I}TTftODUZ]CIVEDEL METOD0 DE,GLI trLET"'EhJT I FINITI

PTR STAT' D' SrcftZO P,AT{I

DISCRETIZTAT f CCN ELENENTI 7R/AI{6O I-,ARI

c^"* U Sc;e".a* dee% ('osl.r+ioni [' tenuto da€

qrofessor- t"{afrft;

2{nno éxr.+dernica L93C ,l gt

Stuàewti : -Pia, n *tri*Re€.a

V;si ,rt^ru Dario

I1 $etodo d*g1i eLernenLj fini Li, oggeLtc, Cj una

icLensa atlivita di ricerca a parLire dal-1a seccnda meta

d*g1i anni '6An si è ::apidamente diffuso e con noLevole

successo nell'ambito deii'ingegneri.a, Erazie sopraLtult,]

aLla sua capacila di descrivere problemi anche complessi

in mcdo semplice ed al-La facilità con cui è possibiie

t-radurLc in proerammi di ca1co1o.

.l-nche se I g prinre applicaziani riquardarL-.rno quas i

esci usivarnenle I'analisi di prcblemi struiturali,

successivanr*nte esse si di. f f userc' ad al+*ri campi

:cienlif ici, a conf erma de1la val_idilA del rnetodo.

̧el-1'afi'rbi'uo del carettÈre introdutlivo del-1a Dr€)senLÉ

-i-::iztier'= 1a iin.i.ra:-l-cn= al_l_'analisi srructural:

:::-.rea:.= :-rùji risu-ria es:Ére pi.rLicolat-nanLe re:rri--:iva,

eC è ccntunque adatia a risol-vere un not.evol-e numerc oinr"r'nìonri nrtè' ':-uv4s.,,_ y**_.ICl_.

Il- :lrelodo degli element i finri_j" consenLe di.

apprcssimare l-e equazicni 'ii f f erenziali che gùvernano urr

sislema continuo, con un sis'"ema di eguazioni aiqeL,rich*

i:r un numerc' fini.Lo di incogniLe.

La tecnica coilsisle soslanzlalrnente in due fasi: nellaprima, det-ta di discreli z?,az,ione, i 1 corpo conLinuo viene

Civiso in domini elementari: nelt a saCr-rrrdà, C*tra ii

modellazione, viene irrtrodoti.o un modt-l-1o di sFlirsLarrrent i

sui iomini appena definiti.

Quindi, per prima cosa si proL-ede ad una surJ,livisiorr=

i=1. CC,rp.-' irr f .igur= sÉrTr§'ìici, ad esÉmF,io, nÈl t-3si, ;,iarr,:,

i--.: triclr-J,-,ii e quaCri 1al=: i; ,:,gni siri,;c1,:, el*nt+:rr;c, f in j tc

v:.=I1* cat-a+-lerizzaia da uti cet-tc, num*Io d:'. purrtì

r3lrpresÈnt.ativi chiarnat I nodi , tra i qua 1i sono i n genere

r*np,resi i vert.ici eC evÉniualmente unc o piu punli sui

la:i ed aJ-f inLe::no, scelt-i. come verra pl-e::satc, tr

- --..'r -snguL Lo, a sECorrda del gradc, d j d*f ini z jc,*,= deLl"o staL+

,:: : f {lrzÒ che s i vuol_e c,LtenÉre neì singolo elemenl o

--:srrr jte i1 rrodello di sp$§larrento sceltc.

Il- nt-irfieÌ-e di plirfri nece..rsario e sufficienLi r,*r

i*f:,nire uJ) e1:irrenLo è pa:..:. aL nurnero cii veriici delic

s:Ès--L); al-l-'aum*ntars dsl nl].rrercÌ Cei no.di si pot,ranno

iescri-v*::e slati di s f :t;r?.o variabi 1i linearment* o di-..J:.- -.-: ----r.ut- - -

!'- Y sf ! -,

-.r- 1^

LJ 'Jd. -! E 3 -t dl Ir_)

,ìnìr-lai: rr + i l- +

i q rif r,rn i :

e-LaStiCl-LA ij-rrÈafe

regim* dj piccoli sposLament.i

com* ri f et-imenlo, nel-1o

ts(lllÈ - i,^,rr U.l, e(full

co:rf i Eurazi,:,ne i ridef {,r-mat-.1

si consjd*rerè. un cc'rpo bi'liniÈnsi,:,na1*.rrr-i li.--.r - I - ^ -^.r-.'^r j i - - L --...vr:! r.l_..t_Lc:= != :. t.ul_l,Ej]LI JI_:._rL=_\f -

Del:

( L* caraLt-erisLl;h* eLasLiche dcl cor;:ù

risuit-ano i"ndiper,Centi dalia direzione

neiia gualÈ verrgonc saggiale )

1i ( ccnsente Gl" a-qsum*.r-I

sc::ivere 1e,

ibrirr, ia

sistema di forze agenti nei p'iano definito Cal corprr

DTSCRETI ZZA?,TONE IN ELEMENTI FINITI TR.àNGOLARI

DaLo i1 corpo nelIe ipolesi sopra elencat"e, si procede

al-1a sua discrelizzaziane in elemenLi Lriangorari, avendo

parlicolare cura nel-la definizione del contcrno, per 1a

numerazione dei nodi si procede a splraIe, partendo daL

lat"o estremo più corlo in modo da mj.nimi zzare la

differenza massima tra i nr:rneri che individuano i nodi in

og:-ri singoio elemenlo; in Lal modo sl garantisce, come si

vedra in seguiLo, una minor spess. comFuLazionale rispetlo

ad una Ru.merazione casuale.

Nel-Lo speci f icare i nodi di ogni singolo el-emento è

ccnvenienle, dal punLo di visLa dell-a traduzione de1

rnelcdo in programrfta di calc,:1o, seguire se§lpre unù stessc,

senso di percorrenza, ad esernpio aniiorario.

Y

-t

.i::tx

§abel}a deLle connessioni

1

_1

4

J

6

1

o

3

10

L1

rr

i34A1l

rr r'é i 1

2

2

?

1

I

rJ

)

6

F,

1

a

2-5

7 -6

3-1

8-7É-A-,?

6-5

5-9

10 - 9

6 - 10

.LJ - _trj

t-rl

12-L7é, - r/aa-t-J - )-1

3ssÉrvazicrre: in quesLo esempio .'a dif ferenza massima +-ra

i numer:i ch* caratteri zzono i nodi. è 5.

Lr 2n coordisate degil

iiscrelizzazione adollaLa nel

la tabella de1le connessioni

j nodj che q1i atlpartengcno.

n nodi, definiscc,no 1a

riferintent.c) globale ( X,Y );

specifica per oEni elemenl,:

Pis,saLa I'attenzione su un eJergenLo guaì,siasi, ad

y:esiF,it:) i1 numero 77, si d*fjnisce F,Èr esso un riferìmen-

i,lr 1,::,:a1e che, per r-c,in,-,di Lar ah,i-ria origin* n*1 pr-irnr, Ir;r(1-r-r

j*11a seguÈnza daLa, ( nel nostrc esempic, il nodc, j \ .Jt-1il

.'''.a.ise x tale

seCòrido nodo

precedent-e,

ncdo ( nodo

globale 7 -

'LJ.

che i,I suo semiasse positivo passi per- il( nodo 11 ) ed asse y orlogonaì-e a:.

orientalo in modo che 1'ordinala de1 lerzo

6 ) risultj. positiva, À11a numerazicne

77 - 6 si associa ta numerazione local-e

q(5)3

*rb44

(,,r,{ )

3À*

^&

Osservazicne:

i'operazione più delicala de1

in elenrenLi finiti de1 corpo

esiste un criteric generale da

alcune indi ca z i oni ernerse

meloCo è l-a suddivisiorre

conLinuo, in quanto non

seguire. Esjstono comunque

dalI'esperienza che è

c.cnveni enle osservare:

- elementi guadraLi e iriangoli equilateri forniscono i

risultati più accuraLi, mentre sono da evitare elementi

di f orma irregclare cùme ret+-angoli lunghi e sotti ii e

tranEc,li appiattit:"

- nelle zone in cui si ha concentrazione deqli sforzl è

necessario aunenlare i 1 nÌ.rrnero dei nadi del1a

5

(?)

discreti z:zaziÒne, r15pélto aile suitr 'irr cùi g1i. sf c,rzi

..'ari an': i*nLantenLe

- per valulare la cùnv=rgenzcr del procediment,: ù

necessario risolvere 1o slesso esempio so.n una

sucdivisione più fitLa.

FJODELTÀZIOHE

SLabi 1i re un modelLo di spostamentc s i gni fi ca

introdurre due funzioni u=u(x, y) e v=v(x, y) che

definiscano q1i spostamenti de1 punL0 §eneric'-',

Ce11'element.o, in funzic-';1E di que1tr"i che sonÙ s1i

spcsLamenti dei nc,di del-l-'elernento stesso"

Il gradc-: de1 polinorilio ci:e caratt*r:i zza i 1 nrodellt: Ci

sposLamento, dip*nCe dai riumer., di nc,di scelli per ogni

=iemento; cj.ò significa che prendendo per ogniuno di essi

Lre soli nodi, si riesce a descrivere al più un nrodeIlc,

di spostamenio lineare, cioe descritto da una funzione

,-:rrarlra+ ica 'l ineare.

le (Y,rA) : dr + d.zY n uzé

1f(x,b): XL1 +Cax +arZ

Calcolati i coefficienLi N^ mediante 1e ct,Irdizj,c,ni ai

nodi , ri sulLanc 11c,Li g1i spos Lanrenti d i crrlni printc;

appartenente all'elenrento.

t

n:ic 1 ( )r-(o,O) = M,- = Xt

' * t" - &axzr:oio , \ lt (x",o) -- ,tL2 = c

ncdo 3 t- ),L {xs, [=) = ,trs = X4 + C-zX= + Xr1,,

ncCo t {nr(o,o}= ,.it=&lii

nodc 2 1 rf (xa,o) = \!a = 4q + N.s Xe.

I ^-,,. ,, \ ^r:.:do 3 LT(x=.$=)=tls=&q+ ci,sXs +esàt

[*o,}rLr =I1..L*s -

Condizi-oni ai nodi

- ll-\/L - eL

C,e = )Lz- 4t\"/,\9

C1.* = ,\Ls - ALt. + )J-a - ,l*, V_4o Xt ù-u2 *a3

csservazione: per 1a djscretizeazione adotLata. traniL*

triangc,li, ie coordinate Xa ed U,s son.:0

sempre diverse da zero.

Si wuole cra esprimere u(xry) e v(xry) in iunzisne dei

ri.speitivi sposlamenLi nodali ))1, &2, Ls e 1i:. , Va , tÉ.

À 'UL-'Uà Y-X. LJ--É ca

tt Sx,g\

lL {x,%) ' )da-4aXz Sz

xz * \ -l-t,x"%. )

I

d-e-+&zX +oaslA

Xs(tst

(t-^ --È- * X=8.\r,ir +(L[ *. %s xzvz) \ -.

^z I t-4

uLÀ.12

4i

(x, b) (*,? )

1/rt,r\v t/./tl41, /v ,, \v \^tY\ l

4q+ 6(SX 'dr*

1Tt + Vz-\f', X +iLr'r-{r-rXg[?s

It -xl- 7*tE

*Xs?\Yt+fx'-X^ Sz i \',

, ,\la -'U2+ --

Xa ?g

- xsH \(raX,-a;l

^=l?

L,{

I é V<L-].1 7-

"rG,3) : Yr(*,*) "ri -+ uo(x,?) % + f={x,2\ nr=

Le f unz i on i tD (x, t*)

fù§ZICIHI Df FORFIA' esse

C tx,g) vale 1 ne1 nedo 1

a..fl

2-x,2 ) - L

u(x.,*) " t 3iJ

irirnrinlis

sono funziani

frrrT

11

lrond^nA

*t,

nl^'irm=*e

nl_3

L2

lfi cx'qr)I-

?"t^'"r )1

c1 pllo

I emqnti

nri di

Yquri t

di ogni

al-mente

é <rrn'1 i

on i1- metodo deg1i. e

rmi nare gl i spù:s tame.

sono i nodi, dai

, fisalire a queIli

j dei nodi sono gener

zicne, che poi ricad

ni I (x,A\ .lt

el1o di sposlamento

Risolvere una struttura c

finj.Li significa quindi deLe

guei particolari punLi che

xreCiante Ie funzioni Ci forma

aliro punto. G1i spostament

dati can una certa approssima

al-tri punt"i lramite 1e funzio

in fcrma matriciale i1 mod

esprimere nel seguente modc:

)+ (x,V\ = { "* u,g) ) =liI qr 1u ,,; IL v Lnt\) J

1

I

t

T

{\

)

t,

S ,^"'ù *

II

I

_l

Con,{À .V'vettore deg'r i spost-amenti nodali e $ f^,,ù € T

nt'6inatri ce de11e f unzi oni di f orma:

LL*

U4

ÀLe

1r2

&t

Us

t t\tZ/ (n*)

IJ

(r,*) o frr*,V)

o vqà) ot3Ite

fU(xI t- EI ',',

LC§ r*,gl ào Et.,a)

ANALISI DELLO STATO DT DEFORM.à,ZIONE

f n regime di pi ccoli sposLarnenLi 1e comporrent i del_

tensore di deforrnazione lle;il "t ottengono derivando lecomponenli del1o spcslamentc.

fn forma generale:

Per eiementi finiti triangolari, limizandosiconsiderare Ie deformazioni neJ piano, si hanno

seguenli espr*ssioni:

4 { ò,*; + )^*; }a \ Dx; àx;)

2

l^ÌC

?qc*"*). - ivtcx,w> nr"a + ??r(n,*\ o, -rag )g iH

+ à{faG,q\ wz * t??crù.a..+3* Jfrcr,$ n}iAN ac6 èx

Tn fornra maLricialeE (*, b) :E ( x,t> 4

Con !!.?n',r*ttor* degli spostamenli nc,dali e B {^,7) * 'f/lt'"mat.rice dell_e derivate de1le fr:nzioni di f orma.

una volla scelti lre sc,li nr:di per ogni eLementc,

uz

10

triangolare, si puÒ descrivere af più un modello disposLamenti rineare da1 gua1e, per guànlo visLo, consegue

uno stato di rleforrnazicne costanie. rn guesto casi--)

particolare i1 tensore e, tx,b) di deformazione e 1a

naLricÈ E G,+) deiie cierivare ciell-e funzioni dj forma,

risullano costanti a1 variare delle coordinale xry delpiano del corpo, Ànche la disiribuzione degli sforzi che

ne risulla, sarè. costar:le in og*i singolo elemento e

guindi. "a gradini- nel- corpo; di conseguenza in genere

ncn polra essere rispettaLo 1'equilibrio all,inlerfacciadeq'Ii elemenli, meni.re sarà rispetlala 1a conEruenza.

§e all'elementc triangolare si aggiungono aitri Lre

::odi in corrispondenza del1e nezzerie dei laLi, si riescein modo u::ivoco a definire un modello di spostamentiquadralicc e quindi, pef guanto delt.o, uno stato ,Ji

deformazione a1 più lineare.

x' XU

L

\*X

,,2qa

_La*(x,6) =

rtr (x,b) =

dt+cl*eK

O(* * o(e x

+ &q *z + ctsxa

+d*xz+duxb+ *nZ,+ o(& ffa

-I D('r L.l'o

r olq l-t

11

'::.,:..: :.'r'lr-l..

