Capitolo5

Capitolo 5

Applicazioni degli algoritmi genetici al

monitoraggio strutturale

5.1. Premessa

Uno degli scopi di questo lavoro è, come si è già detto, una ricerca bibliografica

sull'applicazione degli algoritmi genetici al monitoraggio di opere d’ingegneria

civile.

Nel precedente capitolo 1 si sono espresse le motivazioni che conducono ad

utilizzare questi tipi d’algoritmi rispetto ai tradizionali algoritmi di calcolo, rilevando

quindi le differenze fra i due metodi ed evidenziando, della tecnica in esame, i pregi

ed i difetti: i primi dipendenti dalla facilità d’implementazione dell'algoritmo stesso, i

secondi legati alla difficoltà di un'interpretazione e di un'applicazione pratica dei

risultati ottenuti in via teorica-sperimentale.

Infatti, anche se questi algoritmi sono già in uso da parecchio tempo sia nel campo

della matematica, dell'economia e dell'ingegneria informatica ed elettronica,

nell'ambito dell'ingegneria civile si riscontrano ancora limitazioni nella loro

applicazione dovute proprio alla difficoltà di tradurre in pratica ciò che si ottiene a

livello numerico.

Nei successivi paragrafi sono proposti i pochi ma rilevanti esempi d’applicazioni

pratiche all’ingegneria civile trovati in letteratura.

Pare giusto specificare che di tali articoli si riportano solo i passi principali, ovvero

ciò che meglio chiarisce come gli algoritmi genetici possano essere applicati alle

tecniche di monitoraggio.

69

Capitolo5

5.2. Algoritmi genetici per la determinazione

del danno strutturale[36]

Introduzione

Scopo principale del monitoraggio è la determinazione e l'identificazione del danno

di un sistema strutturale, per l'intera durata della vita della struttura stessa.

In condizioni normali di servizio, il danno strutturale può essere causato da fenomeni

di corrosione, fatica, invecchiamento, carichi elevati, terremoti e vento.

L'obiettivo dell'identificazione del danno è quello di descrivere qualitativamente o

quantitativamente il deterioramento del sistema; ciò deve avvenire però non tanto

conoscendo i carichi applicati e la risposta della struttura, ma monitorando il

cambiamento nelle risposte strutturali.

Parecchi studi sono stati proposti per identificare il danno partendo direttamente

dall'analisi dei cambiamenti di risposta del modello in esame senza conoscere a priori

nessuna caratteristica del modello del sistema reale [38], [40].

Questi metodi, denominati diretti, sono in grado di identificare l'esistenza del danno,

ma hanno difficoltà nel localizzarlo e nel quantificarlo [34].

Al fine di minimizzare la differenza tra le risposte misurate e quelle calcolate, per

adattare in pratica il comportamento del sistema strutturale, si stabilisce un modello

fisico matematico.

I cambiamenti nel comportamento della struttura dovuti alla presenza del danno,

sono determinati per mezzo di un sistema di tecniche d’identificazione; esse si

compongono di due classi di metodi, parametrici e non parametrici.

I metodi parametrici si riferiscono a stime di parametri, mentre quelli non parametrici

sono caratterizzati dalla proprietà che i modelli risultanti non sono necessariamente

parametrizzati da un vettore di dimensione finita.

Recentemente sono stati applicati al problema della determinazione e

dell'identificazione del danno strutturale metodi d’intelligenza computazionale, quali

70

Capitolo5

reti neurali e GA, in quanto rispetto ai metodi matematici tradizionali, hanno la

caratteristica di robustezza ed efficienza nel copiare informazioni.

Nel caso in esame gli algoritmi genetici sono impiegati al fine di trovare la soluzione

ottima usando la funzione d'errore.

Alcuni studi hanno applicato con successo i GA nell'identificazione del danno

strutturale [42].

Definizione del problema

Si considera un ponte a travata reticolare al quale si applicano sensori al fine di

monitorarne danni o cambiamenti nella risposta causati dal continuo passaggio dei

veicoli, o dall'azione distruttiva dei maremoti.

I sensori che misurano lo spostamento in condizioni normali di traffico, sono usati

per identificare lo stato del ponte, ossia per determinare i danni; il fatto che il ponte

sia monitorato periodicamente in condizioni di carico di traffico rappresenta una

richiesta specifica per il test di controllo.

