Modelli agli elementi finiti Analisi strutturale

carmelo.demaria@centropiaggio.unipi.it  

+   Analisi  agli  elemen,  fini,  

•  Il  FEM  è  un  metodo  numerico  (pertanto  approssimato)  che  perme;e  la  risoluzione  di  equazioni  differenziali  alle  derivate  parziali.    

•  Il  metodo  degli  elemen@  fini@  consiste  nella  discre'zzazione  di  un  assegnato  dominio  in  elemen%  fra  loro  connessi  in  un  numero  finito  di  pun@  (nodi),  ver@ci  degli  elemen@,  in  corrispondenza  dei  quali  sono  valutate  le  componen@  della  funzione  incognita.  

•  Il  valore  della  funzione  all'interno  del  singolo  elemento  è  o;enuto  sulla  base  dei  valori  dei  parametri  nodali  a;raverso  l'uso  di  opportune  funzioni  di  forma.    

•  La  scelta  di  tali  funzioni,  come  pure  del  @po  di  mesh  con  cui  discre@zzare  il  dominio  è  di  importanza  cruciale  per  una  corre;a  convergenza  della  soluzione.  

+  Matrice  fondamentale  

•  Metodo  di  Galerkin  

ii

ii

ii

ii

38 CAPITOLO 2. ELEMENTI FINITI NELL’UNIDIMENSIONALE

Il termine al primo membro puo essere scritto nella forma8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

Z b

ak

dNi(x)dx

d u(x)dx

dx =Z b

ak

dNi(x)dx

2666664

nX

h=1

dNh(x)dx

uh

3777775 dx

=

nX

h=1

"Z b

ak

dNi(x)dx

dNh(x)dx

dx#

uh

=

nX

h=1

fih uh

(2.31) {G31}avendo posto

fih4=

Z b

ak

dNi(x)dx

dNh(x)dx

dx. (2.32){G32}

Si osservi che fih = fhi ovvero la matrice formata da questi elementi esimmetrica. Questa e la matrice fondamentale.

Osservazione. In ogni campo esiste un problema fondamentale: date lesorgenti determinare la configurazione. L’equazione che risolve il problemafondamentale si chiamera equazione fondamentale. Se questa equazione e di-screta anziche di↵erenziale la matrice che la caratterizza sara bene chiamarlamatrice fondamentale. Negli elementi finiti questa e chiamata matrice del si-stema e anche matrice di rigidezza a causa del ruolo storico che tale matriceha nella meccanica dei solidi elastici ove e stata introdotta per la prima volta.

Indichiamo con sh e con ch i due termini a secondo membro del-l’equazione (2.29). Abbiamo scelto la lettera s in quanto e l’iniziale disorgente, la lettera c in quanto e l’iniziale di contorno e la lettera f inquanto iniziale di fondamentale. Avremo:

si4=

Z b

aNi(x) s(x) dx ci

4= k"Ni(x)

d u(x)dx

#b

a(2.33){G33}

Fatte queste posizioni il sistema algebrico acquista la forma

nX

h=1

fih uh = si + ci (i = 1, 2, ...n) (2.34){G34}

+  Matrice  fondamentale  

•  Esistono  altre  strade  che  possono  portare  alla  formulazione  della  “matrice  fondamentale”  – Metodi  variazionali  (principio  dei  lavori  virtuali)  (vedi  dispensa)  

– Formulazione  dire;a  (vedi  dispensa)  – Minimizzazione  di  un  funzionale  (energia  potenziale  totale)  

+  Matrice  fondamentale  

•  Metodo  variazionale  1.  Iden@ficazione  della  ada;a  formulazione  

dell’elemento  2.  Scelta  di  insieme  di  funzioni  con  le  quali  si  descriverà  il  

campo  interno  di  spostamen@  (mediante  loro  combinazione  lineare)  

3.  Calcolo  funzioni  di  forma,  che  legano  gli  spostamen@  interni  con  quelli  nodali  Esplicitare  legame  campo  deformazioni  interne  -­‐  spostamen@  nodali  