;; :.::':1, :;ìit:i...t...., |,

,,vc,iendo descrivere uno sLaLo di defornrazione quadratico

in ogni s ingclo elemenLc, i 1 modello di spostainenti dc,vr a

essere cubico; una possibiL:lA è quelIa di utii izzare

oilre ai nodi dei verLici, altri due nodi- ai lerzi medi

dl ogni lat.o ed un decimo nodr.: coincidenle cc:-r i 1

baricenLro dell-'elemenLo, necesSario per manLenere 1a

completezza deLla forma polinomiale.

{a

v3 t2

ltU

.LLI

{ut q3etl

,rt aY, B) = de + d-zx + c(s6+ d-t*z +*.s*A + *.n*L + d-7x3 +d.6 xzr6 +

i d3 *Ut * dro gt

\{G,V)= (1e +Ntzx +rl.tz* * N^r/.L +x.lsx% +Clcb. o dtrXs +

+ Nq *.S * dtq xt. + ("o ?3

Osservazi one: di so1.j.Lo non si usa$o piu di sei nodi per

c,gni ei.ernenLo F,I-efer*rro=c, un infiLLimen:,:

'lel ia discr*Li z:azione.

1?

EQUAZIONI DEL SIS"EM.A

lt §:-.-_ :i -;.,-^-.-- ^r1}\r r.r"rle e-ì g:ungÈl:e at-Le e.quàzioni che cclrls*nlcrro di

risolvere una. sLru'rtura lramiLe i1 rneLodo degli elernenli

f irriti, è necessario a-r:alizu,are i l egami esisLent i f r,=

s'*a1.,-, oi sf.orz:; e dj cleforirr.-r:ic,ne rr+l1e iE,otesi f issat.:-,

À::aLisi dei legami fra stat.i di sforzo e di deformazione

Principio dellf elasLicita. lineare o di IiOOI{E

"In ,.r.rr corpo elastico soggÉtLo a forze *st-erne inequil-ib:"io 1e compc:neilLi de1 t*nsore di defc,rmazion* (Ai)

sùno fi:.r:zicrii l-jneari e.d orroqÈn*s delie cDmpùrlenti cel

:=nsc,r: di tens j one (d;;) , ? vrcÉversa. -

€.L : 7 te- {ì{,4e. drq .*..-,- dr*:Eru d;t,1a 8te

I coef f icieni i É;e-,$L t die,i( chiamati cosianti di

el-asticita, + che dip*rrCo::o da11e prc,pri età del- maLerial e

:i! esanìÈ, Sùnù coslanti in cia;cun punlur, rfla variabili i'ri

g=ntrale, Ca punlo a punt"o det corF)o.

I legami sf or:i def orrnazicni per un materiale elas t_ j c;'l ineare s j. possùrro guindi scrivere rreiia fc,rnia:

€:_c 6ccn € ;r"*; J*r,or*"ru rlej mareriare

r§

.::,r, Q ;t.* ;, Iio*=r" del maLerj are

Le costanrj di elasticiLà, fo::irrairnente in

s.i riduccrro a 36 ri cordando che i tenscrri

81,

t

nÌ.lmeÌ-C, ,l i.

€-

L3

C> ed

/t)\(6'- tLGg.)

\/ ) ,,/' ì( =2- - t, Dx )

simfirÉtrlci, harrno ciascuno 6 scli Lerm!ni distin+*i. ?a1e

nr-lrrrÈrc, 5i riduce ancùra a zL in guantc, 1'en*rg5 a

cÌ-ì,ii-'i f ir,r di deformazione dw= d;g,dt4è un cjj,f ferenzLaie-! -" -

/esatLc 1 -> 15 relazioni de1 lipo ?1'L ?gi3- I-- -- -- \ ' :€<.A 35;g I

QuesL'uitima conOizicne garantisce fa sinmeilj.a deile

naLr-ici Ce D.

in ipotesi di isolroPia

per punlo a tre, d!'Ì'omogeneita garantisce

C r-rf pC.

NeI Èasù di stalo Ci sforzo Pian,:

rel-azicni di elasLicita ìineare fra

risr:itano:

1e ccrstanti si riducono Punto

cui due indipenCenti ' menlre

1a loro costanza in tutto i1

,/ 'f -T -at93 -- .Èt - L+t- F ' r;

solidi i sotroPi

(

i.

ricordando che

C-d

rl- ) ./ xU -i1- L= x t4

C-,

€ud

\Cx,r()

C,ILÀ

E(

III

1

II

--:*É

+i-i+à

nrim:l/r 4r'tq

iqE'

di elas

-LE LIia

e

II

I

I

5 x94!

mcdulo

+an-Én?

cos tant

l)IIi

)ox*

a 4- -)r!-

i=E.t_ I -u 4-tf

l-IlooI

di

c*

(J LA

9 / -1 tt,\Lt&'y/

E

L4

€ -: cdÉ -'-

,Cr\cL1J T-) tt-_ -

lnvertiamc 1e relazioni di elasticità

{L. =I

Il-tl{ q1I'ti*[ 0*t§

é!- - :,E

G+»E

é*n IU^ (-

/.,

/.(-

/»

--------)-

(., L*

C,dS

F \jX

---l--OxQ- ar ..r,4 CLL+u )

i €*E €uo

d^ - zrè'*

dts- »d*E€x=éx-rd*E4 - d'* -»C^

E (»€" *eg ) = d% (a- »^; §(€.x* »€6)= d* (t-r,')

{'I

112Il)It]

LL

4*vzrrF c

-4-rtL

E

2 tr_*>)

-{- » tr. €rt) \,L §

+ E €,,---:------= 64. DL

F.,,

u=o

) rtà 4-Ye

E-,1 r ;è

tr

vtr-4->2 O

EC)

15

CI

9(t+'t:\

à: òein slati piani di sforzo

considerare Ie matrici appena

D * f[1_.2,2

Per ogni slng.:1o elemento

-/

in genere ci

viste, per cui

si lirnita

risul."a C

d: D e-dJ-& è i1 vettore degli spcstarnenLi nodali

forma, in genere non costant.e.

fiicapit.olando le relazioni fondamentali riguardanti i1

singolo elemenlo finito e-esimo triangolare sor:o:

Y

T{!c (x, 51 = 9_

,O *l le L-e -

lA.!

1]-!.

t't 7

4rz

*-1

1€ I15

:::: _::i::

€e(*,g'1

Ge cx,W\ : è. & cx,a) : ,Z' -

nrdlric|: dei 1e fun:ioni di forma

malrice di rigidezza de1 materiale

matrrce delie derivate delie funzioni di forrna

Eguazioni de1 sistema

Ài fina ,.ìi cqniir-iiera 1p9,t., lf

€" (/,g) = -'B. (x,W\ &z)

I\)e

II

i\)e

d",*&. &" -r--r-e

7

,.L

J--)

ts

riscilvenli ia slru+_lura si puÒ

enÈr-geti,:o da as,pljcare a1 corpo

Princip:.o del lavori virtuali

tgua z i orr j a ì.3.:h, r i cli+

inirrìdurrer urr principio

coniinur:.

"Sr con :,-i f e: imrt', 1i, a-'ì Litl t,t,r--!_,,., .:la-=Li,--:, in rlu: Ì.ik l-i,_,

scit.c, i'azjone ,ji un ben determinato sistema ji fcrz*

( r'eazi cni compr*s. ) , s i f anric, Iavc,ra r* quei ie f c,Ì:ze F,*rLlngtue,rbi

rtr -énéri--, c{-!^-- ti -*--+---^} I t.i..r-urr yElr=rrLU ;,tsterna,fl ;pC,SLamÉnLj viftUali', iL lav,_,t-:

virtuale cc,mFriuic, da11e fcrze esLerne p.er eff*Lro d*giisE,*sLarlte.nlj cùj-Ìs-i_der-ali, eguaglia la ccrrispertivava::iaziorre dj. +nergia pot*nziale eiastirr:a intarrla( l-arrc,rc che le tei-rsion:. j.nterne compionc, per ef f et t,de11e def or-nra:,i -rni conseguenti a1 si sLenia di s!r-r5tarnenli

c,:nsideralo l. "

S^* "dS:f

J,[,,

J,,f

f*l#J5

5E àV { 5aàV

*L

b Vzvetrore aàri* volume

- -r --7t--.L -)

I t^ l- I =.1-1 IL_/ILt-ttlJ

Nel seguito si indicheranno con un cappelLo - A *

quanliià che caratterizzano sforzi, sposiamenti e

deformazioni, in assenza delLe approssimazioni inlrodotte

dai modelli di spostamento; 1o stato di sollecilazione e

ia configurazione del conlinuo indj-cati con 1'asLeriscorÉ rappresent-eranno invece valori approssjmaLi.

'' b*')tt=1, l'( b?,1

(rl4\*l

- I le/t! -tlu II I dJ

EtP,t, l-l

/, el t - -J- lr- -- j

' lJr,- /i, )LtJ

rffiazioni di rralura anelastica

azioni Lermiche ) il" tensore degli

f.I Itt sà, a, *{ 1,- si" tsf/! u" l$" ICOTF,O C,f,rlli nuc) Bon f C'S S e

o degli elementi finiti

-, ,5- I r)"' e I (9e

tt ;Ve

Osservazione:

forze di.

f t 1 -i ^

I :l

forze di/tvettore de11e -.-- -.-J i - -' ^sU}Je!r.tUrE

trLV { a' sà oiv: { ;-Jv - Jr-p

si4v +l;'5,1 dst-t{t/

A \-l--c

Iè1 I L)ot-

Suddividend': i1 corrt.i.nuc, i.n E *lementi finiii;

E

C'r,rrsj.deranic l-e defo

( per esempio Ie deform

sforzi assume l-a forma:

A. ^ -r/ / - -

o\'!.^ _.>_ I\2e -ue (' e -(-e i

fel

J ,,Ve

A- A) t c- l\ /i=e, ù1i:- oV :

z\: 1A-J t /-L:)e Jf <--e -t-

E1-rT^ -1 t., \--* ] 1* ò-t" dV : )z__e

nei caso in cui i1

omogenÈo, i1 rnet-od

. . . ,1.: i: ilt,:::iì t. -

^. . .. -, ,,-,r,r,..1,-.t;,i.; ,.

consentÉ di diversificare per ogrri elenrenLt,

1e relaLive caraLter:istiche corri sf,andenL j

ai diversi li.pi di:rateriale costiluenti il

ccnLinuo.

Si passà oia Cagli sforzi e spostamenti verj, con -r\ "r

a guel1i approssimat.i che dipendono dalle funzioni dj

fc,rma, con " *", ( nodeLlazion* ).

" &Es su- JY * {ù" sa:av -{.85€rJJk J," lini dipendenti daLl"a

spostamenti e 1a

Elc-t

) I -p<"' Bo' D. B. S-ue'--=- < It Jttve

]ìe11'espressic'ne

Éj<.-reiiztaoinr-,o

Z f z r,

E" [ (€u* -€)- p" s€"*.]v :;.1 t * ssr;v+{ i: ro;ss'l-" J ,,. '7-'! J tp- J g' i

= N E rt

l-" I t--' L;. s4.2;v -r- i {;'t^ <cisv *{ L.=rrZ tv -{6:5s"*JS I='Juu

u9e d" -/-e Ur;

ii< oc-e o' -J vu:"

o*e d' *Jr"

lrf cc,rdan'l, ch*: str)ù-cLanlent i e; = U. (x,*\:9. (x,Z) *e

i=:orna::cn1 €u* = àe C^,g_r: $,_ (x,b) &ec ,Éar: i ,"i.,.r.4 t é.uc*,ll : ; cx,?) : Ò.e B* &.

À.€,2

.m

ti

-C,

!

1

,ffAve

le:

g-

tt/ \-JV : I,/*L

I

precedente j

adc,ttai:a scno

matrice &.{'c .Òe.- indica delLe deformazioni

Ca-i-a O1 gCIÉL tZZaZÌOne.

lmpc,ste e gui ndi non dipend=

Finc,ra si ò lavoratc sul singoj-c, ef enrerric ne1 s j stelra

dj ri f erirrreni-s 1oca1e ( x, y ) ; pEr assernh;lare i risuitat -i

f in qui raggiurrti è nÉcessario passare a1 si st<nra d j

19

riferimento globaì-e ( x,-y ),

luQ =

ltI t? -

)J4

uL

tL2

4{L

{J-7

'1rg

tl\JL

Vl

Itt)z

V2

lt\J3

V3

nel ri f erirnenrc

locale ( xry )

nel ri ferimento

globale ( X,Y )

Lln velLore sposLamenlo ncn varia a1 cambiare ie]si stena di ri f erirftenLo, cambia solamsrr,*e La sua

rappreserllazi.one, trami te 1a rnaLri ce di roLazione R"de11'eiemento e-esimo.

4z= R. t

KE-) oa

'A&11d.

o

o

O

/\a/'r\d O

éolot O

O K-€)d.

A -,\e*a4

ocao

cocooo

/9/"\ol O O

cd>d- O C

/\\) {-e) 4_ ^Q,.1d.

O - Ae,+,ta t.e"l

6)3

7A

' 'i rii.Jr' .''_.rl

-, .,-::,.:.-..,,i .:,,,..: ,. ,...,-,-",.

Si introduce

tolale oei nodi

sposiamerrti di

ora un nuovo vettore

de1la dicreLizzazione

tutti i nadi.

Ut

YI

Uz

Uo'

Y^

cli sposlamenti LJ; e VÀ de1 generico nodo sono rj.feritia1la aurnerazione g1obale, alla guale si passa lrarnite 1a

malrice ea di connesslone o connettlvlLa., cornposta da

tutti zeri iranne i sei terr*ini unièari relaLivi a1la

numeraEi.one dei nodi del-l-'e'1 emento e-esimo.

ll -f

ilv3 -e .\l-(n 6, za

(-a é llL

-^ì -..1r ^ -

4e---GrUE=R.QeUS;-;.e= &. Stà : (e Ce 3U

f veltori A e 5U non dipendono

inLegrazione, al pari del-Ie malrici &

oqni el-emenlo.

Esenrpi o

Ue

)

V'ì "on ,ui numero

che raccoElie q1i

da1 domini.o di

e '=e, costanti per

t)

El-emenlo @ A.f :-" flgura a pag.20

numerazione locale.

" globale

L 2- 3

7-L7 5

27

u

U,

v-

U,.

V.,

U'

Vb

-,1<i

(u.

lv.

1r:IY,lu,Iv'

?r -Vo-

Fé

.Y/

rA

0

aII

i

L

U.

uo

vii

II\4

V6

lxj.J*&5&"iiJ

funzioni integrande sorro deg}"i -scaiari,

ù-csùtic essÈrÈ scri+-Le neIJa segurrrrr ftrma;

p.B,+eJv=i If r*'rp,!."rv *{ raf"'sJy*?t L /Y, Jve

I rr. I+lsr;d i.Jl I

Ji='re r-- ' l

Aw.1

.. .....ét e8......... Par

de1 PLV:

Y)

"AY

lA>U

Y

L

IL

.!J # t3 74

'["& .'ge JV - [ g 5+,J ;v *Jv,

nt_Èc q i r,na

-E-lt

t "Ll Vt

j.E5

d fq"g, SnsJY

Èf)Ir.-e ,- eVc

II,

ri corda

tÌ Er 1_IC

ep

. <^?Srte §

Uo 'Co[J

!L

S'-rsLituendo ad * = R"e" A Érj a

.)s servando che A ,-. S-U n.,r, d i p-

s.fmmetÒria:-

-r€ [ _t I \su'1L"! e; g{l I B"- p" & dv ) R,I t e \Jv. /

v) n" c,l e ry\','n/- *-J

urà

s::t-ema I i:rr-'are trr-.1Le inCogniLe A€-.

t llK= t'^ jc.-&'ii E'EB.dT" L- t Jv,

§ natrice di rigidezza de1la st-rultErr

A \- I _-Òr/ i nT^ )-.,,U = I I Ce' R.l | &; D. L.-dV-z-t s t Ju.

