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Esercizi di Fisica 1

Per il biennio degli Istituti tecnici e professionali

Alessandro Ciucci

ITIS “Galilei” Biennio SIRIO Esercizi di Fisica 1 Prof. Alessandro Ciucci

2

Unità di Misura ed Errori

1 - Equivalenze

44 nm = 0.044 m 10 km = 1,000,000 cm

3000 mg = 0.003 kg 58 kK = 5 8,000 K

200 s = 0.0002 s 0.36 ks = 360,000 ms

3.5 nm = 0.0035 m 150 km = 15,000,000 cm

400 mg = 0.0004 kg 5.6 kK = 5,600 K

3600 s = 0.0036 s 3.6 ks = 3,600,000 ms

Premessa sulla teoria degli errori. Se una certa misura diretta produce un valore E, indichiamo il valore

dell’errore assoluto sulla misura con E, l’errore assoluto (o incertezza) rappresenta la dimensione di un

intervallo, generalmente simmetrico, intorno al valore E della misura che “assicura” la presenza al suo

interno delle eventuali ripetizioni (nelle stesse condizioni e con i medesimi strumenti) della misura. Questa

ipotesi discende dall’idea che, se fosse possibile ripetere la misura per un numero di volte molto grande (?),

le misure si distribuirebbero intorno al valore medio secondo una curva a campana (Distribuzione di Gauss).

In questo caso il “valore” della misura è dato dal valor medio della distribuzione e l’errore dalla deviazione

standard (o dal suo doppio). Ricordiamo che la deviazione standard è la radice quadrata della media degli

scarti quadratici dal valore medio, graficamente rappresenta la semilarghezza a metà altezza della curva di

Gauss. Quando le misure sono poche (n < 30) l’errore sulla media delle misure è dato dalla deviazione

standard del campione corretta per un parametro statistico (t di Student), alcuni testi, per semplicità,

considerano l’errore assoluto come metà della differenza tra la misura massima e quella minima.

La stima statistica dell’errore assoluto non può, in genere, essere inferiore alla sensibilità dello strumento

con cui queste misure sono state eseguite, per cui, in caso di misura diretta singola, l’errore assoluto sarà

dato almeno dalla metà della sensibilità dello strumento.

La misura, che sia singola o frutto del processo di media, si esprime come E ± E, espressione che deve

essere letta come “E più o meno delta E”, e interpretata come: la migliore stima della misura è E, con

“grande probabilità” nuove prove della misura stessa darebbero valori maggiori di E-E e minori di E+E.

L’errore relativo (o percentuale) su una misura (spesso, in modo inappropriato, indicato anche come

precisione) è dato dalla seguente espressione:

EE

EE

EE

100

%100%

Discende direttamente dall’errore assoluto ma la sua indicazione risulta più comoda perché svincolata

dall’unità di misura.

2 - Errore Relativo

Il termostato di un impianto di riscaldamento scatta quando la temperatura T della caldaia supera i 70 °C.

Sapendo che l’errore percentuale commesso dal sensore di temperatura è T% = 5 %, determinare

l’intervallo di temperatura (errore assoluto) che può determinare l’attivazione del termostato.

Svolgimento:


3

Nel nostro esempio un termostato è impostato a 70 °C, ciò significa che quando la lettura della

temperatura supera (o scende al di sotto) dei 70 °C il dispositivo chiude o apre un interruttore. La misura è

affetta da un errore percentuale T% = 5%, ciò significa che ripetizioni della stessa misura possono dare

letture leggermente diverse ma anche che temperature diverse possono produrre una lettura di T = 70 °C,

per cui

CEE

E

5.370100

5

100

%, cioè temperature comprese tra 70 -3.5 = 66.5 °C e 70+3.5 = 73.5 °C

possono causare l’attivazione del termostato.

3 – Propagazione Errori

E’stato misurato un oggetto rettangolare con un calibro ventesimale, le misure hanno dato i seguenti

risultati per la base B e per l’altezza H:

B H

5.50 4.55

5.55 4.55

5.45 4.65

5.60 4.45

5.40 4.55

Per la base B e per l’altezza H calcolare la media e l’errore sulla media. Utilizzare poi i risultati per calcolare

la superficie A dell’oggetto e l’errore A.

