Appunti Di Algebra

APPUNTI DI ALGEBRA Ia.a. 2005-2006

Luciana Picco Botta

9 settembre 2005

Indice

1 Gruppi 51.1 Strutture algebriche e morfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Gruppi: definizione e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Omomorfismi di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Gruppi ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Esempi di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Laterali di un sottogruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8 Sottogruppi normali e gruppo quoziente . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Teoremi di isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10 Somma diretta e prodotto diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.11 Azione di un gruppo su di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . 371.12 Azione di un gruppo su se stesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.13 Il teorema di Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Anelli e Campi 452.1 Definizione e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Sottoanelli e ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Anello quoziente e teorema fondamentale . . . . . . . . . . . . . 552.5 Ideali primi e ideali massimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Anelli di polinomi a coe!cienti in un campo. . . . . . . . . . . . 582.7 Estensioni di campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Appendici 653.1 Gruppi abeliani liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Gruppi liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Anelli Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Estensioni di campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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4 INDICE

Capitolo 1

Gruppi

1.1 Strutture algebriche e morfismi

Definizione 1.1.1 Sia X un insieme. Una operazione binaria interna (osemplicemente una operazione) su X e una funzione

! : X "X # X (1.1)

Per convenzione si scrive x ! y invece di !(x, y).

Esempio 1.1.2 Sono esempi di operazioni:

+ : Z" Z# Z· : Z" Z# Z$ : P(I)"P(I) # P(I), dove P(I) indica l’insieme delle parti di un insiemeI% : P(I)" P(I) # P(I)exp : N"N# N& : XX "XX # XX dove XX denota l’insieme delle funzioni di X in se

e & indica la legge di composizione.

Definizione 1.1.3 Si dice che una operazione ! in X gode della proprieta

• commutativa se 'x, y ( X x ! y = y ! x

• associativa se 'x, y, z ( X x ! (y ! z) = (x ! y) ! z.

Si dice che un elemento u ( X e elemento neutro per ! se 'x ( X u!x =x ! u = x.Un elemento x! ( X e detto inverso di un elemento x ( X se x ! x! = u ex! ! x = u.Se vale soltanto la prima delle due precedenti uguaglianze si dice che x! e inversoa destra di x, se vale soltanto la seconda si dice che x! e inverso a sinistra di x.

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6 CAPITOLO 1. GRUPPI

Definizione 1.1.4 Se & e " sono due operazioni definite in un insieme X, sidice che & e distributiva a sinistra rispetto a " se

'x, y, z ( X x & (y"z) = (x & y)"(x & z),si dice che & e distributiva a destra rispetto a " se

'x, y, z ( X (x"y) & z = (x & z)"(y & z).

Esempio 1.1.5 Se X = {a, b, c, d} e un insieme finito, una operazione ! su Xe descritta da una tabellina in cui all’incrocio della riga di x e della colonna diy si scrive l’elemento x ! y.

! a b c da b b d ab c a b dc a b d cd d b c c

Osservazione 1.1.6 E’ possibile considerare anche operazioni esterne, cioefunzioni A"B # C.Ad esempio, se V e uno spazio vettoriale su R, la moltiplicazione per uno scalaree una operazione R" V # V .

Definizione 1.1.7 Si dice struttura algebrica il dato di un insieme A e diuna o piu operazioni su A.

Esercizio 1.1.8 Sia X = {a, b, c, d} un insieme. Definire su X, scrivendone latabellina:

i) una operazione che ammette c come elemento neutro,ii) una operazione in cui a sia l’inverso di b,iii) una operazione commutativa,iv) una operazione commutativa che ammette un elemento neutro e tale che

ogni elemento possieda un inverso,v) una operazione non commutativa che ammette un elemento neutro e tale

che ogni elemento possieda un inversoCome si riconoscono dalla tabellina le proprieta richieste?

Esercizio 1.1.9 Elencare le proprieta delle seguenti strutture:i) N,+ N, · Z,+ Z, · Q,+ Q) {0}, · Z,+, · Q,+, · Rn,+ii) Z5,+, · Z6,+, ·,iii) XX , &,iv) P(I),$,%.

Definizione 1.1.10 Date due strutture X, ! e X !, !!, una funzione f : X # X !

e detta morfismo (rispetto a ! e a !!), se

'x, y ( X f(x ! y) = f(x) !! f(y) (1.2)

.

1.1. STRUTTURE ALGEBRICHE E MORFISMI 7

In altre parole f e un morfismo se il seguente diagramma e commutativo:

X "X "#$ X

f " f * * fX ! "X ! #$

"! X !

Esempio 1.1.11 La funzione f : R, ·# R, · definita da x +# x2 e un morfismo.La stessa funzione non e invece un morfismo rispetto alla somma.

Esempio 1.1.12 log : R>0, ·# R,+ e un morfismo.

Esempio 1.1.13 La proiezione p : Z,+, · # Zn,+, · e un morfismo (rispettoad entrambe le operazioni). Infatti

p(h + k) = h + k = h + k = p(h) + p(k), p(h · k) = h · k = h · k = p(h) · p(k)

Proposizione 1.1.14 Il composto di due morfismi e un morfismo

Dimostrazione. Siano f : X, ! # X !, !! e g : X !, !! # X !!, !!! due morfismi,allora 'x, y ( X:

(g & f)(x ! y) = g(f(x ! y)) = g(f(x) !! f(y)) = g(f(x)) !!! g(f(y)) =(g & f)(x) !!! (g & f)(y).

Definizione 1.1.15 Un morfismo f : X, ! # X !, !! e detto

• monomorfismo se e iniettivo,

• epimorfismo se e suriettivo,

• isomorfismo se e biettivo.

Proposizione 1.1.16 L’inverso di un isomorfismo e un isomorfismo.

Dimostrazione. Sia f : X, ! # X !, !! un isomorfismo. Per definizione esiste lafunzione inversa f#1 : X ! # X; occorre provare che

'x!, y! ( X !, f#1(x! !! y!) = f#1(x!) ! f#1(y!)

Poiche f e biettiva, e su!ciente provare che i due membri hanno la stessaimmagine mediante f . Si ha immediatamente

f(f#1(x! !! y!)) = x! !! y!ma anche, poiche f e un morfismo,

f(f#1(x!) ! f#1(y!)) = f(f#1(x!)) !! f(f#1(y!)) = x! !! y!.


Esercizio 1.1.17 Dire quali delle seguenti funzioni sono morfismi rispetto alleoperazioni indicate:

f : R,+ # R,+x +# 2x

f1 : R, · # R, ·x +# 2x

g : R2,+ # R2,+(x, y) +# (y, x + y)

g1 : R2,+ # R2,+(x, y) +# (x + 3, 2y)

1.2 Gruppi: definizione e prime proprieta

Definizione 1.2.1 Un gruppo e una struttura algebrica G, ! dotata di unasola operazione che gode delle seguenti proprieta:

• associativa, cioe 'x, y, z ( G x ! (y ! z) = (x ! y) ! z

• esiste un elemento neutro u, cioe tale che 'x ( G u ! x = x ! u = x

• ogni elemento x possiede un inverso, cioe 'x,x! tale che x!x! = x!!x = u.

Osservazione 1.2.2 Si osservi che la proprieta associativa permette di com-porre piu elementi di G e di scrivere senza ambiguita x1 ! . . . . ! xn.

Proposizione 1.2.3 In un gruppo l’elemento neutro e unico.

Dimostrazione. Siano u e u! due elementi neutri, allora si ha:

u ! u! =!

u perche u! e neutrou! perche u e neutro

Proposizione 1.2.4 In un gruppo l’inverso di ogni elemento e unico.

Dimostrazione Siano x! e x!! due inversi di x. Allora, usando la definizione diinverso e la proprieta associativa, si ha

x! = x! ! u = x! ! (x ! x!!) = (x! ! x) ! x!! = u ! x!! = x!!.

Definizione 1.2.5 Un gruppo G, ! e detto abeliano se l’operazione gode dellaproprieta commutativa, cioe

'x, y ( G x ! y = y ! x.

1.2. GRUPPI: DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETA 9

In un gruppo si usa generalmente la notazione moltiplicativa, cioe l’operazionee indicata con ·, l’elemento neutro con 1 e l’inverso di x con x#1. Di solito siomette il segno · e si scrive semplicemente xy.In un gruppo abeliano si usa generalmente la notazione additiva, cioe l’oper-azione e denotata con +, l’elemento neutro con 0, l’inverso di x con )x ed edetto opposto di x.Tuttavia, nel caso di gruppi noti si mantiene la notazione tradizionale.

Esempio 1.2.6 Si verifica facilmente che sono gruppi abeliani:Z,+ Q,+ R,+ C,+Q", · = Q) {0}, · R", · = R) {0}, · C", · = C) {0}, · R>0, ·µn, ·, dove µn e l’insieme delle radici complesse n-me dell’unita.Zn,+ (per ogni naturale n),Z"p, · = Zp ) {0}, · dove p e un numero primo.

Esempio 1.2.7 Dato un insieme X, l’insieme B(X) delle biiezioni di X in se eun gruppo non abeliano rispetto all’operazione di composizione &.

Esempio 1.2.8 L’insieme GL(n,R) delle matrici invertibili n " n a elementiin R e un gruppo rispetto alla moltiplicazione riga per colonna.

Esempio 1.2.9 L’insieme K[X] dei polinomi a coe!cienti in K = Z, Q, R, Ce un gruppo abeliano rispetto alla somma.

Proposizione 1.2.10 In un gruppo G, · valgono le leggi di semplificazione,cioe 'a, b, c ( G

(1) ab = ac - b = c , (2) ba = ca - b = c

Dimostrazione. Proviamo ad esempio la (1) (la (2) e analoga).ab = ac - (moltiplicando a sinistra per a#1)a#1(ab) = a#1(ac) - (usando la proprieta associativa)(a#1a)b = (a#1a)c - (per definizione di inverso)1 · b = 1 · c - (per definizione di elemento neutro)b = c.

Proposizione 1.2.11 In un gruppo G, ·, 'a, b ( G, valgono le seguenti propri-eta:

i) 1#1 = 1ii) (a#1)#1 = aiii) (ab)#1 = b#1a#1

Dimostrazione. i) ovvia: 1 · 1 = 1.ii) Le uguaglianze aa#1 = a#1a = 1 indicano contemporaneamente che a#1

e l’inverso di a e che a e l’inverso di a#1.iii) Usando le proprieta dei gruppi si ottengono le uguaglianze:(ab)(b#1a#1) = a(bb#1)a#1 = a1a#1 = aa#1 = 1,(b#1a#1)(ab) = b#1(a#1a)b = b#11b = b#1b = 1,

dalle quali discende che b#1a#1 e l’inverso di ab.


Proposizione 1.2.12 In un gruppo G, ·, per ogni a, b ( G, le seguenti equazionihanno ciascuna un’unica soluzione:

(1) Xa = b ha come soluzione X = ba#1,(2) aY = b ha come soluzione Y = a#1b.

Dimostrazione. Esaminiamo la (1). ba#1 e una soluzione, infatti sostituendotale valore al posto della incognita X e utilizzando le proprieta dei gruppi, siottiene:

(ba#1)a = b(a#1a) = b1 = b.Inoltre la soluzione e unica. Infatti, se x1 e x2 sono due elementi di G chesoddisfano l’equazione (1),!

x1a = bx2a = b

- x1a = x2a - x1 = x2 (per la legge di semplificazione).

Osservazione 1.2.13 Si noti che, se il gruppo non e abeliano, le due soluzionidelle equazioni (1) e (2) possono essere diverse tra loro.

Esercizio 1.2.14 Nel gruppo B(R), & delle biezioni di R in se, si considerinole biiezioni f e g definite rispettivamente da f(x) = x3 e g(x) = x + 1.Trovare due elementi h e k di B(R) che soddisfino le uguaglianze

h & f = g f & k = g.

Definizione 1.2.15 Sia G, · un gruppo e sia a ( G un elemento. Per ogniintero n ( Z si dice potenza n-ma di a l’elemento

an =

"#$

#%

a · . . . · a& '( )n

se n > 0

1 se n = 0(a#n)#1 se n < 0

Se si usa la notazione additiva per l’operazione del gruppo, invece di potenzan-ma si parla di multiplo n-mo di a.

na =

"#$

#%

a + . . . + a& '( )n

se n > 0

0 se n = 0)()n)a se n < 0

Si noti che potenze e multipli sono gli stessi oggetti scritti in notazioni diverse.

Proposizione 1.2.16 Valgono le seguenti proprieta delle potenze:i) an+m = anam,ii) (an)m = anm,iii) se G e abeliano (ab)n = anbn.

In notazioni additive si traducono nelle seguenti proprieta dei multipli:i’) (n + m)a = na + ma,ii’) m(na) = (mn)a,iii’) n(a + b) = na + nb.

Attenzione: non confondere il simbolo di multiplo con una operazione internadi prodotto: si parla di multipli quando l’operazione di G e denotata con la

1.3. SOTTOGRUPPI 11

somma. In particolare n, m sono numeri interi, a, b sono elementi del gruppo,quindi la i’) e la iii’) non sono proprieta distributive e la ii’) non e una proprietaassociativa.

Dimostrazione. i) e ii) (risp. i’) e ii’)) seguono immediatamente dalla definizionee dalla proprieta associativa del prodotto (risp. dell somma). Per quanto riguar-da iii) (e iii’)), nel caso n > 0 si usano la proprieta associativa e la proprietacommutativa:

(ab)n = (ab)(ab) . . . (ab)& '( )n

= (aa . . . a& '( )n

)(bb . . . b& '( )n

) = anbn.

Nel caso n = 0, la proprieta e ovvia. Infine se n < 0 si ha:(ab)n = ((ab)#n)#1 = (a#nb#n)#1 = (b#n)#1(a#n)#1 = bnan = anbn

1.3 Sottogruppi

Definizione 1.3.1 Sia G, · un gruppo. Un sottoinsieme T . G e detto stabileo chiuso se 'x, y ( T xy ( T .

Esempio 1.3.2 In Z,+ il sottoinsieme dei numeri pari e stabile, quello deinumeri dispari no.

Se T e stabile possiamo considerare la restrizione a T del prodotto in G. T, ·e una struttura algebrica associativa (e commutativa se G e abeliano).

Definizione 1.3.3 Sia G, · un gruppo. Un sottoinsieme S . G e detto sot-togruppo se e un gruppo per la restrizione ad S dell’operazione di G. Insimboli si scrive S < G.{1} e G sono sottogruppi di G detti sottogruppi impropri.

Proposizione 1.3.4 1) ogni sottogruppo e stabile,2) ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e abeliano,3) l’elemento neutro di un sottogruppo S coincide con l’elemento neutro di

G ( e quindi S deve contenere l’elemento neutro di G),4) l’inverso in S di un elemento di S coincide con il suo inverso in G e

quindi l’inverso (in G) di un elemento di S deve appartenere ad S.

Dimostrazione. 1) e 2) sono ovvie3) 1S · 1S = 1S - 1S · 1S = 1S · 1G - 1S = 1G (semplificando per 1S).4) Siano x ( S, x! il suo inverso in S, x#1 il suo inverso in G. Le uguaglianze

x!x = 1S = 1G

xx! = 1S = 1G

implicano che x! = x#1, per l’unicita dell’inverso in G.

Esercizio 1.3.5 Verificare la validita delle seguenti asserzioni:1) l’insieme dei numeri pari e un sottogruppo di Z,2) l’insieme dei polinomi aventi termine noto nullo e un sottogruppo del gruppoQ[X],+ dei polinomi a coe!cienti razionali,


3) in R2,+ il sottoinsieme S = {(x, y) | 2x) y = 0} e un sottogruppo,(Si puo dire lo stesso del sottoinsieme S! = {(x, y) | 2x) y = 1} ?)4) in Z12 i seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi?

A = {0, 4, 8} B = {0, 3, 9}

Teorema 1.3.6 Sia G, · un gruppo. Un sottoinsieme S /= 0 di G e un sot-togruppo se e solo se soddisfa la seguente condizione:

'x, y ( S, xy#1 ( S (1.3)

Dimostrazione, a) Se S e un sottogruppo e x, y ( S, l’inverso y#1 di y deveappartenere a S, inoltre S e stabile, quindi xy#1 ( S.b) Viceversa, se vale 1.3 per ogni scelta di x, y ( S,

- assumendo x = y otteniamo xx#1 = 1 ( S, cioe S contiene l’elementoneutro;

- assumendo x = 1 e y elemento qualunque di S otteniamo 1y#1 = y#1 ( S,cioe S contiene l’inverso di ogni suo elemento;

- infine, presi due elementi x, y ( S, per quanto visto y#1 ( S, quindiapplicando la 1.3 alla coppia x, y#1 otteniamo x(y#1)#1 = xy ( S, cioe S estabile e pertanto eredita la proprieta associativa. Se ne conclude che S e unsottogruppo di G.

Osservazione 1.3.7 Nel caso in cui l’operazione sia denotata con la somma lacondizione 1.3 si scrive:

'x, y ( S, x) y ( S.

Esercizio 1.3.8 Provare che in Z,+ il sottoinsieme dei multipli di un numerofissato n e un sottogruppo. Tale sottogruppo viene di solito indicato con (n).

Definizione 1.3.9 Sia G, · un gruppo. Si dice centro di G l’insiemeZ(G) = { x ( G | ax = xa 'a ( G }

Si osservi che se G e abeliano Z(G) = G.

Proposizione 1.3.10 Z(G) e un sottogruppo di G.

Dimostrazione Per il criterio precedente, occorre provare che, dati x, y ( Z(G),xy#1 ( Z(G), cioe che

a(xy#1) = (xy#1)a 'a ( GUsando la proprieta associativa e la iii) di 1.2.11 si ottiene:

a(xy#1) = (ax)y#1 = (xa)y#1 = x(ay#1) = x(ya#1)#1 = x(a#1y)#1 =xy#1(a#1)#1 = (xy#1)a.

Definizione 1.3.11 Siano G, · un gruppo e sia x ( G un suo elemento. Si dicesottogruppo ciclico generato da x, e lo si indica con < x >, il minimosottogruppo di G che lo contiene.

1.3. SOTTOGRUPPI 13

Proposizione 1.3.12 Sia G, · un gruppo e sia x un suo elemento. Il sottogrup-po ciclico generato da x e costituito da tutte le potenze intere di x, cioe:

< x >= { xn | n ( Z }Se l’operazione di G e denotata con +, il sottogruppo ciclico generato da x e< x >= { nx | n ( Z }.

Dimostrazione. i) per verificare che < x > e un sottogruppo usiamo il criterio.Siano xn, xm (< x >:

xn(xm)#1 = xnx#m = xn#m (< x >.ii) x = x1 (< x >.iii) Sia S un sottogruppo, x ( S. Poiche S e stabile, contiene tutte le potenzepositive di x; inoltre deve contenere i loro inversi, cioe le potenze negative dix. Infine contiene 1 = x0. Percio < x >. S e quindi < x > e il piu piccolosottogruppo contenente x.

Definizione 1.3.13 Un gruppo G e detto ciclico se esiste un x tale cheG =< x >. Tale x e detto generatore di G.

Esempio 1.3.14 Z,+ e un gruppo ciclico, suoi generatori sono 1 e -1. I suoisottogruppi ciclici sono costituiti dai multipli di un intero fissato n, cioe< n >= (n)

Esempio 1.3.15 Zn,+ e ciclico. Sono generatori le classi k tali che (k, n) = 1.

Definizione 1.3.16 In un gruppo G, · si dice ordine o periodo di un elementoa, e lo si indica con o(a), il minimo intero positivo n, se esiste, tale che an = 1.Se non esiste si dice che a ha ordine infinito.

Esercizio 1.3.17 Tradurre in notazione additiva la definizione di ordine.

Osservazione 1.3.18 Si noti che le potenze di un elemento sono infinite, mapossono non essere tutte distinte. Vedremo che se due potenze diverse xn e xm

con n /= m coincidono, allora x ha solo un numero finito di potenze distinte.Precisamente vedremo che in tal caso x ha periodo finito e che il numero dipotenze distinte e esattamente uguale al periodo di x.

Proposizione 1.3.19 L’intersezione insiemistica di due sottogruppi di un grup-po e un sottogruppo.

Dimostrazione. Siano H e K due sottogruppi di un gruppo G, · e siano x, y (H %K, per il criterio e su!ciente provare che xy#1 ( H %K.

x, y ( H %K -!

x, y ( H - xy#1 ( Hx, y ( K - xy#1 ( K

*- xy#1 ( H %K

Osservazione 1.3.20 Si dimostra in modo analogo che l’intersezione di unafamiglia qualsiasi di sottogruppi e ancora un sottogruppo.


Osservazione 1.3.21 L’unione insiemistica di due sottogruppi non e neces-sariamente un sottogruppo. Si considerino ad esempio in Z,+ i sottogruppiH = (3) e K = (4) . H $K non e stabile, in quanto non contiene 4 + 3.

Definizione 1.3.22 Siano H e K due sottogruppi di un gruppo G, ·. Si dicesottogruppo unione di H e K e lo si indica con H 1K il minimo sottogruppodi G che li contiene entrambi.

Proposizione 1.3.23 Nelle notazioni delle definizione precedente H 1K coin-cide con l’insieme

U = {h1k1 . . . hnkn | hi ( H, ki ( K }.

Dimostrazione. i) U e un sottogruppo. Infatti se x = h1k1 . . . hnkn e y =h!1k

!1 . . . h!mk!m sono due elementi di U , ricordando la iii) di 1.2.11 e la 1.3.4xy#1 = h1k1 . . . hn knk!m

#1

& '( )%K

h!m#1 . . . k!1

#1h!1#1 1&'()

%K

( U .

ii) U contiene sia H che K. Infatti dati h ( H e k ( K si puo scrivereh = h 1&'()

%K

k = 1&'()%H

k

e quindi entrambi sono elementi di U .iii) Ogni sottogruppo che contiene sia H che K deve contenere tutti i prodottifiniti alternati di un elemento di H e di un elemento di K e quindi contiene U .

Corollario 1.3.24 Se G, + e abeliano e H,K sono sottogruppi, allora H1K =H + K = { h + k | h ( H, k ( K }.

Osservazione 1.3.25 Sia A un sottoinsieme qualunque di un gruppo G, ·. In-dichiamo con < A > l’intersezione di tutti i sottogruppi di G che contengonoA. Allora

- si prova, usando il criterio, che < A > e un sottogruppo di G,- A .< A >,- se H e un sottogruppo che contiene A, per definizione contiene anche

< A >.Quindi < A > e il piu piccolo sottogruppo contenente A e viene detto sot-togruppo generato da A. L’elemento generico di < A > e del tipo an1

1 · · · ankk ,

con ai ( A, non necessariamente distinti. Nel caso in cui A = {a}, si ritrova ladefinizione precedente.

