le incertezze relative per fx:
∆fx
fx=
∣
∣
∣
∣
∆N
N
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∆n
n
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∆fck
fck
∣
∣
∣
∣
ma poiche N puo essere deciso dal progettista non e un fattore di incertezzaquindi:
∆fx
fx=
∣
∣
∣
∣
∆n
n
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∆fck
fck
∣
∣
∣
∣
Analizziamo ora i singoli fattori:
. ∆n
n rappresenta l’incertezza di quantizzazione ovvero l’errore dovutoallo sfasamento del gate che potrebbe non comprendere il primo im-pulso generato dallo squadratore =⇒ ∆n = ±1 =⇒ ∆n
n = ± 1n .
————————figura————————
.∆fck
fckrappresenta l’incertezza del clock e nel caso dei risonatori al quar-
zo abbiamo gia dimostrato essere nell’ordine dei 10(−6).
Passiamo ora a calcolare l’incertezza assoluta di fx senza considerare l’in-certezza di fck: dalla la (6) riscriviamo che:
fx =n
N · tck=
n
τg
Per cui sapendo che l’incertezza relativa si puo esprimere:
∆fx
fx=
1
n
determiniamo:
∆fx =1
n· fx =
1
n· n
τg=
1
τg
23
Da cui si deduce che aumentando il tempo di gate, ovvero il tempo in cui sieffettuano le misure degli impulsi, si otteranno minori errori e che 1
τgrap-
presenta anche la piu piccola frequenza apprezzabile, dunqe e la risoluzionedel frequenzimetro.Ovviamente questo ragionamento e valido ricordando che abbiamo trascu-rato l’incertezza del clock in quanto non possiamo intervenire direttamente(e un’incertezza di tipo B) per migliorarla.In generale quindi l’incertezza su fx risulta maggiore della risoluzione perchesomma di due contributi e questo ci porta a concludere che le ultime cifresignificative sono affette da incertezza maggiore e probabilmente sbagliate.
esempio
Consideriamo il caso di un gate con fck = 1Hz e un segnale con fx =4Hz. In ogni finestra si contano 4 campioni dunque l’incertezza relativa e:
∆fx
fx=
1
n=
1
4= 0.25 = 25%
un valore molto alto. Se invece il segnale e piu veloce con fx = 1 MHzallora in ogni finestra vengono contati 1 milione (106) impulsi; l’incertezzacambia decisamente:
∆fx
fx=
1
n=
1
106= 0, 000001 = 1ppm
Questi due semplici esempi ci hanno fatto capire che i frequenzimetri acontatore sono degli ottimi strumenti quando i segnali di ingresso non sonoa basse frequenze: in quel caso le misure sono affette da errori significativi.
4.2 Periodimetri e periodimetri medi
Per misurare segnali a bassa frequenza abbiamo visto che i frequenzimetrisono poco adatti: si usano normalmente periodimetri.In questi dispositivi anziche avere un divisore per N che genera la finestra digate la porta AND riceve direttamente dall’oscillatore al quarzo l’armonica:il risultato immediato e che il contatore decadico non conta piu un numerodi impulsi n come nel frequenzimetro, ma:
n =txtck
=fck
fx
e dunque la frequenza risulta:
fx =fck
n
24
esempio
Con un segnale di clock ad fck = 1MHz e un segnale con fx = 4Hz icampioni che vengono contati sono:
n =fck
fx=
1 · 106
4= 250000
Effettuiamo ora le analoghe considerazioni sulle incertezze gia prese inesame per i frequenzimetri:
∆fx
fx=
∣
∣
∣
∣
∆n
n
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∆fck
fck
∣
∣
∣
∣
sarebbe la formula che potremmo scrivere analizzando semplicemente l’e-spressione di fx.Invece per i periodimetri abbiamo una causa di incertezza aggiuntiva che edata dal rumore del segnale che si utilizza come clock definito come ǫN .Dunque in generale si ha:
∆fx
fx=
∣
∣
∣
∣
∆n
n
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∆fck
fck
∣
∣
∣
∣
+ ǫN
Abbiamo gia discusso del significato di ∆n
n pari ad 1n e
∆fck
fckquindi proce-
diamo ad analizzare in dettaglio l’incertezza dovuta al rumore.In generale il rumore di un segnale e l’errore dato da un livello di tensio-ne piu alto (o piu basso)Vn rispetto al valore del segnale normale cioe unavariazione del segnale s(t) = Vssin(ωt) rispetto al tempo esprimibile come∆y = δy
δx · ∆x; come in figura definiamo te il tempo di errore dovuto alrumore:
te =Vn
δs(t)δt
calcoliamo ora la derivata del segnale:
δs(t)
δt= Vs · ω · cos(ωt)
per t = 0 si ha che:δs(t)
δt= Vs · ω
e dunque:
te =Vn
Vsω
Analizziamo ora l’espressione:
teT
=1
(
VsωVn
)
· T=
1(
Vs
Vn
)
· 2πf · T=
1(
Vs
Vn
)
· 2π=
1(
SN
)
· 2π
25
Questa incertezza va calcolata due volte in quanto il segnale di gate generatodal quarzo avra un tempo di apertura e chiusura quindi possiamo finalmentedefinire:
ǫN =1
(
SN
)
· π
E importante far notare che per garantire incertezza minore occorre sempreconsiderare come punto di osservazione del fenomeno quel punto in cui laderivata della grandezza considerata e massima; nel nostro caso la derivatadi sin(ωt) e ωcos(ωt) che in t = 0 vale 1.
Nel periodimetro medio viene aumentato il tempo di misura di N volte,il che permette di lavorare con notevole accuratezza anche a frequenze moltopiu basse del periodimetro.La spiegazione logica ovviamente e la stessa gia spiegata nei frequenzimetri:aumentando il tempo di misura migliora la risoluzione; poiche utilizziamouno strumento ottimo a basse frequenze migliorando ancora l’accuratezza siriusciranno ad apprezzare frequenze ancora piu basse.Riportiamo di seguito brevemente alcune formule importanti:
n =Ntxtck
, n =Nfck
fx, fx =
Nfck
n
4.3 Misure di intervalli di tempo
-scrittura veloce riguradare meglio-
Analizziamo il comportamento di un cronometro.Occorrera avere due segnali uno per lo start ed uno per lo stop posti all’in-gresso di un flip flop di tipo SR , quindi possiamo ipotizzare uno schema diquesto tipo:————————–schema————————–L’uscita del flip-flop saranno degli impulsi generati a Tx quindi le incertezzesaranno:
δTx
Tx=
∣
∣
∣
∣
δfck
fck
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
∣
e ovviamente sara bene tenere conto dell’errorre dovuto all’apertura e chisuradegli impulsi quindi piu in generale avremo:
δTx
Tx=
∣
∣
∣
∣
δfck
fck
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
∣
+ ǫN
26
5 Principio dell’eterodina
In questa sezione analizziamo un principio fondamentale alla base di quasitutte le applicazioni nelle telecomunicazioni, il principio grazie al quale ven-gono realizzati tutti i mixer.