Svolgimento

Quando si hanno più misure della stessa grandezza possiamo utilizzare il valore medio delle misure come

migliore stima, mentre come stima dell’errore prenderemo la semidifferenza tra il valore massimo e il

valore minimo riscontrati nel set delle misure

2

22

minmax

minmax

3.10.25

28.110.055.415.050.5025.25

15.02

40.470.4

2

55.45

75.22

5

55.440.470.455.455.4

10.02

40.560.5

2

50.55

5.27

5

40.560.545.555.550.5

mmA

mmBHHBAmmHBArea

mmHH

H

mmN

H

H

mmBB

B

mmN

B

B

mediamediareamediamedia

media

N

i

i

media

media

N

i

i

media


4

Equilibrio di un punto materiale Per punto materiale intendiamo un corpo solido, dotato di massa, di dimensioni trascurabili rispetto al contesto in cui si trova. I movimenti eventuali di detto corpo sono solo di traslazione e, pertanto, non si considerano eventuali moti rotazionali.

Definizioni: Forza: Tutto ciò che è in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo, è una

grandezza vettoriale, si misura in newton 1N = (1Kg x 1m)/(1s2) Forza peso: E’ la forza con cui la terra attira verso il suo centro i corpi dotati di massa, sulla superficie

terrestre si esprime come il prodotto della massa per una costante indicata con la lettera g (accelerazione di gravità) che vale mediamente 9,81 m/s2.

Fp = m g.

Forza di attrito radente: E’ la forza che si oppone al moto relativo di due superfici (una rispetto all’altra),

dipende dalla forza premente (la forza che tiene le due superfici accoppiate) e da

un coefficiente caratteristico della coppia di materiali. Il coefficiente è

adimensionale ed è normalmente espresso con le lettere k o . Quindi Fa = Fp

(Forza attrito = Forza Premente x Coefficiente di Attrito)

Forza elastica: E la forza che un corpo, se sottoposto a deformazione, esercita per ritornare nella forma iniziale.

Dipende dal materiale di cui è costituito il corpo e dall’entità della deformazione. Nel caso di una

deformazione unidimensionale (molla) la forza elastica è opposta all’allungamento (o compressione).

Fe = - KE X. La costante KE prende il nome di “costante elastica della molla” e si esprime in N/m.

Equilibrio di un punto materiale: un punto materiale è in equilibrio (cioè mantiene indefinitamente la sua

posizione) se la somma vettoriale delle forze che agiscono su di esso è

nulla (vettore di intensità nulla)

Esercizi:

1 - E’ data una molla di costante elastica KE = 500 N/m, la molla è disposta verticalmente e fissata per un

estremo ad un supporto. All’altro estremo vengono appese in successione tre masse,

m1 = 50 gr, m2 = 150 gr, m3 = 200 gr. Calcolare gli allungamenti corrispondenti (x1 :

solo m1, x2 : m1 + m2, x3 : m1+m2+m3). Considerare g = 10 m/s2

Svolgimento

Le masse sono soggette alla forza peso, pertanto provocheranno una deformazione

(allungamento) della molla fino a che la forza di richiamo elastica non farà equilibrio.

Avremo pertanto:

KE

x

m1


5

][008,0500

10)2.015.005.0()()(

][004,0500

10)15.005.0()()(

][001,0500

1005.0

321

321

2121

11

mK

gmmmXXKgmmm

mK

gmmXXKgmm

mK

gmXXKgm

FF

E

E

E

E

E

E

elasticapeso

2 - Un corpo di massa m = 150 Kg poggia su una superficie orizzontale. Tra il corpo e la superficie c’è un

coefficiente di attrito = 0.6. Il corpo è trainato con una fune parzialmente elastica (KE = 9000 N/m) a

velocità costante. Calcolare l’allungamento X della fune. Considerare g = 9.81 m/s2.