Proposizione 1.3.26 Siano T1 e T2 due sottoinsiemi di un gruppo .< T1 >=< T2 >2 T1 .< T2 > e T2 .< T1 >

Dimostrazione L’implicazione - e ovvia.Viceversa proviamo 3. Se T1 .< T2 >, Poiche < T2 > e un sottogruppo,deve contenere il sottogruppo generato da T1, cioe < T1 >.< T2 >. Dall’ipotesiT2 .< T1 > segue l’inclusione contraria.

1.4. OMOMORFISMI DI GRUPPI 15

1.4 Omomorfismi di gruppi

Definizione 1.4.1 Siano G, · e G!, · due gruppi. Una funzione f : G # G! edetta omomorfismo ( o morfismo) se

'x, y ( G f(xy) = f(x)f(y).f e detto monomorfismo (risp. epimorfismo, risp. isomorfismo se e iniet-tivo (risp. suriettivo, risp. biiettivo).

Osservazione 1.4.2 In notazione additiva la condizione di morfismo si scrive:'x, y ( G f(x + y) = f(x) + f(y).

e si modifica in modo opportuno, nel caso in cui uno dei gruppi sia moltiplicativoe l’altro additivo.

Esempio 1.4.3 Sono omomorfismi di gruppo:i) le applicazioni lineari Rn,+ # Rm,+,ii) f : R) {0}, ·# R) {0}, · definita da f(x) = x2,iii) g : Z,+ # R) {0}, · definita da g(n) = 2n,iv) log : R>0, ·# R,+v) det: GL(n,R), ·# R) {0}, · (per il teorema di Binet).

Proposizione 1.4.4 Sia f : G, ·# G!, · un omomorfismo di gruppi.1) f(1) = 1!, dove 1! e l’elemento neutro di G!,2) f(a#1) = (f(a))#1 'a ( G,3) f(an) = (f(a))n 'a ( G 'n ( Z.

Dimostrazione. 1) 1 · 1 = 1 - f(1 · 1) = f(1) - f(1) · f(1) = f(1) · 1! -f(1) = 1! (per la legge di semplificazione in G!).

2) Si hanno le seguenti implicazioni:aa#1 = 1 - f(aa#1) = f(1) = 1! - f(a)f(a#1) = 1!a#1a = 1 - f(a#1a) = f(1) = 1! - f(a#1)f(a) = 1!

da cui segue che f(a#1) e l’inverso di f(a) .3) n 4 0 si dimostra per induzione su n.

Se n = 0 segue dalla 1). Supponiamo la proprieta vera per un dato k e provia-mola per k + 1:

f(ak+1) = f(aka) = f(ak)f(a) (per definizione di morfismo) = (f(a))kf(a)(per ipotesi induttiva) = (f(a))k+1.Se n < 0 f(an) = f((a#n)#1) = [f(a#n)]#1 (per la 2)) = [(f(a))#n]#1

(perche )n > 0 ) = (f(a))n.

Proposizione 1.4.5 Sia f : G, · # G!· un omomorfismo di gruppi. L’immag-ine di un sottogruppo di G e un sottogruppo di G!.

Dimostrazione. Sia H < G , per provare che f(H) < G! utilizziamo il criterio.Dati x!, y! ( f(H) , esistono x, y ( H tali che f(x) = x! e f(y) = y! .Poiche H e un sottogruppo, xy#1 ( H , quindi f(xy#1) ( f(H) . Ma, perle proprieta 1.4.4 , f(xy#1) = f(x)f(y#1) = f(x)(f(y))#1 = x!y!#1 e quindix!y!#1 ( f(H).


Corollario 1.4.6 Im(f) = f(G) e un sottogruppo di G!.

Proposizione 1.4.7 Sia f : G.· # G!, · un omomorfismo di gruppi: lacontroimmagine di un sottogruppo di G! e un sottogruppo di G.

Dimostrazione. Sia H ! < G! . Occorre provare che, dati x, y ( f#1(H !) ,xy#1 ( f#1(H !) . Per ipotesi f(x), f(y) ( H ! e quindi, essendo H ! unsottogruppo, f(x)(f(y))#1 ( H ! . Ma, per le proprieta 1.4.4 , f(x)(f(y))#1 =f(x)f(y#1) = f(xy#1) e quindi xy#1 ( f#1(H !) .

Definizione 1.4.8 Dato un omomorfismo f : G, ·# G!, · , si dice nucleo di fe lo si indica con Ker(f) l’insieme delle controimmagini dell’elemento neutro1! ( G!:

Ker(f) = { x ( G | f(x) = 1! }.

Corollario 1.4.9 ker(f) e un sottogruppo di G.

Dimostrazione. E’ la controimmagine del sottogruppo improprio {1!} di G!.

Proposizione 1.4.10 1) f e un epimorfismo se e solo se Im(f) = G!.2) f e un momomorfismo se e solo se Ker(f) = {1}.

Dimostrazione. 1) ovvia2) i) Se f e iniettiva . 1! ha una sola controimmagine, che necessariamente e 1.ii) Viceversa supponiamo Ker(f) = {1} e siano x, y ( G tali che f(x) = f(y) .Proviamo che x = y. Applicando le proprieta 1.4.4 si ottiene:f(x) = f(y) - f(x)(f(y))#1 = 1! - f(x)f(y#1) = 1! - f(xy#1) = 1! -xy#1 ( Ker(f).Poiche per ipotesi Ker(f) = {1} ne segue che xy#1 = 1 , cioe che x = y.

Esercizio 1.4.11 Per ciascuna delle seguenti corrispondenze, stabilire se sitratta di omomorfismi e, in caso a#ermativo, trovarne immagine e nucleo.

f : Z12,+ # Z4,+x +# 2x

f1 : Z5,+ # Z4,+x +# 2x

g : R2,+ # R,+(x, y) +# (x) y)

h : Z,+ # Zn,+x +# x

1.5. GRUPPI CICLICI 17

1.5 Gruppi ciclici

Abbiamo visto che un gruppo G, · e detto ciclico se esiste un elemento a ( Gtale che G coincide con il sottogruppo generato da a, cioe G e costituito dallepotenze di a ed a e detto suo generatore. Sono esempi di gruppi ciclici Z,+ eZn,+.

Proposizione 1.5.1 Ogni gruppo ciclico e abeliano.

Dimostrazione. Segue immediatamente dalle proprieta delle potenze: anam =an+m = aman.

Osservazione 1.5.2 Non ogni gruppo abeliano e ciclico: ad esempio il gruppotrirettangolo.

Proposizione 1.5.3 Siano G, · un gruppo e a ( G. Supponiamo che esistanodue interi diversi r e s tali che ar = as. Allora

i) esiste un minimo intero positivo n tale che an = 1;ii) se t e un intero, at = 1 2 n|t;iii) gli elementi a0 = 1, a1 = a, . . . , an#1 sono tutti distinti e < a >=

{1, a, a2, . . . , an#1}.

Dimostrazione. i) Poiche nell’insieme dei numeri naturali ogni sottoinsieme nonvuoto ha un primo elemento, e su!ciente provare che at = 1 per qualche t > 0.Supponiamo per esempio che r > s.

ar = as - ar(as)#1 = as(as)#1 - ar#s = 1 con r ) s > 0.Allora l’insieme S = { t ( Z | at = 1, t > 0 } /= 0 ed ha un minimo n.

ii) Se n|t, cioe t = nv, allora at = anv = (an)v = 1v = 1.Viceversa, sia at = 1. Esistono due interi q, r con 0 5 r < n tali che t = qn + r.Quindi

ar = at#qn = at(an)#q = at · 1#q = at = 1.Poiche n e il piu piccolo intero positivo che soddisfa questa relazione, r = 0 equindi n|t.

iii) Supponiamo che au = av con 0 5 u < n e 0 5 v < n. Proviamo cheu = v. Supponiamo per esempio u 4 v, allora

au = av - au#v = 1 con 0 5 u) v < n.D’altra parte per ii) n|(u ) v), quindi necessariamente u ) v = 0n = 0, cioeu = v.Il sottogruppo < a > contiene almeno gli elementi distinti 1, a, . . . , an#1 (*) .Sia ora am una qualunque potenza di a. Dividendo m per n, si ottengono dueinteri q e 0 5 r < n tali che m = qn + r e

am = aqn+r = (an)qar = 1 · ar = ar.Quindi ogni potenza di a concide con una delle (*). Ne segue come si voleva che< a >= {1, a, . . . , an#1}.

Corollario 1.5.4 o(a) concide con la cardinalita del sottogruppo ciclico gene-rato da a.


Teorema 1.5.5 Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico G, · e ciclico.

Dimostrazione. Sia H un sottogruppo di G =< a >. Se H = {1} e ciclico. SeH /= {1}, osserviamo che H contiene potenze positive di a, in quanto se ak ( H,anche il suo inverso a#k ( H e uno dei due esponenti e positivo. Sia dunque mil minimo intero positivo tale che am ( H . Proviamo che H =< am >.Sia at ( H. Esistono interi q, r tali che t = mq + r con 0 5 r < m . Poiche at

e (am)q appartengono ad H, si ha che ar = at(am)#q ( H, in quanto prodottodi due elementi di H. Ma m e stato scelto come la piu piccola potenza positivadi a che appartiene ad H, quindi r = 0 e at = (am)q . Si conclude cheH =< am >.

Corollario 1.5.6 Tutti i sottogruppi di Z sono del tipo (n) per qualche n.

Esercizio 1.5.7 Sia G, · un gruppo ciclico di ordine n generato da a. Se 1 5k < n, provare che l’ordine del sottogruppo generato da ak e n

(k,n) .

Teorema 1.5.8 Ogni gruppo ciclico e isomorfo a Z o a Zn per qualche n.

Dimostrazione. Sia G, · un gruppo ciclico infinito generato da a. Definiamof : Z# G ponendo f(n) = an e proviamo che e un isomorfismo:

- e un omomorfismo poiche f(n + m) = an+m = anam = f(n)f(m), per leproprieta delle potenze,

- e suriettivo per definizione di gruppo ciclico,- e iniettivo, in quanto Ker(f) = { n | an = 1 } = {0}, perche G e infinito,

quindi tutte le potenze di a sono distinte.Supponiamo che G sia finito. Per la prop. 1.5.3 G = {1, a, . . . , an#1}. Defini-amo come sopra f : Zn # G ponendo f(k) = ak:

- la definizione e ben posta in quanto, preso k + qn 6 k mod n, ak+qn =ak(an)q = ak,

- f e un omomorfismo poiche f(n + m) = f(n + m) = an+m = anam =f(n)f(m), per le proprieta delle potenze,

- e suriettivo per definizione di gruppo ciclico,- e iniettivo in quanto Ker(f) = {0}, perche tutte le potenze di a minori di

n sono distinte.

Esempio 1.5.9 G = {1,)1}, · e ciclico di ordine 2, generato da )1. Quindi eisomorfo a Z2.

1.6. ESEMPI DI GRUPPI 19

1.6 Esempi di gruppi

A) Gruppi simmetrici Sn

Definizione 1.6.1 Sia X un insieme qualsiasi. Si dice permutazione o trasformazione una biezione di X in se. L’insieme di tutte le permutazioni diX e un gruppo rispetto alla composizione di funzioni. Nel caso in cui X =In = {1, 2, . . . , n}, il gruppo delle permutazioni e detto gruppo simmetrico diordine n e viene indicato con Sn.

Sappiamo che Sn ha n! elementi. Per rappresentare una permutazione ! si usauna matrice di 2 righe e n colonne: nella prima riga si scrivono gli elementidi In nell’ordine naturale, nella seconda riga si scrivono ordinatamente le loroimmagini mediante !:

! =+

1 2 . . . n!(1) !(2) . . . !(n)

,

Poiche ! e una biiezione, nella seconda riga compaiono una ed una sola volta inumeri da 1 a n, in un altro ordine.Il prodotto in Sn viene indicato con · e di solito e omesso tra due elementi;osserviamo pero che, trattandosi di composizione di funzioni, con il simbolo !"si intende la permutazione ottenuta applicando prima " e poi !. Se n 4 3, Sn

non e abeliano, ad esempio+

1 2 3 42 1 3 4

, +1 2 3 43 4 2 1

,=

+1 2 3 43 4 1 2

,

+1 2 3 43 4 2 1

, +1 2 3 42 1 3 4

,=

+1 2 3 44 3 2 1

,

L’elemento neutro e la permutazione identica

i =+

1 2 . . . n1 2 . . . n

,

L’inversa di una permutazione si ottiene scambiando le due righe e poi rior-dinando le colonne in modo che la prima riga abbia l’ordine naturale. Adesempio

# =+

1 2 3 43 4 2 1

,- ##1 =

+1 2 3 44 3 1 2

,

Definizione 1.6.2 Dati a1, . . . , ak ( In si indica con (a1, a2, . . . , ak) ( o con(a1 a2...ak) quando non sono possibili ambiguita) la permutazione che mandaai in ai+1, ak in a1 e lascia invariati tutti gli altri elementi di In. Tale permu-tazione viene detta ciclo di lunghezza k. Si osservi che il ciclo non cambia sesi permutano circolarmente i suoi elementi, cioe


(a1, a2, . . . , ak) = (a2, . . . , ak, a1) = . . . (ak, a1 . . . , ak#1).Un ciclo di lunghezza 2 e detto trasposizione o scambio.Due cicli sono detti disgiunti se sono disgiunti gli insiemi degli elementi da essipermutati.

Ad esempio, in S5

(1 2 4 5) =+

1 2 3 4 52 4 3 5 1

,

(1 4 2 5) =+

1 2 3 4 54 5 3 2 1

,

Data una permutazione ! e dato un a ( In, le potenze di ! applicate ad a dan-no luogo ad un insieme finito di elementi distinti: {a,!(a),!2(a), . . . ,!k#1(a)}dove k e il primo intero positivo tale che !k(a) coincide con una delle poten-ze precedenti. Osserviamo che necessariamente !k(a) = a, in quanto se fosse!k(a) = !i(a) con 1 5 i < k, l’elemento !i(a) sarebbe immagine mediante ! didue elementi distinti !i#1(a) e !k#1(a), contro l’ipotesi che ! sia una biiezione.Il ciclo (a,!(a),!2(a), . . . ,!k#1(a)) e detto ciclo di ! generato da a.

Proposizione 1.6.3 Ogni permutazione puo essere decomposta nel prodotto diun numero finito di cicli disgiunti.

Dimostrazione. Sia ! una permutazione di In. Scelto a ( In, si ottiene unasuccessione finita di elementi distinti ai = !i(a), i = 1, . . . , k ) 1 e !k(a) = a.Se k = n, allora {a, a1, . . . , an#1} = In e ! = (a, a1, . . . , an#1).Se k < n, possiamo scegliere un elemento b ( In non compreso fra gli ai e costru-ire un ciclo (b, b1, . . . , bh#1), necessariamente disgiunto dal precedente (come pri-ma, se fosse ai = bj tale elemento sarebbe immagine mediante ! di due elementidistinti di In). Ripetendo il procedimento un numero finito di volte otteniamola decomposizione cercata.

Osservazione 1.6.4 La decomposizione precedente e unica, a meno dell’ordine.Inoltre cicli disgiunti commutano fra loro.

Corollario 1.6.5 Se ! = $1 . . . $r e la decomposizione di ! in cicli di lunghezzal1, . . . , lr, il periodo di ! e il minimo comune multiplo di l1, . . . , lr.

Dimostrazione. Si osservi che la lunghezza l di un ciclo $ coincide con il suoperiodo: $l = id e $i /= id se i < l.

Proposizione 1.6.6 Ogni permutazione puo essere decomposta in un prodottodi scambi.

Dimostrazione. E’ su!ciente provare tale fatto per i cicli. Ma in questo casobasta osservare che

(a1, . . . , ak) = (a1, ak)(a1, ak#1) . . . (a1a2)Si noti che tale decomposizione non e unica, ma vale il seguente


Teorema 1.6.7 Il numero di scambi in cui si puo decomporre una permutazioneo e sempre pari o e sempre dispari.

Dimostrazione. Sia In = {1, 2, . . . , n} e sia m il numero intero non nullo valoredel seguente prodotto:

P = (1) 2)(1) 3) · . . . · (1) n)(2) 3) · . . . · (2) n)

. . .(n) 1)) n

Operando su In con una permutazione ! il prodotto P o si muta in se stessomantenendo il valore m, o si muta in un prodotto analogo il cui valore e )m, inquanto le di#erenze sopra scritte si scambiano eventualmente tra loro e possonomutare di segno.Esaminiamo ora l’e#etto che ha su P una trasposizione (hk) con h < k (osser-viamo che questa ipotesi non e restrittiva in quanto (hk) = (kh)). Consideriamoa tal fine i vari fattori di P , esaminando separatamente l’e#etto che su di essiha lo scambio (hk).

1. I fattori che non contengono ne h ne k non cambiano.

2. Il fattore (h) k)diventa (k ) h).

3. Se j < h il fattore (j ) h) si cambia in (j ) k) e viceversa, si ha cioe solouno scambio di posto.

4. Se h < j < k il fattore (h) j) diventa (k) j) = )(j) k) e (j) k) si mutain (j ) h) = )(h) j); le due di#erenze cambiano di posto e cambiano disegno entrambe.

5. Se k < j il fattore(h) j) diventa (k) j) e (k))j si muta in (h) j), ovverosi ha solo uno scambio dei due termini fra loro.

Quindi una trasposizione muta il prodotto P di valore m in un prodotto divalore )m.Allora se ! e tale da lasciare inalterato il valore di P , essa puo essere decompostasolo in un numero pari di trasposizioni, se invece ! muta il prodotto P in unoanalogo di valore )m essa puo essere decomposta solo in un numero dispari ditrasposizioni.

Definizione 1.6.8 Una permutazione e detta pari (risp. dispari) se il numerodi trasposizioni in cui si decompone e pari (risp. dispari).

Si verifica immediatamente che l’insieme An delle permutazioni pari e un sot-togruppo di Sn. Infatti l’identita e pari e il prodotto di due permutazioni parie pari. Inoltre, data una permutazione pari

" = (h1, k1) . . . (h2r, k2r) -"#1 = (h2r, k2r)#1 . . . (h1, k1)#1 = (h2r, k2r) . . . (h1, k1)

e quindi anche "#1 e pari.Invece l’insieme delle permutazioni dispari non e stabile.


Definizione 1.6.9 Il gruppo An delle permutazioni pari di n elementi e dettogruppo alterno.

Osservazione 1.6.10 E’ immediato verificare che la funzione f : An # Sn )An definita da ! +# !(1, 2) e una biiezione, quindi An ha n!

2 elementi.

Esercizio 1.6.11 Scrivere la tabellina di moltiplicazione di S3 e trovare glielementi di A3.

Esercizio 1.6.12 In S4 trovare, se esistono, elementi di periodo 3, 4, 5, 6, 8.

Esercizio 1.6.13 In S8, trovare il periodo della permutazione

# =+

1 2 3 4 5 6 7 83 8 4 6 2 1 5 7

,.

Esercizio 1.6.14 In S4 trovare il sottogruppo ciclico H generato da :

# =+

1 2 3 43 2 4 1

,.

Esercizio 1.6.15 Date le permutazioni

# =+

1 2 3 4 52 3 5 1 4

,, % =

+1 2 3 4 54 1 3 5 2

,

determinare una permutazione $ tale che

(#%)$ =+

1 2 3 4 52 4 5 1 3

,.

Esercizio 1.6.16 Decomporre in un prodotto di cicli disgiunti e calcolare ilperiodo delle seguenti permutazioni

! =+

1 2 3 4 5 6 7 83 5 4 1 7 8 6 2

,, " =

+1 2 3 4 5 6 7 88 3 4 2 7 5 6 1

,

Stabilire inoltre se ! e " sono pari o dispari.Determinare una permutazione x tale che: !2x = " .

B) Gruppi di matrici.

Sia K = R, Q, C (o piu in generale un campo). Ricordiamo che nell’insiemeM(n, K) delle matrici n " n a elementi in K sono definite una operazione disomma elemento per elemento e un prodotto righe per colonne.M(n, K),+ e un gruppo abeliano, avente come elemento neutro la matrice nulla.L’opposta della matrice A = (aij) e la matrice )A = ()aij).


Ricordiamo inoltre che la matrice I avente tutti 1 nella diagonale proncipalee tutti 0 altrove e neutra rispetto al prodotto e che sono invertibili rispetto alprodotto le matrici di determinante diverso da 0. Quindi abbiamo alcuni gruppiclassici non abeliani

GL(n, K), · = { matrici invertibili n"n a elementi in K }, e un gruppo dettogruppo lineare.

SL(n, K), · = { matrici n " n a elementi in K con determinante = 1 } e unsuo sottogruppo detto gruppo lineare speciale.

Assumiamo K = R e ricordiamo che una matrice A e detta ortogonale se la suainversa coincide con la trasposta, cioe se AtA = I.In particolare le matrici ortogonali hanno determinante ±1, in quanto, per ilteorema di Binet det(AtA) = detAt detA = (detA)2 = 1.Osserviamo che l’inversa di una matrice ortogonale e ancora ortogonale in quan-to la condizione AtA = I dice anche che A e l’inversa di At, ma d’altra parteA = (At)t, quindi l’inversa di At coincide con la sua trasposta. Inoltre, seA,B sono matrici ortogonali anche AB e ortogonale in quanto (AB)t(AB) =BtAtAB = BtB = I.Si hanno allora i gruppi

O(n), · = { matrici n" n a elementi in R ortogonali} = gruppo ortogonale.

SO(n) = { matrici n" n a elementi in R ortogonali di determinante 1 } =gruppo ortogonale speciale.

Assumiamo infine K = C e ricordiamo che una matrice A e detta unitariase la sua inversa coincide con la coniugata della trasposta, cioe A

tA = I. Il

determinante e un numero complesso di modulo 1. Si hanno quindi i due gruppi

U(n), · = { matrici unitarie n" n } = gruppo unitario

SU(n), · = { matrici unitarie n " n di determinante 1 } = gruppo unitariospeciale.