6 Misure di tensione, corrente e fase
Queste tre grandezze hanno in comune principi e meccanismi praticamenteidentici con cui vengono misurate: infatti voltmetro, amperometro e faso-metro basano il loro funzionamento sul galvanometro di Arsonval.Analizziamo quindi brevemente il comportamento di tale dispositivo: il gal-vanometro misura le correnti che scorrono in una bobina le quali, generando
un campo magnetico ′′indotto′′ qst e da rivedere da fisica , fanno muovere
l’ago sulla scala tarata.Il suo circuito equivalente reale e composto dalla serie di un galvanometroreale ed una resistenza Rg molto bassa e non lineare che tiene conto delladissipazione di energia data dalla somma dell’energia meccanica dissipatadall’ago e dell’energia dissipata dal filo (resistenza che incontra la correntecircolando lungo il filo appunto).Le correnti che riesce a misurare un galvanometro sono molto piccole (ordinedei µA) in quanto essendo un meccanismo meccanico di tipo massa-molla-smorzatore non riesce a tollerare oscillazioni veloci (date da una correntein alternata) altrimenti la molla fisicamente si romperebbe; tutti gli oggettimeccanici hanno f.d.t di tipo passabasso con bande a frequenze basse: labanda di funzionamento del galvanometro e tipicamente di 0.5 Hz.Oltre al circuito equivalente normalmente sono presenti anche (vedi figura)due resistenze: RS ed RV .
La RS o Resistenza di Shunt serve per convogliare la maggior parte dellacorrente per non causare gli effetti drammatici descritti in precedenza; RV euna resistenza che si pone in serie ad Rg ed e inserita in modo tale da esseremolto piu grande di Rg e quindi rendere possibile il calcolo delle incertezze;infatti la resistenza interna al galvanometro e molto bassa e non misurabiledirettamente, dunque se non fosse presente Rv non riusciremmo mai a sti-mare gli errori commessi.Se anziche utilizzare una sola Resistenza di Shunt se ne utilizzano di piuintanto possiamo cambiare scala (in base al valore della resistenza e dunquedella corrente che riesce a far passare o bloccare) e a seconda della loro di-sposizione creiamo uno strumento o un’altro: se vengono poste in serie conun deviatore che provvede a renderne attiva una alla volta otteniamo unvoltmetro, se invece sono in parallelo (sempre con un deviatore) abbiamo
27
Figura 8: circuito equivalente
costruito un amperometro.
Figura 9: realizzazione di amperometro
28
Figura 10: realizzazione di voltmetro
6.1 Voltmetri analogici
Analizziamo in un primo momento i vari tipi di strumento in analogica e,solo in seguito, tratteremo le tipologie di strumenti numerici.
6.1.1 Voltmetri in continua
Al fine di non perturbare la misura in corso un voltmetro dovrebbe avereuna resistenza infinita, ovvero misurare in un punto senza cadute di tensionedovute a resistenza percorse da corrente.Modellizzando con un circuito equivalente di Thevenin il misurando otte-niamo:
dunque la tensione misurata dal voltmetro sara:
Vm = V0Rv
Rv + R0
29
per il partitore fra le resistenze del circuito mostrato in figura:L’errore assoluto commesso risultera essere:
∆V = V0 − V0Rv
Rv + R0= V0
R0
R0 + Rv
mentre l’errore relativo:δV
V=
R0
R0 + Rv
Alcune considerazioni: al diminuire di R0 o all’aumentare di Rv diminuiscel’incertezza; questo tipo di errore non e un’incertezza, ma un errore siste-matico in quanto conoscendo i valori di R0 ed Rv si puo rimuovere tarandoopportunamente lo strumento.
6.1.2 Voltmetri in alternata
Per capire come i voltmetri effettuano le misure di segnali in alternata oc-corre definire bene alcune grandezze fondamentali: valore di picco, valoremedio, valore efficace e introdurremo in seguito il valor medio convenzionale.Il valore di picco Vp e la misura tra la massima e la minima ampiezza delsegnale.Il valore medio, o componente in continua del segnale, VDC viene definitocome:
VDC =1
T
∫ T
0x(t)dt
ovvero la media del segnale nel suo periodo fondamentale.Il valore efficace Veff rappresenta la tensione che applicata ad una resistenzadi 1 Ω dissiperebbe la stessa potenza di un segnale in continua.
Veff =
√
1
T
∫ T
0[x(t)]2dt
30
Osserviamo che il valore efficace di una tensione continua VC e proprio latensione continua; risolvendo l’integrale otteniamo:
Veff =
√
1
T
∫ T
0[VC ]2dt =
√
T [VC ]2
T= VC
Il valore medio efficace di un segnale sinusoidale risulta essereVp√
2Se il segnale
presenta sia una componente continua VDC che una componente alternatacon VeffAlt
avremo:
Veff =√
[VDC ]2 + [VeffAlt]2
Introduciamo ora il valor medio convenzionale definito come:
VM =1
T
∫ T
0| x(t) | dt
esso rappresenta la componente continua del modulo del segnale di parten-za.Dato un segnale dunque occorre farne il suo modulo e misurare il valoreVM con un semplice voltmetro in continua di cui abbiamo gia trattato inprecedenza.Spostiamo l’attenzione su come fare il modulo di un segnale: utilizziamo undiodo e sfruttiamo la sua capacita di raddrizzatore a singola semionda perraggiungere il nostro obbiettivo.In alternativa con un ponte di diodi e possibile realizzare circuiti raddrizzato-ri a doppia semionda: effettuiamo alcune considerazioni per capire vantaggie svantaggi degli uni e degli altri.Nel secondo caso i due diodi devono condurre contemporaneamente e la mi-sura non cambia invertendo la polarizzazione; con un diodo solo invece siavranno sicuramente misure diverse in base ai punti in cui si andranno arilevare le tensioni, comportamento dovuto al diverso tipo di polarizzazionedel segnale.Calcoliamo ora il valore medio convenzionale di un segnale sinusoidale x(t) =Vpsin(ωt) quando usiamo un raddrizzatore a singola semionda:
VM =1
T
∫ T
0[Vpsin(ωt)]dt =
Vp
T
∫ T
0[sin(ωt)]dt
osserviamo che solo tra 0 e T2 il segnale e non nullo quindi:
VM =Vp
T
∫ T2
0[sin(ωt)]dt
effettuiamo un cambio di variabili:
z = ωt = 2πft =2πt
T−→ dz =
2πdt
T→ dt =
dzT
2π
31
quando:
t = 0 → z = 0 t =T
2→ z = π
riscriviamo dunque l’integrale:
VM =Vp
T· T
2π
∫ π
0[sin(z)]dz =
Vp
2π[−cos(z)|π0 ] =
Vp
2π[1 − (−1)] =
Vp
π
esprimiamo anche le relazioni fra VM e valore efficace:
VM =
√2Veff
π−→ Veff =
πVM√2
Il valore π√2
= 2.22 e la costante di proporzionalita che lega il valor medio
convenzionale con il valore efficace; dunque con opportune tarature dellostrumento e possibile osservare direttamente la lettura che desideriamo.Se invece il raddrizzatore e a doppia semionda osserviamo immediatamenteche ai fini del calcolo e come avere un raddrizzatore a singola semionda in cuiabbiamo una componente non nulla anche nell’altro semiperiodo: moltipli-chiamo dunque per un fattore 2 il risultato ottenuto in precedenza anzicheripetere il calcolo integrale.