': . :'

.-- --: :- -:.-.-. :r ::i:

.Tòaa=a

fi (-l r:rf) ai

ttc"l{ u,I)t

- su'{E"k N(!r:r p.* oo.! gJ4;u .1,"§:i,rllin f orma com5,,-lt t a:

2.ì,l d'É. àv*16'À,ds) /.v'nJvr*" J*L' U

lJ{ veltore dei carichi equivalenLi nodali--^!À-I velLore § rapp'yesenLa i carichi aptr.l -i caLi ai nc,oi

che risul.tano, nel1'applicazione de1 FLV, eguivalerrii

-a-' - !r-!I"-'- disLrii:uzicne dei carichi.dli rlrELLf vd LllSLILIiuÉ.r.Jlle

i1 veltore G ui calcola -i.n base a:4

- eventuali deformazioni imp*ste t &')^ , ao.rrrtf .a esempio a f c,rze- forae di volume ( b. )

cenrri fughe

^- fi,rze di superficie { {e )

Per esenrpio ne1 caso di un elemerit-o i-rj.ari.3cIar* F,rstc,

su- [r o] = SU'Q

srlf conlorno de] cors,o Soggett-o a cari cci urri f irmetrreDtr

iisiribuiLo sulLa suF)eriit:ie É Firirf-,*r:dicc,ia.i'nrE-l1tÉ' c*rl

,:;>d , >J \rriit';,§+-l-a chs nÉli'ip';'t=si di mc'd=iLc di

sp'lstatnent"o

a-c sumOn+ i 1

.- -.r. I r rnr^

j.jsl casc di uI't elem*ntc,

quirrdS- adot-Lando irn rncrdeli*

si hanno valcri Civersi per i

r::ri rhi er:irivaleni.i n*da1i

ia lunghezza del- 1 'elemenlc, d j

.i-ri:nn,-,]ars ) -- " --rr* -rgl ]lL,L] -!, c

di spos+-ameni" j. quadraLi cù,

carichi equivaLenLj nodali.

lìn-arr-. t+flr9+!U,

aò

val-orÉ all ,cn I2

l-a riaL:-i. ce

singolare,

gilant,o ia

CClnSi,J*rala

,-lr :-ì,-iria-z:ur !ÀYr

e quindi non

s LI'uLLura

è labi le.

r:i sulta essere

irrveri.ibile. irr

L"1

fino ad '-ì 1- à

Esempio

Datc 1'eiem*nLc triangolare j.n figura soggetLo a carica

verLicale distribuit-o lungo il- latc' 13 si verifichi

i'eguivalenza., ai f ini dell. 'applicazione de1 FLv, f ra

carichi effetLivi e carichi equivalenti nodali.

ia'rdelip di

IYi-iIt

ÌI

I

I

I

I+I

iL(x,t) = {*

spos larnenLo

r "'l(r,t) { or{ It\\rr5/

r/^-L.t{

(n?) = f?,n,u, Yu,q\,Le(4'dJ

[t, t-,*l, fr(r,n\,

.1, tnn,]T/1\\yJv

I vrlrllQ t",uò) 1 rye ILrvlt

('^É]

l*.

.\r({,.à) =

z5

(x,u) =

ore dei ca::i chi

Ja

P* ra) d,:

-.. :1 1-!^ 1ltJ _!r J-c1 LLj lJ

^J+" Cn, ?) = = f. (r,X) Arr'

.TSni:- fx,tfll= Q (r,.ò)- ar§ *ll,.

= (Fr,r,g) Strr cx r.4i 5 U-1t u'

rlY2Ln) òai'l,r oA --al-'r b-r + l-e ò tl-i

P*t» §..ru, Ja da

ent i n,:tla 1i?,I t.r. r ",g) Pq { a)

| 'LIL

dv

lVa

Q G,*,)la

;r*J. tP'

.7

= ! ex,or \ V,r*,nr S'n *Jt L -

= ['*,*,,5) P,1ta) S'rda

I"JIu,^,It{x,s1 sr:-1 +

equ

Pr Stto * 2'

v*i t

IaI\llp('\'é ttl1.,\| -l

- err=

I p,l

=l ;li*l

t3I --= | f 'rr,,tl

Po Col d-r

Jt p3

I q c,,t\llat,

-\Àr+ tP Cx.q ) 'u3Tf?o,^,'.al i

I

tL

+tpta

:l;i['-"ldl.L (.)'U1

(*-{'

I

Jt

1x,r1) Pt6 6,ri Snr3 dn :

da

--.1

t"it\i

J,

q. ( *,+) 5*.1'5)

26

--",,,,.. .. .,. +.-,..dÀs,&;.,-..r!--":11- "'-' '-':

:!*rt:i:

AFPTTCAZTONI

-al --."'1,.--s_1 svliupp,ànc; ore a1r.ù.1-r.i ca;i s*nìt,1jcj aì

chj-dril'e maggiornrÉllt* quànLo dÉtt_o firr.;ra.

t_arlF

r)ip;Lesi: - corpo cojncidenle con un u.rrirlo eLen'r*rric, finjLo

- rif trimenllr lorrale ( x, y ) tsaslaio e nGn

ru,ftato rispeLLo quelJ.o gioi:ale ( Xry )

,Ji

I.ìe segue che: - E=1

- Ia rnatrice di /'lroLaziL-ane (e divjene

i Éprrf i ,--r

r)c,n vi è djfferenza lra nunlsl:àzj,_,rrr

iocale É nurnÈraZi,-,rrÈ g1r,lia1e, ù quirrdi

pure Ia ma'Ltice di connessjonÈ Ce tisr-ilta

ì?LI

,rllla forma

II rTnàV +l9. P.,.=: tr*

Loe q e..f

a\ 11r, nt/

f i ci e*Le

nrl+nza,is

andc tutL

ÉnLÒ ver

f .,L\/tllr'.tl,ltL]tI ir I

( q" iI lx Itti q' II[tI

,t

lqj 1/ 'x II ^] It q,,à )

panga f

F,drt"e int

^-L-_d l lle iÌ-l 5

- 1t-^--t_ì t d5òe

ugual* a1la matrice identit

La r*lazj.one preced*nle si serrplifica ne

lr 1 -(f - A f ??^sÈll AIEB.Jvi * = s&J.lI glc.€"av *l e'-b"- =- LJu:v

q Uv, J vr*c

*

:'efazic,ne valida V SO.

-!1 F. '

s ì_ .-ì

Lu l§* = 9.

..,r, &. tqfnmatrice di rigidezza dell'elernen

velt-or:e dei carichi equivalenli nodali.

f coef f i ci enti del-la r*alri ce &, hann

s:gnl f icato f isico; aC esenrp,io i1 coef

rappresenta la fcrza che nasce in corrispo

L, direLto seconclc i'&sse locaie x, eu

5f)L,sLanr*::Li sc,tlio nuLii Lfanrre uno 3Fiù5iam

un i tar: r: nel nodo 1.

t &ro {n. {r, &r. g'r5 t'*, J ( 0 ).,^l:;ltlA*:.= f i I \u, I

Ir ll;tI i 1',(=| , i lelI j ll'lI I I a \I ltr Ir o il ,l11.., *«J lptT:-r Farticolare per U-t=1 si ha

diit-l = t." =1*'

Sj. consiO'eri i1 generico termine 8,X e si

alla par+*e inL:ra di fa#i e J uguale alia[EJ

l** j. \ . r1 termine drj rappresenta ia f c,rz\-e j -t

c.Jr.ri spondenza del nodc-r I di retta seconci

t t6

reci so

A,^

l- nodo

J ljLL

L.l- ud -L c

-.-..^ 1 ^u9udre

crf, .l i

,...:: i n

1U(-c1-l-e

28

_,r_relw

'i; ' t... r;: '

.t-,--.,."I :l iii.;::l'::, .

( asse x 1lè'i è dispari, asse y s8 -r è pari ), euanù':,

!..!r: -1.'i*uLtr gJt spostamenLi scno nuLli Lranne una) spùs Lafiier^;lr:,

uniLaric ( orizzon*-ale se .l è dispari, vÉriicair ,* à È

pari ) impCIstù nei nodo J"

i.a rnatrj.ce di rigidezza è simmelrica, e 1o si puÒ

dj"moslrare in due modi; da un g:unLo di vista geometrico e

da uno meccanicc.

l") Da11'algebra dell-* rnatrici à not.o che moltiplicando

una maLr:ice simmelri ca ris5:et.irvamente a desL::a ed a

sjnj.sLra per una generica rnatrice e 1a relaLi.ra

t-rasposta, si otLj"Ène ìJrra maLrice ancora sin:rneLrica.

Ricoroandc che 1a mairice di rigidezza deL maLeriale De

sin$r*t rica e che 16 nrat.rice di rigidezza deii'e] ernentc

; ..i. UL:.i'CJ]§ LjÉil-d le-:d.&lLrilC,

P^tlL" : I B.= D- ^3. Jvt-

i trYe_

lie sÉgue 1a simmetria.

:: ia sirnmeLi-ia del-1a nreLrice di rigidvzza

*n

Ae

ri correndo sl teorema

puÒ es s *rÈ

c 1 iJE; -t"1 -i

suil 'uguagiianza dei iavori mutui L-orrs iderat i ;

"assegnato un corFo elast"ico e due distint"i sisLemi di

fcr:e ( reazj.oni comprese ) in graCo di garar',ire

i'equiJ-ibrio, il- lavoro che 1e for:ze del pri'mc, sisLema

comlrireL,bero p*r g1i slrosLamcnLi clel. se;Òndc,r è uqu.Lì* aì

iairi,t, ri che ie f orze tlel- si-,tr.,!.ldo sisLeni,: conri:,i. r'ÉL,1.,,--:-,:, i,-., I

gl.i ef feLLi degli s;,csLaii,+nrj dcl E,Ì.inr,-,. "

29

-,. - .. ...,,-.lr.i,l::r . :,.r,,.:...... .-"

i* realta basta rj.ccr:rere a1 Leorenra di l,IÀxwELr. chÉ,

oel- teoreme di BELti * u::a Cj,re.LLa ccnsequenza:

"Fi ssali ccfiurlque due punti Fa e P, di un cclrF,o

P] a <* i,-,r § ^aa-

ac e i ,{r.^ -1c:a;LaL(- E per essi Cue C:,rezioni {,a e fr, arrCh,ÈssÉ

arbi t"r:arie, Lc sposLamento che i1 punto Fr subisce lungoia direeione ft per effettc l: una forza F agente nelpunto p, in cirezione fz , è uguaie a1lo spcstamento

s'.:bito da1 punto B secondc l-a direzisne fr per ef fetiodi una f orza F agente nei punro Q in direzione .fr. "

l-i f ranne /LE e q"1amÀn+ i

t(I

\

I

I

IIIt

a rr^a +

/w[

'^" rI ut.llt

I É\1,1I ell\lé I

I

I ^. r|v3 j

p,-ìi:;

ke 12e = 4"

S j suppùngrÌ1o LuLLi gi ii-rh:, i.tt {rr. ài, lI g... L,z &r"

Il:::lì..1i.',l{::ll.,1| 4.e*. *tz {r, Ji1 sislema si riduce a1l.r"1 É.r uo + ftz,. vt = qL{ '%

L t., -r + kes vt = 1*,

I-.lt,

Aq

au

lx

a2Yly

13tr(

r31g

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1

q

al(

Ìt

-\u

(I

{

^r tl

,'I i .,.,--^,- r-.

ì1,ìll: I i .e:,u4rf .

--ci cCrtlsiclerirro due sistemi di forze:{ttr!

J1*'=! (1; =d)Ì ^; ./ I : ,

't 'tfal pr--i,ni,-, sislen,a s.r- r':cavc 1* sp{,9tr1flrÉr}tc, vÈrtica}e.lò'

che nasce in corrispondenza del ::odo 3 quandr: si ha una

f rrza uni iaria verii cale i n corri spondenza rlel .lrrldr--r 1.frr^t A^. 'lJ-a' + f26 rr3' = q,| = C1 '?

| {r. 1rr.' + {66 nrr' = gJ = q

'ìIt'- - &a t4'p.ot

e,.f- **r) * 1,, vt = t ---È-

Ànair:,gam*nle dai S*r_-it,lldrjr sislema

it-t"erniiÌi,tnc, l* sp.rsianenio veri.i,-i je tIU,'

,- - r-r'i spL--nd=nza dei no.lo .L rj"l.-r.rrCo si l:à i:t-r,-,i

- I i .-- r - : - -.-..-.- i ^.- - - -: -., --! _-:l tE:r ln Ci-r.t---ì..,-:,:,É,-,*'.-".. .j,__ ir,_,,-1 ,-, 3.

fr"ta"*f..evru=qi=Ql^

| foz vr" + frcs ry.'= ql = II?

floÉ.u- W gLL

.t i f ,-,t =t - rL.?L Lt- -- I

:ir* Il-,; -,- i:l

ilr.lf iì ,:nitaria

DttH2Z tr7.0{}.é

I'-l:

n {l A til-c, ,rr" * {« l- 4.r,t{; qr.,,) = l

I4axwe11 i

!. {r}' : !-

-j:--rr lt'Va- :

lLlÉ s[-',irs t_ani=tr: ì

^- llrv 4_

!.r"{u lr, - EuRo

-' _t

^- ll r'ui. = 1I:

f* f*o,- - *.r, 1""

------È>-_-----1// Lrn = A.=

Àna1,:gamente s j proced* per 91i altri

m3+-rice di" rig.:" dezza &. ,isulta quindi

g*

coeffici enLi

sirrùrleLrica.

ri)fpo'uesi: - cor;-,3 coirrcjdente cÒn url unico *lemerrto finitc

- ri ferirnentÉ locale ( xr y ) rotolraslaic

ri sp=tLo aI ri f eririerrto glcbale ( X, -f )

non

sÉguÉ che : -

i!

di. f f eren=a tra numera z I onÉ

l"ocale' e numerazione gic,L'ale,

1a irrar-t'i ce di ccrnr.Ìes s i on* A"--.. .1 .. .. 1 I ^ --uLJud,J.t' 3 -Lra r',olric€' iC*ntj'. )

I.'*quazicne de1 sisLema diviene:

* gui ndi

r-isulla

-1

B"JVII

^(SlJe 1

(

),{e i_J U

-,,-( n T f ^-^ !- ." l' rr'A ' --: s.u"'I u"LJr"E{& &'^u *1,,"{"-& rr* /r,§! * rtl }

<.r t

vd J l,Jci

rfnrl i n'T-^4el1 r_ellettL t\tJVe

R.

-,-r. &*7,11'n,ul::i,:.= di. :'ig:d=r3a,s.i.rTLnret-r-rca, d=ìi'eìÉntÈrrto

- \ tée g€ é y veltcr-e dei carichj. eguiva"l*nti nodali.