Svolgimento:

Se il corpo è trascinato a velocità costante la forza elastica della fune sarà uguale alla forza di attrito

radente. Possiamo scrivere:

][0981,09000

9,882

9000

6.081,9150m

mgXgmFXK

FF

E

pesoE

attritoelastica

3 – Un corpo di massa m = 10 Kg è appoggiato su un piano inclinato di = 30°. Sapendo che il coefficiente

di attrito statico tra il corpo e la superficie del piano è s = 0.85, dire se, sotto

l’azione della forza peso, il corpo si muove oppure no. Si consideri g = 10 m/s2

Svolgimento:

Sul corpo agiscono la forza peso, la forza di attrito, la reazione del piano.

L’unica vera forza esterna è la forza peso Fp = m g, diretta verso il basso.

Poiché il piano è rigido, scomponiamo la Fp in due vettori, uno parallelo al piano F// e uno perpendicolare

F. Questa scelta ci permette di isolare l’azione tesa allo scivolamento del corpo a causa della sola F// e di

individuare nella F la responsabile della forza di attrito Fa che schematizzazione come diretta in verso

opposto alla F//. Da semplici considerazioni geometriche ricaviamo che F// = Fp sen() e F = Fp cos(). F è

bilanciata dalla reazione del piano R (il piano è rigido, non si flette sotto l’azione della forza peso,

schematizziamo questo fatto come la presenza di una forza perpendicolare al piano che bilancia la forza

esterna). Allora possiamo scrivere:

NgmFF

gmFF

NsengmsenFF

gmF

a

p

p

p

61,7385.0866.01010)cos(

)cos()cos(

505.01010)()(//

Poiché F// < Fa il corpo non si muove

Fp

F F//

m

30°


6

4 - Due molle sono collegate come in figura (collegamento in serie) la prima di costante elastica K1 = 100

N/m è collegata ad un supporto, al suo estremo libero è appesa la seconda molla

di costante elastica K2 = 400 N/m. All’estremo libero della seconda molla è

appesa una massa m = 800 gr. Determinare l’allungamento complessivo delle

molle (X = X1 + X2) e la costante elastica “equivalente” KEQ delle due molle

(cioè la costante elastica di una molla che da sola si allunga come le due messe in

serie). Considerare g = 10 m/s2.

Svolgimento:

Consideriamo il punto A, esso è in equilibrio quando le forze elastiche delle due

molle si compensano, quindi K1X1 = K2X2. La seconda molla è in equilibrio con la forza peso, per cui mg =

K2 X2, gli allungamenti delle due molle sono tali come se la massa fosse appesa a ciascuna molla (e così in

effetti è!). Possiamo scrivere:

]/[80500

40000

400100

400100

111111

][1,002,008,011

][02,0400

108,0

][08,0100

108,0

21

21

2121

2121

21

2

222

1

111

mNKK

KKK

KKKKmg

KKmgX

mKK

mgK

gm

K

gmXXX

mK

gmXgmXK

mK

gmXgmXK

EQ

EQEQ

5 – Su un piano inclinato di un angolo = 45° è appoggiato un corpo di massa m = 4 Kg. Tra il corpo e il

piano c’è attrito caratterizzato da un coefficiente = 0.7. Il corpo è in

equilibrio sotto l’azione della forza peso, della forza di attrito e per

effetto di una molla di costante elastica KE = 400 N/m che sostiene il

corpo dalla parte alta del piano. Determinare l’allungamento X della

molla nella configurazione di equilibrio. Considerare g = 10 m/s2.

Svolgimento:

Lungo il piano agiscono 3 forze. La componente della forza peso

parallela al piano inclinato (che chiamiamo “Forza Parallela” e la

indichiamo con //F ), la forza di attrito radente generata dalla componente della forza peso perpendicolare

al piano inclinato (che chiamiamo “Forza Perpendicolare” e indichiamo con il simbolo F ) e dal coefficiente

di attrito m, e la forza elastica. Perpendicolarmente al piano agiscono la “Forza Perpendicolare” e la

“Reazione” del piano.

Poiché il piano è rigido la reazione compensa la Forza Perpendicolare che sarà responsabile solo della

generazione dell’attrito radente lungo il piano.