VM =2Vp
π−→ VM =
2√
2Veff
π−→ Veff =
πVM
2√
2
Abbiamo ottenuto anche in questo caso un coefficiente moltplicativo che le-ga VM a Veff pari alla meta di quello precedente.Ricapitoliamo ora le considerazioni fatte: dato un segnale riusciamo ad indi-viduarne le sue grandezze caratteristiche grazie ad opportune tarature dellostrumento:
32
K Descrizione
1.11 Circuito a doppia semionda
2.22 Circuito a singola semionda1√2
Valore di picco
Tabella 1: Costanti di proporzionalita
Nell’ambito delle telecomunicazioni il valore piu importante e il valoredi picco (si usa normalmente nei ricetrasmettitori radio).Il valore di picco fornisce in continua l’informazione dell’ampiezza del segna-le : esistono degli strumenti in grado di fornire direttamente questo valoreutilizzando appunto dei circuiti non lineari con diodi e misurando il valoredi tensione sempre con un semplice voltmetro in continua.Questi dispositivi, o rilevatori di picco, possono essere formati da unaserie di diodo e condensatore o fra il parallelo di tali componenti: in questaipotesi prendono anche il nome di fissatori a zero.
Figura 11: rilevarori serie e parallelo
6.1.3 Voltmetri a vero valore efficace
I voltmetri a vero valore efficace hanno la costante di proporzionalita K=1:essi misurano infatti, grazie al principio termico, solo Veff .Ipotizziamo di avere un generatore di tensione sinusoidale con in serie unaresistenza: essa dissipa potenza e calore che puo essere misurato con untermometro.Ora pensiamo di scaldare alla stessa temperatura una resistenza di parivalore collegata ad un generatore in continua: le potenze dissipate dalle re-sistenze saranno le stesse in entrambi i circuiti quindi la tensione erogatadal generatore in continua sara obbligatoriamente la stessa dissipata dal ge-neratore sinusoidale.
33
Figura 12: schema generale
Questa banale considerazione e il principio che sta base delle termocoppie:quando e presente una differenza di temperature tra le estremita ed il giuntoi fili metallici generano una differenza di potenziale.
∆V = c · ∆T
dove c rappresenta la costante di Siebeck, il teorico che per primo ha os-servato questo fenomeno: conversione diretta di energia termica in energiaelettrica (Effetto Siebeck).A questo punto si potrebbe pensare di utilizzare questo principio per pro-durre elettricita: applichiamo una differenza di temperatura per fornire l’energia sufficiente ad alimentare i nostri oggetti quotidiani.Cio non e fisicamente realizzabile per la semplice ragione che la costante ce molto bassa quindi applicando differenze di temperature anche elevate siottengono ddp dell’ordine massimo dei mV (generalemente sono µV ). Inol-tre non si possono utilizzare metalli qualsiasi per realizzare le termocoppie,ma servono precise combinazioni per ottenere le migliori costanti di Siebeck;dunque non si puo utilizzare questo principio per produrre elettricita.Questo e dunque lo schema dei voltmetri a vero valore efficace a termocop-pie:L’amplificatore viene inserito per mantenere uguali le tensioni sulle termo-coppie da cui viene letta la misura; in caso contrario cambierebbero le tem-perature delle termocoppie e la rilevazione, fatta dal voltmetro in continua(VDC) sarebbe errata. Per questo occorre anche evitare che una delle dueresistenze non cambi la temperatura altrimenti l’amplificatore non manter-rebbe la tensione costante ma l’amplificherebbe portando di nuovo ad errorigrossolani.Inoltre e bene che l’ambiente esterno influisca in modo comune sulle termo-coppie oppure l’intero principio cadrebbe: si puo ovviare a questo problema
34
Figura 13: realizzazione voltmetri con termocoppie
con isolanti termici.
Esiste un componente elettronico che puo anche fuzionare come termo-metro: e il diodo.Ricordiamo la sua equazione caratteristica:
I = Is · eh
VηVT
i
−1
dove η rappresenta il fattore di idealita che dipende dalla polarizzazione(η = 1÷ 2) mentre il termine VT = κT
Q e l’equivalente elettrico della tempe-ratura.Utilizzando dei transistor questo e lo schema dei voltmetri a vero valore ef-ficace:
La corrente che scorre nei transistor e proporzionale alla temperatura (vediequazione caratteristica diodi) quindi quando le resistenze si scaldano dissi-pando potenza fanno variare l’intensita di corrente. Cio causa una variazionesulla caduta di tensione ai capi delle resistenze medesime misurata poi dalvoltmetro in continua.
6.1.4 Rosmetri
I voltmetri che misurano il valore di picco per frequenze molto alte (mi-croonde) sono i rosmetri.
35
Figura 14: realizzazione voltmetri con transistor
Con l’analisi dei rosmetri si e conclusa la trattazione degli strumentianalogici ed ora prenderemo in esame i voltmetri numerici.
6.2 Voltmetri numerici
Lo scopo e sempre quello di misurare una tensione: con lo strumento nu-merico occorre quindi discretizzare il segnale di ingresso con un convertitoreADC preceduto da un sample & hold.Ecco lo schema generale:
Il problema e che le misure sono spot, fatte su un’istante preciso di tempo,quindi se il rumore in quel momento e molto forte perturba notevolementela misura.
36
Se invece prendiamo le misure su un periodo di tempo t limitiamo l’influenzadel rumore perche esso viene distribuito uniformemente sulla banda essendobianco.Le tecniche utilizzate sono di integrazione sul periodo: singola o doppia.