I gruppi precedenti hanno un preciso significato geometrico e si possono pensarecome particolari gruppi di trasformazione di certi spazi vettoriali. A tal finericordiamo alcuni risultati di algebra lineare. Consideriamo lo spazio vetto-riale Kn con la base standard (fissata un base, ogni spazio vettoriale su K didimensione n e isomorfo a Kn). Ricordiamo che: ogni endomorfismo di Kn eindividuato da una matrice n" n, il composto di due endomorfismi e associatoal prodotto righe per colonne delle due matrici associate, e un endomorfismo eun isomorfismo se e solo se la matrice associata e invertibile.Quindi GL(n, K) e il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale didimensione n con base fissata.


Assumiamo K = R e sullo spazio vettoriale Rn consideriamo il prodotto scalareeuclideo: se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn), u · v = u1v1 + . . . + unvn.Ricordiamo che un automorfismo e detto isometria se conserva il prodottoscalare, cioe, detta A la matrice associata, se Au · Av = u · v , per ogni coppiadi vettori u, v. Si dimostra che tale condizione e equivalente al fatto che Amandi una base ortonormale in una base ortonormale, quindi che le colonnedella matrice A siano un sistema ortonormale di vettori e quindi che AtA = I .

Pertanto O(n) e il gruppo delle isometrie dello spazio vettoriale euclideo Rn.Esaminiamo ad esempio il caso n = 2 e proviamo che SO(2) e il sottogruppodelle rotazioni. Sia

A =+

a11 a12

a21 a22

,

una matrice tale che AtA = I e det(A) = 1. Tali condizioni danno il sistema diequazioni

"##$

##%

a211 + a2

21 = 1a212 + a2

22 = 1a11a12 + a21a22 = 0a11a22 ) a12a21 = 1

Le prime due equazioni implicano che esistano & e ' tali che

A =+

cos & cos 'sin & sin'

,

Dalle ultime due equazioni segue che & e ' sono legati dalle relazioni:!

cos & cos ' + sin & sin' = 0cos & sin') sin & cos ' = 1 -

!cos(') &) = 0sin(') &) = 1

Quindi possiamo assumere che ' = & + !2 e quindi

A =+

cos & ) sin &sin & cos &

,

e la matrice della rotazione di un angolo & intorno all’origine.Viceversa e immediato osservare che ogni rotazione ha una matrice di questotipo.In modo analogo si prova che ogni matrice A ( SO(3) e la matrice di unarotazione intorno ad un asse. Infattidet(A) I) = det(At ) I) = det(A#1(I )A)) = detA#1 det(I )A) =- detA#1 det(A) I) = - det(A) I).Quindi det(A)I) = 0 e cioe 1 e un autovalore di A. Pertanto esiste un autovet-tore associato ad 1 e quindi una retta fissa. A si restringe ad un automorfismo


ortogonale di determinante 1 del piano ortogonale a tale retta, cioe ad una unarotazione. Assumendo e3 come tale autovettore, A ha la forma:

A =

-

.cos & ) sin & 0sin & cos & 0

0 0 1

/

0

Si osservi che il sottoinsieme di O(n) delle matrici ortogonali di determinante )1non e un sottogruppo: non e nemmeno stabile, poiche il prodotto di due matricidi determinante )1 ha determinante 1. Contiene ad esempio le simmetrie (oriflessioni) rispetto agli iperpiani coordinati, che hanno una matrice diagonalecon un solo )1. Ad esempio,

X =

-

11.

)1 0 0 . . .0 1 0 . . .0 0 1 . . .

. . . . . . . . . . . .

/

220

e la matrice della riflessione rispetto all’iperpiano x1 = 0. Tutte le matrici or-togonali di derminante )1 si ottengono da questa moltiplicandola per le matriciortogonali di determinante 1. In e#etti la moltiplicazione a destra per tale ma-trice X determina una biiezione ' : SO(N) # O(n) ) SO(n) : ' e iniettivain quanto AX = BX - A = B per la legge di semplificazione, inoltre esuriettiva poiche Y ( O(n) ) SO(n) ha come controimmagine la matrice dideterminante 1 Y X#1.Nel caso di O(2), ogni matrice A di determinante )1 corrisponde alla riflessionerispetto ad una retta passante per l’origine. Infatti A puo quindi essere scrittacome il prodotto di una rotazione di una angolo & e della riflessione X rispettoall’asse y:,

A =+

cos & ) sin &sin & cos &

, +)1 00 1

,=

+) cos & ) sin &) sin & cos &

,

E’ immediato verificare che 1 e un autovalore di A e che l’autospazio corrispon-dente e la retta di equazione x() sin &) + y(cos & ) 1) = 0. Percio A e lariflessione rispetto a tale retta (vettoriale).

In modo analogo, considerando lo spazio vettoriale complesso Cn con il prodottohermitiano standard definito da u · v = u1v1 + . . . + unvn, si dimostra che lematrici unitarie sono le matrici associate agli automorfismi che conservano taleprodotto hermitiano.

C) Gruppi di isometrie

Sia An lo spazio a!ne reale di dimensione n, con la usuale metrica euclidea.Si dice moto rigido o isometria ogni biiezione di di An in se che conservale distanze. Sappiamo che l’insieme di tutte le biiezioni dello spazio in se e ungruppo: si prova che le isometrie formano un sottogruppo.


Teorema 1.6.17 L’insieme M di tutte le isometrie dello spazio e un grupporispetto alla usuale composizione di funzioni.

Dimostrazione. 1) Id ( M .2) Siano #, % ( M , indicata con d la distanza, per ogni coppia di punti p, q siha:

d((# & %)(p), (# & %)(q)) = d(#(%(p)),#(%(q))) = d(%(p),%(q)) = d(p, q)quindi # & % ( M .3) Se # ( M , ##1 ( M . Infatti

d(p, q) = d(#(##1(p)),#(##1(q))) = d(##1(p),##1(q)).

Osservazione 1.6.18 Sia T un sottoinsieme dello spazio e sia M(T ) l’insiemedelle isometrie che mandano T in se stesso. Si prova in modo analogo che M(T )e un sottogruppo di M .

Esaminiamo il caso del piano (n = 2). Tra le isometrie del piano distinguiamo1) moti che conservano l’orientamento:

• traslazione di un vettore a,

• rotazione di un angolo & intorno ad un punto p,

2) moti che invertono l’orientamento:

• riflessione o ribaltamento intorno ad una retta l,

• glissoriflessione, cioe il movimento ottenuto componendo una riflessioneintorno ad una retta l e una traslazione mediante un vettore parallelo adl.

Vale il seguente teorema (per la dimostrazione, vedere ad esempio Artin: Alge-bra , ed. Boringhieri)

Teorema 1.6.19 Ogni moto rigido del piano a!ne e una traslazione o unarotazione o una riflessione o una glissoriflessione.

Osservazione 1.6.20 Osserviamo che O(n) e un sottogruppo del gruppo delleisometrie a!ni, precisamente e il sottogruppo dei movimenti che fissano l’orig-ine.

Calcoliamo i gruppi di isometrie di alcune figure piane. Tutte le figure conside-rate hanno un centro di simmetria O, che assumiamo come origine del sistemadi coordinate. Pertanto i gruppi che studiamo sono di fatto sottogruppi di O(2).

Esempio 1.6.21 Gruppo delle isometrie del rettangolo. E’ detto anchegruppo trirettangolo o gruppo di Klein ed e denotato di solito con T .Siano A,B,C, D i vertici di un rettangolo disposti in modo che AB e e DCsiano i lati maggiori e AD e BC i lati minori. Il rettangolo ha due assi di


simmetria r (ortogonale ai lati maggiori) e s (ortogonale ai lati minori). Ilpunto di intersezione O dei due assi e il centro del rettangolo. Le isometrie delrettangolo sono quindi quattro:

- l’identita 1,- la rotazione a di ( intorno ad O,- la riflessione b rispetto all’asse r,- la riflessione c rispetto all’ asse s.

La tabella di moltiplicazione risulta la seguente:

1 a b c1 1 a b ca a 1 c bb b c 1 ac c b a 1

Si osservi che tutti gli elementi diversi da 1 hanno periodo 2, quindi T non eciclico. Per quanto la legge di composizione di biiezioni non sia commutativa,T e abeliano.

Esempio 1.6.22 Gruppo delle isometrie del poligono regolare di n lati.E’ detto anche gruppo diedrale di ordine n ed e denotato con "n.Esaminiamo il caso del triangolo equilatero (n = 3). Siano P1, P2, P3 i vertici: iltriangolo ha tre assi di simmetria si uscenti dal vertice Pi e perpendicolari al latoopposto, che si intersecano nel centro O. Le isometrie del triangolo equilaterosono quindi 6:

- l’identita 1,- la rotazione R di 2!

3 in senso antiorario intorno ad O,- la rotazione R2 di 4!

3 in senso antiorario intorno ad O,- le riflessioni Di i = 1, 2, 3 rispetto ai rispettivi assi.

La tabella di moltiplicazione risulta la seguente

1 R R2 D1 D2 D3

1 1 R R2 D1 D2 D3

R R R2 1 D3 D1 D2

R2 R2 1 R D2 D3 D1

D1 D1 D2 D3 1 R R2

D2 D2 D3 D1 R2 1 RD3 D3 D1 D2 R R2 1

Le rotazioni hanno periodo 3 e le riflessioni periodo 2, quindi anche "3 none ciclico. Inoltre non e abeliano. Le rotazioni formano un sottogruppo di 3elementiNel caso generale, poiche il poligono regolare di n lati ha n assi di simmetriache si intersecano in un punto O, "n ha 2n elementi:


- le n rotazioni Ri di un angolo di 2i!n in senso antiorario intorno ad O per

i = 0, . . . , n) 1,- le n riflessioni Di rispetto agli assi di simmetria.

Anche in questo caso "n e un gruppo non abeliano. Le rotazioni formano unsottogruppo con n elementi e ciascuna ha come periodo un divisore di n. Leriflessioni hanno periodo 2.

Osservazione 1.6.23 Ogni isometria induce una permutazione sui vertici, quin-di, numerando i vertici da 1 a n, "n puo essere pensato come un sottogruppodi Sn. Nel caso n = 3, "3 coincide con S3.

Esercizio 1.6.24 Provare che Z4 e il gruppo trirettangolo non sono isomorfi.

Vale il seguente teorema, per la cui dimostrazione si rimanda al libro di Artin

Teorema 1.6.25 Ogni sottogruppo finito del gruppo O(2) dei moti rigidi chefissano l’origine e di uno dei seguenti tipi:

• G = Cn = gruppo ciclico di ordine n generato dalla rotazione intornoall’origine di un angolo & = 2!

n ,

• G = "n = gruppo diedrale di ordine n.

Osservazione 1.6.26 I gruppi diedrali D1 e D2 sono troppo piccoli per esserei gruppi di simmetria di un poligono regolare di n lati nel senso usuale. D1 e ilgruppo {1, r} di due elementi, dove r e una riflessione (quindi ciclico come C2).Il gruppo D2 contiene 4 elementi {1, ), , r, )r}, dove ) e la rotazione di (, quindie isomorfo al gruppo trirettangolo.

Osservazione 1.6.27 In questo paragrafo abbiamo studiato alcuni gruppi ditrasformazioni. Il seguente teorema a#erma che in realta, a meno di isomorfismi,tutti i gruppi sono di questo tipo.

Teorema 1.6.28 Teorema di Cayley Ogni gruppo e isomorfo a un gruppodi permutazioni sull’insieme dei suoi elementi.

Dimostrazione. Siano G, · un gruppo e Sym(G) il gruppo delle biiezioni di Gin se. 'a ( G sia *a : G # G definita da *a(x) = ax, 'x ( G. Tale *a ebiiettiva, perche l’equazione ax = b ha una ed una sola soluzione in G, quindi*a ( Sym(G). Definiamo quindi & : G # Sym(G) ponendo &(a) = *a.- & e iniettiva in quanto &(a) = &(b) - *a = *b - *a(1) = *b(1) - a1 = b1 -a = b.- & e un omomorfismo &(ab)(x) = *ab(x) = (ab)x = a(bx) = *a(bx) = *a(*b(x)) =(*a & *b)(x) = (&(a) & &(b))(x).

Corollario 1.6.29 Ogni gruppo finito di ordine n e isomorfo a un sottogruppodi Sn.

Corollario 1.6.30 Per ogni n ci sono solo un numero finito di classi di iso-morfismo di gruppi di ordine n.

Dimostrazione. Sn ha solo un numero finito di sottogruppi.

1.7. LATERALI DI UN SOTTOGRUPPO 29

1.7 Laterali di un sottogruppo

Siano G· un gruppo e S un suo sottogruppo. Definiamo su G una relazione !ponendo, dati a, b ( G

a!b 2 ba#1 ( S 2 ,s ( S, b = sa

! e una relazione di equivalenza.i) E’ riflessiva, cioe 'a ( G a!a, in quanto 1 ( S e a = 1 · a.ii) E’ simmetrica, cioe a!b - b!a. Infatti, se a!b , esiste s ( S tale che b = sa.Allora a = s#1b, ma s#1 ( S, poiche S e un sottogruppo, quindi b!a.iii) E’ transitiva, cioe a!b, b!c - a!c. Infatti, se a!b e b!c esistono s1, s2 ( Stali che b = s1a e c = s2b. Allora, sostituendo e applicando la proprietaassociativa, c = s2b = s2(s1a) = (s2s1)a. Poiche S stabile, s2s1 ( S, quindia!c.

Definizione 1.7.1 Le classi di equivalenza della relazione ! sono detti lateralidestri di S e sono denotati

Sa = {a}" = { sa | s ( S }.

Si hanno quindi un insieme quoziente G/! e una proiezione canonica ( : G #G/!.

Osservazione 1.7.2 Per le propriea note delle relazioni di equivalenza, i late-rali destri formano una partizione di G, cioe:

i) sono a due a due disgiunti,ii) ogni elemento di G appartiene ad un (unico) laterale,iii) ogni laterale puo essere individuato da un suo elemento qualsiasi, cioe se

a! ( Sa, allora Sa! = Sa.

Osservazione 1.7.3 Se G e abeliano e l’operazione e denotata +, la relazione! si scrive

a!b 2 b) a ( S

e il laterale destro individuato da a sara denotato con S + a.Ad esempio, se G = Z e S e il sottogruppo ciclico generato da n , la relazionesi scrive

a!b 2 b) a ( (n) 2 ,k ( Z, b) a = kn 2 a 6 b mod n.Si hanno quindi n laterali destri:

(n) + 0 = (n) = { kn | k ( Z },(n) + 1 = { kn + 1 | k ( Z },. . .(n) + n) 1 = { kn + n) 1 | k ( Z }.

che coincidono esattamente con le classi di resto modulo n.

In modo analogo si definisce la relazionea!!b 2 a#1b ( S 2 ,s ( S b = as

che risulta essere di equivalenza.


Definizione 1.7.4 Le classi di equivalenza della relazione !! sono detti lateralisinistri di S e sono denotati

aS = {a}" = { as | s ( S }.

Osservazione 1.7.5 Se G non e abeliano i laterali destri e i laterali sinistripossono non coincidere. Ad esempio si consideri G = "3, S =< D1 > e a = R:il laterale destro e SR = { 1R = R, D1R = D2 }, invece il laterale sinistro eRS = { R1 = R, RD1 = D3 }.

Proposizione 1.7.6 Nelle notazioni precedenti esiste una biiezione

f : G/!! # G/!

aS +# Sa#1

Dimostrazione. f e ben definita: se b ( aS, sappiamo che bS = aS e quindioccorre provare che Sb#1 = Sa#1. Per ipotesi esiste s ( S tale che b = as,quindi b#1 = s#1a#1. Poiche S e un sottogruppo s#1 ( S e quindi b#1 ( Sa#1

e Sb#1 = Sa#1.f e iniettiva: se Sa#1 = Sc#1, allora c#1 ( Sa#1, cioe esiste s ( S tale chec#1 = sa#1, quindi c = as#1 ( aS e quindi cS = aS.f e suriettiva: la controimmagine del laterale Sd e d#1S.

Definizione 1.7.7 Siano G, · un gruppo finito e S un suo sottogruppo. Si diceordine di S il numero di elementi di S. Si dice indice di S, e lo si indica coni(S) o con [G : S], il numero dei suoi laterali (destri o sinistri).

Teorema 1.7.8 (Teorema di Lagrange). Sia G, · un gruppo finito di ordinen e sia S un suo sottogruppo di ordine m. Allora n = i(S)m , in particolarem|n.

Dimostrazione. Sappiamo che i laterali (ad esempio destri) di S formano unapartizione di G. Inoltre tutti i laterali hanno m elmenti. Infatti, sia g : S # Sala moltiplicazione per a.- g e iniettiva in quanto, dati x, y ( S, se xa = ya, allora, per la legge disemplificazione, x = y,- g e suriettiva per definizione di Sa.quindi n = i(s)m.

Corollario 1.7.9 Il periodo di ogni elemento di un gruppo finito G divide l’or-dine di G.

Corollario 1.7.10 (Teorema astratto di Fermat) Se G, · e un gruppo diordine n, per ogni x ( G xn = 1.

Dimostrazione. Se k e l’ordine di x, esiste un naturale h tale che n = hk, quindixn = xkh = (xk)h = 1h = 1.

1.7. LATERALI DI UN SOTTOGRUPPO 31

Osservazione 1.7.11 Se p e un numero primo, Z"p, · e un gruppo di ordinep ) 1, quindi xp#1 = 1 , 'x /= 0, cioe per ogni intero x non divisibile per p,xp#1 6 1 mod p e quindi xp 6 x mod p, come asserisce il teorema piccolo diFermat.Piu in generale, se m > 0 e un numero intero qualsiasi e G = { x ( Zm | xe invertibile } = { x | (x,m) = 1 }, sappiamo che G, · e un gruppo di ordine'(m), dove ' e la funzione di Eulero. Applicando a G il teorema astratto diFermat otteniamo il teorema di Eulero-Fermat: 'x ( G, x#(m) = 1, cioe perogni x coprimo con m, x#(m) 6 1 mod m.

Teorema 1.7.12 Se G, · ha ordine un numero primo p, G, · e isomorfo a Zp,+.

Dimostrazione. Sia a /= 1 un elemento di G. Poiche il periodo di a devedividere p, necessariamente tale periodo coincide con p e quindi < a >= G, cioeG e ciclico generato a . Abbiamo gia dimostrato che ogni gruppo ciclico con pelementi e isomorfo a Zp.

Osservazione 1.7.13 Il Teorema di Lagrange a#erma che, dato un gruppofinito G di ordine n, ogni suo sottogruppo ha come ordine un divisore di n. None necessariamente vera l’asserzione contraria, che fissato un divisore d di n esistaun sottogruppo di ordine d. Cio vale per i gruppi ciclici. Precisamente si ha ilseguente

Teorema 1.7.14 Sia G, · un gruppo ciclico di ordine n generato da a. Alloraper ogni divisore positivo d di n, G ha esattamente un sottogruppo di ordine d.

Dimostrazione. Sia d > 0, d|n. Allora esiste un intero u tale che n = du .Allora au genera un sottogruppo di ordine n

u = d in quanto (au)d = an = 1e inoltre, se (au)t = 1, n = du divide tu e quindi d|t. Pertanto G ha almeno unsottogruppo di ordine d.Siano H1 e H2 due sottogruppi dello stesso ordine d. Per il teorema 1.5.5H1 =< am1 > e H2 =< am2 > dove mi e il minimo intero positivo tale cheami ( Hi , i = 1, 2. Osserviamo che mi|n in quanto 1 = an (< ami > e ilresto r della divisione di n per mi e un intero minore di mi tale che ar ( Hi,quindi r = 0.Inoltre amid = 1, in quanto < ami > ha ordine d, e mid e il piu piccolo interopositivo per cui questo avviene, quindi mid = n. Ne segue m1 = m2 e diconseguenza H1 = H2.


1.8 Sottogruppi normali e gruppo quoziente

Definizione 1.8.1 Un sottogruppo N di un gruppo G, · e detto normale sei suoi laterali destri coincidono con i laterali sinistri, cioe se vale una delleseguenti condizioni equivalenti

'a ( G aN = Na 2'a ( G 'n ( N ,n! ( N an = n!a 2

'a ( G 'n ( N ana#1 ( N

In tal caso i due quozienti coincidono e vengono indicati con G/N . In simbolisi scrive N ! G.

Esempio 1.8.2 Se G e abeliano ogni sottogruppo e normale.

Esempio 1.8.3 In "3 Il sottogruppo delle rotazioni S = { 1, R, R2 } e nor-male ed ha come unico laterale proprio (destro e sinistro) il suo complementare{ D1, D2, D3 }. Invece i sottogruppi ciclici generati da una riflessione non sononormali.

Esempio 1.8.4 An e un sottogruppo normale di Sn: infatti, avendo indice 2,ha un solo laterale proprio sia destro che sinistro che coincide necessariamentecon il complementare di An.

Definizione 1.8.5 Un gruppo e detto semplice se non ha sottogruppi normalipropri.

Teorema 1.8.6 Siano G, · un gruppo e N un suo sottogruppo normale: E’possibile definire una operazione su G/N rispetto alla quale G/N e un gruppoe la proiezione ( : G # G/N e un omomorfismo avente come nucleo N .

Dimostrazione. Siano Nc e Nd due laterali. Definiamo:

(Nc)(Nd) = N(cd) (1.4)

1) La definizione non dipende dai rappresentanti scelti. Infatti se c! ( Nce d! ( Nd esistono m,n ( N tali che c! = nc e d! = md . Quindic!d! = (nc)(md) = (per la proprieta associativa) n(cm)d . Poiche N e unsottogruppo normale esiste m! ( N tale che cm = m!c e inoltre nm! ( N .Quindi c!d! = nm!cd ( N(cd).

2) G/N e un gruppo rispetto a tale prodotto:- vale la proprieta associativa: (Na)(NbNc)) = (Na)(N(bc)) = N(a(bc)) =N((ab)c) = N(ab)Nc = (NaNb)Nc;N1 = N e elemento neutro: N1Nc = N(1c) = Nc e NcN1 = N(c1) = Nc;- L’inverso di Nc e Nc#1: NcNC#1 = N(cc#1) = N1 = N (analoga perl’inverso a sinistra).

3) ( e un omomorfismo, infatti ((cd) = N(cd) = (Nc)(Nd) = ((c)((d).4) Ker(() = {a|((a) = N1} = {a|Na = N1 = N} = {a|a ( N} = N .

1.9. TEOREMI DI ISOMORFISMO 33

Definizione 1.8.7 Se N ! G, G/N, · e detto gruppo quoziente di G mo-dulo N .