In questo metodo si presume che solo la geometria della struttura sia nota e le altre

proprietà quali, moduli elastici e momenti d’inerzia, sono da determinarsi tramite il

monitoraggio.

Il modello matematico proposto per il metodo di monitoraggio è sviluppato

conoscendo la geometria stessa della struttura; le altre proprietà invece sono

determinate tramite i GA mediante la minimizzazione della differenza tra gli

spostamenti misurati e calcolati.

Cambi improvvisi delle suddette proprietà, nella determinazione periodica delle

caratteristiche strutturali, rilevati attraverso il monitoraggio, indicano la presenza di

danno negli elementi.

Cambi graduali delle proprietà tra i successivi episodi di monitoraggio dovrebbero

invece indicare la presenza di fenomeni di deterioramento ed usura.

In pratica si adottano spesso considerazioni che limitano il numero degli spostamenti

che si possono misurare; questo è motivo d’introduzione d’incertezze nella

determinazione del danno, poiché può esistere più di una soluzione che minimizza

71

Capitolo5

l'errore di uscita, ossia più insiemi di rigidezze combinate con diversi spostamenti

misurati possono dare la stessa risposta.

Metodi proposti

Vengono proposti due metodi per svolgere il monitoraggio strutturale: entrambi i

metodi usano gli algoritmi genetici ed ambedue assumono come dato noto un numero

limitato di spostamenti e ciò, appresenta la limitazione pratica di questi metodi.

Primo metodo

Il primo metodo si basa unicamente sulla differenza fra spostamenti misurati e

spostamenti calcolati; tale differenza è minimizzata tramite gli algoritmi genetici.

Le proprietà dei materiali sono codificate tramite stringhe; per ogni membro della

popolazione è eseguita un'analisi agli elementi finiti usando le proprietà dei materiali

decodificate dalle stringhe dei GA.

La funzione ottimale è quindi definita in termini di errore di uscita tra gli spostamenti

misurati e quelli calcolati dall'analisi agli elementi finiti.

Tale metodo è applicato su un ponte a travata reticolare (Fig.5.1), avente una luce di

2300 m; la mesh del modello per l'analisi agli elementi finiti è costituita da 26

elementi (Fig. 5.2).

72

Capitolo5

Per determinare il danno si considerano sei condizioni di carico, ossia quelle più

sfavorevoli determinate dal passaggio di mezzi pesanti sull'impalcato, ad esempio dai

camion eccedenti il peso limite(Fig.5.3).

73

Figura 5.1: Struttra del ponte

Figura 5.2: Mesh agli elementi finiti

Capitolo5

Figura 5.3: Condizioni di carico sul ponte

Il danno è modellato come una riduzione di rigidezza assiale dell'elemento

danneggiato.

Sono considerati tre casi differenti di danno: nel primo caso si ritiene sia danneggiato

l'elemento 19, nel secondo caso si ritengono danneggiati gli elementi 1 ed 11e infine

si ritengono danneggiati gli elementi 7, 11, 13.

74

Capitolo5

Per analizzare i risultati si applica l'analisi statica; per ogni caso di danno si eseguono

10 analisi indipendenti, fino ad ottenere una generazione di 200 individui.

I risultati sono presentati in termini di valori medi e deviazioni standard delle

stringhe.

L'algoritmo genetico è applicato per localizzare ed identificare gli elementi

danneggiati nelle tre situazioni di danno sopra elencate; con un indice di danno di 0,8

ad esempio la rigidezza assiale è ridotta al 80% rispetto al caso non danneggiato.

Secondo metodo

Il secondo metodo è stato sviluppato per evitare di dover assumere soluzioni

"costose" per il sistema d’equazioni nell'analisi agli elementi finiti, necessarie per la

valutazione della funzione d’ottimo.

Questo è realizzato codificando, nelle stringhe dei GA, gli spostamenti non misurati e

le proprietà del materiale e lasciando che i valori corretti degli spostamenti non

misurati si evolvano durante il processo dell'algoritmo genetico.

Nella valutazione della funzione ottima ogni membro della popolazione del vettore di

spostamento è noto; gli spostamenti misurati e i valori di quelli non misurati sono

decodificati da stringhe di GA.

Quando le proprietà del materiale e gli spostamenti non misurati sono codificati e

quindi sono fatti variare in accordo con il GA, è più difficile se non impossibile per

l'algoritmo genetico stesso trovare la soluzione corretta, poiché gli spostamenti

misurati sono le sole informazioni disponibili.