Nella direzione del piano agiscono la Forza Parallela, che viene compensata dalla Forza Elastica e la Forza di

Attrito che agiscono nella stessa direzione ma con verso opposto. Pertanto possiamo scrivere:

K2

K1

m

A

Fp

m

F //F

R FE

Fa


7

][02121,0400

484,8

400

796,1928,28)cos()(

)cos()(

796,197.0707.0104)cos(

28,28707,0104)cos()cos(

28,28707,0104)()(

40104

////

//

mK

gmsengmX

gmsengmXK

FFFFFF

NgmFF

NgmFF

NsengmsenFF

NgmF

E

E

attritoElasticaattritoElastica

attrito

peso

peso

peso

Moto rettilineo

1) Sulla stessa retta si muovono, di Moto Rettilineo Uniforme, contemporaneamente due punti materiali A

e B. A, inizialmente si trova a 4 metri dall’origine e si “allontana” alla velocità vA = + 2 m/s, B inizialmente si

trova a 24 metri dall’origine e si “avvicina” alla velocità vB = -3 m/s. Scrivere le leggi orarie dei moti e

determinare l’istante t e la posizione X in cui si incontrano.

Svolgimento:

Il punto A, inizialmente nella posizione X0A = +4 m, si muove con velocità costante positiva vA = +2 m/s, ciò

significa che si allontana dalla posizione X = 0 che è l’origine del nostro sistema di riferimento, il punto B,

invece, inizialmente nella posizione X0B = +24 m, si muove con velocità costante negativa vB = - m/s, cioè si

sta avvicinando alla posizione X = 0 (l’origine del sistema di riferimento). E’ evidente che i due punti si

incontreranno e che la posizione di incontro sarà un punto intermedio tra X0A e X0B. Le equazioni del moto

(o leggi orarie), cioè le equazioni che permettono di ricavare la posizione X ad un determinato istante t e

vice versa, per il Moto Rettilineo Uniforme (MRU), saranno:

ttXttX

tvXtXtvXtXtvXtX

BA

BoBBAoAAo

32424

Nell’istante in cui si incontrano avremo XA(t) = XB(t), quindi:

stt

tttttt

45

20205

424323242432424

Quindi, risulta che A e B si incontrano dopo 4 secondi. Per determinare la posizione sarà sufficiente

sostituire il valore di t = 4 in una delle due equazioni del moto, sostituendolo in entrambe avremo la riprova

della correttezza del risultato,

mtXmtX

tvXtXtvXtX

BA

BoBBAoAA

1212244324412844244

Concludiamo allora dicendo che i due punti A e B si incontrano all’istante t = 4 s nella posizione X = 12 m.


8

2) Un automobile viaggia su un rettilineo alla velocità v0 = 54 Km/h quando il guidatore si accorge che il

semaforo è scattato sul rosso e frena. Supponendo che l’accelerazione impressa dall’azione dei freni sia af =

- 3 m/s2, determinare lo spazio precorso prima di fermarsi Sf (spazio di frenata).

Svolgimento:

Come prima cosa dobbiamo trasformare l’unità di misura della velocità iniziale da *Km/h+ in *m/s+, per far

questo dividiamo il valore della velocità espresso in Km/h per 3.6 (che è il rapporto tra i 3600 secondi in un

ora e i 1000 metri in un kilometro), per cui v0 = 54 /3.6 = 15 m/s. I freni imprimono una accelerazione

costante a = - 3 m/s2, il segno meno sta a significare che la velocità diminuisce di 3 m/s per ogni secondo,

abbastanza intuitivamente deduciamo che saranno necessari cinque secondi perché l’auto si fermi. Le

equazioni che sostengono l’intuito sono:

tavtv 0 , quando l’auto è frema la sua velocità è nulla, per cui v(t) = 0 m/s, quindi

sttttav 53

15153)3(1500 0

Per sapere quanto spazio percorre l’auto prima di arrestarsi (spazio di frenata) abbiamo bisogno

dell’equazione del moto uniformemente accelerato

2

002

1)( tatvXtX , se sono interessato allo spostamento rispetto alla posizione iniziale S(t) = X(t) –

X0 avremo 2

02

1)( tatvtS , che nel nostro caso diventa:

mtSStttS f 5.375.377555,1515)5(,)3(2

115)( 22

3) Un oggetto si muove di moto rettilineo secondo il diagramma velocità-tempo in figura. Determinare lo

spostamento dalla posizione iniziale per t=10 s.