6.2.1 Voltmetri a semplice integrazione
I voltmetri a semplice integrazione si chiamano anche voltmetri a conversio-ne di frequenza perche e possibile dato un ingresso in tensione misurare conun contatore la frequenza in uscita.Riportiamo lo schema:
Figura 15: modello voltmetro a semplice integrazione
La fdt dell’integratore e:
Vout = − 1
RC
∫ T0
0Vindt
se non fosse presente il generatore di impulsi il sistema tenderebbe a saturarealla tensione di alimentazione con una retta negativa di pendenza − 1
RC .Invece con il generatore di impulsi che genera un’ onda quadra di ampiezzaV0 e periodo T0 il comportamento e di questo tipo:———————–figura————————quando la tensione di ingresso raggiunge la soglia posta a VS = V0T0
R2C vengo-no generati gli impulsi con periodo T: l’incremento fra Tin = 0 e T/2 deve
37
essere pari a quello fra T/2 e T.
∆Vsalita = − 1
R1C
∫ T/2
Tin
(Vin)dt +V0T0
R2C= −VinT/2
R1C+
V0T0
R2C
per l’incremento in salita, mentre quello in discesa risulta essere:
∆Vdiscesa =Vin(T − T/2)
R1C
per cui uguagliando i termini otteniamo:
−VinT/2
R1C+
V0T0
R2C=
VinT
R1C− VinT/2
R1C
dove i termini −VinT/2R1C si elidono. Per cui:
V0T0
R2C=
VinT
R1C
da cui ricaviamo:
Vin =V0T0R1
R2T=
V0T0R1f
R2
f frequenza di generazione degli impulsi.Da questa formula possiamo immediatamente capire che tale strumento sarapoco accurato in quanto le cause di incertezza sono molteplici:
δVin
Vin=
∣
∣
∣
∣
δV0
V0
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
δT0
T0
∣
∣
∣
∣
+ 2 ·∣
∣
∣
∣
δR
R
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
δf
f
∣
∣
∣
∣
La risoluzione di questo strumento dunque e data dalla risoluzione dellafrequenza f che sappiamo essere 1
τg .Abbiamo considerato fino ad ora il comportamento ideale, trascurando cioel’effetto degli offset che saranno sicuramente presenti sia sull’integratore siasul comparatore di soglia.Analizziamo separatamente i due casi cercando di capire come influenzanola misura del voltmetro:
. effetto sull’integratore: la tensione che integriamo non e piu Vin,ma VI data dalla somma fra Vin e Voff . Provvediamo dunque a rifarevelocemente i calcoli:
∆Vsalita = − 1
R1C
∫ T/2
Tin
(Vin + Voff )dt +(V0 + Voff )T0
R2C
deve essere uguale a:
∆Vdiscesa =(Vin + Voff )(T − T/2)
R1C
38
da cui trascurando alcuni passaggi otteniamo:
(V0 + Voff )T0
R2C=
(Vin + Voff )T
R1C
Vin =V0 · T0 · R1
R2 · T− Voff
(
1 − T0 · R1
T · R2
)
il fattore chiave dunque e Voff
(
1 − T0R1TR2
)
che rappresenta l’errore
commesso integrando come tensione di ingresso VI ;
. effetto sul comparatore di soglia: guardando il grafico in figuraosserviamo che la tensione di soglia si sposta (VSO = VS + Voff ) quin-di la retta a pendenza positiva inizia dopo; poiche stiamo integrandosempre per un periodo di tempo fisso deduciamo immediatamente cheil punto in cui ci sara l’inversione di tendenza sara ad un livello ditensione 0+Voff . Il risultato complessivo dunque e una semplice tra-slazione che non influisce sulla frequenza della forma d’onda.———————-inserire grafico———————-
6.2.2 Voltmetri a doppia integrazione
Schema:
Figura 16: modello voltmetro a doppia integrazione
Lo scopo e di integrare per un tempo noto una tensione incognita (primaintegrazione) e per un tempo incognito una tensione nota.———————
39
grafico———————-Vediamo il contributo dato dall’integrazione per un periodo noto (0-T0):
∆V1 = − 1
RC
∫ T0
0Vindt = −VinT0
RC
che deve essere uguale al contributo dell’integrazione per un tempo incognitodel livello di tensione VR raggiunto a T0:
∆V1 =1
RC
∫ Tx
0VRdt =
VRTx
RC
uguagliando le espressioni ricaviamo:
−VinT0
RC=
VRTx
RC
per cui possiamo esprimere la tensione di ingresso come:
Vin = −VRTx
T0(7)
Se vengono generati dal clock NTck impulsi in T0 ed nTck in Tx:
Vin = −VRn
N
con Tck = 1fck
frequenza del clock (quarzo ad esempio).Abbiamo implicitamente eliso Tck sia a numeratore che a denominatore quin-di si e ipotizzato che il clock generi in modo uguale gli impulsi in entrambi iperiodi T0 e Tx; con questa supposizione lo strumento a doppia integrazionepresenta le seguenti incertezze:
δVin
Vin=
∣
∣
∣
∣
δVR
VR
∣
∣
∣
∣
+1
n
o, altrimenti, piu in generale:
δVin
Vin=
∣
∣
∣
∣
δVR
VR
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
δT0
T0
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
δTx
Tx
∣
∣
∣
∣
Notiamo che questo strumento e piu intrinsecamente accurato in quantonon e presente alcuna incertezza sulla componenetistica come nel caso disemplice integrazione in cui comparivano le incertezze dovute alle resistenzepresenti nel circuito.La risoluzione del voltmetro a doppia integrazione risulta essere VR
N .Come per i voltemetri a semplice integrazione ora prendiamo in analisi glieffetti dovuti agli offset:
40
. effetto sull’integratore: il procedimento e il medesimo di primaquindi saltando alcuni passaggi si ottiene:
−(Vin + Voff )T0
RC=
(VR + Voff )Tx
RC
da cui si puo ricavare:
Vin = −VRTx
T0− Voff
(
1 − Tx
T0
)
in questo caso Voff
(
1 − Tx
T0
)
rappresenta l’errore dovuto agli offset
presenti sulla maglia di ingresso dell’integratore;
. effetto sul comparatore di soglia: questa volta cambia il tempoincognito su cui integro la tensione nota; anziche integrare su Tx =T
′
x + Terr si integra su T′
x.——————–inserire grafici——————–Valutiamo in Terr il livello di tensione: Voff = VRTerr
RC dunque Terr =VoffRC
VR.