Tale metodo è applicato al ponte già descritto in precedenza, ma risulta essere un

problema ben più difficile del precedente, sia per quanto riguarda la determinazione

degli spostamenti non misurati e la determinazione simultanea delle proprietà dei

materiali, che le sole proprietà dei materiali come nel primo metodo.

Per ottenere una soluzione unica del problema inverso di un ponte a travata reticolare

(Fig.5.4) si usa un modello d’analisi agli elementi finiti di 19 elementi (Fig.5.5).

La condizione di carico usata per determinare il danno (Fig.5.6)è rappresentata dal

carico statico causato dal passaggio sul ponte di un camion eccedente il carico limite.

75

Capitolo5

Per l'analisi si assume che l'elemento 13 sia danneggiato e che la sua rigidezza assiale

è ridotta del 20% rispetto alla rigidezza assiale corrispondente al caso non

danneggiato.

L'analisi statica è applicata per analizzare i risultati, i valori medi e le deviazioni

standard delle stringhe.

In direzione y sono misurati tutti gli spostamenti nodali verticali, numericamente

calcolati con la simulazione agli elementi finiti.

La rimanenza degli spostamenti nodali, cioè in direzione x, non è misurata.

76

Figura 5.4: Struttura del ponte

Figura 5.5: Mesh agli elementi finiti.

Figura 5.6: Condizioni di caricosul ponte

ponte.

Capitolo5

Fattori che influenzano l'affidabilità del monitoraggioLa determinazione e l'identificazione del danno strutturale partendo dalle risposte di

misura è influenzata da diversi fattori quali: la misurazione del rumore e la scelta del

luogo esatto in cui effettuare le misure.

Misurazioni del rumore

I problemi d’identificazione e determinazione del danno strutturale sono in funzione

dell'accuratezza con cui si rilevano i dati; in generale il danno si può misurare come

cambiamento di risposta nella struttura.

Tuttavia è anche suscettibile alla misurazione del rumore, infatti l'esistenza del

rumore nei dati misurati non solo influenza la determinazione e la localizzazione del

danno, ma è anche responsabile dei cambiamenti nelle risposte strutturali attribuibili

ai vari punti di localizzazione del danno.

In generale, poiché i livelli elevati di misurazione del rumore indeboliscono la

capacità di localizzare il danno, è dimostrabile che gli algoritmi genetici sono in

grado di assolvere la loro funzione anche in presenza di rumore.

Misurazioni incomplete

Un numero limitato di dati misurati è un altro fattore che influenza l'identificazione e

la determinazione del danno strutturale.

I dati misurati disponibili possono non essere sufficienti e adeguati per le diagnosi

del danno, in quanto possono essere meno sensibili al danno.

Avendo a disposizione misurazioni incomplete, la determinazione e l'identificazione

del danno risultano assai difficili ed è quindi necessario capire se tali procedimenti

permettono di risalire ad un effettivo valore del danno stesso.

77

Capitolo5

ConclusioniE' stato dimostrato che, usando un piccolo numero di spostamenti statici simulati e

misurati, il metodo proposto è in grado di localizzare e quantificare con successo il

danno e gli spostamenti nodali non misurati, evitando di eseguire analisi complete

agli elementi finiti.

Gli schemi di rappresentazione utilizzati mostrano che, usando gli algoritmi genetici

l'intero procedimento è ripetibile e si basa su analisi statistiche anche se le

informazioni iniziali sono generate in maniera casuale.

Il monitoraggio delle vibrazioni di base può giocare un ruolo importante nel

miglioramento costo-efficacia di ispezione e mantenimento ed assicurare integrità

strutturale a larga scala dei sistemi di infrastrutture civili.

Un modello di base agli elementi finiti (FE) ben costruito è essenziale per ottenere

con successo un buon monitoraggio strutturale, che è un modello di analisi strutturale

aggiornato da correlare con i dati misurati.

78

Capitolo5

5.3. Tecniche stocastiche d’ottimizzazione che utilizzano misure di vibrazioni ottenute tramite prove non distruttive sui ponti[44]

Introduzione

Il monitoraggio basato sulle vibrazioni può giocare un ruolo importante nel

miglioramento del sistema "costo-efficacia" ed assicurare integrità strutturale a larga

scala dei sistemi d’infrastrutture civili.

