Le funzioni di più variabiliLe funzioni di più variabili Applicazioni in economia

Definizione di funzione a più variabiliDefinizione di funzione a più variabili

Una funzione di più variabili è caratterizzata dalla presenza di due o più variabili reali indipendenti.

In economia sono molto diffuse poiché i problemi sono piuttosto complessi e dipendono da più fattori.

22

1),(

yxyxfz

Esempio di funzione fratta di sole 2 variabili

yxyxfz 3),( Esempio di funzione lineare delle sole 2 variabili x ed y

Nel caso le variabili indipendenti siano superiori a due si utilizza, per elencarle, la

lettera x seguita da un indice che va da 1 ad n: x1, x2, …., xn

321

21321 52),,( xxxxxxfz Esempio di funzione lineare di 3 variabili

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz Esempio di funzione di 4 variabili

Dominio di una funzione di più variabiliDominio di una funzione di più variabili

Il dominio di una funzione è l’insieme dei punti, dello spazio delle variabili indipendenti, in cui essa è definita.

22

1),(

yxyxfz

E’ definita in tutti i punti del piano x-y, tranne che

nell’origine O = (0,0) in cui il denominatore si azzera

yxyxfz 3),( E’ definita in tutti i punti del piano x-y, ovvero in R2

321

21321 52),,( xxxxxxfz E’ definita in tutti i punti dello spazio x1-x2-x3,

ovvero in tutto R3

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz

E’ definita in tutti i punti dello spazio

x1-x2-x3-x4, tranne che nei punti in cui

la quantità sotto radice diventa

negativa

Grafico di una funzione di più variabiliGrafico di una funzione di più variabili

Una funzione di più variabili si può rappresentare, nel caso di sole due variabili indipendenti, con un grafico a tre dimensioni.

yxyxfz 3),(

Le linee rappresentano valori a z

costante, mentre dal colore scuro al

chiaro sono rappresentati valori di z

via via crescenti.

Grafico di una funzione di più variabiliGrafico di una funzione di più variabili

22

1),(

yxyxfz

Esempio di funzione non definita nell’origine

Derivate di una funzione di più variabiliDerivate di una funzione di più variabili

Una funzione di più variabili possiede tante derivate prime quante sono le variabili indipendenti.

0

000 ),(),(lim

0 xx

yxfyxff

xxx

Nel caso di una funzione di due variabili: ),( yxfz

Derivata prima rispetto alla variabile x

0

000 ),(),(lim

0 yy

yxfyxff

yyy

Derivata prima rispetto alla variabile y

Queste derivate sono calcolate nel punto generico P0 ≡ (x0, y0)

Derivate di una funzione di più variabiliDerivate di una funzione di più variabili

Una funzione di n variabili indipendenti possiede n derivate prime rispetto a tutte le variabili.

0

00000

0111

11

2121 ),...,,(),...,,(lim

xx

xxxfxxxff

nn

xxx

),...,,( 21 nxxxfz

Derivata prima rispetto

alla variabile x1

0

00000

0222

22

2121 ),...,,(),...,,(lim

xx

xxxfxxxff

nn

xxx

Derivata prima rispetto

alla variabile x2

0

00000

0

),...,,(),...,,(lim

2121

nn

nn

xxx

xx

xxxfxxxff

nnn

Derivata prima rispetto

alla variabile xn

…………………

Significato delle derivate primeSignificato delle derivate prime

Ogni derivata prima rappresenta la pendenza del grafico della funzione rispetto alla specifica variabile di derivazione.

1xf

),...,,( 21 nxxxfz

Pendenza del grafico della funzione rispetto alla variabile x1

…………………

2xf Pendenza del grafico della funzione rispetto alla variabile x2

nxf Pendenza del grafico della funzione rispetto alla variabile xn

Una derivata rispetto ad una certa variabile che ha un valore molto grande indica

una forte dipendenza della funzione da quella variabile!

Calcolo delle derivate primeCalcolo delle derivate prime

Le derivate si calcolano in maniera analoga alle funzioni di una variabile, considerando alla stregua di una costante la variabile rispetto alla quale non si sta derivando.

Esempio 1.

yxyxfz 3),(

1xf 3yf

Esempio 2.

75),( 23 yxyxfz23xf x yf y 10

Esempio 3.

xyyxyxyxfz 75),( 223

yxyyxfx 7103 22

xyxxf y 710 23

Esempio 4.

22

1),(

yxyxfz

222

2

yx

xf x

222

2

yx

yf y

Calcolo delle derivate primeCalcolo delle derivate prime

Esempio 5.

