Appunti di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - Inducks · 2020. 1. 9. · Marco Barlotti - appunti di...

Marco Barlotti

Appunti di

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

per il Corso di Laurea quadriennale in Scienze Naturali

Vers. 7.1

Anno Accademico 2000-2001

AVVERTENZA Tutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore. È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito. È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altra opera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova opera nella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito e l’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni. L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senza riserve di quanto sopra. In copertina un disegno originale (© Disney) di Keno Don Rosa.

Marco Barlotti - appunti di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - Prefazione alla vers. 7.1 - Pag. I

PERCHÉ QUESTI APPUNTI, E COME USARLI(Prefazione alla vers. 7.1)

Questi appunti nascono come supporto alle lezioni che ho tenuto per l’insegnamento di “Istituzioni diMatematiche” per il Corso di Laurea in Scienze Naturali presso la Facoltà di ScienzequadriennaleMatematiche, Fisiche e Naturali all’Università di Firenze.

Penso che tale insegnamento debba proporsi essenzialmente tre scopi: fornire una preparazione di base nella materia a livello universitario; presentare i concetti matematici fondamentali mantenendo un “punto di vista superiore” rispetto allaScuola Secondaria; mettere i futuri laureati nelle condizioni di usare alcuni specifici strumenti di calcolo.

Questa impostazione comporta una certa ampiezza nell’arco degli argomenti trattati e, di conseguenza,la rinuncia allo sviluppo di procedimenti avanzati di calcolo. Sono però convinto che una buona preparazione dibase metta in condizione di apprendere, se necessario, tecniche specialistiche; mentre, d’altro lato, la padronanzadi molti strumenti di calcolo non garantisce di per sé una corretta visione della materia.

Nell’usare questi appunti, lo studente deve tenere presente che, per la loro stessa natura di testo scritto,essi non sono la stessa cosa delle lezioni tenute in aula. Ad esempio, la trattazione è talvolta più formale (e quindipiù “pesante”) rispetto a quanto consente l’immediatezza dell’esposizione orale, dove ci si può “lasciare andare”all’uso di qualche notazione non del tutto ortodossa.

Inoltre, rispetto al programma effettivamente svolto a lezione, questi appunti comprendono alcuniargomenti e varie dimostrazioni in più ( ) ma molti esercizi in meno (e quelli riportati non sono, in generale,1

svolti). Le parti in più vogliono consentire allo studente interessato qualche approfondimento e servire comunquecome riferimento per eventuali consultazioni future.

Alla carenza di esercizi dedicati alla Geometria e all’Analisi Matematica il lettore può ovviareutilizzando qualcuno degli appositi testi reperibili in commercio (si veda anche, al termine della bibliografiaposta dopo questa introduzione, l’elenco dei libri consigliati). Dovrebbero invece essere sufficienti perun’adeguata preparazione sull’argomento gli esercizi sui sistemi lineari riportati nel capitolo 20, fra l’altro inbuona parte svolti nei dettagli.

Si noti che alcuni degli esercizi proposti sono contrassegnati con un asterisco fra parentesi quadre ([*]):si tratta di esercizi “di approfondimento", generalmente più difficili degli altri, che è necessario sapernonrisolvere per superare l’esame, anche con un buon voto.

Molti studenti affrontano questo corso di lezioni col timore di possedere una preparazione insufficientea causa del tipo di Scuola Secondaria frequentato o per altri motivi. Raramente tale timore è giustificato: infatti,sia a causa del carattere “istituzionale" di questo corso sia per i criteri con cui esso viene impostato, i prerequisitirichiesti sono minimi; per tranquillizzare il lettore è comunque opportuno precisarli.

1Per la preparazione all’esame lo studente è invitato a fare riferimento al programmma consuntivo del corso,depositato presso la segreteria del Dipartimento di Matematica per le Decisioni e disponibile su Internet all’URL

http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/ProgrammaVecchio.htmloppure

http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/ProgrammaVecchio.html

Marco Barlotti - appunti di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - Prefazione alla vers. 7.1 - Pag. II

NOZIONI SUPPOSTE NOTE DAGLI STUDI PRECEDENTI

L’insieme dei numeri naturali, l’insieme dei numeri interi relativi, l’insieme dei numeri razionali; ™ le operazioni di “somma" e “prodotto", la relazione di “minore o uguale", sottrazione, divisione, divisioneeuclidea, elevamento a potenza in , in e in ; principali proprietà di tali operazioni e relazioni. La ™ scomposizione in fattori primi dei numeri naturali; massimo comun divisore e minimo comune multiplo.L’insieme dei numeri reali verrà introdotto durante il corso; tuttavia, a quel punto sarà data per acquisita una‘certa capacità di calcolo con i numeri reali, e in particolare con i radicali.

Polinomi, prodotti notevoli di polinomi e alcuni casi di scomposizione di polinomi; teorema di Ruffini.Equazioni algebriche; risoluzione delle equazioni algebriche di 1 e 2 grado; risoluzione di quelle equazioni! !

algebriche di grado superiore al 2 che possono essere affrontate mediante la scomposizione dei polinomi e il!

teorema di Ruffini. Disequazioni intere e fratte di 1 e 2 grado. Disequazioni di grado superiore al 2 che! ! !

possono essere affrontate mediante la scomposizione dei polinomi e il teorema di Ruffini.Nozioni essenziali di geometria piana (possibilmente con riferimento, direttamente o indirettamente, ai

classici assiomi di Hilbert): rette, angoli, triangoli, poligoni regolari, circonferenze e cerchi. Segmenticommensurabili; misura dei segmenti commensurabili con l’unità di misura fissata. Le isometrie del piano.

Trigonometria piana: definizione delle funzioni , , , ; le due relazioni fondamentali:sin cos tg cotgsin cos tg sin cos# # Ñ

ÑÐ Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ œ! ! !1, ; le “formule di addizione" per e ; il “teorema dei seni" e ilsincos

( (

!!

“teorema del coseno".I fatti essenziali sulle isometrie del piano e le nozioni utili di trigonometria piana sono comunque

riportati in appendice a questi appunti.

È inevitabile la presenza in questi appunti di errori materiali; inoltre, per quanto mi sia sforzato diconciliare il rigore con la chiarezza, alcuni brani del testo possono risultare poco comprensibili. Sarò grato a tutticoloro, e specialmente agli studenti, che vorranno segnalarmi qualunque problema, dai più banali errori distompa alle oscurità nell’esposizione.

Firenze, 7.7.2007 Marco Barlotti

BIBLIOGRAFIA

[1] G. C. Barozzi, C. Corradi il Mulino, Milano (1997). Matematica Generale per le scienze economiche

[2] G. C. Barozzi, C. Corradi il Mulino, MI (1998). Matematica Generale per le scienze economiche: Esercizi

[3] G. Choquet Hermann, Paris (1964). L’enseignement de la Géométrie

[4] G. Devoto, G. C. Oli Le Monnier, Firenze (1990). Il dizionario della lingua italiana

[5] E. Giusti Bollati Boringhieri, Torino (1991). Esercizi e complementi di analisi matematica

[6] P. R. Halmos Van Nostrand, Princeton NJ (1966). Naive set theory

[7] P. R. Halmos Feltrinelli, Milano (1970). Teoria elementare degli insiemi

[8] D. Hilbert Feltrinelli, Milano (1970). Fondamenti della Geometria

[9] P. Marcellini, C. Sbordone Liguori, Napoli (1988). Esercitazioni di Matematica

[10] G. Peano Paravia, Torino (1902). Aritmetica generale e algebra elementare

[11] G. Prodi McGraw Hill, Milano (1994). Istituzioni di Matematica

[12] R. Scozzafava Masson, Milano (1992). Matematica di base

[13] R. Scozzafava Masson, Milano (1993). La probabilità soggettiva e le sue applicazioni

[14] A. Spinelli, L. Scaglianti CEDAM, Padova (1984). Guida all’esame di Matematica generale

A chi preferisca studiare su altri libri, segnalo come abbastanza omogenei al programma che svolgo (inordine decrescente di omogeneità) [11], [12] e [1]. Fra i libri di esercizi che conosco, credo di poter consigliare(in ordine crescente di difficoltà) [14], [2], [9] e [5]. Per approfondimenti, sono ottimi testi [7], [8] e [13].

Marco Barlotti - appunti di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - v. 7.1 - Pagina 1

1.- INTRODUZIONE

1.1 - L’impostazione assiomatica.

Ogni teoria matematica si sviluppa mediante definizioni e teoremi su cui poggiano a cascata altredefinizioni e altri teoremi. Ogni definizione spiega il significato di una parola, o di un gruppo di parole, mediantealtre parole. Ma è possibile definire tutte le parole? O, forse, alcuni termini matematici possono essere definiticon vocaboli “non tecnici”, cioè del tutto estranei alla teoria in esposizione, che quindi non hanno bisogno dispiegazione? La risposta è negativa per entrambe le domande.

Esempio 1.1.1

Si chiama una raccolta di parole e locuzioni della lingua italiana (generalmentedizionario della lingua italianadisposte in ordine alfabetico) per ciascuna delle quali è fornita una spiegazione del significato. Tale spiegazione èdata usando soltanto parole della lingua italiana.Nella edizione 1990 de “ ” di Giacomo Devoto e Gian Carlo Oli ([4]) leggiamo:Il dizionario della lingua italiana L’individuo di sesso maschile della specie umana.UOMO ³ Proprio dell’ uomo, in quanto rappresentante della specie.UMANO ³Questo non è soddisfacente: infatti il lettore non può comprendere la spiegazione del sostantivo “ ” se nonUOMOconosce il significato dell’aggettivo “ ”; e non può comprendere la spiegazione dell’aggettivo “ ” seUMANO UMANOnon conosce il significato del sostantivo “ ”.UOMO

Esempio 1.1.2

La più antica opera oggi conosciuta in cui la geometria viene trattata non come un sistema di regole pratiche enozioni empiriche ma come una “scienza razionale” è costituita dagli “Elementi” di Euclide (matematico vissutoin Grecia nel III secolo a. C.). La teoria sviluppata da Euclide costituisce ancor oggi uno strumento semplice eefficace per descrivere la realtà fisica attorno a noi e per studiare fenomeni di varia natura.Ð Ñ1

Dovendo riferirsi a certi enti su cui costruire la geometria, Euclide ritenne necessario aprire la sua opera con unaserie di “definizioni”, ad esempio: - Un punto è ciò che non ha parti. - Una linea è una lunghezza senza larghezza. - Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza, ma non spessore.Oggi queste “definizioni” non ci sembrano utilizzabili per sopportare il peso di una teoria. Non si comprendeinfatti come si possa spiegare che cos’è un “punto” mediante la nozione di “parte” senza poi precisare che cosasignifichi “parte”; né come si possano definire “linea” e “superficie” mediante le parole “lunghezza”, “larghezza”e “spessore” senza che queste vengano a loro volta definite.

Lo sviluppo (nel diciannovesimo secolo) della critica ai fondamenti della matematica (e in particolaredella geometria euclidea) ha condotto a stabilire che una trattazione razionale e rigorosa deve procedereassiomaticamente: ciò significa che alla base della teoria non si deve porre un sistema di definizioni; siassegnano invece certe parole (dette ) e le regole precise (dette , o ) con le qualiconcetti primitivi assiomi postulatitali parole verranno utilizzate. In tal modo anziché definire gli enti fondamentali ci si limita a descrivere lerelazioni logiche che intercorrono fra essi.

1 almeno in prima approssimazione. Le descrizioni quantistico-relativistiche utilizzano una geometria“diversa”, detta appunto “non euclidea”.


1.2 - La teoria degli insiemi.

La può essere utilizzata per una costruzione organica e coerente di tutta lateoria degli insiemiMatematica. Essa si è venuta sviluppando a partire dalla seconda metà del diciannovesimo secolo grazie ai lavoridi (fra gli altri) Georg Cantor (1845 1918), Friedrich Ludwig Gotilds Frige (1848 1925) e Bertrand Russel (1872 1970), ed ha trovato una sistemazione ormai classica ad opera di Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo(1871 1953) e Adolf Abraham Fraenkel (1891 1965).

Una rigorosa impostazione assiomatica (cfr. 1.1) esula certamente dalle nostre possibilità . NoiÐ Ñ2

utilizzeremo tuttavia il linguaggio degli insiemi; pur non formalizzandole esplicitamente, cercheremo di stabilire“regole del gioco” chiare e precise che ci consentano di utilizzare le parole “primitive” ( , ,insieme elementoappartiene, ...) senza cadere in formalismi esasperati ma evitando imprecisioni che possano poi dar luogo acontraddizioni logiche.

Useremo dunque la parola “ ” per indicare un ente completamente caratterizzato dagli insieme elementiche ad esso . Per sgombrare il campo da possibili fraintendimenti, chiariamo subito cheappartengono - si usa il termine “elemento” per indicare ciò che “appartiene” ad un “insieme”, senza che ciò prefiguri duemondi distinti, quello degli “elementi” e quello degli “insiemi”: anzi, gli elementi di un insieme possonobenissimo essere essi stessi insiemi; - poiché un insieme resta completamente caratterizzato dai propri elementi, si conviene in particolare che: dueinsiemi sono lo stesso insieme (si dice anche che ) se e solo se hanno gli stessi elementi.coincidono

1.3 - Prime notazioni sugli insiemi.

Siano , insiemi.A B

Se è un elemento di (ciò si esprime anche dicendo che ad ), scriveremoa A a Aappartienea A− .

Se ogni elemento di è anche elemento di , diremo che è un di (oppure che èA B A Bsottoinsiemeincluso contenuto, o in ) e scriveremoB

A B§ .

Se e , cioè se e hanno gli stessi elementi, e sono lo stesso insieme e scriveremoA B B A A B A B§ §A Bœ

(osserviamo qui esplicitamente che intenderemo sempre l’uguaglianza nel senso “leibniziano” di ). Inidentitàgenerale, se si deve provare che , il procedimento migliore è appunto quello di mostrare che eA B A Bœ §B A§ .

Le scritturea A A B A BÂ § Áy, ,

indicano la negazione rispettivamente di , e (cioè significano rispettivamente: non è una A A B A B a− § œelemento di , non è un sottoinsieme di , e non sono lo stesso insieme; quest’ultimo fatto si esprimeA A B A Banche dicendo che e sono o ).A B diversi distinti

Se e (ciò si esprime dicendo che è in , oppure che è unA B A B A B A§ Á incluso propriamentesottoinsieme proprio di ), scriveremo ancheB

A B§Á .

2 Il lettore interessato può consultare utilmente [6], se necessario nella traduzione italiana [7] .


1.4 - Gli assiomi di Hilbert per la geometria piana.

Abbiamo ricordato in 1.1 la particolare attenzione che fu rivolta nel diciannovesimo secolo aifondamenti della geometria euclidea. In seguito a ciò sono state proposte varie costruzioni assiomatiche di talegeometria; noi faremo riferimento all’opera “Grundlagen der Geometrie” di David Hilbert (1862-1943). Esulanaturalmente dalle nostre possibilità uno studio diretto dei concetti primitivi e degli assiomi fissati da Hilbert; ciriserviamo però di richiamarli in qualche occasione (si può consultare [8] ) .

Ci farà comodo pensare al piano euclideo come a un insieme di punti nel quale vengono individuatiparticolari sottoinsiemi detti , , ecc. . In questo contesto, la nozione di fra il punto e larette segmenti incidenza Aretta corrisponde all’ dell’elemento al sottoinsieme del piano (con la notazione introdotta inr rappartenenza A1.3: ).A − r

Alla nozione di come particolare sottoinsieme del piano faremo riferimento in 1.6, 1.8 e 1.9 perretta“rappresentare” altri insiemi (il senso di questa espressione potrà essere precisato solo in 4.4.4). A tale scopo,supporremo fissati una retta e due punti di essa: ( ) e ( ); il segmento sarà la nostrar O U OUorigine punto unitàunità di misura . Supponiamo note dallo studio della geometria effettuato nella Scuola Secondaria Superiore lenozioni di e di dei segmenti commensurabili con (tale misura è incommensurabilità misura rispetto a OU OUgenerale un numero razionale, cfr. 1.9) .

1.5 - Gli assiomi di Peano per i numeri naturali.

Vediamo un esempio particolarmente semplice e nello stesso tempo profondo: la costruzioneassiomatica proposta dal matematico italiano Giuseppe Peano (1858 1932) per i numeri naturali.

Riportiamo, con qualche irrilevante aggiornamento nei termini ( ), la formulazione di [10] ; la prima3

esposizione del sistema di assiomi è in un lavoro scientifico pubblicato nel 1891 . I concetti primitivi sonoindicati con la locuzione “ ” e le parole “ ”, “ ”, “ ” e “ ”. Glinumero naturale zero successivo insieme appartieneassiomi sono i seguenti: P1 Zero è un numero naturale.Ð Ñ P2 Ogni numero naturale ha un successivo, che è anch’esso un numero naturale.Ð Ñ P3 Sia un insieme di numeri naturali. Supponiamo che zero appartenga ad e che per ogni numeroÐ Ñ A Anaturale che appartiene ad anche il suo successivo appartenga ad ; allora ogni numero naturale appartiene adA AA .

Ð Ñ P4 Se due numeri naturali hanno lo stesso successivo, essi sono lo stesso numero. P5 Zero non è il successivo di alcun numero naturale.Ð Ñ

Questi concetti primitivi e questi assiomi sono sufficienti per definire tutte le usuali nozioni relative ainumeri naturali e per dimostrarne le proprietà. Ad esempio, si definisce il numero “uno” come il successivo dizero; il numero “due” come il successivo di “uno”; il risultato della somma come il successivo del7 8successivo del successivo... ( volte) di ; il risultato del prodotto come il risultato della somma di 8 7 7 † 8 8numeri tutti uguali a ; ecc. ecc..7

L’assioma (P3) è detto anche . Esso fornisce il sostegno teorico a un’importanteprincipio di induzionetecnica di dimostrazione, detta appunto , sulla quale torneremo in 2.5.dimostrazione per induzione

1.6 - Ancora sull’insieme dei numeri naturali.

Abbiamo visto in 1.5 un sistema di assiomi per l’insieme dei numeri naturali, che indichiamo con .Supporremo note dagli studi precedenti le informazioni essenziali su tale insieme; non preciseremo qui dunqueche cosa si intende con le parole “ ”, “ ”, “ ”, ecc. Ricordiamo però esplicitamente lasomma prodotto minoreseguente importante proprietà di :

3 Ad esempio, Peano scrive “classe” anziché “insieme”, e scrive “numero” anziché “numerotout-courtnaturale”.


Osservazione 1.6.6

Comunque presi due numeri naturali , con b 0, restano univocamente determinati due numeri naturali ,+ , Á ; <tali che e .+ œ ,; < < ,Essi si dicono rispettivamente e della di per .quoziente resto divisione euclidea + ,

Per rappresentare sulla retta (come accennato in 1.4) un numero naturale , si procede come segue. Si8considera un segmento di misura , avente il primo estremo nell’origine e il secondo estremo nellaON O8semiretta individuata da contenente ; il secondo estremo del segmento è il punto della retta cheO U ON“rappresenta” il numero .8

Siano fissati un insieme di numeri e uno o più simboli (generalmente, lettere di qualche alfabeto: x, y,Aa, b, , ) . Ricordiamo che si dice x un’uguaglianza fra due polinomi* á equazione algebrica in nell’incognitaA(a coefficienti in , nella indeterminata x) della quale ci si chiede per quali valori di x scelti in sia verificata;A Agli elementi di che sostituiti a x verificano l’uguaglianza si dicono le dell’equazione data.A Asoluzioni in(Analogamente si definiscono le equazioni algebriche in più incognite x, y, a, b, , : si veda, ad es., 20.1 . Si* áestende anche la nozione di considerando espressioni più complesse dei polinomi, e o insiemi i cuiequazione Î Aelementi non sono numeri: in questo caso però non si parla di equazione “algebrica” ma si usa un altro opportunoaggettivo) . un’equazione in significa trovarne le soluzioni.Risolvere A

Siano , . In generale, l’equazione x nell’incognita x non ha soluzioni in .+ , − + œ ,

1.7 - La notazione posizionale in base “dieci e in altre basi.”

Come “si chiamano” i numeri naturali? Come si indicano, oltre che col loro nome?

In base agli assiomi di Peano (sez. 1.5) , c’è un numero che si chiama “zero”; inoltre, ogni numero ha unsuccessivo, e questo ci permette di assegnare nomi ad altri numeri: si decide così di chiamare “uno” il successivodi “zero”, “due” il successivo di “uno”, ecc. ecc. . Questi nomi dipendono dalla lingua che si usa: “zero”, “uno”,“due” sono nomi di numeri nella lingua italiana ma non nella lingua tedesca o in altre lingue.

Per superare le barriere linguistiche, ma anche per poter utilizzare efficaci algoritmi di calcolo, ècomodo indicare i numeri naturali con opportuni simboli grafici: è ad esempio pressoché universale l’uso deisimboli “0” e “1” per indicare rispettivamente i numeri “zero” e “uno” .

In questa sezione descriviamo la cosiddetta per i numeri naturali: si tratta di unanotazione posizionale convenzione (straordinariamente efficace per lo sviluppo di algoritmi di calcolo) che dipende da un numeronaturale fissato, detto , e consente di esprimere qualsiasi numero naturale mediante l’uso (eventualmente, baseripetuto) di al più simboli. La più diffusa, e comunque quella adottata ovunque in questi appunti, è la notazione,posizionale in base “dieci”, chiamata anche ; ma nel mondo scientifico sono talvolta utilizzatenotazione decimalealtre notazioni posizionali: quella in base “due” (detta anche ), e quella in base “sedici” (detta anchebinariaesadecimale) .

Teorema 1.7.1

Sia un numero naturale maggiore di 1 . Ogni numero naturale diverso da 0 si scrive in uno e un solo modo nella,forma - , - , á - , -5 5" " !

5 5"

dove 0 e 0 .Ÿ - , - Á3 5

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.


Sia un numero naturale maggiore di 1 . Sia un numero naturale, e sia con 0, 8 8 œ - , Ÿ - ,!3œ!

5

3 33

(cfr. teor. 1.7.1) . I numeri , , , si dicono le della .- - á - ,! " 5 cifre rappresentazione di in base8

Per scrivere effettivamente i numeri naturali si scelgono innanzitutto dei simboli grafici per indicarequelli minori di . è convenzione ormai diffusa utilizzare i simboli,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, Fper indicare, nell’ordine, i numeri naturali da “zero” a “quindici” (di questi, come si è già detto, si usano solo iprimi ) .,

Se è con 0 , la di consiste nello scrivere in8 œ - , Ÿ - , 8!3œ!

5

3 33 notazione posizionale in base ,

sequenza i simboli che rappresentano (nell’ordine) le cifre , , , , . Se è diverso da “zero”, si- - á - - 85 5" " !

scelgono inoltre , , in modo che sia 0 ; mentre, come si è già detto, il numero “zero” si indica col- á - - Á5 ! 5

simbolo 0.

Nel seguito, salvo esplicito diverso avviso, faremo sempre riferimento alla notazioneposizionale in base dieci.

Esempio 1.7.2

Sia “dieci”. Si ha “quattromilacinquecentosei” “quattro” “cinque” “zero” “sei” ;, ³ œ † , † , † , “ ” “ ”></ .?/

pertanto “quattro”, “cinque”, “zero” e “sei” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione in base “dieci” di“quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la scrittura “4506” .

Sia “due”. Si ha, ³“quattromilacinquecentosei” œ

œ † , † , † , † , “uno” “zero” “zero” “zero”“ ” “ ” “ ” “ ”.9.3-3 ?8.3-3 .3/-3 89@/

† , † , † , † , “uno” “uno” “zero” “zero”“ ” “ ” “ ” “ ”9>>9 =/>>/ =/3 -38;?/

† , † , † , † , “uno” “uno” “zero” “uno” “zero” ;“ ” “ ” “ ”;?+>><9 ></ .?/

pertanto “uno”, “zero”, “zero”, “zero”, “uno”, “uno”, “zero”, “zero”, “uno”, “uno”, “zero”, “uno” e “zero” sono(nell’ordine) le cifre della rappresentazione in base “due” di “quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale basesi indica appunto con la scrittura “1000110011010” .

Sia “otto”. Si ha, ³ “quattromilacinquecentosei” “uno” “zero” “sei” “tre” “due” ;œ † , † , † , † , “ ” “ ” “ ”;?+>><9 ></ .?/

pertanto “uno”, “zero”, “sei”, “tre” e “due” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione in base “otto” di“quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la scrittura “10632” .

Sia “sedici”. Si ha “quattromilacinquecentosei” “uno” “uno” “nove” “dieci” ;, ³ œ † , † , † , “ ” “ ”></ .?/

pertanto “uno”, “uno”, “nove” e “dieci” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione in base 16 di“quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la scrittura “119A” .

Esempio 1.7.3

Sia “dieci”. Allora:, œ“nove” si scrive 9 ; “dieci” si scrive 10 ; “trentuno” si scrive 31 ; “trentasette” si scrive 37 .Sia “due”. Allora:, œ“nove” si scrive 1001 ; “dieci” si scrive 1010 ; “trentuno” si scrive 11111 ; “trentasette” si scrive 100101 .Sia “otto”. Allora:, œ“nove” si scrive 11 ; “dieci” si scrive 12 ; “trentuno” si scrive 37 ; “trentasette” si scrive 45 .Sia “sedici”. Allora:, œ“nove” si scrive 9 ; “dieci” si scrive A ; “trentuno” si scrive 1F ; “trentasette” si scrive 25 .


1.8 - L’insieme dei numeri interi.™

Si indica con l’insieme dei numeri interi ( , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ) . Come già per ,™ á ásupponiamo note dagli studi precedenti le informazioni essenziali su e non precisiamo che cosa si intende con™le parole “ ”, “ ”, “ ”, ecc..somma prodotto minore

Ricordiamo solo che gli interi diversi da 0 si distinguono in (quelli maggiori di 0 , che sipositiviidentificano con i numeri naturali maggiori di 0) e (quelli minori di 0). L’insieme dei numeri interinegativipositivi si indica con ; è usuale identificare (e anche noi lo faremo) 0 con . L’insieme dei numeri™ ™ Ö ×interi negativi si indica con .™

Osservazione 1.8.1

Si estende all’insieme la nozione di ricordata in 1.6.6 : comunque presi due numeri interi ,™ divisione euclidea +, , Á ; < con 0, restano univocamente determinati due numeri interi , (detti rispettivamente e ) taliquoziente restoche e 0 .+ œ ,; < Ÿ < ± , ±

Esercizio 1.8.2

Si determinino quoziente e resto della divisione euclidea di 18 per 5, della divisione euclidea di 18 per 5 e della divisione euclidea di 18 per 5.

Ricordiamo anche la nozione di “valore assoluto” per i numeri interi. Sia ; si dice D − ™ valore assolutodi , e si indica con , il numero naturale così definito:D ± D ±

± D ± œ D D ± D ± œ D D se 0, se 0.

I numeri interi si rappresentano sulla retta con gli stessi punti che rappresentano i numeri naturali e con iloro simmetrici rispetto all’origine. La notazione posizionale in qualsiasi base (cfr. sez. 1.7) si estende a ™rappresentando il numero intero con gli stessi simboli che indicano preceduti dal segno “ ” (che peròD ± D ± usualmente si omette) se è positivo oppure dal segno “ ” se è negativo.D D

Per ogni scelta dei numeri interi e , l’equazione x nell’incognita x ha soluzioni in . In+ , + œ , ™generale, però, l’equazione x (con , e 0) nell’incognita x non ha soluzioni in .+ œ , + , − + Á™ ™

1.9 - L’insieme dei numeri razionali.

Si indica con l’insieme dei numeri razionali, rappresentabili come è noto nella forma con , 78 7 8

numeri interi. Si noti che è opportuno distinguere fra la e il che tale frazionefrazione numero razionale78

rappresenta (ciò sarà precisato meglio in 6.3.6) ; ricordiamo inoltre che ogni numero razionale si puòrappresentare con infinite frazioni ( ).4

Come già per e , supponiamo note dagli studi precedenti le informazioni essenziali su e non ™ precisiamo che cosa si intende con le parole “ ”, “ ”, “ ”, ecc.. Ricordiamo solo quantosomma prodotto minoresegue.

Un numero razionale si dice se è maggiore di 0, se è minore di 0. L’insieme deipositivo negativonumeri razionali positivi si indica con ; quello dei numeri razionali negativi si indica con .

Il sottoinsieme di costituito dai numeri rappresentabili nella forma , con , si identifica ™81 8 −

usualmente con , e anche noi lo faremo. Con questa convenzione, e quella analoga introdotta in 1.8, si ha™dunque . ™ § §

4 La frazione si dice se il massimo comun divisore fra e è 1 (ossia se,78 ridotta ai minimi termini 7 8

come anche si dice, e sono ) . Ogni numero razionale si rappresenta con7 8 primi fra loro in uno e un solo modouna frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore sia positivo.


Il numero razionale (con , ) si rappresenta sulla retta (come accennato in 1.4) col secondo78 7 8 − ™

estremo del segmento di misura che ha il primo estremo nell’origine e giace nella semiretta individuata da±7±±8± O

O U contenente (se 0) oppure nella semiretta opposta (se 0). Si noti che i punti così individuati al7 78 8

variare di sono “densi”, nel senso che fra due di essi c’è sempre un altro punto che corrisponde a un numero78

razionale (questo concetto verrà precisato in 5.4).

Si estende anche all’insieme la nozione di “valore assoluto”. Sia ; si dice di , B − Bvalore assolutoe si indica con , il numero razionale (non negativo) così definito:± B ±

± B ± œ B B ± B ± œ B B se 0, se 0.

Per ogni scelta di e in , hanno soluzioni in sia l’equazione x (nell’incognita x) che+ , + œ , (purché sia 0) l’equazione x (nell’incognita x) . Però, in generale, se e , l’equazione+ Á + œ , 8 − + − x (nell’incognita x) non ha soluzioni in :8 œ +

Teorema 1.9.1

L’equazione 2 non ha soluzione in .B œ#

Dimostrazione - Supponiamo per assurdo (si veda la sez. 2.4 più avanti) che esista un numero razionaleB B œ tale che 2.#

Posto con , 0}, sarà 2 e dunque 2 .B œ 7 8 − ÏÖ œ 7 œ 87 78 8

# #™ ##

Osserviamo che nella scomposizione in fattori primi del quadrato di qualsiasi numero intero ogni fattoreprimo compare sempre con esponente pari: infatti se compare con esponente nella scomposizione in fattori: 5primi di , allora compare con esponente 2 in quella di .+ : 5 +#

Consideriamo ora la scomposizione in fattori primi di : in essa, per quanto appena osservato, il fattore8#

“2” compare con esponente pari. Dunque il fattore “2” compare con esponente nella scomposizione indisparifattori primi di 2 , ossia di ; e ciò è assurdo, di nuovo per quanto si è osservato sopra (si ricordi che la8 7# #

scomposizione in fattori primi di un numero intero è unica).

1.10 - Approssimazioni.Siano , numeri e sia un numero razionale positivo.+ , -Si dice che se+ -è un valore approssimato per difetto di a meno di,

0 .Ÿ , + Ÿ -Si dice che se+ -è un valore approssimato per eccesso di a meno di,

0 .Ÿ + , Ÿ -Si dice che se+ -è un valore approssimato di a meno di,k k+ , Ÿ - .

In tutti questi casi, si dice che approssimando con si commette un non superiore a ., + -errore

Esempio 1.10.1

Il numero 32 è un valore approssimato per difetto di a meno di . 417 113 10

Infatti 0 32 , essendo 32 . œ œ 417 1 417 417 416 113 10 13 13 13 13

Esempio 1.10.2

Il numero 2 è una valore approssimato per eccesso di a meno di . 632 1317 100

Infatti 0 2 , essendo 2 . œ œ œ 632 1 632 634 632 2 2 1317 100 317 317 317 317 200 100


Osservazione 1.10.3

Nel dare la definizione di “valore approssimato” abbiamo parlato genericamente di “numero” senza precisare senaturale, intero, razionale o (chissà) altro. In effetti, l’uso più importante di questa nozione si ha quando elementidi un dato insieme di numeri si approssimano con elementi di un altro, più “maneggevole”, insieme di numeri: inumeri razionali con i numeri interi (esempi 1.10.1 e 1.10.2) ; i numeri razionali con i “numeri decimali limitati”(che verranno introdotti nella sez. 1.11) ; i “numeri reali” (che verranno introdotti nella sez. 10.1) con i numerirazionali.

1.11 - Lo “sviluppo decimale dei numeri razionali.”

Abbiamo già ricordato che ogni numero razionale si può rappresentare con (infinite) frazioni. Questometodo è il più naturale in base alla definizione di (per la quale rimandiamo ancora a 6.3.6) ma non consentein generale di confrontare “a colpo d’occhio” due numeri razionali (qual è più grande fra e ?) . Per38 29

111 85 ovviare a questo problema si fa ricorso al cosiddetto ( ) ( ) che descriviamo in questa sezione.sviluppo decimale5 6

Esercizio 1.11.1

Qual è più grande fra e ? (È immediato perché? che tali frazioni non rappresentano lo stesso38 29 111 85

numero razionale) .

Esercizio [*] 1.11.2

Siano date le frazioni e con 0, 0, 0 e 0 . Si dimostri che+ -, . + , - .

+ -, . +. ,- se e soltanto se .

Possiamo limitare la nostra discussione ai numeri razionali positivi, convenendo semplicemente diassociare ad ogni numero razionale negativo lo stesso sviluppo decimale del suo opposto preceduto però dalsegno “ ”.

Se , , , sono cifre (cfr. 1.7) , e è un numero naturale (scritto mediante la notazione- - á - 8" # 5

posizionale in base 10, cfr. ancora 1.7), con la scrittura8 - - á-, " # 5

conveniamo di indicare il numero razionale< ³ 8 á á - - - -" # 3 5

# 3 5 10 10 10 10 .

Si dice che , è lo ( , o anche ) di ; si dice anche che 8 - - á- < <" # 5 sviluppo decimale limitato finitoammette lo sviluppo decimale limitato finito ( , o anche ) , ; si scrive8 - - á-" # 5

< œ 8 - - á- , ." # 5

Esempio 1.11.3

La scrittura 0,3102 indica il numero razionale ossia . La scrittura 0,71 indica il numero razionale 3102 1551 7110 5000 10 % #

ossia . La scrittura 0,415 indica il numero razionale ossia . 71 415 83100 10 200 $

5 Poiché il corrispondente termine inglese è , si sta diffondendo in Italiano la “traduzioneexpansionpigra” come sinonimo del termine classico .espansione sviluppo

6 L' aggettivo “decimale” fa riferimento all' adozione della base “dieci” per la scrittura dei numeri (cfr.1.7) . Naturalmente, i numeri razionali ammettono sviluppi in qualunque base 1 , e tali sviluppi possono, essere descritti come in questa sezione sostituendo al numero “dieci” in tutte le definizioni e considerazioni,(con cautela particolare per il teorema 1.11.17 e, ancor più, per l' esercizio 1.11.6) . Si veda anche l' osservazione1.11.7 .



Si dimostri che il numero razionale non ammette alcuno sviluppo decimale limitato. 3 7

Un numero razionale che ammette uno sviluppo decimale limitato si dice un numero decimale limitato(o, anche, ).numero decimale finito

Esempio 1.11.5

Il numero razionale è un numero decimale limitato. Infatti 0,925 .37 37 37 37 5 40 40 2 5 10œ œ œ$ $

#

††


Sia un numero razionale, e sia la frazione ridotta ai minimi termini (col denominatore positivo) che! +,

rappresenta . Si dimostri che è un numero decimale limitato se e soltanto se è della forma 2 5 con ,! ! , † 33 4

4 − .

Osservazione 1.11.7

La nozione di “numero decimale limitato” è legata strettamente (come dice il nome stesso) alla scelta della base“dieci”. Ad esempio, il numero razionale non è un numero decimale limitato ma, in base 12, può essere scritto2

3 come 0,8 e dunque è un “numero duodecimale limitato” ; d’altro lato, può essere scritto in base 12 nella1

5 nonforma , e dunque non è un “numero duodecimale limitato”.8 - - á-" # 5

Sia ora , , , , una successione ( ) di cifre, e sia un numero naturale (scritto mediante la- - á - á 8" # 57

notazione posizionale in base 10, cfr. sempre 1.7). Diciamo che tale successione e il numero naturale 8individuano lo ( ) del numero razionale sse ( ) per ogni numero intero positivo ilsviluppo decimale illimitato ! 8 5numero decimale limitato , è una approssimazione per difetto di a meno di , ossia sse8 - - á-" # 5 ! 1

10 5

(1.11. 1) per ogni numero intero positivo , 0 , .F 5 Ÿ 8 - - á- Ÿ! " # 51

10 5

In tal caso, con notazione estremamente vaga si scrive , ; si dice anche che! œ 8 - - á- á" # 5

8 - - á- á, ( ) di , e che ( )" # 5 è lo sviluppo decimale illimitato ammette lo sviluppo decimale illimitato! !8 - - á- á, ." # 5

Siano , , , , , , , cifre. Con la notazione+ + á + : : á :" # 2 " # 5

8 + + á+ Ð: : á: Ñ, " # 2 " # 5

o anche, talvolta, ,8 + + á+ : : á:" # 2 " # 5

si indica lo sviluppo decimale illimitato individuato dalla successione in cui, dopo le cifre , , , (che+ + á +" # 2

compaiono in questo ordine e una sola volta), si ripetono infinite volte e sempre in questo ordine le cifre , ,: :" #

á : + + á +, . Un tale sviluppo decimale illimitato si dice ; le cifre , , , si dicono 5 " # 2periodico cifredell’antiperiodo antiperiodo (e il numero naturale che in base 10 ammette la rappresentazione si dice )+ + á+" # 2

; il numero naturale si dice dell’antiperiodo; le cifre , , , si dicono (e il2 : : á :lunghezza cifre del periodo" # 5

numero naturale che in base 10 ammette la rappresentazione si dice ) ; il numero naturale si: : á: 5" # 5 periododiche del periodo.lunghezza

7 La definizione di sarà data in 4.8 . Per ora, sarà sufficiente pensare a una successione disuccessionecifre come a una “lista infinita” di cifre.

8 useremo l' abbreviazione “sse” per “se e solo se”.


Esempio 1.11.8

Con la notazione 5,10232(314)si indica lo sviluppo decimale illimitato

5,10232314314314314314314314314314314314314314314314ádi periodo 314 e antiperiodo 10232 .

Ogni numero decimale limitato , ammette lo sviluppo decimale illimitato periodico8 - - á-" # 5

8 - - á- Ð Ñ - - á-, 0 di periodo 0 e antiperiodo ." # 5 " # 5

Si noti anche che, per definizione: se il numero naturale e la successione di cifre , , , , 8 - - á - á" # 5

individuano il numero razionale , allora il numero naturale 0 e la stessa successione di cifre , , , , ! - - á - á" # 5

individuano il numero razionale che è compreso fra 0 e 1. Con la notazione che abbiamo introdotto: se! 8! ! !œ 8 - - á- á 8 œ - - á- á Ÿ Ÿ, , allora 0, e 0 1 . Questa osservazione ci consentirà," # 5 " # 5

quando opportuno, di limitare la nostra attenzione ai numeri razionali compresi fra 0 e 1.

Teorema 1.11.9

Ogni sviluppo decimale rappresenta numero razionale.al più un

Dimostrazione - Procediamo per assurdo (si veda la sez. 2.4 più avanti), e supponiamo che lasuccessione di cifre , , , , (assieme al numero naturale ) rappresenti due numeri razionali distinti - - á - á 8" # 5 !e con (tanto per fissare le idee) . Scelto in modo che sia" ! " 5 −

! " 1 10 5

(a tale scopo basta prendere in modo che sia 10 ) deve essere , , ossia5 8 - - á- 5 " # 51 1

10 ! " ! 5

F1 ,! 8 - - á- " # 51

10 5

e 0 , , ossia 8 - - á-" " # 5

F2 , . 8 - - á-" " # 5

Sommando membro a membro le 1 e 2 si ottiene cheF F! " 1

10 5

assurdo per come si è scelto .5

Notiamo che sviluppi decimali diversi possono invece rappresentare uno stesso numero razionale: adesempio, 0,5 (o, se si preferisce, 0,5 0 ) e 0,4 9 sono sviluppi decimali diversi dello stesso numero razionale Ð Ñ Ð Ñ 1

2 . Questo fatto sarà precisato col teorema 1.11.17.

Teorema 1.11.10

Ogni numero razionale ammette uno sviluppo decimale periodico.

Dimostrazione - Come si è già osservato, possiamo limitarci a considerare il generico numero razionalecompreso fra 0 e 1 ; lo rappresentiamo con una frazione con 0 . +

, + ,

Costruiamo, a partire da e , uno sviluppo decimale che dimostreremo essere periodico e+ ,rappresentare proprio . Detti e rispettivamente il quoziente e il resto della divisione euclidea di 10 per +

, " "- < + ,

(cfr. l’osservazione 1.6.6), siano successivamente- < < ,# # " e rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di 10 per ;- < < ,$ $ # e rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di 10 per ;

á á - < < ,3 3 3" e rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di 10 per ;

á á


Si ha dunqueF1 10 con 0 ;+ œ - , < Ÿ < ," " "

F2 10 con 0 ;< œ - , < Ÿ < ," # # #

á á 10 con 0 ;< œ - , < Ÿ < ,3 3 3 3

á á e così via.

Essendo , , , , , minori di , ciascun è minore di 10 (da 10 e 0+ < < á < á , - - , < " # 3 3 3 3

seguirebbe 10 ) . Lo sviluppo decimale- , <3 3

0,- - - á- á" # $ 3

è uno sviluppo periodico. Infatti, gli (dovendo essere numeri interi compresi fra 0 e 1) sono al più in< , 3

numero di ; si verifica dunque uno dei due casi seguenti: i resti , , , sono tutti distinti, cosicchè uno di, < < á <" # ,

essi è 0 e lo sviluppo 0, risulta addirittura limitato; oppure, per 1 , e in questo- - - á- á < œ < Ÿ 3 4 Ÿ ," # $ 3 3 4

caso la sequenza dei resti da a si ripete continuamente sempre nello stesso ordine, e così avviene per i< <3 4"

quozienti da a : lo sviluppo 0, risulta dunque periodico, e la lunghezza del periodo è al più- - - - - á- á3 4" " # $ 3

, Ð Ñ1 .9

Resta da dimostrare che 0, . +, " # $ 3œ - - - á- á

Consideriamo in primo luogo il numero 0, . Poiché per la 1 è 10 , si ha +, " " " - + œ - , <F

1 10 10 10 10

10 + +, , , , ,"

- +- , < < - œ œ œ œ †0, " " " "

ed è ora chiaro (poiché ) che 0 0, .< , Ÿ - " "+,

1 10

Consideriamo ora il numero 0, . Poiché dalle 1 e 2 si ricava che 100 10 , +, " # " # # - - + œ - , - , <F F

si ha 1 10 100 10

100 100 100 100 + +, , , , ," #

- - + - ,- , < < - - œ œ œ œ †0, " # " # # #

e dunque (ancora perché ) 0 0, .< , Ÿ - - # " #+,

1 100

Procedendo allo stesso modo si conclude che 0, . +, " # $ 3œ - - - á- á

(Questa dimostrazione può essere resa più rigorosa procedendo per induzione, cfr. più avanti 2.5 el’esercizio 2.5.5).

Esempi

Si ha: 1.11.11 0,15 ;3

20 œ

1.11.12 0, 142857 ;1 7 œ Ð Ñ

1.11.13 0, 285714 ;2 7 œ Ð Ñ

1.11.14 0,04 923076 ;16 325 œ Ð Ñ

1.11.15 0, 45 ;5 11 œ Ð Ñ

1.11.16 0, 2352941176470588 ;4 17 œ Ð Ñ

9 Supponiamo che sia ridotta ai minimi termini e che non sia divisibile né per 2 né per 5. Non è+, ,

difficile dimostrare che la lunghezza del periodo è il più piccolo numero per il quale 10 1 è divisibile per ;5 ,5

per un teorema di Fermat, tale è un divisore di 1 .5 ,


Teorema 1.11.17

Se il numero razionale ammette due sviluppi decimali distinti, allora! è un numero decimale finito, ossia , ;Ð3Ñ œ 8 - - á-! ! " # 5

posto 1 , gli unici sviluppi decimali di sonoÐ33Ñ , ³ - 5 5 !8 - - á-, " # 5

e , 98 - - á- , Ð Ñ" # 5" 5

(oppure, se : posto 1 , gli unici sviluppi decimali di sono e , 9 ) .! !œ 8 7 ³ 8 8 7 Ð Ñ

Dimostrazione - Moltiplicando o dividendo per una opportuna potenza di 10, e se necessario anche!per 1, possiamo sempre ricondurci al caso in cui i due sviluppi decimali distinti sono della forma8 - - á- á 8 . . á. á 8 - . 8, e , per lo stesso numero naturale e con ; sottraendo infine , avremo" # 5 " # 5 " "

un numero razionale (compreso tra 0 e 1) che possiede due sviluppi decimali distinti 0, e! - - á- á" # 5

0, con . Dobbiamo dimostrare che: 0 ; 1 ;. . á. á - . - œ - œ á œ - œ á œ . œ - " # 5 " " # $ 5 " "

. œ . œ á œ . œ á œ Ð3Ñ Ð33Ñ# $ 5 9 . Ne seguiranno per la e la .!

Per definizione di sviluppo decimale,0 0, ossia Ÿ - œ Ÿ! ! !"

- -" "

10 10

e 0, ossia ! ! ! . œ Ÿ Ÿ". . " "

10 10 101 1

da cui, poiché 1 (essendo ),. Ÿ - . -" " " "

! !Ÿ Ÿ Ÿ 1 10 10

. -" " .

Da questo segue che 0, (e dunque 0 ) ; e che 1 .! œ œ - - œ - œ á œ - œ á œ . œ --" # $ 5 " "

"

10

Resta da provare che le cifre , , , , sono tutte uguale a 9 .. . á . á# $ 5

Deve essere 0, , ossia! . . Ÿ" #1

100

F1 .! Ÿ. ." #

10 100 100 1

Ma sappiamo che da cui! œ œ- . " "

10 10 1

! œ." 10 10

1

e dunque dalla 1 si ottiene cheF.#

100 10 100 100 1 1 9 œ

cosicché 9 ; d’altro lato, 9 (perché è una cifra in base 10), e si è provato che 9 .. . Ÿ . . œ# # # #

Deve poi essere 0, , ossia! . . . Ÿ" # $1

1000 F2 .! Ÿ. . ." # $

10 100 1000 1000 1

Ma sappiamo che e che 9 ; dunque dalla 2 si ottiene che! œ . œ.#

"

10 10 1 F

.$ 1000 10 100 1000 1000

1 9 1 9 œ

cosicché 9 e quindi 9 ; e così via. . œ á$ $

(Questa dimostrazione può essere resa più rigorosa procedendo per induzione, cfr. più avanti 2.5 el’esercizio 2.5.6).

Esempio 1.11.18

Si ha: 1 0, 9 ; 3,74 3,73(9) ; 5,1 5,0(9) ; 2,99 2,98(9) ; 80000 79999, 9 .œ Ð Ñ œ œ œ œ Ð Ñ


Teorema 1.11.19

Ogni numero decimale periodico rappresenta un numero razionale.

Dimostrazione - Per quanto si è osservato, basta provare l’asserto per i numeri decimali periodici dellaforma 0,+ + á+ Ð: : á: Ñ" # 2 " # 5

con , , , cifre dell’antiperiodo e , , , cifre del periodo.+ + á + : : á :" # 2 " # 5

Sia 0,! ³ + + á+ Ð: : á: Ñ" # 2 " # 5

e sia il numero naturale che in base 10 ammette la rappresentazione . Poiché8 + + á+" # 2

! œ † 8 Ð: : á: Ñ œ † 8 Ð: : á: Ñ1 1 10 10 2 2( , ) ( 0, )" # 5 " # 5

possiamo limitarci a considerare i numeri periodici .senza antiperiodo

Procediamo gradualmente, esaminando numeri con periodo di lunghezza crescente (una rigorosadimostrazione per induzione, cfr. più avanti 2.5, sarebbe defatigante).

Proviamo in primo luogo che 0,(1) . Si ha , ossia ( ) ; e, inœ œ œ †1 1 1 1 1 1 1 1 9 9 10 90 9 10 10 9

generale, per ogni numero naturale :8( )æ œ á †1 1 1 1 1

9 10 100 10 9 8ˆ ‰

(questa uguaglianza si prova facilmente procedendo per induzione su , cfr. cfr. più avanti 2.5 e l’esercizio 2.5.7)8da cui, per definizione, 0,(1) . Da questo segue subito che, per ogni cifra , 0,( ) e dunque l’assertoœ - - œ1

9 9 -

per i numeri col periodo di lunghezza 1.

Allo stesso modo si ha 0,(01) . Infatti si ha , ossia ( ) ; e,œ œ œ †1 1 1 1 1 1 1 1 99 99 100 9900 99 100 100 99

in generale, per ogni numero naturale :8

( )æ œ á †1 1 1 1 1 99 100 10000 10 99 #8

ˆ ‰(anche questa uguaglianza si prova procedendo per induzione su , cfr. cfr. più avanti 2.5) da cui, per8

definizione, 0,(01) . Da questo segue subito che, per ogni scelta di cifre e ,œ - -1 99 " #

0,( )- - œ" #- - 10 99" #

e dunque l’asserto per i numeri col periodo di lunghezza 2 .

Procedendo allo stesso modo si prova che per ogni numero naturale si ha5

0,( )- - á- œ" # 5- - á-

á

5

10 10 99 9

cifre

5" 5#" # 5ï

e quindi l’asserto per tutti i numeri decimali periodici.


2.- ELEMENTI DI LOGICA

2.1 - Introduzione.

Si è detto in 1.1 che gli assiomi costituiscono le “regole precise” con le quali vengono utilizzati iconcetti primitivi. Il lettore attento si sarà accorto che ciò non è del tutto esatto: ad esempio, quando affermiamoche “Zero ha un successivo, che è anch’esso un numero naturale” (il che ci consente di dare la definizione di“Uno”) non utilizziamo solo gli assiomi (P1) e (P2) di 1.5 ma anche una regola deduttiva nota come modusponens . In effetti, a monte dei concetti primitivi e degli assiomi ci sono delle più generali “regole diragionamento” che sono studiate da un particolare ramo della Matematica detto .Logica matematica

Noi non possiamo affrontare il complesso apparato della Logica matematica (che, naturalmente,dovrebbe essere introdotto per via assiomatica) . Riassumiamo in 2.2 e 2.3 quelle poche nozioni e i semplicirisultati che avremo poi occasione di utilizzare esplicitamente.

2.2 - Elementi di calcolo delle proposizioni.

Ciò che vogliamo fare è, intuitivamente, questo: date alcune affermazioni (dette , oproposizionienunciati vera falsa), per ciascuna delle quali possiamo dire (non importa in base a che cosa) se è oppure ,stabilire un criterio per costruire altre frasi (più “complesse”; anch’esse saranno dette o ) eproposizioni enunciatidecidere “automaticamente” la verità o falsità di queste ultime.

Non cerchiamo di definire che cos’è una ; useremo la parola come sinonimo diproposizione enunciatoproposizione. Conveniamo che ad ogni proposizione resti associato uno e uno solo dei due numeri naturali 0 e 1(che viene detto della proposizione) ( ) . Un enunciato si dice se ha valore di verità 1 , sivalore di verità vero10

dice invece se ha valore di verità 0 . Se , sono proposizioni, scriveremofalso a b

a bµper indicare che e hanno lo stesso valore di verità (ossia, sono entrambe vere oppure sono entrambe false).a b

Dato un insieme di proposizioni, ciascuna col suo valore di verità, possiamo costruire altri oggetti, chechiameremo ancora , utilizzando (anche ripetutamente) i sei simboli , , , , , e leproposizioni Ð Ñ c ” • Êseguenti regole:

cÐ ÑSe è una proposizione , anche è una proposizione (che si legge: “ ”) .a a anon

Ð Ñ ” Ð ÑSe , sono proposizioni, anche è una proposizione (che si legge: “ ”) .a b a b a boppure

Ð Ñ • Ð ÑSe , sono proposizioni, anche è una proposizione (che si legge: “ ”) .a b a b a be

Ð Ñ Ê Ð ÑSe , sono proposizioni, anche è una proposizione (che si legge: “ ”, o anche “a b a b a b aimplica da segue ”) .b

Alle proposizioni , , , assegniamo un valore di verità completamentecÐ Ñ Ð Ñ ” Ð Ñ Ð Ñ • Ð Ñ Ð Ñ Ê Ð Ña a b a b a bdeterminato dai valori di verità di e , con le seguenti regole:a b

cÐ Ñ il valore di verità di è: 1 se il valore di verità di è 0 ; 0 altrimenti;a a

Ð Ñ ” Ð Ñ il valore di verità di è: 0 se entrambe le proposizioni , hanno valore di verità 0 ; 1 altrimenti;a b a b

Ð Ñ • Ð Ñ il valore di verità di è: 1 se entrambe le proposizioni , hanno valore di verità 1 ; 0 altrimenti.a b a b

Ð Ñ Ê Ð Ñ il valore di verità di è: 0 se la proposizione ha valore di verità 1 e la proposizione ha valore dia b a bverità 0 ; 1 altrimenti.

10 Col linguaggio che sarà introdotto in 4.2, potremmo dire che il è una funzione dall'valore di veritàinsieme delle proposizioni in 0, 1 .Ö ×


I quattro simboli , , , si dicono (rispettivamente: ,c ” • Ê connettivi proposizionali negazione logicadisgiunzione logica congiunzione logica implicazione logica parentesi ausiliarie, e ) . I due simboli e si dicono Ð Ñe usualmente si omettono quando ciò non dia luogo ad ambiguità: dunque (ad esempio) si scrive in luogoa b”di , e si scrive in luogo di ; ma non si considera accettabile (perché ambigua) laÐ Ñ ” Ð Ñ Ê Ð Ñ Ê Ð Ña b a b a bscrittura . Si scrive talvolta come abbreviazione di .a b c a b a b b a” Ê Í Ð Ê Ñ • Ð Ê Ñ

Osservazione 2.2.1

Le proposizioni che consideriamo sono generalmente espresse con parole della lingua italiana e simbolimatematici. Tuttavia, per ciò che diremo, non ha interesse la proposizione in sé ma il suo valore di verità ; nienteimpedisce perciò in teoria di calcolare il valore di verità per espressioni come

Ð Ñ • Ð Ñ5 è un numero primo Francesca è bellaoppure Andrea è simpatico 125 è un quadrato perfettoÐ Ñ Ê Ð Ño anche fugjkhl mkl fg%4$ ghjoooooiÐ Ñ ” Ð Ñpurché si sia stabilita preliminarmente il valore di verità per le proposizioni “Francesca è bella” , “Andrea èsimpatico” (assumendosene ogni responsabilità... nei confronti degli interessati!) , “fugjkhl mkl fg%4$” e“ghjoooooi” . Per quanto riguarda proposizioni su enti matematici (le uniche che interverranno nei nostri esempi)converremo che il valore di verità sia quello risultante dalla usuale teoria matematica.

Esempio 2.2.2

Sono esempi di proposizioni vere le seguenti: (2 è un numero pari) (4 è un numero pari) ;• (2 è un numero pari) (3 è un numero pari) ;” (3 è un numero pari) (4 è un numero pari) ;Ê (3 è un numero pari) (5 è un numero pari) ;Ê ( 3 è un numero pari)) (4 è un numero pari) .cÐ •

Sono esempi di proposizioni false le seguenti: 2 è un numero pari 3 è un numero pari ;Ð Ñ • Ð Ñ 2 3 5 1 2 ;ÐcÐ œ ÑÑ ” Ð Ñ ((3 è un numero pari) 4 è un numero pari (5 è un numero pari) .” Ð ÑÑ Ê

Non sono esempi di proposizioni le seguenti: (2 è un numero pari) (4 è un numero pari) ;• ” (2 è un numero pari) (5 è un numero primo) ;c ” • (2 è un numero pari) (3 è un numero pari) .• c

Inoltre: “2 è un numero pari” ha lo stesso valore di verità di “2 3 5” ; œ “5 è un numero pari” ha lo stesso valore di verità di “39 è un numero primo” .

Osservazione 2.2.3

Siano e proposizioni. Se e sono vere, allora è vera (questa “regola di dimostrazione” è nota cola b a a b bÊnome di “ ” ) ; se è vera e è falsa, allora è falsa.modus ponens a b b aÊ

Dimostrazione - Supponiamo che e siano vere; poiché è vera, se fosse falsa allora a a b a b a bÊ Êsarebbe falsa; dunque non è falsa, e quindi è vera. Supponiamo ora che sia vera e sia falsa; poiché b b a b b bÊè falsa, se fosse vera allora sarebbe falsa; dunque non è vera, e quindi è falsa.a a b a aÊ


Osservazione 2.2.4

Siano , , , proposizioni. Se , , , sono vere, allora è vera.p p p p p p p p p p p" # 8 " # # $ 8" 8 " 8á Ê Ê á Ê Ê

Dimostrazione - Proviamo l’asserto per 3 (in generale si potrebbe procedere per induzione, cfr. 2.5)8 œ. Siano , , proposizioni tali che e sono vere. Se è falsa, certamente è vera; se è vera,a b c a b b c a a c aÊ Ê Êallora è vera (osservazione 2.2.3) : ma allora, ancora per l’osservazione 2.2.3, è vera; dunque in ogni casob ca cÊ è vera.

Siano date alcune proposizioni , , ed altre proposizioni , , , costruite a partire daa b c p p pá á" # $

esse mediante i connettivi come descritto sopra. È spesso conveniente scrivere delle tabelle che esprimano ivalori di verità per , , , in funzione di tutti i possibili valori di verità di , , ; tali tabelle sip p p a b c" # $ á ádicono per , , , . Ad esempio:tabelle di verità p p p" # $ á

a a ac cÐc Ñ0 1 01 0 1

a b a b b a a b b a a b a b” ” • • Ðc Ñ ” Ê0 0 0 0 0 0 1 10 1 1 1 0 0 1 11 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

Si noti che dall’esame di una tabella di verità si può dedurre che certe proposizioni costruite con l’usodei connettivi a partire da altre assumono lo stesso valore di verità qualunque sia il valore di verità delleproposizioni che le compongono (si dice allora talvolta che sono ). Così, dalle precedentilogicamente equivalentitabelle di verità si ricava che:

Osservazione 2.2.5

Qualunque siano le proposizioni e ,a ba a ;µ cÐc Ñ

a b b a” µ ” ;a b b a• µ • ;

a b a bÊ µ Ðc Ñ ” .


Dalle seguenti tabelle di verità

a b a b a b a b a b” cÐ ” Ñ c c Ðc Ñ • Ðc Ñ0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0

a b a b a b a b a b• cÐ • Ñ c c Ðc Ñ ” Ðc Ñ0 0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 0 11 0 0 1 0 1 11 1 1 0 0 0 0

si ricavano le cosiddette :leggi di De Morgan

Osservazione 2.2.6

Qualunque siano le proposizioni e ,a bcÐ ” Ñ Ðc Ñ • Ðc Ña b a b ha lo stesso valore di verità di

e ha lo stesso valore di verità di .cÐ • Ñ Ðc Ñ ” Ðc Ña b a b

Esercizio 2.2.7

Dimostrare, scrivendo le opportune tabelle di verità, che, qualunque siano le proposizioni e ,a ba b b aÊ Ðc Ñ Ê Ðc Ñ ha lo stesso valore di verità di

e ha lo stesso valore di verità di .cÐ Ê Ñ • Ðc Ña b a b

Esercizio 2.2.8

Dimostrare mediante opportune tabelle di verità quanto già visto nelle osservazioni 2.2.3 e 2.2.4 .

2.3 - Elementi di calcolo dei predicati.

Sia un insieme. Fissato un simbolo (ad esempio, ) che chiameremo , consideriamo certi entiA x variabileche diremo (o ) con su . Come già in 2.2 per le proposizioni,proposizioni aperte predicati variabile libera x Anon cerchiamo di dare una definizione di ; stabiliamo solo la seguente regola: se è unaproposizione aperta p xÐ Ñproposizione aperta con variabile libera su , deve esistere un criterio che per ogni permette di ricavarex A a A−da una proposizione (nel senso di 2.2), che diremo e indicheremo conp x p x a xÐ Ñ Ð Ñottenuta da sostituendo adp a x AÐ Ñ . Generalmente, una proposizione aperta con variabile libera su è espressa mediante una locuzione dellalingua italiana (eventualmente con simboli matematici) in cui compare la ; e per ogni si ottiene unax a A−proposizione proprio col “sostituire” (nel senso letterale di “mettere una cosa nel luogo di un’altra”, cfr. [4] ) adax .


Esempio 2.3.1

Sono proposizioni aperte con variabile libera su :x 3 è un divisore di ;x 1 10 ;x 5 è pari ;Ð Ñ • Ð Ñx x è pari è multiplo di 4 .Ð Ñ Ê Ð Ñx xSi noti che ciascuna di esse non è né vera nè falsa (solo le proposizioni sono vere o false!) . Però: sostituendo 6alla variabile , la prima e la terza diventano proposizioni vere, la seconda e la quarta diventano proposizionixfalse; sostituendo 12 alla variabile , diventano tutte proposizioni vere; sostituendo 2 alla variabile , diventanox xtutte proposizioni false.Non sono invece proposizioni aperte con variabile libera su :x 1 10 ; è grande ; (5 7 .y x x x œ Ñc •

Esercizio 2.3.2

Si stabilisca se la seguente proposizione aperta con variabile libera su x Ð Ñ Ê Ð Ñx x è pari è multiplo di 4

diventa una proposizione vera sostituendo alla ciascuno dei seguenti numeri naturali: 7, 8, 9, 10.x

A partire dai predicati si possono ottenere enunciati utilizzando due simboli speciali e (dettib arispettivamente e ) e le seguenti regole:quantificatore esistenziale quantificatore universale

Sia un insieme, e sia una proposizione aperta con variabile libera su .A p x x AÐ Ñ

La Ðb − ÑÐ Ð ÑÑx A p xè una proposizione (che si legge “ ”) alla quale si assegna il seguente valoreesiste almeno un in tale chex A p xÐ Ñdi verità : 1 se si può trovare un elemento di che sostituito alla dà luogo ad una proposizione vera, 0a A xaltrimenti.

La Ða − ÑÐ Ð ÑÑx A p xè una proposizione (che si legge “ ”) alla quale si assegna il seguente valore di verità : 1 se ogniper ogni x p xÐ Ñelemento di sostituito alla dà luogo ad una proposizione vera, 0 altrimenti.a A x

Se è chiaro dal contesto quale sia l’insieme considerato, si scrive anziché eA x p x x A p xb Ð Ð ÑÑ Ðb − ÑÐ Ð ÑÑsi scrive anziché . Si usano anche le seguenti convenzioni:a Ð Ð ÑÑ Ða − ÑÐ Ð ÑÑx p x x A p x

si dice che [risp. ] se è vera [risp. falsa]b Ð Ð ÑÑ Ðb − ÑÐ Ð ÑÑx p x A x A p xè vera falsa in e si dice che [risp. ] se è vera [risp. falsa] .a Ð Ð ÑÑ Ða − ÑÐ Ð ÑÑx p x A x A p xè vera falsa in

Esempio 2.3.3

Sono proposizioni vere in le seguenti: 2 è multiplo di 10 ;b ÐÐ Ñ Ê Ð ÑÑx x x 16 2 30 .a ÐÐ Ñ ” Ð ÑÑx x xSono proposizioni false in le seguenti: 2 è dispari 1 1 ;b ÐÐ Ñ ” Ð œ ÑÑx x x x 2 è multiplo di 10 .a ÐÐ Ñ Ê Ð ÑÑx x xLa proposizione 2 3 è falsa in e , ed è vera in .b Ð œ Ñx x ™ La proposizione 0 è vera in ed è falsa in e .a Ð Ñx x ™


Esercizio 2.3.4

Per ciascuna delle seguenti proposizioni si stabilisca se è vera oppure falsa in :a ÐÐ Ñ Ê Ð ÑÑx x x è pari è multiplo di 4 ;a ÐÐ Ñ Ê Ð ÑÑx x x è multiplo di 4 è pari ;b ÐÐ Ñ • Ð ÑÑx x x è pari è multiplo di 3 ;a ÐÐ Ñ ” Ð ÑÑx x x è pari è multiplo di 3 ;

a ÐÐ Ñ ” Ð Ñ ” Ð ÑÑx x x x è pari 1 è multiplo di 4 1 è multiplo di 4 .

Osservazione 2.3.5

Sia un insieme i cui elementi sono , , , (dove è un numero naturale) ( ) . Se è un predicatoA a a a p x" # 8á 8 Ð Ñ11

su ,Aa Ð Ð ÑÑ Ð Ñ • Ð Ñ • • Ð Ñx p x p a p a p a ha lo stesso valore di verità di ;" # 8áb Ð Ð ÑÑ Ð Ñ ” Ð Ñ ” ” Ð Ñx p x p a p a p a ha lo stesso valore di verità di ." # 8á

In questo senso, i quantificatori si possono considerare una generalizzazione dei connettivi e , e le due” •osservazioni che seguono si possono considerare una estensione delle leggi di De Morgan (2.2.6) .

Osservazione 2.3.6

Qualunque sia l’insieme , e qualunque sia il predicato su ,A p x AÐ ÑcÐa Ð Ð ÑÑÑ b Ðc Ð ÑÑx p x x p x ha lo stesso valore di verità di .

Dimostrazione - Sono possibili due casi: è vera, oppure è falsa.a Ð Ð ÑÑ a Ð Ð ÑÑx p x x p xSupponiamo in primo luogo che sia vera (e quindi sia falsa); allora ogni elemento di a Ð Ð ÑÑ cÐa Ð Ð ÑÑÑx p x x p x Asostituito alla in dà luogo ad una proposizione vera, e dunque sostituito alla in dà luogo ad unax p x x p xÐ Ñ c Ð Ñproposizione falsa: non si può perciò trovare alcun elemento di che sostituito alla in dia luogo ad unaA x p xc Ð Ñproposizione vera, e dunque la proposizione è falsa. Supponiamo poi che sia falsa (e quindib Ðc Ð ÑÑ a Ð Ð ÑÑx p x x p xcÐa Ð Ð ÑÑÑ Ð Ñx p x A x p x sia vera): allora non ogni elemento di sostituito alla in dà luogo ad una proposizione vera;c’è, in altri termini, un opportuno per il quale è falsa, e quindi è vera: ciò significa che laa A p a p a− Ð Ñ c Ð Ñproposizione è vera.b Ðc Ð ÑÑx p x

Osservazione 2.3.7

Qualunque sia l’insieme , e qualunque sia il predicato su ,A p x AÐ ÑcÐb Ð Ð ÑÑÑ a Ðc Ð ÑÑx p x x p x ha lo stesso valore di verità di .

Dimostrazione - Per quanto visto in 2.2.5 e 2.3.6, si ha chea Ðc Ð ÑÑ µ cÐcÐa Ðc Ð ÑÑÑÑ µ cÐb ÐcÐc Ð ÑÑÑÑ µ cÐb Ð Ð ÑÑÑx p x x p x x p x x p x

e ciò è proprio quel che si voleva dimostrare.

Esercizio 2.3.8

Si dimostri che, qualunque sia l’insieme , e qualunque sia il predicato su ,A p x AÐ Ñb Ð Ð ÑÑ cÐa Ðc Ð ÑÑÑx p x x p x ha lo stesso valore di verità di

e ha lo stesso valore di verità di .a Ð Ð ÑÑ cÐb Ðc Ð ÑÑÑx p x x p x

11 Con la notazione che introdurremo in 3.2, , , , . In 12.2 descriveremo questaA a a a³ Ö á ×" # 8

situazione dicendo che è un .A insieme finito


Osservazione 2.3.9

Sia un insieme, e siano , predicati su . Se per ogni l’enunciato ha lo stesso valore diA p x q x A a A p aÐ Ñ Ð Ñ − Ð Ñverità dell’enunciato , alloraq aÐ Ñ

b Ð Ð ÑÑ b Ð Ð ÑÑx p x x q x ha lo stesso valore di verità di e ha lo stesso valore di verità di .a Ð Ð ÑÑ a Ð Ð ÑÑx p x x q xTenendo conto di quanto visto nella sez. 2.2 , si può così ad esempio affermare che

b ÐcÐ Ð Ñ • Ð ÑÑÑ b ÐÐc Ð ÑÑ ” Ðc Ð ÑÑÑx p x p x x p x p x" # " # ha lo stesso valore di verità di e che ha lo stesso valore di verità di .a Ðc Ð Ñ ” Ð ÑÑ a Ð Ð Ñ Ê Ð ÑÑx p x p x x p x p x" # " #

Dimostrazione - Supponiamo che sia vero. Allora si può trovare un elemento per ilb Ð Ð ÑÑ −x p x a A!

quale è vero; per ipotesi, anche è vero, e dunque è vero. Supponiamo ora che siap a q a x q x x p xÐ Ñ Ð Ñ b Ð Ð ÑÑ b Ð Ð ÑÑ! !

falso. Allora per ogni è falso, e quindi anche è falso; dunque è falso.a A p a q a x q x− Ð Ñ Ð Ñ b Ð Ð ÑÑ

Supponiamo poi che sia vero; allora è vero per ogni ; per ipotesi, anche èa Ð Ð ÑÑ Ð Ñ − Ð Ñx p x p a a A q avero per ogni , e dunque è vero. Supponiamo infine che sia falso. Allora si può trovarea A x q x x p x− a Ð Ð ÑÑ a Ð Ð ÑÑun elemento per il quale è falso; per ipotesi, anche è falso, e dunque è falso.a A p a q a x q x! ! !− Ð Ñ Ð Ñ a Ð Ð ÑÑ

Esercizio 2.3.10

Si provi che, qualunque sia l’insieme , e qualunque siano i predicati e su ,A p x q x AÐ Ñ Ð Ñb Ð Ð Ñ ” Ð ÑÑ Ðb Ð Ð ÑÑÑ ” Ðb Ð Ð ÑÑÑx p x q x x p x x q x ha lo stesso valore di verità di

e ha lo stesso valore di verità di .a Ð Ð Ñ • Ð ÑÑ Ða Ð Ð ÑÑÑ • Ða Ð Ð ÑÑÑx p x q x x p x x q xSi osservi poi, scegliendo opportunamente due predicati e su , che in generalep x q xÐ Ñ Ð Ñ

b Ð Ð Ñ • Ð ÑÑ Ðb Ð Ð ÑÑÑ • Ðb Ð Ð ÑÑÑx p x q x x p x x q x non ha lo stesso valore di verità di e non ha lo stesso valore di verità di .a Ð Ð Ñ ” Ð ÑÑ Ða Ð Ð ÑÑÑ ” Ða Ð Ð ÑÑÑx p x q x x p x x q x

Le osservazioni che abbiamo fatto nelle sezioni 2.2 e 2.3, e in particolare 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.3.6, 2.3.7e 2.3.9, ci permettono di semplificare utilmente espressioni logiche anche complesse.

Esempio 2.3.11

Si ha la seguente catena di proposizioni che hanno a due a due lo stesso valore di verità:cÐb Ð Ð Ñ • Ðc Ð ÑÑÑÑ µ a ÐcÐ Ð Ñ • Ðc Ð ÑÑÑÑÑ µx p x q x x p x q x

µ a ÐÐc Ð ÑÑ ” ÐcÐc Ð ÑÑÑÑ µ a ÐÐc Ð ÑÑ ” Ð Ð ÑÑÑ µ a Ð Ð Ñ Ê Ð ÑÑx p x q x x p x q x x p x q x .

La nozione di “proposizione aperta (o predicato) con variabile libera su un insieme” si estende al casoxin cui vi siano più variabili, anche con la possibilità che queste assumano valori su insiemi diversi . Restaessenziale che valga la seguente regola: se , , ... , è una proposizione aperta con variabili libere sup x x x xÐ Ñ" # 8 "

A x A x A a A p x x" # # 8 8 3 3 " #, su , ... , su , deve esistere un criterio che per ogni permette di ricavare da , , ... ,− Ðx p a a a8 " # 8Ñ Ð Ñ una proposizione , , ... , .

Una proposizione aperta con due risp. tre variabili libere si dice anche risp.Ò Ó Òpredicato binarioternarioÓ

Esempio 2.3.12

Sono predicati binari con variabili libere su e su :x n 1 1 ;Ð Ñ x nxn

.x x x( 2) 2n n œ


Mediante l’uso dei quantificatori (con regole del tutto analoghe a quelle già viste) da predicati con nvariabili libere si possono ottenere proposizioni aperte con un numero inferiore di variabili libere o addiritturaenunciati.

Esempio 2.3.13

Dalla proposizione aperta su 5 x y œsi ricavano i seguenti predicati su

a Ð œ Ñ a Ð œ Ñ b Ð œ Ñ b Ð œ Ñx x y y x y x x y y x y5 ; 5 ; 5 ; 5e i seguenti enunciati su

a a Ð œ Ñ a a Ð œ Ñx y x y y x x y5 ; 5 ;a b Ð œ Ñ a b Ð œ Ñx y x y y x x y5 ; 5 ;b a Ð œ Ñ b a Ð œ Ñx y x y y x x y5 ; 5 ;b b Ð œ Ñ b b Ð œ Ñx y x y y x x y5 ; 5

dei quali i primi sei sono falsi e gli ultimi due sono veri.

Osservazione 2.3.14

Si noti che in generale è essenziale l’ordine in cui si scrivono i quantificatori. Per esempio, se , è unp x yÐ Ñpredicato binario su un insieme qualunque, si ha cheA

a a Ð Ñ µ a a Ð Ñ b b Ð Ñ µ b b Ð Ñx y p x y y x p x y x y p x y y x p x y, , e , , mentre , non ha in generale lo stesso valore di verità di , a b Ð Ñ b a Ð Ñx y p x y y x p x ye , non ha in generale lo stesso valore di verità di , .a b Ð Ñ b a Ð Ñy x p x y x y p x y

Esempio 2.3.15

La è vera in , mentre la è falsa in ; analogamente, la a b Ð Ñ b a Ð Ñ b a Ð Ñx y x y y x x y x y x y è falsa in , mentre la è vera in . a b Ð Ñy x x yEssendo falsa la , è necessariamente vera la sua negazione. Ricordiamo cheb a Ð Ñy x x y

cÐb a Ð ÑÑ µ a ÐcÐa Ð ÑÑÑ µ a b ÐcÐ ÑÑ µ a b Ð Ñy x x y y x x y y x x y y x x y ;in effetti, la proposizione è vera.a b Ð Ñy x x y

Esercizio 2.3.16

Per ciscuno dei seguenti enunciati, si dica se è vero o falso in , in e in : ™ a b Ð œ Ñ a a Ð œ Ñ b a Ð œ Ñ b b Ð œ Ñx y x y x y x y x y x y x y x y6 ; 6 ; 6 ; 6 ;

a b Ð œ Ñ a a Ð œ Ñ b a Ð œ Ñ b b Ð œ Ñx y xy x y xy x y xy x y xy6 ; 6 ; 6 ; 6 ;a b Ð œ Ñ a a Ð œ Ñ b a Ð œ Ñ b b Ð œ Ñx y xy x y xy x y xy x y xy0 ; 0 ; 0 ; 0 .


2.4 - I teoremi, e come si dimostrano.

Chiamiamo “ ” una proposizione vera. Molto spesso un teorema è un enunciato della formateorema

Ða − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A Hp x Th xdove e sono proposizioni aperte dette rispettivamente e del teorema; l’insieme si diceHp x Th x AÐ Ñ Ð Ñ ipotesi tesitalvolta del teorema . Un teorema di questa forma si esprime anche dicendo che èambito di validità Hp xÐ Ñcondizione sufficiente condizione necessaria per oppure, equivalentemente, che è per ; siTh x Th x Hp xÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñdice anche che

Th x Hp xÐ Ñ Ð Ñ seoppure che .Hp x Th xÐ Ñ Ð Ñsolo se

Esempio 2.4.1

Ða − Ñ ÐÐ Ñ Ê Ð ÑÑx x x™ è multiplo di 4 è pariè un teorema (cfr. esercizio 2.3.4) . L’ipotesi è

Hp x xÐ Ñ ³ “ è multiplo di 4” ;la tesi è “ è pari” .Th x xÐ Ñ ³L’ambito di validità del teorema è (di fatto, fra gli insiemi numerici che conosciamo, è “il più ampio” in cui™ ™si usino le nozioni di “multiplo” e “pari”). Il teorema può essere enunciato nei seguenti modi, tutti equivalentianche se non tutti ugualmente espressivi: Se un numero è multiplo di 4 allora è pari. Essere multiplo di 4 è condizione sufficiente per essere pari. Essere pari è condizione necessaria per essere multiplo di 4. Un numero è pari se è multiplo di 4. Un numero è multiplo di 4 solo se è pari.

Talvolta un teorema è invece della formaÐa − ÑÐ Ð Ñ Í Ð ÑÑx A P x Q x

e si esprime dicendo che è per o anche che .P x Q x Q x P xÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñcondizione necessaria e sufficiente se e solo seRicordando il significato del simbolo e quanto visto in 2.3.10, un teorema di questa forma si trasforma inÍ

Ða − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑ • Ða − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A P x Q x x A Q x P xe quindi si dimostra assumendo prima come ipotesi e come tesi , poi come ipotesi e come tesiP x Q x Q xÐ Ñ Ð Ñ Ð ÑP xÐ Ñ .

Esempio 2.4.2

Ða − Ñ ÐÐ œ Ñ Í Ð œ ÑÑx x x 0 0#

è un teorema che si può esprimere così: Condizione necessaria e sufficiente perché il quadrato di un numero sia 0 è che il numero stesso sia 0 .Oppure, equivalentemente: Il quadrato di un numero è 0 sse il numero stesso è 0 .L’ambito di validità del teorema è ; quando avremo introdotto l’insieme dei numeri reali, vedremo che anche ‘in vale un analogo teorema; invece in (ad esempio) il quadrato di un numero diverso da zero può essere‘ ™%

zero (cfr. 8.6.6).


Vediamo dunque come si può dimostrare cheÐa − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A Hp x Th x .

Sia . Per quanto osservato in 2.2.4, per dimostrare che basta provare per certea A Hp a Th a− Ð Ñ Ê Ð Ñopportune “proposizioni intermedie” , , , chep a p a p a" # 8Ð Ñ Ð Ñ á Ð Ñ

Hp a p a p a p a p a Th aÐ Ñ Ê Ð Ñ Ð Ñ Ê Ð Ñ á Ð Ñ Ê Ð Ñ" " # 8 , , , .

Tuttavia, è qualche volta preferibile dimostrare non direttamente il teorema ma un enunciato che ha lostesso valore di verità; ad esempio, ricordando 2.2.7 e 2.3.9, anziché si puòÐa − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A Hp x Th xdimostrare

Ða − ÑÐÐc Ð ÑÑ Ê Ðc Ð ÑÑÑx A Th x Hp x .

Un caso particolarmente importante è quello delle .dimostrazioni per assurdo

Per dimostrare che è vera una proposizione , si procede talvolta come segue. Sia una proposizione! ffalsa; se è vera la Ðc Ñ Ê! fallora è certamente vera . Infatti per quanto abbiamo convenuto la proposizione è vera se e soltanto! !Ðc Ñ Ê fse è falsa oppure è vera; essendo falsa, se è vera la proposizione deve essere falsa la ec Ðc Ñ Ê Ðc Ñ! ! !f f fdunque deve essere vera .!

Si noti che nel caso che sia della forma!Ða − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A Hp x Th x

per il teorema 2.3.6 la ha lo stesso valore di verità dic!Ðb − ÑÐcÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑÑx A Hp x Th x

e dunque (cfr. esercizio 2.2.7) anche diÐb − ÑÐ Ð Ñ • Ðc Ð ÑÑÑx A Hp x Th x .

“Tradotto” in linguaggio corrente ciò significa che per dimostrare che è vera laÐa − ÑÐ Ð Ñ Ê Ð ÑÑx A Hp x Th x

si può procedere come segue: si suppone che esista un per il quale è vera e non è vera , e sex A Hp x Th x− Ð Ñ Ð Ñne deduce la verità di una opportuna proposizione falsa .f

Si noti comunque che, in generale, in un teorema possono intervenire più variabili; dunque quanto dettosopra va riferito con gli opportuni adattamenti anche a enunciati della forma

Ða − ÑÐa − ÑáÐa − ÑÐ Ð á Ñ Ê Ð á ÑÑx A x A x A Hp x x x Th x x x" " # # 8 8 " # 8 " # 8, , , , .

Osservazione 2.4.3

Nelle sezioni 2.2 e 2.3 abbiamo introdotto regole sintattiche piuttosto precise per la costruzione di proposizionimediante l’uso di connettivi e quantificatori. Se però nel seguito di questi appunti formalizzassimo le definizionie gli enunciati dei teoremi con lo stesso rigore, la lettura risulterebbe più pesante del necessario e in definitiva siperderebbe chiarezza. Limiteremo perciò l’effettiva adozione dei simboli logici, accettandone per di più un uso“discorsivo” : ad esempio, scriveremo

Ð Ñ œ Ð Ñ a −xy z x yz x y z , , ™anziché, come rigorosamente si dovrebbe,

Ða − ÑÐa − ÑÐa − ÑÐÐ Ñ œ Ð ÑÑx y z xy z x yz™ ™ ™ .Sarà però un utile esercizio per il lettore scriversi ogni tanto la formulazione rigorosa degli enunciati cheincontra; e ciò sarà comunque particolarmente opportuno nei casi in qualche modo problematici; ad esempio,quando si vogliano applicare le regole viste in 2.2 e 2.3 per ricavare equivalenze logiche, anche alla luce di quelche si è detto in questa sezione sulla dimostrazione dei teoremi.


2.5 - Dimostrazioni per induzione.

Supponiamo di dover provare che un predicato ( è vero per ogni numero naturale . Si tratta inP 8Ñ 8sostanza di dimostrare che l’insieme dei numeri naturali per i quali è vero coincide con ; a tale scopo,A n PÐ8Ñ per l’assioma (P3) di 1.5, basta mostrare che - 0 , ossia 0 è vero;− Ð ÑA Pe che - se allora anche il successivo di appartiene ad , ossia:5 − 5A A supposto vero (la cosiddetta ), allora 1 è vero.P PÐ5Ñ Ð5 Ñipotesi di induzione

Esempio 2.5.1

Dimostriamo per induzione su che la somma dei numeri naturali non superiori a è .8 8 8 8( 1)2

Dimostrazione ipotesi di induzione - L’affermazione è chiaramente vera per 0. Supponiamo allora ( )8 œ

che sia 0 1 2 á 5 œ 5 5( 1)2

e dimostriamo che 0 1 2 ( 1) . á 5 5 œ ( 1)( 2)2

5 5

In effetti,0 1 2 ( 1) ( 1) . á 5 5 œ 5 œ œ5 5 5 5 5 5 5( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)

2 2 2

Esempio 2.5.2

Dimostriamo per induzione su che la somma dei quadrati dei numeri naturali non superiori a è8 8

8 8 8( 1)(2 1)6 .

Dimostrazione ipotesi di induzione - L’affermazione è chiaramente vera per 0. Supponiamo allora ( )8 œ

che sia 0 1 2 # # # # 5 5 5 á 5 œ ( 1)(2 1)6

e dimostriamo che 0 1 2 ( 1) .# # # # # 5 5 5 á 5 5 œ ( 1)( 2)(2 3)6

In effetti,0 1 2 ( 1) ( 1) # # # # # #5 5 5 á 5 5 œ 5 œ( 1)(2 1)

6

œ œ œ .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)[(2 6 6)] ( 1)( 2)(2 3)6 6 6

# #

Esercizio 2.5.3

Si dimostri che la somma dei cubi dei numeri naturali non superiori a è .8 8 8# #( 1)4

Esercizio 2.5.4

Si dimostri che la somma dei cubi di tre numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per 9 ( : siSuggerimentodimostri che 1 2 9 con opportuno numero naturale, procedendo per induzione su8 Ð8 Ñ Ð8 Ñ œ 2 2$ $ $

8Ñ.


Talvolta si deve considerare un predicato che è vero solo per ( numero naturale fissato).PÐ8Ñ 8 8 8! !

Si può applicare ugualmente il principio di induzione considerando il predicato ; ciò significaP P"Ð8Ñ œ Ð8 8 Ñ!dover mostrare che - è vero;PÐ8 Ñ! - supposto vero , allora 1 è vero.P PÐ5Ñ Ð5 Ñ

Esercizi [*]

2.5.5 Si precisi, procedendo per induzione, la dimostrazione del teorema 1.11.10 .

2.5.6 Si precisi, procedendo per induzione, la dimostrazione del teorema 1.11.17 .

2.5.7 Si dimostri, procedendo per induzione, la ( ) del teorema 1.11.19 .æ

Esercizio [*] 2.5.8

Trovare l’errore nella dimostrazione del seguente falso teorema.“Comunque presi numeri naturali , , , , si ha .”8 + + á + + œ + œ á œ +" # 8 " # 8

( ) - Procediamo per induzione su . Se 1, si deve provare che , eFalsa dimostrazione 8 8 œ + œ +" "

questo è ovvio. Supponiamo allora ( ) che per ogni insieme di numeri naturali , , ,ipotesi di induzione 5 + + á +" # 5

si abbia , e proviamo che+ œ + œ á œ +" # 5

comunque scelti 1 numeri naturali , , , si ha .5 , , á , , œ , œ á œ ," # 5" " # 5"

Siano dunque dati , , , ; applicando l’ipotesi di induzione ai numeri naturali , , , , si, , á , 5 , , á ," # 5" " # 5

ha che ; applicando ancora l’ipotesi di induzione ai numeri naturali , , , , si ha, œ , œ á œ , 5 , á , ," # 5 # 5 5"

che ; dunque gli elementi dell’insieme sono tutti uguali a (tanto per fissare le idee) , e, œ á œ , œ , ,# 5 5" 5

quindi sono tutti uguali fra loro, come si voleva dimostrare.


3.- COME SI DEFINISCE UN INSIEME

3.1 - Introduzione.

In questa sezione stabiliamo le “regole del gioco” per quando parliamo di insiemi, fissando quattro modiper indicarli. Ciò è importante non solo per esigenze di chiarezza, ma anche perché postuliamo “a priori” unavolta per tutte l’esistenza di ogni insieme definito con tali criteri. Si dimostra che la teoria così costruita non ècontraddittoria.

3.2 - Definizione mediante elenco degli elementi.

Accetteremo di definire un insieme indicandone tra parentesi graffe tutti gli elementi separati daÐ Ñ12

virgole (si ricordi che abbiamo stabilito che un insieme è completamente caratterizzato dai suoi elementi). Adesempio, se , , , sono tutti e soli gli elementi dell’insieme , scriveremoa a a A" # 8á

A a a aœ Ö á ×" # 8, , , .Si noti che questo tipo di definizione può essere adottato solo per gli insiemi che hanno un numero finito dielementi.

Esempi

3.2.1 1, 5, 23, 49, 76 ;A œ Ö ×3.2.2 , , (si osservi che ma ) ;B B Bœ Ö × − §y ™ 3.2.3 5, 37, , ;C œ Ö ×

3.2.4 , . Gli insiemi , , , , sono tutti distinti fra loro.D œ Ö Ö ×× Ö × ÖÖ ×× ÖÖÖ ××× á

3.3 - Definizione mediante una proprietà caratteristica.

Sia un insieme. Accetteremo di definire un sottoinsieme di specificando una proprietà che neB A Bcaratterizza gli elementi fra tutti gli elementi di . Precisamente, se è una proposizione aperta con variabileB p xÐ Ñlibera su (cfr. 2.3) , scriveremox B

A x B p xœ Ö − Ð Ñ× / (si legge: è l’insieme degli appartenenti a tali che ) per indicare il sottoinsieme di formato da tutti eA x B p x BÐ Ñsoli gli elementi per i quali è vera. Come vedremo (3.3.3), che sia “immerso” in un insieme p x A BÐ Ñ è essenzialegià definito.

Esempio 3.3.1

L’insieme dei numeri naturali il cui quadrato non supera 200 può essere indicato scrivendoÖ − Ÿ ×x x / 200 .#

12 che possono essere elementi di insiemi già definiti, oppure insiemi essi stessi.


Teorema 3.3.2

Esiste un (unico) insieme che non ha elementi; esso si dice e si indica con . Per ogni insieme , siinsieme vuoto g Iha .g § I

Dimostrazione - Sia un qualunque insieme; allora l’insieme / esiste (perchéA x A x xg ³ Ö − Á ×è definito come convenuto in 3.3) e non ha elementi (perché è falso qualunque sia ).x x xÁ

Sia ora un insieme. Dobbiamo provare che , ossia che . Per quanto visto nelleI I x x Ig § Ða − gÑÐ − Ñosservazioni 2.2.5 e 2.3.6, questo enunciato ha lo stesso valore di verità di e di .cÐcÐÐa − gÑÐ − ÑÑÑ cÐÐb − gÑÐ Â ÑÑx x I x x IMa quest’ultima proposizione è certamente vera, perché in non ci sono elementi.g

In particolare, esiste insieme vuoto (anche se può essere definito come sopra a partire da insiemiun soloA diversi).

Un insieme distinto da sarà detto .g non vuoto

Teorema 3.3.3

Non esiste un “insieme di tutti gli insiemi”, cioè: non esiste un insieme di cui ogni insieme sia elemento.

Dimostrazione - Sia per assurdo l’insieme di tutti gli insiemi, e si consideriUA X U X Xœ Ö − Â × / .

Se fosse , per definizione di sarebbe , e ciò è assurdo. Allora ; ma poiché ne segueA A A A A A A A U− Â Â −A A− , assurdo. Se si accetta il postulato di esistenza degli insiemi definiti come in 3.3, bisogna dunque negarel’esistenza dell’insieme .U

Lo stesso paradosso, dovuto a B. Russel, mostra perché nella definizione di mediante una proprietàAcaratteristica abbiamo dovuto chiedere che fosse sottoinsieme di un insieme .A X

Esercizio [*] 3.3.4

Fissato un insieme , si consideri / . Perché non c’è contraddizione? Può essere ?B A X B X X A Aœ Ö − Â × −Può essere ? Può essere ?A A A BÂ −

3.4 - Definizione come unione di insiemi già definiti.

Sia un insieme di insiemi. Esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi degli insiemi\che appartengono a .\

Tale insieme si indica con e si dice degli insiemi che costituiscono : ci tornereno sopra in \ \unione3.6.


3.5 - L’insieme delle parti.

Sia un insieme. Esiste un insieme i cui elementi sono tutti (e soli) i sottoinsiemi di ; esso si indicaA Acon ( ) e si dice .c A Ainsieme delle parti di

Si osservi che, per ogni insieme , a ( ) appartengono e .A A Ac g

Esempio 3.5.1

Sia 1,2,3 . AlloraA œ Ö ×c( ) , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1 , 2 , 3 , .A Aœ Ö Ö × Ö × Ö × Ö × Ö × Ö × g×

3.6 - Unione, intersezione, differenza.

Siano , insiemi.A B

Si dice di e , e si indica con , l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di unione A B A B Ae gli elementi di . Con la notazione introdotta in 3.4: , .B A B A B œ Ö ×

Si dice di e , e si indica con , l’insieme degli elementi di che appartengonointersezione A B A B Aanche a . Con la notazione introdotta in 3.3: / .B A B x A x B œ Ö − − ×Se , e si dicono .A B A B œ g disgiunti

Si dice di e , e si indica con , l’insieme degli elementi di che non appartengono adifferenza A B A B AÏB A B x A x B. Con la notazione introdotta in 3.3: / .Ï œ Ö − Â ×Se , l’insieme viene detto anche di in , ed è indicato (purché tale notazione nonB A A B B A§ Ï complementaredia luogo ad equivoci) con .B c

Esempio 3.6.1

Siano 1, 2, 3 , 2, 4, 6, 8 . Allora 1, 2, 3, 4, 6, 8 , 2 e 1, 3 .A B A B A B A Bœ Ö × œ Ö × œ Ö × œ Ö × Ï œ Ö ×

Esempio 3.6.2

Siano l’insieme dei triangoli e l’insieme dei rettangoli (entrambi sottoinsiemi del piano euclideo). AlloraA BA B œ g.

Esercizi

Siano , , sottoinsiemi dell’insieme . Si dimostrino le seguenti uguaglianze:A B C I3.6.3 ;A B B A œ 3.6.4 ( ) ( ) ;A B C A B C œ 3.6.5 ( ) ( ) ( ) ;A B C A B A C œ 3.6.6 ( ) ;A A B A œ3.6.7 ( ) ;A B A B œ c c c

3.6.8 ( ) ( ) ( ) ( ).A B A B A B B A Ï œ Ï Ï

Valgono le uguaglianze che si ottengono dalle precedenti scambiando con ?


Esercizi

Siano , , sottoinsiemi dell’insieme . Si dimostrino le seguenti uguaglianze:A B C I3.6.9 ;A B A B œ Ïc

3.6.10 ( ) ;A A B A BÏ Ï œ 3.6.11 ( ) ( ) ( ) ;A B C A B A C Ï œ Ï Valgono le uguaglianza che si ottengono dalle precedenti scambiando con ?

3.7 - Unione e intersezione di una famiglia di insiemi. Partizioni.

Un insieme di insiemi si dice anche di insiemi. Abbiamo definito in 3.4 l’ di unauna famiglia unionefamiglia di insiemi; in modo analogo si definisce l’ di una famiglia di insiemi (l’esistenzaintersezione non vuotadell’insieme intersezione è garantita dal fatto che esso si può definire secondo la regola fissata in 3.3 comel’insieme degli elementi di un insieme della famiglia che appartengono anche a tutti gli altri insiemi dellafamiglia).

Sia un insieme.AUna famiglia di sottoinsiemi non vuoti di (eventualmente anche in numero infinito) si dice una di A Apartizionese essi sono a due a due disgiunti e la loro unione è .A

Esempio 3.7.1

Un fascio di rette parallele è una partizione del piano.

3.8 - Prodotto cartesiano.

Siano , insiemi.A B

Se e , sappiamo (per quanto convenuto in 3.2) che possiamo considerare l’insieme ,a A b B a b− − Ö ×( ); spesso è però opportuno considerare un ente che sia caratterizzato non solo dai suoi elementi ma§ A Banche ’ : tale ente si dice dall ordine in cui si considerano coppia ordinata con prima componente e secondaÐ Ñ13 acomponente , e si indica con ( , ). Si noti cheb a b - se , e , , si ha ( , ) ( , ) se e solo se e ;a a’ A b b’ B a b a’ b’ a a’ b b’− − œ œ œin particolare: - se , si ha sempre ( , ) ( , ).a b a b b aÁ Á

L’insieme di tutte le coppie ordinate ( , ) con e si dice di pera b a A b B A− − Ð Ñprodotto cartesiano 14

B A B e si indica con .‚

Esempio 3.8.1

Sia 1, 2, 3 e 0, 1 . Si ha (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1) .A B A Bœ Ö × œ Ö × ‚ œ Ö ×

13 La definizione di è la seguente: ( , ) , , .rigorosa coppia ordinata a b a b a³ ÖÖ × ×14 Tenendo conto della nota precedente, il lettore attento potrà osservare che è un sottoinsieme diA B‚

c c( ( )), e quindi può essere definito come in 3.3; ciò, assieme a quanto postulato in 3.5, ne garantisce l'A Besistenza.


3.9 - ple ordinate. Matrici.8

Come si è fatto in 3.8 per la coppia ordinata, si può considerare un ente caratterizzato da 3, 4, ,á nelementi, detti (appartenenti a certi insiemi prefissati), e dall’ordine in cui questi vengonocomponenticonsiderati: si parla rispettivamente di , , , .terna ordinata quaterna ordinata pla ordinataá 8

Si tratta in sostanza di iterare il procedimento di costruzione delle coppie ordinate. Siano , ,A A A" # $

insiemi e siano , , : la terna ordinata individuata da , , (in questo ordine) sia A a A a A a a a" " # # $ $ " # $− − −indica con ( , , ) e non è altro che l’elemento (( , ), ) dell’insieme ( ) (che, per semplicità,a a a a a a A A A" # $ " # $ " # $‚ ‚si indica a sua volta con ). Particolare importanza rivestirò per noi il caso delle ple ordinate diA A A" # $‚ ‚ 8 elementi di uno stesso insieme (l’insieme di tali ple si indica con ).A A8 8

Sia un insieme, e siano , numeri interi positivi. Si dice unaA A7 8 7‚ 8matrice a elementi in7 8 7‚ 8pla ordinata di ple ordinate di elementi di , ossia un elemento di ( ) . Una matrice potrebbeA A8 7

essere identificata con una pla ordinata; in pratica, quando si parla di matrice gli elementi vengono scritti78in una “tabella”

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

a a aa a a

a a a

"ß" "ß# "ß8

#ß" #ß# #ß8

7ß" 7ß# 7ß8

áá

á á á áá

nella quale si evidenziano le ple ordinate ( , , , ), , ( , , , ), , ( , , , 8 á á á á áa a a a a a a a"ß" "ß# "ß8 #ß" #ß# #ß8 7ß" 7ß#

a a a a a a a a7ß8 "ß" #ß" 7ß" "ß# #ß# 7ß# "ß8), dette della matrice, e le ple ordinate ( , , , ), , ( , , , ), , ( , righe 7 á á á áa a a a#ß8 7ß8 3ß4 3ß4, , ), dette della matrice. Sinteticamente, la matrice di termine generico si indica con ;á Ð Ñcolonnele sue righe si indicano con , , , e le sue colonne con , , , .a a a a a a"ß‡ #ß‡ 7ß‡ ‡ß" ‡ß# ‡ß8á á

L’insieme di tutte le matrici a elementi in si indica con .7‚ 8 A A7ß8


4.- FUNZIONI

4.1 - Relazioni.

Siano , insiemi.A B

Si dice tra e un sottoinsieme del prodotto cartesiano .relazione A B A B‚Sia una relazione tra e , cioè sia ; se ( , ) , si dice che gli elementi (di ) e (di ) 4 4 4A B A B a b a A b B§ ‚ − sonoin relazione, e si scrive . In pratica si usa la notazione anziché ( , ) .a b a b a b4 4 4sempre −

Intuitivamente, una relazione tra e è una “legge” che a ogni elemento di associa qualcheA B Aelemento di (eventualmente nessuno).B

Esempio 4.1.1

Siano 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101 ;A ³ Ö × 1 100 .B ³ Ö8 − Î Ÿ 8 Ÿ ×

Si ponga per e p A n B− −p n p n4 se e solo se è un divisore di .

Si è così definita una relazione tra e ; si noti che alcuni elementi di sono in relazione con un solo4 A B Aelemento di (è quanto accade considerando 53, 59, , 97), altri ( 37, 41, 43, 47) con due, altriB p p³ á ³( 29, 31) con tre, ecc.. L’elemento 2 di è in relazione con 50 elementi di ; l’elemento 101 di non è inp A B A³relazione con alcun elemento di . Inoltre: più elementi di possono essere in relazione con gli stessi elementiB Adi (2, 3, 5 sono tutti in relazione con 30, 60 e 90) .B

Esempio 4.1.2

Sia un insieme, e si ponga per e A a A X A− ©a X a X4 se e solo se .−

Si è così definita una relazione tra e ( ) .4 cA A

4.2 - Funzioni.

Siano , insiemi.A BUna relazione tra e si dice una (o ) da in se per ogni esiste f A B A B a A b Bfunzione applicazione − −al più untale che , cioè se ogni elemento di è in relazione (secondo ) con elemento di . Ciò si esprimeafb A f Bal più unscrivendo : .f A BÄIntuitivamente, una funzione da in è una “legge” che a certi elementi di associa uno e un solo elemento diA B AB A (e ai restanti elementi di non associa niente).


Esempio 4.2.1

Sia l’insieme dei numeri razionali positivi, e sia l’insieme dei numeri naturali. La “legge” che alA B

numero razionale associa il numero naturale è una funzione (si dice anche,78

m n Änon

impropriamente, che come funzione). Infatti, ad esempio, al numero razionale (che si puònon è ben definita #$

scrivere anche , , , ecc.) vengono associati non solo il numero naturale 5 ( 2 3) ma anche i numeri% ' )' * "# œ

naturali 10 ( 4 6), 15 ( 6 9), 20 ( 8 12), ecc.. La legge considerata fornisce invece un esempioœ œ œ significativo di tra e ; oppure individua una funzione dall’insieme delle in .relazione frazioni

4.3 - Dominio. Immagine, immagine inversa. Punti fissi.

Sia una funzione da in .f A B

L’insieme degli elementi di che sono in relazione (secondo ) con un elemento di si dice diA f B dominiof f, e si indica con ( ).W

Per ogni ( ), l’(unico) elemento di tale che si indica con ( ); si dice che da a f b B afb f a b a− W proviene(o anche che è l’ di ) mediante . Si scrive ( ) anziché .b a f f a b afbimmagine sempre œ

Se , si dice di (mediante ) il sottoinsieme ( ) di formato dalle immaginiA A A f f A B" " "§ immagine(mediante ) degli elementi di ; con la notazione di 3.3,f A"

f A b B b f a a A( ) / ( ) per qualche ." "œ Ö − œ − ×Si noti che può essere ( ) (ciò avviene se e solo se nessun elemento di appartiene a ( ) ).f A A f" "œ g W

L’immagine ( ) di (che coincide ovviamente con l’immagine del dominio di ) si dice anchef A A fsemplicemente .immagine di f

Se , si dice di (mediante ) il sottoinsieme ( ) di formato dagliB B B f f B A" " "§ immagine inversa "

elementi le cui immagini (mediante ) appartengono a ; con la notazione di 3.3,f B"

f B a A f a B"( ) / ( ) ." "œ Ö − − ×

Sia , cioè sia una funzione da in . Un elemento di si dice un per seB A f A A a A fœ punto fissof a a( ) .œ

Esempio 4.3.1

Sia : la funzione che al numero intero associa (se esiste) il reciproco del quadrato di .f ™ Ä 8 8

Ciò si indica con l’espressionef(n) .³ 1

n#

Si ha che:( ) il dominio di è 0 ;3 ÏÖ ×f ™( ) l’immagine di è un insieme di numeri razionali compresi fra 0 e 1;33 f( ) posto / 2 +2 , si ha ( ) 1, ;333 ³ Ö8 − Ÿ 8 Ÿ × œ Ö ×A f A" "™ "

%

( ) posto / 1 , si ha ( ) 1, +1 .3@ ³ Ö8 − 8 × œ Ö ×B f B" " "

Esercizi [*]

Sia : , e siano , ( ). Si dimostri che:f A B A A fÄ §" # W

4.3.2 ( ) ( ) ;Ð § Ñ Ê Ð § ÑA A f A f A" # " #

4.3.3 ( ) ( ) ( ) ;f A A f A f A" # " # œ

4.3.4 ( ) ( ) ( ).f A A f A f A" # " # §

Si mostri inoltre con un esempio che può essere ( ) ( ) ( ).f A A f A f A" # " # §Á


4.4 - Iniettività e suriettività.

