APPROCCI NEGLI SPOSTAMENTI PER LA STABILIZZAZIONE DI ... · Per studiare la stabilità del...

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Civile

Corso di Laurea Magistrale in

Ingegneria Civile

APPROCCI NEGLI SPOSTAMENTI PER LA

STABILIZZAZIONE DI PENDII CON SISTEMI

CORTICALI

Tesi di Laurea di:

Bego Anna 883310

Picchioni Silvia 863687

Anno Accademico 2017-2018

SOMMARIO

Bego Anna | Picchioni Silvia 1

SOMMARIO

In questo elaborato si studia la stabilità di un pendio ideale in materiale sciolto.

Per studiare la stabilità del versante, si utilizza il metodo dell’equilibrio limite, in

particolare col metodo dei conci di Bishop si ricerca il fattore di sicurezza

minimo, associato al meccanismo di collasso del pendio. Al tal fine si fa uso del

software Geoslope ed Excel. Il sistema viene perturbato idraulicamente e si studia

l’evoluzione di FS al variare della posizione della falda.

Attraverso l’impiego dei sistemi corticali passivi si cerca la soluzione migliore

per stabilizzare il versante e prevenirne il crollo. Si progetta un intervento prima

allo stato limite ultimo e poi con il del metodo ibrido, che tiene conto degli

spostamenti che attivano le forze stabilizzanti del sistema corticale.

L’equilibrio limite e il metodo ibrido non forniscono informazioni riguardo

l’evoluzione degli spostamenti del sistema, né sul tempo necessario affinché

l’intervento stabilizzante si possa attivare. Per questo motivo si valuta infine

l’efficienza dell’opera progettata con un metodo negli spostamenti, integrando

l’equazione del moto del sistema.

SOMMARIO

2 Bego Anna | Picchioni Silvia

SOMMARIO


SOMMARIO ..................................................................................... 1

Indice figure ...................................................................................... 7

1. Il problema della stabilità dei pendii: le frane...................... 11

1.1. Il fenomeno e i tipi di frane ................................................ 11

1.2. Dimensioni e velocità di una frana ..................................... 14

1.3. Il rischio .............................................................................. 16

1.3.1. Le misure di mitigazione del rischio ........................... 17

1.3.2. Le opere di stabilizzazione dei pendii ......................... 18

1.3.3. Misure di stabilizzazione strutturale ............................ 19

1.3.4. Le tipologie più diffuse di opere stabilizzanti ............. 20

2. L’analisi di stabilità dei pendii ............................................... 23

2.1. Il metodo dell’equilibrio limite per l’analisi di stabilità di un

pendio ............................................................................................ 24

2.1.1. Il metodo di Fellenius (1927) ...................................... 27

2.1.2. Il metodo di Bishop (1955) .......................................... 29

2.1.3. Il metodo di Janbu (1967) ............................................ 30

2.2. Progettazione: l’approccio per sottostrutture ..................... 31

2.2.1. L’equilibrio limite e lo stato limite ultimo .................. 33

2.2.2. I metodi ibridi .............................................................. 34

2.2.3. Metodo negli spostamenti ............................................ 36

3. I Sistemi Corticali .................................................................... 39

4. Esempio di calcolo ................................................................... 55

4.1. Introduzione ........................................................................ 55

SOMMARIO


4.2. Descrizione del problema ................................................... 56

4.3. Analisi di stabilità all’equilibrio limite ............................... 57

4.3.1. Minimizzazione della superficie di rottura circolare ... 59

4.4 Metodo dell’equilibrio limite allo stato limite ultimo ............ 61

4.4.1. Ricerca della pressione stabilizzante ............................... 66

4.4.2. Risultati del progetto allo SLU ........................................ 80

4.5 Metodo ibrido .......................................................................... 82

4.5.1. Campo di spostamenti del terreno ................................... 83

4.5.2. Curva di interazione e curva caratteristica del sistema ... 89

4.5.3. Aumento del fattore di sicurezza ..................................... 92

4.5.4. Confronto tra le spaziature .............................................. 93

4.5.5. Fattore di sicurezza per le quattro superfici .................... 95

4.5.6. Andamento di FS della S176 al variare di Hw ................ 96

4.6. Progetto dell’intervento per i meccanismi locali ................... 99

5. Metodo negli spostamenti...................................................... 103

5.1. Modello rigido visco-plastico ........................................... 104

5.1.1. Calibrazione coefficiente di viscosità η ......................... 105

5.2. Integrazione alle differenze finite dell’equazione di moto .....

........................................................................................... 107

5.3. Risultati con spaziatura S=1.75 m .................................... 110

5.3.1. Profili di velocità e forze della rete ............................ 115

5.4. Risultati con Spaziatura S=1 m. ........................................ 117

5.5. Risultati con variazione della falda ................................... 121

5.5.1. Spaziatura 1,75 m ....................................................... 124

SOMMARIO


5.5.2. Spaziatura 1 m ........................................................... 126

6. Conclusioni ............................................................................. 129

Bibliografia .................................................................................... 133

SOMMARIO


Indice figure


Indice figure

Figura 1.1 Frana a Tizzano, novembre 2018. ..................................................... 11

Figura 1.2 Crolli (Cruden & Varnes 1996). ....................................................... 12

Figura 1.3 Ribaltamenti (Cruden & Varnes 1996). ............................................ 12

Figura 1.4 Scivolamenti traslazionali e rotazionali (Cruden & Varnes 1996). .. 13

Figura 1.5 Espansioni laterali (Cruden & Varnes 1996). ................................... 13

Figura 1.6 Colate (Cruden & Varnes 1996). ...................................................... 14

Figura 1.7 Dimensioni dei movimenti di massa (da WP/WLI, 1993). .............. 15

Figura 1.8 Scala di intensità delle frane basata sulla velocità e sul danno prodotto

(da Cruden & Vernes, 1994, Australian Geomechanics Society,2002). ............ 16

Figura 1.9 Esempio di pali come opere di sostegno. .......................................... 21

Figura 2.1 (a) discretizzazione di un pendio in conci; (b) forze agenti sul concio

i-esimo. ............................................................................................................... 25

Figura 2.2: a.) identificazione del campo di velocità del pendio; b.) stima delle

azioni di sostegno; c.) scelta della tipologia di intervento; d.) dimensionamento e

verifiche dell’opera. (Politecnico di Milano, 2018). .......................................... 32

Figura 2.3 Rappresentazione schematica dello spostamento che attiva la forza.34

Figura 2.4 a) Esempi di curve caratteristiche e b) relazioni tra FS e ampiezza dello

spostamento. ....................................................................................................... 35

Figura 2.5 Descrizione schematica dei tra approcci progettuali. ....................... 37

Figura 3.1 I sistemi corticali. ............................................................................. 39

Figura 3.2 Sistemi Corticali. .............................................................................. 40

Figura 3.3 Rappresentazione schematica dei Sistemi Corticali. ........................ 41

Figura 3.4 Il ruolo della spaziatura tra i chiodi: (a) la piastra e (b) il blocco

tridimensionale potenzialmente instabile. .......................................................... 45

Figura 3.5 Il sistema di ancoraggio superficiale: (a) vista schematica, (b) forze

agenti sulla piastra, (c) pressione di confinamento addizionale garantita dalla rete.

............................................................................................................................ 46

Indice figure


Figura 3.6 Geometria per il calcolo numerico. ................................................... 47

Figura 3.7 Funzione di forma del cedimento elastico attorno alla piastra: valori e

adattamento numerico di Foster and Azhlvin. .................................................... 49

Figura 3.8 Rappresentazione schematica di (a) rete metallica nella configurazione

indeformata, (b) rete metallica nella configurazione deformata, (c) molle elasto-

plastiche di contatto normale e (d) molle elasto-plastiche di contatto tangenziale.

............................................................................................................................ 51

Figura 3.9 Risposta meccanica della piastra. ...................................................... 52

Figura 3.10 Risposta meccanica del sistema per una sabbia densa, al crescere della

spaziatura. ........................................................................................................... 54

Figura 3.11 Risposta meccanica del sistema per una sabbia sciolta, al crescere

della spaziatura. .................................................................................................. 54

Figura 4.1 Profilo del pendio. ............................................................................. 57

Figura 4.2 Superficie di rottura circolare suddivisa in conci. ............................. 58

Figura 4.3 (a) Griglia dei CIR e dei raggi; (b) 294 superfici circolari di rottura.

............................................................................................................................ 60

Figura 4.4 Validazione numerica tra Excel e Geoslope. .................................... 61

Figura 4.5 (a) Variazione della superficie di falda; (b) andamento di FS al crescere

di Hw. ................................................................................................................. 62

Figura 4.6. Superfici critiche da Geoslope. ........................................................ 63

Figura 4.7 (a) Andamento di FS al crescere di Hw per le 4 superfici; (b) inviluppo

degli FS minimi. ................................................................................................. 65

Figura 4.8 Rappresentazione schematica delle forze agenti sul generico concio.

............................................................................................................................ 67

Figura 4.9 Profilo del pendio e linea neutra. ...................................................... 68

Figura 4.10 Applicazione uniforme della pressione stabilizzante lungo la

lunghezza effettiva. ............................................................................................. 69

Figura 4.11. Pressioni stabilizzanti per le quattro superfici................................ 70

Figura 4.12 Curve caratteristiche delle forze N .................................................. 73

Indice figure


Figura 4.13 Curve caratteristiche delle pressioni ............................................... 74

Figura 4.14 (a) Ricostruzione della curva per spaziatura 1,75 m; (b) pressioni per

spaziatura 1,75 m. .............................................................................................. 76

Figura 4.15 Rappresentazione della distribuzione dei chiodi sul pendio. .......... 77

Figura 4.16 Rappresentazione dell’intervento dimensionato. ............................ 78

Figura 4.17 (a) Rappresentazione schematica della distanza massima tra la

superficie di scorrimento e il profilo del pendio; (b) rappresentazione di un tirante

formato da trefoli. ............................................................................................... 79

Figura 4.18 Andamento degli FS allo SLU. ....................................................... 80

Figura 4.19 Differenza tra il metodo allo stato limite ultimo e il metodo ibrido.

............................................................................................................................ 83

Figura 4.20 (a) Rotazione rigida del pendio; (b) campo di spostamenti lungo la

superficie del pendio .......................................................................................... 85

Figura 4.21 Spostamento che attiva la forza nel chiodo i-esimo. ...................... 86

Figura 4.22 (a) Andamento degli spostamenti Un per ogni chiodo; (b) andamento

di Un lungo il pendio, fissata l’ampiezza dello spostamento a 35 cm. .............. 88

Figura 4.23 (a) Curva di interazione chiodo-terreno; (b) confronto tra la curva

caratteristica del sistema e la famiglia di curve di interazione. .......................... 90

Figura 4.24 Fattore di sicurezza di S176. ........................................................... 92

Figura 4.25 (a) Fattore di sicurezza per le diverse spaziature; (b) spostamenti

necessari per ottenere FS=1,3. ........................................................................... 94

Figura 4.26 Fattore di sicurezza delle quattro superfici, per Hw=14m. ............. 96

Figura 4.27 Andamento di FS al variare della posizione della falda, per S176. 97

Figura 4.28 Andamento degli spostamenti necessari per ottenere FS=1,3. ....... 98

Figura 4.29 Andamento degli spostamenti necessari per avere FS=1,3 per tutti i

meccanismi critici. ............................................................................................. 99

Figura 4.30 Nuovo meccanismo critico oltre la lunghezza dell’intervento. .... 100

Figura 5.1 Confronto spostamenti con e senza intervento ............................... 103

Indice figure


Figura 5.2 Composizione del campo di velocità all’istante iniziale per i 4

meccanismi critici. ............................................................................................ 108

Figura 5.3 Curva caratteristica scalata per la spaziatura 1,75 m dalla quale ottenere

le forze Q. ......................................................................................................... 111

Figura 5.4 Spostamenti verticali del ciglio del pendio per una spaziatura di 1,75

m. ...................................................................................................................... 112

Figura 5.5 Differenza tra due differenti passi di integrazione temporale. ........ 114

Figura 5.6 Andamento profili di velocità lungo il pendio negli anni. .............. 115

Figura 5.7 Andamento profili di pressione lungo il pendio negli anni. ............ 116

Figura5.8 Confronto curve Q per due differenti spaziature. ............................. 118

Figura 5.9 Confronto interventi con spaziature differenti. ............................... 119

Figura 5.10 Confronto profili velocità per le due diverse spaziature. .............. 120

Figura 5.11 Confronto andamento profili di pressione lungo il pendio negli anni

per le due differenti spaziature. ........................................................................ 121

Figura 5.12 Andamento della falda nel corso dei quattro anni. ........................ 122

Figura 5.13 Confronto spostamenti limite del pendio con falda costante e non nel

tempo. ............................................................................................................... 123

Figura 5.14 Spostamenti del pendio con S=1,75 m e variazione della falda. ... 124

Figura 5.15 Confronto forze dopo 4 anni con forzanti idrauliche differenti. ... 125

Figura 5.16 Confronto interventi con spaziature differenti facendo variare il

livello piezometrico. ......................................................................................... 126

Figura 5.17 Confronto medesimo intervento con falda variabile e costante. ... 127

Figura 5.18 Confronto forze dopo 4 anni con forzanti idrauliche differenti. ... 128

Il problema della stabilità dei pendii: le frane


1. Il problema della stabilità dei pendii: le

frane

Figura 1.1 Frana a Tizzano, novembre 2018.

1.1. Il fenomeno e i tipi di frane

In letteratura, una frana è definita come un “movimento di roccia, detrito e/o terra

lungo un versante, sotto l’influenza della gravità” (Varnes, 1958; Cruden, 1991,

Crozier, 1999).

Il termine frana comprende una vasta gamma di fenomeni e in natura esse si

manifestano in maniera molto diversa; negli anni sono state prodotte numerose

classificazioni, a partire da quella di Varnes (1978) successivamente rivista da

Carrara, D’Elia e Semenza (1987) e da Cruden e Varnes (1996). I fenomeni

franosi vengono distinti in base a due parametri fondamentali: 1) natura del

materiale coinvolto; 2) tipologia del movimento di massa.

Solitamente si classificano le frane in sette classi principali: crolli, ribaltamenti,

scorrimenti traslativi, scorrimenti rotazionali, espandimenti laterali, colate e



frane complesse, queste ultime derivanti da più combinazioni di meccanismi di

movimento diversi. Le classi di movimento vengono poi ulteriormente suddivise

in base alla natura del materiale: roccia, terra, detrito.

Il crollo (fall) è un fenomeno che inizia con il distacco di materiale da un

pendio molto acclive. La massa distaccatasi si muove prevalentemente in aria,

fino all’impatto sul terreno con conseguenti rimbalzi e/o rotolamenti (Figura 1.2).

Figura 1.2 Crolli (Cruden & Varnes 1996).

Il ribaltamento (topple) è una rotazione in avanti, verso l'esterno del

versante, di una massa di terra o roccia, intorno ad un punto o un asse situato al

di sotto del centro di gravità della massa spostata; può evolvere in crollo (Figura

1.3).

Figura 1.3 Ribaltamenti (Cruden & Varnes 1996).

Gli scorrimenti o scivolamenti (slides) sono movimenti verso la base del

versante di una massa di terra, roccia o detrito, che avvengono in gran parte lungo

una superficie di rottura o entro una fascia, relativamente sottile, dove si

accumulano deformazioni di taglio. Possono essere traslativi o rotazionali, a

seconda della forma della superficie di rottura: gli scorrimenti traslativi si

verificano lungo una superficie più o meno piana, corrispondente frequentemente

a discontinuità strutturali, mentre gli scorrimenti rotazionali presentano una

superficie di rottura semicircolare con concavità rivolta verso l’alto (Figura 1.4).



Figura 1.4 Scivolamenti traslazionali e rotazionali (Cruden & Varnes 1996).

Movimenti di espansione laterale (lateral spreads), comuni in pendii poco

scoscesi, sono spesso dovuti a fenomeni di liquefazione o deformazione plastica

del materiale sottostante Con liquefazione si intende il passaggio da

comportamento solido a liquido del materiale a causa solitamente di un aumento

delle pressioni interstiziali dell’acqua nei pori (Figura 1.5).

Figura 1.5 Espansioni laterali (Cruden & Varnes 1996).

Le colate (flows) sono frane dalla forma stretta ed allungata di terreno che

evolvono lungo un pendio a causa spesso della saturazione da parte di acqua

meteorica di materiali prevalentemente argillosi, originando al piede del versante

un accumulo dalla forma tipicamente lobata (Figura 1.6). Il movimento non è

limitato alla superficie di separazione tra massa in frana e materiale sottostante,

ma è distribuito anche nel corpo di frana stesso. Le colate sono movimenti del

versante che esibiscono, durante il loro moto, un comportamento simile a quello

dei fluidi viscosi a causa di deformazioni interne alla massa in movimento che

risultano predominanti rispetto ad eventuali scorrimenti lungo superfici di taglio:

il movimento varia da estremamente lento a estremamente rapido.



Figura 1.6 Colate (Cruden & Varnes 1996).

1.2. Dimensioni e velocità di una frana

Le dimensioni e la velocità sono i principali parametri tramite i quali,

comunemente, si cerca di stimare l'intensità di un fenomeno franoso. Per definire

le dimensioni di un movimento franoso si adotta la terminologia raccomandata

dal WP/WLI nel 1993, come indicato in Figura 1.7.

1. Larghezza della massa spostata Wd: larghezza massima della “massa spostata”

misurata perpendicolarmente alla “lunghezza della massa spostata” Ld.

2. Larghezza della superficie di rottura Wr: larghezza massima fra i “fianchi”

della frana, misurata perpendicolarmente alla “lunghezza della superficie di

rottura” Lr.

3. Lunghezza totale L: distanza minima fra il “punto inferiore” della frana ed il

“coronamento”.

4. Lunghezza della massa spostata Ld: minima distanza fra il “punto sommitale”

ed il “punto inferiore”.

5. Lunghezza della superficie di rottura Lr: minima distanza fra l'“unghia della

superficie di rottura” ed il “coronamento”.

6. Profondità della massa spostata Dd: profondità massima della “superficie di

rottura” sotto la “superficie originaria del versante” misurata perpendicolarmente

al piano contenente Ld e Wd.



7. Profondità della superficie di rottura D: profondità massima della “superficie

di rottura” sotto la “superficie del versante” misurata perpendicolarmente al piano

contenente Lr e Wr.

Figura 1.7 Dimensioni dei movimenti di massa (da WP/WLI, 1993).

In Figura 1.8 sono riportate le diverse velocità di spostamento delle frane,

correlate ai danni prodotti su persone e cose. Pur esistendo uno stretto legame tra

velocità e tipo di frana, dobbiamo essere consapevoli che un certo tipo di frana

può muoversi secondo un ampio intervallo di velocità, in virtù delle differenze di

inclinazione del versante, del contenuto in acqua del materiale trasportato e della

presenza di ostacoli quali la copertura boschiva.



Figura 1.8 Scala di intensità delle frane basata sulla velocità e sul danno prodotto (da Cruden & Vernes,

1994, Australian Geomechanics Society,2002).

1.3. Il rischio

Nell’ambito delle frane si parla di Rischio, definibile come una misura della

probabilità di conseguenze sfavorevoli sulla salute, sulle proprietà e sulla società,

derivanti dall'esposizione ad un fenomeno pericoloso (Hazard) di un certo tipo e

di una certa intensità, in un certo lasso di tempo ed in una certa area (Smith, 2004).

Il rischio può essere espresso dalla formula qualitativa R = H V E.

- H (in inglese Hazard) è la pericolosità ovvero la “probabilità che un

fenomeno potenzialmente distruttivo si verifichi in un dato periodo di

tempo ed in una data area”; H è legato alla topografia dell’area, alla

geologia e non ha a che fare con le attività umane.

- V, la vulnerabilità, è una misura del danno provocato da un certo evento e

dunque tiene conto della presenza di strutture e attività umane; la

valutazione della vulnerabilità comporta la comprensione delle interazioni

tra il movimento franoso e l'elemento a rischio e deve essere valutata in



modo differente al variare dei fenomeni pericolosi e per i diversi elementi

a rischio.

- L’esposizione E indica quanto un sistema è esposto e interessato

dall’accadimento di un fenomeno franoso; è legato ad esempio alla

posizione di un’area abitata rispetto a un pendio.