4.  Esplicitare  legame  campo  tensioni  interne  -­‐  spostamen@  nodali  

5.  Applicare  principio  lavori  virtuali  (od  altro  principio  variazionale)  per  determinare  K  

6.  A  calcolo  avvenuto,  ricavare  tensioni  e  deformazioni  in  base  soluzione  

+   Elemento  asta  

•  Travature  re@colari  piane  e  spaziali    

•  solo  sforzo  normale    •  2  nodi    •  2  o  3  g.d.l  /nodo  •  carichi  applicabili  solo  nei  nodi    

•  Car.  geometriche:  A  

ELEMENTO ASTA/3 - TRALICCIOTraliccio di sostegno per batterie di perforazione petrolifera. Questo tipo di strutture viene tradizionalmente trattato con modelli a travatura reticolare, assimilando i “nodi” a cerniere.

ELEMENTO ASTA/1

Travature reticolari piane e spaziali• solo sforzo normale• 2 nodi• 2 o 3 g.d.l /nodo• carichi applicabili solo nei nodi• Car. geometriche: A

+   Elemento  trave  

•  Equazione  della  linea  elas@ca  

•  2  nodi  •  3  gdl/nodo  •  Carichi  concentra@  e  distribui@  

•  Cara;eris@che  geometriche  (sezione,  momento  d'inerzia,  ...)  

+   Lastra  (plane  stress)  

•  Sta,  piani  di  tensione:    •  sono  cara;erizza@  dall’avere  una  delle  componen@  principali  di  tensione  iden@camente  nulla    

•  si  verificano  @picamente  in  corpi  piani,  di  spessore  piccolo  rispe;o  alle  altre  dimensioni  cara;eris@che  del  problema,  carica@  nel  loro  piano  medio.    

Possibilità di inserire lo spessore del corpo

+   Analisi  plain  strain  

•  Stato  piano  di  deformazione  

•  una  delle  componen@  principali  di  deformazione  è  iden@camente  nulla    

•  corpo  piano,  di  spessore  molto  grande  rispe;o  alle  altre  dimensioni  cara;eris@che  del  problema,  caricato  in  modo  omogeneo  lungo  lo  spessore    

Possibilità di inserire lo spessore del corpo

+  Modelli  di  omogenizzazione  

•  Modello  di  Reuss  •  Modello  di  Voigt  

E1  

E2  l l

l2

l1

F

F A

E1   E2  

F

l l

A2 A1

F

E = E1ν1 +E2 1−ν1( )

ν1 =A1

A1 + A2

E = E1E2E1 1− f1( )+E2 f1

f1 =l1l

+   Esercizio  1  

•  Valutare  il  modulo  elas@co  complessivo  dei  seguen@  corpi  della  precedente  diaposi@va  con  il  modello  anali@co  e  con  quello  ad  elemen@  fini@  (u@lizzare  l'analisi  plane  stress).  

+  Nota  esercizio  1  

•  I   modelli   di   Reuss   e   Voigt   non   prendono   in  considerazione   carichi   di   @po   trasversale.   Per  introdurre   questo   conce;o   è   necessario   porre   il  modulo   di   Poisson   pari   a   0,   in   modo   tale   che  deformazioni   normale   provochino   deformazioni   (e  quindi  carichi)  trasfersali.  

•  Il  carico  da  imporre  nel  modello  di  modello  di  Voigt  (o  di  isoderformazione)  è  quello  di  uno  spostamento  in   direzione   normale   in   modo   da   avere   una  isodeformazione  su  entrambi  blocchi.      

+   Esempio  soluzione  esercizio  1  (1/4)  

Modello di Voigt

E1   E2  

F

l l

A2 A1

F

E = E1ν1 +E2 1−ν1( )

ν1 =A1

A1 + A2

L        =  0.1  m  Spessore      =  0.1  m  A1      =  0.03*0.1  m2  =  0.003  m2  A2      =  0.07*0.1  m2  =  0.007  m2  

ν1      =  0.3  ν2      =  0.7    Se  E1=  10  E2=  100  GPa  E  =    73  GPa    Per  avere  una  deformazione  del  -­‐10%  lungo  la  direzione  y  devo  applicare  una    forza  pari  a  =    F    =  (E  *  ε)  *  A  =  73  GPa  *  (-­‐0.1)  *  0.01  m2  =  