Siano , insiemi, e sia : .A B f A BÄ

Se per ogni esiste almeno un tale che ( ) (cioè se ogni elemento di provieneb B a A f a b B− − œmediante da elemento di ; ossia se ( ) ), si dice . In tal caso, si dice che è unaf A f A B f falmeno un œ suriettivafunzione da .A Bsu

Se comunque presi , ( ) con è ( ) ( ) (ossia se comunque presi , ( ) daa a’ f a a’ f a f a’ a a’ f− Á Á −W Wf a f a’ a a’ B A f( ) ( ) segue ; cioè se ogni elemento di proviene da elemento di ), si dice .œ œ al più un iniettiva

Se è iniettiva e suriettiva si dice che è (o anche che è una ). Se è biiettiva ef f f fbiiettiva biiezioneinoltre ( ) , si dice che è una . Una funzione iniettiva è sempre unaW f A f A Bœ corrispondenza biunivoca tra ecorrispondenza biunivoca tra il proprio dominio e la propria immagine.

Una corrispondenza biunivoca tra e si dice su .A A Apermutazione

Esempi

4.4.1 La funzione che ad ogni numero associa il suo doppio è iniettiva ma non suriettiva: ( ) è Ä fl’insieme dei numeri naturali pari.

4.4.2 La funzione che ad ogni numero associa il suo valore assoluto è suriettiva ma non iniettiva.™ Ä

4.4.3 Per ogni insieme , la funzione : che ad ogni elemento associa se stesso è una corrispondenzaA id A AA Äbiunivoca detta o anche di . Ogni elemento di è un punto fisso per .funzione identica identità A A idA

4.4.4 La funzione che ad ogni numero naturale associa un punto di determinato come si è detto in 1.4 e eÄe 1.6 è iniettiva, e dunque stabilisce una biiezione tra e un sottoinsieme di . Più in generale, l’idea intuitiva di e“rappresentazione sulla retta di un insieme numerico” si traduce formalmente appunto nello stabilire unabiiezione tra tale insieme numerico ( , , , ) e un sottoinsieme di . ™ eá

4.5 - Restrizione a un sottoinsieme.

Siano , insiemi, sia : e sia . Si dice di ad la funzione :A B f A B A A f A f A BÄ § Ä" " "restrizione A"

così definita: ( )f f A BA"³ ‚"

(si ricordi che è un sottoinsieme di ).f A B‚

Questa definizione è molto “tecnica”, perché nella sostanza opera esattamente come (l’unicaf fA"

differenza è che opera solo su ); certe proprietà possono però essere verificate da e non da , e viceversa.A f f" A"

Esempio 4.5.1

La funzione che ad ogni numero associa il suo quadrato non è iniettiva né suriettiva; la sua restrizione a™ ™Ä™ è iniettiva ma non suriettiva.

4.6 - La funzione inversa.

Siano , insiemi, e sia : . Per ogni ( ), ( ) non è vuoto (per definizione diA B f A B b f A f bÄ − Ö ×iniettiva "

f A f( )) ed è formato da al più un elemento (perché per ipotesi è iniettiva), dunque è formato da esattamente unelemento; la legge che associa a tale elemento è una funzione (il cui dominio coincide con l’immagineb B AÄdi ) che si dice della e si indica con In altri termini, si definisce ponendo, per ognif f f . ffunzione inversa " "

b f A− ( ),f b f b"( ) l’unico elemento di ( )³ Ö ×"

(il significato del simbolo nell’espressione a destra è quello fissato in 4.3).f "


È facile vedere che è una corrispondenza biunivoca tra l’immagine di e il dominio di ; ne seguef f f"

che, in particolare, l’inversa di una corrispondenza biunivoca è una corrispondenza biunivoca .A B B AÄ Ä

Esempio 4.6.1

Sia : definita da (x) .f f Ä ³ 13x 5

È facile verificare che è iniettiva (non è invece suriettiva: 0 ( )). La funzione inversa si può esprimeref fÂ scrivendo (x)f " ³ 1 5x

3x

e si ha ( ) 0 .W f " œ ÏÖ ×

4.7 - Composizione di funzioni.

Siano , , insiemi, e siano : , : funzioni.A B C f A B g B CÄ Ä

Si dice di con e si indica con (attenzione all’ordine in cui si scrivono e !) lacomposizione f g g f f g‰funzione definita ponendoA CÄ

( )( ) ( ( )) tale che ( ) ( ) .g f a g f a a A f a g‰ ³ a − − W

Esempi

4.7.1 Sia : definita da (n) , e sia : definita da (x) x 2 . Si haf f g g Ä ³ Ä ³ 1n

( )(n) .g f‰ ³ 2n 1n

4.7.2 Sia : definita da (n) n , e sia : definita da (x) x 1 . Si haf f g g Ä ³ Ä ³ #

( )(n) n 1 , ( )(n) n 2n 1 .g f f g‰ ³ ‰ ³ # #

Teorema 4.7.3

Siano , insiemi, e sia : iniettiva. Sia : la funzione inversa di definita in 4.6.A B f A B f B A fÄ Ä"

Si ha e .f f id f f id" "‰ œ ‰ œWÐ Ñ Ñf f A(

Dimostrazione - Sia , e sia ( ) con . Allora ( ) , e dunquea f f a b b B f b a− Ð Ñ œ − œW "

( )( ) ( ( )) ( ) ( ).f f a f f a f b a id a" " "‰ œ œ œ œ WÐ ÑfPer l’arbitrarietà di in , si è così provato che .a A f f idÐ Ñ ‰ œ15 "

WÐ Ñf

Sia ora , e sia l’elemento di per il quale si ha ( ) . Allora ( ) , e dunqueb f A a A f a b f b a− Ð Ñ œ œ"

( )( ) ( ( )) ( ) ( )f f b f f b f a b id b‰ œ œ œ œ" "f AÐ Ñ

cosicché l’asserto è completamente provato.

15 Che cosa significa per due funzioni “essere uguali”? Ricordiamo le definizioni date in 4.1 e 4.2: una“funzione” è un particolare insieme di coppie ordinate. Poiche (cfr. 1.3) due insiemi “sono uguali” (cioè´coincidono) se e solo se hanno gli stessi elementi, due funzioni -in particolare- sono uguali se e solo se sonocostituite dalle stesse coppie ordinate, ossia “operano allo stesso modo” su ogni elemento dell' insieme dipartenza.

È importante avere ben chiaro che questa è una definizione di uguaglianza tra funzioni, manon ad hocsolo un modo “specialistico” di esprimere la nozione di uguaglianza tra insiemi.


Teorema 4.7.4

Siano , , , insiemi, e siano : , : , : funzioni Si haA B C D f A B g B C h C DÄ Ä Ä( ) ( ).h g f h g f‰ ‰ œ ‰ ‰

Dimostrazione - Sia (( ) ) . Allora ( ) e ( ) ( ), da cui ( ) ( )a h g f a f f a h g f a g− ‰ ‰ − − ‰ −W W W W(cosicché ( )) e ( ( )) ( ). Pertanto ( ( )). Si ha inoltrea g f g f a h a h g f− ‰ − − ‰ ‰W W W

(( ) )( ) ( )( ( )) ( ( ( ))) (( )( )) ( ( ))( ) .h g f a h g f a h g f a h g f a h g f a‰ ‰ œ ‰ œ œ ‰ œ ‰ ‰Sia infine (( ) ) . Allora ( ) oppure ( ) ( ), cioè ( ) ( ) oppurea h g f a f f a h g f a gÂ ‰ ‰ Â Â ‰ ÂW W W Wg f a h a f f a g a g f g f a h( ( )) ( ). Se ( ) oppure ( ) ( ) , è ( ) ; altrimenti è ( )( ) ( ) . In ogni caso,Â Â Â Â ‰ ‰ ÂW W W W Wa h g fÂ ‰ ‰W( ( )) e l’asserto è completamente provato.

Esercizi

Siano , , insiemi, e siano : , : funzioni. Si provi che:A B C f A B g B CÄ Ä

4.7.5 Se , sono biiettive, è biiettiva;f g g f‰

[*] 4.7.6 Se è biiettiva, è iniettiva (ma in generale non suriettiva) e è suriettiva (ma in generale nong f f g‰

iniettiva).

Esercizio 4.7.7

Sia un insieme, e siano , funzioni ; sia . Si dimostri che se è punto fisso per e per allora A f g A A a A a f g aÄ −è punto fisso anche per .g f‰

4.8 - Successioni.

Sia un insieme. Una funzione da in si dice una , oppure una I I I successione in successione a valori inI.

Sia una successione a valori nell’insieme . Spesso si scrive anziché ( ), e la successione si indicaa I a a8 8con la notazione ( ) anziché .a a8

4.9 - Funzione caratteristica.

Sia un insieme, e sia un sottoinsieme di .A B A

Si dice di , e si indica con , la funzione da in 0, 1 tale chefunzione caratteristica B A;B Ö ×

; ;B B( ) 1 se , ( ) 0 se .a a B a a B³ − ³ Â

Si noti che ( ) . Se , è una successione (che può assumere solo i valori 0 e 1).W ; ;B Bœ œA A


5.- RELAZIONI DI ORDINE

5.1 - Definizioni.

Sia un insieme.A

Si dice una relazione tra e (cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano ).relazione in A A A A A‚

Sia una relazione in . Essa si dice4 A - sse ;riflessiva a a a A4 a − - sse , ;simmetrica a b b a a b A4 4Ê a − - sse , ;antisimmetrica Ð • Ñ Ê Ð œ Ñ a −a b b a a b a b A4 4 - sse , , .transitiva Ð • Ñ Ê Ð Ñ a −a b b c a c a b c A4 4 4

Sia una relazione in . Due elementi , si dicono (secondo ) se si verifica4 4A a b A− confrontabilialmeno una delle seguenti situazioni: , . La relazione si dice sse comunque presi , essia b b a a b A4 4 4 totale −sono confrontabili.

Esempi

5.1.1 Per ogni insieme , la relazione “vuota” (secondo la quale nessun elemento è in relazione con alcunAelemento: si tratta di pensato come sottoinsieme di ) è simmetrica, antisimmetrica e transitiva (ma nong ‚A Ariflessiva).

5.1.2 La relazione in definita ponendo4 + , ± + , ± 4 sse 1

è riflessiva e simmetrica ma non transitiva.

5.1.3 La relazione nell’insieme dei cerchi del piano definita ponendo4V 4V V V" # " # sse l’area di è minore o uguale all’area di

è riflessiva, transitiva e totale ma non simmetrica né antisimmetrica. Per quest’ultima affermazione, si osservi chese e hanno la stessa area essi sono (cfr. A1.8) ma non è in generale , cioè non sono inV V V V" # " #congruenti œgenerale uguali! .

5.1.4 La relazione in definita ponendo4 + , + ,4 sse , sono entrambi pari

è simmetrica e transitiva ma non riflessiva (non è infatti, ad es., 1 1).4

Esercizio 5.1.5

Alla luce dell’esempio 5.1.4, trovare l’errore nella dimostrazione del seguente falso teorema.“Sia un insieme, e sia una relazione in . Se è simmetrica e transitiva, è anche riflessiva.”A A4 4

( ) - Dobbiamo provare che per ogni è . In effetti, preso un qualunqueFalsa dimostrazione a A a a− 4b A a b b a a b b a− tale che , poiché è simmetrica deve essere anche ; poiché è transitiva, da e segue4 4 4 4 4 4a a4 , come si voleva.


5.2 - Relazioni di ordine.

Sia un insieme. Una relazione in si dice una in se è riflessiva, antisimmetricaA A Arelazione di ordinee transitiva. Una relazione di ordine in si indica spesso con oppure con (quest’ultimo simbolo, in casoA £ Ÿdi ambiguità, è riservato alla relazione di “minore o uguale” in , e , cfr. 1.6, 1.8 e 1.9). ™

Sia una relazione di ordine in , e siano , . Se , si dice che (secondo ) ;£ − £ £A a b A a b a bprecedesi usa anche la scrittura , che si considera equivalente.b a¤

Se una relazione di ordine in non è totale e si vuol mettere in rilievo questo fatto, si dice che èAparziale. In tal caso, esistono in almeno due elementi che non sono confrontabili.A

Esempi

5.2.1 L’usuale relazione di “minore o uguale” è una relazione di ordine totale in .

5.2.2 La relazione di “divisibilità” tra numeri naturali è una relazione di ordine parziale in .

5.2.3 La relazione di “inclusione” tra sottoinsiemi di un dato insieme è una relazione di ordine parzialeInell’insieme ( ) definito in 3.5.c I

Una relazione in si dice una in se è transitiva e inoltre comunque presi4 A Arelazione di ordine stretto a b A a b b a, si verifica al più una delle seguenti due situazioni: , oppure .− 4 4

Se è una relazione di ordine in , la relazione in definita ponendo£ ¡A Aa b a b a b¡ £ Á sse e

è una relazione di ordine stretto, che si dice a . Analogamente, se è una relazione di ordineassociata £ ¡stretto in , la relazione in definita ponendoA A£

a b a b a b£ ¡ œ sse oppure è una relazione di ordine, che si dice a .associata ¡

Sia una relazione di ordine in , e sia la relazione di ordine stretto associata a : la relazione£ ¡ £Adi ordine associata a coincide con . Viceversa, sia una relazione di ordine stretto in , e sia la¡ £ ¡ £Arelazione di ordine associata a : la relazione di ordine stretto associata a coincide con . Ciò si esprime¡ £ ¡dicendo che il concetto di “relazione di ordine” e il concetto di “relazione di ordine stretto” sono equivalenti.

5.3 - Intervalli.

Siano un insieme e una relazione di ordine in . Introduciamo una notazione che sarà molto utileA AŸpiù avanti.

Siano , elementi di tali che . Si dicono ( ) , i seguentia b A a b a b intervalli limitati di estremisottoinsiemi di :A

Ð Ñ ³ Ö − ×a b x A a x b, / ( )intervallo apertoÐ ³ Ö − Ÿ ×a b x A a x b, ] / ( )intervallo chiuso a destra[ , / ( )a b x A a x bÑ ³ Ö − Ÿ × intervallo chiuso a sinistra[ , ] / ( )a b x A a x b³ Ö − Ÿ Ÿ × intervallo chiuso

Si dicono i seguenti sottoinsiemi di :intervalli illimitati A

Ð _ Ñ ³ Ö − ×, / ( )b x A x b intervallo aperto, illimitato a sinistraÐ _ ³ Ö − Ÿ ×, ] / ( )b x A x b intervallo chiuso, illimitato a sinistraÐ _Ñ ³ Ö − ×a x A a x, / ( )intervallo aperto, illimitato a destra[ , / ( )a x A a x_Ñ ³ Ö − Ÿ × intervallo chiuso, illimitato a destraÐ _ _Ñ ³, ( )A intervallo aperto, illimitato a sinistra e a destra


5.4 - Insiemi densi.

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme di .A A X AŸ

X A a b A x X a x b si dice in se comunque presi , esiste tale che (con la notazionedenso − − introdotta in 5.3, ciò significa che ogni intervallo aperto di contiene un elemento di ).A X

Esempio 5.4.1

L’insieme dei numeri razionali (con l’ordinaria relazione di “minore o uguale”) è denso in sé. Infatti se , +, − + , + , con si ha .+,

2

5.5 - Minimo e massimo.

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme di .A A X AŸUn elemento di si dice di , e si indica con , sem X X min Xil minimo

m x x XŸ a − .Analogamente, un elemento di si dice di , e si indica con , seM X X max Xil massimo

x M x XŸ a − .

Teorema 5.5.1

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme di .A A X AŸSe ha un minimo [un massimo], questo è unico.X

Dimostrazione - Siano , minimi di . Poiché è minimo e , ; poiché è minimom m’ X m m’ X m m’ m’− Ÿe , . Per la proprietà antisimmetrica, come si voleva.m X m’ m m m’− Ÿ œ

Analogamente si prova che se ha un massimo questo è unico.X

Esempi

5.5.2 Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ Ö ×20, 30, 60, 80, 100

ha per minimo 20 e per massimo 100.

5.5.3 Nell’insieme dotato della relazione di “divisibilità” (cfr. esempio 5.2.2), l’insiemeX œ Ö ×20, 30, 60, 80, 100

non ha minimo né massimo.

5.5.4 Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B œ 8 − Ö × × / , con \ 01

8

non ha minimo; il suo massimo è 1.


5.6 - Limitazioni inferiori e limitazioni superiori.

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di .A A X AŸUn elemento di si dice (o ) di sea A Xlimitazione inferiore minorante

a x x XŸ a − ;si dice invece (o ) di selimitazione superiore maggiorante X

x a x XŸ a − .Il sottoinsieme non vuoto di si dice [ ] se esiste in una limitazioneX A Ainferiormente superiormente limitatoinferiore [superiore] per .X

Esempi

5.6.1 Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, il sottoinsieme formato dai multipli di57 non è superiormente limitato.

5.6.2 Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, ogni sottoinsieme è inferiormente

limitato (da 0).

5.6.3 Nell’ insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B Ÿ × / 2#

è inferiormente limitato (ad es., da ) ed è superiormente limitato (ad es., da ). $ $# #

5.6.4 Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B × / 2#

non è né inferiormente né superiormente limitato.

5.7 - Estremo superiore.

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di A A X AŸsuperiormente limitato.

Se l’insieme delle limitazioni superiori di ha minimo, tale minimo si dice di , e siX Xestremo superioreindica con . Dal teorema 5.5.1 segue subito che l’estremo superiore, qualora esista, è unico.sup X

Teorema 5.7.1

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di . Se ha un massimo,A A X A XŸquesto è anche estremo superiore per .X

Dimostrazione - Sia il massimo di . Per definizione di massimo, è una limitazione superiore perm X mX a X m a m X; dobbiamo provare che per ogni limitazione superiore di si ha : ma ciò è ovvio (poiché ) perŸ −definizione di limitazione superiore.

Teorema 5.7.2

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di dotato di estremoA A X AŸsuperiore. Se appartiene a , esso è il massimo di .sup X X X

Dimostrazione - Sia l’estremo superiore di . Poiché è una limitazione superiore per , si ha chex X x X! !

x x x X x XŸ − −! ! per ogni ; poiché per ipotesi , si ha l’asserto.


I teoremi 5.7.1 e 5.7.2 suggeriscono che l’estremo superiore di può essere assunto come “surrogato”Xdel massimo di quando tale massimo manca. Vedremo tuttavia (Esempio 5.7.4) che anche l’estremo superioreXpuò mancare.

Esempio 5.7.3

Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B œ 8 − × / , con 8

81ha per estremo superiore il numero 1.

Dimostrazione - È chiaro che 1 è una limitazione superiore per ; resta da provare che ogni limitazioneXsuperiore per è maggiore o uguale a 1, ossia che nessun numero razionale strettamente minore di 1 è limita-X Czione superiore per .XSia dunque , 1. Possiamo scrivere , con , , 0, (ossia 1 ); alloraC − C C œ 7 8 − 8 Á 7 8 7 Ÿ 8 7

8

C œ Ÿ œ 7 7 7 78 7 7 71 2 2 2 1

2 2

con , come si voleva.22 1

77 − X

Esempio 5.7.4

Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B Ÿ × # / 2

è superiormente limitato e non ha estremo superiore.

Dimostrazione - Osserviamo intanto che ogni numero razionale positivo tale che 2 è una! !# limitazione superiore per . In effetti, da con segue ; dunque se deve essereX X! ! B B − B B − # #

B Ÿ Ÿ Ÿ B! !, dovendosi altrimenti avere 2 .# #

Supponiamo ora per assurdo che esista . Poiché (osservazione 1.9.1) non può essere 2,B œ B œ! !#sup X

sarà 2 oppure 2.B B ! !# #

Se 2, è e dunque : mostriamo che ciò non è possibile, determinando B B − B œ −!#

! !X max X & tale che . Se 1, si haB − Ÿ! & &X

( ) 2 2 (2 1).B œ B B Ÿ B B œ B B ! ! ! !# # # # #

! ! !& & & & & &Possiamo determinare in modo che sia (2 1) 2 : se risulta (0,1], abbiamo dimostrato che& & &B B œ −!

#!

B ! & appartiene a . In effetti si haX& œ

2 2 1

BB

!#

!;

dunque 0, perché 2 per ipotesi (e 0). Inoltre 1, perché ciò significa 2 2 1, ossia& & B B Ÿ B Ÿ B ! !# #

! !

1 ( 2), e questo è ovvio essendo 1 (infatti 1 ).Ÿ B B B −! ! ! X

Resta da considerare la possibilità che sia 2. Mostriamo che in questo caso si può determinareB !#

& & & &− B − B B #! ! ! tale che e ( ) 2. Ciò conduce ad un assurdo, perché risulta una

limitazione superiore per strettamente minore di . Si haX B!

( ) 2 2 .B œ B B B B! ! !# # # #

! !& & & &

Basta allora determinare in modo che sia 2 2 ; si trova& &B B œ!#

!

& œB B!#

!

2 2

(e si noti che 0 perché 2 per ipotesi, e 0).& B B !#

!


5.8 - Estremo inferiore.

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di inferiormenteA A X AŸlimitato.

Se l’insieme delle limitazioni inferiori di ha massimo, tale massimo si dice di , e siX Xestremo inferioreindica con . Ancora dal teorema 5.5.1 segue che l’estremo inferiore, qualora esista, è unico.inf X

Teorema 5.8.1

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di . Se ha un minimo,A A X A XŸquesto è anche estremo inferiore per .X

Dimostrazione - La dimostrazione è analoga a quella del teorema 5.7.1, e si lascia al lettore comeesercizio [*] .

Teorema 5.8.2

Siano un insieme, una relazione di ordine in , e un sottoinsieme non vuoto di dotato di estremoA A X AŸinferiore. Se appartiene a , esso è il minimo di .inf X X X

Dimostrazione - La dimostrazione è analoga a quella del teorema 5.7.2, e si lascia al lettore comeesercizio [*] .

Esempio 5.8.3

Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B œ 8 − Ö × × / , con \ 01

8

ha per estremo inferiore il numero 0. (Cfr. esempio 5.5.4).

Dimostrazione - È chiaro che 0 è una limitazione inferiore per ; resta da provare che ogni limitazioneXinferiore per è minore o uguale a 0, ossia che nessun numero razionale positivo è limitazione inferiore per .X XCSia dunque . Possiamo scrivere , con , 0 ; alloraC − C œ 7 8 − ÏÖ × 7

8

C œ œ œ 7 7 78 8 8 8

2 1 12 2 22

con , come si voleva.128 − X

Esempio 5.8.4

Nell’insieme dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insiemeX œ ÖB − B × # / 2

è inferiormente limitato ma non ha estremo inferiore. (La dimostrazione è analoga a quella di 5.7.4).

Esercizio 5.8.5

Nell’insieme dotato della relazione di “divisibilità” (cfr. esempio 5.2.2), si consideri l’insiemeX œ Ö ×20, 30, 60, 80, 100

(cfr. esempio 5.5.3). Determinare (qualora esistano) estremo inferiore ed estremo superiore per X.


5.9 - Completezza.

Siano un insieme e una relazione di ordine in .A AŸ

A A si dice se ogni sottoinsieme non vuoto di che sia superiormente limitato ha estremocompletosuperiore.

Esempio 5.9.1

L’insieme con l’ordinaria relazione di “minore o uguale” è completo. (In effetti, in ogni sottoinsieme non™ ™vuoto che sia superiormente limitato ha massimo.)

Esempio 5.9.2

L’insieme con l’ordinaria relazione di “minore o uguale” non è completo (cfr. esempio 5.8.4).

Osservazione 5.9.3

È ovvio, ma importante, che proprietà quali la completezza dipendono non tanto dall’insieme che si staconsiderando quanto dalla relazione d’ordine che vi si è definita (e che non è mai l’unica possibile!). Perconvincersene, definiamo in una relazione d’ordine come segue:Rappresentiamo ogni elemento di con la frazione tale che , sono primi fra loro e 0 (tale frazione 7

8 7 8 8

resta univocamente determinata da queste condizioni); diciamo di il numero naturale .altezza 78 ± 7 ± 8

Poniamo poi se e solo se l’altezza di è strettamente minore dell’altezza di oppure e 7 7 7 7 7 78 8 8 8 8 8

" # " # " #

" # " # " #Ÿ

hanno la stessa altezza e (secondo l’usuale relazione d’ordine fissata in ).7 Ÿ 7" # ™È facile vedere che rispetto a questa relazione d’ordineÐ Ñ16

ogni sottoinsieme non vuoto di ha minimo ; ogni sottoinsieme non vuoto di che sia superiormente limitato ha massimo (e quindi, in particolare, ha estremo superiore).

Esercizio 5.9.4

L’insieme con la relazione di “divisibilità” (cfr. 5.2.2) è completo?

Teorema 5.9.5

Siano un insieme e una relazione di ordine in .A AŸA A è completo se e solo se ogni sottoinsieme non vuoto di che sia inferiormente limitato ha estremo inferiore.

Dimostrazione - Supponiamo in primo luogo che sia completo. Sia un sottoinsieme non vuoto di A X Ache sia inferiormente limitato, e proviamo che ha estremo inferiore.XSia l’insieme delle limitazioni inferiori di ; è superiormente limitato (da ogni elemento di ) e non èX X X X‡ ‡

vuoto (perché è inferiormente limitato), dunque ha estremo superiore: sia esso . Vogliamo provare che èX x x! !

il massimo di , ossia (per il teorema 5.7.2) che . In effetti, essendo la minima limitazione superioreX x X x‡ ! ‡ !−di , è in particolare per ogni .X x x x X‡ ! Ÿ −Resta da provare che se ogni sottoinsieme non vuoto di inferiormente limitato ha estremo inferiore allora èA Acompleto. La dimostrazione è del tutto analoga a quella vista sopra, e si lascia al lettore.

16 Si tratta in sostanza di osservare che per ogni esiste solo un numero finito di frazioni aventi2 − altezza .2


6.- RELAZIONI DI EQUIVALENZA

6.1 - Definizione.

Sia un insieme.A

Una relazione in riflessiva, simmetrica e transitiva si dice una in .A Arelazione di equivalenza

Esempi

Sono esempi di relazioni di equivalenza:

6.1.1 La relazione di “equiscomponibilità” nell’insieme dei poligoni piani.

6.1.2 La relazione di “similitudine” nell’insieme delle figure piane.

6.1.3 La relazione di “parallelismo” nell’insieme delle rette del piano, definita come segue:due rette sono parallele sse coincidono oppure non hanno punti in comune.

6.1.4 In ogni insieme , la relazione di “misantropia” che ad ogni elemento di associa lui stesso e nessun altroA A(cioè: se , , è in relazione con sse ).a b A a b a b− œ

6.1.5 In ogni insieme , la relazione che ad ogni elemento di associa tutti gli elementi di (cioè: comunqueA A Asi prendano , , è in relazione con ).a b A a b−

Esempio 6.1.6

Sia l’insieme delle frazioni . La relazione in definita ponendo per ,Y 4 Y YÐ Ñ −17 + -, .

+ -, .4 sse +. œ ,-

è una relazione di equivalenza. Infatti: è riflessiva: per ogni , perché per la proprietà commutativa del prodotto ;4 4 Y+ + +

, , , − +, œ ,+

è simmetrica: , perché ;4 4 4+ - - +, . . ,Ê Ð+. œ ,-Ñ Ê Ð-, œ .+Ñ

è transitiva: sia infatti e , cioè e ; dalla prima uguaglianza segue4 4 4+ - - /, . . 0 +. œ ,- -0 œ ./

+.0 œ ,-0 +.0 œ ,./ . e da qui, tenendo conto della seconda, ; dividendo infine ambo i membri per (che èdiverso da 0 per ipotesi) si deduce che ossia che come si voleva.+0 œ ,/ + /

, 04

Esempio 6.1.7

Altri esempi particolarmente importanti di relazioni di equivalenza sono descritti in dettaglio altrove in questiappunti, e li ricordiamo qui per completezza: la e la nell’insieme delle figure piane (cfr. A1.8) ;congruenza congruenza diretta ‚ l’ nell’insieme delle coppie ordinate dei punti del piano (cfr. 14.2) ;equipollenza c c l’ fra matrici (cfr. 20.6) .equivalenza

17 Ricordiamo che si dice una coppia ordinata (cfr. 3.7) di numeri interi in cui la secondafrazionecomponente sia diversa da 0; si conviene (cfr. 1.9) di scrivere anziché ( , ).+

, + ,


6.2 - Classi di equivalenza.

Siano un insieme e una relazione di equivalenza in .A Aµ

Se , si dice di (o anche, quando ciò non dia luogo ad equivoci,a A a− classe di equivalenzaµ classe di equivalenza di ) il sottoinsieme [ ] di definito come segue:a a A

[ ] / .a x A a xœ Ö − µ ×

Osservazione 6.2.1

Per ogni , si ha [ ].a A a a− −

Dimostrazione - Infatti , perché è riflessiva.a aµ µ

Osservazione 6.2.2

Comunque presi , , si ha [ ] [ ] se e solo se .a b A a b a b− œ µ

Dimostrazione - Se [ ] [ ], poiché [ ] (per 6.2.1) si ha [ ] e dunque (per definizionea b b b b a a bœ − − µdi [ ]).a

Viceversa, sia ; dobbiamo provare che [ ] [ ] e che [ ] [ ].a b a b b aµ § §Sia [ ]; allora . Ma (perché per ipotesi, e è simmetrica) e dunque (perché èx a a x b a a b b x− µ µ µ µ µ µtransitiva), cioè [ ]. Per l’arbitrarietà di in [ ], si è provato che [ ] [ ].x b x a a b− §Sia ora [ ]; allora . Poiché per ipotesi, e poiché è transitiva, si ha , cioè [ ]. Perx b b x a b a x x a− µ µ µ µ −l’arbitrarietà di in [ ], si è così anche provato che [ ] [ ] e dunque che [ ] [ ] .x b b a a b§ œ

Osservazione 6.2.3

Sia . Per ogni [ ], è [ ] [ ].a A x a x a− − œ

Dimostrazione - Per definizione di [ ] , se [ ] è ; dunque [ ] [ ] per l’osservazione 6.2.2.a x a a x a x− µ œ

Sia . Per ogni [ ], si dice che [ ], o anche che [ ]. Ciòa A x a x a x a− − rappresenta è un rappresentante diè giustificato da quanto si è visto nell’osservazione 6.2.3.

Osservazione 6.2.4

Comunque presi , , se [ ] [ ] è [ ] [ ] .a b A a b a b− Á œ g

Dimostrazione - Sia [ ] [ ]. Procediamo per assurdo, supponendo che esista [ ] [ ]. In tal casoa b x a bÁ − a x x a b x x b a x bµ − µ − œ œ (perché [ ]) e (perché [ ]); per 6.2.2 si ha allora [ ] [ ] [ ], contro l’ipotesi.

Osservazione 6.2.5

L’insieme delle classi di equivalenza di è una partizione di .A A

Dimostrazione - Le classi di equivalenza sono a due a due disgiunte per 6.2.4; per 6.2.1 esse sono nonvuote e la loro unione è .A


6.3 - Insieme quoziente.

Siano un insieme e una relazione di equivalenza in .A Aµ

L’insieme delle classi di equivalenza di si dice di rispetto a , e si indicaµ µA Ainsieme quozientecon . La funzione (suriettiva) : che ad ogni elemento di associa la sua classe di equivalenza si diceA A

µ µ1 A AÄproiezione canonica di su . Si noti che ( ) .A AA

µ W 1 œ

Se mette in relazione tra loro gli elementi di che hanno in comune una certa proprietà astratta,µ Al’insieme quoziente rappresenta intuitivamente l’insieme di tali proprietà astratte, e la proiezione canonicaassocia ad ogni elemento di la specifica proprietà che gli è pertinente. Vediamo meglio in che senso ciòAavviene, riesaminando gli esempi già considerati in 6.1.

6.3.1Sia l’insieme dei poligoni del piano, e sia la relazione di equiscomponibilità.A µLa proprietà astratta comune a una classe di poligoni equiscomponibili è la “superficie”: tale concetto, in effetti,può essere definito per i poligoni appunto per questa via. La proiezione canonica associa a ogniA Ä A

µpoligono la sua superficie.

6.3.2Sia l’insieme delle figure piane, e sia la relazione di similitudine.A µLa proprietà astratta comune a una classe di figure piane simili è la “forma”. Nell’insieme quoziente troviamoA

µelementi che rappresentano i concetti di “triangolo equilatero”, “quadrato”, “cerchio”, ecc.

6.3.3Sia l’insieme delle rette del piano, e sia la relazione di parallelismo definita in 6.1.3.A µL’insieme quoziente si dice .A

µ insieme delle direzioni

6.3.4Sia un insieme, e sia la relazione di “misantropia” definita in 6.1.4.A µL’insieme quoziente è (in corrispondenza biunivoca con) .A

6.3.5Sia un insieme, e sia la relazione definita in 6.1.5.A µL’insieme quoziente è .Ö ×A

6.3.6Sia l’insieme delle frazioni, e sia la relazione definita in 6.1.6.Y 4L’insieme quoziente è (in corrispondenza biunivoca con) . In effetti, i numeri razionali si definisconoY

4

appunto con questo procedimento a partire dall’insieme degli interi.™La proiezione canonica associa a ogni frazione il numero razionale che essa rappresenta.


6.4 - Le classi di resto.

In tutta la sezione 6.4 supporremo fissato un numero intero positivo .8

Siano , ; si dice che e si scrive+ , − + , 8™ è congruo modulo+ ´ , Ð 8Ñ mod

sse , ossia sse è multiplo di .Ðb5 − ÑÐ+ , œ 58Ñ + , 8™

Si è così definita una relazione in , detta “ ”. Tale relazione è stata studiata fin™ congruenza modulo 8dall’antichità: sono celebri le opere in proposito del matematico ellenista Diofanto, vissuto nel terzo secolo d. C. .

Teorema 6.4.1

La congruenza modulo è una relazione di equivalenza in .8 ™

Dimostrazione - In primo luogo, la congruenza modulo è riflessiva, ossia (mod ) per ogni8 + ´ + 8+ − + + œ † 8 −™ ™: infatti, 0 con 0 .

Inoltre, la congruenza modulo è simmetrica: siano , tali che (mod ) e proviamo8 + , − + ´ , 8™che (mod ). In effetti, se (mod ) esiste tale che ; ma allora ( ) con, ´ + 8 + ´ , 8 5 − + , œ 58 , + œ 5 8™ 5 − , ´ + 8™, e dunque (mod ).

Infine, la congruenza modulo è transitiva: siano , , tali che (mod ) e 8 + , - − + ´ , 8 , ´ -™(mod ), e proviamo che (mod ). In effetti, se (mod ) esiste tale che ;8 + ´ - 8 + ´ , 8 5 − + , œ 5 8" "™se (mod ) esiste tale che ; ma allora, ´ - 8 5 − , - œ 5 8# #™

+ - œ + , , - œ 5 8 5 8 œ 5 5 † 8( ) ( ) ( )" # " #

con , e dunque (mod ).5 5 − + ´ - 8" # ™

Per quanto provato nel teorema 6.4.1, se (mod ) si può dire che , sono + ´ , 8 + , 8congrui modulosenza porre attenzione all’ordine in cui si citano e .+ ,

Esercizio 6.4.2

Trovare due numeri interi che sono congrui modulo 5 ma non sono congrui modulo 10. Esistono due numeriinteri che siano congrui modulo 10 ma non siano congrui modulo 5 ?

Teorema 6.4.3

Sia , e sia il resto della divisione euclidea di per . Allora (mod ).+ − < + 8 + ´ < 8™

Dimostrazione - Per definizione di divisione euclidea (cfr. osservazione 1.8.1), esiste tale che; − ™

+ œ ;8 <e dunque con , da cui l’asserto.+ < œ ;8 ; − ™

Le classi di equivalenza rispetto alla relazione di congruenza modulo si dicono 8 classi di resto modulo8 8. L’insieme delle classi di resto modulo (cioè l’insieme quoziente di rispetto alla relazione di congruenza™modulo ) si indica con .8 ™8


Esercizio [*] 6.4.4

Si deduca dal teorema 6.4.3 che due numeri interi , sono congrui modulo se e solo se la divisione euclidea di+ , 8+ 8 , 8 per e la divisione euclidea di per danno lo stesso resto.

Teorema 6.4.5

L’insieme ha elementi, precisamente : 0 , 1 , , 1 .™8 8 Ò Ó Ò Ó á Ò8 Ó

Dimostrazione - Per il teorema 6.4.3, ogni numero intero appartiene a una delle classi 0 , 1 , , Ò Ó Ò Ó áÒ8 Ó1 . Resta da provare che tali classi sono tutte distinte.

Se fosse con 0 , per l’osservazione 6.2.2 sarebbe (mod ) ossiaÒ3Ó œ Ò4Ó Ÿ 3 4 8 3 ´ 4 8esisterebbe tale che .5 − 4 3 œ 58™Ma 0 (perché ) e (perché e 0), dunque non può essere multiplo di .4 3 4 3 4 3 8 4 8 3 4 3 8Abbiamo così ottenuto una contraddizione; ne segue che le classi 0 , 1 , , 1 sono tutte distinte, come siÒ Ó Ò Ó á Ò8 Óvoleva.

Esercizio 6.4.6

Si studi la congruenza modulo 1, la congruenza modulo 2, la congruenza modulo 3, la congruenza modulo 10, lacongruenza modulo 12 e la congruenza modulo 24 ; in particolare, per ciascuna di tali relazioni si scrivanoesplicitamente le classi di resto e si precisi come opera la proiezione canonica.


7.- OPERAZIONI IN UN INSIEME

7.1 - Operazioni in un insieme.

Sia un insieme non vuoto.A

Si dice ( , ) in una funzione da in il cui dominio coincide conoperazione binaria interna A A A A‚A A A A‚ (cioè, intuitivamente, una “legge” che ad ogni coppia ordinata di elementi di associa un elemento di ).

Se è un’operazione in e , , scriviamo anziché ( , ): così significa che èæ − æ æ æ œA a b A a b a b a b c cl’immagine di ( , ) mediante , ossia che associa alla coppia ordinata ( , ) di elementi di l’elemento dia b a b A cæ æA a b c (rigorosamente: ( ( , ), ) ).− æ

Esempi

7.1.1 Le ordinarie operazioni di somma e prodotto sono operazioni in , , . ™

7.1.2 Per ogni insieme , la composizione definita in 4.7 è un’operazione nell’insieme di tutte le funzioniAA A AÄ il cui dominio coincide con .

7.1.3 Nell’insieme , la sottrazione è un’operazione, la divisione non lo è.™

7.1.4 Nell’insieme è un’operazione la definita come segue: æa b a b a bæ œ a −( 1) , .

7.1.5 Nell’insieme , , è un’operazione la definita come segue ( :Ö × æ Ña b c 18

a a a a b b a c c b a b b b a b c a c a c c b a c c bæ œ æ œ æ œ æ œ æ œ æ œ æ œ æ œ æ œ, , , , , , , , .

7.1.6 Sia un insieme. Le operazioni (definite in 3.6) che a due sottoinsiemi di associano la loro unione e laA Aloro intersezione sono operazioni in ( ) (nel senso definito in 7.1) che si indicano rispettivamente con e .c A

7.2 - Chiusura rispetto a un’operazione.

Sia un insieme nel quale è definita un’operazione .A æ

Un sottoinsieme di si dice rispetto a se comunque presi , è anche .B A b b’ B b b’ Bchiuso æ − æ −

18 Come si definisce un' operazione? Ricordiamo che “operazione in ” è una particolare funzioneAA A A A A A A A A‚ Ä ‚ ‚ ‚, cioè una particolare relazione tra e , cioè un particolare sottoinsieme di ( ) ; icriteri per definire un' operazione sono dunque gli stessi che abbiamo stabilito nel capitolo 2 per definire uninsieme. In particolare, l' operazione dell' esempio 7.1.5 è definita come in 3.2; quella dell' esempio 7.1.4 come in3.3.


Esempi

7.2.1 è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.

7.2.2 Il sottoinsieme di formato dai numeri dispari è chiuso rispetto al prodotto ma non rispetto alla somma.

7.2.3 Siano un insieme e l’insieme di tutte le funzioni da in il cui dominio coincide con . Il sottoinsiemeI A I I Idi costituito dalle corrispondenze biunivoche (cioè l’insieme delle su ) è chiuso rispetto allaA Ipermutazionicomposizione.

7.3 - Associatività e commutatività.

Sia un insieme.A

Un’operazione in si dice se ( ) ( ) , , .æ æ æ œ æ æ a −A a b c a b c a b c Aassociativa

Un’operazione in si dice se , .æ æ œ æ a −A a b b a a b Acommutativa

Esempi

Le operazioni considerate in 7.1.1 e 7.1.6 sono associative e commutative (cfr. anche 3.6.3 e 3.6.4); quellaconsiderata in 7.1.2 è associativa ma in generale non commutativa; quella considerata in 7.1.5 è commutativa manon associativa (infatti b b c b b c ); quella considerata in 7.1.4 non è né associativa néÐ æ Ñæ Á æÐ æ Ñcommutativa.

7.4 - Elemento neutro.

Siano un insieme e un’operazione definita in .A Aæ

Un elemento di si dice per se .8 8 œ 8A a a a a Aelemento neutro æ æ æ œ a −Se l’operazione è detta , l’elemento neutro si indica con “0”; se è detta , con “1”.æ somma prodotto

Teorema 7.4.1

Siano un insieme e un’operazione definita in . Se esiste un elemento neutro per , questo è unico.A Aæ æ

Dimostrazione - Siano , ’ elementi neutri per . Allora ’ ’, come si voleva.8 8 8 8 8 8æ œ æ œ

Esempi

7.4.2 L’operazione considerata in 7.1.4 non ha elemento neutro. Si noti che 0 per ogni , ma inæ æ œ −a a a generale 0 .æ Áa a

7.4.3 Le operazioni di somma considerate in 7.1.1 hanno come elemento neutro il numero 0.

7.4.4 Le operazioni di prodotto considerate in 7.1.1 hanno come elemento neutro il numero 1.

7.4.5 L’operazione considerata in 7.1.5 ha come elemento neutro l’elemento .æ a

7.4.6 Le operazioni “unione” e “intersezione” considerate in 7.1.6 hanno come elemento neutro risp. e .g A

7.4.7 L’operazione di composizione considerata in 7.1.2 ha come elemento neutro la funzione definita inidA

4.4.3.


7.5 - Il simmetrico di un elemento.

Siano un insieme e un’operazione definita in per la quale esiste l’elemento neutro .A Aæ 8

Per ogni , si dice (rispetto a ) un elemento tale che siaa A a a A− æ −simmetrico di

a a a aæ œ æ œ 8.Se l’operazione è detta , il simmetrico di si dice di , e si indica con ; se è dettaæ somma oppostoa a aprodotto inverso, si dice di , e si indica con .a a"

Teorema 7.5.1

Siano un insieme e un’operazione definita in per la quale esiste l’elemento neutro .A Aæ associativa 8Per ogni , se esiste un simmetrico questo è unico.a A−

Dimostrazione - Siano , simmetrici di . Alloraa a a œ

a a a a a a a a a a œ æ œ æ æ œ æ æ œ æ œœ œ œ œ8 8( ) ( ) .

Esempi

7.5.2 Rispetto all’operazione definita in 7.1.5 (che non è associativa), l’elemento ha due distinti simmetrici:æ bse stesso e l’elemento .c

7.5.3 In , per ogni elemento esiste l’opposto (cioè, il simmetrico rispetto alla somma) ma solo per +1 e 1™ esiste l’inverso (cioè, il simmetrico rispetto al prodotto).

7.5.4 Rispetto alle operazioni di “unione” e “intersezione” considerate in 7.1.6, non esiste in generale ilsimmetrico di un elemento di ( ).c A

7.5.5 Rispetto all’operazione di “composizione” considerata in 7.1.2 non esiste in generale il simmetrico di unafunzione. Tuttavia, se è una corrispondenza biunivoca di in sé la funzione definita in 4.6 è il simmetricof A f"

di rispetto alla composizione.f

7.6 - La proprietà distributiva.

Siano un insieme e , due operazioni definite in .A Aæ ‰

Si dice che è rispetto a se‰ ædistributivaa b c a b a c a b c a c b c a b c A‰ æ œ ‰ æ ‰ æ ‰ œ ‰ æ ‰ a −( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) , , .

Esempi

7.6.1 Negli esempi 7.1.1, il prodotto è distributivo rispetto alla somma ma la somma non è distributiva rispettoal prodotto.

7.6.2 Ciascuna delle due operazioni considerate in 7.1.6 è distributiva rispetto all’altra (cfr. anche 3.6.5).


8.- GRUPPI E ANELLI

8.1 - Gruppi.

Siano un insieme e un’operazione in .G Gæ

Si dice che è un rispetto a , oppure (più correttamente!) che la coppia ( , ) è un gruppo,G Ggruppo æ æse valgono le seguenti proprietà:

G.1 l’operazione è associativa;æ

G.2 esiste in l’elemento neutro per ;G æ

G.3 per ogni esiste il simmetrico di rispetto a .g G g− Ð Ñ æ19

Se inoltre

G.4 l’operazione è commutativaæ

il gruppo si dice o .commutativo abeliano

Esempi

8.1.1 e sono gruppi abeliani rispetto alla somma.™

8.1.2 non è un gruppo rispetto alla somma (non esiste in generale l’opposto di un elemento).

8.1.3 e non sono gruppi rispetto al prodotto (non esiste l’inverso di 0).™

8.1.4 0 e sono gruppi abeliani rispetto al prodotto. ÏÖ ×

8.1.5 Per ogni insieme , l’insieme delle permutazioni su (cfr. 4.4) è un gruppo (in generale non abeliano)A Arispetto alla composizione di funzioni definita in 4.7.

8.1.6 Sia un insieme. ( ) (cfr. 3.5) non è un gruppo né rispetto all’unione né rispetto all’intersezione; è peròA Acun gruppo abeliano rispetto all’operazione (detta ) definita come segue:æ differenza simmetrica

X Y X Y X Y X Y Aæ œ Ï a −( ) ( ) , ( ).c

8.2 - Sottogruppi.

Sia ( , ) un gruppo.G æ

Un sottoinsieme non vuoto di , chiuso rispetto a , si dice di se ( , ) è ancora unH G G Hæ æsottogruppogruppo .Ð Ñ20

19 cfr. G.1 e il teor. 7.5.1.20 Rigorosamente, la notazione ( , ) è impropria; infatti, quella che si può considerare in non è l'H Hæ

operazione ma la ad di (cfr. 4.5). Distinguere tra e la sua restrizione ad appesantirebbeæ æ ærestrizione H Hperò senza scopo la nostra esposizione, ed eviteremo quindi di farlo.


Esempi

8.2.1 non è un sottogruppo di ( , ), pur essendo chiuso rispetto alla somma.™ ™

8.2.2 è un sottogruppo di ( 0 , ) (cfr. esempio 8.1.4). ÏÖ × †

Teorema 8.2.3

Sia ( , ) un gruppo, e sia un sottogruppo di G. L’elemento neutro per in coincide con l’elementoG H Hæ æneutro per in (e quindi, per ogni il simmetrico di in coincide col simmetrico di in ).æ −G h H h H h G

Dimostrazione - Sia l’elemento neutro per in , e sia l’elemento neutro per in . Poiché8 8æ æG H"

8 8 8 8 8 8" " " " " "− æ œH G, deve essere ; dunque si ha (indicando con il simmetrico di in )8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8œ æ œ æÐ æ Ñ œ æ æ œ æÐ æ Ñæ œ Ð æ ÑæÐ æ Ñ œ æ œ" " " " " " " " " " " ".

Possiamo ora applicare il teorema 7.5.1 e concludere che per ogni elemento di il simmetrico in coincide colH Hsimmetrico in .G

8.3 - Omomorfismi e isomorfismi tra gruppi.

Siano ( , ) e ( , ) gruppi.G Hæ ‰

Una funzione : tale che ( ) si dice un tra ( , ) e ( , ) (o anche, piùf G H f G G HÄ œ æ ‰W omomorfismosemplicemente, tra e ) seG H

f x y f x f y x y G( ) ( ) ( ) , .æ œ ‰ a −Un omomorfismo che sia anche una corrispondenza biunivoca si dice .isomorfismo

Esempio 8.3.1

Un esempio significativo e importante di isomorfismo tra gruppi sarà dato in 10.5 (teorema 10.5.5).

Esercizio [*] 8.3.2

Siano ( , ) e ( , ) gruppi, e sia : un isomorfismo tra e . Si dimostri che la funzione inversa G H f G H G H fæ ‰ Ä "

: è un isomorfismo tra ( , ) e ( , ).H G H GÄ ‰ æ

8.4 - Anelli.

Sia un insieme con almeno due elementi, e siano , due operazioni in (che chiameremoA A †rispettivamente e ).somma prodotto

Si dice che è un rispetto a e , oppure (più correttamente!) che la terna ( , , ) è unA Aanello † †anello, se

A.1 ( , ) è un gruppo commutativo;A

A.2 il prodotto è associativo;

A.3 il prodotto è distributivo rispetto alla somma.


Se inoltre

A.4 esiste in un elemento neutro per il prodottoA

oppure

A.5 il prodotto è commutativo

si dice rispettivamente che è un (e l’elemento neutro si dice l’ di , e si indicaA Aanello con unità unitàcon “1”) oppure che è un . Naturalmente, se valgono sia la A.4 che la A.5 si dice che èA Aanello commutativoun .anello commutativo con unità

Ricordiamo che, come convenuto in 7.4, gli elementi neutri per la somma e il prodotto si indicanorispettivamente con “0” e “1”; qualora possa esservi confusione con i numeri naturali 0 e 1, si usano le notazioni“0 ” e “1 ”. Inoltre, secondo quanto stabilito in 7.5, l’opposto di un elemento si indica con , l’inverso diA A x xun elemento (se esiste) si indica con .x x"

Esempi

8.4.1 e sono anelli commutativi con unità rispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto.™

8.4.2 L’insieme dei polinomi a coefficienti in (oppure in ) nell’indeterminata è un anello commutativo con™ xunità rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

8.4.3 L’insieme dei numeri interi pari (cioè della forma 2 con ) è un anello commutativo unitàk k − ™ senzarispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto.

Osservazione 8.4.4

Sia ( , , ) un anello. Per ogni , si ha 0 0 0.A a A a a † − † œ † œ

Dimostrazione - Ricordiamo che abbiamo convenuto in 7.4 di indicare con 0 l’elemento neutro di Arispetto alla somma. Si ha

a a a a† œ † œ † †0 (0 0) 0 0da cui (sommando ad ambo i membri l’opposto di 0) si ricava che 0 0. Allo stesso modo si trova chea a† œ †0 0.† œa

Osservazione 8.4.5

Sia ( , , ) un anello con unità. Si ha 1 0A † Áossia, l’elemento neutro per il prodotto è necessariamente distinto dall’elemento neutro per la somma.

Dimostrazione - Se fosse 1 0, per ogni sarebbeœ −a Aa a aœ † œ † œ1 0 0

e dunque in esisterebbe solo l’elemento 0, contro l’ipotesi che sia un anello (e che dunque appartengano adA AA almeno due elementi).


Osservazione 8.4.6

Sia ( , , ) un anello con unità. Non esiste in l’inverso di 0.A A †

Dimostrazione - Se , è 0 0 per l’osservazione 8.4.4, e dunque (per l’osservazione 8.4.5) nona A a− † œpuò essere 0 1.a † œ

Osservazione 8.4.7

Sia ( , , ) un anello con unità. Si ha ( 1) ( 1) 1; inoltre, per ogni , si ha ( 1) .A a A a a † † œ − † œ

Dimostrazione - Per l’osservazione 8.4.4 si ha (applicando la proprietà distributiva)0 0 ( 1) (1 ( 1)) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)œ † œ † œ † † œ †

e dunque, sommando 1 ad ambo i membri, la prima parte dell’asserto. Inoltre, sempre applicando l’osservazione8.4.4 e la proprietà distributiva,

( 1) ( 1) 1 ( 1 1) 0 0 † œ † † œ † œ † œa a a a a ae, analogamente, ( 1) 0 , cosicché ( 1) è l’opposto di .a a a a † œ †

8.5 - Omomorfismi e isomorfismi tra anelli.

Siano ( , , ) e ( , , ) anelli.A B † Š

Una funzione : tale che ( ) si dice un tra ( , , ) e ( , , ) (o anche,f A B f A A BÄ œ † Š W omomorfismopiù semplicemente, tra e ) seA B

f x y f x f y f x y f x f y x y A( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) , . œ Š † œ a −Un omomorfismo che sia anche una corrispondenza biunivoca si dice .isomorfismo

Esempio 8.5.1

Un esempio significativo di omomorfismo tra anelli sarà dato in 8.6 (teorema 8.6.10).

Esercizio [*] 8.5.2

Siano ( , , ) e ( , , ) anelli, e sia : un isomorfismo tra e . Si dimostri che la funzioneA B f A B A B † Š Äinversa : è un isomorfismo tra ( , , ) e ( , , ).f B A B A" Ä Š †

8.6 - L’anello .™8

In tutta la sezione 8.6 supporremo fissato un numero intero positivo .8

Definiamo nell’insieme (cfr. 6.4) due operazioni: le indicheremo con “ ” e “ ”, e le chiameremo™8 †rispettivamente e . Se [ ], [ ] , poniamosomma prodotto + , − ™8

[ ] [ ] [ ]+ , ³ + ,e [ ] [ ] [ ].+ † , ³ + † ,


Si noti che con lo stesso simbolo “ ” abbiamo indicato a sinistra l’operazione che stiamo definendo in™ ™8 e a destra la ben nota operazione di somma in ; analogamente per il simbolo “ ” (che, per di piu, spesso si´†omette, proprio come in ). Ciò usualmente non dà luogo ad ambiguità né a confusione.™

Si noti inoltre che abbiamo definito la “somma” (e il “prodotto”) di due classi di resto mediante lasomma (o, rispettivamente, il prodotto) dei loro rappresentanti: poiché tali rappresentanti non sono univocamentedeterminati, è importante assicurarsi che la definizione sia “ben posta”, ossia dipenda solo dalle classiconsiderate e non dai rappresentanti scelti in esse (cfr. l’esempio 4.2.1 e, più avanti, l’esempio 8.6.2). Ciòavviene mediante il

Teorema 8.6.1

Siano , , ’, ’ . Se [ ] [ ’] e [ ] [ ’], allora [ ] [ ’ ’] e [ ] [ ’ ’].+ , + , − + œ + , œ , + , œ + , +, œ + ,™

Dimostrazione - Per l’osservazione 6.2.2, se [ ] [ ’] e [ ] [ ’] deve essere+ œ + , œ , ’ (mod ) e ’ (mod ),+ ´ + 8 , ´ , 8ossia devono esistere , tali che2 5 − ™ ’ e ’ .+ + œ 28 , , œ 58Allora

Ð+ ,Ñ Ð+ , Ñ œ Ð+ + Ñ Ð, , Ñ œ 28 58 œ Ð2 5Ñ8’ ’ ’ ’e dunque ’ ’ (mod )+ , ´ + , 8ossia, ancora per l’osservazione 6.2.2, [ ] [ ’ ’] come si voleva dimostrare.+ , œ + ,

Inoltre,+, + , œ +, +, +, + , œ +Ð, , Ñ , Ð+ + Ñ œ +58 , 28 œ Ð+5 , 5Ñ8’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’

e dunque ’ ’ (mod )+, ´ + , 8ossia, ancora per l’osservazione 6.2.2, [ ] [ ’ ’] come si voleva dimostrare.+, œ + ,

Esempio 8.6.2

Sia 3. Si ha [2] [5] , tuttavia [2 ] [1] [2] [2 ]. Non sarebbe dunque possibile definire,8 œ œ œ Á œ2 5

analogamente a come si è fatto per somma e prodotto, un “elevamento a potenza” in ponendo [ ] [ ] .™8Ò,Ó ,+ ³ +

Analogamente, per 5 , si ha [3] [8] , tuttavia [2 ] [8] [3] [1] [256] [2 ] .8 œ œ œ œ Á œ œ3 8

Teorema 8.6.3

Ð Ñ™8 , è un gruppo abeliano.

Dimostrazione - Proviamo in primo luogo che la somma in è associativa. Se [ ], [ ], [ ]™8 + , -appartengono a (con , , ), si ha™ ™8 + , - −

Ð + , Ñ - œ + , - œ Ð+ ,Ñ - œ + Ð, -Ñ œ + , -Ó + Ð , - Ñ[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ = [ ] [ ] [ ]perché la somma in è associativa.™

Si ha poi [ ] [0] [ 0] [ ] [0 ] [0] [ ]+ œ + œ + œ + œ +per ogni [ ] , e dunque [0] è l’elemento neutro per la somma in .+ − ™ ™8 8

Se [ ] (con ), si ha [ ] [ ] [ ] [ ] [0] e dunque [ ] è l’opposto di [ ].+ − + − + + œ + + œ + +™ ™8

Proviamo infine che la somma in è commutativa. Se [ ] e [ ] appartengono a (con , ), si™ ™ ™8 8+ , + , −ha [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]+ , œ + , œ , + œ , +perché la somma in è commutativa. L’asserto è così completamente provato.™

Esercizio [*] 8.6.4

Si dimostri che , , è un anello commutativo con unità.Ð † Ñ™8


Esempio 8.6.5

Sia 6. Si ha [2] [3] [2 3] [6] [0] ; dunque in non vale la legge di annullamento del prodotto.8 œ † œ † œ œ ™'

Esempio 8.6.6

Sia 4. Si ha [2] [2] [2 2] [4] [0] ; dunque in l’elemento 2 0 ha per quadrato 0 .8 œ † œ † œ œ Ò Ó Á™%

Esempio 8.6.7

Sia 3. Il polinomio x [2]x si annulla per ogni elemento di , ma non è il polinomio nullo.8 œ $$™

Esempio 8.6.8

Sia 6. Si ha [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] .8 œ œ † œ † † œ † † á

Esercizio 8.6.9

Sia 6. Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in nell’incognita x :8 œ ™'

[3] x [2] ; [3] x [3] ;† œ † œ [4] x [2] ; [4] x [3] ;† œ † œ [5] x [1] ; [5] x [2] ;† œ † œ x [2] ; x [3] ;# #œ œ x [1] [0] ; x [2] [0] ;# # œ œ

x [3] x x [3] x [4] x [0] .& % $ # † † † œ

Esercizio 8.6.10

Sia 7. Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in nell’incognita x :8 œ ™(

[3] x [2] ;† œ[3] x [3] ;† œ[4] x [2] ;† œ[4] x [3] ;† œ[5] x [1] ;† œ[5] x [2] ;† œ

x [2] ;# œx [3] ;# œ

x [1] [0] .# œ

Teorema 8.6.11

La proiezione canonica è un omomorfismo fra anelli.™ ™Ä 8

Dimostrazione - Siano , . Si ha [ ] [ ] [ ] e [ ] [ ][ ] per definizione di somma e+ , − + , œ + , +, œ + ,™prodotto in , e ciò prova l’asserto.™8


8.7 - I criteri di divisibilità per i numeri interi.

Come applicazione della teoria sviluppata nella sez. 8.6, dimostriamo i classici criteri di divisibilità per inumeri interi.

In tutta questa sezione, indichiamo con un numero intero e con un numero intero positivo. Ci7 8proponiamo di stabilire condizioni necessarie e sufficienti affinché sia divisibile per , ossia (cfr. teorema7 86.4.3 ed esercizio 6.4.4) affinché si abbia

7 ´ 80 (mod ) .

Poiché numeri opposti hanno gli stessi divisori, possiamo supporre che sia 0 . I nostri criteri7 faranno riferimento alle cifre della rappresentazione posizionale di in base 10 (cfr. sez. 1.7) ; sia dunque7

7 œ - † - † á - † - † - † -5 5" $ # " !5 5" $ #10 10 10 10 10

(cfr. teorema 1.7.1) . Per ogni numero intero , indicheremo con la classe di resto modulo a cui appartiene+ Ò+Ó 8+ ; per il teorema 8.6.11, possiamo scrivere( ) 10 10 10 10 10 .æ Ò7Ó œ Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó á Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó5 5" $ # " !

5 5" $ #

Teorema 8.7.1

Sia l’ultima cifra di . Si ha- 7!

7 ´ -! (mod 2)7 ´ -! (mod 5)

e (mod 10) .7 ´ -!Pertanto: è divisibile per 2 sse l’ultima cifra di è 0, 2, 4, 6 oppure 8 ; è divisibile per 5 sse l’ultima cifra7 7 7di è 0 oppure 5 ; è divisibile per 10 sse l’ultima cifra di è 0 .7 7 7

Dimostrazione - Se 2 oppure 5 oppure 10 , è 10 0 e quindi dalla ( ),8 œ 8 œ 8 œ Ò Ó œ Ò Ó æricordando l’osservazione 8.4.4, si ricava che

Ò7Ó œ Ò- Ó!ossia (cfr. osservazione 6.2.2)

7 ´ - 8! (mod ) .

Le uniche cifre divisibili per 2 sono 0, 2, 4, 6 e 8 ; le uniche cifre divisibili per 5 sono 0 e 5 ; el’unica cifra divisibile per 10 è 0 . L’asserto è così completamente provato.

Teorema 8.7.2

Siano , e le ultime tre cifre di . Si ha- - - 7# " !

7 ´ - † Ò Ó -" !10 (mod 4)e 10 10 (mod 8) .7 ´ - † Ò Ó - † Ò Ó -# " !

#

Pertanto: è divisibile per 4 sse è divisibile per 4 il numero formato dalle ultime due cifre di ; è divisibile7 7 7per 8 sse è divisibile per 8 il numero formato dalle ultime tre cifre di .7

Dimostrazione - Dalla ( ) si ricava cheæÒ7Ó œ Ò2 Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó œ! # " !

#1000 10 10œ Ò2 Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó" " !100 10 .

Se 8 , è 1000 0 e quindi (ricordando l’osservazione 8.4.4)8 œ Ò Ó œ Ò ÓÒ7Ó œ Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó# " !

#10 10 ;Se 4 , è 100 0 e quindi (ricordando ancora l’osservazione 8.4.4)8 œ Ò Ó œ Ò Ó

Ò7Ó œ Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó" !10come si voleva.


Teorema 8.7.3

Sia un numero intero, e siano , , , e le cifre di . Si ha7 - - á - - - 75 5" # " !

7 ´ - - á - - -( ) (mod 3)5 5" # " !

e ( ) (mod 9)7 ´ - - á - - -5 5" # " !

Pertanto: è divisibile per 3 [risp.: per 9 sse è divisibile per 3 [risp.: per 9] la somma delle sue cifre.7 Ó

Dimostrazione - Se 3 oppure 9 , è 10 1 e quindi dalla ( ) si ricava che8 œ 8 œ Ò Ó œ Ò Ó æÒ7Ó œ Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó á Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó œ5 5" # " !

5 5" #1 1 1 1œ Ò- Ó Ò- Ó á Ò- Ó Ò- Ó Ò- Ó œ Ò- - á - - - Ó5 5" # " ! 5 5" # " ! .

Dall’osservazione 6.2.2 segue l’asserto.

Osservazione 8.7.4

Sia 9 . Per il teorema 8.6.11, se allora è anche ; se allora è anche8 œ + œ , - Ò+Ó œ Ò,Ó Ò-Ó + œ , -Ò+Ó œ Ò,Ó Ò-Ó + œ , † - Ò+Ó œ Ò,Ó † Ò-Ó + œ ,; < Ò+Ó œ Ò,ÓÒ;Ó Ò Ó ; se allora è anche ; se allora è anche r .Attenzione: non vale il viceversa!Il teorema 8.7.3 giustifica la cosiddetta “prova del 9” per la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e ladivisione euclidea.

Esercizio 8.7.5

Sia 9 . Si trovino dei numeri interi , e tali che ma r , mostrando così che la8 œ + , - + Á ,; < Ò+Ó œ Ò,ÓÒ;Ó Ò Ó“prova del 9” fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente per l’esattezza del calcolo.

Esercizio [*] 8.7.6

Si enunci una “prova del 3” analoga a quella “del 9” . Si può enunciare analogamente una “prova del 2” ? E una“prova dell’8” ? E una “prova del 10” ? E una “prova del 6” ?Perché la più diffusa è la “prova del 9” ?

Teorema 8.7.7

Siano , , , e le cifre di , e supponiamo pari (ponendo 0 qualora abbia un numero- - á - - - 7 5 - ³ 75 5" # " ! 5

pari di cifre). Si ha7 ´ - - á - - -( ) (mod 11)5 5" # " !

ossia ( ) ( ) (mod 11) .7 ´ - - á - - - - á -5 5# # ! 5" 5$ "

Pertanto: è divisibile per 11 sse è divisibile per 11 la differenza tra la somma delle sue cifre “di posto dispari”7e la somma delle sue cifre “di posto pari”.

Dimostrazione - Se 11 si ha 10 1 , da cui (per il teorema 8.6.11)8 œ Ò Ó œ Ò Ó

Ò Ó œ Ò Ó 2 Ò Ó œ Ò Ó 210 1 se è dispari e 10 1 se è pari .2 2

Ancora per il teorema 8.6.11, e ricordando che abbiamo scelto in modo che sia pari, dalla ( ) si- 5 æ5

ricava cheÒ7Ó œ Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó á Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó † Ò Ó Ò- Ó œ5 5" # " !

51 ( 1 ) 1 ( 1 )œ Ò- Ó Ò- Ó á Ò- Ó Ò- Ó Ò- Ó œ Ò- - á - - - Ó5 5" # " ! 5 5" # " ! .

Dall’osservazione 6.2.2 segue l’asserto.

Esercizio [*] 8.7.8

Si enunci una “prova dell’11” analoga a quella “del 9” , discutendone in raffronto vantaggi e svantaggi.


9.- CAMPI

9.1 - Campi.

Sia un insieme con almeno due elementi, e siano , due operazioni in (che chiameremoF F †rispettivamente e ).somma prodotto

Si dice che è un rispetto a e , oppure (più correttamente!) che la terna ( , , ) è unF Fcampo † †campo, se

F.1 ( , , ) è un anelloF †

e inoltre

F.2 ( 0 , ) è un gruppo commutativo.FÏÖ × †

Sia ( , , ) un campo. Il fatto che ( 0 , ) sia un gruppo commutativo comporta in particolare cheF F † ÏÖ × †F FÏÖ ×0 è chiuso rispetto al prodotto. Dunque un prodotto di elementi di può essere 0 solo se almeno uno deifattori è 0 (questa è la cosiddetta ).legge di annullamento del prodotto

Sia ( , , ) un campo, e sia . Se , si indica con l’elemento di ottenuto sommando F x F x F † − 8 − 8 8™

addendi tutti uguali a (cioè: , dove compare volte al secondo membro); si pone poix x x x x x8 ³ á 8( ) ( ). Convenendo infine che 0 0 , si è definito il significato della scrittura per ogni 8 ³ 8 œ Dx x x xF

D − ™.

Sia ( , , ) un campo, e sia . Se , si indica con l’elemento di ottenutoF x F x F † − 8 − ™ 8

moltiplicando fattori tutti uguali a (cioè: , dove compare volte al secondo membro).8 ³ † † á † 8x x x x x x8

Esempi

9.1.1 è un campo rispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto.

9.1.2 L’insieme (2) 0, 1 è un campo rispetto alle operazioni , definite ponendo†… œ Ö × †0 0 0 ; 0 1 1 ; 1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 0 0 ; 0 1 0 ; 1 0 0 ; 1 1 1 . œ œ œ œ † œ † œ † œ † œ

9.1.3 Sia un numero primo. L’anello considerato in 8.6 è un campo, che si indica anche con ( ). Per: :™ †…:

: œ 2 si ottiene il campo considerato nell’esempio 9.1.2.

Esercizio [*] 9.1.4

Sia ( , , ) un campo. Si dimostri cheF †( ) , , 7 8 œ 7 8 a7 8 − −x x x x F™

( ) ( ) ( )( ) , , ,7 † 8 œ 78 a7 8 − −x y xy x y F™

9.2 - Isomorfismo tra campi.

Siano ( , , ) e ( , , ) campi.F F’ † Š

Una corrispondenza biunivoca : si dice un tra e sef F F’ F F’Ä isomorfismo , .( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) a − œ Š † œ x y Ff x y f x f y f x y f x f yDue campi tra i quali esista un isomorfismo si “comportano allo stesso modo” rispetto alla somma e al prodotto;si dice anche che “coincidono a meno di isomorfismi”.


Esercizio [*] 9.2.1

Siano ( , , ) e ( , , ) campi, e sia : un isomorfismo tra e . Si dimostri che la funzioneF F’ f F F’ F F’ † Š Äinversa : è un isomorfismo tra ( , , ) e ( , , ).f F’ F F’ F" Ä Š †

9.3 - Sottocampi.

Sia ( , , ) un campo.F †

Un sottoinsieme non vuoto di , chiuso rispetto alla somma e al prodotto, si dice di seK F Fsottocampo( , , ) è ancora un campo.K †

Esempio 9.3.1

non è un sottocampo di ( , , ), pur essendo chiuso rispetto alla somma e al prodotto. †

9.4 - Campi ordinati.

Siano ( , , ) un campo e una relazione di ordine totale in (cfr. 5.2).F F † Ÿ

Si dice che ( , , , ) è un se F † Ÿ Ð Ñcampo ordinato 21

9.4. 1 , , ;CO a b a c b c a b c FŸ Ê Ÿ a −9.4. 2 0 , , .CO Ð Ÿ Ñ • Ð Ñ Ê Ÿ a −a b c ac bc a b c F

Le 9.4. 1 e 9.4. 2 esprimono in sostanza il fatto che la relazione d’ordine è “compatibile” con leCO CO Ÿoperazioni di somma e prodotto definite in .F

Esempio 9.4.1

Il campo dei numeri razionali è un campo ordinato.

Teorema 9.4.2

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Comunque presi , , , si haF a b c d F † Ÿ −Ð Ÿ Ñ • Ð Ÿ Ñ Ê Ÿ a b c d a c b d

e 0 0 .Ð Ÿ Ÿ Ñ • Ð Ÿ Ÿ Ñ Ê Ÿa b c d ac bd

Dimostrazione - Sia , . Per la 9.4. 1, da segue chea b c d a bŸ Ÿ ŸCOa c b c Ÿ

e da segue che .c d b c b dŸ Ÿ

Per la proprietà transitiva della relazione si ha allora cheŸa c b d Ÿ .

Sia inoltre , , , . Per la 9.4. 2, da segue chea b c d F a b− Ÿ COac bcŸ

e da segue che .c d bc bdŸ Ÿ

Per la proprietà transitiva della relazione si ha allora che .Ÿ Ÿac bd

21 Tutte le volte che ciò non dia luogo ad ambiguità scriveremo anziché .xy x y†


Teorema 9.4.3

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Comunque presi , , , si ha cheF a b c d F † Ÿ −a b a c b c Ê ;

Ð Ñ • Ð Ñ Ê a b c ac bc0 ;Ð Ñ • Ð Ñ Ê a b c d a c b d ;

e 0 0 .Ð Ÿ Ñ • Ð Ÿ Ñ Ê a b c d ac bd

Dimostrazione - Se , per la 9.4. 1 deve esserea b COa c b c Ÿ .

Se fosse , sommando ad ambo i membri si avrebbe , contro l’ipotesi; dunque,a c b c c a b œ œa c b c , come si voleva.

Se e 0 , per la 9.4. 2 deve essere .a b c ac bc ŸCOSe fosse , moltiplicando ambo i membri per (che esiste, perché è un campo e 0 essendoac bc c F cœ Á"

c a b ac bc œ 0) si avrebbe , contro l’ipotesi; dunque, , come si voleva.

Le ultime due implicazioni seguono dalle prime due procedendo come nella dimostrazione del Teorema9.4.2 .

Teorema 9.4.4

Sia un numero primo. Il campo ( (cfr. esempio 9.1.3) non è un campo ordinato.: :Ñ†…

Dimostrazione - Procediamo per assurdo, supponendo che esista in ( ) una relazione di ordine totale†… :Ÿ : † Ÿ tale che ( ( ), , , ) risulti un campo ordinato. Per l’osservazione 8.4.5, deve essere vera una e una†…

sola delle seguenti due relazioni : 1 0 oppure 1 0 .

Supponiamo in primo luogo che si abbia 1 0 ; dal teorema 9.4.3 si ricava cheðóóóóóñóóóóóò ðóóóóóñóóóóóò1 1 1 0 0 01 volte 1 volte

á á

: :

ossia 1 0 da cui, ancora per il teorema 9.4.3, 1 1 0 1 ossia 0 1 assurdo perché abbiamo invece supposto che si abbia 0 1 .

Supponendo che si abbia 1 0 , si procede analogamente: dal teorema 9.4.3 si ricava in primo luogoche 1 0 e poi che 0 1 giungendo ancora ad un assurdo.

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Gli elementi di per i quali risulta 0 si dicono ;F x F x † Ÿ positivil’insieme di tali elementi si indica con . Gli elementi di per i quali risulta 0 si dicono invece ;F x F x negativil’insieme di tali elementi si indica con . Si noti che (poiché è per ipotesi una relazione di ordine totale)F ŸÖ Ö × ×F F F , 0 , è una partizione di (cfr. 3.7).

Teorema 9.4.5

Sia ( , , , ) un campo ordinato, e sia . Si ha F x F † Ÿ − Ð Ñ22

x F x F− Í − .

Dimostrazione - Sia . Allora 0 e dunque (per il Teorema 9.4.3, sommando ad ambo ix F x x−

membri) 0 , ossia . −x x F

Viceversa, sia . Allora 0 e dunque (per il Teorema 9.4.3, sommando ad ambo i − x F x x

membri) 0 , ossia come si voleva. −x x F

22 Si ricordi che indica l' opposto di , cioè il simmetrico di rispetto alla somma, come convenuto x x xin 8.4.


Teorema 9.4.6

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Per ogni , si verifica uno e uno solo dei seguenti casi :F x F † Ÿ −x F x x F− œ − oppure 0 oppure .

Dimostrazione - Sia .x F−

Proviamo in primo luogo che si verifica almeno uno dei casi , 0, . Poiché la èx F x x F− œ − Ÿ per ipotesi una relazione di ordine totale in , sarà 0 oppure 0 ; se 0 , si ha 0 oppureF x x x xŸ Ÿ Ÿ œx F x x x F x F− Ÿ œ − − ; se 0 si ha 0 oppure , ossia (per il Teorema 9.4.3) .

Proviamo ora che si verifica uno solo dei casi , 0, . Se 0 (e quindi anchex F x x F x− œ − œ œ − − − −x x F x F F x F x F0) non può essere né per definizione di . Se fosse e , sarebbe x x x x œ0 e 0 (da cui ancora 0 ), ossia 0 (per la proprietà antisimmetrica) che è assurdo per ladefinizione di .F

Teorema 9.4.7

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Comunque scelti , , si ha:F x y F † Ÿ −

( ) ;3 Ð Ÿ Ñ Ê Ð Ÿ Ñx y y x

( ) 0 ; inoltre, 0 0 ;33 Ð œ Ñ Í Ð œ Ñx x x# #

( ) 1 0 (e, quindi, 1 0); inoltre, 1 0 per ogni ;333 5 † 5 − ™

( ) 0 0 ;3@ Ð Ñ Í Ð Ñx x"

( ) 0 ;@ Ð Ñ Ê Ð Ÿ Ñx y x y" "

( ) , 0 ( ) ;@3 Ð Ñ Ê Ða5 − Ñ Ð Ñ Í Ð Ñx y x y x y™ 5 5

( ) 0 1 .@33 Ð Ñ Ê Ð Ñx x x#

Dimostrazione - Proviamo la ( ). Dalla segue subito (sommando ad ambo i membri) che3 Ÿ x y xy x y x x y x y y x y x œ œ œ Ÿ 0. Se 0, allora e quindi , da cui in particolare . Se 0, èy x F x y x − e quindi (per il teorema 9.4.5) 0, da cui infine (sommando ad ambo i membri) x y x y e dunque , come si voleva.

Proviamo la ( ). Per la legge di annullamento del prodotto e per l’osservazione 8.4.4, è chiaro che33x x x x x x# # #œ œ † 0 se e solo se 0. Se 0, allora 0 (per la 9.4. 2), e dunque 0 ricordando ancoraCOl’osservazione 8.4.4. Se 0, allora 0 (per il teorema 9.4.6) e dunque ( ) 0 per quanto appenax x x #

visto. D’altro lato, ( ) (( 1) ) ( 1) = ricordando l’osservazione 8.4.7. œ † œ x x x x# # # # #

Poiché 1 1 , e 1 0, dalla ( ) segue che 1 0; per induzione su si prova facilmente la ( ).œ Á 33 5 333#

Essendo ( ) , per provare la ( ) basta mostrare che 0 0 . Sia allora 0. Sex x x x x" " "œ 3@ Ð Ñ Ê Ð Ñ fosse 0 (non può essere 0 per l’osservazione 8.4.4) sarebbe 0 (per il teorema 9.4.5), ex x x" " " œ quindi 0 (per il Teorema 9.4.3) ossia 1 0 contro la ( ). † † 333x x x"

Proviamo ora la ( ). Sia 0. Per la ( ) è anche , 0; dunque 0 per la 9.4. 2.@ 3@ x y x y x y" " COApplicando ancora la 9.4. 2 (con ) alla , si trova , come si voleva.CO c x y x y y xœ " " " "

La ( ) equivale alla@3( )( ) 0 0x y x x y x y xy y x y á Í 5" 5# 5$ # 5# 5"

che è immediata per la 9.4. 2 essendo per ipotesi , 0 e quindi ancheCO x y x x y x y xy y5" 5# 5$ # 5# 5" á 0.

Proviamo infine la ( ). Poiché per ipotesi 0, per il Teorema 9.4.3 si ha che@33 xÐ Ñ Ê Ð Ñ Ð Ñ Ê Ð Ñx x x x x x1 e 1 # #

da cui l’asserto.


Osservazione 9.4.8

In un campo ordinato, l’equazione 1 0 nell’incognita x non ha soluzioni.x# œ

Dimostrazione - Infatti, 1 0 equivale a 1 ; ma 0 per ogni (per la ( ) delx x x x F# # # œ œ − 33teorema 9.4.7) e 1 0 (per la ( ) dello stesso teorema 9.4.7). 333

Siano ( , , , ) e ( , , , ) campi ordinati. Si dice tra ( , , , ) e ( , ,F F’ F F’ † Ÿ Š £ † Ÿ Šisomorfismo £ † Š , ) un isomorfismo tra i campi ( , , ) e ( , , ) (cfr. 9.2) per il quale sia inoltreF F’

x y f x f y x y FŸ Í £ a − ( ) ( ) , .

Esercizio [*] 9.4.9

Siano ( , , , ) e ( , , , ) campi ordinati, e sia : un isomorfismo tra e . Si dimostriF F’ f F F’ F F’ † Ÿ Š £ Äche la funzione inversa : è un isomorfismo tra ( , , , ) e ( , , , ).f F’ F F’ F" Ä Š £ † Ÿ

Teorema 9.4.10

Ogni campo ordinato possiede un sottocampo isomorfo a .

Dimostrazione - Sia ( , , , ) un campo ordinato. Definiamo una funzione : ponendoF F † £ Ä:

:Ð Ñ œ Ð7 ÑÐ8 Ñ a −7 78 8

"1 1F F .Dobbiamo provare che è “ben definita” (cioè che ( ) non dipende dalla ma solo dal numero: : 7 7

8 8frazionerazionale che rappresenta), che è iniettiva (e quindi, poiché ( ) , è una biiezione tra e ( ),7

8 : : : :W œ

cfr. 4.4), e infine che valgono le condizioni delle definizioni 9.2 e 9.4.

Proviamo in primo luogo che ( ) non dipende dalla frazione ma solo dal numero razionale che : 7 7 78 8 8

rappresenta. Sia (ossia ’ ’). Allora7 78 8

’’ œ 7 8 œ 78

( ’ )( ’ ) ( ’ )( ’ ) (( ’) )(( ’ ) ) 7 8 œ 7 8 78 7 8 œ1 1 1 1 1 1F F F F F F" " "

œ 7 8 7 8 7 8 œ 7 8 ( ’ )( ’ ) ( )( ’ )( ’ ) ( ) ( )( ) .1 1 1 1 1 1 1 1F F F F F F F F" " " "

Proviamo ora che è iniettiva.: Sia ( ) ( ). Allora ( )( ) ( )( ) da cui (moltiplicando ambo i membri per: :7 7

8 8 " " # #" "" #

" #œ 7 8 œ 7 81 1 1 1F F F F

( )( )) ( )( ) ( )( ), ossia ( ) ( ) . Mostriamo che non può essere8 8 7 8 œ 7 8 7 8 œ 7 8" # " # # " " # # "1 1 1 1 1 1 1 1F F F F F F F F

7 8 Á 7 8 7 8 7 8 5 œ 7 8 78" # # " " # # " " # ". In effetti, se fosse (per fissare le idee) , posto si avrebbe5 œ 5 − 3331F 0 con , e ciò è assurdo per la ( ) del teorema 9.4.7.™

Verifichiamo ora che valgono le condizioni della definizione 9.2.

Siano , . Si ha7 78 8

" #

" #−

: :( ) ( ) (( ) )(( ) ) ( )( )( ) ( )7 7 7 78 8 8 8 " # " # " # " #

" " "" # " #

" # " #† œ œ 7 7 8 8 œ 7 7 8 81 1 1 1 1 1F F F F F F

: :( ) ( ) ( )( ) ( )( )7 78 8 " " # #

" "" #

" #œ 7 8 7 81 1 1 1F F F F

cosicché “conserva il prodotto”.:

Per provare che “conserva” anche la somma fra numeri razionali, osserviamo che (poiché, come si è:visto, non dipende dalla frazione scelta per rappresentare il numero razionale considerato) possiamo:considerare due generiche frazioni con lo stesso denominatore. Si ha che

: :( ) ( ) (( ) )( ) ( )( )7 7 7 78 8 8 " # " #

" "" # " # œ œ 7 7 8 œ 7 7 81 1 1 1 1F F F F F

: :( ) ( ) ( )( ) ( )( )7 78 8 " #

" "" # œ 7 8 7 81 1 1 1F F F F

e quindi l’asserto per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.


Proviamo infine che ( ) ( ) , .B Ÿ C Í B £ C aB C −: :

È chiaro che sarà sufficiente mostrare cheB C Í B ¡ C aB C − ( ) ( ) , ;: :

infatti, poiché abbiamo già provato che è iniettiva, sappiamo che se e solo se ( ) ( ).: : :B œ C B œ C

Come si è osservato sopra, possiamo rappresentare e con frazioni , che hanno lo stessoB C 2 5. .

denominatore 0. Allora sse , ossia sse 0. Per la ( ) del teorema 9.4.7, ne segue che. 2 5 5 2 3332 5. .

( ) 0 . D’altro lato, se 0 (ossia 0) deve aversi ( ) 0 e quindi ( ) 05 2 ¢ 5 2 2 5 2 5 ¢ 5 2 ¡1 1 1F F F

(tenendo conto anche della ( ) del teorema 9.4.7): dunque, se ( ) 0 non può essere altro che 0.3 5 2 ¢ 5 2 1F

Allora la equivale alla ( ) 0 e quindi al fatto che ( ) 0, ossia che 0,2 5 5 2 ¢ 5 2 ¢ 5 2 ¢1 1 1 1 1F F F F F

cioè che . Poiché d 0 (ancora per la ( ) del teorema 9.4.7, essendo 0), la equivale2 ¡ 5 333 . 2 ¡ 51 1 1 1 1F F F F F

alla ( )(d ) ( )(d ) ossia alla ( ) ( ).2 ¡ 5 B ¡ C1 1 1 1F F F F" " : :

9.5 - Campi archimedei.

Sia ( , , , ) un campo ordinato. Si dice che ( , , , ) è (oppure che F F † Ÿ † Ÿ archimedeo ha laproprietà di Archimede) se , .Ða − ÑÐb8 − ÑÐ8 Ñx y F x y

Esempio 9.5.1

Il campo dei numeri razionali ha la proprietà di Archimede.

Dimostrazione - Siano , ; possiamo rappresentare e con frazioni aventi lo stessoB C − B C

denominatore . Sia dunque , con , . Scelto , si ha. − B œ C œ + , − 8 ,™ + ,. .

8B ,B œ œ + œ C +, , ,. . .

come si voleva.

Teorema 9.5.2

Ogni campo ordinato completo ha la proprietà di Archimede.

Dimostrazione - Sia ( , , , ) un campo ordinato completo (cfr. 5.9). Supponiamo per assurdo cheF † ŸF x y F non abbia la proprietà di Archimede. Esisteranno allora , tali che! ! −

8 Ÿ a8 −x y! ! .Ciò significa che l’insieme di tutti gli elementi di che si possono scrivere nella forma con (ossia:X F x8 8 −! X a F a x x xœ Ö − œ 8 8 − × / con ) non è vuoto (perché vi appartiene , che si può scrivere come 1 ) ed è! ! !superiormente limitato da . Poiché per ipotesi è completo, esisterà l’estremo superiore di . Per ogniy F y X!

8 − 8 − , poiché è anche 1 si ha( +1) , ossia .8 Ÿ 8 Ÿ x y x y x! ! !

Ciò significa che è una limitazione superiore di strettamente minore di , assurdo perché sup .y x X y y X œ !

Dunque, supporre non archimedeo conduce a una contraddizione, e ciò prova il teorema.F


10.- IL CAMPO DEI NUMERI REALI

10.1 - Definizione di . Numeri razionali, irrazionali, algebrici, trascendenti.‘

Vale il seguente importante teorema del quale omettiamo la dimostrazione:

Teorema 10.1.1

Esiste un campo ordinato completo. Inoltre, tutti i campi ordinati completi sono isomorfi fra loro.

Il teorema 10.1.1 consente di porre la seguente definizione: si dice , e si indicacampo dei numeri realicon , un campo ordinato completo. Nel seguito, coi simboli “0” e “1” indicheremo sempre gli elementi neutri di‘‘ per, rispettivamente, la somma e il prodotto.

Per il teorema 9.5.2, ha la proprietà di Archimede.‘

Per il teorema 9.4.10, l’insieme dei numeri reali che si possono scrivere nella forma 1 1Ð7 † Ñ † Ð8 † Ñ"

con , è un sottocampo di isomorfo al campo dei numeri razionali. Gli elementi di tale sottocampo7 8 − ™ ‘ si dicono ; gli elementi del complementare si dicono . Nel seguito identificheremoreali razionali reali irrazionalisempre, come è usuale, il numero reale razionale 1 1 con il numero razionale rappresentato dallaÐ7 † Ñ † Ð8 † Ñ"

frazione .78

Sia . Si dice che è se esiste un polinomio x x tale che 0, ossia se è! ‘ ! ™ ! !− Ð Ñ − Ò Ó Ð Ñ œalgebrico p pradice di un opportuno polinomio a coefficienti interi. Si dice che è se non è algebrico, ossia se! trascendentenon è radice di alcun polinomio a coefficienti interi.

Osservazione 10.1.2

Ogni numero razionale è algebrico.

Dimostrazione - Sia . Allora è radice del polinomio x x .7 78 8− 8 7 − Ò Ó ™

Per l’osservazione 10.1.2, ogni numero trascendente è irrazionale; esistono tuttavia numeri irrazionalialgebrici (cfr. 10.4). In altri termini, l’insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme proprio dell’insieme deinumeri algebrici che a sua volta è un sottoinsieme proprio di .‘

Si dice x e si indica con x la funzione così definita:valore assoluto di ± ± Ä‘ ‘

x x se x 0x se x 0 .± ± ³

œ

10.2 - La rappresentazione dei numeri reali sulla retta.

Supponiamo di aver fissato nel piano una unità di misura . I numeri reali ci consentono di assegnarehuna anche ai segmenti non commensurabili con : per ogni segmento , si considera l’insieme dellemisura h fmisure di tutti i segmenti contenuti in e commensurabili con (cfr. 1.4) ; tale insieme non è vuoto ed èf hsuperiormente limitato (cfr. [8] , Assioma V-1) e dunque, per la completezza di , ammette un estremo superiore,‘che si assume come misura di .f


Se , sono punti distinti del piano, la misura del segmento che li ha per estremi si dice fraP P" # distanzaP P P P" # " # e , e si indica con ( , ) . Conviene definire la distanza tra punti anche nel caso in cui questidcoincidano; se è un punto del piano, si pone ( , ) 0.P P Pd œ

Si può dimostrare il seguente importante teorema:

Teorema 10.2.1

Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti della retta e l’insieme dei numeri reali. Fissatif e ‘in due punti ( ) e ( ), resta univocamente determinata dalle condizionie O U forigine punto unità ) 0 ;Ð3Ñ Ð œf O 1 ;Ð33Ñ Ð Ñ œf U comunque presi , , il segmento ha misura | | rispetto all’unitàÐ333Ñ − Ð Ñ Ð ÑP P P P f P f P" # " # " #e di misura .OU

Una corrispondenza biunivoca fra e che verifichi le condizioni , e del teorema 10.2.1e ‘ Ð3Ñ Ð33Ñ Ð333Ñsi dice un su , oppure un su ; per il teorema 10.2.1 , essasistema di riferimento cartesiano sistema di ascissee eresta completamente individuata dalla scelta dei punti e .O U

Osservazione 10.2.2

Sia un sistema di riferimento cartesiano su . La funzione inversa è una corrispondenza biunivoca fra ef fe ‘"

e che “estende” la rappresentazione dei numeri razionali descritta in 1.9.

10.3 - La “rappresentazione decimale dei numeri reali.”

Mostriamo ora come si “rappresentano” i numeri reali, estendendo le considerazioni delle sezioni 1.7 e1.11 ( ) . Possiamo limitare la nostra discussione ai numeri reali positivi, convenendo semplicemente di23

associare ad ogni numero reale negativo la stessa rappresentazione decimale del suo opposto preceduta però dalsegno “ ”.

Sia , , , , una successione di cifre, e sia un numero naturale (scritto mediante la- - á - á 8" # 5

notazione posizionale). Diciamo che tale successione e il numero naturale individuano la 8 rappresentazionedecimale del numero reale (positivo) sse per ogni numero intero positivo il numero decimale limitato! 58 - - á-, (cfr. 1.11) è una approssimazione per difetto di a meno di (cfr. 1.10), ossia sse" # 5 ! 1

10 5

per ogni numero intero positivo , 0 , .5 Ÿ 8 - - á- Ÿ! " # 51

10 5

In tal caso, con notazione estremamente vaga si scrive , ; si dice anche che! œ 8 - - á- á" # 5

8 - - á- á, , e che " # 5 è la rappresentazione decimale di ammette la rappresentazione decimale! !8 - - á- á, ." # 5

Si noterà che la definizione appena riportata è identica a quella data in 1.11 per lo sviluppo decimaleillimitato di un numero razionale. Con la stessa dimostrazione del Teorema 1.11.9 si prova che

23 Anche in questa sezione la base adottata per la scrittura dei numeri in notazione posizionale è “dieci”.Vale la pena però di osservare che una trattazione del tutto analoga può essere svolta assumendo per base unqualunque numero naturale maggiore di “uno” ; e si parlerà, ad esempio, di “rappresentazione binaria” deinumeri reali se la base scelta è “due”, di “rappresentazione esadecimale” dei numeri reali se la base scelta è“sedici”, ecc. ecc. .


Teorema 10.3.1

Ogni scrittura della forma ,8 - - á- á" # 5

(con numero naturale e , , , , cifre) è la rappresentazione decimale di numero reale.8 - - á - á" # 5 al più un

Ma questa volta è facile vedere che

Teorema 10.3.2

Ogni scrittura della forma ,8 - - á- á" # 5

(con numero naturale e , , , , cifre) è la rappresentazione decimale di un numero reale.8 - - á - á" # 5

Dimostrazione - Sia l’insieme di tutti i numeri razionaliT8 - - á-, " # 5

con . Tale insieme non è vuoto ed è superiormente limitato (da 1) , dunque ha un estremo superiore .5 − 8 !Proviamo ora che , .! œ 8 - - á- á" # 5

In effetti, per ogni numero naturale si ha58 - - á- Ÿ 8 - - á- - Ÿ, , ." # 5 " # 5 5" !

Se poi esistesse un numero naturale per il quale5!! 8 - - á- , " # 5! 5!

1 10

ossia! 8 - - á- , " # 5! 5!

1 10

8 - - á- , sarebbe una limitazione superiore per minore di ; ma è l’estremo superiore di , e ciò" # 5! 5!

1 10 T T! !

sarebbe assurdo. Dunque, per ogni numero naturale si ha che5! 8 - - á- Ÿ, " # 5

1 10 5

e si è così completamente provato che , .! œ 8 - - á- á" # 5

Anche in questo caso

Teorema 10.3.3

Ogni numero reale ammette una rappresentazione decimale.


Con la stessa dimostrazione del Teorema 1.11.17 si prova infine che

Teorema 10.3.4

Se il numero reale ammette due rappresentazioni decimali distinte, allora! è un numero decimale finito, ossia , ;Ð3Ñ œ 8 - - á-! ! " # 5

posto 1 , le uniche rappresentazioni decimali di sonoÐ33Ñ , ³ - 5 5 !8 - - á- 8 - - á- , Ð Ñ, e , 9" # 5 " # 5" 5

(oppure, se : posto 1 , le uniche rappresentazioni decimali di sono! !œ 8 7 ³ 8 e , 9 ) .8 7 Ð Ñ

Esempio 10.3.5

Si indica con la misura della circonferenza con diametro unitario. Si ha11 œ á3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209

ma la rappresentazione decimale di non può essere scritto completamente in modo esplicito; la successione1delle sue cifre infatti non presenta alcuna “regolarità”.


10.4 - La radice sima di un numero reale.8

Sia , e sia . Si dice di , e si indica con , un numero reale 0+ − 8 − 8 + + < ‘ 8radice sima Ètale che sia .< œ +8

Teorema 10.4.1

Per ogni , e per ogni , esiste una e una sola radice sima di .+ − 8 − 8 +‘

Cenno sulla dimostrazione - Sia / x a . L’insieme è superiormente limitato (da seX Xœ ÖB − Ÿ × +‘ 8

+ B B œ +1, da 1 altrimenti) e dunque ha un estremo superiore : si dimostra che mostrando che non può! !8

essere né (nel caso 2, tale dimostrazione è identica a quella che abbiamo visto in 5.7.4).B + B + 8 œ! !8 8

Che la radice sima di sia unica segue poi dal fatto che 0 .8 + Ð B CÑ Ê ÐB C Ñ8 8

La nozione di si estende ai numeri reali negativi , ponendo radice n sima quando è dispari per8+ 80 e dispari 8 8È È+ ³ + .


Si dimostri che: se e è un numero naturale dispari,+ − 8‘8 8È+ B B œ + è l’unico numero reale tale che .

Esercizio 10.4.3

Si dimostri che:se e è un numero naturale pari, non esiste alcun numero reale tale che .+ − 8 B B œ +‘ 8

10.5 - Potenze in .‘

Sia un numero reale, e sia un numero naturale., !

Se 2, si dice di ed , e si indica con , il prodotto di fattori uguali a .! ! ! , , ,potenza base esponente !

Si pone poi e 1., ³ , , ³" !

Si dimostra facilmente che, comunque presi , e comunque presi , , valgono le proprietà+ , − −‘ ! " ™

10.5. 1 ;P Ð+,Ñ œ + ,! ! !

10.5. 2 ;P + œ + +! " ! "

10.5. .P3 Ð+ Ñ œ +! " !"

Sia un numero reale, e sia un numero intero positivo., !

Si dice di ed , e si indica con , il reciproco della potenza di base edpotenza base esponente, , ,! !

esponente , ossia .! , ³ Ð, Ñ "! !

Si dimostra facilmente che continuano a valere le proprietà 10.5. 1, 10.5. 2 e 10.5. 3 comunque presi ,P P P +, − −‘ ! " ™ e comunque presi , .


Teorema 10.5.1

Siano , e , tali che . Per ogni , si ha7 7 − 8 8 − œ , −" # " # 7 7

8 8™ ™ ‘" #

" #

8 87 7" #" #È È, œ , .

Dimostrazione - Procediamo per assurdo, e supponiamo che sia (ad esempio)8 87 7" #" #È È, , .

Poiché e sono per definizione maggiori di zero, si ha allora (per la ( ) del teorema 9.4.7)8 87 7" #" #È È, , @3

Š ‹ Š ‹È È8 87 78 8 8 8

" #" #" # " #

, , .D’altro lato, per la 10.5. 3,P

Š ‹ Š ‹È ÈŠ ‹ a b8 87 78 8 8 8

7 7 88" "" "" # " #

" " ##, œ , œ œ b be analogamente

Š ‹ Š ‹ Š ‹È È ÈŠ ‹ a b8 8 87 7 78 8 8 8 8 8

7 7 88# # ## # #" # # " # "

# # "", œ , œ , œ œ b b .

Pertanto , e ciò è assurdo perché per ipotesi ., , 7 8 œ 7 87 8 7 8" # # "

" # # "

Sia ora un numero reale positivo, e sia un numero razionale, con e ., œ 7 − 8 −! ! ™ ™78

Si dice di ed , e si indica con , la radice sima (cfr. 10.4) della potenzapotenza base esponente, , 8 ! !

di base ed esponente , ossia, 7

, ³ ,78

8 7È .

Per il teorema 10.5.1, la definizione data non dipende dalla particolare frazione scelta per78

rappresentare . Si può dimostrare che continuano a valere le proprietà 10.5. 1, 10.5. 2 e 10.5. 3 comunque! P P Ppresi , e comunque presi , .+ , − −‘ ! "

Teorema 10.5.2

Sia un numero reale positivo, e siano , numeri naturali. Sia ., ! " ! "Se 1, è ; se 1, è ., , , , , ,! " ! "

Dimostrazione - Supponiamo 1. Se 1, la dimostrazione è analoga e si ottiene da questa, , sostituendo il segno “ ” col segno “ ”.

Proviamo in primo luogo l’asserto per 0, procedendo per induzione su . Si tratta di dimostrare che! "œ, − œ" 1 per ogni . Se 1, non c’è niente da provare; supponiamo allora (ipotesi di induzione) che sia" ™ "

, ,"" 1. Per la 9.4. 2 si ottiene subito (essendo per ipotesi positivo) cheCO, œ † † " "b b b 1 1."

Proviamo ora l’asserto nel caso generale. Per quanto già dimostrato, è 1. Essendo positivo, ," ! !

(perché lo è), per la 9.4. 2 si ha 1 e quindi l’asserto, ricordando la 10.5. 2., , † , † ,CO P" ! ! !


Si estenda il teorema 10.5.2 al caso in cui , .! " −


Sia un numero reale maggiore di 1, e sia un numero reale. L’insieme, !ÖB − B œ , > ×‘ !/ con numero (reale) razionale minore o uguale ad >

non è vuoto, ed è superiormente limitato (per l’esercizio 10.5.3) da ogni numero reale della forma con , 88

numero (reale) razionale maggiore di . Tale insieme ha pertanto estremo superiore. Si dice di ed! potenza base ,esponente , e si indica con , l’estremo superiore di tale insieme, ossia! ,!

, ³ ÖB − B œ , > ×! sup / con numero (reale) razionale minore o uguale ad .‘ !>

Sia un numero reale positivo minore di 1, e sia un numero reale. L’insieme, !

ÖB − B œ , > ×‘ !/ con numero (reale) razionale minore o uguale ad >

non è vuoto, ed è inferiormente limitato (per l’esercizio 10.5.3) da ogni numero reale della forma con , 88

numero (reale) razionale maggiore di . Tale insieme ha pertanto estremo inferiore. Si dice di ed! potenza base ,esponente , e si indica con , l’estremo inferiore di tale insieme, ossia! ,!

, ³ ÖB − B œ , > ×! inf / con numero (reale) razionale minore o uguale ad .‘ !>

Si pone infine 1 1 per ogni . Si è così definita la potenza di base ed esponente per ogni! ³ − ,! ‘ !numero reale positivo e per ogni numero reale . Si noti che tale potenza risulta sempre essere un numero reale, !positivo.

Si può dimostrare che continuano a valere le proprietà 10.5. 1, 10.5. 2 e 10.5. 3 comunque presi ,P P P + ,− − −‘ ! " ! " ‘ e comunque presi , . Il teorema 10.5.2 può essere esteso al caso in cui , .


Si valuti se, e sotto quali ipotesi, la potenza può essere definita (in modo che continuino a valere le proprietà,!

10.5. 1, 10.5. 2 e 10.5. 3) per 0, esaminando questi casi: , , , .P P P , Ÿ − − − −! ™ ! ™ ! ! ‘

Teorema 10.5.5

Sia un numero reale positivo diverso da 1. L’applicazione : definita ponendo x, Ä Ð Ñ ³ ,exp exp, ,‘ ‘ B

è un isomorfismo tra i gruppi , e , .Ð Ñ Ð † Ñ‘ ‘

Dimostrazione - Per la 10.5. 2, è un omomorfismo tra i gruppi , e , . Poiché, come siP exp, Ð Ñ Ð † Ñ‘ ‘

è già detto, il teorema 10.5.2 può essere esteso al caso in cui , , è iniettiva. Omettiamo la! " ‘− exp,

dimostrazione della suriettività di .exp,

Sia un numero reale positivo diverso da 1, e sia : l’isomorfismo considerato nel teorema, Äexp, ‘ ‘

10.5.5. L’isomorfismo inverso (cfr. esercizio 8.3.2) tra i gruppi , e , si dice e siÐ † Ñ Ð Ñ ,‘ ‘ logaritmo in baseindica con . Si ha dunquelog,

C œ ÐBÑ Í , œ Blog, .C


Teorema 10.5.6

Siano , numeri reali positivi diversi da 1. Per ogni , si ha+ , B − ‘

log,ÐBÑ œ loglog

+

+

ÐBÑÐ,Ñ .

Dimostrazione - Dobbiamo provare che , ossia chelog log log+ + ,ÐBÑ œ Ð,Ñ † ÐBÑ

+ œ Blog log+ ,Ð,Ñ† ÐBÑ .In effetti,

+ œ + œ , œ Blog log log loglog+ , + ,

,Ð,Ñ† ÐBÑ Ð,Ñ ÐBÑÐBÑˆ ‰ .come si voleva.

Corollario 10.5.7

Siano , numeri reali positivi diversi da 1. Si ha+ ,log,Ð+Ñ œ 1

log+Ð,Ñ .