1.3.1. Le misure di mitigazione del rischio

Si può identificare una prima distinzione tra le misure adottabili riguardo le frane,

sulla base della definizione di Rischio.

Le opzioni disponibili per la riduzione del rischio da frana si possono raggruppare

in quattro gruppi fondamentali:

1) Misure indirizzate alla diminuzione della pericolosità (Paragrafo 1.3.2):

generalmente si tratta di soluzioni ingegneristiche, il cui obiettivo è diminuire la

frequenza e/o la grandezza dei fenomeni franosi.

2) Riduzione della vulnerabilità, ovvero consolidamento dei beni a rischio e

realizzazione di opere di protezione per ridurre il coinvolgimento dell’elemento a

rischio.

3) Riduzione del numero di elementi a rischio, ovvero delocalizzazione dei beni

esposti in aree non interessate dal fenomeno pericoloso.

4) Aumento delle soglie di rischio accettabile, tramite la predisposizione di

sistemi di allerta, educazione ed informazione; le soglie di rischio consapevole

possono essere molto più elevate rispetto a quelle di rischio involontario.

Nel seguito ci concentreremo sulle misure di prevenzione atte a diminuire la

probabilità di accadimento del fenomeno. Tali interventi hanno il fine di

aumentare la stabilità di un versante e diminuire la velocità di spostamento.



1.3.2. Le opere di stabilizzazione dei pendii

Come già accennato, questo tipo di interventi sono diretti a diminuire la

probabilità (Hazard) che un evento franoso si verifichi in una data area e in un

certo intervallo di tempo.

Gli interventi di prevenzione sono delle opere finalizzate a stabilizzare il sistema

aumentando il regime delle forze stabilizzanti o diminuendo quelle

instabilizzanti: nel primo caso si fa uso di idonee strutture in grado di generare

forze stabilizzanti per il volume del pendio potenzialmente instabile. Esistono

varie tipologie di opere atte a ridurre il rischio di collasso di un pendio. Esse sono

utilizzate non solo per prevenire la frana, aumentando la stabilità del sistema, ma

anche per ridurre gli spostamenti del pendio in meccanismi viscosi o anche in

presenza di azioni sismiche. In base al principio di funzionamento, le misure di

prevenzione si distinguono principalmente in due macro categorie:

- Opere di stabilizzazione idraulica: il loro funzionamento si basa

principalmente sulla modifica del regime delle pressioni dell’acqua nel

dominio instabile;

- Opere di stabilizzazione strutturale: esse conferiscono forze stabilizzanti

al dominio instabile (vedi il paragrafo 1.3.3).

Esistono altri approcci per aumentare la stabilità di un versante e prevenire una

frana: ad esempio è possibile modificare il regime di forze instabilizzanti, prima

tra tutte il peso, modificando la geometria e il profilo del pendio, tramite

rimodellatura e riprofilatura (Geometrical stabilizing measures). In alternativa è

utile cambiare le proprietà meccaniche del terreno, aumentandone le

caratteristiche prestazionali tramite interventi di consolidamento (Consolidation

measures o Retrofitting). Si può parlare anche di misure ibride, come ad esempio

l’impiego della vegetazione, che ha allo stesso tempo ruolo di stabilizzazione

strutturale e idraulica.



1.3.3. Misure di stabilizzazione strutturale

Lo scopo di questo tipo di interventi è applicare un sistema di forze aggiuntive al

dominio instabile e a tal fine le strutture stabilizzanti vengono inserite nel terreno

come inclusioni oppure vengono realizzati dei rilevati. In altre parole, l’opera

strutturale viene sostituita da una forza che essa trasmette al volume instabile.

Tipicamente si possono distinguere 3 zone di azione: una finalizzata a trasmettere

sforzi al terreno instabile, una che trasmetta gli sforzi al di fuori della zona

potenzialmente instabile e che ancori la struttura al terreno stabile e infine una che

leghi le due zone precedenti.

La procedura generale per l’analisi di stabilità in presenza di strutture di sostegno

può essere brevemente riassunta in questi passaggi:

- Definizione del campo di spostamenti all’interno del pendio.

- Posizionamento delle strutture stabilizzanti all’interno del pendio.

- Stima delle forze agenti (solitamente corrispondono al peso W della massa

di terreno), della resistenza a taglio lungo la superficie di rottura

individuata, e le forze stabilizzanti trasmesse al pendio.

- Progetto strutturale e verifiche di sicurezza.

Gli interventi stabilizzanti possono essere progettati per lavorare come sistemi

attivi o passivi e la distinzione si basa su come la forza stabilizzante A viene

attivata.

Se l’azione A non dipende dal campo di spostamenti del terreno e, ad esempio,

l’opera è sottoposta a pre-tiro, il sistema lavora in modo ‘attivo’; se al contrario

l’azione A dipende dall’evoluzione degli spostamenti e con essi è attivata,

l’intervento si considera ‘passivo’. Ovviamente è possibile combinare i due modi

di lavoro dell’opera.



1.3.4. Le tipologie più diffuse di opere stabilizzanti

Vengono qui di seguito brevemente descritte le strutture più utilizzate in questo

ambito.

Muri ancorati

Hanno lo scopo di prevenire lo smottamento di pendii naturali ripidi o di

assicurare la stabilità di pendii artificiali sagomati. La struttura può essere

considerata rigida rispetto al terreno circostante e si ha così un problema di

interazione superficiale tra struttura e terreno. I muri sono generalmente ancorati

e l’ancoraggio è pre-tirato così che il sistema lavori in condizioni attive.

Pali e tiranti

I pali sono opere strutturali deformabili utilizzati per la stabilizzazione di pendii.

La loro deformabilità dipende dall’elevato rapporto L/D, in cui L è la lunghezza

del palo e D il suo diametro.

A seconda dell’intervento da attuare e delle condizioni al contorno, i pali possono

essere infissi, trivellati, prefabbricati o gettati in opera.

Possono essere utilizzati sia per la stabilizzazione di meccanismi di collasso

rotazionali, sia traslazionali e la loro giacitura risulta tendenzialmente verticale.

L’utilizzo di un singolo palo non è sensato e per questo in letteratura si parla più

frequentemente di gruppi di pali secondo file (palificata) ed eventualmente su più

ordini.

Solitamente i pali vengono ancorati alla zona di terreno stabile, tramite dei tiranti.



Figura 1.9 Esempio di pali come opere di sostegno.

Pozzi drenanti

Gli interventi di drenaggio sono opere atte a raccogliere e allontanare sia le acque

superficiali che quelle profonde, in modo da impedire il formarsi di elevate

pressioni interstiziali, tra le principali cause di collasso di pendii e scarpate. Lo

scopo dei dreni è quindi quello di modificare il regime delle pressioni dell'acqua,

diminuendo le sottospinte e le forze di filtrazione. Se però l’opera drenante ha

dimensioni considerevoli ed è costruita con materiali strutturali come il

calcestruzzo, il suo funzionamento è anche strutturale oltre che idraulico, come

nel caso dei pozzi drenanti. L’intervento consiste nella realizzazione di file di

pozzi di diametro generalmente compreso fra 1 e 2m. Le acque di drenaggio

vengono smaltite per gravità, realizzando i collettori di fondo.

Sistemi corticali di chiodature

Sono sistemi superficiali e flessibili, composti da una rete che ricopre il pendio e

da chiodature inserite nel terreno, fino ad ancorarsi alla parte stabile del terreno.

I chiodi sono fissati in superficie e alla rete tramite una piastra di piccole

dimensioni. Essi funzionano come veri e propri tiranti e hanno anche un ruolo di

‘cucire’ la massa instabile al terreno stabile.

I sistemi corticali sono l’oggetto di studio di questo elaborato e verranno

esaustivamente descritti nel capitolo 4.

L’analisi di stabilità dei pendii


2. L’analisi di stabilità dei pendii

La stabilità dei pendii è un problema di notevole complessità poiché dipende da

numerose variabili: la geometria, la morfologia e la stratigrafia dell’area, i

materiali coinvolti, la posizione della falda acquifera e altro.

La risoluzione di un problema di stabilità richiede la presa in conto delle equazioni

di campo cioè di equilibrio di legame costitutivo del materiale che descrivono il

comportamento del terreno. Tali equazioni risultano particolarmente complesse

in quanto i terreni sono dei sistemi multifase, che possono essere ricondotti a

sistemi monofase solo in condizioni di terreno secco o di analisi in condizioni non

drenate.

Inoltre è praticamente impossibile definire una legge costitutiva di validità

generale, in quanto i terreni presentano un comportamento non-lineare già a

piccole deformazioni e per questo le equazioni devono essere scritte in forma

incrementale. Inoltre i terreni hanno comportamento anisotropo, il che complica

ulteriormente la risoluzione del problema.

Gli approcci numerici, come l’analisi agli elementi finiti, permetterebbero di

studiare il problema nella sua complessità. Essi però richiedono una conoscenza

profonda della modellazione e risultano onerosi dal punto di vista

computazionale; per questo un programma 3D come ad esempio un codice FEM

può essere più consono in una fase di verifica del problema, ma non allo scopo di

progettare.

A causa di tali difficoltà vengono introdotte alcune ipotesi semplificative al fine

di risolvere il problema della stabilità dei pendii.



2.1. Il metodo dell’equilibrio limite per l’analisi di

stabilità di un pendio

I metodi di analisi della stabilità dei pendii più diffusi ed utilizzati nella pratica

professionale sono metodi all’equilibrio limite, che ipotizzano per il terreno un

comportamento rigido – perfettamente plastico. Si immagina cioè che il terreno

non si deformi fino al raggiungimento della condizione ultima, e che, in

condizioni di rottura, la resistenza al taglio si mantenga costante lungo la

superficie di rottura e indipendente dalle deformazioni accumulate. Da tale

ipotesi, fortemente semplificativa, consegue che:

- La rottura si manifesta lungo una superficie netta di separazione tra la

massa ad incipiente collasso e il terreno stabile;

- La massa in frana è un blocco rigido e il campo di spostamenti all’interno

del dominio di rottura può quindi essere descritto da un atto di moto rigido;

- La resistenza mobilitata lungo la superficie di scorrimento in condizioni

di equilibrio limite è costante nel tempo, indipendente dalle deformazioni,

e ovunque pari alla resistenza al taglio F;

Non è possibile determinare né le deformazioni precedenti la rottura, né l’entità

dei movimenti del blocco, né la velocità del fenomeno. Infatti il limite fisico della

formulazione dell’equilibrio limite è il fatto che non considera la relazione

costitutiva sforzi-deformazioni per assicurare la congruenza degli spostamenti. Il

problema della stabilità di un pendio è per sua natura intrinsecamente iperstatico.

Ulteriori ipotesi semplificative, diverse da un metodo all’altro, sono necessarie

allora per rendere il problema staticamente determinato. L’analisi fornisce come

risultati la superficie di scorrimento critica, superficie per la quale il rapporto fra

resistenza disponibile e resistenza mobilitata assume il valore minimo, e il

coefficiente di sicurezza FS, che può assumere il significato di rapporto fra

resistenza disponibile e resistenza mobilitata. Ne consegue che, a parità di



geometria e di caratteristiche fisico-meccaniche del terreno, il risultato

dell’analisi non è unico ma dipende dal metodo adottato, in conseguenza alle

ipotesi che tale metodo assume.

Nel caso in cui la geometria del pendio sia complessa, il terreno sia stratificato,

sia presente una falda, si considerino le condizioni drenate, un metodo

all’equilibrio limite di largo impiego è il metodo dei conci, che prevede di

dividere il dominio in conci a facce verticali, mettendo in evidenza le azioni

iperstatiche (Figura 2.1).

Figura 2.1 (a) discretizzazione di un pendio in conci; (b) forze agenti sul concio i-esimo.

Il numero di queste ultime è funzione del numero n dei conci in cui si decide

arbitrariamente di scomporre la geometria ed è inversamente proporzionale allo

spessore ∆x del concio i-esimo. Normalmente si tende a suddividere la geometria

in conci di uguale larghezza.

Anche le linee che definiscono le frontiere superiore e inferiore del dominio a

rottura sono discretizzate mediante delle spezzate, cosicché alla base di ciascun

concio agiscono le forze (tutte per unità di profondità) risultanti Ti, N’i e Ui ed è

possibile calcolare facilmente il peso del singolo concio Wi.

Le incognite sono:

• il coefficiente di sicurezza FS che è assunto costante lungo tutta la frontiera del

dominio [1]



• Ti [n], N’i [n], ai [n] (essendo ai la variabile che definisce il punto di applicazione

della forza N’i normale alla base),

• Hi [n-1], Vi [n-1] e hi [n-1] (che definiscono i punti di applicazione delle forze

Hi)

Il numero di incognite totali è 6n-2.

Per quanto riguarda invece il numero di equazioni a disposizione, abbiamo 3n

equazioni di equilibrio (equilibrio in direzione verticale, in orizzontale ed

equilibrio alla rotazione) ed n equazioni che descrivono il legame costitutivo a

rottura lungo la frontiera del meccanismo, per un totale di 4n equazioni.

Ne risulta un problema con un numero di iperstatiche pari a 2n-2.

Non avendo a disposizione le equazioni di congruenza né tanto meno il legame

costitutivo all’interno del dominio è necessario quindi introdurre delle ipotesi

semplificative che ci permettano o di ridurre il numero di incognite o di

disaccoppiare il sistema. Seguendo questa logica, negli ultimi 50 anni, sono stati

introdotti vari metodi approssimati, tra questi, qui di seguito sono citati alcuni tra

i più noti e più utilizzati.

Un’ipotesi comune a molti metodi (ma non a tutti), fra cui quello degli autori

Fellenius (1927) e Bishop (1955) descritti nei paragrafi successivi ( 2.1.1 e 2.1.2),

è l’ipotesi di superficie di scorrimento circolare, sufficientemente ben verificata

quando non vi siano condizioni stratigrafiche e geotecniche particolari.

Se si accetta tale ipotesi, il coefficiente di sicurezza risulta pari al rapporto fra

momento stabilizzante Ms e momento ribaltante Mr, rispetto al centro di

rotazione:

𝐹𝑆 = ∑ 𝑇𝑓𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1

= 𝑀𝑆

𝑀𝑅

Nelle condizioni drenate, esplicitando le espressioni dei momenti si ha quindi:



𝐹𝑆 =𝑀𝑆

𝑀𝑅=

∑ [𝑐′ · 𝛥𝑙𝑖 + 𝑁′𝑖𝑛𝑖=1 · tan 𝜑′𝑖]

∑ 𝑊𝑖𝑛𝑖=1 · sin 𝛼𝑖

c’ e ’ sono i parametri di resistenza meccanica del materiale, rispettivamente la

coesione e l’angolo di attrito; è l’angolo di inclinazione della base del concio

considerato.

La superficie cui è associato il minimo valore del coefficiente di sicurezza deve

essere determinata per tentativi, perché la circonferenza critica è determinata

quando se ne conoscano la posizione del centro ed il raggio.

Le variabili che definiscono il problema sono quindi 3: le coordinate del centro

della circonferenza x0 e y0 e il raggio R. Le coordinate vengono fatte variare,

fissato il raggio e viceversa. Al variare del raggio R, l’ampiezza del meccanismo

varia e così il coefficiente di sicurezza. Chiamiamo con FS0 il coefficiente di

sicurezza minimo al variare di R, una volta fissato il centro di istantanea rotazione

O. Analogamente facciamo ora variare la posizione del centro di istantanea

rotazione O nel piano. Si può quindi costruire sul piano una griglia di punti ai

quali associare un FS0. In questo modo è possibile costruire delle curve di livello

ad FS0 costante (curve isoFS) e trovare il valore di FS minimo.

Utilizzando griglie più fitte è possibile approssimare meglio il valore del

coefficiente di sicurezza minimo.

2.1.1. Il metodo di Fellenius (1927)

Si consideri come frontiera del meccanismo di rottura un arco di circonferenza.

Un’ipotesi comune a quasi tutti i metodi è che il punto di applicazione della N’i

di base coincida con la mezzeria del concio stesso:

𝑎𝑖 = 𝛥𝑥

2 cos 𝛼𝑖



L’ipotesi distintiva di questo metodo è considerare nulle le forze che si scambiano

i conci fra loro sulle facce verticali, ovvero si impone in questo modo che l’i-

esimo concio sia staticamente isostatico, come accade nel caso di un pendio

infinitamente esteso. Si intuisce quindi che la soluzione di Fellenius si avvicina a

quella esatta per meccanismi di rottura con basso rapporto tra altezza media e

lunghezza del pendio, ovvero per frane superficiali.

Grazie alle precedenti semplificazioni vengono eliminate 4n-3 incognite e ne

rimangono 2n+1, numero inferiore alle 4n equazioni di equilibrio a disposizione.

Il metodo prevede dunque di scrivere l’equilibrio alla traslazione in direzione

normale alla base del singolo concio, per cui si ottiene:

𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 = 𝑁′𝑖 + 𝑈𝑖 + (𝑈𝑖,𝑑 − 𝑈𝑖,𝑠) sin 𝛼𝑖

Si scrive la legge di rottura alla Mohr-Coulomb alla base del singolo concio e

sostituendo l’espressione di N’ calcolata tramite l’equilibrio normale, si ottiene:

𝑇𝑖 = 𝑐′𝛥𝑥

𝐹𝑆 cos 𝛼𝑖+

𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑈𝑖 − (𝑈𝑖,𝑑 − 𝑈𝑖,𝑠) sin 𝛼𝑖

𝐹𝑆 tan 𝜑′𝑖

Il coefficiente di sicurezza ha il compito di ridurre il valore delle componenti

resistenti più incerte, dunque la tangente dell’angolo di attrito e la coesione.

Successivamente si scrive l’equilibrio globale alla rotazione attorno al CIR:

𝑅 ∑ 𝑊𝑖

𝑛

𝑖=1

sin 𝛼𝑖 = 𝑅 ∑ 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

=

= 𝑅 ∑𝑐′𝛥𝑥

𝐹𝑆 cos 𝛼𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑈𝑖 − (𝑈𝑖,𝑑 − 𝑈𝑖,𝑠) sin 𝛼𝑖

𝐹𝑆 tan 𝜑′𝑖



Da cui:

𝐹𝑆 = ∑

𝑐′𝛥𝑥cos 𝛼𝑖

+ (𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑈𝑖 − (𝑈𝑖,𝑑 − 𝑈𝑖,𝑠) sin 𝛼𝑖) tan 𝜑′𝑖𝑛𝑖=1

∑ 𝑊𝑖𝑛𝑖=1 sin 𝛼𝑖

Si ottiene un’espressione esplicita di FS. Infine si procede con la ricerca del

minimo FS, come spiegato sopra.

L’espressione ricavata da Fellenius è semplice, ma fornisce risultati troppo

conservativi, soprattutto per superfici profonde.

2.1.2. Il metodo di Bishop (1955)

L’autore ipotizza nulle le forze di taglio Vi, facendo scendere il numero di

incognite a 4n-3. Inoltre, considerando che le forze laterali Hi siano orizzontali,

per disaccoppiare il problema Bishop sceglie di calcolare unicamente l’equilibrio

alla traslazione verticale del singolo concio:

𝑊𝑖 = 𝑁′𝑖 cos 𝛼𝑖 + 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑇𝑖 sin 𝛼𝑖

Sostituendo la legge di rottura alla Mohr-Coulomb:

𝑊𝑖 = 𝑁′𝑖 cos 𝛼𝑖 + 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖 (𝑐′𝛥𝑥

𝐹𝑆 cos 𝛼𝑖+

𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑈𝑖

𝐹𝑆 tan 𝜑′

𝑖)

Da cui si ricava l’espressione di N’, che dipende anche da FS, ragione per cui FS

andrà ricercato iterativamente:



𝑁′𝑖 =𝑊𝑖 − 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 −

𝑐′𝛥𝑥𝐹𝑆 cos 𝛼𝑖

cos 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖

tan 𝜑′𝑖

𝐹𝑆

Imponendo l’equilibrio alla rotazione globale si ottiene:

𝐹𝑆 =

∑ (𝑊𝑖 − 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 −


cos 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖

tan 𝜑′𝑖

𝐹𝑆

tan 𝜑′𝑖

+𝑐′𝛥𝑥

cos 𝛼𝑖)𝑛

𝑖=1


La ricerca di FS minimo richiederà un’ulteriore iterazione, oltre a quella

necessaria per ricavare il valore di FS, causata dalla non linearità della legge

costitutiva. Nonostante la doppia iterazione richiesta, il metodo di Bishop è quello

più adottato ed implementato.