Un modello di base agli elementi finiti (FE), che è un modello d’analisi strutturale

aggiornato da correlare con i dati misurati, se è ben costruito, è essenziale per

ottenere con successo un buon monitoraggio strutturale.

Tuttavia, i dati misurati e il modello d’analisi strutturale possono includere una

considerevole quantità d’errori, che possono facilmente portare a soluzioni o a

divergenze [35].

Tecniche euristiche d’ottimizzazione, che nei decenni passati prevedevano calcoli

d’impossibile soluzione, stanno diventando sempre più popolari per i problemi

ingegneristici grazie al rapido sviluppo di nuove tecniche di calcolo.

Nel caso in esame sono state applicate tre tecniche d’ottimizzazione stocastica,

partendo da dati noti di vibrazioni, per aggiornare un modello FE di un nuovo ponte

sopraelevato; esse includono gli algoritmi genetici, gli SA (simulated annealing), e i

TS (tabu search).

Queste tre tecniche hanno i seguenti punti in comune:

1. Essendo algoritmi euristici, non garantiscono una soluzione statistica

ottimale, ovvero nessun teorema ne garantisce la convergenza.

2. Non riconoscendo il raggiungimento della soluzione ottima, bisogna

imporre loro l'arresto.

79

Capitolo5

3. Si possono implementare per qualsiasi problema d’ottimizzazione;

richiedono soltanto una rappresentazione adatta della soluzione, una

funzione di costo, ed un meccanismo per sondare lo spazio delle

soluzioni.

4. Essi convergono asintoticamente ad una soluzione ottimale sotto

determinate condizioni.

Questi algoritmi euristici sono stati abitualmente applicati per problemi

d’ottimizzazione strutturale nell'ingegneria civile [41].

Esempio di studioIl ponte e il modello preliminare FE

In questo studio gli approcci stocastici discussi n precedenza, vengono applicati per

stabilire un modello di base per il ponte Jamboree Road Overcrossing che si trova nel

Eastern Transportation Corridor in Irvine in California, dotato di strumenti per il

monitoraggio (accelerometri e sensori).

Esso è un ponte a tre campate continue con cavi di precompressione post-tesi ed

impalcato a cassone; la lunghezza totale è di 111.9 m e la lunghezza d’ogni campata

è rispettivamente di 35.5, 46.1, 30.3 metri.

Il ponte è supportato da due colonne singole in cemento armato ed è collegato alle

spalle tramite apparecchi d'appoggio mobili.

Tali apparecchi consentono lo scorrimento del ponte, il suo ritiro, dilatazioni

termiche e contrazioni.

In totale sono stati installati 15 accelerometri sull'impalcato e su una delle due

colonne (Fig. 5.7).

80

Capitolo5

E' stato sviluppato un modello agli elementi finiti come riportato nella seguente

Fig.5.8.

La struttura è stata modellata con elementi frame 3-D tramite il programma

SAP2000.

Nella tabella di seguito riportata sono espressi i parametri dei momenti d'inerzia e

dell'area delle sezioni trasversali considerate (colonna e impalcato).

81

Figura 5.7: Disposizione degli accelerometrisulla struttura

Figura 5.8: Modello agli elementifiniti.

Capitolo5

Elementi Area(m2) Momenti di inerzia (m4)Ix Iy Iz

Impalcato 5.94 7.63 3.01 59.36Colonna 3.53 2.51 0.72 1.51

Tabella 5.1: Parametri strutturali.

Verifiche numericheIndice strutturale

Per determinare l'efficacia delle tre tecniche stocastiche d’ottimizzazione si sono

effettuate simulazioni numeriche, aventi anche lo scopo di aggiornare il modello di

analisi strutturale preliminare FE il quale si basa sui dati di vibrazioni misurate.

In questa simulazione, si assume un modello strutturale di prova per il ponte in

esame diverso dal modello strutturale preliminare; più precisamente si sono assunte

per il modello di prova, frequenze naturali e forme modali tali per cui risultassero

essere quelle ottenute dalla misura delle vibrazioni.