Esempio 1.8.8 In Z,+, ogni sottogruppo (n) e normale e il quoziente Z/(n)coincide con il gruppo delle classi di resto modulo n Zn.

1.9 Teoremi di isomorfismo

Teorema 1.9.1 Se f : G, · # G!, · e un omomorfismo di gruppi, Ker(f) eun sottogruppo normale di G.

Dimostrazione. Ker(f) = f#1({1!}) e un sottogruppo, perche controimmaginedi un sottogruppo di G!.Siano x ( G e k ( Ker(f) dobbiamo verificare che xkx#1 ( Ker(f), cioeche f(xkx#1) = 1!. Ma questo segue immediatamente dalle proprieta degliomomorfismi:

f(xkx#1) = f(x)f(k)f(x#1) = f(x)1!(f(x))#1 = 1!.

Teorema 1.9.2 Teorema fondamentale degli omomorfismi di gruppi oPrimo teorema di isomorfismo Sia f : G, ·# G!, · un omomorfismo. Esisteun isomorfismo

' : G/ker(f) # Im(f) (1.5)

tale da rendere commutativo il seguente diagramma

G !#$ G/Ker(f)

f 7 * 'Im(f)

Dimostrazione. Poniamo per comodita K = Ker(f). 'k ( K e 'c ( G si haf(kc) = f(k)f(c) = 1!f(c) = f(c) e quindi tutti gli elementi del laterale Kchanno la stessa immagine mendiante f . Percio si puo correttamente definireuna funzione ' : G/K # Im(f) . G! ponendo '(Kc) = f(c) .Per definizione ' & ( = f .' e un omomorfismo, perche '(KcKd) = '(K(cd)) = f(cd) = f(c)f(d) ='(Kc)'(Kd)' e suriettiva: un elemento f(a) ( Im(f) ha come controimmagine Ka.Ker(') = { Ka | '(Ka) = 1! } = { Ka | f(a) = 1! } = { Ka | a ( K} ={ K } = { 1G/K }. Quindi ' e iniettiva.

Esempio 1.9.3 Sia d : GL(n,R), ·# R){0}, · la funzione che ad ogni matriceassocia il suo determinante. d e un omomorfismo per il teorema di Binet. d esuriettiva perche, fissato r ( R ) {0}, la matrice diagonale avente r nel posto


(1,1) e 1 altrove ha determinante r. Ker(d) = { A | d(A) = 1 } = SL(n,R),quindi il gruppo lineare speciale e un sottogruppo normale del gruppo linearee si ha un isomorfismo

GL(n,R)/SL(n,R), · 8 R) {0}, · (1.6)

In modo analogo, il morfismo determinante d : O(n), · #{ 1,)1}, · ha comenucleo SO(n), che quindi e normale e si ha un isomorfismo

O(n)/SO(n), · 8 {1,)1}, · (1.7)

Teorema 1.9.4 Sia f : G·# G!· un omomorfismo suriettivo.i) se H ! G allora f(H) ! G!,ii) se H ! ! G! allora f#1(H !) ! G.

Dimostrazione. i) Prendiamo due elementi a! ( G! e f(h) ( f(H), con h ( H.Occorre provare che a!f(h)a!#1 ( f(H) . Poiche f e suriettivo, esiste a ( Gtale che f(a) = a!, quindi, per le proprieta degli omomorfismi,

a!f(h)a!#1 = f(a)f(h)(f(a))#1 = f(a)f(h)f(a#1) = f(aha#1) ( f(H)in quanto aha#1 ( H, poiche H e normale.ii) siano a ( G e h ( f#1(H !). Occorre provare che aha#1 ( f#1(H !) oequivalentemente che f(aha#1) ( H !. In e#etti, usando le proprieta degliomomorfismi, si ha

f(aha#1) = f(a)f(h)f(a#1) = f(a)f(h)(f(a))#1 ( H !

poiche f(h) ( H ! e H ! e normale.

Teorema 1.9.5 Sia H ! G. C’e una biezione tra i sottogruppi di G che con-tengono H e i sottogruppi di G/H e in tale corrispondenza a sottogruppi normalicorrispondono sottogruppi normali.

Dimostrazione. Sia ( : G # G/H la proiezione canonica. SianoX = { sottogruppi di G che contengono H } e Y = { sottogruppi di G/H }.Definiamo ' : X # Y ponendo, per ogni S < G, H . S, '(S) = ((S).Sappiamo che ((S) e un sottogruppo di G/H, normale quando S lo e. Viceversadefiniamo + : Y # X ponendo, per ogni S < G/H, +(S) = (#1(S). Anche inquesto caso +(S) e un sottogruppo (normale se S lo e) inoltre contiene ker(() =H, in quanto S contiene 1!. Si tratta soltanto di verificare che ' e + sonofunzioni inverse l’una dell’altra.

i) '(+(S)) = (((#1(S)) = Sii) S . (#1(((S)) = +('(S))

x ( (#1(((S)) - ((x) ( ((S) - ,s ( S, ((x) = ((s) - xs#1 ( Ker(() =H - ,h ( H . S, x = hs - x ( S.

Teorema 1.9.6 Secondo teorema di isomorfismo Siano K ! G e H < GAllora:

1) HK = { hk | h ( H, k ( K } e un sottogruppo di G2) K ! HK3) H/H %K 8 HK/K.

1.9. TEOREMI DI ISOMORFISMO 35

Dimostrazione. 1) Usiamo il criterio. Siano h1k1 e h2k2 due elementi di HK.h1k1(h2k2)#1 = h1k1k

#12 h#1

2 e, poiche K e normale, esiste k3 ( K tale cheh1k1k

#12 h#1

2 = h1h#12 k3 ( HK . Quindi HK e un sottogruppo di G e contiene

sia H che K, in quanto H = H1 . HK e K = 1K . HK.2) K e un sottogruppo normale in G, quindi in particolare aK = Ka per ognia ( HK.3) Sia f : H # HK/K il morfismo composto dall’inclusione H ,# HK e dallaproiezione canonica HK # HK/K, quindi f(h) = Kh. f e suriettivo, inquanto, essendo K normale, per ogni hk ( HK esiste k! ( K tale che hk = k!he quindi si ha Khk = Kk!h = Kh = f(h). Ker(f) = { h ( H | f(h) = K } ={ h ( H | hK = K } = H %K. Quindi la tesi segue dal teorema fondamentale.

Teorema 1.9.7 Terzo teorema di isomorfismo Siano K!H!G sottogruppinormali di G. Allora H/K!G/K ed esiste un isomorfismo naturale (G/K)/(H/K)) 8G/H .

Dimostrazione. Definiamo f : G/K # G/H ponendo f(Ka) = Ha .E’ una buona definizione perche K . H e quindi per ogni elemento ka dellaterale Ka, ka ( Ha e quindi H(ka) = Ha.E’ e un omomorfismo in quanto: f(KaKb) = f(K(ab)) = H(ab) = HaHb =f(Ka)f(Kb),Ker(f) = { Ka | f(Ka) = H } = { Ka | Ha = H } = { Ka | a ( H } = H/K.Quindi H/K e un sottogruppo normale di G/K e, poiche f e evidentementesuriettiva, per il teorema fondamentale degli omomorfismi (G/K)/(H/K)) 8G/H .


1.10 Somma diretta e prodotto diretto

Proposizione 1.10.1 Siano A, · e B, · due gruppi. Il prodotto cartesiano A"Bcon l’operazione definita da

(a1, b1) · (a2, b2) = (a1 · a2, b1 · b2)dove a1, a2 ( A e b1, b2 ( B, e un gruppo detto prodotto diretto di A e di B.Nel caso di gruppi abeliani il gruppo definito in tale modo viene detto sommadiretta.

Dimostrazione. L’elemento neutro e 1 = (1A, 1B), l’inverso di (a, b) e (a#1, b#1).E’ immediato verificare la validita della proprieta associativa.

Osservazione 1.10.2 Si puo definire il prodotto diretto (o la somma direttain caso di notazione additiva) di un numero finito di gruppi. Piu in generale sipone la seguente definizione:

Definizione 1.10.3 Sia {Gi, ·}i%I una famiglia di gruppi. Si dice prodottodiretto della famiglia e lo si indica con

3i%I Gi il prodotto cartesiano dotato

della seguente operazione: dati due elementi a = (ai), b = (bi) si pone ab =(ai · bi) (il prodotto in parentesi e l’operazione in Gi).Si dice somma diretta, e lo si indica con

4i%I Gi oppure con

5i%I Gi, il

sottogruppo costituito dagli elementi a = (ai) tali che ak = 1Gk per tutti i k ( Itranne un numero finito.

Osservazione 1.10.4 Tale definizione viene tradotta in modo ovvio in no-tazioni additive quando i gruppi Gi sono abeliani.

Osservazione 1.10.5 Se I e finito le definizioni di somma e di prodotto direttocoincidono; si preferisce usare il termine di somma diretta nel caso di gruppiabeliani.

Esempio 1.10.6 L’esempio piu importante e la somma diretta di una famigliadi gruppi tutti uguali a Z. Sia X un insieme, per ogni x ( X indichiamo conlo stesso simbolo x l’elemento della somma diretta

4x%X Z avente tutti zeri

tranne un 1 nel posto corrispondente all’indice x. Con l’operazione di sommasopra definita , l’elemento generico del gruppo

4x%X Z puo essere scritto come

somma formale finita4k

i=1 nixi dove ni ( Z e xi ( X. Tale gruppo viene dettogruppo abeliano libero generato da X; viene detto finitamente generato seX e finito e la cardinalita di X detta rango del gruppo.

Vale in generale il seguente importante teorema di classificazione (che nondimostriamo):

Teorema 1.10.7 i) Ogni gruppo abeliano finito e la somma diretta di gruppiciclici aventi come ordine una potenza di un numero primo.ii) Ogni gruppo abeliano finitamente generato (cioe avente un insieme finito digeneratori) e isomorfo ad una somma diretta finita di gruppi ciclici, ciascunodei quali e o infinito o ha ordine una potenza di un numero primo.

1.11. AZIONE DI UN GRUPPO SU DI UN INSIEME 37

1.11 Azione di un gruppo su di un insieme

Definizione 1.11.1 Siano G, · un gruppo e S un insieme. Si dice azione(a sinistra) di G su S una funzione G " S # S che alla coppia (g, x) (G" S associa un elemento di S denotato con g · x soddisfacente alle seguenticondizioni:

i) 1G · x = x, 'x ( S,ii) 'g, h ( G, 'x ( S, g · (h · x) = (gh)&'()

%G

·x.

Proposizione 1.11.2 Nelle condizioni della definizione precedente, fissato g (G la funzione

"g : S # S

x +# g · x

e una biiezione ed ha come inversa "g"1 .

Dimostrazione. Infatti:("g"1 &"g)(x) = ("g"1("g(x)) = g#1 ·(g ·x) = (per la ii)) (g#1g)·x = 1G ·x = x

(per la i)) ;("g & "g"1)(x) = x , in modo analogo.

Osservazione 1.11.3 Nelle notazioni precedenti, indicato con Sym(S) il grup-po delle permutazioni di S, la funzione:

( : G # Sym(S)g +# "g

e un omomorfismo, cioe "gh = "g & "h. Infatti:"gh(x) = (gh) · x = (per ii)) g · (h · x) = ("g("h(x)) = ("g & "h)(x).

Viceversa ogni omomorfismo ( : G # Sym(S) da luogo ad una azione, ponendo'x ( S, 'g ( Gm g · x = ((g)(x). In e#etti:

i) 1G · x = ((1G)(x) = id(x) = x, 'x ( Sii) 'g, h ( G, 'x ( S, g · (h · x) = ((g)(((h)(x)) = (((g) & ((h))(x) =

((gh)(x) = gh · x.Omomorfismi diversi corrispondono ad azioni diverse dello stesso gruppo Gsull’insieme S,L’omomorfismo ( puo essere assunto come definizione alternativa di azione delgruppo G sull’insieme S.

Definizione 1.11.4 Un’azione e detta:

• fedele se tale omomorfismo e iniettivo,


• transitiva se per ogni coppia di elementi x, y ( S esiste g ( G tale chey = g · x,

Un elemento x ( S viene detto punto fisso dell’azione se 'g ( G, g · x = x.

Esempio 1.11.5 Z agisce su R mediante:

Z"R # R(n, x) +# n · x = n + x

Infatti: i) o + x = 0 e ii) n + (m + x) = (n + m) + x. Tale azione e transitiva?E’ fedele? Ha punti fissi?

Esempio 1.11.6 Si ha un’azione:

GL(n,R)"Rn # Rn

(A, v) +# A · v = Av

dove v indica il vettore colonna delle componenti. E’ transitiva? E’ fedele? Hapunti fissi?

Esempio 1.11.7 Si ha un’azione:

O(n)"Rn # Rn

(A, v) +# A · v = Av

dove v indica il vettore colonna delle componenti. E’ transitiva? E’ fedele?

Esempio 1.11.8 Sia S = In = {1, 2, . . . , n} e sia G =< (1, 3, 4) >< Sn. Si haun’azione

G" In # In

(!, k) +# ! · k = !(k)

Esempio 1.11.9 Piu in generale, se G e un sottogruppo del gruppo Sym(S),l’inclusione di G in Sym(S) definisce un’azione naturale

G" S # S

(!, x) +# ! · x = !(x)

Teorema 1.11.10 Sia G"S # S un’azione di un gruppo G su S. La relazionesu S, x 9 y 2 ,g ( G, y = g · x e una relazione di equivalenza.

Dimostrazione. 1) E’ riflessiva, cioe x 9 x, perche 1 · x = x.2) E’ simmetrica, cioe x 9 y - y 9 x. Infatti per ipotesi ,g ( G, y = g · x.Allora g#1 · y = g#1 · (g · x) = 1 · x = x con g#1 ( G e quindi y 9 x.3) E’ transitiva. Siano infatti x 9 y e y 9 z, allora esistono g, h ( G tali chey = g · x e z = h · y, allora z = h · (g · x) = (gh) · x con gh ( G e quindi x 9 z.

1.11. AZIONE DI UN GRUPPO SU DI UN INSIEME 39

Definizione 1.11.11 Le classi di equivalenza di questa relazione sono detteorbite. Per ogni x ( S si ha quindi Orb(x) = {g · x | g ( G }. L’insiemequoziente (o insieme delle orbite) viene indicato con S/G.

Esercizio 1.11.12 Trovare l’ orbita di un generico elemento di R nell’azionedescritta nell’ esempio 1.11.5 e dell’elemento e1 = (1, 0 . . . , 0) di Rn nelle azionidescritte negli esempi 1.11.6, 1.11.7: Trovare tutte le orbite dell’esempio 1.11.8.Determinare i rispettivi insiemi quoziente.

Definizione 1.11.13 Nelle condizioni precedenti si dice stabilizzatore di unelemento x ( S, e lo si indica con Hx, l’insieme:

Hx = { g ( G | g · x = x }

Proposizione 1.11.14 Hx e un sottogruppo di G.

Dimostrazione, Siano g, h ( Hx, per il criterio e su!ciente provare che gh#1 (Hx. Osserviamo intanto che se h · x = x, agendo su entrambi i membridell’uguaglianza con h#1 si ottiene

h#1 · x = h#1 · (h · x) = (h#1h) · x) = 1G · x = x,cioe anche h#1 ( Hx. Ma allora

(gh#1) · x = g · (h#1 · x) = g · x = xe quindi gh#1 ( Hx.

Esercizio 1.11.15 Trovare lo stabilizzatore di un generico elemento di R nel-l’azione descritta nell’ esempio 1.11.5 e dell’elemento e1 = (1, 0 . . . , 0) di Rn

nelle azioni descritte negli esempi 1.11.6, 1.11.7.

Teorema 1.11.16 Siano dati un gruppo finito G, · e un’azione G " S # S suun insieme S. Per ogni x ( S, |Orb(x)| = [G : Hx].

Dimostrazione. Osserviamo che Hx non e necessariamente un sottogruppo nor-male di G e quindi non si puo parlare di gruppo quoziente, tuttavia sappiamoche il numero dei laterali destri coincide con quello dei laterali sinistri. Siadunque G/!! l’insieme dei laterali sinistri di Hx e definiamo

' : Orb(x) # G/!!

y +# gHx

dove g e un elemento del gruppo che manda x in y.1) ' e ben definita perche, se g, h sono due elementi tali che g · x = h · x = y,allora (h#1g) · x = x e quindi h#1g ( Hx, percio h e g individuano lo stessolaterale sinistro di Hx.2) ' e suriettiva, infatti gHx ha come controimmagine l’elemento g ·x ( Orb(x).3) ' e iniettiva. Siano infatti y = g · x e z = h · x due elementi di Orb(x) aventila stessa immagine, allora

'(y) = '(z) - gHx = hHx - h#1g ( Hx - (h#1g) · x = x - h#1 · (g · x) =x - g · x = h · x - y = z

Corollario 1.11.17 Nelle stesse ipotesi del teorema |Orb(x)| = |G||Hx|


1.12 Azione di un gruppo su se stesso

Definizione 1.12.1 Sia G, · un gruppo. Si puo definire un’azione di G su sestesso, detta azione di coniugio, ponendo

G"G # G

(a, x) +# a · x =def axa#1

E’ un’azione, infattii) 1 · x = 1x1#1 = xii) (ab) · x = (ab)x(ab)#1 = abxb#1a#1 = a · (bxb#1) = a · (b · x)

Inoltre, per ogni a la traslazione "a non e e soltanto una biiezione, ma e ancheun omomorfismo (quindi un automorfismo del gruppo G ). Infatti

"a(xy) = a(xy)a#1 = a(xa#1ay)a#1 = (axa#1)(aya#1) = "a(x)"a(y)

Definizione 1.12.2 Le traslazioni

"a : G # G

x +# axa#1

sono dette automorfismi interni del gruppo G.La traslazione "a manda ogni sottogruppo H nel sottogruppo aHa#1, che e dettosuo coniugato.

Definizione 1.12.3 Due elementi x, y ( G tali che y = axa#1 per un qualchea ( G sono detti coniugati. Le orbite di questa azione sono dette classi diconiugio

Osservazione 1.12.4 1) Osserviamo che Orb(x) = {x} se e solo se axa#1 =x 'a ( G cioe se e solo se x ( Z(G). Quindi il centro contiene esattamentetutti i punti fissi di questa azione.2) Lo stabilizzatore di un elemento x e detto centralizzatore ed e denotatocon Cx:

Cx = { a ( G | axa#1 = x }Quindi, se G e finito, per ogni x si ha |Orb(x)| = |G|

|Cx|

3) Cx = G se e solo se x ( Z(G). In particolare, G e abeliano se e solo seCx = G per ogni x ( G.

Osservazione 1.12.5 L’azione di coniugio si estende ad una azione sull’insiemedei sottogruppi di G. Sia dunque H < G,

Orb(H) = { aHa#1 | a ( G }H e normale se e solo se H = aHa#1, 'a cioe se e solo se Orb(H) = {H}.Lo stabilizzatore di H e detto normalizzatore di H in G e viene denotato:

N(H) = { a ( G | aHa#1 = H }H e un sottogruppo normale di N(H).

1.13. IL TEOREMA DI BURNSIDE 41

Proposizione 1.12.6 Classi di coniugio in Sn. Sia ! una permutazionescritta come prodotto di cicli disgiunti.i) Ogni permutazione coniugata !! = "!"#1 di ! ha la stessa struttura ciclicadi !. Inoltre gli interi che compaiono nei cicli di !! si ottengono applicando lapermutazione " agli interi che compaiono nei cicli di !.ii) Se ! e !! sono permutazioni di ! che hanno la stessa struttura ciclica, allorasono coniugate.

Dimostrazione. i) Siano a e b due interi consecutivi nella scrittura di unoqualunque dei cicli di ! (considerando consecutivi anche l’ultimo e il primodel ciclo), cioe sia b = !(a). Supponiamo inoltre che "(a) = s e "(b) = t.Allora

!!(s) = "!"#1(s) = "!(a) = "(b) = t

cioe t e il successivo di s nella scrittura ciclica di !!.ii) Supponiamo che ! e !! abbiano la stessa struttura ciclica. Per semplicita dinotazioni supponiamoli composti di due soli cicli

! = (a1, . . . , ak)(ak+1, . . . , ah)!! = (b1, . . . , bk)(bk+1, . . . , bh)

E’ immediato verificare che, detta " una permutazione che manda ai in = bi esi comporta in modo qualsiasi sugli altri elementi, si ha "!"#1 = !!.

Osservazione 1.12.7 Ne consegue che le orbite dell’azione di coniugio in Sn

sono tante quante le diverse strutture cicliche.Dato un intero n si dice che la successione di interi positivi n1 4 n2 4 . . . 4 nt

e una partizione di n se n = n1 + n2 + . . . + nt. Pertanto le orbite dell’azione diconiugio in Sn sono tante quante le partizioni di n.

Ad esempio in S7 siano ! = (1, 5)(2, 3, 4) e " = (1, 4, 3)(2, 6, 7, 5). Allora ilrisultato precedente dice che "!"#1 = (4, 2)(6, 1, 3).

1.13 Il teorema di Burnside

Sia G, · un gruppo finito e sia G" S # S una azione di G su un insieme finitoS. Abbiamo provato che il numero di elementi dell’orbita di un elemento di S euguale all’indice del suo stabilizzatore. Inoltre le orbite formano una partizionedi S, ma non tutte le orbite hanno lo stesso numero di elementi. Il Teoremadi Burnside fornisce un metodo per calcolare il numero delle orbite. Per ognig ( G indichiamo con +(g) il numero di elementi di S fissati da g.

+(g) = |{s ( S | g · s = s }|

Teorema 1.13.1 Teorema di Burnside Il numero O delle orbite dell’azionedi G e

O =1|G|

6

g%G

+(g) (1.8)


Lemma 1.13.2 Nelle condizioni precedenti, se s, t stanno nella stessa orbita,allora lo stabilizzatore di t e lo stabilizzatore di s sono sottogruppi coniugati diG. In particolare hanno lo stesso numero di elementi (in simboli |Hs| = |Ht|).

Dimostrazione. Se s e t appartengono alla stessa orbita, esiste un g ( G taleche t = g · s. Proviamo che

& : Hs # Ht

a +# gag#1

e un isomorfismo. & e la restrizione ad Hs dell’automorfismo interno "g di G: equindi su!ciente provare che la sua immagine e Ht.1) Se a ( Hs, gag#1 ( Ht. Infatti:

(gag#1) · t = g · (a · (g#1 · t))) = g · (a · s) = g · s = t.2) Viceversa, dato b ( Ht la sua controimmagine e g#1bg, che appartiene ad Hs

in quanto:(g#1bg) · s = g#1 · (b · (g · s))) = g#1 · (b · t) = g#1 · t = s.