2.1.3. Il metodo di Janbu (1967)

Janbu estese il metodo di Bishop a superfici di rottura di forma qualsiasi, ma

rimuovendo l’ipotesi di superficie di rottura circolare la minimizzazione del

coefficiente di sicurezza diventa molto complessa, infatti il braccio delle forze

non è più pari al raggio. Allora risulta più conveniente ricavare l’equazione del

momento rispetto allo spigolo di ogni concio.

Un’ulteriore incognita è la forza di taglio V sulla superficie laterale a monte del

blocco. Il numero totale di incognite sale quindi a 6n-1. Si aggiunge l’ipotesi

riguardante il punto di applicazione delle N’i ed n-1 ipotesi che definiscono la

posizione delle forze Hi. Risultano infine 4n incognite, pari al numero di

equazioni linearmente indipendenti a disposizione.

Se si ipotizza che le forze V siano nulle, si ottiene una versione simile al metodo

di Bishop. Si ricava l’espressione di FS:



𝐹𝑆 =

∑ [(𝛥𝑊 − 𝑢𝛥𝑏) tan 𝜑′𝑖

+ 𝑐′𝛥𝑏]𝑠𝑒𝑐2𝛼

1 +1

𝐹𝑆 tan 𝛼 tan 𝜑′

𝑛𝑖=1

∑ 𝛥𝑊 tan 𝛼𝑛𝑖=1

2.2. Progettazione: l’approccio per sottostrutture

Il progetto di strutture stabilizzanti rimane uno dei problemi ostici per gli

ingegneri, poiché dipende da numerosi fattori quali: la geometria del sistema, il

tipo e l’entità delle forze agenti, le proprietà meccaniche dei materiali coinvolti, i

vincoli strutturali, l’entità e la forma del campo di spostamenti nel dominio. In

presenza di strutture stabilizzanti come pali o dreni, si aggiunge anche il problema

di interazione tra terreno e struttura e l’analisi di stabilità si complica.

È possibile trattare una così ampia gamma di variabili per mezzo di codici

numerici 3D quali codici FE o FD. Tuttavia queste analisi possono rivelarsi

dispendiose in termini di tempo ed occorre un’esperta conoscenza della

modellazione in questo campo.

Dunque, nella pratica ci si avvale di procedure di ottimizzazione per il progetto

di sistemi di stabilizzazione dei pendii, basandosi sul confronto tra varie soluzioni

progettuali.

Un approccio molto amato dagli ingegneri geotecnici, che si trovano a dover

affrontare problemi dove l’eterogeneità domina la risposta del sistema, è quello

di lavorare per sottostrutture.

Questo significa considerare da un lato la sottostruttura composta dall’opera

strutturale di stabilizzazione e dall’altro il terreno circostante. Ragionando in

questo modo, è anche possibile operare una distinzione all’interno della

sottostruttura terreno e definire un sottodominio (in generale di estensione finita)



all’interno del quale è possibile individuare un campo di spostamenti variabile nel

tempo a causa di processi gravitativi in atto.

Una volta identificato il campo di velocità nel pendio si procede con la stima delle

azioni di sostegno necessarie. Segue la scelta della tipologia strutturale

dell’intervento. Il passo successivo consiste nel dimensionamento dell’intervento

ed infine la verifica dell’opera.

La procedura brevemente riassunta è descritta nella figura 2.2.

Figura 2.2: a.) identificazione del campo di velocità del pendio; b.) stima delle azioni di sostegno; c.) scelta

della tipologia di intervento; d.) dimensionamento e verifiche dell’opera. (Politecnico di Milano, 2018).

Nell’ambito della progettazione si possono adottare diversi approcci, senza

ricorrere alla più completa ma complessa analisi agli elementi finiti. Vengono di

seguito elencati tre approcci progettuali.



2.2.1. L’equilibrio limite e lo stato limite ultimo

I metodi dell’equilibrio limite si riferiscono allo stato limite ultimo del sistema,

ovvero ne studiano la stabilità in condizioni di collasso.

Le azioni di sostegno, A, influenzano la stabilità, facendo aumentare FS, ma

quest’ultimo non dipende dal campo di spostamenti del pendio.

Nel caso dell’equilibrio limite si considera una superficie di rottura nota, che

chiameremo in questo elaborato F, e si esprime l’equilibrio della massa di terreno

instabile rispetto a questo particolare cinematismo.

L’equazione che governa il problema è:

𝐸𝑘𝐹 =

𝑅𝑘𝐹

𝐹𝑆+ 𝐴𝑘

𝐹

In cui E sono le azioni instabilizzanti, R le resistenze del terreno e A le azioni

stabilizzanti fornite dall’intervento. FS è il fattore di sicurezza globale del pendio.

Il pedice k indica che le quantità sono calcolate rispetto ai valori caratteristici dei

parametri, mentre l’apice F specifica che i termini si riferiscono alla particolare

superficie di scorrimento scelta.

Se si fa riferimento alle Norme Tecniche NTC, si passa dalle quantità

caratteristiche a quelle di progetto (indicate col pedice d che sta per ‘design’), per

mezzo di coefficienti parziali ottenuti da un’analisi semiprobabilistica. In tal caso

si perde il concetto di FS e l’equazione diventa:

𝐸𝑑𝐹 ≤ 𝑅𝑑

𝐹 + 𝐴𝑑𝐹

Impiegando l’equilibrio limite non è possibile valutare né l’entità dei movimenti

del blocco, né la velocità del fenomeno.



2.2.2. I metodi ibridi

Il metodo ibrido rappresenta un’estensione del metodo dell’equilibrio limite;

quest’ultimo è un approccio troppo semplificato e non fornisce informazioni

riguardo gli spostamenti del pendio.

Nel caso dei metodi ibridi si introduce una generalizzazione della equazione:

𝐸𝑘𝐹 =

𝑅𝑘𝐹

𝐹𝑆+ 𝐴𝑘

𝐹

in cui forze di sostegno A sono scritte come funzione del campo scalare di

spostamenti del terreno: A(U).

Figura 2.3 Rappresentazione schematica dello spostamento che attiva la forza.

Un sistema stabilizzante attivo garantisce la stabilità per mezzo di una azione di

pre-tiro e non richiede spostamenti per essere attivato.

In un intervento passivo, al contrario, le azioni stabilizzanti A si attivano al

crescere degli spostamenti del terreno. La relazione esistente tra le forze offerte



dal sistema stabilizzante e gli spostamenti del terreno è nota come “curva

caratteristica”, tipica di ogni sistema.

𝐴𝑘𝐹 = 𝐴𝑘

𝐹(𝑈)

𝐸𝑘𝐹 =

𝑅𝑘𝐹

𝐹𝑆+ 𝐴𝑘

𝐹(𝑈)

Il termine U è una quantità scalare che rappresenta l’ampiezza degli spostamenti

in un punto specifico di interesse appartenente alla massa di terreno instabile.

Questa è certamente una semplificazione, poiché nella realtà U è una quantità

vettoriale che dipende dal punto in esame.

La curva caratteristica è calcolata sotto l’ipotesi che la presenza della struttura

non modifichi il profilo degli spostamenti del terreno.

L’equazione 𝐸𝑘𝐹 =

𝑅𝑘𝐹

𝐹𝑆+ 𝐴𝑘

𝐹(𝑈) rappresenta una correlazione diretta tra gli

spostamenti del terreno e l’FS globale del pendio.

Dunque, fissato il meccanismo di rottura F, si ottiene il grafico di FS al crescere

di U. Ogni meccanismo dà origine a una curva diversa e si può così definire un

inviluppo di tali curve nel piano FS-U.

Figura 2.4 a) Esempi di curve caratteristiche e b) relazioni tra FS e ampiezza dello spostamento.

L’attivazione delle azioni A può però portare a una modifica del meccanismo di

collasso iniziale, cioè potrebbero insorgere nuovi meccanismi di rottura e dunque

è necessario verificare tutti i possibili cinematismi di collasso.



Si noti che la curva caratteristica può presentare un comportamento “duttile”, con

crescita monotòna dell’azione stabilizzante fino al suo valore limite, oppure

“fragile”, con un marcato decremento dell’azione dopo un valore di picco. Il

comportamento “duttile” è tipico delle sabie sciolte o argille tenere, mentre quello

“fragile” è legato a argille dure o rocce deboli.

I metodi ibridi rappresentano un passo intermedio verso il più completo metodo

negli spostamenti.

2.2.3. Metodo negli spostamenti

Prima che si sviluppi la zona di localizzazione che dà origine alla frana, la massa

di terreno non può considerarsi un corpo rigido e quindi il profilo del campo di

spostamenti non può essere considerato uniforme. Diventa necessario studiare

l’interazione tra la struttura inserita nel terreno e il terreno stesso, i quali si

influenzano a vicenda. In questo caso occorre considerare l’equazione completa

del moto della massa instabile, e lo strumento a disposizione è ancora la curva

caratteristica, che lega le azioni stabilizzanti agli spostamenti del terreno.

Integrando l’equazione del moto si ottiene la completa evoluzione degli

spostamenti, così da poter anche verificare l’efficacia dell’intervento in termini di

riduzione degli spostamenti, oltre che dell’aumento del coefficiente di sicurezza

(Figura 2.5).

In particolare, in questo elaborato si studia la stabilità di un pendio partendo dal

metodo dell’equilibrio limite, si progetta un intervento prima allo SLU e poi

avvalendosi del metodo ibrido e infine si valuta l’efficienza del sistema progettato

con il metodo negli spostamenti.



Figura 2.5 Descrizione schematica dei tra approcci progettuali.

I Sistemi Corticali


3. I Sistemi Corticali

Figura 3.1 I sistemi corticali.

In questa tesi si vuole analizzare la stabilità di un pendio in materiale sciolto reso

stabile tramite il metodo delle chiodature passive con rete corticale; di seguito si

spiega nel dettaglio il funzionamento di tale sistema.

Le chiodature sono delle inclusioni rettilinee a sezione prevalentemente circolare,

caratterizzate da un elevato valore di rigidezza e resistenza a trazione che

prevalentemente lavorano in condizioni passive.

Sono dei sistemi che si ancorano sia in superficie, per mezzo della rete e delle

piastre, sia in profondità attraverso i chiodi, legando così la zona superficiale e

quella profonda. I chiodi sono delle inclusioni snelle, il cui rapporto tra lunghezza

e diametro è molto elevato; tuttavia il loro comportamento viene assunto rigido e

non si considera lo scivolamento del terreno attorno.

Una chiodatura è formata da un’armatura metallica a sezione piena e da un

copriferro in calcestruzzo avente la doppia funzione di rivestimento per

I Sistemi Corticali


l’armatura e di cementazione della stessa al materiale circostante. Il rivestimento

è in genere considerato necessario per aumentare la durabilità e limitare i danni

dovuti alla corrosione. L’effetto cementante è invece essenziale per migliorare i

meccanismi di interazione fra inclusione e terreno circostante.

In testa ad ogni chiodo sono presenti: le piastre metalliche, una rete che ricopre

l’intero sistema e un geo-rinforzo (Figura 3.2).

Figura 3.2 Sistemi Corticali.

I sistemi corticali sono superficiali e deformabili e presentano un comportamento

simile a una membrana. Le barre metalliche dei chiodi sono inserite nel terreno e

hanno la funzione meccanica di ancorare la rete allo strato profondo di terreno

stabile, sia esso di materiale sciolto o di roccia e agiscono quindi come una sorta

di cucitura tra due corpi rigidi che traslano uno rispetto all’altro.

Solitamente questi sistemi sono pensati per un funzionamento attivo, quindi alla

testa del chiodo viene applicata una forza di pre-tiro; essa conferisce un aumento

di sforzi normali sul piano di potenziale scivolamento, il che, per la legge di

rottura alla Mohr-Coulomb, causa un aumento dello sforzo di taglio resistente.

I Sistemi Corticali


In presenza di ampi spostamenti del terreno, però, il sistema può funzionare come

un ancoraggio passivo, senza necessità di un pre-tiro. Per un meccanismo

prevalentemente traslazionale, per cui il campo di spostamenti è pressoché

uniforme, un sistema passivo di questo genere non è efficace perché i tiranti sono

inseriti perpendicolarmente al pendio e quindi servono spostamenti anch’essi

normali.

Il funzionamento dei sistemi corticali

Il sistema corticale si compone di varie parti:

- Le barre di ancoraggio in acciaio.

- La rete metallica che copre la superficie del pendio.

- Lo strato di geo-rinforzo che ha il ruolo di evitare lo sprofondamento della

rete nel terreno.

- La piastra metallica che tipicamente ha forma romboidale con un buco

circolare dove è agganciato il tirante del chiodo.

- Il bulbo di ancoraggio profondo, ottenuto da grouting.

- Le bio-griglie che permettono la crescita della vegetazione.

Figura 3.3 Rappresentazione schematica dei Sistemi Corticali.

I Sistemi Corticali


Di seguito si spiega il funzionamento dei sistemi corticali, facendo riferimento

all’articolo di Claudio Giulio di Prisco, Fulvio Besseghini e Federico Pisanò

(Modelling of the mechanical interaction between anchored wire meshes and

granular soils, Geomechanics and Geoengineering, September 2010). Tutte le

analisi in questo articolo sono svolte considerando un pendio infinitamente esteso,

quindi con geometria monodimensionale. Il caso di studio di questa tesi tratterà

invece un pendio bidimensionale, con meccanismo rotazionale, e il contenuto

dell’articolo verrà adattato al caso analizzato.

L’effetto stabilizzante delle chiodature può essere analizzato per mezzo del già

descritto equilibrio limite, adottando le seguenti ipotesi semplificative:

- L’azione data dal pre-tiro non diminuisce nel tempo, cioè si trascurano gli

effetti viscosi.

- La piastra metallica è rigida.

- Le forze trasmesse dalle barre attraverso il terreno agiscono inalterate sul

piano di scorrimento.

- Per uno strato omogeneo inclinato, il fattore di sicurezza può essere

ricavato imponendo il classico bilancio dei momenti per un volume

elementare di pendio.

𝐹𝑆 =(𝑊 cos 𝛼 + �̅�) tan 𝜑′ + 𝑐′𝑆𝑥𝑆𝑦

𝑊 sin 𝛼

=tan 𝜑′

tan 𝛼+

�̅�

𝛾𝑆𝑥𝑆𝑦𝐻

tan 𝜑′

sin 𝛼+

𝑐′

𝛾𝐻 sin 𝛼

H è lo spessore dello strato potenzialmente instabile; è il peso specifico del

terreno; �̅� è la forza assiale agente nelle barre, che si assume perpendicolare alla

superficie; è l’inclinazione del pendio; ’ è l’angolo di attrito all’interfaccia.

Equazione 1

I Sistemi Corticali


Come è immediato notare, FS può essere aumentato diminuendo la spaziatura tra

le barre o anche aumentando la forza del pre-tiro.

Infine Sx e Sy sono le spaziature tra le barre e giocano un ruolo fondamentale nel

progetto dell’intervento. Sono definite come mostrato in Figura 3.4.

Per valutare �̅� è necessario modellare i meccanismi di interazione tra le barre, la

piastra, la rete e il geotessile. L’obbiettivo di questa analisi è valutare �̅� in

funzione del cedimento della piastra v0. Come rappresentato in Figura 3.5, sulla

piastra agiscono tre forze: (i) �̅� agente nella barra, (ii) la risultante degli sforzi

normali che il terreno esercita sulla piastra, (iii) TN, la forza che la rete trasmette

alla piastra. Dunque scrivendo l’equazione di equilibrio alla rotazione per la

piastra si ottiene:

�̅�(𝑣0) = 𝑇𝑁(𝑣0) + 𝑁(𝑣0)

L’equilibrio in direzione verticale, in riferimento alla rete, consente invece di

ottenere 𝑇𝑁:

𝑇𝑁(𝑣0) = ∫ 𝑡(𝑙,.

𝑠𝜎

𝑣0) sin 𝛽 (𝑙, 𝑣0)𝑑𝑙 = ∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑣0)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝑦

0

𝑆𝑥

0

Dove t(l) è la forza di trazione per unità di lunghezza agente lungo il perimetro

della piastra, l è la coordinata curvilinea che descrive appunto il perimetro, (l) è

l’angolo di inclinazione della rete in prossimità della piastra e infine p(x,y) è la

pressione di confinamento che la rete trasmette direttamente al terreno lungo la

direzione verticale.

Il secondo termine della equazione 2, 𝑁(𝑣0), per chiarezza può essere distinto in

due contributi: uno legato alla capacità portante della piastra se non esistesse la

rete (N*), l’altro è un termine di accoppiamento tra la piastra e la rete, la quale

Equazione 2

Equazione 3

I Sistemi Corticali


aumenta la capacità portante della piccola piastra e non permette lo sviluppo del

meccanismo di rottura di Prandtl (𝑁𝐶𝑂).

𝑁(𝑣0) = 𝑁∗(𝑣0) + 𝑁𝐶𝑂(𝑣0)

Vengono assunte delle ipotesi semplificative:

- La piastra è rigida e con resistenza infinita.

- La rete si comporta essenzialmente come una membrana.

- La geometria è assialsimmetrica pertanto sia la piastra che la rete si

assumono a geometria circolare e anche i vincoli sono simmetrici.

Il contributo della piastra

La curva di N*(v0) si ricava dalla relazione di Butterfield (1980) per una

fondazione superficiale su terreno sabbioso:

𝑁∗

𝑁𝑀∗ = 1 − 𝑒

(−𝑅0𝑣0𝑁𝑀

∗ )

Dove NM* è la capacità portante della fondazione e R0 è la rigidezza iniziale.

Questi sono notevolmente influenzati da alcuni fattori, tra cui le piccole

dimensioni della piastra e la distribuzione granulometrica del terreno sottostante,

dalle barre vincolate alla piastra e dai grandi spostamenti imposti alla piastra, che

possono far insorgere effetti del second’ordine.

Se R0 non è influenzato dalla presenza della rete, la capacità portante NM è

severamente influenzata dalla pressione che la rete esercita sul terreno, tanto da

poter scrivere NM come la somma di un contributo dato dalla capacità portante

della piastra in assenza di rete (𝑁𝑀∗ ) più un incremento dato dal confinamento

associato alla rete (∆𝑁𝑀), pari al valore massimo di NCO, termine di

accoppiamento:

Equazione 4

Equazione 5

I Sistemi Corticali


𝑁𝑀 = 𝑁𝑀∗ + ∆𝑁𝑀

Figura 3.4 Il ruolo della spaziatura tra i chiodi: (a) la piastra e (b) il blocco tridimensionale potenzialmente

instabile.

Equazione 6

I Sistemi Corticali


Figura 3.5 Il sistema di ancoraggio superficiale: (a) vista schematica, (b) forze agenti sulla piastra, (c)

pressione di confinamento addizionale garantita dalla rete.

I Sistemi Corticali


Il contributo della rete TN

La rete si comporta come una membrana bidimensionale, caratterizzata da alta

resistenza e rigidezza a trazione e da rigidezza flessionale trascurabile.

La rete ha un duplice effetto benefico: uno legato alla sua risposta membranale

che fa insorgere TN, l’altro associato agli sforzi normali che la rete trasmette al

terreno circostante, che generano il carico distribuito p(x, y, v0).

Sfruttando la geometria, si introducono due coordinate polari, una

circonferenziale, 𝜗, e l’altra radiale, r, come illustrato in Figura 3.6.

Figura 3.6 Geometria per il calcolo numerico.

Per ricavare p(r,, v0) e TN(v0) si assumono le seguenti ipotesi:

- La rete metallica e il geotessile sottostante vengono considerati come

un’unica membrana.

I Sistemi Corticali


- L’interazione tra tale membrana fittizia e il terreno su cui poggia è

interpretata tramite delle molle, che per semplicità vengono considerate

solo verticali (figura 3.8c-d).

- Si assumono noti gli spostamenti del terreno in direzione r, per ogni

spostamento della piastra v0.