C;,ne'rja accennatc,, la rnairicE di rigijgzza è sing.JfarÈ

e quir:rii. r)ori inve::Lih,i1e in guanto si è consideraLa

'':É-*' - :trullurè laniie. E' necÉ-qsaric, i.ntrlour::eL -t -:.: L-t d urlé ì

nì-lrTlero oppc)rtìlrJo 'ii viacoli ( minir*c, tre e cclmunqlie tali

da inpedire a+,Li di motù rigidr: ), che consentanc dl

passare da una f orma semidef it:ita positiva ( x" 19r>É #rtl)

ad ,ina definiLa positiva (Y'grol>é ff+dl, carai.lerizza+*a

da una matr-ice inverlibi1*. Vincolando la strutlura ci

si riduce ad una sottonatiic* della rnatrice di r-igidezz.:,

oLLÉnuta da essa '=1im:rrarriifr 1e riElrr ,:c,rris['c,nclÉriti agl i

sp,cstamenti impeC i ti.

i3

Supponiano ad esempio di

cer:njera in ccl-rispondelz-a

nei rlodo 2 tale da impediret t. \/ l/ 4Llj= t/1=\/2=g

vincclar:e Ia slruttura c,:rn -ut-ra

del- fiùdur 1 e c,-rn un r-:arre11o

gii sÉ,ostamÈnti verticali :

@l/^/v I

1l

/\lUx'X

al,t{rd

t;lIri.liiI,ILK,r. . (,e )

il sisleria si riduce a t.re *quazioni in tre incognite.( «rrt), + K:+Ur + Krr V. = Q.i

i Krr U" + KssUr + Ksc,V, * G,3

{,*r*'Kes!r*-kco% =C;jn fc,rma matricjale

K" !&. = Q*

r"r, Kdt f[1], sirn-"nelrica, def inila p*sitj.va e quin,ii

l

r1

#

TA

V3

G-'

71 2t!gAT.l;rrì

a(:(:

(V*

:*!,^,-riL.'l^

G1i spÒsLamenLi inc*gn-iti !§ sonù un i vocamenle

Celerrninati una volta fi ssaLi i cari chi esLerni

equivojent-i ncoali Q*. F.iLcrrnanCu-, a1 si-ctema inizialeaL aL

^ekeU" =Qe si riceLvanc, 1e reazioni vincolari A; Qà, a[

( Q^t = Kre Ua + Krs U, * Kr" V3I

( C{ = KaEUe. +- KcsUo* KreVì

LOt = k.= Ur * (es Us - Krg V,

K" tJ. = G," i

ll

34

' 11, i1:.ìi

aI t-:I€''DsLJv

Icy

r-Èssione oltenu

* 1t- .l*fc,:"maz

'energia di oef

aIA* I a' Su ,,t,V

Ju-ià lrarnite i

irrni atr*1a.:

ormazi cne §V

Ai medesinri risultati si giunqe, oltre che con j.1 PLV,

anci:e LranriLe i1 principio di stazionariela del1'energia

polenziale Lot ale. Semp,re nelL ' i poLesi di rnateri ale con

comporLamento elastico linea::e, 1 'energia p,:tenziale

tctale del corpo conLinuo è data dal1a sonrna de11'energia

di def srmazione V/ e deli'energia poienzial* dei carich.!

jL' r f n I

^g = \x/+fr : * ! e' (e-é")av - I L' uÀv - I À'uÀszlu J l;

Principio di stazionar j"eta deIl'energ!"a polenziale iot.ale

"Tr-a Luit* i* sc, l,uzionl c,rrr-reEUÉrrLi, è ancii* equiiib;rala

'*'.!ilY :,-dL -tiJité.t.1 - '")!elt""iJéJ-§ LLrLdlE.

Fe:: o.uLenere l-a soluzione corretla bastera guindi

impcrre I'anrrullarsi dr1'l a variazione prima dell-'energi a

ir-.isn:i:ìo *,ri-ì -IJL'L=jJ!Jalg LULaf E.

etr : rlvb Y

r{"-'1"7t*t,rb _, tct ,Ld - t (c- -; )A 6-* àV 'IJv lv

IS,,a Àn - I i' s.u -lS : F

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]. PLV,

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risulLa:

fI cr n <r t\/I {-

= ae Avlv-

q, t -a' Ja Ste55e È5jr

. Supporrenclo rrul L

i'espressione dt-. 11

_?5

) ctLlè2'e'Q f

_r I - I _ n

*.' i I8"lÈCF;Vl{e = + r*e L"Ldry. J C

Celi*

JV4 P€. JV

EIIELLlVEde f*

Ricordando che:

€" = 3e*t-I E"&eu.!^n.tL 9"KuL.U

&e=R"l)e=,("E"!

€.. = U'G' RJ- N

2

w =[,*€'DÉrv

avÈrrdù inlrodoLto,

=».{ rn . Jye-

al posio

L,fo -Jv,

rmazi o

L, quell-e dip*ndenLi da11a discreti zzazionÉ ad,]LLaLa Ee-.

\X/s' L U'irt?l1-ltLà

, er sr ( JoeTeB,

dv) a. c*l u- -_l

iitl caso di un uni cc el-emenlo ( E=1 ) con r-i f eriment c

iccale e globaie paralie)-5, le maLrlci dj ccnnessione (e e

di rùiazj.one & risuliar;ù essere matrici iderr..ila, ne

::i:.il.ta pÈI i'=ri':'t-gia ei ,lÉf ,-,I'irra:ii,:li= 1 'e:;,f =s.sic,n=

::.* r ,-r,: I i nr.i i:'*t'.} - '--

W= 72

,4-t?

.Z r.\I &e: 9)

r --'1- .'.tirrir; r*,-,mÈ r,Èr rrì.1 ..-ìrrl.r nf,rt V-rnf.,:ia:C Lrn: l=-:l-= l-iLr:!,- L'-:;i_e, .ts*- !.si;f,\-,

àtruì dj" moLu, rigidù Ì-:ct.: --cmporti vaIj.a.;ioni del-i'energia

Ci def*rrnazi,t,IrÈ i:'r rr'*rrrccrdia con il falLo che 1a forma

quadraLic;40'S,.44- legaLa a1la maLrice di rigidezza 1.

risulla e..: --r"-: semidef i.nita pcsitiva, cioè Ya" +g 4[&-r*>a

Se irrvece un rorJ)o É b*n vincolato, aF,plicanoogli dsi

ca:i,:hi, i1 r--crrrtinui si deforma, quinJi L'*nergia dj

defOrmaU i(:ine nc)n frùO Il"Ì3i annUllarsi, e ris'ttlta sÉIl',f,rr]

inf at Li rri.;:colando in mcdc, adeguat.o iaL'ts.iliva;

36

s tru.,-t ul:a

LlLr4l-= J_d

si oltiene una sottomatrice l:-n )kforma quadÌ:ali ca /d..èQe &'- associaLa

positiva, cioe '{a"re ^r[.6ur>o

Ddi É&, FÉr' la

ri su'l L.r es5Ére

IIl ) lastra reltangotrare

In figura è riportala una possii:iLe discreLizzazione

delia sLruLLura in guatt::o elementi tr5.angolari.

Elen:enlo 1 l-!-_1

2-4-3

3- 4- 5

4-6-5Fer ,:tLenere 1a matrice di ri gid*zza

Lri s,:gna inrianzituLtc, formare 1e maLri ci

drj -<ingoJ.i elemenLi.

rl;ì . i . f èm:

di l-igiclt:r-zà

37

i- f t? \ IK => lcl&-iIet p.E"dv)R.Gl

'T'L \Jy. / J

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ElemenLo @

^rl lemenÈO I,l)

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'1 :carr::zinno

La rrratricÉ è in banda

-- - :J ir r ! "! L d L l V J

ai.ia diagonaJ-È principale.

e§go

E.I+;r:ìr+ilf

nÈi sÈDSr.r ch* gii È1em,:I:Li

rì: tsr,-. \ --i :rl.-l-.ncrn.-, :r* -.r-:'..-,

Per c,ttenere unà Lrarril.-r i1 1,:ii

^ i ffi@ (, lLg tEil

i ,:=r ffiA '.2e ì §9J Ig

,ì { )

@a@@

li+)t t(+I

id 6i

mullj llJl

ÒÒ

l+i l+l I l+léi-ilI

n i--ìl-.1 L-)

K

39

Per ogni elemento si hanrro sei

con:pcne:*Li de1 vet"t';re dei

t-ar-i,-hi È{-rììiVal*ntj n,:dali.

S1-r-*it.a t)ùSsibile, onde ridurr-e ill nunr*rc, d.:!1i elei'lr*nti

d"'ù,t,Iisid*r'a:--§.' ed acceiet..:rr i t*rr1:i di calcoitr, è

f,f,!;*: --uB,f seguiLt una nl-lfirerazi cn+ dei rrc,di a!,prr--rpri at-a,

quai-e è qLiella visi.a in pr*cedenza ( tale che la

d.i f f er:nza massima tra i numeri d*i n+di deL sirrgolc

el*ri,euto sia minima ),

Vet-tore dei carichi equivalenti nodali x

x

dl

@

trtr?

f

Il- sistema KU =8

1a s'L.ruà'|ura è labi l-e.

parlizionamento Cel1e

ccnrponenli vincolaie da

non è ancora risol-vibile in guanto

InLrodc,tLi i viricoJi si opera un

maLrici e dei vellori dividen.lo le

guille Li h,ere,

( t/')u:.{ I

t L)') :iG

G

I:1(

,] \,1-z)

rÌ I^>/tL

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s)IJ

t)

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!.1 )i_l6tal

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. -..::, ,.

d*iLe comporlenLi Iib=r'* diu

V

G

s +Llovet t cr e

silcs tarnÉn Lc

,c olLoveilore

( nCIt.e ) di

s c,ttovet t.ore

§ùlLovet tore

vincolari )

r^r a ^ ---lr'r':rnenl'iL:=A-LÉ LLIII

spos +-emenlo

oei carichi noti

dei carichi i:-rcogniti

nrr.x

vi. rrcol a ie

( reaeicni

.^-i ^- --tJs5ts-L V.aZILJllr=;

i* ccmponenli

anche val ori

v-incolari ) "

d i str]*s lamenlo

non nulii t

vincolatÈ ilossonù assumere

ad esexrpi o F,er ceiimenti

Si indichi

compL)nenti 1

C C'fl V

i i:ere.

1e conrponenli rrincoLate,

41

L

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u-:'ntem;,c)raneafirerlLe si partizic,rr,: 1a matric* dil-./i'ig-3-l?.à Ft , tr-nrrr:ir* oF,'=l-'az-ic,rij" :,ull* ri;h* É sullc

-.-,''r -..r,; e,-r i1 sisleria d:.viene:LLIJL.:.r-

'

lo* k"I (ts,) {G"l:r-l:il\-/ll.:!: IJ t i Iltflti 1-vL t-YV i i t tv I / f\v t:KKliL/l i\-xri- _l \- / r )

4t-t- (fi),l *-L! . n1)1,1 K" e fn1'. Kn'U ,l71','

La rnaLri *e K css ì rrris f c,rmata rimane c-cmunque

s iri,m]Él ri ca.

3vc,1g*ndl i1 sjsterna sj otlengorr; le ciue sÉ!ur-rrti

É!T1ì:-'i nr'i mii ri ,-'i r ''l ; iì e:,---,r,-,i :r eouxuJ.LLL!

/ ,-:c r tL L.'Lv | lV /\.LI r( y +\ \r = gt-! <", liLt k-\'Y{\Y- rJo./\\J=\_X

ii.:1 r-c ;,:llii-i er-lLlqlla'na Iléif:;lÉ:r S,l. a'Lt:Èilr:

' - LL r tL /'JL t.LV I lV5 y = -g --§ g

call

"tt

ui.rfirrLì':ca, i:: ba-i,ja, 5rf irr:.'ra pcsit-iva = guinJi

inve::tibi iE^l!j sc,'*t-;,vetlc::e ciei cariciij. applicatj

till t tVF. \J- vÉttcl'+ d*j cal'i*rhi ncr§6li f i L+-lz:i dcv'r-:t; aC

ÈvÈntuai.i c*oimenri ci vincolo ( U'*o l.

La saluzici-i= de1 prclblÉnìa risulLa

I j. : f K,.l -' { n. - K.n {),1v -L = J []+ -)Oitenutc, in qu*sLo modo L'i.rrtero cam!,c, cÌi spost.ar-nrnii

si pclssonc) ricavcrre Le reazioni vincclari Gn uorr.

secc,:.r,la equaz i c,r:e ,lei s i -r Lenia.

G' = K"u' * Ku'Q'

+-1

lìrf ,: i L c.ampo degi i spos Larnenli 4rG,2) =

ot-tiene i1 campù del1e deformazior:i €ro,Z) =

canF,c, degli sforzi écx,*) = D €C*,2)

La soluzione della slruttura sara

aplr,rcssii**at a, a meno che 1a discreti zzazLone

la f inezza dell-'e''lemenlc sia lale da poler

schema di caric*.t t Li/ t 1Y

§*11'esempic descrillo si aenulla il termine ,\ U in

quanlcl no!-ì si hanno cedirnenli di vincOlo, e 1a soluzione

de1 aroblerna è: IIL -!

rF -'r.+elr' casc si oti*iene la soluziorre corret'ua, ifiJll 9uEJ LU

q'Janlo i 1 carìpo C*gii s5,a5,i3n:enL j dell-a strullura cos i

ra:jcata ::isuiLa ÉsserÈ iinear-t ( e quj.ndi i1 c3ITrFlLr di

defo::inazione e di sfr:r:c cosiant-e ) e cornplelamenLe

Ces,:r j t lr: daL modell"* di spcst-amento linear* adoLtalo.

.,4 ? i

.'e io sfi:erfrà di carico foss* sLaLo aci andamento

1in=a.r-*, com.e in f igura, Fer ottenere 1a sol-.uzione

co:::. *Lta s i sarebbe clovulo adoltare un modei ir: di

sF,,:'siamerrLc guaLlreticc, ( t-r-iangcljj a sei rr,iCj ), 5:'c't=nc3:i

descrivÈra sposlamelLi parabolici e

conseguent*mente defcrmazioni e si.ctzi lineari

1-Ò(r.q.) l..t"e s i)--e41 ec I-L

i n flÈnErè

adoltaLa e

seguire fo

.\L\l

t- ,.1I K'-II

rl .!

:: 1.;"t.;:.

A simrùerrica, in

i nv*r-i i bl l" e

*-iSC: Si

r' n:lgt_<:4r]Vg.Jg,

oF,Èrazi Cllle

- - ^ i r -'-.-i-J(-}:}r LL V.É qui nCi

lremjt* un pl:ùccssc, Ci

pàrlendc dall-a primarrl

un'unjca in.:.,E11 jLa ( ]) è

'ì a c,-:,rrr,--n+ ir,_\lu!r)ur.

a l - i -r -*^.!i- >lbLi:]l!d

§.itornandc a1 si sLema risolvenL" i;t gÉner!: r,(:)rr si

iliverLe eslrficiLaillerite Ku, fia 5j, ad,:,tLano rriÉLc--,di

cclr,F'riazionaii piu ef.f.i::*nt-i gr:a1e ad Èssmfrlc: QuÉ11-cr

che fatLorizza 1a mai::icÉ dei coefficienli del Éi§tema in

due naLrlci lriangolari.

^ x:B

banda, a*!ini,.a

tsEI

!Ls

sùi'ù"iorre

t1!i,11-i o t =: i,-.tr; .l- ì ni,-:u - 1,4 Éu

l^.r-:)

a-ì-"rl\/ E

!rCifìy jld a,rrr

U.: /. Xct -' -r.Di4 4- L_j

si si:ma dj. Èquazi cni ri scLvjhi 1e

sosLrLuzic'ne diretLa, ossia

equa:i ooe, ne1l"a guale ccmparÉ

tr.i.angolare inferiurr-e ) e via via

,.r*ndendo pcii in ciÌlrsiderazic.ner-l-

t- v -

rt_ %(J

risolve mediarlle uri processL] di sostiluzione

ossia parLendc dall-'uiLima ÈquaZitrrrq i qu<;La

si dice ant:lie scsLituzione ali'irrrljetro ) ,

{:

r:)-i :i.-j]-V.i -'i ,-.rlr,= l

I iìIeL{}1-fl" cÒmputazionali adùLlano ci 5}1itc dei

proced.imÉnli che, Lerrerrdo ccnlc de1 faL+-o cire la niaLricù

Vdi rigidezza Ét è sinumeirica eci in banda, minimi zzana 1o

spazio di m*moria occupato. Lo "skyline" c profi1o de1la

mat-rice uLilizza un vÉLLcre che c*nliene lulli i terrnini

s i gr:i f i cali vi di una semibanda ( per esernpi c guella

superiore ) , ed un aLlr* che rndica colcnna per ccloana

dove fi*iscons tali elernen,r.i ( non nulLi )'

fn questo mod,c si eviLa la mernorlzzazione de1Ia rnaggior

par.|-e dei ter:mini nuLli *d i lermini simmetrici vengonc

ri ccrdati un3 :o''ì a vol la.