Otto parametri strutturali sono stati scelti per correlare il modello di analisi

preliminare con i dati delle vibrazioni misurate, essi sono: due sezioni (c1Aimp, c2Acol),

quattro momenti di inerzia(c3I impy c4I col

y c5I impz , c6I col

x ), una molla lineare per le spalle

(c7K spallel ) e una molla rotazionale per le fondazioni (c8K spalle

r ), dove ci sono i

coefficienti di correzione di questi parametri strutturali.

Gli altri parametri strutturali non sono considerati, poiché essi non influiscono sul

comportamento strutturale.

Ad esempio il momento torsionale d'inerzia dell'impalcato (I impy ) non è stato

considerato in quanto non risulta decisivo per il comportamento flessionale

dell'impalcato sia in direzione verticale che trasversale.

Anche il momento torsionale d'inerzia della colonna (I colz ) non é stato esaminato

sempre per le suddette ragioni.

Il problema può essere descritto come segue: trovare i coefficienti di correzione dei

parametri strutturali (ci's) che minimizzano la funzione obiettivo, definita come

82

Capitolo5

differenza fra le frequenze naturali misurate e quelle calcolate sotto condizioni di

discrepanza delle forme modali.

Ad esempio:

Trova ci , i = 1,2,…8

Minimizza 2821

1

))),...,,((( cccffwJ ci

mi

N

ii

Sottoponi a : lkmlk

mlk ccc ),...,( 821 con max,min, iii ccc

dove:

fi e ji , sono le frequenze naturali e j è l'ampiezza modale del modo i-esimo; m e c

stanno per "misurato" e "calcolato", ci ,min e ci,max sono rispettivamente legati a ci.

Un indice di base del modello strutturale è stato assunto come nella seguente tabella.

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8

0.95 1.05 0.97 1.04 0.95 1.05 1.500 0.500

Tabella 5.2: Coefficienti di correzione dell’indice strutturale.

Nella tabella successiva invece si riportano le differenze fra le frequenze naturali

calcolate e le frequenze del modello preliminare FE; si può notare che tali differenze

variano in un range di 1.2-1.9% per i modi verticali e di 8.2-9.2% per i modi

trasversali.

83

Capitolo5

Tabella 5.3:Frequenze naturali calcolate e modello di prova preliminare (Hz).Modi Modi verticali Modi trasversali

1 2 3 4 1 2Modello

di prova

2.937 4.708 5.797 9.526 2.924 4.623

Modello

FE

2.888

(1.639)

4.619

(1.908)

5.726

(1.224)

9.407

(1.249)

3.165

(8.246)

4.199

(9.170)

Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle

frequenze naturali calcolate e quelle del modello di prova preliminare FE

Studi parametrici

Le tecniche d’ottimizzazione stocastica richiedono la determinazione dei parametri

euristici, parametri che vanno analizzati caso per caso.

Inizialmente si era detto che tali parametri erano rappresentati dai GA, dagli SA e dai

TS; noi ci occuperemo soltanto dei GA.

Tramite gli algoritmi genetici vengono esaminate le seguenti situazioni:

tre probabili punti di crossover (Cp=0.4, 0.6, 0.8)

tre probabili tassi di mutazione (mp=0.01, 0.02, 0.03)

Il numero della popolazione, il numero delle generazioni e la scelta del metodo, sono

rispettivamente: 50, 100 e scelta casuale ( roulette).

Quindi il numero totale delle generazioni è stata assunta pari a 5000; la soluzione

migliore corrisponde a Cp=0.6, mp=0.01.

Si è trovato che quello con un inferiore capacità di crossover, converge lentamente e

che quello con un'alta capacità di mutazione, si satura prima.

Per l'aggiornamento del modello FE, la probabilità di crossover e di mutazione sono

state assunte pari a Cp=0.6, mp=0.01.

84

Capitolo5

Risultati del modello aggiornato

Nella tabella successiva vengono comparati i valori degli errori stimati con i valori

della funzione obiettivo della soluzione finale ( indicej

stimj cc , ) per i tre algoritmi euristici

trattati; anche se noi abbiamo esaminato solo il caso degli algoritmi genetici, pare

interessante riportare i risultati relativi ai tre metodi per effettuare un confronto fra

questi.

GA SA TS Errore stimato 3.5452 8.6730 5.9487 Funzione obiettivo 0.5960x10-7 0.0213x10-7 0.3576x10-7

Tabella 5.4: Paragone fra errore stimato e funzione obiettivo.