Sostituendo nella (7) Tx = T′
x + Terr e Terr =VoffRC
VRotteniamo:
Vin = −VRT
′
x + Terr
T0= −VR
T′
x +VoffRC
VR
T0= −VR
Tx
T0− Voff
RC
T0
6.3 Amperometro
6.3.1 Amperometri in continua
Analogamente con quanto enunciato per il voltmetro possiamo dire che lamisura di corrente idealmente non sarebbe perturbata nel caso in cui laresistenza dell’amperometro fosse nulla.Per dualita modelliziamo il misurando con un circuito di Norton ottenendo:
L’amperometro misura una corrente pari a:
Im = I0RA
RA + R0= I0
1GA
1G0
+ 1GA
= I0
1GA
GA+G0G0GA
= I01
GA· G0GA
G0 + GA= I0
G0
GA + G0
in quanto si calcola il partitore di corrente fra le resistenze del circuito mo-strato in figura:il cui errore assoluto e uguale a:
∆I = I0 − I0G0
GA + G0= I0
GA
G0 + GA
41
mentre l’errore relativo:δI
I=
GA
G0 + GA
Anche in questo caso le espressioni sono da considerarsi errori sistematicidefiniti come ′′errori di consumo′′ o anche ′′effetti di carico′′. Questi erroriche abbiamo trattato per i voltmetri e multimetri in realta sono riscontrabiliin tutti gli strumenti.
6.3.2 Amperometri in alternata
Per quanto riguarda questi strumenti di misura valgono le stesse considera-zioni fatte per i voltmetri in alternata.
6.4 Fasometro
6.4.1 Fasometri analogici
Il fasometro e uno strumento che, dati due ingressi, un segnale di test e unsegnale di reference misura lo sfasamento tra il primo ed il secondo.Questo e il modello di un fasometro a lettura diretta:—————-
42
figura—————-I due segnali di ingresso sono inviati ad uno squadratore che genera degliimpulsi; essi sono gli ingressi di un flip flop S-R il quale genera un’onda qua-dra con duty cycle proporzionale allo sfasamento misurata da un voltmetroin continua.—————-figura—————-
VDC = VMT1
T2
Indicando dunque con T1 il periodo ′′alto′′ del segnale e con T2 il periodocomplessivo descriviamo lo sfasamento mediante la proporzione:
ϕ : T1 = 360 : T2
Da cui ricaviamo che:
ϕ = 360 · T1
T2
sostituiamo nell’espressione in cui si determina VDC :
VDC = VMT1
T2= VM
ϕ
360
Osserviamo che abbiamo a disposizione una formula che permette di ottene-re immediatamente la misura di fase con una misura indiretta di tensione,informazione che ci viene data dal voltmetro in continua tarando opportu-namente lo strumento.La fase e una grandezza periodica, si ripete uguale a se stessa a multipli dik ·2π (k ∈ N), per cui misurare una fase di 0 gradi o di 359 gradi e un rileva-mento molto simile. Tuttavia sullo strumento l’ago continuera ad oscillarefra il minimo del fondo scala ed il massimo in quanto seppure lo sfasamentotra 0 e 359 e minimo.Questo comportamento accade solo per segnali la cui fase e prossima a 2π.Cosa succede se poniamo un inverter su un ingresso del flip flop?Cio che accade e che uno dei due segnali viene negato e il duty cycle diven-ta pari al 50%. In questo modo sullo strumento riusciamo ad apprezzaresfasamenti piccoli vicini allo 0, ma al contempo spostiamo il problema aπ: il risultato sara dunque di non riuscire piu ad osservare una misura difase prossima a 180 gradi senza che lo strumento oscilli tra il minimo ed ilmassimo del fondoscala.Questi strumenti vengono definiti ′′a zero centrale′′ perche appunto lo zerodella scala si trova a meta del periodo complessivo del segnale.
43
6.4.2 Fasometri ad alta frequenza
Per realizzare lo strumento ad alta frequenza si utilizza il principio dell’ete-rodina.
6.4.3 Fasometri numerici
Se si utilizzano fasometri numerici il problema della visualizzazione di sfa-samenti piccoli prossimi ad un punto particolare (π oppure 2π) in quanto ilrisultato viene fornito direttamente in cifre.Occorre convertire in digitale una parte del segnale, ovvero la sua componen-te continua poi sovracampionare il segnale per avere una buona risoluzione.Altre soluzioni, come quella di convertire gli ingressi non sono praticabiliperche e molto difficile calcolare uno sfasamento partendo solo da tabellenumeriche; in teoria e possibile, guardando per i due segnali gli istanti di at-traversamento dello zero, ma bisogna tenere conto che si commette un erroredovuto quanto meno alla quantizzazione (su una certa fascia ±∆V0 tutti icampioni vengono approssimati a 0) che dipende ovviamente dal campiona-mento e dalla risoluzione del quantizzatore in numero di bit, quindi non eun metodo valido.
7 Sintetizzatori di frequenza
I sintetizzatori di frequenza generano (processo di sintesi), data in ingressouna frequenza fin, una frequenza diversa:
fout = κ · fin
con κ idealmente reale (κ ∈ ℜ).
Sulla base del modo in cui si puo effettuare la sintesi distinguiamo duecategorie di dispositivi: PLL e DDS.
44
7.1 PLL
I sintetizzatori di frequenza utilizzati negli oscillatori locali prendono il no-me di PLL: essi effettuano una sintesi diretta.Un PLL o (Phase-locked-loop) nel caso piu generale e formato da un compa-ratore di fase, un filtro ad anello ed un Vco (Voltage Controlled oscillator).Il Vco e un circuito oscillante la cui componente principale e un varactor, undiodo che polarizzato inversamente viene utilizzato come capacita variabilecontrollata in tensione.
Figura 17: schema generale PLL
Ci occupiamo ora di creare un sintetizzatore che abbia la costante κ reale.Data in ingresso una fin inseriamo un divisore per N prima del comparatoredi fase in modo da ottenere f1; inseriamo ora un secondo divisore, per Mquesta volta tra il comparatore di fase, il V.c.o. e l’uscita del sistema chegarantisca di avere di nuovo f1.In questo modo abbiamo creato una relazione tra la frequenza di ingresso equella in uscita data da:
fin
N=
fout
M
da cui banalmente ricaviamo:
fout = finM
N
del tutto simile alla relazione precedentemente riportata nell’introduzionegenerale.
45
Ora poiche i divisori non possono che avere sia N che M reali (N, M ∈ ℜ) ilrisultato e di aver creato una costante κ ∈ ℜ.
Figura 18: schema PLL con κ ∈ ℜ
Analizziamo alcuni parametri fondamentali come il range di frequenzeche possono essere utilizzate, il passo minimo quindi la sensibilita e la riso-luzione.Per quanto riguarda il passo minimo si osserva che e pari a fin
Nmax, ovvero la
frequenza piu bassa che puo essere introdotta in ingresso (si guardi il ramoiniziale dello schema); per questo motivo il divisore per N prende il nome didivisore di riferimento.Il range del sintetizzatore invece risulta essere fin ·Mmax la massima frequen-za ottenibile quando N=1 (non viene cioe divisa la frequenza di ingresso,mentre viene divisa al massimo la frequenza di uscita) e finMmin
Nmaxla minima.