Si conclude che |Hs| = |Ht|.

Dimostrazione di 1.13.1 Sia n il numero delle coppie (g, s) ( G " S tali cheg · s = s. calcoliamo tale numero in due modi diversi.a) Fissato g il numero delle coppie (g, s) tali che g · s = s e +(g), quindi

n =6

g%G

+(g) (1.9)

b) Fissato s il numero delle coppie (g, s) tali che g · s = S e la cardinalita dellostabilizzatore Hs di s, quindi

n =6

s%S

|Hs| (1.10)

Suddividiamo S nelle sue orbite e fissiamone una Orb14s%Orb1

|Hs| = (per il lemma) |Hs| · |Orb1| = (per il teorema 1.11.16) |Hs| ·[G : Hs] = |Hs| · |G|

|Hs| = |G|Allora dalla 1.10

n =O6

i=1

(6

s%Orbi

|Hs|) =O6

i=1

|G| = |G| · O (1.11)

e quindi, confrontando con la 1.9,

O =1|G|

6

g%G

+(g) (1.12)

1.13. IL TEOREMA DI BURNSIDE 43

Esempio 1.13.3 Disponendo a distanza regolare tre pietre nere e sei pietrebianche in un cerchietto di metallo si ottiene una collana. Tenedo conto delfatto che tale collana puo essere ruotata e capovolta, quante collane diverse sipossono ottenere ?Disponiamo le 9 pietre nei 9 vertici dell’ 9-gono regolare inscritto nel cerchietto.Sappiamo che si ottiene in questo modo un insieme S di

793

8= 84 configurazioni

diverse. Il gruppo diedrale "9 agisce su S (permutando le pietre nei vertici)e due configurazioni che si ottengono una dall’altra mediante un elemento di"9 danno luogo alla stessa collana . Quindi il numero di collane cercato e ilnumero delle orbite di tale azione. Sappiamo che |"9| = 18 ( 9 rotazioni Ri e9 ribaltamenti Di), per poter utilizzare il torema di Burnside occorre calcolare+(g) per ogni elemento g ( "9. Costruiamo una tabella degli elementi di "9

elencati secondo il periodo o(g) e per ciascuno di essi calcoliamo +(g). ( k(o)indica il numero degli elementi g ( "9 di periodo o.) Ci sono:- un elemento di periodo 1, id , che fissa tutti gli 84 elementi di S,- 9 elementi di periodo 2, i ribaltamenti Di, ciascuno dei quali fissa 4 elementi.Consideriamo ad esempio il ribaltamento D1 rispetto all’asse di simmetria chepassa per il vertice 1 e per il punto medio del lato oppsto. A!nche una confi-gurazione sia fissata da D1 occorre che le tre pietre nere siano disposte in modosimmetrico rispetto all’asse, quindi una deve necessariamente stare nel vertice1 e le altre due nelle coppie di vertici (2,9) o (3,8) o (4,7) o (5,6). In totaleabbiamo 4 configurazioni possibili.- 2 elementi di periodo 3, le rotazioni R3 e R6 di angoli 6!

9 e 12!9 . A!nche

una configurazione sia fissata da R3 o da R6 occorre che le pietre nere siano adistanza di tre posti l’una dall’altra, cioe in (1,4.7) o (2,5,8) o (3,6,9). In totaleabbiamo 3 configurazioni possibili.- 6 elementi di periodo 9, che non fissano alcuna configurazione.

g ( "9 o(g) k +(g) k+(g)id 1 1 84 84Di 2 9 4 36

R3, R6 3 2 3 6Ri, i /= 3, 6 9 6 0 04

g%!9+(g) = 126

Quindi il teorema di Burnside assicura che il numero delle orbite ( e quindi dellecollane) e O = 126

18 = 7.

Esempio 1.13.4 Usando il teorema di Burnside si puo trovare il numero dicomposti chimici ottenibili disponendo molecole o atomi di una certa sostan-za secondo una prefissata struttura. Ad esempio, nel caso del benzene, sidispongono radicali CH3 o H nei sei vertici di un esagono regolare.Numeriamo i vertici dell’esagono e indichiamo con S l’insieme di tutte le possibiliconfigurazioni che si ottengono diponendo radicali CH3 o H nei vertici. S ha 26

elementi, il gruppo diedrale "6 agisce su S e il numero cercato dei composti e


il numero delle orbite di tale azione. Per poter applicare il teorema di Burnsidedobbiamo calcolare il numero degli elementi fissati da ciascun elemento di "6.Come nell’esempio precedente, costruiamo una tabella degli elementi di "6 elen-cati secondo il periodo o(g) e per ciascuno di essi calcoliamo +(g). ( k(o) indicail numero degli elementi g ( "6 di periodo o.) Ci sono:- 1 elemento di periodo 1, id , che fissa tutti i 64 elementi di S,- 3 riflessioni Di rispetto a rette congiungenti vertici opposti: ciascuna ha perio-do 2 e fissa 24 elementi di S. Consideriamo ad esempio la riflessione D1 rispettoall’asse di simmetria che passa per i vertice 1 e 4. A!nche una configurazionesia fissata da D1 occorre che nei vertici 2 e 6 (risp. 3 e 5) si trovi lo stessoradicale. Quindi si hanno 24 configurazioni possibili.- 3 riflessioni Li rispetto agli assi di coppie di lati opposti: ciascuna ha periodo2 e fissa 23 elementi di S. Consideriamo ad esempio la riflessione L1 rispettoall’asse di simmetria dei lati 5-6 e 3-2. A!nche una configurazione sia fissatada L1 occorre che nelle coppie di vertici (5,6), (2,3) e (1,4) compaiano gli stessiradicali. In totale abbiamo 23 configurazioni possibili.- 2 rotazioni R2 e R4di periodo 3, che fissano 22 configurazioni.- 1 rotazione R3 di periodo 2, che fissa 23 configurazioni.- 2 rotazioni R e R5 di periodo 6, che fissano 2 configurazioni (tutti i verticidevono contenere lo stesso radicale)

g ( "6 o(g) k +(g) k+(g)id 1 1 64 64Di 2 3 16 48Li 2 3 8 24

R2, R4 3 2 4 8R3 2 1 8 8

R, R5 6 2 2 44g%!6

+(g) = 156

Quindi per il teorema di Burnside il numero delle orbite (e quindi dei composti)e O = 156

12 = 13.

Capitolo 2

Anelli e Campi

2.1 Definizione e prime proprieta

Definizione 2.1.1 Si dice anello un insieme A dotato di due operazioni indi-cate con + e · che godono delle seguenti proprieta:

i) A,+ e un gruppo abeliano,ii) · e associativa,iii) valgono le proprieta distributive a destra e a sinistra del prodotto rispetto

alla somma.A e detto anello con unita se esiste l’elemento neutro 1 rispetto a ·.Gli elementi di A che possiedono inverso moltiplicativo sono detti invertibili ounitari.A e detto commutativo se · e commutativo.Un anello con unita e detto corpo se ogni elemento diverso da 0 possiede uninverso moltiplicativo.Un anello commutativo con unita e detto campo se ogni elemento diverso da 0possiede inverso moltiplicativo.

Esempio 2.1.2 Sono esempi di anelli commutativi Z,+, ·, Zn,+, ·, sono esempidi campi Q,+, ·, R,+, ·, C,+, ·, Zp,+.·, dove p e un numero primo.

Esempio 2.1.3 Indicati con Z[X], Q[X], R[X], C[X], Zn[X] gli insiemi deipolinomi a coe!cienti nei rispettivi anelli, questi risultano anelli commutativicon unita rispetto alle usuali operazioni di somma e di prodotto. L’unita e ilpolinomio costante 1.

Esempio 2.1.4 L’insieme M(n, A) delle matrici n" n a elementi in un anelloA e un anello non commutativo rispetto alle usuali operazioni di somma e diprodotto righe per colonne.

Esempio 2.1.5 L’esempio piu importante di corpo che non e un campo e ilcorpo dei quaternioni H. E’ definito come lo spazio vettoriale reale di dimensione

45

46 CAPITOLO 2. ANELLI E CAMPI

4 e base 1, i, j, k, dove l’operazione di prodotto e definita dalle relazioni i2 =j2 = k2 = ijk = )1, ij = )ji = k, jk = )kj = i, ki = )ik = j.Si lasciano per esercizio le verifiche.Una definizione equivalente del corpo dei quaternioni si ottiene considerando leseguenti matrici ad elementi complessi:

1 =+

1 00 1

,, i =

+i 00 )i

,, j =

+0 1)1 0

,, k =

+0 ii 0

,

H puo allora essere definito come l’insieme delle matrici combinazioni lineari acoe!cienti reali di 1, i, j,k, con le usuali operazioni di somma e di prodotto dimatrici. Una tale matrice ha la forma

# = a1 + bi + cj + dk =+

z w)w z

,

dove si e posto z = a + ib e w = c + id. E’ immediato verificare che H eun sottogruppo additivo di M(2,C), che e stabile rispetto al prodotto e checontiene l’inverso di ogni suo elemento non nullo.

Osservazione 2.1.6 Salvo avviso contrario considereremo anelli con unita.

Proposizione 2.1.7 Seguono immediatamente dalla definizione di anello leseguenti proprieta: 'a, b, c ( A

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

a + 0 = a

()a) + a = 0a(bc) = (ab)c

a(b + c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca

Se A e un anello con unita a · 1 = 1 · a = aSe A e commutativo ab = ba.

Osservazione 2.1.8 In un anello la proprieta distributiva si generalizza nelmodo seguente:

(n6

i=1

ai)(m6

j=1

bj) =n6

i=1

m6

j=1

aibj (2.1)

Proposizione 2.1.9 Seguono dalle proprieta viste per i gruppi:1) 0 e )a (per ogni a) sono unici. In modo analogo si prova che 1 e a#1, seesistono, sono unici,2) )()a) = a, )(a + b) = )a) b,3) vale la legge di semplificazione rispetto alla somma a + b = a + c - b = c,4) l’equazione a + x = b ha sempre un’unica soluzione.

2.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETA 47

Osservazione 2.1.10 La legge di semplificazione non vale necessariamente peril prodotto: ad esempio in Z6, 3 · 4 = 3 · 2, ma 4 /= 2.Analogamente, un’ equazione del tipo ax = b non ha sempre soluzione in unanello: ad esempio 3x = 5 non ha soluzione in Z. Per contro potrebbe avere piusoluzioni: ad esempio in Z6, l’equazione 3x = 0, ha come soluzioni 4, 2, 0.

Proposizione 2.1.11 In un anello esistono i multipli interi di ciascun elemen-to a, che godono delle seguenti proprieta: 'n, m ( Z,'a, b ( A

n(ma) = (nm)a(n + m)a = na + ma

n(b + a) = nb + na

In un anello con unita esistono le potenze naturali di ciascun elemento a, chegodono delle seguenti proprieta, 'n, m ( N,'a, b ( A:

(an)m = anm

an · am = an+m

Se A e commutativo si ha anche (ab)n = anbn.

Proposizione 2.1.12 Sia A un anello, 'a ( A, a · 0 = 0 · a = 0.

Dimostrazione. a + 0 = a - a(a + 0) = aa - aa + a0 = aa - aa + a0 =aa + 0 - a0 = 0 (per la legge di semplificazione).

Proposizione 2.1.13 Sia A un anello con unita. Se non e ridotto al solo 0,e, salvo avviso contrario, faremo sempre questa ipotesi, 0 /= 1.

Dimostrazione. 0 = 1 - 'a, a = a · 1 = a · 0 = 0.

Proposizione 2.1.14 Vale la seguente regola dei segni, 'a, b ( A:

()a)b = )(ab)a()b) = )(ab)

()a)()b) = ab

()1)a = )a

Dimostrazione. 0 = 0b = (a + ()a))b = ab + ()a)b - ()a)b = )(ab).Analogamente si prova che a()b) = )(ab).Infine ()a)()b) = )()a)b = )[)(ab)] = ab.

Proposizione 2.1.15 'n ( Z,'a, b ( A si ha n(ab) = (na)b = a(nb)


Dimostrazione. Se n = 0, tutti gli elementi considerati sono 0. Se n > 0, sicalcola:

n(ab) = ab + . . . + ab =!

a(b + . . . + b) = a(nb)(a + . . . + a)b = (na)b

Se n < 0, dimostriamo ad esempio la prima uguaglianza, utilizzando la regoladei segni:

n(ab) = )[()n)ab] = )[(()n)a)b] = [)(()n)a)]b = (na)b

Proposizione 2.1.16 In ogni anello vale la regola del binomio:'n ( N, 'a, b ( A (a + b)n =

4ni=0

7ni

8aibn#i.

Dimostrazione. Si prova per induzione. Se n = 1 la proprieta e ovvia. Suppo-niamola vera per n)1, cioe supponiamo che (a+b)n#1 =

4n#1k=0

7n#1k

8akbn#1#k.

Calcoliamo:(a + b)n = (a + b)n#1(a + b) = (

4n#1k=1

7n#1k

8akbn#1#k)(a + b) =4n#1

k=1

7n#1k

8ak+1bn#1#k +

4n#1k=1

7n#1k

8akbn#k

Raccogliendo dalle due sommatorie i termini dello stesso grado in a e b, otte-niamo

(a + b)n =4n#1

i=0 (7n#1

i

8+ (

7n#1i#1

8)aibn#i

con la convenzione7h

k

8= 0 se k < 0 o k > h. D’altra parte si calcola

immediatamente:7n#1i

8+

7n#1i#1

8= (n#1)!

i!(n#1#i)! + (n#1)!(i#1)!(n#i)! = (n#1)!(i+n#i)

i!(n#i)!n!

i!(n#i)! =7n

i

8.

Osservazione 2.1.17 Le proposizioni fin qui dimostrate estendono agli anellicon unita molte proprieta dell’anello Z. Non tutte le proprieta dei numeriinteri sono pero generalizzabili. Ad esempio sappiamo che se il prodotto di duenumeri interi e nullo, uno dei due numeri deve essere nullo. Inoltre in Z si puosemplificare (rispetto al prodotto) per un numero diverso da 0. Abbiamo giaosservato che Z6 non gode di queste due proprita.

Definizione 2.1.18 In un anello A un elemento a e detto divisore dello zerose a /= 0 ed esiste b ( A, b /= 0, tale che ab = 0 oppure ba = 0,Un anello commutativo con unita privo di divisori dello zero viene detto do-minio d’integrita.

Osservazione 2.1.19 In un anello non commutativo puo accadere che ab = 0,ma ba /= 0: ad esempio in M(2,R)

+0 10 0

,·+

a 00 0

,=

+0 00 0

,

+a 00 0

,·+

0 10 0

,=

+0 a0 0

,

2.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETA 49

Esempio 2.1.20 Z e un dominio d’integrita, Zn non lo e se n non e un numeroprimo. Infatti, se n = hk con h, k > 1, h e k sono due divisori dello zero in Zn.

Proposizione 2.1.21 Un anello commutativo con unita A e un dominio d’in-tegrita se e solo se vale la legge di semplificazione per il prodotto, cioe

a /= 0 ab = ac - b = c

Dimostrazione. 1) Sia A un dominio d’integrita e siano a, b, c ( A tali che a /= 0e ab = ac. Allora ab) ac = 0 e quindi a(b) c) = 0 da cui segue per definizionedi dominio d’integrita., poiche a /= 0, che b) c = 0, cioe b = c.2) Supponiamo che valga la legge di semplificazione e proviamo che non esistonodivisori dello zero. Siano a /= 0 e b ( A tali che ab = 0. Allora ab = a0 e quindi,semplificando, b = 0.

Proposizione 2.1.22 Sia A un anello con unita. Gli elementi invertibili di Aformano un gruppo rispetto al prodotto.

Dimostrazione. Sia G l’insieme degli elementi invertibili di A. Allora:i) 1 ( G;ii) se x ( G, anche x#1 ( G, in quanto l’inverso di x#1 esiste ed e x;iii) se x, y ( G, esistono in A gli inversi x#1 e y#1. Ma il loro prodotto

y#1x#1 e l’inverso di xy e quindi xy ( G. Pertanto G e stabile ed eredita laproprieta associativa del prodotto.

Corollario 2.1.23 Ogni campo e un dominio d’integrita.

Dimostrazione. Infatti gli elementi non nulli di un campo formano un grupporispetto al prodotto, quindi vale la legge di semplificazione.

Definizione 2.1.24 Si dice caratteristica di un anello A (se esiste) il minimointero positivo n tale che na = 0A per ogni a ( A. In caso contrario si dice cheA ha caratteristica 0.

Osservazione 2.1.25 Se A possiede 1A, la caratteristica di A e il periodo addi-tivo di 1A. Infatti, se k1A = 0A, allora 'a ka = k(1A·a) = (k1A)·a = 0A·a = 0A.Quindi se k e il periodo additivo di 1A, k e la caratteristica di A.Il periodo additivo di ciascun elemento a e un divisore della caratteristica.

Esempio 2.1.26 Z, Q, R, C hanno caratteristica 0, Zp ha caratteristica p.

Proposizione 2.1.27 La caratteristica di un dominio d’integrita o e zero o eun numero primo.

Dimostrazione. Sia D un dominio d’integrita con caratteristica m /= 0. Sup-poniamo per assurdo che m non sia un numero primo, allora esistono due interib, k > 1 tali che m = bk. Allora, indicati con 0D e con 1D i due elementi neutridi D, si ha 0D = m1D = (bk)1D = (b1D)(k1D), per la proprieta distributi-va generalizzata. Ma b1D /= 0D e k1D /= 0D, perche b e k sono piu piccolidella caratteristica. Questo e assurdo, avendo supposto che D sia un dominiod’integrita.


2.2 Omomorfismi

Definizione 2.2.1 Siano A e A! due anelli. Un omomorfismo o morfismodi anelli e una funzione ' : A # A! tale che 'a, b ( A

'(a + b) = '(a) + '(b) , '(ab) = '(a)'(b) (2.2)

' e detto monomorfismo se e iniettivo, epimorfismo se e suriettivo, iso-morfismo se e biiettivo.

Osservazione 2.2.2 Anche se A e A! possiedono unita, non si ha automatica-mente che '(1A) = 1A! . Si consideri ad esempio ' : Z # M(2,Z) definita da

n +#+

n 00 0

,: '(1) /= I.

Pertanto, nel caso di anelli con unita (e in particolare di campi) si richiedeesplicitamente che un omomorfismo soddisfi l’ulteriore condizione

'(1A) = 1A! . (2.3)

Proposizione 2.2.3 1) id : A # A e un omomorfismo.2) Il prodotto di due omomorfismi e un omomorfismo.3) Sia ' : A # A! un omomorfismo, allora per ogni a ( A, per ogni n ( Z, perogni k ( N si ha:

'(0A) = 0A!

'()a) = )'(a)'(na) = n'(a)'(ak) = ('(a))k

Dimostrazione. Segue dalle proprieta degli omomorfismi di gruppo e dall’in-duzione su k.

Definizione 2.2.4 Sia ' : A # A! un omomorfismo di anelli. Si dice nucleodi ' il nucleo di ' come omomorfismo di gruppi addititvi, cioe Ker(') = { a (A | '(a) = 0A! }.

Osservazione 2.2.5 Ne consegue che un omomorfismo di anelli e iniettivo see solo se il suo nucleo e {0}.

Esempio 2.2.6 Se A e un anello con unita esiste un omomorfismo (dettounitario) cosı definito:

µ : Z # A

n +# n1A

Si noti che e l’unico omomorfismo possibile di Z in A, in quanto se f : Z # Ae un omomorfismo, poiche f(1) = 1A, per la proposizione precedente f(n) =f(n1) = nf(1) = n1A = µ(n).

2.3. SOTTOANELLI E IDEALI 51

Proposizione 2.2.7 i) Se A ha caratteristica 0, µ e iniettivo.ii) Se A ha caratteristica m, ker(µ) = (m) e inoltre µ induce un omomorfismoiniettivo µ! : Zm # A.

Dimostrazione. K = Ker(µ) = {n | µ(n) = 0A } = {n | n1A = 0A}.Quindi se A ha caratteristica 0, n1A /= 0, 'n /= 0 e quindi K = {0}, cioe µ einiettiva.Se invece A ha caratteristica m, m1A = 0 e m e il piu piccolo intero che godedi questa proprieta, quindi, se n1A = 0 e n = qm + r con 0 5 r < m, 0 =n1A = qm1A + r1A = q0A + r1A = r1A e quindi necessariamente r = 0. PercioK = {n | n1A = 0} = (m).Per il teorema fondamentale dei gruppi si ha allora un monomomorfismo digruppi

µ! : Z/(m) 8 Zm # A

k +# k1A

Bisogna verificare che sono soddisfatte anche le condizioni relative al prodottoe all’unita. In e#etti si ha:

µ!(1) = 1 · 1A = 1A

µ!(k · h) = µ!(kh) = kh1A = (k1A)(h1A) = µ!(k)µ!(h).

Esercizio 2.2.8 Sia K un campo di caratteristica p. Si verifichi che la funzioneFp : K # K definita da Fp(x) = xp e un omomorfismo (detto omomorfismo diFrobenius).

2.3 Sottoanelli e ideali

Definizione 2.3.1 Un sottoinsieme non vuoto S di un anello A e detto sot-toanello di A se e un anello rispetto alla restrizione ad S delle operazioni diA.

Proposizione 2.3.2 (Criterio per i sottoanelli) Un sottoinsieme non vuotoS di un anello A e un suo sottoanello se e solo se valgono le seguenti condizioni:i) 'x, y ( S x) y ( Sii) 'x, y ( S xy ( S.

Dimostrazione La i) assicura che S e un sottogruppo additivo di A, la ii) garan-tisce la stabilita rispetto al prodotto, quini S eredita le proprieta associativa edistributive.

Esempio 2.3.3 Z[i] = {a + ib ( C | a, b ( Z } e un sottoanello di C, dettoanello degli interi di Gauss.

Esempio 2.3.4 Z[:

2] = {a +:

2b ( R | a, b ( Z } e un sottoanello di R.


Esempio 2.3.5 Q[:

2] = {a +:

2b ( R | a, b ( Q } e un sottocampo di R.

Proposizione 2.3.6 Se ' : A # A! e un omomorfismo di anelli, Im(') e unsottoanello di A!.