Svolgimento:

In un diagramma velocità-tempo di un

moto rettilineo, l’area compresa tra il

grafico della velocità e l’asse dei tempi,

rappresenta lo spazio percorso, se il

grafico è “sopra” l’asse orizzontale

(velocità positive) si tratta di spazio

percorso verso valori crescenti della

posizione (spazio percorso in avanti)

mentre se il grafico si trova “sotto” l’asse

dei tempi (velocità negative) si tratta di

spazio percorso verso valori decrescenti

della posizione (spazio percorso indietro).

Lo spostamento in un certo intervallo di tempo sarà dato dalla somma algebrica delle aree comprese tra il

grafico e l’asse dei tempi con i segni come prima descritti. Nel nostro caso dobbiamo semplificare l’area tra

t =0 e t = 6 in due trapezi:


9

Per cui avremo:

S1 = [(5 + 3) * 2]/2 = 8 m

S2 = [(6 + 5) * 2]/2 = 11 m

S3 = [(4 + 1) * 2]/2 = 5 m

Spostamento = S1 + S2 – S3 = 8 + 11 – 5 = 14

m

4) Su una stessa retta si muovono due oggetti. L’oggetto A si muove a velocità costante vA = 24 m/s,

l’oggetto B si muove di moto uniformemente accelerato con aB = +4 m/s2. Nell’istante iniziale i due oggetti

si trovano nella stessa posizione e B ha la velocità v0B = 12 m/s. Determinate quanto spazio S deve

percorrere B prima di raggiungere A

Svolgimento:

Poiché il moto di B è uniformemente accelerato, la velocità di B cresce nel tempo indefinitamente, per cui B

raggiungerà A che si muove a velocità costante e lo sorpasserà. Possiamo assumere, senza perdere

generalità, che nell’istante in cui A sorpassa B si trovino nella posizione X = 0 m e che quell’istante sia t = 0.

Per cui la posizione iniziale è per entrambi X0A = 0 m, X0B = 0 m. Scriviamo, quindi, le equazioni del moto:

22

0

0

42

1120)(

2

1)(

240)()(

tttXtatvXtXB

ttXtvXtXA

BBBB

AAAA

Nell’istante in cui B sorpassa A, si trovano, ovviamente nella stessa posizione, cioè XA(t) = XB(t), quindi

avremo:

sttt

t

t

ttsett

tttttttXtX BA

6212212

0212

2122442

11224)()(

22

22

Quindi B raggiunge A dopo sei secondi, per determinare lo spazio percorso dobbiamo sostituire nelle

equazioni del moto questo valore del tempo, otteniamo:

mtXB

mtXA

B

A

14472723642

1612)6(

144624)6(

Dinamica

1) Un automobile di massa m = 1500 Kg viaggia su un rettilineo a velocità costante V0 = 90 Km/h. Il

guidatore aziona il freno per un intervallo di tempo t = 5 s, il freno agisce come una forza di intensità Ff =


10

1200 N. Calcolare la velocità V1 dell’auto al termine dell’azione di frenata e lo spazio S percorso

nell’intervallo di tempo specificato. Trascurare l’attrito dell’aria.

Svolgimento:

L’azione del freno si traduce in un’accelerazione diretta in senso contrario alla velocità del veicolo, quindi

col segno opposto a quello della velocità, secondo l’equazione ma = F, si ha che m

Fa

f

f , durante

l’azione del freno il moto dell’auto sarà uniformemente accelerato e la velocità in funzione del tempo sarà

descritta dall’equazione taVtV 0 e lo spazio percorso 2

02

1tatVtS .

Nel nostro caso avremo V0 = 90/3.6 = 25 [m/s], ]/[8.01500

1200 2smm

Fa

f

f , quindi

]/[2158.02501 smtaVtVV f

][11510125254.012558.02

1525

2

1 22

0 mtatVtS f

2) Uno sciatore di massa m = 80 Kg, partendo da fermo scende seguendo una traiettoria rettilinea lungo un

pendio inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo = 45°. L’attrito tra gli sci e la neve è trascurabile,

mentre l’aria oppone una forza frenante schematizzabile come Ff = -v2, con = 0.5 [Kg/m] Calcolare la

velocità massima vL che lo sciatore può raggiungere. (considerare l’accelerazione di gravità g = 10 [m/s2].