Olire che minirnizzare 1o spazic, di mer'.roria cccupato nel

c.,a ì,1'a''Ì at'.)r-È, qr:*sti prc.cedinterrLi coflìi,{}rtar}- anche un

nrir,:..r nunrerc, di opÉrazioni e ccns*guÈnLÉmer'.-È un rninor

Leinp; macchlna,

Esenrpi.o di skyllne o prcf i1o del1a matrice K

46

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x xx xxl i

xxxxxxl ;{ L---x x x xxl i-'--ixxxxrxl i

I r---r

x x xx r<xl :| :-..,x xxxxi :

xxxxxxl I

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r(X)<xxx1a11

x x.xx I i

Xxx I I

x x x xx >(i| !---;xxxxxi

i._

xxxxx!{x x xx E

x)(xxxxxxx x}(

xx.xkx xx

x

2^

e,1

Cc- si inclican,:, i t"*rnrini significativi

"sJr)/li:je'' o prùfil-o delia meir:c€

con:ine derl: semi.r,ania

Vetiore dei Lermini signi.ficalivi

Recioglie Lutti i Ler"mini diversi da zÉrc, ( neil'cs=mpia

i1 \"eLlorÉ ccnliene 724 t-er-nrini ) .

veirore ausiliario

T ;r1r-ri-rlnef f icient.i irrdican* 1a posizione cccuFéLa nel"

vet:Òl:* dei ierrnirri signi f icaLivi dal F't-irrr L*rmine

tJell'i esima colcnna dglLa matl ice: nel-i'esempio i1

vei:crù c;-nti.ene 2i Lermini, di cui ì^ primi 24 in,Jicanc

la l-rsizio;re d'ir:izic del1a corrisprlndent* colc,riÌla, ed i I

lI..:c' quÈl-1c, d-: 'in3 f i'Lt-.i :ia ?5. n'o cLrl':'tr:4, ilr lri.;i,-, d-r

s.É.;'Èi:É rlualìt i ;c'no i ter-nij ni driL'u1t ina t-'lìrl,llD.l v'r-i.ir, 1a

significativi Vettore ausiliario

LIC.

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L- (-

/1 -lc_t'

+Ò

L'irr allro modo per risparmiare merroria potrebbe esserÉ

q.:*11o di adollare un unico vettc,re, conlenenle p€:.r ogni

riga un numero di ter:-nini, a par-lire dal1a diagorrale

principale, che sia pari all'ampiezza de11a semihanda. In

qu=-sto cago se da un lalc si rnemcrizza un maggior numÉro

di termini nu11i, dall'a1tro si ha iL vaneèggic di

*D*rare con un unico velLore,

Neil'esempio riporlaLc,, o*ternina:a ia m=ccìm:

c i nar.ì r,

-R-O

, ^ -^: - - - ^

elementi,É^-i ^ ii

d:fferenza fra i numeri dei vertici di CIgni

e''ì er.rent o, pari a Lre, cons iieranio i'eLemenro 6

si r--alco1ar in ccrrispond*nza deLl"a riga L7, 1

de]1a semihanda che risulta essere ;:ari ad oLtc:

i.r: teLale i 1 vetlor:e con|iene i64 ="Ì em*rr+*i alF.l6

.i :f

CRITERT DI COI{\TEF,GENZA

^ - ^ i -^.

I -:-E: dJJ-LLt.l-L.iI e ad

corr*Lla., ollre che ad i*fiLtire guàlti., irE!:,=ssario 1a

discrei-izzazicne, sempre nei lrmiLi di Llna certa corlve-

nienza compulazionaie, bisognà rispeLt..:-g cerie condizic-

ni sui moCelli Ci spostanrento e sulle lunzioni di forma.

Condizior:e 1: "i1 mod*1ic di sJ.,.:isLamenLo deve poter:

rap!:1'g5enlar= .:'.-ti ii moLo rigrdo( ccrrispond*l',. i ad uno siaLo di

oe f c,rma z i one ::uL 1o ) "

ConCizione 2: *i l- m*Crll-,: d: s.postam*nlo deve Èss.-rÈ inor arì.r rli , -,r,ì-èasni:r= :l:l i Ai =Fr,r--.r - !-'.ts!=;,qllLùtg ;LoLJ Ua ;rU;!.J

-^-!^

Condi zi one ?. "il" irrrl,ì,.L1* di sposlamenLc deve ess*rÈ

Lale ,:ja garanlire 1a continuiia nelL=: -r . f,^ --^ r,aitL'_-i -dLL:E

Irr generale gir:Le csndizioni risuitano Sempre

t;pr-i €i r:].+ qa i r',.,Àal 1 irL r :!,./uca-i.r di spostanirnto e guindi 1e

fun:icni di ferr,ra sono conli&ue assieme a1le lsrc

de:ivate f ino a,Ì un opportuno ordine n ( è u:.r or-din.: di

dE::ivazi,rne ch* :-i"sul, la essere di un,unita inferiorEr-ispet-Lc'r aL1'cr l:ne dell-e derivate che inLervengon. nelLa

descrizione d" Ii,e def ormazioni de1l,'elemento datc, ) -

rJL!

: -ì:";:::l:'Jlii:, : 1'.rflllt r::. _ i' :i I a.' "' :il{.,.:..-,:,,

},IETODO DEGTI ELEHENTI FINI?] .àPPLICÀTO .à SIS?EMI DI ?R.AVI

Y

I

'lX

La scelta del- nunero e della posizione dei nodi,

r-rÉc:sseri per 1 'analisi di una generic,a. sLrullura,

dipende da1la geomelria del"1a s|essa, daI sisLema ,lj

for:e applicale e dalla scel-t-a fatla per gli e']en"renti di

t-rr,;e ( a due o più nodj ).

a due nodi: a1 piu descrivonc, spostari*nLj

ori:zontali lineari, vertic-.a1i r:t-rlrici

ori zzon{:al i quadraLi ci ,

descr- i vorro slrirE, iament j

verticali i*l V cr:dine

È4-'1"

+4A

5i.ori;jderi ii genericc' elernen+-o di Lrave a due nr:dj":

.Da11e considerazicni su1 sclido di De.Saint Venant, S1i

ef fetLi dovuLi a sfc,rz,: assiale t r{A(x) 1 s,t,rr,t, crLc,g,-_,naii

a que11i dtrvuti ad un'azione fiessional-e r /Lf(x) ), y

qlindi risultanc, disaccoppiali.

X

J L i

E)

*. ,a,a=,.":: rra.-

Sforzo assiale:

Fles s i one:

comporta spostameritj.ì raq.q,É rtri=t,lqtaie ?i

comp':rla sp,f, s Lamenti

i'asse verticale Y e

nodal-i ilt, Ae tur§(,

nooaL i §1, lia iungu^o- "a-toLazioni ui, L-t2 .

Fer assicurare la conlinuila degli spostamenli e dell-e

rolazicni nei nodo comurle a due elementi contigui, si

LinponEono 1e relative condizioni a1 modello dt

s p':s lamento.

@F6.t*r)

\9

d. )A

(

(

lìU-lt ve J(^9

r,Q-\t c-t 7 l,31v

Le prime due condizioni cc'mpcriar:o La continuiia. delle

i::n-ir,ni .li ;.rrnra la +èrr,r r;(ì(.,rrlando Cj-:e dW/ll:-iil:::t-rll u- -Ullliq, fo Lur 'Jq, Ll

rarìnì-Éc;rri.a I4 fOia3iu-nÉ: Jr/l-rjn urla generica sez:one,

car$Frsrta la ccnlin'L1iLA Ceiia derivata prima pÉr la

f unziene di f or*ra rÈlaLiva agli -sPOstamenti verti cal i .

Si a$§Llnìe i1 seEuente model lo di spostamento:

I L*c*l : d."t n d-a xI

1! nrr*', ,N-z , 4q x * drs xa + 0C« X3L

v \^/ Ir'\

si crssÈrvi csme i 1 mcde110 a,Soliato per q1i sPOstamenti

v*riicali sia un polinomio di IIf gradc) per poter rneglio

s*Euire 1a siLuazione di carico disLribuita.

Condizioni a1 cqntorno:

^x(o)=,L1a=NtAL(0 = /42 = dt+Xr{ + Z2: u;o*

L-

,tL(x) : .l.La+ 43-4tx :11-}i1 ,,}Lt.+ +,(1e4 \ €J €

53

Di agramrna del 1e

oriezontali:

funzioni di forma per

Csservazione;

usando el ernenti di lrave a lre

iescrive::e sposLarnenti parabol-ici

funzioni di forma più complesse.

,r*tx) = d; + elx +dlxa

Spcstament i verticali :

\TU\: &z+&qx +a-sxt+ Ce x3

4f' (xl = Nq + }o..s < + 34.- xa

{Lr(q: 4fs= d-5i

\q,f ( 1) = Ve = ds + Nq.{, * q.s (2 + ds {3{-i!nI {'(a) = 1X : NqI

[tr'(e] = lr% = d.* * Tuse * 3q.e 4'

nodi si poLrebbero

e si avrebberc anche

gli spos tarnenl i

l,Iz

4

{I

I

ùLq

4

ri_1 rt

-- - -.'--É-=t-:FEtF

t\Ic"

"o-Ua

$"t i xs €' * dd-{.3 :2x, e -* 3xe i' = Ùn

n a1 a nDÙ2-É4-Sdet-

-2

,u2

(u,I)Xcl^-i '\14l.LVr

taq\

itn1

iw5!i| ^,I q-qi

I

\w(\-I

I

lII ^,ifi-(

lNsl

1I ^,I 'rLtr.

+

J-

1:-(x) = 1l't_

t ft-

I J-_,IL

* &, L + @z-'9,) {. - z a4 {3 = nrza

2 (qrr-na +9t*t9 t) - z(tt't-rv2\+(:-'at+'wa)€

er l' :, -l 0iù"*#, - 6(4r"-.n)/E -Z !§**va")

= va-,

= _lz(qr+.-,rù + a$t*r\1L4 )

a{nr ,-\ 'C ,,o= ÉluL-'u2J , v1+t/2-t.

{3 v

4o

-,2ti_ +<2-

+ E^x - ,i["i-* + 2it. "ì] ^'* ir,?-r'jl * r'ii]lj x' =

,f l,\rl

*f ( ,f _ #J#,

.[,t: ,f,j,rr .,

[_ i _ ÉJ€

T'+-rd 4h *0L%-LB !4

?-àa;.f orma U ,9o -cCrI)(:) adj"n,*n5i1116.ii,

ciim*nsic'rialmerrte d*11-g f'i1qhe.zz*.

'",ifx) = È, *n " 9, §"N"B, Le funzicrri di

,^.rmÉnt.rÈqL), Q s..ncL2 'Lti

de11e funzioni di f orma pÉr g1,r spr.,5 tamerrL jDi àgramma

vel-t- i ca 1i

Se 4.r,+d nl1't

_-> trc*t = 6l,

nn-r- vt. -,4-y

S€ rlt+Q , ola=:S.0=rh=é

a:È' (J-(x) = frnZ t qr'{é)=qt'((,)=é

^n3Z 'Ùe ;(p , Mt = Al2

:f> r,;51) = d-G:!^

- -C -r/,-'./2-Y

.L qf(q=tk,w'(():#

r€- Ue79 (V7='I

q7 \r?l: 6.-c.' i'1

Vt

é1,l-T- Iq,

I*,J

f t-z d d ->(. Él(.'re1+lo6À/^6l.*Y Yz Yt Y Yg

,lri1e fuiizi,:r,i ùi fc:-rra:r:3Lri,-n

56

Stat,:, d-i def '::-ma: i':n*

?er ipolesi s.L trascut-jrrc, S1i ef f,=L+*:'J1:''.t,'-j ;i ia';ì : ;.

l'lù =è-r1;,-hg'

:r-77t_Y t_- t-_x

.'- A.-'rn C-x deformazicni assiali€"! = d't',r- = 'L{z''lJt

dN 4r?:i ax defc:-ii,ar.1,r,r'ij. fiessicriar-i

F r _ d p1* L) d2_- E=E?- c,.1

^r'(xr = dz,,r :f-É. * u*lu, * Il + -*1& nl4. - g+lnL *l- + -4112d,.. L e' lr) L t ('J L.{' 4'J L ( l'-!

l:. frlrl]ié mat-ri:ia]e€

,ri:r Bzt4d) = f -lLe

rììàtri;e dell-e der'ivaie deile fu:-tzit'rri di fc,::ma

e qui,ndr

Bs (x,*, = i-- 1 -,,(-É. + t:t I -o (-! * éÉ-) I -,t/É -/z^l -4/-A*s*\1Ès-' v L- { d\T''-drJ -d{ e

. 7/ 7 -ltT Tl 6( T *)l

-r-$' -q6" I -%én -r){"1"'i7i"A Jl. q-Ie 4 v J3 t*., j

ql f 1.-

: i rrrl + 11r1g L gr 4 ,

5U

e malri ciale ri solvente 1a

nd'r i L PLV:

orda 1 t

ot L enu la

5U'Q

eguaz I on

^ -- a i ^ -

UI:)

rlxrc,n 1( maLri,le,ii rigii*zze o-e11a -sLt'utLnrs

trr'l

K.

e §-*

tr, Z-el4It_IElc-:-)

/A)w

r)-/,€L

K Key'7 n79e §c E, éu

oTn DD. L)e L) €

matri ce di ri gi dezza '.1e11 'elemento ri f eri la

sisrema di assi 91rbal-i

met::ice di rigidezza del1'ei emento rif eri+-a

sis|ema di assi ]"oca1i.

CC-

) É - _i-\ ,-\ _c:1 :re n:fjùaS(; (l<=59Cxr Ci.JÈ i=ft=Eg )Le:u;! r'ui:

Young Cell-'elenren+*c e- es imo.

*u

Àtfl R.. c"l- -taq{ e:l I

LJ V,

ìi. B.

Tn arr»<i^r ia Y q

mc.,dulo di.

dl

Cc,sLru_zione delia rna+Lrice Ai ri,f idezza de-1 1'el-eni*nlr,:

fAu =l3JD",-ryn

Lj€

Ft ?I r f -.' ^ r , \dv = E"l ( l-EJE. J.A)à"o'd dA

&-

r.4

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o

t

trL rA4Yra'(

)2111ùeLÀ7

Y

/-T9_g,r

,11

/. trTt)z

dY

o)Lr r'l_ P.E,.L

lL.1,Y

1lt- I

n1

A-l/ t\ Ivl,l/-t I_hE,t

I2. I

,"rr I*.-, I

I

n<lYIi

-ÉEf i

12iI

/_ -

I I

cl'Ll

-J

ro.-:3

a- t fvy)-\)^rrr\

i,:,: rru;jr:ne de1 ve'Ltu'r:': §g! car iclii" *'Jrriva.lÈnti noC*r1i :,

r*

/,

Qe :' ) &" t*"/ --.:-El*

-V/-+F 4-

4.t \i1Iàl

^t.qtv!' I

II

-t^r' ì't.C- It/ I"zl

6i/lI

L.j- I I

('ln -- |

-l(tci,lI

rnf I_o-+ Ip2 I

4b I I5-l-A

L^ ^

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I

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I

é f lf "\ f =r.n '.l r''

G : f ,Ld,- Rr (jrerp" à ,u "J*É" b rr*j,,f, i.r#J . fcorrcenLr-ati app!" jcar ivetlcre dei cari clri

n

le

,\A A

't lr

n.