Errore stimato: 2

1

Nm

jesattoj

stimj

esattoj

ccc

Funzione obiettivo: 2

1

mi

mi

ci

Nm

ii f

ffw

Misura dei dati di vibrazione

Dalla misura dei dati d’accelerazione ottenuti posizionando accelerometri sulla

struttura, si sono ottenuti i parametri e le forme modali come viene riportato in

Fig.5.9 e in tabella 5.5.

Le differenze tra le frequenze naturali misurate e calcolate, variano in un range di

1.5-8.9% per i modi verticali e 9.8 -14.2 % per i modi trasversali.

85

Capitolo5

Tabella 5.5: Stima delle frequenze naturali (Hz).

Modi Modi verticali Modi trasversali1 2 3 4 1 2

Misurate 2.932 4.549 6.291 8.783 2.772 4.658Modello

FE

2.888

(1.498)

4.619

(1.523)

5.726

(8.981)

9.407

(7.103)

3.165

(14.19)

4.199

(9.872)

Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle

frequenze naturali calcolate e quelle misurate

Risultati del modello aggiornato

In figura 5.10 sono riportate le curve di convergenza dei coefficienti di correzione

stimati con i Ga, gli SA ed i TS.

86

Figura 5.9: Forme modali: + misurate – calcolate.

Figura 5.10: Stima dei coefficienti dicorrezione strutturale.

Capitolo5

I coefficienti di correzione stimati variano in un range di 0.95-1.05, presupponendo

che i valori di rigidezza flessionale calcolati dallo schema disegnato, siano

abbastanza accurati.

Tuttavia i coefficienti di correzione, per la rigidezza delle spalle e delle fondazioni

sono rispettivamente di 1.6 e 0.4, presupponendo che gli stessi, se usati nei modelli

analitici preliminari, siano rispettivamente incrementati del 60% e ridotti del 60%.

Le frequenze naturali del ponte sono state ricalcolate usando un modello di base

(modello FE) tramite i GA, gli SA e i TS.

La tabella 5.6 paragona queste frequenze con quelle calcolate per il modello

preliminare strutturale FE e quelle ottenute dai dati di vibrazioni misurati.

Gli errori per il modello di analisi preliminare ( differenza fra frequenze calcolate e

misurate) variano in un range di 1.5-9.0% per i modi verticali e in un range di 9.8-

14.2% per i modi trasversali.

Tuttavia, l'errore per i modelli di base calcolati con la tecnica degli algoritmi genetici

sono ridotti in un range variabile fra lo 0.5 e l'8.3%, per i modi verticali e fra 0.2 e

1.4% per i modi trasversali.

Si riportano inoltre anche gli errori per i modelli di base calcolati con le tecniche SA

e TS.

L'efficacia delle tre tecniche sono state dimostrate aggiornando un modello analitico

FE basato su misurazione delle vibrazioni.

Tabella5.6: Paragone fra le frequenze naturali (Hz).Modi Modi verticali Modi trasversali

1 2 3 4 1 2Misurate 2.932 4.549 6.291 8.783 2.772 4.658Modello

FE

2.888

(1.498)

4.619

(1.523)

5.726

(8.981)

9.407

(7.103)

3.165

(14.19)

4.199

(9.862)Baseline

con GA

2.916

(0.574)

4.723

(3.830)

5.791

(7.943)

9.516

(8.346)

2.768

(0.164)

4.723

(1.400)Baseline

con SA

2.915

(0.600)

4.718

(3.707)

5.796

(7.862)

9.540

(8.617)

2.770

(0.090)

4.718

(1.280)Baseline

con TS

2.965

(1.117)

4.746

(4.328)

5.876

(6.591)

9.660

(9.978)

2.750

(0.801)

4.660

(0.029)

Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle

frequenze naturali calcolate e quelle misurate

87

Capitolo5

Conclusioni

Tre tecniche d’ottimizzazione stocastica (GA, SA e TS) sono state applicate per

aggiornare il modello preliminare FE di un ponte.

Sulla base delle simulazioni numeriche e degli studi sperimentali effettuati, le

osservazioni conclusive che se ne traggono sono le seguenti:

1) Nel caso di GA, la probabilità di crossover è efficace per il controllo della

convergenza ed un'alta probabilità di mutazione può causare una saturazione

del problema.

2) Per le simulazioni numeriche, la funzione obiettivo minima trovata è nell'ordine

di 10-8 con gli SA, mentre quella per i GA e TS è nell'ordine di 10-7.