Range =
[
finMmin
Nmax÷ (fin · Mmax)
]
Gia da queste osservazioni si puo intuire che la risoluzione e fortemente vin-colata dai fattori di divisione N ed M. Supponiamo N elevato e che si vogliaavere una buona risoluzione (1 Hz): il PLL sara lento perche la banda delfiltro ad anello e dell’ordine dei kHz quindi il V.c.o non riesce ad agganciareil segnale.Una soluzione puo essere quella di restringere la banda del filtro in modo taleche sia compatibile con il campo d’aggancio; queste considerazioni portano aconcludere che in prima approssimazione possiamo ipotizzare la risoluzione
46
del PLL pari a quella del suo filtro ad anello.Se invece, in un’applicazione come puo essere la telefonia cellulare, il parame-tro fondamentale e la velocita del sistema, possiamo introdurre un secondofiltro ad anello che permette di risolvere i problemi legati alla banda otte-nendo un buon compromesso tra risoluzione, velocita ed accuratezza.
Come succede per quasi tutti gli strumenti da noi affrontati, quando sitratta di lavorare a radiofrequenza, non e possibile utilizzare lo strumentosenza alcuni cambiamenti.Per quanto riguarda i PLL e il Vco che avendo una banda di funzionamentostretta non permette il solito funzionamento del dispositivo.Una soluzione e far seguire al PLL un moltiplicatore, realizzato con un diodoSRD (Step Recovery Diod) come mostrato in figura:
I sintetizzatori di questo tipo seguiti da un moltiplicatore prendono il nomedi Single Band Multiplie (SBM). Essi vengono seguiti da un filtro varia-bile che serve a selezionare una specifica armonica: ad esempio, se si devesintetizzare una frequenza di 10GHz il PLL puo funzionare ad 1GHz e ilfiltro variabile verra posto sulla 10 armonica creata dal moltiplicatore.La velocita complessiva del sistema risulta essere quella del PLL, ma questomeccanismo peggiora la qualita perche il jitter aumenta.
Una seconda soluzione e quella di realizzare direttamente oscillatori alarga banda utilizzando alcune terre rare che godono di buone proprieta sularga banda: tali dispositi vengono definiti Yig filter (Yittering Ipon Gar-net).Gli Yig sono pilotati con un campo magnetico statico generato da una cor-rente che scorre in una bobina e il loro circuito equivalente alle alte frequenze
47
e di questo tipo:
Essi sono tunabili a larga banda (2÷40GHz), mantengono un Q molto buonoed una selettivita elevata (20MHz).Analizziamo ora un dispositivo PLL con Vco Yig: si utilizza la tecnicasubsampling gia vista negli oscilloscopi perche il divisore M non riesce adoperare a frequenze cosı alte.Il campionatore deve riuscire a garantire una frequenza di campionamentoadeguata per agganciare il Vco Yig quindi la fcampionamento deve essere an-ch’essa ottenuta per sintesi mediante un PLL.
48
Figura 19: schema PLL a campionatore
7.2 DDS
La sintesi indiretta di frequenza e ottenuta attraverso i dispositivi DDS (Di-rect Digital Synthesis).Un sintetizzatore digitale elimina gli errori che introduce un PLL, le suecause di incertezza sono quelle del clock che utilizza come oscillatore internoe il rumore introdotto dalle porte logiche.
Ipotizziamo inizialmente M=1 costante: dopo 2N colpi di clock con frequen-za fck si otterranno in uscita i campioni necessari a creare una forma d’ondaavente frequenza fout.Le memorie solitamente contengono un numero di bit N pari a 8 o 10 quindipossono contenere 28 = 256 oppure 210 = 1024 campioni.
fout =fck
2NTout =
1
fout= 2N · tck
δfout
fout=
δfck
fck
esempio
Calcoliamo la frequenza di uscita di un segnale generato con un clock dicui fck = 10MHz, una memoria capace di contenere N=10 (numero di bit)
49
Figura 20: schema DDS
pari a 210 = 1024 locazioni di campioni e M=1.
fout =fck
2N=
10MHz
210= 9.766kHz Tout =
1
fout= 102µs
In generale M puo essere diverso da uno: in questo caso vengono presimeno campioni per periodo e cio permette la sintesi di segnali a frequenzamaggiore.
fout = M · fck
2NTout =
1
fout=
2N
M· tck
Da velocissime considerazioni osserviamo che la frequenza minima realizza-bile e proprio quando M=1 ossia fmin = fck
2N ; la frequenza massima invecee quella per cui si ha il minor numero di campioni che il teorema di Nyqui-st impone di avere per periodo, 2, quindi fmax = fck
2 condizione verificataquando poniamo M = 2N−1.
I DDS dunque godono di ottima risoluzione, data dal numero di bit dellamemoria, e una buona velocita; si puo agire su questi parametri semplice-mente cambiando il valore di M senza modificare il clock.Questi dispositivi pero non riescono a sintetizzare frequenze elevate.
50
Come si puo osservare anche dall’esempio al massimo si riesce ad ottenereun segnale con frequenza pari alla meta di quella del clock ed essi, con latecnologia ad oggi disponibile, non possono essere costruiti per lavorare adalte frequenze.Inoltre, per valori di M molto grandi, abbiamo gia concluso che il segnalein uscita e generato partendo da pochi campioni per periodo; esso dunquedovra essere filtrato con filtri numerici per eliminare le componenti spurie.Un aspetto decisamente rilevante consiste nella facilita con cui e possibilefare la modulazione: per i DDS e sufficiente agire sul parametro M mentreper i PLL non e cosı semplice. Utilizzare un mixer posto tra il Vco e ilfiltro ad anello e una possibile implementazione, a patto che il segnale dimodulazione rientri nel campo di aggancio del Vco.In alternativa si puo realizzare il divisore per N, che ricordiamo e il divisoreessenziale per realizzare il passo minimo di frequenza, con un DDS che conle sue proprieta consente di migliorare notevolemente le prestazioni generalidel sistema risultante complessivo.
7.3 Circuito ALC e Modulatore I/Q
In questo capitolo ci occuperemo di trattare i moduli che generalmente se-guono un sintetizzatore di frequenza, ed in particolare gli ALC e i modulatoriI/Q.
Il circuito ALC (Automathic Level Clock) e un circuito che serve essen-zialmente per stabilizzare l’ampiezza della portante.E formato da un attenuatore variabile a cui viene posto in serie un rilevatore
51
di picco ed un amplificatore per controllare appunto il livello di tensione.———————figura———————
Il modulatore I/Q (In phaze & quadrature) genera le costellazioni che siusano nelle comunicazioni.Agisce in modo separato sulla modulante (ramo in fase e in quadratura) esulla portante (ramo in fase) per generare dispositivi modulatori e demodu-latori.