.1-L2

n,F-wL

'rqu2

3tr*]-.

,dY

6rTpz

4Pt11

1-,{ /-t- D.1t \A

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é-M, ^1

^ / Ltp bli

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t-1)t- I€.i3L

rt-I

ì

i

L

L(Llna vcl-La ass=rri-'ld'-= 1a ntdi:rii'È oi :--igiie::a r\ e

,;-:*).ìe dri cari;nl equival-entj ric,d.:l-i !8, 1a -'LI'uttura

si risalve svolg*ndo I 'equaz j-c,n* maLl i;:ale:

K U:G

i'9

ELEIfiNTI TRIÀNGOLARI

La determinazione delle

facilitaLa da11'adozione

- L a i -.. -

Coordinate lriangolari

ESEMPI ED ÀPPLICAZIONI

funzion! approssirnanti risulta

di un eistema c1i cocrdinate

.:: ..,:t;,, .;::::,;;i: ,r:

,.,, ]., .:,:-,,.-,..1

-, ; "t:

* : ; : :l i.:;t.:.::: :,...

o ns.turali )(

+,2

T,/1

4 {t,a)

Fissato i1 verso degli assi cbliqui to e Y, i nodi sono

numerali in serrso concorde alla rolazione che pÒrla X su

Y eC il lato oppcsto al nodo i'viene chiamalo l-aio i.

L* ccord i na Le obl i que ra.ppres entanc, una f x'azf L.,ne de I 1a

lul:gl-rezza del laLo e vanr)ù Ca zero aC Llrtc,. trer

ìéoerrrll zLone r è ia distarrza relaiiva dal lato i rnisurata(L

" P(x,1 1tL't

60

tl.:;i:li::i:-:l

ria i

i-r2:.a1l-emenLe a,i- 1at,: 2,

r-l,- IIL T4tirI {.ztl(éIr = \,{ \, e*L

ì.]e1 riuovc, sisiema di riferimenlo 1e ccordinate

vertici hannc i seguenti valori:(.t = (.t n\I* - | *,u)I c = {n.r)J - \ -' * /II < : /r't O)L V \ V,'

lr t) t -!1

(A=ll ,\Lr = I --r- =!i ì , Coordinate deL baricer:Lroi5'31di

di

di

Il passo successivo, r*11a definiziorr+ del sislema

:;:rdilrat-e c,i:,1:qu*, à 1a d*L*rnrinaziorr* Cella -regg<

ii.=i--;iirì,=21.-,n= che cù:isÉnta di Fe-rsare lal sistems

ccordj-nate glcbale a que11o l-ocaLe e viceversa.

,k3 +,<c1 d. A4/r1F X-: + Yt-xt Y + yz-x3 f1-rt tL ltt t2

X* + (x r -xi) y * (x, -"r) L

(

l\2

ÉI -i-.tL

F(-lr I,-I

lI

I

=

E-tftt

vlt

{

\!

f ormula di Lrasf ,f.l-irto:i.oi:,r' Ci v:.anÉ;

In,-xr Xa-X3l i7*iLn.-0. ?.-r.J Iy.lad, d3

+ ,lf.,r.d" r*t 3-t 't,.uu(^ + dr.-da03

-;---(. 1t

tt ! (q -u \7r L d1 cilr

L-l Ud-L- dll_T;r\/1..{ -q IL d-a d3/

ll - lttA à :1-U U5

p'll

In f orrra comp* t r-a

( x I f xE I{ i= 1 I

[r\ tgr\

f:1

ì ..a3

',: ' ]]

' t- <.-xslsia: / | t<t-xz xz'x3 |(- - I I

L zr- u= ?, - Y.l(xJ [*,) , ,A(?.)tt]1 ) ., I + C I '' tL2J {,ar) if.i

da cui si ricava 1a forrnula Ci Lrasp:rsizione lnv:rsa(v I (x) {xr)J ì. I - 7t-!. ) ^ ( .4-d I -

1l;'I : e ) ,, i - a 1 . I( fe t ( q) ( Zi)É' necÉssario invertirs 1a malrice ( e fn'''

àeL I C I = (xe-xt)(g.-g.) - (n,-r.l(?r-%o) + o

E'sempre verificatc =+ q è inverLibile

In gene::ale i'inver-sa di una m'rlria* A si puo scrivere

rir.l sÉEuÈrlLÈ m;do:

^ i ,et! .a-tz I n-o r I Ao" A*/1

- | i a '! IaL I *r, .c-zzl '- d'tm lA* A..

ì.j,8. §i fl,t,Li 1,*-, 5rlambjc,,li indici.

i1 Lerri.rirr* A:j a iI cofaLior* o complemenlo algebrlco

deI1'elemenLa .A.;j che ne1 caso i:-r oggetLo di matrice 2*2

è Ci foc:. 1e o-et*rminazione.

Àd es *rnpi c A r, è i 1 ccf allore de11 ' *l-eiirent c' frtt ed è

.Acaro *a. 2.21--È0, cic,è dai minore c,ilenuto daila matria* A

canceliandc 1a seconda ri ga e ia prima coLonn,a, culft -cegrl'

neqalivo in quant-c Ia sofiurìa degli indici è clispari.

ÀnalogamelLe ,A<c=Azz, questa vc,.l-la L-cn sÉgrlo posilivi, in

,;-ranLU 1a s,lìmJrrà d=gli.irl'lici È F'ari.

Iii eu'=:: t-i +-*rnrirtj

s:gi-ienLe forma:

f irrr,,5,.!::a d*11a malrice C assuflì.

62

,-.-,.,: . i.--: i*:,::l:, i--::::-:

,-l-t ,i l?"-Hr -{*t-")[[- -J'

-

I I

(xr-xr) (X; Xrj -Cx.-xs)(\r-Xr) l- (Zr-X) xt-x= t

3i puÒ dinoslrare clie il lermirr*

àéL ICt: (xr-xa)(?.-Hr) - (x,-xJ('àr-?r)

pari a due voll* 1'area A de1 triangclo Ci rrr--:'li 1,2,3'

La f C,r-mu1a d j- traS fc,ImaziOne irtverSa AssUlItÉ 1a f orina;

( < ) r.,l z ':

| )-1 t --t-i. i*1 n-r)*'It- c''i t-q ) I(Y^) r t2) rgiJ"1 I

J .1 it=-%= -(x,-ùl{*1- ,lu'-xs -{xz-xs)l{-'lZÀ l-r,r.-'à.,\ xt-xzl l" z)-el-,%';r) xo-^./l?.J

_ u^

Fer sem;_,lificare uiteriorr*enLe Lale esiiression*

Ì-rvi Éne PoÌ:::e;

u! x)_.<-1.^ o* d

b; : u u^n1 d,..2A: _ xt?L-xÈAi

r- cui l'area del" rrieng:,1oA È pa:i a !(br^^ -§o')É

( i, j,Il ) è urra F,er-nrutazicrne pari di ( 1,:,3 i ;ic'è. 1- -, ')I=_:.:-!h-J

j=:j=3k=!

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x=7, - xe t*r.

42A

63

y'-t-r------L-/

' l',]

L'es1:r

c-r

- a ^ sì

I Z-Aa Ii -(I z,a? 1_.J

-rl2A

i.nter:p,::ÉLalÈ cc;ne

essione dj C-n ["'i=.I. -''ttnpli f i,:3 ancorarLas)

f"rì :f l 1,-V3 -(*,-*)l t*r(I v=l t nl -rur-?u) Xr-Xa I C ?: )t";I 4 f Q,-*j) x: - (x'-xr) 3: I; ,À

I I

| *' ' ( -( 'J, - 5, ) *: + (xl--;'a) X: J

t,,' ,t [*'?"->{t--=?r*l'{, ?'jj -/,. I

| 24 (-,rX. * >4;- xtXz -Zr{, )

I

I fxjg, -xag, ) (-2A;7: '1 l*,,' -".;: f - 4 ì ^izA ( *t1,-xr?r ) 2A (- zl; .

(*) n-o(*')1\qf?L? I t?El

f "( + I'^;i )t r I ( 2A; ) /n

-:.É,-. .

.^F,*

,-< -3.

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Ic> e -*i_

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r.ie;C!lL.i€

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I tL Ila \

À

Le cccrrdinaie na"'uraii" ;:,':;Eùno

c,rcrdlr:al* di è1.-Èr: ne-r -'É?u=i]Le

rJ{

\4

1.11_ . ec.a ( l, z, 3)lRrA ( z,z,P)

^(étt \'f1L ( t \é

/J

c D )tf\ {2t.L

Z t#|@ At At! 1a{-@ D- K

ft\a §o A:94r)l+ tzt

-----r--->'--1/'/

ana I ogamÉrlle

9 : AQsa (t=.Pt(z- AR€A ( 1.2, 3)

Z'opportunÒ inrrodurrÉ urra terza cocrciinata di areà Yf3

F:li ccinvolgere in guÉsLo mooo an:he i1 +,riangolo L, Z,?

IisI: anCÈ,r3 'JùnS i d*:. a t-o.?t,-e\4\S

ls )7 t2

Ci m,

§=A,. + A.z +As/\ÀÀ^z=rj= t\- /-xt- F2

4.,4-A",A,r\oA -f-È: t- i.-i=

-Àu2!',)lt=.11C1 Cr lì3 = ? -. r ha Ia te51 ,

,t t3

'r +1-i ----iri 1 1 ? rpqi: .-O Un Sistgma Oi-nl LflarigO-ru -1 , -, r re:,Ld COSr a55OC1at

coord.r-raLe nat"'-^'' € t< tr-u!drt {a' Iz' ?3'

3 (0,0,1)

1(1,0,0)G(7/3,Li3,7i3)

2 ( 0., 1, 0 )

l,lediant.e 1e coordinaLe natur-a1i si F,uÒ sLudiar* i i

ncdeLlo di spostam*rrt-o nel caso rji disrret-i:t?.è.zic-rne aj

elemÉrrLi Lriangolar i .

i,q

\f o,r o. I \t Z-)41 ,l Ii-/ìJ a^o t I

I étt'z ) ltttlz,\" )l/n Lutte e tre le

e naturali anche

I -!1-,4 ^f

nòrt^5Éf 1u4}JL

.rrr i n.l i r' n| a=;

mo Lriangolin:

erea t,r'.ale.

lavora c0

cosrdinat

scnc fra

cno essere

-aL!^-!e-L-l- I - e.s-L

a ^r ^ ^ ì ,IdLU E A

l"?/ lflu!\d)

(r.) llb, ,c I

\ )r t t I 'n /l*i_ i_l is. .a.iJlrl-r^ il ' 'rz I{el 'n \li-- ,,-it 5s I \ I u3 '<-rr I

AJ = A- At"- Ai si

b== - bo-bz 1r

P-A= -.Q-a- .2 3È

t ^ -^^---a:-.- L- --1..--- a:Le COC,fClIllatÉ naLUl:az: I pO-sS

co$e r-apporlo f ra L 'area d

irdi.vi dualo da P e da 11" ' i -es inr,r

^Lé ./ \)

?.' A

El-emento triangolare a deformazi*:ne ccslante

nf \. I I \. | 'rrl (i, {L/

6Ò

x,r-

_--_l-

.i -. :::,',ll

Glj elementi finiti trlarrgoiari a deforr*azicrr* cestanLe

scn(f defj.niti da lina sviii-ip;-,c, 1in,:are Celia funzion.: c1 i

----l-..^---l--

Flodeljq di sposLament* linearer.. / | *- ? L \é

I tt (2

I n- -

A./ , t/-€ ,Ne Y( 'U ^q f (,LS ll T (

12

Per scrivere 1'espressione del mo'Je11o di spostamento

jn funzione degli spc'sLamenti nodali 5i impcr:gono 1e

co:-rdizioni ai n,:di:

nodo l-

( u (1,o,o'1 : ,1,4.t- = d1 *d2l( ,ct (t,o,o) - tr* : Nc+Ns

= llz = di+dl:1.>

/: W2 : d4 +,/.6

= ,4ll : Cl

=&a:da

d a * .r,Lj

a/. - 1).-/A,I

d3 = j.,t,z-lt,

^/t-q = ,U3

a\/ ^T45 : ivL -/U3

cy'6 - rt-(I

./*r

U+

L,

ÀL,

nr,U}

<i .,tlipne riÉr i1 mode1lù di sp{Sslamento J-'espressione:

(t* - 4t + (tte-t+t) Yo * ( u.-r.,i*) F,? ^- - àYLu = ,ua+ (ara*q;) A +(n;.-"àY,

_h; ricord-n,1,-, r-1.,r, 9 - I _? _'( <i senrplifica nell"a-irc, !ruv!uarrur, erru fz-

* 1* 12, "-

i , (att,o)- r,.{,r I {fr!!u - |

L ry 6c, t,c)a{ ,u (c,o,7)

l,,",r-i,, { I- { nt (o,c,7)

- - -. - -

* I - -'> cg ugrl L r;

/ ,. r ta L, ,g \ V| -e I ? 7r,lll leI 't'' t

ln:(s g ? \- €\ - )1, la, ìl) lr1;r forma mat:'iciale

n tùw

il:^

(.€

13

\éèr3

! *l _l?, o {,0 r, o/

I u )-/ o yo o \,. cY,lf *t\u,\,,7.)= I1(r(?. \.,f.)= 6J

.è47 + fru, t

4T,i *9 tr, +* )2

,t/-3

ru}

67

'":'''

!

?

sLa forma PertneitÉ di

eL g*neri c': PUrrt- c,

rdinaLe naturali.

ore dellÉ funzic:ni di

sFloEiamenlo adottaic

.'izzàzionÉ a Lre rrr::di

a::i.

., / 4rtll(tl, ,lr4:{ n" !( " -)'"[) ( '',)

§iroslam*n+-o in gu*

S§r(;5 tam*rrli d

funzi.on* deLle coo

rappresenta i1 vell

base ai modeLlo di

guenza delia djscre

suiLanc essere line

x,Y"In

I L rr+del

,-,-.r./"c.-;ré

drl i 'eLernen

i ]- \,Èttol-

f o::ma chv,

{ diret-la

^ E t - L !.r n f. -

<ol'3,l

- i * -- - ^ ^ J -r, Fli L)Lgu':

a 1 I 'inlerno

i (:r f nià

.LL1

/Lz

Mt

r. ni

nl i:J4*

.r in

l<-llt

--l-'lh\yI

o t4LL:

t

È

))3

r.{t{{

i

I.{rt t[,

,ìi

r:-l

di spostam*trtt'

d*f c,rmazi cne

di:::ivaLÈ dell-e f unzi c,rr.i

( i, n gue.; Lc, casÒ uni cc),

Una vol La def ini Lo i 1 mcd*l-lc

a.il'anaLisi Cel cami,i di

dei i' elernenLo L:.:i a;-:goiar-e.

'i*T oer1n.1 :.]onÈ:

€ e :-Be a.f-t-6e- ! nr3lri ce iel" 1e

i*11 t e'l errÉn tÒ e -cs l IIri,

r) f.