I coefficienti di correzione stimati tramite i GA, sono i migliori tra i tre algoritmi

proposti.

88

Capitolo5

5.4. Metodo spettrale agli elementi finiti ed algoritmi genetici per la rilevazione di incrinature nelle travi [39]

Introduzione

Negli ultimi vent’anni sono stati sviluppati diversi metodi interessanti per rilevare il

danno in maniera non distruttiva per la struttura; contemporaneamente si sono

sviluppate parecchie tecniche d’analisi modale [37].

Queste tecniche sono state applicate con successo al monitoraggio strutturale quando

la presenza del danno è causa di cambiamenti delle frequenze naturali e delle forme

modali; è risaputo che un piccolo danno, produce un piccolo cambiamento dei

parametri modali.

Questi cambiamenti spesso sono paragonabili all'entità degli errori misurati.

Negli ultimi anni si è fatto parecchio lavoro al fine di giungere ai metodi di

rilevazione basati sui modelli dell'onda di propagazione [43].

Questi modelli si adattano bene per la rilevazione anche di veri piccoli difetti, poiché

sono molto sensibili ai cambi nell'impedenza dinamica locale.

Qui di seguito si presenta un metodo applicabile per rivelare piccole incrinature nelle

travi di una struttura; tale metodo si basa sui cambiamenti di propagazione delle onde

all’interno delle strutture.

In questo approccio la misura della risposta dinamica della struttura è comparata con

il valore calcolato usando il nuovo “spectral beam finite element” con aperture

trasversali e incrinature non propaganti.

Viene proposta una strategia iterativa per determinare e rilevare la presenza di

incrinature, basata sugli algoritmi genetici.

La funzione obiettivo usata dagli AG si basa sulla differenza fra la risposta dinamica

misurata e la risposta dinamica calcolata.

89

Capitolo5

Elemento finito di tipo “spectral beam finite element”

Un elemento spectral beam finite con apertura trasversale e incrinatura non

propagante è rappresentato in Fig.5.11.

Figura 5.11: Modello agli elementi finiti con incrinatura trasversale.

L’elemento ha due nodi e due gradi di libertà per nodo: spostamento trasversale e

rotazione.

La lunghezza dell’elemento è L, l'area della sezione trasversale è A=BH.

90

Capitolo5

La frattura è sostituita con una molla adimensionale la cui flessibilità q è calcolata

usando il teorema di Castigliano e con leggi della meccanica della frattura.

Gli spostamenti spettrali del nodo hanno la seguente forma dalla parte destra alla

sinistra della trave

)(4

)(3211

11)(ˆ xLKxLiKxKxiK nnnn eAeAeAeAxu per x 1,0 L

)((8

))((7

)(6

)(52

1111)(ˆ xLLKxLLKxLKxLiK nnnn eAeAeAeAxu per x LL ,1

dove: L1 denota la posizione dell'incrinatura, L è la lunghezza totale della trave e Kn è

il numero d'onda calcolato come segue:

41

EJAK nn

dove: r è la densità del materiale, A è l'area della sezione trasversale, E il modulo di

Young, J il momento d'inerzia dell'elemento della sezione trasversale ed wn è la

frequenza.

I coefficiente Ai, (i=1,…,8) possono essere calcolati come funzione degli spostamenti

spettrali del nodo, considerando le seguenti condizioni estremanti:

- All'estremo sinistro dell'elemento (x=0)

11 ˆ)(ˆ qxu

21 ˆ)(ˆ

qxxu

- Nell'incrinatura (x= L1 per u1(x) e x= 0 per u2(x) )

)(ˆ)(ˆ 21 xuxu

2

22

12 )()(ˆ)(ˆx

xuxxu

xxu

91

Capitolo5

2

22

21

2 )()(ˆx

xux

xu

3

23

31

3 )()(ˆx

xux

xu

- All'estremo destro dell'elemento (x= L-L1)

32 ˆ)(ˆ qxu

21 ˆ)(ˆ

qxxu

dove: q1 - q4 indicano gli spostamenti spettrali del nodo, mentre q è la flessibilità

della posizione dell’incrinatura.

Funzione obiettivo

La funzione obiettivo usata qui di seguito si basa sui cambiamenti delle risposte

dinamiche (spostamenti, velocità o accelerazioni) della trave.