 =  -­‐7.3  *  107  N                  

+   Esempio  soluzione  esercizio  1  (2/4)  

+   Esempio  soluzione  esercizio  1  (3/4)  

Modello di Reuss

E1  

E2  l l

l2

l1

F

F A

E = E1E2E1 1− f1( )+E2 f1

f1 =l1l

L        =  0.1  m  Spessore      =  0.1  m  l1      =  0.03  m  l2      =  0.07  m    

f1      =  0.3  f2      =  0.7  A      =  0.1  *  0.1  m2  =  0.01  m2  

 Se  E1=  10  E2=  100  GPa  E  =    13.7GPa    Applicando  una  forza  pressione  in  direzione  y  di  1  kPa  o;engo  uno  spostamento  totale  di    Δy    =  0.1m  *  (-­‐1  kPa  /  13.7  GPa)  =    7.3*10-­‐9  m    

+   Esempio  soluzione  esercizio  1  (4/4)  

Spostamento  dell’intera  stru;ura  valutato  lungo  la  direzione  y  

+   Considerazioni  di  simmetria  (1/5)  

•  L’uso  di  considerazioni  di  simmetria  consente  di  ridurre  le  dimensioni  del  modello.  I  più  comuni  @pi  di  simmetria  sono:  – Simmetria  speculare  o  di  riflessione  – Simmetria  polare  o  di  rotazione  

+   Considerazioni  di  simmetria  (2/5)  

Sfru;ando  la  simmetria  è  possibile  includere  nel  modello  solo  una  parte  della  stru;ura,  sos@tuendo  la  parte  mancante  con  opportuni  vincoli  pos@  sul  piano  di  divisione  

Sfruttando la simmetria è possibile includere nel modello solo una parte della struttura, sostituendo la parte mancante con opportuni vincoli posti sul piano di divisione.

+   Considerazioni  di  simmetria  (3/5)  

I  carichi  non  devono  necessariamente  essere  simmetrici,  dato  che  una  condizione  di  carico  qualsiasi  può  essere  scissa  in  una  componente  simmetrica  ed  in  una  an@simmetrica.  

I carichi non devono necessariamente essere simmetrici, dato cheuna condizione di carico qualsiasi può essere scissa in una componente simmetrica ed in una antisimmetrica.

F

F/2 F/2 F/2 F/2

+   Considerazioni  di  simmetria  (4/5)  

•  Simmetria  di  riflessione  •  La  stru;ura  viene  tagliata  in  corrispondenza  del  piano  di  simmetria  

Simmetria di riflessione

Z

XYPiano di simmetria

CarichisimmetriciUz=0ROTx=0ROTy=0

Carichiantisimm.Uy=0Ux=0ROTz=0

La struttura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria

VINCOLI SUI NODI

+   Considerazioni  di  simmetria  (5/5)  

l  Corpi  assial-­‐simmetrici  l  Geometria  assial-­‐simmetrica    (rotazione  di  una  sezione  a;orno  ad  un  asse  fisso)  

l  Carichi  a  simmetria  cilindrica  

•  Fissato  un  sistema  di  riferimento  cilindrico  “r,  θ,  z”,  per  simmetria   lo   stato   di   tensione/deformazione   risulta  indipendente   da   θ   e   le   componen@   di   spostamento   in  direzione  circonferenziale  (θ)  risultano  nulle:  il  problema  può  di  conseguenza  essere  studiato  come  piano.  

+   Esercizio  2  

•  Lastra  intagliata  in  trazione  – Schema@zzare  la  lastra  di  figura  sfru;ando  i  piani    di  simmetria  

– Misure  in  mm  – Spessore:  5  mm  – Modulo  Elas@co  109  Pa  

– P  =  3000  Pa  

20  

60  5  

P  

+   Link  u,li  

•  h;p://www.uniroma2.it/didanca/Calc_Aut_Sis_Mec/deposito/08-­‐Elemen@-­‐Formulazione-­‐Generale_V1.pdf    

•  h;p://www.aero.polimi.it/~ls075775/bacheca/032FormulazioneFEM.pdf