Dimostrazione - È conseguenza immediata del teorema 10.5.6 per .B ³ +


Si dica per quali valori di e si ha .B C ÐCÑ œ ÐBÑlog logB C


11.- IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI

11.1 - Definizione di .‚

Si indichi con l’insieme delle espressioni della forma con , (si tratta, in sostanza, dei‚ ‘+ , + , −3polinomi di grado non superiore a 1 a coefficienti in nell’indeterminata ). Si definiscono in le seguenti due‘ ‚3operazioni di “somma” e “prodotto” (che si indicano, come al solito, con e ): †

( ) ( ) ( ) ( + )+ , - . œ + - , .3 3 3( ) ( ) ( ) ( + )+ , † - . œ +- ,. +. ,-3 3 3

Si noti che la somma è l’ordinaria somma tra polinomi; la definizione del prodotto è riconducibile al prodotto frapolinomi qualora si convenga che 1.3 3† œ

Sia con , . Il numero reale si dice di , e si indica con ( ); il numeroz z zœ + , + , − +3 ‘ eparte realereale si dice di , e si indica con ( ); il numero reale si dice , + ,coefficiente dell’immaginario moduloz z\ È # #

di e si indica con .z z² ²

Teorema 11.1.1

( , , ) è un campo.‚ †

Dimostrazione - La dimostrazione di questo teorema non è difficile ma è un po’ lunga. La lasciamo allettore, limitandoci a osservare che l’inverso (cioè, il simmetrico rispetto al prodotto) dell’elemento èz

.e \Ð Ñ Ð Ñ² ² ² ²

z zz z# # 3

Teorema 11.1.2

Il campo dei numeri reali è (isomorfo a) un sottocampo di .‚

Dimostrazione - I numeri reali si possono identificare con gli elementi di della forma per i‚ + ,3quali è 0. Più rigorosamente: la funzione che associa al numero reale il numero complesso 0 è un, œ + + 3isomorfismo tra e un sottocampo di .‘ ‚

Esercizio 11.1.3

Calcolare: (1 )(2 3 ) (5 ) ; ; ; (3 2 ) . 3 3 3 3 3 3 3Š ‹ Š ‹ ˆ ‰1 3 22 2 2 2 13 13

3 2 2È È È$ #

11.2 - Il teorema fondamentale dell’algebra.

Il passaggio dall’insieme all’insieme e poi a , a e a è stato motivato, fra l’altro, anche dalla ™ ‘ ‚necessità di risolvere equazioni algebriche via via più complesse: la x 2 0, la 2 x 1, la x 2 0 e œ † œ œ#

infine la x 1 0. Nel campo questo discorso si chiude definitivamente.# œ ‚


Teorema 11.2.1

In , l’equazione x 1 0 nell’incognita x ha soluzione.‚ # œ

Dimostrazione - È immediato verificare che e sono entrambi soluzioni dell’equazione data.3 3

Teorema 11.2.2 ( )Teorema fondamentale dell’algebra

In , ogni equazione algebrica ha soluzione (ciò si esprime dicendo che è ).‚ ‚ algebricamente chiuso

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Notiamo che l’enunciato si riferisce aequazioni con coefficienti complessi; naturalmente, poiché i numeri reali si possono pensare come particolarinumeri complessi, anche ogni equazione a coefficienti reali ha soluzione .in ‚

Esempio 11.2.3

Si consideri l’equazione x 6x 13 0. Applicando la nota “formula risolutiva”, si trova# œ

x 3 3 3 13 da cuiœ „ † Èx 3 4 3 4 1 3 2 oppure x 3 4 3 4 1 3 2 .œ œ † œ œ œ † œ È È È È È È3 3

Teorema 11.2.4

Sia (x) un polinomio di grado a coefficienti in nell’indeterminata x, e sia il coefficiente di x in (x).p p8 +‚ 88

Si hap(x) (x ) (x ) (x )œ + †á † 8 " # >

7 7 7! ! !" # >

dove , , , sono tutte e sole le radici ( ) di (x) e .! ! !" # > " # >á 7 7 á 7 œ 824 p

Dimostrazione - Questo importante risultato è una semplice conseguenza del Teorema fondamentaledell’algebra. Lo dimostriamo procedendo per induzione sul grado di (x).8 p

Se 1, è (x) x , ossia (x) x , come si voleva. Supponiamo allora che8 œ œ + + œ + Ð Ð ÑÑp p" ! "++!

"

l’asserto sia vero per ogni polinomio di grado , e dimostriamolo per il generico polinomio di grado 1. Sia5 5 p(x) un polinomio di grado 1 a coefficienti in nell’indeterminata x, e sia il coefficiente di x in5 +‚ 5"

5"

p p p(x). Per il Teorema fondamentale dell’algebra, (x) ha una radice . Per il teorema di Ruffini, allora, (x) è!divisibile per x e dunque !

p q(x) (x ) (x)œ !dove (x) è un polinomio di grado in cui il coefficiente di x è . Per l’ipotesi di induzione,q 5 +5

5 "+q(x) (x ) (x ) (x )œ + †á † 5" " # =! ! !. . ." # =

dove , , , sono tutte e sole le radici di (x) e . Allora! ! ! . . ." # = " # =á á œ 5qp(x) (x )(x ) (x ) (x )œ + †á † 5" " # =! ! ! !. . ." # =

se è distinta da tutte le radici di (x), oppure! qp(x) (x ) (x ) (x )œ + †á † 5" " # =

"! ! !. . ." # =

se, ad esempio, . In ogni caso, è chiaro che l’asserto vale per (x) e dunque il teorema è! !œ Ð Ñ"25 p

completamente provato.

24 Si dice del polinomio (x) ogni soluzione dell' equazione algebrica (x) 0 nell' incognita x .radice p p œ25 Certamente , , , sono tutte radici di (x): lo si verifica sostituendo tali valori a x nell'! ! !" =á p

espressione di (x). D' altro lato, se , , , allora è ( 0 perche risulta´p p" ! ! ! "Á á Ñ Á" =

p( ) ( )( ) ( ) ( )" " ! " ! " ! " !œ + †á † 5" " # =. . ." # =

e i fattori a , ( ), ( ), ( ), , ( ) sono tutti non nulli.5" " # =" ! " ! " ! " ! á


Teorema 11.2.5

‚ non è un campo ordinato.

Dimostrazione - Questo fatto è la “tassa” da pagare per il teorema 11.2.1. Si veda l’osservazione 9.4.8.

Esercizio 11.2.6

Si consideri la seguente relazione in :‚z z z z z z z z" # " # " # " # sse ( ) ( ) ( ( ) ( ) e ( ) ( )).£ œ Ÿe e e e \ \oppure

Si dimostri che è una relazione di ordine totale in che “rispetta” la somma (nel senso che vale la 9.4. 1)£ ‚ COma “non rispetta” il prodotto (nel senso che non vale la 9.4. 2).CO

11.3 - Coniugio.

Sia un numero complesso ( , ). Si dice di , e si indica con , il numeroz z zœ + , + , − 3 ‘ coniugatocomplesso . La funzione che ad ogni numero complesso associa il suo coniugato si dice .+ , Ä3 ‚ ‚ coniugio

Teorema 11.3.1

Sia . Si ha se e solo se .z z z z− œ −‚ ‘

Dimostrazione - Sia con , . Si haz œ + , + , −3 ‘+ , œ + , Í , œ , Í , œ Í , œ3 3 2 0 0.

Teorema 11.3.2

Siano , . Si ha ( ) e ( ) .z w z w z w z w z w− œ † œ † ‚

Dimostrazione - Si tratta di una semplice verifica.

Teorema 11.3.3

Il coniugio è un isomorfismo che coincide col proprio inverso.‚ ‚Ä

Dimostrazione - Poiché ogni numero complesso coincide col coniugato del proprio coniugato, è facilevedere che il coniugio è una biiezione di in sé che coincide con la propria inversa. La validità delle condizioni‚espresse dalla definizione 9.2 segue poi dal teorema 11.3.2.

Teorema 11.3.4

Sia x) un polinomio a coefficienti reali. Se il numero complesso è radice di (x), anche è radice di (x).p z p z pÐ

Dimostrazione - Sia (x) x x x con , , . Per ogni ,p zœ + + á + + + á + − −8 8" " ! ! 88 8" ‘ ‚

p z z z z z z z p z( ) ( ).œ + + á + + œ + + á + + œ 8 8" " ! 8 8" " !

8 8" 8 8"

Se è radice di (x), ( ) 0 0 ( ) ( , ossia anche è radice di (x).z p p z p z p z z pœ œ œ œ Ñ


Teorema 11.3.5

Sia (x) un polinomio di grado a coefficienti in nell’indeterminata x, e sia il coefficiente di x in (x).p p8 +‘ 88

Si ha (x) (x) (x) (x)p p p pœ + † † † á †8 " # 5

dove (x) , (x) , , (x) sono polinomi di primo o secondo grado a coefficienti in per ciascuno dei qualip p p" # 5á ‘il coefficiente del termine di grado massimo è 1 .

Dimostrazione - Mostriamo che si può scriverep p q(x) (x) (x)œ "

con (x) polinomio di primo o secondo grado a coefficienti reali (nel quale il coefficiente del termine di gradop"

massimo è 1) e (x) polinomio a coefficienti reali di grado inferiore al grado di (x). Ragionando poiq panalogamente sul polinomio (x) così trovato, e iterando questo procedimento al più volte, si ottiene laq 8decomposizione cercata .Ð Ñ26

Per il Teorema fondamentale dell’algebra, (x) ha almeno una radice in . Se è un numero reale,p ! ‚ !per il teorema di Ruffini sarà

p q(x) (x ) (x)œ !con (x) polinomio di grado 1 a coefficienti reali. Se non è un numero reale, posto , per ilq 8 œ + ,! ! 3teorema 11.3.4 sappiamo che anche è radice di (x); essendo , (x) è divisibile per! ! ! œ + , Á3 p p

(x )(x ) (x )(x ) (x ) œ + , + , œ + ,! ! 3 3 # #

e dunque si può porre (x) ((x ) ) (x)p qœ + ,# #

con (x) polinomio di grado 2 a coefficienti reali.q 8

Corollario 11.3.6

Ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice in .‘

.

26 La dimostrazione può anche essere effettuata procedendo per induzione sul grado di (x), come si èpfatto per il teorema 11.2.4.


12.- CARDINALITÀ

12.1 - Equipotenza.

Siano , insiemi.A B

Si dice che è a se esiste una corrispondenza biunivoca tra e .A B A Bequipotente

Osservazione 12.1.1

Ogni insieme è equipotente a se stesso.

Dimostrazione - Sia un insieme: la funzione definita in 4.4.3 è una corrispondenza biunivoca traA idA

A A e .

Osservazione 12.1.2

Siano , insiemi. Se è equipotente a , allora è equipotente ad .A B A B B A

Dimostrazione - Se : è una corrispondenza biunivoca, : è una corrispondenzaf A B f B AÄ Ä"

biunivoca (cfr. 4.6).

Osservazione 12.1.3

Siano , , insiemi. Se è equipotente a e è equipotente a , allora è equipotente a .A B C A B B C A C

Dimostrazione - Se : e : sono corrispondenze biunivoche, : è unaf A B g B C g f A CÄ Ä Ä‰corrispondenza biunivoca (cfr. esercizio 4.7.5).

12.2 - Cardinalità.

Per quanto osservato in 12.1.1, 12.1.2 e 12.1.3, in ogni insieme i cui elementi siano insiemi la relazionedi “equipotenza” (definita in accordo con 12.1) è una relazione di equivalenza. Questo fatto suggerisceintuitivamente che tutti gli insiemi tra loro equipotenti abbiano in comune una proprietà astratta, che diremocardinalità. Osserviamo esplicitamente che per il teorema 3.3.3 non è possibile dare una definizione dicardinalità mediante il procedimento visto in 6.3.

Per “misurare” la cardinalità di un insieme dovremo considerare degli insiemi campione a due a duenon equipotenti. Per ogni numero naturale , sia8

I8 œ ÖB − Ÿ B Ÿ 8× / 1 .Gli insiemi , l’insieme e l’insieme sono tutti a due a due non equipotenti (cfr. teorema 12.3.3).I8 ‘

Sia un insieme. Se è equipotente a per un certo numero naturale , diremo che eA A I8 8 8ha cardinalitàscriveremo | | . Se è equipotente a , diremo che (si legge: aleph con zero) oppure che A Aœ 8 i ha cardinalità è!

numerabile ha la potenza del continuo e scriveremo | | . Se è equipotente a , diremo che e scriveremoA Aœ i! ‘| | .A œ -

L’insieme si dice se è equipotente a per un certo numero naturale ; si dice se non èA Ifinito infinito8 8finito.


Esempio 12.2.1

Il sottoinsieme di costituito dai numeri pari ha cardinalità . i!

Dimostrazione - La funzione definita in 4.4.1 è una corrispondenza biunivoca tra e l’insieme deinumeri naturali pari.

Raccogliamo qui di seguito alcuni importanti risultati sulla cardinalità degli insiemi; si vedano anche iteoremi 12.3.2, 12.3.3 e 12.3.5.

Teorema 12.2.2

| | . œ i!

Dimostrazione - L’ordinamento di descritto in 5.9.3 consente di enumerare i numeri razionali.Facendo corrispondere a 0 il primo numero naturale in tale enumerazione, a 1 il secondo, , a á 8l’( 1) simo, ecc., si stabilisce una biiezione fra e .8

Teorema 12.2.3

Se | | con , si ha | ( )| 2 .A Aœ 8 8 − œ c 8

Dimostrazione - Si veda 13.4.7.

Teorema 12.2.4

L’insieme dei numeri reali algebrici (cfr. 10.1) ha cardinalità .i!

Dimostrazione - Si può stabilire nell’insieme dei numeri reali algebrici un ordinamento totale conproprietà analoghe a quello definito per in 5.9.3 : ad ogni numero algebrico si associa polinomio un particolareche lo ha come radice, e poi si definisce l’ del polinomio in funzione dei suoi coefficienti. Laaltezzadimostrazione di questo teorema diviene così analoga a quella di 12.2.2.

Teorema 12.2.5

Siano , insiemi finiti, con | | e | | ( , ). Si haA B A Bœ 8 œ 7 8 7 − | | | | | | | | e | | .A B A B A B A B œ ‚ œ 87


Teorema 12.2.6

Il sottoinsieme (0, 1) di è equipotente a .‘ ‘

Dimostrazione - È facile verificare che la funzionef(x) xœ 1 1

2è una corrispondenza biunivoca tra (0, 1) e ( , ). D’altro lato, è noto dallo studio della trigonometria che la 1 1

2 2funzione (x) (“tangente trigonometrica”) è una corrispondenza biunivoca tra ( , ) e . Per l’osservazionetg 1 1

2 2 ‘

12.1.3 si ha l’asserto.


12.3 - Confronto tra cardinalità.

Siano , insiemi.A B

Se è equipotente a un sottoinsieme di , scriveremo (si dice talvolta in questo caso che A B A B B£domina ). Se e è equipotente a , scriveremo .A A B A B A B£ ¡non

In ogni insieme i cui elementi siano insiemi, definisce una relazione evidentemente riflessiva e£transitiva. Tale relazione non può in generale essere però antisimmetrica; infatti, se , sono insiemi distintiA Bequipotenti si ha e ma . Vale comunque il seguente famoso teorema, la cui dimostrazioneA B B A A B£ £ Áesula dai limiti di questi appunti:

Teorema 12.3.1 (Schroder-Bernstein)

Siano , insiemi. Se e , allora e sono equipotenti.A B A B B A A B£ £

Teorema 12.3.2

Se è un insieme infinito, e è un insieme tale che , si ha | | | | | |.A B B A A B A B A£ ‚ œ œIn particolare, | | | | (è chiaro infatti che la funzione che al numero complesso associa la coppia‚ ‘œ + ,3ordinata ( , ) è una corrispondenza biunivoca tra e ).+ , ‚‚ ‘ ‘


Teorema 12.3.3

| ( )| .c œ -

Dimostrazione - Sia ( ) l’insieme dei sottoinsiemi finiti di , e sia ( ) l’insieme dei sottoinsiemiY \ propri infiniti di . Si ha ( ) ( ) ( ) . Per il teorema 12.3.2, sarà sufficiente provare c Y \ œ Ö × Ð Ñ27

che | ( )| e | ( )| .Y \ œ i œ -!

Sia ( ), e sia ; associamo a il numero naturaleF max F F− 8 œY !

!83œ!

3!

;F( ) 23 †

(cioè il numero naturale la cui sima cifra nella rappresentazione in base 2 è 1 se e solo se ). È facile3 3 − Fverificare che si costruisce così una corrispondenza biunivoca tra ( e .Y Ñ

Sia infine ( ); associamo a quel numero reale nell’intervallo (0, 1) la cui rappresentazione inI I− \ base due è la funzione caratteristica di (cioè il numero reale la cui sima cifra nella rappresentazione in baseI 3 2 è 1 se e solo se ). Si costruisce così una corrispondenza biunivoca tra ( ) e il sottoinsieme (0, 1) di 3 − I \ ‘(cfr. teoremi 10.3.1, 10.3.2 e 10.3.4 ; notiamo che, poichè è infinito, nel teorema 10.3.4 si esclude laIrappresentazione limitata). Per il teorema 12.2.6, | ( )| .\ œ -

Mostriamo ora che esistono infinite cardinalità infinite.

27 Infatti, se ( ) è equipotente a che è incluso in che è equipotente a ( ), è chiaro che ( )Y ‘ \ \ domina ( ).Y


Teorema 12.3.4 (Cantor)

Per ogni insieme , è ( ).A A A¡ c

Dimostrazione - La funzione che all’elemento di associa l’elemento di ( ) è evidentementex A x AÖ × cuna corrispondenza biunivoca tra e un sottoinsieme di ( ); dunque, ( ). Resta da provare che non èA A A A Ac c£equipotente a ( ).c A

In effetti, non può esistere alcuna funzione da a ( ). Sia infatti : ( ). Postosuriettiva A A f A Ac cÄX a A a f aœ Ö − Â × / ( )

non esiste alcun elemento in per il quale si abbia ( ) . (Per un tale non potrebbe essere , perchéx A f x X x x Xœ −ne seguirebbe ( ) , né , perché -essendo ( )- ne seguirebbe ).x f x X x X X f x x XÂ œ Â œ −

Teorema 12.3.5

‘¡ .

Dimostrazione - L’asserto segue immediatamente dai teoremi 12.3.3 e 12.3.4.

Esiste un insieme tale che ? La supposizione che un tale insieme esista è nota comeA A ‘¡ ¡ nonipotesi del continuo ipotesi generalizzata del continuo. L’ afferma che esiste unper nessun insieme infinito Xinsieme tale che ( ).A X A X¡ ¡ c


Siano , insiemi, e siano , insiemi equipotenti rispettivamente ad e . Si provi che se e solo seA B A’ B’ A B A B£A’ B’ A B A B£ Ÿ £. Se ne deduca che è lecito convenire di scrivere | | | | quando .


13.- ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO

13.1 - Introduzione.

Sia dato un numero finito di oggetti ( ). A partire da questi, si possono con vari criteri8 8 − individuare “raggruppamenti” (espressione volutamente vaga, che potremo precisare solo caso per caso) di 5oggetti ( ). Ad esempio:5 − - scegliere oggetti, anche ripetuti;5 - scegliere oggetti tutti distinti fra loro (in questo caso dovrà essere );5 5 Ÿ 8 - come sopra, e inoltre stabilire un ordinamento degli oggetti scelti.

In ciascuno di questi casi, fissato cioè un certo criterio di formazione dei raggruppamenti, ha interessechiedersi quanti distinti raggruppamenti si possono formare col criterio dato (che cosa si debba intendere per“distinti” dipende dal criterio di formazione scelto). Il “calcolo combinatorio” risponde a questa domanda,fornendo in funzione di e il numero dei “raggruppamenti distinti” che si possono formare in base a ciascuno8 5dei criteri sopra elencati.

In tutto questo capitolo, . È ovvio, esupporremo fissato un insieme finito A a , a , , a8 " # 8œ Ö á ×lo osserviamo una volta per tutte, che quanto diremo non dipende in alcun modo dalla “natura” degli elementi ,a"

a a# 8, , ma solo dal numero naturale ; in particolare, non perdiamo in generalità nel ragionamentoá 8“etichettando” gli elementi di con i numeri naturali da 1 a (come abbiamo fatto apponendovi l’indice).A8 8

13.2 - disposizioni con ripetizione.5

Quante “colonne” bisogna giocare al “Totocalcio” per essere sicuri di “fare 13”? Tutte quelle possibili,ovviamente. E quante sono?

Abbiamo qui un insieme di tre “oggetti” (i simboli “1”, “X”, “2”): usandoli anche ripetutamentedobbiamo formare tutti i possibili raggruppamenti di 13 oggetti ordinati in tutti i modi possibili. Il primo oggettopuò essere scelto in tre modi diversi. Poiché ogni oggetto può apparire anche più volte, per ciascuna di queste trescelte ve ne sono tre possibili per il secondo oggetto; per ciascuna delle nove ( 3 3) possibilità così ottenuteœ †ve ne sono tre per la scelta del terzo oggetto; e così via, ottenendo in tutto 3 3 3 3 ( 1.594.323)† † á † œ œ"$

possibili “colonne” del “Totocalcio”. Formalizziamo ora questo ragionamento per il caso generale.

Sia un numero naturale.5

Si dice ( ) di , , , (o anche , , , 5 á á 5disposizione con ripetizione disposizione di a aa a a a a a" # 8 " # 8

5 5 ) ogni pla ordinata di elementi di (cioè ogni elemento del prodotto cartesiano ( ) ).A A8 85

Naturalmente l’espressione “con ripetizione” (che infatti abbiamo scritto fra parentesi) sta ad indicare lapossibilità, non l’obbligatorietà che qualche elemento di compaia più volte nella pla; le “ripetizioni” sonoA8 5 forzate solo se (come nell’esempio visto sopra).5 8

Teorema 13.2.1

Sia un numero intero positivo.5Il numero delle disposizioni (con ripetizione) di , , , è .5 á 8a a a" # 8

5

Dimostrazione - Si tratta di provare che |( ) | . Ciò si prova facilmente per induzione su A85 5œ 8 8

ricordando che per due insiemi finiti , si ha | | | | | | (cfr. 12.2.5).A B A B A B‚ œ †


Esercizio 13.2.2

Il codice di accesso a una banca dati è una sequenza ordinata di cinque caratteri alfanumerici (letteredell’alfabeto inglese e cifre) . Quanti sono i codici possibili?

Soluzione - Sono tanti quante le disposizioni con ripetizione di 36 ( 26 10) oggetti a 5 a 5, cioèœ 36 60.466.176.& œ

Esercizio 13.2.3

In una nazione, le automobili sono targate con sequenze ordinate di sei cifre; in un’altra, con sequenze ordinatedi cinque caratteri alfanumerici escludendo le lettere “I”, “O”, “Q”, “B” che possono dar luogo ad ambiguità dilettura da lontano. Quante auto possono essere targate con questi metodi?

Soluzione - Col primo metodo si possono targare 10 ( 1.000.000) auto; col secondo, 32' &œ œ33.554.432.

13.3 - disposizioni semplici.5

Supponiamo che ad una gara di atletica partecipino otto atleti. Quante sono le possibili disposizionidegli atleti sul podio al termine della gara? Prescindiamo naturalmente dalle capacità agonistiche degli atleti.

Abbiamo qui un insieme di otto elementi (gli atleti) con i quali dobbiamo formare tutti i possibiliraggruppamenti costituiti da tre elementi distinti ordinati in tutti i modi possibili. Il primo atleta può essere sceltoin otto modi diversi; per ciascuna di queste otto scelte ve ne sono sette possibili per il secondo; per ciascuna delle56 ( 7 8) possibilità così ottenute ve ne sono 6 per la scelta del terzo atleta. Si ottengono in tuttoœ †8 7 6 336 possibili disposizioni.† † œ

Le disposizioni che abbiamo considerato con questo esempio sono disposizioni: in esseparticolari 5 infatti gli elementi che compaiono sono tutti distinti; esse si dicono disposizioni semplici. Ne diamo adesso5 la definizione precisa.

Sia un numero naturale minore o uguale a .5 8

Si dice di , , , (o anche , , , 5 á á 5 +disposizione semplice disposizione semplice di aa a a a a a" # 8 " # 8

5 5 ) ogni pla ordinata di elementi di tutti distinti fra loro.A8

Quante sono le disposizioni semplici di oggetti? A differenza di quanto avviene per le5 8disposizioni con ripetizione, nel formare una disposizione semplice si può scegliere in modi diversi5 8soltanto il primo elemento; per la scelta del secondo si hanno 1 possibilità, per quella del terzo 2, e così8 8 via fino al simo per il quale si hanno soltanto ( 1) possibilità. Esistono perciò in tutto5 8 5 8 † 8 †á † 8 5 5 8( 1) ( 1) disposizioni semplici di oggetti.

Teorema 13.3.1

Sia un numero intero positivo minore o uguale a .5 8Il numero delle disposizioni semplici di , , , è ( 1) ( 1).5 á 8 † 8 †á † 8 5 a a a" # 8

Dimostrazione - Il ragionamento che abbiamo fatto sopra può essere formalizzato procedendo perinduzione. Basta osservare che da ogni ( 1) disposizione semplice di , , , si può ottenere una5 áa a a" # 8

5 8 5 œ 8 5 disposizione semplice “aggiungendo” uno dei restanti ( 1) ( 1) elementi: con questacostruzione, ogni ( 1) disposizione semplice dà luogo a 1 disposizioni distinte; d’altro lato,5 8 5 5 ( 1) disposizioni semplici distinte danno luogo a disposizioni semplici distinte (perchè differiscono in5 5 uno dei primi 1 elementi). Dunque, se il numero delle ( 1) disposizioni semplici distinte è , il5 5 D5"

numero delle disposizioni semplici è ( 1) .5 8 5 † D5"


Procediamo allora per induzione su . Se 1, è immediato che le 1 disposizioni semplici di , ,5 5 œ a a" #

á 8 2 , sono . Supponiamo allora (ipotesi di induzione) che le disposizioni semplici sianoa8

8 † 8 †á † 8 2 2 á( 1) ( 1); per quanto sopra osservato, le ( 1) disposizioni semplici di , , ,a a a" # 8

sono ( ( 1) ( 1)) ( ), come si voleva.8 † 8 †á † 8 2 † 8 2

Esercizio 13.3.2

Quante bandiere tricolori (formate da tre bande verticali colorate) si possono formare con cinque coloriassegnati?

Soluzione - La risposta è 5 4 3 60.† † œ

Particolare importanza riveste il caso : il problema non è in questo caso quello di gli5 œ 8 scegliereelementi (vanno presi tutti!) ma quello di . Il numero dei modi distinti in cui ciò si può fare èordinarli8 † 8 †á † † † 8( 1) 3 2 1, cioè il prodotto dei primi numeri naturali: tale numero si indica con

8 8! (leggi: “ fattoriale”).

Osservazione 13.3.3

Ricordiamo (cfr. 4.4) che si dice su ogni corrispondenza biunivoca . Ognipermutazione A A A8 8 8Äpermutazione di individua una disposizione semplice di , , , , precisamente la1 A a a a8 " # 88 á

( ( ), ( ), , ( ) );1 1 1a a a" # 8áè chiaro che permutazioni distinte individuano disposizioni distinte e che si ottengono così tutte le8 8 á 8disposizioni semplici di , , , . Dunque i due concetti (permutazione su , disposizionea a a A" # 8 8

semplice di , , , ) si possono identificare.a a a" # 8á

Con la notazione sopra introdotta, e ponendo per comodità 0! 1, possiamo riformulare l’enunciato delœteorema 13.3.1:

Teorema 13.3.4

Sia un numero intero positivo minore o uguale a .5 8Il numero delle disposizioni semplici di oggetti a a è . In particolare, il numero delle permutazioni8 5 5 !

( ) 8

85 !su oggetti è !.8 8

Esercizio 13.3.5

Quante sono le possibili classifiche finali di un campionato di calcio a 18 squadre? Naturalmente prescindiamo,anche qui, dalle capacità agonistiche delle squadre.

Soluzione - La risposta è: 18! ( 6.4 10 ).¶ † "&

Esercizio 13.3.6

Una certa emittente televisiva privata trasmette solo film. In quanti modi diversi può organizzare un palinsesto di5 film scegliendoli tra 7 titoli?

Soluzione - La risposta è ( 7 6 5 4 3 2.520). 7! 2! œ † † † † œ


Esercizio 13.3.7

Quanti anagrammi (a prescindere dal senso) si possono ottenere dalla parola “ramo”? E quanti dalla parola“mamma”?

Soluzione - Gli anagrammi di “ramo” sono tanti quante le permutazioni su 4 oggetti, ossia 4! ( 24). Seœanagrammiamo la parola “mamma”, non ha senso distinguere fra loro gli anagrammi che differiscono per unapermutazione sulle tre “m”, o quelli che differiscono per una permutazione sulle due “a”. Si ottengono dunque

5! 3! 2! † anagrammi distinti.

13.4 - combinazioni semplici.5

Supponiamo che un giornale quotidiano lanci un concorso basato sulle quotazioni in borsa di 48 titolinumerati da 1 a 48. Vengono distribuite tesserine contenenti ciascuna 8 numeri diversi compresi tra 1 e 48;quante diverse tesserine possono essere distribuite? Si noti che i numeri su ciascuna tesserina sono sempredisposti in ordine strettamente crescente: ciò significa che dobbiamo formare tutti i possibili raggruppamenti di 8numeri distinti (scelti tra 1 e 48) ’ (perché tale ordine restasenza poterli distinguere in base all ordine dei numeriunivocamente determinato dalla scelta dei numeri).


Si dice di , , , (o anche , , , 5 á á 5combinazione semplice combinazione semplice di aa a a a a a" # 8 " # 8

a ) ogni pla ordinata ( , , , ) per la quale sia .5 5 á á a a a i i i3 3 3 " # 5" # 5

È utile (lo vedremo più avanti) formalizzare la definizione di combinazione semplice utilizzando,5 come abbiamo fatto, la nozione di pla ordinata; bisogna però aver ben chiaro che ’5 l ordinamento èdeterminato dagli elementi solo dalla scelta, e quindi le combinazioni semplici sono individuate degli5 elementi, e non dal loro ordinamento. Lo ribadiamo col seguente teorema:

Teorema 13.4.1

Le combinazioni semplici di , , , sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di , ,5 á Öa a a a a" # 8 " #

á × 5, che hanno cardinalità .a8

Dimostrazione - Sia l’insieme delle combinazioni semplici di , , , , e sia l’insieme deiV f5 áa a a" # 8

sottoinsiemi di formati da elementi.A8 5

Sia : la funzione che alla combinazione semplice ( , , , ) associa l’insieme , ,f a a a a aV fÄ 5 á Ö3 3 3 3 3" # 5 " #

á × 3 3 á 3 á, (poiché per ipotesi , gli elementi , , , sono tutti distinti e dunquea a a a3 " # 5 3 3 35 " # 5

effettivamente , , , ). Proviamo che è suriettiva: se , , , , riordinandoÖ á × − Ö á × −a a a f a a a3 3 3 4 4 4" # 5 " # 5f f

opportunamente i suoi elementi possiamo ottenere una combinazione semplice, la cui immagine mediante è5 fproprio , , , . Proviamo infine che è iniettiva: combinazioni semplici che hanno la stessaÖ á × 5 a a a f4 4 4" # 5

immagine mediante sono formate dagli stessi elementi; poiché tali elementi possono essere ordinati f in un solomodo rispettando la condizione che gli indici siano strettamente crescenti, le combinazioni semplici da cui5 eravamo partiti devono coincidere.

Teorema 13.4.2

Sia un numero naturale minore o uguale a .5 8Il numero delle combinazioni semplici di , , , è .5 áa a a" # 8 85

n! k! !†( )

Dimostrazione - Sia l’insieme delle disposizioni semplici di , , , . Definiamo in laW W5 áa a a" # 8

seguente relazione: ( , , , ) ( , , , ) se e solo se esiste una permutazione su , , ,a a a a a a3 3 3 4 4 4 " # 5" # 5 " # 5á µ á 3 3 á 31

tale che ( ) , ( ) , , ( ) .1 1 13 œ 3 œ á 3 œ" " # # 5 5j j j


Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza su , e che ogni combinazione sempliceµ 5 Wappartiene ad una e una sola classe di equivalenza. Ogni classe di equivalenza ha ! elementi (perchè le5

permutazioni su oggetti sono !, cfr. 13.3.4), dunque le classi di equivalenza sono . Questo è5 5 œ | | ! ! ( )

!W5 5 † 85

8!

anche il numero delle combinazioni semplici di , , , .5 áa a a" # 8


Il numero si indica con (leggi: “ su ”). Tutti i numeri della forma (con ) si85 † 85 5 5

8 8! ! ( )

!

ˆ ‰ ˆ ‰8 5 5 Ÿ 8

dicono .coefficienti binomiali

Possiamo così riformulare il teorema 13.4.2:

Teorema 13.4.3

Sia un numero naturale minore o uguale a .5 8Il numero delle combinazioni semplici di , , , è .5 áa a a" # 8

85

ˆ ‰

Esempio 13.4.4

Il numero delle tesserine contenenti ciascuna 8 diversi numeri naturali compresi tra 1 e 48 èˆ ‰ 48 8 8 7 6 5 4 3 2

48 47 46 45 44 43 42 41œ œ† † † † † † †† † † † † † 377.348.994.

Il teorema che segue espone le relazioni più importanti che intercorrono fra i coefficienti binomiali: sudi esse, fra l’altro, è fondata la regola pratica per il calcolo dei coefficienti binomiali.

Teorema 13.4.5

Sia un numero naturale minore o uguale a . Si ha5 8( ) ; ( ) ;+ œ , œ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 1 1

1 8 8 8 8 85 85 5 5 5

( ) ; ( ) 1.- 5 † œ 8 † . œˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 1 1 0 8 8 85 5

Dimostrazione - Si tratta di semplici verifiche.

Proviamo la ( ) .+

ˆ ‰ ˆ ‰ ( )! ( ( ))! ( )! ! ! ( )!

! ! !8 885 85 † 8 85 85 †5 5 † 85 5

8 8 8œ œ œ œ .

Proviamo la ( ) . Si ha ., œ ˆ ‰ ˆ ‰ 1 1 1 ! ( 1)! ( 1)! ( )!

( 1)! ( 1)!8 85 5 5 † 85 5 † 85

8 8

Riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni al secondo membro; a tale scopo, moltiplichiamo la primaper e la seconda per .85 5

85 5

Si ottiene .( 1)! ( ) ( 1)! ( 1)! ( ) ! ( )! ! ( )! ! ( )! ! ( )!

! 8 † 85 8 †5 8 † 8555 † 85 5 † 85 5 † 85 5 † 85 5

8 8 œ œ œ ˆ ‰Proviamo la ( ) . Si ha-

5 † œ 5 † œ œ 8 † œ 8 †ˆ ‰ ˆ ‰ 1 ! ( )! ( 1)! ( )! ( 1)! ( )! 1

! ! ( 1)!8 85 5 † 85 5 † 85 5 † 85 5

8 8 8 .

Proviamo infine la ( ) . Si ha. ˆ ‰ 0 0! ( 0)! !

! !8 8 8† 8 8œ œ œ 1.


Applicando le relazioni espresse dal teorema 13.4.5 si costruisce il (detto anchetriangolo di Tartagliatriangolo di Pascal), riportando su righe successive i coefficienti binomiali in modo che (numerando leˆ ‰

85

righe con 0, 1, 2, ) la riga sima consista nell’ordine dei numeri , , , .á 8 áˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 0 1 8 8 8

8

Precisamente: - Il primo e ultimo numero di ogni riga è 1 (per la ( ) del teorema 13.4.5, tenendo conto della ( ));- + - Ogni numero di ciascuna riga, eccetto il primo e l’ultimo, è la somma dei due numeri immediatamentesoprastanti (per la ( ) del teorema 13.4.5);, - Lo schema è simmetrico rispetto a un asse di simmetria verticale (per la ( ) del teorema 13.4.5).+

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema 13.4.6

Sia ( , , ) un campo. Se , , si haF a b F † −

( ) .a b a a b ab b a b œ á œ8 8 8" 8" 8 85 58 8 8 8 88 8 5

8

5œ

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰! 0 1 1

0

Dimostrazione - Valutiamo il polinomio ( ) . Si haa b 8

( ) ( ) ( ) ( ) ( volte).a b a b a b a b œ † †á † 88

L’espressione al secondo membro si sviluppa nella somma di prodotti ottenuti scegliendo uno dei due termini ,ab per ciascuno degli fattori in tutti i modi possibili. Tali prodotti, per la proprietà commutativa della8moltiplicazione, si possono scrivere tutti nella forma

a b5 85

(notiamo che la somma degli esponenti deve essere ).8Fissiamo l’attenzione su un particolare valore di : quante diverse scelte dei termini , danno luogo al prodotto5 a ba b a b a5 85

3? “Etichettiamo” ogni fattore ( ) con un ( 1, , ); ogni scelta che comprende 3 œ á 8 5esattamentevolte “ ” corrisponde a un sottoinsieme di di cardinalità (formato da quei elementi che “etichettano” ia A8 5 5fattori dai quali è stato scelto “ ”): dunque (per 13.4.1 e 13.4.3) nello sviluppo di ( ) vi sono esattamentea a b 8ˆ ‰

85

5 85 termini della forma . Da ciò segue l’asserto.a b

I numeri della forma con , e si dicono proprio perchéˆ ‰ 85 8 5 − 5 Ÿ 8 coefficienti binomiali

compaiono come coefficienti nello sviluppo della potenza sima del binomio .8 a b

Teorema 13.4.7

| ( )| 2 .c A85œ

Dimostrazione - Per ogni numero naturale , esistono esattamente sottoinsiemi di aventi5 Ÿ 8 ˆ ‰ 85 8A

cardinalità (cfr. 13.4.1 e 13.4.3). Dunque, | ( )| . D’altro lato, applicando in il teorema 13.4.65 œc ‘A8

8

5œ!

85

! ˆ ‰

con 1, si ottiene 1 1 (1 1) 2 .a bœ œ œ † œ œ! !ˆ ‰ ˆ ‰8 8

5œ! 5œ!

8 85 5

85 5 8 8


13.5 - combinazioni con ripetizione.5

Supponiamo di avere a disposizione una quantità illimitata di palline di tre colori: rosso, verde, azzurro.Quanti sacchetti “diversi” di sette palline possiamo formare? (Due sacchetti si considerano “diversi” sedifferiscono per il numero delle palline di uno almeno dei tre colori). È chiaro che questo non può essereinterpretato come un problema di dei tre colori dati (l’ordine delle palline non conta!); non si trattadisposizioniperò nemmeno di , perché i colori possono (in questo esempio, devono) essere ripetuti.combinazioni semplici

Se l’esempio delle palline colorate sembra troppo frivolo, si pensi a quest’altro problema: quanti terminiha il polinomio omogeneo generale di grado sette nelle tre indeterminate x, y, z ? La risposta è data dal numerodei monomi “diversi” della forma x y z con , , e 7; ciascuno di questi monomi è un! " # ! " # ! " #− œ“sacchetto” di sette lettere scelte tra x, y, z. Questo problema ha dunque la stessa soluzione del precedente.

Sia un numero intero positivo.5

Si dice di , , , (o anche ,5 ácombinazione con ripetizione combinazione con ripetizione dia a a a" # 8 "

a a a a a# 8 3 3 3 " # 5, , ) ogni pla ordinata ( , , , ) per la quale sia .á 5 5 5 á 3 Ÿ 3 Ÿ á Ÿ 3a a" # 5

Notiamo che in questa definizione, come già in quella di combinazione semplice, la scelta degli5 elementi determina il loro ordinamento; solo tale scelta caratterizza dunque le combinazioni.a34 5

Teorema 13.5.1

Sia un numero intero positivo.5

Il numero delle combinazioni con ripetizione di , , , è .5 áa a a" # 885

5ˆ ‰1

Dimostrazione - Sia l’insieme delle combinazioni con ripetizione di , , , , e sia V ^Ð Ñ" # 8

r 5 áa a al’insieme delle combinazioni semplici di 1, 2, , 1.5 á 8 5

Per provare l’asserto, sarà sufficiente dimostrare che la funzione : ( ) che alla plaf A85 5Ä 5

ordinata ( , , , ) associa la pla ordinata ( , 1, 2, , 1) è una corrispondenzaa a a a3 3 3 3 " # $ 5" # $ 5á 5 3 3 3 á 3 5

biunivoca tra e .V ^Ð Ñr

Osserviamo in primo luogo che ( ) . In effetti, se 1 , si haf V ^Ð Ñ" # $ 5

r § Ÿ 3 Ÿ 3 Ÿ 3 Ÿ á Ÿ 3 Ÿ 8certamente 1 1 2 1 1.Ÿ 3 3 3 á 3 5 Ÿ 8 5 " # $ 5

Inoltre, è iniettiva (se due combinazioni con ripetizione differiscono per la sima componente,f j5 ciò avviene anche per le corrispondenti ( 1) combinazioni). Resta da provare che è suriettiva. Sia8 5 f( , , , ) ; allora 1 1, da cui4 4 á 4 − Ÿ 4 4 á 4 Ÿ 8 5 " # 5 " # 5^1 1 2 1 e quindi ( , , , ) ; ma, chiaramente,Ÿ 4 Ÿ 4 Ÿ 4 Ÿ á Ÿ 4 5 á −" # $ 5 3 3 " 3 # 3 "

Ð Ña a a a" # $ 5

V r

f a a a a( , , , , ) ( , , , ). L’asserto è così completamente provato.4 4 " 4 # 4 5" " # 5" # $ 5á œ 4 4 á 4

Siamo in grado ora di risolvere il problema (anzi, i due problemi) da cui eravamo partiti. La risposta èˆ ‰ ˆ ‰ 3 7 1 9 7 7

œ .

Esercizio 13.5.2

Quanti sono i numeri di 6 cifre nei quali ogni cifra è maggiore o uguale alla successiva? (Sono esempi di talinumeri: 755420, 555555, 654311.)

Soluzione - I numeri considerati restano individuati dalle 6 combinazioni con ripetizione delle 10 cifre(bisogna escludere la (0, 0, 0, 0, 0, 0), che non corrisponde a un numero di sei cifre); sono dunqueˆ ‰ ˆ ‰10 6 1 15

6 6 œ œ1 1 5004.


13.6 - Esercizi di ricapitolazione.

13.6.1

È dato un insieme finito . Se il numero dei sottoinsiemi di che hanno cardinalità 5 è uguale al numero deiX Xsottoinsiemi di che hanno cardinalità 3, qual è la cardinalità di ?X X

Soluzione - Sia | | . Per ipotesi, , ossiaX œ 8 œˆ ‰ ˆ ‰ 5 3 8 8

( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 1) ( 2) 5 4 3 2 3 2

8† 8 † 8 † 8 † 8 8† 8 † 8† † † †œ

da cui ( 3) ( 4) 20.8 † 8 œTale equazione di secondo grado nell’incognita ha la sola radice positiva 8. Dunque 8.8 8 œ ± ± œX

13.6.2

Sono dati nel piano 10 punti, fra i quali non ve ne sono tre allineati. Quante rette si ottengono congiungendoli adue a due? Quanti triangoli hanno tutti i vertici fra quei punti?

Soluzione - Due punti individuano una retta; poiché fra i punti dati non ve ne sono tre allineati, coppiedistinte di punti individuano rette distinte. Dunque si ottengono

ˆ ‰ 10 2 œ 45

rette.I triangoli sono individuati dalla scelta dei vertici; il loro numero è quindi

ˆ ‰ 10 3 œ 120.

13.6.3

Quanti sono gli ambi che si possono giocare al lotto? Quanti di essi vengono estratti su ogni ruota? E i terni? E lecinquine?

Soluzione - Gli ambi che si possono giocare sono 4005. Di questi ne vengono estratti su ogniˆ ‰ 90 2 œ

ruota 10.ˆ ‰ 5 2 œ

I terni che si possono giocare sono 117.480. Di questi ne vengono estratti su ogni ruota 10.ˆ ‰ ˆ ‰ 90 5 3 3 œ œ

Le cinquine che si possono giocare sono 43.949.268. Di queste ne viene estratta una su ogni ruota.ˆ ‰ 90 5 œ

13.6.4

Quante sono le possibili “mani” al poker (distribuzioni di 5 carte) giocando con 32 carte? Quante di esse hannoun “poker” servito? Quante una coppia di assi?

Soluzione - Le possibili mani sono 201.376. I possibili poker sono 8, e ciascuno di essi puòˆ ‰ 32 5 œ

essere “completato” (per raggiungere la “mano” di 5 carte) con una qualsiasi delle restanti 28 carte; in tutto,8 28 224 possibilità.† œEsaminiamo ora quante “mani” hanno di assi. Le possibili coppie di assi sono 6;esattamente una coppia ˆ ‰ 4

2 œ

le possibili scelte di tre carte per completare la “mano” sono 3.276; in tutto dunque vi sono 19.656ˆ ‰ 28 3 œ

“mani” che hanno di assi. Allo stesso modo si vede che le mani con diesattamente una coppia esattamente un trisassi sono 1512, e quelle con quattro assi sono 28. In tutto, 4816 possibilità.ˆ ‰ ˆ ‰ 4 28

3 2 † œ

13.6.5

In quanti modi si possono allineare persone con la condizione che due (prestabilite) di esse stiano accanto?5


14.- I VETTORI LIBERI

14.1 - Orientamento della retta e del piano.

Sia una retta (che, come convenuto in 1.4, pensiamo come insieme di punti). Una relazione in sir r£dice un su severso r è una relazione di ordine totale in Ð3Ñ £ re inoltre comunque presi , ,Ð33Ñ −A B r

se , allora per ogni punto del segmento .A B A P B P AB¡ £ £qq

Una retta si dice se è dato su di essa un verso.orientata

Teorema 14.1.1

Sia una retta, e siano , punti distinti di . Esiste uno e un solo verso su per il quale .r r rA B A B¡


Sia una retta, e siano , punti distinti di . Si dice ,r rA B A Bverso individuato dalla coppia ordinata Ð Ñquel verso su (univocamente determinato, per il teorema 14.1.1) per il quale precede .r A B

Corollario 14.1.2

Sia una retta. Esistono esattamente due versi su .r r

Dimostrazione - Siano , due punti distinti di . Per il teorema 14.1.1, su esiste esattamente un versoA B r rper il quale precede , ed esattamente un verso (necessariamente distinto dal precedente) per il quale A B Bprecede ; ma, d’altro lato, per ogni verso su deve aversi che precede oppure precede .A A B B Ar

Sia una retta. I due versi su si dicono l’uno dell’altro.r r opposti

Siano una retta orientata, una retta parallela a , e : l’applicazione che ad ogni punto di r s r s r s1 Äassocia la sua proiezione ortogonale su . La relazione in definita ponendo per ,r s s¡ −< P P" #

P P P P" # " #¡ Í Ð Ñ ¡ Ð Ñ< in 1 1 rè un verso su , che si dice da quello di . Si può dimostrare che scegliendo anziché la proieziones rindottoortogonale la proiezione secondo un’altra qualsiasi direzione fissata si indurrebbe su ancora lo stesso verso.s

Siano , due rette parallele entrambe orientate; si dice che e (o anche che ,r s r s r hanno lo stesso versos s r sono ) se il verso fissato su coincide con quello indottovi dal verso fissato su (inconcordemente orientatecaso contrario si dice che e oppure che sono ). La relazionee s hanno verso opposto discordemente orientate“avere lo stesso verso” così definita è una relazione di equivalenza nel fascio delle rette parallele a e .r s


Osservazione 14.1.3

Si estende facilmente a rette genericamente disposte il procedimento per indurre il verso mediante proiezionesecondo una direzione assegnata, sopra descritto nel caso di rette parallele. C’è però da osservare in primo luogoche la scelta della direzione secondo cui proiettare influisce in modo essenziale sulla costruzione; infattiproiettando secondo direzioni diverse si possono indurre versi opposti. Inoltre, anche fissato un criterio perdecidere la direzione secondo cui effettuare la proiezione, si trova che nell’insieme di tutte le rette del piano larelazione “avere lo stesso verso” non risulta transitiva (e quindi non è una relazione di equivalenza).


Si dia un esempio di relazione di ordine totale in una retta che non sia un verso (per la quale, cioè, non valga laÐ33Ñ).

Osservazione 14.1.5

In qualche occasione (cfr. ad es. 15.2 e A2.2) avremo bisogno di stabilire un . Nonorientamento per il pianoprecisiamo qui formalmente, come invece si è fatto per la retta, che cosa significhi ; diciamoorientare il pianosolo, in modo grossolano, che si tratta di stabilire un “buon” criterio che consenta, per ogni terna ordinata dipunti non allineati del piano, di dichiararla “positivamente orientata” oppure “negativamente orientata”.Nel seguito accetteremo la seguente convenzione informale. Sia ( , , ) una terna ordinata di punti nonA B Callineati del piano; essi individuano una circonferenza . Se per incontrare , , nell’ordine dato la> A B Ccirconferenza va percorsa nel senso positivo (cioè, in senso antiorario), la terna ( , , ) si dice > A B C positivamenteorientata ; se invece per incontrare , , nell’ordine dato la circonferenza va percorsa nel senso negativoA B C >(cioè, in senso orario), la terna ( , , ) si dice . è importante notare che questaA B C negativamente orientataconvenzione non costituisce una vera e propria definizione, perché il significato delle espressioni “incontrare” e“percorrere in senso antiorario” non è stato precisato rigorosamente ma viene lasciato all’intuizione.

14.2 - Vettori applicati. La relazione di .equipollenza

Siano , punti dello spazio. La coppia ordinata ( , ) si dice anche e, quando si usaA B A B vettore applicatoquesto termine, si indica col simbolo . Si noti che può essere ; in questo caso, il vettore applicato siAB A B

qpœ

dice .nullo

Si dice del vettore applicato non nullo , e si indica con , il numero reale positivomodulo AB ABqp qp

² ²d( , ).A B

Si dice del vettore applicato non nullo la direzione della retta (cfr. 6.3.3).direzione AB ABqp

Siano , vettori applicati non nulli aventi la stessa direzione; si dice che e AB CD AB CDqp qp qp qp

hanno lo stessoverso se individuano lo stesso verso sulle rette e .AB CD

Al vettore applicato nullo si assegna modulo 0 (in accordo col fatto che ( , ) 0) ma non siAA A Aqp

œdassegna una direzione né se ne confronta il verso con quello di altri vettori applicati.

Due vettori applicati si dicono seequipollenti - sono entrambi nullioppure - sono entrambi non nulli, ed hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso.


Osservazione 14.2.1

La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza nell’insieme dei vettori applicati.

Dimostrazione - Si tratta di una verifica pressoché immediata.

Teorema 14.2.2

Siano , , , punti dello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinché il vettore applicato siaA B C D ABqp

equipollente al vettore applicato è che il punto medio del segmento coincida col punto medio delCD ADqp

segmento . In particolare: se , , , non sono allineati, è equipollente a se e solo se è unBC A B C D AB CD ABDCqp qp

parallelogramma.

Dimostrazione - Se i punti , , , appartengono tutti a una stessa retta il teorema è immediato;A B C Ddunque possiamo supporre che le rette e siano distinte. Se è equipollente a , è unAB CD AB CD ABDC

qp qp

parallelogramma perché ha i lati opposti congruenti e paralleli; dunque le sue diagonali si intersecano nel loropunto medio, come si voleva dimostrare. Viceversa, supponiamo che il punto medio del segmento siaM ADanche punto medio del segmento : allora i quattro punti , , , sono complanari, e i triangoli eBC A B C D AMBCMD AMB CMD^ ^ sono congruenti per il primo criterio (gli angoli e sono congruenti perché opposti al vertice) ;ne segue che

Ð Ñ1 le rette e sono parallele perché formano con angoli alterni interni congruenti;AB CD AD

Ð Ñ2 i segmenti e sono congruenti;AB CD

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ3 le coppie ordinate , e , inducono lo stesso verso sulle rette e , come si verificaA B C D AB CDproiettando nelle direzione della retta ;BC

e dunque è equipollente a , come si voleva dimostrare.AB CDqp qp

Teorema 14.2.3

Comunque scelti i punti , , , esiste uno e un solo punto tale che il vettore applicato è equipollente alA B C D CDqp

vettore applicato .ABqp

Dimostrazione - Supponiamo in primo luogo che i punti , , appartengano a una stessa retta ; alloraA B C rD C AB è uno (e uno solo) dei due punti di che hanno distanza da uguale al modulo di .r

qp

Supponiamo invece ora che , , non siano allineati. Sia la retta per parallela alla retta , e siaA B C C ABrP B AC P’ P C l’intersezione fra e la retta per parallela alla retta ; sia il punto di simmetrico di rispetto a . Ir rvettori applicati e hanno entrambi modulo e direzione uguali al modulo e alla direzione di , edCP CP’ AB

qp qp qp

hanno inoltre versi opposti: sarà dunque oppure ; si può concludere che utilizzando ilD P D P’ D Pœ œ œteorema 14.2.2 .

14.3 - I vettori liberi.

Sia l’insieme dei vettori applicati. Si dice una classe di equivalenza di rispetto allai iA Avettore liberorelazione di equipollenza definita in 14.2. Il generico vettore libero si indica usualmente con una letterasottolineata, ad es.: , , , , . L’insieme dei vettori liberi si indica con .v w a b c– – – – – i$


Se è un vettore applicato, la classe di equivalenza (rispetto alla relazione di equipollenza) a cuiABqp

appartiene è dunque un vettore libero ; spesso si scrive . Si dice che è un diAB v v B A AB– –qp qp

œ rappresentantev AB v– –; naturalmente, ogni vettore applicato equipollente ad è ancora un rappresentante di . I vettori applicati

qp

nulli costituiscono una classe di equivalenza, che si dice ( ) e si indica con .vettore libero nullo 0–Sia un vettore libero non nullo. Modulo, direzione e verso di un qualunque rappresentante di siv v– –

dicono rispettivamente , e di (il modulo di si indica con ). Al vettore nullo simodulo direzione verso v v v– – –² ²assegna modulo 0 ma non si assegnano direzione né verso.

Due vettori liberi non nulli si dicono se hanno la stessa direzione; si dicono (oparalleli ortogonaliperpendicolari) se hanno direzioni ortogonali . Si conviene che il vettore nullo sia parallelo e ortogonale adÐ Ñ28

ogni vettore libero.

Talvolta (noi lo faremo nei capitoli 15, 16 e 17) si considera il sottoinsieme di formato dai vettorii i# $

liberi paralleli a un piano fissato. si dice .i# insieme dei vettori liberi del piano

Teorema 14.3.1

Comunque scelti il punto e il vettore libero , esiste uno e un solo punto tale che il vettore applicato C v D CD–qp

rappresenta , ossia tale che .v v D C– – œ

Dimostrazione - Sia ; allora il vettore applicato rappresenta . Per il teorema 14.2.3,v B A AB v– –œ qp

esiste uno e un solo punto tale che il vettore applicato è equipollente al vettore applicato ; ma alloraD CD ABqp qp

CD v–qp

rappresenta , come si voleva.

14.4 - Somma di vettori liberi.

Siano , vettori liberi. Scelto un rappresentante per , il teorema 14.3.1 garantisce l’esistenza div w AB v– – –qp

un punto tale che il vettore applicato rappresenta . Si poneC BC w–qp

v w C A– – œ : .

Teoremi di geometria piana che supponiamo noti dalla Scuola Secondaria consentono di dimostrare cheil vettore libero non dipende dalla particolare scelta dei punti , , (fermo restando che rappresentiC A A B C AB

qp

v BC w v w– – – – e rappresenti ) ma solo dai vettori liberi e . Si è cioè effettivamente definita un’operazione binariaqp

interna (detta ) nell’insieme dei vettori liberi . Si noti che, grazie alla notazione introdotta in 14.3,somma i$ Ð Ñ29

la definizione di somma può essere scritta come( ) ( ) : .C B B A C A œ

Ancora da teoremi di geometria studiati nella Scuola Secondaria segue che la somma così definita èassociativa e commutativa. È poi ovvio dalla definizione stessa che il vettore nullo è elemento neutro per lasomma e che ( ) ( ) , cosicché per ogni vettore libero esiste il simmetrico rispetto alla sommaA B B A 0– œ(che si dice del vettore dato). Si ha così (cfr. 8.1)opposto

Teorema 14.4.1

L’insieme dei vettori liberi è un gruppo commutativo rispetto alla somma.

28 cioè se due rette qualsiasi aventi le loro direzioni sono ortogonali. Per teoremi di geometriaelementare che supponiamo noti, il verificarsi o meno di tale condizione non dipende dalle particolari rette scelte.

29 Una situazione analoga si verifica quando si definiscono le operazioni (di somma, prodotto, ecc.) nell'insieme : si ragiona sulle frazioni (che “rappresentano” i numeri razionali, ma non “sono” i numeri razionali)mostrando poi che il risultato ottenuto non dipende dalle particolari frazioni considerate ma solo dai numerirazionali che esse rappresentano.



Si dimostri che, comunque presi , , si hav w– – − i$

² ² Ÿ ² ² ² ²v w v w– – – –e che se e solo se , sono paralleli e hanno lo stesso verso.² ² œ ² ² ² ²v w v w v w– – – – – –

14.5 - Prodotto tra vettori liberi e numeri reali.

Siano un vettore libero e un numero reale. Si dice il vettore libero tale che:v v v– – –- - -prodotto di per il modulo di è | | ;- -v v– –† ² ²e inoltre, se 0 :² ² Á-v– la direzione di è la direzione di ;-v v– – ha lo stesso verso di se 0, ha lo stesso verso dell’opposto di se 0.- - -v v v– – –

Teoremi di geometria che dovrebbero essere conosciuti dalla Scuola Secondaria consentono didimostrare che resta univocamente individuato da queste condizioni e che valgono le seguenti proprietà:-v– , , ;- - - - ‘ i† Ð Ñ œ a − a −v w v w v w– – – – – – $

, , ;Ð Ñ † œ a − a −- . - . - . ‘ iv v v v– – – – $

, , ;- . -. - . ‘ i† Ð Ñ œ Ð Ñ a − a −v v v– – – $

1 .v v v– – –œ a − i$

Teorema 14.5.1

Siano , vettori liberi. Essi sono paralleli se e solo se oppure esiste un numero reale tale chev w v 0– – – –œ -w v– –œ - .

Dimostrazione - Se , allora e sono paralleli per quanto convenuto in 14.3; se conv 0 v w w v– – – – – –œ œ -- ‘ -− , allora e sono paralleli per come si è definito .v w v– – –

Viceversa, supponiamo che , siano paralleli e che sia . Se , è 0 : dunquev w v 0 w 0 w v– – – – – – – –Á œ œpossiamo supporre che sia anche . La condizione di parallelismo tra e comporta allora che , w 0 v w v w– – – – – –Áabbiano la stessa direzione; posto : / se , hanno lo stesso verso (e posto - -œ ² ² ² ²w v v w– – – –: / in caso contrario) è immediato verificare che risulta .œ ² ² ² ² œw v w v– – – –-

Osservazione 14.5.2

Il “prodotto” fra vettori liberi e numeri reali è un’operazione (interna) in nel senso visto in 7.1; si trattanon i$

infatti di un’applicazione . In questo e negli altri importantissimi casi che avremo occasione dii ‘ i$ $‚ Ävedere, si dovrebbe parlare di “operazione (binaria) esterna”; tale espressione tuttavia potrebbe indurreconfusione perché, proprio a proposito di vettori liberi, si dà il nome di a un’altra operazioneprodotto esternobinaria (detta anche ) che però è un’operazione binaria interna (sic!) in .prodotto vettoriale i$


15.- SISTEMI DI RIFERIMENTO CARTESIANI NEL PIANO

15.1 - Il “metodo delle coordinate .”

La geometria è il ramo della matematica in cui (dai tempi di Euclide!) è stato più evidente il modo diprocedere per definizioni e rigorose dimostrazioni. L’aspetto “creativo” delle dimostrazioni geometrichecostituisce insieme il fascino e la difficoltà di questa materia: mentre per risolvere un’equazione di secondo grado(come supponiamo noto dalla scuola secondaria), per risolvere un sistema lineare (come vedremo nel cap. 20),per studiare una funzione (come vedremo nel cap. 29) esistono tecniche standard che lasciano poco spazio allafantasia, chi affronta una dimostrazione di geometria affida all’intuizione la scelta se e come applicare i criteri dicongruenza dei triangoli o le proprietà delle isometrie.

Un progetto per “tradurre” in linguaggio algebrico i problemi geometrici (e viceversa) è stato sviluppatodai matematici nel corso dei secoli. I primi passi in questa direzione si fanno risalire ad Apollonio di Perge(matematico e astronomo greco, 262-180 a. C.) ma i contributi più rilevanti sono stati probabilmente quelli diRené Descartes (filosofo e matematico francese, 1596-1650, noto in Italia anche come “Cartesio”) e Pierre deFermat (matematico francese, 1601-1665). L’idea è (vagamente) quella di “etichettare” i punti del piano (entigeometrici) con coppie ordinate di numeri reali (enti algebrici) per poi lavorare (per via algebrica) su questiultimi anziché (per via geometrica) sui primi. Si ottiene così un procedimento, noto come metodo dellecoordinate, che consiste nell’esprimere un problema geometrico in termini algebrici, risolverlo (per viapuramente algebrica) e interpretare geometricamente i risultati algebrici ottenuti.

In questo corso dobbiamo limitarci, per motivi di tempo, a semplici problemi di geometria piana; questoperò sarà sufficiente per introdurre i concetti chiave, e una generalizzazione allo spazio tridimensionalerichiederebbe solo qualche nozione tecnico tattica in più, senza comportare novità concettuali.

Abbiamo già visto (teorema 10.2.1) che, fissati su una retta due punti ( ) e ( ),e O Uorigine punto unitàesiste una corrispondenza biunivoca tra e tale che, comunque presi , , il segmento haf P P P Pe ‘ e" # " #−misura | | rispetto all’unità di misura . Mostreremo (in 15.2) come ciò conduce a unaf P f P OUÐ Ñ Ð Ñ

qq" #

corrispondenza biunivoca tra (l’insieme dei punti del piano) e (l’insieme delle coppie ordinate dic ‘ ‘‚numeri reali) che risulta “compatibile” (nel senso che sarà precisato in 15.5) con la misura delle distanze delpiano. Se tale corrispondenza biunivoca associa al punto la coppia ordinata ( , ), diremo che e sonoP! B C B C! ! ! !

le di .coordinate P!

Sia una funzione ; possiamo associarle il luogo geometrico dei punti del piano lef ‘ ‘ ‘ i‚ Ä Ð Ñ30

cui coordinate , verificano la condizioneB Cf( , ) 0.B C œ

Si dice che (x, y) 0 è l’ di , e anche che (x, y) 0 .f fœ Ð Ñ œequazione rappresenta31 i i

Il nostro interesse si accentrerà sulle , cioè quelle del tipoequazioni algebrichep(x, y) 0œ

con (x, y) polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate x, y.p

Sia un insieme di punti del piano. Se si può rappresentare con una equazione algebrica, si dice chei ii i i è una , e ogni equazione algebrica che rappresenta si dice di . Noivarietà algebrica equazione cartesianaconsidereremo solo insiemi che siano varietà algebriche .Ð Ñ32

30 un insieme di punti si dice spesso, per motivi storici, . Con riferimento a punti delluogo geometricopiano (o dello spazio) i termini “insieme” e “luogo geometrico” sono sinonimi.

31 l' articolo determinativo lascerebbe supporre che ad ogni insieme resti associata una sola equazione.Ciò è del tutto falso, perche per ogni 0 alle equazioni (x, y) 0 e (x, y) 0 resta associato lo stesso´ - -Á œ œf finsieme di punti del piano.

32 non sono, ad esempio, varietà algebriche: un segmento, un cerchio, una sinusoide.


Sia : un’applicazione. Per ogni punto del piano, le coordinate ’, ’ di dipendono: c c :Ä ÐB C Ñ Ð ÑP P(solo) dalle coordinate , di ; dunque definisce due funzioni , da in tali cheÐB CÑ ‚P f f: ‘ ‘ ‘" #

’ ,’ ,ÐæÑ

B œ ÐB CÑC œ ÐB CÑœ f

f"

#

Le si dicono di .ÐæÑ equazioni :

Il contesto in cui si opera associando coordinate ai punti (e associando equazioni agli insiemi di punti)prende il nome di “ ”. In tale ambito si studiano le mutue relazioni fra le proprietàGeometria Analitica(algebriche) di una equazione (x, y) 0 e le proprietà (geometriche) del luogo geometrico ad essaf œ iassociato. In particolare: - data l’equazione (x, y) 0 , che cosa si può dire su ? (È formato da un numero finito di punti, magarif œ inessuno, o da infiniti? È una retta, una circonferenza, ?)á - definito un insieme di punti del piano mediante una certa proprietà (ad es.: il luogo geometrico dei puntiiequidistanti da un punto fissato e da una retta fissata) si cerca (se esiste) un’equazione che rappresenti ; e dalleiproprietà (algebriche) di tale equazione si ricavano informazioni sulle proprietà (geometriche) di .i

Nei capitoli 15, 16 e 17 ci daremo alcuni strumenti “tecnici”; esempi del loro uso per applicare (in casiabbastanza semplici) il metodo delle coordinate saranno nelle sezioni 16.8, 17.4, 18.2, 18.3, 18.4 e 18.5 . Anchemolte delle dimostrazioni riportate in appendice sulle isometrie (capitolo A1) forniscono esempi significativi diuso del metodo delle coordinate.

15.2 - Sistemi di riferimento nel piano.

Scegliamo nel piano due rette , ; sia il loro punto comune. Fissato su ciascuna rettanon parallele r rB C Oun ulteriore punto ( , rispettivamente), restano univocamente determinate due corrispondenze biunivocheU UB C

tra e e tra e verificanti le condizioni , e del teorema 10.2.1. Se è un punto di , diremor r rB C B‘ ‘ Ð3Ñ Ð33Ñ Ð333Ñ PB

ascissa di il numero reale che corrisponde a ; il suo valore assoluto è la distanza di da rispettoP P P OB B B

all’unità di misura . Se è un punto di , diremo di il numero reale che corrisponde a ; ilOU P P PB C C CrC ordinatasuo valore assoluto è la distanza di da rispetto all’unità di misura .P O OUC C

Sia un punto del piano. Tracciamo per le parallele a e , e siano , le loro intersezioni conP P P Pr rC B B C

r rB C e rispettivamente. L’ascissa di e l’ordinata di si dicono rispettivamente e di (e, nelP P PB C ascissa ordinataloro complesso, di ). Scriveremo ( , ) per indicare che i numeri reali , sono rispettivamentecoordinate P P ´ B C B Cl’ascissa e l’ordinata di .P

Si verifica che quella così definita è una corrispondenza biunivoca tra e . Naturalmente, essa‘ ‘ c‚dipende dalla scelta delle rette ed e dei punti , su di esse.in modo essenziale r rB C U UB C

Talvolta anzichè i punti , si fissano su ciascuna delle due rette , una unità di misura (cioè unU UB C r rB C

segmento) e un verso; ciò è del tutto equivalente, perchè i punti , restano univocamente determinati dalleU UB C

condizioni che , abbiano misura 1 (ciascuno rispetto alla unità di misura fissata sulla propria retta) eOU OUB C

che sia , . Diremo che tali scelte nel piano. IlO U O U B C individuano un sistema di riferimento cartesianopunto si dice del SdR ( ); le rette , si dicono (rispettivamente, eO origine assi coordinati asse delle ascisse33 r rB C

asse delle ordinate punti unità); i punti e si dicono degli assi coordinati; il SdR nel suo complesso verràU UB C

indicato con la notazione (si noti peraltro che tale notazione non evidenzia né le unità di misura né i versiOr rB C

né i punti unità fissati sugli assi coordinati).

33 abbrevieremo “sistema di riferimento” in “SdR”.


Sia un SdR cartesiano nel piano. Le rette , vengono spesso indicate con , rispettivamente;Or r r r x yB C B C

in tal caso, il SdR nel suo complesso si denota con . La semiretta individuata dai punti dell’asse [ ] aventiOxy x yascissa positiva [negativa] si dice [ ] [ ]. Gli assi coordinatisemiasse positivo negativo delle ascisse delle ordinatedividono il piano in quattro settori. Quello individuato dal semiasse positivo delle ascisse e dal semiasse positivodelle ordinate (i cui punti hanno entrambe le coordinate 0) si dice ; quello individuato dal primo quadrantesemiasse negativo delle ascisse e dal semiasse positivo delle ordinate (i cui punti hanno ascissa 0 e ordinataŸ 0) si dice ; quello individuato dal semiasse negativo delle ascisse e dal semiasse negativosecondo quadrante

delle ordinate (i cui punti hanno entrambe le coordinate 0) si dice ; quello individuato dalŸ terzo quadrantesemiasse positivo delle ascisse e dal semiasse negativo delle ordinate (i cui punti hanno ascissa 0 e ordinata Ÿ 0) si dice .quarto quadrante

Un SdR cartesiano nel quale gli assi coordinati sono fra loro ortogonali si dice . Un SdRortogonalecartesiano nel quale i segmenti e siano congruenti si dice . Un SdR cartesiano nel quale iOU OUB C monometricopunti , (e quindi l’orientamento degli assi coordinati) siano stati scelti in modo che la terna ordinata diU UB C

punti ( , , ) sia orientata positivamente (cfr. l’osservazione 14.1.5) si dice O U UB C positivamente orientato .

Nel seguito, salvo diverso avviso, ogni SdR cartesiano sarà supposto ortogonale,monometrico e positivamente orientato. Converremo inoltre che i punti unità fissati sugli assicoordinati abbiano distanza dall’ origine.1

Nel resto di questa sezione supporremo fissato un SdR cartesiano .Oxy

Osservazione 15.2.1

L’origine ha coordinate (0, 0).

Dimostrazione - Segue direttamente dal procedimento (descritto in questo paragrafo) per determinare lecoordinate di un punto.

Osservazione 15.2.2

Sia una varietà algebrica, e sia (x, y) 0 un’equazione algebrica che rappresenta .i ip œL’origine appartiene a se e solo se nel polinomio (x, y) il termine noto è zero (ossia, come si usa dire: neli ppolinomio (x, y) “manca” il termine noto).p

Dimostrazione - Infatti per l’osservazione 15.2.1 l’origine appartiene a se e solo se (0, 0) 0; ed èi p œimmediato che (0, 0) è il termine noto di (x, y).p p

Osservazione 15.2.3

Sia ( , ) un punto del piano. Il simmetrico di rispetto all’asse delle ascisse [rispetto all’asse delleP P! !B C! !

ordinate, rispetto all’origine] ha coordinate ( , ) [( , ), ( , )].B C B C B C! ! ! ! ! !

Dimostrazione - Si tratta di conseguenze dirette delle definizioni di simmetrico (rispetto a una retta, orispetto a un punto) e di ascissa (e ordinata) di un punto.


Esercizio 15.2.4

Per ciascuna delle seguenti equazioni nelle incognite x e y, si dica se il luogo geometrico dei punti le cuicoordinate le soddisfano è una varietà algebrica oppure no:- 4x 7x y x y 3x y 19 0 ;* $ # "& œ- 2 y 7 0 ;B # œ- sin(x) y 0 ; œ- x sin (y) cos (y) 0. œ# #

Esercizio 15.2.5

Per ciascuna delle seguenti equazioni nelle incognite x e y, si dica se l’origine appartiene oppure no alla varietàalgebrica da essa rappresentata:- 14x 7x y xy 3x y 19 0 ;$ # œ- x y 7 0 ; œ#

- 7x 11x y 127x 13xy 19y 22x 0 ;% $ # # œ

Esercizio 15.2.6

Si dimostri, determinandone l’equazione cartesiana, che l’asse delle ascisse è una varietà algebrica.

15.3 - Cambiamento del sistema di riferimento.

Siano e due sistemi di riferimento cartesiani (sui quali non facciamo alcuna ipotesi diO O’xy x’y’ortogonalità, monometria, ecc.). Siano ( , ) le coordinate di in .B C! ! O Ox’y’

Si può dimostrare che esistono quattro numeri reali , , e tali che: per ogni punto del piano, dette+ , - . P( , ) le coordinate di relative a e ( ’, ’) le coordinate di relative a si haB C B CP O P O’xy x’y’

B œ +B ,C B’ !

e ’ .C œ -B .C C!

I numeri , , e si possono ricavare facilmente se si conoscono le coordinate in dei punti unità+ , - . Ox’y’U U OB C e di . Inoltre si può dimostrare che 0 , e precisamente: >0 se entrambi i SdR sonoxy +. ,- Á +. ,-positivamente orientati oppure nessuno dei due SdR è positivamente orientato (si dice in tal caso che i due SdRsono ) ; 0 se uno e uno soltanto dei due SdR è positivamente orientato.concordemente orientati +. ,-

15.4 - Vettori liberi e sistemi di riferimento cartesiani.

Supponiamo fissato un SdR cartesiano .Oxy

Abbiamo descritto in 15.2 come si “etichettano” i punti del piano con coppie ordinate di numeri reali,stabilendo una “buona” biiezione tra e ; in questa sezione vedremo come, in dipendenza del SdR c ‘ ‘‚ Oxyfissato, si possono individuare due vettori liberi “privilegiati” che consentono di esprimere ogni vettore libero delpiano in una forma non solo “naturale” ma soprattutto utile per lo sviluppo della geometria analitica.

Siano (1, 0) e (0,1) i punti unità degli assi coordinati. I vettori liberi e siU U U O U OB C B C´ ´

indicano rispettivamente con e .i j– –


Teorema 15.4.1

Per ogni punto del piano ( , ) si haP! ´ B C! !

P O i j– –! œ B C! ! .

Dimostrazione - Per ogni punto del piano si haP’ !

P O P P’ P’ O! ! ! ! œ Ð Ñ Ð Ñ per come si è definita in 14.2 la somma fra vettori liberi. Se è il punto di intersezione fra l’asse e laP’ ! xparallela all’asse passante per , è chiaro che e sono paralleli rispettivamente a e ;y P P’ O P P’ i j– –! ! ! !

con un po’ di attenzione, e ricordando come sono state definite in 14.2 le coordinate di , si verifica infine cheP!

è proprio e .P’ O i P P’ j– –! ! ! œ B œ C! !

Teorema 15.4.2

Ogni vettore libero del piano si scrive in uno e un solo modo nella forma con , .+ , + , −i j– – ‘

In particolare, si ha se e solo se 0.+ , œ + œ , œi j 0– – –Dimostrazione - Sia un vettore libero del piano. Per il teorema 14.3.1, esiste un punto dello spaziov P–

tale che . Poiché appartiene al nostro piano e è parallelo al nostro piano, anche deve essere unv P O O v P– –œ punto del nostro piano. Sarà , , e dunque per il teorema 15.4.1.P v i j– – –´ Ð+ ,Ñ œ + ,

Supponiamo che sia anche ’ ’ con ’, ’ . Allora, sempre per il teorema 14.3.1,v i j– – –œ + , + , − ‘

v P’ O P’ P’ O P O OP’ OP– œ ´ Ð+ , Ñ œ qp qp

con ’, ’ . Ne segue che , ossia che i vettori applicati e sonoequipollenti; allora necessariamente e dunque ’ e ’.P P’œ + œ + , œ ,

Teorema 15.4.3

Siano , . Il modulo del vettore è .+ , − + , + ,‘ i j– –È # #

Dimostrazione - Sia ( , ) , cosicché per il teorema 15.4.1 è ; il modulo delA i j A O– –´ + , + , œ

vettore è la misura del segmento . Per calcolare tale misura, consideriamo la proiezione ortogonale+ ,qqi j OA– –

A’ A OAA’ di sull’asse delle ascisse ed applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo : poiché i catetiOA’ A’Aqq qq

+ , e hanno misura rispettivamente | | e | |, si ha l’asserto.

Teorema 15.4.4

Siano ( , ), ( , ) punti del piano. Si haP P" #´ B C ´ B C" " # #

P P i j– –# " œ B B C C( ) ( ) .# " # "

Dimostrazione - Poiché (si veda in 14.2 la definizione di somma fraP P P O P O# " # " œ Ð Ñ Ð Ñvettori liberi), per il teorema 15.4.1 si ha

P P i j i j i i j j– – – –– – – –# " œ ÐB C Ñ ÐB C Ñ œ ÐB B Ñ ÐC C Ñ œ# # " " # " # "

œ ÐB B Ñ ÐC C Ñ# " # "i j– –ricordando le proprietà del prodotto fra vettori liberi e numeri reali viste in 14.5.


Teorema 15.4.5

Siano , ’ ’ (con , , ’, ’ ) vettori liberi del piano. Essi sono paralleli se e solo sev i j v’ i j– – –– –œ + , œ + , + , + , − ‘

+, + , œ Ð Ñ’ ’ 0 .34

Nel caso particolare in cui , è parallelo a se e solo se esiste un numero reale tale chev 0 v v’– – –Á -+ œ + , œ ,’ e ’ .- -

Dimostrazione - Supponiamo in primo luogo che e siano paralleli. Se , per il teoremav v’ v 0– – –œ15.4.2 è 0 e dunque ’ ’ 0. Se , per il teorema 14.5.1 esiste un numero reale tale che+ œ , œ +, + , œ Áv 0– – -

v’ v i j– – –œ œ + ,- - - ;ne segue (cfr. teor. 15.4.2) che ’ e ’ . Inoltre ’ ’ 0 come si voleva.+ œ + , œ , +, + , œ + , +, œ- - - -

Supponiamo ora che sia ’ e ’ per un opportuno numero reale ; allora+ œ + , œ ,- - -v’ i j i j i j i j v– – – –– – – – –œ + , œ Ð +Ñ Ð ,Ñ œ Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ œ’ ’ - - - - - -

cosicché e sono paralleli per il teorema 14.5.1.v v’–Supponiamo infine che sia ’ ’ 0. Se 0, è ’ : dunque ’ e ’ con+, + , œ + Á , œ , + œ + , œ ,+

+’ - -

- - - -œ , Á + œ + + œ + , œ , œ+ , ,+ , ,’ ’ ’; se 0, è ’ : dunque ’ e ’ con . In entrambi i casi, perciò, e sonov v’–

paralleli per quanto appena visto. Se poi 0, è il vettore nullo e dunque è senz’altro parallelo a .+ œ , œ v v’–

Teorema 15.4.6

Siano , ’ ’ (con , , ’, ’ ) vettori liberi del piano. Essi sono ortogonali se e solov i j v’ i j– – –– –œ + , œ + , + , + , − ‘

se

++ ,, œ’ ’ 0.

Dimostrazione - Consideriamo i punti ( , ) e ( ’, ’); per il teorema 15.4.1, eA B v A O–´ + , ´ + , œ v’ B O OA OBœ

qq, cosicché i vettori dati sono ortogonali se e solo se sono ortogonali i segmenti e , ossia se esolo se il triangolo è retto in . La condizione cercata è dunque la validità del teorema di Pitagora OAB O Ð Ñ35

applicato al triangolo con ipotenusa e cateti e , ossiaOAB AB OA OBqq qq

Ð+ + Ñ Ð, , Ñ œ Ð+ , Ñ Ð + , Ñ’ ’ ( ’) ( ’)# # # # # #

cioè 2 ’ 2 ’ 0 ++ ,, œche equivale alla ’ ’ 0 come si voleva.++ ,, œ

15.5 - Distanza di due punti.


Dati due punti ( , ) e ( , ), vogliamo esprimere la loro distanza ( , ) inP P P P" # " #´ B C ´ B C" " # # dfunzione delle loro coordinate.

Poiché ( , ) è il modulo del vettore , per i teoremi 15.4.4 e 15.4.3 si ha subitod P P P P" # # "

d( , ) ( ) ( ) .P P" # œ B B C CÈ # " # "# #

34 Il lettore che nel corso dei propri studi secondari abbia incontrato la nozione di ,determinante

riconoscerà che ' ' è il determinante della matrice .' '+, + ,+ ,+ ,Œ

35 La condizione che il quadrato costruito su sia equivalente alla somma dei quadrati costruiti su AB OAe è non solo necessaria ma anche sufficiente affinche il triangolo sia retto in .´OB OAB O


15.6 - Coordinate del punto medio di un segmento.


Dati due punti ( , ) e ( , ), sia ( , ) il punto medio del segmento .P P M P P" # " #´ B C ´ B C ´ B C" " # # 7 7

Vogliamo esprimere le coordinate di in funzione di quelle di e .M P P" #

Siano rispettivamente , , i punti in cui le parallele all’asse passanti per , ,A A A P P M" # 7 " #xincontrano l’asse , e siano rispettivamente , , i punti in cui le parallele all’asse passanti per , ,y yB B B P P" # 7 " #

M P P incontrano l’asse . Se il segmento non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati, i punti trovati sonox " #

tutti distinti, e per il teorema di Talete si hanno le relazioni

d d d dd d d d

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )A A P M B B P MA A P M B B P M" 7 " " 7 "

# 7 # # 7 #œ œ e .

Poiché è il punto medio del segmento , si haM P P" #

d d( , ) ( , );P M P M" #œdunque dalle relazioni trovate si deduce che

d d d d( , ) ( , ) e ( , ) ( , ),A A A A B B B B" 7 # 7 " 7 # 7œ œossia che e sono rispettivamente i punti medi dei segmenti e .A B A A B B7 7 " # " #

Siamo così ricondotti a considerare il caso in cui il segmento è parallelo ad uno degli assiP P" #

coordinati. Sia ad esempio parallelo all’asse : è facile verificare che l’ascissa di è la media aritmeticaP P M" # xtra l’ascissa di e quella di , mentre l’ordinata di è l’ordinata comune a e (ci si ricordi diP P M P P " # " #

considerare le possibili posizioni dei punti e relativamente ai quattro quadranti!).tutte P P" #

Si trova un risultato analogo quando è parallelo all’asse .P P" # y

Dunque si ha in generaleB œ C œ7 7

B B C C" # " #

2 2, .


16.- LE RETTE NEL PIANO


In questo capitolo studiamo le varietà algebriche del piano che si rappresentano con una equazionealgebrica di primo grado. Dimostreremo che tali varietà sono tutte e sole le rette del piano, e ricaveremoinformazioni sulla traduzione algebrica di proprietà geometriche delle rette. Nella sez. 16.8 vedremo un primo,semplice esempio di applicazione del metodo delle coordinate.

In tutto il capitolo esclusa la sez supporremo fissato un SdR cartesiano Oxy.( . 16.8)

16.2 - Forma generale dell’equazione cartesiana di una retta.

Teorema 16.2.1

Sia , un punto del piano, e sia un vettore libero del piano. La retta passante per eP v i j P– – –! !´ ÐB C Ñ œ + ,! !

ortogonale a ha equazionev– Ð Ñ36

16.2.F1 (x ) (y ) 0.+ B , C œ! !

Dimostrazione - È chiaro che la retta cercata è l’insieme dei punti del piano per i quali il vettore liberoPP P v P– ´ Ð Ñ! è ortogonale a ; dunque, per i teoremi 15.4.4 e 15.4.6 il generico punto x, y del piano leappartiene se e solo se vale la 16.2.F1.

Teorema 16.2.2

Ogni retta del piano si può rappresentare con una equazione della forma16.2.F2 x y 0+ , - œdove , , sono numeri reali e , non sono entrambi nulli; e, viceversa, ogni equazione di tale forma (con , ,+ , - + , + ,- − + ,‘ e , non entrambi nulli) rappresenta una retta.Inoltre, la retta di equazione 16.2.F2 è ortogonale al vettore ; in particolare, quindi, essa è parallela+ ,i j– –all’asse sse 0 , ed è parallela all’asse sse 0.x y+ œ , œ

Dimostrazione - Sia una retta del piano, e sia un vettore libero del piano, non nullo, adr v i j– – –œ + ,

essa ortogonale. Dimostriamo che ha equazioner+ , - œx y 0

con opportuno numero reale (poiché , e non sono entrambi nulli, cfr. teorema 15.4.2).- Á + ,v 0– –Poiché non è nullo, la direzione di è determinata dalla condizione di essere ortogonale a ; perv v– –r

individuare è sufficiente quindi assegnare un punto di . Sia allora , un punto di . Per il teoremar r rP x y! ! !´ Ð Ñ16.2.1, ha equazioner16.2.F1 (x ) (y ) 0+ B , C œ! !

che, posto , si può scrivere nella forma- œ +B ,C! !

+ , - œx y 0come si voleva.

36 Per teoremi di geometria che si suppongono noti dalla scuola secondaria, la condizione di passare perP v–! ed essere ortogonale a individua una retta.


Resta da provare che ogni equazione della forma 16.2.F2 con , non entrambi nulli rappresenta una+ ,retta ortogonale al vettore ; ma, supposto ad es. 0, è facile verificare (applicando ancora ilv i j– – –œ + , + Á

teorema 16.2.1) che si tratta della retta passante per , 0 e ortogonale a (se è invece 0, si trattaP v–" ´ Ð Ñ , Á-+

della retta passante per 0, e ortogonale a ).P v–# ´ Ð Ñ-,

Notiamo in particolare che una retta di equazione 16.2.F2 è parallela all’asse se e solo se il vettorex+ , + œi j j– – – ad essa ortogonale è parallelo a , cioè (cfr. teorema 15.4.5) se e solo se 0; in tal caso, certamente, Á 0 e l’equazione della retta si può scrivere nella forma

y œ 2per un opportuno (ossia, la retta è formata da tutti e soli i punti del piano che hanno ordinata ).2 − 2‘Analogamente, una retta di equazione 16.2.F2 è parallela all’asse se e solo se 0; in tal caso, certamentey , œ+ Á 0 e l’equazione della retta si può scrivere nella forma

x œ 5per un opportuno (ossia, la retta è formata da tutti e soli i punti del piano che hanno ascissa ).5 − 5‘

Teorema 16.2.3

Le varietà algebriche del piano che si rappresentano con un’equazione algebrica di primo grado sono tutte e solele rette del piano.

Dimostrazione - Si tratta di una riformulazione della prima parte del teorema 16.2.2.

Teorema 16.2.4

Le equazioni+ , - œx y 0

+ , - œ’x ’y ’ 0(con , , , ’, ’, ’ , , non entrambi nulli, ’, ’ non entrambi nulli) rappresentano la stessa retta se e+ , - + , - − + , + ,‘soltanto se esiste un numero reale tale che ’ , ’ , ’ .- - - -+ œ + , œ , - œ -

Dimostrazione - È chiaro che se esiste un numero reale tale che ’ , ’ , ’ , le- - - -+ œ + , œ , - œ -equazioni date sono equivalenti e quindi rappresentano la stessa retta.

Viceversa, supponiamo che le equazioni date rappresentino la stessa retta. Allora per ogni coppiaordinata di numeri reali ( , ) tale che 0 deve essere anche ’ ’ ’ 0. PerB C +B ,C - œ + B , C - œ! ! ! ! ! !

ipotesi, e non sono entrambi nulli; sia ad esempio 0. Per ogni numero reale , posto+ , + Á C!B ³ C ! !

, -+ + ,

si ha 0 e quindi anche ’ ’ ’ 0 ossia+B ,C - œ + B , C - œ! ! ! !

’ ’ ’ ’ 0. + C + , C - œ, -+ +! !

Dunque quest’ultima uguaglianza, che si può scrivere anche16.2.F3 ’ ’ ’ ’,Ð+, + ,ÑC œ + - +-!

deve essere verificata per ogni numero reale . Ciò comporta che sia ’ ’ e ’ ’ ; posto C +, œ + , +- œ + - Ð Ñ!37 -

: , si ha a’ a, b’ b, c’ c come si voleva.œ œ œ œ++’ - - -

37 Infatti, se fosse ' ' , la 16.2.F3 sarebbe verificata solo per ; se fosse ' ' ma+, Á + , C œ +, œ + ,!+ -+-+, + ,

' '' '

+- Á + - C' ' , la 16.2.F3 non sarebbe verificata per alcun valore di .!


Esercizio 16.2.5

Sono dati i punti 1, 2 , 3, 1 , 2, 0 . Determinare l’equazione cartesiana della retta passanteA B C´ Ð Ñ ´ Ð Ñ ´ Ð Ñper e ortogonale alla retta .A BC

Esercizio 16.2.6

Sono dati i punti 1, 2 , 3, 1 . Determinare l’equazione cartesiana della retta passante per eA B A´ Ð Ñ ´ Ð Ñortogonale alla retta .AB

16.3 - Equazione della retta per due punti.

Teorema 16.3.1

Siano ( , ) e ( , ) due punti distinti del piano. La retta ha equazioneP P P P" # " #´ B C ´ B C" " # #

16.3.F1 ( )(x ) ( )(y ) 0.C C B B B C œ# " " # " "

Tale equazione, quando e , si può anche scrivereB Á B C Á C" # " #

x yBB B C C

C"

# " # "

"œ .

Dimostrazione - La retta è la retta passante per e parallela al vettore . Per il teoremaP P P P P" # " # "r 16.2.1, siamo in grado di scrivere l’equazione cartesiana di se conosciamo un vettore a , ossiar rortogonaleortogonale a . In effetti, il teorema 15.4.6 ci consente di verificare immediatamente che il vettoreP P# "ÐC C Ñ ÐB B Ñ # " # "i j P P– – è ortogonale a ; si ottiene così l’equazione 16.3.F1, come si voleva.# "

Esercizi

16.3.2 Determinare l’equazione cartesiana della retta passante per 1, 2 e 3, 1 .A B´ Ð Ñ ´ Ð Ñ



16.4 - Forma esplicita dell’equazione di una retta.

Siano l’insieme delle equazioni algebriche nelle indeterminate x, y, il sottoinsieme di formatoX X X"

dalle equazioni di primo grado, l’insieme delle varietà algebriche del piano ed : la funzione che adi X if Äogni equazione algebrica associa la varietà algebrica che essa rappresenta.

Il teorema 16.2.3 esprime il fatto che ( ) è l’insieme di tutte e sole le rette del piano. È importantef X"notare che la restrizione di ad : in effetti, per il teorema 16.2.4, equazioni algebriche di primof X" non è iniettivagrado diverse possono rappresentare la stessa retta.

Sia una retta (di equazione x y 0) ’ . Allora 0 per il teoremar + , - œ , Ánon parallela all asse y16.2.2; dunque ha anche equazione ( x y 0), ossiar 1

, + , - œ

y xœ + -, ,

cioè, posto e ,: œ ; œ + -, ,

y x .œ : ;


Dunque ogni retta non parallela all’asse ha equazione nella forma (“ ”)y esplicitay x con , .œ : ; : ; − ‘

Ed è chiaro che ad ogni retta non parallela all’asse resta associata equazione in formay una solaesplicita: infatti, se le equazioni y x , y ’x ’ rappresentano la stessa retta, per il teorema 16.2.4œ : ; œ : ;esiste un numero reale tale che ’ , 1 1 , ’ , da cui si ricava subito che deve essere- - - -: œ : œ Ð Ñ ; œ ;- œ : œ : ; œ ;1 e quindi ’ , ’ .

Analogamente si vede che ogni retta non parallela all’asse ha una e una sola equazione nella formaxx y con , .œ 7 8 7 8 − ‘

Le rette parallele all’asse hanno equazione nella formayx con œ . . − ‘

(cfr. teorema 16.2.2).

Esercizi

16.4.1 Determinare l’equazione esplicita della retta 3x 2y 2 0. œ

16.4.2 Determinare l’equazione esplicita della retta per 1, 1 ortogonale al vettore 6 3 .P i j– –Ð Ñ

16.4.3 Determinare l’equazione esplicita della retta per , e 7, 7 .P Q´ Ð Ñ ´ Ð Ñ1 1

16.5 - Equazione della generica retta passante per un punto assegnato.

Sia , un punto del piano. La generica retta passante per è la retta per ortogonale alP P P! ! !´ ÐB C Ñ! !

generico vettore libero del piano, e quindi ha equazione 16.2.F1, come si è dimostrato nel teorema 16.2.1. È beneaver chiaro che con la 16.2.F1 si scrivono, al variare di e in , di tutte le rette passanti per+ , ‘ tutte le equazioniP!. Spesso conviene considerare solo le delle rette cercate; supposto allora 0 e postoequazioni esplicite , Ácome in 16.4 , la 16.2.F1 diventa: œ +

,

16.5.F1 y x . C œ :Ð B Ñ! !

Con la 16.5.F1 si scrivono, al variare di in , le equazioni esplicite di tutte le rette passanti per non parallele: ‘ P!

all’asse .y

Esercizi

16.5.1 Fra tutte le rette passanti per 1, 2 , determinare quella ortogonale al vettore 2 .P i j– –! ´ Ð Ñ

16.5.2 Determinare l’intersezione con l’asse della generica retta passante per 1, 1 .x P! ´ Ð Ñ

16.6 - Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra rette.

Teorema 16.6.1

Le rette , di equazioni rispettivamente x y 0 e ’x ’y ’ 0 sono parallele se e solo ser s + , - œ + , - œ+, + , œ ++ ,, œ’ ’ 0 ; sono ortogonali se e solo se ’ ’ 0.

Dimostrazione - Teoremi di geometria che supponiamo noti dalla scuola secondaria consentono diaffermare che l’angolo formato da e è congruente all’angolo formato dai vettori : , r s v i j v– –– –r sœ + ,

: ’ ’ ad esse ortogonali; in particolare, e sono parallele [ortogonali] se e solo se e sono paralleliœ + ,i j v v– – – –r s r s

[ortogonali]. L’asserto è ora conseguenza immediata dei teoremi 15.4.5 e 15.4.6.


Teorema 16.6.2

Le rette , di equazioni esplicite rispettivamenter s y xœ : ;" "

y xœ : ;# #

sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare (ossia, ); sono ortogonali se e solo se il: œ :" #

coefficiente angolare dell’una è l’antireciproco del coefficiente angolare dell’altra (ossia, ).: œ " :1#

Dimostrazione - Per il teorema 16.6.1, e sono parallele se e solo ser s0 ( 1) ( 1)œ : : œ : :" # " #

ossia se e solo se . Ancora per il teorema 16.6.1, e sono ortogonali se e solo se: œ :" # r s: : œ" # ( 1)( 1) 0

ossia se e solo se 1.: : œ " #

La relazione che lega il coefficiente angolare di una retta alla sua direzione è precisata dal seguente

Teorema 16.6.3

Sia una retta non parallela all’asse . Il coefficiente angolare di è la tangente trigonometrica dell’angolor y rformato dall’asse e dalla retta .x r

Dimostrazione - Sia il coefficiente angolare di . La retta parallela a passante per l’origine ha: r r’ requazione

y xœ :

e gli angoli , sono congruenti.xr xr^ ^

È poi noto che la tangente trigonometrica dell’angolo è l’ordinata del punto in cui incontra la rettaxr’ r’^di equazione x 1 (tale retta è infatti la tangente alla circonferenza goniometrica che attraversa il primo e quartoœquadrante); l’asserto è così provato.

Esercizio 16.6.4

Determinare la retta passante per (1, 5) e parallela alla retta di equazione 2x y 0.P ´ œ

Esercizio 16.6.5

Determinare la retta passante per (2, 3) e parallela all’asse delle .P ´ x

Esercizio 16.6.6

I punti ( 3, 1) e (2, 2) sono vertici di un parallelogramma in cui ( 3, 0) è l’intersezione delleA B Q´ ´ ´ diagonali. Trovare gli altri vertici e le rette dei lati.

Esercizio 16.6.7

Le rette di equazioni x 2y 0, x 2y 15 0 sono due lati di un rettangolo di cui la retta di equazione œ œ7x 2y 15 0 è una delle due diagonali. œTrovare le coordinate dei vertici del rettangolo e l’equazione dell’altra diagonale.


Esercizio 16.6.8

Dati i punti (2, 1) e (1, 2), determinare due punti e in modo che il quadrilatero sia unA C B D ABCD´ ´quadrato del quale è una diagonale.AC

Suggerimento - Alcune nozioni introdotte nel capitolo 17 possono essere utili per abbreviare larisoluzione di questo esercizio.

Esercizio 16.6.9

È dato il triangolo di vertici (0, 2), (1, 0), (2, 1). Determinare mediana, altezza e bisettrice A B C´ ´ ´ Ð Ñ38

relative al vertice .A


È dato il triangolo di vertici (0, 2), (1, 0), ( 2, 0). Determinare mediana, altezza e bisettriceA B C´ ´ ´ relative al vertice .A

16.7 - Distanza di un punto da una retta.

Siano un punto e una retta del piano. Detto il piede della perpendicolare condotta da a , perP R Pr r!

ogni altro punto di si haR rd d( , ) ( , )P R P R !

perché il triangolo è (per costruzione di ) rettangolo in , e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo èPR R R R! ! !

sempre maggiore di ciascun cateto.

Dunque ( , ) è la minima distanza tra e i punti di ; essa si dice tra e e si indica anched P R P P! r rdistanzacon ( , ).d P r

Esempio 16.7.1

Determiniamo la distanza di (5, 2) dalla retta : x 2y 1 0.P œrLa generica retta ortogonale a ha equazione 2x y 0, e passa per sse 2 5 ( 2) 0, ossia sser - œ † - œP- œ œ8; la perpendicolare condotta da a ha dunque equazione 2x y 8 0. Il punto in cui tale rettaP Qrincontra ha per coordinate la soluzione del sistemar x 2y 1 0 œ 2x y 8 0. œ

Si trova che ha coordinate (3, 2); dunque, ( , ) ( , ) (5 3) ( 2 2) 20 2 5 .Q P P Qd dr œ œ œ œÈ È È# #

Applicando il procedimento dell’esempio 16.7.1 con ( , ) e : x y 0 generici, si trovaP B C + , - œ! ! r(con calcoli un po’ lunghi) che16.7.F1 ( , ) .d P r œ | |+B ,C -

+ ,! !

# #È

38 Nella Scuola Secondaria si sono indicati con i nomi di , e certi ; simediana altezza bisettrice segmentiintendono qui considerare le a cui tali segmenti appartengono.rette


Esempio 16.7.2

Applicando la formula 16.7.F1 ai dati dell’esempio 16.7.1, si trova subito che

d( , ) 2 5 .P r œ œ œ|5 2 ( 2) 1|1 ( 2)

105

†

È È#È

16.8 - Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati.

Siamo ormai in grado di dare un primo (semplice) esempio di applicazione del metodo delle coordinate.

Siano dati due punti , del piano; vogliamo determinare il luogo geometrico dei punti del pianoA Bequidistanti da e . A tale scopo: costruiamo un SdR cartesiano ortogonale, monometrico, positivamenteA Borientato e “ben disposto” rispetto ad e per semplificare i calcoli (dalla geometria passiamo all’algebra);A Bdeterminiamo l’equazione cartesiana del luogo cercato (eseguiamo dei calcoli in ambito puramente algebrico);deduciamo dalle caratteristiche di tale equazione le informazioni che ci interessano (dal contesto algebricoritorniamo alla geometria). Questo percorso, qui particolarmente semplice, è quello tipico del metodo dellecoordinate.

Sia un punto del piano. appartiene al luogo geometrico considerato se e solo se verifica laP P16.8.F1 ( , ) ( , ).d dP A P Bœ

Costruiamo il nostro SdR cartesiano scegliendo l’asse delle ascisse coincidente con la retta ; AB l’origine coincidente con ; A l’asse delle ordinate ortogonale all’asse delle ascisse ; il punto unità sull’asse delle ascisse coincidente con e quello sull’asse delle ordinate in modo che il SdR Brisulti monometrico e positivamente orientato. Con questa decisione abbiamo implicitamente assegnato ilsegmento come unità di misura per le distanze: ciò non crea problemi, perché la 16.8.F1 non dipendeABdall’unità di misura fissata.

Sarà dunque (0, 0), (1, 0).A B´ ´

Elevando al quadrato ambo i membri della 16.8.F1 si ottiene la16.8.F2 ( ( , )) ( ( , ))d dP A P B# #œche è equivalente alla 16.8.F1 perché la

d d( , ) ( , )P A P Bœ non ha soluzioni: infatti le distanze sono per definizione numeri positivi.

Siano (x, y) le coordinate di . Esprimendo la 16.8.F2 mediante le coordinate di , e , si ottieneP P A Bl’equazione

x y (x 1) y# # # # œ ossia, semplificando,

x œ 12

che rappresenta la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto medio del segmento .AB

Dunque il luogo geometrico considerato è la retta passante per il punto medio del segmento eABortogonale ad esso: il cosiddetto del segmento .asse AB


17.- LA CIRCONFERENZA


Sia un punto del piano, e sia un numero reale positivo. Si dice C C< <circonferenza di centro e raggioil luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza da è .C <

In questo capitolo ricaveremo esplicitamente l’equazione della circonferenza avente centro e raggioassegnati; mostreremo che ogni circonferenza si rappresenta con un’equazione algebrica di secondo grado, epreciseremo quali equazioni algebriche di secondo grado rappresentano una circonferenza. Nella sez. 17.4applicheremo queste nozioni per risolvere col metodo delle coordinate un classico problema di geometria delpiano.

In tutto il capitolo esclusa la sez supporremo fissato un SdR cartesiano Oxy( . 17.4) .

17.2 - Equazione della circonferenza.

Siano dati il punto ( , ) e il numero reale positivo . Vogliamo determinare l’equazioneC ´ B C <! !

cartesiana della circonferenza di centro e raggio .> C <

Un punto (x, y) appartiene a se e solo se la distanza di da è , cioè sseP P C´ <>

17.2.F1 (x ) (y ) .È B C œ <! !# #

La 17.2.F1 è un’equazione di , ma ’ Poiché, essendo 0, la> non un equazione cartesiana! <

B C œ <È(x ) (y )! !# #

non ha soluzioni, la 17.2.F1 è equivalente all’equazione che si ottiene elevando al quadrato ambo i membri, cioèalla17.2.F2 (x ) (y ) B C œ <! !

# # #

che è l’equazione cartesiana di .>

Sviluppando la 17.2.F2, si ha lax 2 x y 2 y 0# # # # #

! !! ! B B C C < œ

ossia la x y 2 x 2 y ( ) 0# # # # #! ! ! ! B C B C < œ

che, posto 2 , 2 , , diventa+ œ B , œ C - œ B C <! ! ! !# # #

17.2.F3 x y x y 0.# # + , - œ

Ogni circonferenza si può dunque rappresentare con un’equazione della forma 17.2.F3, cioè conun’equazione algebrica di secondo grado nella quale - il coefficiente di xy è zero (ossia, come si usa dire, “manca il termine misto”)e - il coefficiente di x e di y è uguale a 1 ( ).# # 39

Viceversa, un’equazione della forma 17.2.F3 rappresenta sempre (cioè, per ogni scelta di , e ) una+ , -circonferenza? Se la 17.2.F3 rappresenta la circonferenza di centro ( , ) e raggio , deve essereC ´ B C <! !

B œ C œ < œ B C - œ - œ! !+ , + , + , -# # #

! !2 2 4 4 44, , # # # #

e quindi deve essere 4 0.+ , - # #

39 Si noti che ogni equazione di secondo grado nelle incognite x e y nella quale manchi il termine mistoe x , y abbiano lo stesso coefficiente è equivalente a un' equazione di secondo grado nelle stesse incognite nella# #

quale manca il termine misto e il coefficiente di x , y è uguale a 1.# #


Se , , verificano questa relazione, allora la 17.2.F3 rappresenta una circonferenza (precisamente, quella di+ , -

centro ( , ) e raggio 4 ).C ´ < œ + , -+ , "#

# #2 2

ÈSe invece 4 0, la 17.2.F3 rappresenta il solo punto P ( , ) (si parla talvolta in questo+ , - œ ´ # # + ,

2 2caso di ); se 4 0, la 17.2.F3 rappresenta l’insieme vuoto.circonferenza degenere con raggio nullo + , - # #

Infatti si vede facilmente che la 17.2.F3 si può scrivere

(x ) (y ) . œ+ , + , -# #2 2 4

4# #

Esercizi

17.2.1 Determinare la circonferenza che ha centro in (2, 3) e raggio 2.C ´

17.2.2 Determinare la circonferenza che ha centro in ( 1, 2) e raggio 1 7.C ´ È ( : Una tale circonferenza non esiste (perché?)).Soluzione

17.2.3 Determinare la circonferenza per (1, 0), ( 1, 1) e (3, 2).A B C´ ´ ´

17.2.4 Determinare la circonferenza per (1, 0), (2, 1) e (0, 1).A B C´ ´ ´

17.2.5 Stabilire se l’origine è interna o esterna alla circonferenza di equazione 2x 2y 3x 2y 1 0.# # œ

17.3 - Tangenti a una circonferenza.