(

t

€* = ai*Jx =6J,X

)lO^

I nf ''\ ) fI - ca 1'^1^

L,e L, t=l (L^ - 42A

-Q,,1 A, -4s

3E; b;, tLi

1-=A_Z

Fu g^

lL*

cocrCineLe natu::a1i,

seguente forma;

risul"Lano

da un unjco elem:nio, e

equivalenti nodali.

l*, a-, o, l9^ *?,/ s / ^.,.,*o;ar..)_l_ -/ . I jJ, ,r,L /\./

5u = ?-!rd Dqa

I .-4 ,. .i 1lì .,1+q-/ v - --r--L-x -

1Aa

t* L=l u^ =

= & + ?re : Cb,,3u )x Ltd

+-1/)À

verrore I fr, Y.,?rlvì cr,ei.la rr ( Ara;pELLU , r

3r? ) e

lras f orn:azi on* delle

Lanli ed assuriìono La

fnfaltj. avenCo ind-i.caiu con g

1e sue derivate rispet-Lo x , {-guinCi 4., ricordando 1e r"rìufe

€9t r.* i s,*

I!tl\j/L^I 2 t,x

t_t-,tt

I L, Lu t=i

Ta:/ : lv ? ?.1:4 !a, az o,lg t ì a,2 ?z,t I z,2l Zl.

i1

/e

.ti

bJ

lir srguÉ ci:e, una voLt-a fissal: gli spcsiairr€r'iLi nc'dalir

i1 cerirpcr di def o::maziorre e di consÉguenza guello di

sfc::;i r.i.suiLa esserÉ ;osÈanre.

Risolvere i 1 probl*nra signi f ica cclncscere gli

spos+-ament i ,& e 4f di ogni pun'Lù de11'eleinento, per

quesLo si devon.o deierminare q1i sposLarirenti noCaii

svol"gendo 1'eguazione matriciale §-.q" =§e con kc. matrice

di -J.gidezzc deLla st-rut-Lur-c, in tlur-stc, cdso cc:sLiLui La

69

e vett.ore dei caricl'ii

icato ccÌn 8" 1o spessore, ccstanie,

(je Aei carichi eguivaJ.enli nodali è funzione

;, volume e di. superficie app}icate e da

ormazioni lermiche.

ri i1 caso di element-o soggeLLc unicamenle

'')

( ? : acceieraz.i cne ii gravi rar-3) q : densiLadell'elemeniov)

tÉI

--- I

-I 6'L. JV = R,, I 6 'a"JAI is --- I _Le -Jt, .l AYg raQ

rEJD"*dv: A" I eJ»"E"dA'/A'

?

K" =ltlVe

avendo ind

del L ' elernento

Ii vettore,{aì ìa FnrrauLJt! !v! !u

eveniuali def

Si conside

a1la forza pe

(rxrii-\^ 14l

Ii -ar)

r .-\

I

i-rO at ?

) Q IL

o-"q9t cl \z

-Q aQ\ .t <-, " 15

lé\/)

NQ )liL(\J

1^\b\\z

lP llt-

lirìbtL-/ati

^l I I n

(ou L+ a-) t

--i- .7-

r1|,J\) C)e :

ila,l \

Cocr::dina te nat-ural-i su un 'areafI r* Ybg')A_ n!L! c. I ,A

). lt )J 1l ql' - (-*- L---rt"l,4 *'t:

Co,:::oinate nalurefi su una l"inea

fI Y;1: Àe,{

It

It§: ricordano ora alcune formule di inlegrazione ulili.

4 (/.,2,///

,]U

5i vogLianc,

;: :rrrr, i r,u - -rll-,*.- .

I_tkl (-ee) ?- I ) u tt

r€", l(- rz) -\,

,

appi i care ques Le forrrui* ai F,[É 3'È Ii .- r

ÀA

àA IAd*1 -??4"A, r 8 ! r, 2A:iI

I

I

? 14.- : ?39" A3€

o

,l

IoI

zo(L) Plu=éì3

fG.: RelÒ-L.JA: -?n Ni"I -Le ) U zJ

I

I

{a-,- -l--.- -r^ - -^.-rl.^ ---r..-1,"-:'=l rj: É-l=llit:jlLr-' tur j:jEr -L: s5L-LU5 j VéjliEJlLr=

Di:.cr, Le f cre* ncdaii sor:'*, sLrl o verlicali e

gel-1a f,-,r'za L)Ésc iiialt.

,r5g!

5l pI crpl- 1Ò

ad L/3

1i

-;s1 consl_oÈrr. lnr1ne 1l casc ol"

carico uni f or:rnemente di slribui lo

l L 1ato 7.

e1èmehLÒ soggetto à

un Lato, àd esempio

o\

un

su

Si ri. cercanc i cari chri ecJuivalenti nodal- i G. .: r'{n,9-'k lad(

5L .La

:,1rn èi f a,- E-:5

trora 5u

a cariclt

-)fx-1Lo

[t-l -C"J-

o

Ytzo(?)t3

l)

I

II

()

v^T, \J

o1,(,1t)la

/) Ivl

?^),uflr-u)

l3

in quanLo è 1 'r:ni cc ad es s ere

-llo

ITODo=i_, L_:

'ì

l\, Il=I\-/ j

a

<)

-h> ?,lL

O

l,tall" ir

tì

c?(1

(ÒI(5

3 {a,o,a

(4,o,a )

i2

o

s: .ptctede inlegrando .sr.ll- IaLc,

ti<< IJ €e

1tx

G,e = R€ t^{ed( =

.dg : Re f- ,"1.! . , !. ={,t -,t\ I\+ ' J / -'

@

12

4-, Q 0,

lrrI tl)lLe

d01, ,'

LJ

'?*gELzO

1",*-8]-L-\

U

i1 casc, di caricc varial:i1e

&* l,oL--T-

&=l ^" Yrl

rìtv)

Si con'sideri,

l--i.nearrrente su1

.pe:- ul iinr:',

1at-c,.

\,riI

I

L

?l3

/ to\.| 1""ì"11ll*(oJ

OOr1nv\,

G?v)o

C? tzla7(J?3

.3

{ r^Y,l =l^l(L/J

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Cb1.2

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r-Z t^l4Y=<2

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TL-ùl

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1^t,

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Il

j

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tloi a/^/ /1

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t^

I

I 4,Ì4/-t"l.rI (.'l i

af)*er

Hulta

L2 ai1*T

,.+.,\J-J

J(

ì/3

C

: {* 8"ta_

tr ),

| 'x

Elenrenlo triangoi,are a deforrnazione lineare

Fer ottenere risultaLi piu accurat i adoLtando una

discretizzazione a deformazicne costanie, è necessario

infiLLire 1a riraglia, anche se non sempre questo

prc,cedimenio puo risullare conv*nienee. t{odel1i di

silos.amenlo d'ordine supericre garantiscono risulLati più

accurali, anche se computazj.onalmente in genere più

onercsj.. E' cpporturio vaiutare caso per caso, mediarrle

stuii compara".ivi, i1 modello che garanLisca i risult-aii

piir accurali con una spescl ccnput"azicnaie acceilabile,

F*: olLener* urro siato di defarniaz.i.one, e quindi di

sf c.:-:;, lilreare è nec*ssario adot"lare un modeLlo Ci

- a:i:.ìr=*irn s arrinÀi iiSCfeliZZaZiLrne:, l-,L: -driir=.l:L-.J qrrarr-LJLU É gU.I:ILl .l U.Lld,

de]l-'e'ì en*nlc a sei noCi ( prÉs: nei verLici e ne11a

mÉi:ir:a oei 1a".i ).

to,o,<)

(Q,4,a )

[*'lMa

\"\'lVzI

lutl/ ,u1

]u,Ilvl*I'I +r,IL,I lÉt

\ \fc

u

L4,A,o)

75

"..1..:'..":l'

:.:::::::'..:t:. :l : : :

i.,!,rde11o rl i srìr1q l16anf 67

.1i:t,,ì

Iu1,,

:rL

eood

L7_

T.Ta co-r3 Jq

'l-oa o

01

QJ

TcQ o-.Ls

6odlq j5

6c*2Toa

-1:ri-Y+g

o

*{1

'wa

:

:

!*e

T-rAAq) -.. . .O f unzicni ai-A

t -L6'rA rappresenla il caapoJ{

€nrm>

do sF,ostamenti ger .UL-i e

,L6

llz =.,.. = .tla = O

l,lo = 4

Si vuoi-e ccsLruire

quadraL j ca f urrzi one

4\ ^

V a A.?v-A/+v!i-d a1 1!.

C':ndi z i c,ni ai nqsl i

nodo L

-^/ii r < 3ilvul L t r,

noCi 4, 6

7O , adottandc pÉr esso una ì-egge

r: loìl

con A e B costant.i incogniLe

l^v-a,-l)l

I -C\t(a ,l/ - É'lt- .

Q.o = À +E :lr^\j) -ui41l-U). = À=* 15 -Oa2-

La seconda condiz i c,n* viene s*ìTtI:,sE sc,ddisfatta,

alLre c,rfilÌfirrrtono un si sLemà l-i,neale nef le inu-ogni te .4,

ac

F.

( A+B= IJ ^ G^ ^L Af Z6= U

i **B-- I1

I ,^ 6^l/-\,r-15

C-o

)+

16

(2?^- i.)

, ' -.: ,'.'|.':

-a.A /,ttr*--L 5

5:ato di deforrnazicne

,9- :

t"x

€qd

F.a

9 =FI t 12

A= 4

delerminano 1e

lr i ang c,'t o.

Àllc stesso inodo si,J=i rrodi-verli.ci de1

'ZtéA = 2? !v . 4 /J-a * 5; t,i

f uhzi oni d'i fornra

)o4 - 1tt

AU bIL',tz

x,Y;

(é r^ .{)

Fer 6, si cùnsideri I'espressione&1,Tw_

la>-l4

C*ndizioni

1

n nrl ia1

..^l- I!ìL;ULl *

a rrr i r,rl i nor- Ysf rrur yvr

4tLre

rhJ6

A,I4

/(e(a' ) I )a*.1

=lè

ic

q4taz>/2 > B

!-)g

-+,<-(étU- = Q I I-r-6 1A (3

a 11).'t

e \ilLrL 'tl." € V'"

b?x

o**. + à?r*- èx

§tr3&V

À\u-t- 4

tr

L-<

,1 7

.i:-

rsi nei caJ.co1i, ia

naLe rlaLurel"i:

1 ( L Itt ttttllxttt Itt tJ r 3)

E' utile ricordare, prina

fcrmula di lrasfcrinazione d

( f, I t- )Ano

l*-t- /- innI ,, { : ZA I .n,"( f. I L 2A,o

di inoJtra

e11e coorditbL Att

&a 'Qg

b, -c.''3

,L)x

a'u3"/t

trU {(r

É

I

I

=t

=l

t

II

I

t

lI

\:i

I

I

iI

:I

lj

II

I

I

1)

si è ot.lenulo un campo di deformazicrri lineari.

i.i co:-dand..r che:)

VÉ n-uz Cl=-e

anche

r-l

s f.arzo1o slato di

f\b

tA,dA

. Lu È" € fn3'7

lineare, come si voleva.

MaLrice di riqidezza:.

K" = n. f^BJD,

Essa si determina ,

linear*, con opporLune

caso tale operazione è

lralasciano i cal-coli.

ireiL':r* dei carichi

{ cas,: di carico uni

come gia visic nel cas,t di model 1o

formule di inLegrazione. fn guesto

più complessa, e per guesLo sÉ nÉ

è,-i:ìiVA''! rrt i n6rdali:-::_::-fornre, lineare, agenle sul lato 1)

a\De

P" L(,

( uJ

È = I f" frllol

\XEnl^el

L.r

rTtP l/7 tLc §."- n {rk o'o

/*(

l9

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^v lr,Lz l--

o

n

Yr(zT,'t-)n

f'1t7,'t)0

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LYV' lz ì3

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0

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n

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L?,?'1z {s

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TL(2TL- r) o Io T,(r1._rì

l,{t1r- t) a Io lrCz1,- ll

YrQTr-t1 c l.o t,(ty,-t) I lo'A)

4\o?, o ll o i=o 4Y.?^ i' l

I4tT, o I

^ 4?g It: '125t I4Y,Y, o i

- o Q1oY, -l

nodo

rlKe

Jo.

l\n t (' ,!{z+a) 1

-RE

: Re fixA6

h*tt* --{-)' \lz'z 6//

^Q)lx

Y,7, t'7,

nodo

ln.*-r.) dt : I r"n-

Jeo '(É C- tz \ t/l-11. l-cr-

It 2l#

L{*z* l\!

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A" lt* lo izt

I l,f I )p(t+ t * t1l

Da- t1e f..x {e.

ÒU

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-1.

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ncdii 5

ItltL

4Ref, Y2?t2 l3 = 4k px lt 9t,,ll

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§.rI _*_tt,

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6

IJ

\-)

{)

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L)

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^ (z)q-l)(

4'*LL6

+*l.L

o4

ir, i:.guia ,e j'l I ustraf c' i. 1 ca,,.' ,-li ,-:ot"ir:c"r urj'i f c,rrite'{1,,-rnt,=

ilslribuitu su !4.

909 ..1 ux r!\_I

**+tC6

*

- -.. -- :'.- - I - -

ELEHENTI RETTANGOL.LR]

Elenrento rett a.ngola.re a guatlro nedi

".r4

(-4,4) 4

qaz

4l-<,-t) L(< -a1

4

AA-1

fir1

LLy

1J-2

,Lt1

^-

4,14

-v.1

I

Ii-

; t

I

{J

I

tlt

<.i <ierr,a ha à+)=E n'-a,ii cii l-ibeffa.

convÉniente ulilizzare u!1 -qislema di ccordinaLe

ij adimensicnali -d*f j niLe I-rÉL EeguÈnLe modo:

?= *-X+(-,-e

in modo chÈ Ie coordinale del qenerico/4 -

19 -LA-..'G{ S purrrcr P (y,qì siano comprese fra -1 e 1\'I

Mr:'it-i1cl di srrosl,amenl.p quaqra.li c§

{*(f,t = da+oieT ' or7 +c{rI

{ ,u (T,I) = ds .d'.7 + ut T

* o,^ovÈ A=

T7

T,(.

(T,?)4.L= A d.Z

d- = A-'|{

t+I

Ic'--t,

ò -l

A

Oeservazione:

per ccmplelare i1 modello è necessario

ricorrere ad un termine di secondo grado,

e scegiienC,: xy si ot.trene la slessa

r-isposia secondo g1i assi x ed y.

1e condi zi oni

forma

ai nodi 51 oLlengono

L

xu(.)

11x' x(,À- u-oil

fmpcnendo

funzicni di

fu)ir:Itr]

1e

Jafit* \+,IIY

(Y,7) \L

u = 6rue +6rt*y *, -§ru,

.o', u §o,W

q.

TÒnd qr,+

jt

ts/):t.À-/ *t.f :3- &4

N-

I - z-^ Y'.7- L-.

{*l)^,("

(? m{

(Y,n*, L

/{ t'

nr' T={]!4J7-

Osser-vazione:

guando A nonè inverLibiie,

fuuzioni di forma direlt"anrÈn.'É.

bisoqna costruirsi 1e

ii modello di sposLamento deve so,ldisfare alle seguenli

condizioni di convergenza:

1)

Per À*-t

) il campc degli spostamenti deve essere ccntinuo fra

elementi adiau-enLi e guindi l"a funzione di

spcslamenLo deve essere un petlinomio di grado pari

a1 numero dei n,:di presenti su1 laLo meno lJour, cioe

deve essere univocamÉÌlte det.ermifràLr,l dalle

condi zioni relaLive a qusl laLo.