Dimostrazione. Sappiamo che Im(') e un sottogruppo di A!. Presi poi dueelementi x! = '(x) e y! = '(y) in Im('), per definizione di morfismo, x!y! ='(x)'(y) = '(xy), quindi x!y! ( Im('). Si conclude che Im(') e un sottoanellodi A!.

Osservazione 2.3.7 Per la proposizione 2.2.7 ogni anello con unita di caratte-ristica zero contiene un sottoanello isomorfo a Z e ogni campo di caratteristicazero contiene un sottocampo isomorfo a Q. Ogni campo di caratteristica pcontiene un sottocampo isomorfo a Zp.

Osservazione 2.3.8 Dato un anello A e un suo sottoanello S, poiche S e inparticolare un sottogruppo normale di A, l’insieme dei laterali {S + a | a ( A}e dotato di una struttura di gruppo abeliano additivo, ma in generale non diuna struttura di anello rispetto alla quale la proiezione sia un omomorfismo.Per ottenere questo occorre considerare una particolare tipo di sottoanelli, dettiideali.

Definizione 2.3.9 Un sottoinsieme non vuoto I di un anello A e detto ideale(o ideale bilatero) di A (in simboli I ! A), se:i) 'x, y ( I, x) y ( I,ii) 'x ( I, 'a ( A, ax ( I e xa ( I.

Osservazione 2.3.10 1) Un ideale e in particolare un sottoanello.2) A e {0} sono ideali detti impropri.3) Z e un sottoanello di Q, ma non un suo ideale.4) Per ogni intero n, i multipli di n formano un ideale (n) di Z.

Proposizione 2.3.11 Se I e un ideale e 1A ( I, allora I = A.

Dimostrazione. Infatti 'a ( A, a = a · 1A ( I.

Proposizione 2.3.12 Un campo non possiede ideali propri.

Dimostrazione. Siano K un campo e I /= {0} un suo ideale. Sia x ( I, x /= 0.Poiche in K esiste x#1, per definizione di ideale x#1x = 1 ( I, quindi K = I.

Proposizione 2.3.13 Sia ' : A # A! un omomorfismo di anelli. Il suo nucleoKer(') = {x ( A | '(x) = 0A!} e un ideale di A.

Dimostrazione. Sappiamo dalla teoria dei gruppi che Ker(') e un sottogruppo(normale) di A. Siano ora x ( Ker(') e a ( A:

'(ax) = '(a) · '(x) = '(a) · 0A! = 0A! - ax ( Ker(').In modo analgo si prova che xa ( Ker(').

2.3. SOTTOANELLI E IDEALI 53

Corollario 2.3.14 Ogni omomorfismo di campi e iniettivo.

Dimostrazione. Sia ' : K # K ! un omomorfismo di campi. Poiche in particolare' e un omomorfismo di gruppi, e su!ciente provare che Ker(') = {0}. MaKer(') e un ideale di K, quindi o e {0} o e K. Se fosse Ker(') = K avremmoin particolare '(1K) = 0K! , ma per definizione deve essere '(1K) = 1K! , quindi1K! = 0K! . Poiche questo e impossibile, Ker(') = {0}.

Osservazione 2.3.15 Si osservi che l’immagine di ' non e necessariamente unideale di A!: Si consideri ad esempio l’inclusione i : Z ,# Q. L’immagine e Zstesso, che non e un ideale di Q.

Proposizione 2.3.16 Sia ' : A # A! un omomorfismo di anelli.i) L’immagine e la controimmagine di un sottoanello e un sottoanello;ii) la controimmagine di un ideale di A! e un ideale di A;iii) se ' e suriettivo, l’immagine di un ideale di A e un ideale di A!.

Dimostrazione. i) Esercizio.ii) Sia I ! un ideale di A!. Sappiamo che '#1(I !) e un sottogruppo di A. Sianox ( '#1(I !), e a ( A, allora '(ax) = '(a)'(x) ( I ! in quanto '(x) ( I ! e'(a) ( A!. Quindi ax ( '#1(I !). In modo analogo si prova che xa ( '#1(I !),che quindi e un ideale di A.iii) Sia I un ideale di A. Sappiamo che '(I) e un sottogruppo di A!. Occorreprovare che, per ogni x! ( '(I) e a! ( A!, a!x! ( '(I). Per definizione esistex ( I tale che '(x) = x! e poiche ' e suriettiva esiste a ( A tale che '(a) = a!.Allora ax ( I, perche I e un ideale, e quindi '(ax) = '(a)'(x) = a!x! ( '(I) .In modo analogo si prova che x!a! ( '(I), che quindi e un ideale di A!.

Osservazione 2.3.17 Si osservi che l’immagine di un ideale non e necessari-amente un ideale se l’omomorfismo non e suriettivo. Ad esempio si consideri

l’omomorfismo unitario µ : Z # M(2,Z) definita da n +#+

n 00 n

,, allora

µ((2)) non e un ideale in quanto+

2 00 2

, +0 11 1

,=

+0 22 2

,/( µ((2)).

Piu semplicemente si consideri l’inclusione Z ,# R. L’immagine dell’ideale (2)non e un ideale in R.

Definizione 2.3.18 Siano A un anello e x ( A. Si dice ideale principalegenerato da x e lo si indica con il simbolo (x), il piu piccolo ideale di Acontenente x.

Proposizione 2.3.19 Se A e un anello commutativo con unita e x ( A,(x) = {ax |a ( A}.

Dimostrazione. Si ragiona come nel caso dei sottogruppi ciclici generati da unelemento, cioe si prova:i) {ax|a ( A} e un ideale di A; infatti 'b, c ( A bx)cx = (b)c)x ( {ax|a ( A},e c(bx) = (bx)c = (bc)x ( {ax|a ( A}.


ii) x = 1x ( {ax|a ( A}.iii) Ogni ideale I contenente x deve contenere tutti gli elementi del tipo ax, cona ( A, per definizione di ideale.

Esempio 2.3.20 Nell’anello R[X] l’ideale principale generato da un poliomio#(X) e costituito da tutti i polinomi del tipo #(X)%(X). Ad esempio l’idealegenerato dal polinomio X e costituito da tutti i polinomi divisibili per X, cioeaventi termine noto nullo.

Definizione 2.3.21 Un anello e detto a ideali principali se ogni suo idealee principale. Con la sigla PID viene indicato un dominio a ideali principali.

Definizione 2.3.22 Un anello e detto noetheriano se ogni suo ideale e fini-tamente generato.

Esempio 2.3.23 Z e un PID. Infatti ogni sottogruppo di Z e del tipo (n) ede anche un ideale. Poiche ogni ideale e in particolare un sottogruppo, tutti gliideali di Z sono di questo tipo.

Esempio 2.3.24 Sia Z[X] l’anello dei polinomi a coe!cienti in Z e sia I l’in-sieme dei polinomi con termine noto pari. E’ immediato verificare che I e unideale: la di#erenza di due polinomi con termine noto pari ha termine noto parie il prodotto di un polinomio qualsiasi per un polinomio con termine noto pariha termine noto pari. Tuttavia non e principale: infatti X e 2 appartengono adI, ma non sono multipli di uno stesso polinomio.Z[X] e un anello noetheriano: questo fatto e una conseguenza di un famosoteorema ( il Teorema della base di Hilbert) che a#erma che, dato A anellocommutativo con unita, se A e noetheriano, tale e anche l’anello dei polinomiA[X1, . . . , Xn].

Proposizione 2.3.25 Siano I e J due ideali di in anello A. Allora I % J e unideale di A. In generale l’intersezione di una famiglia qualsiasi di ideali e unideale.

Dimostrazione. Esercizio.

Osservazione 2.3.26 Come nel caso dei sottoanelli l’unione insiemistica di dueideali I e J non e di solito un ideale. Si verifica facilmente che il piu piccolo idealeche li contiene entrambi ( detto somma di i e di J ) ha la seguente struttura:

I + J = {i + j | i ( I, j ( J }.Sappiamo che e il piu piccolo sottogruppo che contiene I e J , e quindi su!cienteprovare che e un ideale. Infatti, dati i+j ( I +J , e a ( A, si ha a(i+j) = ai+aj ( I+J , in quanto I e J sono ideali, e analogamente (i+j)a = ia+ja ( I+J .Ad esempio in Z, (4)+ (6) = {4n+6m} = (2), in generale (h)+ (k) = (d), doved e il massimo comun divisore di h e k.

Definizione 2.3.27 Siano A un anello e S un suo sottoinsieme. Si dice idea-le generato da S il piu piccolo ideale di A contenente S. Coincide conl’intersezione di tutti gli ideali contenenti Se viene indicato con (S).

2.4. ANELLO QUOZIENTE E TEOREMA FONDAMENTALE 55

2.4 Anello quoziente e teorema fondamentale

Dato un anello A e un suo ideale I, poiche I e in particolare un sottogrupponormale di A,+, possiamo considerarne i laterali

I + a = {i + a | i ( I}i quali formano una partizione di A. Sappiamo inoltre che l’insieme A/I di talilaterali e un gruppo rispetto alla somma cosı definita:

(I + a) + (I + b) = I + a + b

e la proiezione p : A # A/I e un omomorfismo di gruppi di nucleo I.Proviamo che su A/I si puo definire un prodotto tale da renderlo un anello.Poniamo

(I + a)(I + b) = I + ab

Verifichiamo che la definizione e ben posta, cioe non dipende dal rappresentantescelto per i due laterali. Siano a! = i + a ( I + a e b! = j + b ( I + b occorreprovare che I +ab = I +a!b!, cioe che ab e a!b! appartengono allo stesso laterale.Infatti:

a!b! = (i + a)(j + b) = ij + ib + aj + ab ( I + ab

in quanto ij + ib + aj ( I per definizione di ideale bilatero.

Proposizione 2.4.1 Nelle condizioni precedenti A/I, rispetto alle operazionidi somma e di prodotto sopra definite e un anello, detto anello quoziente diA modulo l’ideale I. Inoltre la proiezione p : A # A/I e un omomorfismo dianelli.

Dimostrazione. i) proprieta associativa del prodotto: 'a, b, c ( A:((I+a)(I+b))(I+c) = (I+ab)(I+c) = I+(ab)c = I+a(bc) = (I+a)(I+bc) =

(I + a)((I + b)(I + c))ii) proprieta distributive: 'a, b, c ( A

((I + a)+ (I + b))(I + c) = (I + a+ b)(I + c) = I +(a+ b)c = I +(ac+ bc) =(I + ac)(I + bc) = ((I + a)(I + c)) + ((I + b)(I + c))

L’altra si prova in modo analogo.iii) p(ab) = I + ab = (I + a)(I + b) = p(a)p(b).

Osservazione 2.4.2 Se A possiede unita 1A , il laterale I+1A e l’unita di A/I.Infatti (I + 1A)(I + a) = I + 1Aa = I + a. Se A e commutativo anche A/I lo e.

Esempio 2.4.3 L’anello quoziente Z/(n) e l’anello delle classi di resto modulon.

Esercizio 2.4.4 In R[X], si consideri l’ideale (X) dei polinomi con terminenoto nullo. Verificare che la funzione

' : R[X]/(X) # R(X) + a +# a

e un isomorfismo.


Teorema 2.4.5 (Teorema fondamentale degli anelli) Sia f : A # A! unomomorfismo di anelli di nucleo K e immagine Im(f). Esiste un isomorfismodi anelli ' : A/K # Im(f) tale che ' & p = f .

Dimostrazione. Sappiamo che esiste un isomorfismo di gruppi con tale proprieta,dafinito da '(K +a) = f(a). E’ su!ciente verificare che ' e anche un morfismodi anelli. Infatti:

'[(K + a)(K + b)] = '(K + ab) = f(ab) = f(a)f(b) = '(K + a)'(K + b)Inoltre, se A e A! sono unitari, '(1A/K) = f(1A) = 1A! .

Esempio 2.4.6 La funzione f : R[X] # R che ad ogni polinomio associa iltermine noto e un omomorfismo suriettivo, che ha come nucleo l’ideale (X).Quindi ritroviamo l’isomorfismo ' : R[X]/(X) 8 R.

2.5 Ideali primi e ideali massimali

In questo paragrafo A indica un anello commutativo con unita.

Definizione 2.5.1 Un ideale M di A e detto massimale se non e contenutopropriamente in nessun ideale proprio di A.Un ideale P e detto primo se

'a, b ( A, ab ( P - a ( P oppure b ( P

Esempio 2.5.2 Studiamo il caso di Z. Sappiamo che e un anello a ideali prin-cipali. Poiche )1 e invertibile, (n) = ()n), quindi ci si puo limitare a con-siderare il caso n 4 0. Osserviamo inoltre che (h) . (k) se e solo se k e undivisore di h.Si ha che (0) e un ideale primo in quanto in Z, hk = 0 2 o h = 0 o k = 0.Questo fatto vale in ogni dominio d’integrita.Fissato un numero primo p, l’ ideale (p) e primo. Infatti ab ( (p) - p|ab -(poiche p e primo), o p|a o p|b - o a ( (p) o b ( (p).Viceversa, fissato n /= 0, se (n) e un ideale primo, allora n e un numero primo.Infatti, sia n = hk con h, k 5 n, allora hk ( (n) - (poiche (n)‘e primo, o h ( (n) o k ( (n)) - (o n|h, o n|k ) - (o h = n, o k = n, cioe n eun numero primo.In Z, dato p /= 0, (p) e primo se e solo se (p) e massimale.Se (p) e primo, p e un numero primo, quindi, se (p) . (a), a|p e quindi o a = po a = 1. Nel primo caso i due ideali coincidono, nel secondo (a) = Z, quindi (p)e massimale.Viceversa, sia (k) un ideale massimale, proviamo che k e un numero primo.Infatti, se a|k, con a /= k, (k) e contenuto propriamente in (a) e quindi, poiche(k) e un ideale massimale, (a) = (1) = Z, cioe a = ±1.

Proposizione 2.5.3 M e massimale - M e primo.

2.5. IDEALI PRIMI E IDEALI MASSIMALI 57

Dimostrazione. Siano a, b elementi di A tali che ab ( M e supponiamo chea /( M . Allora I = (a) + M e un ideale che contiene propriamente M , quindiI = A, poiche M e massimale. Allora 1 ( I ed esistono x ( A e m ( M taliche 1 = xa + m. Moltiplicando per b si ottiene b = xab + mb , con xab ( M emb ( M , quindi b ( M .

Osservazione 2.5.4 L’implicazione inversa non vale in generale. Ad esempiosi consideri A = R[X, Y ], l’anello dei polinomi in due variabili. I = (X) e unideale primo (se X divide il prodotto di due polinomi, X divide almeno unodei due), ma non e massimale, in quanto e contenuto propriamente ad esempionell’ideale (X) + (Y ) /= A.

Proposizione 2.5.5 Siano A un anello commutativo con unita e I un suoideale proprio.i) I e primo 2 A/I e un dominio d’integrita.ii) I e massimale 2 A/I e un campo.

Dimostrazione. Sappiamo che A/I e commutativo e che I + 1 ne e l’unita.i) A/I e un dominio 2 ('a, b ( A, se (I + a)(I + b) = I allora o I + a = I oI + b = I) 2 ('a, b ( A, se I + ab = I allora o I + a = I o I + b = I) 2('a, b ( A, se ab ( I o a ( I o b ( I) 2 I e un ideale primo.ii) Supponiamo che A/I sia un campo e proviamo che I non e contenuto pro-priamente in alcun ideale proprio. Sia I . M , I /= M . Allora esiste un x ( M ,x /( I. Quindi I + (x) contiene propriamente I e il laterale I + x e diverso daI = 0A/I . Poiche per ipotesi A/I e un campo, il laterale non nullo I + x ha uninverso I + y e qindi (I + x)(I + y) = I + xy = I + 1. Ne segue che esiste i ( Itale che 1 = xy + i. Ma xy ( M perche x ( Me i ( I . M , quindi 1 ( M , cioeM = A.Viceversa, supponiamo che I sia massimale: e su!ciente provare che ogni ele-mento non nullo di A/I possiede l’inverso. Sia quindi I + x /= I un elementonon nullo di A/I.I + x /= I - x /( I - (x) + I ; I, (x) + I /= I - (x) + I = A - 1 ((x)+I - ,i ( I,,y ( A, 1 = xy+i - I+1 = I+xy = (I+x)(I+y) - I+ye l’inverso di I + x in A/I.

Corollario 2.5.6 A e un dominio d’integrita se e solo se (0) e primo.

Esempio 2.5.7 In Z[X], l’ideale (X) e primo, ma non massimale, in quantoZ[X]/(X) 8 Z e un dominio, ma non un campo.In R[X] l’ideale (X) e massimale, in quanto R[X]/(X) 8 R e un campo.

Osservazione 2.5.8 Poiche ogni campo e un dominio d’integrita, la propo-sizione precedente fornisce un’altra dimostrazione del fatto che ogni ideale mas-simale e primo.

Osservazione 2.5.9 In un anello ogni ideale e contenuto in un ideale massi-male, ma la dimostrazione di questo fatto richiede l’applicazione del Lemma di


Zorn. Sia infatti I un ideale di A e sia S l’insieme degli ideali propri che locontengono. S non e vuoto in quanto contiene almeno I. Inoltre ogni catenaascendente di ideali di S, sia C1 . . . . . Cn . . ., e stazionaria in quanto si veri-fica che C =

9Ci e un ideale (esercizio). Il lemma di Zorn assicura allora che

S contiene un elemento massimale.

2.6 Anelli di polinomi a coe!cienti in un campo.

Definizione 2.6.1 Sia A un anello commutativo con unita. Un polinomio acoe!cienti in A in una indeterminata X e una scrittura formale

p(X) = a0 + a1X + a2X2 + . . . + aiX

i + . . . , (2.4)

con ai ( A e ai tutti nulli tranne un numero finito.

Il massimo intero n tale che an /= 0 e detto grado di p(X) e viene indicatocon deg(p(X)) o con -p(X); an viene detto coe!ciente direttivo. Usualmente siscrive p(X) = a0 + a1X + a2X2 + . . . + anXn, omettendo i termini successivi.Un polinomio e detto monico se il suo coe!ciente direttivo e 1.I polinomi costanti, cioe del tipo p(X) = a0, hanno grado zero se a0 /= 0. Perconvenzione il polinomio nullo p(X) = 0 ha grado )<.Due polinomi p(X) =

4ni=0 aiXi e q(X) =

4mi=0 biXi sono uguali se hanno gli

stessi coe!cienti, cioe ai = bi, 'i.L’insieme di tutti i polinomi a coe!cienti in A e denotato con A[X].In A[X] si possono definire operazioni di somma e di prodotto, ponendo, datidue polinomi p(X) =

4ni=0 aiXi e q(X) =

4mi=0 biXi di gradi n e m rispetti-

vamente, con m 4 n,

p(X) + q(X) =m6

i=0

(ai + bi)Xi (2.5)

p(X) · q(X) =n+m6

h=0

(6

i+j=h

aibj)Xh (2.6)

Si osservi che per i gradi valgono le relazioni:

-(p(X) + q(X)) 5 max(-p(X), -q(X)), -(p(X)q(X)) 5 -p(X) + -q(X) (2.7)

Esercizio 2.6.2 Verificare che rispetto a tali operazioni A[X] e un anello com-mutativo con unita.

Esercizio 2.6.3 Verificare che, se A e privo di divisori dello zero, vale l’ugua-glianza -(p(X)q(X)) = -p(X) + -q(X).

Proposizione 2.6.4 Se A e un dominio d’integrita, anche l’anello A[X] lo e.

2.6. ANELLI DI POLINOMI A COEFFICIENTI IN UN CAMPO. 59

Dimostrazione. E’ su!ciente provare che e privo di divisori dello zero. Sianop(X) =

4ni=0 aiXi e q(X) =

4mi=0 biXi polinomi non nulli. Supponiamo che

siano di gradi e#ettivamente n e m, cioe che an /= 0 e bm /= 0. Il coe!cientedirettore del prodotto p(X)q(X) e dunque anbm, che e diverso da zero perchein A non esistono divisori dello zero. Quindi p(X)q(X) non e il polinomio nullo.

D’ora in poi studieremo polinomi a coe!cienti in un campo K e vedremo cheK[X] gode di proprieta simili a quelle dell’anello Z.

Corollario 2.6.5 Se K e un campo, K[X] e un dominio d’integrita.

Proposizione 2.6.6 Gli elementi invertibili in K[X] sono le costanti non nulle.

Dimostrazione. Siano p(X) =4n

i=0 aiXi un polinomio e q(X) =4m

i=0 biXi

il suo inverso. Supponiamo che siano di gradi e#ettivamente n e m, cioe chean /= 0 e bm /= 0. Allora si ha l’uguaglianza di polinomi 1 = p(X)q(X), da cuiseguono le uguaglianze in K dei coe!cienti:

"##$

##%

a0b0 = 1a0b1 + a1b0 = 0. . .anbm = 0

Poiche an e bm sono elementi non nulli di un campo, il loro prodotto non puoessere 0, quindi necessariamente, n = m = 0 e a0b0 = 1, cioe il polinomio p(X)e costante non nullo.

Riportiamo alcune proprieta la cui dimostrazione e gia stata vista nel corso diMatematica Discreta.

Teorema 2.6.7 Siano f(X), g(X) ( K[X] due polinomi, g(X) /= 0. Alloraesistono, e sono univocamente determinati, due polinomi q(X) e r(X) in K[X]tali che

f(X) = q(X)g(X) + r(X), -r(X) < -g(X), oppure r(X) = 0 (2.8)

Definizione 2.6.8 Si dice che un polinomio g(X) divide un polinimio f(X) ( esi scrive g(X)|f(X) ) se esiste un polinomio q(X) tale che f(X) = q(X)g(X).

Definizione 2.6.9 Siano f(X), g(X) ( K[X] due polinomi non nulli. Si definiscemassimo comun divisore di f(X) e g(X) un polinomio d(X) tale che

(a) d(X)|f(X), d(X)|g(X),(b) se d!(X)|f(X) e d!(X)|g(X), allora d!(X)|d(X).

Procedendo come nel caso dei numeri interi, mediante l’algoritmo di Euclidedelle divisioni successive, si trova un massimo comun divisore di due polino-mi. Esiste un unico massimo comun divisore monico, che viene indicato con


MCD(f(X), g(X)) o con (f(X), g(X)), gli altri si trovano da questo moltipli-candolo per una costante non nulla. Due polinomi si dicono coprimi se il loroMCD monico e 1. Anche in questo caso si puo scrivere l’identita di Bezout:dati f(X) e g(X), esistono due polinomi h(X) e k(X) tali che (f(X), g(X)) =h(X)f(X) + k(X)g(X).