Siano una circonferenza e una retta. Si dice che è a se consiste di un punto.> > >r r rtangente Notiamo esplicitamente che questa definizione di “retta tangente” vale solo per le circonferenze e non si estendead altre curve (cfr. l’osservazione 18.3.3, l’osservazione 18.4.3 e la sez. 24.3).

Esercizio 17.3.1

Determinare le tangenti per (1, 1) alla circonferenza di equazione x y 4x 6y 9 0.P ´ œ# #

Esercizio 17.3.2


Esercizio 17.3.3


Esercizio 17.3.4

Tra le rette parallele alla bisettrice del primo quadrante, determinare quelle tangenti alla circonferenza diequazione x y 2x y 1 0.# # œ

Esercizio 17.3.5

Tra le rette parallele alla bisettrice del primo quadrante, determinare quelle tangenti alla circonferenza diequazione x y 2x y 2 0.# # œ

Soluzione - Non esiste alcuna retta che soddisfi le condizioni poste dall’esercizio. Perché ?


Esercizio 17.3.6

Sono dati il punto (4, 1) e la circonferenza di equazione x y 4x 2y 3 0 .T ´ œ> # #

Dopo aver verificato che appartiene a , determinare la tangente in a .T T> >

17.4 - Un teorema di Apollonio.

In questa sezione cominciamo a intravedere la potenza del metodo delle coordinate affrontando unproblema la cui prima risoluzione è attribuita al matematico greco Apollonio .

Siano dati due punti , del piano e un numero reale positivo ; vogliamo determinare il luogoA B 5geometrico dei punti del piano per i quali17.4.F1 ( , ) ( , ).d dP A P Bœ 5 †

Si tratta di una generalizzazione del problema risolto in 16.8 (che si ottiene per 1) .5 œ

Costruiamo un SdR cartesiano (ortogonale, monometrico, positivamente orientato e “ben disposto”rispetto ad e per semplificare i calcoli) come in 16.8, scegliendoA B l’asse delle ascisse coincidente con la retta ; AB l’origine coincidente con ; O A l’asse delle ordinate ortogonale all’asse delle ascisse ; il punto unità sull’asse delle ascisse coincidente con e quello sull’asse delle ordinate in modo che il SdR Brisulti monometrico e positivamente orientato. Come già in 16.8, possiamo scegliere il segmento come unitàABdi misura per le distanze perché la 17.4.F1 non dipende dall’unità di misura fissata.

Sarà in particolare (0, 0), (1, 0).A B´ ´

Sia un punto del piano. appartiene al luogo geometrico considerato se e solo se verifica la 17.4.F1.P PElevando al quadrato ambo i membri della 17.4.F1 si ottiene la17.4.F2 ( ( , )) ( ( , ))d dP A P B# # #œ 5 †che è equivalente alla 16.8.F1 perché la

d d( , ) ( , )P A P Bœ 5 †non ha soluzioni: infatti le distanze sono per definizione numeri positivi, e per ipotesi 0 .5

Siano (x, y) le coordinate di . Esprimendo la 17.4.F2 mediante le coordinate di , e , si ottieneP P A Bl’equazione x y (x 1) y # # # # # œ 5 Ð Ñossia, sviluppando, semplificando e raccogliendo i termini simili,17.4.F3 1 x 1 y 2 x 0 .Ð5 Ñ Ð5 Ñ 5 5 œ# # # # # #

Se 1 , la 17.4.F3 diviene 2x 1 05 œ œe dunque rappresenta la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di coordinate ( , 0), cioè"

#

(come avevamo visto nella sez. 16.8) l’asse del segmento .AB

Supponiamo dunque 1 . Dividendo ambo i membri per 1 , la 17.4.F3 si può scrivere nella5 Á Ð5 Ñ#

forma17.4.F4 x y 2 x 0# # 5 5

5 5 œ# #

# # 1 1

che rappresenta la circonferenza che ha centro nel punto ( , 0) e raggio .C ´ 5 55 5

#

# # 1 1 k kSe indichiamo con l’ascissa di , utilizzando concetti e notazioni che saranno introdotti solo nelBc C

capitolo 23 possiamo scrivere chelim lim lim lim

5 5 5 5Ä ! Ä "B œ B œ _ B œ _ B œ

Ä " Ä _ 0 ; ; ; 1 .c c c c


Dunque, per 1 il luogo geometrico considerato è una circonferenza che ha centro in un punto 5 Á Cdella retta esterno al segmento . Precisamente: se 0 1 , il raggio della circonferenza è e il suoAB AB 5 5

5 1 #

centro giace dalla parte di , a distanza da ; se 1 , il raggio della circonferenza è e il suoC A A5 55 5

#

# # 1 1 5

centro giace dalla parte di , a distanza da . Ricordiamo che in queste considerazioni l’unità di misuraC B B1 1 5 #

è il segmento .AB

Tale circonferenza si dice individuata da , e .circonferenza di Apollonio A B 5

Esercizio 17.4.1

Dati due punti , del piano, determinare in modo che la circonferenza di Apollonio individuata da , e A B A B5 5abbia il raggio uguale alla lunghezza del segmento .ABqq


(Da svolgersi utilizzando le tecniche del capitolo 29).Dati due punti , del piano, stabilire quali punti della retta possono essere centro di una circonferenza diA B ABApollonio individuata da , e da un opportuno .A B 5


(Da svolgersi utilizzando le tecniche del capitolo 29).Dati due punti , del piano, stabilire se per ogni numero reale positivo si può trovare in modo che laA B < 5circonferenza di Apollonio individuata da , e abbia raggio .A B 5 <

17.5 - La “potenza di un punto rispetto a una circonferenza.”

Come ulteriore esempio di applicazione del metodo delle coordinate, dimostriamo un classico teorema:

Teorema 17.5.1 (“della secante e della tangente”)

Siano dati una circonferenza e un punto esterno a . Sia una retta passante per che incontra in dueV V VP Prpunti (eventualmente coincidenti) e . Il prodottoA B< <

d d( , ) ( , )P A P B< <†non dipende da ma solo da e (e si dice di rispetto a ) .r P PV Vpotenza

Dimostrazione - Scegliamo un Sdr cartesiano ortogonale monometrico positivamente orientato conl’origine in e il punto unità dell’asse delle ascisse nel centro di . L’equazione di è alloraP V V17.5.F1 (x 1 y Ñ œ <# # #

(dove è il raggio). La generica retta passante per ha equazione< r P17.5.F2 y x .œ :Le intersezioni e tra e si trovano risolvendo il sistema formato dalle 17.5.F1 e 17.5.F2 . SostituendoA B< < r Vnella 17.5.F1 il valore di y espresso dalla 17.5.F2 si ottiene l’equazione di secondo grado nella x

(1 ) x 2x (1 0 : < Ñ œ# # #

le cui soluzioni forniscono le ascisse di e . Posto , si trova cheA B< < ? ³ < : : <# # # #

A B< <´ : ´ :Š ‹ Š ‹ 1 1 1 1 1 1 1 1 : : : :

È È È È? ? ? ?# # # # , e ,


cosicché

d( , ) (1 ) P A< œ : œ : œÉ É (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1

1 : : :

# #

:

È È È ¹ ¹ÈÈ? ? ? ?# # #

# # # # # # #

e, analogamente,

d( , ) .P B< œ 1

1

¹ ¹ÈÈ

:

?

#

Dunque

d d( , ) ( , ) .P A P B< <† œ œ œ 1 1 (1 ) (1 )

1 1 1 1 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹È È È È k k † †

: : :? ? ? ? ?

# # #

Notiamo ora che1 1 (1 )(1 ) œ < : : < œ < :? # # # # # #

e 1 0 perché 0 ( , ) 1 . Allora 1 1 e dunque si ha < < œ œ # d P C k k? ?d d( , ) ( , ) 1P A P B< <† œ <#

cosicché si è provato l’asserto.

Sia ora fissato un SdR cartesiano ortogonale monometrico, sia una circonferenza con centro nel puntoVC P P e raggio , e sia un punto esterno a . Per esprimere la potenza di rispetto a possiamo considerare la< V Vretta e le sue intersezioni , con ; poiché e sono raggi di , èPC A B CA CBV V

d d d d( , ) ( , ) e ( , ) ( , )P A P C P B P Cœ < œ <cosicché ( , ) ( , ) ( ( , ) )( ( , ) ) ( , ) .d d d d dP A P B P C P C P C< <† œ < < œ <# #

Osserviamo ora che ( , ) 0d # P C < œ#

pensata come equazione in è l’equazione di che, esprimendo ( , ) mediante le coordinate di e di ,P P C P CV dassume la forma “standard” 17.2.F3. Dunque, la potenza del punto rispetto alla circonferenza di equazioneP V17.2.F3 si ottiene sostituendo a x e y nel primo membro della 17.2.F3 le coordinate di . Si noti che questo fattoPsuggerisce come la nozione di “potenza” possa essere estesa anche ai punti non esterni a una circonferenza: siassume in generale come potenza del punto ( , ) rispetto alla circonferenza di equazioneP ´ B C! !

x y x y 0 il numero ; questo numero, poiché è uguale a ( , )# # # # #! ! ! ! + , - œ B C +B ,C - <d# P C

, non dipende dal particolare sistema di riferimento (cartesiano, ortogonale, monometrico) considerato, ma solodall’unità di misura fissata per le distanze.

Esercizio 17.5.2

Si descriva l’insieme dei punti del piano che hanno uguale potenza rispetto a due circonferenze date, discutendoin particolare il caso in cui le circonferenze sono secanti e quello in cui sono tangenti.

Esercizio 17.5.3

Sia una circonferenza di centro e raggio , sia un punto esterno a e sia una retta per tangente a inV V VC P P< tun punto . Col metodo delle coordinate, si ritrovi il noto risultato per cui il segmento è ortogonale a .T CT t( : si scelga, come si è fatto nella dimostrazione del teorema 17.5.1, un SdR cartesiano con l’origineSuggerimentoin e il punto unità dell’asse delle ascisse in ) .P C

Esercizio 17.5.4

Sia una circonferenza di centro e raggio , e sia una retta. Si dice che è a se consiste diV V VC < a a asecantedue punti; si dice che è a se . Utilizzando il metodo delle coordinate, si ritrovi il notoa aesterna V V œ grisultato per cui risulta rispettivamente secante, tangente o esterna a a seconda che la distanza di da siaa aV Cminore, uguale o maggiore a .<( : si scelga un SdR cartesiano con l’origine in e l’asse delle ascisse ortogonale ad ) .Suggerimento C a


18.- LE CONICHE


Si dice ogni varietà algebrica associata a un’equazione algebrica di secondo grado. Tenendoconicaconto di quanto riportato in 15.3, si può verificare che tale definizione non dipende dal SdR fissato .Ð Ñ40

Osserviamo che, in base alla definizione data, l’insieme vuoto è una conica; infatti è l’insieme dei puntidel piano le cui coordinate verificano, ad esempio, l’equazione

x y 1 0.# # œNel seguito, tuttavia, ”col termine “conica indicheremo sempre una conica diversa dall’insiemevuoto.

Si dice [ ] la superficie generata (nello spazio) dalla rotazione di una rettacono rotondo cilindro rotondoattorno a un’altra retta ad essa incidente [parallela]. Si può dimostrare che tutte le curve che si ottengono comeintersezione di un cono rotondo (o di un cilindro rotondo) con un piano sono coniche; e che, viceversa, per ogniconica esiste un opportuno cono rotondo (o, eventualmente, un opportuno cilindro rotondo) la cui intersezionecol piano della conica data è la conica stessa.

Osservazione 18.1.1

Sia ( , ) un punto del piano. Esiste una conica che consiste del solo punto : essa ha equazioneP P! ´ B C! !

(x ) (y ) 0. B C œ! !# #

Osservazione 18.1.2

Notiamo che, in base alla definizione data, una retta o una coppia di rette è una conica: infatti, la retta diequazione x y 0 è l’insieme dei punti del piano le cui coordinate verificano l’equazione+ , - œ( x y ) 0; e la coppia delle rette che hanno equazioni x y 0 e ’x ’y ’ 0 è+ , - œ + , - œ + , - œ#

l’insieme dei punti del piano le cui coordinate verificano l’equazione ( x y )( ’x ’y ’) 0.+ , - + , - œ

Una conica che consiste di un punto o di una retta o di una coppia di rette si dice .degenere

Concludiamo questa sezione con alcune definizioni relative alle coniche non degeneri.

Sia una conica non degenere. Un asse di simmetria per si dice un di , o > > >asse trasverso nontrasverso a seconda rispettivamente che incontri o non incontri .>

Sia una conica non degenere, e sia un asse trasverso di . I punti in cui incontra si dicono> > >a avertici di (relativi ad ).> a

Nelle prossime sezioni considereremo tre modi di definire luoghi geometrici nel piano, e mostreremo fral’altro che i luoghi geometrici così definiti sono coniche (ne ricaveremo infatti l’equazione cartesiana in un SdRscelto in modo opportuno). Si potrebbe provare che ogni conica non degenere può essere definita in uno di talimodi.

40 Si tratta in sostanza di osservare quanto segue. Sia l' insieme dei punti del piano le cui coordinate iniun dato SdR verificano l' equazione (x, y) 0, con (x, y) polinomio di secondo grado a coefficienti reali nellep pœindeterminate x, y; allora, per ogni altro SdR cartesiano esiste un polinomio (x, y) di secondo grado aS' p'coefficienti reali tale che è l' insieme dei punti del piano le cui coordinate verificano l' equazione (x,i in S' p'y) 0.œ


18.2 - L’ellisse.

In tutta questa sezione supporremo fissati due punti , del piano e un numero reale positivo .F F" # +

Si dice (individuata da , , ) il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la sommaellisse F F" # +delle distanze da e è uguale a 2 . I punti e si dicono dell’ellisse.F F F F" # " #+ fuochi

Il generico punto del piano appartiene all’ellisse se e solo seP18.2.F1 ( , ) ( , ) 2 .d dP F P F" # œ +Sia ( , ) 2 . Ricordando che in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due, è faciled F F" # œ -osservare che l’ellisse ha punti non appartenenti alla retta se e solo se 2 2 , ossia sseF F" # - +18.2.F2 .+ -L’ellisse ha punti (cioè non è l’insieme vuoto) se e solo se . Se , l’ellisse si riduce al segmento + - + œ - F F" #

(e quindi, come si potrebbe dimostrare, in tal caso l’ellisse non è una varietà algebrica).

Nel seguito di questa discussione supporremo di aver fissato in modo cheF , F , " # + valga la 18.2.F2.

Vogliamo utilizzare il metodo delle coordinate per ricavare informazioni sull’ellisse; a tale scopo nescriveremo l’equazione cartesiana rispetto a un opportuno SdR (che dipenderà da e ).F F" #

Scegliamo l’asse delle ascisse coincidente con la retta ; F F" #

l’origine coincidente col punto medio del segmento ; O F F" #

l’asse delle ordinate ortogonale all’asse delle ascisse; il punto unità sull’asse delle ascisse nella semiretta e quello sull’asse delle ordinate in modo che il SdR OF#

risulti positivamente orientato; entrambi a distanza 1 dall’origine. Si noti che questa volta, a differenza di 16.8 e17.4, non possiamo riassegnare l’unità di misura per le distanze perché la 18.2.F1 dipende dall’unità di misurafissata.

Sarà in particolare ( , 0), ( , 0).F F" #´ - ´ -

Sia un punto del piano. appartiene all’ellisse se e solo se verifica la 18.2.F1, che si può ancheP Pscrivere18.2.F3 ( , ) 2 ( , ).d dP F P F" #œ +

Elevando al quadrato ambo i membri della 18.2.F3 si ottiene la18.2.F4 ( ( , )) 4 ( ( , )) 4 ( , ).d d dP F P F P F" # #

# # #œ + +Per provare che la 18.2.F4 è equivalente alla 18.2.F3 (e quindi alla 18.2.F1), bisogna mostrare che la18.2.F5 ( , ) ( , ) 2d dP F P F" #œ +non ha soluzioni. Ma infatti per un punto che soddisfacesse la 18.2.F5 si avrebbe in base alla 18.2.F2P

d d d( , ) ( , ) 2 2 ( , )P F P F F F# " " # œ + œe tale disuguaglianza è assurda perché significa che nel triangolo il lato risulta minore dellaPF F F F" # " #

differenza degli altri due.

Siano (x, y) le coordinate di . Esprimendo la 18.2.F4 mediante le coordinate di , e eP P F F" #

semplificando, si trova la18.2.F6 x (x ) y .+ - œ + - # # #È

Elevando al quadrato ambo i membri della 18.2.F6, dopo le opportune semplificazioni si ottiene la18.2.F7 ( )( x ) y .+ - + œ +# # # # # #

Per provare che la 18.2.F7 è equivalente alla 18.2.F6 (e quindi alla 18.2.F1), bisogna mostrare che la18.2.F8 x (x ) y- + œ + - # # #Ènon ha soluzioni.


Sia per assurdo ( , ) una soluzione della 18.2.F8. Allora 0 (perché il secondo membro dellaB C -B + #

18.2.F8 non può essere negativo) ossia . Dividendo ambo i membri di questa disuguaglianza per -B + - #

(che è, per ipotesi, un numero positivo) e ricordando la 18.2.F2, si ottiene cheB œ + † + + +

- -

#

da cui (essendo per ipotesi 0) ossia 0 . Se ne deduce che ( , ) non può+ B + + B B C # # # #

soddisfare la 18.2.F7: assurdo, perché ogni soluzione della 18.2.F8 è anche soluzione della 18.2.F7.

Equazione cartesiana della ellisse (rispetto al SdR considerato) è dunque la 18.2.F7. In essa restanoevidenziati il parametro e la semidistanza tra i fuochi.+ -

Poiché 0, si può porre e scrivere l’equazione 18.2.F7 nella forma+ - , ³ + -# # # # #

18.2.F9 1.x y#

# #

#

+ , œ

Vediamo ora quali informazioni possiamo ricavare dalle equazioni 18.2.F7 e 18.2.F9.

Se appartiene all’ellisse il punto di coordinate ( , ), si deduce dalla 18.2.F7 (o dalla 18.2.F9) cheB C! !

appartengono all’ellisse anche i punti di coordinate ( , ), ( , ), ( , ), e quindi (ricordando B C B C B C! ! ! ! ! !

l’osservazione 15.2.3): gli assi coordinati sono assi di simmetria per l’ellisse; l’origine è centro di simmetria perl’ellisse. Dunque l’ellisse ha due assi trasversi (cfr. 18.1) fra loro ortogonali (la retta individuata dai fuochi el’asse del segmento che ha per estremi i fuochi) e un centro di simmetria (il punto medio del segmento che ha perestremi i fuochi).

Sia ( , ) un punto dell’ellisse. Dalla 18.2.F7 segue, poiché 0, che deve essereP! ´ B C + - ! !# #

+ B + B + +# # #! !, cioè . Dalla 18.2.F9, moltiplicando ambo i membri per , si ricava che

B œ , C! !# # #+

,

#

# ( )

e dunque deve essere , cioè . Dunque l’ellisse è tutta interna a un rettangolo i cui lati, C , C ,# #!

misurano 2 e 2 .+ + -È # #

Per descrivere con maggiore precisione la forma dell’ellisse, osserviamo che dalla equazione 18.2.F7 siricava che l’ellisse è formata dai grafici delle funzioni

, ,+ +

# # # #

È È+ + x e x .

I grafici delle funzioni x e x sono descritti dalle equazioniÈ È+ + # # # #

y xœ „ + È # #

equivalenti alla y x che rappresenta la circonferenza con centro nell’origine e raggio . Si può# # #œ + +Vdire che l’ellisse si ottiene “comprimendo” di un fattore .V ,

+

Si usa considerare le circonferenze come casi particolari di ellissi, nelle quali i due fuochi coincidono (ecostituiscono il centro). Naturalmente, in tutta la discussione precedente era essenziale che i fuochi fosserodistinti.

18.3 - L’iperbole.

In tutta questa sezione supporremo fissati due punti , del piano e un numero reale positivo .F F" # +

Si dice (individuata da , , ) il luogo geometrico dei punti del piano per i quali laiperbole F F" # +differenza delle distanze da e è uguale a 2 . I punti e si dicono dell’iperbole.F F F F" # " #+ fuochi


Il generico punto del piano appartiene all’iperbole se e solo se verifica laP18.3.F1 ( , ) ( , ) 2d dP F P F" # œ +oppure la ( , ) ( , ) 2 , che si può anche scrivered dP F P F# " œ +18.3.F2 ( , ) ( , ) 2 .d dP F P F" # œ +

Osserviamo che non può esistere alcun punto che verifichi sia la 18.3.F1 che la 18.3.F2: infatti in talPcaso si avrebbe 2 2 , cioè 0 contro quanto supposto. Un’iperbole è dunque formata da due insiemi+ œ + + œdisgiunti (detti ): il luogo geometrico dei punti che verificano la 18.3.F1 e il luogo geometrico dei punti cheramiverificano la 18.3.F2.

Sia ( , ) 2 . Ricordando che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due,d F F" # œ -è facile osservare che l’iperbole ha punti non appartenenti alla retta se e solo se 2 2 , ossia sseF F" # - +18.3.F3 .+ -L’iperbole ha punti (cioè non è l’insieme vuoto) se e solo se . Se , l’iperbole si riduce al+ Ÿ - + œ -complementare nella retta del segmento (e quindi, come si può dimostrare, in tal caso l’iperbole non èF F F F" # " #

una varietà algebrica).

Nel seguito di questa discussione supporremo di aver fissato in modo cheF , F , " # + valga la 18.3.F3.

Per ricavare informazioni sull’iperbole ne scriviamo l’equazione cartesiana rispetto a un opportuno SdR,fissato (in funzione di e ) con gli stessi criteri adottati per l’ellisse.F F" #

Un punto del piano appartiene all’iperbole se e solo se ( , ) ( , ) 2 , ossiaP P F P Fd d" # œ „ +18.3.F4 ( , ) ( , ) 2 .d dP F P F" #œ „ +Elevando al quadrato ambo i membri delle 18.3.F4 si ottengono le18.3.F5 ( ( , )) 4 ( ( , )) 4 ( , ).d d dP F P F P F" # #

# # #œ + „ +Per provare che le 18.3.F5 sono equivalenti alle 18.3.F4 (e quindi al complesso delle 18.3.F1 e 18.3.F2), bisognamostrare che le ( , ) ( , ) 2 œ „ +d dP F P F" #

non hanno soluzioni.

In effetti, queste uguaglianze si possono scrivere… + œ 2 ( , ) ( , ) ;d dP F P F" #

è chiaro che non può essere ( , ) ( , ) 2 ; per un punto che soddisfacesse lad dP F P F P" # œ +d d( , ) ( , ) 2P F P F" # œ +

si avrebbe in base alla 18.3.F3d d d( , ) ( , ) 2 2 ( , )P F P F F F# " " # œ + œ

e tale disuguaglianza è assurda perché significa che nel triangolo il lato risulta maggiore dellaPF F F F" # " #

somma degli altri due.

Siano (x, y) le coordinate di . Esprimendo le 18.3.F5 mediante le coordinate di , e eP P F F" #

semplificando, si trovano le18.3.F6 x (x ) y .+ - œ „ + - # # #È

Il complesso delle 18.3.F6 equivale all’(unica) equazione che si ottiene elevandone al quadrato ambo imembri; dopo le opportune semplificazioni si giunge alla18.3.F7 ( )( x ) y .+ - + œ +# # # # # #

Equazione cartesiana della iperbole (rispetto al SdR considerato) è dunque la 18.3.F7. Notiamo che essaè equivalente al complesso delle 18.3.F1 e 18.3.F2 solo se (come abbiamo supposto) vale la 18.3.F3. Notiamoanche che la 18.3.F7 è identica alla 18.2.F7. Precisamente, fissati due punti , (e quindi scelto diF F" #

conseguenza il SdR), un’equazione della forma 18.3.F7 rappresenta: un’ellisse se , un’iperbole se .+ - + -

Poiché 0, si può porre e scrivere l’equazione 18.3.F7 nella forma- + , ³ - +# # # # #

18.3.F8 1.x y#

# #

#

+ , œ


Come per l’ellisse, si vede dalla 18.3.F7 (o dalla 18.3.F8) che gli assi coordinati sono assi di simmetriaper l’iperbole e che l’origine è centro di simmetria per l’iperbole. Dunque l’iperbole ha due assi (cfr. 18.1) fraloro ortogonali (uno trasverso: la retta individuata dai fuochi; e uno non trasverso: l’asse del segmento che ha perestremi i fuochi) e un centro di simmetria (il punto medio del segmento che ha per estremi i fuochi).

Sia ( , ) un punto dell’iperbole. Dalla 18.3.F7 segue, poiché 0, che deve essereP! ´ B C + - ! !# #

+ Ÿ B B Ÿ + B + +# #! ! !, cioè oppure ; dunque, l’iperbole è esterna a una striscia di piano di ampiezza 2 .

Consideriamo la retta di equazione y x.r œ ,+

Indichiamo con la differenza fra le ordinate di due punti aventi uguale ascissa (maggiore di ) e$ÐBÑ B +situati uno sulla retta e l’altro sulla porzione di iperbole contenuta nel primo quadrante. L’ordinata del puntorappartenente alla retta è , mentre quella del punto appartenente all’iperbole è,

+ B

,+

# #ÈB +

(come si ricava facilmente dalla 18.3.F8); dunque

$ÐBÑ œ B B + œ œ, , +,+ +

# # B B + B B +

B B + B B +( ) .È ( ) ( )

( )

È ÈÈ È# # # #

# # # #

Si vede facilmente che, al crescere di , diviene arbitrariamente piccolo (più avanti esprimeremoB ÐBÑ$rigorosamente questa idea scrivendo che 0 ); ciò significa che, al crescere di , il tratto di iperbole lim

B Ä _ÐBÑ œ B$

situato nel primo quadrante si avvicina indefinitamente alla .r

Analogamente si vede che il tratto di iperbole situato nel terzo quadrante si avvicina indefinitamente allar r’; e che i tratti di iperbole situati nel secondo e quarto quadrante si avvicinano indefinitamente alla retta diequazione y x.œ ,

+

Le rette e si dicono dell’iperbole di equazione 18.3.F8.r r’ asintoti

Se gli asintoti sono fra loro ortogonali, l’iperbole si dice . Per il teorema 16.6.2, l’iperbole èequilateraequilatera se e solo se

, , , ++ + + ,

" # #œ œ + œ ,( ) ossia ossia .Ricordando che , la condizione diventa, ³ - +# # #

+ œ - + + œ + œ -# # # # - ossia ossia 2 . 12 2# È

In altri termini, per ogni scelta dei fuochi esiste esattamente un valore del parametro che individua un’iperbole+equilatera.

Se l’iperbole è equilatera, può essere conveniente scriverne l’equazione rispetto al SdR individuatodagli asintoti; tale equazione è

xy oppure xy .œ œ + +# #

2 2

Per descrivere con maggiore precisione la forma dell’iperbole si devono utilizzare le tecniche chedescriveremo nel capitolo 29 . Le considerazioni sugli assi di simmetria ci consentono di limitare lo studio allaparte di curva che giace nel primo quadrante: dalla equazione 18.3.F7 si ricava che in tale porzione del pianol’iperbole coincide col grafico della funzione per x 0 .,

+# #ÈB +

Esercizio 18.3.1

(Da svolgersi utilizzando le tecniche del capitolo 29).Sia 1 . Si disegni il grafico della funzione (x) per x 0 . Se ne deduca la forma+ ³ B + f È # #

dell’iperbole.


Osservazione 18.3.2

Sia l’iperbole di equazione 9x 16y 144> # # œ(che si ottiene ponendo 4 e 5 nella 18.3.F7) . Sia la retta di equazione 3x 4y 12 0 sia quella di+ ³ - ³ œequazione x 4 incontrano nel solo punto (4, 0) ; ma solo la seconda retta viene considerata inœ ´> A tangenteA a .>Come preannunciato in 17.3, la nozione di introdotta per una circonferenza non si estende alle altretangenteconiche (né, a maggior ragione, alle altre curve) . Si veda anche l’osservazione 18.4.3 .

18.4 - La parabola.

In tutta questa sezione supporremo fissati nel piano un punto e una retta .F d

Si dice (individuata da e ) il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da e da .parabola F Fd dIl punto si dice della parabola; la retta si dice della parabola.F fuoco direttriced

Il generico punto del piano appartiene dunque alla parabola se e solo se verifica laP18.4.F1 ( , ) ( , ) .d dP F Pœ d

Per ricavare informazioni sulla parabola ne scriviamo l’equazione cartesiana rispetto a un opportunoSdR (che dipenderà da e ). Sia la retta per perpendicolare a , e sia il punto in cui incontra .F F Kd r d r dScegliamo l’asse delle ascisse coincidente con la retta ; r l’origine coincidente col punto medio del segmento ; O KF l’asse delle ordinate ortogonale all’asse delle ascisse; il punto unità sull’asse delle ascisse coincidente con e quello sull’asse delle ordinate in modo che il SdR Frisulti monometrico e positivamente orientato. Come già in 16.8 e 17.4, e a differenza di 18.2 e 18.3, possiamoscegliere il segmento come unità di misura per le distanze perché la 18.4.F1 non dipende dall’unità di misuraOFfissata.

Sarà in particolare (1, 0); inoltre, avrà equazione x 1 0.F ´ œd

Sia un punto del piano e siano (x, y) le sue coordinate. Esprimendo la 18.4.F1 mediante le coordinatePdi ed e mediante l’equazione cartesiana di , si trova laP F d

|x 1| (x 1) y . œ È # #

Questa equazione è equivalente a quella che si ottiene elevandone al quadrato ambo i membri esemplificando, cioè alla18.4.F2 y 4x# œche è dunque l’equazione cartesiana della parabola (rispetto al SdR fissato). In effetti, la

|x 1| (x 1) y œ È # #

non ha soluzioni, perché in essa primo e secondo membro hanno segno opposto e non possono annullarsicontemporaneamente.

La 18.4.F2 ci permette di osservare che, se il punto di coordinate ( , ) appartiene alla parabola, ancheB C! !

il punto di coordinate ( , ) vi appartiene: dunque, l’asse delle ascisse è asse di simmetria per la parabola.B C! !

Inoltre, se il punto di coordinate ( , ) appartiene alla parabola, è 0 (perché y 0): dunque, la parabolaB C B ! ! ! !#

è tutta contenuta nel semipiano formato dai punti di ascissa positiva. Si è così visto che la parabola ha un assetrasverso (la retta passante per il fuoco ortogonale alla direttrice) ed è tutta contenuta in un semipiano.


Per descrivere con maggiore precisione la forma della parabola si devono utilizzare le tecniche chedescriveremo nel capitolo 29 . Le considerazioni sull’asse di simmetria ci consentono di limitare lo studio allaparte di curva che giace nel primo quadrante: dalla equazione 18.4.F2 si ricava che in tale porzione del piano laparabola coincide col grafico della funzione

2 x .È

Esercizio 18.4.1

(Da svolgersi utilizzando le tecniche del capitolo 29).Si disegni il grafico della funzione (x) 2 x .f ³ ÈSe ne deduca la forma della parabola.


Si ripeta la discussione della sezione 18.3 utilizzando un SdR cartesiano ortogonale monometrico definito inmodo analogo ma col punto unità coerente con una diversa prefissata unità di misura.

Osservazione 18.4.3

Sia la parabola di equazione y 4x .> # œSia l’asse delle ascisse che l’asse delle ordinate hanno in comune con soltanto l’origine; ma solo l’asse delle>ordinate viene considerato nell’origine a .tangente >Come preannunciato in 17.3, la nozione di introdotta per una circonferenza non si estende alle altretangenteconiche (né, a maggior ragione, alle altre curve) . Si veda anche l’osservazione 18.3.2 .


Si dimostri che, fissato un SdR cartesiano (ortogonale, monometrico) , ogni equazione della formaOxyy x x con , ,œ + , - + , - −# ‘

rappresenta una parabola.Suggerimento: Sia ( , ) e sia la retta di equazione y . Si verifichi cheF ´ œ - 1 4 1

2 4 4, , +- , + + +

# #dy x x è l’equazione cartesiana della parabola che ha per fuoco e per direttrice .œ + , -# F d

18.5 - Eccentricità.

Esercizio 18.5.1

Sono date la retta : x 4 e il punto (1, 0).r œ ´FDeterminare il luogo dei punti del piano per i quali si ha ( , ) ( , ) .P P F Pd dœ r

Soluzione - Sappiamo che il luogo cercato è una parabola. Con facili calcoli se ne trova l’equazione:y 6x 15.# œ


Esercizio 18.5.2

Sono date la retta : x 4 e il punto (1, 0).r œ ´FDeterminare il luogo dei punti del piano per i quali si ha ( , ) ( , ) .P P F Pd dœ "

# r

Soluzione - Con facili calcoli si trova: 3x 4y 12, ossia 1.# # œ œx4 3

y# #

Dunque il luogo cercato è un’ellisse!

Esercizio 18.5.3

Sono date la retta : x e il punto (1, 0).r œ ´14 F

Determinare il luogo dei punti del piano per i quali si ha ( , F) 2 ( , ).P P Pd dœ r

Soluzione - Con facili calcoli si trova: 3x y , ossia 1.# # œ œ3 x 4

y #

" $% %

#

Dunque il luogo cercato è un’iperbole!

Teorema 18.5.4

Siano un punto e una retta. Per ogni numero reale positivo , l’insieme dei punti del piano per i qualiF Pr (

18.5.F1 dd( , )( , )P FP r œ (

è una conica, e precisamente: se 0 1, un’ellisse; se 1, una parabola; se 1, un’iperbole. œ ( ( (Viceversa, ogni conica non degenere che non sia una circonferenza si può ottenere con questa costruzione.

Dimostrazione - Per definizione, le parabole sono tutti e soli i luoghi geometrici che si ottengono con lacostruzione descritta dal teorema per 1 .( œ

Possiamo dunque supporre che sia 1 . Posto , la 18.5.F1 si può scrivere come( Á + ³ 1(

18.5.F2 ( , ) ( , ) .d dP P Fr œ + †

Per studiare il luogo geometrico definito dalla 18.5.F2 , ne scriviamo l’equazione in un SdR cartesianoopportunamente scelto. Scegliamo

l’asse delle ascisse coincidente con la retta per ortogonale a ;F r

il punto unità sull’asse delle ascisse coincidente con ;F

+ œ l’origine in modo che abbia equazione x 0 (cioè, detta l’intersezione fra e l’asse : se 1O Kr r x# (scegliamo nella semiretta individuata da non contenente in modo che siaO F K

OF FKœ ((

#

# " ;

se 1 scegliamo nella semiretta individuata da contenente in modo che sia( O F K

OF FKœ 1 (#" ) ;

l’asse delle ordinate, e il punto unità sull’asse delle ordinate, in modo che il SdR risulti ortogonale,monometrico e positivamente orientato.

In questo SdR, la retta ha equazione x 0 e il punto ha coordinate 1, 0 .r + œ# F a bSia (x, y) un punto del piano. appartiene al luogo geometrico definito dalla 18.5.F2 se e solo seP P´

18.5.F3 x (x 1) y .k k È + œ + # # #


Poiché, essendo 0 e dunque anche 0, la( +

+ œ + k k Èx (x 1) y # # #

non ha soluzioni, la 18.5.F3 è equivalente all’equazione che si ottiene elevando al quadrato ambo i membri, cioèalla

18.5.F4 (x ) (x 1) y + œ + +# # # # # #

che è l’equazione cartesiana del luogo geometrico considerato.

Avendosi (x ) (x 1) x 2 x x 2 x + + œ + + + + +# # # # # # % # # # #

la 18.5.F4 si può scrivere come18.5.F5 ( 1)( x ) y .+ + œ +# # # # #

Poiché la 18.5.F5 è equivalente alla 18.5.F3 ed è identica alla 18.2.F7 , la 18.5.F1 rappresenta: un’ellissese 1 (cioè se 1), un’iperbole se 1 (cioè se 1) .+ + ( (

Viceversa, sia un’ellisse o un’iperbole individuata da due fuochi e e dal parametro (rispetto> F F" # +all’unità di misura formata da metà del segmento ) ; si costruisca un SdR cartesiano ortogonaleF F" #

monometrico come in 18.2 (o in 18.3), si ponga e sia la retta di equazione x : l’insieme dei punti ( ³ œ +1 +

#r Pdel piano per i quali vale la 18.5.F1 è .>

Osservazione 18.5.5

Sia una conica non degenere che non è una circonferenza. Per il teorema 18.5.4, esistono un punto (dettoV Ffuoco direttrice) , una retta (detta ) e un numero reale positivo tali che risulta essere il luogo geometrico deir ( Vpunti del piano per i quali

dd( , )( , )P FP r œ ( .

Il numero reale si dice della conica . Alle circonferenze si assegna eccentricità uguale a( Veccentricitàzero.

18.6 - La classificazione delle coniche.

In questa sezione esponiamo, senza dimostrazione, un algoritmo per decidere che conica rappresenti unadata equazione di secondo grado in un SdR cartesiano ortogonale monometrico. Utilizzeremo la nozione di“rango di una matrice”, che verrà introdotta nel capitolo 20.

Fissato un SdR cartesiano ortogonale monometrico (non necessariamente positivamente orientato) Oxy, sia la conica rappresentata dall’equazione algebrica di secondo grado>( ) x xy y x y 0 .æ + + + + + + œ"" "# ## "$ #$ $$

# #

La matrice

A ³

+

+

+

Î ÑÏ Ò

""+ +

+ +##

+ +$$

"# "$

"# #$

"$ #$

2 2

2 2

2 2

si dice ( ) .matrice di associata all’equazione> æ


Indichiamo con il numero reale 4 , che interverrà più volte nell’algoritmo. Se 0 , il? ?+ + + Á"" ## "##

sistema lineare 2 x y 0x 2 y 0œ + + + œ

+ + + œ"" "# "$

"# ## #$

ha esattamente una soluzione , ) ; sia il punto di coordinate ( , ) .ÐB C B C! ! ! !C

Poiché l’equazione ( ) è per ipotesi di secondo grado, almeno uno dei tre numeri , e èæ + + +"" "# ##

diverso da zero; dunque, il rango di può essere 1, 2 oppure 3.A

Se il rango di è 1, è una retta (esempio: x y 2xy 2x 2y 1 0 rappresenta la retta diA > # # œequazione y x 1) .œ

Se il rango di è 2, bisogna distinguere più casi. Se 0, è una coppia di rette incidenti in A C? >(esempio: x y 2x 2y 0 rappresenta la coppia formata dalle rette di equazioni y x e y 2 x) . Se# # œ œ œ ? œ0, è il punto (esempio: x y 4x 6y 13 0 rappresenta il punto di coordinate (2, 3) ) . Se> C # #

? œ œ0, è l’insieme vuoto (esempio: x 2xy y 6x 6y 10 0) oppure una coppia di rette parallele> # #

(esempio: x 2xy y x y 0 rappresenta la coppia formata dalle rette di equazioni y x e y x 1) ;# # œ œ œ quando non è facile stabilire se ( ) ha almeno una soluzione, si può controllare se si verifica una delle seguentiædue situazioni: 0 e 4 ; oppure, 4 ; in questo caso è l’insieme vuoto,+ œ + œ + + + + + +"# ## "" $$ ## $$"$ #$

# # >altrimenti è una coppia di rette parallele.>

Se il rango di è 3 (e solo in questo caso) è una conica non degenere: se 0 , è un’iperbole conA > >? centro nel punto (esempio: x y 2x 2y 1 0 ) ; se 0 , è una parabola (esempio:C # # œ œ? >4x y 4xy 5x 10y 25 0 ); se 0 , è l’insieme vuoto (esempio: x y 1 0) oppure una# # # # œ œ? >ellisse (esempio: x y xy 1 0), o una circonferenza (esempio: x y 1 0) con centro nel punto # # # # œ œ C. Se non è facile verificare che ( ) ha almeno una soluzione, in quest’ultimo caso basta vedere se ha punti inæ >comune con una qualsiasi retta passante per (ad esempio risolvendo il sistema formato dalla ( ) e dallaC æequazione x ).œ B!

Esercizi

Si classifichino le coniche rappresentate dalle seguenti equazioni:18.6.1 x 2xy 3y 3x y 3 0 .# # œ18.6.2 x 2xy 4x 6y 3 0 .# œ18.6.3 x 2xy y 3x y 2 0 .# # œ18.6.4 x 2xy 3y 3x y 2 0 .# # œ18.6.5 x 2xy y 4x 4y 4 0 .# # œ18.6.6 x 2xy y 3x y 2 0 .# # œ18.6.7 x y 4x 2y 5 0 .# # œ18.6.8 4x 4xy y 4x 2y 2 0 .# # œ18.6.9 4x 4xy y 2x y 2 0 .# # œ

Esercizio 18.6.10

Si verifichi che, comunque scelti , , l’equazione 1 rappresenta un’ellisse.+ , − œ‘ x y#

# #

#

+ ,

Esercizio 18.6.11

Si verifichi che, comunque scelti , , l’equazione 1 rappresenta una iperbole.+ , − œ‘ x y#

# #

#

+ ,


Si ripeta la dimostrazione del teorema 18.5.4 scegliendo un SdR meno “cervellotico” e utilizzando l’algoritmo diclassificazione delle coniche. (Ad esempio: si scelga l’origine in e il punto unità nella proiezione ortogonale diFF su .)r


19.- SPAZI VETTORIALI SU IR

19.1 - Definizione di spazio vettoriale su .‘

Sia ( , ) un gruppo commutativo. Si dice che è uno (oppure uno V V spazio vettoriale su spazio‘vettoriale reale) se è data un’applicazione tale che (indicando con l’immagine della coppia‘ -‚ ÄV V vordinata , )Ð Ñ- v SV.1 , , ;- - - - ‘Ð Ñ œ a − a −v w v w v w V SV.2 , , ;Ð Ñ œ a − a −- . - . - . ‘v v v v V SV.3 , , ;- . -. - . ‘Ð Ñ œ Ð Ñ a − a −v v v V SV.4 1 .v v v V œ a −

Si noti che nella SV.2 abbiamo usato lo stesso simbolo “ ” per indicare due operazioni del tuttodiverse: la somma in (al primo membro della SV.2) e la somma in (al secondo membro della SV.2). Ciò in‘ Vgenere non dà luogo ad equivoci, ma va tenuto presente. Più attenzione va dedicata all’uso del simbolo “0”, chepuò indicare sia l’elemento neutro per la somma definita in sia anche l’elemento neutro per la somma definita‘in ; per chiarezza, riserveremo il nome “zero” al primo e chiameremo invece “vettore nullo” il secondo:Vquest’ultimo, anzi, sarà spesso indicato con “0 ”.v

Gli elementi di si dicono ; i numeri reali, in questo contesto, sono detti anche .V vettori scalariL’applicazione che alla coppia ordinata , associa il vettore si dice o, anche,Ð Ñv v- - prodotto per numeri realiprodotto per scalari.

Si può definire la nozione di “spazio vettoriale su ” per un campo qualsiasi. Tuttavia, noi saremoK Kinteressati solo al caso . Pertanto, nel seguito scriveremo sempre “spazio vettoriale” anziché “spazioK œ ‘vettoriale su ”.‘

Esempio 19.1.1

L’insieme dei vettori liberi è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e di prodotto peri$ Ð Ñ41

numeri reali definite in 14.2 e 14.5.

Esempio 19.1.2

‘ ‘ è uno spazio vettoriale rispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto in .

Esempio 19.1.3

‚ ‚ ‚ ‘ ‚ è uno spazio vettoriale rispetto alla somma definita in e alla restrizione a del prodotto definito in .‚

Esempio 19.1.4

L’insieme [ ] dei polinomi nell’indeterminata a coefficienti reali è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali‘ B Boperazioni di somma e di prodotto per numeri reali.

41 Ricordiamo quanto già osservato in 14.5.2. Tuttavia nel seguito useremo il termine “operazione”anche per indicare un prodotto per scalari che verifichi le SV.1, SV.2, SV.3 e SV.4.


Esempio 19.1.5

L’insieme delle -ple ordinate di numeri reali (cfr. 3.9) è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni così‘8 8definite: - somma fra vettori: , , , , , , , , , ;Ð+ + á + Ñ Ð, , á , Ñ ³ Ð+ , + , á + , Ñ" # 8 " # 8 " " # # 8 8

- prodotto di un vettore per un numero reale: , , , , , , .- - - -Ð+ + á + Ñ ³ Ð + + á + Ñ" # 8 " # 8

La verifica di tutte le condizioni (cioè che , è un gruppo commutativo, e che valgono le SV.1, SV.2, SV.3Ð Ñ‘8

e SV.4), semplice ma lunga e noiosa, è lasciata alla buona volontà del lettore. Tuttavia questo esempio rivesteparticolare importanza, e -sotto certi aspetti- è l’“esempio per eccellenza”, come apparirà chiaro più avanti(teorema 19.9.11).

Esempio 19.1.6

Sia un insieme. Nell’insieme di tutte le funzioni si definiscono le seguenti operazioni:A A Ä ‘ - somma fra funzioni: ( ) ( ) ( ) (ossia: è quella funzione che porta inÐ Ñ ³ Äf g a f a g a f g A a‘f a g a( ) ( )) ; - prodotto di una funzione per un numero reale: ( ) ( ) (ossia: è quella funzione cheÐ Ñ ³ Ð Ñ Ä- - - ‘f a f a f Aporta in ( ) ) .a f a- †

Indichiamo con , l’insieme di tutte le funzioni con dominio . Mostriamo ora che, conY ‘ ‘Ð Ñ ÄA A Ale operazioni sopra definite, , è uno spazio vettoriale.Y ‘Ð ÑA

Ð Ð Ñ ÑY ‘A, , è un gruppo abeliano. Infatti:

ÐÐ Ñ Ñ œ Ð Ñ œ œ Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ a − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;f g h a f g a h a f a g a h a f a g h a f g h a a Adunque , cioè la somma in , è associativa;Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñf g h f g h AY ‘

Ð Ñ elemento neutro per la somma in , è la funzione che porta ogni elemento di nel numero realeY ‘A f A!

zero; infatti ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) , dunque , e analogamente Ð Ñ œ œ œ a − œ œf f a f a f a f a f a a A f f f f f f! ! ! !

;

− Ð Ñ Ð Ñ ³ Ð Ñ a − per ogni , , l’“opposta” di è la funzione tale che ( ) ( ) ; infattif A f f f a f a a AY ‘ Ð Ð ÑÑ œ Ð Ñ œ œ œ Ð Ñ œf f a f a f a f a f a f a f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ), dunque , e analogamente! !

Ð Ñ œf f f! ;

Ð Ñ œ œ œ Ð Ñ a − œ Ð ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; dunque , cioè la somma in ,f g a f a g a g a f a g f a a A f g g f AY‘Ñ è commutativa.

Inoltre, il prodotto per numeri reali sopra definito verifica le SV.1, SV.2, SV.3 e SV.4. Infatti:

SV.1Ð Ð ÑÑ œ ÐÐ Ñ Ñ œ Ð Ñ œ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ a −- - - - - - - - -f g a f g a f a g a f a g a f a g a f g a a A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;dunque ;- - -Ð Ñ œ f g f g

SV.2ÐÐ Ñ Ñ œ Ð ÑÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ a −- . - . - . - . - .f a f a f a f a f a f a f f a a A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;dunque ;Ð Ñ œ - . - .f f f

SV.3ÐÐ Ð ÑÑ œ ÐÐ Ñ Ñ œ Ð Ð ÑÑ œ Ð ÑÐ Ñ œ ÐÐ Ñ Ñ a −- . - . - . -. -.f a f a f a f a f a a A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;dunque ;- . -.Ð Ñ œ Ð Ñf f

SV.4Ð Ñ œ Ð Ñ œ a −1 ( ) 1 ( ) ( ) ;f a f a f a a Adunque 1 .f fœ


Nel seguito (cap. 21 e successivi) rivestirà particolare importanza il caso in cui . Se ,A A© ©‘ ‘scriveremo più brevemente anziché , .Y Y ‘Ð Ñ Ð ÑA A

Osservazione 19.1.7

L’insieme di le funzioni (senza condizioni sul dominio) non è uno spazio vettoriale, perché non ètutte ‘ ‘Äun gruppo rispetto alla somma.Infatti l’elemento neutro per la somma è la funzione (“funzione nulla”) che ad ogni numero reale associa lo zero;e qualsiasi funzione con ( ) non ha opposto, perché la somma di con qualsiasi altra funzione non puòf f fW ‘Áavere per dominio tutto , come avviene invece per la funzione nulla.‘Se invece consideriamo soltanto, come nell’esempio 19.1.6, le funzioni che hanno un fissato dominio ,Al’elemento neutro per la somma è la restrizione ad della funzione nulla e si riesce, come si è visto, a trovareAl’opposta per ogni funzione .A Ä ‘

Teorema 19.1.8

Sia uno spazio vettoriale, sia e sia . Si haV v V− −- ‘- -v vœ œ œ0 se e solo se 0 oppure 0 .v v

Dimostrazione - Si ha 0 0 0 0 0† œ Ð Ñ † œ † †v v v vda cui (sommando ad ambo i membri l’opposto di 0 ) 0 0 . Analogamente,† † œv v v

- - - -0 0 0 0 0v v v v vœ Ð Ñ œ da cui (sommando ad ambo i membri l’opposto di 0 ) 0 0 .- -v v vœViceversa, sia 0 ; dobbiamo provare che, se 0, 0 . In effetti, se 0 esiste in il reciproco - - - ‘ -v vœ Á œ Áv v

"

di e si ha 1 0 0- - - - - -v v v vœ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ" " "v v

ricordando SV.4, SV.3 e quanto già dimostrato.

Teorema 19.1.9

Sia uno spazio vettoriale. Per ogni , 1 è l’opposto di (e si indica con , cfr. 7.5).V v V v v v− Ð Ñ

Dimostrazione - Si tratta di dimostrare che 1 0 . In effetti,v v Ð Ñ œ v

v v v v v v Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ † œ1 1 1 1 1 0 0v

ricordando SV.4, SV.2 e il teorema 19.1.8.

19.2 - Matrici.

Siano , numeri interi positivi, e sia l’insieme delle matrici a elementi reali (cfr. 3.9).7 8 7‚ 8‘7ß8

Si definisce in un’operazione di ponendo per , ‘ ‘7ß8 7ß 83ß4 3ß4somma Ð+ Ñ Ð, Ñ −

Ð+ Ñ Ð, Ñ ³ Ð+ , Ñ3ß4 3ß4 3ß4 3ß4

(ossia: il termine di posto , del risultato è la somma dei termini di posto , degli addendi; ciò si esprimeÐ3 4Ñ Ð3 4Ñanche dicendo che le matrici ). È facile verificare (e si lascia alla buonasi sommano elemento per elementovolontà del lettore) che , è un gruppo commutativo. L’elemento neutro di , è la matrice cheÐ Ñ Ð Ñ‘ ‘7ß8 7ß 8

ha tutti gli elementi uguali a zero, detta .matrice nulla

Si definisce poi il prodotto di una matrice per un numero reale ponendo per e Ð+ Ñ − −3ß47ß 8‘ - ‘

- -Ð+ Ñ ³ Ð + Ñ3ß4 3ß4

(ossia: il termine di posto , del risultato è il prodotto del termine di posto , della matrice per ; ciò siÐ3 4Ñ Ð3 4Ñ -esprime anche dicendo che una matrice ).si moltiplica per uno scalare elemento per elemento


È facile verificare (e si lascia ancora una volta alla buona volontà del lettore) che valgono le SV.1,SV.2, SV.3 e SV.4, e che dunque rispetto alla somma e al prodotto per scalari sopra definiti è uno spazio‘7ß8

vettoriale.

Esempio 19.2.1

Sia 3, 4 e siano7 œ 8 œ

A , B .1 0 2 3 1 0 1 10 1 5 0 2 1 3 12 3 0 2 2 2 1 1

³ ³

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Si ha

A B ;0 0 3 22 0 2 10 1 1 1

œ

Î ÑÏ Ò

3A , 5B .3 0 6 9 5 0 5 50 3 15 0 10 5 15 56 9 0 6 10 10 5 5

œ œ

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Si definisce anche un , che però non è un’operazione in se .prodotto fra matrici ‘7ß8 7 Á 8

Sia A una matrice a elementi reali, e sia B una matrice a elementi reali (siœ Ð+ Ñ 7 ‚ 8 œ Ð, Ñ 8 ‚ =3ß4 4ß5

noti bene: il numero delle colonne di A deve essere uguale al numero delle righe di B); si dice prodotto righe percolonne prodotto di A per B (o anche, semplicemente, di A per B) la matrice C così definita:7‚ = œ Ð- Ñ3ß5

l’elemento di posto , di C si ottiene moltiplicando elemento per elemento la sima riga di A per laÐ3 5Ñ 3 5 sima colonna di B e sommando i prodotti così ottenuti, ossia

- ³ + † , + † , + † , á + † ,3ß5 3ß" "ß5 3ß# #ß5 3ß$ $ß5 3ß8 8ß5 .

Il prodotto righe per colonne delle matrici A e B si indica con AB. Per esso vale la proprietà associativa(ossia: AB C A BC ); inoltre ha un “buon comportamento” nei confronti della somma e del prodotto perÐ Ñ œ Ð Ñscalari sopra definiti: valgono cioè la proprietà distributiva ( A B C AB AC e A B C AC BC ) eÐ Ñ œ Ð Ñ œ la A B A B AB . Si noti che se il prodotto AB è definito (ossia se il numero delle colonne di A èÐ Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ- - -uguale al numero delle righe di B) non è detto che sia definito il prodotto BA; ma anche quando entrambi iprodotti AB e BA sono definiti non è in generale AB BA (cfr. Esempio 19.2.3).œ

Se , risulta, rispetto alla somma e al prodotto sopra definiti, un anello (non commutativo)7 œ 8 ‘8ß8

con unità. Sia A , e sia ; si indica con A il prodotto di matrici uguali ad A.− 5 − 5‘ ™8ß8 5

Riveste particolare importanza il caso in cui si moltiplica una matrice per una matrice 1 :7‚ 8 8 ‚quest’ultima può essere interpretata come un elemento di (scritto “dall’alto verso il basso” anziché “da‘8

sinistra a destra”), e il risultato della moltiplicazione può allo stesso modo essere letto come un elemento di .‘7

(Cfr. 19.9.6 più avanti).

Esercizio 19.2.2

Si determini l’elemento neutro per il prodotto in , in , e più in generale in .‘ ‘ ‘#ß# $ß$ 8ß8


Esempio 19.2.3

Posto

A B1 1 1 10 1 1 0³ ³Œ Œ

si ha AB BA2 1 1 21 0 1 1œ œŒ Œ

e dunque il prodotto in non è commutativo.‘#ß#

Esempio 19.2.4

Posto

A B1 1 1 21 1 1 2³ ³

Œ Œ

si ha

AB BA A.0 00 0œ œŒ

Esercizio 19.2.5

Si verifichi che il prodotto in non è commutativo.‘$ß$

Esempio 19.2.6

Posto A B6 4 3 19 6 6 2³ ³

Œ Œ

si ha

A B B.0 00 0

# #œ œŒ

19.3 - Sottospazi.

Sia uno spazio vettoriale, e sia un sottoinsieme non vuoto di .V W V

W w W w W si dice se comunque presi e è anche .chiuso rispetto al prodotto per scalari − − −- ‘ -

Esempio 19.3.1

Sia x lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x (cfr. esempio 19.1.4). Il‘Ò Ósottoinsieme di x formato dai polinomi di secondo grado e dal polinomio nullo è chiuso rispetto al prodotto‘Ò Óper scalari.


Sia uno spazio vettoriale, e sia un sottoinsieme non vuoto di .V W V

W V si dice un di se è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari; sisottospazio vettorialeverifica facilmente che in tal caso è uno spazio vettoriale rispetto a tali operazioni .W Ð Ñ42

Esempio 19.3.2

Sia x lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x (cfr. esempio 19.1.4). Il‘Ò Ósottoinsieme di x formato dai polinomi di grado non superiore a due è un sottospazio vettoriale di x .‘ ‘Ò Ó Ò Ó

Esempio 19.3.3

Il sottoinsieme costituito dai numeri complessi la cui parte reale è 0 è un sottospazio vettoriale di (cfr. esempio‚19.1.3).

Esempio 19.3.4

Sia , / .S ³ ÖÐB CÑ − B œ C×‘#

Allora è un sottospazio vettoriale di .S ‘#

Dimostrazione - Poiché 1, 1 , non è vuoto.Ð Ñ − S S

Proviamo che è chiuso rispetto alla somma. Siano , , , , e mostriamo che , S SÐB C Ñ ÐB C Ñ − ÐB B" " # # " #

C C Ñ − B B œ C C B œ C B œ C" # " # " # " " # #S, ossia che . Per ipotesi, e ; sommando queste uguaglianzemembro a membro, si trova appunto che .B B œ C C" # " #

Proviamo infine che è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Sia , , e sia ; mostriamoS SÐB CÑ − −- ‘che , , ossia che . Per ipotesi, ; moltiplicando questa uguaglianza membro a membroÐ B CÑ − B œ C B œ C- - - -Sper , si trova appunto che . L’asserto è così completamente provato.- - -B œ C

Esempio 19.3.5

Sia , / 0 .S ³ ÖÐB CÑ − B œ ×‘#

Allora è un sottospazio vettoriale di .S ‘#

Dimostrazione - Poiché 0, 1 , non è vuoto.Ð Ñ − S S

Proviamo che è chiuso rispetto alla somma. Siano , , , , e mostriamo che , S SÐB C Ñ ÐB C Ñ − ÐB B" " # # " #

C C Ñ − B B œ B œ B œ B B œ" # " # " # " #S, ossia che 0. In effetti, 0 e 0 per ipotesi; dunque 0, come sivoleva.

Proviamo infine che è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Sia , , e sia ; mostriamoS SÐB CÑ − −- ‘che , , ossia che 0. Ma ciò è ovvio, perché 0 per ipotesi. L’asserto è così completamenteÐ B CÑ − B œ B œ- - -Sprovato.

42 Si noti che la chiusura rispetto alla somma non garantisce di per sè la struttura di sottogruppo: si vedal' esempio 8.2.1 (ma anche l' esempio 9.3.1). In effetti, in un sottospazio vettoriale l' esistenza dell' opposto ègarantita dalla chiusura rispetto al prodotto per scalari grazie al teorema 19.1.9.


Teorema 19.3.6

Sia uno spazio vettoriale. Se è un sottospazio vettoriale di , allora 0 .V W V Wv −

Dimostrazione - Poiché è in particolare un sottogruppo di , , l’asserto segue immediatamenteW VÐ Ñdal teorema 8.2.3.

Teorema 19.3.7

Sia uno spazio vettoriale. Se , sono sottospazi vettoriali di , anche è un sottospazioV W W V W W" # " #vettoriale di .V

Dimostrazione - Per il teorema 19.3.6, 0 e dunque non è vuoto. Mostriamo chev − W W W W" # " #

W W x y W W x y W x y W" # " # " " − − è chiuso rispetto alla somma: se e appartengono a , è , (e quindi ,perchè è chiuso rispetto alla somma) e , (e quindi , perchè è chiuso rispetto allaW x y W x y W W" # # #− −somma), cosicché , come si voleva. Mostriamo infine che è chiuso rispetto alx y W W W W − " # " #

prodotto per scalari: se e , è in particolare (e quindi , perchè è chiusox W W x W x W W− − − −" # " " "- ‘ -rispetto al prodotto per scalari) e (e quindi , perchè è chiuso rispetto al prodotto perx W x W W− −# # #-scalari), cosicché , come si voleva.-x W W− " #

Osservazione 19.3.8

Sia uno spazio vettoriale. Se , sono sottospazi vettoriali di , non è in generale chiusoV W W V W W" # " #rispetto alla somma e quindi è in generale un sottospazio vettoriale di .non V

Esempio 19.3.9

Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di :‘#

S S" ³ ÖÐB CÑ − B œ C× ³ ÖÐB CÑ − B œ ×, / , , / 0‘ ‘# ##

(cfr. Esempio 19.3.4 ed Esempio 19.3.5). Si ha 1, 1 e 0, 1 , dunque 1, 1 e 0, 1Ð Ñ − Ð Ñ − Ð Ñ Ð ÑS S" #

appartengono a ; tuttavia 1, 0 1, 1 0, 1 non appartiene né a né a e dunque nonS S S S" # " # Ð Ñ Ð œ Ð Ñ Ð ÑÑappartiene a .S S" #


Sia uno spazio vettoriale, e siano , sottospazi vettoriali di . Si dimostri che è unV W W V W W" # " #sottospazio vettoriale di se e solo se oppure .V W W W W" # # "§ §

Esercizio 19.3.11

Sia lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x di grado non superiore a due (cfr.Vesempio 19.3.2). Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di si stabilisca se è oppure non è un sottospazioVvettoriale di :V - l’insieme dei polinomi che hanno come radice il numero 5; - l’insieme dei polinomi che hanno come radice sia il numero 0 che il numero 7; - l’insieme dei polinomi che hanno come radice o il numero 0 oppure il numero 7 (o, eventualmente, sia ilnumero 0 che il numero 7).


Esercizio 19.3.12

Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di si stabilisca se è oppure non è un sottospazio vettoriale:‘$

- , , / 2 0 ;ÖÐB C DÑ − B C D œ ×‘$

- , , / 2 1 ;ÖÐB C DÑ − B C D œ ×‘$

- , , / 2 0, 0 ;ÖÐB C DÑ − B C D œ B D œ ×‘$

- , , / 0 ;ÖÐB C DÑ − B C ÐDÑ œ ×‘$ sin - , , / ( y ) 0 ;ÖÐB C DÑ − B ÐCÑ Ð Ñ D œ ×‘$ # #sin cos - , , / 2 1 ;ÖÐB C DÑ − B C œ ×‘$ D

19.4 - Combinazioni lineari.

Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , , elementi di . Se esistono , , , taliV x x x y V" # 8á á −- - - ‘" # 8

che y x x xœ á - - -" # 8" # 8

si dice che è di , , , (con , , , ).y x x xcombinazione lineare coefficienti" # 8á á- - -" # 8

Osservazione 19.4.1

Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , , , , . Se è combinazione lineare di , , , ,V x x x x y V y x x x" # 8 7 " # 8á á − áallora è combinazione lineare di , , , , , . Infatti se esistono , , , tali chey x x x x x xy x" # 8 7 # 8"á á á −œ á - - - ‘- - - " # 8" # 8

si ha anche 0 0 .y x x x x xœ á á - - -" # 8" # 8 8" 7

Esempi

19.4.2 Comunque scelti , , , 0 è combinazione lineare di , , con coefficienti tutti nulli.x x x x" 8 " 8á áv

19.4.3 Nello spazio vettoriale (esempio 19.1.3), 1 3 è combinazione lineare di 1 e 1 con‚ 3 3 3coefficienti (rispettivamente) 1 e 2.

19.4.4 Nello spazio vettoriale x (esempio 19.1.4), il polinomio nullo è combinazione lineare di 2x 3x 1,‘Ò Ó #

x 2x 1 e x 1 con coefficienti (rispettivamente) 1, 2 e 1.#

19.4.5 Nello spazio vettoriale (esempio 19.1.5), il vettore 2, 1, 3 è combinazione lineare di 1, 0, 0 , 0,‘$ Ð Ñ Ð Ñ Ð1, 0 e 0, 0, 1 con coefficienti (rispettivamente) 2, 1 e 3; il vettore , 9, 27 è combinazione lineare di 1,Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð10, 0 , 0, 1, 0 e 0, 0, 1 con coefficienti (rispettivamente) , 9 e 27; in generale, il vettore , , èÑ Ð Ñ Ð Ñ Ð+ , -Ñ1combinazione lineare di 1, 0, 0 , 0, 1, 0 e 0, 0, 1 con coefficienti (rispettivamente) , e .Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ + , -

19.4.6 Nello spazio vettoriale (esempio 19.1.5), 2, 3, 4 è combinazione lineare di 1, 2, 3 , 0,-1,-2 e 1, 1,‘$ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð1 con coefficienti (rispettivamente) 4, 3 e -2; oppure 3, 2 e -1; oppure -1, -2 e 3; oppure Ñ á

Esercizio 19.4.7

Esprimere, se è possibile, il vettore libero 9 4 come combinazione lineare di 2 3 e 2 .i j i j i j– – –– – –

Sia uno spazio vettoriale, e sia un sottoinsieme di . Si dice , e si indicaV X V Xsottospazio generato dacon , l’insieme degli elementi di che sono combinazione lineare di elementi di . Se è un insieme X V X Xfinito, , , , , si scrive , , , anziché , , , ; in tal caso, perX x x x x x x x x xœ Ö á × á Ö á × " # 8 " # 8 " # 8

l’osservazione 19.4.1, , , , è l’insieme dei vettori che si possono scrivere nella forma á x x x" # 8

- - - - - - ‘" # 8 " # 8x x x" # 8 á á − con , , , .


Teorema 19.4.8

Sia uno spazio vettoriale, e sia . è il minimo sottospazio vettoriale di contenente .V X V X V X§ Ð Ñ43

Dimostrazione - Dobbiamo provare che 1 è un sottospazio vettoriale di contenente Ð Ñ X V Xe che 2) è contenuto in ogni sottospazio vettoriale di contenente .Ð X V X

Proviamo la 1). È chiaro che ; in particolare, > non è vuoto ; inoltre, una somma diÐ © X X Xcombinazioni lineari di elementi di è ancora combinazione lineare di elementi di (e dunque èX X X chiuso rispetto alla somma); se poi , èx X−

x x x xœ á - - -" # 8" # 8

con , , , e , , , , cosicché per ogni si hax x x X" # 8á − á − −- - - ‘ - ‘" # 8

- - - - - -- -- --x x x x x x x Xœ Ð á Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ á Ð Ñ − " # 8 " # 8" # 8 " # 8

(e dunque è chiuso rispetto al prodotto per scalari). X

Proviamo ora la 2 . Sia un sottospazio vettoriale di contenente , e mostriamo che Ð Ñ §W V X XW x X X x x x X. Se , per definizione di esistono , , , e , , , tali che− á − á −" # 8 - - - ‘" # 8

x x x x x x x X W x x xœ á á § á- - - - - -" # 8 " # 8" # 8 " # 8 " # 8. Poiché , , , appartengono a , anche , , ,appartengono a (perché è chiuso rispetto al prodotto per scalari) e quindi W W x x x- - -" # 8" # 8 á appartiene a (perché è chiuso rispetto alla somma); dunque , e poiché è un generico elemento diW W x W x− §X X W si è provato che , come si voleva.

19.5 - Generatori.

Siano uno spazio vettoriale e un sottoinsieme di . Si dice che V X V X Vgli elementi di generano(oppure che se .X V V Xè un insieme di generatori per Ñ œ

Sia uno spazio vettoriale. Se esiste un insieme finito di generatori per , si dice che è V V V finitamentegenerabile.

Esempio 19.5.1

‘Ò Ó 8 áx (cfr. esempio 19.1.4) non è finitamente generabile. In effetti, comunque presi polinomi (x), (x), ,p p" #

p8(x), ve ne sarà uno di grado massimo ; e nessun polinomio di grado 1 potrà allora essere combinazione7 7lineare di (x), (x), , (x).p p p" # 8á

Esempio 19.5.2

‚ (cfr. esempio 19.1.3) è finitamente generabile. Infatti, ogni numero complesso è della forma con ,+ , +3, − + ,‘, e quindi è combinazione lineare di 1 e con coefficienti e .3

Esempio 19.5.3

‘$ (cfr. esempio 19.1.5) è finitamente generabile (cfr. esempio 19.4.5).

43 cfr. 5.5. L' inclusione (cfr. 1.3) è una relazione di ordine (parziale) nell' insieme dei sottospazivettoriali di .V


Teorema 19.5.4

Sia uno spazio vettoriale, siano , , , , , e, per un certo 1, 2, , , siaV x x x x V " # 3 8á á − 3 − Ö á 8×x x x x x–3 " # 3 8³ á á - - - -" # 3 8

con , , , . Allora- - - ‘" # 8á − , , , , , , , , , ,Ð+Ñ á á § á á x x x x x x x x–

" # 3 8 " # 3 8

e inoltre se 0, , , , , , , , , , ,Ð,Ñ Á á á œ á á -3 x x x x x x x x–

" # 3 8 " # 3 8

ossia: il sottospazio generato da , , , non cambia se ad uno di essi si sostituisce unax x x" # 8á combinazione lineare di , , , nella quale esso compare con coefficiente non nullo.x x x" # 8á

Dimostrazione - Poiché è combinazione lineare di , , , , ogni combinazione lineare di , ,x x x x x x–3 " # 8 " #á

á á á á, , , è anche combinazione lineare di , , , , , ; infattix x x x x x–3 8 " # 3 8

. . . - - - - ." # 3 " # 3 8 8x x x x x x x" # " # 3 8 8 á Ð á á Ñ á œœ Ð Ñ Ð Ñ á Ð Ñ á Ð Ñ. - . . - . - . . - ." " 3 # # 3 3 3 8 8 3x x x x" # 3 8.

Si ha dunque subito la .Ð+Ñ

Supponiamo ora che sia 0. Dalla-3 Áx x x x x–3 " # 3 8³ á á - - - -" # 3 8

si ricavax x x x x–3 " # 3 8œ á á - - -

- - - -" # 8

3 3 3 3

1

e dunque, per la ,Ð+Ñ á á § á á x x x x x x x x–

" # 3 8 " # 3 8, , , , , , , , , ,da cui la .Ð,Ñ

Corollario 19.5.5

Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , . Per un certo 1, 2, , , poniamoV x x x V" # 8á − 3 − Ö á 8×x x–3 3³ − Ö ×- - ‘ con \ 0

oppure con 1, 2, , e .x x x–3 3 4³ 4 − Ö á 8× −- - ‘

Allora á á œ á á x x x x x x x x–

" # 3 8 " # 3 8, , , , , , , , , , .

19.6 - Dipendenza e indipendenza lineare.

Siano uno spazio vettoriale e un sottoinsieme di .V X V

Si dice che gli elementi di sono se esiste una combinazione lineare diX linearmente dipendenti Ð Ñ44

alcuni di essi che dia il vettore nullo 0 .a coefficienti non tutti nulli v

Si dice che gli elementi di sono se non sono linearmente dipendenti, cioè seX linearmente indipendenticomunque presi , , , l’unica loro combinazione lineare che dia il vettore nullo 0 è quella conx x x X" # 8á − v

coefficienti tutti nulli.

44 Si noti che la forma linguistica, peraltro ormai tradizionale, con cui viene espresso questo concetto èpiuttosto infelice: infatti la non è una proprietà singolarmente presi ma dell'dipendenza lineare degli elementiinsieme nel suo complesso.X


Osservazione 19.6.1

Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , . I vettori , , , sono linearmente dipendenti se eV x x x V x x x" # 8 " # 8á − ásolo se si può scrivere

0 con , , , numeri reali non tutti nulli;v œ á á- - - - - -" # 8 " # 8x x x" # 8

e (di conseguenza) sono linearmente indipendenti se e solo se dall’uguaglianza0 con , , ,v œ á á −- - - - - - ‘" # 8 " # 8x x x" # 8

segue 0.- - -" # 8œ œ á œ œ

Esempio 19.6.2

I polinomi x 1, x x 1 e x 1 sono linearmente indipendenti. Siano infatti , , tali che# # + , - − ‘0 x 1 x x 1 x 1 x x ;œ +Ð Ñ ,Ð Ñ -Ð Ñ œ Ð+ ,Ñ Ð, -Ñ Ð, - +Ñ# # #

deve essere 0, 0, 0, ossia , , 0, da cui+ , œ , - œ , - + œ + œ , - œ , ,Ð ,Ñ Ð ,Ñ œ+ œ , œ - œ 0.

Esempio 19.6.3

I polinomi x 2x 4, 2x 4, x x 7 e x x 1 sono linearmente dipendenti. Infatti# # $ # 2 x 2x 4 3 2x 4 0 x x 7 4 x x 1 0.Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ# # $ #

Esempio 19.6.4

I numeri complessi 2 3 e 1 2 sono linearmente indipendenti. Infatti, se 3 30 2 3 1 2 2 3 2 ,œ +Ð Ñ ,Ð Ñ œ Ð + ,Ñ Ð + ,Ñ3 3 3

deve essere 2 0 e 3 2 0, ossia 2 , 3 2 2 0, da cui 0.+ , œ + , œ , œ + + Ð +Ñ œ + œ , œ

Esempio 19.6.5

I numeri complessi 1 e sono linearmente indipendenti. Infatti, se 0 deve essere 0.3 3+ , œ + œ , œ

Esempio 19.6.6

In , i vettori 1, 4, 1 , 1, 1, 4 e 1, 2, 1 sono linearmente dipendenti. Infatti‘$ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ3 1, 4, 1 2 1, 1, 4 5 1, 2, 1 0, 0, 0 .Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ

Esempio 19.6.7

In , i vettori 1, 0, 0 , 0, 1, 0 e 0, 0, 1 sono linearmente indipendenti. Infatti‘$ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ+Ð Ñ ,Ð Ñ -Ð Ñ œ Ð+ , -Ñ1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1 , ,

e dunque l’unica possibilità affinché sia 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1 0, 0, 0 è che si abbia+Ð Ñ ,Ð Ñ -Ð Ñ œ Ð Ñ+ œ , œ - œ 0.


Teorema 19.6.8

Sia uno spazio vettoriale, e siano dati elementi non nulli , , , di (con 2) in un certo ordineV x x x V8 á 8 " # 8

arbitrariamente fissato. Gli elementi dati , , , sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi èx x x" # 8ácombinazione lineare dei successivi.

Dimostrazione - Sia con , , , . Allorax x x x3 3" 3# 8œ á á −- - - - - - ‘3" 3# 8 3" 3# 8

0 v œ œ á œx x x x x x3 3 3 3" 3# 8- - -3" 3# 8

œ † † á á 0 0 0x x x x x x x" # 3" 3 3" 3# 8† - - -3" 3# 8

e i coefficienti non sono tutti nulli (perché 1 0), dunque , , , sono linearmente dipendenti. Á áx x x" # 8

Viceversa, sia 0 con (ad esempio) 0, 0- - - - - - -" # 8 " # 3" 3x x x" # 8 á œ œ œ á œ œ Áv

(eventualmente, 1). Allora non può essere , altrimenti sarebbe 0 (cfr. teorema 19.1.8) contro3 œ 3 œ 8 œx8 v

l’ipotesi che , , siano tutti non nulli. Dunquex x" 8á0 v œ á - - - -3 3" 3# 8x x x x3 3" 3# 8

da cui, poiché 0,-3 Á

x x x x3 3" 3# 8œ á - -- - -

-3" 3#

3 3 3

8

ossia è combinazione lineare di , , , .x x x x3 3" 3# 8á

Esercizio 19.6.9

Abbiamo visto nell’esempio 19.6.3 che i polinomi x x 7, x 2x 4, 2x 4 e x x 1 sono$ # # # linearmente dipendenti; tuttavia, x x 7 è combinazione linare di x 2x 4, 2x 4 e x x 1.$ # # # nonPerché ciò non contraddice il teorema 19.6.8 ?

19.7 - Basi.

Sia uno spazio vettoriale. Un insieme di generatori di linearmente indipendenti si dice una diV V baseV.

Esempi

19.7.1 Fissato nel piano un SdR cartesiano , , è una base per (cfr. 15.4 e teorema 15.4.2).O i j– –xy Ö × i#

19.7.2 1, è una base per (cfr. esempi 19.5.2 e 19.6.5).Ö ×3 ‚

19.7.3 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 è una base per (cfr. esempi 19.4.5 e 19.6.7).ÖÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ× ‘$

19.7.4 Sia un numero intero positivo. Si indichi con il vettore di che ha la sima componente uguale8 3 e3 ‘8

a 1 e tutte le altre uguali a 0. Allora , , , è una base per .Ö á ×e e e" # 8 ‘8

19.7.5 L’insieme p x x / p x x con costituito dai polinomi della forma 1, x, x , x , , x ,Ö Ð Ñ − Ò Ó Ð Ñ œ 3 − × á á‘ 3 # $ 8

è una base per x (cfr. esempi 19.1.4 e 19.5.1); dunque x ha dimensione .‘ ‘Ò Ó Ò Ó i!

Esercizio 19.7.6

Si verifichi che 1 2 , 1 è una base per .Ö ×3 3 ‚


Teorema 19.7.7

Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , . Condizione necessaria e sufficiente affinché , , ,V x x x V x x" # 8 " #á − Ö áx V8× sia una base di è che ( ) , , , sia un insieme di generatori per + Ö á ×x x x V" # 8

e inoltre ( ) nessun sottoinsieme proprio di , , , ottenuto “scartando” uno degli sia un insieme di, Ö á ×x x x x" # 8 3

generatori per .V

Dimostrazione - Proviamo che la condizione è necessaria. È chiaro che deve valere la , infatti unaÐ+Ñbase è per definizione un insieme di generatori. Supponiamo ora per assurdo che scartando, ad es., , ilx"sottoinsieme , , , generi ancora . Allora deve essere combinazione lineare degli elementi di ,Ö á ×x x x V x I# $ 8 "

ossia di , , , : dunque , , , sono linearmente dipendenti per il teorema 19.6.8, contro l’ipotesix x x x x x# $ 8 " # 8á áche , , , sia una base di .Ö á ×x x x V" # 8

Proviamo ora che l’insieme delle ( ) e ( ) è condizione sufficiente affinché , , , sia una base+ , Ö á ×x x x" # 8

di . Per la ( ), dobbiamo solo provare che , , , sono linearmente indipendenti. Supponiamo perV x x x+ á" # 8

assurdo che invece , , , siano linearmente dipendenti. Per il teorema 19.6.8, allora, uno degli , adx x x x" # 8 3áesempio , è combinazione lineare dei rimanenti; ne segue che ogni combinazione lineare di , , , six x x x" " # 8ápuò scrivere come combinazione lineare di , , , , ossia che il sottoinsieme proprio , , , dix x x x x x# $ 8 # $ 8á Ö á ×Ö á × Ð,Ñx x x V" # 8, , , genera , contro la .


Sia uno spazio vettoriale, e siano , , , . Si provi che, “simmetricamente” a quanto visto nelV x x x V" # 8á −teorema 19.7.7, condizione necessaria e sufficiente affinché , , , sia una base di è cheÖ á ×x x x V" # 8

( ) , , , siano linearmente indipendenti+ áx x x" # 8

e inoltre ( ) comunque si scelga in distinto da , , , , i vettori , , , , siano linearmente dipendenti., á áx V x x x x x x x" # 8 " # 8

Sia uno spazio vettoriale finitamente generabile. Per il teorema 19.7.7, da ogni insieme finito , ,V x xÖ " #

á ×, di generatori di si può ricavare una base operando come segue. Si considerano gli insiemi ottenuti dax V8

Ö á × á Ö á ×x x x x x x V x x x" # 8 " # 8 " # 8, , , scartando uno dei vettori , , , ; se nessuno di tali insiemi genera , , , , èuna base per ; se invece, ad esempio, , , , genera , si prosegue scartando ancora (se è possibile)V x x x VÖ á ×# $ 8

uno degli elementi , , , in modo che i restanti vettori generino , e così via scartando successivamentex x x V# $ 8ávettori finché si può fare compatibilmente con la condizione che i vettori restanti generino . Si giungerà (se nonValtro quando rimane un solo vettore!) a un insieme , , , di generatori di che verifica la condizioneÖ á ×x x x V3 3 3" # 5

Ð,Ñ del teorema 19.7.7, e quindi è una base di .V

Il procedimento sopra esposto (detto ) costituisce una dimostrazionemetodo degli scarti successivicostruttiva per gli spazi vettoriali finitamente generabili del

Teorema 19.7.9

Ogni spazio vettoriale ha (almeno) una base.


Teorema 19.7.10

Sia uno spazio vettoriale finitamente generabile, e sia , , , una base di . Ogni elemento di siV x x x V VÖ á ×" # 8

scrive in uno e un solo modo come combinazione lineare di , , , .x x x" # 8á

Dimostrazione - Poiché (per definizione di base) , , , generano , è chiaro che ogni elementox x x V" # 8ádi si può scrivere in almeno un modo come combinazione lineare di , , , . Dobbiamo provare che iV x x x" # 8ácoefficienti di tale combinazione lineare sono univocamente determinati, ossia che combinazioni lineari di , ,x x" #

á , che danno luogo allo stesso elemento hanno esattamente gli stessi coefficienti. Sia allorax8- - - . . ." # 8 " # 8x x x x x x" # 8 " # 8 á œ á .

Ne segue che0v œ á Ð á Ñ œ- - - . . ." # 8 " # 8x x x x x x" # 8 " # 8

œ Ð Ñ Ð Ñ á Ð Ñ- . - . - ." " # # 8 8x x x" # 8 .

Poiché i vettori , , , sono (per definizione di base) linearmente indipendenti, deve esserex x x" # 8á- . - . - ." " # # 8 8 œ œ á œ0, 0, , a 0

ossia , , , come si voleva.- . - . - ." " # # 8 8œ œ á œ

19.8 - Dimensione.

Teorema 19.8.3

Sia uno spazio vettoriale. Tutte le basi di sono equipotenti .V V Ð Ñ45


Sia uno spazio vettoriale. La cardinalità comune a tutte le basi di si dice di . Se èV V V Vdimensionefinitamente generabile, le sue basi hanno un numero finito di elementi (se ne può infatti ottenere una col metododegli scarti successivi da un insieme finito di generatori); si dice che V ha dimensione finita.

Esempio 19.8.4

‚ ha dimensione 2 (cfr. esempio 19.7.2).

Esempio 19.8.5

‘$ ha dimensione 3 (cfr. esempio 19.7.3).

Esempio 19.8.6

‘8 ha dimensione (cfr. esempio 19.7.4).8

Esempio 19.8.7

Lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x di grado non superiore a due (cfr.esempi 19.1.4 e 19.3.2) ha dimensione 3; una sua base è 1, x, x . Più in generale, lo spazio vettoriale deiÖ ×#

polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x di grado non superiore a ha dimensione 1; una sua base è8 8 Ö á ×1, x, x , , x .# 8

45 Cfr. 12.1.


Osservazione 19.8.8

Sia uno spazio vettoriale di dimensione . Per il teorema 19.7.10, ogni elemento di resta univocamenteV V8determinato dagli coefficienti della sua (unica) espressione come combinazione lineare degli elementi di una8base fissata (tanto che per molti aspetti può essere identificato con la pla ordinata di tali coefficienti; si veda8 anche il teorema 19.9.11). In un certo senso, dunque, la dimensione di uno spazio vettoriale può essere vistacome il numero dei parametri necessari per individuare un suo elemento.

Teorema 19.8.9

Sia uno spazio vettoriale di dimensione . Ogni sottospazio vettoriale di ha dimensione al più .V V8 8


19.9 - Omomorfismi e isomorfismi fra spazi vettoriali.

Siano , due spazi vettoriali. Un’applicazione : tale che si dice un V W f V W f VÄ Ð Ñ œW omomorfismo( ) setra spazi vettoriali

f v v f v f v v v VÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ a −" # " # " # ,e inoltre

f v f v v VÐ Ñ œ Ð Ñ a − −- - - ‘ , .

Si noti (cfr. 8.3) che un omomorfismo fra gli spazi vettoriali e è in particolare un omomorfismo fraV Wi gruppi , e , .Ð Ñ Ð ÑV W

Un omomorfismo tra spazi vettoriali che sia una corrispondenza biunivoca si dice un .isomorfismoSiano , due spazi vettoriali; se esiste un isomorfismo tra e , si dice che e sono . Due spaziV W V W V W isomorfivettoriali isomorfi “si comportano allo stesso modo” rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari e,per molti aspetti, si possono identificare.

Esempio 19.9.1

L’applicazione che al numero complesso associa il numero reale è un omomorfismo .+ , + Ä3 ‚ ‘

Esempio 19.9.2

L’applicazione che al numero complesso associa il numero reale è un omomorfismo .+ , + , Ä3 ‚ ‘

Esempio 19.9.3

L’applicazione che al numero complesso associa la coppia ordinata , è un isomorfismo .+ , Ð+ ,Ñ Ä3 ‚ ‘#

Esempio 19.9.4

L’applicazione che al vettore , , associa il vettore , è un omomorfismo.‘ ‘$ #Ä ÐB C DÑ ÐB C B DÑ


Esempio 19.9.5

Sia lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado non superiore a 2 nell’indeterminata x (cfr.Vesempio 19.3.2). L’applicazione che al polinomio x x associa la terna ordinata , , è un+ , - Ð+ , -Ñ#

isomorfismo .V Ä ‘$

Esempio 19.9.6

Siano , numeri interi positivi, e sia una matrice a elementi reali. Definiamo come segue una7 8 7‚ 8Aapplicazione : . Se , , , , si calcolafA ‘ ‘ ‘8 7 8

" # 8Ä ÐB B á B Ñ −

A Š ‹B"B#áB8

(cfr. sez. 19.2). Se risulta

A Š ‹ Š ‹B C" "B C# #á áB C8 7

œ

si pone , , , , , , .fA ÐB B á B Ñ œ ÐC C á C Ñ" # 8 " # 7

Per le proprietà del prodotto righe per colonne fra matrici (cfr. sez. 19.2)), è un omomorfismo .fA ‘ ‘8 7Ä

Esempio 19.9.7

Uno dei più importanti esempi di omomorfismo tra spazi vettoriali sarà al centro dell’ultima parte del corso, ecomprensibile solo in tale sede: lo richiamiamo qui per completezza. Siano lo spazio vettoriale di tutte leVfunzioni definite in un intervallo aperto , e il sottospazio di formato dalle funzioni derivabili in‘ ‘Ä Ð+ ,Ñ V VD

tutto , ; l’applicazione che ad ogni elemento di associa la sua derivata è un omomorfismo .Ð+ ,Ñ ÄV V VD D

Esercizio 19.9.8

Per ciascuna delle seguenti applicazioni, si stabilisca se è un omomorfismo fra gli spazi vettoriali indicati: : definita ponendo x, y, z x y, y z ;f f" "‘ ‘$ #Ä Ð Ñ ³ Ð Ñ : definita ponendo x, y x y, x y, xy ;f f# #‘ ‘# $Ä Ð Ñ ³ Ð Ñ : definita ponendo x, y, z x, x y, z, x z ;f f$ $‘ ‘$ %Ä Ð Ñ ³ Ð Ñ : definita ponendo x, y, z x y, x z, 2y z ;f f% %‘ ‘$ $Ä Ð Ñ ³ Ð Ñ : definita ponendo x, y, z x y, x z z , y z ;f f sin cos& &‘ ‘$ $ # #Ä Ð Ñ ³ Ð Ð Ð Ñ Ð ÑÑ Ñ

Esercizio 19.9.9

Per ciascuna delle seguenti applicazioni, si stabilisca per quali valori del parametro reale risulta essere un5omomorfismo fra gli spazi vettoriali indicati: : definita ponendo x, y, z x y, , xy ;f f" "‘ ‘$ $Ä Ð Ñ ³ Ð 5 5 Ñ : definita ponendo x, y ;f f# #‘ ‘# Ä Ð Ñ ³ 5 : definita ponendo x, y, z x, x y, z, x z ;f f$ $‘ ‘$ %Ä Ð Ñ ³ Ð5 5 5 Ñ


Siano , spazi vettoriali, e sia : un isomomorfismo. Si dimostri che l’applicazione inversa :V W f V W fÄ "

W VÄ è un isomorfismo.


Teorema 19.9.11

Ogni spazio vettoriale di dimensione è isomorfo a .8 ‘8

Dimostrazione - Sia uno spazio vettoriale di dimensione , e sia , , , una base di .V x x x V8 Ö á ×" # 8

Definiamo un’applicazione : ponendof V Ä ‘8

f x x xÐ á Ñ ³ Ð á Ñ- - - - - -" # 8 " # 8" # 8 , , , .La è ben definita perché ogni elemento di si scrive in uno e un solo modo come combinazione lineare di ,f V x"x x f# 8, , (teorema 19.7.10). Inoltre è un omomorfismo fra spazi vettoriali, perchéá

f x x x x x xÐÐ á Ñ Ð á ÑÑ œ- - - . . ." # 8 " # 8" # 8 " # 8

œ ÐÐ Ñ Ð Ñ á Ð Ñ Ñ œ Ð á Ñ œf x x x- . - . - . - . - . - ." " # # 8 8 " " # # 8 8" # 8 , , ,œ Ð á Ñ Ð á Ñ œ- - - . . ." # 8 " # 8, , , , , ,

œ Ð á Ñ Ð á Ñf x x x f x x x- - - . . ." # 8 " # 8" # 8 " # 8 .e

f x x xÐ Ð á ÑÑ œ! - - -" # 8" # 8

œ ÐÐ Ñ Ð Ñ á Ð Ñ Ñ œ Ð á Ñ œf x x x!- !- !- !- !- !-" # 8 " # 8" # 8 , , ,œ Ð á Ñ œ Ð á Ñ! - - - ! - - -" # 8 " # 8, , , .f x x x" # 8

Resta da provare che è una corrispondenza biunivoca.fÈ chiaro che ( ) . Inoltre è suriettiva: infatti , , , è immagine di ) .W - - - - - -f V f x x xœ Ð á Ñ á " # 8 " # 8" # 8

Proviamo infine che è iniettiva. Siaff x x x f x x xÐ á Ñ œ Ð á Ñ- - - . . ." # 8 " # 8" # 8 " # 8

cioè , , , , , , ;Ð á Ñ œ Ð á Ñ- - - . . ." # 8 " # 8

per definizione di pla ordinata, ne segue che8 - . - . - ." " # # 8 8œ œ á œ, , ,

e quindi - - - . . ." # 8 " # 8x x x x x x" # 8 " # 8 á œ á come si voleva.


20.- SISTEMI LINEARI

20.1 - Richiami sulle equazioni algebriche.

Sia x , x , , x un polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate x , x , , x . Se ci si chiedepÐ á Ñ á" # 8 " # 8

per quali numeri reali , , , si abbia! ! !" # 8ápÐ á Ñ œ Ð Ñ! ! !" # 8, , , 0 46

si dice che si considera l’ equazione algebrica in ‘20.1.F1 x , x , , x 0pÐ á Ñ œ" # 8

associata al polinomio dato; x , x , , x si dicono le di tale equazione." # 8á incognite

Si dice dell’equazione algebrica 20.1.F1 ogni pla ordinata , , , di numeri realisoluzione 8 Ð á Ñ! ! !" # 8

tale che , , , 0. L’equazione data si dice se non ha soluzioni (es.: 2,pÐ á Ñ œ 8 œ! ! !" # 8 impossibilex x 1 0), se ha un numero finito di soluzioni (es.: 2, x x 0; 1, x 4 0)," " "# # # # #

# # œ 8 œ œ 8 œ œdeterminataindeterminata identicamente soddisfatta se ha infinite soluzioni (es.: 2, x x 1 0), se pla8 œ œ 8 "

# ## ogni

ordinata di numeri reali è sua soluzione (es.: 2, x x x 2x x x 0) .8 œ Ð Ñ œ Ð Ñ" # " ## # #

" #47

Due equazioni algebriche nelle stesse incognite si dicono se sono entrambe impossibiliequivalentioppure hanno le stesse soluzioni.

Un’equazione algebrica nelle incognite x , x , , x può essere assegnata anche nella forma" # 8á20.1.F2 x , x , , x x , x , , xp qÐ á Ñ œ Ð á Ñ" # 8 " # 8

dove x , x , , x e x , x , , x sono polinomi a coefficienti reali nelle indeterminate x , x , , x ; ci sip qÐ á Ñ Ð á Ñ á" # 8 " # 8 " # 8

chiede in questo caso per quali numeri reali , , , si abbia , , , , , , . È! ! ! ! ! ! ! ! !" # 8 " # 8 " # 8á Ð á Ñ œ Ð á Ñp qchiaro che la 20.1.F2 è equivalente all’equazione algebrica associata al polinomio x , x , , x x , x ,p qÐ á Ñ Ð" # 8 " #

á Ñ, x .8

Le espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno “ ” nelle 20.1.F1 e 20.1.F2 si diconoœrispettivamente e dell’equazione. Sommando ad ambo i membri di una dataprimo membro secondo membroequazione algebrica uno stesso numero reale, oppure moltiplicando ambo i membri per uno stesso numero reale(purché, in quest’ultimo caso, diverso da zero) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

20.2 - Generalità sui sistemi lineari.

Siano , numeri interi positivi. Un insieme di equazioni algebriche in incognite fissate x , x ,7 8 7 8 " #

á 7 8 á, x si dice un di equazioni algebriche nelle incognite x , x , , x . Si dice di un8 " # 8sistema soluzionesistema di equazioni algebriche nelle incognite x , x , , x ogni pla ordinata di numeri reali che sia8 á 8" # 8

soluzione di le equazioni del sistema.tutte

Un sistema di equazioni algebriche si dice se non ha soluzioni, se ha soluzioni;impossibile risolubilenel primo caso si dice anche che le equazioni del sistema dato sono , nel secondo che sonoincompatibilicompatibili.

Due sistemi di equazioni algebriche nelle stesse incognite si dicono se sono entrambiequivalentiimpossibili oppure hanno le stesse soluzioni.

Si dice che un sistema di equazioni algebriche nelle incognite x , x , , x x , x , , x" # 8 3 3 3á áammette" # 5

come incognite libere se per ogni , , , esiste almeno una soluzione del sistema per la quale èÐ á Ñ −! ! ! ‘3 3 35

" # 5

x , x , , x3 3 3 3 3 3" " # # 5 5œ œ á œ! ! !

46 con , , , si indica il numero reale ottenuto sostituendo nell' ordine , , , a x , x ,pÐ á Ñ á! ! ! ! ! !" # 8 " # 8 " #

á Ð á Ñ, x ed eseguendo le operazioni indicate dalla forma del polinomio x , x , , x .8 " # 8p47 Si noti che un' equazione identicamente soddisfatta è indeterminata, ma non è vero in generale il

viceversa!


(ovvero se per ogni assegnazione di valori arbitrari a x , x , , x esiste almeno una soluzione del sistema3 3 3" # 5á

dato in cui x , x , , x assumono tali valori).3 3 3" # 5á

Se un sistema di equazioni algebriche ammette incognite libere, si cerca quando è possibile di essere piùprecisi.

Si dice che un sistema di equazioni algebriche nelle incognite x , x , , x ( ) " # 8á 5ha esattamenteincognite libere x , x , , x se per ogni , , , esiste esattamente una soluzione del sistema3 3 3 3 3 3

5" # 5 " # 5

á Ð á Ñ −! ! ! ‘per la quale è

x , x , , x3 3 3 3 3 3" " # # 5 5œ œ á œ! ! !

(ovvero se per ogni assegnazione di valori arbitrari a x , x , , x esiste esattamente una soluzione del3 3 3" # 5á

sistema in cui x , x , , x assumono tali valori). In questo caso si dice anche che le soluzioni del sistema3 3 3" # 5á

dipendono da parametri indipendenti5 .

Un sistema di equazioni algebriche tutte di primo grado si dice un . Ogni sistema linearesistema linearedi equazioni nelle incognite x , x , , x si può scrivere nella forma7 8 á" # 8

x x xx x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x

ÚÝÝÛÝÝÜ+ + á + œ ,+ + á + œ ,

+ + á + œ

"ß" " "ß# # "ß8 8 "

#ß" " #ß# # #ß8 8 #

7ß" " 7ß# # 7ß8 8 ,7

dove gli numeri reali ( 1, , , 1, , ) si dicono i e gli numeri7 † 8 + 3 œ á 7 4 œ á 8 73ß4 coefficienti del sistemareali , , , si dicono i del sistema., , á ," # 7 termini noti

20.3 - Matrici associate a un sistema lineare.

Un sistema lineare di equazioni nelle incognite x , x , , x scritto nella forma7 8 á" # 8

x x xx x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x

ÚÝÝÛÝÝÜ+ + á + œ ,+ + á + œ ,

+ + á + œ

"ß" " "ß# # "ß8 8 "

#ß" " #ß# # #ß8 8 #

7ß" " 7ß# # 7ß8 8 ,7

risulta univocamente determinato dai coefficienti e dai termini noti . La matrice si dice+ , Ð+ Ñ −3ß4 3 3ß47ß8‘

matrice incompleta del sistema; la matrice di righe e una colonna7


,,á,

"

#

7

(identificabile con un elemento di ) è detta ; la matrice di righe e 1 colonne‘7 colonna dei termini noti 7 8ottenuta aggiungendo (come 1 sima colonna) alla matrice incompleta la colonna dei termini noti è dettaÐ8 Ñ matrice completa del sistema e contiene, come si è osservato, tutte le informazioni necessarie per individuare ilsistema stesso (e quindi, come vedremo, per stabilire se esso è risolubile oppure no e per determinarne tutte leeventuali soluzioni). Ogni matrice di righe e 1 colonne è la matrice completa di un (e un solo) sistema7 8lineare di equazioni in incognite, che si dice alla matrice data.7 8 sistema lineare associato

Utilizzando la nozione di “prodotto fra matrici” introdotta in 19.2, è possibile scrivere un sistema linearein una forma molto compatta. Indichiamo con A la matrice incompleta del sistema lineare dato, con B la colonnadei termini noti e con X il generico elemento di (pensato come matrice di righe e una colonna); X è‘8 8soluzione del sistema se e solo se20.3.F1 AX Bœdove al primo membro si considera il prodotto righe per colonne tra le matrici A e X.


La 20.3.F1 si dice del sistema lineare dato; essa, unitamente alle proprietà del prodottoforma matricialetra matrici citate in 19.2, ci permetterà di esprimere e dimostrare agevolmente importanti teoremi sui sistemilineari.

La matrice completa del sistema lineare 20.3.F1 si indica spesso con A;B .Ð Ñ

20.4 - Sistemi lineari omogenei.

Un sistema lineare si dice se i suoi termini noti sono tutti uguali a zero.omogeneo

Teorema 20.4.1

Sia un numero intero positivo.8Ogni sistema lineare omogeneo in incognite è risolubile, e le sue soluzioni costituiscono un sottospazio8vettoriale di .‘8

Dimostrazione - SiaAX 0œ

un sistema lineare omogeneo di equazioni in incognite (qui “0” indica la matrice di righe e una colonna i7 8 7cui elementi sono tutti uguali a zero), e sia il sottoinsieme di formato dalle sue soluzioni.f ‘8

È immediato che non è vuoto, perché vi appartiene la pla 0, 0, , 0 . Resta da provare che èf f8 Ð á Ñchiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari.

Siano X , X ; allora AX 0 e AX 0. Ne segue che A X X = AX AX = 0 0 = 0," # " # " # " #− œ œ Ð Ñ fcosicché X X appartiene a ." # f

Siano infine X , ; allora AX 0 e dunque A X = AX = 0 = 0, cosicché X appartiene− − œ Ð Ñ Ð Ñf - ‘ - - - -a e l’asserto è completamente provato.f

Un sistema lineare omogeneo resta individuato dalla sua matrice incompleta. Si dice sistema omogeneoassociato a un dato sistema lineare AX B il sistema lineare omogeneo AX 0 che ha la stessa matriceœ œincompleta del sistema dato.

Teorema 20.4.2

Sia AX B un sistema lineare risolubile in incognite, e sia X una sua soluzione.œ 8 !

Le soluzioni di AX B sono tutti e soli gli elementi di della forma X Y con Y soluzione del sistemaœ ‘8!

lineare omogeneo associato.

Dimostrazione - Mostriamo in primo luogo che per ogni soluzione Y di AX 0 il vettore X Y èœ !

soluzione di AX B. Si ha in effettiœA X Y AX AY B 0 BÐ Ñ œ œ œ! !

ricordando che AX B perché X è soluzione di AX B e AY 0 perché Y è soluzione di AX 0.! !œ œ œ œ

Sia ora X una soluzione di AX B. Poniamo Y X X (in modo che si abbia X X Y) e_ _ _

œ œ œ ! !

mostriamo che Y è soluzione di AX 0. Si ha in effettiœAY A X X AX AX B B 0

_ _œ Ð Ñ œ œ œ! !

ricordando che AX AX B perché sia X che X sono soluzioni di AX B._ _œ œ œ! !


20.5 - Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema.

Si dicono sulle equazioni di un sistema le seguenti:operazioni elementari

S.1 scambio di due equazioni;

S.2 sostituzione di una equazione con quella ottenuta moltiplicandone ambo i membri per un numero realediverso da zero;

S.3 sostituzione di una equazione con quella ottenuta sommandovi (membro a membro) un’altra equazione delsistema moltiplicata membro a membro per un numero reale qualsiasi (eventualmente anche per zero).

Due sistemi che si ottengono uno dall’altro mediante operazioni elementari sulle equazioni sonoequivalenti (nel senso definito in 20.2). Inoltre, mediante operazioni elementari sulle equazioni ogni sistemalineare può essere trasformato in un sistema di forma assai particolare per il quale risulta molto semplicedeterminare se esistono soluzioni e calcolarle.

Fissiamo una notazione per indicare brevemente le operazioni elementari ora introdotte.

Se scambiamo la sima equazione del sistema con la sima, scriveremo3 4 E E .3 4Ç

Se sostituiamo alla sima equazione del sistema quella ottenuta moltiplicandone ambo i membri per il3 numero reale (diverso da zero), scriveremo-

E E .3 3³ -

Se sostituiamo alla sima equazione del sistema quella ottenuta sommandovi membro a membro la3 4 sima equazione moltiplicata per il numero reale , scriveremo-

E E E .3 3 4³ -

Facciamo un semplice esempio. Si consideri il sistema

20.5.F1 x y 2 z 1x 2y 3 z 1x y z 6

ÚÛÜ

œ œ œ

e si effettuino nell’ordine le seguenti operazioni elementari sulle sue equazioni:

E E E ;ì ³ # # "

E E E ;ì ³ $ $ "

E E E .ì ³ $ $ #

Si ottiene così il sistema

20.5.F2 x y 2 z 1y z 2

y 3

ÚÛÜ

œ œ

œ

che risulta particolarmente facile da risolvere, perché solo nella prima equazione compaiono tutte le incognite:nella seconda equazione compaiono solo la y e la z, e nella terza solo la y.

Si può procedere agevolmente “per sostituzione”: “sostituendo” alla y nella seconda equazione il valore 3 ricavato dalla terza si ottiene la

œ 3 z 2dalla quale si ha z 1; “sostituendo” ancora nella prima equazione alla y il valore 3 e alla z il valore 1, siœ ottiene la x 3 2 1 œdalla quale si ricava infine x 2 .œ


Oppure si può proseguire mediante operazioni elementari sulle equazioni, ad esempio come segue:

E E ;ì ³ $ $

E E E ;ì ³ # # $

E E E ;ì ³ " " $

E E 2 E .ì ³ " " #

Si ottiene così il sistema

20.5.F3 x 2z 1y 3

ÚÛÜ

œœœ

che ammette evidentemente la sola soluzione 2, 3, 1 .Ð Ñ

C’è da osservare che il procedimento utilizzato per risolvere il sistema 20.5.F1 risulta pesante (ad ognipassaggio si devono trascrivere le equazioni come via via modificate) e, soprattutto, oscuro: come si devonoscegliere, e in quale ordine, le operazioni elementari da eseguire? Per ovviare a questi problemi si usa operaresulla matrice completa del sistema anziché sul sistema in quanto tale: ad ogni passaggio si trascrivono così sologli elementi essenziali (i coefficienti e i termini noti) e, soprattutto, risulta facile descrivere l’algoritmo risolutivo.