- La membrana che rappresenta la rete ha un coefficiente di Poisson nullo,

in modo che gli sforzi tangenziali in direzione siano trascurabili rispetto

a quelli lungo il raggio r. Ne consegue che ciascun settore radiale lavora

indipendente l’uno dall’altro e in parallelo. È possibile quindi descrivere

questi settori circolari per mezzo di un numero finito di elementi di trave

monodimensionali.

Dunque, si assume che la membrana sia composta da settori circolari che lavorano

in parallelo, rappresentati da elementi monodimensionali; le incognite del

problema sono lo spostamento verticale v(r) e quello orizzontale u(r). Vengono

invece imposte le componenti verticale e radiale dello spostamento del terreno,

rispettivamente v*(r) e u*(r). Per semplicità u*(r) si impone nulla, mentre per

v*(r) viene impiegata la soluzione elastica standard per un mezzo isotropo ed

omogeneo.

L’andamento dello spostamento verticale è stato anche ricavato per mezzo di

funzioni di forma, F[r/(P/2)] (Figura 3.7).

Nel segmento OS (Figura 3.8) v* vale v0; per r > F=2 l’andamento di v* è

calcolato tramite l’espressione di Foster and Azhlvin (1954, Poulos and Davis

1974), i quali però si riferiscono a una fondazione deformabile superficiale a base

circolare, su cui agisce una pressione verticale costante. I due autori forniscono il

fattore di inflessione normalizzato, ricavato lungo la profondità, per valori discreti

della coordinata r.

I Sistemi Corticali


Figura 3.7 Funzione di forma del cedimento elastico attorno alla piastra: valori e adattamento numerico di

Foster and Azhlvin.

Il processo di carico è simulato numericamente imponendo nella zona OS una

traslazione rigida in direzione verticale, che equivale a scrivere il vincolo

cinematico �̇� = �̇�∗ = �̇�0, uguaglianza ottenuta imponendo che le molle nella zona

OS abbiano rigidezza assiale infinita.

Ogni molla è descritta dalla seguente relazione costitutiva:

[𝐹𝑉

𝐹𝐻] = [

𝑘𝑣 00 𝑘𝑢

] (𝑣 − 𝑣∗

−𝑢∗ − (𝑢−𝑢∗)𝑃𝐿)

FV e FH sono le forze verticale e radiale che le molle trasmettono alla rete nei nodi

(Figura 3.8 c), kv and ku sono rispettivamente le rigidezze elastiche verticale e

orizzontale e (u-u*)PL è lo spostamento relativo plastico in direzione orizzontale

dovuto alla presenza degli scivolatori orizzontali (Figura 3.8 d).

I Sistemi Corticali


Il valore da attribuire a kv dipende dalla geometria della rete, ovvero dal diametro

dei fili di metallo e dall’angolo delle aperture romboidali della rete e anche dalla

presenza del geosintetico sottostante. Nell’articolo di Di Prisco, Besseghini e

Viganò viene presentato un esempio di calibrazione di kv. In direzione radiale

invece, le molle sono elasto-plastiche; gli scivolatori plastici sono in serie con le

molle tangenziali, come mostrato in Figura 3.8, e dunque si genera attrito per

scivolamento tra il terreno e il geotessile, fenomeno descritto dalla legge di rottura

alla Mohr-Coulomb.

Risolvendo numericamente il problema negli spostamenti appena descritto è

possibile ricavare p(r,v0) e TN(v0)

I Sistemi Corticali


Figura 3.8 Rappresentazione schematica di (a) rete metallica nella configurazione indeformata, (b) rete

metallica nella configurazione deformata, (c) molle elasto-plastiche di contatto normale e (d) molle elasto-

plastiche di contatto tangenziale.

I Sistemi Corticali


Validazione del modello

Una volta implementato il modello descritto, è possibile simulare la risposta della

rete a un test di punzonamento. Alla fine del test, la rete è snervata e penetra nel

terreno.

Per ogni settore circolare si può calcolare la tensione Tj, ad ogni step temporale,

durante la progressiva deformazione della rete. Tj viene proiettato in direzione

verticale e sommando tutti i contributi si ottiene il contributo globale dato dalla

rete, TN.

Ottenuto TN(v0) è possibile calcolare ∆𝑁𝑀, poi N(v0). Una volta note le funzioni

N(v0) e N*(v0), si calcola a posteriori il termine di accoppiamento NCO(v0).

In Figura 3.9 si riportano gli andamenti di queste tre funzioni.

Infine, sommando i due contributi N(v0) e TN(v0), è possibile ottenere la funzione

�̅�(𝑣0) = 𝑇𝑁(𝑣0) + 𝑁(𝑣0). Essa è la curva caratteristica del sistema e lega

l’azione che il sistema trasmette al terreno, al crescere dello spostamento v0

normale alla piastra.

Figura 3.9 Risposta meccanica della piastra.

I Sistemi Corticali


Nelle tabelle che seguono vengono riportati i dati relativi alla rete, alle piastre e

ai terreni considerati nell’articolo.

Tabella 3.1 Parametri costitutivi calibrati per la rete metallica.

Tabella 3.2 Parametri costitutivi calibrati per la piastra e per lo strato di terreno in condizioni

sciolte.

Tabella 3.2 Parametri costitutivi calibrati per la piastra e per lo strato di terreno in condizioni

dense.

I Sistemi Corticali


Analisi parametrica

Nell’articolo è stata inoltre studiata la dipendenza della riposta meccanica del

sistema sulla spaziatura tra le piastre, in particolare per una sabbia sciolta e una

sabbia densa. Per eseguire questa analisi vengono mantenuti inalterate le

caratteristiche della rete metallica, mentre i parametri della piastra del terreno

vengono variati.

I risultati vengono riportati in figura 3.11 nel caso della sabbia sciolta e in figura

3.10 nel caso della sabbia densa. Per entrambe le tipologie di sabbia, si nota che

diminuendo la spaziatura tra le piastre il comportamento meccanico diventa più

rigido.

Figura 3.11 Risposta meccanica del sistema per

una sabbia sciolta, al crescere della spaziatura.

Figura 3.10 Risposta meccanica del sistema per

una sabbia densa, al crescere della spaziatura.

Esempio di calcolo


4. Esempio di calcolo

4.1. Introduzione

In questo elaborato si propone l’analisi di stabilità di un pendio in materiale

sciolto.

A causa dell’instabilità del sistema si utilizzano i sistemi corticali come opera di

stabilizzazione. In particolare, si considera l’intervento in condizioni passive, con

lo scopo di sfruttare i soli spostamenti del terreno per attivare le forze necessarie

a rendere stabile il versante.

Si propone una progettazione dell’opera seguendo più approcci: inizialmente si

considera lo stato limite ultimo, cioè le condizioni di incipiente collasso del

pendio; a seguire si studia la stabilità con il metodo ibrido, considerando il

cinematismo e il campo di spostamenti del terreno. L’equilibrio limite e

l’approccio ibrido, però, non consentono di ottenere informazioni riguardo

l’evoluzione e l’entità degli spostamenti del pendio. Per questo motivo, volendo

valutare l’efficienza del sistema progettato si adotta il metodo negli spostamenti:

si esegue un’analisi evolutiva degli spostamenti del pendio, integrando alle

differenze finite l’equazione del moto. In questo modo si può comprendere se il

sistema corticale progettato sia in grado di rallentare le velocità del terreno e si ha

una stima del tempo necessario affinché le azioni stabilizzanti si attivino.

Esempio di calcolo


4.2. Descrizione del problema

Consideriamo una scarpata di altezza H=14m, lunghezza L=14m, con una

pendenza di 45° sull’orizzontale (Tabella 4.1).

Il pendio è composto da sabbia densa, le cui caratteristiche fisiche e meccaniche

sono riassunte in Tabella 4.2.

Si considera uno strato superficiale di spessore verticale di 1 m che presenta una

coesione c’=7 kPa, che permette di riproporre la situazione realistica di una

porzione di terreno superficiale in condizioni di parziale saturazione e in presenza

delle radici della vegetazione superficiale. Da un punto di vista meccanico la

presenza di una coesione, seppur di piccola entità, evita la formazione di

irrealistici meccanismi di rottura molto superficiali.

Nello studio della stabilità del sistema si considerano le condizioni drenate,

trattandosi di un materiale sabbioso, oltretutto analizzato in condizioni di lungo

termine.

Geometria del Pendio

H [m] L [m] α [°]

14 14 45 Tabella 4.1 Dati della geometria del pendio

Proprietà del terreno

ϒsat [kN/m3] c' [kPa] φ[°] ϒw [kN/m3]

Strato 1 19 0 40 9,807

Strato 2 19 7 40 9,807

Tabella 4.2 Dati delle proprietà del terreno

Esempio di calcolo


Figura 4.1 Profilo del pendio.

4.3. Analisi di stabilità all’equilibrio limite

Per studiare la stabilità del pendio si considera il metodo dell’equilibrio limite, in

particolare si assume una superficie di rottura circolare e si adotta la soluzione

proposta da Bishop, come trattato nel capitolo 2. Il calcolo viene effettuato

utilizzando il software SLOPE/W e il foglio di calcolo Excel.

Esempio di calcolo


Figura 4.2 Superficie di rottura circolare suddivisa in conci.

Il volume del pendio viene suddiviso in conci di uguale larghezza. Secondo il

metodo, si scrivono le equazioni di equilibrio del singolo concio in direzione

verticale; lungo la superficie di scorrimento si assume il criterio di rottura di

Mohr-Coulomb; si scrivono le equazioni di equilibrio alla rotazione globale del

sistema attorno al centro della circonferenza di rottura. Si ottiene un’espressione

implicita del fattore di sicurezza, che va ricercato quindi con un processo iterativo.

𝐹𝑆 =

∑ (𝑊𝑖 − 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 −


cos 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖tan 𝜑′

𝑖

𝐹𝑆

tan 𝜑′𝑖

+𝑐′𝛥𝑥

cos 𝛼𝑖)𝑛

𝑖=1


Esempio di calcolo


4.3.1. Minimizzazione della superficie di rottura circolare

La determinazione della posizione della superficie critica di rottura col minimo

fattore di sicurezza rimane una delle questioni chiave nelle analisi di stabilità.

Come è noto, la sua ricerca richiede una procedura iterativa, perché la

circonferenza critica è determinata quando se ne conoscano la posizione del

centro ed il raggio. Allora si definisce una possibile superficie e si calcola FS

associato. Questo procedimento è ripetuto per altre superfici, fissate le coordinate

del centro e cambiando il raggio R, e viceversa. Ovvero: al variare del raggio R,

l’ampiezza del meccanismo cambia e così il coefficiente di sicurezza. Chiamiamo

con FS0 il coefficiente di sicurezza minimo al variare di R, una volta fissato il

centro di istantanea rotazione O. Analogamente facciamo ora variare la posizione

del centro di istantanea rotazione O nel piano. Si può quindi costruire sul piano

una griglia di punti ai quali associare un FS0. In questo modo è possibile costruire

delle curve di livello ad FS0 costante (curve isoFS) e trovare il valore di FS

minimo.

Utilizzando griglie più fitte è possibile approssimare meglio il valore del

coefficiente di sicurezza minimo.

Nel software SLOPE/W, la procedura descritta e adottata in questa analisi si

chiama “Grid and Radius method”. Nella Figura 4.3a è illustrata la griglia dei

CIR e dei raggi adottata. La griglia sopra al pendio è quella dei centri di rotazione

e quindi ogni punto è un centro di una superficie di rottura. La griglia dei CIR

adottata è composta da 7x7 nodi. I raggi del cerchio invece sono definiti da raggi

o linee tangenti, descritte dai quattro lati di un rettangolo. Si adotta una griglia

composta da 6 linee tangenti alle circonferenze. In totale il sistema analizza 294

superfici di rottura circolari (Figura 4.3b).

Esempio di calcolo


Figura 4.3 (a) Griglia dei CIR e dei raggi; (b) 294 superfici circolari di rottura.

Validazione numerica

Fissato un cinematismo, si riproduce la ricerca dell’FS minimo sul foglio di

calcolo Excel, implementando le stesse equazioni utilizzate da SLOPE/W.

La discretizzazione del pendio deve essere uguale per Excel e Geoslope, per

evitare errori dovuti all’approssimazione; su Excel si impone x=0,25 m e su

Geoslope si imposta lo stesso numero di conci ottenuto da Excel. La ricerca di FS

minimo in Excel si esegue attraverso la funzione Risolutore, minimizzando il

quadrato della differenza tra FS0 di primo tentativo e FS che si ottiene

dall’equazione implicita. I due strumenti, Excel e SLOPE/W, hanno diversi ruoli

nelle varie fasi di calcolo; in generale Geoslope permette di ottenere il

meccanismo critico associato al minimo FS.

Per la validazione numerica tra i due strumenti utilizzati, si riporta in Figura 4.4

a titolo di esempio il risultato di un’analisi eseguita con entrambi: tra i due FS

esiste una differenza di 10-3, quindi si può affermare che i due programmi sono in

accordo e danno gli stessi risultati.

Esempio di calcolo


Figura 4.4 Validazione numerica tra Excel e Geoslope.

4.4 Metodo dell’equilibrio limite allo stato limite

ultimo

Si consideri il pendio descritto sopra. Inizialmente si valuta la sua stabilità

perturbando il sistema idraulicamente. È noto infatti che la presenza di acqua in

un pendio o in uno scavo è tra le prime cause di instabilità; si pensi a tal proposito

che nel caso di un pendio granulare con meccanismo puramente traslazionale

(geometria 1D), tra il caso secco e il caso sommerso FS si dimezza.

Nel nostro caso la forzante idraulica è la posizione della superficie di falda, che

viene fatta variare. Questa può essere scritta come il prodotto di una funzione di

forma, funzione a sua volta delle coordinate spaziali x e y, e di uno scalare che

rappresenta l’altezza piezometrica, Hw.

𝑓𝑎𝑙𝑑𝑎: 𝐻𝑤 ∙ ℱ(𝑥, 𝑦)

Esempio di calcolo


Qua scegliamo di mantenere fissa la forma della superficie, adottando un

andamento lineare a tratti. Si fa variare lo scalare Hw, a partire dal piede del

pendio, come mostrato in Figura 4.5a. Dunque si studia l’evoluzione del

coefficiente di sicurezza al crescere del livello dell’acqua, con Hw che varia tra 0

m e 14 m.

Figura 4.5 (a) Variazione della superficie di falda; (b) andamento di FS al crescere di Hw.

Perturbando il sistema e variando Hw, cambia ovviamente l’equilibrio e di

conseguenza per ogni Hw si ha una superficie di rottura associata a quelle

specifiche condizioni. La ricerca delle superfici critiche si esegue con SLOPE/W

e, tra le infinite superfici possibili, ridotte a 294 con la discretizzazione del

software, se ne ottengono quattro ricorrenti. In particolare:

- La superficie critica relativa a Hw=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14 m è un

meccanismo piuttosto superficiale che coinvolge il ciglio ma non il piede

del pendio. Secondo la numerazione di SLOPE/W questa superficie è

identificata da S223.

- Per Hw=9 m la rottura avviene lungo una superficie profonda, che

coinvolge il piede del pendio per un lungo tratto e il ciglio. È S176.

- Il meccanismo di rottura relativo ad Hw=10, 11 m è una superficie

abbastanza ampia, che non passa anch’essa per il piede, S182.

- Per Hw=12, 13 m il meccanismo di rottura è una porzione superficiale che

non coinvolge né il piede né il ciglio, S169.

Esempio di calcolo


D’ora in avanti si farà riferimento a questi quattro meccanismi critici: S223, S176,

S182, S169. Il fatto che risultino sempre questi quattro è dovuto alla

discretizzazione delle maglie di FS e dei raggi, infatti è probabile che infittendole

potrebbe risultare un maggior numero di superfici. Tutti i cinematismi sono

rappresentati in Figura 4.6 e si riportano anche le coordinate dei centri e i raggi.

Figura 4.6. Superfici critiche da Geoslope.

Nella tabella 4.3 si riportano gli FS0, ovvero i fattori di sicurezza iniziali del

pendio, per ogni altezza di falda. Anche per Hw=0 m il pendio non è in condizioni

di sicurezza, poiché FS è prossimo all’unità.

Esempio di calcolo


Hw [m] FS0

0 1,043

1 1,043

2 1,043

3 1,043

4 1,043

5 1,043

6 1,043

7 1,043

8 1,043

9 1,031

10 0,918

11 0,782

12 0,627

13 0,435

14 0,181 Tabella 4.3 FS0 per le differenti altezze di falda.

Nel grafico di Figura 4.7a si riportano gli andamenti di FS al crescere di Hw, per

ciascuna delle 4 superfici. Come è logico aspettarsi, la stabilità del pendio

decresce all’aumentare di Hw. In generale FS si mantiene pressoché costante per

i primi valori di Hw, dopodiché decresce bruscamente. È immediato notare che

in generale il pendio si trova in condizioni fortemente instabili per Hw=14 m. Per

questo valore massimo di Hw si raggiunge il limite minimo di un FS pari a 0,18

per la superficie S223, in blu in Figura 4.7.

Esempio di calcolo


Figura 4.7 (a) Andamento di FS al crescere di Hw per le 4 superfici; (b) inviluppo degli FS minimi.

La curva nera tratteggiata in Figura 4.7b è ottenuta dai valori di FS calcolati con

la superficie critica specifica per ogni Hw. Essa rappresenta un inviluppo dei

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

FS

Hw [m]

FS-HW

S223

S176

S182

S169

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

FS

Hw [m]

Inviluppo degli FS minimi

S223

S176

S182

S169

Esempio di calcolo


minimi per tutte le curve, poiché dato dalle reali quattro superfici critiche.

Dunque, si intuisce che non è possibile a priori definire una situazione più critica

o una superficie in particolare che dia origine ad FS più bassi, ma esiste un

inviluppo si situazioni da tenere in considerazione.

4.4.1. Ricerca della pressione stabilizzante

Dai risultati ottenuti sopra, risulta chiaramente necessario intervenire per

aumentare la stabilità del pendio. In questo studio si restringe il campo a interventi

di natura strutturale, per cui si applicano al sistema forze esterne stabilizzanti.

Come già visto, l’equazione che governa il problema è:

𝐸𝑘𝐹 =

𝑅𝑘𝐹

𝐹𝑆+ 𝐴𝑘

𝐹

In cui E sono le azioni instabilizzanti, R le resistenze del terreno e A le azioni

stabilizzanti fornite dall’intervento. FS è il fattore di sicurezza globale del pendio.

Le azioni di sostegno, denominate A in linea generale, influenzano la stabilità,

facendo aumentare FS, ma quest’ultimo non dipende dal campo di spostamenti

del pendio.

In presenza di forze esterne, l’espressione di FS di Bishop diventa:

𝐹𝑆 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏

𝑀𝑟𝑖𝑏=

∑ 𝑇𝑙𝑖𝑚𝑖𝑅

∑ 𝑇𝑖 𝑅 − ∑ 𝑸𝒊𝒃𝒊=

=∑ [𝑐′𝑙 + (𝑁′ − 𝑈𝑙)𝑡𝑎𝑛𝜙′𝑛

𝑖

∑ 𝑊𝑠𝑒𝑛𝛼𝑛𝑖 − ∑ 𝑸𝒊

𝒃𝒊𝑹⁄

Esempio di calcolo


Qi sono le forze esterne (per unità di profondità) che si aggiungono all’equilibrio

globale e anche all’equilibrio verticale del singolo concio, come mostrato in

Figura 4.8 e rappresentano un contributo al denominatore di FS che diminuisce il

momento ribaltante; bi sono i bracci delle Qi, rispetto al centro della circonferenza

di rottura.

Figura 4.8 Rappresentazione schematica delle forze agenti sul generico concio.

Il primo passo nel progetto dell’intervento è la ricerca delle forze esterne o, in

altre parole, della pressione che applicata al pendio lo renda stabile.

Si fissa un coefficiente globale di sicurezza accettabile, generalmente si assume

che FS non sia minore del valore imposto 1,3.

Per stabilire l’area su cui applicare l’intervento è utile fare riferimento alla teoria

della linea neutra, che definisce il punto geometrico prima del quale

l’applicazione di forze esterne apporta un contributo stabilizzante all’equilibrio e

oltre al quale tale contributo diventa invece instabilizzante per il sistema (Figura

4.9).