Svolgimento:

Possiamo trattare il moto come se avvenisse su un piano inclinato. Le forze agenti sullo sciatore lungo il

piano inclinato sono due: la componente della forza peso lungo il piano (normalmente indicata come Forza

parallela o F//) e l’attrito dell’aria. Vale pertanto la seguente equazione 2

// vFam . La forza di attrito è

crescente con il quadrato della velocità e, quindi, al crescere della velocità per azione della forza parallela

aumenta anche l’attrito e diminuisce l’accelerazione (ma non la velocità!). A limite, la forza di attrito

eguaglia la forza parallela e la velocità raggiunge il suo valore massimo o Limite. Per cui si ha 2

//

2

//0 LL vFvFam .

Poiché F// = Fpeso sen(), cioè F// = m g sen(), avremo 2)( Lvsengm e, quindi,

)(sengmvL , nel

nostro caso avremo ]/[6,3311315,0

6,565

5.0

707,01080smvL


11

3) Un corpo di massa m = 15 Kg ruota su una traiettoria circolare legato ad un filo di lunghezza l = 1.5 m. Il

carico di rottura del filo è FR = 810 N. Calcolare la velocità massima v a cui può muoversi la massa m senza

rompere il filo

Svolgimento

Per mantenere il corpo in traiettoria circolare il filo deve esercitare un forza sul corpo. Il carico di rottura è

la forza massima che un materiale può sopportare senza rompersi. Nel nostro caso la tensione sul filo è

determinata dalla forza centrifuga, per cui la velocità massima vm è tale che R

m Fv

m

2

e, quindi,

]/[98115

5.1810sm

m

Fv Rm

4) Calcolare la velocità vs che un satellite deve avere per restare in orbita circolare intorno alla terra ad una

distanza pari al doppio del raggio della terra. Considerare i seguenti dati: Mt = 6*1024 [Kg], Rt = 6.4*106 [m],

G = 6.67*10-11 [N*m2/Kg2]

Svolgimento

Affinché il satellite possa mantenere la traiettoria circolare è necessario che l’attrazione gravitazionale tra

la terra e il satellite sia compensata dalla forza centrifuga. Poiché il satellite è in orbita ad una altezza pari al

doppio del raggio terrestre, la sua distanza dal centro della terra risulterà pari a tre volte il raggi della terra.

Chiamiamo ms la massa del satellite, avremo, dunque,

]/[1056.41008.2

102.19

1002.40

104.63

1061067.6

3

,,333

37

6

13

6

2411

2

2

2

sm

R

MGv

cioèvR

MG

R

vm

R

mMG

t

t

s

s

t

t

t

s

s

t

st

ENERGIA

1 - CALCOLO DELLO SPAZIO DI FRENATA

Un veicolo di massa m = 1200 Kg si muove su una traiettoria rettilinea a velocità costante v0 = 90 Km/h. Il

guidatore aziona il freno e le ruote si bloccano. L’attrito tra le gomme e l’asfalto sviluppa una forza frenante

Ff = 8000 N. Calcolare lo spazio percorso Sf dal veicolo prima di fermarsi.

Svolgimento:

L’energia iniziale del veicolo Ei è composta solo dal termine di energia cinetica, cioè

JvmEi 375000625*12005.02

1 2

0 , dopo l’azione dei freni il veicolo sarà fermo è l’energia finale


12

sarà JvmE f 02

1 2

1 , l’energia è stata dissipata dal lavoro fatto della forza dei freni per lo spazio di

frenata, per cui si ha ][875,468000

375000,2

1

2

12

02

0 mScioèF

vm

SSFvmE f

f

fffi

2 - SALTO DI POTENZIALE

Un corpo di massa m = 1 Kg si muove su un piano

orizzontale con velocità costante V0 = 15 m/s. Nel suo

percorso incontra una salita di altezza h = 10 m.

Determinare la velocità V1 del corpo sulla sommità

della salita. Nel caso che il corpo non raggiunga la

sommità calcolare l’altezza massima hmax raggiunta.

Trascurare eventuali attriti e considerare g = 10 m/s2.