20.6 - Operazioni elementari sulle righe di una matrice.

Si dicono sulle righe di una matrice le seguenti:operazioni elementari

M.1 scambio di due righe;

M.2 sostituzione di una riga con quella ottenuta moltiplicandola per un numero reale diverso da zero;

M.3 sostituzione di una riga con quella ottenuta sommandovi un’altra riga della matrice moltiplicata per unnumero reale (eventualmente anche per zero).

Tali operazioni si indicano brevemente con notazione analoga a quella introdotta in 20.5 per leoperazioni elementari sulle equazioni di un sistema lineare.

Se scambiamo la riga R con la riga R , scriveremo3 4

R R .3 4Ç

Se sostituiamo alla riga R il suo prodotto per il numero reale (diverso da zero), scriveremo3 -R R .3 3³ -

Se sostituiamo alla riga R la sua somma con la riga R moltiplicata per il numero reale , scriveremo3 4 -R R R .3 3 4³ -

Sia l’insieme delle matrici a elementi in . Se A, B , poniamo A B se B si ottiene da A` ‘ `− µmediante un numero finito di operazioni elementari sulle righe, eventualmente aggiungendo o sopprimendo righenulle. È immediato verificare che la è una relazione di equivalenza in . Due matrici che siano in relazioneµ `secondo la si dicono semplicemente .µ equivalenti


Teorema 20.6.1

A matrici equivalenti sono associati sistemi lineari equivalenti.

Dimostrazione - Basta osservare che le operazioni elementari sulle righe di una matrice corrispondonoalle operazioni elementari sulle equazioni del sistema lineare ad essa associato (e dunque trasformano talesistema in un sistema equivalente), mentre l’aggiunta e la soppressione di righe nulle non modificano il sistemalineare associato alla matrice.

Individuiamo ora a quali matrici sono associati sistemi lineari dalla forma “buona” (cioè sistemi lineariagevolmente risolubili per sostituzione come si è visto per il sistema 20.5.F2).

Sia A una matrice . L’elemento si dice un (per A) seœ Ð+ Ñ 7 ‚ 8 +3ß4 2ß5 pivot+ Á2ß5 0

e 0 + œ a 3 23ß5

ossia se è diverso da zero e “sotto di lui” tutti gli elementi sono uguali a zero.+2ß5

Una matrice si dice ( ) se in ogni sua riga c’è un pivot.ridotta per righe

Esempio 20.6.2

Le seguenti matrici sono ridotte per righe:

; .

1 2 0 3 10 0 1 4 23 0 0 9 00 0 0 1 7

2 0 0 0 00 1 5 3 10 3 0 2 10 0 0 2

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï ÒÈ

1

Infatti, detta la prima matrice, in essa i pivot sono: ; ; ; (oppure . E, detta laÐ+ Ñ + + + + + Ñ Ð, Ñ3ß4 "ß# #ß$ $ß" %ß% %ß& 3ß4

seconda matrice, in essa i pivot sono: ; ; ; (oppure ) ., , , , ,"ß" #ß$ $ß% %ß# %ß&

Le seguenti matrici sono ridotte per righe:non


1 2 3 4 50 7 8 9 10 0 0 3 20 0 0 1 2

(perché nella terza riga non c’è pivot)


1 0 0 0 00 1 0 0 10 0 1 0 10 1 0 1 1

(perché nella seconda riga non c’è pivot).

Teorema 20.6.3

Sia A una matrice , e sia un elemento non nullo di A.œ Ð+ Ñ 7 ‚ 8 +3ß4 2ß5

Mediante operazioni elementari del tipo M.3 sulle righe , , , , A può essere trasformata in+ + á +2"ß‡ 2#ß‡ 7ß‡

una matrice per la quale è un pivot.+2ß5


Dimostrazione - Per ogni numero intero tale che determiniamo una operazione elementare< 2 < Ÿ 7della forma( )æ + ³ + B † +<ß‡ <ß‡ 2ß‡

(con opportuno numero reale) in seguito alla quale risultiB+ œ<ß5 0 .

Considerando la -sima componente di ciascuna -pla ordinata di numeri reali che compare nella ( ), si trova5 8 æche deve essere

0 œ + B † +<ß5 2ß5

e quindiB ³

++<ß5

2ß5

(ricordando che per ipotesi 0).+ Á2ß5

Le operazioni elementari7 2+ ³ + † + < ³ 2 2 á 7<ß‡ <ß‡ 2ß‡

++ <ß5

2ß5 ( 1, 2, , )

trasformano pertanto la matrice A in una matrice per la quale è un pivot.+2ß5

Teorema 20.6.4

Ogni matrice di colonne è equivalente a una matrice A avente la seguente proprietà:–8

per ogni , la matrice formata dalle prime colonne di A è nulla oppure può essere ridotta semplicemente–4 Ÿ 8 4

sopprimendo le righe nulle.

Dimostrazione - Sia A una matrice .œ Ð+ Ñ 7 ‚ 83ß4

Trasformiamo A (mediante operazioni elementari sulle righe) in una matrice con un pivot nella prima riga e nellacolonna “più a sinistra possibile”.Se nella prima colonna di A c’è un elemento diverso da zero, mediante una operazione elementare del tipo-"

M.1 si può trasformare A in modo che compaia nella riga , cioè in modo che coincida con ; e con- -" "ß‡ " "ß"+ +successive operazioni elementari del tipo M.3 si può ulteriormente trasformare A in modo che sia un pivot+"ß"(teorema 20.6.3). Se invece la prima colonna di A è tutta nulla, si trasforma A in modo che (o comunque, se+"ß#le prime colonne di A sono nulle, ) sia un pivot.5 +"ß5"

Come secondo passo, trasformiamo A (mediante operazioni elementari sulle righe) in una matrice con un pivotnella seconda riga e nella colonna “più a sinistra possibile”. Supponiamo che il pivot ottenuto nella prima riga sia+ 4 "ß4 #. Se nella ( 1) sima colonna di A (e nelle righe successive alla prima) c’è un elemento diverso da-zero, mediante una operazione elementare del tipo M.1 si può trasformare A in modo che compaia nella riga-#

+ +#ß‡ #ß4", cioè in modo che coincida con ; e con successive operazioni elementari del tipo M.3 si può-ulteriormente trasformare A in modo che sia un pivot (teorema 20.6.3). Se invece nella ( 1) sima+ 4 #ß4"

colonna di A tutti gli elementi (tranne al più quello della prima riga) sono nulli, si trasforma A in modo che +#ß4#

(o comunque un opportuno con minimo possibile) sia un pivot. Tutte le operazioni elementari necessarie+ >#ß4>

per ottenere il pivot sulla seconda riga non modificano né le prima riga né le prime colonne.4Allo stesso modo si procede per ottenere un pivot nella terza, quarta, , sima riga, sempre nella colonnaá 7“più a sinistra possibile”. Al termine del procedimento, si ottiene la matrice A , equivalente a quella data, con la–

proprietà cercata.

Teorema 20.6.5

Ogni matrice non nulla è equivalente a una matrice ridotta.

Dimostrazione - È conseguenza immediata del teorema 20.6.4 .


20.7 - Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.

Sia A una matrice . Si dice (o ) di A la dimensione del sottospazio vettoriale7‚ 8 rango caratteristicadi generato dalle righe di A.‘8

Osservazione 20.7.1

Sia A una matrice , e sia il rango di A. Allora e .7‚ 8 < < Ÿ 7 < Ÿ 8

Dimostrazione - Si può ottenere col metodo degli scarti successivi una base per il sottospazio vettorialedi generato dalle righe di A : ciò prova che . Inoltre per il teorema 19.8.9.‘8 < Ÿ 7 < Ÿ 8

Teorema 20.7.2

Siano A, B matrici equivalenti di colonne. Il sottospazio di generato dalle righe di A coincide col8 ‘8

sottospazio di generato dalle righe di B. In particolare, matrici equivalenti hanno lo stesso rango.‘8

Dimostrazione - Per il corollario 19.5.5, ciascuna operazione elementare sulle righe non cambia ilsottospazio di generato dalle righe; poiché B si ottiene da A mediante un numero finito di operazioni‘8

elementari sulle righe, si ha l’asserto.

Teorema 20.7.3

Le righe di una matrice ridotta sono linearmente indipendenti. In particolare, il rango di una matrice ridottacoincide col numero delle sue righe.

Dimostrazione - Sia A una matrice ridotta , e siano , , , le sue righe.œ Ð+ Ñ 7 ‚ 8 + + á +3ß4 "ß‡ #ß‡ 7ß‡

Procediamo per assurdo. Se , , , fossero linearmente dipendenti, per il teorema 19.6.8 una+ + á +"ß‡ #ß‡ 7ß‡

di esse sarebbe combinazione lineare delle seguenti; esisterebbero cioè un numero intero positivo e < 7 7 <numeri reali , , tali che- - -<" <# 7á

+ œ + + á +<ß‡ <" <"ß‡ <# <#ß‡ 7 7ß‡- - - .

Poiché A è ridotta, esiste un numero intero positivo tale che 04 Ÿ 8 + Á<ß4

e 0 .+ œ a 3 <3ß4

Si trova così che0 0 0 0 0Á + œ + + á + œ † † á † œ<ß4 <" <"ß4 <# <#ß4 7 7ß4 <" <# 7- - - - - -

e questa contraddizione prova l’asserto.

Corollario 20.7.4

Sia A una matrice di colonne. Le righe di una matrice ridotta equivalente ad A sono una base per il sottospazio8di generato dalle righe di A.‘8

Dimostrazione - Segue immediatamente dai teoremi 20.7.2 e 20.7.3.


Teorema 20.7.5 (Rouché Capelli)

Sia

x x xx x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x

ÚÝÝÛÝÝÜ+ + á + œ ,+ + á + œ ,

+ + á + œ

"ß" " "ß# # "ß8 8 "

#ß" " #ß# # #ß8 8 #

7ß" " 7ß# # 7ß8 8 ,7

un sistema lineare con matrice incompleta A e matrice completa A .*

Tale sistema ha soluzione se e soltanto se la matrice incompleta A e la matrice completa A hanno lo stesso*

rango. In tal caso, detto tale rango, il sistema ha esattamente incognite libere.< 8 <

Dimostrazione - Per i teoremi 20.6.4, 20.6.1 e 20.7.2, possiamo supporre che la matrice A sia ridotta e*

la matrice A possa essere ridotta semplicemente sopprimendo le righe nulle.

Supponiamo in primo luogo che il sistema dato abbia soluzione, e dimostriamo che A e A hanno lo*

stesso rango. Sia il rango di A. In A vi sono esattamente righe non nulle, e le corrispondenti righe di A< < <! ! !*

sono anch’esse necessariamente non nulle. Se il rango di A non fosse , vi sarebbe in A una riga non nulla a* *<!cui corrisponde una riga nulla di A, cioè una riga con tutti gli elementi uguali a zero tranne quello dell’ultimacolonna uguale a un certo 0; ma allora la corrispondente equazione del sistema dato sarebbe, Á!

0 œ ,!e dunque il sistema dato sarebbe impossibile, contro l’ipotesi che abbia soluzione.

Supponiamo ora che le matrici A e A abbiano lo stesso rango (cosicché, avendo supposto A ridotta,* *<7 œ <) . Sotto questa ipotesi dimostreremo che il sistema dato ha soluzione; anzi, dimostreremo che esistono8 < á Ð á Ñ − incognite x , x , , x tali che per ogni , , , esiste esattamente una soluzione3 3 3 3 3 3

8<" # 8< " # 8<

! ! ! ‘del sistema per la quale è

x , x , , x ,3 3 3 3 3 3" " # # 8< 8<œ œ á œ! ! !

col che il teorema sarà completamente provato.

Poiché A è ridotta, in ciascuna delle sue righe c’è un elemento diverso da zero “sotto al quale” tutti gli<elementi sono uguali a zero (il “pivot”) . Siano , , , le colonne dei pivot, e siano , , , le4 4 á 4 3 3 á 3" # < " # 8<

rimanenti colonne di A . Postox , x , , x3 3 3 3 3 3" " # # 8< 8<

œ œ á œ! ! !nel sistema rimangono soltanto le incognite x , x , , x . Poiché A è ridotta, nella sima equazione del< á < 4 4 4" # <

sistema compare la sola incognita x ; nella ( 1) sima equazione del sistema compaiono soltanto le4< < incognite x e x ; e così via. Il sistema può dunque essere risolto per sostituzioni successive, ottenendo una e4 4<" <

una sola soluzione nelle incognite x , x , , x .4 4 4" # <á

20.8 - Un algoritmo per determinare una base di un sottospazio vettoriale.

Sia un numero intero positivo. Supponiamo di conoscere un insieme finito , , , di8 Ö á ×v v v" # 8

generatori per un sottospazio vettoriale di e di essere interessati a trovare una base per . Sia A una matriceV V‘8

che ha per righe , , , , e sia A’ una matrice ridotta per righe equivalente ad A (una tale matricev v v" # 8á Ð Ñ48

esiste per il teorema 20.6.5). Per il Corollario 20.7.4, le righe di A’ sono una base per .V

Il procedimento sopra descritto si potrebbe applicare a tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita,grazie sostanzialmente al teorema 19.9.11.

48 Se , , , sono tutti diversi fra loro, quante matrici distinte che hanno per righe , , ,v v v v v v" # 8 " # 8á áesistono ? E se alcuni dei sono uguali fra loro ? Si riguardi il capitolo 13.v3


Esempio 20.8.1

Sia il sottospazio vettoriale di generato da 1, 0, 2, 1 , 2, 1, 3, 1 , 2, 2, 2, 0 e 3, 2, 4, 1 .W ‘% Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑPer determinare una base di si considera la matriceW


1 0 2 12 1 3 12 2 2 03 2 4 1

e la si riduce mediante le seguenti operazioni elementari sulle righe R , R , R :" # $

R R 2R ; ³ # # "

R R R ; ³ % % "

R R 2R ; ³ $ $ #

R R 2R ; ³ % % #

ottenendo


1 0 2 11 1 1 00 0 0 00 0 0 0

e quindi

Œ 1 0 2 11 1 1 0

cosicché si può concludere che 1, 0, 2, 1 , 1, 1, 1, 0 è una base per .ÖÐ Ñ Ð Ñ× W

Esercizio 20.8.2

Determinare una base per il sottospazio di generato da 1, 0, 2, 3 , 4, 1, 3, 0 , 2, 1, 1, 6 , 2, 0, 1, 1 ,‘% Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ5, 2, 3, 2 .

Esercizio 20.8.3

Determinare una base per il sottospazio di x generato da x x 1, 2x x x, x 2x 1,‘Ò Ó $ # % # % $

3x 3x 4x x 2.% $ #

20.9 - Esercizi sui sistemi lineari.

Esercizio 20.9.1

Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z :ÚÛÜ

2x y z 12x 2z 12x 3y z 0

œ œ œ


Soluzione - Consideriamo la matrice completa del sistema e riduciamola per righe:

Î ÑÏ Ò

2 1 1 12 0 2 12 3 1 0

R R 3R$ $ "³

Î ÑÏ Ò

2 1 1 12 0 2 1

4 0 4 3

R R 2R$ $ #³

Î ÑÏ Ò

2 1 1 12 0 2 10 0 0 1

Dunque, la matrice incompleta ha rango 2, quella completa ha rango 3: per il teorema di Rouché Capelli, ilsistema non ha soluzioni.

Esercizio 20.9.2

Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t :

x y z t 1x y z 2t 13x y 3z t 13x 2y 3z 3t 1

ÚÝÝÛÝÝÜ œ œ œ œ



1 1 1 1 11 1 1 2 13 1 3 1 13 2 3 3 1

R R R ;# # "³ R R R ;$ $ "³ R R ;$ $

"#³

R R 2R ;% % "³ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

1 1 1 1 10 0 0 1 21 0 1 0 11 0 1 1 3

R R R ;% % #³


1 1 1 1 10 0 0 1 21 0 1 0 11 0 1 0 1


R R R ;% % $³


1 1 1 1 10 0 0 1 21 0 1 0 10 0 0 0 0

e infine

Î ÑÏ Ò

1 1 1 1 10 0 0 1 21 0 1 0 1

Matrice incompleta e matrice completa hanno lo stesso rango, cioè 3; per il teorema di Rouché-Capelli,poiché il numero delle incognite è 4, il sistema dato ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro. Comeparametro può essere scelta una qualsiasi delle incognite purché la matrice incompleta del sistema, omettendo lacolonna corrispondente a tale incognita, continui ad avere rango 3; la scelta più immediata nel nostro caso è la x :infatti, omettendo la prima colonna, la matrice incompleta è ancora ridotta per righe ed ha ancora rango 3. Sipotrebbe anche assumere come parametro la z. Non si potrebbe invece assumere come parametro né la y né la t.

Assumendo come parametro la x, si ottiene il sistema

y z t 1 xt 2z 1 x

ÚÛÜ

œ œœ

che si risolve facilmente per sostituzione (sostituendo nella prima equazione a t e z i valori ricavati dalla secondae dalla terza). Si ottiene

y 4z 1 xt 2

ÚÛÜ

œ œ œ

e dunque la soluzione generale è x, 4, 1 x, 2 o, se si preferisce, 0, 4, 1, 2 x 1, 0, 1, 0 .Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Esercizio 20.9.3

Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z :

x y z 0x y z 0x y z 0

ÚÛÜ

œ œ œ

Soluzione - Si tratta di un sistema lineare omogeneo; esiste sicuramente almeno una soluzione, lacosiddetta “soluzione banale” 0, 0, 0 . Per il teorema di Rouché Capelli, ci sono altre soluzioni se e solo se ilÐ Ñ rango della matrice incompleta è minore di 3. Consideriamo dunque la matrice incompleta del sistema eriduciamola per righe:

Î ÑÏ Ò

1 1 11 1 11 1 1


R R R# # "³ R R R$ $ "³ Î Ñ

Ï Ò1 1 10 0 20 2 2

R R R$ $ #³ Î ÑÏ Ò

1 1 10 0 20 2 0

La matrice incompleta ha dunque rango uguale al numero delle incognite, e il sistema ha quindi la sola soluzioneÐ Ñ0, 0, 0 .

Esercizio 20.9.4

Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z :

2x 5y 8z 84x 3y 9z 92x 3y 5z 7x 8y 7z 123x 3y 5z 2

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

œ œ œ

œ œ


Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

2 5 8 84 3 9 92 3 5 71 8 7 123 3 5 2

R R 2R ;# # "³ R R ;# #

"(³

R R R ;$ $ "³ R 2R R ;% % "³ R 2R 3R ;& & "³


2 5 8 80 1 1 10 2 3 10 11 6 160 21 14 28

R R 2R ;$ $ #³ R R 11R ;% % #³ R R 21R ;& & #³


2 5 8 80 1 1 10 0 1 10 0 5 50 0 7 7


R R 5R ;% % $³ R R 7R ;& & $³ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó

Ï Ò

2 5 8 80 1 1 10 0 1 10 0 0 00 0 0 0

e infine

Î ÑÏ Ò

2 5 8 80 1 1 10 0 1 1

Matrice incompleta e matrice completa hanno lo stesso rango, cioè 3; per il teorema di Rouché-Capelli,poiché anche il numero delle incognite è 3, il sistema dato ha esattamente una soluzione.

Alla matrice ridotta ottenuta resta associato il sistema

2x 5y 8z 8

y z 1z 1

ÚÛÜ

œ œ œ

che si risolve facilmente per sostituzione. Si ottiene

x 3y 2z 1

ÚÛÜ

œœœ

e dunque la soluzione del sistema dato è 3, 2, 1 .Ð Ñ

Esercizio 20.9.5

Si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z :

x y z 1

x y 2 z 12 x 2 y 3 z 2

ÚÛÜ

œ œ

œ

Esercizio 20.9.6


x y 2 z 1x z 22 x y z 0x y 2 z 23 x y 4 z 5


œ œ œ

œ œ


Esercizio 20.9.7

Si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t :

x y z t 32 x y z t 3x y 2 z 2 t 1x 4 y z t 2

ÚÝÝÛÝÝÜ œ œ

œ œ

Esercizio 20.9.8


x 2 y z t 3x y z 2 t 12 x y 2 z 02 y 2 z t 2x 3 y 3 z t 3


œ œ œ œ

œ

Esercizio 20.9.9


2 x y z 03 x 2 y 2 z 0x y z 0

ÚÛÜ

œ œ

œ

Esercizio 20.9.10


x y 2 z 0x 2 y z 0x y 2 z 0

ÚÛÜ

œ œ œ

Esercizio 20.9.11

Si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w :

x y 2 z t w 12 x y z t 13 y 5 z 3 t 2 w 0

ÚÛÜ

œ œ œ


Esercizio 20.9.12


2 x 2 y z 2 t 0x y 2 z t 03 x 3 y 3 t 0x y z t 0

ÚÝÝÛÝÝÜ œ

œ œ

œ

Esercizio 20.9.13


x y z t 12 x y z t 0x 2 y 2 z 2 t 13 y 3 z 3 t 2

ÚÝÝÛÝÝÜ œ œ

œ œ

Esercizio 20.9.14

Si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w :

x 2 y t w 02 x y z t w 05 x 2 z 3 t 3 w 0

ÚÛÜ

œ œ œ

Esercizio 20.9.15


x 2 y z t 02 x y 2 z 0x z t 03 x y 3 z t 0x y z t 0


œ œ

œ œ

œ

Esercizio 20.9.16

Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t :

3x 4y z 2t 36x 8y 2z 5t 79x 12y 3z 10t 1312x 16y 4z 12t 16

ÚÝÝÛÝÝÜ œ œ œ œ


20.10 - Esercizi sui sistemi lineari dipendenti da un parametro.

Esercizio 20.10.1

Si stabilisca per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z è risolubile5(specificando il numero delle incognite libere) e per quali è invece impossibile :

ÚÛÜ

x 3 y z 1y z

x 6 y 2 z 2

5 œ œ 5

5 œ


Î ÑÏ Ò

1 3 10 1 1

6 2 2

55

5

R R R$ $ "³ 5 Î ÑÏ Ò

1 3 10 1 10 3 6 2 2

55

5 5 5#

R R 3 2 R$ $ #³ Ð 5Ñ

Î ÑÏ Ò

1 3 10 1 10 0 1 4 1 3 2

55

Ð 5ÑÐ5 Ñ Ð 5ÑÐ 5 Ñ

Per 1, 4 la matrice incompleta e quella completa sono ridotte e hanno rango 3, uguale al numero5 Á delle incognite: il sistema ha esattamente una soluzione.

Per 1, la matrice incompleta e quella completa si riducono sopprimendo la terza riga e hanno rango5 œ2 : il sistema ha infinite soluzioni, dipendenti da una incognita libera (qualunque incognita può essere assuntacome incognita libera).

Per 4, la matrice incompleta si riduce sopprimendo la terza riga e ha rango 2, mentre la matrice5 œ completa è ridotta e ha rango 3 : il sistema è impossibile.

Esercizio 20.10.2


x y 2 z4 x y z 2

x y 4 z 4

ÚÛÜ

œ 5 5 5 œ

5 5 œ


Î ÑÏ Ò

1 1 24 2

4 4

55 5

5 5


R R 4R# # "³ R R R$ $ "³ 5

Î ÑÏ Ò

1 1 20 4 8 2 40 0 2 2 2 2

55 5 5

Ð 5Ñ Ð 5ÑÐ 5Ñ

Per 4, 2 la matrice incompleta e quella completa sono ridotte e hanno rango 3, uguale al numero5 Á delle incognite: il sistema ha esattamente una soluzione.

Per 2, la matrice incompleta e quella completa si riducono sopprimendo la terza riga e hanno rango5 œ2: il sistema ha infinite soluzioni, dipendenti da una incognita libera (qualunque incognita può essere assuntacome incognita libera).

Per 4, la matrice diventa5 œ Î ÑÏ Ò

1 1 2 40 0 12 180 0 12 12

e per completare la riduzione si deve porre R R R . Si ottiene$ $ #³

Î ÑÏ Ò

1 1 2 40 0 12 180 0 0 6

e dunque per 4 il sistema è impossibile.5 œ

Esercizio 20.10.3


x y 3 z 3x 5 y 7 z 2

2 x 6 y 6 z 1x y 4 z 4

ÚÝÝÛÝÝÜ Ð5 Ñ œ 5 Ð5 Ñ œ

Ð5 Ñ œ5 5 Ð5 Ñ œ 5

Esercizio 20.10.4


2 y z 1x y z 0x 3 y 2x y 2 z 1

ÚÝÝÛÝÝÜ œ

5 œ œ 5 œ


Esercizio 20.10.5

Si stabilisca per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t è risolubile5(specificando il numero delle incognite libere) e per quali è invece impossibile :

x 2 y z t 0x y t 0

x 2 3 y t 01 x 4 y 2 z 4 t 0

ÚÝÝÛÝÝÜ 5 œ 5 œ

5 Ð 5Ñ 5 œÐ5 Ñ œ

Esercizio 20.10.6

Si stabilisca per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t è risolubile5(specificando il numero delle incognite libere) e per quali è invece impossibile :

x y z t 1x y z 2 t 1

1 x y 3 t 02 1 x 1 y 2 1 z 3 t

ÚÝÝÛÝÝÜ 5 œ

5 5 5 5 œÐ5 Ñ Ð 5Ñ œÐ 5 Ñ Ð5 Ñ Ð 5 Ñ 5 œ 5

Esercizio 20.10.7


5 x 5 y 2 z 12

x z 06 x 5 y z 12

ÚÛÜ

5 5 œ5 œ

5 œ

Esercizio 20.10.8


x z 0

x 2 y z 0y z 0

ÚÛÜ

5 œ œ5 œ

Esercizio 20.10.9

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z ha soluzione,5specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :5

x ( 1) z 2y 2 z 1

x 5 z 4x y 3 z 3 3

ÚÝÝÛÝÝÜ 5 œ 5

5 5 œ œ 5 5 œ 5


Esercizio 20.10.10


x y 1(2 1) x y z 2( 1) x 2 y ( 1) z 2 4(3 1) x 2 y z 3

ÚÝÝÛÝÝÜ5 5 œ5 5 œ

5 5 5 œ 5 5 5 œ

Esercizio 20.10.11


x y ( 2) z 22 x y z 3x y z 3(2 ) x 2 y+2 z 7

ÚÝÝÛÝÝÜ5 5 œ 5

5 œ œ 5 œ 5

Esercizio 20.10.12

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t ha soluzione,kspecificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :k

x 2 y t 1y z t

3 z ( 2) t 2y z t 1

x 2 y z


5 œ œ 5

5 œ 5 5 œ

5 œ 5

Esercizio 20.10.13

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z ha soluzione,kspecificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :k

2 x 2 y 1 z 9x y 3 z 6 5x y 2 z 3

x y 4 z 6 3

ÚÝÝÛÝÝÜ5 Ð5 Ñ œ 5

5 œ 5 5 Ð5 Ñ œ 5 Ð5 Ñ œ 5

Esercizio 20.10.14


3 x 1 y z 1 2 t 34 x 1 y 2 t 2 3

x 2 t 4 61 x 2 t 3

ÚÝÝÛÝÝÜ Ð5 Ñ 5 Ð 5Ñ œ 5

Ð5 Ñ Ð5 Ñ Ð5 Ñ œ 5 5 Ð5 Ñ œ 5 Ð5 Ñ Ð 5Ñ œ 5


Esercizio 20.10.15

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w ha soluzione,kspecificando al variare di le eventuali incognite libere :k

x y w 02 x 2 y 5 t 2 w 53 x 3 y 2 z t 3 w 1

1 x y z w 15 x 5 y z 3 t 5 w 3


5 œ 5 œ 5 œ

Ð5 Ñ 5 œ 5 œ

Esercizio 20.10.16

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z ha soluzioni,5specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :5

x 4 y 64 x y z 33 x 2 y 6 z 15 x 5 y z 3

ÚÝÝÛÝÝÜ œ 5

5 œ 5 œ

5 œ

#

#

Esercizio 20.10.17


x y 3 z t 22 x y 2 z t 02 x (1 ) y 2 z t 1y 4 z 2 t 1

x y 3 z t 1


5 œ 5 5 œ 5 œ

œ

5 œ 2

Esercizio 20.10.18

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z ha soluzione,kspecificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :k

x y zx y z 0

x y zx y 3 z

ÚÝÝÛÝÝÜ 5 œ 5

5 œ 5 œ 5 5 œ 5


Esercizio 20.10.19


x y ( 1) z ( 4) t 0x y 3 z 0( 1) x ( 1) y ( 4) z 3 t 02 x ( 2) z ( 4) t 0

x y ( 1) z 0


5 5 œ œ5 5 5 œ

5 5 œ5 5 5 œ

Esercizio 20.10.20

Si stabilisca per quali valori del parametro reale il vettore 1, 2, appartiene al sottospazio vettoriale di 5 Ð 5Ñ ‘$

generato da 1, 0, 3 e 2, , 1 . Per tali valori, si esprima 1, 2, come combinazione lineare div w³ Ð Ñ ³ Ð 5 Ñ Ð 5Ñv w e ; tale espressione è unica ?

Esercizio 20.10.21

Ove possibile, si esprima al variare del parametro reale il vettore come combinazione lineare dei vettori ,5 A B5 5

C D5 5 e , per: ³ Ð 5Ñ ³ Ð 5 5Ñ ³ Ð 5 Ñ ³ Ð Ñ 6, 12, , 3 , 1, , 12, , 4 , 3, , ;A B C D5 5 5 5

$ " 5# # #

³ Ð Ñ ³ Ð 5 Ñ ³ Ð 5 Ñ ³ Ð5 5Ñ 4, 0, 4 , 1, , 2 , 0, , 1 , , 2, ;A B C D5 5 5 5

³ Ð Ñ ³ Ð5 Ñ ³ Ð 5 Ñ ³ Ð5 Ñ 1, 3, 2 , , 2, 1 , 2 , 1, 3 , , 1, 2 .A B C D5 5 5 5

Esercizio 20.10.22

Nello spazio vettoriale delle 4 ple ordinate di numeri reali, sono dati in dipendenza del parametro reale ‘4 5 : 1, 0, 1, 1 ; ( ) : 0, 1, 1, ; ( ) : , , 0, 0 ; ( ) : 2 , , 0, .v v v v" # $ %œ Ð Ñ 5 œ Ð 5Ñ 5 œ Ð5 5 Ñ 5 œ Ð 5 5 5Ñ2

Si dica, motivando la risposta, per quali valori di i vettori , ( ), ( ) e ( ) sono linearmente dipendenti.5 5 5 5v v v v" # $ %

Esercizio 20.10.23

Nello spazio vettoriale delle quaterne ordinate di numeri reali, sono dati in dipendenza del parametro reale ‘% 2 : 1, 1, 5 , 2 ; : 1, 1, 3 , 0 ; : 3 , 3, , 6 ;v v v" # $œ Ð 2 Ñ œ Ð 2 Ñ œ Ð 2 2 2Ñ : , 0, 3, .v œ Ð2 2ÑSi dica, motivando la risposta, per quali valori di appartiene al sottospazio vettoriale di generato da , 2 v v v‘%

" #

e (ossia, per quali valori di è combinazione lineare di , e ) .v v v v v$ " # $2

Esercizio 20.10.24

Nello spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella indeterminata x, sono datii x x x x 1 ;aÐ Ñ ³ % #

x x x ;bÐ Ñ ³ $

x x 1 ;cÐ Ñ ³ %

e, in dipendenza del parametro reale ,5 x x x x 1 .d5

% $ #Ð Ñ ³ Ð5 ÑSi dica, motivando la risposta, per quali valori di i polinomi x , x , x e x sono linearmente5 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ña b c d5

dipendenti.


Esercizio 20.10.25

Si dica, motivando la risposta, per quali valori del parametro reale i seguenti elementi dello spazio vettoriale k ‘&

risultano linearmente dipendenti e per quali valori invece risultano linearmente indipendenti : (1, 1, 1, 2, ) ;v ( )" 5 ³ 5 5 (1, 1, 1, 0, ) ;v ( )# 5 ³ 5 5 ( 1, 3, 4, 2, 1) ;v ( )$ 5 ³ 5 5 5 5 ( 4, 0, 3, 4, 0) .v ( )% 5 ³ 5 5


21.- FUNZIONI IR IRÄ

21.1 - Generalità.

L’insieme delle funzioni si indica con . Abbiamo già osservato (19.1.6) che si possono‘ ‘ ‘Ä ‘

definire in un’operazione binaria interna, detta , e un prodotto per scalari rispetto ai quali l’insieme di‘‘ sommatutte le funzioni aventi un assegnato dominio è uno spazio vettoriale che indichiamo con ; inoltre‘ ‘ YÄ Ð ÑA Ala composizione definita in 4.7 è un’operazione interna in . Analogamente a quanto si è fatto in 19.1.6 per la‘‘

somma, è possibile definire in prodotto, quoziente ed elevamento a potenza di funzioni: precisamente, se ,‘‘ f g− ‘‘, si pone

x x x ;Ð ÑÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñfg f g

x ;Š ‹fg g

fÐ Ñ ³ Ð ÑÐ Ñxx

x x .a bf fg gÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñx

Si noti che il prodotto di una funzione per uno scalare, definito in 19.1.6, risulta un caso particolare delprodotto di due funzioni.

È interessante (e importante!) mettere in relazione col dominio di e quello delle varie funzionif gdefinite a partire da esse come si è appena accennato; precisamente, si ha

W W W WÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñf g fg f g= ;

W W WŠ ‹fg œ Ð Ñ Ö − Ð Ñ Ð Ñ Á ×f g gx / x 0 ;

W W Wa bf g f f1 œ Ð Ñ Ö − Ð Ñ Ð Ñ ×x / x 0 ;

W W WÐ ‰ Ñ œ Ö − Ð Ñ Ð Ñ − Ð Ñ×f g g g fx / x .

Le funzioni che considereremo saranno quasi esclusivamente ottenute mediante somma,‘ ‘Äprodotto, quoziente, elevamento a potenza, composizione a partire dalle seguenti funzioni (dette funzionielementari) che supponiamo note (generalmente dagli studi effettuati nella scuola secondaria superiore) :

Ð3Ñ le funzioni polinomiali (associate ai polinomi ( ) a coefficienti reali nell’indeterminata x) ; a49

questa famiglia appartengono in particolare la funzione identità (cfr. 4.4.3) e le funzioni costanti.id‘Ð33Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ le funzioni trigonometriche ( x , x , x ) e le loro inverse ( x , x ,sin cos tg arcsin arccos

arctgÐ Ñx ) ;

Ð333Ñ + − + Ð Ñ per ogni , la funzione potenza x di esponente , la funzione esponenziale x (che‘ + exp+

indicheremo anche con ) e (se 1) la funzione logaritmica x in base (cfr. 10.5) ;+ + Á Ð Ñ +x log+Ð3@Ñ la funzione “valore assoluto” ( x , definita in 10.1, per la quale si veda anche la sez. 21.2) .k kOccasionalmente sarà utile prendere in considerazione anche funzioni che non rientrano nelle famiglie

sopra considerate; ad esempio la funzione “parte intera” ( x , che associa al numero reale il più grande numeroÒ Ó Bintero non superiore a ) , la funzione “segno” ( x , che assume valore 1 se 0, assume valore 0 seB Ð Ñ B sgnB œ B Ð Ñ B0, e assume valore 1 se 0) , la “funzione di Dirichlet” ( x , che assume valore 1 se èDirrazionale, e assume valore 1 se è irrazionale) ed altre simili a quest’ultima (cfr. Esempio 22.1.5 ed Esempio B24.4.3).

49 Nel seguito utilizzeremo la stessa notazione sia per indicare un polinomio a coefficienti reali nell'indeterminata x sia per indicare la funzione polinomiale ad esso associata: ciò non darà mai luogo ad equivoci.


Particolare rilevanza avrà nel seguito la nozione di “intervallo” introdotta in 5.3 . Si noti che lo stessoinsieme si considera un intervallo (aperto, illimitato a sinistra e a destra) e che un intervallo non può, per‘definizione, consistere di un solo elemento. Per un intervallo limitato si introduce la nozione di : seampiezzal’intervallo ha estremi e , la sua ampiezza è per definizione il numero reale .+ , , +k k

Esercizio 21.1.1

Calcolare: ; 1 ; ; 2 ; 3 ; ; 0 ; 7 .Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó# $$ %

È È 1

Esercizio 21.1.2

Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

f log" #Ð Ñ ³ Ð Ñx x ;Èf log log# $ &Ð Ñ ³ Ð Ñ Ñx ( x 1 ;

f$Ð Ñ ³x .x 1x 2

Esercizio 21.1.3

Dimostrare che le funzioni x e x sono la stessa funzione (cfr. la nota 14 a pag. 46 del Vol. 1).È k k#

Esercizio 21.1.4

Dire, motivando la risposta, sef f" #Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñx x e x xÈ È# #

sono la stessa funzione oppure no.

Esercizio 21.1.5

Dire, motivando la risposta, sef f log" # #Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ Ðx 2 e x 2 )log#Ð Ñx x

sono la stessa funzione oppure no.

21.2 - Osservazioni sulla funzione “valore assoluto .”

Teorema 21.2.1

Se , , si ha .B C − B Ÿ C Í C Ÿ B Ÿ C‘ k kDimostrazione - Sia ; allora 0 , e 0 . Se 0 , è certamente ; inoltre,k kB Ÿ C C C Ÿ B B Ck k k kB œ B B Ÿ C B B C B œ B B Ÿ C e dunque . Se invece 0 , è certamente ; inoltre, e dunque ,

da cui (teorema 9.4.7 ) .Ð3Ñ C Ÿ B

Viceversa, sia . Se 0 , è e dunque la equivale alla . Se C Ÿ B Ÿ C B B œ B B Ÿ C B Ÿ Ck k k kinvece 0 , è e dunque la equivale alla ossia (teorema 9.4.7 ) allaB B œ B C Ÿ B C Ÿ B Ð3Ñk k k kk kB Ÿ C .


Corollario 21.2.2

Se , , , si ha .B B C − B B Ÿ C Í B C Ÿ B Ÿ B C" # " # # " #‘ k k

Teorema 21.2.3

Se , , si ha .! " ‘ ! " ! "− Ÿ k k k k k kDimostrazione - Poiché , per il teorema 21.2.1 ( , ) si hak k k k k k! ! ! !Ÿ B ³ C ³

Ÿ Ÿk k k k! ! ! .Analogamente, . Ÿ Ÿk k k k" " "Utilizzando la 9.4. 1 se ne deduce cheCO

Ÿ Ÿ k k k k k k k k! " ! " ! "ossia Ð Ñ Ÿ Ÿ k k k k k k k k! " ! " ! "da cui l’asserto per il teorema 21.2.1 ( , ).B ³ C ³ ! " ! "k k k k

Teorema 21.2.4

Se , , si ha | | .! " ‘ ! " ! "− † œ †k k k kDimostrazione - Si tratta di una verifica immediata, per la quale è opportuno distinguere quattro casi:

! " ! " ! " ! " 0, 0 ; 0, 0 ; 0, 0 ; 0, 0 .

21.3 - Grafico di una funzione .‘ ‘Ä

Sia : una funzione. Fissato nel piano un SdR cartesiano (ortogonale, monometrico) , sif O‘ ‘Ä xydice di l’insieme dei punti del piano le cui coordinate , verificano la condizionegrafico f B C

C œ ÐBÑf .

Con la notazione di 15.1, possiamo anche dire che il grafico di è il luogo geometrico rappresentatofdall’equazione 0.C ÐBÑ œf

21.4 - Funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche.

Sia : una funzione. Si dice che è se per ogni è e inoltref f f f‘ ‘ W WÄ B − Ð Ñ B − Ð Ñparif fÐ BÑ œ ÐBÑ.

Si dice che è se per ogni è e inoltref f fdispari B − Ð Ñ B − Ð ÑW Wf fÐ BÑ œ ÐBÑ.

Se è pari o dispari, il comportamento di in 0, può facilmente essere dedotto da quello inf f Ò _ÑÐ _ Ó, 0 (e viceversa). In particolare, per l’osservazione 15.2.3, il grafico di una funzione pari è simmetricorispetto all’asse delle ordinate, quello di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.


Determinare tutte le funzioni con il cui grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.‘ ‘ W ‘Ä Ð Ñ œf

Esempio 21.4.2

Sono funzioni pari: la x x , la x x e tutte le funzioni polinomiali nella cui espressione xf f cosÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñk kcompare solo con esponente pari (es.: x x , x x , x 3x 2x 3 .f f fÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ Ñ# % "' #


Esempio 21.4.3

Sono funzioni dispari: la x x , la x x e tutte le funzioni polinomiali nella cui espressione xf sin f tgÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ ³ Ð Ñcompare solo con esponente dispari (es.: x x, x x , x 3x 2x 3x ; si noti che in particolaref f fÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ $ "$ &

il termine noto deve essere uguale a zero .Ñ

Esercizio 21.4.4

Si stabilisca se la funzione x f logÐ Ñ ³ # ¸ ¸1 x1 x

è pari, dispari oppure né pari né dispari.

Sia : una funzione, e sia un numero reale positivo. Si dice che è f f‘ ‘Ä 5 5periodica di periodose per ogni è e inoltreB − Ð Ñ B 5 − Ð ÑW Wf f

f fÐB 5Ñ œ ÐBÑ.

Se è periodica di periodo , il comportamento di su tutto può facilmente essere dedotto dalf f5 ‘comportamento in un qualsiasi intervallo di ampiezza almeno . In particolare, il grafico di si ottiene5 f“ricopiando” infinite volte il grafico della sua restrizione a un qualsiasi intervallo di ampiezza .5

Una funzione si dice se esiste tale che è periodica di periodo . Si noti che,‘ ‘ ‘Ä 5 − 5periodica fse è periodica di periodo , per definizione è periodica di periodo per ogni ; generalmente sif f5 85 8 − ™

considera (quando esiste) ilmin f / è periodica di periodo .Ö5 − 5×‘


Si dia un esempio di funzione periodica per la quale non esiste ilfmin f / è periodica di periodo .Ö5 − 5×‘

Esempio 21.4.6

Sono funzioni periodiche: la x x (di periodo 2 ), la x x (di periodo 2 ), la x x (dif sin f cos f tgÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ ³ Ð Ñ1 1periodo ) e tutte le funzioni costanti.1

21.5 - Estremi.

Sia una funzione .f ‘ ‘Ä

Si dice che è se l’immagine di (cfr. 4.3) è superiormente limitata (cfr. 5.6),f fsuperiormente limitatacioè se esiste un numero reale tale che ( ) . Se è superiormente limitata, l’estremo- - Wf f fB Ÿ aB − Ð Ñsuperiore (cfr. 5.7) dell’immagine di si dice .f festremo superiore di

Si dice che è se l’immagine di è inferiormente limitata (cfr. 5.6), cioè se esistef finferiormente limitataun numero reale tale che ( ) . Se è inferiormente limitata, l’estremo inferiore (cfr.- - Wf f fB aB − Ð Ñ5.8) dell’immagine di si dice .f festremo inferiore di

Si dice che è se è superiormente limitata ed inferiormente limitata, cioè se esistono duef flimitatanumeri reali , tali che l’immagine di è contenuta nell’intervallo , ; o, equivalentemente, se esiste un+ , Ò+ ,Ófnumero reale tale che ( ) .- - Wk kf fB Ÿ aB − Ð Ñ


Si dice che se l’immagine di ha massimo (cfr. 5.5) ; il massimo dell’immagine di si dicef f fha massimomassimo punto di massimo di . Se ha massimo , si dice per ogni per il quale si abbia .f f f f fQ B − Ð Ñ ÐBÑ œ QW

Si dice che se l’immagine di ha minimo (cfr. 5.5) ; il minimo dell’immagine di si dicef f fha minimominimo punto di minimo di . Se ha minimo , si dice per ogni per il quale si abbia .f f f f f7 B − Ð Ñ ÐBÑ œ 7W

Sia . Si dice che è , che , che se la restrizione diI f f I f I f I§ Ð ÑW limitata in ha massimo in ha minimo inf I a (cfr. 4.5) rispettivamente è limitata, ha massimo, ha minimo. Se esistono, l’estremo superiore, l’estremoinferiore, il massimo e il minimo della restrizione di ad si dicono rispettivamente ,f I f Iestremo superiore di inestremo inferiore di in massimo di in minimo di in , e ; gli eventuali punti di massimo e minimo per laf I f I f Irestrizione di a si dicono rispettivamente e .f I f I f Ipunti di massimo per in punti di minimo per in

Teorema 21.5.1

Sia una funzione , e siano , sottoinsiemi di . Se è superiormente limitata inferiormentef A B f f‘ ‘ WÄ Ð Ñ Òlimitata, limitata in e in , è superiormente limitata inferiormente limitata, limitata anche in .Ó Ò Ó A B A B

Dimostrazione - Proviamo l’asserto per superiormente limitata in e , lasciando come banalef A Besercizio gli altri due casi.

Supponiamo che sia superiormente limitata in e . Ciò significa che esistono due numeri reali ,f A B -"

- - -# " # tali che ( ) e ( ) .f A f BB Ÿ aB − B Ÿ aB −Posto , , si ha ( ) - - - -³ Ö × B Ÿ aB − max f A B" #

cioè l’asserto.

21.6 - Intorni. Punti di accumulazione.

Sia l’insieme dei punti della retta. Sappiamo (teorema 10.2.1) che, fissati in due punti ( )e e O originee ( ), esiste una corrispondenza biunivoca tra e per la quale ) 0, 1 e, comunqueU f f O f Upunto unità e ‘ Ð œ Ð Ñ œpresi , , il segmento ha misura | | rispetto all’unità di misura . Con abuso diP P P P f P f P OU" # " # " #− Ð Ñ Ð Ñelinguaggio ormai comune, si usa identificare ciascun numero reale col punto della retta che gli corrispondemediante : in tale contesto, gli elementi di sono detti ; inoltre, se , il numero reale sif ‘ ! " ‘ ! "punti − k kdice tra e .distanza ! "

Sia .B −! ‘

Si dice di un intervallo aperto (cfr. 5.3) al quale appartenga. Si dice intorno intorno di xB B! ! !

individuato da intorno di centro e raggio (o anche ) l’intervallo aperto , ; è chiaro che si$ $ $ $B ÐB B Ñ! ! !

tratta di un particolare intorno di .B!

Esempio 21.6.1

Ð Ñ1, 3 è un intorno di 0.

Esempio 21.6.2

Ð Ñ1, 3 è l’intorno di centro 1 e raggio 2.



Siano , . Si provi cheB − −!‘ $ ‘

ÐB B Ñ œ Ö − ± B ± ×! ! !$ $ ‘ $, x / x .

Sia .B −! ‘

Si dice di un intorno di privo di , ossia un insieme della forma \ con intorno forato B B B ÖB ×! ! ! !I Iintorno di .B!

Si dice di un intervallo aperto , con ; si dice di unintorno sinistro intorno destroB Ð+ B Ñ + B B! ! ! !

intervallo aperto , con . Gli intorni destri e sinistri di non sono, in base alla definizione, intorni diÐB ,Ñ B , B! ! !

B B B! ! !; si noti tuttavia che l’unione di un (qualsiasi) intorno sinistro di ed un (qualsiasi) intorno destro di è unintorno forato di .B!

Esempio 21.6.4

Ð Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ö ×Ñ2, 3) è un intorno sinistro di 3; 3, 5 è un intorno destro di 3; 2, 3 3, 5 ( 2, 5 \ 3 è un intorno foratodi 3.

Sia . Un elemento di si dice ad se esiste un intorno di contenuto in .A A A A§ B B‘ ! !internoL’insieme degli elementi di interni ad si dice l’ di .A A Ainterno

Esempio 21.6.5

Sia 0, 3 ; 1 è interno ad , 0 e 3 non sono interni ad . L’interno di è l’intervallo aperto 0, 3 .A A A A³ Ò Ó Ð Ñ

Osservazione 21.6.6

Siano , numeri reali.+ ,L’interno di , è , ; l’interno di , è , ; l’interno di , è , ; l’interno di , èÒ+ ,Ó Ð+ ,Ñ Ò+ ,Ñ Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ó Ð+ ,Ñ Ð _ ,ÓÐ _ ,Ñ Ò+ _Ñ Ð+ _Ñ, ; l’interno di , è , .

Sia , e sia . Si dice che è un per se in ogni intorno forato diA A§ B − B‘ ‘! ! punto di accumulazioneB! esiste almeno un elemento di .A

Esempi

21.6.7 Ogni elemento di 0, 1 è punto di accumulazione per 0, 1 .Ò Ó Ð Ñ

21.6.8 Non esistono punti di accumulazione per .

21.6.9 Sia l’insieme dei numeri reali della forma con numero intero positivo. Il numero reale 1A 18 8

appartiene ad , ma non è punto di accumulazione per ; il numero reale 0 non appartiene ad , ma è punto diA A Aaccumulazione per .A


Teorema 21.6.10

Sia , e sia un punto di accumulazione per . In ogni intorno forato di (e quindi in ogni intorno diA A§ B B‘ ! !

B!) esistono infiniti elementi di ; in particolare, ha infiniti elementi.A A

Dimostrazione - Procediamo per assurdo, supponendo che esista un intorno forato di al qualeB!

appartiene un numero finito di elementi , , , di . Sia il più piccolo tra i numeri ,B B á B ± B B ±" # 8 " !A $± B B ± á ± B B ± Á B# ! 8 ! 3, , ; si ha 0. Ognuno degli (e quindi, a maggior ragione, ogni elemento di )$ A

ha distanza da maggiore di ; dunque all’intorno forato di centro e raggio non appartiene alcunB B! !# #$ $

elemento di , contro l’ipotesi che sia di accumulazione per .A AB!

Teorema 21.6.11

Sia . Ogni punto interno ad è un punto di accumulazione per .A A A§ ‘

Dimostrazione - Sia un punto interno ad ; esistono allora , tali che e ,B B B − B B B ÐB! " # " ! # "A ‘B Ñ §# A.

Sia un intorno forato di ; esistono dunque , tali che e , \ .J J! !B C C − C B C œ ÐC C Ñ ÖB ×! " # " ! # " # !‘Poniamo , e , . Allora ; dunque in , \ esistono infinitiD ³ ÖB C × D ³ ÖB C × D B D ÐD D Ñ ÖB ×" " " # # # " ! # " # !max minelementi, e tutti questi appartengono ad (perché , , ) ; d’altro lato, , \ , eA A JÐD D Ñ § ÐB B Ñ § ÐD D Ñ ÖB × §" # " # " # ! !

dunque a appartengono infiniti elementi di . Per l’arbitrarietà di , l’asserto è completamente provato.J A J! !

21.7 - Punti isolati.

Sia , e sia . Si dice che è un (di ) se esiste un intorno forato di alA A A§ B − B B‘ ! ! !punto isolatoquale non appartiene alcun elemento di .A

Esempi

21.7.1 Ogni elemento di è un punto isolato.

21.7.2 Sia , . L’elemento è un punto isolato di ; tutti gli elementi dell’intervallo apertoA A³ Ö"× Ð# $Ñ "Ð# $Ñ # $, sono punti di accumulazione per che appartengono ad ; gli elementi e sono punti di accumulazioneA Aper che appartengono ad .A Anon


Sia , e sia . Si dimostri che è un punto isolato di se e soltanto se non è un punto diA A A§ B − B‘ ! !

accumulazione per .A

Suggerimento: Si utilizzi il contenuto delle osservazioni 2.3.6 e 2.3.7 .


22.- CONTINUITÀ

22.1 - Definizione.

Sia : una funzione, e sia . Si dice che è sef f f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ B! !continua inÐa − ÑÐb − ÑÐÐB − Ð ÑÑ • Ð ± B B ± ÑÑ Ê Ð ± ÐBÑ ÐB Ñ ± Ñ& ‘ $ ‘ W $ &

! !f f f ossia (cfr. Corollario 21.2.2) se

Ða − ÑÐb − ÑÐÐB − Ð Ñ ÐB B ÑÑ Ê ÐBÑ − Ð ÐB Ñ ÐB Ñ ÑÑ& ‘ $ ‘ W $ $ & & ! ! ! !f f f f, , .

Osservazione 22.1.1

Sia : una funzione, e sia . Si noti che, in base alla definizione, se è un punto isolato perf f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ B! !

W WÐ Ñ B B Ð Ñf f f (cfr. sez. 21.7) allora sicuramente è continua in . Infatti, se è un punto isolato per esiste un! !

intorno di al quale non appartiene nessun altro punto di , e si può scegliere (indipendentemente da ) inB Ð Ñ! W $ &fmodo che , sia contenuto in tale intorno e quindi le due condizioni , ÐB B Ñ B − Ð Ñ ± B B ± ! ! !$ $ W $fsiano verificate entrambe solo per . Di conseguenza, saremo interessati a studiare la continuità solo neiB œ B!

punti di accumulazione per .WÐ Ñf

Sia : una funzione, e sia un sottoinsieme non vuoto di . Si dice che è se èf I f f I‘ ‘ WÄ Ð Ñ continua incontinua in ogni punto di . Se è continua in ogni punto del proprio dominio, si dice semplicemente che èI f fcontinua.

Sia un sottoinsieme non vuoto di . Indicheremo con ) l’insieme delle funzioni continueI I‘ V ‘ ‘!Ð Äin . Se , scriveremo ) anziché ).I I œ ÖB × ÐB ÐÖB ×! ! !

! !V V

Esempio 22.1.2

Sia . La funzione (“costante”) che ad ogni numero reale associa è continua in .! ‘ ! ‘−

Esempio 22.1.3

La funzione x è continua in \ .Ò Ó ‘ ™

Esempio 22.1.4

La funzione che ad ogni numero reale associa se stesso è continua in . Poiché si ha per ogniid id‘ ‘‘ ÐBÑ œ BB − ‘, tale funzione è la funzione polinomiale associata al polinomio x e si indica usualmente essa stessa con x.

Esempio 22.1.5

La funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

x x se x è razionale0 se x è irrazionalefÐ Ñ ³ œ

è continua in 0 (e solo in 0).


Teorema 22.1.6

Le funzioni x e x sono continue.sin cosÐ Ñ Ð Ñ

Dimostrazione - Proviamo che x è continua; analogamente si prova che è continua x .sin cosÐ Ñ Ð ÑSi ponga , cosicché . Si ha2 ³ B B B œ B 2! !

sin sin sin sin sin cos cos sin sinÐBÑ ÐB Ñ œ ÐB 2Ñ ÐB Ñ œ ÐB Ñ Ð2Ñ ÐB Ñ Ð2Ñ ÐB Ñ œ! ! ! ! ! !

œ ÐB ÑÐ Ð2Ñ Ñ ÐB Ñ Ð2Ñsin cos cos sin! !1e quindi (ricordando i teoremi 21.2.3 e 21.2.4, il teorema A3.4.3 e il corollario A3.4.2)

± ÐBÑ ÐB Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ± † ± Ð2Ñ ± ± ÐB Ñ ± † ± Ð2Ñ ± œsin sin sin cos cos sin! ! !1œ ± ÐB Ñ ± Ð Ñ ± ÐB Ñ ± † ± Ð2Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ± ± ÐB Ñ ± † ± 2 ±2 .sin sin cos sin sin cos! ! ! !

# 2 2# #

#

Se inoltre 1 , è anche ; si ha allora± 2 ± 2 ± 2 ±#

± ÐB Ñ ± ± ÐB Ñ ± † ± 2 ± ± 2 ± † Ð ± ÐB Ñ ± Ñ Ÿ ± 2 ±sin cos cos! ! !2#

± ÐB Ñ±#!sin

2 23

perché 1 e 1.± ÐB Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ± Ÿsin cos! !

Pertanto, per ogni , se si pone , 1 si ha che& ‘ $− ³ Ö × #$min &

± B B ± Ê ± 2 ± Ê Ê!±2±$ & 2

3 23&

Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ± ± ÐB Ñ ± † ± 2 ± sin sin sin cos! ! !2#

±2±# 32 &

da cui l’asserto.

Teorema 22.1.7

Per ogni , la funzione x è continua. Per ogni , la funzione x è continua.! ‘ ‘− + − Ð Ñ! exp+


Esercizio 22.1.8

Dimostrare che la funzione x (cfr. 10.1) è continua.k k

22.2 - Prime proprietà delle funzioni continue.

Teorema 22.2.1

Sia una funzione , e sia . Se ) , esiste un intorno di in cui è limitata.f f f f‘ ‘ W VÄ B − Ð Ñ − ÐB B! ! !!

Dimostrazione - Poiché è continua in , fissato 1 esiste tale chef B ³ −!& $ ‘

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ÐBÑ − Ð ÐB Ñ ÐB Ñ ÑW $ $f f f f! ! ! !, 1, 1e dunque in , è limitata.ÐB B Ñ! !$ $ f

Teorema 22.2.2 (Weierstrass)

Sia , un intervallo chiuso e limitato, e sia , . Allora è limitata in , .Ò+ ,Ó § − ÐÒ+ ,ÓÑ Ò+ ,Ó‘ Vf f!

Dimostrazione - PoniamoX f³ ÖB − Ò+ ,Ó Î Ò+ BÓ×, non è limitata in , .

È se e soltanto se vale il teorema. Procediamo per assurdo, e supponiamo che sia ; poiché èX X Xœ g Á ginferiormente limitato (da ) esiste, per la completezza di , l’estremo inferiore di . Poniamo+ ‘ X

B ³! inf X .


Osserviamo che22.2. 1 per ogni ( , ) , è limitata in , P B − + B Ò+ BÓ! f(infatti se non fosse limitata in , sarebbe e non potrebbe essere l’estremo inferiore di ) ef X XÒ+ BÓ B − B!

22.2. 2 per ogni ( , ) , non è limitata in , P B − B , Ò+ B Ó" ! "f(infatti se fosse limitata in , sarebbe , , e non potrebbe essere l’estremo inferiore di ).f X XÒ+ B Ó ÒB B Ó œ g B" ! " !

Per il teorema 22.2.1, esiste un intorno ( , ) di in cui è limitata; scegliamo in modoB B B! ! !$ $ $fche tale intorno sia contenuto in , . Poiché è limitata anche in , (per la 22.2. 1 ), per il teoremaÒ+ ,Ó Ò+ B Óf ! $ P21.5.1 è limitata in , ) e quindi in , ; ciò contraddice la 22.2. 2 e prova l’asserto.f Ò+ B Ò+ B Ó! ! #$ $ P

Teorema 22.2.3 (“della permanenza del segno”)

Sia , e sia . Se 0, esiste un intorno di nel quale ha lo stesso segno di .B − − ÐB Ñ ÐB Ñ Á B ÐB Ñ! ! ! ! !!‘ Vf f f f

Dimostrazione - Supponiamo, per fissare le idee, 0. Posto , esiste tale chef fÐB Ñ ³ ÐB Ñ −! !& $ ‘

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ÐBÑ − Ð ÐB Ñ ÐB Ñ ÑW $ $ & &f f f f! ! ! !, , ossia , 0, 2 .B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ÐBÑ − Ð ÐB ÑÑW $ $f f f! ! !

In particolare, , è un intorno di nel quale x è positiva.ÐB B Ñ B Ð Ñ! ! !$ $ f

Se invece 0, si pone e si procede in modo analogo.f fÐB Ñ ³ ÐB Ñ! !&

Teorema 22.2.4 (Bolzano)

Sia , un intervallo chiuso e limitato, e sia , . Se e hanno segno opposto, esisteÒ+ ,Ó § − ÐÒ+ ,ÓÑ Ð+Ñ Ð,Ñ‘ Vf f f!

B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !, tale che 0.f

Dimostrazione - Supponiamo, per fissare le idee, 0. PostofÐ+Ñ X f³ ÖB − Ò+ ,Ó ÐBÑ ×, / 0

si ha che (perché ) e è superiormente limitato (ad esempio da , essendo , ); pertantoX X X XÁ g + − , § Ò+ ,Óesiste .B ³! sup XÈ (perchè ) e (perché è una limitazione superiore per ), ossia , . Vogliamo+ Ÿ B + − B Ÿ , , B − Ò+ ,Ó! ! !X Xprovare che 0 (da cui seguirà anche che e , cosicché , ).fÐB Ñ œ B Á + B Á , B − Ð+ ,Ñ! ! ! !

Se fosse 0, per il teorema della permanenza del segno (22.2.3) esisterebbe un intorno ,fÐB Ñ ÐB B Ñ! " #

di contenuto in , nel quale assume solo valori negativi; in particolare, sarebbe , ,B Ò+ ,Ó Ð Ñ ÐB B Ñ §! ! #50 f X

assurdo perché . Se fosse 0, ancora per il teorema 22.2.3 esisterebbe un intorno , diB œ ÐB Ñ ÐB B Ñ! ! " #sup X fB B B B − Ð Ñ B! " " nel quale assume solo valori positivi; dovrebbe essere per ogni , e dunque sarebbe unaf X 51

limitazione superiore di minore di , assurdo perché . Dunque 0 , come si voleva.X sup X fB B œ ÐB Ñ œ! ! !

Esempio 22.2.5

Sia x 2 x ; proveremo più avanti (22.3.2 ; cfr. il teorema 22.1.7) che è continua su tutto . Si haf fÐ Ñ ³ x $ ‘f f fÐ Ñ œ Ð Ñ œ B − Ð Ñ ÐB Ñ œ1 1 , 2 4 ; per il teorema di Bolzano (22.2.4) esiste 1, 2 tale che 0. In altri termini,! !

l’equazione 2 xx œ $

ha una soluzione nell’intervallo 1, 2 .Ð Ñ

50 Conviene applicare il teorema 22.2.3 non a ma alla restrizione di ad , .f f Ò+ ,Ó51 Non può essere , perché sarebbe anche ; né può essere , perché in ,B B B B B − ÐB B Ñ ÐB B Ñ# ! " # " #

f assume solo valori positivi.


Teorema 22.2.6

Sia una funzione , e sia . Se è continua in e 0 , esiste un intorno di in cui èf f f f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ B ÐB Ñ Á B! ! ! !1f

limitata.

Dimostrazione - Supponiamo, per fissare le idee, 0. Poichè è continua in , fissato f fÐB Ñ B ³! !ÐB Ñ& f !

2esiste tale che$ ‘−

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ W $ $ & &f f f f! ! ! !, .Dalla segue che 0 e quindi che ; dalla f f f f fÐB Ñ ÐBÑ œ ÐB Ñ ÐBÑ ÐBÑ! !

ÐB ÑÐBÑ ÐB Ñ& &f

f f!

!21 2

ÐB Ñ Ð œ ÐB Ñ Ñ ÐBÑ f f f! !$# ÐBÑ ÐB Ñ& segue (poiché, come si è già osservato, 0 ) che . Dunque1 2

3f f !

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê W $ $f ! ! ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ, 2 1 23f f f! !

ossia in , è limitata, come si voleva.ÐB B Ñ! !$ $ 1f

Se invece è 0, si pone ; esiste tale chefÐB Ñ ³ −!ÐB Ñ & $ ‘f !

2B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ÐB Ñ ÐBÑ ÐB ÑW $ $f f f f! ! ! !

$ "# #,

da cui (ricordando che 0, 0 )f fÐBÑ ÐB Ñ !

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê W $ $f ! ! ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ, 2 1 23f f f! !

ossia anche in questo caso è limitata in , , come si voleva.1f ÐB B Ñ! !$ $

22.3 - Proprietà algebriche di I .V!Ð Ñ

Teorema 22.3.1

Sia . è chiuso rispetto alla somma e al prodotto; in particolare, è un sottospazio vettoriale diB − ÐB Ñ ÐB Ñ! ! !! !‘ V V

‘‘.

Dimostrazione - Siano , . Per ogni , esistono , tali chef g − ÐB Ñ − −V ( ‘ $ $ ‘! ! " #

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± W $ $ (f f f! " ! " !, e , .B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± W $ $ (g g g! # ! # !

Proviamo in primo luogo che . Posto , , è chiaro che ,f g min − ÐB Ñ ³ Ö × ÐB V $ $ $ $!! " # !

B Ñ § ÐB B Ñ ÐB B Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ! ! " ! " ! # ! #$ $ $ $ $ W W W, , . Allora (ricordando che e tenendof g f gpresente il teorema 21.2.3) se , è ancheB − Ð Ñ ÐB B ÑW $ $f g ! !

B − Ð Ñ Ð Ñ ÐB B Ñ ÐB B ÑW W $ $ $ $f g ! " ! " ! # ! #, ,e dunque ± Ð ÑÐBÑ Ð ÑÐB Ñ ± œ ± ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ± Ÿf g f g f g f g! ! !

Ÿ ± ÐBÑ ÐB Ñ ± ± ÐBÑ ÐB Ñ ± œf f g g! ! ( ( (2 .Fissato , si può scegliere in modo che sia 2 ; per dipendente da tale , si ha& ‘ ( ( & $ (−

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± Ð ÑÐBÑ Ð ÑÐB Ñ ± W $ $ &f g f g f g! ! !, come si voleva.

Proviamo ora che . Per il teorema 22.2.1, esistono , tali chefg − ÐB Ñ −V $ ! ‘! ! $

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ± W $ $ !f f! $ ! $, .Posto , , , per , si ha (ricordando i teoremi 21.2.3 e 21.2.4) :$ $ $ $ W $ $³ Ö × B − Ð Ñ ÐB B Ñmin fg" # $ ! !

± Ð ÑÐBÑ Ð ÑÐB Ñ ± œ ± ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ± œ ± ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ± Ÿfg fg f g f g f g f g f g f g! ! ! ! ! ! !

Ÿ ± ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ± ± ÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ± œf g f g f g f g! ! ! !

œ ± ÐBÑ ± † ± ÐBÑ ÐB Ñ ± ± ÐB Ñ ± † ± ÐBÑ ÐB Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ± œ Ð ± ÐB Ñ ± Ñf g g g f f g g! ! ! ! !!( ( ( ! .Fissato , si può scegliere in modo che sia ; per dipendente da tale , si ha& ‘ ( ( ! & $ (− Ð ± ÐB Ñ ± Ñ

!gB − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± Ð ÑÐBÑ Ð ÑÐB Ñ ± Ÿ Ð ± ÐB Ñ ± Ñ W $ $ ( ! &fg fg fg g! ! ! !,

come si voleva, cosicché l’asserto è completamente provato.


Corollario 22.3.2

Sia . è chiuso rispetto alla somma e al prodotto; in particolare, è un sottospazio vettoriale diI I I§ Ð Ñ Ð Ñ‘ V V! !

‘‘.

Corollario 22.3.3

Le funzioni polinomiali sono continue.

Dimostrazione - Segue subito dal teorema 22.3.1 e dagli esempi 22.1.2 e 22.1.4.

Teorema 22.3.4

Sia . Se e 0 (cosicché ), si ha .B − − ÐB Ñ ÐB Ñ Á B − Ð Ñ − ÐB Ñ! ! ! ! !! !‘ V W Vg g 1 1

g g

Dimostrazione - Per ogni , esiste tale che( ‘ $ ‘− − "

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± W $ $ (g g g! " ! " !, .Per il teorema 22.2.6, esistono , tali che$ ! ‘#

−

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê W $ $ !1 1g g! # ! # ÐBÑ, .¹ ¹

Posto , , per , si ha$ $ $ W $ $³ Ö × B − Ð Ñ ÐB B Ñmin " # ! !1g¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹1 1 1 1

g g g g g g gg g

ÐBÑ ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ ± ÐB Ñ±ÐB Ñ ÐBÑ

! œ œ † † ± ÐBÑ ÐB Ñ ± ! ! ! !

! g g !( .Fissato , si può scegliere in modo che sia ; per dipendente da tale , si ha& ‘ ( & $ (−

± ÐB Ñ±!(

g !

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê Ÿ W $ $ &1 1 1 g g g g! ! ÐBÑ ÐB Ñ ± ÐB Ñ±, ¹ ¹

! !

!(

come si voleva, cosicché l’asserto è completamente provato.

Corollario 22.3.5

Sia . Se , e 0 (cosicché ), si ha .B − − ÐB Ñ ÐB Ñ Á B − Ð Ñ − ÐB Ñ! ! ! ! !! !‘ V W Vf g g f f

g g

Dimostrazione - Poiché , l’asserto segue subito dai teoremi 22.3.1 e 22.3.4.fg gœ †f 1

Corollario 22.3.6

Sia . Se , e 0 in (cosicché ), si ha .I f g I g I I I§ − Ð Ñ ÐB Ñ Á § Ð Ñ − Ð Ñ‘ V W V! !!

f fg g

Corollario 22.3.7

Le funzioni della forma con x , x funzioni polinomiali (dette ) sono continuepqÐ ÑÐ Ñxx p qÐ Ñ Ð Ñ funzioni razionali

ovunque sono definite, cioè in ogni tale che 0.B ÐBÑ Áq

Corollario 22.3.8

La funzione x è continua.tgÐ Ñ


Teorema 22.3.9

Siano , funzioni . Sia e sia . Se è continua in e è continua in , laf g f f g f g f‘ ‘ W WÄ B − Ð Ñ ÐB Ñ − Ð Ñ B ÐB Ñ! ! ! !

funzione composta è continua in .g f‰ B!

Dimostrazione - Sia . Per la continuità di in , esiste tale che, se& ‘ $ ‘− ÐB Ñ − ! "g f

C − Ð Ñ Ð ÐB Ñ ÐB Ñ Ñ ÐCÑ − Ð Ð ÐB ÑÑ Ð ÐB ÑÑ ÑW $ $ & & $g f f g g f g f! " ! " ! ! ", , si ha , . In corrispondenza di tale , perla continuità di in esiste tale che, se , , si ha ,f f f fB − B − Ð Ñ ÐB B Ñ ÐBÑ − Ð ÐB Ñ ! ! ! ! "

$ ‘ W $ $ $fÐB Ñ Ñ! "$ .

Dunque, per ogni si può trovare tale che& ‘ $ ‘− −

B − Ð ‰ Ñ ÐB B Ñ Ê Ð ‰ ÑÐBÑ − Ð Ð ‰ ÑÐB Ñ Ð ‰ ÑÐB Ñ ÑW $ $ & &g f g f g f g f! ! ! !, ,e ciò prova l’asserto.

Teorema 22.3.10

Sia un intervallo contenuto in , e sia . Se è invertibile, .I f I f f f I‘ V V− Ð Ñ − Ð Ð ÑÑ! !"


Corollario 22.3.11

Per ogni \ 1 , la funzione x è continua.+ − Ö × Ð Ñ‘ log+

Corollario 22.3.12

Le funzioni x , x e x sono continue.arcsin arccos arctgÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Esempio 22.3.13

Mostriamo che è essenziale in 22.3.10 l’ipotesi che la funzione considerata abbia per dominio un intervallo.

La funzione : definita in ( , 1 0 1, ponendof ‘ ‘Ä _ Ñ Ö × Ð _Ñ

xx 1 se x 10 se x 0x 1 se x 1

fÐ Ñ ³

œ

ÚÛÜ

è continua ed invertibile. La sua inversa (che ha per dominio tutto ) è la funzione‘

xx 1 se x 00 se x 0x 1 se x 0

f"Ð Ñ ³

œ

ÚÛÜ

che è continua in 0.non


Teorema 22.3.14

Sia . Se , e 0 (cosicché ), si ha .B − − ÐB Ñ ÐB Ñ B − Ð Ñ − ÐB Ñ! ! ! ! !! !‘ V W Vf g f f fg g

Dimostrazione - Per ogni si haB − Ð ÑW f g

Ð ÑÐBÑ œ œ Ð ÐBÑ Ð ÐBÑÑÑf exp g log fg g log f2 .ÐBÑ Ð ÐBÑÑ## #

Dunque è continua in per i teoremi 22.3.9, 22.3.11, 22.3.1 e 22.1.7.f g B!

22.4 - Ulteriori proprietà delle funzioni continue.

Teorema 22.4.1 (Darboux)

Sia , un intervallo chiuso e limitato, e sia , . Per ogni numero reale compreso tra eÒ+ ,Ó § − ÐÒ+ ,ÓÑ C Ð+Ñ‘ Vf f!!

f fÐ,Ñ B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ C, esiste , tale che .! ! !

Dimostrazione - La funzione x xg fÐ Ñ ³ Ð Ñ C!è continua in , (esempio 22.1.2 e teorema 22.3.1) ; inoltre (essendo per ipotesi oppureÒ+ ,Ó Ð+Ñ C Ð,Ñf f!

f f g gÐ,Ñ C Ð+Ñ Ð+Ñ Ð,Ñ B − Ð+ ,Ñ! ! ) e hanno segno opposto. Per il teorema di Bolzano (22.2.4), esiste , taleche 0 œ ÐB Ñ œ ÐB Ñ Cg f! ! !

ossia tale che , come si voleva.fÐB Ñ œ C! !

Teorema 22.4.2 (Weierstrass)

Sia , un intervallo chiuso e limitato, e sia , . Allora ha massimo e minimo in , e perÒ+ ,Ó § − ÐÒ+ ,ÓÑ Ò+ ,Ó‘ Vf f!

ogni numero reale compreso tra il minimo e il massimo di in , esiste , tale che .C Ò+ ,Ó B − Ò+ ,Ó ÐB Ñ œ C! ! ! !f f

Dimostrazione - Per il teorema 22.2.2, è limitata in , e quindi ha in , un estremo inferiore ef Ò+ ,Ó Ò+ ,Ó !un estremo superiore ."

Proviamo che esiste un punto dell’intervallo , nel quale il valore della è proprio (cioè che è ilÒ+ ,Ó f ! !minimo di in , ). Procediamo per assurdo, supponendo che sia per ogni , . La funzionef fÒ+ ,Ó ÐBÑ Á B − Ò+ ,Ó!

g f"Ð Ñ ³ Ð Ñ x x !non assume allora mai il valore zero nell’intervallo , , e dunque per il teorema 22.3.4 la funzioneÒ+ ,Ó

gÐ Ñ ³ œx 1 1x xg f"Ð Ñ Ð Ñ!

è continua in , . Per il teorema 22.2.2, è limitata in , , e dunque esiste l’estremo superiore di in , Ò+ ,Ó Ò+ ,Ó Ò+g g-,Ó B − Ò+ ,Ó. Si ha cioè per ogni ,

1xfÐ Ñ! Ÿ -

da cui (ricordando che x 0, e quindi 0) x e infine xf f fÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ ! - ! !1 1- -

con perché 0.! ! - "-

Si è così trovata per in , una limitazione inferiore maggiore di , e ciò è assurdo perché è perf Ò+ ,Ó ! !ipotesi la massima limitazione inferiore per in , . Questa contraddizione prova che deve essere perf fÒ+ ,Ó ÐBÑ œ !almeno un , , cioè che ha minimo in , .B − Ò+ ,Ó Ò+ ,Óf

Ponendo x e ragionando come sopra, si prova anche che è il massimo di in , .g fÐ Ñ ³ Ò+ ,Ó1x" Ð Ñf "

Siano allora , , tali che , ; l’ultima parte dell’asserto segue subitoB B − Ò+ ,Ó ÐB Ñ œ ÐB Ñ œ" # " #f f! "dal teorema di Darboux (22.4.1) applicato alla restrizione di all’intervallo di estremi e .f B B" #


22.5 - Singolarità. Prolungamento per continuità.

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . Si dice che f f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ! presenta unasingolarità in seB!

Ð+Ñ B Â Ð Ñ! W foppure e non è continua in .Ð,Ñ B − Ð Ñ B! !W f f

Esempio 22.5.1

La funzione presenta una singolarità in 1.x 1x 1#

Esempio 22.5.2

La funzione presenta una singolarità in 0.sinÐ Ñxx

Esempio 22.5.3

La funzione x presenta singolarità in 1, 0, 1 e in ogni numero intero.Ò Ó

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . Si dice che èf f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ Ð Ñ!52

prolungabile per continuità in se esiste una funzione : tale cheB Ä! g ‘ ‘ ;Ð3Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ ÖB ×W Wg f !

\ ;Ð33Ñ ÐBÑ œ ÐBÑ a B − Ð Ñ ÖB ×g f fW !

è continua in .Ð333Ñ Bg !

Una funzione : verificante le , e si dice che la .g f‘ ‘Ä Ð3Ñ Ð33Ñ Ð333Ñ Bprolunga per continuità in !

Se presenta una singolarità in , si dice che tale singolarità è ( ) sef fB ÐB Ñ ³! !eliminabile ponendo -esiste una funzione che prolunga per continuità in la (e ).g f gB ÐB Ñ œ! ! -

Esempio 22.5.4

Sia x (cfr. esempio 22.5.1). La funzione x 1 prolunga per continuità (in 1) la ; in altri termini, f f fÐ Ñ ³ x 1x 1#

presenta in 1 una singolarità eliminabile ponendo 1 2. Ð Ñ ³ f

Teorema 22.5.5

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . Esiste al più una funzione che prolungaf f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

per continuità in la .B! f

Dimostrazione - Siano , due funzioni che prolungano per continuità in la ; allora f f f f f" # " #B ÐBÑ œ ÐBÑ!

per ogni \ , quindi basta dimostrare che .B − Ð Ñ ÖB × ÐB Ñ œ ÐB ÑW f f f! ! !" #

Procediamo per assurdo, e supponiamo .f f" #ÐB Ñ Á ÐB Ñ! !

Scelto ,& ³ 2

k kf f" #ÐB Ñ ÐB Ñ! !

52 Ricordiamo che può indifferentemente essere oppure .B − Ð Ñ B Â Ð Ñ! !W Wf f


poiché e sono continue in esistono , tali chef f" # B −! " #$ $ ‘

B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± W $ $ (f f f" " "! " ! " !, e , .B − Ð Ñ ÐB B Ñ Ê ± ÐBÑ ÐB Ñ ± W $ $ (f f f# # #! # ! # !

Posto , , poiché è un punto di accumulazione per , esiste in ,–$ $ $ W W $³ Ö × B Ð Ñ B Á B Ð Ñ ÐB min f f" # ! ! !

B Ñ! $ . Deve essere allora

± ÐB Ñ ÐB Ñ ± œ ± ÐB Ñ ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ± œ ± ÐB Ñ ÐBÑ ÐBÑ ÐB Ñ ± Ÿf f f f f f f f f f" # " # " " # #! ! ! ! ! !– – – –

Ÿ ± ÐB Ñ ÐBÑ ± ± ÐBÑ ÐB Ñ ± Ÿ ± ÐB Ñ ÐB Ñ ±f f f f f f" " # # " #! ! ! !– – & &

e ciò è assurdo, come si voleva.

Teorema 22.5.6

Sia x (cfr. esempio 22.5.2). La singolarità di x in 0 è eliminabile ponendo 0 1.f f fÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ ³sinÐ Ñxx

Dimostrazione - Sia

x se x 01 se x 0

gÐ Ñ ³Á

œœ sinÐ Ñx

x

Dobbiamo provare che è continua in 0 , ossia chegÐa − ÑÐb − ÑÐ B Ê ÐBÑ Ñ& ‘ $ ‘ $ & k k k k 1 .g

Se 0 , è 1 0 ; dunque possiamo supporre 0 e considerare 1 .B œ ÐBÑ œ B Á g ¹ ¹sinÐ Ñxx

Sarà sufficiente provare cheæ B Ê Ÿ Ð Ñk k ¹ ¹1 1 1 x .sinÐ Ñx

x cosInfatti, poiché la funzione x è continua in 0 (teorema 22.1.6),cosÐ Ñ

Ða − ÑÐb − ÑÐ B Ê ÐBÑ Ð Ñ Ñ& ‘ $ ‘ $ & k k k k 0cos cose dunque, posto , 1 e ricordando che 0) 1,$ $³ Ö × Ð œmin cos"

B − Ð Ñ Ê Ÿ ÐBÑ œ ÐBÑ Ð Ñ $ $ &, 1 1 0¹ ¹ k ksinÐBÑB cos cos cos

ossia l’asserto.

Proviamo allora la . Supponiamo x 1 . Cerchiamo in primo luogo di valutare il segno diæ k ksinÐ Ñx

x 1 .Osserviamo che per x (e quindi, a maggior ragione, per x 1) x e x hanno lo stesso segno;k k k k Ð Ñ1 sindunque il loro rapporto è un numero positivo: allora .sin sin sinÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñx x x

x x xœ œ¹ ¹ k kk kPer il corollario A3.4.2, x x e dunque 1 .k k k ksinÐ Ñ œ sin sinÐ Ñ Ð Ñx x

x xk kk k

Ne segue che 1 0 e dunque che 1 1 .sin sin sinÐ Ñ ÐBÑ Ð ÑB

x xx x œ ¹ ¹

Per provare la dobbiamo dunque mostrare che dalla nostra ipotesi x 1 segue laæ k k1 1 x . Ÿ Ð ÑsinÐ Ñx

x cos

Questa relazione equivale alla x .cosÐ Ñ Ÿ sinÐ Ñxx

Ma per x (e quindi, a maggior ragione, per x 1) si ha x 0 ossia x x ; inoltrek k k k k k Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ1# cos cos cos

si è già osservato che per x 1 è .k k œsin sinÐ Ñ Ð Ñx x x x

k kk kDobbiamo dunque provare che x , ma questa relazione equivale alla x ;k k k kcosÐ Ñ Ÿ Ÿ x x

x xk k k kk k k ksin sin

cosÐ Ñ Ð Ñ

Ð Ñ

e quest’ultima è stata provata nel teorema A3.4.1, perché (cfr. la 2 del teorema A3.3.1)Ð Ñ x x

x xk kk ksin sincos cos

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñœ œ Ð Ñ¹ ¹ k ktg x .

L’asserto è così completamente provato.


23.- LIMITI

23.1 - Definizione.

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per . Sia .f f‘ ‘ W - ‘Ä B Ð Ñ −!

Si dice che è il x e si scrivelimite di per che tende af B!

limx Ä B

Ð Ñ œ!f x -

se può essere prolungata in per continuità ponendo , ossia se la funzione : definita daf f gB ÐB Ñ ³ Ä! ! - ‘ ‘

x x se xse xg f

Ð Ñ ³Ð Ñ Á B

œ Bœ !

!-

è continua in .B!

Dunque, x se e solo se si verifica una delle seguenti due situazioni:limx Ä B

Ð Ñ œ!f -

è continua in , e ;Ð3Ñ B ÐB Ñ œf f! ! -oppure presenta in una singolarità che può essere eliminata ponendo .Ð33Ñ B ÐB Ñ ³f f! ! -

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per . Se può essere prolungata perf f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

continuità in si usa dire che x . La nozione di “limite infinito”B! esiste ed è finito il limite di per che tende a xf !

(alla quale questo modo di esprimersi fa riferimento in contrapposizione) sarà introdotta nella sez. 23.5 .

Osservazione 23.1.1

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per . La funzione è continua in f f f f‘ ‘ W WÄ B − Ð Ñ Ð Ñ B! !

se e solo se x .limx Ä B

Ð Ñ œ ÐB Ñ!

!f f

Esempi

23.1.2 Sia x x . Per ogni , x . In particolare:p p pÐ Ñ − Ò Ó B − Ð Ñ œ ÐB ÑÄ B

‘ ‘! !!

limx

per ogni , x ;B − œ BÄ B! !

!‘ lim

x se , per ogni si ha .- ‘ ‘ - -− B − œ

Ä B!!

limx

23.1.3 Per ogni , x ;B − Ð Ñ œ ÐB ÑÄ B! !

!‘ lim

xsin sin

x ;limx Ä B

Ð Ñ œ ÐB Ñ!

!cos cos

e, se , x .B Á 5 Ð Ñ œ ÐB ÑÄ B! !# !

1 1 limx

tg tg

23.1.4 1 (cfr. teorema 22.5.6) ;limx Ä !

œsinÐ Ñxx

23.1.5 2 ;limx Ä "

œ x 1x 1#

23.1.6 x non esiste ;limx Ä "

Ò Ó

23.1.7 non esiste ;limx Ä !

Ð Ñsin "x


Teorema 23.1.8


Condizione necessaria e sufficiente affinché sialim

x Ä BÐ Ñ œ

!f x -

è che per ogni intorno di centro (individuato da , con ) esista un intorno di centro (individuatoI J& $- & & ‘− B!

da , con ) tale che$ $ ‘−

B − Ð Ñ ÖB × Ê ÐBÑ −W f J f I$ &\ .!

Dimostrazione - Si tratta di una conseguenza pressoché immediata delle definizioni di limite e dicontinuità; lo studente è invitato a sviluppare la dimostrazione nei dettagli quale utile esercizio [*] .

Teorema 23.1.9 (“della permanenza del segno”)

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per . Sia , 0. Sef f‘ ‘ W - ‘ -Ä B Ð Ñ − Á!

limx Ä B

Ð Ñ œ!f x -

esiste un intorno forato di nel quale ha lo stesso segno di .B! f -

Dimostrazione - Si tratta di una riformulazione del teorema 22.2.3 .

23.2 - Limite destro, limite sinistro.

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per , . Sia .f f‘ ‘ W - ‘Ä B Ð Ñ ÐB _Ñ −! !

Si dice che è il x (o, anche, che è il x- -limite di per che tende a da destra limite destro di perf fB!

che tende a ) e si scriveB!

limx Ä B

Ð Ñ œ!

f x -

se è il limite per x che tende a della restrizione di a , .- B ÐB _Ñ! !f

Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per , . Sia .f f‘ ‘ W - ‘Ä B Ð Ñ Ð _ B Ñ −! !

Si dice che è il x (o, anche, che è il x- -limite di per che tende a da sinistra limite sinistro di perf fB!

che tende a ) e si scriveB!

limx Ä B

Ð Ñ œ!f x -

se è il limite per x che tende a della restrizione di a , .- B Ð _ B Ñ! !f

Esempi

23.2.1 x 0 ; x 1 .lim limx xÄ "

Ò Ó œ Ò Ó œÄ "

23.2.2 non esiste né né .lim limx xÄ ! Ä !

" "

sin sinˆ ‰ ˆ ‰

x x


Sia : una funzione, e sia un punto di accumulazione per . Se è punto dif f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ B! !

accumulazione per , ma non per , , è sempre preferibile scrivereW WÐ Ñ ÐB _Ñ Ð Ñ Ð _ B Ñf f! !

x anziché x .lim limx xÄ B

Ð Ñ Ð ÑÄ B

! !

f f

Analogamente, se è punto di accumulazione per , ma non per , ,B Ð Ñ Ð _ B Ñ Ð Ñ ÐB _Ñ! ! !W Wf fsi usa scrivere

x anziché x .lim limx xÄ B

Ð Ñ Ð ÑÄ B

!

!f f

Esempio 23.2.3

limx Ä "

œ

0 . x 1

x 1È

Teorema 23.2.4


Se è un punto di accumulazione per , e per , , allora condizione necessariaB Ð Ñ Ð _ B Ñ Ð Ñ ÐB _Ñ! ! !W Wf fe sufficiente affinché si abbia

limx Ä B

Ð Ñ œ!f x -

è che sialim lim

x xÄ BÐ Ñ œ Ð Ñ œ

Ä B!

!

f fx e x .- -

Dimostrazione - Si lascia la dimostrazione quale utile esercizio [*] . è conveniente utilizzare lacondizione espressa dal teorema 23.1.8.

23.3 - Operazioni in e limiti.‘‘

È naturale chiedersi quali legami esistano tra operazioni in e limiti. Importanti risultati (teorema‘‘

23.3.1 e teorema 23.3.4) seguono dai teoremi della sezione 22.3.

Teorema 23.3.1

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per . Siaf g f g‘ ‘ W WÄ B Ð Ñ Ð Ñ!

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ J Ð Ñ œ K J K −! ! x e x con , .f g ‘

AlloraÐ3Ñ Ð ÑÐ Ñ œ J K

Ä Blim

x ! x ;f g

Ð33Ñ Ð ÑÐ Ñ œ JKÄ Blim

x ! x ;fg

Ð333Ñ Ð ÑÐ Ñ œ K Á ÑÄ Blim

x !

JK x (purché sia 0 .f

g

Dimostrazione - Segue immediatamente dai teoremi 22.3.1 e 22.3.5.


Teorema 23.3.2

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per . Sef g f g‘ ‘ W WÄ B Ð Ñ Ð Ñ!

limx Ä B

Ð Ñ œ! x 0f

e è limitata in un intorno di , allora è ancheg B!

limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ! x 0.fg

Dimostrazione - Useremo la condizione espressa dal teorema 23.1.8.Per ipotesi, per ogni esiste un intorno di (individuato da un certo ) tale che( ‘ $ ‘− B −

! "J$"B − Ð Ñ ÖB × Ê ± ÐBÑ ± W (f J f$" \ .!

Sempre per ipotesi, esistono e un intorno di (individuato da un certo ) tali che- ‘ $ ‘− B − ! #J$#

B − Ð Ñ Ê ± ÐBÑ ± W -g J g$# .Posto , , l’intorno di individuato da coincide con ; e ricordando che$ $ $ $³ Ö × B min J J J" # !$ $ $" #

W W WÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñfg f g , si ha dunque cheB − Ð Ñ ÖB × Ê ± Ð ÑÐBÑ ± œ ± ÐBÑ † ÐBÑ ± œ ± ÐBÑ ± † ± ÐBÑ ± W (-fg J fg f g f g$\ .!

Fissato , si può scegliere in modo che sia ; per dipendente da tale si ha& ‘ ( (- & $ (−

B − Ð Ñ ÖB × Ê ± Ð ÑÐBÑ ± W &fg J fg$\ !

cosicché l’asserto risulta completamente provato.

Esempio 23.3.3 x 0limx Ä !

† Ð Ñ œsin "x

Teorema 23.3.4 (“del cambiamento di variabile”)

Siano , funzioni , sia un punto di accumulazione per e siaf y f y‘ ‘ WÄ B Ð ‰ Ñ!

limx Ä B

Ð Ñ œ C C −!

! ! x con .y ‘

Supponiamo inoltre che valga una almeno delle seguenti due condizioni: esiste un intorno di tale che \ ;Ð+Ñ B ÐBÑ Á C a B − Ð ‰ Ñ ÖB ×I y f y I! ! !Woppure è continua in .Ð,Ñ Cf !

Se C Ð Ñ Ð+Ñ è punto di accumulazione per (come certamente accade se vale la ) e si ha! W f

y con limC Ä C

Ð Ñ œ −!f - - ‘

oppure C Ð Ñ C œ − è punto isolato per (cfr. sez. 21.7) e si ha ( ) con ! !W - - ‘f fallora

limx Ä B

Ð Ð Ð ÑÑ œ! x .f y -

Dimostrazione - Poniamo

x x se x se xy y

"Ð Ñ ³Ð Ñ Á B

C œ Bœ !

! !

e

y y se y se yf f

"Ð Ñ ³Ð Ñ Á C

œ Cœ !

!-

Per la restrizione di a (se vale la condizione ) oppure per ogni (se vale la condizionef y I f y" "‰ Ð+Ñ B − Ð ‰ ÑWÐ,Ñ), si ha

x x se x se xÐ ‰ ÑÐ Ñ ³

Ð ‰ ÑÐ Ñ Á Bœ B

f y f y" " œ !

!-

Poiché è continua in e è continua in , per il teorema 22.3.9 è continua in , da cuiy f f y" " " "B C ‰ B! ! !

limx Ä B

Ð ‰ Ñ Ð Ñ œ! xf y -

e quindi l’asserto.


Esempi

23.3.5 1limx Ä !

œsinÐ Ñ2x2x

23.3.6 1limx Ä !

œsin sinsinÐ Ð ÑÑ

Ð Ñx

x

23.3.7 limx Ä !

œsinÐ Ñx

#

x 21

23.3.8 1limx Ä !

œsin sinÐ Ð ÑÑxx

Esempio 23.3.9

Sia x xy sinÐ Ñ ³ † ˆ ‰1x

e sia

f sgnÐ Ñ ³ ± Ð Ñ ± œÁœ

y y 1 se y 00 se y 0œ

In questo caso, x , cioè x , non esiste perche in ogni intorno di 0 la´lim limx xÄ ! Ä !

Ð Ð ÑÑ ± Ð † Ñ ±f y sgn sin ˆ ‰1x

funzione x assume sia il valore 0 sia valori diversi da 0 ; invece† sin ˆ ‰1x

lim limx Ä ! C Ä !

† œ ± Ð Ñ ± œ x 0 e y 1.sin sgnˆ ‰1x


Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per . Si dimostri che è anche punto dif y f y‘ ‘ WÄ B Ð ‰ Ñ B! !

accumulazione per .WÐ ÑySia poi x con .lim

x Ä BÐ Ñ œ C C −

!! !y ‘

Si dimostri che, se vale la del teorema 23.3.4, allora è punto di accumulazione per .Ð+Ñ C Ð Ñ! W f

Esempio 23.3.11

Sia : la funzione che associa ad ogni numero intero positivo il suo fattoriale (cfr. sez. 13.3), cosicchéf ‘ ‘Ä

f fÐ8Ñ ³ 8 Ð Ñ œ! con .W ™

Ogni punto del dominio di è un punto isolato e (quindi) è continua (cfr. Osservazione 22.2.1) .f fSia la restrizione a 1, della funzione “parte intera" (cfr. sez. 21.1), cosicchey Ò _Ñ

y yÐBÑ ³ ÒBÓ Ð Ñ œ Ò _ con 1, )We ogni punto del dominio di è di accumulazione.yIn particolare, si ha che Ð ‰ Ñ1 W è punto di accumulazione per ;f y Ð Ñ œ

Ä x 3 ;limx 1

y f è continua in 3 ;ma 3 è punto di accumulazione per e dunque ha senso considerare y .non nonWÐ Ñ Ð Ñ

Ä $f flim

C

Si noti che, comunque, in accordo col teorema 23.3.4, si halim lim

x xÄ ÄÐ Ð ÑÑ œ Ò Ó œ Ò Ó œ

1 11 x x ! ! 6 .f y


Osservazione 23.3.12

Nella situazione del teorema 23.3.4, se allora per ogni deve essere ( ) ; dunqueC Â Ð Ñ B − Ð ‰ Ñ B Á C! !W Wf f y yvale la e il teorema può essere utilizzato per calcolare x .Ð+Ñ Ð ‰ ÑÐ Ñ

Ä Blim

x !f y

In sostanza, il teorema 23.3.4 può essere certamente utilizzato ogni volta che ( ) 3 C Â Ð Ñ! W foppure ( ) e è continua in .33 C − Ð Ñ C! !W f f


L’uso combinato dei teoremi 23.3.1 e 23.3.4 consente in molti casi il calcolo del

limx Ä B

Ð Ñ!

Ð Ñ

x .Š ‹fg x

Infatti si ha x per ogni \ 1 ; inoltre, poiché le funzioni e sonoŠ ‹f exp logÐ Ñ œ + + − Ö ×g

g log fÐ Ñ

Ð Ñ† Ð Ð ÑÑ x

x x+ ‘ + +

continue (teorema 22.1.7 e corollario 22.3.11), è certamente verificata una delle due condizioni , Ð3Ñ Ð33Ñdell’osservazione 23.3.12 .

Esempio 23.3.14 x 2 1limx Ä !

Ð Ñ œx† Ð Ñsin "x

23.4 - Limiti notevoli (e altri limiti) che coinvolgono funzioni trigonometriche.

23.4.1 limx Ä !

œ1 xx 2

1 Ð Ñcos#

Dimostrazione - Si ha

lim lim limx x xÄ ! Ä ! Ä !

œ † œ † œ1 x 1 x 1 x 1 xx x 1 x x 1 x

1 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

cos cos cos coscos cos# # #

#

œ † œ † œÄ ! Ä ! Ä !lim lim lim

x x x sin sincos cos

#

#

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

x xx 1 x x 1 x 2

1 1 12

.

23.4.2 1limx Ä !

œtgÐ Ñxx


lim lim lim limx x x xÄ ! Ä ! Ä ! Ä !

œ œ † œ † œ † œ x x x x x x x x x 1

1 1 1tg sin sincos cos

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ 1 1

sincos

Ð ÑÐ Ñx

x


23.4.3 2limx Ä !

œ1 2xx

Ð Ñcos#

Dimostrazione - Riconducendoci al limite 23.4.1, si ha

lim lim limx xÄ ! Ä ! C Ä !

œ † œ † œ † œ 4 4 4 21 2x 1 2x 1 yx 2x y

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ #

"cos cos cos# # #

avendo posto y 2x in applicazione del teorema del cambiamento di variabile (23.3.4).³

23.4.4 limx Ä !

œtg sinÐ Ñ Ð Ñx xx 2

1$


lim lim limx x xÄ ! Ä ! Ä !

œ œ œ tg sin sinsin

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ

x xx x x

xx 1

$ $ $

Ð ÑÐ Ñ

Ð Ñsincos

cosxx

1x

lim lim lim lim limx x x x xÄ ! Ä ! Ä ! Ä ! Ä !

† œ † † œ sin sin coscos

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ #

"x x 1 xx x x x x

11 x

x Ð Ñ

Ð Ñ# #

coscos

23.4.5 x 1 2limx Ä "

† Ð Ñ œ11

"

"x

xsin


lim lim limx x xÄ " Ä " Ä "

† Ð Ñ œ † Ð Ñ œ Ð Ñ † œ x 1 x 1 x 1 2.11

x 1x 1

Ð Ñ

" "

" "x x

x x

x

xsin sin sin

23.5 - Limiti infiniti.

Particolare interesse riveste lo studio dell’andamento della funzione quoziente quandofg

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ J − Ö × Ð Ñ œ! ! x \ 0 e x 0 .f g‘

Nel caso, molto semplice ma esemplare, in cui x 1 , x x e 0 , è facile vederef gÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ ± ± B ³!

che il quoziente può essere reso arbitrariamente grande scegliendo x sufficientemente piccolo ; perfg ± ±

esprimere tale comportamento di , è opportuno ampliare il concetto di “limite”.fg

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per .f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

Si dice che x x “ ” e si scriveil limite per che tende a di è più infinitoB Ð Ñ! flim

x Ä BÐ Ñ œ _

!f x

se , \ .Ða − ÑÐb − ÑÐB − Ð Ñ ÐB B Ñ ÖB × Ê ÐBÑ Ñ& ‘ $ ‘ W $ $ & ! ! !f f


Si dice che x x “ ” e si scriveil limite per che tende a di è meno infinitoB Ð Ñ! flim

x Ä BÐ Ñ œ _

!f x

se , \ .Ða − ÑÐb − ÑÐB − Ð Ñ ÐB B Ñ ÖB × Ê ÐBÑ Ñ& ‘ $ ‘ W $ $ & ! ! !f f

Si dice talvolta che x x “ ” e si scriveil limite per che tende a di è infinitoB Ð Ñ! flim

x Ä BÐ Ñ œ _

!f x

se , \ Ða − ÑÐb − ÑÐB − Ð Ñ ÐB B Ñ ÖB × Ê ± ÐBÑ ± Ñ& ‘ $ ‘ W $ $ & ! ! !f f

ossia selim

x Ä B± Ð Ñ ± œ _

!f x .

Noi tuttavia non useremo mai quest’ultima notazione.

Esempi

23.5.1 limx Ä !

œ _

1x

23.5.2 limx Ä !

œ _

1x

23.5.3 x per 1,limx Ä !

Ð Ñ œ _ + − Ð _Ñ

log+

23.5.4 x per 0, 1 limx Ä !

Ð Ñ œ _ + − Ð Ñ Ð Ñ

log+ 53

23.6 - Limite per x che tende a o a ._ _

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . La conoscenza del limite per xf f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

che tende a di x (se tale limite esiste) permette di descrivere l’andamento di in un intorno di . Se B Ð Ñ B Ð Ñ! !f f fWnon è limitato superiormente (oppure non è limitato inferiormente), è possibile estendere la definizione di limitein modo da poter talvolta descrivere l’andamento di quando x assume valori positivi (o, rispettivamente,fnegativi) arbitrariamente grandi in valore assoluto.

Sia : una funzione tale che non è superiormente limitato.f f‘ ‘ WÄ Ð Ñ

Sia . Si dice che è il x “ ” e si scrive- ‘ -− limite di per che tende a più infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œf x -

se per ogni esiste tale che& ‘ $ ‘− −

ÐB − Ð ÑÑ • ÐB Ñ Ê ± ÐBÑ ± W $ - &f f ossia (cfr. Corollario 21.2.2) tale che

B − Ð Ñ Ð _Ñ Ê ÐBÑ − Ð ÑW $ - & - &f f, , .

53 Si osservi che, per il teorema 10.5.6, .log log+ÐBÑ œ ÐBÑ"+


Si dice che il x “ ” “ ” e si scrivelimite di per che tende a più infinito è più infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œ _f x


ÐB − Ð ÑÑ • ÐB Ñ Ê ÐBÑ W $ &f f ossia (cfr. Corollario 21.2.2) tale che

B − Ð Ñ Ð _Ñ Ê ÐBÑ − Ð _ÑW $ &f f, , .

Si dice che il x “ ” “ ” e si scrivelimite di per che tende a più infinito è meno infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œ _f x



B − Ð Ñ Ð _Ñ Ê ÐBÑ − Ð _ ÑW $ &f f, , .

Sia : una funzione tale che non è inferiormente limitato.f f‘ ‘ WÄ Ð Ñ

Sia . Si dice che è il x ” e si scrive- ‘ -− limite di per che tende a “meno infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œf x -


ÐB − Ð ÑÑ • ÐB Ñ Ê ± ÐBÑ ± W $ - &f f ossia (cfr. Corollario 21.2.2) tale che

B − Ð Ñ Ð _ Ñ Ê ÐBÑ − Ð ÑW $ - & - &f f, , .

Si dice che il x “ ” “ ” e si scrivelimite di per che tende a meno infinito è più infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œ _f x



B − Ð Ñ Ð _ Ñ Ê ÐBÑ − Ð _ÑW $ &f f, , .

Si dice che il x “ ” “ ” e si scrivelimite di per che tende a meno infinito è meno infinitoflim

x Ä _Ð Ñ œ _f x



B − Ð Ñ Ð _ Ñ Ê ÐBÑ − Ð _ ÑW $ &f f, , .

Esempi

23.6.1 0 ; 0 ;lim limx xÄ _

œ œÄ _

1 1x x

23.6.2 x ; x ;lim limx xÄ _

œ _ œ _Ä _

# #

23.6.3 x ; x .lim limx xÄ _

œ _ œ _Ä _

$ $


Si è così visto che è possibile assegnare significato all’espressionelim

x Ä BÐ Ñ œ

! xf -

anche per (o ) e/o (o ) . è talvolta comodo ampliare ilB œ _ B œ _ œ _ œ _! ! - -significato dei termini “intorno” e “punto di accumulazione” in modo da poter estendere anche a questi casi lavalidità del teorema 23.1.8.

Sia . Diremo l’intervallo aperto , ; diremo $ ‘ $ $− Ð _Ñ intorno di individuato da intorno di__ individuato da l’intervallo aperto , .$ $Ð _ Ñ

Sia . Coerentemente con quanto posto in 21.6, diremo che A § _‘ è un punto di accumulazione perA A A se ad ogni intorno di appartiene un elemento di , ossia se non è superiormente limitato; diremo che__ _ se ad ogni intorno di appartiene un elemento di , ossia se nonè un punto di accumulazione per A A Aè inferiormente limitato.