Figura 21: demodulatore
Inoltre inserendo degli attenuatori variabili prima dei mixer si riesconoa creare costellazioni anche molto complicate.———————figura———————
52
Figura 22: modulatore
8 Analizzatori di spettro
Gli analizzatori di spettro sono degli strumenti che permettono di osservarelo spettro di un segnale nel dominio della frequenza, di calcolare in modoaccurato la funzione di trasferimento di sistemi e.... Si distinguono alcunecategorie di analizzatori di spettro in base alla loro realizzazione e al tipodi informazioni trattate: analizzatori di spettro a banchi di filtri persegnali analogici e analizzatori di spettro a FFT che trattano l’informa-zione numerica.———————-a.s banchi di filtri———————-Il comportamento del dispositivo e molto semplice: il segnale viene filtratocon filtri molto stretti al fine di ottenere le singole componenti in frequenzae mediante un selettore si sceglie la componente che si vuole visualizzare; aquesto punto il funzionamento e molto simile a quello dell’oscilloscopio incui sull’asse orizzontale (asse x) si definisce l’occupazione temporale mentresu quello verticale (asse y) il rilevatore di picco provvede a calcolare le am-piezze in tensione.
53
Poiche non si possono inserire infiniti filtri di selezione la banda risul-tante del sistema non potra che essere limitata; inoltre i filtri, al fine di farosservare solo una singola componente avranno un Q elevatissimo e una ban-da molto stretta quindi saranno molto accurati, ma le scansioni risulterannoessere lente.Per questi motivi gli analizzatori di spettro a banchi di filtri non vengonoutilizzati.
Per quanto riguarda lo strumento numerico esso e costituito essenzial-mente da un oscilloscopio da cui, attraverso un meccanismo di digital signalprocessing (DSP), si calcola la FFT (Fast Fourier Transform).Il problema e sempre trovare un buon compromesso tra velocita e risoluzio-ne: piu le memorie sono lunghe piu si ottiene elevata risoluzione a discapitodella velocita; se invece sono corte il sistema sara veloce, ma poiche i cam-pioni per periodo memorizzati saranno pochi non si osservera una formad’onda con accuratezza.
esempio
Calcoliamo la risoluzione di un analizzatore di spettro con memoria con-tenente 106 campioni e banda del segnale di 50MHz.
Risoluzione =50 · 106
106= 50Hz
La risoluzione e molto accurata in rapporto con la banda del segnale, ma ilsistema dovra effettuare i calcoli per 106 campioni.
Effettuiamo nuovamente il calcolo con il medesimo segnale, ma con unamemoria di 104 campioni.
Risoluzione =50 · 106
104= 50 · 102Hz = 5kHz
Se il sistema ha 102 calcoli in meno da fare la risoluzione peggiora dellostesso fattore e l’accuratezza diminuisce sensibilmente.
Per trattare segnali a radiofrequenza i due dispositivi citati finora nonsono adeguati: per l’analizzatore di spettro a banchi di filtri il problemae appunto la banda limitata di utilizzo, dovuta al numero di filtri che sidevono avere per osservare le singole componenti; nel caso di analizzatoredi spettro a FFT il problema e scegliere quale capacita di memoria si deveutilizzare per avere velocita ed accuratezza allo stesso tempo.Si utilizzano, grazie al principio dell’eterodina di cui al capitolo 5, gli ana-
lizzatori ad eterodina.
54
———————a.s eterodina———————L’oscillatore locale e pilotato da una rampa che determina la velocita discansione e il filtro a banda variabile RBW (Resolution Bandwidth) per-mette di cambiare la risoluzione.La fif al fine di ottenere un’elevata risoluzione non puo appartenere allabanda del segnale di ingresso; siccome si vogliono trattare segnali a radio-frequenza si divide l’elevata banda di ingresso in bande piu piccole in cui silavora con metodologie diverse per ognuna:——————–divisione in bande——————–
1 fif : sulla banda piu bassa si utilizza un metodo di up conversion,ossia si modulano i 100kHz su una banda piu larga, di circa 400MHze successivamente il segnale viene inviato nel ramo di cui al puntoseguente;
2 fif : viene posta tra la banda del segnale di ingresso (100kHz÷3GHz)e quella dell’oscillatore locale (piu alta di 3GHz); il battimento checrea la frequenza immagine viene filtrato con un passa basso;
3 fif : anche in questo caso deve essere in alto rispetto alla banda diingresso del segnale (> 3GHz); a differenza del punto precedente none possibile eliminare la frequenza immagine con un filtro passa basso,ma si preseleziona lo spettro utile e si taglia questa componente conun filtro tunabile.
Se la risoluzione non fosse ottimale, dopo questo primo step, si puo nuova-mente applicare una seconda volta il principio (progressione in frequenza)con una seconda frequenza intermedia:
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E possibile dopo, la seconda fif applicare un ADC per digitalizzare il si-stema e, all’occorrenza, operare una terza volta il principio con tecnichenumeriche.La risoluzione del sistema complessivo dipende soltanto dall’ultimo stepcompiuto applicando la progressione in frequenza.
L’accuratezza dell’asse x dipende dall’accuratezza dell’oscillatore locale;come abbiamo visto nel capitolo precedente una sintesi accurata si ha con iPLL quindi negli analizzatori di spettro gli oscillatori locali sono sintetizzaticon tali dispositivi.Per quanto riguarda l’asse y, invece, la sua accuratezza dipende da tutti imixer (che hanno perdita di conversione), dai filtri e dagli amplificatori chevengono inseriti.
56
8.1 Tipi di misure
Gli analizzatori di spettro vengono utilizzati per diversi tipi di misure: incerti casi sono ottimi, mentre, ad esempio, per la misura assoluta di potenza,non vanno bene in quanto offrono una rilevazione molto incerta.
8.1.1 Modulo funzione di trasferimento
Il tracking generator mantiene costante l’ampiezza del segnale di ingres-so (Ving) per tutte le frequenze; misurando con l’analizzatore di spettro laVout che variera rispetto alla Ving costante, si ricava il modulo della funzionedi trasferimento.
|Vout| = |Ving| · |H(ω)| =⇒ |H(ω)| =|Vout||Ving|
8.1.2 Distorsione armonica
Si definisce THD (Total Harmonic Distorsion):
THD =
√
√
√
√
∑
i6=o
Pi
P0
dove Pi e la potenza della i-esima armonica e Po la potenza della fondamen-tale.
57
Un dispositivo non lineare e distorcente:
v2(t) = f(v1(t)) = αv1(t) + βv1(t)2 + ...
Se la funzione in ingresso e sin(f1) la distorsione provochera la nascita ditante armoniche:
sin(f1) = sin(f2) + sin(f3) + sin(f4) + ...