Esempio 2.6.10 In R[X] si considerino i polinomi f(X) = X4 + X3 + 2X2 +X + 1 e g(X) = X3 ) 1. Applichiamo l’algoritmo di Euclide:

f(X) = (X + 1)g(X) + (2X2 + 2X + 2)

g(X) = (12X ) 1

2)(2X2 + 2X + 2)

quindi un massimo comun divisore e 2X2 + 2X + 2 oppure X2 + X + 1.L’identita di Bezout si scrive allora

X2 + X + 1 =12f(X)) 1

2(X + 1)g(X).

Definizione 2.6.11 Due polinomi f(X), g(X) ( K[X[ sono detti associati seesiste una costante a /= 0 in K tale che f(X) = g(X) · a.

Definizione 2.6.12 Un polinomio non costante si dice irriducibile se ha comeunici divisori le costanti non nulle e i suoi associati (che sono detti divisoriimpropri del polinomio dato) .

Osservazione 2.6.13 Le definizioni precedenti possono essere generalizzate alcaso di polinomi a coe!cienti in un anello qualsiasi A: due polinomi sarannodetti associati se di#eriscono per un elemento invertibile di A.Ne segue che ad esempio in Z[X] i polinomi f(X) = X ) 1 e g(X) = 2X ) 2non sono associati e g(X) e riducibile, avendo come fattori propri 2 e X ) 1.

Proposizione 2.6.14 Sia f(X) ( K[X] un polinomio irriducibile. Se f(X)divide un prodotto di polinomi, divide uno dei fattori.

Dimostrazione. Supponiamo che f(X)|a(X)b(X) e che f(X) / |a(X). Alloranecessariamente f(X) e a(X) sono coprimi, quindi esistono due polinomi r(X)e s(X) tale che valga l’identita di Bezout 1 = r(X)f(X) + s(X)a(X), da cui,moltiplicando entrambi i membri per b(X), si ottiene b(X) = b(X)r(X)f(X)+a(X)b(X)s(X). Poiche f(X) divide entrambi gli addendi del secondo membro,deve dividere anche b(X).

Teorema 2.6.15 (Teorema di fattorizzazione unica) Ogni polinomio f(X)di grado 4 1 in K[X] si fattorizza in un prodotto di polinomi irriducibili. talefattorizzazione e unica nel senso che se

f(X) = p1(X) . . . ps(X) = q1(X) . . . qt(X)sono due diverse fattorizzazioni in fattori irriducibili, allora s = t ed esiste unacorrispondenza biunivoca tra gli insiemi {pi(X)} e {qj(X)} tale che polinomicorrispondenti sono associati.

2.6. ANELLI DI POLINOMI A COEFFICIENTI IN UN CAMPO. 61

Definizione 2.6.16 Sia f(X) ( K[X]. Un elemento a ( K tale che f(a) = 0si dice radice o zero di f(X).

Teorema 2.6.17 (Teorema di Ru!ni) Se f(X) ( K[X] e a e una suaradice, allora (X ) a)|f(X).

Definizione 2.6.18 Una radice a di un polinomio f(X) e detta semplice se(X ) a)|f(X), ma (X ) a)2 non divide f(X). Si dice molteplicita della radice ail massimo intero m tale che (X ) a)m|f(X).

Proposizione 2.6.19 Un polinomio non nullo f(X) ( K[X] di grado n ha alpiu n radici in K, contate con la loro molteplicita.

Per quanto riguarda il problema di stabilire la riducibilita o la irriducibilita diun polinomio a coe!cienti in uno dei campi numerici noti, ricordiamo i seguentirisultati.

A) In C vale il famoso teorema:

Teorema 2.6.20 (Teorema fondamentale dell’algebra) Ogni polinomio in unaindeterminata a coe!cienti in C di grado 4 1 ha una radice in C.

Osservazione 2.6.21 Il teorema fondamentale potrebbe essere formulato inmodo equivalente asserendo che i soli polinomi irriducibili di C[X] sono i poli-nomi di grado 1, e quindi che ogni polinomio a coe!cienti in C si spezza nelprodotto di fattori lineari. Tuttavia il teorema non fornisce alcun metodo pere#ettuare esplicitamente tale spezzamento. Per i polinomi di grado d = 2, 3, 4esistono formule esplicite per il calcolo delle radici, invece non ne esiste alcunaper d 4 5: esiste un polinomio di grado 5 le cui radici non possono essere de-scritte prendendo i coe!cienti ed operando su di essi con somma, prodotto edestrazione di radice (questo famoso teorema e dovuto ad Abel e Ru!ni).

B) Anche in R vale un risultato teorico che fornisce una limitazione per il gradodei polinomi irriducibili:

Teorema 2.6.22 Sono irriducibili in R[X] tutti e soli i polinomi dei seguentitipi:

1) polinomi di primo grado,2) aX2 + bX + c con b2 ) 4ac < 0.

La dimostrazione di questo fatto e conseguenza del Teorema fonadamentaledell’algebra.

C) Per quanto riguarda il campo dei numeri razionali, ci si pu limitare aconsiderare polinomi a coe!cienti in Z in quanto vale il seguente


Teorema 2.6.23 (Lemma di Gauss) Se il polinomio f(X) ( Z[X] si puo fatto-rizzare in Q[X] nel prodotto di due polinomi, allora tali polinomi possono esserescelti a coe!cienti interi.

Teorema 2.6.24 Sia f(X) = a0+a1X+a2X2+. . .+anXn ( Z[X], con an /= 0.Se f(X) ha una radice razionale, ne ha una della forma r

s , dove r|a0, s|an.

Teorema 2.6.25 (Criterio di irriducibilita di Eisenstein) Sia f(X) = a0 +a1X + a2X2 + . . . + Xn ( Z[X] un polinomio monico. Se esiste un numeroprimo p tale che p|a0, . . . , p|an#1, ma p2 / |a0, allora f(X) e irriducibile in Q[X](o, equivalentemente, in Z[X].

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che f(X) sia riducibile; per il lemmadi Gauss i polinomi che lo fattorizzano possono essere scelti a coe!cienti interie quindi della forma:

b0 + b1X + b2X2 + . . . + Xm

c0 + c1X + c2X2 + . . . + Xk

con bi, ci ( Z e m, k < n. L’uguaglianza di polinomi

a0 + a1X + a2X2 + . . . + Xn =(b0 + b1X + b2X2 + . . . + Xm)(c0 + c1X + c2X2 + . . . + Xk)

induce le uguaglianze tra i coe!cienti:

ao = b0c0

a1 = b0c1 + b1c0

. . . . . .

ak = bkc0 + . . . + b1ck#1 + b0

Poiche p|a0, ma p2 / |a0, si avra che p divide uno solo fra b0 e c0, per esempiop|c0, ma p / |b0. Dalla seconda uguglianza, poiche p|c0 e p|a1 segue che p|c1b0 equindi che p|c1, in quanto p / |b0.Procedendo in questo modo si ottiene che p|c0, . . . , p|ck#1. Per quanto riguardail k-mo termine, abbiamo che p|ak, p|c1, . . . , p|ck#1 e quindi p dovrebbe dividereanche b0, contro l’ipotesi fatta.

Esempio 2.6.26 Xn ± p e irriducibile in Q[X], se p e un numero primo.

2.7 Estensioni di campi

Definizione 2.7.1 Sia K un campo. Si dice sua estensione ogni campo F chelo contiene.

2.7. ESTENSIONI DI CAMPI 63

Esaminiamo una costruzione che consente di ottenere estensioni in cui polinomia coe!cienti in K e irriducibili in K[X] ammettono radici.

Proposizione 2.7.2 K[X] e un anello a ideali principali.

Dimostrazione. Sia I /= (0) un ideale di K[X] e sia b(X) un polinomio non nullodi grado minimo contenuto in I. Proviamo che I e l’ideale principale generatoda b(X).Ovviamente (b(X)) = I.Sia a(X) ( I. E#ettuando la divisione si trovano due polinomi q(X) e r(X)con -r(X) < -b(X) tali che a(X) = q(X)b(X) + r(X). Poihe a(X) ( I eq(x)b(X) ( (b(X)) = I, se ne deduce che r(X) ( I. Poiche il grado di b(X) e ilminimo per i polinomi di I, necessariamente r(X) = 0 e quindi a(X) ( (b(X)).

Proposizione 2.7.3 Se p(X) ( K[X] e un polinomio irriducibile, alloraF = K[X]/(p(X)) e un campo.

Dimostrazione. Poniamo per brevita (p(X)) = I. Sappiamo che K[X] e unanello commutativo con unita. Si tratta quindi di provare l’esistenza degli in-versi. A tale scopo, sia I + a(X) /= I un elemento non nullo di K[X]. Alloraa(X) /( I e quindi p(X) non divide a(X). Poiche p(X) e irriducibile per ipotesi,ne segue che 1 e massimo comun divisore di a(X) e di p(X) e quindi, ricordandol’identita di Bezout, esistono due polinomi s(X) e t(X) tali che

1 = s(X)a(X) + t(X)p(X).Poiche t(X)p(X) ( I, ne deriva

I + 1 = I + s(X)a(X) = (I + s(X))(I + a(X)).Si conclude che I + s(X) e l’inverso di I + a(X) in K[X]/I.

Osservazione 2.7.4 Osserviamo che si ha un’immersione ovvia K# F defini-ta da a +# I + a. Identificando K con la sua immagine, F diventa un’estensionedi K. Analogamente si ha un’inclusione naturale di anelli K[X] # F[X].

Proposizione 2.7.5 Nelle notazioni precedenti il polinomio p(X), pensato comeelemento di F[X], ha una radice in F, precisamente il laterale (p(X)) + X.

Dimostrazione. Sia p(X) =4n

i=0 biXi ( K[X] e poniamo come prima (p(X)) =I. Denotata ancora con p(X) la sua immagine in F[X], con l’identificazionea +# I + a sopra indicata, valutiamolo assegnado alla variabile il valore I + X:

p(I +X) =4n

i=0(I +bi)(I +X)i =4n

i=0(I +bi)(I +Xi) = I +4n

i=0 biXi =I + p(X) = I

in quanto p(X) ( I = (p(X)).

Osservazione 2.7.6 Abbiamo cosı costruito un’estensione di K in cui il poli-nomio p(X) ammette una radice. Si dimostra (ma questo argomento sara trat-tato nei successivi corsi di Algebra), che e possibile costruire un campo in cuip(X) ha n radici (campo di spezzamento di p(X)).


Osserviamo inoltre che ogni elemento di F ha un rappresentante del tipo I +#(X), dove #(X) e un polinomio di grado minore di p(X). Infatti, se %(X) eun qualsiasi rappresentante di tale laterale, dividendo %(X) per p(X) si ottiene%(X) = q(X)p(X) + #(X) con -#(X) < -p(X). D’altra parte I + %(X) =I + q(X)p(X) + #(X) = I + #(X).Quindi, se -p(X) = n, ogni elemento di F puo essere scritto nella forma I +a0 + a1X + . . . + an#1Xn#1 e quindi F e uno spazio vettoriale di dimensione nsu K. Tale n viene anche detto grado dell’estensione.

Esempio 2.7.7 Assumiamo K = Q e p(X) = X2 ) 2. sappiamo che X2 ) 2 eirriducibile in Q[X]. Allora F = Q[X]/(X2 ) 2) e un’estensione di grado 2 diQ, il cui elemento generico e del tipo I + a + bX (avendo come al solito posto(X2 ) 2) = I).Abbiamo visto che Q[

:2] = {a +

:2b | a, b ( Q} e un campo. Si verifichi che

la funzione

Q[X]/(X2 ) 2) # Q[:

2]

I + a + bX +# a +:

2b

e un isomorfismo di campi.

Esempio 2.7.8 Analogamente si prova che, assumendo K = R e p(X) = X2 +1, il campo F = R[X]/(X2 + 1) e un’estensione di grado 2 di R, il cui elementogenerico e del tipo I + a + bX (avendo come al solito posto (X2 + 1) = I). Inquesto caso, ponendo

:)1 = i, e ricordando che C = {a + ib | a, b ( R}, si ha

l’ isomorfismo

R[X]/(X2 + 1) # CI + a + bX +# a + ib

Capitolo 3

Appendici

3.1 Gruppi abeliani liberi

Sia G, + un gruppo abeliano. Se X . G, il sottogruppo < X > generato da Xe l’insieme di tutte le combinazioni lineari n1x1 + . . . + nkxk, ni ( Z, xi ( X .Infatti tali combinazioni lineari formano un sottogruppo di G che contiene Xe ogni altro sottogruppo contenente X deve contenere tutte le combinazionilineari dei suoi elementi. Si dice base di G un sottoinsieme X tale che:

i) G =< X >,ii) se x1, . . . , xn sono elementi distinti di X e

4nixi = 0, allora ni = 0, 'i.

Come per gli spazi vettoriali, se esiste una base, la scrittura di ogni elementocome combinazione lineare di elementi della base e unica. Infatti se n1x1 + . . .+nkxk = m1x1 + . . . + mkxk allora

4ki=1(ni )mi)xi = 0 e quindi ni = mi, 'i.

Un insieme di elementi di G per cui valga la ii) e detto lineramente indipen-dente.

Teorema 3.1.1 Sia F,+ un gruppo abeliano. Le seguenti condizioni sono equi-valenti:

1) F ha una base non vuota,2) F e somma diretta di una famiglia di gruppi ciclici infiniti,3) F e isomorfo a una somma diretta di copie di Z,

Definizione 3.1.2 Un gruppo abeliano F soddisfacente le condizioni del teore-ma 3.1.1 e detto gruppo abeliano libero (sull’insieme X).

Premettiamo il seguente lemma

Lemma 3.1.3 Siano G, + un gruppo abeliano, {Ni}i%I una famiglia di sot-togruppi tali che:

i) G =<9

Ni >,ii) per ogni k ( I, Nk% <

9i &=k Ni >= {0}.

Allora G 84

i%I Ni.

65

66 CAPITOLO 3. APPENDICI

Dimostrazione del lemma. Definiamo un omomorfismo f :4

i%I Ni # G po-nendo f(n) = f((ni)i%I) =

4ni (si tratta di una somma finita per definizione

di somma diretta di gruppi). E’immediato verificare che f e un omomorfis-mo suriettivo. E’ anche iniettivo in quanto se f(n) = ni1 + . . . + nik = 0,nik = )(n1 + . . . + nk#1) ( Nik% <

9j &=ik

Nj > dunque nik = 0. In modoanalogo si prova che anche le altre componenti devono essere nulle.

Dimostrazione del teorema.1) - 2) Se X e una base di F , per ogni x ( X,nx = 0 2 n = 0. Percio il sottogruppo < x > e ciclico infinito. InoltreF =<

9x%X < x >>. Se per qualche z ( X, < z > % <

9x&=z < x >>/= {0},

allora per qualche n ( Z, nz = n1x1 + . . . + nkxk con z, x1, . . . , xk distinti:questo contraddice la definizione di base. Quindi i gruppi ciclici < x > siintersecano soltanto nello 0 e quindi, per 3.1.3, F =

4x%X < x >.

2) - 3) Immediato poiche ogni gruppo ciclico infinito e isomorfo a Z.3)- 1) Sia F 8

4x%X Z. Per ogni x ( X sia &x l’elemento della somma diretta

composto da tutti zeri tranne un 1 al posto x, Allora {&x | x ( X } e una basedi

4x%x Z e mediante l’isomorfismo si ottiene una base di F .

Teorema 3.1.4 Sia F un gruppo abeliano libero e Xuna sua base. Allora, datiun gruppo abeliano G e una funzione f : X # G, esiste un unico omomorfismodi gruppi f : F # G tale che fi = f .

Dimostrazione. Sia i : X # F l’inclusione. Dati ora una gruppo abeliano Ge una funzione f : X # G, poiche ogni elemento u ( F si scrive in modounico come u = n1x1 + . . . + nkxk, basta porre f(u) =

4nif(xi). Si verifica

immediatamente che e un omomorfismo e che fi = f . Se ora g : F # G eun altro omomorfismo tale che gi = F , allora 'x ( X g(x) = f(x) e quindi, perlinearita, f = g.

Osservazione 3.1.5 Si prova, come nel caso degli spazi vettoriali, che due basidi un gruppo abeliano libero F hanno la stessa cardinalita. Se e finita viene dettarango di F . Tuttavia, a di#erenza di quanto succede negli spazi vettoriali, se ilrango e k non necessariamente un insieme di k elementi linearmente indipendentiforma una base di F : ad esempio in Z, gruppo libero di rango 1, ogni interonon nullo n e linearmente indipendente, in quanto sn = 0 - s = 0, ma soltanto1 o )1 sono generatori.

Teorema 3.1.6 Ogni gruppo abeliano G e immagine omomorfa di un gruppoabeliano libero.

Dimostrazione. Sia X un insieme di generatori di G e sia F =4

x%X Z. L’in-clusione i : X ,# G induce un omomorfismo j : F # G che e suriettivo percheX genera G. K = ker(j) e un sottogruppo normale di F e G 8 F/K.Vale il seguente teorema di classificazione (che non dimostriamo).

Teorema 3.1.7 Ogni gruppo abeliano finitamente generato G e isomorfo aduna somma diretta finita di gruppi ciclici, ciascuno dei quali e o infinito o haordine una potenza di un numero primo, cioe

3.2. GRUPPI LIBERI 67

G 8 Zp1s1

5. . .

5Zpk

sk

5F

dove i pi sono numeri primi non necessariamente distinti e F e un gruppoabeliano libero.

3.2 Gruppi liberi

Dato un gruppo G, · e un suo sottoinsieme X, abbiamo indicato con < X >il piu piccolo sottogruppo di G che contiene X e abbiamo visto che coincidecon l’intersezione di tutti i sottogruppi di G che contengono X. Se < X >= Gdiciamo che X e un insieme di generatori per G. Si puo sempre trovare uninsieme di generatori per un gruppo, al piu assumendo X = G.Un gruppo G e detto finitamente generato se ha un insieme finito di generatori.Nel caso speciale in cui X sia costituito da un solo elemento a, G e ciclico equindi, per quanto visto, e isomorfo o a Z o a Zn per qualche n. In particolaree abeliano.Vorremmo studiare il caso non ciclico.

Sia X un insieme. Vogliamo definire un gruppo F , che sara detto gruppo liberosull’insieme X.Se X = 0 si pone F = {1}. Se X /= 0, per ogni x ( X consideriamo unsimbolo x#1 e sia X#1 il loro insieme. Consideriamo poi un altro elemento cheindicheremo con 1:

Definizione 3.2.1 Una parola su X e una successione (a1, a2, . . .) dove ai (X $X#1 $ {1}, tale che per qualche n > 0 sia ak = 1, 'k 4 n. La successione(1, 1, . . .) e detta parola vuota ed e denotata con 1.Una parola e detta ridotta se

i) 'x ( X, x e x#1 non sono adiacenti,ii) ak = 1 implica che ai = 1 'i 4 k.

Una parola ridotta e quindi della forma (x$11 , . . . , x$n

n , 1, 1, . . .) con *i = ±1, xi (X . Indicheremo tale parola con x$1

1 . . . x$nn .

Da una parola qualsiasi se ne puo ottenere una ridotta, cancellando dalla suc-cessione tutti gli 1 interni, le coppie consecutive x, x#1 o x#1, x e reiterandoil procedimento finche e possibile. Sia F l’insieme di tutte le parole ridotte.definiamo su F un’operazione ponendo:

1w = w1 = w 'w ( F ,(x$1

1 . . . x$nn )(y%1

1 . . . y%nn ) = x$1

1 . . . x$nn y%1

1 . . . y%nn (modulo riduzione)

cioe si giustappongono le parole e si riduce la parola risultante. Si prova ilseguente

Teorema 3.2.2 F e un gruppo rispetto all’operazione sopra definita eF =< X >.


Osservazione 3.2.3 1) Se |X| 4 2 il gruppo libero non e abeliano.2) Se X = {a}, allora F e il gruppo ciclico infinito generato da a.3) Ogni elemento di F , tranne 1, ha ordine infinito.

Osservazione 3.2.4 Se G =< g > e un gruppo ciclico e H e un gruppo qual-siasi, un omomorfismo f : G # H e completamente determinato assegnandol’immagine del generatore: infatti f(gn) = (f(g))n per ogni n ( Z. Per i gruppiliberi vale una proprieta analoga.

Teorema 3.2.5 Sia F il gruppo libero su un insieme X e sia i : X # Fl’inclusione. Se G e un gruppo e f : X # G una funzione, esiste un unicoomomorfismo di gruppi f : F # G tale che fi = f .

Dimostrazione. Poniamo f(x$11 . . . x$n

n ) = f(x1)$1f(xn)$n . Si verifica immedia-tamente che e l’omomorfismo richiesto e che e unico.

Corollario 3.2.6 Ogni gruppo G e l’immagine omomorfa di un gruppo libero.

Dimostrazione. Sia X un insieme di generatori di G e sia F il gruppo liberosu X. Allora l’inclusione X ,# G induce un omomorfismo f : F # G, che esuriettivo perche X genera G. Quindi, detto N il nucleo, G 8 F/N .

Osservazione 3.2.7 Nelle notazioni precedenti, gli elementi di N sono dettirelazioni tra i generatori di G. Quindi per descrivere un gruppo G occorreconoscere X = insieme di generatori di G e Y = insieme di relazioni che ge-nerano il nucleo N . Si scrive allora G =< X|Y > e si dice che questa e unapresentazione di G.

Esempio 3.2.8 Sia X = {a, b}, allora il gruppo libero generato da X e F =<a, b >= {an1bk1 . . . anrbkr | ni, ki ( Z}, non abeliano.Imponendo la relazione aba#1b#1 si ottiene il gruppo abeliano libero generatoda a, b, cioe < a, b| aba#1b#1 > 8 Z " Z. Infatti ba = (aba#1b#1)ba =aba#1b#1ba = aba#1a = ab.

3.3. ANELLI SPECIALI 69

3.3 Anelli Speciali

In questo paragrafo, salvo avviso contrario, si considerano domini d’integrita.Vi si possono definire concetti simili a quelli visti per gli interi e i polinomi

Definizione 3.3.1 Sia A un dominio d’integrita e siano a, b, c suoi elementi.Ricordiamo le seguenti definizioni:

• a e invertibile ( o unita) se esiste b tale che ab = 1;

• a divide b (a|b) se ,c ( A tale che b = ac;

• a e associato a b (a 9 b) se a|b e b|a o equivalentemente se di"erisconoper un fattore invertibile;

• a /= 0 e non invertibile e irriducibile se [a = bc - b o c e invertibile];

• a e primo se [a|bc - a|b o a|c] o equivalentemente se l’ideale (a) e primo.