Svolgimento:

L’energia della massa resta costante durante tutto il moto, alla base della salita l’energia è costituita dalla

sola componente cinetica, si ha quindi JmvEi 5.11222515.02

1 2

0 , sul piano dopo la salita (se

viene raggiunta) l’energia sarà composta da un termine di energia cinetica e da un termine dovuto

all’aumento dell’energia potenziale, si avrà quindi

smvghvvghvv

mndosemplificamghmvmvmghmvEmvE fi

/5252520022522

2,2

1

2

1

1

2

0

2

1

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

Nel caso in cui ,02

1 v allora la massa m non raggiunge la sommità della salita. E’ possibile calcolare

l’altezza massima hmax raggiunta sul tratto in salita, in quel punto la componente di energia cinetica sarà

nulla, quindi tutta l’energia iniziale sarà energia potenziale, cioè g

vhquindimghmv

2,,

2

12

0

maxmax

2

0

3 - LAVORO ED ENERGIA POTENZIALE

Un motocicletta di massa m = 200 Kg (guidatore compreso), si trova

ferma alla base di un pendio di lunghezza L = 100 m, il pendio è inclinato

rispetto all’orizzontale di una angolo = 30°. La moto parte, il motore

sviluppa una forza costante F = 3000 N. Calcolare la velocità v1 che avrà la

moto alla sommità della salita. Considerare g = 10 m/s2.

Svolgimento

Il lavoro compiuto dalla forza F per il tratto L si trasforma in energia cinetica ed energia potenziale della

moto. Si ha senLgmvmLFsenLhdovemghvmLF 2

1

2

12

1,,

2

1,

moltiplicando per 2 e dividendo per m si ha

h V0

= 30°

L


13

]/[72.442000500010003000

5.0100102200

100300022

22

2

1

2

1

2

1

smv

senLgm

LFvsenLgv

m

LF

4 - IL GIRO DELLA MORTE

Un corpo di massa m = 5 [Kg] si muove senza

attrito su una traiettoria (giro della morte)

come nella figura a fianco. L’altezza da cui

parte è h = 60 [m]. Determinare la velocità del

corpo alla sommità del tratto circolare (Punto

A) di raggio R = 20 [m], e dire se il corpo riesce

a completare il “giro della morte”. Considerare

g = 10 [m/s2]

Svolgimento

L’energia iniziale ha la sola componente di potenziale, nel punto A ci saranno la componente cinetica e

quella di potenziale, avremo quindi:

)2(2

1 2 Rmgmvmgh A , moltiplicando l’equazione per 2 e semplificando la massa m si ha:

]/[20400

400800120020104601024242 22

smv

gRghvgRvgh

A

AA

Il “giro della morte” sarà completato se nel punto A l’accelerazione centrifuga sarà maggiore di quella

gravitazionale, cioè se:

102020

4002

gR

vA , quindi la risposta è sì, completa il giro della morte

5 - BARRIERA DI POTENZIALE


orizzontale con velocità costante v0 = 18 m/s. Nel

suo percorso incontra una salita di altezza h1 = 15 m

e, successivamente scende ad altezza h2 = 10 m.

Verificare che l’energia del corpo sia sufficiente a

superare l’altezza h1 e, nel caso, determinare la

velocità v2 del corpo sul tratto di altezza h2. Nel caso

che il corpo non raggiunga la sommità calcolare

l’altezza massima hmax raggiunta. Trascurare eventuali attriti e considerare g = 9.8 [m/s2].

Svolgimento:

h R

A

h1 v0 h2


14


sola componente cinetica, si ha quindi ][16232415.02

1 2

0 JmvEi , per poter superare la quota h1

è necessario che l’energia sia maggiore dell’energia potenziale sulla quota h1, cioè

verificatacondizionemghmv 147167158.9132415.02

11

2

0

In questo caso la massa prosegue e scende a quota h2, dove l’energia sarà composta da un termine di

energia cinetica e da un termine dovuto all’aumento dell’energia potenziale rispetto alla quota iniziale, si

avrà quindi

]/[3.5282819632422

2,2

1

2

1

22

2

0

2

22

2

2

2

0

2

2

2

2

02

2

2

2

0

smvghvvghvv


Nel caso in cui 1

2

02

1mghmv allora la massa m non raggiunge la quota h1. E’ possibile calcolare l’altezza