-r

9 (Y,,\,)=!§, r ?; ,?a) = #

Ò+

.rli.

Lato con duÉ nc,di:

funzioni di fornia lineare.

Lato con guaLtro nodi:

iunziani di forma cubiche.

3 ) It modelio di sposlamento deve poier rappresenLare

mcLi rigidi e sLaLi ci deformazione cosianti. Le

condi zi oni l-) e 2) non as s i curano la 3 ) , che va

verificala caso per caso.

Costruzione Ce11e funzi.oni. di forma:

d (v,q) :(Y-1)("t-t) KJ7 l,L / '- (

P*:: Ia condi z i cne 1)

if/.\

ncdo z 6- (7,--1) = cl

ntrdo 3 é- ( L, 7) : Cfd5

noco 4 6 (-t'L -§é{r

La cond1zione 2' è verificala percha 6-. * lineare suj. lati'L^

§, {y, -l} = * (i-y\(i -,1\

§, (Y,1\= I (tuT)(1-t)

Tll)-t- 3

(7,7): + (t*y)(t*I)

§r (T,-ll = * (r-Y)(r *T)

85

)la

,UI

)-Lz

nr

Ms

\TZ

{*t) f$. c 6 o A o: I I r-i J-z 13(Ilt*) L o 6 a 6 c -o-Li J-z i3

TooL9Tca Ij

Ie"It ^-

il nrodell-o di spùBlamento a quadralico ( in guanto lc

scno le funzioni di fcrma alf inlerno del-1'elemento,

:n*ntre sul conlorno sono lineari ) e di conseguerrza i1

campo di deformazione è l-ineare. Quindi guestc modello di

spostament.o è giA più fine del rnodello ad elemerrLi

--::a::goiari a :::e nod:, che descriveva al più ur: carnpc di

,ief orrrazi oni ccslante.

6 o 6 o 6 cl- Z,^ -3,* t 4,x

Io 6 cd oò iir,* -3,+ ' 1,* iTtl-t'frAqACIAal-a,L i-z/v .1% L!,x J4.Lr Lr, x i

rI:ll

i r-xiil^1L\L4\ai

\ dx?

r(pU^ l,x

c6 **,?TToCI

J r,b Lt-lx

l*t

n/và_

,/.,t-z

AT

'aL1

4tr

/t-7

.t_ra

I

L

'f','n :.rL

^/*

:/ 11

-L tr*rrfi.

)@a.

I

r.t,

t

)? L f,ò.' )r?| .5J

7x )q f,x(

ri(.

'{

:4.a

4-_C

1a ^-{JYi d''uiaÈJA U'

)

^ln

)v De4IU

: 4 f-!(t-.,)1 .a..t1+ 4 f !(t-q)1.1/z+ I f t /t*o,tl,u,I Ot 1 LJ .C*L7 L'J -AL4 ' ''J J

Si pr-ocede analoganent* per 91i altri element, tj. e )-"u.

d-

La malrice di rigidezza. infine, si calcola in funzione

delle coordinale locarrY , 1 ,

f si plÈ<: I gp I ^JA: obl I B,»B.JE^d,nI J_rl_, r t

4+-a ,r I7- "l,l f 4-i? .JI_L/I J 4-1 o 4-+1 c,a-L 4 + 4

ol

.- :-,i :::ir,i:l::::::*

Elemento rettangòlaie ad otto nodi

- ...t,;.i,

('{,'t)4

(e,-4)f

( "1,,{ )3 {

(-{,o)E 6 (<,o) {2 xtl. fr'* *v' v'.73

a

("{.-"{)

nt . vtc

11 si-ctema ha 8*2=L6 graCi Ci liberLa..

:1 modef Io di sPosiamen+-o è rappreseniato 'ja

poiinomi o di Lerro grado §on complelo, perchà formalo

scl i otn-o elemenLi . ?:r l-a convergenza sui laLi ,

€unzione deve essere deI second'crdine.

ctq Y2 +c*s ?ql?(

C{ r: ?' +- &*Yq,tL

Ci forma (

Ag

Lrs

un

Àr

(u= da+.i,2Y -dr*l1

i 'rr -- d1+ d*f * d. ee. \

rn funzione delle funz

i1 model,lo si scrive:

(,u= 6.u,t- r4^u,i_L*/i §-= f,4rt * §r4r7

+ da \2 + c/; \tr7n *r,

T' * *ur\'r[

da determinarsi

7+@+à.

+6la

n"}

LI

+

10

+

+

+de Y n?2\L

,b+ dt-c \ 9'I

n*rlL-?

88

.. i.: i..; r ;- -,-i:i.l ,,.',-.-,,1=:: i:i:::. -::..,1---: .i

,:' :,,.i:" I '

Si vog

6 (r,et-l-L .' L

aitri no

ratfa

ret.La

rot f:

6 (vI I - ),

^"---!*vuE> Ld.

- -- a -

condizic

si. dev

quadrat i

!1r:rdr-r

lino ora costruire 1e funzioni di forma:

deve valere uno ne1 nodo 1 ed annullarsi negli

di -a--o 4

(*l-, ) =c{\-*) =o

4

I - 5 (T " t * {) =o*() - K G-t)(.t-L)(-7-"t-t)

E\:?-ì\=p

t-nTo

espressione è un polinomio del ierzo ordine, che

o nel ncdo 1 e zero negl-i a1Lri. Mediante

:ri ai nodi si determina ia costante K, dopodichè

e veri f icare che sui lati ,'a f unz:one s i a

I

I

,-\Ya/__--_--\--_--.\__/

i,er- f = cos!.

per t = ccst.

6 (-t;t) : K (*2){-21 } t-} : 4 K =3--Ll

R:7-'4

a^ad

guadra Li ca

qr:adrat.i ca

Ànalogamenie 1e

scrivono:

ò = L (L+?\ti^ _a_ ! l/r

b'1

1-/r1 \ 1(€* ('t ( -rvr_-+\( -r

Iq

(t*7) (7*1)(T*1-t)

§=+ ft-?)t**1)(-f+r-r)

§r(?,,t) = +(y-t)(.t-ù(-r-i- t)

furzlone

funzioni di forma dei nodi-verfice

89

ffi

funz i oni

nrirna 6-l- -:(n- o)

1=

(:

= 4tt-Y)(1*Y)U-11e

sul l-aic risulLa sempre

L

Lo slato di defc'rmazione,

ccnsegue risulLa quadratico.

Per guanto riguarda 1e

i::termedi, si collsideri per7

O- (Y,1): s(Y-t-)(Y*t)nodo 5

6-(o,-7) = K (-t)(*1)(-2)

-ru)

.-/1\

-:

ànalogamente per gli altri nodi inlermedi.

1-d\ = .1 /,t-rtr\{ -t *?l+àELt

-rv1+

u/^-L8 -1(a-7')(t-7)

{ 4-Y')(t+1)

di f orma nei noC.i

: 2K:-4-

_t_ (r-?')(!.-T)

guadrat,i ca .

e quindi di sfcrzo, che ne

90

.. .,.;.:,:,t-:;

Element.o rettangolare a 12 nodi

(-{.,{) t-{,-rt tt,n) (.,r,.{ )A,4'o31

l-"'1) nn

I -t -,t lt,t\ " -t ,r''

1f

.Lo tE

?

ta, {)

(0,- * )

tx4

(-.{, - -( )562(-1,-n) (1,-a) U,-*) x-, xL& d,

xa ** *2' ?'{1 *t? K'9' x.3' X'

polino:irio di l\f, grado, a

12 ternrini, simn,et.ricc,

i1

{lLi

{

l4.'tL

{u1

lI n,

X

=§ro*"§rAz+

sisLema hra i?*2=24 gradi di iib,erla.. U * V"

=da 4 ArY + cds \* **Yt* o= Y7* qt n/'++- ol3 ?' * *u Y'T + dtTn{' * dto"l= " oot T'n{! xr.YT'

= des+ d.t<T * dnul +Cs Y' *oo*Y n7 n a** 7r'*+ daa Y" * *r,T'1 + dztT

7, * drr

73 + drrT'?.+ x:<\1?

T+ (A i-Lt ^

Jat

T+ L! qf"+ + 6 QF.at-LU_

= é' 4'i'1

Con un elernenlo di guesto Lipo, l-a delerminazicne del-1e

funzisni di fcrma A più complessa.

Fer delernrjnere 1e funzioni di forma dei nodi-vertice,

può aiutare 1a consiCerazione che i nodi 5, 6, g, 10

91

"::-E--:--J.,;!*

rir

stanno su11a

e quindi di

À (? *\-Yt' ?, ("

ncdo 1

:rO (-1-71 =t1 , t '

circonferenza di raggio pari' 'à2 n ry12 = 1-Oequaz:.one 7 - É

R { 7-Y )(t-\) (Y"* \'- 49 )'i' L ?1

e2,G,AJ)

K =C.

er i nodi

t Y,ol) :E

f

UJ

,{u./

rw35

Òi{i

F

T'/i

n e,rl

-r/T)-].5

= ! (t-y)(t-,/)[1 ( y'*1,) -tciZ2 I (-

= * (L*Y){t-I}{* t\'*\") -7Ò1

= t_ ( t +?\ (t+1)fs f Tr*7r)-{c]32 \ ì r\

=.=+ ( r- Y)( t* I_) [3 (\"* 7') - lc]ca

inlermedi si co$sideri per prima

K t t"T){t- y) (t -,1) (+ _T)

-7-/f\Y

(+,- r) =

K

Ik/ t\/ L\rz\/ c\I 2 it _-: tt-/! É.-t:t3lt zJ \31

-6 I3L

ql

=r

g

1

ILII

Ir-

92

\. .r

3 ( 4'To:+5

6*6

.T/T\t1Ò

r

^

,-.{) t t * zT)(4*T)(4_T)(

6^ = A (a*Y) (t-ot)( 4* *7) (7+3n)J8 3A' ?' (" lr' ('

(i*Y)(t-f) (t" T) (:.-3T)

( 1 -Y ) tt -l) (t-*y) ( r'+= 7)

\)(t.-T){**T}{;--27)

q

32

xly= (t*Y)( 1--f ) (a+7) 1a* s\)*a

'r\J,/J7

Aq/YI.I- |

<'j

a3-D

a;;

/ ^^

g/J

9l

EI,EHENT] ]SOPAF,AMETRICT CURVTLINET

Siano a.ssegnalÈ r.r€l riferiment:o carlesianc, ( X,Y ) ie

l*11'elemento curvilineo in

figura. Sia fissaio inol"tre u$ sisLema di coordina,'e

Ioc=ii (?,ql)./t

(-4,4) 4 \\III

II

I,r)(,t,-

x,Y ) --È- r 7,nt-t

T^ Yi=

'T--+ @ )(tt

z tj.z

Lrasformazione i1 problema si riconduce

tl:) eLenrent o reLt.ang,:rÌa.r,= a tZ nodi

genitore" ( parent element. ).

r,Tiì:

I

I

II

t*

&f vllt ui iras formazi cn*

.r-r)=9_Xe+Q Xz4 a- -Lz

.rT)--@ q +Ocr' It òt ìr, dr

: x (y,I

= u, (Y nd'ìr (

l.{eCianle quesi.a

alic studio di

q--i:i ama Lc "elemento

TY; (Y n\- /t (/-Ò

J-1_

a {-1,t, )

4 G<,-<)

94

( l,uL )

Mc''j=l1o di spostamenLc,:

e§so vier:e cef iniLo su1 "parent elerneni".

11Il-

.I

n

\Ò,J T;Tti

!

jl= LZ

QuesLi eiemenlj sj" chiamano isoparamelrici pÈrcl')È l"e

f ur:zi,:ni Ci fe::ma C che c;,nrpa j.c'iro neil'espr*ssi,:,ne del-f,

n.ic,d*.il-o di sp*sLa;nerrL+ deL "pa::*n'; =1enr=nL", coincidono

cùrr Lr furrzic:-ri È, carat-t-e:- izzanl j. ia tl:as f ormazione

( ,-i.,o la L.!É,^,i!]ft_ria deli'*ieme::iO diSt"errlC, ). IO SOSlanZa

t 1 !,r:i, lavc:. are sul "l-,dl'É.r:t e I =net:';" r i-r'asF,cr:tgn§,-r poi i L

luLio suLì 'eJemenlo di siorLc, lrami le 1* Èquaziorti di

trasfor-niazic,l:e"

f--*,r'.,,,4i,lefr,rm>t i,- t;'

,4À-t

€

'-l§Jyjìx

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La nar*rice T si ottien*

t-rasfcrrnazicne:

/r\[)Q; Il+/I -a I) o> I{ rf :I -,4-. II ,JY,À. It:-\\Ò1 )

t

T Mp.?RrcE JÀcoBrA]'IA

f ac i lrnent.e oalla r*lazione di

Il/r--ldxlrpllII

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L

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nn,ì ilrvua,

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l-d. ll_rrt

ia§;) {t6; Ii^/ìr@l\ JX ! , i a z Ii I +-,L I . !iLt<\< / <,J ì -.- {Is.; i ilgl'Ii:-\/ltrtj (;1)

],iaLuralmerrte l-a prima ccsa ,ja fare è verif icare

si= inver+-ibile, infatLi puo capilare che' per

possibiie scella iniziale CelLa posizione dei

1'elemenlo risutii. Lanto distorLo da delerminare

hiuniv,:}cita del1a +-l.asforrnazi':ne, B dj conseEuenza

j-nverrifrilit del I'. ntatrj,se T,

rll

)xlìq /rl

l_I ùCTlra-:'- 4 i "7(, :-*l

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96

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'l * t: :-rna z i ùnÉ ;j.

ELE},1EN?] 1 SOPAR.À.I'{ETRTC I,

Quadrilatero a guattro nodi

3 {<,.r7

Q{.]ADRTLA?ERO LINEARE

Fer guanto detto, riguardc gli elenienti isoparametrici,1- - :: t::asfc'rmazione è la si*essa o=1 mc,,iellc di13 JEYÌ9E Ll-L

<nr,q*:m;n*r,

zlt.4

i*: É, 6 Y,< (u:1, 6 *,t::"1-i,,-f ..f u. ln*-*.,Xnr..I YL-4--^ Vi. ,J 1 +^ Sa L'"' - ?^ ?, 'u.

Tc;n @. fur,zieni di fcrrna, lineari su1 laLol*

,l--1

I

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4:-1

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* TT,)(4"YY;)tt(i-yt(t-7)(t*Y\(e--7\(t*y)(r*I)(1-Y) ('t'+r'I)

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Fer ccnoscÉi'É f r-' s Lato d.i

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"J ll to:l ["1 I--r?ll{^2 (rliu )JLl"l ts')l

È.,

Una r:olta noto il campo di deformazione, i} passaggio a

queilo di lensiorre è immediato,' Fer quenLo riguarda f integrazione'de11a maLrice

ri g:Cezza K è conveni eni"-. ut i r j:zare i i. nrecodo

intc.grazic,s6 6i G.russ.

S: fissano dei punLi ( di

{

r.tL

1Ilt

al aìv

o4-Lc

,{i

Gaus s si valuLa L1d

funzione int-egranda e si trasforma f integrale

s,)mmatùria relativa a"i punti di Gauss.

IN una

fl, spÉs s ùre de11 ' el-emeniol* r'_"'*1

éA

!-1"K:- *f ,' [,n-{

-

I1 guadrilatero a guatlro nodi è I'elemenlc

isoparametrico piu semplice.

Quadrilatero ad oLLo ncdi

Ta-)-;

I/ F-:(x :à;t1t31l4lrl*=Z;Lv 7-

r,t ,

Or-{

101

§- guadraLiche

.-1i

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- __ r_-,- _.1

J1