• un M.C.D. di due elementi a e b, se esiste, e un elemento d tale che i)d|a e d|b, ii) se c|a e c|b allora c|d.

Vogliamo vedere se e come le proprieta valide in Z e in K[X] si conservanoanche nel caso generale, Ad esempio i concetti di elemento primo e di elementoirriducibile in Z e in K[X] coincidono, ma questo non‘e sempre vero in un dominio qualsiasi.

Proposizione 3.3.2 Ogni elemento primo e irriducibile.

Dimostrazione. Se a e primo e a = bc, allora a divide uno dei due fattori, per e-sempio a|b. D’altra parte b|a, quindi a e b sono associati e quindi necessariamentec e invertibile.

Esempio 3.3.3 L’implicazione precedente non si inverte sempre. Si consideriad esempio l’anello Z[

:)3] = {a + b

:)3 | a, b ( Z} . C.

Si verifica che # = 1 ):)3 e irriducibile. Se # = (a + b

:)3)(c + d

:)3), si

consideri la norma di entrambi i membri (ricordiamo che la norma di un numerocomplesso z e per definizione N(z) = zz). Si ottiene 4 = (a2 + 3b2)(c2 + 3d2),da cui si ricava, poiche l’equazione a2 + 3b2 = 2 non ha soluzioni intere, che (adesempio) a2 + 3b2 = 1 e c2 + 3d2 = 4. Ma la prima di queste due equazioni hacome sole soluzioni a = ±1, b = 0 e quindi uno dei due fattori e invertibile.D’altra parte dalla relazione

(1 +:)3)(1)

:)3) = 2 · 2

si deduce che # non e primo, in quanto # non divide 2 (se fosse 2 = (1):)3)(a+

b:)3) per qualche a, b ( Z, passando alle norme si avrebbe 4 = 4(a2 + 3b2), da

cui a2 + 3b2 = 1, cioe necessariamente a + b:)3 = ±1 e quindi invertibile).

Si deduce inoltre che 4 non ammette una fattorizzazione unica in fattori ir-riducibili.


Definizione 3.3.4 Un dominio d’integrita e detto dominio a fattorizzazioneunica (U.F.D.) se ogni elemento non nullo e non invertibile puo essere scrittocome prodotto di fattori irriducibili e inoltre tale fattorizzazione e unica a menodell’ordine dei fattori e a meno di fattori invertibili.

Proposizione 3.3.5 In un U.F.D. ogni elemento irriducibile e primo.

Dimostrazione. Sia a un elemento irriducibile tale che a|bc, cioe sia bc = ad.Decomponendo in fattori irriducibili entrambi i membri otteniamo:

b1 . . . bhc1 . . . ck = ad1 . . . dl.Per l’unicita della decomposizione a e associato a un bi oppure a un ci e quindia divide b oppure divide c.

Proposizione 3.3.6 In un P.I.D. ogni elemento irriducibile e primo.

Dimostrazione. Sia a un elemento irriducibile. L’ideale (a) e massimale, inquanto, se fosse contenuto propriamente in un altro ideale (c), c sarebbe unfattore proprio di a. Ma ogni ideale massimale e primo, quindi (a) e primo.

Esercizio 3.3.7 Si provi che in un U.F.D. esiste un M.C.D. di ogni coppia dielementi non nulli e non invertibili.

Vale la seguente proprieta, di cui non diamo la dimostrazione:

Proposizione 3.3.8 Se A e un U.F.D., anche l’anello dei polinomi A[X1, . . . , Xn]lo e.

Teorema 3.3.9 Ogni dominio a ideali principali (P.I.D.) e un U.F.D.

Dimostrazione . Si prova dapprima il seguente

Lemma 3.3.10 Se A e un P.I.D. e (a1) . (a2) . . . . e una catena ascendentedi ideali, allora e stazionaria, cioe esiste un n tale che (ai) = (an) per ognii 4 n.

Dimostrazione del lemma. Sia I =9

i'1(ai). Verificare che I e un ideale(esercizio). Per ipotesi I deve essere principale, cioe I = (a). Poiche a ( I, a ((an) per qualche n, quindi (a) . (an) . (aj) . I = (a), quindi (aj) = (an) perj 4 n.

Torniamo alla dimostrazione del teorema. Sia A un P.I.D. e sia S l’insiemedegli elementi non nulli e non unitari che non possono essere fattorizzati in unprodotto finito di elementi irriducibili. Si prova che S e vuoto.Supponiamo che S contenga un elemento a, detto (c) un ideale massimale checontiene (a), c e necessariamente irriducibile e c|a. Quindi per ogni elemento a (S possiamo scegliere un suo divisore irriducibile ca e un elemento (univocamentedeterminato) xa ( A tale che caxa = a. Osserviamo che xa deve apparteneread S: infatti non puo essere invertibile, altrimenti a sarebbe irriducibile, ne

3.3. ANELLI SPECIALI 71

appartenere al complementare di S, perche allora avrebbe una fattorizzazionein elementi irriducibili e quindi anche a ne avrebbe una. Quindi xa ( S. InoltreL’inclusione (a) . (xa) e propria: infatti se fosse (a) = (xa) avremmo chexa = ay per qualche y ( A e quindi a = xaca = ayca, da cui segue 1 = yca equesto contraddice il fatto che ca e irriducibile.Per quanto visto possiamo allora definire una funzione f : S # S data daf(a) = xa. Per ricorsione possiamo definire una funzione ' : N# S ponendo:

'(0) = a, '(n + 1) = f('(n)) = x#(n), n 4 0.Se indichiamo '(n) con an, abbiamo una successione di elementi di S tale checiascuno e un fattore proprio del precedente

a1 = xa, a2 = xa1 , . . . , an+1 = xan , . . .

e quindi si ha una catena ascendente di ideali non stazionaria(a) . (a1) . (a2) . . . .

ma questo contraddice il lemma precedente. Pertanto S deve essere vuoto equindi ogni elemento non nullo e non invertibile ha una fattorizzazione in unprodotto finito di elementi irriducibili.Infine, se a = c1c2 · · · cn = d1d2 · · · dm sono due diverse fattorizzazioni con ci, dj

irriducibili e quindi primi, ogni ci deve essere associato a qualche dj . L’unicitasegue allora come nel caso di Z.

Osservazione 3.3.11 Segue dal teorema precedente che anche in un P.I.D.esiste un M.C.D. per ogni coppia di elementi non nulli e non invertibili. Inoltrein questo caso si ha una generalizzazione dell’identita di Bezout. Infatti unM.C.D. di a e di b e un generatore d dell’ideale (a) + (b) e quindi si ha unarelazione del tipo d = ax + by con a, b ( A.Osserviamo tuttavia che in generale in un P.I.D. non esiste un algoritmo dicalcolo che consenta di trovare un M.C.D.: bisogna passare ad una categoriapiu ristretta di anelli.

Definizione 3.3.12 Un dominio d’integrita D e detto dominio euclideo seesiste una funzione v : D ) {0}# N (detta valutazione), tale che

a) v(a) 5 v(ab) 'a, b ( D ) {0},b) dati comunque due elementi a, b ( D, b /= 0, esistono q, r ( D tali che

a = qb + r, con r = 0 oppure v(r) < v(b).

Esempio 3.3.13 L’anello degli interi di Gauss Z[i] e un dominio euclideo rispet-to alla valutazione cosı definita:

v(a + ib) = a2 + b2.Si lascia per esercizio la verifica che si tratta di una valutazione (cioe vale a)).Siano z1 = a + ib, z2 = c + id /= 0 due elementi di Z[i]. Pensandoli in Q[i]possiamo scrivere:

(c + id)#1 =c) id

c2 + d2


Allora

z1z#12 = (a + ib) · c) id

c2 + d2=

ac + bd

c2 + d2+ i

bc) ad

c2 + d2.

Ogni numero razionale si puo scrivere come un intero piu una frazione di valoreassoluto minore o uguale ad 1/2, quindi

z1z#12 = # +

r1

c2 + d2+ i(% +

r2

c2 + d2) = # + i% + (

r1

c2 + d2+ i

r2

c2 + d2),

dove # + i% ( Z[i] e r1c2+d2 e r2

c2+d2 hanno modulo 5 1/2.Moltiplicando per z2 si ottiene

z1 = (# + i%)z2 + (r1

c2 + d2+ i

r2

c2 + d2)z2

Questa e una relazione del tipo z1 = z2q + r, con

r = (r1

c2 + d2+ i

r2

c2 + d2)z2.

r ( Z[i], in quanto di#erenza di due elementi di Z[i]. Resta da provare chev(r) = 0 oppure v(r) < v(z2). Infatti

v(r) = v( r1c2+d2 + i r2

c2+d2 )v(z2)= [( r1

c2+d2 )2 + ( r2c2+d2 )2]v(z2)

5 12v(z2) < v(z2)

Osservazione 3.3.14 Si prova, come nel caso di Z e di K[X], che ogni dominioeuclideo e un anello a ideali principali: un ideale I e generato da un suo elementodi valutazione minima. Inoltre esiste sempre un M.C.D. di due elementi nonnulli: e un generatore dell’ideale somma degli ideali generati dai due elementiconsiderati.

Esercizio 3.3.15 In Z[i] l’elemento 2 e primo?L’ideale (13) e massimale?Si trovi un M.C.D. di 5 e 3) i.

Esercizio 3.3.16 Si provi che i soli elementi invertibili di Z[:)3] sono 1,)1.

Osservazione 3.3.17 Si ha la seguente catena di inclusioni proprie di insiemidi anelli:

{campi} . {domini euclidei} . {P.I.D.} . {U.F.D.} . {domini d!integrita!}Tali inclusioni sono proprie:

• Z e un dominio euclideo, ma non un campo;

• Z[ 1+(#19

2 ] e P.I.D., ma non euclideo (verifica non banale);

• Z[X] e U.F.D., ma non P.I.D. (l’ideale (2, X) non e principale);

• Z[:)3] e un dominio non a fattorizzazione unica (vedere esempio 3.3.3).


3.4 Estensioni di campi

Definizione 3.4.1 Sia K un campo. Si dice sua estensione ogni campo F chelo contiene.

Osserviamo che, se F e un’estensione di K, F diventa uno spazio vettoriale suK definendo la moltiplicazione esterna K " F # F come la moltiplicazione inF. La dimensione di F come spazio vettoriale sui K, se e finita, e detta gradodell’estensione e viene denotata con [F : K].

Esempio 3.4.2 [C : R] = 2.

Definizione 3.4.3 Siano K . F due campi e sia s ( F. Diciamo estensionesemplice di K mediante s e lo denotiamo con K(s), il piu piccolo sottocampodi F che contiene K ed s.

Per determinare la struttura di K(s) introduciamo le seguenti notazioni:

• Indichiamo l’elemento xy#1 (y /= 0) con la notazione frazionaria xy .

• Diciamo espressione razionale intera o polinomio in s a coe!cienti in Kogni elemento di F della forma #(s) = a0 + a1s + . . . + ansn, con ai ( K.Indichiamo con K[s] l’insieme dei polinomi in s a coe!cienti in K. E’immediato verificare che e un sottoanello di F.

• Diciamo espressione razionale fratta in s a coe!cienti in K ogni elementodi F del tipo &(s)

'(s) , con %(s) /= 0.

Proposizione 3.4.4 Nelle ipotesi precedenti, l’estensione semplice K(s) di Kmediante s e data dall’insieme delle espressioni razionali fratte in s a coe!cientiin K.

Dimostrazione (traccia). Si verifica dapprima che l’insieme delle espressionirazionale fratte in s a coe!cienti in K e un sottocampo di F e che contieneK ed s. Si verifica poi che ogni sottocampo di F che contiene K ed s devecontenere tutte le espressioni razionali fratte in s a coe!cienti in K.

Esempio 3.4.5 Q(() . R e costituito dai numeri reali che si possono scriverecome quozienti di due polinomi in ( a coe!cienti razionali:

a0+a1!+...+an!n

b0+b1+...+bm!m ai, bi ( Q

Esempio 3.4.6 Q(:

3) . R e costituito dai numeri reali che si possono scri-vere come quozienti di due polinomi in

:3 a coe!cienti razionali. Osserviamo

tuttavia che (:

3)2 = 3 ( Q, cioe:

3 e radice del polinomio X2 ) 3 ( Q[X].Questo fatto ci permette di limitarci a considerare i quozienti del tipo:

a+b(

3c+d

(3

a, b, c, d ( QInoltre e noto che tale espressione puo essere razionalizzata moltiplicando nu-meratore e denominatore per c ) d

:3, e quindi si puo scrivere come r + s

:3.


Percio nel caso in esame Q(:

3) = Q[:

3], cioe ogni espressione razionale frattain:

3 si puo esprimere come polinomio in:

3, di fatto come un polinomio digrado 5 1.

Definizione 3.4.7 Siano K . F due campi e sia s ( F. Si dice che s ealgebrico su K se s e radice di un polinomio non nullo a coe!cienti in K. Incaso contrario si dice che s e trascendente su K .

Supponiamo che s sia algebrico su K. E’ immediato verificare che l’insieme Idei polinomi che ammettono s come radice e un ideale di K[X]. Poiche K[X] eun P.I.D., I = (p(X)) dove p(X) e un polinomio di grado minimo tra i polinomidi I, che si puo supporre monico. p(X) e detto polinomio minimo di s su K.

Proposizione 3.4.8 Nelle notazioni precedenti il polinomio minimo p(X) di ssu K e irriducibile in K[X].

Dimostrazione. Se fosse p(X) = r(X)t(X), con r(X), t(X) di grado minore delgrado di p(X), avremmo in F 0 = p(s) = r(s)t(s) con r(s) /= 0 e t(s) /= 0.Cio e impossibile in quanto F e un campo.

Teorema 3.4.9 Siano K . F due campi e sia s ( F.

1. K[s] = K(s) se e solo se s e algebrico su K.

2. Se s e algebrico su K, ogni elemento di K(s) puo essere scritto in modounico come polinomio in s a coe!cienti in K di grado inferiore al gradodel polinomio minimo di s in K.

Dimostrazione. Se s = 0, K(0) = K[0] = K e quindi il teorema e vero. Assu-miamo s /= 0.

1) Supponiamo che sia K(s) = K[s]. Allora 1s ( K[s] e quindi esistono

a0, . . . , an ( K tali che1s =

4ni=0 aisi,

cioe 4ni=0 aisi+1 ) 1 = 0.

Quindi s e radice del polinomio non nullo4n

i=0 aiXi+1 ) 1 ( K[X].Viceversa, sia s algebrico su K e sia p(x) il suo polinomio minimo. Dobbiamoprovare che ogni elemento della forma

g(s)h(s)

=4

aisi

4bjsj

(3.1)

appartiene a K[s], cioe si puo razionalizzare, esprimendolo come polinomio in sa coe!cienti in K. Poiche h(s) /= 0, il polinomio h(X) non e multiplo di p(X).Ne segue, poiche p(X) e irriducibile, che 1 e il M.C.D. di h(X) e di p(X) equindi che esistono due polinomi r(X), t(X) ( K[X] tali che

1 = r(X)p(X) + t(X)h(X).


Calcolando tale espressione in s, poiche p(s) = 0, si ha 1 = t(s)h(s) equindi 1

h(s) = t(s) , da cui, sostituendo in 3.1, si ottieneg(s)h(s) = t(s)g(s) ( K[s].

2) Sia p(X) il polinomio minimo di s di grado n. Abbiamo visto che ognielemento di K(s) si puo scrivere come polinomio in s. Proviamo che si puoscegliere tale polinomio di grado < n e in modo unico.Siano u(X) ( K[X] e u(s) ( K[s] l’elemento corrispondente. Eseguendo ladivisione possiamo scrivere u(X) = q(X)p(X) + r(X) con deg(r(X)) < n.Sostituendo otteniamo u(s) = 0+ r(s) = r(s): si e quindi trovato un polinomiodi grado < n che esprime l’elemento u(s).Questa espressione e unica perche se u(s) = v(s) con u(X) e v(X) polinomi digradi < n, u(s))v(s) = 0 e quindi u(X))v(X) ( (p(X)). Poiche u(X))v(X)ha grado minore del grado del generatore, deve essere il polinomio nullo, cioeu(X) = v(X).

Corollario 3.4.10 Sia K . K(s) un’estensione algebrica semplice. Se il poli-nomio minimo di s ha grado n, [K(s) : K] = n.

Dimostrazione. Infatti ogni elemento di K(s) puo essere scritto come combi-nazione lineare a coe!cienti in K di 1, s, s2, . . . , sn#1.

Esempio 3.4.11 Posti K = Q, F = C,# = radice di X2)2X)1 (= 1±:

2),vogliamo razionalizzare l’espressione 1

&3+&#1 .Il polinomio minimo di # e p(X) = X2) 2X) 1. Poniamo h(X) = X3 +X) 1.Usando l’algoritmo di Euclide calcoliamo il M.C.D. di questi due polinomi (chedeve essere una costante a!nche il problema abbia soluzione) e l’identita diBezout. Otteniamo:

h(X) = p(X)(X + 2) + (6X + 1)

p(X) = (6X + 1)(16X ) 13

36)) 23

36

da cui si ricava

1 = )3623

p(X) +123

(6X ) 13)[h(X)) p(X)(X + 2)]

1 =123

(6#) 13)h(#)

e quindi il numero cercato e1

h(&) = 123 (6#) 13).

Esercizio 3.4.12 Posti K = Q, F = C, s = 3:

3, razionalizzare l’espressione1

3(9+2 3(3#1.


Osservazione 3.4.13 Abbiamo fin qui studiato le estensioni di un campo Kall’interno di un campo ambiente F. Vorremmo ora vedere come si puo estendereun campo in astratto, senza presupporre l’esistenza del campo F.A tale scopo osserviamo che, nella situazione precedente, si ha un morfismo dianelli

' : K[X] # Ff(X) +# f(s)

la cui immagine e K[s] e il cui nucleo e costituito dai polinomi che si annullanoper X = s. Pertanto, se s e algebrico e p(X) e il suo polinomio minimo,Ker ' = (p(X)) e segue dal teorema fondamentale degli anelli che esiste unisomorfismo

K[X]/(p(X)) 8 K[s]in cui il laterale (p(X)) + f(X) corrisponde all’elemento f(s) , e quindi in par-ticolare ad s corrisponde il laterale individuaro da X. Il fatto che K[s] sia uncampo puo essere dedotto dal fatto che l’ideale (p(X)) e massimale, in quantop(X) e irriducibile.Cio suggerisce che l’estensione algebrica semplice K(s) = K[s] dipende in sostan-za soltanto dal polinomio irriducibile p(X) ( K[X] e quindi potrebbe esseredefinita in astratto come il campo K[X]/(p(X)). Tale definizione non fa inter-venire il campo F. Poniamo quindi

Definizione 3.4.14 Siano K un campo e p(X) ( K[X] un polinomio irriducibile,diciamo estensione algebrica semplice di K mediante p(X) il campo E =K[X]/(p(X)).

Osservazione 3.4.15 Si ha un’immersione ovvia K # E definita da a +#(p(X)) + a e K puo essere identificato con la sua immagine. Analogamentesi ha un’inclusione naturale di anelli K[X] # E[X].

Proposizione 3.4.16 Siano K un campo e p(X) un polinomio irriducibile diK[X] di grado n. L’estensione K[X]/(p(X)) ha grado n.

Dimostrazione. E’ immediato verificare che una base di E = K[X]/(p(X)) suK e costituita dai laterali (p(X)) + 1, (p(X)) + X, . . . , (pX)) + Xn#1.

Proposizione 3.4.17 Nelle notazioni precedenti il polinomio p(X), pensatocome elemento di E[X], ha una radice in E, precisamente il laterale (p(X))+X.

Dimostrazione. Sia p(X) =4n

i=0 biXi ( K[X] e poniamo per semplicita(p(X)) = I. Denotata ancora con p(X) la sua immagine in E[X], con l’i-dentificazione a +# I + a sopra indicata, valutiamolo assegnado alla variabile ilvalore I + X:

p(I +X) =4n

i=0(I +bi)(I +X)i =4n

i=0(I +bi)(I +Xi) = I +4n

i=0 biXi =I + p(X) = I

in quanto p(X) ( I = (p(X)).


Osservazione 3.4.18 Abbiamo cosı costruito un’estensione di K in cui il poli-nomio p(X) ammette una radice. Si dimostra (ma questo argomento sara trat-tato nei successivi corsi di Algebra), che e possibile costruire un campo in cuip(X) ha n radici (campo di spezzamento di p(X)).

Esempio 3.4.19 Assumiamo K = Q e p(X) = X2 ) 2. sappiamo che X2 ) 2e irriducibile in Q[X]. Allora E = Q[X]/(X2 ) 2) e un’estensione di grado 2 diQ, il cui elemento generico e del tipo I + a + bX (avendo come al solito posto(X2 ) 2) = I). Si verifica che la funzione

Q[X]/(X2 ) 2) # Q[:

2]

I + a + bX +# a +:

2b

e un isomorfismo di campi. Inoltre E e il campo di spezzamento del polinomioX2 ) 2, in quanto contiene anche I )X, che e l’altra radice di p(X). Infatti

p(I )X) = (I )X)2 ) 2 = I + X2 ) 2 = I.

Esempio 3.4.20 Analogamente si prova che, assumendo K = R e p(X) =X2 + 1, il campo E = R[X]/(X2 + 1) e un’estensione di grado 2 di R, il cuielemento generico e del tipo I+a+bX (avendo come al solito posto (X2+1) = I).In questo caso, si ha l’ isomorfismo

R[X]/(X2 + 1) # CI + a + bX +# a + ib

C e il campo di spezzamento di X2 + 1.

Esempio 3.4.21 p(X) = X2 + X + 1 e un polinomio irriducibile in Z2[X].L’estensione algebrica semplice K = Z2[X]/(X2 + X + 1) e un campo con 4elementi I+0, I+1, I+X, I+X+1 (avendo come al solito posto (X2+X+1) =I).Sappiamo che in K il polinomio p(X) ha come radice I + X e si verifica imme-diatamente che l’altra radice e I + X + 1, quindi K e campo di spezzamento dip(X).

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