Esempio di calcolo


Figura 4.9 Profilo del pendio e linea neutra.

Considerando un carico P agente lungo il pendio, a seconda sua posizione x, il

suo contributo può far aumentare FS sopra il valore di FS0 di partenza oppure no.

Tale punto x rappresenta la “posizione neutra” in cui la presenza del carico è

ininfluente. Da un punto di vista geometrico il punto neutro è la proiezione sul

pendio del centro del cerchio di rottura e quindi varia di superficie in superficie.

Secondo la teoria della linea neutra è quindi possibile definire, per ciascuna delle

quattro superfici considerate, la lunghezza effettiva dell’intervento, cioè

l’estensione utile dell’intervento lungo il versante.

Nella Figura 4.10 che segue si mostra schematicamente un esempio di lunghezza

effettiva dell’intervento, LEFF, e la pressione p che agisce uniformemente sul

tratto.

Esempio di calcolo


Figura 4.10 Applicazione uniforme della pressione stabilizzante lungo la lunghezza effettiva.

Nella Tabella 4.4 sono riportate le LEFF per ciascuna delle quattro superfici.

Superficie Leff [m]

S182 13,7

S176 12

S223 9,2

S169 7,1 Tabella 4.4 LEFF per i 4 meccanismi critici

Per ciascun meccanismo dunque si fissa la lunghezza su cui applicare la pressione

stabilizzante e il baricentro di tale distribuzione uniforme; si applica la risultante

Esempio di calcolo


nel baricentro e si ricerca la forza che porti FS al valore 1,3. Trovato il valore

minimo della forza necessaria, essa viene divisa per LEFF, ottenendo così la

pressione cercata p. La ricerca viene eseguita per ogni meccanismo e per ogni

altezza di falda Hw. Si ottengono quattro curve di p al crescere di Hw (Figura

4.11); anche in questo caso si nota la presenza di un inviluppo dei massimi valori

di p per le quattro superfici critiche.

Figura 4.11. Pressioni stabilizzanti per le quattro superfici.

Fino a un valore di Hw di poco superiore a 6 m, la superficie che necessita di una

p maggiore per essere stabilizzata è la S169, in viola in Figura 4.11, ma oltre quel

valore la superficie che richiede un valore più alto di p è la S176, in rosso. Questa

superficie, infatti, è tra tutte la più profonda e con maggior estensione e quindi

coinvolge volumi di terreno più grandi.

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14

p [

kPa]

Hw [m]

Pressione per avare FS = 1,3

Esempio di calcolo


Come è logico aspettarsi, la condizione di pendio sommerso con la falda a 14 m

è quella che richiede la massima pressione stabilizzante, poiché questa situazione

rappresenta le condizioni più sfavorevoli.

In Tabella 4.5 sono riassunte le pressioni stabilizzanti ottenute per ciascun

meccanismo per Hw=14 m.

Hw [m] Superficie p [kPa]

14

S176 53,9

S182 38,6

S223 26,1

S169 25,9 Tabella 4.5

Si sceglie di applicare alle pressioni calcolate un coefficiente di sicurezza 𝐹𝑆𝑝

pari a 1,15 che tenga conto delle incertezze legate alla rete metallica:

𝑝𝑢 =𝑝

𝐹𝑆𝑝⁄ .

Le pressioni vengono allora incrementate del 15% e si ottengono le “pressioni

ultime”, pu, riportate in tabella 4.6.

FS Pressione Superficie p [kPa] p ultima [kPa]

1,15

S176 53,9 62

S182 38,6 44

S223 26,1 30

S169 25,9 30 Tabella 4.6

Si sceglie di progettare nelle condizioni più critiche, adottando la massima

pressione tra i quattro meccanismi e per la falda a 14 m. Inoltre si sceglie la

massima estensione LEFF. Per ciascun meccanismo si attiverà un diverso numero

Esempio di calcolo


di chiodi a seconda della geometria della superficie di rottura, come verrà spiegato

in seguito.

Riassumendo le informazioni disponibili fino a questo punto:

- Viene scelto il valore di pressione maggiore tra i 4 meccanismi di rottura,

ovvero 62 kPa, relativa a S176;

- p viene applicata lungo la maggiore tra le LEFF pari a 14 m, approssimando

la lunghezza relativa a S182.

Richiamo al sistema corticale passivo

Si riassumono di seguito le principali ipotesi con le quali si descrive in modo

semplificato il funzionamento della rete corticale:

- si adotta l’approccio per sottostrutture, per cui l’inclusione (il chiodo)

viene sostituita dalla forza che l’intervento trasmette al volume di terreno

instabile;

- il chiodo è rigido;

- il sistema viene studiato in condizioni passive e quindi non viene applicata

alcuna forza di pre-tiro ai chiodi;

- ogni chiodo è inserito in direzione normale al profilo del pendio e quindi

normale è la forza che esso trasmette;

- la spaziatura lungo il pendio e quella fuori piano coincidono, Sx=Sy=S.

Come descritto nel Capitolo 3, l’intervento corticale passivo garantisce una forza

al sistema che è funzione dello spostamento del terreno. La forza che può essere

trasmessa al terreno dipende fortemente anche dalla spaziatura con cui vengono

inseriti i chiodi. Tutte queste informazioni sono riassunte nella curva caratteristica

ricavata dallo studio riportato nell’articolo di C.G. Di Prisco, Besseghini, Viganò,

che viene richiamata in Figura 4.12.

Esempio di calcolo


Queste curve sono state ricostruite partendo dai valori riportati nell’articolo

sopracitato. Dividendo la forza N per il quadrato della spaziatura (si ricorda che

la spaziatura fuori piano e quella lungo il pendio coincidono) si ottiene la

pressione garantita dalla rete.

Nel caso di un progetto allo stato limite ultimo si applica al pendio la massima

pressione disponibile che l’intervento offre, per valori limite di spostamento

ortogonale alla piastra dei chiodi, quando cioè la curva raggiunge un plateau.

Per ammettere l’esistenza del plateau delle curve, è stata assunta implicitamente

un’ipotesi importante: si assume che l’acciaio che compone la rete abbia

comportamento infinitamente duttile. Quando viene raggiunto il valore ultimo

della forza, che corrisponde al carico di snervamento del sistema corticale, il

sistema garantisce una riserva di resistenza e sono concesse grandi deformazioni

a carico costante, il che è conseguenza dell’infinita duttilità.

Figura 4.12 Curve caratteristiche delle forze N.

Esempio di calcolo


Figura 4.13 Curve caratteristiche delle pressioni

Nella Figura 4.13 sono riportate le curve caratteristiche delle pressioni che si

ottengono dalla rete per le diverse spaziature, i cui valori sono riassunti in Tabella

4.7; tali pressioni devono essere confrontate con quella richiesta per stabilizzare

il meccanismo S176. Le pressioni stabilizzanti massime diminuiscono

notevolmente al crescere della distanza tra i chiodi e si deduce quindi il ruolo

cruciale della spaziatura nel progetto.

p stabilizzante p ultima Spaziatura p max [kPa]

per S176 per S176 a disposizione

54 [kPa] 62 [kPa]

1 m 360

1,5 m 97

2 m 43

3 m 15 Tabella 4.7

Dal grafico si osserva che una spaziatura di 1 m offre un contributo stabilizzante

ben maggiore di quello necessario, quasi sei volte in eccesso a quella richiesta

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

p [

kPa]

Spostamento [m]

1 m

1,5 m

2 m

3 m

Esempio di calcolo


dalla superficie S176. Le spaziature di 2 e 3 m, al contrario, non apportano al

sistema il valore sufficiente di pressione. La spaziatura adeguata risulta 1,5 m.

Relativamente alle altre tre superfici di rottura, invece, una spaziatura di 2 m

sarebbe sufficiente, ma la condizione più restrittiva è appunto legata al

meccanismo S176, come già spiegato.

Si potrebbe quindi scegliere di adottare la spaziatura 1,5 m, ma essa offre una

pressione di quasi 100 kPa, valore ben maggiore di quello richiesto (62 kPa); di

conseguenza volendo ottimizzare l’intervento si può cercare una distanza tra i

chiodi in modo tale che la pressione a disposizione sia vicina a quella richiesta.

Per interpolazione dei valori delle curve caratteristiche delle forze N, si ottiene la

curva che risulterebbe da un intervento caratterizzato da spaziatura 1,75 m, in

verde in Figura 4.14a.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

N [

kN]

Spostamento [m]

1 m

1,5 m

1,75

2 m

3 m

Esempio di calcolo


Figura 4.14 (a) Ricostruzione della curva per spaziatura 1,75 m; (b) pressioni per spaziatura 1,75 m.

Si noti che la reale spaziatura tra i chiodi non è esattamente 1,75 m ma 1,77 m, e

per praticità essa viene approssimata.

La pressione viene applicata sul pendio attraverso il foglio di calcolo Excel (o allo

stesso modo su SLOPE/W) e viene trasformata in forza per unità di profondità, Q

come mostrato in Figura 4.15.

Q si ottiene dalla seguente espressione:

𝑄 =�̅�

𝑆1𝑆2∆𝑙𝑖 [

𝑘𝑁

𝑚]

Dove �̅� è il valore massimo asintotico della curva caratteristica; S1 e S2 sono le

spaziature tra i chiodi e ∆𝑙𝑖 è la larghezza della porzione di terreno su cui agisce

Q. Dividendo �̅� per le spaziature (uguali tra loro) si ottiene la pressione

omogeneizzata sull’area e moltiplicandola per ∆𝑙𝑖 si ottiene appunto la forza

agente per unità di profondità che compare nell’equilibrio.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

p [

kPa]

Spostamento [m]

1 m

1,5 m

1,75

2 m

3 m

Esempio di calcolo


Figura 4.15 Rappresentazione della distribuzione dei chiodi sul pendio.

In Figura 4.16 si mostra schematicamente l’intervento dimensionato e di seguito

se ne riassumono le caratteristiche:

- si applica una pressione massima e uniforme di 63 kPa;

- p viene applicata su una lunghezza di 14 m;

- i chiodi distano l’un l’altro 1,75 m lungo il pendio;

- il primo chiodo è inserito a una distanza dal piede di 0,25 m

sull’orizzontale;

- in tutto sono presenti 9 chiodi.

QMAX

Esempio di calcolo


Figura 4.16 Rappresentazione dell’intervento dimensionato.

Può essere interessante notare che diversi meccanismi di rottura possono attivare

un diverso numero di chiodi. Ad esempio, la superficie S169 non comprende né

il primo né gli ultimi tre; la S223 non comprende il primo né gli ultimi due, ma il

discorso dell’attivazione della forza nel chiodo sarà meglio affrontato nell’ambito

del metodo ibrido.

Fino ad ora non si è accennato alla lunghezza dei chiodi. Un requisito chiaramente

necessario è che la lunghezza minima dell’inclusione sia tale da superare la

massima distanza tra la superficie del pendio e la superficie di rottura, Dmax,

come mostrato in Figura 4.17a. Infatti i chiodi devono assicurare l’ancoraggio del

volume instabile alla parte di terreno non coinvolta nel cinematismo. Solitamente

i chiodi vengono utilizzati fino a massime lunghezze di 8-10 m, oltre

diventerebbero troppo snelli e flessibili. Nella pratica per lunghezze superiori si

adoperano tiranti formati da trefoli, che garantiscono maggiore resistenza a

trazione (Figura 4.17b).

Per la superficie di rottura presa in considerazione, la S176, Dmax vale 4,40 m,

dunque si possono inserire chiodi di 6 m, per assicurare un margine di sicurezza.

Esempio di calcolo


Spostandosi dal punto di massima lunghezza ovviamente la distanza dalla

superficie di scorrimento diminuisce notevolmente ma, per uniformità

dell’intervento, si adottano chiodi tutti uguali.

Figura 4.17 (a) Rappresentazione schematica della distanza massima tra la superficie di scorrimento e il

profilo del pendio; (b) rappresentazione di un tirante formato da trefoli.

Esempio di calcolo


4.4.2. Risultati del progetto allo SLU

Come trattato in precedenza, si applica al pendio una pressione tale per cui il

fattore di sicurezza relativo alle condizioni più critiche raggiunga il valore 1,3.

Dunque, ci si aspetta che le curve di FS al variare di Hw stiano completamente

sopra al valore 1,3.

I risultati sono riportati nel grafico di Figura 4.18.

Figura 4.18 Andamento degli FS allo SLU.

La curva riferita alla S176 in rosso è la più bassa tra le quattro e per questo

rappresenta essa stessa un inviluppo.

L’intervento è stato progettato in modo tale che la condizione più sfavorevole tra

tutte raggiunga un FS di 1,3; tuttavia si nota dal grafico che il punto estremo,

rappresentato dal pallino, presenta un FS maggiore di 1,3, più precisamente di

1,8. Questo è dovuto al fatto che è stato applicato un fattore si sicurezza alla

pressione stabilizzante, aumentandone il valore da 54 kPa a 62 kPa; inoltre

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

FS

Hw [m]

FS - Hw con progetto allo SLU, spaziatura 1,75 m

S223 S176 S182 S169

Inviluppo senza pressione

Esempio di calcolo


l’intervento con spaziatura 1,75 m offre un valore di pressione leggermente più

alto, 63 kPa. Queste motivazioni giustificano il valore dell’FS minimo maggiore

di 1,3.

Dai risultati ottenuti si deduce che, se si progettasse tenendo conto che il sistema

corticale lavori fin da subito al massimo delle prestazioni, si otterrebbero valori

di FS ben sopra il limite imposto di sicurezza (1,3) e si potrebbe concludere che

l’intervento sia ben progettato.

Tuttavia, come già spiegato, il sistema corticale passivo trasmette al terreno delle

forze che crescono con lo spostamento (diretto normalmente alla piastra di ogni

chiodo) e dunque non è lecito studiare la stabilità del pendio applicando la

pressione massima che si può sviluppare, perché appunto questa si attiva

progressivamente. Il sistema infatti non è attivo sin da subito e per questo motivo

non è realistico applicare uniformemente al pendio la massima pressione

dell’intervento. Occorre pertanto progettare nell’ottica degli spostamenti,

valutando l’evoluzione del fattore di sicurezza al crescere degli spostamenti del

terreno.

Commento sulla scelta progettuale

Come trattato nel paragrafo precedente, al fine di garantire un aumento di stabilità

del pendio, si è scelto di dimensionare l’intervento considerando come condizione

iniziale la situazione più sfavorevole tra tutte: la falda viene mantenuta fissa nel

punto più alto e il dimensionamento della spaziatura viene eseguito in riferimento

alla superficie di rottura che necessita della pressione maggiore per portare FS al

valore 1,3, mentre si sceglie la maggiore lunghezza effettiva tra i 4 meccanismi.

È evidente che in questo caso si ricerca il massimo valore di pressione

stabilizzante. Esistono però numerose strategie per garantire il medesimo

risultato. Spesso nella pratica si adottano metodi misti, in cui

contemporaneamente si mira ad aumentare le azioni stabilizzanti con interventi

Esempio di calcolo


strutturali e si modifica il regime delle pressioni nel pendio. In alternativa alla

nostra scelta, infatti, si potrebbe pensare di accostare all’intervento strutturale un

sistema drenante per abbassare il livello della falda, così da ottimizzare il risultato.

In questo modo la pressione stabilizzante da applicare al versante non sarebbe più

la massima come nel caso in esame, ma minore.

4.5 Metodo ibrido

Con il progetto allo SLU si è imposto che l’intervento lavori per la massima forza

disponibile e che questa si attivi uniformemente lungo la lunghezza effettiva sul

pendio. Come però già discusso, il tipo di intervento scelto ha un funzionamento

passivo e dunque le forze stabilizzanti si attivano a patto di avere spostamenti del

terreno. Infatti, se sono permessi ampi spostamenti, il sistema si comporta come

un ancoraggio passivo e le azioni stabilizzanti vengono attivate gradualmente.

Nella realtà non si sviluppa una distribuzione uniforme della pressione, bensì

triangolare. Una rappresentazione schematica della pressione dell’intervento

stabilizzante viene mostrata in Figura 4.19, confrontando il metodo allo stato

limite ultimo e quello ibrido.

Esempio di calcolo


Figura 4.19 Differenza tra il metodo allo stato limite ultimo e il metodo ibrido.

4.5.1. Campo di spostamenti del terreno

Al collasso il pendio si comporta come un corpo rigido e ogni suo punto è soggetto

a una rotazione rigida, il cui punto di istantanea rotazione è il centro della

circonferenza di rottura. Globalmente quindi il sistema ruota rigidamente di un

angolo ω e di conseguenza si può affermare che il prodotto di ω per il raggio R

del cerchio di rottura sia uguale al modulo dello spostamento nel far field, U; in

generale lo spostamento è un vettore sempre tangente alla circonferenza (Figura

4.20). L’atto di moto rigido appena descritto genera un campo di velocità, e quindi

di spostamenti, triangolare lungo la superficie inclinata del versante. Questo

campo cresce in ampiezza con la rotazione ω ed è il motivo per cui si attivano le

forze stabilizzanti in corrispondenza dei chiodi.

Quando si vogliono confrontare diverse superfici di rottura è opportuno

considerare lo spostamento di un punto fisso del pendio, comune ai meccanismi.

In generale può essere conveniente prendere in considerazione il ciglio del pendio

(punto C), in cui si immagina di posizionare la strumentazione per le misurazioni

e il monitoraggio degli spostamenti. Allora per il punto C si ha Uc=ω∙Rc, dove

Esempio di calcolo


Rc è la distanza dal CIR al punto C. Inoltre, per uniformare le analisi, ci si riferisce

alla componente verticale di Uc: Uvciglio o Uvc.

Esempio di calcolo


Figura 4.20 (a) Rotazione rigida del pendio; (b) campo di spostamenti lungo la superficie del pendio

Per ogni meccanismo di rottura è stato ricostruito il campo di spostamenti al fine

di calcolare i sistemi di forze che si attivano al crescere di ω.

Occorre ricostruire l’andamento dello spostamento lungo il pendio nei punti in

cui sono posizionate le piastre dei chiodi. Come già discusso, i chiodi hanno la

funzione di veri e propri tiranti di ancoraggio per il volume di terreno instabile. È

bene ricordare che i chiodi, in questo tipo di intervento, non lavorano a taglio e

neppure si attivano per spostamenti di compressione; essi lavorano a trazione e

trasmettono al terreno una forza di compressione. Tale forza in ogni chiodo viene

attivata dalla componente dello spostamento ortogonale al pendio, ovvero diretta

come il chiodo stesso, che chiamiamo Un. Questa forza aggiuntiva ha due effetti

stabilizzanti sul sistema: da un lato aumenta la forza resistente in ciascun concio

di terreno, perché la sua componente diretta come il peso si somma alla forza

interna N’, dall’altro canto apporta un contributo stabilizzante all’equilibrio

globale, diminuendo il valore del momento ribaltante (al denominatore di FS).

In Figura 4.21 si mostra schematicamente come viene ricavato lo spostamento

Un: i è l’angolo tra l’orizzontale e lo spostamento Ui generato dalla rotazione, il

quale è diretto perpendicolarmente al segmento che congiunge il CIR al chiodo i-

esimo (R*), è l’inclinazione del versante. Uni è dato dalla proiezione di Ui lungo

la direzione normale al pendio, ovvero lungo il chiodo i-esimo, e la sua

espressione è:

Uni = 𝜔𝑅∗ ∙ [sin 𝛼𝑖 cos β − cos 𝛼𝑖 sin β].

La curva caratteristica dell’articolo di Claudio Giulio di Prisco, Fulvio Besseghini

e Federico Pisanò (Capitolo 3) è ricavata in funzione dei cedimenti ortogonali alle

piastre dei chiodi, che in quel caso sono diretti verticalmente poiché lo strato

considerato è orizzontale; nella nostra analisi, invece, gli spostamenti Uni sono i

Esempio di calcolo


responsabili dell’attivazione dell’intervento corticale, essendo perpendicolari al

pendio.

Figura 4.21 Spostamento che attiva la forza nel chiodo i-esimo.

Tornando all’analisi, si vuole studiare come aumenta la stabilità del sistema al

crescere dello spostamento del terreno, U. A tal fine, viene imposta una rotazione

ω al pendio, che viene incrementata gradualmente. Quando l’angolo ω è nullo,

ovviamente gli spostamenti sono nulli e non si attiva alcuna forza dell’intervento.