Lo studente è invitato a verificare che, con queste definizioni, il teorema 23.1.8 resta valido seB œ _ B œ _ œ _ œ _! ! (o ) e/o (o ) .- -

23.7 - Operazioni in e limiti infiniti.‘‘

Si può dimostrare abbastanza facilmente che i risultati espressi dai teoremi 23.3.1, 23.3.2 e 23.3.4continuano a valere se indica, anziché un numero reale, uno dei simboli , . è inoltre possibile inB _ _!

molti casi determinare il limite per x che tende a (con , ) della somma, del prodotto, delB B − Ö _ _×! ! ‘quoziente o della potenza di due funzioni anche se il limite di una di queste è oppure ._ _

Teorema 23.7.1

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per (con , ).f g f g‘ ‘ W W ‘Ä B Ð Ñ Ð Ñ B − Ö _ _×! !

Allora

Ð3Ñ Ð Ñ œ _ BÄ B

se x ed esiste un intorno di nel quale è inferiormente limitata, alloralimx !

!f g

limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _! x ;f g

in particolare : se x elimx Ä B

Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! ! x oppure x con g g - - ‘

allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

f g


se x ed esiste un intorno di nel quale è superiormente limitata, alloralimx !

!f g

limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _! x ;f g


Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! ! x oppure x con g g - - ‘

allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

f g



se x ed esiste un intorno di nel quale è inferiormente limitata da un numerolimx !

!f g

reale 0, allora x ;! Ð ÑÐ Ñ œ _Ä Blim

x !fg


Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! !

x oppure x con g g - - ‘

allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

fg

Ð3@Ñ Ð Ñ œ _ BÄ B

se x ed esiste un intorno di nel quale è superiormente limitata da un numerolimx !

!f g


x !fg


Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! !


allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

fg

Ð@Ñ Ð Ñ œ _ BÄ B

se x ed esiste un intorno di nel quale è inferiormente limitata da un numerolimx !

!f g


x !fg


Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! !


allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

fg

Ð@3Ñ Ð Ñ œ _ BÄ B

se x ed esiste un intorno di nel quale è superiormente limitata da un numerolimx !

!f g


x !fg


Ð Ñ œ _!

f

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ −! !


allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

fg

Ð@33Ñ ± Ð Ñ ± œ _ Ð ÑÐ Ñ œÄ B Ä B

se x , allora x 0 ;lim limx x! !

g 1g

Ð@333Ñ Ð Ñ œ BÄ B

se x 0 , ed esiste un intorno di nel quale non assume mai valori negativi,limx !

!g g

allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

1g

Ð3BÑ Ð Ñ œ BÄ B

se x 0 , ed esiste un intorno di nel quale non assume mai valori positivi,limx !

!g g

allora x ;limx Ä B

Ð ÑÐ Ñ œ _!

1g

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Si noti che ( ), ( ) e ( ) possono@33 @333 3Bessere utilizzati per affrontare i quozienti grazie alla relazione .f f

g g gœ †f 1


Anche il teorema del cambiamento di variabile (23.3.4) può essere esteso ai casi in cui , , B C! ! -appartengono a , . Si noti ancora una volta l’importanza delle condizioni , , del‘ Ö _ _× Ð+Ñ Ð,Ñ Ð-Ñteorema 23.3.4 ; vale sostanzialmente l’esempio 23.3.9:

limx Ä B

± Ð † Ð ÑÑ ±! x non esiste,sgn sin1

x

malim lim

x Ä _† Ð Ñ œ ± Ð Ñ ± œ

C Ä ! x 0 e y 1.1

x sin sgn

Esempi

23.7.2 x 2 .limx Ä !

Ð Ñ œ _1

x± † Ð Ñ±"sin x

23.7.3 x per 1, limx Ä _

Ð Ñ œ _ + − Ð _Ñ Ð Ñlog+ 54

23.7.4 x per 0, 1 limx Ä _

Ð Ñ œ _ + − Ð Ñ Ð Ñlog+ 55

23.8 - L’insieme esteso dei numeri reali.

Alcuni dei risultati espressi dal teorema 23.7.1 possono essere facilmente ricordati “estendendo” leoperazioni di somma, prodotto, quoziente, elevamento a potenza (con base positiva) all’insieme ,‘ Ö __× (detto talvolta ). Se si pone, ad esempio,insieme dei numeri reali esteso

Ð _Ñ Ð _Ñ ³ _ Ð _Ñ Ð _Ñ ³ _ ; ;e, per ,! ‘−

! ! ! ! Ð _Ñ ³ _ Ð _Ñ ³ _ Ð _Ñ ³ _ Ð _Ñ ³ _ ; ; ; ;l’enunciato del punto del teorema 23.3.1 resta valido, in base al teorema 23.7.1, per , ,Ð3Ñ J K − Ö _‘_× purché non sia

J œ _ K œ _ e oppure e .J œ _ K œ _

Lo studente può, se crede, descrivere in una tabella le possibili estensioni a , delle‘ Ö _ _×operazioni di somma, prodotto, quoziente, elevamento a potenza, in modo da poter interpretare quanta più partepossibile dell’enunciato del teorema 23.7.1 come un’estensione del teorema 23.3.1 : si tratta di un utile esercizioche può avere applicazione pratica nel calcolo dei limiti. Resti però ben chiaro che e non saranno †comunque operazioni in , nel senso che abbiamo definito in 7.1 (non essendo possibile, ad‘ Ö _ _×esempio, definire in coerenza col teorema 23.3.1 la somma o il prodotto 0 , comeÐ _Ñ Ð _Ñ † Ð _Ñvedremo in 23.11) ; mentre sarebbe comunque riduttivo leggere il teorema 23.7.1 solo come estensione delteorema 23.3.1 : infatti, ad esempio,

limx Ä _

Ð Ñ x xŠ ‹sin

è calcolabile mediante il teorema 23.7.1 perché x e x 1 per ogni , ma limx Ä _

œ _ Ð Ñ Ÿ B −sin ‘ nonesiste

limx Ä _

Ð Ñsin x .

54 Si tenga presente 23.5.3 e si ricordi chelog log log log+ + + +Ð Ñ œ Ð Ñ ÐBÑ œ ÐBÑ"

x 1 .55 Si tenga presente 23.5.4 e si ricordi ancora quanto osservato nella nota precedente.


23.9 - Il numero ed alcuni limiti notevoli ad esso collegati./

Si dimostra che esiste il 1limx Ä _

Š ‹1x

x

e che si tratta di un numero reale (irrazionale) compreso tra 2 e 3 (il cui valore approssimato è2,718281828459 ) . Tale numero si indica con . Dunqueá /

/ ³ Ä _ 1 .lim

xŠ ‹1

x

x

Vediamo in questa sezione alcuni limiti notevoli collegati a questo fatto.

23.9.1lim

x Ä _ œ /Š ‹1 .1

x

x

Dimostrazione - Posto y x (da cui x y), si ha³ œ

lim limx Ä _

œ C Ä _

Š ‹ Š ‹1 1 .1 1x y

x y

D’altro lato, si ha 1 1Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ œ œ œ œ 1 1y y y 1 y 1 y 1

y y y y y y 1 y y 1 1

e dunque 1 1 .lim limC Ä _ C Ä _

œ Š ‹ Š ‹1 1y y 1

y y

Poniamo infine 1 (da cui 1). AlloraD ³ C C œ D

lim lim limC Ä _ D Ä _ D Ä _

œ œ † œ /Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹1 1 1 1 .1 1 1 1 y 1 z z z

y z 1 z

23.9.2Per ogni \ 1 , .+ − Ö × œ Ð/Ñ œ

Ä !‘ Ð Ñ

Ð+Ñlimx

loglog

+

/

1 xx

1log+


lim limx xÄ ! Ä !

œ Ð Ñ œ

Ð Ñlog+ 1 xx log+ Š ‹1 x "

x

(ponendo y ) 1³ œ Ð Ñ œC Ä _

" "Cx lim log+ Š ‹y

(ponendo z 1 ) z .³ Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð/ÑD Ä /

"C

y lim log log+ +

Analogamente, per 23.9.1 si trova che limx Ä !

œ Ð/Ñ

Ð Ñlog+ 1 xx log+

e dunque si ha l’asserto per il teorema 23.2.4.

23.9.3Per ogni si ha .+ − œ Ð+Ñ

Ä !‘ + lim

x 1

xx log/

Dimostrazione - Se 1, la funzione è la funzione costante uguale a zero in \ 0 , e l’asserto+ œ Ö × 1 x

+ x‘

segue dalla definizione stessa di limite (cfr. 23.1).

Se 1, si pone y 1 (da cui x 1 y ). Ricordando il limite 23.9.2, si ha+ Á ³ + œ Ð Ñx log+

lim limx Ä ! C Ä !

œ œ œ Ð+Ñ . 1 1x 1 y

y

+ Ð Ñ

CÄ!

x

1 yy

log+ +lim log Ð Ñ log/


I limiti 23.9.2 e 23.9.3 suggeriscono la scelta di quale base per la funzione logaritmo definita in 10.5 ./L’utilità di tale scelta sarà definitivamente chiarita più avanti (24.2.11).

Le funzioni e si dicono rispettivamente (senza altro specificare) e exp log/ / esponenziale logaritmonaturale, e si indicano rispettivamente con e .exp ln

Dai limiti 23.9.2 e 23.9.3 segue per + ³ /

23.9.4 1 ; 1 .lim limx xÄ ! Ä !

œ œlnÐ Ñ / 1 xx x

1 x

Esercizio 23.9.5

Calcolare .limx Ä _

ˆ ‰x 5x 3

x 1

Soluzione - Si ha 1 .ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹x 5 x 3 2 2x 3 x 3 x 3

x 1 x 1 x 1

œ œ

Conviene allora porre y (da cui x 2y 3, x 1 2y 2, ) ; dunque³ œ œ œxx

$ # "# $ C

lim lim lim limx xÄ _ Ä _ C Ä _ C Ä _

œ œ œ œ /ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹ Š ‹ x 5 2 1 1x 3 x 3 y y

x 1 x 1 2y 2 y

# 1 1 1

#C#C

23.10 - Forme “non immediate .”

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per (con ,f g f g‘ ‘ W W ‘Ä B Ð Ñ Ð Ñ B − Ö _! !

_× Ð Ñ Ð ÑÄ B Ä B

) per il quale esistono x e x .lim limx x! !

f g

Se x e x ,lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ _ Ð Ñ œ _! !

f g

i teoremi 23.3.1 e 23.7.1 non consentono di calcolare illim

x Ä BÐ Ñ Ð Ñ

! ( x x ) ;f g

si dice che tale limite si presenta nella forma “non immediata” .__Parimenti, se

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ Ð Ñ œ! ! x 0 e x 0 ,f g

oppurelim lim

x xÄ B Ä BÐ Ñ œ „_ Ð Ñ œ „_

! ! x e x ,f g

i teoremi 23.3.1 e 23.7.1 non consentono di calcolare illim

x Ä B!

Ð ÑÐ Ñ ;f

gx

x

si dice allora che tale limite si presenta nella forma “non immediata” oppure, rispettivamente, .0 0

__

Si individuano analogamente forme “non immediate” indicate con 0 , 0 , 1 , . Tutte queste† _ _0 0_

situazioni possono essere spesso affrontate con successo utilizzando sapientemente il teorema 23.3.4 e i “limitinotevoli” conosciuti (fra i quali segnaliamo: 23.1.4, 23.4.1, 23.4.2, la definizione di , 23.9.2 e 23.9.3); tali mezzi/non sono però sempre sufficienti: non consentono ad esempio di calcolare

lim limx xÄ !

† Ð ÑÄ _

x x oppure .ln x x

lnÐ Ñ


Vedremo nel capitolo 26 teoremi molto utili per il calcolo di limiti che si presentano in forme “nonimmediate” .


Siano , funzioni e sia un punto di accumulazione per . Esista un intorno di tale chef g f g I‘ ‘ W WÄ B Ð Ñ Ð Ñ B! !

f IÐBÑ B − ÖB ×0 per \ , e sia!

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ Ð Ñ œ _! ! x 0 , x .f g

Alloralim lim lim

x x xÄ B Ä B Ä BÐ Ð ÑÑ œ / œ / œ

! ! !

Ð Ñ ÐÐ Ð ÑÑ Ñ Ð Ñ† Ð Ð ÑÑ x 0f g ln f g ln fx x x xgÐ Ñx

perché x xlimBÄB!

g ln fÐ Ñ † Ð Ð ÑÑ œ _

essendo x e x y .lim lim limBÄB BÄB CÄ!! !

g ln f lnÐ Ñ œ _ Ð Ð ÑÑ œ Ð Ñ œ _Ð Ñ23.3.4

23.11 - Esercizi sui limiti.

23.11.1 x x (si noti che x non esiste)lim limx xÄ _ Ä _

Ð Ð ÑÑ œ _ Ð Ñsin sin

23.11.2 x x ( è la funzione di Dirichlet, cfr. 21.1)limx Ä !

Ð Ð Ñ Ð ÑÑ œ _

ln Dir Dir

23.11.3 limx Ä !

œ _

Ð Ñcos x 3x

23.11.4 limx Ä !

œ _

Ð Ñx xx

# "

#

sin x

23.11.5 limx Ä !

œ _

x 1x

23.11.6 0limx Ä !

œ Ð Ñ

1 x ln

23.11.7 limx Ä !

œ _ †

1 x ¸ ¸ˆ ‰sin 1

x

23.11.8 ; ;lim limx xÄ "

œ _ œ _Ä "

x x x 1 x 1

23.11.9 0 (cfr. oss. 23.10.1).limx Ä _

œŠ ‹ˆ ‰sin 1x

x


23.11.10 “ ”LIMITI DELLA FORMA __

limx Ä _

Ð Ð ÑÑ œx 1 x 1 ;

limx Ä _

Ð Ñ œ _2x x ;

limx Ä _

Ð Ð Ð Ñ ÑÑx x x non esiste ;sin

23.11.11 “ ”LIMITI DELLA FORMA __

lim limx xÄ _ Ä _

œ œ 2x 1 x 1

2 1

2 ;

1x1x

lim limx xÄ _ Ä _

œ œ _ 3x x 2 2x 5

3 # #

#

;

1 2x x

2 5x x

lim limx xÄ _ Ä _

œ œx x 5 2x 3x 4

2

$

% #$ %

# %

0 ;

1 1 5x x x

3 4x x

limx Ä _

Ð †Ð Ð Ñ ÑÑx x 2x

sin non esiste ;

23.11.12 “0 ”LIMITI DELLA FORMA † _

Ogni limite della forma “ ” può essere interpretato come un limite della forma “0 ”.__ †_

23.11.13 “ ”LIMITI DELLA FORMA !!

limx Ä !

œ 1 ;sinÐ Ñxx

limx Ä !

œ 0 ;xx#

sinÐ Ñ

limx Ä !

œ _ ;sinÐ Ñxx$

limx Ä !

non esiste ;xx

† Ð Ñsin "x

23.11.14 “1 ”LIMITI DELLA FORMA _

Esempi di limiti di questa forma sono stati presentati nella sezione 23.9.


23.11.15 ESERCIZI DI RIEPILOGO

Si calcolino, qualora esistano, i seguenti limiti:

limx Ä !

.ln sincos

(1 (x ))1 (x)

#

limx Ä !

.ln sincos(2 2 (x))

(x) x †

limx Ä !

. 3 x x 4 1 2

† Ð Ñ Ð Ñ/ †/

cos cos#

#x x

limx Ä !

./

#† Ñ

# #

sinÐx 2x (x )cos

limx Ä !

./

sinÐx#Ñ 1(x) 1cos

limx Ä !

.È ÈÈ Èx 4x 2 x 4x 22x 3 2x 3

# #

limx Ä _

Ð Ñ† Ð Ñ

Ð Ñ†

3x 2x 1x 1 (x)

# lnsin

sinÐ Ñxx .

limx Ä _

Ð Ñ† Ð Ñ

Ð Ñ†

2x 3x 1x 2 (x)

# lncos

cosÐ Ñxx .

limx Ä _

Ð † Ð Ð Ñ Ñ Ñ x x 1 .# # cos ln 1x

limx Ä _

Ð † Ð Ð Ñ Ñ Ñ x x .# # cos sin 1x

limx Ä _

Ð/ Ñ x 1 . "x

x (x)x (x)

sincos

limx Ä _

† Ð Ñ † x 1 .ln 1x x (x)

x (x)

cossin

limx Ä _

. 3 2 (1 )

É/

sinÐ Ñxx

1 1x xln


24.- DERIVATE

24.1 - Incremento. Rapporto incrementale.

Sia : una funzione.f ‘ ‘Ä

Se , , il numero reale+ , − Ð ÑW ff fÐ,Ñ Ð+Ñ

si dice della (anche se è un numero negativo!) relativo all’intervallo , . Naturalmente, questoincremento f Ò+ ,Ódato risulta più significativo se viene rapportato all’ampiezza dell’intervallo considerato.

Si dice della (relativo all’intervallo , ) il numero realerapporto incrementale f Ò+ ,Ó

f fÐ,Ñ Ð+Ñ,+ .

Osservazione 24.1.1

Sia : una funzione, e siano , . Siano , e , i punti del grafico di aventif f A f B f f‘ ‘ WÄ + , − Ð Ñ ´ Ð+ Ð+ÑÑ ´ Ð, Ð,ÑÑascissa rispettivamente e . La retta per e (che talvolta viene detta del grafico relativa all’intervallo+ , A B cordaÒ+ ,Ó, ) ha equazione (teorema 16.3.1)

x y

+,+ Ð,Ñ Ð+Ñ

Ð+Ñœ ff f

ossiay xœ Ð +Ñ Ð+Ñ f fÐ,Ñ Ð+Ñ

,+ fe dunque ha per coefficiente angolare il rapporto incrementale di relativo all’intervallo , .f Ò+ ,Ó

24.2 - Derivata in un punto.

Sia : una funzione, e sia un punto interno a .f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

Per ogni numero reale tale che è definito il rapporto incrementale di relativo2 B 2 − Ð Ñ! W f fall’intervallo , ; esso è dunque una funzione di h, detta spesso ÒB B 2Ó! ! rapporto incrementale di relativo afB B Ð Ñ! !, il cui dominio (essendo per ipotesi interno a ) è un intorno forato di 0 . Tale funzione presenta unaW fsingolarità per h 0. Se tale singolarità è eliminabile, la funzione si dice , e il numero reale³ Bf derivabile in !

lim2 Ä !

f fÐB Ñ ÐB Ñ! !hh

si dice di in .derivata f B!

Dunque se e è una funzione si dice che se:B − Ä B! !‘ ‘ ‘f f è derivabile in

- è un punto interno al dominio di B! f

e inoltre

- esiste ed è finito il .lim2 Ä !

f fÐB Ñ ÐB Ñ! !hh


Si noti che

lim lim2 Ä !

œÄ B

.f f f fÐB Ñ ÐB Ñ ÐBÑ ÐB Ñ

! BB! ! !

!

hh x

La derivata di in , se esiste, si indica di solito con uno dei seguenti simboli:f B!

D .f ’ fÐB Ñ! B Bddx

f! !

Esempio 24.2.1

Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una traiettoria rettilinea partendo da un certo punto in unPdato istante. Possiamo descrivere il moto del punto materiale esprimendo la sua posizione (cioè la sua distanza daP, misurabile con un numero reale!) in funzione del tempo trascorso dall’istante iniziale ( ) ; si ottiene così una56

funzione : definita das ‘ ‘Äs PÐ Ñ ³t distanza del punto materiale da dopo il tempo t.

Sia un numero reale positivo. Allora t t> Ð Ñ Ð Ñ! !s sè l’incremento (relativo all’intervallo di tempo , ) della distanza del punto materiale da , cioè lo spazioÒ> >Ó! Ppercorso tra gli istanti e . Rapportando questo numero all’ampiezza dell’intervallo di tempo considerato si> >!

ottiene il rapporto incrementale della funzione ss sÐ>Ñ Ð> Ñ

>>!

!

che in questo caso è detto relativa all’intervallo di tempo , . Se consideriamo intervalli divelocità media Ò> >Ó!

tempo di ampiezza diversa, la velocità media ad essi relativa cambia in generale; ed è chiaro che tale velocitàmedia descrive tanto meglio la “velocità all’istante ” quanto più piccolo è l’intervallo considerato. Se esiste, ed>!è finito, il limite

lim> Ä >!

Ð>Ñ Ð> Ñ>> s s !

!

si dice in .velocità istantanea >!

Esempio 24.2.2

Sia x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si haf f fÐ Ñ ³ B − Ð Ñ B1x ! !W

f ’ÐB Ñ œ ! B1!# .


lim lim lim2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

œ œ œf fÐB Ñ ÐB Ñ ! ! B B ÐB ÑÐB Ñ! ! ! !

B ÐB Ñ! !hh h h

1 1h h

h

œ œ 2 Ä ! come si voleva.lim 1 1

hÐB ÑÐB Ñ B! ! !#

56 Supponiamo naturalmente fissate unità di misura per lo spazio e il tempo.


Esempio 24.2.3

Sia x (con , costante). Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si haf fÐ Ñ ³ − B − B- - ‘ ‘! !

f ’ÐB Ñ œ! 0.

Dimostrazione - Si ha infatti

0 0.lim lim lim2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

œ œ œf fÐB Ñ ÐB Ñ ! !hh h

- -

Esempio 24.2.4

Sia x x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si haf fÐ Ñ ³ B − B! !‘f ’ÐB Ñ œ! 1 .


1 1 .lim lim lim lim2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

œ œ œ œf fÐB Ñ ÐB Ñ B B! ! ! !hh h h

h h

Esempio 24.2.5

Sia x x . Mostriamo che è derivabile in 0. Si ha in effettif fÐ Ñ ³ $È non

.lim lim lim lim lim2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

œ œ œ œ œ _f fÐ Ñ Ð Ñ $ $0 h 0h h h h h

h 0 h h 1$ $ $

$ #

È ÈÈ É É

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . Sef f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

oppure ,lim lim2 Ä ! 2 Ä !

œ _ œ _f f f fÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! !h hh h

si dice talvolta che ha in .f derivata infinita B!

Esempio 24.2.6

Sia x x . Mostriamo che è derivabile in 0. Si ha in effettif fÐ Ñ ³ ± ± non

1 1 lim lim lim lim2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

œ œ œ œ

Ð Ñ Ð Ñ ± ±± ± f f0 h 0 0 h 0h h h

h 0

mentre 1 1.lim lim lim lim

2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !œ œ œ œ

Ð Ñ Ð Ñ ± ±± ± f f0 h 0 0 h 0h h h

h 0


Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . Se esistono, i limitif f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

lim lim e 2 Ä ! 2 Ä !

ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ

f f f f! ! ! !h hh h

si dicono, rispettivamente, e della in .derivata destra derivata sinistra f B!

Osservazione 24.2.7

Sia una funzione , e sia un punto interno a . Per il teorema 23.2.4, è derivabile in se e solof f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ B! !

se esistono, sono finite e sono uguali fra loro le derivate destra e sinistra di in .f B!

Esercizio 24.2.8

Stabilire se la funzione x x è derivabile in tutto il suo dominio.† ± ±

Esempio 24.2.9

Sia , e sia x x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si ha8 − Ð Ñ ³ B − B™ ‘ 8! !f f

f ’ÐB Ñ œ 8! !8"x .



œ œ œf fÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ B 8B ! ! !8 8 8" #

! !hh h h

h h h *

(dove tende a quando h tende a zero)* ˆ ‰8!8#

2 B

œ Ð8B Ñ œ 8B2 Ä ! h .lim ! !

8" 8"*

Esempio 24.2.10

Sia , e sia x x . Si può dimostrare che per ogni la funzione è derivabile in , e che si ha! ‘ ‘− Ð Ñ ³ B − Bf f!! !

f ’ÐB Ñ œ B! !"! ! .

Esempio 24.2.11

Sia \ 1 , e sia x x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si+ − Ö × Ð Ñ ³ Ð Ñ B − B‘ ‘ ! !f log f+

haf ’ logÐB Ñ œ † Ð/Ñ! B

1!

+ .

In particolare, la derivata in della funzione x è .B Ð Ñ! Bln 1!



œ œ œf f log log logÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ! ! ! !

B !B!h h

h h h+ + +

h

œ œ œ2 Ä ! 2 Ä ! lim lim

log log+ +Ð Ñ Ð Ñ

†B

1 1h

h h

hB B! !

B!!

œ œ œ † Ð/Ñ2 Ä ! C Ä !

1 1 11 1 yyB B B

Ð Ñ Ð Ñ

! ! !

B!

B!

lim limlog log+ +

h

h log+

avendo posto y e ricordando il limite notevole 23.9.2.³ hB!


Esempio 24.2.12

Sia , e sia x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si ha+ − Ð Ñ ³ + B − B‘ ‘! !f fx

f ’ lnÐB Ñ œ + † Ð+Ñ!B! .

In particolare, la derivata in della funzione è .B / /!Bx !



œ œ œf fÐB Ñ ÐB Ñ + + + + +! !B B B B! ! ! !h

h h hh h

lim lim2 Ä ! 2 Ä !

œ + † œ + † Ð+Ñ + Ð+ Ñ B B+ B!

! !h h1

h h1 ln

ricordando il limite notevole 23.9.3.

Esempio 24.2.13

Sia x x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si haf sin fÐ Ñ ³ Ð Ñ B − B! !‘f ’ cosÐB Ñ œ ÐB Ñ! ! .


lim lim2Ä! 2Ä!

ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ sin sin sin cos cos sin sin! ! ! ! !h h hh hœ œ

œ œ œlim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!

ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin! ! ! ! ! !h h h hh h h h

œ ÐB Ñ † ÐB Ñ † œ2 Ä ! 2 Ä !

sin cos! !Ð Ñ Ð Ñlim limcos sinh 1 hh h

œ ÐB Ñ † † ÐB Ñ † œ2 Ä ! 2 Ä !

h sin cos! ! Ð Ñ Ð Ñlim lim 1 h h

h hcos sin

#

œ ÐB Ñ † ÐB Ñ † œ ÐB Ñ 0 1sin cos cos! ! !

ricordando i limiti notevoli 23.4.1 e 23.1.4.

Esempio 24.2.14

Sia x x . Mostriamo che per ogni la funzione è derivabile in , e che si haf cos fÐ Ñ ³ Ð Ñ B − B! !‘f ’ sinÐB Ñ œ ÐB Ñ! ! .


lim lim2Ä! 2Ä!

ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñcos cos cos cos sin sin cos! ! ! ! !h h hh h œ œ

œ œ œlim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!

ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin! ! ! ! ! !h h h hh h h h

œ ÐB Ñ † ÐB Ñ † œ ÐB Ñ † † ÐB Ñ † œ hcos sin cos sin! ! ! !2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñlim lim lim limcos sin cos sinh 1 h 1 h hh h h h #

œ ÐB Ñ † ÐB Ñ † œ ÐB Ñ 0 1cos sin sin! ! !

ricordando i limiti notevoli 23.4.1 e 23.1.4.


24.3 - Significato geometrico della derivata in un punto. Tangente al grafico in un punto.

Sia una funzione , e sia un punto interno a . Sia poi \ 0 tale che ,f f f‘ ‘ W ‘ WÄ B Ð Ñ 2 − Ö × B 2 − Ð Ñ! !

e consideriamo i due punti , , , del grafico di . Si è osservato in 24.1.1P f P f f! ´ ÐB ÐB ÑÑ ´ ÐB 2 ÐB 2ÑÑ! ! ! !

che la retta per e ha per coefficiente angolare il rapporto incrementale di relativo all’intervallo ,P P f! ÒB!

B 2Ó! .

Se esiste il limite per che tende a 0 del rapporto incrementale di relativo all’intervallo ,2 ÒB B 2Óf ! !

(cioè, se esiste la derivata di in ), si definisce la in al grafico di . Precisamente:f P fB! tangente !

se è derivabile in , si dice in al grafico di la retta passante per di coefficiente angolare Bf P f P! tangente ! !

f ’ÐB Ñ! ; tale retta, come sappiamo (cfr. 16.5. 1), ha equazioneFy x .œ ÐB ÑÐ B Ñ ÐB Ñf ’ f! ! !

se ha derivata infinita in , si dice in al grafico di la retta passante per parallela all’asse Bf P f P! tangente ! !

delle ordinate; tale retta, come sappiamo (cfr. teorema 16.2.2), ha equazionex .œ B!

Esempio 24.3.1

Sia x x , e sia 1.fÐ Ñ ³ B ³#!

Poiché (cfr. esempio 24.2.9) 2 2, la retta tangente in 1, 1 al grafico di è la retta di equazionef ’ P fÐB Ñ œ B œ Ð Ñ! ! !

y 2 x 1 1œ Ð Ñ ossia y 2x 1.œ Si noti che tale retta ha il solo punto in comune col grafico di . Anche la retta di equazioneP f!

x 1œha il solo punto in comune col grafico di ; tuttavia quest’ultima retta, secondo la nostra definizione, è daP f! nonconsiderarsi tangente al grafico di .f

Esempio 24.3.2

Sia x x , e sia 0.f sinÐ Ñ ³ Ð Ñ B ³!

Poiché (24.2.13) 1, la retta tangente in 0, 0 al grafico di è la retta di equazionef ’ cos P fÐB Ñ œ ÐB Ñ œ Ð Ñ! ! !

y x.œ

Esempio 24.3.3

Sia x x , e sia 0.f cosÐ Ñ ³ Ð Ñ B ³!

Poiché (24.2.14) 0, la retta tangente in 0, 1 al grafico di è la retta di equazionef ’ sin P fÐB Ñ œ ÐB Ñ œ Ð Ñ! ! !

y 1.œSi noti che tale retta ha infiniti punti in comune col grafico di .f

Esempio 24.3.4

Sia x x , e sia 0.fÐ Ñ ³ B ³"$ !

Come si è visto in 24.2.5, in ha derivata infinita. Dunque la retta tangente in al grafico di è l’asse dellef fB B! !

ordinate.


Sia una funzione , e sia un punto interno a . Se esiste la derivata sinistra di in , sif f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ B! !

definisce la in al grafico di . Precisamente:tangente a sinistra P f!

se la derivata sinistra di in è un numero , si dice in al grafico di la retta B .f P f! tangente a sinistra !

passante per di coefficiente angolare , di equazione y x .P f! . œ .Ð B Ñ ÐB Ñ! !

se la derivata sinistra di in è oppure , si dice in al grafico di la retta B _ _f P f! tangente a sinistra !

passante per parallela all’asse delle ordinate, di equazione x .P! œ B!

Se esiste la derivata destra di in , si definisce in modo del tutto analogo la in alf PB! tangente a destra !

grafico di .f

Sia una funzione . I punti interni al dominio di possono essere classificati con pittoreschif f‘ ‘Änomi considerando in essi le eventuali derivate destra e sinistra di .f

Sia un punto interno al dominio di . Se in esistono le derivate sinistra e destra di B B! !f fe sono diverse, si dice che presenta in un (o, con linguaggio più antico, un ) , distinguendof B! punto angoloso punto angolareulteriormente tra: , se la derivata sinistra di in è e la derivata destra di in è , opunto cuspidale f fB _ B _! !

viceversa (e in tal caso il punto , del grafico di si dice una ) ; e P f f! ´ ÐB ÐB ÑÑ! ! cuspide punto angoloso propriose le due derivate sinistra e destra di in non sono entrambe infinite.f B!

Esempio 24.3.5

La funzione x x +x x presenta in 0 un punto angoloso proprio.fÐ Ñ ³ # k kEsempio 24.3.6

La funzione x x presenta in 0 un punto cuspidale. Ciò si può esprimere con parole diverse mafÐ Ñ ³ $ #Èequivalenti dicendo che: l’origine è una cuspide per il grafico di .f

Osservazione 24.3.7

Sia una funzione , e sia , una cuspide per il grafico di . In base alle definizioni chef P f f‘ ‘Ä ´ ÐB ÐB ÑÑ! ! !

abbiamo dato, la retta di equazione x è tangente in al grafico di sia a sinistra che a destra; tale retta sir œ B! P f!

può dunque considerare tangente in al grafico di . Si noti che esistono un intorno sinistro e untout court P f!

intorno destro di tali che i corrispondenti archi del grafico di giacciono in semipiani opposti rispetto a : ciòB! f rsi esprime dicendo che la tangente in il grafico di . Vedremo una situazione analogaP f! attraversanell’osservazione 27.4.3 .

24.4 - Continuità e derivabilità.

Teorema 24.4.1

Sia una funzione , e sia un punto interno a . Se è derivabile in , allora è continua in .f f f f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ B B! ! !

Dimostrazione lim - Per l’osservazione 23.1.1, si tratta di provare che x .x Ä B

Ð Ñ œ ÐB Ñ!

!f f

In effetti,f fÐ Ñ œ Ð B Ñ ÐB Ñx xf fÐ Ñ ÐB Ñ

B ! !xx

!

!

e dunque, poiché esiste ed è un numero , si halimx Ä B

ÐB Ñ −!

Ð Ñ ÐB ÑB !

f fxx

!

!f ’ ‘

x x 0lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ Ð B Ñ ÐB Ñ œ ÐB Ñ † ÐB Ñ œ ÐB Ñ! !

Ð Ñ ÐB ÑB ! ! ! ! !f f f ’ f fŠ ‹f fx

x!

!

come si voleva.


Esempio 24.4.2

Sia x1 x se x 0

x se x 0fÐ Ñ ³

ÈÈ$

$

La funzione non è continua in 0 ; il limite del rapporto incrementale esiste ed è uguale a .f B ³ _!

Esempio 24.4.3

Sia x x se x0 se xfÐ Ñ ³

−Âœ #

La funzione è derivabile solo in 0 , ed è continua solo in 0.f B ³ B ³! !

24.5 - Funzione derivata. Derivazione.

Sia una funzione .f ‘ ‘Ä

La funzione che ad ogni numero reale in cui è derivabile associa la derivata di in si dice‘ ‘Ä B Bf ffunzione derivata derivata della (o anche, semplicemente, della ) e si indica con . La (funzione) derivata di f f f ’ fporta dunque in , coerentemente con la notazione stabilita in 24.2.B ÐBÑf ’

Il dominio di è il sottoinsieme di formato dai punti in cui è derivabile. Se , si dicef ’ f f I f ’W WÐ Ñ § Ð Ñche è ; se , si dice che è .f I f ’ f fderivabile in derivabileW WÐ Ñ œ Ð Ñ

In 24.2 abbiamo visto che:

la derivata di una funzione costante è la funzione costante uguale a zero ;

8 la derivata della funzione x è la funzione x ;8 8"

Ð Ñ Ð Ñ la derivata della funzione x è la funzione x ;sin cos

Ð Ñ Ð Ñ la derivata della funzione x è la funzione x ;cos sin

/ / la derivata della funzione è la funzione stessa ;x x

Ð Ñ la derivata della funzione x è la restrizione a della funzione ;ln ‘ 1x

ecc., ecc.. Lo studente è invitato a costruirsi una “tabella” con le derivate delle funzioni elementari (cfr. 21.1).Altre informazioni in questo senso saranno ricavabili dalla sezione 24.8.

I teoremi delle sezioni 24.6, 24.7 e 24.8, assieme alle informazioni raccolte in tale “tabella”,consentiranno di ottenere la derivata di ogni funzione che avremo occasione di considerare.

La funzione che a ogni funzione associa la sua derivata si dice .‘ ‘ ‘ ‘‘ ‘Ä Ä derivazione

Sia una funzione . La funzione derivata della funzione derivata di si dice dif f‘ ‘Ä derivata secondaf f ’’ f e si indica col simbolo (oppure ). Più in generale, se n si poneÐ#Ñ −

f f ’Ð8Ñ Ð8"ÑÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñx x .La x si dice (o anche ) di . Se , si dice che èf f I f fÐ8Ñ Ð8ÑÐ Ñ 8 8 § Ð Ñderivata sima derivata di ordine Wderivabile volte derivabile infinite volte in ; se per ogni , si dice che è in .8 § Ð Ñ 8 −I I f f IW Ð8Ñ

Sia . L’insieme delle funzioni derivabili in si indica con . L’insieme delle funzioniI I I§ Ð Ñ‘ ·derivabili volte in con derivata sima continua si indica con (si noti che, per il teorema 24.4.1,8 8 Ð ÑI IVÐ8Ñ

anche le derivate sime di tali funzioni sono continue per ogni ). L’insieme delle funzioni derivabili3 3 8infinite volte in (con derivate necessariamente tutte continue in per il teorema 24.4.1) si indica con .I I IVÐ_ÑÐ Ñ

Se , si scrive rispettivamente , e anziché , eI œ ÖB × ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐÖB ×Ñ ÐÖB ×Ñ! ! ! ! ! !Ð8Ñ Ð_Ñ Ð8Ñ· V V · V

V · ·Ð_Ñ!ÐÖB ×Ñ œ Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ñ ÐÐ+ ,ÑÑ; se , , si scrive , anziché , .I


24.6 - Compatibilità tra derivazione e operazioni (somma, prodotto, quoziente) tra funzioni.

Teorema 24.6.1

Sia ; siano , , e sia . Allora , e si ha cheB − − ÐB Ñ − − ÐB Ñ! ! !‘ · - ‘ - ·f g f g fÐ Ñ ÐB Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñf g ’ f ’ g’! ! !

Ð Ñ ÐB Ñ œ † ÐB Ñ- -f ’ f ’! ! .


Ð Ñ ÐB Ñ œ œ œ2 Ä ! 2 Ä !

f g ’ !Ð ÑÐB ÑÐ ÑÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ lim limf g f g f g f g! ! ! ! ! !h h h

h h


œ œf f g g f f g gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! ! ! ! ! !h h h hh h h

œ œ ÐB Ñ ÐB Ñ2 Ä ! 2 Ä ! lim limf f g gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ

! !! ! ! !h h

h h f ’ g’

e Ð Ñ ÐB Ñ œ œ œ2 Ä ! 2 Ä !

-f ’ !Ð ÑÐB ÑÐ ÑÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñlim lim- - - -f f f f! ! ! !h h

h h

œ † œ † œ † ÐB Ñ2 Ä ! 2 Ä ! .lim lim- - -f f f fÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ

!! ! ! !h h

h h f ’

Corollario 24.6.2

Sia ; siano , , e sia . Allora , e si ha cheI f g I f g f I§ − Ð Ñ − − Ð Ñ‘ · - ‘ - ·Ð Ñ œ Ð Ñ œ †f g ’ f ’ g’ f ’ f ’ e - -

cosicché è un sottospazio vettoriale di , e la derivazione è un omomorfismo fra spazi vettoriali (cfr.· YÐ Ñ Ð ÑI I19.8) di in .· YÐ Ñ Ð ÑI I

Corollario 24.6.3

Sia , e sia . è un sottospazio vettoriale di , e la derivazione è un omomorfismo fra spaziI I I§ 8 − Ð Ñ Ð Ñ‘ V YÐ8Ñ

vettoriali (cfr. 19.8) di in .V YÐ8ÑÐ Ñ Ð ÑI I

Corollario 24.6.4

Sia . è un sottospazio vettoriale di , e la derivazione è un omomorfismo fra spazi vettorialiI I I§ Ð Ñ Ð Ñ‘ V YÐ_Ñ

(cfr. 19.8) di in .V VÐ_Ñ Ð_ÑÐ Ñ Ð ÑI I

Teorema 24.6.5

Sia e siano , . Allora e si haB − − ÐB Ñ − ÐB Ñ! ! !‘ · ·f g fgÐ Ñ ÐB Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñfg ’ f ’ g f g’! ! ! ! ! .

Inoltre, se 0 è anche e si hagÐB Ñ Á − ÐB Ñ! !1g ·

Š ‹1 g g

’ g’ÐB Ñ œ !ÐB Ñ

Ð ÐB ÑÑ!

!# .



Ð Ñ ÐB Ñ œ œ œ2 Ä ! 2 Ä !

fg ’ !Ð ÑÐB ÑÐ ÑÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ lim limfg fg f g f g! ! ! ! ! !h h h

h h

œ œ2 Ä ! lim f g f g f g f gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! ! ! ! ! !h h h h

h

œ œ2 Ä ! lim Š ‹f g f g f g f gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! ! ! ! ! !h h h h

h h

œ œ2 Ä ! 2 Ä ! lim lim

g f f f g gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! ! ! !h h hh h

Š ‹ Š ‹

œ ÐB Ñ † ÐB Ñ † œ2 Ä ! 2 Ä ! 2 Ä !

Œ Œ h lim lim limg f! !ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñf f g g! ! ! !h h

h ha b

œ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñg f ’ f g’! ! ! ! .

Si ha poi

Š ‹1 h h h

g

’ÐB Ñ œ œ œ

2 Ä ! 2 Ä !!

ÐB Ñ ÐB Ñ lim lim

Š ‹ Š ‹1 1 1 1hg g g g! ! ÐB Ñ ÐB Ñ! !

œ œ †2 Ä ! 2 Ä ! lim lim

h h

g gg gÐB Ñ ÐB Ñ! !ÐB Ñ† ÐB Ñ! !

! !

! !

h h h1 hŠ ‹g g

g gÐB Ñ† ÐB Ñ

Ð ÐB Ñ ÐB ÑÑ

e dunque, ricordando che per ipotesi 0 ,gÐB Ñ Á!

Š ‹ Œ 1 1 h h

hg g g

’ g gÐB Ñ œ † Ð Ñ † œ2 Ä ! 2 Ä !

! ÐB Ñ† ÐB ÑÐB Ñ ÐB Ñ 1 lim lim

! !

! !

œ † Ð Ñ † ÐB Ñ œ 1 Ð ÐB ÑÑ Ð ÐB ÑÑ!

ÐB Ñg g

g’! !

# #!1 .g’

Corollario 24.6.6

Sia . è un sottoanello di ; la derivazione è un omomorfismo fra anelli (cfr. 8.5) di inI I I I§ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ‘ · Y ·nonYÐ ÑI .

Teorema 24.6.7

Sia ; siano , , e sia 0. Allora e si ha cheB − − ÐB Ñ ÐB Ñ Á − ÐB Ñ! ! ! !‘ · ·f g g fg

Ð Ñ ÐB Ñ œfg g

f ’ g f g’’ !ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ

Ð ÐB ÑÑ! ! ! !

!# .

Dimostrazione - Per il teorema 24.6.5, e si hafg gÐ œ † Ñ − ÐB Ñf 1 · !

Ð Ñ ÐB Ñ œ Ð † Ñ ÐB Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB ÑÐ Ñ ÐB Ñ œfg g g g’ f ’ f ’ f ’! ! ! ! ! !

1 1 1

œ ÐB Ñ † œf ’ g’ f ’ g f g’g g gÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB ÑÐB Ñ Ð ÐB ÑÑ Ð ÐB ÑÑ!

! ! ! ! ! !

! ! !# #f .


Esercizio 24.6.8Verificare, applicando le regole di derivazione per somma, prodotto e quoziente di funzioni, che: x x 3x x 2 x 5x 12x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ f f ’& % % $1 1 x 2x 5x 3 x 8x 10x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ f f ’% # $

x x x x x x x x 1 Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ f sin cos tg f ’ cos sin tg#

Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ x x xf tg f ’1x x x

2xtg sin cos

cosÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ñ# #

Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñ x 2 log x x 2 2f f ’ lnx x 1x 3$ † Ð Ñln

Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñ x x x x x x xf sin cos f ’ cos x x x x 2x Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñf sin cos f ’ cos x x x 2x Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñf sin f ’ sin#

x x x x 1 x Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñf ln f ’ ln x x x x x Ð Ñ ³ / Ð Ñ p Ð Ñ œ / Ð Ð Ñ Ð ÑÑf sin f ’ sin cosx x

x x x x x Ð Ñ ³ / Ð Ñ p Ð Ñ œ / Ð Ð Ñ Ð ÑÑf cos f ’ cos sinx x

x x 2 x x2 x 2 2 Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ Ð Ð Ñ Ñf f ’ ln# x x

Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ x xf f ’x 4 16xx 4 x 4#

# # # Ð Ñ

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’x1 x 1 x

x 2 x#

# Ð ÑÐ Ñ

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’9x 1 485 3x 5 3x

Ð Ñ#

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’1x x

xcos cos

tgÐ Ñ Ð Ñ

Ð Ñ

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’/ / Ð Ñx x

x xx 2

# $

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’1 21 1/ // Ð / Ñ

x xx x #

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’1 x1 x x x

2 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ

tgtg sin cos #

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’xx x

x x xsin sin

sin cosÐ Ñ Ð Ñ

Ð Ñ Ð Ñ#

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’lnln lnÐ ÑÐ Ñ Ð Ð Ñ Ñx 1x 1 x x 1

2#

24.7 - Derivata di funzione composta.

Teorema 24.7.1

Sia , sia e sia . Allora , e si haB − − ÐB Ñ − Ð ÐB ÑÑ ‰ − ÐB Ñ! ! ! !‘ · · ·f g f g fÐ ‰ Ñ ÐB Ñ œ Ð ÐB ÑÑ † Ð ÐB ÑÑg f ’ g’ f f ’! ! ! .

Dimostrazione - Consideriamo il rapporto incrementale di :g f‰

Ð ‰ ÑÐB ÑÐ ‰ ÑÐB Ñ Ð ÐB ÑÑ Ð ÐB ÑÑ Ð ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB ÑÑ Ð ÐB ÑÑg f g f g f g f g f f f g f! ! ! ! ! ! ! !h h hh h h œ œ œ

œ g k gÐC Ð ÑÑ ÐC Ñ! !hh

avendo posto e h h . Naturalmente, h 0 .C ³ ÐB Ñ Ð Ñ ³ ÐB Ñ ÐB Ñ Ð Ñ œ2 Ä !

! ! ! !f k f f klim


Inoltre, se h , per definizione di derivata e per il teorema 23.3.4 si ha*Ð Ñ ³ ÐC Ñg k gk

ÐC Ð ÑÑ ÐC ÑÐ Ñ !

! !hh g’

lim2 Ä !

Ð Ñ œ ÐC Ð ÑÑ ÐC Ñ Ð Ñ ÐC Ñ Ð Ñ Ð Ñ* *h 0. Essendo allora h = h h h , si ottiene cheg k g k g’ k! ! !


œ œ ÐC Ñ Ð Ñ † hÐ ‰ ÑÐB ÑÐ ‰ ÑÐB Ñ Ð Ñ ÐC Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ!

g f g f k g’ k k! ! !h h h h hh h h

* Š ‹g’ *

D’altro lato,k f fÐ Ñ ÐB Ñ ÐB Ñh h

h hœ ! !

e quindi si ha l’asserto.

Esercizio 24.7.2

Dimostrare che:

Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ x x 1 xf f ’È #

xx 1È #

x x x x x Ð Ñ ³ Ð Ð ÑÑ p Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ð ÑÑf sin cos f ’ sin cos cos

x x x 4 x x Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñf sin f ’ sin cos% $

x x 2x x 23 x 2x 4x 6x Ð Ñ ³ Ð Ñ p Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñf f ’% $ #$ % $ ## $ #

x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf ln f ’É 1 x1 x x

1 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

sinsin cos

x 1 x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œf f ’$ $

†

É È 1

9 x 1 x $ $##Ê Š ‹È

x x x x 1 x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑf f ’ lnx x

x x x x x x x x Ð Ñ ³ p Ð Ñ œ Ð Ð Ð Ñ Ð ÑÑ Ñf f ’ ln lnÐ Ñ Ð Ñ # "x x xx x x

x x Ð Ñ ³ / p Ð Ñ œ /f f ’Ð/ Ñ Ð/ Ñx x x

Esercizio 24.7.3

Perché è sbagliato affermare che la derivata della funzione x è la funzione ?ln sinÐ Ð ÑÑ 1xtgÐ Ñ

Esercizio 24.7.4

Per ciascuna delle seguenti funzioni , , , si determini la funzione derivata:f f f" # $

x x ; Ð Ñ ³ Ð Ð ÑÑf ln cos"

x x ; Ð Ñ ³ Ð Ð ÑÑf ln tg#

x x . Ð Ñ ³ Ð Ð ÑÑf ln ln$


24.8 - Derivata della funzione inversa.

Teorema 24.8.1

Sia , e sia : una funzione invertibile e derivabile in un intorno di . Se 0, la funzioneB − Ä B ÐB Ñ Á! ! !‘ ‘ ‘f f ’inversa è derivabile in , e si haf f" ÐB Ñ!

Ð Ñ Ð ÐB ÑÑ œf ’ f"! ÐB Ñ

1f ’ !

.

Dimostrazione - Posto , consideriamo il rapporto incrementale di in C ³ ÐB Ñ C! ! !f f "

.f f" "ÐC Ñ ÐC Ñ! !hh

Posto x h (cosicché (x) h), si ha³ ÐC Ñ œ C f f"! !


œ ÐC Ñ œ ÐC Ñ œ B x h f f" "! ! !

perché (teorema 22.3.10) è continua in un intorno di essendo continua la in un intorno di (teoremaf f" C B! !

24.4.1) perché per ipotesi ivi derivabile . Dunque


œ œÐ>/9<Þ #$Þ$Þ%Ñ

h h

h hf f f f" " " "ÐC Ñ ÐC Ñ ÐC Ñ ÐC Ñ

C C! ! ! !

! !

(posto, come si è detto, x h )³ ÐC Ñf "!

œ œ œ œÄ B Ä B

lim limx x! !

BÐ Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ

ÄB

x x

1 1 1

!

! !Ð Ñ ÐB Ñ Ð Ñ ÐB Ñ! !

B B! !!

f f f ’ x x x x

f f f flimx

come si voleva.

Notiamo che il teorema 23.3.4 può essere applicato in base alla osservazione 23.3.12 perché non appartiene alB!

dominio della funzione .x x

BÐ Ñ ÐB Ñ

!

!f f

Esempio 24.8.2

Ritroviamo applicando il teorema 24.8.1 il risultato già visto in 24.2.12 che esprime la derivata della funzioneesponenziale ./x

Posto x x , si ha y . Per 24.2.11 e 24.8.1, se si ha (posto , daf ln f f lnÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ œ / B − C ³ ÐB Ñ œ ÐB Ñ" y! ! ! !‘

cui e )B œ Ð Ñ ÐC Ñ œ! !C

ÐB Ñ!

!f ’" 1

f ’ossia

ddy

1Ð/ ÑC !

Cy

!"B!

!œ œ B œ /

come si attendeva.

Esempio 24.8.3

Applicando il teorema 24.8.1, calcoliamo la derivata delle funzioni circolari inverse. Se 1, 1 si haC − Ò Ó!

d ydy

1 1 1 11 1

Ð Ð ÑÑC ÐB Ñ ÐB Ñ C

arcsincos sin! !

Ð Ð ÑÑB!

#!

!#

œ œ œ œd xdx

sin È Éd y

dy 1 1 1 1

1 1Ð Ð ÑÑ

C ÐB Ñ

ÐB Ñ C

arccossin cos! !

Ð Ð ÑÑB!

#!

!#

œ œ œ œd xdx

cos È Éd y

dy 11 1 1

1Ð Ð ÑÑ

C ÐB Ñ Carctg

tg! !Ð Ð ÑÑ

B!

#!#œ œ œd x

dxtg


25.- ESTREMI LOCALI E TEOREMI CONNESSI

25.1 - Monotonia.

Sia una funzione , e sia . Si dice che èf A f f‘ ‘ WÄ § Ð Ñ( ) in se , ;strettamente crescente A f f AÐB CÑ p Ð ÐBÑ ÐCÑÑ aB C −( ) in se , ;strettamente decrescente A f f AÐB CÑ p Ð ÐBÑ ÐCÑÑ aB C −non decrescente in se , ;A f f AÐB CÑ p Ð ÐBÑ Ÿ ÐCÑÑ aB C −non crescente in se , .A f f AÐB CÑ p Ð ÐBÑ ÐCÑÑ aB C −

Si dice che è in se è non crescente in oppure non decrescente in ; si dice che èf A A A fmonotònastrettamente monotòna in se è (strettamente) crescente in oppure (strettamente) decrescente in .A A A

Teorema 25.1.1

Sia una funzione , e sia . Se è strettamente monotòna in , è iniettiva (e quindif A f f A f‘ ‘ WÄ § Ð Ñ Ainvertibile).

Dimostrazione - Dobbiamo provare cheB Á B Ê ÐB Ñ Á ÐB Ñ aB B −’ ’’ ’ ’’ ’, ’’ .f f A

Supponiamo ad esempio che sia crescente in . Se ’ ’’ sarà ’ ’’ oppure ’ ’’; nel primo caso sif A B Á B B B B Btrova che ’ ’’ , nel secondo caso che ’ ’’ e quindi comunque che ’ ’’ .f f f f f fÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ Á ÐB Ñ

Esempio 25.1.2

Sia la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

x x se x è razionalex se x è irrazionalefÐ Ñ ³

œLa funzione è iniettiva (e quindi invertibile), ma non è monotòna in alcun intervallo di numeri reali.f


Trovare la funzione inversa della funzione definita nell’esempio 25.1.2 .f

25.2 - Estremi locali.

Sia una funzione , e sia .f f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ!

Si dice che è un (oppure di ) per se esiste un intorno diB! punto di massimo locale massimo relativo f IB ÐBÑ Ÿ ÐB Ñ B − Ð Ñ B! ! ! tale che per ogni (ossia tale che è un punto di massimo per la restrizione di af f I f fWI I f f I f). Se esiste un intorno forato di tale che per ogni , si dice che è un ! !B ÐBÑ ÐB Ñ B − Ð Ñ B! ! !W punto dimassimo locale proprio massimo relativo proprio (oppure di ) per .f


Si dice che è un (oppure di ) per se esiste un intorno di B B! !punto di minimo locale minimo relativo f Itale che per ogni (ossia tale che è un punto di minimo per la restrizione di a ). Sef f I f f IÐBÑ ÐB Ñ B − Ð Ñ B! !Wesiste un intorno forato di tale che per ogni , si dice che è un I f f I f! !B ÐBÑ ÐB Ñ B − Ð Ñ B! ! !W punto di minimolocale proprio minimo relativo proprio (oppure di ) per .f

Si dice infine che è un [ ], oppure un [ ] se èB! punto estremante proprio punto di estremo locale proprioun punto di minimo locale [proprio] oppure di massimo locale [proprio].

Osservazione 25.2.1

Sia : una funzione, e sia . Si noti che, in base alla definizione, se è un punto isolato perf f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ B! !

WÐ Ñ Bf f (cfr. sez. 21.7) allora è un punto di estremo locale per (in effetti, è punto di massimo locale e anche!

punto di minimo locale per . Di conseguenza, la nozione di “punto estremante” ha interesse solo per i punti chefÑsono di accumulazione per .WÐ Ñf

Osservazione 25.2.2

I punti di massimo e minimo per definiti in 21.5, se esistono, sono punti estremanti per . Tuttavia può averef f fpunti di massimo (o di minimo) locale senza avere punti di massimo (o punti di minimo) (si consideri ad esempiofÐ Ñ ³ x x 3x ) .$ #

Teorema 25.2.3

Sia , un intervallo aperto di numeri reali, sia , e sia .Ð+ ,Ñ B − Ð+ ,Ñ − ÐB Ñ! !!f V

Se è non decrescente in , e non crescente in , , allora è un punto di massimo locale per ; se èf f fÐ+ B Ñ ÐB ,Ñ B! ! !

non crescente in , e non decrescente in , , allora è un punto di minimo locale per .Ð+ B Ñ ÐB ,Ñ B! ! ! f

Dimostrazione - Sia non decrescente in , e non crescente in , ; proviamo che è un puntof Ð+ B Ñ ÐB ,Ñ B! ! !

di massimo per la restrizione di all’intervallo , , ossia chef Ð+ ,Ñæ ÐBÑ Ÿ ÐB Ñ a B − Ð+ ,Ñ Ð Ñf f f! , .WNe seguirà, per definizione, che è un punto di massimo locale per . In modo del tutto analogo si prova laB! fseconda parte dell’asserto.Procediamo per assurdo. Se non vale la , esiste , tale che . Consideriamo laæ B − Ð+ ,Ñ Ð Ñ ÐBÑ ÐB ÑW f f f !

funzione x x .g f fÐ Ñ ³ Ð Ñ ÐBÑDall’ipotesi che sia continua in segue subito che anche è continua in ; poiché 0, per il teoremaf g gB B ÐB Ñ ! ! !

della permanenza del segno (22.2.3) esiste un intorno di in cui assume solo valori negativi.I gB!

Sarà oppure . Nel primo caso, scegliamo un in , ) ; si ha 0 , ossiaB B B B B ÐB B Ñ Ð Ñ Ð ÐB Ñ ! ! " ! "I f gW 57

f f fÐB Ñ ÐBÑ + B B B Ð+ B Ñ" " ! !, e ciò è assurdo perché e è per ipotesi non decrescente in , . Nelsecondo caso, scegliamo un in , ; si ha 0 , ossia , e ciò è assurdoB ÐB BÑ Ð Ñ Ð Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐBÑ# ! # #I f g f fW 58

perché e è per ipotesi non crescente in , . In ogni caso si è dunque raggiunto unB B B , ÐB ,Ñ! # !fassurdo; ciò prova che deve valere la .æ

57 Possiamo supporre , : infatti, in caso contrario , sarebbe un intornoÐB B Ñ Ð Ñ Á g ÐB B Ñ ! !I f IWsinistro di al quale non appartengono punti del dominio di ; posto , , , si potrebbe alloraB Ð+ B Ñ ³ ÐB B Ñ ! ! !f Isostituire ad nella dimostrazione ed escludere la possibilità che sia .+ + B B!

58 Possiamo supporre , ; infatti, in caso contrario , sarebbe un intornoÐB BÑ Ð Ñ Á g ÐB BÑ ! !I f IW

destro di al quale non appartengono punti del dominio di ; posto , , , si potrebbe alloraB ÐB ,Ñ ³ ÐB BÑ ! ! !f Isostituire a nella dimostrazione ed escludere la possibilità che sia ., , B B!


Esempio 25.2.4


xx 1 se x 00 se x 0

x 1 se x 0fÐ Ñ ³

œ

ÚÛÜ

è crescente in ( , 0 e decrescente in 0, , ma 0 non è punto estremante per . Si noti che presenta in_ Ñ Ð _Ñ f f0 una singolarità non eliminabile.

Teorema 25.2.5 (Fermat)

Sia una funzione , e sia un punto interno al dominio di .f f‘ ‘Ä B!

Se è derivabile in , e è un punto di estremo locale per , si ha 0.f f f ’B B ÐB Ñ œ! ! !

Dimostrazione - Proviamo che se 0 allora non è un punto di estremo locale. Sia, per fissaref ’ÐB Ñ Á B! !

le idee, 0. Consideriamo la funzione definita in \ ponendof ’ g fÐB Ñ Ð Ñ ÖB ×! !W

gÐ Ñ ³x . (x) ( ) x

f f BB

!

!

Per definizione di derivata, è x 0 .limx Ä B

Ð Ñ œ ÐB Ñ !

!g f ’

Dunque, per il teorema 23.1.9, in un opportuno intorno forato di è x 0 , ossiaB Ð Ñ ! g

0 .f fÐ Ñ ÐB ÑB

xx

!

!

Ma ciò significa che se , e se . Ne segue che non può essere né unf f f fÐBÑ ÐB Ñ B B ÐBÑ ÐB Ñ B B B! ! ! ! !

punto di minimo locale né un punto di massimo locale.

Il teorema 25.2.5 afferma che 0 è condizione necessaria affinché sia un punto di estremof ’ÐB Ñ œ B! !

locale per . Notiamo esplicitamente che tale condizione non è però sufficiente: ad esempio, la funzioneff f ’Ð Ñ ³ Ð Ñ œx x non ha punti estremanti (è infatti crescente in ), ma per essa si ha 0 0.$ ‘

Di fatto, la condizione 0 è compatibile con ogni tipo di comportamento della . Ad esempio:f ’ fÐB Ñ œ!

- sia x x ; per 0, si ha 0 e per è un punto di minimo locale;f f ’ fÐ Ñ ³ B ³ ÐB Ñ œ B#! ! !

- sia x x ; per 0, si ha 0 e per è un punto di massimo locale;f f ’ fÐ Ñ ³ B ³ ÐB Ñ œ B#! ! !

- sia x x ; per 0, si ha 0 e è crescente in ;f f ’ fÐ Ñ ³ B ³ ÐB Ñ œ$! ! ‘

- sia x x ; per 0, si ha 0 e è decrescente in ;f f ’ fÐ Ñ ³ B ³ ÐB Ñ œ$! ! ‘

- sia x x per x 0, 0 0; per 0, si ha 0 ma per non è un puntof sin f f ’ fÐ Ñ ³ Á Ð Ñ ³ B ³ ÐB Ñ œ B# "! ! !ˆ ‰

x

estremante e non è monotòna in nessun intorno di .f B!

In sostanza, il teorema 25.2.5 ci dice che gli eventuali punti estremanti vanno cercati fra i punti in cui la funzione non è derivabile (ricordiamo che a questa categoria appartengono in particolaretutti i punti che non sono interni al dominio di ) ef fra i punti in cui la derivata è zero .

25.3 - Il Teorema di Rolle.

Teorema 25.3.1 (Rolle)

Sia una funzione , e sia [ , ] . Sef f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ ( ) è continua in [ , ]3 + ,f ( ) è derivabile in ,33 Ð+ ,Ñf ( ) 333 Ð+Ñ œ Ð,Ñf fallora esiste , tale che 0.B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !f ’


Dimostrazione - Per il teorema di Weierstrass (22.4.2), ha massimo e minimo in [ , ]. Siano ,f + , B B" #

due punti di [ , ] in cui assume valore rispettivamente minimo e massimo. Se , oppure , ,+ , B − Ð+ ,Ñ B − Ð+ ,Ñf " #

si ha 0 oppure 0 per il teorema di Fermat (25.2.5); in caso contrario, per l’ipotesi ( ) la èf ’ f ’ fÐB Ñ œ ÐB Ñ œ 333" #

costante (infatti il suo massimo coincide col suo minimo!) e dunque, come sappiamo (24.2.3), si ha 0f ’ÐB Ñ œ!

per ogni , .B − Ð+ ,Ñ!

Tenendo conto di quanto si è detto in 24.3, il teorema di Rolle afferma in sostanza che, sotto le ipotesi( ), ( ), ( ), esiste almeno un punto del grafico di in cui la retta tangente è orizzontale.3 33 333 f

Esempio 25.3.2

Sia x x , e sia [ , ] [ 1, 1]. Allora verifica le ipotesi ( ) e ( ) del teorema di Rolle (ma nonf fÐ Ñ ³ ± ± + , ³ 3 333la ( )), e non esiste alcun punto , per il quale sia 0.33 B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !f ’

Esempio 25.3.3

Sia x x, e sia [ , ] [ 1, 1]. Allora verifica le ipotesi ( ) e ( ) del teorema di Rolle (ma non laf fÐ Ñ ³ + , ³ 3 33( )), e non esiste alcun punto , per il quale sia 0.333 B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !f ’

Esempio 25.3.4

Sia x x per [ 1, 1 , 1 1, e sia [ , ] [ 1, 1]. Allora verifica le ipotesi ( ) e ( ) delf f fÐ Ñ ³ B − Ñ Ð Ñ œ + , œ 33 333teorema di Rolle (ma non la ( )), e non esiste alcun punto , per il quale sia 0.3 B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !f ’

25.4 - Il Teorema di Lagrange.

Teorema 25.4.1 (Cauchy) (“degli incrementi finiti”)

Siano , funzioni , e sia [ , ] . Sef g f g‘ ‘ W WÄ + , § Ð Ñ Ð Ñ

( ) , sono continue in [ , ];3 + ,f g ( ) , sono derivabili in , ;33 Ð+ ,Ñf g ( ) ;333 Ð,Ñ Á Ð+Ñg g ( ) , non si annullano mai “contemporaneamente” in , (cioè ( ( 0 per ogni3@ Ð+ ,Ñ ÐBÑÑ ÐBÑÑ Áf ’ g’ f ’ g’# #

B − Ð+ ,Ñ, );

allora esiste , tale che 0 eB − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ Á! !g’f ’ f fg’ g gÐB Ñ Ð,Ñ Ð+ÑÐB Ñ Ð,Ñ Ð+Ñ

!

!œ .

Dimostrazione - Posto , si tratta di dimostrare che esiste , tale che- ³ B − Ð+ ,Ñf fg gÐ,Ñ Ð+ÑÐ,Ñ Ð+Ñ !

f ’ g’ÐB Ñ ÐB Ñ œ! !- 0

(da cui segue subito che 0; infatti, in caso contrario, e si annullerebbero entrambe in ).g’ f ’ g’ÐB Ñ Á B! !

La funzione x x x (con ) verifica le ipotesi del teorema di Rolle (25.3.1) purché sia: * * ‘Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ −f g: :Ð+Ñ œ Ð,Ñ

ossia f g f gÐ+Ñ Ð+Ñ œ Ð,Ñ Ð,Ñ* *cioè

* -œ œf fg gÐ,Ñ Ð+ÑÐ,Ñ Ð+Ñ .

Per il teorema di Rolle, esiste quindi , tale che 0 ’ , come si voleva.B − Ð+ ,Ñ œ ÐB Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ! ! ! !: -f ’ g’


Teorema 25.4.2 (Lagrange) (“del valor medio”)

Sia una funzione , e sia [ , ] . Sef f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ ( ) è continua in [ , ]3 + ,f ( ) è derivabile in ,33 Ð+ ,Ñfallora esiste , tale che .B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ! !

Ð,Ñ Ð+Ñ,+f ’ f f

Dimostrazione - Segue immediatamente dal teorema di Cauchy ponendo x x ; può anche esseregÐ Ñ ³dimostrato direttamente procedendo come per il teorema di Cauchy:

Posto , si tratta di dimostrare che esiste , tale che- ³ B − Ð+ ,Ñf fÐ,Ñ Ð+Ñ,+ !

f ’ÐB Ñ œ! - 0.La funzione x x x (con ) verifica le ipotesi del teorema di Rolle (25.3.1) purché sia: * * ‘Ð Ñ œ Ð Ñ −f

: :Ð+Ñ œ Ð,Ñossia f fÐ+Ñ † + œ Ð,Ñ † ,* *

cioè .* -œ œf fÐ,Ñ Ð+Ñ,+

Per il teorema di Rolle, esiste quindi , tale che 0 ’ , come si voleva.B − Ð+ ,Ñ œ ÐB Ñ œ ÐB Ñ ! ! !: -f ’

Tenendo conto di quanto si è detto in 24.1.1. e in 24.3, il teorema di Lagrange afferma in sostanza che,sotto le ipotesi ( ), ( ), esiste almeno un punto del grafico di in cui la retta tangente è parallela alla corda per3 33 fA f B f´ Ð+ Ð+ÑÑ ´ Ð, Ð,ÑÑ, e , .

Teorema 25.4.3

Sia un intervallo di numeri reali, e sia una funzione continua in e derivabile nell’interno di .I f I I‘ ‘ÄSe 0 per ogni appartenente all’interno di , allora è costante in .f ’ I f IÐB Ñ œ B! !

Dimostrazione - Sia ; proviamo che per ogni è , da cui l’asserto. Per il teorema di- − B − ÐBÑ œ Ð-ÑI I f fLagrange (25.4.2) applicato all’intervallo [ , ], esiste , tale che- B B − Ð- BÑ!

f ’ÐB Ñ œ!Ð-Ñ ÐBÑ-B .f f

Poiché , , appartiene all’interno di e dunque per ipotesi 0 . Ne segue che comeÒ- BÓ § B ÐB Ñ œ Ð-Ñ œ ÐBÑI I f ’ f f! !

si voleva.

Osservazione 25.4.4

Si noti che il teorema 25.4.3 afferma che se la derivata di una funzione è ovunque uguale a zero allora lanonfunzione è costante : infatti, ad esempio, la restrizione di x (la funzione “parte intera”, cfr. 21.1) a \ èÒ Ó ‘ ™derivabile in tutto il suo dominio e ha derivata ovunque uguale a zero, ma non è certo costante ! In effetti inquesto caso il teorema 25.4.3 non è applicabile, perché \ non è un intervallo.‘ ™

Teorema 25.4.5

Sia , e sia una funzione continua in e derivabile in un intorno forato di .B − Ä B B! ! !‘ ‘ ‘fSe esiste ed è finito il x , allora è derivabile anche in e si halim

x Ä BÐ Ñ B

!!f ’ f

f ’ f ’ÐB Ñ œ Ð ÑÄ B!

! x .lim

x

Dimostrazione - Per ogni tale che appartiene all’intorno forato di in cui è per ipotesi2 B 2 B! ! fderivabile, il teorema di Lagrange applicato alla nell’intervallo , afferma che esiste un puntof ÒB B 2Ó! !

BÐ2Ñ − ÐB B 2Ñ! !, per il quale

f ’ÐBÐ2ÑÑ œ .f fÐB 2Ñ ÐB Ñ2

! !


Abbiamo scritto per evidenziare che il punto , dipendendo dall’intervallo , , èBÐ2Ñ B ÒB B 2Ó! !

funzione di . Poiché h2 Ð Ñ BÐ Ñ œ BÄ !

59 limh

!

e h per h 0 , le funzioni h h e x x verificano le ipotesi del teorema 23.3.4 .BÐ Ñ Á B Á Ä BÐ Ñ Ä Ð Ñ! f ’

Dunque, xf ’ f ’ f ’ÐB Ñ œ œ ÐBÐ2ÑÑ œ Ð ÑÄ ! Ä ! Ä B!

ÐB 2Ñ ÐB Ñ2 !

lim lim limh h x

f f! !

come si voleva.

Osservazione 25.4.6

In sostanza, il teorema 25.4.5 afferma che una funzione derivata definita in un intervallo non può presentaresingolarità eliminabili. Ancora in altre parole: una funzione derivata definita in un intervallo o è continua oppurepresenta singolarità non eliminabili.

Esempio 25.4.7


x x se x 01 se x 0fÐ Ñ ³

Áœœ

non è la funzione derivata di nessuna funzione, perché presenta in 0 una singolarità eliminabile.

25.5 - Ricerca dei punti estremanti.

Teorema 25.5.1

Sia una funzione , sia [ , ] e sia continua in [ , ] e derivabile in , . Allora:f f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + , Ð+ ,Ñ se x 0 per ogni x , , è non crescente in [ , ]; Ð Ñ Ÿ − Ð+ ,Ñ + ,f ’ f se x 0 per ogni x , , è decrescente in [ , ]; Ð Ñ − Ð+ ,Ñ + ,f ’ f se x 0 per ogni x , , è non decrescente in [ , ]; Ð Ñ − Ð+ ,Ñ + ,f ’ f se x 0 per ogni x , , è crescente in [ , ]. Ð Ñ − Ð+ ,Ñ + ,f ’ f

Dimostrazione - Sia x 0 per ogni x , , e mostriamo che è crescente in [ , ] (le altref ’ fÐ Ñ − Ð+ ,Ñ + ,affermazioni si dimostrano allo stesso modo).

Siano ’, ’’ [ , ] tali che ’ ’’ ; per il teorema del valor medio (applicato a e all’intervalloB B − + , B B f[ ’, ’’]), esiste ’, ’’ , tale cheB B B − ÐB B Ñ § Ð+ ,Ñ!

0f fÐB Ñ ÐB ÑB B !’ ’’’ ’’ œ ÐB Ñ f ’

da cui (essendo per ipotesi ’ ’’ ) si ha ’ ’’ , come si voleva.B B ÐB Ñ ÐB Ñf f

Esempio 25.5.2

Sia x x , cosicché 2 per ogni . Si deduce dal teorema 25.5.1 che è decrescente inf f ’ fÐ Ñ ³ ÐB Ñ œ B B −#! ! ! ‘

Ð _ Ñ Ð _Ñ, 0 e crescente in 0, ; ne segue fra l’altro che 0 è un punto di minimo per .f

59 Il lettore attento obietterà che il punto non è univocamente determinato dal Teorema diBÐ2ÑLagrange, e quindi la non è una funzione. Tuttavia a noi basta ragionare su una qualsiasi funzione che2 Ä BÐ2Ñ

assegni ad ogni uno degli appartenenti a , per cui si ha ; e che una tale2 B ÐB B 2Ñ ÐBÑ œ! !ÐB 2Ñ ÐB Ñ

2f ' f f! !

funzione esista è garantito da un principio matematico detto “assioma della scelta” .


Esercizio 25.5.3

Sia x x x con , , numeri reali. Stabilire, in dipendenza di , , , in quali intervalli èf fÐ Ñ ³ + , - + , - + , -#

crescente e in quali è decrescente; determinare, sempre in dipendenza di , , , gli eventuali punti estremanti di .+ , - fTenendo conto anche di quanto visto in 18.4, disegnare il grafico di perf+ ³ , ³ - ³1, 1, 0 ;+ ³ , ³ - ³2, 0, 1 ;+ ³ , ³ - ³ 0, 2, 1 ;+ ³ , ³ - ³1, 2, 0 .

Esercizi

Dire in quali intervalli risultano crescenti e in quali intervalli risultano decrescenti le seguenti funzioni :‘ ‘Ä

25.5.4 x x 1 ;Ð Ñ#

25.5.5 x ;%

25.5.6 x al variare di ;8 Ð 8 − Ñ

25.5.7 x ;È 1xÈ

25.5.8 x x 2 ;$Ð Ñ

25.5.9 ;x1 x #

Osservazione 25.5.9

Sia C , , e sia , tale che 0. Abbiamo osservato dopo la dimostrazione del teorema dif f ’− Ð+ ,Ñ B − Ð+ ,Ñ ÐB Ñ œ_! !

Fermat (25.2.5) che senza altre informazioni non possiamo stabilire se è un punto estremante né (nel caso cheB!

lo sia) se è un punto di massimo o di minimo. In base al teorema 25.2.3 si ha però che: - se è non decrescente in un intorno sinistro di e non crescente in un intorno destro di , è unf B B B! ! !

punto di massimo locale per ;f - se è non crescente in un intorno sinistro di e non decrescente in un intorno destro di , è unf B B B! ! !

punto di minimo locale per .fPer il teorema 25.5.1 si può allora affermare che:

- se la derivata di è 0 in un intorno sinistro di e 0 in un intorno destro di , è un puntof B Ÿ B B! ! !

di massimo locale per ;f - se la derivata di è 0 in un intorno sinistro di e 0 in un intorno destro di , è un puntof Ÿ B B B! ! !

di minimo locale per .fD’altro lato, informazioni sul comportamento della funzione derivata possono essere ricavate studiando laf ’derivata di , cioè la “derivata seconda” di . Infatti:f ’ f ’’ f

- se 0, allora è negativa in un intorno di (per il teorema di permanenza del segno,f ’’ f ’’ÐB Ñ B! !

22.2.3, essendo per ipotesi continua in , ) e quindi è decrescente in tale intorno (per il teorema 25.5.1);f ’’ f ’Ð+ ,Ñdunque (essendo per ipotesi 0) è positiva in un intorno sinistro di e negativa in un intorno destrof ’ f ’ÐB Ñ œ B! !

di , e quindi è un punto di massimo locale;B B! !

- se 0, allora è positiva in un intorno di e quindi è crescente in tale intorno; dunquef ’’ f ’’ f ’ÐB Ñ B! !

f ’ è negativa in un intorno sinistro di e positiva in un intorno destro di , e quindi è un punto di minimoB B B! ! !

locale;

- se 0, si possono ottenere informazioni utili esaminando . Sia ad esempio f ’’ f fÐB Ñ œ ÐB Ñ! !Ð$Ñ

Ð$Ñ Ð$ÑÐB Ñ B! !0: allora è positiva in un intorno di ; ne segue che è crescente in tale intorno, quindi negativaf f ’’a sinistra di e positiva a destra di ; dunque è decrescente in un intorno sinistro di e crescente in unB B B! ! !f ’intorno destro di , cioè è positiva in un intorno di ; allora è crescente in tale intorno, quindi non è unB B B! ! !fpunto estremante. Analogamente si vede che, se 0, è decrescente in un intorno di , e quindi f fÐ$ÑÐB Ñ B B! ! !

non è un punto estremante. Se è anche 0, si può considerare , e così via.f fÐ$Ñ Ð%ÑÐB Ñ œ ÐB Ñ! !


Ragionando analogamente e procedendo per induzione, si dimostra il

Teorema 25.5.10

Sia C , , e sia , . Supponiamo che in si annullino le prime derivate di , e sia invecef f− Ð+ ,Ñ B − Ð+ ,Ñ B 8_! !

f Ð8"ÑÐB Ñ œ Á! ! 0.Se è dispari, è un punto estremante, e precisamente: un punto di massimo se 0, un punto di minimo se8 B ! !! 0.Se è pari, è strettamente monotòna in un intorno di , e precisamente: è crescente se 0, decrescente se8 B f ! !! 0.

Esercizi

Determinare i punti estremanti, specificando se si tratta di punti di massimo o punti di minimo, locali o assoluti,per ciascuna delle seguenti funzioni:

25.5.11 x 6x 8x 1;& $

25.5.12 x x ;& %

25.5.13 x 3x 1;$ #

25.5.14 ;x 1 x 1

25.5.15 x x ;sin cosÐ Ñ Ð Ñ

25.5.16 x x ;#$

25.5.17 x x ;lnÐ ÑÈ25.5.18 x .ln sinÐ Ð ÑÑ

Esercizio 25.5.19

Fra tutti i rettangoli di area 100 determinare quelli di perimetro minimo.

Esercizio 25.5.20

Fra tutti i rettangoli di perimetro 100 determinare quelli di area massima.

Esercizio 25.5.21

Fra tutti i trapezi isosceli in cui la base minore misura 1 e il perimetro è 14 determinare quelli di area massima.

Esercizio 25.5.22

Fra tutti i settori circolari di perimetro 20 determinare quelli di area massima.

Esercizio 25.5.2$

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico positivamente orientato , è data la curvaOxyalgebrica di equazione 2x 3x y 2 0 .> 2 œSiano e i punti in cui incontra l’asse delle ordinate e il semiasse positivo delle ascisse. Fra i punti di A B P> >che giacciono nel primo quadrante, determinare quelli per i quali l’area del poligono è massima e quelliOAPBper i quali l’area dello stesso poligono è minima.OAPB


26.- LE REGOLE DI DE L’HOPITAL^


In questo capitolo sono riportate alcune regole pratiche spesso utili per il calcolo di limiti che sipresentano nelle forme “non immediate” (cfr. sez. 23.10). Esse sono note come “regole di de l’Hopital”, ma sono^dovute a J. Bernoulli (1667-1748). In effetti, il marchese G. de l’Hopital (1661-1704) assunse come precettore^Bernoulli stipulando un contratto col quale costui si impegnava a comunicargli le proprie scoperte matematiche(fra le quali i teoremi che giustificano queste regole). De l’Hopital, che aveva ottime doti di divulgatore, scrisse^poi un libro (forse il primo testo di calcolo differenziale concepito come tale) nel quale riportava tali teoremi.Benché de l’Hopital non si attribuisse esplicitamente la loro paternità, questi risultati sono da allora noti ovunque^col suo nome. Pare che la cosa non abbia fatto piacere a Bernoulli, che l’accusò, senza esito, di plagio.

26.2 - La forma “non immediata .” !!

Teorema 26.2.1 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x x ”)^ !! !Ä

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per e per tale chef g f g‘ ‘ W WÄ B Ð Ñ Ð Ñ!

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ Ð Ñ œ! !f gx 0, x 0.

Supponiamo che esista un intorno forato di nel quale e sono derivabili e nel quale la derivata di non èB! f g gmai nulla. Se esiste

limx Ä B

œ − Ö _ _×!

Ð ÑÐ Ñ

x x

f ’g’ L con L , ‘

allora si ha L.limx Ä B

œ!

Ð ÑÐ Ñ

x x

fg

Dimostrazione - Proviamo che, nelle ipotesi del teorema, si ha

limx Ä B

œ!

Ð ÑÐ Ñ L; x x

fg

analogamente si vede che Llimx Ä B

œ!

Ð ÑÐ Ñ

x x

fg

da cui l’asserto.

Possiamo supporre che sia 0 (altrimenti si considerano due funzioni , definitef g f gÐB Ñ œ ÐB Ñ œ! !

prolungando per continuità e in ), cosicché e sono continue in [ , ] e derivabili in , per ogni f g f gB B B ÐB BÑ B! ! !

appartenente a un opportuno intorno destro di .B!

Per il teorema di Cauchy (25.4.1), esiste , tale che0 − ÐB BÑ!

F.1 . 0 0

f ’ f f f fg’ g g g gÐ Ñ ÐBÑ ÐB Ñ ÐBÑ ÐBÑÐ Ñ ÐBÑ ÐB Ñ ÐBÑ ÐBÑ00 œ œ œ!

!

Supponiamo per ora che sia L .− ‘

Fissiamo ; poiché per ipotesi L& ‘− œÄ B

!

Ð ÑÐ Ñlim

x

x x

f ’g’

esiste tale che$ ‘−

F.2 L .ÐB B B Ñ Ê ! !ÐBÑÐBÑ$ &¹ ¹ f ’

g’


Avendosi , se si ha anche e quindi per la F.2B B B B B B B ! ! ! ! !0 $ 0 $

¹ ¹ f ’g’Ð ÑÐ Ñ00 L &

da cui per la F.1

¹ ¹ fgÐBÑÐBÑ L &

come si voleva.Supponiamo infine che sia L (lasciando al lettore la trattazione del caso L ).œ _ œ _Fissiamo ; poiché per ipotesi& ‘−

limx Ä B

œ _!

Ð ÑÐ Ñ

x x

f ’g’

esiste tale che$ ‘−

F.3 .ÐB B B Ñ Ê ! !Ð ÑÐ Ñ$ & x x

f ’g’

Avendosi , se si ha anche e quindi per la F.3B B B B B B B ! ! ! ! !0 $ 0 $

x x

f ’ fg’ gÐ Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ00 & & da cui per la F.1 come si voleva.

Osservazione 26.2.2

Nella dimostrazione del teorema 26.2.1 abbiamo di fatto mostrato che dall’ipotesi

lim limx xÄ B Ä B

œ − Ö _ _× œ ! !

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ L con L , segue L.f ’ f

g’ gx xx x‘

In effetti, tutte le regole di de l’Hopital valgono anche quando si considerino limiti destri o sinistri, anche se noi^non lo ricorderemo più esplicitamente nel seguito.

Esempio 26.2.3 .limx Ä !

œx xx 6

1 Ð Ñsin$

Dimostrazione - Considerando il limite del quoziente delle derivate, si ha (ricordando 23.4.1)

lim limx xÄ ! Ä !

œ † œ † œ 1 x 1 x3x 3 x 3 2 6

1 1 1 1 Ð Ñ Ð Ñcos cos# #

e dunque anche il limite proposto vale .16

Teorema 26.2.4 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x ”)^ !! Ä _

Siano , funzioni , definite in un intervallo aperto illimitato a destra (cfr. 5.3), e siaf g ‘ ‘Älim lim

x xÄ _ Ä _Ð Ñ œ Ð Ñ œf gx 0, x 0.

Supponiamo che esista un intervallo aperto illimitato a destra nel quale e sono derivabili e nel qualef gla derivata di non è mai nulla. Se esisteg

limx Ä _

œ − Ö _ _× L con L ,f ’g’Ð ÑÐ Ñxx ‘

allora si ha L.limx Ä _

œfgÐ ÑÐ Ñxx


Dimostrazione - Possiamo supporre che le ipotesi del teorema valgano in un intervallo aperto illimitatoa destra formato da numeri tutti positivi. Le funzioni

f f g g" "Ð Ñ œ Ð Ñ œt tˆ ‰ ˆ ‰" "> >

soddisfano allora le ipotesi di 26.2.1 in un intorno destro di 0. Si ha

lim lim limx Ä _

œ œ> Ä ! > Ä !

f fg g

fg

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ

x tx t

ˆ ‰ˆ ‰">">

"

"

e dunque, per 26.2.1, siamo ricondotti a considerare se esiste .lim> Ä !

Ð ÑÐ Ñ

f ’g ’"

"

tt

Ricordando anche il teorema 24.7.1 (regola di derivazione per le funzioni composte),

lim lim lim lim> Ä ! > Ä ! > Ä !

œ œ œÄ _

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ

Ð Ñ

Ð Ñ

f ’ f ’g ’ g’

f ’ f ’g’ g’

"

"

t x t x

tt

ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰" "> >

#

" "> >

# x

e dunque come si voleva.lim limx xÄ _ Ä _

œf f ’g g’Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñx xx x

Teorema 26.2.5 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x ”)^ !! Ä _

Siano , funzioni , definite in un intervallo aperto illimitato a sinistra (cfr. 5.3), e siaf g ‘ ‘Älim lim

x xÄ _ Ä _Ð Ñ œ Ð Ñ œf gx 0, x 0.

Supponiamo che esista un intervallo aperto illimitato a sinistra nel quale e sono derivabili e nel qualef gla derivata di non è mai nulla. Se esisteg

limx Ä _


allora si ha L.limx Ä _

œfgÐ ÑÐ Ñxx

Dimostrazione - La dimostrazione è del tutto analoga a quella del teorema 26.2.4 .

26.3 - La forma “non immediata .” __

Teorema 26.3.1 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x x ”)^ __ !Ä

Siano , funzioni , e sia un punto di accumulazione per e per tale chef g f g‘ ‘ W WÄ B Ð Ñ Ð Ñ!

lim limx xÄ B Ä B

Ð Ñ œ „_ Ð Ñ œ „_! !f gx , x .

Supponiamo che esista un intorno forato di nel quale e sono derivabili e nel quale la derivata di non èB! f g gmai nulla. Se esiste L con L ,lim

x Ä Bœ − Ö _ _×

!

Ð ÑÐ Ñ

f ’g’

xx ‘

allora si ha L.limx Ä B

œ!

Ð ÑÐ Ñ

fg

xx

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema (essa è immediatamentenonriconducibile a quella di 26.2.1).


Esempio 26.3.2

limBÄ

B

B1

1

#

# ( )

lnˆ ‰

tg œ _.

Dimostrazione Si ha

lim lim limBÄ CÄ! BÄ#1 1

# # ln lnˆ ‰ 1 B œ ÐCÑ œ _ B œ _ e ( )tg

avendo posto nel primo limite per poi applicare il teorema 23.3.4 . Possiamo dunque cercare diC ³ B 1#

utilizzare il teorema 26.3.1, considerando il limite del quoziente tra la derivata del numeratore e la derivata deldenominatore. Si ha

lim lim lim limBÄ BÄ CÄ! CÄ!

B C C

B C C1 1

1

1

# #

"

# B

"# B

# #

#

( ) ( ) ( )

( )

cosœ œ œ C œ ( ) 0cos sin sinsin

avendo posto (da cui ) per poi applicare il teorema 23.3.4, e tenendo conto delC ³ B B œ C 1 1# #

“limite notevole” 23.1.4 . Pertanto, anche il limite proposto vale ._

Teorema 26.3.3 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x ”)^ __ Ä _

Siano , funzioni definite in un intervallo aperto illimitato a destra (cfr. 5.3), e siaf g ‘ ‘Älim lim

x xÄ _ Ä _Ð Ñ œ „_ Ð Ñ œ „_ x , x .f g

Supponiamo che esista un intervallo aperto illimitato a destra nel quale e sono derivabili e nel quale laf gderivata di non è mai nulla. Se esisteg

limx Ä _


allora si halim

x Ä _œ L.f

gÐ ÑÐ Ñxx


Esempio 26.3.4

limx Ä _

œlnÐ Ñxx 0 .

Dimostrazione - Considerando il limite del quoziente delle derivate, si ha

limx Ä _

œ1x1 0

e dunque anche il limite proposto vale 0.

Esempio 26.3.5

limx Ä _

œ _/x

x .

Dimostrazione - Considerando il limite del quoziente delle derivate, si halim

x Ä _œ _/x

1

e dunque anche il limite proposto vale ._


Teorema 26.3.6 (J. Bernoulli) (“regola di de l’Hopital per , x ”)^ __ Ä _

Siano , funzioni definite in un intervallo aperto illimitato a sinistra (cfr. 5.3), e siaf g ‘ ‘Älim lim

x xÄ _ Ä _Ð Ñ œ „_ Ð Ñ œ „_ x , x .f g

Supponiamo che esista un intervallo aperto illimitato a sinistra nel quale e sono derivabili e nel quale laf gderivata di non è mai nulla. Se esisteg

limx Ä _


allora si halim

x Ä _œ L.f

gÐ ÑÐ Ñxx


Osservazione 26.3.7Poiché la forma è facilmente riconducibile alla (basta scrivere anziché ), potrebbe sembrare_

_ Ð ÑÐ Ñ0

0 xx1

x1x

g

f

Ð Ñ

Ð Ñ

fg

superfluo enunciare e dimostrare teoremi del tipo di 26.3.1.Può però accadere che derivando le e si ottenga un’espressione più complicata di quella di partenza (es.:1 1

f gf gÐ Ñ ³ / Ð Ñ ³x , x x ): è dunque opportuno avere regole che permettano di affrontare direttamente la forma .x _

_

26.4 - Le forme 0 , 0 , e 1 . La forma .†_ _ __0 0 _

Non esistono “regole di de l’Hopital” per le forme 0 , 0 , e 1 , ma queste sono generalmente^ † _ _0 0 _

riconducibili alla e/o alla ; infatti00

__

f gÐ Ñ † Ð Ñ œ œx x f gÐ Ñ Ð Ñx x 1 1

x xg fÐ Ñ Ð Ñ

e x .fÐ Ñ œ / œ / œ /g g ln fÐ Ñ Ð Ñ † Ð Ð ÑÑx x xg ln f

ln f g

Ð Ñ Ð Ð ÑÑ

Ð Ð ÑÑ Ð Ñ

x x 1 1

x x

Naturalmente sarà necessario volta per volta verificare se le funzioni , , sono definite in1 1 1x x xf g ln fÐ Ñ Ð Ñ Ð Ð ÑÑ

un intorno di ( , , se si sta considerando il limite di per x che tende a ) e se sonoB B − Ö _ _× B! ! !‘ fverificate tutte le ipotesi delle regole di de l’Hopital.^

Anche la forma è riconducibile alla forma ; infatti si ha__ 00

f gÐ Ñ Ð Ñ œx x .1 1x x

1x x

g f

f g

Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ñ † Ð Ñ

Una tale trasformazione è però raramente conveniente.


Esempio 26.4.1 x x 0limx Ä !

† Ð Ñ œ

ln

Dimostrazione - Il limite proposto si presenta nella forma 0 . Si ha† _

x x .† Ð Ñ œln lnÐ Ñx1x

Poiché le funzioni x e verificano le ipotesi del teorema 26.3.1, possiamo considerare illnÐ Ñ 1x

lim limx xÄ ! Ä !

œ œ

0 .1x

1x#

#xx

Dunque il limite proposto vale 0.

Esempio 26.4.2 .limx Ä _

/ † Ð Ñ œ _x x 1xln

Dimostrazione - Il limite proposto si presenta nella forma 0. Si ha_ †

/ † Ð Ñ œx x+1xln lnÐ x+1

xx

Ñ

/.

Applicando il teorema 26.2.4, si è ricondotti a considerare il

lim limB Ä _ Ä _

œ . /

1x x+1

x

xÐ Ñ

/ x x x#

Questo nuovo limite si presenta nella forma ; applicando due volte la regola di de l’Hopital per ,^_ __ _

x , si considera ilÄ _lim

x Ä _ /

x

2x 1

e poi illim

x Ä _ ./x

2

Poiché quest’ultimo limite vale , anche il limite proposto vale ._ _

Esempio 26.4.3 x x 1limx Ä _

† Ð Ð ÑÑ œ1# arctg

Dimostrazione - Il limite proposto si presenta nella forma 0 . Si ha_ †

x x .† Ð Ð ÑÑ œ1# Ð Ñarctg

1 x

1# arctg x

Poiché le funzioni e x verificano le ipotesi del teorema 26.2.4, possiamo considerare il limite del1 x

1# Ð Ñarctg

quoziente delle derivate, ossia

lim limx

xÄ _œ

1 x 2

11+x2 Ä _

œ 1 .x 1x#

#



Esempio 26.4.4 x 1limx Ä !

œ

x

Dimostrazione - Il limite proposto si presenta nella forma 0 . Si ha x e poiché abbiamo già0 x x xœ / † Ð Ñln

visto (Esempio 26.4.1) chelim

x Ä !† Ð Ñ œ

x x 0ln

si può concludere che il limite proposto vale 1.

Esempio 26.4.5lim

x Ä _œxÈx 1

Dimostrazione - Si ha x x e dunque il limite proposto si presenta nella forma . Si haxÈ œ _"x 0

x " " Ð Ñx xœ / œ /† Ð Ñln x ln x

x

cosicché il limite proposto vale 1 (cfr. esempio 26.3.4).

Esempio 26.4.6lim

x Ä !Ð Ð ÑÑ œ x 1cos

1xtgÐ Ñ

Dimostrazione - Il limite proposto si presenta nella forma 1 . Si ha_

Ð Ð ÑÑ œ / œ /cos x1 1x x x

xtg tg tg

ln cosÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ð ÑÑ† Ð Ð ÑÑln cos x

e quindi siamo ricondotti a calcolare il

limx Ä !

.ln costgÐ Ð ÑÑ

Ð Ñx

x

Poiché le funzioni x e x verificano le ipotesi del teorema 26.3.1, possiamo considerare il limite delln cos tgÐ Ð ÑÑ Ð Ñquoziente delle derivate, ossia

lim limx xÄ ! Ä !

œ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ œ Ð Ñ Ð Ñ œ x x 0 0 0 . sin

cos

cos

Ð ÑÐ Ñ

Ð Ð ÑÑ#

xx

1x

sin cos sin cos



26.5 - Esercizi di riepilogo sull’uso delle regole di de l’Hopital per il calcolo dei limiti.^

Per ciascuno dei seguenti limiti si verifichi l’applicabilità delle regole di de l’Hopital e, quando^possibile, si utilizzino tali regole per calcolare i limiti.

limx Ä !

tgsinÐ Ñ

Ð Ñx x

x x

limx Ä !

1 x x 1 x x Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

sin cossin cos

limx Ä !

sincos

Ð ÑÐ Ñ

x 2x

limx Ä !

x x

#†

Ð Ñ

sinsin

ˆ ‰1 x

limx Ä !

1 1 x

/ Ð Ñ

x

cos È

limx Ä "

x 2 x 1#

limx Ä _

2x 1 x

lnlnÐ ÑÐ Ñ

limx Ä _

x x x

Ð Ñsin

limx Ä 1

#

Ð ÑÐ Ð ÑÑtg

ln cosx

x

limx Ä _

x x x x Ð Ñ Ð Ñ

sinsin

limx Ä _

x x 1 È #

limx Ä !

† /

x "x

limx Ä !

Ð Ñ † Ð Ñ

x 1 xln ln

limx Ä !

Ð Ð ÑÑ

x1 x ln

limx Ä !

Ð Ñ 1 2 1 x x Ð Ñcos #

limx Ä !

Ð Ñ 1 1 x 1 / x

limx Ä !

Ñ xsinÐx

limx Ä !

x"ÑlnÐx

limx Ä !

x"

Ñlog+Ðx


27.- CONVESSITÀ

27.1 - Funzioni convesse.

Sia una funzione , e sia [ , ] . Si dice che è in [ , ] se comunque presi ,f f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + , Bconvessa !

B − + , ´ ÐB ÐB ÑÑ ´ ÐB ÐB ÑÑ" ! ! " "[ , ] l’arco del grafico passante per i punti , e , “sta sotto” il segmentoP f P f! "

(“corda”) . Vediamo come si può esprimere con precisione questo concetto.P P! "

Sappiamo (teorema 16.3.1) che la retta ha equazioneP P! "

x yBB B ÐB Ñ ÐB Ñ

ÐB Ñ!

" ! " !

!œ ff f

ossia y œ ÐB Ñ ÐB ÑB BB B B B! "

" !

" ! " !

x xf fe dunque la condizione di convessità in [ , ] si può esprimere così:+ ,

Sia una funzione , e sia [ , ] . Si dice che è in [ , ] se comunque presi ,f f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + , Bconvessa !

B − + , B B" ! "[ , ] con si ha

F27.1.1 [ , ] .f f fÐBÑ Ÿ ÐB Ñ ÐB Ñ a B − B BB B BBB B B B! " ! "

" !

" ! " !

Se [ , ], è 1 con [0, 1]; spesso perciò, osservandoB − B B B œ B >ÐB B Ñ œ Ð >ÑB >B > −! " ! " ! ! "

che e 1 , la F27.1.1 si scriveBB B BB B B B

! "

" ! " !œ > œ >

F27.1.2 1 1 [0, 1].f f fÐÐ >ÑB >B Ñ Ÿ Ð >Ñ ÐB Ñ > ÐB Ñ a > −! " ! "


Sia , un intervallo di numeri reali. Stabilire se l’insieme delle funzioni convesse in , è un sottospazioÒ+ ,Ó Ò+ ,Óvettoriale di .‘‘

Teorema 27.1.2

Sia una funzione , e sia [ , ] . La funzione è convessa in [ , ] se e solo sef f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + ,

F27.1.3 f f f fÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐBÑBB B B

! "

! "Ÿ

(ossia, il rapporto incrementale relativo all’intervallo [ , ] è minore o uguale a quello relativo all’intervallo [ ,B B B!

B B B B − + , B B B" ! " ! "]) comunque presi , , [ , ] con .

Dimostrazione - Sia convessa in [ , ], e siano , , [ , ] con . Vale allora laf + , B B B − + , B B B! " ! "

F27.1.1, nella quale (essendo per ipotesi ) si possono moltiplicare ambo i membri per . Si ha cosìB B B B" ! " !

ÐB B Ñ ÐBÑ Ÿ ÐB BÑ ÐB Ñ ÐB B Ñ ÐB Ñ" ! " ! ! "f f fdalla quale (scrivendo ) si ricavaB B œ ÐB BÑ ÐB B Ñ" ! " !

ÐB BÑ ÐBÑ ÐB B Ñ ÐBÑ Ÿ ÐB BÑ ÐB Ñ ÐB B Ñ ÐB Ñ" ! " ! ! "f f f f

cioè ÐB BÑ ÐBÑ ÐB BÑ ÐB Ñ Ÿ ÐB B Ñ ÐB Ñ ÐB B Ñ ÐBÑ" " ! ! " !f f f f

ossia ÐB BÑ Ð ÐBÑ ÐB ÑÑ Ÿ ÐB B Ñ Ð ÐB Ñ ÐBÑÑ" ! ! "f f f f

da cui, dividendo ambo i membri per che è per ipotesi maggiore di zero, la F27.1.3.ÐB B ÑÐB BÑ! "

È poi chiaro che tutti i passaggi svolti sono invertibili, cosicché la F27.1.3 è condizione non solo necessaria maanche sufficiente perché sia convessa in [ , ].f + ,


Teorema 27.1.3

Sia una funzione , e sia , un intervallo aperto contenuto nel dominio di . Se è convessa in ,f f f‘ ‘Ä Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ñ, allora è continua in , .f Ð+ ,Ñ


Esempio 27.1.4

Sia x 1 se x 0x se x 0 .fÐ Ñ ³

œœ

La funzione è convessa in 0, 1 ma non è continua in 0 .f Ò Ó

27.2 - Criteri di convessità per le funzioni derivabili.

Teorema 27.2.1

Sia una funzione convessa e derivabile nell’intervallo , . Alloraf ‘ ‘Ä Ð+ ,Ñ ( ) comunque presi , , si ha 3 B B − Ð+ ,Ñ ÐBÑ ÐB ÑÐB B Ñ ÐB Ñ! ! ! !f f ’ f(cioè, la tangente al grafico in , -cfr. 24.3- “sta sotto” l’arco del grafico relativo all’intervallo ,P f! ´ ÐB ÐB ÑÑ Ð+! !

,Ñ ); ( ) la funzione derivata è non decrescente in , .33 Ð+ ,Ñf ’

Dimostrazione - Se nella F27.1.3 facciamo tendere a si haB B!

F.1 f ’ÐB Ñ Ÿ!ÐB Ñ ÐB ÑB B

f f" !

" !

da cui, scrivendo in luogo di , la ( ) per .B B 3 B B" !

Se invece nella F27.1.3 facciamo tendere a si haB B"

F.2 f fÐB Ñ ÐB ÑB B "" !

" !Ÿ ÐB Ñf ’

ossia f fÐB Ñ ÐB ÑB B "! "

! "Ÿ ÐB Ñf ’

da cui, poiché ,B B ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB ÑÐB B Ñ! " ! " " ! "f f f ’e infine, scrivendo in luogo di e in luogo di , la ( ) per .B B B B 3 B B! ! " !

Infine, confrontando la F.1 con la F.2, si trova che e quindi è dimostrata anche la ( ) perf ’ f ’ÐB Ñ Ÿ ÐB Ñ 33! "

l’arbitrarietà di e in [ , ].B B + ,! "

Teorema 27.2.2

Sia una funzione continua nell’intervallo [ , ] e derivabile in , . La funzione è convessa in [ , ]f f‘ ‘Ä + , Ð+ ,Ñ + ,se e solo se la funzione derivata è non decrescente in , .f ’ Ð+ ,Ñ

Dimostrazione - Per la ( ) del teorema 27.2.1, dobbiamo solo dimostrare che se è non decrescente in33 f ’Ð+ ,Ñ + ,, allora è convessa in [ , ].fScegliamo arbitrariamente , , [ , ] con . Vogliamo mostrare che vale la F27.1.3. Per ilB B B − + , B B B! " ! "

teorema di Lagrange (25.4), esistono , e , tali che0 0" ! # "− ÐB BÑ − ÐB B Ñ

, .f f f fÐBÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐBÑBB B B" #

! "

! "œ Ð Ñ œ Ð Ñf ’ f ’0 0

Ma , e quindi (poiché per ipotesi è non decrescente) , da cui la F27.1.3.0 0 0 0" # " #Ÿ Ð Ñ Ÿ Ð Ñf ’ f ’ f ’


Osservazione 27.2.3

Si potrebbe dimostrare che anche la condizione ( ) di 27.2.1 è sufficiente, oltre che necessaria, affinché3la funzione continua in [ , ] e derivabile in , sia convessa in [ , ].f + , Ð+ ,Ñ + ,

Teorema 27.2.4

Sia una funzione continua nell’intervallo [ , ] e derivabile due volte in , . Se 0 per ognif f ’’‘ ‘Ä + , Ð+ ,Ñ ÐBÑ B − Ð+ ,Ñ + ,, , la funzione è convessa in [ , ].f

Dimostrazione - Segue subito da 25.5.1 e da 27.2.2.

27.3 - Funzioni concave.

Sia una funzione , e sia [ , ] . Si dice che è in [ , ] se comunque presi ,f f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + , Bconcava !

B − + , ´ ÐB ÐB ÑÑ ´ ÐB ÐB ÑÑ" ! ! " "[ , ] l’arco del grafico passante per i punti , e , “sta sopra” il segmentoP f P f! "

(“corda”) , ossia se comunque presi , [ , ] con si haP P! " B B − + , B B! " ! "

F27.3.1 1 1 [0, 1].f f fÐÐ >ÑB >B Ñ Ð >Ñ ÐB Ñ > ÐB Ñ a > −! " ! "

Teorema 27.3.1

Sia una funzione , e sia [ , ] . La funzione è concava in [ , ] se e solo se la funzione èf f f f‘ ‘ WÄ + , § Ð Ñ + , convessa in [ , ].+ ,

Dimostrazione - Ovvio.