—————–grafici—————–Il grafico riporta la potenza di uscita alla quale il guadagno e diminuito di1 dB rispetto al caso lineare.Le curve con la 2 armonica, poiche appunto sono di 2 grado presenterannoun fattore 2 espresse in dB e in particolar modo sono importanti le curve di3 armonica che definiscono l’IP3 (Intercept Point of 3 order), un indice didistorsione significativo.—————–grafico IP3—————–
8.1.3 Intermodulazione
58
Se il sistema e lineare sull’analizzatore di spettro si osservano due righe,ma in caso contrario sono presenti tutti i prodotti di intermodulazione:
f0 = ±(m · f1) ± (n · f2) f2 = f1 ± ∆f
—————–grafici—————–
Prodotti di intermodulazione
Ordine Distanza dalla f0
3 [(2 · f0) − (f0 + ∆f)] = f0 − ∆f
5 [(3 · f0) − 2 · (f0 + ∆f)] = f0 − 2 · ∆f
7 [(4 · f0) − 3 · (f0 + ∆f)] = f0 − 3 · ∆f
Tabella 2: riassunto ordini importanti di intermodulazione
Se consideriamo un sistema trasmissivo occorre tenere ben presente que-sti disturbi: sul canale principale si trasmette ad una frequenza f0 bendeterminata, ma i prodotti di intermodulazione, essendo equispaziati di ∆fcostante rispetto alla carrier (f0), vanno a sovrapporsi perfettamente su altricanali trasmissivi causando rumore.Il disturbo causato si misura solitamente di dBc (c significa carrier) definitocome rapporto di tensione tra la Carrier e l’i-esima intermodulazione.Ad esempio 30 dBc del 3 ordine vuol dire che il prodotto di intermodula-zione del 3 ordine e attenuato di 30 dB rispetto alla carrier.L’estensione ad un’infinita di coppie del prodotto di intermodulazione pren-de il nome di ricrescita spettrale; per misurare la potenza del canaleadiacente rispetto al canale di riferimento si introduce l’ACPR (AdiacentChannel Power Ratio).—————–grafico acpr—————–
ACPR =
∫
T0Potenza (f0) df
∫
T1Potenza (f1) df
9 Power Meter
I power meter sono dispositivi che misurano la potenza di un segnale.Come abbiamo visto anche gli analizzatori di spettro offrono la stessa possi-bilita, ma sono selettivi in frequenza: l’energia calcolata e in funzione dellabandata dalla fif che e stata selezionata.
59
I power meter invece riescono ad operare su larga banda, da frequenze bassefino a quelle ottiche sfruttando la tecnologia bolometrica.Un bolometro e un resistore variabile con la temperatura che viene inseritoin un ponte di wheatstone; nel ponte sono presenti sia componente continuasia componente a radiofrequenza: per garantire un corretto funzionamentodel ponte occorre che le due componenti non disturbino gli altri elementi delcircuito.La cella bias-tee e un elemento che permette alla componente a radiofre-quenza applicata in ingresso sul condensatore di non influire in altre zonedel circuito se non sull’uscita grazie all’induttore; viceversa la componentecontinua posta in ingresso sull’induttore viene tagliata dal condensatore; inquesto modo solo sull’uscita sono presenti entrambe le componenti DC+RF.——————cella bias-tee—————–Funzionamento del ponte di wheatstone
Definiamo Rbol il resistore bolometrico e osserviamo il comportamento delcircuito mostrato in figura:—————-ponte di wheatstone—————-Ipotizziamo inizialmente che la componente RF sia nulla: il ponte si equilibraquando Rbol = R ossia quando il resistore bolometrico sara ad una tempe-ratura tale che gli permettera di dissipare una certa potenza Pdiss = PDC .La corrente che scorre in ciascun ramo e pari ad I0
2 (lettura dell’amperome-tro) quindi deduciamo che:
Pdiss =
(
I0 · R2
)2
Ora invece applichiamo anche la componente RF: la potenza dissipata daRbol sara questa volta:
P′
diss = PDC + PRF
e se leggiamo dall’amperometro una misura di corrente I1 si otterra:
P′
diss =
(
I1 · R2
)2
+ PRF
ovviamente P′
diss 6= Pdiss e piu in particolare P′
diss > Pdiss.Se pero si cambia la tensione di alimentazione, abbassandola, come imme-diata conseguenza si ha che diminuisce la corrente che scorre nei due ramidel ponte e dunque anche la potenza dissipata cala.Mettiamoci nella condizione in cui P
′
diss = Pdiss:
(
I0 · R2
)2
=
(
I1 · R2
)2
+ PRF
60
da cui possiamo determinare la potenza dissipata dalla componente a radio-frequenza:
PRF =
(
I0 − I1
2
)
· R
Possiamo fare l’ipotesi che le due potenze dissipate siano uguali per il prin-cipio di sostituzione in continua: quando il ponte e equilibrato (Vout = 0)viene dissipata sempre la stessa potenza qualunque siano le componenti ap-plicate.
Procediamo ora ad analizzare i principali problemi del dispositivo con-siderato: inanzi tutto e immediatamente intuibile che il sistema risente for-temente della temperatura esterna a cui e posto; per questo motivo e benetarare lo 0 della scala prima di fare le misure.In secondo luogo la ripetibilita della misura e strettamente legata alla varia-zione della temperatura esterna. Per garantire stabilita si crea un sistemapiu complesso con due ponti: uno, che ha componente RF come abbiamovisto in precedenza e un secondo ponte di wheatstone in cui e solo presentecomponente continua che prende il nome di ponte dummy.Poiche entrambi i ponti risentiranno pressoche in modo uguale delle diffe-renze di temperatura operando una differenza tra la potenza dissipata dalponte con la componente RF e quella dissipata dal ponte dummy si riesce astimare PRF .Per ottenere una misura occorre aspettare che la temperatura sul bolometrosia tale da far si che la sua resistenza sia pari a quella delle altre presentisul ponte quindi la velocita dei power meter sara bassa.L’accuratezza e il dynamic range dipendono anche loro dal bolometro, inparticolare dal range di resistenze che riesce ad ottenere alle varie tempera-ture e da un secondo parametro.Questo secondo parametro e che la corrente continua e l’effetto del segnaleRF scaldino nello stesso modo Rbol e purtroppo non e una condizione vera.In base al modo in cui si propaga l’onda a radiofrequenza avra sicuramentedei massimi, ossia dei punti in cui la potenza dissipata e maggiore che scal-deranno maggiormente la resistenza rispetto a quei punti dove l’onda avra iminimi; questi punti vengono definiti hot spot. Inoltre il bolometro non eadattato quindi sara presente un coefficiente di riflessione che riflette l’ondaincidente, e anche la potenza incidente causando una potenza reattiva chenon e possibile quantificare.
Tutti i power meter sono tarati in azienda con i cosiddetti cal factor
(calibration factor) i quali contengono i valori delle incertezze discusse sopra(95% ÷ 100%).
61