Per attivare il sistema, si sceglie un intervallo di ω tra 0 e 0.21 rad; traducendo

questo intervallo in termini di spostamento in metri, si moltiplica la coordinata ω

per il raggio del meccanismo S176 e si ottiene un valore dello spostamento nel

far field U compreso tra 0 e 43 cm, che corrisponde a uno spostamento verticale

del ciglio che varia tra 0 e 35 cm.

Esempio di calcolo


Riassumendo le caratteristiche dell’intervento già dimensionato allo stato limite

ultimo:

- I chiodi vengono inseriti per una lunghezza di 14 m, LEFF;

- I chiodi distano l’un l’altro 1,75 m lungo il pendio;

- Il primo chiodo è inserito a una distanza dal piede di 0,25 m

sull’orizzontale;

- In tutto sono presenti 9 chiodi.

Come già osservato nel progetto allo SLU, a seconda del meccanismo alcuni

chiodi si possono attivare oppure no, in relazione alla geometria della superficie

di rottura. Ne consegue che il sistema di forze stabilizzanti è diverso per ciascun

meccanismo, anche in termini di entità delle forze generate nei chiodi.

Nel grafico di Figura 4.22a sono riportati i campi degli spostamenti Un lungo il

pendio calcolati in riferimento alla superficie di rottura S176.

-0,06

-0,01

0,04

0,09

0,14

0,19

0,24

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Un

[m

]

𝛚∙𝐑𝐜 in direzione verticale [m]

Un-Uvciglio

Chiodo 1

Chiodo 2

Chiodo 3

Chiodo 4

Chiodo 5

Chiodo 6

Chiodo 7

Chiodo 8

Chiodo 9

Esempio di calcolo


Figura 4.22 (a) Andamento degli spostamenti Un per ogni chiodo; (b) andamento di Un lungo il pendio,

fissata l’ampiezza dello spostamento a 35 cm.

Si verifica che Un cresce linearmente con la rotazione ω, infatti in ascissa di

Figura 4.22a è presente lo spostamento verticale del ciglio, che è dato dal prodotto

di ω per la distanza tra il ciglio e il CIR. I chiodi sono numerati da 1 a 9 (i chiodi

8 e 9 non sono attivati per S176) a partire dal piede del pendio e ogni retta del

grafico è riferita al singolo chiodo. Dalla figura è immediato notare che il primo

è quello più sollecitato e di conseguenza sarà anche quello in cui si genererà la

forza maggiore; spostandoci lungo il pendio verso il punto proiezione del CIR

della S176 (ovvero il punto dove termina LEFF) si incontra l’ultimo chiodo che è

quello azionato dallo spostamento minore. Le rette tratteggiate in grigio sono gli

spostamenti dei chiodi oltre la lunghezza effettiva e sono state riportate nel grafico

per mostrare appunto che oltre tale lunghezza la presenza dei chiodi è ininfluente,

poiché le forze di compressione non attivano la chiodatura.

Fissando l’ampiezza dello spostamento del ciglio al valore finale del grafico pari

circa a 35 cm, si può ricostruire l’andamento di Un lungo il pendio (Figura 4.22b).

Oltre il valore di x pari a 8,5 m (che corrisponde a una distanza di 12 m dal piede),

-0,14

-0,1

-0,06

-0,02

0,02

0,06

0,1

0,14

0,18

0,22

0 2 4 6 8 10 12 14

Un

[m

]

x [m]

Un lungo il pendio

Esempio di calcolo


Un assume valori negativi, rappresentati dalle rette grigie tratteggiate di Figura

4.22a.

4.5.2. Curva di interazione e curva caratteristica del sistema

Nei chiodi si generano le azioni stabilizzanti ottenute a partire dalla curva

caratteristica del sistema dell’articolo (Capitolo 3). L’andamento delle forze in

funzione degli spostamenti si può definire curva di interazione tra il chiodo e il

terreno (Figura 4.23a). L’azione Q viene calcolata in funzione dello spostamento

verticale del ciglio. Se si calcola la stessa azione in funzione dello spostamento

Un, si ottengono dei punti che ‘ricalcano’ la curva caratteristica del sistema

(Figura 4.23b). Da questa rappresentazione si nota come ogni chiodo sia

sollecitato da forze di entità decrescente, spostandosi dal piede al ciglio del pendio

e per ciascun chiodo si attiva il massimo della forza disponibile per spostamenti

diversi. Il primo chiodo (in blu) è il più sollecitato, mentre l’ultimo (in rosso)

trasmette al terreno una forza dal valore esiguo.

Ricordiamo che il valore ultimo della curva caratteristica per la spaziatura scelta,

è di poco superiore a 110 kN/m. Osservando la curva blu relativa al primo chiodo

vicino al piede, si evince che questo è vicino al limite di snervamento e quindi se

aumentassero ulteriormente gli spostamenti, quel particolare tirante si

disattiverebbe, smettendo di trasmettere l’azione al pendio. Da questo si deduce

che l’intervento così dimensionato, con la spaziatura di 1,75 m tra le inclusioni,

sfrutta quasi al limite la forza messa a disposizione dalla rete, portando il primo

tirante quasi al limite ultimo di snervamento. Come si è già accennato nell’ambito

dello SLU, il sistema non si rompe appena viene raggiunto il valore ultimo del

carico: grazie all’ipotesi di infinita duttilità dell’acciaio, esso può continuare a

deformarsi. Quando però viene raggiunto il carico di snervamento in un chiodo,

esso viene considerato disattivato e non trasmette più azioni stabilizzanti al

terreno. In questo caso il carico limite non viene raggiunto.

Esempio di calcolo


A priori non è ancora possibile dichiarare se questo intervento possa stabilizzare

il pendio, in altre parole se sia in grado di garantire che FS globale superi il valore

1,3 per valori di spostamento accettabile. Questo aspetto viene trattato nel

paragrafo successivo.

Figura 4.23 (a) Curva di interazione chiodo-terreno; (b) confronto tra la curva caratteristica del sistema e

la famiglia di curve di interazione.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Q [

kN/m

]

Uvciglio [m]

Curve di interazione chiodo - terreno

Chiodo 1

Chiodo 2

Chiodo 3

Chiodo 4

Chiodo 5

Chiodo 6

Chiodo 7

Esempio di calcolo


Verifica di snervamento del chiodo più sollecitato

Il chiodo soggetto alla forza di trazione maggiore è il primo a partire dal piede.

La forza per unità di profondità Q vale 110 kN/m che equivale a una pressione di

63 kPa agente sull’area quadrata della spaziatura 1,75 m. Moltiplicando la

pressione per il quadrato della spaziatura si ottiene la forza agente sul chiodo, che

vale 193 kN, valore finale della curva caratteristica. Questa deve essere

confrontata con il carico di snervamento del tirante.

Si prendono come riferimento le barre a filettatura continua in acciaio da

precompressione Dywidag Y1050H.

In Tabella 4.8 sono riportati i carichi di snervamento delle barre per diversi

diametri nominali. Anche adottando la barra dal diametro minore, la verifica di

snervamento è rispettata.

Diametro nominale Carico di

φ [mm] Snervamento [kN]

26,5 525

32 760

36 960

40 1190

47 1650 Tabella 4.8 Carichi di snervamento delle barre.

Confrontando i carichi di snervamento con il valore massimo delle forze offerto

dalle altre spaziature, la verifica risulta comunque pienamente soddisfatta. Per la

spaziatura 1 m infatti il valore massimo della forza è 360 kN.

Esempio di calcolo


4.5.3. Aumento del fattore di sicurezza

Per la superficie S176 si calcola l’evoluzione del fattore di sicurezza in funzione

di Uvciglio, considerando ancora la situazione più critica tra tutte con la falda a 14

m dal piede del pendio, cioè quando il pendio è sommerso.

Osservando il grafico di Figura 4.24 si evince chiaramente che la stabilità aumenta

notevolmente: infatti FS, che senza intervento vale 0,54, raggiunge un valore di

1,573 per Uvciglio pari a 35 cm, come indicato dai pallini gialli. Per raggiungere il

limite imposto di FS pari a 1,3 è richiesto uno spostamento verticale del ciglio di

20 cm: ciò significa che, se al terreno sono concessi tali spostamenti, il sistema

raggiunge il coefficiente di sicurezza cercato.

Figura 4.24 Fattore di sicurezza di S176.

Dunque, studiando l’intervento con un approccio ibrido, necessario quando si ha

a che fare con interventi passivi, si comprende che l’intervento corticale così

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

FS

Uvciglio [m]

FS per S176Hw=14 m; spaziatura 1,75 m

FS=1,3

Esempio di calcolo


dimensionato garantisce un aumento notevole della sicurezza al crollo, a patto di

permettere degli spostamenti in grado di attivare le azioni stabilizzanti.

4.5.4. Confronto tra le spaziature

È di notevole interesse confrontare i risultati che si ottengono per le diverse

spaziature (Figura 4.25a). La distanza tra i chiodi, infatti, gioca un ruolo

fondamentale nel progetto dell’intervento ed è una variabile che ha un’influenza

decisiva.

Si noti come per la spaziatura 1 m FS raggiunga valori molto alti, che crescono

rapidamente e ciò è conseguenza dell’espressione di FS stesso, in cui le azioni

esterne compaiono a denominatore e si sottraggono al momento ribaltante. Un

aumento della spaziatura fa crescere lo spostamento necessario per portare il

fattore di sicurezza al valore 1,3. Osservando il grafico di Figura 4.25a è logico

affermare che un intervento con spaziatura 1 sarebbe eccessivamente cautelativo,

dal momento che si accetta che il pendio possa spostarsi di alcuni centimetri e in

questo caso ne sarebbero sufficienti 4. Aumentando la spaziatura di 50 cm, la

pendenza della curva diminuisce ma comunque si raggiunge l’obiettivo di FS=1,3

per uno spostamento di 11 cm. Aumentando ulteriormente la spaziatura di soli 25

cm, notiamo che esiste una considerevole differenza in termini di spostamento: lo

spostamento necessario diventa quasi il doppio del precedente e il caso di questa

spaziatura è già stato discusso. Incrementando la distanza ancora di 25 cm e

portandola a 2 m, FS cresce molto lentamente e l’obiettivo viene raggiunto per

spostamenti ingenti. Infine, per una spaziatura di 3 m notiamo che la presenza

dell’intervento diventa pressoché ininfluente, infatti si ha un lieve aumento di FS

ma probabilmente il valore di 1,3 non verrebbe mai raggiunto. La curva di Figura

4.25b riassume i valori degli spostamenti richiesti dai diversi interventi per

ottenere FS=1,3.

Esempio di calcolo


Figura 4.25 (a) Fattore di sicurezza per le diverse spaziature; (b) spostamenti necessari per ottenere FS=1,3.

In questo studio è stato dimensionato l’intervento in modo da rendere stabile il

sistema nelle condizioni più critiche tra tutte, sia idrauliche che cinematiche; si è

scelta la spaziatura che, in condizioni di stato limite ultimo, garantisse un fattore

di sicurezza di almeno 1,3.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Uv

cigl

io[m

]

Spaziatura [m]

Uvciglio per avere FS=1,3

Esempio di calcolo


In generale, la scelta della spaziatura è una questione particolarmente importante

e dipende da numerosi fattori. Occorre avere presente l’obiettivo, o gli obiettivi

che si vogliono raggiungere con l’intervento. Infatti, può non essere sufficiente

garantire un certo fattore di sicurezza, ma in certi casi è da considerarsi

predominante l’entità degli spostamenti del terreno. Questo discorso è

chiaramente legato alla vulnerabilità e all’esposizione dell’area da proteggere da

un possibile crollo. Abbiamo mostrato che dalla scelta della spaziatura

conseguono spostamenti del ciglio molto diversi e in fase progettuale è necessario

considerare anch’essi, oltre alla stabilità globale. Ad esempio, se in cima al pendio

fossero presenti costruzioni o strutture sensibili ai cedimenti, probabilmente gli

spostamenti richiesti per attivare la rete con la spaziatura scelta da noi sarebbero

incompatibili con le condizioni di servizio di tali strutture. In questo caso sarebbe

lecito adottare una spaziatura minore, di 1,5 m o addirittura 1 m, a seconda dei

limiti concessi. Se, al contrario, in cima al versante non fosse presente alcuna

costruzione o attività, gli spostamenti del terreno potrebbero svilupparsi senza

creare danni e problemi.

4.5.5. Fattore di sicurezza per le quattro superfici

Nel grafico di Figura 4.26 si mostrano gli andamenti di FS per ciascuna delle

quattro superfici critiche, considerando però la falda fissa a 14 m. Inizialmente la

superficie coi valori più bassi di FS è S223, meccanismo piuttosto superficiale

che non coinvolge il piede del pendio. Per spostamenti Uvciglio maggiori di circa

17 cm la curva critica degli FS minimi diventa invece S176, il meccanismo a cui

ci si è riferiti per il dimensionamento. Si ricorda che la S176 è tra le quattro la

superficie più profonda e che coinvolge un volume maggiore di terreno. Anche in

questo caso si nota chiaramente la presenza di un inviluppo. La curva relativa a

S169 si riduce a un segmento verticale in zero, poiché questo meccanismo non

comprende il ciglio del pendio.

Esempio di calcolo


Figura 4.26 Fattore di sicurezza delle quattro superfici, per Hw=14m.

4.5.6. Andamento di FS della S176 al variare di Hw

Nel grafico di Figura 4.27 si riportano gli andamenti del fattore di sicurezza,

relativi al meccanismo S176, all’aumentare della altezza di falda. Come già

osservato, FS cresce all’aumentare degli spostamenti del terreno e il suo valore

decresce all’aumentare di Hw. Si ottengono 12 curve, una per ogni altezza Hw, le

quali hanno lo stesso andamento ma i valori sono traslati verso il basso, per Hw

che aumenta. Nel grafico si riporta anche il valore di FS limite 1,3.

Se si vuole progettare in un’ottica che pone l’attenzione sugli spostamenti, è

conveniente ottenere risultati anche in termine di questi ultimi, oltre che in

riferimento al fattore di sicurezza globale. Avendo in mente questo obiettivo, la

ricostruzione delle curve FS(Hw) è utile per ottenere gli spostamenti che si

devono sviluppare per ottenere FS pari a 1,3. Come si intuisce, lo spostamento

richiesto aumenta al crescere di Hw, poiché la stabilità del sistema diminuisce

quando aumentano le pressioni dell’acqua.

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

2,4

2,8

3,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

FS

Uvciglio [m]

Fs-Hw=14 m

S176

S182

S169

S223

Inviluppo

Esempio di calcolo


Figura 4.27 Andamento di FS al variare della posizione della falda, per S176.

Riassumendo in un unico grafico i valori dati dall’intersezione tra le curve FS con

la retta di FS=1,3, si ottiene l’andamento di tali spostamenti. Nel grafico di Figura

4.28 si riportano i risultati per le spaziature 1,75 m e 1,5 m per avere un confronto

visivo. Come già commentato, l’intervento con spaziatura 1,75 m richiede che il

ciglio si sposti verticalmente di 20 cm; per l’intervento con spaziatura 1,5 m si

devono mobilitare 11,8 cm di spostamento. Dunque, nonostante la differenza di

soli 25 cm tra le due spaziature, gli spostamenti richiesti nei due casi sono quasi

l’uno il doppio dell’altro.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

FS

Uvciglio [m]

FS-Hw per S176

Hw

Esempio di calcolo


Figura 4.28 Andamento degli spostamenti necessari per ottenere FS=1,3.

Rifacendo la stessa analisi per tutti i meccanismi, si ottengono gli andamenti

degli spostamenti necessari per avere FS=1,3, al crescere di Hw (Figura 4.29).

Anche in questo caso si nota la presenza di un inviluppo tra le curve: infatti, per

Hw minore di circa 8 m, il meccanismo che richiede l’attivazione di spostamenti

maggiori è S223 in blu, ma dopo tale valore di Hw la superficie con la condizione

più restrittiva è ancora la S176. La curva relativa alla S169 non è presente perché

questo meccanismo non coinvolge il ciglio del pendio. Si nota infine che

l’andamento degli spostamenti è molto simile a quello delle pressioni necessarie

per rendere stabili le superfici.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14

Uvc

iglio

[m

]

Hw [m]

Uvc per avere FS=1,3

S176 S=1.75 m

S176 S=1.5 m

Esempio di calcolo


Figura 4.29 Andamento degli spostamenti necessari per avere FS=1,3 per tutti i meccanismi critici.

4.6. Progetto dell’intervento per i meccanismi locali

L’intervento stabilizzante è stato progettato in riferimento alla superficie più

critica da stabilizzare, la S176, considerando però l’estensione maggiore tra tutte,

relativa alla S182. L’intervento è composto da 9 chiodi, inseriti a una distanza di

1,75 m l’un l’altro, che partono da una posizione pari a 0,25 m sull’orizzontale,

fino a 10,25 m. L’intervento così dimensionato garantisce di raggiungere FS=1,3

per spostamenti del ciglio di ~ 20 cm e quindi tutti i quattro meccanismi critici

sono stabilizzati. È necessario compiere delle verifiche sul pendio, in presenza

dell’opera stabilizzante. Infatti, inserendo i chiodi e modificando il sistema di

forge agenti, cambia l’equilibrio del sistema e questo può far insorgere nuovi

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14

Uvc

iglio

[m

]

Hw [m]

Spostamento per avere Fs=1,3

S176

S182

S223

Esempio di calcolo


cinematismi con FS minore di 1. Si forma un meccanismo di rottura in cima al

pendio, oltre la lunghezza dell’intervento (Figura 4.30).

Figura 4.30 Nuovo meccanismo critico oltre la lunghezza dell’intervento.

Di conseguenza è necessario applicare sul pendio un intervento di stabilizzazione

che si estenda oltre la lunghezza effettiva progettata e consegue che sono

necessarie azioni stabilizzanti lungo tutto il pendio.

Per aumentare FS di questa area si può continuare ad utilizzare il sistema

corticale: ovviamente sono sufficienti chiodi ben più corti, poiché essi devono

rendere stabile una superficie piccola e superficiale e anche la spaziatura richiesta

può essere aumentata. Scegliere di applicare lo stesso intervento lungo tutta la

lunghezza del pendio potrebbe essere più semplice a livello pratico, ma

rappresenterebbe sicuramente uno spreco di materiale. Dunque, per ottimizzare il

risultato anche in termini di costo, si può dimensionare un altro intervento

corticale seguendo esattamente lo stesso procedimento descritto fino ad ora, di

Esempio di calcolo


cui non riproponiamo l’analisi che risulterebbe ridondante. Chiaramente, i chiodi

oltre LEFF = 14 m non si attiveranno per il meccanismo S176 né per gli altri 3, ma

le loro azioni sono fondamentali a stabilizzare la piccola superficie S133 e altri

meccanismi simili.

Altrimenti si può scegliere un diverso tipo di intervento. Ad esempio, si

potrebbero applicare interventi di ingegneria naturalistica, facendo uso della

vegetazione; oppure si potrebbe optare per opere di riprofilatura del versante.

Esempio di calcolo


Metodo negli spostamenti


5. Metodo negli spostamenti

Nei capitoli precedenti si è studiato il pendio attraverso il metodo dell’equilibrio

limite (LEM) e il metodo ibrido; questi approcci forniscono risultati in termini di

Fattore di Sicurezza ma non forniscono informazioni riguardo l’evoluzione degli

spostamenti del pendio nel tempo.

Con l’equilibrio limite si è proposto un dimensionamento dell’intervento corticale

nelle condizioni più sfavorevoli, mentre con il metodo ibrido è stata studiata

l’evoluzione delle azioni stabilizzanti al crescere del campo di spostamenti. Lo

scopo diventa ora quello di valutare se l’intervento sia in grado di diminuire

l’entità delle velocità di spostamento del pendio in esame ed in quanto tempo,

come mostrato in Figura 5.1. È possibile in questo modo ottenere una stima

dell’efficienza a lungo termine del sistema di stabilizzazione scelto.