Dal teorema 27.3.1 si ottengono gli analoghi dei risultati 27.2.1, 27.2.2 e 27.2.4.

Teorema 27.3.2

Sia una funzione continua nell’intervallo [ , ] e derivabile in , . Allora:f ‘ ‘Ä + , Ð+ ,Ñ ( ) se è concava in , , allora comunque presi , , si ha 3 Ð+ ,Ñ B B − Ð+ ,Ñ ÐBÑ Ÿ ÐB ÑÐB B Ñ ÐB Ñf f f ’ f! ! ! !

(cioè, la tangente al grafico in , -cfr. 24.3- “sta sopra” l’arco del grafico relativo all’intervallo ,P f! ´ ÐB ÐB ÑÑ Ð+! !

,Ñ ); ( ) è concava in [ , ] se e solo se la funzione derivata è non crescente in , ;33 + , Ð+ ,Ñf f ’ ( ) se è derivabile due volte in , e 0 per ogni , , allora è concava in [ , ].333 Ð+ ,Ñ ÐBÑ Ÿ B − Ð+ ,Ñ + ,f f ’’ f

27.4 - Punti di flesso.

Sia una funzione , e sia . Si dice che è un per (oppure chef f f‘ ‘ WÄ B − Ð Ñ B! ! punto di flessoP f f f! ´ ÐB ÐB ÑÑ B! ! !, è un per il grafico di ) se è convessa in un intorno sinistro di e concava in un intornoflessodestro di , o viceversa.B!


Teorema 27.4.1

Sia una funzione . Sia un punto interno a , ed esista un intorno di tale che (cfr.f f J f J‘ ‘ W VÄ B Ð Ñ B − Ð Ñ! !Ð#Ñ

24.5) . Allora 0f ’’ÐB Ñ œ!

è condizione necessaria affinché sia un punto di flesso per .B! f

Dimostrazione - Supponiamo che sia un punto di flesso per . Se fosse 0, in unB ÐB Ñ œ Á! !f f ’’ !intorno di (contenuto in ) sarebbe sempre positiva (o sempre negativa) per il teorema 22.2.3, e dunqueI J f ’’B!

(per 27.2.4 e 27.3.2( )) sarebbe convessa (o concava) in tutto , contro l’ipotesi che sia un punto di flesso.333 Bf I !

Osservazione 27.4.2

La funzione x x è convessa su tutto , quindi non ha punti di flesso; tuttavia 0 0. Dunque laf f ’’Ð Ñ ³ Ð Ñ œ% ‘f ’’ÐB Ñ œ! 0

non è condizione sufficiente affinché sia un punto di flesso per .B! f

Osservazione 27.4.3

Sia una funzione , e sia un punto di flesso per ; sia , il corrispondente flesso nelf f P f‘ ‘Ä B ´ ÐB ÐB ÑÑ! ! !!

grafico di e supponiamo, per fissare le idee, che sia convessa in un intorno sinistro di e concava in unf f B!

intorno destro di .B!

Se è derivabile in un intorno di , per il teorema 27.2.1 c’è un intorno sinistro di in cui la tangente alf B B! !

grafico di “sta sotto” il relativo arco del grafico, e per il teorema 27.3.1 c’è un intorno destro di in cui laf B!

tangente al grafico di “sta sopra” il relativo arco del grafico. Utilizzando il teorema 25.4.5, si potrebbefdimostrare che la tangente al grafico di “sta sotto” l’arco del grafico in un intorno sinistro e “sta sopra”in P! fl’arco del grafico in un intorno destro di : ciò si esprime di solito dicendo che la tangente in ilB! P! attraversagrafico di .fAnaloga a questa è la situazione che abbiamo visto nell’osservazione 24.3.7 ; si noti che tale situazione si verificaanche ogni volta che la derivata di in è oppure .f B _ _!

Teorema 27.4.4

Sia una funzione , e sia un punto di flesso per . Se è derivabile in un intorno di , allora nonf f f‘ ‘Ä B B B! ! !

può essere punto estremante per .f

Dimostrazione - Supponiamo, per fissare le idee, che sia convessa in un intorno sinistro di ef B!

concava in un intorno destro di : allora è non decrescente in un intorno sinistro di e non crescente in unB B! !f ’intorno destro di . Se fosse un punto estremante per , per il teorema 25.2.5 sarebbe ( ) 0 : allora, perB B B œ! ! !f f ’quanto appena visto, in tutto un intorno di sarebbe (x) 0 , ossia (per il teorema 25.5.1) non crescente; eB Ÿ! f ’ fdunque non potrebbe essere punto estremante per .B! f

Esempio 27.4.5

Sia . Il punto 0 è punto di flesso e anche punto di minimo locale per . Si noti che non è derivabile inf f f³ k kx x 1

0 .

Esercizi

Per ciascuna delle seguenti funzioni determinare, se possibile, gli intervalli in cui è concava o convessa e glieventuali punti di flesso.

27.4.6 x ; 27.4.7 x x ; 27.4.8 x x 6x 2x 1 ;f f fÐ Ñ ³ / Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ x $ $ #

27.4.9 x ; 27.4.10 x x 5x 4 ; 27.4.11 x x x .f f fÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ †/ / % #x x

2 k k


28.- ASINTOTI


In 18.3 abbiamo studiato l’iperbole scrivendone l’equazione rispetto a un SdR nel quale gli assicoordinati coincidono con gli assi dell’iperbole e l’origine coincide col centro dell’iperbole. In tale occasioneabbiamo osservato che esistono due rette con la seguente proprietà: indicando con la differenza tra le$ÐBÑordinate di due punti aventi la stessa ascissa e appartenenti uno alla retta e l’altro alla porzione di iperboleBcontenuta in un opportuno quadrante, si ha x 0 , x 0 ; in altri termini, al crescere (e allim lim

x xÄ _Ð Ñ œ Ð Ñ œ

Ä _$ $

decrescere) di x ciascuna porzione di iperbole si avvicina indefinitamente a una opportuna semiretta.

Una simile proprietà di “avvicinamento all’infinito” a una retta si può riscontrare anche per altre curve,ed è così possibile generalizzare la nozione di “asintoto”: è quello che faremo in questo capitolo per i graficidelle funzioni . Tracciare gli eventuali asintoti facilita il disegno del grafico di una funzione consentendo‘ ‘Äanche di visualizzare meglio il comportamento della funzione stessa.

28.2 - Asintoti destri e asintoti sinistri.

Sia una funzione definita in un intervallo illimitato a destra. La retta di equazionef ‘ ‘Ä ay xœ : ;

si dice un per il grafico di (o, più brevemente, per ) seasintoto destro f flim

x Ä _Ð Ð Ñ Ð: ;ÑÑ œ x x 0f

cioè se la differenza tra le ordinate dei punti aventi uguale ascissa appartenenti al grafico della e alla retta f atende a zero al tendere dell’ascissa a ._

Se è definita in un intervallo illimitato a sinistra, la retta di equazionef ay xœ : ;

si dice invece un per il grafico di (o, più brevemente, per ) seasintoto sinistro f flim

x Ä _Ð Ð Ñ Ð: ;ÑÑ œ x x 0f

cioè se la differenza tra le ordinate dei punti aventi uguale ascissa appartenenti al grafico della e alla retta f atende a zero al tendere dell’ascissa a ._

Teorema 28.2.1

Condizione necessaria e sufficiente affinché la retta di equazione y x sia un asintoto destro [sinistro] perœ : ;f è che sia

lim limx xÄ _ Ä _

œ : Ð Ð Ñ : Ñ œ ; , x xfÐ Ñxx f

’ “ , x x .lim limx xÄ _ Ä _

œ : Ð Ð Ñ : Ñ œ ;fÐ Ñxx f


Dimostrazione - Proviamo l’asserto per gli asintoti destri.Poiché

lim limx xÄ _ Ä _

Ð Ð Ñ : Ñ œ ; Ð Ð Ñ Ð: ;ÑÑ œ x x equivale a x x 0,f f

dobbiamo solo provare che

(y x asintoto per ) .œ : ; Ê œ :Ä _

f Œ limx

fÐ Ñxx

In effetti, sia x x 0.limx Ä _

Ð Ð Ñ Ð: ;ÑÑ œf

Allora 0 œ œ : Ä _ Ä _ Ä _

lim lim limx x x

f fÐ Ñ: ; Ð Ñ ;x x xx x xŒ Œ

da cui l’asserto perché 0 .limx Ä _

œ;x

Esempio 28.2.2

Sia x x . Si haf sinÐ Ñ ³ / Ð Ñx

lim lim lim limx x x xÄ _ Ä _ Ä _ Ä _

œ / † œ / † œ † œ 0 0 0f sin sinÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ x x xx x x

x xŒ Œ e x 0lim

x Ä _Ð Ñ œf

cosicché l’asse delle ascisse è un asintoto destro per .f

Invece, x non esiste, e dunque non ha asintoti sinistri.lim limx xÄ _ Ä _

œ † Ð ÑfÐ Ñ /xx xŠ ‹ˆ ‰x sin f

Esempio 28.2.3

Sia x x x. Si haf lnÐ Ñ ³ Ð Ñ

lim lim limx x xÄ _ Ä _ Ä _

œ œ œ œ 1 0 1 1f ln lnÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñx x x xx x xŒ

ma x x xlim limx xÄ _ Ä _

Ð Ð Ñ Ñ œ Ð Ñ œ _f ln

cosicché non ha asintoti destri.f

Un asintoto (destro o sinistro) si dice se il suo coefficiente angolare è zero, orizzontale obliquoaltrimenti. è chiaro che

Teorema 28.2.4

Sia una funzione , e sia .f ‘ ‘ ‘Ä 5 −La retta di equazione y è un asintoto orizzontale destro [sinistro] per se e solo seœ 5 f

lim limx xÄ _

Ð Ñ œ 5 Ð Ñ œ 5Ä _

f fx [ x ].


28.3 - Asintoti verticali.

Sia una funzione , e sia un punto di accumulazione per . La retta di equazionef f‘ ‘ WÄ B Ð Ñ!

x œ B!

si dice un per il grafico di (o, più brevemente, per se si verifica (almeno) una delle seguentiasintoto verticale f fÑsituazioni:

limx Ä B

Ð Ñ œ _!

f x ;

oppure x ;limx Ä B

Ð Ñ œ _!

f

oppure x ;limx Ä B

Ð Ñ œ _!

f

oppure x .limx Ä B

Ð Ñ œ _!

f

Si noti che i valori di per i quali la retta di equazione x può essere asintoto verticale per ilB œ B! !

grafico di vanno cercati fra i punti di accumulazione per in cui presenta una singolarità.f f fWÐ Ñ

28.4 - Esempi ed esercizi.

Esempio 28.4.1

Sia x . Si ha , e è continua in tutto : pertanto, non possono esserci asintoti verticali ma f f f fÐ Ñ ³ / Ð Ñ œx W ‘ ‘può avere un asintoto destro e un asintoto sinistro.

È lim limx xÄ _ Ä _

œ œ _fÐ Ñ /xx x

x

cosicché non ha asintoti destri. Inveceflim lim

x xÄ _ Ä _œ œ 0fÐ Ñ /x

x x x

per cui l’asse delle ascisse è asintoto (orizzontale) sinistro per .f

Esempio 28.4.2

Sia x x . Si ha (0 , ) e è continua in tutto (0 , ) : pertanto può avere un asintotof ln f f fÐ Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ œ _ _Wverticale in 0 (punto di accumulazione per in cui presenta una singolarità) e un asintoto destro. In effetti siWÐ Ñf fha

lim limx xÄ ! Ä !

Ð Ñ œ œ _ x (x)f ln

cosicché l’asse delle ordinate è asintoto verticale per ; ef

lim limx xÄ _ Ä _

œ œ 0f lnÐ Ñ Ð Ñx x x x

cosicché un eventuale asintoto destro per sarebbe un asintoto orizzontale; maflim lim

x xÄ _ Ä _Ð Ñ œ Ð Ñ œ _ x xf ln

per cui non ha asintoti destri .f


Esempio 28.4.3

Sia x x x . Si ha ( , 1 0 , ) e è continua in tutto ( , 1 e in tutto 0 , )f f fÐ Ñ ³ Ð Ñ œ _ Ó Ò _ _ Ó Ò _È # W: pertanto non può avere asintoti verticali (non ci sono infatti punti di accumulazione per in cui presentif f fWÐ Ñsingolarità) ma può avere un asintoto sinistro e un asintoto destro. Si ha


œ œ œ œ fÐ Ñ † xx x x x

x x x (1 ) x 1 È É ÉÈ#

# #" "x x

œ œ œ œ œÄ _ Ä _ Ä _

lim lim limx x x

x 1 x 1 x x

k k É É† † "" "x x É1 1x

cosicché un eventuale asintoto destro per ha equazione della forma y x . Poiché inoltref œ ;


Ð Ñ œ œ œ x x x x xf Š ‹È # †

x x x x x x

x x x

Š ‹ Š ‹È ÈÈ

# #

#

œ œ œ œÄ _ Ä _ Ä _

lim lim limx x x

x x x x x x (1 ) x x 1 x x 1 x

# #

# #" " "

† † É É ÉŠ ‹ Š ‹È k kx x x

œ œ œÄ _ Ä _

lim limx x

x 1 1 x 1 x 1 1 2 Š ‹ Š ‹É É† " "

x x

la retta di equazione y x è asintoto (obliquo) destro per .œ "# f

Analogamente,


œ œ œ œ fÐ Ñ † xx x x x

x x x (1 ) x 1 È É ÉÈ#

# #" "x x

œ œ œ œ Ä _ Ä _ Ä _ 1 1lim lim lim

x x x x 1 x 1

x xk k É É† † "

" "x x É

x

cosicché un eventuale asintoto sinistro per ha equazione della forma y x . Poiché inoltref œ ;


Ð Ñ œ œ œ x x x x x f Š ‹È # †

x x x x x x

x x x

Š ‹ Š ‹È ÈÈ

# #

#

œ œ œ œÄ _ Ä _ Ä _ lim lim lim

x x x x x x x x

x (1 ) x x 1 x x 1 x

# #

# #" " "

† † É É ÉŠ ‹ Š ‹È k kx x x

œ œ œ Ä _ Ä _ lim lim

x xx 1 1

x 1 x 1 1 2 Š ‹ Š ‹É É † " "x x

la retta di equazione y x è asintoto (obliquo) sinistro per .œ "# f


Il grafico della funzione x x (ascisse da 3 a 3 ; ordinate da 3 a 3) è approssimativamenteÈ # il seguente:

Esercizi

Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni :‘ ‘Ä

28.4.4 x ;fÐ Ñ ³ x 1x

28.4.5 x ;fÐ Ñ ³ 2xx 3

28.4.6 x ;fÐ Ñ ³ x 2x

#

28.4.7 x ;fÐ Ñ ³ x 1x 1%

#

28.4.8 x ;fÐ Ñ ³ Ð Ñx 2x

$

#

28.4.9 x ;fÐ Ñ ³ lnÐ Ñ

x1 x

28.4.10 x ;fÐ Ñ ³ /"x

28.4.11 x .fÐ Ñ ³ sinÐ Ñxx


29.- STUDIO DI UNA FUNZIONE


Sia una funzione . significa raccogliere quante più informazioni possibili su ef f f‘ ‘Ä Studiaresintetizzarle in un disegno approssimativo del grafico di ; per quanto riguarda le funzioni che noi avremofoccasione di considerare, risultano essenziali a questo scopo le nozioni sviluppate nei capitoli da 21 a 28.

Un itinerario consigliabile per lo studio della funzione è il seguente.f

1

Determinare ed esprimerlo se possibile come unione di un numero finito diWÐ Ñ á f I I I" # 8

intervalli tali che risulta continua in ciascun e derivabile in ogni punto interno di ciascun (ciò natural-I f I I4 4 4

mente non è in generale possibile). Eventualmente, esprimere in modo più semplice la restrizione di a ciascunfI f4 (ciò risulterà utile ad esempio quando nell’espressione generale di è coinvolta la funzione “valore assoluto”).

2

Valutare se eventualmente è una funzione pari o una funzione dispari o una funzione periodica (cfr.f21.4) ; in caso affermativo, sarà sufficiente limitarsi a considerare la restrizione di a 0, oppure ad unf Ò _Ñintervallo avente per ampiezza il periodo di . Valutare se è il caso di studiare preliminarmente un’altra funzionefche compare come “ingrediente” nell’espressione di (cfr. 29.6) .f

3

Descrivere il comportamento di agli estremi di ciascun , calcolando il limite di per x che tende af I f4

ciascun estremo (ivi compresi, eventualmente, e ). Si determinano in questa occasione gli eventuali_ _asintoti (cfr. capitolo 28).

4

Calcolando, se è il caso, la derivata e la derivata seconda di : valutare dove risulta crescente e dovef fdecrescente; determinare gli eventuali punti di estremo locale per ; valutare dove risulta convessa e dovef fconcava; determinare gli eventuali punti di flesso per .f

5

Valutare per quali valori di x risulti x 0 e per quali invece x 0 ; determinare i punti in cui ilf fÐ Ñ Ð Ñ grafico di incontra eventualmente gli assi coordinati, e determinare altri punti del grafico.f

6

Tracciare infine approssimativamente il grafico di .f


29.2 - Studio della funzione f x .Ð Ñ ³ "ln xÐ Ñ

Seguiamo l’itinerario consigliato in 29.1 .

1

Si ha 0, 1 1, .WÐ Ñ œ Ð Ñ Ð _Ñf

2

Poiché non è definita in , 0 , non può essere né una funzione pari né una funzione dispari. Nonf fÐ _ Óc’è motivo per sospettare che possa essere una funzione periodica.f

3

Si ha x 0lim limx xÄ ! Ä !

Ð Ñ œ œ

f 1(x)ln

per la del teorema 23.7.1, ricordando che x (cfr. 23.5.3) . Inoltre,Ð@33Ñ Ð Ñ œ _Ä !lim

x ln

lim limx xÄ " Ä "

Ð Ñ œ œ _

f x 1(x)ln

per la del teorema 23.7.1, ricordando che x 1 0 e che in 0, 1 x non assume maiÐ3BÑ Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð ÑÄ "lim

xln ln ln

valori positivi . Analogamente,

lim limx xÄ " Ä "

Ð Ñ œ œ _

f x 1(x)ln

e

lim limx xÄ _ Ä _

Ð Ñ œ œf x 0 .1(x)ln

In particolare, si è stabilita l’esistenza di un asintoto verticale (la retta di equazione x 1) e di unœasintoto orizzontale destro (l’asse delle ascisse).

4

Applicando i teoremi delle sezioni 24.6 e 24.7, si trova che xf ’Ð Ñ œ 1

xln#(x)

e

f ’’Ð Ñ œ œ œx . x (x) 2 (x) (x) (x) x (x)

x (x) ( (x) 2) (x) ( (x) 2) # #

% % # %

#† † † † † † † †

ln lnln ln ln

ln ln ln ln1 1x x

Si vede immediatamente che in tutto ( ) è (x) 0 : per il teorema 25.5.1 , è decrescente nelW f f ’ fproprio dominio ; non ci sono punti estremanti. Il segno di x coincide col segno di (x) ( (x) 2),f ’’ ln lnÐ Ñ † dunque (come si trova con semplici calcoli) x 0 per 0 x e per x 1 ; i teoremi 27.2.4 e 27.3.2 cif ’’Ð Ñ / #

consentono di affermare che risulta convessa in 0, , concava in , 1 e convessa in 1, ) . Inf Ð / Ó Ò/ Ñ Ð _# #

particolare, il punto è un punto di flesso per ./# f

5

Il segno di (x) coincide col segno di (x) : dunque (x) 0 in 0, 1 e (x) 0 in 1, ) . Il graficof ln f f Ð Ñ Ð _di non incontra gli assi coordinati. Può valer la pena di segnare il punto del grafico di coordinate , 1 .f Ð/ Ñ


6

Il grafico di (ascisse da 1 a 7 ; ordinate da 4 a 4) è approssimativamente questo:1 (x) ln

29.3 - Studio della funzione f x x 3x .Ð Ñ ³ $ #


1

Si ha .W ‘Ð Ñ œf

2

La funzione data non è né pari né dispari; e non c’è motivo per sospettare che possa essere una funzioneperiodica.

3

Si ha x (x 3x ) x (1 )lim lim limx x xÄ _ Ä _ Ä _

Ð Ñ œ œ œ _f $ # $ 3x

e x (x 3x ) x (1 ) .lim lim limx x xÄ _ Ä _ Ä _

Ð Ñ œ œ œ _f $ # $ 3x

Valutiamo l’esistenza di asintoti sinistri e destri applicando il teorema 28.2.1. Poiché

lim lim lim limx x x xÄ _ Ä _ Ä _

œ œ œ œ _Ä _

x x x x

x 3x 3fÐ Ñ # # (x 3x) x (1 )$ #

e (x 3x) x (1 )lim lim lim limx x x xÄ _ Ä _ Ä _ Ä _

œ œ œ œ _ x x x x

x 3x 3fÐ Ñ # #$ #

la funzione data non ha né asintoti sinistri né asintoti destri.


4

Applicando i teoremi delle sezioni 24.6 e 24.7, si trova subito chef ’Ð Ñ œ œ Ð x 3x 6x 3x x 2)#

e x 6x 6 .f ’’Ð Ñ œ

Con semplici calcoli si ricava che: in , 0 è (x) 0 ; (0) 0 ; in 0, 2 è (x) 0 ; (2)=0 ;Ð _ Ñ œ Ð Ñ f ’ f ’ f ’ f ’e in 2, è (x) 0 . Per il teorema 25.5.1 , risulta : crescente in , 0 ; decrescente in 0, 2 ;Ð _Ñ Ð _ Ñ Ð Ñf ’ fcrescente in 2, . Il punto 0 è un punto di massimo locale; il punto 2 è un punto di minimo locale. PerÐ _Ñquanto visto in 3 , non esistono punti di massimo né punti di minimo come definiti in 21.5 .

Si ha x 0 per x 1 e x 0 per x>1 ; i teoremi 27.2.4 e 27.3.2 ci consentono di affermaref ’’ f ’’Ð Ñ Ð Ñ che risulta concava in , 1) e convessa in 1, ) . In particolare, il punto 1 è un punto di flesso per .f fÐ _ Ð _

5

Con semplici calcoli si trova che x 0 in , 0 e in 0, 3 , mentre x 0 in 3, . Si haf fÐ Ñ Ð _ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð _Ñf fÐ Ñ œ œ œx 0 per x 0 e per x 3 , dunque il grafico di incontra l’asse delle ascisse nell’origine e nel punto dicoordinate 3, 0 . Naturalmente, il grafico di incontra l’asse delle ordinate nell’origine.Ð Ñ f

6

Il grafico della funzione x 3x (ascisse da 4,5 a 4,5 ; ordinate da 4,5 a 4,5) è$ # approssimativamente questo:


29.4 - Studio della funzione f x sin x cos x .Ð Ñ ³ Ð Ñ Ð Ñ


1

Poiché ( ) ( ) , è anche (cfr. 21.1) .W W ‘ W ‘sin cos fœ œ Ð Ñ œ

2

Poiché e sono funzioni periodiche di periodo 2 (cfr. esempio 21.3.5) , si hasin cos 1f sin cos sin cos f(x 2 ) (x 2 ) (x 2 ) (x) (x) (x) œ œ œ1 1 1

e dunque è periodica di periodo 2 . Pertanto sarà sufficiente limitarsi a considerare la restrizione di a 0, 2 .f f1 1Ò Ó

3

Si ha (0) (2 ) 1 . è chiaro che non esistono asintoti.f fœ œ 1

4

Si ha x (x) (x)f ’ cos sinÐ Ñ œ e x (x) (x) (x) .f ’’ sin cos fÐ Ñ œ œ

Per studiare il segno di x e x , conviene considerare l’andamento di (x) e (x) in 0, 2 .f ’ f ’’ sin cosÐ Ñ Ð Ñ Ò Ó1Si vede facilmente che: in 0, è (x) (x) 0 e dunque x 0 , x 0 ;Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ 1

% cos sin f’ f’’sin cos sin cos f’ f’’ sin( ( ; in , è (x) (x) 0 e dunque x 0 , x 0 ; ( 1 ,1 1 1 1 1

% % # % # ##Ñ œ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ñ œ

Ècos sin cos sin cos f’ f’’( 0 ; in , è (x) 0 (x) e (x) (x) , cosicché x 0 , x 0 ;1 1

# # %$Ñ œ Ð Ñ ± ± Ð Ñ Ð Ñ 1

sin cos sin cos sin cos( , ( ; in , è (x) 0 (x) e (x) (x) , cosicché$ $ $% # % # %

# #1 1 1 1Ñ œ Ñ œ Ð Ñ ± ±È È

f’ f’’ sin cos sin cos f’Ð Ñ Ð Ñ Ñ œ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ x 0 , x 0 ; ( 0 , ( 1 ; in , è 0 (x) (x) e dunque x 0 ,1 1 1 1&%

f’’ sin cos cos sin f’ f’’Ð Ñ Ñ œ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ x 0 ; ( ( ; in , è 0 (x) (x) e dunque x 0 , x 0 ;& & & $% % # % #

#1 1 1 1È

sin cos cos sin sin cos f’( 1 , ( 0 ; in , è (x) 0 (x) e (x) (x), cosicché x 0 ,$ $ $ (# # # %1 1 1 1Ñ œ Ñ œ Ð Ñ ± ± Ð Ñ

f’’ sin cos cos sin sin cosÐ Ñ Ñ œ Ñ œ Ð Ñ ± ± x 0 ; ( , ( ; in , 2 è (x) 0 (x) e (x) (x),( ( (% # % # %

# #1 1 1 1È È

cosicché x 0 , x 0 ; (0 0 , (0 1 .f’ f’’ sin cosÐ Ñ Ð Ñ Ñ œ Ñ œ

Riassumendo: x 0 (e dunque è crescente) in 0, e in , 2 ; x 0 (e dunque èf’ f f’ fÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ $ (% %1 1 1

decrescente) in , ; x 0 (e dunque è convessa) in 0, e in , ; x 0 (e dunque èÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð # Ñ Ð Ñ $ ( &% % % %1 1 1 1f’’ f f’’ f1

concava) in , . è chiaro a questo punto che è un punto di massimo, è un punto di minimo, eÐ Ñ1 1% % % % %

& $ (1 1 1&% 1 sono punti di flesso.

5

Poiché x (x) , possiamo sfruttare la discussione del punto precedente per determinare il segnof’’ fÐ Ñ œ di (x) e per stabilire le intersezioni del grafico con gli assi coordinati. Nell’intervallo che stiamo studiando, si ha:ff f f f fÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ œ ³x 0 in 0, ; x 0 in , ; x 0 in , 2 . Inoltre: (0) 1 ; x 0 per x e per1 1 1

% % % % %& &1 1 1

x .³ &% 1


6

Il grafico della funzione (x) (x) (ascisse da 0 a 2 ; ordinate da a ) èsin cos 1 1 1approssimativamente questo:

29.5 - Studio della funzione f x .Ð Ñ ³ x x 1x 1†± ±± ±


1

Si ha , 0 0, 1 1, . Si noti la scelta di individuare come unione di treW WÐ Ñ œ Ð _ Ó Ò Ñ Ð _Ñ Ð Ñf fintervalli anziché di due. All’interno di ciascuno dei tre intervalli considerati è senz’altro derivabile per ifrisultati del capitolo 24 . Inoltre si ha: x in , 0 ; x x 1 in 0, 1 ; x x 1 inf f fÐ Ñ œ Ð _ Ó Ð Ñ œ Ò Ñ Ð Ñ œ x 1

x 1#

Ð _Ñ1, ; e ciascuna di queste tre funzioni è relativamente semplice da studiare (in particolare, il grafico di infÒ Ñ Ð _Ñ0, 1 e in 1, è costituito da porzioni di rette e quindi può essere immediatamente disegnato senzaulteriori calcoli). Si noti che è derivabile anche in 0 ; ma per affermare ciò si deve effettuare il calcolo direttofdel rapporto incrementale in 0 della .f


2

La non è pari né dispari; né c’è motivo per sospettare che possa essere una funzione periodica.f

3

Si ha x lim lim limx x xÄ _ Ä _ Ä _

Ð Ñ œ œ œ _f x 1x 1

x1

#

1x1x

e x (0) 1 .limx Ä !

Ð Ñ œ œ f f

Inoltre, x ( x 1) 2lim limx xÄ " Ä "

Ð Ñ œ œ

f

e x (x 1) ,lim limx xÄ _ Ä _

Ð Ñ œ œ _f

ma questi ultimi due limiti non rivestono interesse perché, come si è già osservato, non ci sono problemi perdisegnare il grafico di in 0, 1 1, .f Ò Ñ Ð _Ñ

È chiaro che la retta di equazione y x 1 è un asintoto destro per , venendo addirittura a coincidere,œ fper x 1, col grafico di . Valutiamo l’esistenza di un asintoto sinistro applicando il teorema 28.2.1. Poiché f


œ œ œ x x x(x 1)

x 1 11

fÐ Ñ

1# #

1x 1x

e ( x x) x 1 ,lim lim lim limx x x xÄ _ Ä _ Ä _ Ä _

Ð Ñ œ œ œ œf Š ‹x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x(x 1) # #

la retta di equazione y x 1 è anche asintoto sinistro per .œ f

4

Per valutare dove risulta crescente e dove decrescente, determinare gli eventuali punti di estremoflocale per , valutare dove risulta convessa e dove concava, determinare gli eventuali punti di flesso per , cif f flimitiamo a considerare la restrizione di a , 0 ; infatti, come si è già osservato, non ci sono problemi perf Ð _ Ódisegnare il grafico di in 0, 1 1, .f Ò Ñ Ð _Ñ

Applicando i teoremi della sezione 24.6, si trova subito che in , 0 èÐ _ Ó

f’Ð Ñ œ œx 2x(x 1) (x 1 (x 1) (x 1)

x 2x 1 Ñ

#

# #

#

e x .f’’Ð Ñ œ œ (2x 2)(x 1) (x 2x 1)2(x 1) (x 1) (x 1)

4

# #

% $

Con semplici calcoli si ricava che: in , 1 2 è (x) 0 ; (1 2 ) 0 ; in 1 2 , 0 èÐ _ Ñ œ Ð ÑÈ È Èf’ f’f’ f(x) 0 . Per il teorema 25.5.1 , risulta crescente in , 1 2 e decrescente in 1 2 , 0 ; il punto Ð _ Ñ Ð ÑÈ È1 2 è un punto di massimo locale. Per quanto visto in 3 , non esistono punti di massimo né punti di Èminimo come definiti in 21.5 .

In , 0 si ha x 0 ; per il teorema 27.3.2 , in , 0 risulta concava.Ð _ Ó Ð Ñ Ð _ Óf’’ f

5

Con semplici calcoli si trova che x 0 in , 1 , mentre x 0 in 1, . Non è maif fÐ Ñ Ð _ Ñ Ð Ñ Ð _Ñf f f fÐ Ñ œ œ x 0 , dunque il grafico di non incontra l’asse delle ascisse; poiché (0) 1 , il grafico di incontral’asse delle ordinate nel punto di coordinate 0, 1 .Ð Ñ


6

Il grafico della funzione (ascisse da 4,5 a 4,5 ; ordinate da 4,5 a 4,5) è x x 1 x 1†

k kk k

approssimativamente questo:

29.6 - Disegno del grafico di funzioni composte.

Sia una funzione . Lo studio di secondo l’itinerario suggerito in 29.1 è in genere tanto piùf f‘ ‘Äcomplicato (specialmente se si rende necessario lavorare con la derivata e la derivata seconda di ) quanto piùfcomplessa è l’espressione di (che, coerentemente con quanto dichiarato in 21.1, sarà di solito data mediantefsomma, prodotto, composizione di quelle che abbiamo chiamato “funzioni elementari”). In linea conl’orientamento generale della Matematica di affrontare un problema scomponendolo in problemi più semplici, hadunque interesse chiedersi se è possibile, data una funzione espressa come somma, prodotto, composizione difaltre funzioni , , , , descrivere il grafico di mediante i grafici di , , , . I risultati di questaf f f f f f f" # 8 " # 8á ásezione consentono di rispondere affermativamente a tale domanda in alcuni casi che sono piuttosto particolarima, come vedremo, risultano spesso utili.

Teorema 29.6.1

Siano , funzioni , e sia .: g A g‘ ‘ WÄ § Ð ÑÐ+Ñ Ð Ñ ‰ Se è non decrescente in e è non decrescente in , allora è non decrescente in .g A g A g A: :Ð,Ñ Ð Ñ ‰ Se è non decrescente in e è non crescente in , allora è non crescente in .g A g A g A: :Ð Ñ Ð Ñ ‰c Se è non crescente in e è non decrescente in , allora è non crescente in .g A g A g A: :Ð+Ñ Ð Ñ ‰ Se è non crescente in e è non crescente in , allora è non decrescente in .g A g A g A: :


Dimostrazione - Proviamo la ; le altre affermazioni si dimostrano con procedimento analogo.Ð+Ñ

Siano , con . Poiché è non decrescente in , ; ma allora, poiché èB B − B B ÐB Ñ Ÿ ÐB Ñ" # " # " #A g A g g :non decrescente in , se , (e dunque , si ha g A g g g g gÐ Ñ B B − Ð ‰ Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ − Ð ÑÑ Ð ÐB ÑÑ Ÿ Ð ÐB ÑÑ" # " # " #W W: : : :ossia e dunque è crescente in .Ð ‰ ÑÐB Ñ Ÿ Ð ‰ ÑÐB Ñ ‰: : :g g g A" #

Teorema 29.6.2

Siano , funzioni ; sia un intervallo contenuto in tale che è un intervallo contenuto in : :g I g g I‘ ‘ W WÄ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ.Ð+Ñ Ð Ñ ‰ Se è convessa in e è convessa e crescente in , allora è convessa in .g I g I g I: :Ð,Ñ Ð Ñ ‰ Se è concava in e è convessa e decrescente in , allora è convessa in .g I g I g I: :Ð-Ñ Ð Ñ ‰ Se è convessa in e è concava e decrescente in , allora è concava in .g I g I g I: :Ð+Ñ Ð Ñ ‰ Se è concava in e è concava e crescente in , allora è concava in .g I g I g I: :

Dimostrazione - Proviamo la .Ð+Ñ

Vogliamo mostrare che è convessa in , cioè che per , e 0, 1 si ha: ‰ B B − > − Ò Óg I I" #

Ð ‰ ÑÐ>B Ð >ÑB Ñ Ÿ >Ð ‰ ÑÐB Ñ Ð >ÑÐ ‰ ÑÐB Ñ: : :g g g" # " #1 1ossiaF.1 1 1 .: : :Ð Ð>B Ð >ÑB ÑÑ Ÿ > Ð ÐB ÑÑ Ð >Ñ Ð ÐB ÑÑg g g" # " #

Poiché è convessa in ,g Ig g gÐ>B Ð >ÑB Ñ Ÿ > ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB Ñ" # " #1 1 ;

poiché è crescente in , ne segue che: g IÐ ÑF.2 1 1 ;: :Ð Ð>B Ð >ÑB ÑÑ Ÿ Ð> ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB ÑÑg g g" # " #

ma poiché è convessa in si ha anche che: g IÐ ÑF.3 1 1: : :Ð> ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB ÑÑ Ÿ > Ð ÐB ÑÑ Ð >Ñ Ð ÐB ÑÑg g g g" # " #

e la F.1 segue subito dalle F.2 e F.3 .

Proviamo ora la .Ð,Ñ

Vogliamo mostrare che è convessa in , cioè che per , e 0, 1 si ha: ‰ B B − > − Ò Óg I I" #

Ð ‰ ÑÐ>B Ð >ÑB Ñ Ÿ >Ð ‰ ÑÐB Ñ Ð >ÑÐ ‰ ÑÐB Ñ: : :g g g" # " #1 1ossiaF.1 1 1 .: : :Ð Ð>B Ð >ÑB ÑÑ Ÿ > Ð ÐB ÑÑ Ð >Ñ Ð ÐB ÑÑg g g" # " #

Poiché è concava in ,g Ig g gÐ>B Ð >ÑB Ñ > ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB Ñ" # " #1 1 ;

poiché è decrescente in , ne segue che: g IÐ ÑF.2 1 1 ;: :Ð Ð>B Ð >ÑB ÑÑ Ÿ Ð> ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB ÑÑg g g" # " #

ma poiché è convessa in si ha anche che: g IÐ ÑF.3 1 1: : :Ð> ÐB Ñ Ð >Ñ ÐB ÑÑ Ÿ > Ð ÐB ÑÑ Ð >Ñ Ð ÐB ÑÑg g g g" # " #

e la F.1 segue subito dalle F.2 e F.3 .

La risp. segue dalla risp. ricordando che se è concava e decrescente risp. crescenteÐ-Ñ Ò Ð.ÑÓ Ð+Ñ Ò Ð,ÑÓ Ò Ó:in allora è convessa e crescente risp. decrescente in e che se è convessa in allorag I g I g IÐ Ñ Ò Ó Ð Ñ Ð Ñ ‰: :: : :‰ œ Ð Ð ‰ ÑÑ œ ÐÐ Ñ ‰ Ñg g g I ( ) è concava in .


Esempio 29.6.3

Sia x , x x ; oppure sia x , x x . Nel primo caso è convessa e: : :Ð Ñ ³ / Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ / Ð Ñ ³x xg g" "# #

# #

crescente in , è concava in ; nel secondo caso è convessa e decrescente in , è convessa in . Posto ‘ ‘ ‘ ‘g g f:

³ ‰ œ / Ñ Ð _ Ó: g f f"#

#x , è facile controllare (calcolando la derivata seconda di che è convessa in , 1 e inÒ _Ñ Ò Ó1, , concava in 1, 1 .

Analogamente, sia x , x x ; oppure sia x , x x . Nel primo caso: :Ð Ñ ³ / Ð Ñ ³ Ð Ñ ³ / Ð Ñ ³x xg g" "# #

# #

: : è concava e decrescente in , è concava in ; nel secondo caso è concava e crescente in , è convessa‘ ‘ ‘g gin . Posto , risulta concava in , 1 e in 1, , convessa in 1, 1 .‘ f g f³ ‰ œ / Ð _ Ó Ò _Ñ Ò Ó: "

##x

Teorema 29.6.4

Siano , funzioni , e sia . Se è crescente nell’immagine di , allora :: : :g f g g‘ ‘Ä ³ ‰Ð+Ñ § Ð Ñ Per ogni : se è non decrescente in , anche è non decrescente in ; se è non crescente in ,A g g A f A g AWanche è non crescente in .f AÐ,Ñ B − B B Per ogni : è punto di minimo locale per se e solo se è punto di minimo locale per ; è punto di! ! !A f gmassimo locale per se e solo se è punto di massimo locale per ; è punto di minimo per se e solo se è puntof g fB!

di minimo per ; è punto di massimo per se e solo se è punto di massimo per .g f gB!

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñc Per ogni intervallo contenuto in tale che è un intervallo contenuto in : se è convessa in I g g I g IW W :e è convessa in , anche è convessa in ; se è concava in e è concava in , anche è concava in: :g I f I g I g I fÐ Ñ Ð ÑI .

Dimostrazione - La segue dalle e del teorema 29.6.1 ; la segue dalle e delÐ+Ñ Ð+Ñ Ð-Ñ Ð-Ñ Ð+Ñ Ð.Ñteorema 29.6.3 .

Proviamo la .Ð,Ñ

Supponiamo che sia un punto di minimo locale per ; allora esiste un intorno di tale cheB B! !g Ig g IÐBÑ ÐB Ñ a B −! .

Allora per ogni poiché è crescente in si haB − Ð ÑI g I:: :Ð ÐBÑÑ Ð ÐB ÑÑg g !

e dunque .f f IÐBÑ ÐB Ñ a B −!

Viceversa, supponiamo che sia un punto di minimo locale per ; allora esiste un intorno di taleB B! !f Iche .f f IÐBÑ ÐB Ñ a B −!

Se esistesse in tale che , poiché è crescente sarebbeB ÐBÑ ÐB ÑI g g ! :: :Ð ÐBÑÑ Ð ÐB ÑÑg g !

e dunque f fÐBÑ ÐB Ñ!contro quanto supposto.

Il ragionamento è analogo se è punto di minimo oppure punto di massimo locale oppure punto diB!

massimo.


30.- PRIMITIVE

30.1 - Generalità.

Sia : una funzione. Si dice di una funzione derivabile : la cui funzionef f F‘ ‘ ‘ ‘Ä Äprimitivaderivata (cfr. 24.5) coincida con .F ’ f

Sia , e sia : una funzione tale che . Si dice una funzioneI f I f f I§ Ä § Ð Ñ‘ ‘ ‘ W primitiva di inderivabile : la cui funzione derivata (cfr. 24.5) coincida con la restrizione di ad (cfr. 4.5) .F I F ’ f IÄ ‘

Esempio 30.1.1

La funzione x è una primitiva della funzione in 0, ; la funzione x è una primitiva dellaln lnÐ Ñ Ð _Ñ Ð Ñ1x

funzione in , 0 ; la funzione x è una primitiva della funzione .1 1x xÐ _ Ñ Ð ± ± Ñln

Data una funzione : , esiste sempre una primitiva di ? Se esiste una primitiva di , ne esistef f f‘ ‘Äuna sola?

La risposta è “no” per entrambe le domande. Abbiamo visto infatti (teorema 25.4.5) che una funzionederivata non può avere singolarità eliminabili; l’esempio 25.4.7 presenta dunque una funzione che non haprimitiva . Inoltre, data una primitiva di è facile trovarne infinite altre: basta sommare a una qualsiasiF f Ffunzione costante; infatti, se è una funzione costante si ha-

Ð -Ñ œ - œF ’ F ’ ’ F ’per il teorema 24.6.1 e l’esempio 24.2.3 .

Teorema 30.1.2

Sia una funzione . Se è continua in un intervallo , esiste una primitiva di in .f f I f I‘ ‘Ä

Dimostrazione - Questo risultato verrà dimostrato col teorema 31.6.3 .

Osservazione 30.1.3

La condizione di continuità espressa dal teorema 30.1.2 è sufficiente ma non necessaria per l’esistenza di unaprimitiva. La funzione definita ponendo:f

f sin cosÐ Ñ ³

Á

œx 2 x se x 0

0 se x 0œ ˆ ‰ ˆ ‰1 1 x x

non è continua in 0 (non esiste infatti x ) ma ammette come primitiva lalimx Ä !

Ð Ñf

F sinÐ Ñ ³

† Á

œx x se x 0

0 se x 0œ ˆ ‰# 1 x


Sia , e sia : una funzione con . Ricordando il corollario 24.6.2, possiamo direI f f I§ Ä Ð Ñ œ‘ ‘ ‘ Wche l’insieme delle primitive di in costituisce l’immagine inversa di (cfr. 4.3) mediante l’omomorfismof I fÖ ×“derivazione” .· YÐ Ñ Ä Ð ÑI I

Teorema 30.1.4

Sia , sia : una funzione tale che e sia una primitiva di in . Le primitive di in I f I f F f I f I§ Ä § Ð Ñ‘ ‘ ‘ W !

sono tutte e sole le funzioni che si possono scrivere nella forma con e 0 .I F F F I F’Ä − Ð Ñ œ‘ ·! ‡ ‡ ‡

Dimostrazione - Sia l’insieme delle primitive di in , e sia l’insieme delle funzioni che sic Y ‘f I I Äpossono scrivere nella forma con e 0 . Dobbiamo provare che .F F F I F’! ‡ ‡ ‡ − Ð Ñ œ œ· c YÈ immediato che . Infatti, se è con e 0 ; alloraY c Y ·© − œ − Ð Ñ œg g F F F I F’! ‡ ‡ ‡

g’ F F ’ F’ F’ f f gœ œ œ œ −( ) 0 cosicché .! ‡ ! ‡ cViceversa, è anche . Infatti, se è ( ) con (perché ec Y c · ·© − œ − Ð Ñ − Ð Ñg g F g F g F I g I! ! !

F I g F ’ g ’ F ’ f f! ! !− Ð Ñ œ œ œ· ) e ( ) 0 .

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali e sia : una funzione definita in , .Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘Una funzione continua in , la cui restrizione ad ( , sia una primitiva della restrizione di ad , si diceF fÒ+ ,Ó + ,Ñ Ð+ ,Ñprimitiva di in , . Analogamente si definiscono le “primitive” per una funzione in intervalli della forma ,f Ò+ ,Ó Ð+,Ó Ò+ ,Ñ Ð _ ,Ó Ò+ _Ñ + , −, , , , oppure , con , .‘

Teorema 30.1.5

Sia un intervallo di numeri reali, sia : una funzione definita in e sia una primitiva di in . LeI f I F f I‘ ‘Ä !

primitive di in sono tutte e sole le funzioni che si possono scrivere nella forma con .f I F‘ ‘ ‘Ä - - −!

Dimostrazione - Sia una primitiva di in . Per ogni èF f I! - − ‘Ð -Ñ œ œF ’ F’ f! !

(cfr. teorema 24.6.1 ed esempio 24.2.3), e dunque è anch’essa una primitiva di in . Se poi è unaF f I F! " -qualsiasi primitiva di in , allora per ogni interno ad si haf I IB

Ð Ñ ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ œF F ’ F ’ F ’ f f! " ! " 0cosicché è una funzione costante in per il teorema 25.4.3 : dunque esiste tale che ,F F I F F! " ! " - − œ -‘ossia come si voleva.F F! "œ -

Sia , e sia : una funzione tale che . L’insieme di tutte le primitive di in siI f I f f I§ Ä § Ð Ñ‘ ‘ ‘ Windica con la scrittura

x dx o, più brevemente, con .' 'f fÐ Ñ

e si dice, talvolta, di (in . Si noti che questa notazione non evidenzia l’insieme ; inoltre laintegrale indefinito f I IÑparola “integrale” induce facilmente confusione con la teoria dell’integrazione (alla quale accenneremo nelcapitolo 31), collegabile sotto opportune ipotesi al problema della ricerca delle primitive (cfr. teorema 31.6.3) maben distinta da esso. Noi ci adegueremo al simbolo , ormai troppo diffuso perché lo si possa combattere, ma'eviteremo sempre di usare l’espressione “ ”.integrale indefinito


Esempio 30.1.6

Se 0, , dx è l’insieme delle funzioni definite in che si possono scrivere nella formaI Iœ Ð _Ñ ' 1 x

lnÐ Ñ - - −x con ;‘ciò si esprime scrivendo dx x .' 1

x œ Ð Ñ -ln

Se , 0 , dx è l’insieme delle funzioni definite in che si possono scrivere nella formaI Iœ Ð _ Ñ ' " x

lnÐ Ñ - - −x con ;‘ ciò si esprime scrivendo dx x .' 1

x œ Ð Ñ -ln

Osservazione 30.1.7

Si noti che, benché x sia (come si è già osservato in 30.1.1) una primitiva di in \ 0 , si puòln Ð ± ± Ñ Ö ×1 x ‘ non

scrivere dx x .' " x œ Ð ± ± Ñ -ln

Infatti la funzione definita ponendo:f

f lnlnÐ Ñ ³Ð Ñ − Ð _ ÑÐ Ñ − Ð _Ñ

x x 1 se x , 0x 2 se x 0,œ

è una primitiva di in \ 0 , ma differisce da x per una funzione costante.1 x ‘ Ö × Ð ± ± Ñnon ln

Nel seguito di questo capitolo supporremo fissato un insieme e col termine I § ‘“primitiva intenderemo sempre “primitiva in” ” I .

Ci farà anche comodo la seguente notazione: se , sono insiemi di funzioni , e è unaA B f‘ ‘ - ‘Ä −funzione , indicheremo con l’insieme delle funzioni che si possono scrivere nella forma‘ ‘ ‘ ‘Ä ÄA Ba b a A b B A − − Ä con e ; indicheremo con l’insieme delle funzioni che si possono scrivere nella- ‘ ‘forma con ; e indicheremo con l’insieme delle funzioni che si possono scrivere nella- ‘ ‘a a A f A− Äforma con .f a a A −

30.2 - Ricerca di primitive.

Per la ricerca di primitive si possono utilizzare “alla rovescia” le informazioni raccolte nel capitolo 24 (eparticolarmente nelle sezioni 24.2, 24.6, 24.7 e 24.8) sulle derivate delle funzioni elementari e di quelle che sipossono ottenere da esse mediante somma, prodotto, quoziente, elevamento a potenza e composizione.

Si ha così che: una primitiva della funzione costante uguale a zero è una funzione costante qualsiasi ; una primitiva della funzione x è la funzione x (se 1 ; altrimenti si veda l’esempio 8 Á 8 8""

8"

30.1.1) ; una primitiva della funzione x è la funzione x ; Ð Ñ Ð Ñsin cos una primitiva della funzione x è la funzione x ; Ð Ñ Ð Ñcos sin una primitiva della funzione è la funzione stessa ; / /x x

ecc., ecc..

Lo studente che si fosse costruito una “tabella” con le derivate delle funzioni elementari è invitato adedurne una con primitive delle stesse funzioni (ma per, ad es., una primitiva della funzione x , si veda 30.3.4lnÐ Ñ; per una primitiva della funzione x , si veda 30.4.5).tgÐ Ñ


Dal teorema 24.6.2 si ottiene poi il

Teorema 30.2.1

Siano , funzioni che ammettono primitiva, e sia . Allora anche e ammettono primitiva, ef g I f g fÄ − ‘ - ‘ -si ha ' ' ' ' '( ) e ( ) .f g f g f f œ œ- -

Dimostrazione - Per provare che ( ) , si devono dimostrare le due inclusioni' ' 'f g f g œ ' ' ' ' ' '( ) e ( ) .f g f g f g f g © ©

Sia ( ) ; scelto , è ( ) e si tratta di verificare che : in effetti,h f g F f h F h F h F g− − œ −' ' '( .h F ’ h ’ F ’ f g f g Ñ œ œ œSiano ora e ; allora ( ) perché ( ) .F f G g F G f g F G ’ F ’ G ’ f g− − − œ œ ' ' '

Analogamente si prova che ( ) .' '- -f fœ

30.3 - Ricerca di primitive “per parti .”

Teorema 30.3.1

Siano , funzioni , e sia una primitiva di . Se ammette una primitiva, anche ammette unaf g I F f Fg’ fgÄ ‘primitiva, e si ha ' 'fg Fg Fg’œ .

Dimostrazione - Si devono provare le due inclusioni' ' ' 'fg Fg Fg’ Fg Fg’ fg© © e .

Sia ; allora ( ) , e si tratta di verificare che . In effetti,h fg h Fg Fg h Fg h Fg’− œ −' 'ricordando 24.6.2 e 24.6.6 si ha

Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ œFg h ’ Fg ’ h’ F ’g Fg’ fg fg Fg’ fg Fg’perché e .F ’ f h’’ fgœ œ

Viceversa, sia ; si tratta di verificare che . In effetti, ricordando 24.6.2 e 24.6.6k Fg’ Fg k fg− −' 'si ha Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ œFg k ’ Fg ’ k’ F ’g Fg’ Fg’ F ’g fgpoiché e .k’ Fg’ F’ fœ œ

In pratica, il teorema 30.3.1 riconduce la ricerca di una primitiva del prodotto alla ricerca di primitivefgdi e di ; è chiaro che tale teorema risolve quindi in generale il problema di determinare una primitivaf Fg’ nondel prodotto conoscendo una primitiva di e una primitiva di . In effetti non è detto in generale che unfg f gprodotto di funzioni elementari abbia una primitiva esprimibile mediante somme, prodotti, quozienti, potenze,ecc. di funzioni elementari.

Nel seguito di questi appunti, quando ci sarà occasione di applicare il teorema 30.3.1 useremo laseguente notazione: porremo una freccetta rivolta verso l’alto sopra quello dei due fattori del quale si va aÅconsiderare una primitiva, e porremo una freccetta rivolta verso il basso sotto quello del quale invece si va aÆconsiderare la derivata. Scriveremo cioè, se è una primitiva di ,F f

' 'f g Fg Fg’Å

Æœ .


Esempio 30.3.2

Sia . Si haI œ ‘

' 'x x dx x x x dx x x x x x x .Æ

Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ð ÑÑ - œ Ð Ñ Ð Ñ -Å

cos sin sin sin cos sin cos

Esempio 30.3.3

Sia . Si haI œ ‘

' 'x x dx x x 1 .Æ

/ œ / / œ / / - œ / Ð Ñ -Å

x x x x x x

Esempio 30.3.4 (quasi un gioco di prestigio!)

Sia . Si ha x dx x 1 dx x x x dxI ln ln lnœ Ð Ñ œ Ð Ñ † œ Ð Ñ † œÆ

Å‘ ' ' ' 1

x

œ Ð Ñ œ Ð Ñ - œ † Ð Ð Ñ Ñ -x x 1 dx x x x x x 1 .ln ln ln'

Esempio 30.3.5

Sia . Si haI œ ‘

' '/ Ð Ñ œ / Ð Ñ / Ð ÑÆ

Åx x xcos sin sinx dx x x dx

e analogamente

' ' '/ Ð Ñ œ / Ð Ð ÑÑ / Ð Ð ÑÑ œ / Ð Ñ / Ð ÑÆ

Åx x x x xsin cos cos cos cosx dx x x dx x x dx.

Sia una primitiva di x : si è dunque trovato chec / Ð Ñx cosc cœ / Ð Ñ / Ð Ñ Ð - Ñx xsin cosx x "

con ; ne segue 2 x x- − œ / Ð Ñ / Ð Ñ -" "‘ c x xsin cosda cui infine, posto , x x .- ³ - œ / Ð Ð Ñ Ð ÑÑ -" "

# #" c x sin cos

30.4 - Ricerca di primitive per sostituzione.

Teorema 30.4.1

Siano , funzioni con derivabile in , e sia una primitiva di . Allora è una primitiva dif g I g I F f F gÄ ‰‘Ð ‰ Ñ †f g g’, ossia

F g f g g’Ð Ð ÑÑ − Ð Ð ÑÑ Ð Ñx x x dx.'Dimostrazione - Si tratta di dimostrare che la derivata (rispetto a x) di è ; ma ciò segueF g f g g’‰ Ð ‰ Ñ †

subito dal teorema 24.7.1.


In pratica, per applicare il teorema 30.4.1 si procede come segue (e si dice che si opera “persostituzione”) :

Si pone t x ; quale artificio mnemonico, si scrive di conseguenza³ Ð Ñgdt x dxœ Ð Ñg’

(si ricordi la notazione “storica” della derivata, per la quale x . Allora x x dxg’ f g g’Ð Ñ œ œ Ñ Ð Ð ÑÑ Ð Ñd xdx dx

dtgÐ Ñ 'diventa t dt ; si giunge così a considerare una primitiva t di , e sostituendo nuovamente x a t si ricava' f F f gÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ

infine la x .F gÐ Ð ÑÑ

Esempio 30.4.2

Sia . Calcoliamo x x dxI sin cosœ Ð Ñ Ð Ñ‘ 'procedendo per sostituzione. Poniamo t x e scriviamo dt x dx .³ Ð Ñ œ Ð Ñsin cosSi ottiene t dt t da cui, sostituendo a t nuovamente x ,' œ - Ð Ñ"

## sin' sin cos sinÐ Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ -x x dx x ."

##

Esercizio 30.4.3

Sia . Calcoliamo x x dxI sin cosœ Ð Ñ Ð Ñ‘ 'procedendo ancora per sostituzione ma ponendo questa volta t x , da cui dt x dx .³ Ð Ñ œ Ð Ñcos sinSi ottiene t dt t dt t da cui, sostituendo a t nuovamente x ,' 'Ð Ñ œ œ - Ð Ñ"

## cos' sin cos cosÐ Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ -x x dx x ."

##

Questo risultato è coerente con quello trovato nell’esempio 30.4.2 ?

Esempio 30.4.4

Sia 5, . Calcoliamo x x 5 dx procedendo per sostituzione.I œ Ò _Ñ † ' ÈPoniamo t x 5 e scriviamo dt dx da cui dx 2t dt . Inoltre, x t 5 .³ œ œ œ È 1

2 x 5† #È

Si è così ricondotti a calcolare t 5 t 2t dt dt' Ð Ñ † † Ð Ñ#

ossia ' ' 'Ð Ñ œ œ -2t 10t dt 2 t dt 10 t dt t t% # % # & $# "!& $

da cui, sostituendo a t nuovamente x 5 ,È

' È È Èx x 5 dx x 5 x 5 .† œ Ð Ñ Ð Ñ -# "!& $

& $

Esempio 30.4.5

Sia , . Calcoliamo x dx dx procedendo per sostituzione.I tgœ Ð Ñ Ð Ñ œ1 1# # Ð Ñ

Ð Ñ' 'Š ‹sincos

xx

Poniamo t x e scriviamo dt x dx . Ci si riconduce così al calcolo in 0, 1 di³ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñcos sin' œ Ð Ñ -t dt t ." ln

da cui, sostituendo nuovamente x t, x dx x c.cos tg ln cosÐ Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ 'Allo stesso modo si trova, per , , x dx x c .I tg ln cosœ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ 1

# #$ 1 '


Teorema 30.4.6

Sia una funzione derivabile in . Allora x dxg I I ln gÄ Ð Ñ −‘ a bk k ' x (x)

g’gÐ Ñ

e (se 1) dx .8 Á −1 (1 ) (x)

x ( (x)) 8

Ð Ña bgg’g8" 8

'Dimostrazione - Basta procedere per sostituzione, ponendo t (x) .³ g

30.5 - Esempi ed esercizi sulla ricerca di primitive.

Esempio 30.5.1

Sia 1, . Si haI œ Ð _Ñ

' ' 'ln lnln

Ð Ð ÑÑÐ Ñ

xx x x x

1 1 1dx x dx x x x dxœ Ð Ð ÑÑ † œ Ð Ð ÑÑ † Ð Ñ † † Ð Ñ œÆ

Åln ln ln ln ln ln

œ Ð Ð ÑÑ † Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ † Ð Ñ Ð Ñ - œ Ð Ñ † Ð Ð Ð ÑÑ Ñ -ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnx x dx x x x x x 1 .' 1x

Esempio 30.5.2

Sia 0, . Si ha x dx 1 x dxI cos ln cos lnœ Ð _Ñ Ð Ð ÑÑ œ † Ð Ð ÑÑ œÅ

Æ' '

œ † Ð Ð ÑÑ † Ð Ð Ð ÑÑÑ † œ † Ð Ð ÑÑ Ð Ð ÑÑÑx x x x dx x x x dx.cos ln sin ln cos ln sin ln' '1x

Analogamente, x dx 1 x dx' 'sin ln sin lnÐ Ð ÑÑ œ † Ð Ð ÑÑ œÅ

Æ

œ † Ð Ð ÑÑ † Ð Ð ÑÑÑ † œ † Ð Ð ÑÑ Ð Ð ÑÑÑx x x x dx x x x dx.sin ln cos ln sin ln cos ln' '1x

Sia una primitiva di x : si è dunque trovato chec cos lnÐ Ð ÑÑc cœ † Ð Ð ÑÑ † Ð Ð ÑÑ Ð - Ñx x x xcos ln sin ln "

con ; ne segue 2 x x x x- − œ † Ð Ð ÑÑ † Ð Ð ÑÑ -" "‘ c cos ln sin ln

da cui infine, posto , x x x .- ³ - œ Ð Ð Ð ÑÑ Ð Ð ÑÑÑ -" "# #" c sin ln cos ln

Esempio 30.5.3

Sia . Si ha x dx x x dx x x x dxI sin sin sin sin cos cosœ Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ Ð Ñ œÅ

Æ‘ ' ' '# #

œ Ð Ñ † Ð Ñ Ð Ð ÑÑ œ Ð Ñ † Ð Ñ Ð Ñ œsin cos sin sin cos sinx x 1 x dx x x 1 dx x dx' ' '# #

œ Ð Ñ † Ð Ñ Ð Ñsin cos sinx x x x dx .' #

Sia una primitiva di x : si è dunque trovato chec sin# Ð Ñ

c cœ Ð Ñ † Ð Ñ Ð - Ñsin cosx x x "

con ; ne segue 2 x x x- − œ Ð Ñ † Ð Ñ -" "‘ c sin cos

da cui infine, posto , x x x .- ³ - œ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ -" "# #" c sin cos


Esempio 30.5.4

Sia . Si ha x dx 1 x dx 1 dx x dxI cos sin sinœ Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ œ Ð Ñ œ‘ ' ' ' '# # #

œ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ - œ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ -x x x x x x x ." "# #sin cos sin cos

Esempio 30.5.5

Sia . Calcoliamo 5x 3 dxI œ Ð Ñ‘ ' #(

procedendo per sostituzione.Poniamo t 5x 3 e scriviamo dt 5 dx³ œda cui dx dt. Ci si riconduce così al calcolo diœ "

&

" " "& & #)

#( #)' t dt tœ † -

da cui, sostituendo a t nuovamente 5x 3 ,

' Ð Ñ œ Ð Ñ -5x 3 dx 5x 3 .#( #)""%!

Esempio 30.5.6

Sia . Calcoliamo x dxI cosœ Ð Ñ‘ ' $

procedendo per sostituzione.

Scriviamo innanzitutto' ' 'cos cos cos cos sin$ # #Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ð ÑÑx dx x x dx x 1 x dx .

Poniamo t x e scriviamo dt x dx .³ Ð Ñ œ Ð Ñsin cos

Ci si riconduce così al calcolo di 1 t dt t t' Ð Ñ œ -# $"$

da cui, sostituendo a t nuovamente x ,sinÐ Ñ

' cos sin sin$ $"$Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ -x dx x x .

Esercizio 30.5.7

Sia . Si calcoli x dxI cosœ Ð Ñ‘ ' $

procedendo per parti.

Esempio 30.5.8

Sia . Calcoliamo 1 3 x x dxI sin cosœ Ð Ñ † Ð Ñ‘ ' È$procedendo per sostituzione.

Poniamo t 1 3 x e scriviamo dt 3 x dx .³ Ð Ñ œ Ð Ñsin cos

Poiché 1 3 x x dx 1 3 x 3 x dx' 'È È$ $ Ð Ñ † Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñsin cos sin cos13

ci si riconduce al calcolo di t dt t t" " $ "$ $ % %' " % %

$ $ $œ Ð Ñ - œ -

da cui, sostituendo a t nuovamente 1 3 x , Ð Ñsin

' È È 1 3 x x dx 1 3 x .$ $ % Ð Ñ † Ð Ñ œ Ð Ð ÑÑ -sin cos sin14


Esempio 30.5.9

Sia , . Calcoliamo dx procedendo per sostituzione.I œ Ð Ñ1 1# #

Ð Ñ

Ð Ñ' sin

cosx

x ÈPoniamo t x e scriviamo dt x dx .³ Ð Ñ œ Ð Ñcos sin

Ci si riconduce così al calcolo di

œ œ - œ -' ' È1tÈ dt t dt 2 t 2 t" "

# #

da cui, sostituendo a t nuovamente x ,cosÐ Ñ

' ÈsincosÐ Ñ

Ð Ñ

x x È dx 2 x .œ Ð Ñ -cos

Esercizi

30.5.10 Calcolare dx .' x 5x 1x

# È30.5.11 Calcolare x dx .' ± ±

30.5.12 Calcolare x x dx .'È ln Ð Ñ

30.5.13 Calcolare dx .' x x 2x 1 % #

30.5.14 Calcolare dx .' x 1 x È #

30.6 - Una primitiva per le funzioni razionali.

Siano (x), (x) due polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x ; in questa sezione descriviamo una balgoritmo che consente (purché si riesca ad effettuare la fattorizzazione di cui al terzo passo!) di ottenere unaprimitiva della funzione (“razionale”) . Notiamo che in generale le primitive di una stessa funzione razionalea

b(x)

(x) non differiscono fra loro per una costante (cfr. esempio 30.1.6).

Primo passo

Stiamo considerando una funzione razionale , con (x) e (x) polinomi a coefficienti realiab

(x) (x) a b

nell’indeterminata x . Se il grado di (x) è maggiore o uguale del grado di (x) , si effettua la divisione euclideaa bin modo da ottenere due polinomi (x) e (x) tali cheq r

a q b r(x) (x) (x) (x)œ col grado di (x) minore del grado di (x) ; cosicchér b

a q b r rb b b

(x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) œ œ q(x)

col grado di (x) minore del grado di (x) .r b

Per il teorema 30.2.1, una primitiva di si ottiene sommando una primitiva di (x) e una primitiva diab

(x) (x) q

rb(x)

(x) . Sappiamo (essenzialmente grazie ancora al teorema 30.2.1) come ottenere tutte le primitive della funzionepolinomiale (x) . Nei passi successivi vedremo come ottenere primitiva per la funzione razionale ,q una r

b(x)

(x) nella quale il grado di (x) è minore del grado di (x) .r b

Se il grado di (x) è già in partenza strettamente minore del grado di (x) , si pone (x) (x) e sia b r a³procede secondo i passi successivi.


Esempio 30.6.1

Sia data la funzione razionale 4x 6x 13x 14x 16x 9x 4

2x 2x 4x 4x 2x 2' & % $ #

& % $ #

.

Effettuando la divisione euclidea tra numeratore e denominatore, la possiamo scrivere come

Ð Ñ 2x 1 .3x 2x 8x 3x 2 2x 2x 4x 4x 2x 2

% $ #

& % $ #

Secondo passo

Stiamo ora considerando una funzione razionale , nella quale il grado di (x) è minore del grado di (x) . Serb(x)

(x) r bil coefficiente del termine di grado massimo di (x) è , possiamo scrivere (x) (x) con (x) polinomiob b b b! !œ " "

nel quale il coefficiente del termine di grado massimo è 1 ; sarà allora e infine, per ir r rb b b(x) (x) (x)

(x) (x) (x) 1œ œ! !" "

lteorema 30.2.1,

' 'r rb b(x) (x)

(x) (x) 1dx dx .œ ! "

Dunque nel seguito descriveremo come trovare una primitiva per la funzione razionale nella quale ilrb

(x) (x) "

polinomio (x) ha il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1.b"

Esempio 30.6.2

Data la funzione razionale3x 2x 8x 3x 2

2x 2x 4x 4x 2x 2 % $ #

& % $ #

,

si ha 2x 2x 4x 4x 2x 2 2(x x 2x 2x x 1) e dunque& % $ # & % $ # œ

' '3x 2x 8x 3x 2 1 3x 2x 8x 3x 2 2x 2x 4x 4x 2x 2 2 x x 2x 2x x 1

% $ # % $ #

& % $ # & % $ #

dx dx .œ

Terzo passo

Stiamo ora considerando una funzione razionale , nella quale il grado di (x) è minore del grado di (x) , erb

(x) (x) "

r b"

il coefficiente del termine di grado massimo in (x) è 1 . Fattorizziamo (x) scrivendolo come prodotto dib b" "

polinomi irriducibili: per il teorema 11.3.5, tali polinomi irriducibili sono tutti di primo o secondo grado e hannociascuno il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1. Sarà dunque( ) (x) (x ) (x ) (x x ) (x x ) .æ œ + †á † + † : ; † á † : ;b" " = " " > >

8 8 # 7 # 7" = " >

Notiamo esplicitamente che questa fattorizzazione esiste certamente (lo abbiamo provato col teorema 11.3.5) manon conosciamo un algoritmo per ottenerla.

Esempio 30.6.3

Sia (x) x x 2x 2x x 1 . Poiché (1) 0 (la scelta del valore 1 come possibile radice delb b" "³ œ& % $ #

polinomio può essere suggerita dall’intuito, oppure dalla teoria delle “equazioni reciproche”, oppure da unclamoroso colpo di fortuna), si ha che (x) è divisibile per x 1 . Effettuando la divisione, si ottiene cheb"

b"(x) (x 1)(x 2x 1)œ % #

ed è facile riconoscere che x 2x 1 (x 1) con x 1 irriducibile. Dunque si ottiene la fattorizzazione% # # # # œ b"(x) (x 1)(x 1) .œ # #


Quarto passo

Stiamo ancora considerando una funzione razionale , nella quale il grado di (x) è minore del grado dirb

(x) (x) "

rb b" "(x) , e il coefficiente del termine di grado massimo in (x) è 1 . Si scrive ora come somma di particolarir

b(x)

(x) "

funzioni razionali nel modo seguente: per ogni fattore di primo grado (x ) che compare (con esponente ) nella fattorizzazione ( ) che + 8 æabbiamo trovato per (x) nel terzo passo, si considerano addendi della formab" 8

A A A x (x ) (x )

" # 8# 8+ + +, , , á

con A , A , , A numeri reali ;" # 8á per ogni fattore di secondo grado (x x ) che compare (con esponente ) nella fattorizzazione : ; 8#

( ) che abbiamo trovato per (x) nel terzo passo, si considerano addendi della formaæ 8b"

B x C B x C B x C x x (x x ) (x x )

" " # # 8 8# # # # 8

: ; : ; : ;, , , á

con B , B , , B , C , C , , C numeri reali ." # 8 " # 8á á

I numeri A , B , C si determinano come segue: si scrive esplicitamente la somma di tutti gli addendi3 4 5

come sopra considerati (che deve uguagliare ) ; si riducono gli addendi allo stesso denominatore (x) ; sirb

(x) (x) "

b"

esegue la somma degli addendi effettuando gli opportuni calcoli al numeratore, semplificando, e ordinando ilnumeratore così ottenuto secondo le potenze decrescenti della x ; si impone che il numeratore abbiaordinatamente gli stessi coefficienti di (x) : ciò dà luogo a un sistema lineare, che si risolve con le tecniche visternel capitolo 20. Si può dimostrare che tale sistema lineare ha sempre esattamente una soluzione.

Per il teorema 30.2.1, potremo ottenere una primitiva di , e quindi poi una primitiva di , ser ab b

(x) (x) (x) (x) "

saremo in grado di determinare una primitiva per le funzioniA B x C

(x ) (x x ) 8 8 8

8 # 8+ : ; e

(con il trinomio x x irriducibile) ; è a questo problema che ci dedicheremo nel resto di questa sezione.# : ;

Esempio 30.6.4

Applichiamo il procedimento descritto nel “quarto passo” alla funzione razionale3x 2x 8x 3x 2

x x 2x 2x x 2 % $ #

& % $ #

sapendo che (come si è visto nell’esempio 30.6.3)x x 2x 2x x 2 (x 1)(x 1) .& % $ # # # œ

Dobbiamo cercare dei numeri reali A, B, C, D, E in modo che sia3x 2x 8x 3x 2 A Bx C Dx E

x x 2x 2x x 2 x 1 x 1 (x 1) % $ #

& % $ # # # #

œ .

Si ha A Bx C Dx E x 1 x 1 (x 1) (x 1)(x 1)

A(x 1) (Bx C)(x 1)(x 1) (Dx E)(x 1)

œ œ# # # # #

# # #

œ (A B) x ( B C) x (2A B C D) x ( B C D E) x (A C E) x x 2x 2x x 2

% $ #

& % $ #

cosicché deve essere

( )

A B 3B C 2

2A B C D 8B C D E 3

A C E 2

!


œ œ

œ œ œ


e siamo ricondotti a risolvere il sistema lineare ( ) di 5 equazioni nelle 5 incognite A, B, C, D, E . La sua matrice!


1 1 0 0 0 30 1 1 0 0 22 1 1 1 0 80 1 1 1 1 31 0 1 0 1 2

si riduce mediante le seguenti operazioni elementari sulle righe R , R , R , R , R :" # $ % &

R R 2R ;$ $ "³ R R R ;& & "³ R R R ;% % $³ R R ;# $Ç R R R R ;& & $ %³

ottenendo Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

1 1 0 0 0 30 1 1 1 0 20 1 1 0 0 20 2 0 0 1 10 4 0 0 0 4

da cui il sistema lineare, equivalente a ( ),!

A B 3B C D 2B C 22B E 14B 4


œ œ œ œ œ

e quindi, ricavando successivamente B (dall’ultima equzione), E (dalla quarta equazione), C (dalla terzaequazione), D (dalla seconda equazione) e A (dalla prima equazione),

B 1 , E 1 , C 1 , D 2 , A 2œ œ œ œ œ

da cui infine .3x 2x 8x 3x 2 2 x 1 2x 1 x x 2x 2x x 2 x 1 x 1 (x 1)

% $ #

& % $ # # # #

œ

Una primitiva per la funzione razionale ,+ (x ) 8

Si procede per sostituzione (cfr. sez. 30.4), ponendo t x cosicché dt dx ; siamo così condotti a³ + œdeterminare una primitiva per (ossia, per t ) ., 8

t 8 ,

Si trova così che: se 1, una primitiva per la funzione razionale è ( x ) ;8 œ , +,+ x ln k k

se 1, una primitiva per la funzione razionale è .8 Á , ,+ 8 + (x ) (1 )(x ) 8 8"

Esempio 30.6.5

Cerchiamo una primitiva per la funzione razionale . Poniamo t x 1 , cosicché siamo ricondotti a2 x 1 ³

calcolare dt ossia 2 t dt .' ' 2 t

"

Poiché una primitiva di t è ( t ) , una primitiva per la funzione data è 2 ( x 1 ) . Si noti che, poiché" ln lnk k k k† le primitive di t non differiscono tutte per una costante (cfr. esempio 30.1.6), non si può scrivere" ' k k2

x 1 œ † -2 ( x 1 ) .ln


Esempio 30.6.6

Cerchiamo una primitiva per la funzione razionale . Poniamo t x 3 , cosicché siamo ricondotti a7 (x 3) & ³

calcolare dt ossia 7 t dt .' ' 7 t&

&

Poiché una primitiva di t è t , una primitiva per la funzione data è .& %" % 7

4 (x 3) %

Le primitive della funzione quando il trinomio x x è irriducibile+ ,: ;

#x (x x ) # 8 : ;

Osserviamo subito che, poiché 0 per ogni (altrimenti il trinomio x x non sarebbeB :B ; Á B − : ;# #‘irriducibile!), la funzione ha per dominio e quindi (per il teorema 30.1.5) due sue primitive qualsiasi+ ,

: ;x

(x x ) # 8 ‘

differiscono per una funzione costante.

Consideriamo in primo luogo il caso in cui 0 . Osservando che+ Á

+ , + + + ,: ; : ; : ; + : ;

: : :x 2 1(x x ) 2 (x x ) 2 (x x ) 2 (x x )

2x 2x# 8 # 8 # 8 # 8

,+œ † œ † † : †

ˆ ‰ 2 ˆ ‰si può scrivere dx dx dx .' ' 'ˆ ‰+ , + + ,

: ; : ; + : ;:x 2 1

(x x ) 2 (x x ) 2 (x x ) 2x

# 8 # 8 # 8œ † :

Al primo addendo del secondo membro si può applicare il teorema 30.4.6 (con (x) x x ), dunqueg ³ : ;#

siamo ricondotti a determinare le primitive di1

(x x ) # 8: ; .

Se invece 0, basta osservare che+ œ

' ',: ; : ; (x x ) (x x )

1# 8 # 8dx dxœ ,

per essere comunque ricondotti a determinare le primitive di1

(x x ) # 8: ; .

A tale scopo, si procede per sostituzione (cfr. sez. 30.4) ponendo t x , da cui dt dx ,³ œ: 2

t x x e quindi# # :œ : 4#

' '1 1 (x x ) t

# 8# :#

8: ; ;dx dt .œ Š ‹Š ‹

4

Poiché il trinomio x x è irriducibile, certamente si ha 4 0 e dunque 0 . Posto# # : : ; : ; ; 4#

7 ³ ; # : 4#

, dobbiamo quindi calcolare

' 1 t a b# # 87

dt .

A tale scopo, cominciamo col considerare il caso in cui 1 ; calcoliamo cioè8 œ

' 1 t # #7 dt .

Si procede ancora per sostituzione, ponendo y da cui t y e quindi dt dy. Siamo così³ œ 7 œ 7t 7

ricondotti a calcolare' ' '1 1 1 1 1

y (y 1) y 1 7 7 7 7 7# # # # # #7 œ 7 œ œ -dy dy dy (y)arctg

e dunqueF.1 dt .' ˆ ‰1 1 t

t # #7 7 7œ -arctg


In conclusione, per 1, ricordando che y , si è trovato che8 œ œ œt

x

7

;

:#

:#

%É

F.2 dx .' 1 1 x x

x#

: :# #

:

: ;; ;

œ -É É

4 4

2 arctg

Vediamo infine come calcolare' 1

(t ) # # 87 dt

quando è un numero naturale maggiore di 1 . Con un artificio, basato sulla “ricerca per parti” (cfr. sez. 30.3) ci8ricondurremo al calcolo di

' 1 (t ) # # 8"7 dt

e quindi, dopo 1 passi, al calcolo di8 ' 1 t # #7 dt

che abbiamo già risolto con la F.1 .

In effetti, si ha

' ' '1 1 t (t ) (t ) (t ) (t )

2(1 )t# # 8" # # 8" # # 8" # # 87 7 7 7

8dt 1 dt t dtœ † œ † œÅ

Æ

œ 8 œ 8 œt t t (t ) (t ) (t ) (t )

(t ) # # 8" # # 8 # # 8" # # 8

# # # #

7 7 7 77 72( 1) dt 2( 1) dt' '

œ 8 œt t (t ) (t ) (t ) # # 8" # # 8 # # 8

# # #

7 7 77 72( 1) dt' Š ‹

œ 8 8 7t 1 1 (t ) (t ) (t ) # # 8" # # 8" # # 87 7 7

#2( 1) dt 2( 1) dt' 'da cui

2( 1) dt (2 3) dt8 7 œ 8 #7 7 7

' '1 t 1 (t ) (t ) (t ) # # 8 # # 8" # # 8"

e quindi

' '1 t 1 (t ) 2( 1) (t ) 2( 1) (t )

(2 3)# # 8 # # # 8" # # # 8"7 8 7 7 8 7 7

8dt dtœ

come si voleva ottenere.

In particolare, per 2, si ha8 ³

' '1 t 1 1 (t ) 2 (t ) 2 t # # # # # # # # #7 7 7 7 7dt dtœ

e quindi, tenendo conto della F.1 ,

F.3 dt ( ) .' 1 t 1 t (t ) 2 (t ) 2 # # # # # # $7 7 7 7 7œ -arctg


Esempio 30.6.7

Calcoliamo dx .' x 1 x 1#

Cercando di ottenere come addendo al numeratore la derivata del denominatore, scriviamo

x 1 1 2x 2 1 2x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1

# # # #œ † œ †

cosicché

' ' ' x 1 1 2x 1 1x 1 2 x 1 x 1 2

## # #dx (x 1) (x) .œ œ -ln arctg

Esempio 30.6.8

Calcoliamo dx .' 2x 1 (x 1)

# #

Poiché al numeratore compare già come addendo la derivata della base del denominatore, si ha

' ' ' 2x 1 2x 1 1 x 1 (x 1) (x 1) (x 1) x 1 2(x 1) 2

# # # # # # # #dx (x)œ œ - œJÞ$ arctg

œ -x 2 1 2(x 1) 2

# arctg(x) .

Esempio 30.6.9

Calcoliamo dx .' 4x 18 (x 6x 13)

# #

Cercando di ottenere come addendo al numeratore la derivata della base del denominatore, scriviamo 4x 18 2x 6 3 2x 6 1

(x 6x 13) (x 6x 13) (x 6x 13) (x 6x 13)

# # # # # # # #œ † œ † †2 2 6

cosicché ' ' ' 4x 18 2x 6 1 (x 6x 13) (x 6x 13) (x 6x 13)

# # # # # #dx 2 dx 6 dxœ œ

œ Ð$!Þ%Þ&Ñ

2 1

x 6x 13 (x 6x 13) # # #6 dx .'Poniamo ora t x 3 , cosicché x 6x 13 t 4 e dx dt . Poiché³ œ œ# #

' 1 t 1 t (t 4) 8(t 4) 16 2 # # # dt ( )œ -JÞ$ arctg

si ha ' ˆ ‰ 1 x 3 1 x 3 (x 6x 13) 8(x 6x 13) 16 2# # #

dx œ -arctg

e dunque infine' ˆ ‰ 4x 18 1 3x 1 3 x 3

(x 6x 13) 4 x 6x 13 8 2

# # #dx .œ † -arctg


Esempio 30.6.10

Cerchiamo una primitiva per la funzione razionale

4x 6x 13x 14x 16x 9x 4 2x 2x 4x 4x 2x 2

' & % $ #

& % $ #

.

tenendo conto dei risultati ottenuti negli esempi precedenti.

Si ha:

' 4x 6x 13x 14x 16x 9x 4 2x 2x 4x 4x 2x 2

' & % $ #

& % $ #

dx œÐ$!Þ'Þ"Ñ

œ Ñ œÐ$!Þ'Þ"Ñ' '(2x 1 dx dx3x 2x 8x 3x 2

2x 2x 4x 4x 2x 2 % $ #

& % $ #

œ x x dx#

1 3x 2x 8x 3x 2 2 x x 2x 2x x 1

' % $ #

& % $ #

e

' ' ' '3x 2x 8x 3x 2 2 x 1 2x 1 x x 2x 2x x 1 x 1 x 1 (x 1)

% $ #

& % $ # # # #

dx dx dx dx .œ Ð$!Þ'Þ%Ñ

Per quanto visto nell’esempio 30.6.5, una primitiva per è 2 ( x 1 ) . Tenendo conto anche degli2 x 1 † ln k k

esempi 30.6.7 e 30.6.8, si può concludere che una primitiva per è3x 2x 8x 3x 2 x x 2x 2x x 1

% $ #

& % $ #

2 ( x 1 ) (x 1) (x) (x)† ln ln arctg arctgk k 1 x 2 1 2 2(x 1) 2

# #

ossia 2 ( x 1 ) (x 1) (x)† ln ln arctgk k 1 x 2 1 2 2(x 1) 2

# #

e dunque una primitiva per 4x 6x 13x 14x 16x 9x 4 2x 2x 4x 4x 2x 2

' & % $ #

& % $ #

è x x ( x 1 ) (x 1) (x) .# # ln ln arctgk k 1 x 2 1

4 4(x 1) 4 #


31.- ELEMENTI DI CALCOLO INTEGRALE


Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia : una funzione definita su ,Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘superiormente limitata e non negativa. Si dice , l’insiemetrapezoide individuato da suf Ò+ ,Ó

Ö − ÐB CÑ + Ÿ B Ÿ , Ÿ C Ÿ ÐBÑ×P fc di coordinate , / , 0ossia la porzione finita di piano delimitata dalle rette di equazioni x , y 0, x e dal grafico di .œ + œ œ , f

Per molte questioni ha interesse determinare un numero che possa essere considerato l’ delareatrapezoide individuato da su , . Ciò è facilmente realizzabile in alcuni casi particolari, per i quali ilf Ò+ ,Ótrapezoide è una figura nota dalla geometria elementare : se è la funzione costante uguale ad , il trapezoidef -individuato da è il rettangolo di base e altezza ; la sua area è dunque ; se , ilf f id, + Ð, +Ñ ³- - Ò+ß ,Ó

trapezoide individuato da è il trapezio di base minore , base maggiore e altezza ; la sua area è dunquef + , , +"#

# #† Ð, + Ñ.

31.2 - La definizione di integrale per una funzione non negativa superiormente limitata.

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia : una funzione definita su ,Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘superiormente limitata e non negativa.

Per ogni scelta di un numero finito di punti , , , , tali che ,* B B á B + B B á B ," # 8 " # 8

posto e , siano per 0, ,B ³ + B ³ , 3 œ á 8! 8"

l’estremo inferiore di in , ;/ ÒB B Ó Ð Ñ3 3 3"f 60

l’estremo superiore di in , ;I ÒB B Ó Ð Ñ3 3 3"f 61

e si ponga

;5* ³ / ÐB B Ñ!83œ!

3 3" 3

.5* ³ I ÐB B Ñ!83œ!

3 3" 3

Si noti che ciascun addendo che compare nella definizione di rappresenta l’area del/ ÐB B Ñ3 3" 3 5*rettangolo di base e altezza ; un tale rettangolo si può considerare “inscritto” nel trapezoideÐB B Ñ /3" 3 3

individuato da su , e la sua area può essere vista come un’approssimazione per difetto dell’area delf ÒB B Ó3 3"

trapezoide. Di conseguenza si può considerare un’approssimazione per difetto del numero che vogliamo5*definire.

Analogamente, ciascun addendo che compare nella definizione di rappresenta l’areaI ÐB B Ñ3 3" 3 5*

del rettangolo di base e altezza ; un tale rettangolo si può considerare “circoscritto” al trapezoideÐB B Ñ I3" 3 3

individuato da su , e la sua area può essere vista come un’approssimazione per eccesso dell’area delf ÒB B Ó3 3"

trapezoide. Di conseguenza si può considerare un’approssimazione per eccesso del numero che vogliamo5*

definire.

60 tale estremo inferiore esiste, per la completezza di , perché per ipotesi è inferiormente limitata da‘ f0.

61 tale estremo superiore esiste, per la completezza di , perché per ipotesi è superiormente limitata.‘ f


Sia una limitazione superiore per in , : allora per ogni e per ogni ; dunque- - *f Ò+ ,Ó / Ÿ 33

5 - - -* ³ / ÐB B Ñ Ÿ ÐB B Ñ œ † ÐB B Ñ œ Ð, +Ñ! ! !8 8 8

3œ! 3œ! 3œ!3 3" 3 3" 3 3" 3

ossia l’insieme dei è superiormente limitato ; per la completezza di , esiste5 ‘*

sup .5*

Analogamente, poiché 0 per ogni (essendo per ipotesi non negativa e dunque 0 per ogni5 ** / f 3

3), l’insieme dei è inferiormente limitato ; per la completezza di , esiste5 ‘*

inf .5*

La funzione si dice ( ) , se risultaf integrabile secondo Riemann su Ò+ ,Ósup inf .5 5*

*œIn tale caso, il numero ( ) si dice , (oppure ; i numerisup inf f f5 5*

*œ Ò+ ,Ó + ,integrale di su integrale di tra ereali e si dicono ) e si indica col simbolo+ , estremi di integrazione

x dx o anche col simbolo .' '+ +

, ,

f fÐ Ñ

L’integrale di su , viene assunto come area del trapezoide individuato da su , .f fÒ+ ,Ó Ò+ ,Ó

Esempio 31.2.1

Sia , e sia la funzione costante uguale a . Si verifica facilmente che è integrabile su ogni intervallo ,- ‘ -− Ò+f f,Ó § ‘, e che si ha

'+

,

- -dx .œ Ð, +Ñ

Esempio 31.2.2

Sia la funzione di Dirichlet su 0, 1 così definita:f Ò Ó

fÐ Ñ ³−Â

x 1 se x2 se x .œ

La funzione non è integrabile su 0, 1 perché, come si vede facilmente, 1 e 2 per ogni scelta di unf Ò Ó œ œ5 5 ***

numero finito di punti tra 0 e 1 .

31.3 - Prime proprietà dell’integrale.

Teorema 31.3.1

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e siano , funzioni definite su , ,Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf g ‘ ‘superiormente limitate e non negative. Se e sono integrabili su , , anche lo è, e si haf g f gÒ+ ,Ó

' ' '+ + +

, , ,

Ð Ñ œ f g f g .



Teorema 31.3.2

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia una funzione definita su , ,Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘superiormente limitata e non negativa. Se è integrabile su , , alloraf Ò+ ,Ó

Ð Ñ − Ò+ ,Ó Ò Ó1 comunque presi , , (con ), è integrabile su , ;! " ! " ! "f

Ð Ñ - − Ð+ ,Ñ2 per ogni , si ha

' ' '+ + -

, - ,

f f fœ .


31.4 - Estensione della definizione di integrale alle funzioni che assumono anche valori negativi.

Teorema 31.4.1

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali. AlloraÒ+ ,Ó

Ð Ñ Ä Ò+ ,Ó1 ogni funzione : definita su , e limitata si può esprimere come differenza di due funzionif ‘ ‘definite su , , superiormente limitate e non negative ;Ò+ ,Ó

Ð Ñ Ä Ò+ ,Ó2 siano , , , funzioni superiormente limitate, non negative e integrabili su , ; seg g h h" # " # ‘ ‘

g g h h g g h h" # " # " # " # œ œ , si ha .' ' ' '+ + + +

, , , ,

Dimostrazione - Proviamo la 1 .Ð ÑSia : definita su , e limitata e sia una limitazione inferiore per : se 0, è essa stessa nonf f f‘ ‘ - -Ä Ò+ ,Ó negativa e si può scrivere 0 ; se invece 0 si ha con e superiormentef f f f fœ œ Ð Ñ Ð Ñ - - - - -limitate e non negative.

Proviamo ora la 2 .Ð ÑSiano , , , funzioni superiormente limitate, non negative e integrabili su , tali cheg g h h" # " # ‘ ‘Ä Ò+ ,Óg g h h g h h g" # " # " # " # œ œ . Allorae dunque per il teorema 31.3.1

' ' ' '+ + + +

, , , ,

g h h g" # " # œ

come si voleva.

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia : una funzione definita su , eÒ+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘limitata. Si dice che è ( ) , se esistono due funzioni , definite su , ,f g gintegrabile secondo Riemann su Ò+ ,Ó Ò+ ,Ó" #

superiormente limitate e non negative, integrabili (secondo Riemann) su , , tali che ; in tale casoÒ+ ,Ó œ f g g" #

il numero

' '+ +

, ,

g g" #

si dice , (oppure ) e si indica col simbolointegrale di su integrale di tra ef fÒ+ ,Ó + ,

x dx o anche col simbolo .' '+ +

, ,

f fÐ Ñ

Per il teorema 31.4.1, questa definizione è ben posta. Inoltre, se è essa stessa non negativa si può porreff fœ 0 ; perciò (cfr. esempio 31.2.1) questa definizione estende quella data nella sez. 31.2.


Si dimostrano gli analoghi dei teoremi 31.3.1 e 31.3.2. Precisamente :

Teorema 31.4.2

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e siano , funzioni definite su , e limitate.Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf g ‘ ‘Se e sono integrabili su , , anche lo è, e si haf g f gÒ+ ,Ó

' ' '+ + +

, , ,

Ð Ñ œ f g f g .

Teorema 31.4.3

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia una funzione definita su , e limitata.Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘Se è integrabile su , , alloraf Ò+ ,Ó

Ð Ñ − Ò+ ,Ó Ò Ó1 comunque presi , , (con ), è integrabile su , ;! " ! " ! "f

Ð Ñ - − Ð+ ,Ñ2 per ogni , si ha

' ' '+ + -

, - ,

f f fœ .

Osservazione 31.4.4

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia una funzione definita su , e limitata.Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘Se è integrabile su , , allora anche è integrabile su , e si haf fÒ+ ,Ó Ò+ ,Ó

' '+ +

, ,

Ð Ñ œ f f.

Teorema 31.4.5

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia una funzione definita su , e limitata.Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Óf ‘ ‘Sia .- ‘−Se è integrabile su , , allora anche è integrabile su , e si haf fÒ+ ,Ó Ò+ ,Ó-

' '+ +

, ,

Ð Ñ œ- -f f.

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Si noti comunque che in baseall’osservazione 31.4.4 è sufficiente provare l’asserto per ; è poi chiaro che ci si riconduce subito al caso- ‘−

in cui è non negativa su , .f Ò+ ,Ó

Teorema 31.4.6

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali. L’insieme delle funzioni definite su , ,Ò+ ,Ó Ä Ò+ ,Ó‘ ‘limitate e integrabili su , è un sottospazio vettoriale di , .Ò+ ,Ó ÐÒ+ ,ÓÑY

Dimostrazione - Segue subito dai teoremi 31.4.2 e 31.4.5.


Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali. Indicheremo con , lo spazio vettorialeÒ+ ,Ó Ð+ ,Ñ¼delle funzioni definite su , , limitate e integrabili su , .‘ ‘Ä Ò+ ,Ó Ò+ ,Ó

Più in generale, sia un intervallo di numeri reali: l’insieme delle funzioni definite su cheI I‘ ‘Ärisultano limitate e integrabili su ogni intervallo limitato e chiuso contenuto in è un sottospazio vettoriale diIY ¼Ð Ñ Ð ÑI I che indicheremo con .

Teorema 31.4.7

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali. Ogni funzione continua in , è limitata e integrabileÒ+ ,Ó Ò+ ,Ósu , .Ò+ ,Ó

Dimostrazione - Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Si noti che l’ipotesi di continuità in ,Ò+,Ó Ò+ ,Ó comporta (per il teorema di Weierstrass, 22.2.2) la limitatezza in , .

Corollario 31.4.8

Sia un intervallo di numeri reali. Si ha .I I IV ¼!Ð Ñ © Ð Ñ

31.5 - Estensione della definizione di integrale fra e al caso in cui .+ , , Ÿ +

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia una funzione integrabile su ,Ò Ó Ä Ò! " ‘ ‘ !f"Ó e limitata.

Se , , si pone per definizione 0.- − Ò Ó œ! " '-

-

f

Tale definizione è suggerita dal desiderio di estendere il teorema 31.4.3 al caso in cui oppure- œ +- œ , + , − Ò Ó + ,Ñ: dovrà infatti aversi per , , (con ! "

' ' ' ' '+ + + +

, + , , ,

,

f f f f fœ œ .

Siano infine , , con . Si pone+ , − Ò Ó , +! "

' '+

, +

,

f f³ .

Anche questa definizione è suggerita dal desiderio di mantenere la validità dell’enunciato del teorema31.4.3 : dovrà infatti aversi

0 .œ œ ' ' '+ +

+ , +

,

f f f

In effetti, si prova facilmente che con questa nuova definizione è

' ' '+ + -

, - ,

f f fœ

per ogni scelta di , , , (e quindi anche se , ).+ , - − Ò Ó - Â Ò+ ,Ó! "


31.6 - Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Teorema 31.6.1

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali. AlloraÒ+ ,Ó 1 se , e 0 per ogni , , si haÐ Ñ − Ð+ ,Ñ ÐBÑ B − Ò+ ,Óf f¼

'+

,

fÐ Ñ x dx 0 ;

2 se , , e per ogni , , si haÐ Ñ − Ð+ ,Ñ ÐBÑ Ÿ ÐBÑ B − Ò+ ,Óf g f g¼

' '+ +

, ,

f gÐ Ñ Ÿ Ð Ñx dx x dx ;

3 se , e è superiormente limitata da e inferiormente limitata da in , , si haÐ Ñ − Ð+ ,Ñ Ò+ ,Óf f¼ A -

- AŸ Ÿ x dx '+

,

fÐ Ñ

,+ ;

Dimostrazione - La 1 segue immediatamente dalla definizione di integrale data in 31.2 per le funzioniÐ Ñnon negative ; la 2 segue dalla 1 applicata alla funzione tenendo conto dei teoremi 31.4.2 e 31.4.5.Ð Ñ Ð Ñ g fProviamo infine la 3 . Essendo per ipotesiÐ Ñ

- AŸ Ÿf ,applicando la 2 prima alle funzioni e e poi alle funzioni e si ottiene cheÐ Ñ - Af f

' ' '+ + +

, , ,

- Adx x dx dxŸ Ð Ñ Ÿf

ossia, ricordando l’esempio 31.2.1,

- AÐ, +Ñ Ÿ Ð Ñ Ÿ Ð, +Ñ'+

,

f x dx

da cui l’asserto dividendo per ., +

Teorema 31.6.2 (“della media integrale”)

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia , . Allora esiste , tale cheÒ+ ,Ó − ÐÒ+ ,ÓÑ − Ò+ ,Óf V 0!

x dx '+

,Ð Ñ

,+

fœ Ð Ñf 0 .

Dimostrazione - Per il teorema di Weierstrass (22.4.2) ha massimo e minimo in , ; per la 3 delf Ò+ ,Ó Ð Ñteorema 31.6.1,

x dx '+

,Ð Ñ

,+

f

è compreso fra tali massimo e minimo; ancora per il teorema di Weierstrass (22.4.2) si ha l’asserto.


Sia un intervallo di numeri reali (non escludendo che possa essere ), sia e sia . SiI I f I Iœ − Ð Ñ - −‘ ¼dice la funzionefunzione integrale individuata da e suf I-

F fÐ-ÑÐ Ñ ³ Ð Ñx t dt .'-

B

Teorema 31.6.3 (“Teorema fondamentale del calcolo integrale”)

Sia un intervallo di numeri reali, e sia .I f I− Ð ÑV!

Ð Ñ - − -1 Per ogni , la funzione integrale individuata da e su è una primitiva di in .I f I f I

Ð Ñ ³ Ò+ ,Ó Ò+ ,Ó2 Se è un intervallo limitato e chiuso, , , per ogni primitiva di in , si haI I F f

'+

,Ð Ñ œ Ð,Ñ Ð+Ñf F Fx dx .

Dimostrazione - Per il corollario 31.4.8, esiste la funzione integrale individuata da e su ; sia essaf I-FÐ-Ñ .

Per provare la 1 dobbiamo mostrare cheÐ ÑÐ Ñ + ,1.1 è continua negli eventuali estremi , di F IÐ-Ñ

e cheÐ Ñ B − B ÐB Ñ œ ÐB Ñ1.2 per ogni , è derivabile in e si ha .! ! ! !I F F fÐ-Ñ Ð-Ñ

’

Supponendo che abbia minimo , dimostriamo che è continua in , ossia cheI F+ +Ð-Ñ

limx Ä +

Ð Ñ œ Ð+Ñ

x .F FÐ-Ñ Ð-Ñ

Poiché stiamo calcolando un limite per x che tende ad da destra, possiamo fissare l’attenzione su un intorno+destro di . Per ogni x si haJ J+ −

± Ð Ñ Ð+Ñ ± œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ÿ Ð +ÑF F f f fÐ-Ñ Ð-Ñx t dt t dt t dt x' ' '- - +

B + B

-

dove è il massimo di in se è sempre non negativa in , è l’opposto del minimo di in se è sempre non- f J f J f J fpositiva in , è la differenza tra massimo e minimo di in se assume sia valori positivi che valori negativi in J f J f J. Per ogni , se si ha allora che& ‘ $− ³ &

-

Ð − Ð ÑÑ • Ð ± + ± Ñ Ê ± Ð Ñ Ð+Ñ ± Ÿ Ð +Ñ œx x x xW $ - -$ &F F FÐ-Ñ Ð-Ñ Ð-Ñ

e quindi è continua in . Analogamente si prova che è continua nell’eventuale massimo di .F F IÐ-Ñ Ð-Ñ+

Proviamo ora la 1.2 . Considerando il rapporto incrementale di si haÐ Ñ FÐ-Ñ

F F f f f f f fÐ-Ñ Ð-ÑÐB 2Ñ ÐB Ñ

2 2 2 2

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ! ! - - ! !

B 2 B ! ! ! !! !

- B - B

B B 2 B B 2

œ œ œ . t dt t dt t dt t dt t dt t dt ' ' ' ' ' '

Dunque per il teorema 31.6.2 applicato all’intervallo , si ha cheÒB B 2Ó! !

F FÐ-Ñ Ð-ÑÐB 2Ñ ÐB Ñ

2! ! œ Ð Ñf 0

con , (e dunque . Ne segue, tenendo conto della continuità di , che0 0− ÒB B 2Ó œ B Ñ2 Ä !

! ! !lim f

F ’ f fÐ-Ñ ÐB Ñ œ œ Ð Ñ œ ÐB Ñ2 Ä ! 2 Ä !

! !ÐB 2Ñ ÐB Ñ

2 lim limF FÐ-Ñ Ð-Ñ! ! 0

e quindi la 1 .Ð Ñ


Proviamo infine la 2 .Ð ÑÈ immediato che

F F f f f f f f f fÐ-Ñ Ð-ÑÐ,Ñ Ð+Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ' ' ' ' ' ' ' '- - - + + - + +

, + , - - , , ,

t dt t dt t dt t dt t dt t dt t dt x dx .

D’altro lato, per ogni primitiva di in , esiste tale che (teorema 30.1.5). Dunque perF f F FÒ+ ,Ó − œ - ‘ -Ð-Ñ

ogni primitiva di in , si haF f Ò+ ,Ó

F F F F F F fÐ,Ñ Ð+Ñ œ Ð,Ñ Ð Ð+Ñ Ñ œ Ð,Ñ Ð+Ñ œ Ð ÑÐ-Ñ Ð-Ñ Ð-Ñ Ð-Ñ- - '+

,

x dx

come si voleva.

Osservazione 31.6.4

Sia , un intervallo limitato e chiuso di numeri reali, e sia , . Per il teorema fondamentale delÒ+ ,Ó − ÐÒ+ ,ÓÑf V!

calcolo integrale (31.6.3), il problema di calcolare

'+

,

fÐ Ñx dx

può essere ricondotto a quello, già considerato nel capitolo 30, di determinare una primitiva di in , . Vale laf Ð+ ,Ñpena di osservare che tale procedimento teorico è però mai quello effettivamente implementato per il calcolononnumerico su elaboratore elettronico. Ai metodi numerici per il calcolo di integrali non possiamo tuttavia in questasede nemmeno accennare.

Esempio 31.6.5

Sia la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐ Ñ ³

x 0 se x 01 se x 0 .œ

Ricordando che x dx per limitata non negativa (e ) è stato definito in modo da poter essere'+

,Ð Ñ + ,f f

interpretato come l’area del trapezoide individuato da su , , non sorprenderà che si abbiaf Ò+ ,Ó

(per ) x dx0 se 0

se 0 e 0 se 0 .

+ , Ð Ñ œ+

, , , + , , + +

' fÚÛÜ

Poniamo x t dt (cosicché è la funzione integrale individuata da e 0) . AlloraF f F fÐ!Ñ Ð!ÑÐ Ñ ³ Ð Ñ!

B' FÐ!Ñ (x 0 se x 0

x se x 0 .Ñ œ œ

La funzione integrale non è derivabile in 0, quindi non è una primitiva di . Ciò mostra che la (1) delF fÐ!Ñ

teorema fondamentale del calcolo integrale non vale se la funzione non è continua.f


Esempio 31.6.6

Calcoliamo 2x x dx .' È È!

)$Ð Ñ

Poiché la funzione 2x x è continua in 0, 8 , possiamo applicare il teorema 31.6.3. Cerchiamo unaÈ È Ò Ó$

primitiva di tale funzione: si ha

' ' 'È È ÈÈÐ Ñ œ œ † -2x x dx 2 x dx x dx 2 x x$ " " $ %# $ # $

2 33 4

e quindi 2x x dx 2 x x .' È ÈÈ!

)$Ð Ñ œ Ò † Ó œ2 3 100

3 4 3$ %# $

!

)

Esempio 31.6.7

Calcoliamo dx .'"

%Ð Ñln xxÈ

Poiché la funzione integranda è continua in 1, 4 , possiamo applicare il teorema 31.6.3. Cerchiamo unaÒ Óprimitiva di tale funzione: si ha

' ' 'ÈlnÐ Ñ xx

1xÈ dx x x dx 2 x x 2x dxœ Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ

Æ

Å

ln ln" "# #

œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ - œ Ð Ð Ñ Ñ -2 x x 2 x dx 2 x x 2 2 x 2 x x 2È È È È'ln ln ln "#

e quindi

' È"

%Ð Ñln xxÈ dx 2 x x 2 4 4 1 .œ Ò Ð Ð Ñ ÑÓ œ Ð Ð Ñ Ñln ln

"

%

Esempio 31.6.8

Calcoliamo dx .'"