I valori misurati vengono paragonati con quelli ottenuti dai calcoli nelle varie

posizioni dell'incrinatura.

La forma della funzione obiettivo dipende dal numero dei punti in cui sono misurate

le risposte dinamiche.

Il numero minimo di tali punti per cui la posizione e la forma dell'incrinatura può

essere esattamente determinata, è due.

Quindi per tali punti la funzione obiettivo ha la seguente forma:

2

1 21 ww

dove: w1 e w2 sono calcolati tramite le seguenti relazioni:

N

i ie

im

uu

w1 ,,1

,,11 per ieim uu ,,1,,1 oppure

N

i im

ie

uu

w1 ,,1

,,11 per imie uu ,,1,,1

N

i ie

im

uu

w1 ,,2

,,22 per ieim uu ,,2,,2 oppure

N

i im

ie

uu

w1 ,,2

,,22 per imie uu ,,2,,2

92

Capitolo5

dove: 1,2 sono i punti in cui la risposta dinamica u è calcolata, m indica i valori di

risposta misurati, e denota quelli calcolati, N è il numero degli intervalli discreti di

tempo.

Per la funzione obiettivo così definita, il suo valore resta nel range 0-1, dove 1 indica

che non esiste correlazione e 0 indica uno scontro tra i modelli dei cambiamenti delle

risposte dinamiche.

Il valore minimo della funzione obiettivo determina la locazione precisa e la misura

dell'incrinatura.

Risultati dei calcoli numerici

Sono stati eseguiti calcoli numerici per una trave a sbalzo la cui lunghezza é di 2m,

mentre l'area della sezione trasversale era 0.0004m2 (B=0.02 m, H=0.02m).

La trave è in acciaio con modulo di Young pari a 210 Gpa, raggio di Poisson = 0.3 e

densità di massa di 7850 Kg/m3.

La colonna è stata eccitata da vibrazioni aventi impulso di forza trasversale e

magnitudo 10 Hz agenti ogni 0.000195 sec.

Le accelerazioni sono state misurate all'estremo libero della trave e a 0.5 m.

dall'estremo incastrato.

La figura 5.12 presenta le misure d’accelerazione per i due casi sopra citati.

93

Capitolo5

Figura 5.12: Andamento delle accelerazioni

Il primo disegno rappresenta l'accelerazione ottenute senza l'incrinatura; il secondo

invece l'accelerazione con la frattura posizionata ad un metro dall'estremo libero con

una profondità pari al 5% dell'altezza totale della trave.

L'ultima figura mostra la differenza fra i due segnali.

Tutti i segnali sono stati sottoposti a rumore casuale con magnitudine fino al 5% del

segnale vergine.

94

Capitolo5

Il problema inverso (ricerca di una frattura profonda in una determinata posizione) è

stato risolto nel seguente modo.

Poiché il primo dato misurato è stato simulato con calcoli per conoscere la posizione

e la misura di una frattura, i valori di base delle risposte dinamiche sono stati di

conseguenza generati.

I dati misurati si riferiscono ad una frattura posizionata a 0.3 m dall'estremo

incastrato della trave con profondità pari al 2% dell'altezza della trave stessa.

La popolazione iniziale era di 60 membri; un membro aveva 30 bit ossia, 15 bit per

ogni parametro (posizione e profondità).

Durante i calcoli numerici si è assunto che la probabilità del crossover è il 95% e

quella di mutazione è lo 0.05%; i risultati del processo di ricerca è riportato in

Fig.5.13.

Figura 5.13: Risultati del processo di ricerca con gli AG.

95

Capitolo5

Conclusioni Questo testo ha presentato un approccio di propagazione dell'onda per rivelare

incrinature nelle travi.

E' stato elaborato con successo un nuovo modello di beam spectral finite element con

apertura trasversale e incrinatura non propagante.

Nel testo viene proposto un processo di ricerca utilizzante gli algoritmi genetici.

La funzione obiettivo utilizzata dai GA è basata sui cambi delle risposta dinamica

della struttura.

I risultati ottenuti indicano che l'approccio corrente è in grado di individuare fratture

anche di misura minima anche in presenza di errori di misurazioni

considerevolmente elevati.

E’ da notare però che questi risultati sono stati ottenuti in laboratorio in condizioni di

lavoro costanti e ben note.

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