Figura 5.1 Confronto spostamenti con e senza intervento



5.1. Modello rigido visco-plastico

Si considera il pendio ideale descritto al paragrafo 4.2 e per poterlo studiare con

un approccio negli spostamenti si adotta un Modello Rigido Visco-Plastico,

descritto nell’articolo Innovative performance-based design of slope stabilizing

piles for a railway embankment di Andrea Galli e Andrea Bassani (2018).

Si considera ancora una superficie di rottura circolare e si procede imponendo

l’equilibrio alla rotazione tra momento stabilizzante e momento instabilizzante,

ottenendo l’equazione di moto del sistema:

|𝑀𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒| = �̇�𝜂𝑅2

Dove:

�̇� è la velocità angolare del meccanismo che genera una rotazione rigida

oraria dal ciglio verso il piede del pendio.

Il momento instabilizzante è funzione della forza peso.

Il momento stabilizzante è funzione delle caratteristiche di resistenza del

terreno e delle pressioni dell’acqua.

η è il coefficiente di viscosità.

R è il raggio del meccanismo di rottura.

Nella realtà entrerebbero in gioco anche le forze inerziali, mentre nel caso

analizzato, volendosi riferire esclusivamente a spostamenti lenti e non a collassi

improvvisi, nell’equazione si trascurano i termini dinamici legati a brusche

accelerazioni.

Il coefficiente di viscosità η è un parametro che non si può calcolare

analiticamente o ricavare direttamente, ma è possibile ottenerlo tramite una back

analisys sui dati ottenuti da misurazioni effettuate in sito.



Si assume per semplicità che η rimanga inalterato sia prima che dopo

l’installazione dell’intervento corticale. Questa ipotesi risulta in generale molto

semplificativa, tuttavia può essere considerata accettabile nell’ambito dei sistemi

corticali; i chiodi infatti presentano un diametro molto piccolo paragonato

all’interasse e non vanno ad apportare eccessive modifiche alle caratteristiche del

terreno. Se a titolo di esempio venissero utilizzati i pali per stabilizzare, essi

apporterebbero modifiche sostanziali al comportamento del terreno in quanto la

loro rigidezza non risulta trascurabile; si avrebbe a che fare con un problema di

interazione struttura-terreno che porterebbe ad un aumento di η, rendendo non

accettabile l’ipotesi di considerarlo un parametro costante.

5.1.1. Calibrazione coefficiente di viscosità η

Quando si ha a che fare con lo studio della stabilità di pendii è fondamentale un

monitoraggio continuo degli spostamenti in modo da poter ricostruire la loro

evoluzione nel tempo e gli eventuali danni che ne possono conseguire. I cedimenti

devono infatti essere compatibili con le strutture presenti nell’area interessata; ad

esempio se fossero presenti infrastrutture o attività umane sulla sommità del

pendio è indispensabile che gli spostamenti siano ridotti il più possibile in modo

da poter diminuire sia la vulnerabilità di tale sistema che l’esposizione. Per poter

valutare l’impatto dei cedimenti è quindi opportuno installare un sistema di

monitoraggio continuo al fine di ottenere l’andamento completo delle velocità e

calibrare il coefficiente η tramite una back analisys.

Avendo a che fare con un caso puramente teorico ed ideale, non abbiamo a

disposizione dati di monitoraggio coi quali calibrare η; per tanto scegliamo di

ricostruire il profilo di velocità naturale del pendio, in assenza dell’intervento.

Immaginiamo che il punto di monitoraggio degli spostamenti sia il ciglio del

pendio.



Considerando l’equazione di equilibrio dei momenti precedentemente riportata, il

momento instabilizzante è sempre costante poiché dipende unicamente dalle forze

peso coinvolte dal cinematismo, mentre il momento stabilizzante è composto da

due contributi:

1) 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏(φ’, c’) = 𝑀1 contributo legato ai parametri di resistenza a taglio del

terreno e perciò costante.

2) 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏(ω) = 𝑀2 contributo funzione dalla velocità angolare;

𝑀2 nasce quando si attiva l’intervento passivo. Il suo valore inizialmente è nullo

e cresce all’aumentare dello spostamento del pendio.

Per poter calibrare il parametro viscoso si deve quindi utilizzare l’equazione di

moto all’istante di tempo iniziale, ovvero in assenza di interventi di

stabilizzazione. Si considerano ancora i quattro meccanismi critici descritti nel

Capitolo 4: S176, S223, S182 e S169. Si potrebbero considerare infiniti

meccanismi ma in questo trattato vengono analizzate le 4 superfici critiche

ottenute facendo variare la falda. Si impone che la velocità di spostamento

verticale del ciglio del pendio non superi un valore massimo prestabilito. In questo

caso di studio si sceglie come velocità naturale del pendio un valore di 10

cm/anno.

I momenti instabilizzante e stabilizzante sono costanti poiché 𝑀2 è nullo in

assenza dell’intervento e l’equazione differenziale è facilmente risolvibile. Per

ognuno dei 4 meccanismi viene scritta l’equazione di moto e valutato lo

spostamento verticale del ciglio; la somma di questi spostamenti non deve

superare i 10 cm/anno:

𝑈𝑣 176 + 𝑈𝑣 182 + 𝑈𝑣 223 = 10 𝑐𝑚

Il meccanismo S169 non è presente nella composizione degli spostamenti poiché

non coinvolge il ciglio del pendio. Si risolve il sistema di equazioni facendo



variare il parametro η finché non viene raggiunto lo spostamento voluto. In questo

modo si trova il valore numerico di η:

𝜂 = 2.62 · 1011 𝑘𝑃𝑎 · 𝑠 = 8.32 · 103 𝑘𝑃𝑎 · 𝑎𝑛𝑛𝑜

5.2. Integrazione alle differenze finite dell’equazione

di moto

L’espressione dell’equilibrio dà origine a un’equazione differenziale ordinaria

(EDO) lineare del primo ordine nell’incognita ω.

Se si avesse a che fare con un’unica superficie di rottura a geometria fissa si

potrebbe risolvere l’equazione analiticamente. Tuttavia, come già specificato

vengono considerate allo stesso tempo le 4 superfici di interesse e quindi il

momento stabilizzante M1 varia per ogni meccanismo, mentre M2 continuerebbe

a cambiare a causa dell’aumento delle forze stabilizzanti al crescere degli

spostamenti. Non è possibile quindi ricavare la soluzione analiticamente: è

necessario procedere tramite un’integrazione alle differenze finite.

Come primo passo si devono ricostruire i campi di velocità da cui ricavare gli

spostamenti del terreno. Nel caso più semplice di un pendio monodimensionale

infinitamente esteso il profilo di velocità è di tipo parabolico e dipende dalla

coordinata di profondità e per poterlo ottenere si deve procedere integrando lungo

lo strato.

Avendo a che fare con un pendio bidimensionale, la ricerca del campo di velocità

risulta più complessa ma necessaria per ottenere gli spostamenti che vanno a

caricare la rete del sistema corticale.

Per ognuno dei quattro meccanismi di rottura si ricostruisce il profilo di velocità

lungo il pendio: per meccanismi rotazionali il campo di velocità risultante è di

tipo triangolare “a farfalla”. I quattro profili vengono sommati dando origine alla



composizione del campo risultante che permette di ottenere per ogni chiodo lo

spostamento che attiva la rete. Come atteso, oltre alla lunghezza effettiva Leff di

ogni meccanismo il valore di velocità diventa negativo come mostrato in Figura

5.2 e quindi la composizione potrebbe risultare anch’essa negativa. Per

spostamenti negativi che generano forze di compressione, la rete e i chiodi non si

attivano e quindi la risultante delle velocità viene annullata quando il suo valore

passa da positivo a negativo.

Figura 5.2 Composizione del campo di velocità all’istante iniziale per i 4 meccanismi critici.

Al crescere di ω si ottiene lo spostamento normale al pendio Un il quale è

utilizzato per trovare, tramite la curva caratteristica, la forza Qi che genera a sua

volta il momento M2(ω).

Si può procedere quindi con un’integrazione esplicita alle differenze finite per

risolvere l’equazione di moto:

|𝑀𝑖𝑛𝑠𝑡 − 𝑀1 − 𝑀2(𝜔)| = 𝜂�̇�𝑅2

-5,50E-05

-5,00E-06

4,50E-05

9,50E-05

1,45E-04

1,95E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Vel

oci

tà [

m/g

iorn

o]

x [m]

Campo di velocità al tempo iniziale

S176

S182

S223

S169

Composizione CampoVelocità



All’istante di tempo iniziale t0, non essendo ancora avvenuti spostamenti, la forza

Qi è nulla e di conseguenza anche il momento 𝑀2(𝜔). Si risolve facilmente

l’equazione, ottenendo il valore della velocità angolare iniziale 𝜔0̇ la quale,

moltiplicata per il passo di discretizzazione temporale scelto Δt, ci fornisce il

primo valore di spostamento totale del ciglio in direzione verticale.

All’istante di tempo successivo t1=t0+ Δt, essendo avvenuti spostamenti, la forza

Qi=Q1 non è più nulla ed è in grado di produrre un momento 𝑀2(𝜔) ≠ 0 che

andrà a sua volta a diminuire gradualmente il valore di Δ�̇�; in t1 viene calcolato

Δ�̇�1 da cui 𝛥𝜔1 = Δ �̇� 1 ·Δt. La rotazione totale al tempo è 𝜔1𝑇𝑂𝑇 = 𝜔0 + 𝛥𝜔1.

Moltiplicando 𝜔1𝑇𝑂𝑇 per la distanza tra il centro di rotazione e il ciglio (Rc) di

ciascun meccanismo e scomponendolo lungo la direzione verticale si ottiene lo

spostamento del ciglio Uvciglio= US176+US182+US223.

La superficie S169 è considerata unicamente per poter calcolare il campo di

velocità totale ma non per lo spostamento del ciglio poiché non lo comprende.

Come ultimo passo per l’istante temporale t1 da 𝛥𝜔1 si ottiene l’incremento di

spostamento normale 𝛥𝑢𝑛1, da cui 𝑢𝑛1𝑇𝑂𝑇 = 𝑢0 + 𝛥𝑢𝑛1. Noti gli spostamenti

totali di ogni meccanismo si ricostruisce nuovamente la composizione delle

velocità degli spostamenti; noti questi ultimi è possibile ricavare il nuovo valore

della forza Q2 dalla curva caratteristica. Con il nuovo sistema di forze si passa

allo step temporale successivo. Si procede in questo modo fino all’istante di

tempo tn desiderato ottenendo così l’andamento dello spostamento del ciglio nel

tempo. In presenza del sistema corticale ci si aspetta una diminuzione della

velocità del pendio e se così non fosse significherebbe che l’efficienza

dell’intervento non è tale da garantire la stabilizzazione desiderata. L’obiettivo è

quello di arrestare il moto del sistema fino ad ottenere un valore di �̇� nullo

perlomeno di valutare un tempo T90 in cui si riesca a diminuire del 90% il suo

valore.



5.3. Risultati con spaziatura S=1.75 m

Si considera il pendio nuovamente nella situazione peggiore, ovvero quando la

falda è fissa ad una altezza di 14 m dal piede del pendio.

Lo scopo è quello di valutare l’efficienza dell’intervento corticale nel tempo. Nel

corso dell’elaborato inizialmente è stata proposta una progettazione allo stato

limite ultimo (SLU) ed è stata eseguita una verifica tramite il metodo ibrido dalla

quale è emerso che per poter ottenere un fattore di sicurezza pari circa a 1,3 è

necessario utilizzare una “spaziatura ottimale” di 1,75 m e sono necessari circa

20 cm di spostamento. L’obiettivo ora è quello di analizzare lo stesso intervento

ma tramite un approccio evolutivo negli spostamenti in cui non si mira più ad

ottenere il fattore di sicurezza ma l’efficienza nel tempo.

Il procedimento per poter calcolare l’evoluzione nel tempo dello spostamento del

pendio è il medesimo descritto nei paragrafi precedenti, ovvero è stata utilizzata

un’integrazione alle differenze finite. Il coefficiente di viscosità è stato già

calibrato nel Paragrafo 5.1.1. e le superfici considerate sono le quattro critiche.

Per poter valutare il momento stabilizzante 𝑀2(𝜔) è necessario conoscere la

geometria dell’intervento in modo da utilizzare la curva caratteristica corretta,

scalata per la spaziatura adeguata, e poter valutare le forze che si generano nei

vari chiodi Qi.

𝑄𝑖 =N̅

S1S2∆li [

kN

m]

Dal valore della composizione degli spostamenti si ricava in ogni chiodo la forza

risultante Qi di Figura 5.3, la quale moltiplicata per il proprio braccio fornisce il

valore del momento.



Figura 5.3 Curva caratteristica scalata per la spaziatura 1,75 m dalla quale ottenere le forze Q.

Nei vari step temporali il valore dello spostamento totale in direzione del chiodo

unTOT aumenta e di conseguenza anche il valore della forza stabilizzante, mentre

la velocità angolare diminuisce.

Il passo di integrazione temporale scelto è Δt =20 giorni.

Procedendo quindi come descritto nel Paragrafo 5.2 per una finestra temporale

pari a 4 anni ed utilizzando una spaziatura per l’intervento di 1,75 m i risultati

ottenuti sono riportati in Figura 5.4.

0

20

40

60

80

100

120

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Q [

kN]

Spostamento [m]

Q per Spaziatura 1,75 m



Figura 5.4 Spostamenti verticali del ciglio del pendio per una spaziatura di 1,75 m.

L’andamento lineare della curva rossa rappresenta lo spostamento che il pendio

avrebbe in assenza di intervento e di contributi viscosi mentre la curva nera

rappresenta l’andamento degli spostamenti in presenza dell’intervento

stabilizzante.

Dal grafico si può notare che le due curve si ricalcano nel primo tratto e sono

pressoché sovrapposte fino a circa 160 giorni, poiché l’intervento non è ancora

stato pienamente attivato dato che il valore degli spostamenti è ancora limitato.

E’ evidente che l’intervento tende a diminuire la velocità del pendio anche se non

è in grado di arrestarla completamente, poiché per poterla fermare si dovrebbe

raggiungere un plateau circa orizzontale. La velocità iniziale del pendio è di 0,27

mm/giorno e dopo un anno dall’applicazione dell’intervento si raggiunge un

valore di 0,205 mm/giorno che corrisponde ad una diminuzione del 25%. E’

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

0,28

0,32

0,36

0,4

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Spostamenti verticali del ciglio per spaziatura 1,75 m

Spostamento Naturale Pendio

Spostamenti Pendio



possibile calcolare ogni anno il valore delle velocità ed i risultati sono riportati in

Tabella 5.1.

Anno Velocità [mm/giorno] Riduzione velocità [%]

0 0,27 -

1 0,205 25

2 0,167 38,8

3 0,144 47,5

4 0,13 52,8 Tabella 5.1 Riduzione velocità del pendio attraverso l’intervento per S=1,75 m.

Dopo quattro anni dall’applicazione del sistema corticale la velocità è poco più

che dimezzata. Gli spostamenti sono stati notevolmente ridotti ma tuttavia il

processo di movimento risulta ancora in atto; bisogna quindi valutare le esigenze

di progettazione, ovvero se l’obiettivo sia quello di arrestare il movimento o se

basti solamente ridurre gli spostamenti.

Da questi risultati è ben visibile la differenza sostanziale tra le informazioni che

è possibile ricavare dai vari approcci adottati:

Se si considera che l’intervento possa trasmettere la massima pressione

disponibile, allo stato limite ultimo esso garantisce un fattore di sicurezza

sempre sopra il limite imposto.

Con il Metodo Ibrido si comprende la necessità di sviluppare spostamenti

per aumentare la stabilità: si ottiene un Fattore di Sicurezza pari a 1,3 a

patto di sviluppare spostamenti dell’ordine di 20 cm.

Con il Metodo negli spostamenti è possibile notare che l’intervento così

progettato non è in grado di arrestare completamente il movimento del

pendio e che per stabilizzarlo serve molto tempo.



Discretizzazione temporale

Per poter aumentare l’accuratezza della soluzione si potrebbe raffinare il passo di

discretizzazione Δt. E’ stata eseguita una prova anche utilizzando un Δt= 10 giorni

come riportato in Figura 5.5.

Figura 5.5 Differenza tra due differenti passi di integrazione temporale.

Si può notare come, dimezzando il passo temporale, la differenza sia

impercettibile poiché le due curve tendono a ricalcarsi. Utilizzare un Δt =20 giorni

risulta pertanto essere adeguato.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Confronto Discretizzazioni Temporali


Uvc dt=20 giorni

Uvc dt=10 giorni



5.3.1. Profili di velocità e forze della rete

E’ interessante inoltre valutare la variazione dei profili di velocità lungo il profilo

del pendio nel tempo (Figura 5.6). Riportando unicamente la composizione totale

del campo di velocità, al tempo iniziale i valori corrispondono a quelli di Figura

5.2. e all’aumentare del tempo la curva, pur mantenendo la stessa forma, tende a

traslare verso il basso proprio perché l’intervento ha lo scopo di diminuire tale

valore.

Figura 5.6 Andamento profili di velocità lungo il pendio negli anni.

Al contrario la forza stabilizzante Q (per unità di profondità) nel tempo tende ad

aumentare gradualmente. Inizialmente l’andamento risulta essere simile a quello

delle velocità, presentando una forma circa triangolare: come ci si aspetta i chiodi

al piede del pendio, subendo spostamenti maggiori, sviluppano forze maggiori.

Tuttavia, all’aumentare del tempo e di conseguenza degli spostamenti,

l’andamento si discosta da quello triangolare poiché i chiodi maggiormente

sollecitati tendono verso il valore del carico di snervamento, come mostrato in

Figura 5.7.

0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

2,00E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Vel

oci

tà [

m/g

iorn

o]

x [m]

Profilo velocità nel tempo

t= 0 giorni

t= 1 anno

t= 2 anni

t= 3 anni

t= 4 anni



Figura 5.7 Andamento profili di pressione lungo il pendio negli anni.

Verifica a snervamento della rete

Dalla curva delle Qi di Figura 5.8 è possibile ricavare il valore del carico di

snervamento per l’intervento in analisi che corrisponde a circa 110 kN/m.

Inizialmente la distribuzione delle forze ha forma triangolare in accordo con

quanto già verificato col metodo ibrido, ma man mano che si sviluppano

spostamenti essa tende ad incurvarsi. Quando si progetta allo SLU si ipotizza

implicitamente una perfetta duttilità dell’acciaio delle inclusioni e della rete,

anche se questo non risulta essere del tutto realistico. Arrivato allo snervamento

il sistema riesce a resistere per un certo lasso di tempo grazie alla propria riserva

di duttilità ma gradualmente giunge a rottura e non risulta più utilizzabile. Per

quanto viene ipotizzato nel progetto allo stato limite ultimo l’andamento dovrebbe

passare da triangolare a rettangolare, ovvero si dovrebbe arrivare ad avere una

pressione uniforme in cui tutti i chiodi trasmettano il carico limite. Nella realtà

non può avvenire poiché nessun tipo di acciaio presenta caratteristiche di infinita

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0,25 1,5 2,75 4 5,25 6,5 7,75 9 10,25

Q [

kN/m

]

x [m]

Profilo Q

t=0 giorni

t= 1 anno

t= 2 anni

t= 3 anni

t=4 anni



duttilità e raggiunto il limite, accumulate grandi deformazioni, esso collassa. Si

dovrebbe quindi verificare che l’elemento strutturale, ovvero il sistema composto

da chiodi e rete, sia giunto ad uno stato tensionale tale da provocarne la rottura.

Si può affermare che l’intervento proposto dopo un arco temporale di quattro anni

sia vicino a raggiungere il proprio limite nel secondo e nel terzo chiodo e che

quindi l’efficienza sia limitata e non più garantita per gli anni a venire.

5.4. Risultati con Spaziatura S=1 m.

Dai risultati proposti nel Paragrafo precedente è emerso che l’intervento con

spaziatura 1,75 m non è in grado di arrestare completamente il moto franoso. Se

l’obiettivo della progettazione è volto a ridurre gli spostamenti, allora tale

intervento può essere adatto, ma nel caso in cui si voglia arrestare il movimento è

necessario studiare una soluzione che sia in grado di garantire, entro le

tempistiche stabilite dal progettista, che il pendio si trovi in completa sicurezza.