massima hmax raggiunta sul tratto in salita, in quel punto la componente di energia cinetica sarà nulla,

quindi tutta l’energia iniziale sarà energia potenziale, cioè g

vhquindimghmv

2,,

2

12

0

maxmax

2

0

6 - REAZIONE CHIMICA


orizzontale con velocità costante v0 = 15 m/s. Nel

suo percorso incontra una salita di altezza h1 = +10

m e, successivamente scende ad altezza inferiore

alla quota iniziale h2 = -10 m. Verificare che l’energia

del corpo sia sufficiente a superare l’altezza h1 e, nel

caso, determinare la velocità v2 del corpo sul tratto

di altezza h2. Nel caso che il corpo non raggiunga la

sommità calcolare l’altezza massima hmax raggiunta. Trascurare eventuali attriti e considerare g = 9.8 [m/s2].

Svolgimento:


sola componente cinetica, si ha quindi ][5.11222515.02

1 2

0 JmvEi , per poter superare la quota

h1 è necessario che l’energia sia maggiore dell’energia potenziale sulla quota h1, cioè

verificatacondizionemghmv 985.122108.9122515.02

11

2

0

In questo caso la massa prosegue e scende a quota h2, dove l’energia sarà composta da un termine di

energia cinetica e da un termine dovuto alla diminuzione dell’energia potenziale rispetto alla quota iniziale,

si avrà quindi

h1 v0

h2


15

]/[52.2042142119622522

2,2

1

2

1

22

2

0

2

22

2

2

2

0

2

2

2

2

02

2

2

2

0

smvghvvghvv


Nel caso in cui 1

2

02

1mghmv allora la massa m non raggiunge la quota h1. E’ possibile calcolare l’altezza

massima hmax raggiunta sul tratto in salita, in quel punto la componente di energia cinetica sarà nulla,

quindi tutta l’energia iniziale sarà energia potenziale, cioè g

vhquindimghmv

2,,

2

12

0

maxmax

2

0

7 - CANNONE A MOLLA

Una sfera di massa m = 4 [Kg] si trova sulla sommità di

un gradino di altezza h0 = 19.6 [m], la sfera è

appoggiata ad una molla di costante elastica KE = 400

[N/m] compressa per un tratto X = 0.4 [m]. La molla è

lasciata libera e spinge la sfera orizzontalmente, la

sfera salta e, sotto l’azione della gravità, raggiunge

quota zero ad una distanza G (Gittata) dalla base del

gradino. Calcolare la velocità v1 della sfera quando

impatta il suolo e la distanza G a cui cade (Gittata).

Considerare g = 9.8 [m/s2]

Svolgimento:

L’energia meccanica è costante, per cui l’energia iniziale che è data dalle componenti di potenziale elastico

perché la molla è compressa e gravitazionale perché la sfera si trova ad un’altezza h0, sarà uguale

all’energia finale, data dalla sola componente di energia cinetica, si avrà:

2

10

2

2

1

2

1vmEhgmXKE fEi , per cui moltiplicando per 2 e dividendo per m si ha:

]/[2016.400

16.40016.386166.198.924

16.0400,2

1

2

10

2

smv

vhgm

XK E

Per il calcolo della Gittata è necessario ricordare che il moto oltre il gradino è un moto parabolico,

l’accelerazione di gravità modifica solo la componente verticale della velocità, per cui se la sfera è lanciata

orizzontalmente il tempo di caduta (o tempo di volo) tc dipende solamente dalla quota iniziale e

dall’accelerazione di gravità, si ha, quindi:

g

htcioètgh cc

02

0

2

2

1 , mentre la gittata G sarà data dal prodotto della velocità orizzontale v0

e il tempo di caduta. Per il calcolo della velocità orizzontale v0 applichiamo la la conservazione dell’energia

tra l’energia potenziale elastica e l’energia cinetica della sfera, cioè:

v0

v1 Gittata G

X

KE

h0


16

,2

1

2

10

2

0

2 Xm

KvvmXK E

E quindi si ha

][82*48.9

6.1924.0

4

4002 00 m

g

hX

m

KtvG Ec

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