Esempio 6.

Esempio 7.

321

21321 52),,( xxxxxxfz

21xf 5

2xf 2

1

3xf

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz

11xf

2

43 942

xxfx 2

43

2

94

23

xx

xf x

2

43

42

94

94

xx

xxf x

43214321 ),,,( xxxxxxxxfz

321xxfx 312

xxfx 213xxfx 1

4xf

Derivate secondeDerivate seconde

Ogni derivata prima si può a sua volta derivare nuovamente rispetto a tutte le variabili indipendenti, ottenendo così le derivate seconde.

),...,,( 21 nxxxfz

Derivate prime: 1xf

2xf

nxf ………

Derivate seconde pure: 11xx

f 22xx

f nnxx

f ………

Derivate seconde miste: 21xx

f 31xx

f nxx

f1………

12xxf

32xxf

nxxf

2………

1xxnf

2xxnf

1nnxx

f………

……………………………………

Derivate secondeDerivate seconde

Sotto alcune ipotesi, generalmente verificate, vale il teorema di Schwarz che assicura l’ininfluenza dell’ordine con il quale sono ottenute le derivate seconde miste.

),...,,( 21 nxxxfz

nn xxxxxxxxxxxx ffffff2232231221

,.....,,

),( yxfz yxxy ff

nn xxxxxxxxxxxx ffffff3343341331

,.....,,

………………………………………………….…

2 variabili

n variabili

Calcolo delle derivate secondeCalcolo delle derivate seconde

Esempio 1.

yxyxfz 3),(

1xf 3yf

Esempio 2.

75),( 23 yxyxfz23xf x yf y 10

Le derivate seconde in questo caso

sono tutte nulle

xf xx 6 10yyf

0 yxxy ff

0 yxxyyyxx ffff

Calcolo delle derivate secondeCalcolo delle derivate seconde

Esempio 3.

xyyxyxyxfz 75),( 223

yxyyxfx 7103 22 xyxxf y 710 23

Esempio 4.

22

1),(

yxyxfz

222

2

yx

xf x

222

2

yx

yf y

2106 yxyfxx

322

22 62

yx

yxf yy

210xf yy 7203 2 xyxff yxxy

322

22 26

yx

yxf xx

322

8

yx

xyff yxxy

Calcolo delle derivate secondeCalcolo delle derivate seconde

Esempio 5.

321

21321 52),,( xxxxxxfz

21xf 5

2xf 2

1

3xf

0233213311221332211

xxxxxxxxxxxxxxxxxx fffffffff

Esempio 6.

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz

11xf

2

43 942

xxfx 2

43

2

94

23

xx

xf x

2

43

42

94

94

xx

xxf x

011

xxf

022

xxf

32

43

2

94

433

xx

xf xx

32

43

32

94

3644

xx

xxf xx

021

xxf

031

xxf

041

xxf

2

43 94

232

xxf xx

012

xxf 013

xxf

32

43

42

94

1843

xx

xxf xx

014

xxf

2

43

4

94

942

xx

xf xx

2

43 94

223

xxf xx

2

43

4

94

924

xx

xf xx

32

43

42

94

1834

xx

xxf xx

Calcolo delle derivate secondeCalcolo delle derivate seconde

Esempio 5.

321

21321 52),,( xxxxxxfz

21xf 5

2xf 2

1

3xf

0233213311221332211

xxxxxxxxxxxxxxxxxx fffffffff

Esempio 6.

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz

11xf

2

43 942

xxfx 2

43

2

94

23

xx

xf x

2

43

42

94

94

xx

xxf x

011

xxf

022

xxf

32

43

2

94

433

xx

xf xx

32

43

32

94

3644

xx

xxf xx

021

xxf

031

xxf

041

xxf

2

43 94

232

xxf xx

012

xxf 013

xxf

32

43

42

94

1843

xx

xxf xx

014

xxf

2

43

4

94

942

xx

xf xx

2

43 94

223

xxf xx

2

43

4

94

924

xx

xf xx

32

43

42

94

1834

xx

xxf xx

Calcolo delle derivate secondeCalcolo delle derivate seconde

Esempio 7.

43214321 ),,,( xxxxxxxxfz

011

xxf

321xf xx

231xf xx

041

xxf

321xxfx 312

xxfx 213xxfx 1

4xf

312xf xx

022

xxf

132xf xx

042

xxf

213xf xx

123xf xx

033

xxf

043

xxf

014

xxf

024

xxf

034

xxf

044

xxf