Come ulteriore esempio si è scelto un intervento con una spaziatura minore S = 1

m. Esso è in grado di fornire forze notevolmente maggiori rispetto alla spaziatura

precedente come si può notare dalla curva rossa di Figura 5.8. Si passa da un

valore massimo di 110 kN/m ad uno di 360 kN/m.



Figura5.8 Confronto curve Q per due differenti spaziature.

Utilizzando esattamente lo stesso metodo di integrazione ma servendosi dei nuovi

valori della forza Q riferiti alla nuova spaziatura, si ottengono i risultati mostrati

in Figura 5.9.

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Q [

kN/m

]

Spostamento [m]

Forza Q

S=1.75 m

S=1 m



Figura 5.9 Confronto interventi con spaziature differenti.

E’ possibile ricalcolare per ogni anno i nuovi valori delle velocità (Tabella 5.2).

Anno Velocità [mm/giorno] Riduzione velocità [%]

0 0,27 -

1 0,14 48,1

2 0,08 71,3

3 0,04 84,1

4 0,03 90,5 Tabella 5.2 Riduzione velocità del pendio attraverso l’intervento per S=1 m.

Dall’analisi delle velocità nel corso degli anni è evidente come questo intervento

sia in grado di arrestare il moto franoso. Viene infatti ottenuta una diminuzione

del 90% delle velocità rispetto al caso in cui non sia presente l’intervento,

chiaramente visibile dal raggiungimento del plateau circa orizzontale. Il T90

(tempo necessario per una diminuzione del 90%) è quindi pari a quattro anni. E’

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

0,28

0,32

0,36

0,4

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Confronto Spaziature


S=1 m

S=1.75 m



necessario valutare tuttavia se questo tempo sia accettabile o se i risultati richiesti

siano ottenibili in tempistiche notevolmente inferiori.

Nel corso dell’analisi è emerso che dopo 520 giorni la superficie S169 viene

completamente stabilizzata, ovvero il momento stabilizzante pareggia quello

instabilizzante, mentre la S223 dopo 1260 giorni. Il loro contributo nel calcolo

degli spostamenti che attivano le forze dei chiodi risulta quindi nullo e

progressivamente si arriva alla stabilizzazione completa del pendio.

E’ possibile infine confrontare i profili di velocità e pressione ottenuti tramite i

due differenti interventi come riportato in Figura 5.10 e 5.11.

Figura 5.10 Confronto profili velocità per le due diverse spaziature.

La differenza è sostanziale in quanto l’intervento con spaziatura 1 m già in un

anno raggiunge le velocità ottenute dopo tre anni con la spaziatura 1,75 m.

L’efficienza di tale intervento risulta essere quindi notevolmente migliore.

Per quanto riguarda le forze di stabilizzazione, come ci si attende, il

comportamento è esattamente l’opposto (Figura 5.11):

0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

2,00E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Spo

stam

ento

[m

]

x [m]

ConfrontoProfilo Velocità

t= 0 giorni

t= 1 anno S= 1 m

t= 1 anno S= 1.75 m

t= 2 anni S= 1 m

t= 2 anni S= 1.75 m

t= 3 anni S= 1 m

t= 3 anni S= 1.75 m

t= 4 anni S=1 m

t= 4 anni S= 1.75 m



Figura 5.11 Confronto andamento profili di pressione lungo il pendio negli anni per le due differenti

spaziature.

Diminuendo la spaziatura, le forze risultano essere quasi il doppio rispetto alla

spaziatura precedente e l’andamento risulta ancora prettamente triangolare: si è

ben lontani dal raggiungimento del limite di snervamento del sistema.

5.5. Risultati con variazione della falda

Per concludere lo studio finora descritto si vuole avvicinare la soluzione il più

possibile ad un caso reale. A tal fine si fa variare la posizione della falda, la quale

è legata alla stagionalità delle piogge. Raramente infatti il livello dell’acqua

rimane costante nel tempo ma al contrario tende ad avere una variazione

stagionale dovuta all’apporto idrico delle piogge nei mesi invernali e ad un

abbassamento dovuto all’inaridimento del suolo nei periodi estivi. Nel capitolo

precedente si era mantenuta fissa l’altezza della falda alla quota di 14 m, come se

il pendio risultasse sommerso durante il corso degli anni.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

0,25 1,5 2,75 4 5,25 6,5 7,75 9 10,25

Q [

kN/m

]

x [m]

Confronto Profilo Q t=0 giorni S= 1.75 m

t= 0 giorni S= 1 m

t=1 anno S= 1.75 m

t= 1 anno S= 1 m

t= 2 anni S= 1.75 m

t= 2 anni S= 1 m

t= 3 anni S= 1.75 m

t= 3 anni S= 1 m

t= 4 anni S= 1.75 m

t=4 anni S= 1 m



Si ricostruisce una variazione annua che risulti ragionevole e consona ai vari mesi:

pertanto si sceglie un livello maggiore nei mesi più freddi e minore in periodi di

siccità, come i mesi estivi (Figura 5.12).

Figura 5.12 Andamento della falda nel corso dei quattro anni.

L’andamento è di tipo sinusoidale nel tempo, ma per semplicità nell’analisi si è

utilizzato un andamento a tratti per rappresentare l’abbassamento e l’aumento

della falda come mostrato in Figura 5.12. Il passo di discretizzazione temporale

rimane invariato e pari a 20 giorni; il livello piezometrico viene mantenuto

costante per 3 step temporali, ovvero per due mesi. Ogni due mesi è stata quindi

ipotizzata una diminuzione o un aumento di 2 m del livello di falda. Avendo a che

fare con un terreno di tipo sabbioso, una tale variazione del livello dell’acqua può

essere ritenuta accettabile poiché il materiale, essendo molto permeabile, è in

grado di drenare velocemente l’acqua; pertanto si può eseguire l’analisi in

condizioni drenate, senza l’insorgere di sovrappressioni. Se si avesse a che fare

con un terreno argilloso non sarebbe consono ipotizzare una repentina

0

2

4

6

8

10

12

14

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Hw

[m

]

Tempo [Giorni]

Andamento stagionale della falda



diminuzione del livello idrico poiché il terreno presenterebbe un bassissimo

valore di conducibilità idraulica.

Prima di poter iniziare un’analisi in presenza dell’intervento, è necessario

ricalcolare l’evoluzione naturale dello spostamento in assenza di intervento. Nel

caso con falda costante infatti, per calibrare il coefficiente di viscosità, si era

semplicemente fissato limite di velocità a 10 cm/anno, componendo i 4

meccanismi. Questo non può essere più il limite di riferimento poiché variando

l’altezza di falda varia il momento stabilizzante M1, mentre per quando riguarda

quello instabilizzante esso rimane costante essendo legato al peso del terreno.

Mantenendo il valore di η invariato e pari a 8,32·103 kPa/anno, si ricalcola il

valore del limite di spostamento del ciglio, ricalcolando per ogni altezza il valore

di M1. Come emerge dalla linea tratteggiata di Figura 5.13, l’andamento non

risulta più essere lineare ma “ondulatorio” e periodico.

Figura 5.13 Confronto spostamenti limite del pendio con falda costante e non nel tempo.

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

0,28

0,32

0,36

0,4

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 104011201200128013601440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Spostamenti naturali verticali del ciglio

Oscillazione Falda

Falda Costante



E’ possibile notare in corrispondenza dei brevi tratti orizzontali del grafico che

quando Hw= 8 m, ovvero nei mesi estivi, il pendio risulta essere sempre fermo,

poiché il momento stabilizzante pareggia quello instabilizzante in tutti i quattro

meccanismi.

5.5.1. Spaziatura 1,75 m

Trovato il limite di spostamento, è possibile considerare l’effetto dell’intervento

di stabilizzazione. Come primo esempio viene riportato quello con spaziatura

S=1,75 m di Figura 5.14.

Figura 5.14 Spostamenti del pendio con S=1,75 m e variazione della falda.

Come già esposto, i tratti orizzontali rappresentano i periodi in cui il pendio risulta

fermo. Gli spostamenti e le velocità angolari pertanto non aumentano, producendo

incrementi nulli che non sono in grado di far aumentare la forza di stabilizzazione

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Spostamenti verticali del ciglio


Spostamento con Oscillazione Falda



del sistema corticale. In questi intervalli di tempo l’intervento è inattivo e

mantiene la propria forza costante. Lo spostamento viene ridotto rispetto al valore

limite, ma il movimento franoso non viene arrestato, esattamente come nel caso

in cui la falda rimane fissa a 14 m. Il sistema inoltre risulta ancora ben lontano

dal limite di snervamento poiché gli spostamenti maggiori avvengono solamente

durante i mesi in cui la falda sale a livelli più elevati, come mostrato in Figura

5.15. Dopo quattro anni, il valore delle forze sviluppate è differente nei due casi.

Nel caso di falda che varia, l’andamento risulta ancora triangolare, mentre con

falda a 14 m il secondo e terzo chiodo sviluppano forze con un valore tendente al

limite di snervamento di 110 kN/m. Nel caso in esame, l’efficienza del sistema

risulta essere inferiore e il tempo di stabilizzazione aumenta notevolmente. Infatti,

per poter raggiungere valori maggiori della Q, si devono sviluppare ancora

ulteriori cedimenti, proprio perché la rete si attiva solo in alcuni mesi.

Figura 5.15 Confronto forze dopo 4 anni con forzanti idrauliche differenti.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0,25 1,5 2,75 4 5,25 6,5 7,75 9 10,25

Q [

kN/m

]

x [m]

Profilo Q a t= 4 anni

Variazione Falda

Falda Costante

Limite S = 1.75 m



5.5.2. Spaziatura 1 m

Per poter paragonare nuovamente due interventi differenti, è stata riproposta la

spaziatura inferiore di 1 m. Come esposto nel paragrafo 5.4. questo intervento era

in grado di apportare una diminuzione del 90% alle velocità del pendio entro 4

anni. Viene ora effettuata un’analisi modificando il livello piezometrico e si

mettono a confronto i risultati con quelli ottenuti nel paragrafo precedente (Figura

5.16).

Figura 5.16 Confronto interventi con spaziature differenti facendo variare il livello piezometrico.

Utilizzando la spaziatura 1 m lo spostamento viene quasi dimezzato rispetto al

valore limite ed alla spaziatura 1,75 m; tuttavia facendo variare il livello di falda

non risulta possibile in quattro anni fermare il movimento poiché gli spostamenti

nei periodi invernali sono ancora di entità non trascurabile.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Spostamenti verticali del ciglio


S= 1 m

S= 1.75 m



Si vuole infine mettere in evidenza le differenze presenti con spaziatura 1 m

mantenendo fissa e facendo variare il livello di falda (Figura 5.17).

Figura 5.17 Confronto medesimo intervento con falda variabile e costante.

Mantenendo fissa la posizione della falda, è stato possibile stabilizzare il pendio;

facendola variare stagionalmente è evidente che il movimento, seppur rallentato,

non viene totalmente arrestato. Il motivo di tale differenza è da ricercarsi

nell’entità degli spostamenti prodotti; essendo il pendio periodicamente fermo,

non vengono sviluppati grandi cedimenti e la curva caratteristica non viene

sfruttata appieno. Mettendo a confronto i profili della forza Q (Figura 5.18) dopo

quattro anni con falda costante e falda che oscilla, è possibile constatare che la

differenza è sostanziale. Per poter arrestare completamente il moto è necessario

ancora del tempo.

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

0,28

0,32

0,36

0,4

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440

Uvc

[m

]

Tempo [giorni]

Confronto Spostamenti S= 1 m

Spostamento Naturale conVariazione FaldaSpostamento con VariazioneFaldaSpostamento Naturale con Hw=14 mSpostamento Hw= 14 m



Figura 5.18 Confronto forze dopo 4 anni con forzanti idrauliche differenti.

Si può concludere affermando che facendo variare la falda, il tempo necessario

ad un arresto del movimento è maggiore e si deve quindi valutare se esso sia

accettabile o meno. Per poter ovviare a questo problema si potrebbe pensare di

abbassare la falda tramite interventi di ingegneria idraulica, per esempio

inserendo dreni o pozzi, o di ingegneria naturalistica. Il compito del progettista

sarà quello di valutare le tempistiche e gli interventi accettabili per il caso in

esame.

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

0,25 1,5 2,75 4 5,25 6,5 7,75 9 10,25

Q [

kN/m

]

x [m]

Profilo Q a t=4 anni

Variazione Falda

Falda costante

Limite S = 1 m

Conclusioni


6. Conclusioni

Nel corso dell’elaborato si è studiato un pendio ideale bidimensionale adottando

differenti approcci, utilizzando come intervento di stabilizzazione i sistemi

corticali.

Si è considerata una perturbazione idraulica del sistema, variando l’altezza della

falda, Hw, e si sono così ottenuti i cinematismi critici a cui si è fatto riferimento

nel corso delle analisi. Dagli andamenti degli FS al crescere di Hw è stato

individuato un inviluppo critico.

Per descrivere il funzionamento della rete corticale abbiamo fatto riferimento ai

dati ricavati dalle analisi dell’articolo di Di Prisco, Besseghini, Viganò.

Per progettare l’intervento stabilizzante, in primo luogo si è adottato l’equilibrio

limite, che ha permesso di trovare la pressione necessaria a portare il fattore di

sicurezza del pendio a 1,3 e a dimensionare la lunghezza dell’intervento. Con

questo primo approccio, l’effetto della rete è stato tenuto in conto come carico

ultimo ricavato dalle curve caratteristiche riportate nell’articolo. La pressione

stabilizzante è stata considerata uniformemente distribuita lungo l’intera

lunghezza dell’opera, ottenendo fattori di sicurezza superiori in ogni caso al limite

di sicurezza di 1,3. Lo studio allo stato limite ultimo, seppur verificando tutti i

limiti di sicurezza, non sempre verifica i requisiti di funzionalità, poiché non è

realistico immaginare che sul pendio agisca una pressione ovunque uniforme e

pari a quella massima ottenibile dall’intervento.

Il reale funzionamento della rete è stato studiato con il metodo ibrido: infatti, per

studiare la natura passiva di tale intervento, insorge la necessità di studiare il

sistema con un metodo ibrido, considerando la relazione tra le forze stabilizzanti

e gli spostamenti del terreno. Un sistema passivo trasmette le forze stabilizzanti

al terreno instabile qualora si possano mobilitare degli spostamenti. Le forze

stabilizzanti aumentano al crescere degli spostamenti concessi al pendio, e

Conclusioni


all’aumentare di tali forze consegue l’aumento del fattore di sicurezza globale. In

questo caso si è usata la curva caratteristica del sistema come strumento per

ricavare le azioni stabilizzanti in funzione degli spostamenti. Abbiamo verificato

l’importanza della spaziatura, mettendo in luce il suo effetto non solo sulla

sicurezza e sull’aumento di FS, ma anche sugli spostamenti del terreno necessari

all’attivazione della rete, aspetto legato all’efficienza dell’intervento.

Tenendo conto di questo infatti, l’analisi deve anche permettere di valutare se gli

spostamenti richiesti dal sistema siano adeguati, così da giungere a

un’ottimizzazione progettuale variando la spaziatura. È chiaro quindi che il

progetto deve essere eseguito non solo in modo che sia in grado di prevenire il

possibile crollo, ma anche che l’opera progettata possa attivare la propria azione

stabilizzante per spostamenti accettabili.

Sebbene con l’equilibrio limite e con il metodo ibrido sia possibile dimensionare

un intervento che stabilizzi il pendio, nessuna informazione si può ricavare

riguardo l’evoluzione del moto del terreno, né si può verificare se l’opera così

progettata sia in grado di rallentarne la velocità. Per ottenere un progetto completo

che tenga conto di tutti questi aspetti, occorre quindi fare un passo in più:

considerando l’equazione del moto del pendio, si può ricostruire l’andamento

degli spostamenti nel tempo dopo l’installazione della rete. Si è studiato il

medesimo pendio ideale, caratterizzato ora da un comportamento rigido-

viscoplastico. Dall’equilibrio alla rotazione del sistema si ricava l’equazione del

moto per diversi cinematismi; questo metodo permette di considerare non

un’unica superficie di rottura, ma contemporaneamente prende in considerazione

i campi di velocità dati dalla composizione di molteplici superfici critiche,

risultando così un metodo evolutivo negli spostamenti. Trascurando gli effetti

dinamici e considerando il contributo viscoso del terreno, governato dal

coefficiente , si ottiene un’equazione differenziale ordinaria la quale viene

risolta in maniera discreta alle differenze finite. Il risultato è l’andamento degli

spostamenti del terreno dopo l’installazione dell’intervento. Confrontando

Conclusioni


l’evoluzione delle velocità di spostamento prima e dopo l’applicazione della rete,

è possibile valutare l’efficienza dell’opera anche in termini di tempo necessario

ad ottenere l’obiettivo.

Si è valutata quindi l’efficienza dell’intervento, ovvero se esso sia in grado di

ridurre le velocità del pendio attraverso le proprie forze stabilizzanti.

Inizialmente si è mantenuta fissa la posizione della falda a 14 m e si sono

confrontati due interventi, con spaziatura 1,75 m e 1 m. E’ emerso che l’intervento

con spaziatura 1.75 m, che studiato con il metodo ibrido era in grado di garantire

largamente la stabilità del pendio, non può arrestare completamente il moto

franoso. Dopo quattro anni dall’installazione, le velocità sono dimezzate rispetto

alla situazione iniziale, ma anche in questo ampio lasso di tempo, l’opera non è

sufficiente a garantire l’arresto del movimento. Considerando invece la spaziatura

di 1 m, dopo quattro anni il moto del pendio viene arrestato.

Come ulteriore analisi, è stata fatta variare la falda con periodicità stagionale, da

un’altezza di 14 m a partire da gennaio, fino a 8 m per i mesi estivi. A differenza

del caso precedente a falda fissa, nessuno dei due interventi si è rivelato in grado

di arrestare il moto, nemmeno dopo quattro anni. Il motivo di questa differenza è

da ricercarsi nell’entità degli spostamenti del pendio, maggiori nei mesi invernali,

in cui le pressioni dell’acqua diminuiscono drasticamente la stabilità, e minori in

quelli estivi, in cui il pendio si trova in condizioni di equilibrio. Il sistema quindi

viene sfruttato solo in determinati periodi dell’anno, mentre non viene attivato

quando il pendio si trova in equilibrio. La presenza della rete, a differenza del

caso precedente, non viene sfruttata appieno e entrambi gli interventi necessitano

di tempi maggiori. Nonostante le velocità vengano soltanto parzialmente ridotte ,

un ottimo risultato si ottiene in termini di spostamenti totali, i quali diminuiscono

notevolmente.

Accanto ai profili delle velocità nel tempo, sono stati analizzati gli andamenti

delle forze sviluppate dalla rete. Questo ha messo in luce la grande differenza col

metodo allo stato limite ultimo: quest’ultimo prevedeva una distribuzione

Conclusioni


rettangolare uniformemente distribuita sul pendio, mentre con l’approccio negli

spostamenti abbiamo ottenuto la reale distribuzione delle forze, più vicina a un

andamento triangolare. Inoltre, per utilizzare il metodo dell’equilibrio limite,

abbiamo dovuto ipotizzare un’infinita duttilità della rete metallica, ma questa

semplificazione nella realtà può non essere accettabile. Col il metodo negli

spostamenti si può infatti tenere conto di un comportamento più reale,

ricostruendo l’andamento delle forze al passare del tempo.

In conclusione, è possibile affermare che le analisi svolte hanno messo in luce

limiti e potenzialità dei differenti approcci: la scelta del metodo di progetto deve

essere commisurata alle esigenze del problema e all’obiettivo che si vuole

ottenere.

Bibliografia


Bibliografia

Galli A., Maiorano R.M.S, Di Prisco C.G., Aversa S. (2017) -Design of slope-

stabilizing piles: from Ultimate Limit State approaches to displacement based

methods.

Di Prisco C.G., Besseghini F., Pisanò F. (2015) -Modelling of the mechanical

interaction between anchored wire meshes and granular soils.

Galli A. e Bassani A. (2018) -Innovative performance-based design of slope

stabilizing piles for a railway embankment.

Di Prisco C.G. (2017) -Dispense corso di Slope Stability a.a. 20016-2017.

Scesi L. et al. (2015) -Geologia Tecnica: Idrogeologia applicata, dinamica dei

versanti, strade, opere di sostegno, dighe.

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