#

Ð Ð ÑÑ1

x 1 x ln

Poiché la funzione integranda è continua in 1, 2 , possiamo applicare il teorema 31.6.3. Cerchiamo unaÒ Óprimitiva di tale funzione in 1, 2 : per calcolareÒ Ó ' 1

x 1 x Ð Ð ÑÑln dx

si può procedere per sostituzione, ponendo t 1 x e, di conseguenza, dt dx .³ Ð Ñ œln 1x

Ci si riconduce così al calcolo di t dt' "

e poiché x varia tra 1 e 2 (e quindi t varia tra 1 e 1 2 , dunque t 0) si trova ad esempio la primitiva t . Ð Ñ Ð Ñln lnPerciò, sostituendo a t nuovamente 1 x , si trova che in 1, 2 è Ð Ñ Ò Óln

' 1 x 1 x Ð Ð ÑÑln dx x 1œ Ð Ð Ñ Ñln ln

e quindi dx x 1 2 1 .' c d"

#

Ð Ð ÑÑ1

x 1 x ln œ Ð Ñ œ Ð Ð Ñ Ñln ln ln ln"

#


Esempio 31.6.9

Calcoliamo x 4 x dx .' È!

##

Poiché la funzione integranda è continua in 0, 2 , possiamo applicare il teorema 31.6.3. Cerchiamo unaÒ Ó

primitiva di tale funzione: per calcolare x 4 x dx' È #

si può procedere per sostituzione, ponendo t 4 x e, di conseguenza,³ #

dt 2 x dx .œ

Ci si riconduce così al calcolo di t dt t t œ † - œ -" " # "# # $ $'È $ $

# #

da cui, sostituendo a t nuovamente 4 x , #

' Èx 4 x dx (4 x . œ Ñ -# "$

# $#

e quindi x 4 x dx (4 x .' È!

## " )

$ $# œ Ò Ñ Ó œ

$#

!

#

31.7 - Calcolo di aree mediante integrali.

Siano , numeri reali, e siano , funzioni integrabili su , . Se per ogni+ , Ä Ò+ ,Ó ÐBÑ ÐBÑf g f g‘ ‘

B − Ò+ ,Ó Ð Ð Ñ Ð ÑÑ, , il numero reale x x dx',+

f g

si assume quale area della porzione finita di piano delimitata dalle rette di equazionix e xœ + œ ,

e dai grafici delle funzioni e .f g

Tale convenzione copre una situazione più generale di quella considerata in 31.1 ma è con essa coerente: infatti se è non negativa in , il trapezoide individuato da in , è la porzione finita di piano delimitataf fÒ+ ,Ó Ò+ ,Ódalle rette di equazioni x e x e dai grafici della funzione e della funzione costante identicamente nulla.œ + œ , f

Esempio 31.7.1

Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione y x 2x 3 eœ #

dall’asse delle ascisse.

Soluzione - La parabola data incontra l’asse delle ascisse nei punti 1, 0 e 3, 0 . PostoA B´ Ð Ñ ´ Ð Ñf gÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ x 0 e x x 2x 3#

la porzione di piano descritta si può pensare delimitata dalle rette di equazioni x 1 e x 3 e dai graficiœ œdelle funzioni e . Poiché in 1, 3 , l’area cercata èf g f g Ò Ó

' '" "

$ $# #Ð Ð ÑÑ œ Ð Ñ0 x 2x 3 dx x 2x 3 dx.

Poichè una primitiva di x 2x 3 è x x 3x , l’area cercata è # $ #"$ ‘ œ † † Ð Ð Ñ Ð Ñ † Ð ÑÑ œ" " "

$ $ $$ # $ # $ #x x 3x 3 3 3 3 1 1 3 1 .

"

$ 323

Si noti che la porzione di piano considerata coincide col trapezoide individuato da sull’intervallo 1, 3 ; mag Ò Ó

l’area cercata non è x dx perché risulta negativa in 1, 3 .'"

$

g gÐ Ñ Ò Ó


Esempio 31.7.2

Siano , 0 , , 0 . Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dal grafico dellaA B´ Ð Ñ ´ Ð Ñ1 1funzione e dal segmento .sin AB

Soluzione - La porzione di piano descritta risulta ben individuata perchè il grafico della funzione sinincontra l’asse delle ascisse nei punti e . Posto x 0 e x x , tale porzione di piano si puòA B f g sinÐ Ñ ³ Ð Ñ ³ Ð Ñpensare delimitata dalle rette di equazioni x e x e dai grafici delle funzioni e . Poiché in ,œ œ Ò Ó1 1 1 1f gnon è né ovunque né ovunque, non possiamo ottenere l’area cercata calcolando un solo integrale fraf g g f 1 1 e . Osservando però che la funzione è dispari (cfr. 21.4), e quindi il suo grafico è simmetrico rispettosinall’origine, possiamo stabilire che l’area cercata è

2 x dx.† Ð Ñ'!

1

sin

Per calcolare tale numero, osserviamo che una primitiva di x è x ; pertanto l’area cercata èsin cosÐ Ñ Ð Ñ

2 x 2 0 2 1 1 4 .† Ð Ñ œ † Ð Ð Ñ Ð Ð ÑÑÑ œ † Ð Ñ œc dcos cos cos!

1

1

Esempio 31.7.3

Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dalle paraboley 2x x e y x 4x 3œ œ # #(

#

Soluzione - La porzione di piano descritta risulta ben individuata perchè le parabole date si incontranonei punti , e 2, 1 .A B´ Ð Ñ ´ Ð Ñ" &

# %

Poiché le parabole date sono il grafico delle funzioni polinomiali x 2x x e xf gÐ Ñ ³ Ð Ñ# (#

³ ÐBÑ ÐBÑ B − Ò Óx 4x 3 , e poiché si ha per ogni , 2 , l’area richiesta è# "#f g

' ' ‘" "# #

"#

## ## $ #"& "& #(

# % "'Ð Ð Ñ Ð ÑÑ œ Ð Ñ œ œf gx x dx 3x x 3 dx x x 3x .

Esempio 31.7.4

Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dai grafici delle funzioni x x e xf gÐ Ñ ³ Ð Ñ ³$B1

, dall’asse delle ascisse e dalla retta di equazione x 2.œ

Soluzione - Il grafico di incontra l’asse delle ascisse nell’origine e incontra il grafico di nel puntof gP f´ Ð Ñ1, 1 . La porzione finita di piano considerata è dunque l’unione di due trapezoidi : quello individuato da su 0, 1 e quello individuato da su 1, 2 . Pertanto l’area cercata èÒ Ó Ò Óg

' '!

" #$ %

"

" "% %x dx dx x x 2 . œ Ò Ó Ò Ð ÑÓ œ Ð Ñ1

x ! "

" #ln ln

Esempio 31.7.5

Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dal grafico della funzione , dall’asse delle ordinate/x

e dalla retta di equazione y 3.œ

Soluzione - Il grafico di incontra la retta y 3 nel punto 3 , 3 ; inoltre, in 0, 3 si ha/ œ ´ Ð Ð Ñ Ñ Ò Ð ÑÓx P ln ln3 . Pertanto l’area cercata è /B

' c d0

3lnÐ Ñ

Ð / Ñ œ / œ † Ð Ñ 3 dx 3x 3 3 2 .x x!

Ð$ln Ñ

ln


Esercizio 31.7.6

Siano , . Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione: −! ‘

y 2 x e dalla retta di equazione x .œ : œ !

Esercizio 31.7.7

Sia l’iperbole equilatera di equazione xy 1 e sia un punto del ramo di contenuto nel primo quadrante.> >œ PSia la tangente in a , sia il punto in cui incontra l’asse delle ascisse e sia la retta passante per t t rP Q Q>parallela all’asse delle ordinate.Determinare l’area della porzione finita di piano delimitata da , e .> t r

31.8 - Integrazione su intervalli illimitati.

In questa sezione mostriamo come si può estendere la nozione di “integrale” a funzioni continue definitesu un intervallo non limitato .Ð Ñ62

Sia : continua sull’intervallo chiuso illimitato [ , . Per ogni appartenente a talef ‘ ‘Ä + _Ñ ,

intervallo, esiste allora l’integrale x dx.'+

,

fÐ Ñ

Se esiste x dx I con Ilim, Ä _

Ð Ñ œ −'+

,

f ‘

si dice che è [ , (oppure che ) e si pone perf fintegrabile su l’integrale di tra e converge+ _Ñ + _definizione

'+

_

fÐ Ñ œx dx I .

In caso contrario, si dice che tra . Se x dx si dice talvoltaf fnon è integrabile e lim+ _ Ð Ñ œ „_, Ä _

'+

,

che .l’integrale di tra e divergef + _

Sia ora invece : continua sull’intervallo chiuso illimitato , ]. Per ogni appartenente af ‘ ‘Ä Ð _ , +tale intervallo, esiste allora l’integrale

'+

,

fÐ Ñx dx.

Se esiste x dx I con Ilim+ Ä _

Ð Ñ œ −'+

,

f ‘

si dice che è , ] (oppure che ) e si pone perf fintegrabile su l’integrale di tra e convergeÐ _ , _ ,definizione

'_

,

fÐ Ñ œx dx I .

In caso contrario, si dice che . Se x dx si dice talvoltaf fnon è integrabile tra e lim_ , Ð Ñ œ „_+ Ä _

'+

,

che .l’integrale di tra e divergef _ ,

62 Si parla in questo caso di “integrale generalizzato” oppure “integrale improprio”.


Sia infine : continua su tutto , e sia . Si dice che è se è integrabile traf f‘ ‘ ‘ ‘ ‘Ä + − integrabile su_ + + _ e e tra e , e si pone

' ' '_ _ +

_ + _

f f fÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñx dx x dx x dx.

È facile dimostrare che tale definizione è ben posta, ossia dipende dal particolare punto scelto.non +

Esempio 31.8.1

Calcoliamo, qualora esista, dx.'1

1x

_

Si ha

' '1 1

1 1x x

_ ,

dx dx [ x ] œ œ Ð Ñ œ Ð,Ñ œ _, Ä _ , Ä _ , Ä _

lim lim limln ln"

,

e dunque l’integrale proposto diverge.

Esempio 31.8.2

Calcoliamo, qualora esista, dx.'1

1x

_

#

Si ha dx dx 1 1.' ' ‘1 1

1 1 1 1x x x

_ ,,

" ,# #œ œ œ Ð Ñ œ, Ä _ , Ä _ , Ä _

lim lim lim

Esempio 31.8.3

Calcoliamo, qualora esista, dx.'_

_

1

1 x#

Si ha

' ' '_ _

_ ! _

!

1 1 11 x 1 x 1 x# # #dx dx dx œ œ

œ œ+ Ä _ , Ä _

dx dx lim lim' '+

! ,

!

1 11 x 1 x# #

œ Ð Ñ Ð Ñ œ+ Ä _ , Ä _

[ x ] [ x ]lim limarctg arctg+ !

! ,

œ Ð Ð+ÑÑ Ð Ð,ÑÑ œ Ð Ñ œ+ Ä _ , Ä _

.lim limarctg arctg 1 1# # 1


31.9 - Integrazione di funzioni non limitate.

In questa sezione mostriamo come si può estendere la nozione di “integrale” a funzioni continue nonlimitate in un intervallo .Ð Ñ63

Sia : continua sull’intervallo chiuso limitato [ , ]. Sappiamo dal teorema fondamentale delf ‘ ‘Ä + ,

calcolo integrale che la funzione integrale x t dtF fÐ+ÑÐ Ñ œ Ð Ñ'B+

è continua in [ , ] . In particolare si ha dunque+ ,

limx Ä ,

Ð Ñ œ Ð Ñ

B ,

t dt t dt.' '+ +

f f

Ciò suggerisce come tentare di estendere la definizione di integrale tra e di quando è continua+ , f fnell’intervallo [ , ma non è definita in ed eventualmente non è limitata in [ , .+ ,Ñ , + ,Ñ

Sia continua nell’intervallo [ , (e quindi integrabile in ogni suo sottointervallo chiuso). Se esistef + ,Ñ

limx Ä ,

Ð Ñ œ −

B

t dt I con I'+

f ‘

si dice che è [ , (oppure che [ , ) e si pone per definizionef fintegrabile su l’integrale di su converge+ ,Ñ + ,Ñ

' ', B

+ +f fÐ Ñ œ Ð Ñ

Ä ,t dt t dt.lim

x

In caso contrario, si dice che [ , . Sef non è integrabile su + ,Ñ

limx Ä ,

Ð Ñ œ „_

B

t dt '+

f

si dice talvolta che [ , .l’integrale di su divergef + ,Ñ

Analogamente, se è continua nell’intervallo , ] ma non è definita in , si pone per definizionef Ð+ , +

' ', ,

+ Bf fÐ Ñ œ Ð Ñ

Ä +t dt t dtlim

x

qualora tale limite esista e sia finito.

Supponiamo infine che sia definita nell’intervallo [ , ] e presenti una singolarità in un punto internof + , -ad [ , ]. Si dice che è [ , ] se è integrabile su [ , e su , ] e si pone in tal caso+ , + , + -Ñ Ð- ,f integrabile su

' ' ', - ,

+ + -f f fÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñt dt t dt t dt.

Esempio 31.9.1

Calcoliamo, qualora esista, dx. Si ha'!

"

11 xÈ

' ' ’ “È È! !

" ,

1 1

1 x 1 x È Èdx dx 2 1 x 2 1 2 2.œ œ œ Ð , Ñ œ, Ä " , Ä " , Ä "

lim lim lim!

,


Sia continua in , . Si definisca, sotto opportune ipotesi, t dt e si utilizzi tale definizione per estendere laf fÐ+ ,Ñ Ð Ñ',+

nozione di integrale definito al caso in cui presenti un numero finito di singolarità in un intervallo.f

63 Si parla anche in questo caso di “integrale generalizzato” oppure “integrale improprio”.


32.- ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

32.1 - Eventi, esperimenti, risultati.

La logica ci ha insegnato ad attribuire alle uno dei due possibili valori di verità 0 e 1.proposizioniSpesso però si vengono a considerare enunciati attinenti a fatti che non conosciamo perché non si sono ancoraverificati o perché comunque non abbiamo su di essi abbastanza informazioni. Ad esempio: (1) nel prossimo turno del campionato di calcio, la squadra della Fiorentina pareggerà; (2) l’attuale governo sarà ancora in carica il 15 Gennaio del prossimo anno; (3) lanciando questo dado otterrò il numero 5; (4) la somma dei numeri estratti sulla ruota di Napoli nella prossima estrazione del lotto sarà almeno 15; (5) la prima carta di questo mazzo (che è stato mescolato mentre io non guardavo e giace coperto davanti ame) è un asso.

Ogni volta che ci si trova a considerare un enunciato attinente a fatti sconosciuti, non si può in generaleattribuirgli “a priori” il valore 0 né il valore 1 . Come “surrogato”, il calcolo delle probabilità ci consente diassegnare a un tale enunciato un numero reale nell’intervallo [0, 1] che esprime la maggiore o minore fiducia cheabbiamo nel suo risultare poi vero (fiducia tanto maggiore quanto più il numero è vicino a 1).

Schematizzeremo informalmente ciascuna situazione che intendiamo studiare individuando l’ (o ) ;Ð+Ñ esperimento fenomeno causante una descrizione dei suoi possibili (che si escludono reciprocamente ed esauriscono tutte leÐ,Ñ risultatipossibilità) ; un elenco di che possono verificarsi o non verificarsi a seconda di quale particolare risultato haÐ-Ñ eventiavuto l’esperimento; è a ciascuno di questi eventi che vogliamo assegnare un numero reale compreso fra 0 e 1detto “probabilità” .

Un evento si dice se qualunque risultato dell’esperimento lo rende vero. Un evento si dicecertoimpossibile incompatibili se nessun risultato dell’esperimento lo rende vero. Due eventi si dicono se nessunrisultato dell’esperimento li rende veri entrambi.

Un evento che consiste nel verificarsi di un risultato si dice .evento elementare

Esempi

32.1.1 Esperimento: la partita della Fiorentina nel prossimo turno del campionato di calcio. Risultati: laFiorentina vince, la Fiorentina pareggia, la Fiorentina perde. Eventi: la Fiorentina vince (evento elementare), unadelle due squadre vince, la Fiorentina perde (evento elementare), nessuna delle due squadre vince, entrambe lesquadre vincono, ecc. ecc.Si noti peraltro che allo stesso esperimento si possono associare anche altri insiemi di risultati; ad esempio ipossibili “punteggi” con cui si conclude la partita: 0 0, 1 0, 0 1, 1 1, 2 0, ecc. ecc. ; e (di conseguenza) un insieme “più ampio” di eventi: gli stessi visti sopra (ma quelli che risultavano eventi elementariora non lo sono più), e inoltre: la partita termina a reti inviolate (evento elementare), la partita termina con unavittoria per più di tre reti di scarto, ecc. ecc.

32.1.2 Esperimento: l’evolversi della situazione politica fino al 15 Gennaio del prossimo anno. Risultati: tutti idiversi governi che possono teoricamente essere in carica al 15 Gennaio del prossimo anno. Eventi: l’attualegoverno sarà ancora in carica al 15 Gennaio del prossimo anno (evento elementare); un diverso governo formatodalle stesse persone sarà in carica al 15 Gennaio del prossimo anno; un governo con lo stesso ministro degliEsteri sarà in carica al 15 Gennaio del prossimo anno; un governo con tutti i ministri diversi dagli attuali sarà incarica al 15 Gennaio del prossimo anno; ecc., ecc., ...


32.1.3 Esperimento: lancio di un dado. Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Eventi: un numero pari, un numero primo, ilnumero 3 (evento elementare), un numero maggiore di quattro, ecc. ecc.

32.1.4 Esperimento: la prossima estrazione del lotto sulla ruota di Napoli. Risultati: (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 6),..., (86, 87, 88, 89, 85), (86, 87, 88, 89, 90) (cioè tutte le disposizioni semplici a 5 a 5 dei numeri naturali da 1 a90, cfr. sez. 13.3) . Eventi: viene estratto il 7, il secondo estratto è 5, viene estratto l’ambo {2, 9}, viene estrattol’ambo {15, 87}, viene estratto il terno {7, 9, 16}, viene estratta la cinquina {1, 12, 19, 35, 53}, ecc. ecc.Si noti peraltro che allo stesso esperimento si possono associare anche altri insiemi di risultati; ad esempiol’insieme delle 5 combinazioni semplici dei numeri da 1 a 90 (cioè, per il teorema 13.4.1, i possibili insiemi dicinque numeri estraibili, senza tener conto dell’ordine di estrazione): questa scelta dell’insieme di risultaticonsentirebbe comunque di esprimere gli eventi “pagabili” in base alle norme sul gioco del lotto (cioè le ambate,gli ambi, i terni, le quaterne e le cinquine).

32.1.5 Esperimento: mescolare un mazzo di carte. Risultati: tutti i possibili diversi ordini in cui le carte possonopresentarsi. Eventi: la prima carta è un asso, la prima carta è una carta di cuori, nelle prime dieci carte ci sonoalmeno due assi oppure almeno quattro carte di picche, ecc. ecc.

Esercizio 32.1.6Fra gli eventi (1), (2), (3), (4) e (5) descritti all’inizio ce n’è qualcuno certo? Ce n’è qualcuno impossibile?

32.2 - Spazio dei risultati.

Per dare una formalizzazione matematica dei concetti introdotti nella sez. 32.1, ad ogni esperimento siassocia un insieme non vuoto (detto ) i cui “rappresentano” i possibili ; gliH spazio dei risultati elementi risultatieventi probabilità sottoinsiemi ai quali vogliamo associare una saranno identificati con opportuni di .H

La scelta di è arbitraria, come del resto (lo si è già osservato) la descrizione dei risultatiHdell’esperimento; vedremo tuttavia in seguito che alcune scelte sono “migliori” di altre. Ad ogni modo, fissato H, ogni evento risulta identificato con il sottoinsieme di formato dai risultati che lo rendono vero, cosicché inHparticolare: g l’evento impossibile è ; l’evento certo è ;H gli eventi elementari sono quelli che hanno un solo elemento; due eventi sono incompatibili se e solo se sono disgiunti.

Esempio 32.2.1

Supponiamo di voler descrivere l’esperimento “lancio di due monete”. Una possibile scelta di èHH" ³ {TT, CC, TC}

dove: TT è il risultato <escono due “testa”>, CC è il risultato <escono due “croce”>, TC è il risultato <esconouna “testa” e una “croce”>.L’evento <escono due “testa”> è il sottoinsieme {TT}: si tratta dunque di un evento elementare (infatti consistenel verificarsi di un risultato). L’evento “escono due facce uguali” è il sottoinsieme {TT, CC} ; l’evento “escetesta su almeno una moneta” è il sottoinsieme {TT, TC}.Un’altra possibile scelta di è {TT, CC, TC, CT}H H# ³dove questa volta si distingue tra TC e CT a seconda che sia uscita “testa” sull’una o sull’altra moneta.Notiamo esplicitamente che le scelte per sono lecite: una però, come vedremo più avanti (Esempioentrambe H32.3.6), è “più comoda” dell’altra. Notiamo anche che: è vero che certi eventi (ad esempio: “esce testa sullaprima moneta”) si possono descrivere con (come {TT, TC}) e con ; ma questo di per sé è unH H# "non nonmotivo determinante per preferire , almeno finché l’evento al quale siamo interessati non è uno di questi!H#


32.3 - Misura di probabilità.

Sia un insieme non vuoto. Si dice su una funzione : ( ) 0, 1 taleH H Hmisura di probabilità : Ä Ò Ócche:

MP1 ( ) è una algebra, cioè:W 5: ( ) ;MP1.1 H − :W per ogni ( ) , anche ( ) ;MP1.2 A A− : − :W WC

per ogni insieme di elementi di ( ) , anche ( ) ;MP1.3 finito o numerabile \ \W W: − : per ogni insieme di elementi di ( ) , anche ( ) ;MP1.4 finito o numerabile \ \W W: − :

MP2 ( ) 1 ;: œH

MP3 se , , , , ( ) e per , alloraA A A A A" # 8 3 4á á − : œ g 3 Á 4W

: Ö œ : : 8 Ä _

( }) ( ) (cioè, è additiva).A A3 3lim !3œ"

8

5

I sottoinsiemi di che appartengono al dominio di sono gli ai quali siamo in grado diH : eventiassegnare una probabilità.

Le ( ) e ( ) sono le “regole generali del gioco”: da sole non bastano per determinare le probabilità dei3 33vari eventi (ci vogliono “regole”, cioè ipotesi, aggiuntive), ma da esse si possono già dedurre vari fatti.

Teorema 32.3.1

insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . AlloraSia unH H: ( ) ;+ g − Ð:ÑW ( ) se , , , sono elementi di a due a due disgiunti,, á Ð:ÑA A A" # = W

: á œ : : á :( ) ( ) ( ) ( ) ;A A A A A A" # = " # =

( ) se , si ha ( ) 1 ( ) ;- − Ð:Ñ : œ :A A AW C

( ) ( ) 0 ;. : g œ ( ) se , , si ha \ ( ) ;/ − Ð:Ñ − :A B A BW W ( ) se , e , si ha ( ) ( ) ;0 − Ð:Ñ © : Ÿ :A B A B A BW ( ) se , , si ha ( ) ( ) ( ) ( ) .1 − Ð:Ñ : œ : : : A B A B A B A BW

Dimostrazione - ( ) Poiché (per la ) e , si ha che ( ) per la .+ − Ð:Ñ g œ g − :H HW WMP1.1 MP1.2C

( ) Posto per (come possiamo fare per la ( )) , l’asserto segue immediatamente dalla ., œ g 3 = +A3 MP3

( ) Sia . Poiché , si ha ( ) ( ) ( ) ( ) 1 e quindi- − Ð:Ñ œ g : : œ : œ : œÐ,Ñ

A A A A A A AW C C C HMP2

: œ :( ) 1 ( ) come si voleva.A AC

( ) Poiché , per la ( ) si trova che ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 0 .. g œ - : g œ : œ : œ œH H HC C

( ) Poiché \ , per le e si ha subito l’asserto./ œ A B A BC MP1.2 MP1.3

( ) Siano , con . Allora ( \ ) , e ( \ ) . Dunque per la ( )0 − Ð:Ñ © œ œ g ,A B A B B A B A A B AW: œ : : :( ) ( ) ( \ ) ( )B A B A A

ricordando che per definizione assume solo valori non negativi.:

( ) Siano , . Osserviamo in primo luogo che è unione degli insiemi disgiunti \ e ,1 − Ð:Ñ A B A A B A BWcosicché ( ) ( \ ) ( ) per la ( ) ; e analogamente ( ) ( \ ) ( ) . Notiamo poi che: œ : : , : œ : : A A B A B B B A A BA B A B B A A B , è unione degli insiemi a due a due disgiunti \ , \ e . Tenendo conto della ( ) si ha quindi

: œ : : : œ : : : : : œ

: :

( ) ( \ ) ( \ ) ( ) ( \ ) ( ) ( ) ( \ ) ( )A B A B B A A B A B A B A B B A A Bðóóóóóóóñóóóóóóóò ðóóóóóóóñóóóóóóóò( ) ( )A B

œ : : : ( ) ( ) ( )A B A Bcome si voleva.


Supponiamo ora che . Attenzione: questa ipotesi nongli eventi elementari siano tutti equiprobabilisempre è ragionevole ( )(dipende dalla scelta di per rappresentare l’esperimento che stiamo considerando!) ;64 Hessa tuttavia ci consente di determinare la probabilità degli eventi elementari e, nel caso particolare che siaHfinito, di un qualsiasi evento.

Teorema 32.3.2

Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su tale cheH H:

( ) ogni evento elementare appartiene a ( )3 :We ( ) ({x}) ({y}) x, y .33 : œ : a − HAllora

( ) se ,+ œ 8 −k kH ™

( .1) ogni evento elementare ha probabilità ;+ 1 8

( .2) ( ) ;+ Ð:Ñ œW c H

( .3) per ogni si ha ( ) ;+ © : œA AH k kA8

( ) se ha infiniti elementi, ogni evento elementare ha probabilità zero ., H

Dimostrazione -

( ) Siano x , x , , x gli elementi di , e supponiamo che sia ( x ) (per ipotesi tale valore+ á : Ö × œ" # 8 3H &non dipende da ) .3

( .1) Poiché x e gli x sono a due a due disgiunti, per la ( ) del teorema 32.3.1 si ha+ œ Ö × Ö × ,3 œ "

8H 3 3

1 ( ) xœ : œ : Ö × œ 8H ! a b3œ"

8

3 &

da cui .& œ 1 8

( .2) Ogni sottoinsieme di appartiene a ( ) per la essendo unione di un numero finito di+ :H W MP1.3eventi elementari. ( .3) Se con , siano x , x , , x gli elementi di . Poiché è unione degli+ © œ 7 á 7A A A AH k k 3 3 3" # 7

7 Ö × Ö × á Ö × eventi elementari x , x , , x a due a due disgiunti (che hanno ciascuno probabilità ), applicando3 3 3 8" # 7

1

la ( ) del teorema 32.3.1 si trova che,

: œ : Ö × œ 7 † œ œ( ) xA ! ˆ ‰4œ"

7

3 8 8 87

4

1

k kA

come si voleva.

( ) Supponiamo ora che abbia infiniti elementi., HSia la probabilità di un evento elementare, e supponiamo per assurdo che sia 0 . Per la proprietà di& & Archimede (teorema 9.5.2), esiste un numero naturale tale che 1 ; scelti allora risultati distinti x , x ,5 5 5& " #

á − ³ Ö á × ,, x e posto x , x , , x , si ha (ricordando come al solito la ( ) del teorema 32.3.1)5 " # 5H A

: œ : Ö × œ 5 ( ) x 1A ! a b4œ"

5

4 &

contro la ( ) del teorema 32.3.1 e la .0 MP2

Osservazione 32.3.3

Il risultato espresso dalla ( ) del teorema 32.3.2 è noto come .+ valutazione classica della probabilità

64 e nemmeno sempre possibile! Cfr. teorema 32.3.8.


Osservazione 32.3.4

La ( ) del teorema 32.3.2 evidenzia con chiarezza che un evento con probabilità zero è in generale, nonimpossibile. Supponiamo ad esempio di lanciare contro un bersaglio una freccetta “a caso” (cioè senza mirare).Possiamo allora convenire che ogni punto abbia la stessa probabilità di essere colpito, e dunque (per la ( ) del,teorema 32.3.2) tale probabilità è zero; ciò ovviamente significa che sia colpire esattamente unnon impossibiledato punto. Allo stesso modo (si pensi all’evento “colpire un qualunque punto diverso da ” e si applichi la ( )P! -del teorema 32.3.1) si vede che un evento con probabilità 1 è in generale certo.non

Esempio 32.3.5

Lanciamo un dado (cubico) e poniamo 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Se il dado non è truccato, possiamoH³ Ö ×ragionevolmente supporre che gli eventi elementari siano equiprobabili; per la ( ) del teorema 32.3.2, ogni+evento elementare ha probabilità .1

6 Qual è la probabilità che esca un numero pari? Posto 2, 4, 6 , per la ( ) del teorema 32.3.2 èA ³ Ö × +: œ œ( ) .A 3 1

6 2 Qual è la probabilità che esca un numero primo? Posto 2, 3, 5 , è ( ) .B B³ Ö × : œ œ 3 1

6 2 Qual è la probabilità che esca un numero pari oppure un numero primo? Possiamo calcolarla applicando adA B + 1 ancora la ( ) del teorema 32.3.2 ; oppure possiamo utilizzare la ( ) del teorema 32.3.1 : poichéA B A B œ Ö × 2 , è un evento elementare e dunque ha probabilità ; ne segue che1

6 : œ : : : œ œ( ) ( ) ( ) ( ) .A B A B A B 1 1 1 5

2 2 6 6

Esempio 32.3.6

Lanciamo due monete. Abbiamo già descritto (Esempio 32.2.1) due possibili spazi dei risultati:H H" #³ ³{TT, CC, TC} e {TT, CC, TC, CT} .

È chiaro che non possiamo supporre che gli eventi elementari siano equiprobabili. Saràin entrambi i casipreferibile scegliere come spazio dei risultati quello tra i due per il quale una tale ipotesi risulti adeguata alladescrizione della realtà.

Esempio 32.3.7

Esperimento: lancio di una freccetta contro un bersaglio. Che ogni punto abbia la stessa probabilità di esserocolpito è supposizione un po’ ardita (perché si mira al centro, quindi è più probabile colpire un punto vicino alcentro che un punto vicino al bordo del bersaglio!) ( ) ; e una tale ipotesi è comunque sufficiente per65 nondeterminare la probabilità degli eventi non elementari (tipo: viene colpito un punto del quadrante superioredestro). Occorrono ipotesi aggiuntive. Se il bersaglio è circolare, possiamo ad esempio fare la seguente ipotesi:( ) settori circolari equiestesi hanno la stessa probabilità di essere colpiti.ìSi può dimostrare che, sotto questa ipotesi, la probabilità di colpire un assegnato settore circolare è direttamenteproporzionale alla sua superficie.

Teorema 32.3.8

Sia un insieme in cui tutti gli eventi elementari appartengono a ( ) .H W :Se , gli eventi elementari non possono avere tutti la stessa probabilità.k kH œ i!

Dimostrazione - Per la ( ) del teorema 32.3.2, se gli eventi elementari fossero equiprobabili ciascuno di,essi dovrebbe avere probabilità zero. Essendo l’unione degli eventi elementari, per la additività di H 5 :( ) dovrebbe essere ( ) 0 contro la .MP3 MP2: œH

65 Ad ogni modo, è sufficiente supporre, ad esempio, che <per ogni circonferenza con centro l'origine,Vogni punto abbia la stessa probabilità di essere colpito> per poter dedurre che 0 per ogni .: : œV V V


32.4 - La valutazione frequentista della probabilità.

Si consideri l’esperimento “lancio di un dado”.

Possiamo associargli lo spazio dei risultati 1, 2, 3, 4, 5, 6 , “decidendo” che gli eventi elementariH³ Ö ×sono tutti equiprobabili. Dunque, la probabilità che esca (ad esempio) un “5” è .1

6

Nella misura in cui il nostro ragionamento si riferisce non a una pura astrazione matematica ma a unasituazione concreta, abbiamo il dovere di chiederci se la scelta di e la decisione di considerare equiprobabiliHgli eventi elementari siano alla rappresentazione della realtà. Ciò ovviamente dipende da fattoriadeguateconcreti tipo: il dado è un cubo perfetto? è costituito di materiale omogeneo? Viene lanciato con qualcheparticolare criterio? Ecc. ecc.

Per gli esperimenti che possono essere ripetuti più volte nelle stesse condizioni, un criterio diadeguatezza alla realtà di un modello probabilistico è il cosiddetto .criterio frequentista

Si consideri un esperimento che può essere ripetuto più volte nelle stesse condizioni (ad esempio: lanciodi una dado, lancio di una moneta, estrazione di una pallina da un’urna; ma non: partita di calcio, evolversi dellasituazione politica), e sia un evento fissato.E

Sia un numero intero positivo, e sia l’esperimento che consiste nel ripetere volte l’esperimento8 8B8

considerato. Se in l’evento risulta vero volte, il numeroB8 E 558

si dice di osservata in .frequenza relativa E B8

Si noti che la frequenza relativa è un numero reale (di fatto addirittura razionale) compreso tra zero euno. Da una misura di probabilità “adeguata” alla rappresentazione della realtà ci si aspetta che, per ogni eventoE E− Ð:ÑW , ripetendo l’esperimento un numero di volte “sufficientemente grande” la frequenza relativa di risulti “vicina” a ( ).: E

Di fatto, la frequenza relativa di un evento osservata in una precedente successione di esperimenti puòvenire scelta come stima della probabilità di quell’evento per gli esperimenti successivi; ma, come si è giàosservato, questo procedimento può essere adottato solo quando si considerano esperimenti che vengono ripetutisempre nelle stesse condizioni.

Esempio 32.4.1

Consideriamo l’esperimento che consiste nel lanciare una moneta. Scegliamo come spazio dei risultati T,H³ ÖC , e supponiamo, in assenza di altre informazioni, che gli eventi elementari siano equiprobabili, cosicché×: ³ : ³(T) e (C) .1 1

2 2 Se ripetendo l’esperimento 1000 volte abbiamo osservato che è uscita 900 volte “Testa” e 100 volte “Croce”,come possiamo valutare la probabilità che nel lancio successivo esca “Croce” ? Se vogliamo adottare il criteriodella frequenza relativa, dobbiamo rifiutare la precedente funzione proponendone invece un’altra per la quale:si abbia (T) e (C) . In altre parole, si tratta di prendere atto che la moneta è presumibilmente: ³ : ³9 1

10 10 truccata!

Esercizio [*] 32.4.2Si prenda una “moneta truccata” (ad esempio, il tappo di un barattolo di marmellata, oppure una puntina dadisegno) e la si lanci 100 volte, prendendo nota del risultato di ciascun lancio. Col criterio della frequenzarelativa osservata in tale successione di esperimenti, si assegni una probabilità a ciascuna delle due facce della“moneta”.Si ripeta 50, 100, 150 volte l’esperimento prendendo ogni volta nota della frequenza relativa di ciascun risultatoe confrontandola con la probabilità assegnata.


32.5 - Probabilità condizionata.

Consideriamo il seguente esperimento: da un’urna contenente i numeri 1, 2 e 3 estraiamo due numeriuno dopo l’altro.

Scegliamo come spazio dei risultati l’insieme (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) delleH³ Ö ×2 disposizioni semplici dei numeri 1, 2 e 3 (cfr. sez. 13.3). Possiamo supporre che gli eventi elementari sianotutti equiprobabili, e che quindi ciascuno di essi abbia probabilità .1

6

L’evento <il secondo numero estratto è 3> si rappresenta col sottoinsieme (1, 3), (2, 3) di A ³ Ö × Hformato dalle coppie ordinate che hanno come secondo elemento 3 , e dunque (per il teorema 32.3.2) ha a prioriprobabilità . Supponiamo però di essere all’estrazione del secondo numero e di conoscere già il primo numero1

3 estratto, ad esempio: 1 . Abbiamo delle informazioni in più rispetto a prima: gli eventi elementari non si possonopiù supporre equiprobabili; in effetti, tutti quelli individuati da coppie ordinate il cui primo elemento è 1Áhanno probabilità zero! Possiamo supporre equiprobabili i rimanenti due, ciascuno dei quali ha dunque adessoprobabilità . L’evento è unione degli eventi elementari (1, 3) (che ha probabilità ) e (2, 3) (che ha1 1

2 2 A Ö × Ö ×

probabilità 0), pertanto adesso ( ) .: œA 1 2

Abbiamo visto con questo esempio che, se sappiamo che è vero un dato evento , è ragionevoleBassegnare a tutti gli eventi una nuova misura di probabilità , detta (oppure ) ;:B probabilità condizionata a da Bper ogni evento , si scrive di solito ( | ) anziché ( ) .A A B A: :B

L’informazione che è vero un dato evento può a seconda dei casi influire profondamente oppure nonBinfluire affatto sulla probabilità di un altro evento . Ad esempio, tornando alla situazione esaminata sopra, siaAB A l’evento <il primo numero estratto è 3> e sia l’evento <il secondo numero estratto è 3> . è chiaro che: œ( | ) 0 perché se 3 è già stato estratto come primo numero non può essere estratto come secondo! Più inA Bgenerale, si ha ( | ) 0 ogni volta che (cioè ogni volta che , sono incompatibili) e ( | ) 1: œ œ g : œA B A B A B A A.

Sia un insieme finito non vuoto, e sia una misura di probabilità su per la quale gli eventiH H:elementari sono tutti equiprobabili, cosicché si può applicare la ( ) del teorema 32.3.2 . Sia un evento diverso+ Bdall’evento impossibile. Sotto queste ipotesi, per valutare la probabilità condizionata all’evento è sufficienteBassumere come nuovo spazio dei risultati mantenendo in l’ipotesi (già formulata per ) di equiprobabilitàB B Hper gli eventi elementari. Applicando la ( ) del teorema 32.3.2 sia allo spazio dei risultati (per calcolare+ H: : :( ) e ( )) sia allo spazio dei risultati (per calcolare ( | )), si trova cheA B B B A B ( ) ; ( ) ; ( | ) : œ : œ : œA B B A B

k k k k k kk k k k k kA B B A B

B H H

da cui32.5. 1 ( ) ( | ) ( ) .F : œ : † :A B A B B

In generale, sia un qualsiasi insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . Se ,H H: AB B A B− : : ÁW( ) con ( ) 0 , si definisce la probabilità di condizionata a (oppure da) ponendo

32.5. 2 ( | ) .F : œA B ( ) ( )

: :A B

B

Si noti che, quando ( ) 0 , la 32.5. 2 è equivalente alla 32.5. 1 .: ÁB F F

Teorema 32.5.1

Siano un insieme non vuoto e una misura di probabilità su . Si haH H: ( ) ( | ) 1 ( ) con ( ) 0 ;3 : œ a − : : ÁA A A AW ( ) ( | ) ( ) ( ) ;33 : œ : a − :A A AH W ) ( | ) ( | ) , ( ) con ( ) 0 ;Ð333 : œ : a − : : ÁA B A B B A B BW ( ) ( | )= ( | ) ( | ) , , ( ) tali che e ( ) , ( ) 0 .3@ : : † : a − : © © : : ÁA C A B B C A B C A B C B CW

Dimostrazione - Ovvio.


Esempio 32.5.2

Esperimento: estrazione del lotto. <Il secondo numero estratto è 3> ; <Il primo numero estratto è 15>.A B³ ³

: œ : œ : œ œ( ) , ( ) , ( )A B A B1 1 88 87 86 1 90 90 90 89 88 87 86 90 89

† †† † † † †

: œ œ † œ( | ) 90 .A B ( ) ( ) 90 89 89

1 1: : †A B

B

Esempio 32.5.3

Esperimento: lancio di un dado. <Esce 2> ; <Esce un numero pari>.A B³ ³

: œ : œ : œ œ( ) , ( ) , ( ) (essendo )A B A B A B A1 1 1 6 2 6

: œ œ † œ( | ) 2 .A B ( ) ( ) 6 3

1 1: :A B

B

Esempio 32.5.4

Esperimento: lancio di due dadi colorati in rosso e in blu (per distinguerli).A B³ ³<Sul dado rosso esce 2> ; <Sul dado blu esce 3> .

: œ : œ : œ( ) , ( ) , ( )A B A B1 1 1 6 6 36

(avendo posto ( , ) / 1 6, 1 6 ed essendo 36 , (2, 3) 1)H H³ Ö 3 4 − Ÿ 3 Ÿ Ÿ 4 Ÿ × œ œ Ö × œ# k k k k k kA Bcosicché ( | ) 6 ( ) .: œ œ † œ œ :A B A ( )

( ) 36 6 1 1:

:A B

B

Esempio 32.5.5

Esperimento: estrazione di due numeri tra i numeri 1, 2 e 3 .H³ Ö ×(1, 2), (1, 3),(2, 1),(2, 3),(3, 1),(3, 2)Supponiamo che gli eventi elementari siano equiprobabili; pertanto, ciascuno di essi ha probabilità .1

6 A B³ ³<il secondo estratto è il 2> ; <il primo estratto è il 3> .

: œ œ : œ œ : œ( ) , ( ) , ( )A B A B2 1 2 1 1 6 3 6 3 6

cosicché ( | ) 3 .: œ œ † œA B ( ) ( ) 6 2

1 1: :A B

B

Esempio 32.5.6


6 A B³ ³<viene estratto il 2> ; <viene estratto il 3> .

: œ œ : œ œ : œ œ( ) , ( ) , ( )A B A B4 2 4 2 2 1 6 3 6 3 6 3

cosicché ( | ) .: œ œ † œA B ( ) ( ) 3 2 2

1 3 1: :A B

B

Esempio 32.5.7


6 A B³ ³<viene estratto il 2> ; <viene estratto l’1> .

: œ œ : œ œ : œ œ( ) , ( ) , ( )A B A B4 2 4 2 2 1 6 3 6 3 6 3

cosicché ( | ) .: œ œ † œA B ( ) ( ) 3 2 2

1 3 1: :A B

B


Osservazione 32.5.8

I risultati ottenuti negli esempi 32.5.6 e 32.5.7 presentano un aspetto paradossale. Essi mostrano che laprobabilità di essere estratto per il numero 2 è influenzata dal fatto che venga estratto o meno il numero 3; ed èinfluenzata (esattamente allo stesso modo) dal fatto che venga estratto o meno il numero 1. Precisamente, sia chevenga estratto il numero 3 sia che venga estratto il numero 1, la probabilità che venga estratto il numero 2 è ; e1

2 certamente viene estratto uno dei numeri 1 e 3 . Ma, in assenza di informazioni, la probabilità che venga estrattoil numero 2 è . 2

3

Esempio 32.5.9

Un altro paradosso probabilistico analogo a quello evidenziato con gli esempi 32.5.6 e 32.5.7 .Espoerimento: lancio di due monete (da 1 Euro) e (da 2 Euro) .` `" #

H³ Ö ×(T, T), (T, C),(C, T),(C, C)Supponiamo che gli eventi elementari siano equiprobabili; pertanto, ciascuno di essi ha probabilità .1

4 A B³ ³<su entrambe le monete esce testa> ; <su almeno una moneta esce testa> ;B B" #³ ³<su esce testa> ; <su esce testa> ;` `" #

: œ : œ : œ : œ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,A B B B1 3 1 1 4 4 2 2 " #

: œ : œ : œ : œ( ) ( ) ( ) ( ) ;A B A B A B A" #1 4

cosicché ( | ) ;: œ œ † œA B ( ) ( ) 4 3 3

1 4 1: :A B

B

: œ œ † œ : œ œ † œ( | ) 2 ; ( | ) 2 .A B A B" # ( ) ( )

( ) 4 2 ( ) 4 2 1 1 1 1: :

: :A B A B

B B" #

" #

Se sappiamo che è vero, la probabilità di è ; d’altro lato, se è vero, certamente è vero almeno uno degliB A B1 3

eventi , : in ciascuno di questi due casi, la probabilità di è però .B B A" #1 2

Esempio 32.5.10

In una città vivono due amici, Tizio e Caio. Tizio dice a Caio che forse andrà a trovarlo con l’autobus; ci sono 6corse utili, e Tizio adotterà il seguente metodo: deciderà se partire o meno lanciando una moneta; stabilirà qualedei 6 autobus prendere lanciando un dado.Caio va ad aspettare Tizio alla fermata, ma con i primi 5 autobus Tizio non arriva. Qual è la probabilità che arrivicol sesto?Sia l’evento “Tizio non parte”, e (per 1, 2, , 6) sia l’evento “Tizio arriva con l’ simo autobus”.A A! 33 ³ á 3

Possiamo valutare che sia ( ) (stimando che la moneta non sia truccata!) e che gli per: œ : 3 œ "

8A A A! 3 3Œ

3 ³ á : œ1, 2, , 6 siano tutti equiprobabili (stimando che il dado non sia truccato!): pertanto ( ) eA!1 2

: œ 3 ( ) per 0 .A31

12 L’evento condizionante è “Tizio non arriva con nessuno dei primi 5 autobus”, cioèBB A A A³ á , -( ) ; per le ( ) e ( ) del teorema 32.3.1 ," # &

C

: œ : œ œ( ) 1 ( ) 1 .B A!3œ"

&

35 7

12 12

Per la 32.5.F2, ( | ) .: œA B' ( )

( ): :A B

B'

Si noti che , cosicché e dunqueA B A B A' ' '© œ

: œ œ † œ( | ) .A B' ( )

( ) 12 7 7 1 12 1:

:AB'

La conoscenza del fatto che Tizio non è arrivato con nessuno dei primi 5 autobus ha fatto aumentare laprobabilità dell’evento da a . Naturalmente, la probabilità dell’evento “Tizio arriva” è invece A'

1 1 12 7 diminuita

da a .1 1 2 7


Esercizio 32.5.11

Abbiamo due dadi. Ne tiriamo uno: se è uscito un numero dispari, tiriamo anche l’altro e sommiamo i risultatiottenuti. Si dica qual è la probabilità che abbiamo tirato entrambi i dadi se complessivamente realizziamo un “5”; se complessivamente realizziamo un “6”; se complessivamente realizziamo un “7”.

Esercizio 32.5.12

Dicei persone lanciano, successivamente, una stessa moneta non truccata. Se le prime nove ottengono “Testa”,qual è la probabilità che anche la decima ottenga “Testa”?


Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . Siano , , , ( ) eventi tali cheH H: á − :A A A" # 8 WÖ á × á − :A A A B B B" # 8 " # 7, , , sia una partizione di (cfr. 3.7) ; e siano , , , ( ) eventi con probabilità nonH Wnulla tali che , , , sia una partizione di .Ö á ×B B B" # 7 HPer la formula 32.5. 1 (che si può facilmente dedurre dalla definizione di probabilità condizionata 32.5. 2) si haF F

: œ : : 3 ³ á 8( ) ( ) ( | ) per 1 , 2 , , .A B B A B3 4 4 3 4

Per visualizzare le ( ) è spesso comodo utilizzare un “diagramma ad albero” come il seguente: A B3 4


o anche, quando ciò non dia luogo ad ambiguità, come il seguente:

Esempio 32.5.14

Sono date due scatole: una contiene tre palline bianche, due gialle e una nera; l’altra contiene 2 palline rosse e 5verdi.Si sceglie a caso una scatola, e da essa si estrae una pallina: qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?Rappresentando la situazione con un diagramma ad albero

si trova che ( ) .: œ † œrossa 1 2 1 2 7 7


Esercizio 32.5.15

Una scatola contiene 3 palline rosse e 7 palline bianche. Si estrae una pallina dalla scatola; si introduce nellascatola una pallina dell’altro colore; si estrae nuovamente una pallina dalla scatola.Determinare la probabilità che entrambe le palline estratte siano rosse.

Esercizio 32.5.16

In un borsellino ci sono tre monete da 1 Euro. La prima è una moneta normale; la seconda ha “testa” su entrambele facce; la terza è stata modificata in modo che, lanciandola, la probabilità di ottenere “testa” sia di .2

3 Si prende a caso una moneta dal borsellino e la si lancia. Determinare la probabilità che esca “testa”.

32.6 - Indipendenza stocastica.

Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su ; siano , ( ) eventi conH H: − :A B Wprobabilità non nulla.

Se ( | ) ( ) , si dice che l’evento l’evento ; se ( | ) ( ) , si dice che l’evento: : : :A B A B A A B AfavorisceB A A B A A B l’evento ; se ( | ) ( ) , si dice che l’evento è ( ) dall’evento ostacola stocasticamente indipendente: œ :.

Teorema 32.6.1

Siano un insieme non vuoto e una misura di probabilità su ; siano , ( ) eventi con probabilità nonH H: − :A B Wnulla. Sono fatti equivalenti: ( ) è indipendente da ;+ A B ( ) è indipendente da ;, B A ( ) ( ) ( ( ) .- : œ : Ñ † :A B A B

Dimostrazione - Se ( | ) ( ) , la 32.5.F1 diventa la ( ) . Viceversa, se vale la ( ), dalla 32.5.F1 si: œ : - -A B Adeduce che ( | ) ( ) . Dunque ( ) ( ) .: œ : + Í -A B ARagionando allo stesso modo sulla ( ) ( | ) ( ): œ : † :A B B A A(che si ottiene dalla 32.5.F1 scambiando con ) si ottiene che ( ) ( ) , da cui infine ( ) ( ) .A B , Í - + Í ,

Teorema 32.6.2

Siano un insieme non vuoto e una misura di probabilità su ; siano , ( ) eventi con probabilità nonH H: − :A B Wnulla. Sono fatti equivalenti: ( ) favorisce ;+ A B ( ) favorisce ;, B A ( ) ( ) ( ( ) .- : : Ñ † :A B A B

Dimostrazione - Proviamo innanzitutto che ( ) ( ) ., Í -( ) ( ) . Sia ( | ) ( ) . Allora ( | ) ( ) ( ) ( ), Ê - : : : † : : † :A B A A B B A B(essendo ( ) 0) e dunque (tenuto conto della 32.5.F1) la ( ) .: -B( ) ( ) . Per la 32.5.F1 si ha ( | ) ( ) ( ) ( )- Ê , : † : : † :A B B A Be quindi (essendo ( ) 0) ( | ) ( ) ossia la ( ) .: : : ,B A B ARagionando allo stesso modo con la ( ) ( | ) ( ): œ : † :A B B A A(che si ottiene dalla 32.5.F1 scambiando con ) si ottiene che ( ) ( ) , da cui infine ( ) ( ) .A B , Í - + Í ,


Osservazione 32.6.3

Il teorema 32.6.2 evidenzia il fatto che l’aumentare della probabilità di un evento al verificarsi di un altro nonpuò essere “automaticamente” interpretata come indicazione di causalità (si veda l’esempio 32.6.8 più avanti) .

Esercizio 32.6.4

Consideriamo il seguente esperimento: scegliere a caso una famiglia italiana con tre figli.Sia l’evento “ci sono figli di entrambi i sessi” e sia l’evento “c’è al più una figlia femmina”.A BL’evento favorisce od ostacola l’evento ? Oppure i due eventi sono stocasticamente indipendenti?B ASi valuti per ciascun figlio la probabilità che sia femmina.1

2

Esercizio 32.6.5

Per ciascuno dei seguenti esperimenti: scegliere a caso una famiglia italiana con due figli; scegliere a caso una famiglia italiana con quattro figli;Si definiscano gli eventi e come nell’esercizio 32.6.4 e si stabilisca se l’evento favorisce, ostacola o èA B Bstocasticamente indipendente dall’evento .ASi valuti per ciascun figlio la probabilità che sia femmina.1

2

Osservazione 32.6.6

Valutando la probabilità degli eventi col criterio frequentista, si può decidere sulla base di dati sperimentali sedue eventi sono o non sono indipendenti; si possono così ad esempio ottenere informazioni sulle relazioni frafenomeni di interesse clinico epidemiologico (fumo e tumori, colesterolo e infarto, centrali nucleari e tumori).

Esempio 32.6.7

Le percentuali di sordi e daltonici su una certa popolazione risultano essere come segue:daltonici sordi daltonici sordi: 0,8% ; : 0,05% ; : 0,0004% .Accettando la frequenza relativa come stima di probabilità, possiamo affermare che (posto eS ³ sordoD ³ daltonico)

: œ œ : œ œ : œ œ( ) ; ( ) ; ( ) .S D S D5 5 8 8 4 4 10.000 10 1.000 10 1.000.000 10 % $ '

Poiché ( ) ( ) ( ) , possiamo abdurre che sordità e daltonismo sono patologie: † : œ œ œ : S D S D 5 8 410 10 †( '

indipendenti.

Esempio 32.6.8

Le percentuali di fumatori e di malati di cancro su una certa popolazione risultano essere come segue:fumatori malati di cancro fumatori malati di cancro: 55% ; : 47% ; : 38% .Accettando la frequenza relativa come stima di probabilità, possiamo affermare che (posto eF ³ fumatoreM F M F M³ : œ : œ : œmalato di cancro) ( ) ; ( ) ; ( ) .55 47 38

100 100 100

Poiché ( ) ( ) ( ) , possiamo abdurre che i due fenomeni sono indipendenti.: † : œ œ : F M F M 55 47 2.58510.000 10

†% non

In effetti, ( | ) ( ) .: œ œ † œ œ :M F M ( ) ( ) 100 55 55 100

38 100 38 38: :M F

FÈ, naturalmente, personale l’interpretazione di questo risultato: se si debba cioè ritenere che fumare provochi ilcancro oppure che viceversa essere malati di cancro induca l’abitudine a fumare.


Esempio 32.6.9

I tre esploratori Livingston, Stanley e Davidson erano stati catturati dai feroci M’Bangi che li avevano sorpresinel loro territorio. Condannati a morte tutti e tre, erano riusciti a strappare la seguente concessione: il capoM’Bangi avrebbe scritto su quattro pelli rozzamente conciate le lettere L, S, D e J; poi lo stregone della tribùavrebbe estratto a sorte una delle quattro pelli. La pelle contrassegnata con “L” avrebbe dato la salvezza aLivingston, quella con “S” a Stanley, quella con “D” a Davidson, quella con “J” a tutti e tre.

Consideriamo i seguenti eventi: <Livingston si salva> ;L ³ <Stanley si salva> ;S ³ <Davidson si salva> .D ³Essi sono a due a due indipendenti.

Verifichiamo ad esempio che ( ) ( ) ( ) . Possiamo descrivere l’esperimento di estrazione a sorte: œ : † :L S L Sdella pelle mediante i quattro risultati equiprobabili <viene estratta la pelle contrassegnata con la lettera “L”> ;B ³L

<viene estratta la pelle contrassegnata con la lettera “S”> ;B ³S

<viene estratta la pelle contrassegnata con la lettera “D”> ;B ³D

<viene estratta la pelle contrassegnata con la lettera “J”> .B ³J

Ciascuno dei corrispondenti eventi elementari ha probabilità . Inoltre1 4

L S L Sœ B B œ B B œ B{ , } ; { , } ; { }L J S J J

e ( ) ; ( ) ; ( ): œ : œ : œL S L S1 1 1 2 2 4

cosicché: œ œ † œ : † :( ) ( ) ( ) .L S L S1 1 1

4 2 2

Dunque gli eventi , e sono a due a due indipendenti. Si noti però cheL S D: œ : B œ Á œ : † : † :( ) ({ }) ( ) ( ) ( ) .L S D L S D"

1 1 4 8

32.7 - Il teorema di Bayes.

Sia un insieme non vuoto e sia una misura di probabilità su ; siano , ( ) eventi conH H: − :A B Wprobabilità non nulla.

Abbiamo visto (teorema 32.6.2) che favorisce se e soltanto se favorisce . In effetti, l’influenzaB A A Bdi su (intesa come ) è proprio uguale all’influenza di su (intesa come ) :B A A B : :( | ) ( | )

( ) ( )A B B AA B: :

Teorema 32.7.1

Sia un insieme non vuoto e sia una misura di probabilità su ; siano , ( ) eventi con probabilitàH H: − :A B Wnon nulla. Allora

( | ) ( | ) ( ) ( )

: :: :A B B AA Bœ

Dimostrazione - Per la 32.5.F1 si ha che: œ : † :( ) ( | ) ( )A B A B B

ma anche (scambiando con ) cheA B: œ : † :( ) ( | ) ( ) .A B B A A

Dunque ( | ) ( ) ( | ) ( ): † : œ : † :A B B B A Ada cui (dividendo ambo i membri per ( ) ( ) , che per ipotesi è diverso da zero) l’asserto.: † :A B


Il teorema 32.7.1 consente di calcolare ( | ) conoscendo ( ) , ( ) e ( | ) . Spesso la probabilità: : : :A B A B B A: : : : :( ) dell’evento condizionante non è nota; se però conosciamo oltre a ( ) e ( | ) anche ( ) e ( | ) ,B A B A A B AC C

possiamo calcolare ( ) . Più in generale:: B

Teorema 32.7.2

Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . Siano , , , , ( ) eventi conH H: á − :A A A B" # 8 Wprobabilità non nulla tali che , , , sia una partizione di (cfr. 3.7) . AlloraÖ á ×A A A" # 8 H

: œ : :( ) ( ) ( | ) .B A B A!3œ"

8

3 3

Dimostrazione - Applicando la 32.5.F1 alla probabilità di condizionata a ciascun , si ottiene cheB A3

: œ : :( ) ( ) ( | )A B A B A3 3 3

e dunque, sommando membro a membro per 1, 2, , ,3 ³ á 8

( ) ( ) ( ) ( | ) .æ : œ : :! !3œ" 3œ"

8 8

A B A B A3 3 3

Valutiamo il primo membro: poiché gli sono a due a due disgiunti (essendo tali gli ), per la ( ) delA B A3 3 ,teorema 32.3.1 si ha che

! Œ Œ 3œ"

8

: œ : œ : œ : œ :3 œ " 3 œ "

8 8( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B B3 3 3 H

come si voleva.

Dai teoremi 32.7.1 e 32.7.2 si ottiene immediatamente il

Teorema 32.7.3 ( )di Bayes

Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . Siano , , , , ( ) eventi conH H: á − :A A A B" # 8 Wprobabilità non nulla tali che , , , sia una partizione di (cfr. 3.7) . AlloraÖ á ×A A A" # 8 H

: œ 3 ³ á 8( | ) per 1, 2, , .A B3 : :

: :

( ) ( | )

( ) ( | )

A B A

A B A3 3

3 3!3œ"

8

Dimostrazione - Dal teorema 32.7.1 si ricava che

: œ 3 ³ á 8( | ) per 1, 2, , .A B3 ( ) ( | ) ( )

: ::

A B AB

3 3

Sostituendo il valore di ( ) espresso dal teorema 32.7.2 si ha l’asserto.: B

Esempio 32.7.4

Abbiamo quattro scatole S , S , S , S come segue:" # $ %

la scatola S contiene: 7 palline bianche e 3 palline nere;"

la scatola S contiene: 8 palline bianche e 7 palline nere;#

la scatola S contiene: 1 pallina bianca e 5 palline nere;$

la scatola S contiene: 5 palline bianche e 7 palline nere.%

Viene scelta caso una scatola e ne è estratta a caso una pallina. Se la pallina è bianca, qual è la probabilità che siastata scelta la prima scatola?Sia l’evento “è stata estratta una pallina dalla scatola S ”; per ipotesi, gli eventi hanno tutti la stessaA A3 33

probabilità (abbiamo detto: <viene scelta una scatola...>) e dunque ( ) per 1, 2, 3, 4.a caso : œ 3 ³A31 4

L’evento condizionante è “è stata estratta una pallina bianca”.B

Per il teorema 32.7.1 , ( | ) .: œA B" ( ) ( | )

( ): †:

:A B A

B" "


Notiamo che non è facile calcolare ( ) ; mentre è immediato valutare ( | ) : si ha: :B B A3

: œ : œ : œ : œ( | ) ; ( | ) ; ( | ) ; ( | ) .B A B A B A B A" # $ %7 8 1 5

10 15 6 12 Per il teorema 32.7.2, si ha

: œ : : œ † † † † œ( ) ( ) ( | )B A B A!3œ"

%

3 31 7 1 8 1 1 1 5 109 4 10 4 15 4 6 4 12 240

e dunque

: œ œ ¸( | ) 0,385 .A B" 42

109

1 7 4 10

109 240

†

Esempio 32.7.5La produzione di wafer della Brutopia è affidata a due fabbriche F , F . La F copre il 60% della produzione" # "

nazionale, la F solo il 40% ; si sa inoltre che i due diversi tipi di wafer sono così distribuiti:#

F : 80% al cacao, 20% alla nocciola;"

F : 60% al cacao, 40% alla nocciola.#

Ci viene offerto un wafer al cacao prodotto in Brutopia. Qual è la probabilità che sia stato prodotto nella fabbricaF ?"

Sia l’evento “ci viene offerto un wafer prodotto in F ”; per ipotesi, ( ) e ( ) .A A A3 " #3 : œ œ : œ œ60 3 40 2 100 5 100 5

L’evento condizionante è “ci viene offerto un wafer al cacao” .B

Per il teorema 32.7.1 , ( | ) .: œA B" ( ) ( | )

( ): †:

:A B A

B" "

Notiamo che non è facile calcolare ( ) ; mentre è immediato valutare ( | ) e ( | ) : si ha: : :B B A B A" #

: œ : œ( | ) ; ( | ) .B A B A" #4 3 5 5

Per il teorema 32.7.2, si ha: œ : : : : œ † † œ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )B A B A A B A" " # #

3 4 2 3 18 5 5 5 5 25

e dunque: œ œ( | ) .A B"

2 3

3 4 5 5

18 25

†

Esercizio 32.7.6

Sono date due monete: una non è truccata, l’altra ha due “Testa” . Prendiamo a caso una moneta e la lanciamodue volte; entrambe le volte viene “Testa”. Qual è la probabilità che la moneta sia quella truccata?

Esercizio 32.7.7

Sappiamo che in una partita di cento dadi ce n’è uno truccato, che presenta il “sei” su due o più facce (maignoriamo su quante). Scegliamo a caso un dado fra quei cento e lo lanciamo tre volte; esce tre volte “sei”. Qualè la probabilità che sia il dado truccato? Qual è la probabilità che il dado abbia il “sei” su due facce? E su tutte lefacce?

Osservazione 32.7.8

Le situazioni in cui trova applicazione il teorema 32.7.2 possono essere visualizzate con un “diagramma adalbero” (come si è già visto nell’Osservazione 32.5.13). La probabilità dell’evento si ottiene come somma delleBprobabilità calcolate (con la “regola del prodotto”, cioè con la 32.5. 1) lungo tutti i “cammini” che terminano inFB A B (più correttamente: che terminano nei vari ) .3


Esempio 32.7.9

Da un’urna contenente i numeri 1, 2, 3, 4 se ne estraggono successivamente due. Qual è la probabilità che lasomma dei due numeri estratti sia pari?

I vari “cammini” che terminano con “ ” forniscono le probabilità che dobbiamo sommare per( pari)Êottenere il risultato desiderato. La probabilità cercata è dunque

1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 4 3 4 3 4 3 3 † † † † œ .

32.8 - Variabili aleatorie.

Abbiamo finora scelto di descrivere gli effetti di un “esperimento” mediante un insieme di “risultati” icui sottoinsiemi rappresentano gli “eventi”. Molto spesso ci fa comodo associare un numero a ciascun risultato;ciò consente di evidenziare certi eventi particolarmente significativi per il nostro modo di considerarel’esperimento.

Esempio 32.8.1

Esperimento: lancio di due dadi. Spazio dei risultati: (1, 1), (1, 2), (1, 3), , (6, 4), (6, 5), (6, 6) . AH³ Ö á ×ciascun risultato possiamo associare la somma dei punti espressi dai dadi (questo, in molti casi, è l’unico datosignificativo).

Esempio 32.8.2

Stesso esperimento, stesso spazio dei risultati dell’esempio 32.8.1 . Questa volta però stiamo giocando a“Monòpoli” e siamo “finiti in prigione”: il nostro interesse è ottenere “numeri doppi” per poter uscire di prigione.Associeremo ai risultati (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) e (6, 6) il numero 1 (per dire: successo!) e a tutti gli altririsultati il numero 0 (per dire: insuccesso!).


Se all’esperimento che stiamo considerando è collegata una scommessa, ci può interessare associare aogni risultato un numero che quantifichi il guadagno (o la perdita) stabilito per il verificarsi di tale risultato.

Esempio 32.8.3

Esperimento: lancio di un dado; spazio dei risultati 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Scommessa associata: se viene “1”,H³ Ö ×vinco 1 Euro; se viene “2”, vinco 2 Euro; se viene “3”, vinco 3 Euro; se viene “4”, vinco 4 Euro; se viene “5”,perdo perdo 5 Euro; se viene “6”, 6 Euro.Associeremo al risultato “1” il numero 1; al risultato “2” il numero 2; al risultato “3” il numero 3; al risultato “4”il numero 4; al risultato “5” il numero 5; al risultato “6” il numero 6 .

Sia un insieme non vuoto, e sia una misura di probabilità su . Si dice su H H H: variabile aleatoriaogni applicazione : tale che la retroimmagine di ogni intervallo appartenga a .X H Ä Ð:Ñ‘ W

La scelta di una variabile aleatoria determina un “certo modo” di guardare ai possibili risultati delfenomeno che studiamo; assumono quindi particolare significato quegli eventi che sono formati da tutti e soli irisultati a cui la variabile aleatoria associa uno stesso valore.

Sia un insieme non vuoto, sia una misura di probabilità su e sia una variabile aleatoria su .H H H: XPer ogni , si poneB −! ‘

E XB !!³ Ö − œ B ×= =H / ( ) .

Poiché è una variabile aleatoria, per ogni . Inoltre, gli non vuoti costituisconoX E EB ! B! !− Ð:Ñ B −W ‘

una partizione di ; si potrebbe scegliere come spazio dei risultati l’insieme degli non vuoti, o addiritturaH EB!

l’insieme dei numeri reali per i quali .B Á g! BE!

La probabilità ( ) dell’insieme si indica di solito con la notazione ( ) .: : œ BE E XB B !! !

Per ogni , , , si considerano anche gli insiemiB B B −! " # ‘Ö − Ÿ B × : Ÿ B= =H / ( ) la cui probabilità si indica con la notazione ( )X X! !

e / ( ) la cui probabilità si indica con la notazione ( ) .Ö − B Ÿ Ÿ B × : B Ÿ Ÿ B= =H " # " #X X

Si dice della variabile aleatoria la funzione 0, 1 che associa a ognifunzione di ripartizione X ‘ Ä Ò Ónumero reale la probabilità ( ) .B : Ÿ BX

Osservazione 32.8.4

Se la variabile aleatoria assume soltanto un numero finito di valori , , , oppure un’infinitàX B B á B" # =

numerabile di valori , , , , , il valore della funzione di ripartizione di resta completamenteB B á B á" # 8 Xdeterminato dalle probabilità ( ) .: œ BX 3

Vediamo come si può rappresentare la situazione negli esempi considerati in precedenza.

Esempio 32.8.1Possiamo tabulare come segue le probabilità degli eventi :EB!

B

: œ B!

!" " " " & " & " " " "$' ") "# * $' ' $' * "# ") $'

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12( )X


Possiamo anche disegnare un istogramma

nel quale l’area della colonna corrispondente a ciascun valore ( ) di è la probabilità ( ) , mentre laB : œ B! !66 X X

funzione di ripartizione si può calcolare in misurando l’area complessiva delle colonne “fino a incluso”.B B! !


B

: œ B!

!& "' '

0 1( )X


con le stesse convenzioni adottate per l’esempio 32.8.1 .


B

: œ B!

!" " " " " "' ' ' ' ' '

1 2 3 4 -5 -6( )X


con le stesse convenzioni adottate per gli esempi 32.8.1 e 32.8.2 .

66 in questo caso assume tutti i valori interi da 2 a 12 .B!


32.9 - Speranza matematica.

Siano dati un esperimento, uno spazio dei risultati relativo ad esso, una misura di probabilità su eH H:una variabile aleatoria su .X H

Se ripetiamo volte l’esperimento dato, la media dei valori che otteniamo per è8 X

7=!3œ"

=@ B8

3 3

dove è il numero delle volte che si è verificato l’evento@3E XB 33

³ Ö − œ B ×= =H / ( ) .

In altri termini,

7 B= dove è la frequenza relativa dell’evento (cfr. 32.3) .!3œ"

=@ @8 83 B

3 33

E

Se vogliamo una stima “a priori” di tale media, possiamo sostituire alla frequenza relativa di la probabilitàEB3

: œ B( ) . Si giunge così alla seguente definizione:X 3

Se assume soltanto un numero finito di valori , , , , si dice o X B B á B" # = valore medio speranzamatematica della variabile aleatoria il numeroX

.X ³ : œ B † B : œ B † B á : œ B † B œ : œ B † B( ) ( ) ( ) ( ) .X X X X" " # # = = 3 33œ"

=!

Questa definizione può essere estesa al caso in cui assume un’infinità numerabile di valori , ,X B B" #

á B á ³ : œ B † B8 Ä _

, , , ponendo ( )8 3 33œ"

8

.X lim ! X

ma solo se esiste ed è finito il

( ) .lim8 Ä _

: œ B † B! k k3œ"

8

3 3X

Tale condizione garantisce che il valore medio non dipenda dall’ordine con cui si considerano gli .B3

Vediamo ora il valore medio della variabile aleatoria negli esempi visti in 32.8.

Esempio 32.9.1

Il valore medio della variabile aleatoria considerata nell’esempio 32.8.1 è

.X ³ † † † † † † 1 1 1 1 5 1 36 18 12 9 36 6 2 3 4 5 6 7

† † † † † œ œ5 1 1 1 1 252 36 9 12 18 36 368 9 10 11 12 7

quindi (effettuando un “alto” numero di lanci) ci si può aspettare di avanzare “in media” di 7 caselle per ognilancio dei dadi.


Esempio 32.9.2


.X ³ † † œ1 5 1 6 6 6 1 0

quindi (effettuando un “alto” numero di lanci) ci si può aspettare “in media” <un sesto di successo> per ognilancio dei dadi. Naturalmente, <un sesto di successo> non ha senso; intuitivamente, si potrebbe pensare che ciòequivalga a dire: otterremo “in media” un successo ogni sei lanci di dadi. Si veda l’esempio 32.13.3.

Esempio 32.9.3


.X ³ † † † † † † œ œ 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 ( 5) ( 6) 0,1(6)

quindi (effettuando un “alto” numero di lanci) ci si può aspettare di perdere poco più di 0,166 Euro (circa Lit300) a lancio.

Teorema 32.9.4

Siano un insieme non vuoto, una misura di probabilità su e una variabile aleatoria su . Sia ilH H H: X .X

valore medio di . Siano , numeri reali con 0 .X + , , ÁPosto ( ) ( ) Y X= = =³ + , a − HY è una variabile aleatoria su con valore medio .H + ,.X

Dimostrazione - Dimostriamo il teorema nel caso particolare in cui assume un numero finito di valoriXB B á B +B , +B , á +B ," # = " # =, , , (e quindi assume i valori , , , ) . Si haY: œ +B , œ : œ B( ) ( ) ; il valore medio di è dunqueY X Y3 3

! !3œ" 3œ"

= =

3 3 3 3: œ +B , † +B , œ : œ B † +B , œ( ) ( ) ( ) ( )Y X

œ : œ B † +B : œ B † , œ + † : œ B † B , † : œ B œ + ,

œ œ

! ! ! !ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò ðóóóóóóñóóóóóóòŒ Œ 3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

= = = =

3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) .

1

X X X X

.

.

X

X

Una variabile aleatoria si dice se il suo valore medio è zero.centrata

Abbiamo visto (esempio 32.8.3) come una variabile aleatoria può quantificare l’esito di una scommessa.Intuitivamente, una scommessa è equa se la corrispondente variabile aleatoria è centrata: infatti in tal caso (“alungo andare”) non si vince né si perde, in media, niente.

Corollario 32.9.5

Siano un insieme non vuoto, una misura di probabilità su e una variabile aleatoria su . Sia ilH H H: X .X

valore medio di .XPosto ( ) ( ) Y X= = . =³ a −X HY è una variabile aleatoria centrata su .H

Dimostrazione - Si applichi il teorema 32.9.4 con 1 e .+ ³ , ³ .X


32.10 - Varianza e deviazione standard.

Siano dati un esperimento, uno spazio dei risultati relativo ad esso ed una misura di probabilità suH :H .

Ad ogni variabile aleatoria su con valore medio , possiamo associare un’altra variabile aleatoriaX H .X

( ) detta di : ad ogni risultato , la deviazione quadratica associa ilX X −. =X# deviazione quadratica H

quadrato dello “scostamento dal valore medio” di ( ) .X =

Sia una variabile aleatoria su . Il valore medio della deviazione quadratica di si indica conX XHVar( ) e si dice di ; la radice quadrata della varianza di si indica con e si dice X X Xvarianza deviazione5X

standard scarto quadratico medio (o ) di . Dunque, se assume soltanto i valori , , , :X X B B á B" # =

Var( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) .X X X³ : œ B † B ³ : œ B † B ! !Ë3œ" 3œ"

= =

3 3 3 3# #. 5 .X X\


Per valutare di quanto una variabile aleatoria si discosta dal proprio valore medio, potremmo pensare di associaread ogni evento lo “scostamento dalla media” (il termine tecnico è “deviazione”) , e calcolare poi laEB 3B Bmedia di tali scostamenti; ma ciò equivarrebbe a considerare il valore medio della variabile aleatoria , cheX .X

(teorema 32.9.5) è sempre zero! Infatti gli scostamenti in più e in meno dalla media, se presi col loro segno, sicompensano.Bisogna dunque considerare gli scostamenti dalla media indipendentemente dal segno; potremmo scegliere lacosiddetta “deviazione assoluta” ma di fatto si preferisce considerare la deviazione quadraticak kB 3 .X

( ) .B 3#.X

Nelle applicazioni alla realtà fisica, molto spesso i numeri che una variabile aleatoria associa ai risultatidell’esperimento esprimono la misura di qualche grandezza (l’altezza delle persone in un campione dipopolazione; l’energia sviluppata in una interazione fra particelle; ecc. ecc.) e quindi tali numeri sono riferiti auna (l’altezza ad esempio si può misurare in metri, centimetri, piedi, pollici, ecc. ecc.). Anche ilunità di misuravalore medio è riferito alla stessa unità di misura. Nel calcolo della deviazione quadratica e della varianza siintroduce però un elevamento al quadrato; considerando anziché la varianza la deviazione standard possiamocontinuare a riferirci alla stessa unità di misura.

Vediamo ora la varianza e la deviazione standard della variabile aleatoria negli esempi visti in 32.8.

Esempio 32.10.2

Abbiamo visto nell’esempio 32.9.1 che il valore medio della variabile aleatoria considerata nell’esempioX32.8.1 è 7. Si ha dunque.X œ

Var( ) (7 2) (7 3) (7 4) (7 5) (7 6)X ³ † † † † † 1 1 1 1 5 36 18 12 9 36

# # # # #

† † † † † † œ1 5 1 1 1 1 6 36 9 12 18 36 (7 7) (7 8) (7 9) (7 10) (7 11) (7 12)# # # # # #

œ œ œ 25 32 27 16 5 0 5 16 27 32 25 210 35 36 36 6

.

e 2,415 .5\ ³ ¸É 35 6


Esempio 32.10.3

Abbiamo visto nell’esempio 32.9.2 che il valore medio della variabile aleatoria considerata nell’esempioX32.8.2 è . Si ha dunque.X œ 1

6

Var( ) (1 ) (0 )X ³ † † œ œ œ1 1 5 1 25 5 30 5 6 6 6 6 216 216 216 36

# #

e 0,373 .5\ ³ œ ¸É 5 36 6

5 È

Esempio 32.10.4

Abbiamo visto nell’esempio 32.9.3 che il valore medio della variabile aleatoria considerata nell’esempioX32.8.3 è . Si ha dunque.X œ 1

6

Var( ) (1 ) (2 ) (3 )X ³ † † † 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6

# # #

† † † œ1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 (4 ) ( 5 ) ( 6 )# # #

œ † œ1 49 169 361 625 841 1225 545 6 36 36

ˆ ‰

e 3,89 .5\ ³ œ ¸É 545 36 6

545 È

Teorema 32.10.5

Siano un insieme non vuoto, una misura di probabilità su e una variabile aleatoria su . Siano , H H H: + ,Xnumeri reali con 0 .+ ÁPosto (come nel teorema 32.9.4) ( ) ( ) Y X= = =³ + , a − Hsi ha Var( ) Var( )Y Xœ + †#

e .5 5Y Xœ + †k kDimostrazione - Sia il valore medio di ; allora, per il teorema 32.9.4, il valore medio di è.X X Y

+ ,.X . Per definizione, Var( ) è il valore medio diY( ( )) ( ) ( ( )) ( )Y X X X + , œ + , + , œ + † œ + † . . . .X X X X

# # # # #

e dunque, applicando ancora il teorema 32.9.4,Var( ) Var( ) .Y Xœ + †#

Dalla definizione di si ha infine che5Y

5 5Y Xœ œ + † œ + † œ + †È ÈÈ È k kVar( ) Var( ) Var( ) .Y X X# #

Sia una variabile aleatoria con valore medio e deviazione standard non nulla. Si dice X . 5X X variabilealeatoria standardizzata associata a la .X X.

5X

X

Teorema 32.10.6

Sia una variabile aleatoria con deviazione standard non nulla. La variabile aleatoria standardizzata associata aXX ha valore medio 0 e deviazione standard 1 .

Dimostrazione - Si applichino i teoremi 32.9.5 e 32.10.5 .


32.11 - La disuguaglianza di Chebyshev.

Il valore medio di una variabile aleatoria è in un certo senso il “centro” attorno al quale vengono a.X

cadere i valori assunti dalla variabile aleatoria stessa; ci si aspetta che, ripetendo l’esperimento, solo “poche”volte assuma valori “molto distanti” da . Sperimentalmente, si trova che i valori assunti dalla variabileX .X

aleatoria non differiscono “mai” dal valor medio per più di . Una stima (molto piùtre deviazioni standardcauta) della situazione è espressa dal

Teorema 32.11.1 (“disuguaglianza di Chebyshev”)

Siano un insieme non vuoto, una misura di probabilità su e una variabile aleatoria su con valoreH H H: Xmedio e deviazione standard . Sia un numero reale positivo.. 5X 2

Posto / ( ) ,E X E2 B* ³ Ö − 2 × œ

B 2= = . 5

. 5H k k k kX

si ha ( ) .: E2 2* 1

#

Ciò si esprime anche scrivendo ( ) .: 2 k kX . 5X1

2#


Osservazione 32.11.2La probabilità che la variabile aleatoria differisca dal valore medio per più di tre deviazioni standard si puòstimare mediante la disuguaglianza di Chebyshev ponendo 3 .2 ³Si ottiene ( 3 ) .: k kX . 5X

1 9

Come si è già osservato, questa stima è fin troppo cauta.

Esempio 32.11.3

Applichiamo la disuguaglianza di Chebyshev con 2 alla variabile aleatoria considerata nell’esempio2 ³ X32.8.1 .Abbiamo visto che 7 (esempio 32.9.1) e 2,415 (esempio 32.10.2) . Per il teorema di Chebyshev si ha. 5X Xœ ¸

: ( ) .E2* 1

4 In realtà, essendo (con gli , come sappiamo, a due a due disgiunti), si haE E E E E E2

* œ # $ "" "# 3

: œ : : : : œ œ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .E E E E E2* 6 1

36 6 # $ "" "#

32.12 - Esperimenti binomiali.

Un esperimento si dice se lo descriviamo mediante uno spazio dei risultati che hadi Bernoulliesattamente due elementi ( ) ; tali due risultati vengono convenzionalmente indicati come “successo” e67

“insuccesso” .

67 In sostanza, un esperimento è di Bernoulli quando nel descriverne i possibili risultati ci interessasoltanto se una certa situazione si verifica oppure no. Non è dunque l' esperimento in sé che merita un nomeparticolare, ma il nostro modo di esaminarne i risultati.


Esempi

32.12.1 Lancio di una moneta.32.12.2 Lancio di una moneta truccata (tappo di barattolo; puntina da disegno).32.12.3 Lancio di un dado (successo “esce un numero pari”) .³32.12.4 Lancio di un dado (successo “esce 3”) .³32.12.5 Lancio di due dadi (successo “escono numeri doppi”) .³32.12.6 Lancio di una freccetta contro un bersaglio (successo “si colpisce il settore centrale”) .³32.12.7 Estrazione del lotto sulla ruota di Napoli (successo “è uscito il terno che ho giocato”) .³

Sia un esperimento di Bernoulli. Un esperimento si dice ( ) se:U X Uesperimento binomiale associato a ( ) consiste nel ripetere più volte ; ogni ripetizione di si dice un ;3 X U U tentativo( ) la probabilità di successo non varia al variare dei tentativi;33( ) gli eventi <al simo tentativo si verifica un successo> sono a due a due indipendenti al variare di .333 4 4

Sia un esperimento di Bernoulli, e sia lo spazio dei risultati associato.U HSia un numero intero positivo. All’esperimento binomiale consistente nel ripetere volte si può8 8X U8

associare come spazio dei risultati il prodotto cartesianoðóóóóóóñóóóóóóòH H H H‚ ‚á ‚ œ

8 volte.8

Sia : 0, 1, , l’applicazione che associa a ogni pla ordinata di elementi di il numero deiX H H8 Ä Ö á 8× 8 successi che vi compaiono. Questa è una variabile aleatoria, detta ( ).X numero dei successi su tentativi8

Teorema 32.12.8

Sia un esperimento di Bernoulli, con probabilità di successo e probabilità di insuccesso (cosicchéU + ,, œ +1 ).Sia l’esperimento binomiale che consiste nel ripetere volte , e sia la variabile aleatoria “numero deiX U8 8 Xsuccessi” ad esso associata. Per 0, 1, , , si ha5 ³ á 8

: œ 5 œ + ,( ) .X ˆ ‰85

5 85

Inoltre, il valore medio di è e si haX 8+

Var( ) , .X œ 8+, œ 8+,5XÈ

Dimostrazione - Calcoliamo ( ) per 0, 1, , .: œ 5 5 ³ á 8XTale probabilità è la somma delle probabilità dei diversi eventi elementari nei quali si verificano successi; tali5eventi elementari (cioè ple ordinate di elementi di ) sono in numero di perché corrispondono ai8 H ˆ ‰8

5

diversi modi di scegliere indici tra 1 e ; inoltre, la probabilità di ciascuno di essi è (poiché le5 8 + ,5 85

probabilità di successo e insuccesso non variano al ripetersi di , e gli esiti dei tentativi ripetuti sono eventiUindipendenti).Dunque ( ): œ 5 œ + ,X ˆ ‰8

55 85

come si voleva dimostrare. Notiamo che! !ˆ ‰3œ" 3œ"

8 885

5 85 8 8: œ 5 œ + , œ + , œ œ( ) ( ) 1 1X

come ci si aspettava.Calcoliamo ora il valor medio di :X

.X ³ : œ 5 † 5 œ 5 † + , œ! ! ˆ ‰5œ! 5œ!

8 885

5 85( ) X

œ 5 † + , œ 8 † + , œ 8+ + , œ ! ! !ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰5œ" 5œ" 5œ"

8 8 88 8 85 5 5

5 85 5 85 5" 85Teorema 13.4.5 ( )- 1 11 1

œ 8+ + , œ 8+ + , œ 8+ † œ 8+3 ³ 5 " ( ) 1! ˆ ‰3œ!

8"83

3 Ð8"Ñ3 8" 8"1

Dunque ci aspettiamo “in media” ( ) successi eseguendo esperimenti di Bernoulli.68 8+ 8

68 la media è riferita a più ripetizioni dell' esperimento binomiale X8 Þ


Calcoliamo ora la varianza di :X

Var( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )X X X X³ : œ 5 † 5 œ : œ 5 † 5 8+ œ : œ 5 † 8 + 8+5 5 œ! ! !5œ! 5œ! 5œ!

8 8 8# # # # #.X

œ 8 + : œ 5 8+ : œ 5 † 5 : œ 5 † 5 œ# # #

5œ! 5œ! 5œ!

8 8 8

( ) 2 ( ) ( )! ! !X X X

œ 8 + † 8+ : œ 5 † 5 œ 8 + 8 + : œ 5 † 5# # # # # # # #

5œ! 5œ!

8 8

1 2 ( ) 2 ( ) ..X ! !X X

Si ha ( ) ! ! ˆ ‰5œ! 5œ!

8 8# # 5 858

5: œ 5 † 5 œ 5 + , œX

œ 5 + , œ 58 + , œ ! !ˆ ‰ ˆ ‰5œ" 5œ"

8 8# 5 85 5 858 8

5 5

Teorema 13.4.5 ( )- 11

œ 8+ 5 + , œ 8+ 3 + , œÒ7 ³ 8 "ÓÒ3 ³ 5 "Ó

( 1) ! !ˆ ‰ ˆ ‰5œ"

8 78 75 3

5" 85 3 73

3œ!

11

œ 8+ 3 + , + , œ 8+ 7+ + , œ 8+ 8 + œŒ ! !ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b ( ) ( 1) 13œ! 3œ!

7 77 73 3

3 73 3 73 7 7

œ 8+ 8+ + œ 8+ 8+ , œ 8 + 8+,( 1) ( ) # #

cosicché infine si è trovato che

Var( ) 2 ( ) 2X Xœ 8 + 8 + : œ 5 † 5 œ 8 + 8 + 8 + 8+, œ 8+,# # # # # # # # # # #

5œ!

8!

e quindi possiamo infine calcolare la deviazione standard

5X ³ œ 8+,È ÈVar( ) .X


Possiamo tabulare come segue le probabilità ( ) :: œ 5X

5 á 8 8

: œ 5 , 8+, + , á 8+, ,

0 1 2 1( )X 8 8" # 8# 8" 88

#ˆ ‰



nel quale l’area della colonna corrispondente a ciascun valore ( ) di è la probabilità ( ) , mentre la5 : œ 569 X Xfunzione di ripartizione si può calcolare in misurando l’area complessiva delle colonne “fino a incluso”. Si5 5tenga presente che valori diversi di , e danno naturalmente luogo a istogrammi diversi.+ , 8


Sia l’esperimento binomiale che consiste nel ripetere volte un fissato esperimento di Bernoulli , e sia laX U8 8 Xvariabile aleatoria “numero dei successi” ad esso associata.Raddoppiando raddoppia il valor medio di (e raddoppia la varianza di ) ma la deviazione standard viene8 X Xmoltiplicata per 2 (e 2 è sensibilmente più piccolo di 2).È ÈPassando da a 100 ripetizioni dell’esperimento di Bernoulli, il valor medio di è moltiplicato per 100 ma la8 8 Xdeviazione standard (che misura il margine di variazione rispetto alla media) viene moltiplicato solo per 10 : ilmargine percentuale di errore, quindi, diminuisce!

Esempio 32.12.11

Esperimento: lancio di un dado. Successo: Esce un quadrato perfetto (cioè 1 oppure 4). Probabilità di successo:+ œ , œ + œ1 2

3 3 ; probabilità di insuccesso: 1 .

Su 300 lanci: valor medio 100; deviazione standard 66,6 8,16 . Il numero di successi sarà quasiÉ È 2 300 9† œ ¶

certamente compreso tra 75 e 125 (tre deviazioni standard attorno al valore medio); il rapporto è ,scarto 25 successi 100

ossia il 25% di margine in più o meno.Su 30.000 lanci: valor medio 10.000; deviazione standard 6666 81,6 . Il numero di successiÉ È 2 30.000

9† œ ¶

sarà quasi certamente compreso tra 9.750 e 10.250 (tre deviazioni standard attorno al valore medio); il rapportoscarto 250 25

successi 10.000 1.000 è , ossia il 2,5% di margine in più o meno.œ

Esempio 32.12.12

Sappiamo che in un certo libro di 500 pagine ci sono 300 errori “distribuiti casualmente”. Qual è la probabilitàche a pag. 37 ci siano esattamente 3 errori? Possiamo ragionare così: l’ipotesi che la distribuzione degli errori siacasuale esprime il fatto che per ciascun errore ogni pagina ha uguale probabilità che vi compaia. Dunque: perogni errore, la probabilità che esso sia a pag. 37 (“successo”) è ; la probabilità che esso sia in una qualsiasi1

500 altra pagina (“insuccesso”) è 1 . Ogni errore è un esperimento di Bernoulli; l’insieme dei 300, œ + œ 499

500 errori è un esperimento binomiale costituito da 300 esperimenti di Bernoulli ( 300). La probabilità che a pag.8 œ

37 ci siano esattamente 3 errori è dunque .ˆ ‰ ˆ ‰8 $ 8$3 3 500 500

300 1 499+ , œ †$ %*(

%*(

Si noti che non è immediato calcolare questo numero!

69 in questo caso assume tutti i valori interi da 0 a .5 8


32.13 - Fino a raggiungere il successo.

Consideriamo l’esperimento che consiste nel ripetere un dato esperimento di Bernoulli finché nonX Usi ottiene un successo. Possiamo scegliere come spazio dei risultati: la variabile aleatoria che si considera in™

questo caso (detta ) è l’identità su (essa associa al risultato di un esperimento che hatempo di attesa ™ 8richiesto ripetizioni di per ottenere un successo) .8 U

Teorema 32.13.1

Sia un esperimento di Bernoulli con probabilità di successo e probabilità di insuccesso (cosicchéU + ,, œ +1 ).Sia l’esperimento che consiste nel ripetere finché non si ottiene un successo, e sia la variabile aleatoriaX U X“tempo di attesa” ad esso associata. Si ha ( ) e il valore medio di è .: œ 5 œ +, a5 −X X5"

+™ 1

Dimostrazione - L’unico risultato di al quale associa il valore è quello per il quale nelle primeX X 55 5 1 ripetizioni di si ha un insuccesso e nella sima ripetizione di si ha un successo . Poiché i risultatiU Unelle ripetizioni di sono indipendenti, la probabilità di quanto sopra è , come si voleva.U +,5"

Omettiamo il calcolo del valore medio di .X


Nella situazione vista sopra, le ( ) formano una successione geometrica con termine iniziale e ragione .: œ 3 + ,X

Esempio 32.13.3

Giocando a “Monopoli”, per “uscire di prigione” bisogna fare “numeri doppi”. Quanti turni ci si deve aspettaredi rimanere, in media, in “prigione”?L’esperimento di Bernoulli qui considerato è quello visto all’esempio 32.12.5, con “successo” “numeri doppi”³. La probabilità di successo è (perché?) e il valore medio della variabile aleatoria “tempo di attesa” è cioè+ 1 1

6 +6 . Ci si deve dunque aspettare di rimanere “in prigione”, in media, 6 turni.

Esempio 32.13.4

Al “Gioco delle Carriere”, si resta alla “Panchina al Parco” finché tirando i dadi non si realizza 7, 11 o “numeridoppi”. Quanti turni ci si deve aspettare di rimanere, in media, alla “Panchina al Parco”?L’esperimento di Bernoulli qui considerato consiste nel lancio di due dadi, con “successo” “7, 11 o numeri³doppi” . La probabilità di successo è (perché?) e il valore medio della variabile aleatoria “tempo di attesa” è+ 7

18 1 18

7+ cioè . Ci si deve dunque aspettare di rimanere alla “Panchina al Parco”, in media, poco più di 2 turni emezzo.

Esercizio 32.13.5

Al “Gioco delle Carriere”, si resta all’“Ospedale” finché tirando (entrambi) i dadi non si realizza 5 o meno di 5 .Quanti turni ci si deve aspettare di rimanere, in media, all’“Ospedale”?


Nel gioco “La grande abbuffata” di Alex Randolph, si avanza con la pedina su un percorso di ventuno caselletirando i dadi con la seguente regola. Si lancia un dado e si osserva il punteggio ottenuto; si può scegliere seB"

avanzare di caselle oppure lanciare un altro dado; in quest’ultimo caso, detto il punteggio ottenuto colB B" #

secondo dado, se 7 si torna alla partenza, se invece 7 si avanza di 2 ( ) caselle.B B B B Ÿ † B B" # " # " #

Stabilire una strategia per decidere (in funzione di e della casella su cui ci si trova) se conviene lanciare ilB"

secondo dado.Suggerimento: si valuti in funzione di e della casella su cui ci si trova la speranza matematica di avanzamentoB"

quando non si tira il secondo dado e quando invece lo si tira.


32.14 - Variabili aleatorie con immagine non numerabile.

Siano un insieme non vuoto, una misura di probabilità su e una variabile aleatoria su . Se H H H: X Xassume un’infinità non numerabile di valori, le ( ) sono spesso tutte uguali a zero, e comunque non: œ BX !

consentono in generale di determinare la probabilità degli eventi “interessanti” individuabili mediante : siXricorre quindi ad un approccio completamente diverso, che possiamo descrivere qui soltanto per grandi linee e inun caso particolare.

Sia una funzione con la proprietà che: detta la funzione di ripartizione della variabilef F‘ ‘Äaleatoria (cfr. sez. 32.8), si haX

( ) t dt .æ ÐB Ñ œ Ð ÑF f!_

B' !

Non è detto in generale che una tale esista; se essa esiste, si dice che è la f f densità di probabilitàassociata a e (comunque presi , con ) si haX B B − B Ÿ B" # " #‘

:ÐB Ÿ Ÿ B Ñ œ Ð Ñ" #B

B

X f'"

#

t dt .

Si definiscono per il valore medio , la varianza Var( ) e la deviazione standard ponendoX X. 5X X

.X ³ †'_

_

x (x) dxf

Var( ) (x ) (x) dx e Var( ) .X f X³ ³' È_

_

#. 5X X

La funzione

f! (x) ³ 2

/ x

2#

È 1

si dice . Il suo grafico è approssimativamente il seguente:densità normale standard

Esercizio 32.14.1

Si studi la funzionef! (x) ³

2/

x 2#

È 1

e se ne tracci approssivamente il grafico.

Si dice che una variabile aleatoria se la densità diX ha distribuzione di probabilità normale standardprobabilità ad essa associata è la densità normale standard. Si dimostra che una variabile aleatoria condistribuzione di probabilità normale standard ha valore medio 0 e deviazione standard 1 .


Per calcolare approssimativamente le probabilità di una variabile aleatoria con distribuzione di

probabilità normale standard, si può usare la seguente tabulazione dei valori di (t) dt per 0 4 :'B!

f! Ÿ B Ÿ

Tabella 32.14. 1T

B B B B' ' ' 'B B B B

! ! ! !

f f f f! ! ! !(t) dt (t) dt (t) dt (t) dt

0,00 0,0000 1,00 0,3413 2,00 0,4772 3,00 0,49870,05 0,0199 1,05 0,3531 2,05 0,4798 3,05 0,49890,10 0,0398 1,10 0,3643 2,10 0,4821 3,10 0,49900,15 0,0596 1,15 0,3749 2,15 0,4842 3,15 0,49920,20 0,0793 1,20 0,3849 2,20 0,4861 3,20 0,49930,25 0,0987 1,25 0,3944 2,25 0,4878 3,25 0,49940,30 0,1179 1,30 0,4032 2,30 0,4893 3,30 0,49950,35 0,1368 1,35 0,4115 2,35 0,4906 3,35 0,49960,40 0,1554 1,40 0,4192 2,40 0,4918 3,40 0,49970,45 0,1736 1,45 0,4265 2,45 0,4929 3,45 0,49970,50 0,1915 1,50 0,4332 2,50 0,4938 3,50 0,49980,55 0,2088 1,55 0,4394 2,55 0,4946 3,55 0,49980,60 0,2257 1,60 0,4452 2,60 0,4953 3,60 0,49980,65 0,2422 1,65 0,4505 2,65 0,4960 3,65 0,49980,70 0,2580 1,70 0,4554 2,70 0,4965 3,70 0,49990,75 0,2734 1,75 0,4599 2,75 0,4970 3,75 0,49990,80 0,2881 1,80 0,4641 2,80 0,4974 3,80 0,49990,85 0,3023 1,85 0,4678 2,85 0,4978 3,85 0,49990,90 0,3159 1,90 0,4713 2,90 0,4981 3,90 0,50000,95 0,3289 1,95 0,4744 2,95 0,4984 3,95 0,5000

Poiché la è una funzione pari (cfr. sez. 21.4) e ( ) 0 se 4 , la tabella 32.14. 1 consente dif f! ! B ¸ B Tstimare quando ha distribuzione di probabilità normale standard.:ÐB Ÿ Ÿ B Ñ" #X X

Esempio 32.14.2

Sia una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità normale standard. Utilizziamo la tabella 32.14. 1X Tper stimare approssimativamente 1 2 .:Ð Ÿ Ÿ ÑXPer considerazioni di simmetria, 1 2 0 1 0 2 . Dalla tabella si ricava che:Ð Ÿ Ÿ Ñ œ :Ð Ÿ Ÿ Ñ :Ð Ÿ Ÿ ÑX X X:Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸ :Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸ :Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸0 1 0,3413 e 0 2 0,4772 . Pertanto 1 2 0,8185 .X X X

Esempio 32.14.3

Sia una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità normale standard. Utilizziamo la tabella 32.14. 1X Tper stimare approssimativamente 1 .:Ð Ÿ ÑXPer considerazioni di simmetria, 1 1 0 1 . Dalla tabella si ricava che:Ð Ÿ Ñ œ :Ð Ÿ Ñ œ :Ð Ÿ Ÿ ÑX X X1

2 :Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸ :Ð Ÿ Ñ ¸0 1 0,3413 . Pertanto 1 0,1587 .X X

Si dice che una variabile aleatoria se la variabile aleatoriaX ha distribuzione di probabilità normalestandardizzata ottenuta da essa (cfr. sez. 32.10) ha distribuzione di probabilità normale standard.

Se conosciamo il valore medio e la deviazione standard di una variabile aleatoria con distribuzione diXprobabilità normale, possiamo ancora utilizzare la tabella 32.14. 1 per stimare approssimativamenteT:ÐB Ÿ Ÿ B Ñ B B − B Ÿ B" # " # " #X per , con .‘


Esempio 32.14.4

Il signor Rossi deve essere in ufficio ogni giorno alle 9:00 . Egli fa in modo di arrivare attorno alle 8:55 : ladifferenza, espressa in minuti, tra l’ora di effettivo arrivo del signor Rossi e le 8:55 può essere descritta con unavariabile aleatoria con distribuzione di probabilità normale che ha valor medio 0 e deviazione standard 2,5.XQual è la probabilità che il sig. Rossi arrivi al lavoro in ritardo (cioè dopo le 9:00) ?Dobbiamo calcolare 5 , ossia (passando alla variabile aleatoria standardizzata ) ,:Ð Ÿ Ñ ³ œX Y X 0 2

2,5 5 X

dobbiamo calcolare 2 . La tabella 32.14. 1 ci fornisce 0 2 0,4772 . Ricordando che:Ð Ÿ Ñ :Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸Y YT:Ð Ÿ Ñ œ :Ð Ÿ Ñ ¸0 , si trova che 5 0,0228 . Pertanto il sig. Rossi arriva in ufficio in ritardo meno delY X1

2 2,3% delle volte.

Esempio 32.14.5

Nella gelida Brutopia, la temperatura nel mese di Dicembre può essere descritta mediante una variabile aleatoriaX con distribuzione di probabilità normale che ha valor medio 8 C e deviazione standard 5 C . Qual è la ! !

probabilità che in un dato istante la temperatura sia superiore a 0 C ?!

Dobbiamo calcolare 0 , ossia (passando alla variabile aleatoria standardizzata ) , dobbiamo:Ð Ÿ Ñ ³X Y 8 5

X

calcolare 1,6 . La tabella 32.14. 1 ci fornisce 0 1,6 0,4452 . Ricordando che:Ð Ÿ Ñ :Ð Ÿ Ÿ Ñ ¸Y YT:Ð Ÿ Ñ œ :Ð Ÿ Ñ ¸0 , si trova che 0 0,0548 . Pertanto nel mese di Dicembre in Brutopia la temperaturaY X1

2 supera gli 0 gradi Celsius solo il 5,48% delle volte.

32.15 - Approssimazione mediante variabili aleatorie con distribuzione di probabilità normale.

Sia dato un esperimento, e sia una variabile aleatoria ad esso associata. Se assume “molti valori” inX Xun certo intervallo aperto ( , ) di numeri reali, può essere “matematicamente conveniente” descrivere+ ,l’esperimento mediante una variabile aleatoria che assume i valori di quell’intervallo.tutti

Consideriamo un caso concreto. L’esperimento consista nello scegliere a caso un cittadino italianomaggiorenne; e la variabile aleatoria associ a ogni risultato (cioè a ogni cittadino italiano maggiorenne) il suoXpeso espresso in chilogrammi. è chiaro che ha immagine finita, perché è definita su un insieme finito! LaXdistribuzione di può essere tabulata mediante un istogramma, avendo scelto un certo numero di ampiezze diXpesi:

L’istogramma è fatto in modo che l’area di ogni blocco sia proporzionale al numero di individui chehanno il peso compreso nell’intervallo indicato alla base del blocco. Se l’area totale è uguale a 1, possiamointerpretare l’area di ciascun blocco come la probabilità che un individuo abbia peso compreso nell’intervalloindicato alla base.


Per migliorare la rappresentazione fornita dall’istogramma possiamo aumentare il numero degliintervalli, diminuendone di conseguenza le ampiezze per mantenere uguale a 1 l’area totale :

Continuando ad aumentare il numero degli intervalli diminuendone le ampiezze (in modo che l’areatotale resti uguale a 1), l’istogramma si “avvicina” sempre più al grafico della densità di probabilità di unavariabile aleatoria con distribuzione di probabilità normale, dalla caratteristica forma “a campana”:

Stimando valore medio e deviazione standard della variabile aleatoria, si possono applicare le tecnicheviste nella sezione 32.14 per calcolare la probabilità che la variabile aleatoria assuma valori in un assegnatointervallo.

Si dimostra che la variabile aleatoria “numero dei successi su tentativi” (cfr. sez. 32.12) può essere8approssivamente descritta, per “sufficientemente grande”, mediante una variabile aleatoria con distribuzione di8probabilità normale.


Esempio 32.15.1

Si consideri nuovamente il problema visto nell’esempio 32.12.12.Il valore ( 3) può essere stimato sostituendo alla variabile aleatoria “numero dei successi su 300: œX Xtentativi” la variabile aleatoria con distribuzione di probabilità normale che ha lo stesso valore medio e laX"

3 5

stessa deviazione standard 0,77 , e calcolando (2,5 3,5) .É 3 499 5 500†† ¸ : Ÿ ŸX"

Per effettuare il calcolo, dobbiamo ricondurci alla variabile aleatoria standardizzata ottenuta da ; si haY X"

Y ³ œ

100 60

77X X" " †

3 5

77 100

e dobbiamo calcolare ( ) ossia (2,5 3,8) . Utilizzando la tabella 32.14. 1 si trova che: Ÿ Ÿ : Ÿ Ÿ 190 290 77 77Y Y T

: Ÿ Ÿ ¸ : Ÿ Ÿ ¸(0 2,5) 0,4938 e (0 3,8) 0,4999 per cui la probabilità cercata è circa 0,0061 .Y Y

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